7) circunferencia

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Matemática - Circunferencia, - 1 -9

Matemática: Guía �° 7 : "Circunferencia" y "Otros Elementos de Geometría Analítica"

Una circunferencia es el conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Centro C (0;0)

x

y

x

y

P (x;y)

R y

x2 + y2 = R2

Ecuación de una circunferencia de radio "R" centrada en el origen

Por Pitágoras, se cumple:

Los puntos del plano P(x;y) que satisfagan esta ecuación pertenecen a la circunferencia.

Si: x2 + y2 < R2 ⇒⇒⇒⇒ P(x;y) es punto interior a la circunferencia

Si: x2 + y2 > R2 ⇒⇒⇒⇒ P(x;y) es punto exterior a la circunferencia

Si la circunferencia no está centrada en el origen, la ecuación es:

x'

y'

x'

y'

P (x';y') ≡ (x;y)

R

y

y

x

x h

k

y'

Centro C (h;k)

Por Pitágoras:

(x −−−− h)2 + (y −−−− k)2 = R2

y' = y − k

x' = x − h

Como:

Reemplazando:

Forma Canónica de la Circunferencia

(x')2 + (y')2 = R2

Tomamos un sistema de referencia auxiliar x'y':

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Como vemos, la forma canónica de la ecuación de la circunferencia tiene tres parámetros: las coordenadas del centro "h", "k" y el radio "R".

Por ejemplo:

Existe además la forma general de la ecuación de la circunferencia, a la

que puede llegarse operando sobre la forma canónica:

(x − 3)2 + (y − 1)2 = 22

x2 − 6 x + 9 + y2 −2 y + 1 = 4

Dada la forma canónica

Desarrollamos los cuadrados de los binomios

x2 + 2 x (−3) + (−3)2 + y2 + 2 y (− 1) + (− 1) 2 = 4

x2 + y2 − 6 x −2 y + 9 + 1 − 4 = 0 Reagrupamos

Para practicar: Dadas las siguientes ecuaciones en la forma canónica, obtener las coordenadas del centro "h" y "k", el radio "R" y graficar. (Verificar con el Simulador “Circunferencia”)

a) (x − 2)2 + (y + 1)2 = 9 C (h; k) = (2;−1) R = 3 b) x2 + (y − 3)2 = 1 C (h; k) = (0; 3) R = 1 c) (x + 4)2 + (y − 2)2 = 16 C (h; k) = (−4; 2) R = 4

x

y

0 1 2 3 4 5

1

R = 2 2

3

4 (x −−−− 3)2 + (y −−−− 1)2 = 22

h k

Las coordenadas del centro "h" y "k" aparecen con el signo cambiado en la

forma canónica.

R

En este caso el centro se halla en C (3;1) y el radio es R = 2.

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En forma genérica, la ecuación general de la circunferencia es:

Esta forma también tiene tres parámetros: "D", "E" y "F", pero estos

valores no son fácilmente relacionables con los parámetros "geométricos" de la circunferencia: las coordenadas del centro "h" y "k" y el radio "R".

Ahora veremos la relación matemática que existe entre estos dos juegos de parámetros:

Se recomienda que el alumno no memorice estas fórmulas, sino que

proceda a desarrollar los cuadrados de los binomios, como en el ejemplo antes mencionado para lograr el pasaje desde la forma canónica a la general de la circunferencia.

(x − h)2 + (y − k)2 = R2

x2 − 2 h x + h2 + y2 − 2 k y + k2 = R2

x2 + y2 − 2 h x − 2 k y + h2 + k2 − R2 = 0

La forma canónica es, genéricamente:

Desarrollamos los cuadrados de los binomios

x2 + 2 x (−h) + (−h)2 + y2 + 2 y (− k) + (− k) 2 = R2

Reagrupamos

x2 + y2 + D x + Ε y + F = 0 Forma general

De donde: D = − 2 h

E = − 2 k

F = h2 + k2 − R2

Fórmulas que permiten el pasaje desde la forma canónica a la general de una circunferencia.

Canónica General

x2 + y2 + D x + Ε y + F = 0 Forma general de la ecuación de

la circunferencia.

x2 + y2 − 6 x −2 y + 6 = 0 Forma general de la ecuación de la circunferencia dada.

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Si se dispone de la forma general de una circunferencia y se desea pasarla a la forma canónica, pueden obtenerse las siguientes relaciones útiles:

Tampoco es conveniente que el alumno memorice estas fórmulas, pues

suele ser más útil llegar a la forma canónica partiendo desde la general, completando cuadrados:

Para practicar: Dadas las siguientes ecuaciones en la forma canónica, obtener la forma general. (Verificar con el Simulador “Circunferencia”)

a) (x − 2)2 + (y + 1)2 = 9 x2 + y2 − 4 x + 2 y − 4 = 0

b) x2 + (y − 3)2 = 1 x2 + y2 − 6 y + 8 = 0

c) (x + 4)2 + (y − 2)2 = 16 x2 + y2 + 8 x − 4 y + 4 = 0

O el radio "R" podría obtenerse de:

General Canónica

2 2R h k F= + − ⇒

2 2

2 2

D ER F

= − + − −

2 2

4 4

D ER F= + − ⇒

2 2 4

4

D E FR

+ −=

2 2 4

2

D E FR

+ −=

D = − 2 h

E = − 2 k

2

Dh= ⇒

−

2

Dh = −

2

Ek= ⇒

−

2

Ek = −

F = h2 + k

2 − R

2

R2 = h

2 + k

2 − F

2 2R h k F= + −

Para aplicar esta última fórmula, se obtendrían primero "h" y "k" y luego se calcularía el radio "R":

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Completar Cuadrados

Completar cuadrados es una técnica muy útil en Matemática.

1) Tenemos un término cuadrático y un término lineal en "x" (de grado 1). Éste último término lo descomponemos como el producto de + 2 por "x" por el factor que haga falta para reconstruir el término lineal original.

2) Se le suma y se le resta el cuadrado de este factor agregado en 1), de modo de no alterar la expresión original.

3) Se reemplaza el Trinomio Cuadrado Perfecto que ha aparecido, por el Cuadrado del Binomio correspondiente.

Si se maneja bien esta técnica puede pasarse fácilmente la ecuación de

una circunferencia desde la forma general a la canónica:

x2 − 6 x + y2 − 2 y + 6 = 0

x2 + 2.(− 3) x + 9 − 9 + y2 + 2 (−1) y + 1 − 1 + 6 = 0

(x− 3) 2 − 9 + (y − 1)2 − 1 + 6 = 0

x2 + y2 − 6 x − 2 y + 6 = 0

(x− 3) 2 + (y − 1)2 = 9 + 1 − 6

(x− 3) 2 + (y − 1)2 = 4

Reagrupamos

Forma General

Completamos Cuadrados

Completamos Cuadrados

Forma Canónica

Si tengo la expresión: x2 − 6 x

x2 + 2.(− 3) x Es igual a:

x2 + 2.(− 3) x + (−3)2 − (−3)2

(x− 3) 2 − 9

Sumando y restando (−3)2

Resultando:

Completar cuadrados hace que la "x" aparezca una sola vez en la expresión, lo que a veces es útil porque permitiría despejarla.

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OTROS ELEME�TOS DE GEOMETRÍA A�ALÍTICA

Distancia entre dos puntos:

Punto Medio de un Segmento:

x

y

0

PM

Las coordenadas del Punto Medio de un segmento

1 2PP son

los promedios matemáticos de las abscisas y las ordenadas de los extremos del segmento P1 y P2 X1

Y1

X2

Y2 P2

P1

1 2

2

X X+

1 2 1 2;2 2M

X X Y YP

+ + =

1 2

2

Y Y+

x

y

0

d

Distancia entre dos puntos P1(X1;Y1) y P2(X2;Y2)

Por Pitágoras:

X1

Y1

X2

Y2 P2

P1 Y2 − Y1

X2 − X1

d 2 = (X2 − X1)

2 + (Y2 − Y1)

2

( ) ( )2 2

2 1 2 1d X X Y Y= − + −

Para practicar: Dadas las siguientes ecuaciones en la forma general, obtener la forma canónica completando cuadrados. (Verificar con el Simulador “Circunferencia”)

a) x2 + y2 − 4 x + 2 y − 4 = 0 (x − 2)2 + (y + 1)2 = 9

b) x2 + y2 − 6 y + 8 = 0 x2 + (y − 3)2 = 1

c) x2 + y2 + 8 x − 4 y + 4 = 0 (x + 4)2 + (y − 2)2 = 16

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Más sobre Circunferencia y Círculo:

x

y

1

2

3

4

Punto Exterior: El punto “P” es exterior al círculo, dado que:

C

P

d (CP) > R

d (CQ) < R

Q

d (CS) = R

Punto Interior: El punto “Q” es interior al círculo, dado que:

Punto Frontera: El punto “S” es frontera del círculo, dado que:

S

R

Para practicar:

1) Obtener la forma general de la ecuación de la circunferencia, si se sabe que el segmento AB es un segmento diametral, con A(−5;−3) y B(1,5). Graficar. x2 + y2 + 4 x − 2 y − 20 = 0

2) Determinar si el punto P(−2;3) es interior, exterior o frontera de la círculo limitado por la circunferencia: x2 + y2 − 6 x + 4 y − 3 = 0

(Exterior)

(Verificar con el Simulador “Circunferencia”)

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Trabajo Práctico �º 7

“Circunferencia y Otros Elementos de Geometría Analítica”

7.1) Dadas las siguientes ecuaciones de circunferencia en forma canónica, hallar las coordenadas del Centro (h ; k) y el radio R, graficar y obtener la forma general desarrollando los cuadrados de los binomios.

a) (x + 2)2 + (y − 4)2 = 9

b) x2 + (y + 3)2 = 16

c) (x − 5)2 + (y + 2)2 = 4

d) (x + 3)2 + y2 = 1

e) (x + 2)2 + (y + 3)2 = 16

7.2) Dadas las siguientes ecuaciones de circunferencia en forma general, obtener la forma canónica completando cuadrados, hallar las coordenadas del Centro (h ; k) y el radio R; y graficar.

a) x2 + y2 − 4 x − 14 y + 44 = 0

b) x2 + y2 − 8 x = 0

c) x2 + y2 − 14 x + 4 y + 17 = 0

d) x2 + y2 + 6 x + 2 y − 15 = 0

e) x2 + y2 + 8 x − 6 y +16 = 0

7.3) Obtener la forma general de la ecuación de la circunferencia, si se sabe que el segmento AB es un segmento diametral y graficar.

a) A (1;1) y B (7,5).

b) A (−3;−4) y B (−1,2).

c) A (2;−1) y B (6,−3).

7.4) Determinar si el punto “P” es interior, exterior o frontera del círculo limitado por la circunferencia dada.

a) P (−1;−2) ; x2 + y2 + 4 x + 10 y − 7 = 0

b) P (4;3) ; x2 + y2 − 4 x − 6 y + 9 = 0

c) P (3;3) ; x2 + y2 − 8 y + 12 = 0

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Resultados del Trabajo Práctico �º 7

“Circunferencia y Otros Elementos de Geometría Analítica”

7.1)

a)))) C(−2;4) ; R = 3 ; x2 + y2 + 4 x − 8 y + 11 = 0

b) C(0;−3) ; R = 4 ; x2 + y2 + 6 y − 7 = 0

c) C(5;−2) ; R = 2 ; x2 + y2 − 10 x + 4 y + 25 = 0

d) C(−3;0) ; R = 1 ; x2 + y2 + 6x + 8 = 0

e) C(−2;−3) ; R = 4 ; x2 + y2 + 4 x + 6 y − 3 = 0

7.2)

a)))) (x − 2)2 + (y − 7)2 = 9 ; C (2;7) ; R = 3

b) (x − 4)2 + y2 = 16 ; C (4;0) ; R = 4

c) (x − 7)2 + (y + 2)2 = 36 ; C (7;−2) ; R = 6

d) (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 ; C (−3;−1) ; R = 5

e) (x + 4)2 + (y − 3)2 = 9 ; C (−4;3) ; R = 3

7.3)

a) x2 + y2 − 8 x − 6 y + 12 = 0

b) x2 + y2 + 4 x + 2 y − 5 = 0

c) x2 + y2 − 8 x + 4 y + 15 = 0

7.4)

a) Interior

b) Frontera

c) Exterior

7) circunferencia

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