Universidad nacional abierta y a distancia

Algebra trigonometría y geometría analítica

Trabajo colaborativo # 4

Prof: Orlando Peñuela

Nelson Fabián Gamboa Flórez

C.C. 1.013.603.265

Robinson Pabón

C.C. 79129707

Martha Andrea Manchego Morales C.C. 53039357

16 de Marzo de 2015

Bogotá D.C.

INTRODUCCIÓN

En este segundo taller encontraremos la resolución de ejercicios propios de la unidad 2 del módulo referentes al dominio de una función, el rango y ejercicios de cómo resolver funciones con suma, resta, multiplicación y división.

Vamos a encontrar expresado en el programa Geogebra a manera gráfica la resolución del problema planteado.

Este trabajo nos va a orientar en la manera como se deben resolver funciones trigonométricas.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

Resolver cada uno de los siguientes problemas propuestos:

1. Determine el dominio de la función

𝑓(𝑥) =√4𝑥 − 3

𝑥2 − 4

𝑥2 − 4 = 0

𝑥2 − 4 + 4 = 4

𝑥2 = 4

√𝑥2 = √4

𝒙 = 𝟐

El dominio de la función:

𝑓(𝑥) = 𝑅 − [2]

2. Determine el rango de la función:

𝑓(𝑥) =𝑥 + 6

√𝑥 − 5

𝑓(𝑥) =𝑥 + 6

√𝑥 − 5 ∗

√𝑥 − 5

√𝑥 − 5

𝑦 =𝑥 ∗ √𝑥 − 5 + 6 ∗ √𝑥 − 5

√𝑥 − 52

𝑦 =𝑥 ∗ √𝑥 − 5 + 6 ∗ √𝑥 − 5

𝑥 − 5

(𝑥 + 6)√𝑥 − 5 = 𝑦(𝑥 − 5)

√𝑥 − 5 =𝑥𝑦 − 5𝑦

𝑥 + 6

𝑥 − 5 =(𝑥𝑦 − 5𝑦)2

(𝑥 + 6)2

𝑥 − 5 =𝑥𝑦2 − 10𝑥𝑦2 + 25𝑦2

𝑥2 + 12𝑥 + 36

𝑥 =(𝑥2 − 10𝑥 + 25) ∗ 5

𝑥2 + 12𝑥 + 36

𝒙 =𝟓𝒙𝟐 − 𝟔𝟎𝒙 + 𝟏𝟖𝟎

𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟔

Igualamos x a cero y nos tiene que dar diferente a cero

𝑥 =5(0)2 − 60(0) + 180

(0)2 + 12(0) + 36

𝑥 =180

36

𝒙 = 𝟔

3. Dadas las funciones 𝑓(𝑥) =2𝑥−1

2; 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2 determine:

a. (𝑓 + 𝑔)2 b. (𝑓 − 𝑔)2 c. (𝑓. 𝑔)2

d. (𝑓

𝑔)

2

a. 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) =2𝑥−1

2+

𝑥2+2

1

𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) =(2𝑥 − 1) + 2(𝑥2 + 2)

2

𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) =2𝑥 − 1 + 2𝑥2 + 4

2

𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) =2𝑥2 + 2𝑥 − 3

2

b. 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) =2𝑥−1

2−

𝑥2+2

1

𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) =(2𝑥 − 1) − 2(𝑥2 + 2)

2

𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) =2𝑥 − 1 − 2𝑥2 − 4

2

𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) =−𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟓

𝟐

c. 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) =2𝑥−1

2.

𝑥2+2

1

𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) =2𝑥3 + 4𝑥 − 𝑥2 − 2

2

𝒇(𝒙). 𝒈(𝒙) =𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟐

𝟐

d. 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

2𝑥−1

2𝑥2+2

1

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

2𝑥 − 1

4(𝑥2 + 2)

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

2𝑥 − 1

4(𝑥2 + 2)

𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙)=

𝟐𝒙 − 𝟏

𝟐𝒙𝟐 + 𝟐

4. Dadas las funciones 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2 ; 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1 determine:

a. (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥)

b. (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥)

c. (𝑓 + 𝑔)(𝑥)

d. (𝑓 − 𝑔)(𝑥)

a. 𝑓(𝑔)(𝑥) = √(𝑥2 − 1) + 2

𝑓(𝑔)(𝑥) = √𝑥2 − 1 + 2

𝒇(𝒈)(𝒙) = √𝒙𝟐 + 𝟏

b. 𝑔(𝑓)(𝑥) = √𝑥 + 22

− 1

𝑔(𝑓)(𝑥) = 𝑥 + 2 − 1

𝒈(𝒇)(𝒙) = 𝒙 + 𝟏

c. 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 2 + (𝑥2 − 1)

𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + √𝒙 + 𝟐 − 𝟏

d. 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 2 − (𝑥2 − 1)

𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) = −𝒙𝟐 + √𝒙 + 𝟐 + 𝟏

5. Verifique la siguiente identidad:

2 sen 𝑥 ∗ cos 𝑥 − cos 𝑥

1 − sen 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥= 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥

2 sen 𝑥 ∗ cos 𝑥 − cos 𝑥

1 − sen 𝑥 + 1= 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥

1 − cos 𝑥

sen 𝑥= cotg 𝑥

𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒔𝒆𝒏𝒙= 𝐜𝐨𝐭𝐠 𝒙

6. Demuestre la siguiente identidad, usando las definiciones de las diversas identidades hiperbólicas fundamentales.

tanh 𝑥

1 − tanh2 𝑥= senh2 𝑥

tanh 𝑥

1 − tanh2 𝑥∗ 1 − 𝑡𝑎𝑛ℎ2𝑥 = senh2 𝑥 ∗ 1 − 𝑡𝑎𝑛ℎ2𝑥

tanh 𝑥 = senh2 𝑥 ∗ 1 − 𝑡𝑎𝑛ℎ2𝑥

𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒙 ∗ (𝟏 − 𝒕𝒂𝒏𝒉𝟐𝒙) ∗ 𝐬𝐞𝐧𝐡𝟐 𝒙 = 𝟎

7. Un avión que pasa 60 metros sobre la azotea de un edificio de 40 metros de altura, desciende 200 metros hasta tocar tierra en un lugar A. ¿Con que ángulo descendió? ¿Qué distancia hay entre la base del edificio y el lugar A?

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

100𝑚𝑡𝑠2 = 𝑥2 + 200𝑚𝑡𝑠2

100𝑚𝑡𝑠2 − 200𝑚𝑡𝑠2 = 𝑥2

10000𝑚𝑡𝑠2 − 40000𝑚𝑡𝑠2 = 𝑥2

30000𝑚𝑡𝑠2 = 𝑥2

√30000𝑚𝑡𝑠2 = √𝑥2

173.20 𝑚𝑡𝑠 = 𝑥

sin 𝛼 =𝑜𝑝

ℎ

sin 𝛼 =100 𝑚𝑡𝑠

200 𝑚𝑡𝑠

sin 𝛼 = 0.5°

sin 𝛽 =173.20𝑚𝑡𝑠

200 𝑚𝑡𝑠

𝐬𝐢𝐧 𝜷 = 𝟎. 𝟖°

8. Desde lo alto de un globo se observa una ciudad A con un ángulo de 50°, y otra ciudad B, situada al otro lado y en línea recta, con un ángulo de 60°. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 kilómetros de la ciudad A y a 4 kilómetros de la ciudad B. Determine la distancia entre las ciudades A y B.

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

𝑎2 − 𝑏2 = 𝑐2

4 𝑘𝑚2 − 6𝑘𝑚2 = 𝑐2

16 𝑘𝑚2 − 36𝑘𝑚2 = 𝑐2

20 𝑘𝑚2 = 𝑐2

√20 𝑘𝑚2 = √𝑐2

𝟒. 𝟒𝟕𝒌𝒎 = 𝒄

9. Encuentre el valor de x que satisface la siguiente ecuación para ángulos entre 0°≤ x ≤ 360°

2 cos2 𝑥 + √3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = −1

cos2 𝑥 + √3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = −1 ∗ 2

√3 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos (2𝑥) = −2

Puntos de solución

(−𝟐, −𝟏) ; (−𝟏, −𝟏)

𝒙 = −𝟐

𝒙 = −𝟏

CONCLUSIÓN

Podemos concluir que con la ayuda de las gráficas podemos determinar si los ejercicios planteados quedaron bien expresados ya que es la gráfica la que nos muestra sobre la recta si la función es negativa o positiva o si está en función de X o Y.

Concluimos que al realizar las operaciones estamos también utilizando las operaciones vistas en el trabajo anterior.