4. EL CAMPO GRAVITATORIO4. EL CAMPO

GRAVITATORIO

Física 2º BachilleratoFísica 2º Bachillerato

I. INTERACCIÓN GRAVITATORIA

NOCIONES SOBRE TEORIA GENERAL DE

CAMPOS

Campos escalares y vectoriales

Campos escalares y vectoriales

• Campos escalares• Campos vectoriales• Campos escalares. Vector gradiente• Dirección, sentido y módulo del vector gradiente

• Superficies equipotenciales

• Circulación de un campo vectorial• Flujo de un campo vectorial• Campos conservativos

La idea de Campo comienza con Faraday, que indica que los cuerpos producen una modificación de las propiedades del espacio que los rodea.

Dicha perturbación se propaga por el espacio con una velocidad finita. Decimos entonces que se ha creado un campo y se pone de manifiesto por su acción sobre otros cuerpos.

CAMPOS ESCALARES. REPRESENTACIÓN

Cuando a cada punto del espacio le podemos asociar un valor de una magnitud física escalar, decimos que tenemos un campo escalar.

Su expresión matemática viene dada por: V(x,y,z) = V(r) = V

Ejemplos: La temperatura: T(x,y,z), la presión atmosférica: P(x,y,z).

Los campos escalares se representan mediante superficies escalaressuperficies escalares que son el lugar geométrico de todos los puntos con el mismo valor de la magnitud escalar.

Campos escalaresCampos escalares

28ºC

26ºC24ºC18ºC

20ºC

22ºC

( )

r

kjikji

d

dzdydx

Vdgra

z

V

y

V

x

V++⋅

∂∂

+∂∂

+∂∂

kji

zyx ∂∂+∂

∂+∂∂=∇

rrdVdVdgradV ⋅∇=⋅=

V1

V2

V3

V3 > V2 > V1

dzzV

dyyV

dxxV

dV∂∂+

∂∂+

∂∂=

Campos escalares. Vector gradienteCampos escalares. Vector gradiente

dr

dV = 0

∇V

Dirección, sentido y módulo del vector gradiente

Dirección, sentido y módulo del vector gradiente

• Dirección: Perpendicular a la superficie isoescalar y marca el camino a través del cual el campo varía más rápidamente.

• Sentido : Hacia valores crecientes.

• Módulo igual a dV/dr• El gradiente de una función escalar es una función vectorial

V1

V2

V1 > V2 > V3

V3

∇V

dV = ∇Vdrcosα

α∇= cosVdrdV

αdr

CAMPOS VECTORIALES. REPRESENTACIÓN

Cuando a cada punto del espacio le podemos asociar un valor de una magnitud física VECTORIAL, decimos que tenemos un campo VECTORIAL.

Su expresión matemática viene dada por:

Ejemplos:

Los campos escalares se representan mediante líneas de campo cuyas líneas de campo cuyas características son:características son:

),,(,),,(,),,( zyxgzyxEzyxv

El campo vectorial es tangente a línea de campo y de la misma dirección.

Un campo constante o uniforme se representa mediante líneas paralelas o equidistantes.

El módulo es mayor donde mayor número de líneas hay.

Líneas de campoLíneas de campo

Líneas de campoLíneas de campo: aquéllas a las cuales el vector : aquéllas a las cuales el vector

campo es tangente en todos sus puntoscampo es tangente en todos sus puntos.

zyx Bdz

Bdy

Bdx ==

B (x,y,z)

Cam

pos

vect

oria

les

Cam

pos

vect

oria

les

r2u

r

kF

=

→ →F = ky2i

→ → →F = -kyi + kxj

→ →F = kyi

Flujo de un campo vectorialFlujo de un campo vectorial

S

SdAd

⋅=Φ

θcos•⋅

=⋅=Φ

∫

∫

s

s

dA

dA

S

S

dSA

dS

A

A (x,y,z)

El flujo elemental del vector A a través de la superficie viene dada por la expresión:

Flujo máximo: vectores paralelos.

Flujo cero: perpendiculares

Superficies cerradasSuperficies cerradas

Φ = 0

FLUJO SALIENTE

Φ > 0

FUENTE

A

dS

FLUJO ENTRANTE

Φ < 0

SUMIDERO

dS

A

En las superficies cerradas, S hacia fuera

R

Teorema de Gauss: Flujo de un campo tipo F = k/r2Teorema de Gauss: Flujo de un campo tipo F = k/r2

rur

CF

2

=dS = dSur

dSR

CudSu

r

CSdFd rr 22

=•⋅=⋅=Φ

CCR

RdS

R

CdS

R

C •=•===Φ ∫ ∫ ππ4

42

2

22

Flujo de F a través de una superficie esférica centrada en (0,0,0)

Esta expresión se conoce con el nombre de Teorema de Gauss y nos dice que el flujo a Esta expresión se conoce con el nombre de Teorema de Gauss y nos dice que el flujo a través de una superficie cerrada depende exclusivamente de las fuentes encerradas en través de una superficie cerrada depende exclusivamente de las fuentes encerradas en la superficie.la superficie.

ikyF

=

=⋅=Φ SdFd

kbydyibdyiky =⋅

ac

c

2ac

c2y

kbkbydy++

==Φ ∫

[ ] )ac2a(2

kbc)ac(

2kb 222 +=−+=

x

y

b

a

dyc

c+a

c

Teorema de Gauss: Flujo a través de una superficie

Teorema de Gauss: Flujo a través de una superficie

Calcular el flujo de la función , a través de la superficie de la figura.ikyF

=

F

dS

R

Teorema de Gauss: Flujo de un campo tipo F = krTeorema de Gauss: Flujo de un campo tipo F = kr

rukrF

=dS = dSur

∫ π==Φ 3kR4dSkR

Flujo de F a través de una superficie esférica centrada en (0,0,0)

=⋅=Φ SdFd

kRdSudSukr rr =⋅

Circulación de un campo vectorialCirculación de un campo vectorial

rdAdC ⋅=

∫ ⋅=B

A

BA dAC r

kjiFzyx FFF ++= kjir

dzdydxd ++=

∫ ++=B

Azyx

BA dzFdyFdxFC

c

∫ ⋅=c

dC rF

dr

A (x,y,z)

A

B

Cálculo de la función potencial si conocemos: ∇U(r)

rKU

=∇

rdrrdrrdr2rdr2rrr 2 =⋅→=⋅→=⋅

CKr21

KrdrU 2 +== ∫

KrdrrdrKrdUdU =⋅=⋅∇=

Cálculo de la función potencial conocida la fuerza

)z,y,x(F

Circulación de de A(0,1) a B(1,0)

Ux4)z,y,x( ∇== iF

2UC C + 2x = U BA

2 =∆=→

UCUyx)z,y,x( BA

22 ∆=→∇=−= jiF

32

UCC3

yxU B

A

33

=∆=→+−=

Cálculo de la función potencial2

kji

kji

zU

yU

xU

yxzxxyz2U 22

∂∂

∂∂

∂∂

++=∇

C(yz)yzxdx2xyzU 2 +== ∫C(xz)yzxdyzxU 22 +== ∫

C(xy)yzxdzyxU 22 +== ∫

U = x2yz + C

Cálculo de la función potencial3

kji

kjiF

zU

yU

xU

xz4yx2)z2yx3( 3222

∂∂

∂∂

∂∂

+++=

C(yz)+xz2xy)dx2z+y(3xU 232222 +== ∫

C(xz)yxdyy2xU 233 +== ∫C(xy)zx2dz4xzU 2 +== ∫

U = x3y2 + 2xz2 + C

Cálculo de la circulación

Uxy)z,y,x( ∇≠−= jiF

∫∫ ==++=B

Azy

B

Ax

BA dt)t(FdzFdyFdxFC

3/2dt)tt2(dtttdt2)t1(1

0

21

0

2 =−=+− ∫∫

−==

t1y

tx 2

)z,y,x(F

Circulación de de A(0,1) a B(1,0) por la curva

Campos conservativos

V−∇=F

∫∫∫ −=−=⋅∇−=⋅=B

ABA

B

A

B

A

BA VVdVdVdC rrF

F (x,y,z)

0d =⋅∫ rF

VB

VA

dr

La circulación es independiente del caminoLa circulación es independiente del camino

Campos conservativos2

=∂∂

∂∂

∂∂

=⋅∫

0

FFFzyx

0d

zyx

kji

rF

→−∇= VFsi

x

F

yF yx

∂∂

=∂∂

yF

z

Fzy

∂∂=

∂∂

xF

zF zx

∂∂=

∂∂

NEWTON Y LA GRAVITACIÓN UNIVERSALNEWTON Y LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

mh

Rr

• La atracción de la esfera actúa como si toda su masa estuviese concentrada en el centro

• Si M es la masa de la Tierra y R su radio, la fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m situado a una altura h sobre su superficie responde a la ley de Newton:

)hR(

MmG

r

MmGF

22 +==

• A partir de esta ley, Newton pudo explicar fenómenos tales como:

- Las protuberancias de la Tierra y de Júpiter a causa de su rotación

- El origen de las mareas

- Las trayectorias de los planetas

- La variación de la gravedad con la altura

- El cambio en el eje de rotación de la Tierra, etc

La fuerza gravitatoria con que se atraen dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que les separa

• H. Cavendish verificó experimentalmente el valor de la constante G, y a partir de su valor, se puede deducir la tercera ley de Kepler de la gravitación universal de Newton

• En el sistema formado por un planeta en su giro en torno al Sol, la única fuerza que mantiene a los planetas en su órbita es la fuerza centrípeta

rv

mr

MmGFF

2

2cN =⇒= ⇒ Despejando v resulta:

Que es la velocidad de un planeta o satélite girando en una órbita de radio r alrededor de un cuerpo de masa M

• Como v es aproximadamente constante:

• Igualando (1) y (2):

r

MGv = (1)

T

r2

t

sv

π== (2)

• Este resultado permite calcular la masa de cualquier planeta conocido el período y el radio de uno se sus satélites

=r

MG ⇒π

T

r2 ⇒π=T

r4r

MG

2

22)Keplerdeleyª3(r

GM4

T3

22 π=

• Si M es la masa del Sol, el valor de la constante coincidirá con el valor que calculó Kepler

Deducción de la ley de Newton a partir de las leyes de KeplerDeducción de la ley de Newton a partir de las leyes de Kepler

• Se supone que las órbitas descritas por los planetas en torno al Sol son circulares, sin que ello suponga cometer un gran error puesto que en realidad son prácticamente así

• Su aceleración centrípeta: a = ω2 R

Sol

Tierra

RF→

RT

4a

2

2π=

• Por la 3ª ley de Kepler (T2 = kR3):R

cteR

Rk

4a

23

2=π=

• La fuerza F ejercida sobre un planeta de masa m es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

R

mcteamF

2==

⇒

R

mMGF

2=• Dicha constante incluye la masa del Sol es decir: cte = GM ⇒

Ley de la gravitación universal

La ley de gravitación universal indica que la fuerza de interacción entre dos partículas materiales es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia

• Velocidad angular del planeta:T

2π=ω

EL CAMPO GRAVITATORIOEL CAMPO GRAVITATORIO

• La ecuación de Newton proporciona la expresión de la fuerza entre dos masas:

g→

x

y

z

r→

• Para explicar la acción que una masa ejerce sobre otra situada a cierta distancia, se introduce el concepto de campo de fuerzas

• La masa m hace que las propiedades del espacio que la rodea cambien, independientemente que en su proximidad se sitúe otra masa m’

m

m’

rrsiendormm

G ruur

F→

→→→

=−= )(221

rm

Gm

ur

Fg→

→→

−== 22

1

cuyo módulo es:rfuentem

Gg 2

)(−= y se expresa en N/kg o también m/s2 en el S.I.

• La fuerza gravitatoria sobre otra masa inmersa en el campo es: gmF→→

=

• La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza por unidad de masa situada en dicho punto

g→

• Cuando se trata de cuerpos extensos, se supone la masa concentrada en el centro de masas, y además se considera para las distancias que r = RT + h

)hR(MGg

T2

T

+=

• El módulo del campo gravitatorio creado es:

• En las proximidades de la superficie, donde h es despreciable frente al RT puede considerarse:

s/m8,9R

MGg 20 2

T

T ==

• La fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m colocado a una altura h sobre la superficie terrestre será:

gm)hR(

mMGFT

2T =+

=

r = RT+h

P

A

h

RT

• Los campos de fuerzas se representan mediante líneas de campo

• En el campo gravitatorio, las líneas de campo como es un campo atractivo se dirigen hacia las fuentes del campo

Características de las líneas de campo

• Módulo: se indica mediante la densidad de líneas de campo. Si se dibujan más líneas de campo se trata de un campo más intenso

• Dirección del campo en un punto es la tangente a la línea en dicho punto

• El sentido viene indicado por la flecha, y es el que seguiría la unidad de masa colocada en dicha línea por efecto de las fuerzas del campo

m M

Principio de superposiciónPrincipio de superposición

r1

→

r2

→r3

→

g1

→

g2

→g 3

→

g 3

→g 1

→

g T

→

• La intensidad del campo en un punto P, creado por un conjunto de masas puntuales, se obtiene calculando la intensidad de campo creada por cada una de las partículas y sumando los resultados parciales

m1

m2

m3

P=+++=→→→→g...ggg n21T

u.rmG i

i2

in

1i

→

=→−∑

siendo r

rui

ii →

→→

=

• También se puede aplicar al cálculo de la fuerza ejercida sobre cierta masa por la acción de un conjunto discreto de ellas

==→→gmF TT ∑

=

→n

1iFi

Si un cuerpo está sometido a la acción de varias fuerzas gravitatorias, el efecto total resultante es la suma de los efectos individuales de cada fuerza

•m

CAMPOS DE FUERZAS CONSERVATIVOS CAMPOS DE FUERZAS CONSERVATIVOS

• Sea una partícula de masa m situada en el seno de un campo de fuerzas

rd→

r→∆ F

→

r→∆

r→∆

A

B

rdFdW→→

=• Para desplazamientos infinitesimales:

• El camino total desde un punto A a otro B es la suma de todos los rd

→

• Si en cada se realiza un trabajo dW, el trabajo total será la suma de todos los realizados en cada intervalo infinitesimal:

rd→

rdFW B

A

→→∫=

Campos de fuerzas conservativos son aquellos en los que el trabajo depende solo de los puntos inicial y final, y no del camino seguido

• Por cada desplazamiento que realice la partícula, la fuerza del campo realiza un trabajo:

rFW→→

∆=∆

r→∆

C1

C2•A

•B

• En un campo de fuerzas conservativo, el resultado de la integral del trabajo realizado para ir desde A hasta B puede expresarse como una nueva función, Ep que depende solo de los puntos inicial y final

)B(E)A(ErdFW ppB

ABA −== →→→ ∫

• Si el campo de fuerzas es conservativo,

BC2ABC1A WW →→→→ =

• Si se invierte el segundo camino,

⇒−= →→→→ AWW C2BBC2A AWW

C2BBC1A →→→→ −=

0WW AC2BBC1A =+ →→→→

Cuando un cuerpo se desplaza por una trayectoria cerrada en un campo de fuerzas conservativo, el trabajo total realizado por las fuerzas del campo es nulo

0d rCF =

→→

∫

EL CAMPO GRAVITATORIO ES UN CAMPO CONSERVATIVO

m

m’A

B•

• Las fuerzas gravitatorias creadas por una partícula m que actúan sobre la partícula m’, son radiales y con sentido hacia m

• Cualquier camino de A hasta B se descompone en suma de arcos circulares centrados en m y de desplazamientos radiales

• El trabajo por el arco circular es nulo, por ser la fuerza perpendicular al desplazamiento

• El trabajo por el camino radial, es igual para todos los caminos que se elijan entre A y B

• Se define circulación de una magnitud vectorial a lo largo de una línea L a la integral definida entre los límites de dicha línea

v→

LdvC B

A

→→∫=

• Si el campo es conservativo, la circulación a lo largo de una línea cerrada es nula

0rdF0C C =∫⇒= →→

• Para el campo de fuerzas gravitatorio:

0rdFm1

rdg CC =∫=∫→→→→

ENERGÍA POTENCIALENERGÍA POTENCIAL

Teorema de la energía potencial: En un campo conservativo el trabajo realizado por las fuerzas del campo es igual a la variación de la energía potencial cambiada de signo

EW)B(E)A(EW pppBA ∆−=⇒−=→

• Una característica de los campos conservativos es que puede definirse una magnitud denominada energía potencial

• Los cambios producidos en la energía potencial, indican el trabajo realizado por las fuerzas del campo

• Este trabajo no depende del camino recorrido sino de las posiciones inicial (A) y final (B) en las que se encuentra el cuerpo

rFEp→→

∆−=∆• Conocido el valor de la fuerza:

rdFEd p→→

−=• Considerando incrementos diferenciales:

rdFEp→→

∫−=• Integrando:

• Si se integra la fuerza del campo entre dos puntos A y B del campo gravitatorio, se obtiene la diferencia de potencial

EP r

• Para calcular su valor, basta con resolver:

rrr

E dmmGd p

→→= 2

21⇒−= →→rdFEd p

• La Energía potencial gravitatoria es cero cuando r tiende a infinito, y por tanto C = 0

r'mm

GEp −=Cr

'mmGErd

r

'mmGE p2p +−=⇒= ∫

• El trabajo realizado es máximo cuando los desplazamientos ( ) están en la misma dirección que , y así el producto escalar se reduce al producto de los módulos:

r→

rd→

rd→

r→

hR

mM

T

TGEp +

−=.

• La energía potencial de una masa a una cierta altura sobre la superficie de la Tierra es:

Cuando se trata de energías potenciales en realidad siempre se está calculando su diferencia entre dos puntos, tomando como referencia (valor cero) uno de ellos

En el caso del campo gravitatorio terrestre y para distancias cercanas a su superficie se puede tomar como referencia la propia superficie de la Tierra. De ahí sale la expresión Ep=m.g.h

• Por ser el campo gravitatorio conservativo, se puede definir una magnitud que depende únicamente del cuerpo m1 que crea el campo y no del m2 que se coloca como testigo

• Dicha magnitud se denomina potencial U y se obtiene así:

rm

GUrdgdU −=⇒−= →→

POTENCIAL GRAVITATORIO

)()()(T

TTpp R

mMG

T

mMGBEAE

hR−−−=−

+ )()()(

hRh T

hGmMBEAE Tpp +

−=−

)()()(

hRR TT

hGmMBEAE Tpp +

−=−)(

2

0)()(hRR TT

hRmgBEAE T

pp +−=−

Si estamos cerca de de la superficie de la Tierra o sobre ella h es mucho menor que RT y por tanto despreciable frente a ella:

hgmBEAE pp 0)()( =−

No se puede resolver un problema usando dos sistemas de referencia diferentes, así que mgh solo se emplea si todos los puntos del problema están muy cerca de la superficie de la Tierra y no hay ninguno en el espacio exterior.

Ep rRT

• Se obtiene de la misma forma que en el caso de la energía potencial

)hR(MG)P(UT

T+

−=

• Para un punto P situado a una altura h de la superficie:

• En la superficie, el potencial gravitatorio U0 será:

RMG)P(U

T

T−=

R

MGU

T

T0 −=

• Teniendo en cuenta los valores de G, MT y RT resulta:

U0 = − g0 R = − 6,2 . 107 J/kg

• La diferencia de potencial entre dos puntos A y B cuyas distancias al origen son rA y rB respectivamente es:

rm

Grm

G)B(U)A(UBA

+−=−

Potencial es energía potencial por unidad de masa introducida en el campo

Potencial es energía potencial por unidad de masa introducida en el campo

Forma de las trayectoriasForma de las trayectorias

Sol

• Dado que dentro de de un campo de fuerzas gravitatorio la energía potencial de un cuerpo siempre es negativa, y su energía cinética siempre positiva, la ET de ambas podrá ser negativa, nula o positiva

• Si es la mitad de la Ep rmM

G21ET −=

• Atendiendo al signo de dicha energía, la trayectoria descrita por el cuerpo, será una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola

CIRCUNFERENCIA

• Si es mayor que la anterior pero menor que cero

0ErmM

G21

T ⟨⟨− ELIPSE

PARÁBOLA

HIPÉRBOLA

• Si ET = 0 ⇒ Ec = Ep

• Si ET > 0 ⇒ Ec > Ep

SATÉLITES ARTIFICIALES: ENERGÍA TOTAL Y ENERGÍA DE SATELIZACIÓNSATÉLITES ARTIFICIALES: ENERGÍA TOTAL Y ENERGÍA DE SATELIZACIÓN

Cálculo de la velocidad del satélite en la órbita

Cálculo de las energías cinética y potencial

Cálculo de la energía total del satélite en órbita

Cálculo de la energía de satelización por el Principio de conservación de la energía

rMGv

rvm

rmMGFF T2

2

2T

c =⇒=⇒∑ =

⇒==rmMG

2

1vm

2

1E T2

c

rmMGE T

p −=

⇒−=−=r2mMG

rmMG

r2mMGE TTT

r2mMGE T

c =

r2mMGE T−=

E0 = Ef ⇒ Ec,0 + Ep,0 = Ec,f + Ep,f

r2mMG

RmMGE T

T

T,c 0 −=−

⇒−

=r2

1R1

mMGET

T,c 0

FF CG

→→=

FG

→

• A partir del valor de la Ec de satelización, la v0 de lanzamiento necesaria para ponerlo en órbita circular desde la superficie terrestre, es:

⇒−

==r2

1R1

mMGvm2

1E

TT

2,c 00

−

=r2

1R1

MG2vT

T0

Velocidad de lanzamiento de un satélite

Velocidad de escape de un satélite

• Para que el satélite escape de la atracción terrestre,

supondremos que se marcha al infinito, (r es infinito), y

la energía de escape será:

RmM

GET

Te =

• La velocidad de escape será:

R

MG2v

T

T0 =

R

MGg

2T

T0 =

⇒ Rg2v T00 =