2f 02 b movimiento ondulatorio

14/01/13 IPEP de Cádiz Departamento de Física y Química Física 2º

1

Movimientoondulatorio

Ondas

Velocidad de las ondas mecánicas

Ondas sonorasVelocidad de las ondas sonoras

Características de las ondas armónicas

Contaminación acústica

Cualidades del sonido

Tema 5: MOVIMIENTO ONDULATORIO

Ondas mecánicas

Ondas armónicas

Mecanismo de formación de las ondas sonoras

Función de onda

Energía de una onda armónica


2

Ondas en Flash

Ondas Proyecto Newton 2º Bach

Ondas Proyecto Newton 4º ESO

http://web.educastur.princast.es/proyectos/fisquiweb/MovOnd/index.htm

http://newton.cnice.mec.es/materiales_didacticos/ondas2/ondas-objetivos.html


3

1. Ondas

Más de una vez hemos visto las ondas producidas en la superficie del agua de un estanque al dejar caer sobre ella un objeto,o las formadas en una cuerda cuando la sacudimos. Igualmente conocemos las ondas sísmicas de tan catastróficos efectos y oímos el toque de las campanas de una iglesia cercana (ondas sonoras) .

¿Qué tienen en común todas estas ondas? ¿Qué las caracteriza?

Imaginemos la superficie del agua de un estanque.

Dejamos caer una piedra .

Vamos a fijarnos en algunas de las partículas del agua .

►No se realiza un transporte neto de las partículas del agua (lo que bajan,lo suben)

►Hay una transmisión de la energía que la piedra comunicó a la primera partícula y de esta al resto de las partículas, que oscilan como lo hizo la primera.

Un movimiento ondulatorio es una forma de transmisión de energía, sin transporte neto de materia, mediante la propagación de una perturbación.

A esta perturbación que se propaga a través de las partículas del medio se la denomina onda.

►Existe un cierto retraso entre el instante en que se produce la llegada de la piedra al agua y el instante en que la perturbación producida llega a las partículas más alejadas.


4

1. Ondas (Cont.)

Las ondas de radio, la luz, las ondas de televisión, el sonido, las ondas en una cuerda de guitarra, las ondas en la corteza de la Tierra (ondas sísmicas), las microondas, los rayos infrarrojos, … son ejemplos de movimientos ondulatorios.

Todos los fenómenos anteriores, de muy diverso origen, son tratados por la Física como fenómenos de naturaleza ondulatoria.

Podemos establecer una primera clasificación de las ondas:

Ondas mecánicas Ondas electromagnéticas

Propagación de una perturbación de tipo mecánico a través de un medio material elástico por el que se transmite la energía mecánica. El medio material, que puede ser aire, agua, una cuerda, …. , es indispensable para que exista la onda.

Transmisión de energía electromagnética mediante la propagación de dos campos oscilatorios, el eléctrico y el magnético, que no requiere medio físico ya que son variaciones periódicas del estado eléctrico y magnético del espacio, que también se propagan en el vacío

El sonido es una onda mecánica, que requiere la presencia del aire para propagarse.

La luz es una onda electromagnética.


5

1. Ondas (Cont.)

Según el número de dimensiones en que tiene lugar la propagación de las ondas, podemos clasificarlas en:

●Tridimensionales, cuando se propagan en las tres direcciones del espacio.

●Unidimensionales, cuando se propagan en una sola dirección (línea recta)

●Bidimensionales, cuando se propagan en dos direcciones (plano)

Una onda esférica es aquella onda tridimensional que se propaga a la misma velocidad en todas direcciones. Se llama onda esférica porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas, cuyos centros coinciden con la posición de la fuente de perturbación.Las ondas sonoras son ondas esféricas cuando se propagan a través de un medio homogéneo, como el aire o el agua en reposo. También la luz se propaga en forma de ondas esféricas en el aire, el agua, o a través del vacío.


6

2. Ondas mecánicas

En esta unidad dedicaremos nuestra atención a las ondas mecánicas, aunque muchos de los conceptos y propiedades de éstas son aplicables a las ondas electromagnéticas. Estas las veremos en la unidad 10, La luz

Podemos clasificar las ondas mecánicas teniendo en cuenta la dirección de propagación de la onda en relación con el movimiento de las partículas del medio.

Ondas transversales Ondas longitudinales

Una onda es transversal si su dirección de propagación es perpendicular a la dirección de la oscilación que provoca en las partículas del medio

Una onda es longitudinal si su dirección de propagación es paralela a la dirección de la oscilación que provoca en las partículas del medio

APPLET Educaplus

Ondas transversales Proyecto Newton

Ondas longitudinales Proyecto Newton

La luz es una onda transversal El sonido es una onda longitudinal

Ondas CNICE


7

2.1. Velocidad de las ondas mecánicas

La velocidad de propagación de una onda es el cociente de dividir la distancia que avanza la onda entre el tiempo que emplea para ello.

Es la rapidez con que se desplaza la onda.

La velocidad de propagación de una onda mecánica depende de las propiedades del medio.

La velocidad de propagación v de las ondas transversales en una cuerda depende de la tensíon T de ésta y de su densidad lineal μ (masa m por unidad de longitud L)

Tv =

µLas ondas transversales mecánicas sólo pueden propagarse a través de medios sólidos, donde la rigidez de éstos permite el desarrollo de fuerzas recuperadoras o en la superficie de los líquidos.

La velocidad de propagación de la sondas longitudinales en sólidos depende de la constante elástica del medio y de su densidad, ya que las ondas longitudinales provocan contracciones y dilataciones en las partículas del sólido.


8

2.1. Velocidad de las ondas mecánicas (Cont.)

En un medio sólido, la velocidad de propagación de las ondas longitudinales es mayor que la de las ondas transversales.

La velocidad de propagación de la sondas longitudinales en los fluidos (líquidos y gases) depende del módulo de compresibilidad y de la densidad del medio.

La velocidad de propagación de las ondas sonoras es independiente de la fuente sonora que lo produce; sólo depende de las características del medio de propagación:

Ev

d=

E = módulo de Young

d = densidad del sólido

Qv

d=

Q = módulo de compresibilidad

d = densidad del líquido

del líquidodel sólido

Pv

d

γ ×=

P = presión del gas

R Tv

M

γ × ×=

γ = Coeficiente adiabático del gas

d = densidad del gas

T = temperatura absoluta del gas

R = Constante de los gases

En los sólidos En los líquidos En los gases

M = Masa molar del gas


9

Actividad 1 Calcular la velocidad de propagación de un pulso de onda en una cuerda de 3,00 m de longitud y 135 g de masa, si de ella cuelga un cuerpo de 4,00 kg (ver figura)

La fuerza que el cuerpo ejerce sobre la cuerda es igual y opuesta a la que la cuerda ejerce sobre el bloque (tensión). Y esta tiene el mismo valor que el peso del cuerpo.

Datos: L = 3,00 m ; m = 135 g ; mC = 4,00 kg ; g=9,8 m/s2

pr

mC

Tr

La velocidad de una onda transversal ( o de un pulso) en una cuerda nos viene dada por la expresión:

Tv =

µT= tensión que soporta la cuerda

μ= densidad lineal de la cuerda

CT p m g= = × 4 9,8= × 39, 2 N=La densidad lineal de la cuerda es el cociente entre su masa y su longitud:

m

Lµ = kg0,135

0,0453 m

= =

m = 0,135 kg

Ya podemos calcular la velocidad de propagación del pulso en la cuerda:

39, 2v

0,045= m

29,5s

=


10

3. Ondas armónicas

De entre todos los movimientos ondulatorios, nos interesan en especial, los movimientos ondulatorios armónicos, que se caracterizan porque las partículas del medio vibran con un MAS

Llamamos ondas armónicas a las que tienen su origen en las perturbaciones periódicas producidas en un medio elástico por un movimiento armónico simple

3.1. Características de las ondas armónicas

Amplitud A es valor máximo de la elongación. En el S.I. se mide en m

Periodo T es el tiempo que emplea el movimiento ondulatorio en avanzar una longitud de onda o bien el tiempo que emplea un punto del medio en realizar una oscilación completa. En el S.I. se mide en s

Frecuencia f es el número de ondas que pasan por un punto del medio en la unidad de tiempo. En el S.I. se mide en Hertzios (Hz) o s –1.

Es la inversa del periodo: 1f

T=

1T

f=

Longitud de onda λ es la distancia mínima entre dos puntos consecutivos que se hallan en el mismo estado de vibración. En el S.I. se mide en m

De lo anterior deducimos que la velocidad de propagación v es:

vT

λ= v f= λ ×

Ondas CNICE


11

3.2. Función de onda

y (m)

x(m)0

+A

– A

Foco

Propagación de la onda a la velocidad v

Supongamos una onda armónica unidimensional que se propaga a lo largo del eje x con una velocidad v

El foco es el punto o centro emisor de la onda. En él se produce la perturbación que se va a propagar a los otros puntos del medio

Como se trata de una onda armónica, el estado de vibración del foco nos viene dado por la ecuación del MAS:

0y A sen (ω t φ )= × × +y A senω t= × ×

P

x

El punto P, alejado una distancia x del foco, también ejecutará un MAS pero con cierto retraso t’:

Si suponemos nula la fase inicial

xt '

v=

El estado de vibración (la elongación) del punto P en el instante t será el mismo que tenía el foco en el instante t – t’:

y(x, t) A senω (t t ')= × × −x

y(x, t) A senω (t )v

= × × −Teniendo en cuenta el valor de t’:


12

3.2. Función de onda (Cont.)

y (m)

x(m)0

+A

– A

Foco

Propagación de la onda a la velocidad v

P

x

xy(x, t) A senω (t )

v= × × −

ω xy(x, t) A sen (ω t )

v

×= × × −

2πx

Tv

×=

2π x

λ

×= k x= ×Número de ondas

Podemos concluir que el estado de vibración de un punto cualquiera P del medio nos viene dado por la ecuación:

y(x, t) A sen (ω t k x)= × × − ×0y(x, t) A sen (ω t k x φ )= × × − × + Si no hubiésemos considerado

nula la fase inicial

Esta ecuación es la ecuación del movimiento ondulatorio o función de onda, que nos permite calcular para un instante t el valor de la elongación y de cualquier punto del medio x.

Número de ondas k: representa el número de longitudes de ondas que caben en 2π metros. En el S.I. se mide en m-1

ω x

v

×

2π x

v T

×=×

0y(x, t) A sen (ω t k x φ )= × × + × + Si la propagación es en el sentido negativo del eje X

Ponemos ω dentro del paréntesis:


13

0y(x, t) A sen (ω t k x φ )= × × − × +

La ecuación del movimiento ondulatorio o la función de onda se puede expresar de diversas maneras:

En función de ω y k

0

2π 2πy(x, t) A sen ( t xφ )

Tλ= × × − × + En función deT y λ

'0

t xy(x, t) A sen 2π ( φ )

Tλ= × × × − + En función de T y λ

'0

xy(x, t) A sen 2π (f t φ )

λ= × × × × − + En función de f y λ

3.2. Función de onda (Cont2.)

0

2π xy(x, t) A sen (2π f t φ )

λ

×= × × × × − + En función de f y λ

2πω

T=

2πk

λ=

2π 2π

1f

T=


14

0y(x, t) A cos (ω t k x φ )= × × − × +

3.2. Función de onda (Cont3.)

Elegir una forma u otra depende de las condiciones iniciales del movimiento.

Como:π

senα cos (α )2

= −

y(x, t) A sen (ω t k x)= × × − ×π

y(x, t) A cos (ω t k x )2

= × × − × −

La ecuación del movimiento ondulatorio o la función de onda se puede expresar también en función del coseno:

0y(x, t) A sen (k xω t φ )= × × − × +

Por último, la función de onda que describe la propagación de una onda en el sentido positivo del eje X, también se puede expresar como:

encontrándonos primero el término espacial k · x y en segundo lugar el término temporal ω · t , lo que también será determinado por las condiciones iniciales del movimiento.


15

MAGNITUD SÍMBOLO UNIDAD S.I. RELACIONES

Longitud de onda λ m

Velocidad de propagación

v

Periodo T s

Frecuencia f Hz

Frecuencia angular o pulsación ω

Número de ondas k

λvλ f

T= = ×

1mm s

s−= ×

λ ωvλ f

T k= = × =

1T

f=

1f

T=

1rads

s−=

22 f

T

πω = = π×

1m− 2k

π=λ

Tabla resumen de las magnitudes características de las ondas


16

Ejercicio 13 de la página 124

Datos: λ = 20 cm = 0,20 m; f = 1750 Hz

La velocidad de propagación en función de la longitud de onda y de la frecuencia f ,es:

vλ f= × 0,20 1750= × m350

s=


17

Ejercicio 15 de la página 128 Datos: y = 0,03 ·sen ( 3,5 t – 2,2 x) en unidades S.I.

a) Comparando la ecuación que nos dan, con la ecuación general obtenemos los siguientes datos :

y = A ·sen ( ω t – k x + φo )La amplitud A = 0,03 m

La pulsación ω = 3,5 rad·s –1

El número de ondas k = 2,2 m –1

La fase inicial φo = 0 rad

Como :

Cálculo de la longitud de onda λ

2k

π=λ

despejamos la longitud de onda:

2

k

πλ =2

2,2

π= 2,86 m=

b) Cálculo del periodo T:

Como:2

T

πω = despejamos el periodo: 2

Tπ=

ω2

3,5

π= 1,8 s=

c) Cálculo de la velocidad de propagación:

Se propaga hacia la derecha

La velocidad de propagación la podemos calcular mediante la expresión:

vT

λ= 2,86

1,8= m

1,6s

=


18

Cont. y = 0,03 ·sen ( 3,5 t – 2,2 x) en unidades S.I.

A = 0,03 m ω = 3,5 rad·s –1 k = 2,2 m –1

También hemos podido calcular la velocidad de propagación a partir de la pulsación ω y del número de ondas k

vk

ω=3,5

2,2= m

1,6s

=

d) Cálculo de la velocidad máxima de vibración de un punto de la cuerda:

Nos piden ahora la velocidad máxima de vibración de cualquier punto de la cuerda, que es distinta de la velocidad de propagación de la onda, que hemos calculado en el apartado anterior.

La expresión general de la velocidad de vibración la obtenemos derivando respecto al tiempo la función de onda:

vy = A · ω· cos (ω t – k x + φo)

Sustituyendo en ella A, ω , k y φo tendremos la ecuación de la velocidad de vibración de cualquier punto:

vy = 0,03 · 3,5 · cos (3,5 t – 2,2 x + 0)

El valor máximo que toma la velocidad de vibración es cuando en las expresiones anteriores el coseno vale la unidad:

Vy máxima = A · ω = 0,03 ·3,5 = 0,105 m/s

1

1


19

Ejercicio 19 de la página 128Datos: eje X negativo; λ = 20 cm = 0,20 m; f = 25 Hz; A = 3 cm = 0,03 m;

a) La velocidad de propagación es:

vλ f= ×

λv

T=

ωv

k=

0,20 25= × 1m5 5 m s

s−= = ×

b) La ecuación general de la onda es: 0y(x, t) A sen (ω t k x φ )= × × + × +

Necesitamos,por tanto, conocer la amplitud A, la pulsación ω , el número de ondas k y la fase inicial φo para obtener la ecuación que nos piden.

El signo entre ω t y k x es positivo porque se propaga en el sentido negativo del eje X• La amplitud es un dato A= 0,03 m

También hemos podido utilizar estas otras fórmulas para calcular la velocidad

• La pulsación ω la calculamos a partir de la frecuencia:

ω 2π f= × 12π 25 50π rad s−= × = ×• El número de ondas k lo calculamos a partir de la longitud de onda:

2k

π=λ

1210 m

0, 2−π= = π

• La fase inicial φ0 supondremos que vale 0, ya que no nos dan datos para calcularla.Por tanto la ecuación que nos piden la obtenemos sustituyendo estos valores en la ecuación general:

y (x,t)= A ·sen (ω t + k x + φo) = 0,03 ·sen (50 π t + 10π x) en unidades S.I.


20

c) La ecuación general de la velocidad de vibración de las partículas es:

Ejercicio 19 de la página 128 (Cont.)

vy (x,t) = A · ω· cos (ω t + k x + φo)

y la aceleración con la que vibran las partículas responde a la ecuación:

a (x,t) = –A · ω2 · sen (ω t + k x + φo)

y como el valor máximo que puede tomar el seno o el coseno de un ángulo es 1, la velocidad y aceleración máximas serán:

vmáxima = ± A · ω = 0,03 ·50 π = ± 1,5 π m/s = ± 4,7 m/s

amáxima = ± A · ω2 = ± 0,03 ·(50 π)2 = ± 75 π2 m/s2 = ± 740 m/s2


21

El signo – nos indica que la onda se propaga en el sentido POSITIVO del eje X, hacia la derecha

La función de onda de una onda armónica en una cuerda es:

Determina:

Actividad 2:y(x, t) 0,08 sen (20 x 30 t) en unidades SI= × × − ×

a) En qué sentido se mueve la onda y con que velocidad.

0y(x, t) A sen (k xω t φ )= × × − × +El valor de la velocidad es:

vk

ω= 30

20= m

1,5s

=

b) La longitud de onda y la frecuencia.

Como :2

kπ=

λdespejamos la longitud de onda:

2

k

πλ = 2

20

π= 0,31 m=

Como : 2 fω = π despejamos la frecuencia: 0,21 Hz=2f

π=ω

2

30

π=c) Las ecuaciones de la velocidad y la aceleración en función del tiempo para una partícula de la cuerda que se encuentra en el punto x = 5 cm .

Las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración son, en unidades del SI:

yv (x, t) 0,08 30 cos (20 x 30 t)= × × × − ×72 sen (20 x 30 t)=− × × − ×

Para x= 5 cm = 0,05 m:

yv (0'05, t) 2,4 cos (20 0,05 30 t)= × × − ×

ya (0'05, t) 72 sen (20 0,05 30 t)=− × × − ×

2,4 cos (20 x 30 t)= × × − ×2

ya (x, t) 0,08 30 sen (20 x 30 t)=− × × × − ×

2,4 cos (1 30 t)= × − ×

72 sen (1 30 t)=− × − ×


22

Actividad 3 Una onda armónica se propaga de derecha a izquierda por una cuerda con una velocidad de 8 m·s–1. Su periodo es de 0,5 s y su amplitud 0,3 m.

a) Escribir la ecuación de la onda, razonando cómo obtener el valor de cada una de los parámetros que intervienen en ella.

La ecuación general de una onda armónica que se propaga de derecha a izquierda es:

0y(x, t) A sen (ω t k x φ )= × ×+ × +y (x,t) = elongación del punto x en el instante tA = Amplitudω = Pulsación

φ0= Fase inicial● Según los datos: A = 0,3 m

k = Número de ondas

● Como nos dan el periodo: T = 0,5 s , podemos calcular la pulsación:2

T

πω = 2

0,5

π= rad4

s= π

● A partir de la pulsación y la velocidad v = 8 m·s–1 podemos calcular el número de ondas k:

vk

ω= kv

ω= 4

8

π= 1m2

−π=

● Como no nos dicen nada acerca de la posición de la partícula-foco en el instante inicial, supondremos que la fase inicial es 0 rad:

● La ecuación que nos piden, en unidades SI,es:π

y(x, t) 0,3 sen (4π t x)2

= × ×+ ×

b) Calcular la velocidad de una partícula de la cuerda situada en x = 2 m en el instante t = 1 s.


23

Actividad (Cont.)

A partir de la ecuación de la elongación, derivando respecto del tiempo, podemos escribir la ecuación general de la velocidad de cualquier partícula de la cuerda, en unidades del SI:

πy(x, t) 0,3 sen (4π t x)

2= × ×+ ×

y

πv (x, t) 0,3 4π cos (4π t x)

2= × × ×+ × π

1,2π cos (4π t x)2

= × ×+ ×

La partícula de la cuerda situada en el punto x = 2 m en el instante t = 1 s, tendrá una velocidad que calcularemos a partir de la ecuación anterior, sustituyendo x por 2 y t por 1:

y

πv (2,1) 1,2π cos (4π 1 2)

2= × ×+ × 1,2π cos (5π)= × 1,2π ( 1)= ×− =

m1,2π

s=−

(Ejercicio propuesto en las PAU de Andalucía el curso 08-09)


24

La expresión matemática obtenida para la función de onda y (x,t) revela una importante propiedad: el movimiento ondulatorio armónico sigue una ley doblemente periódica.

Es decir, se trata de una función y de dos variables x y t, lo que significa que el valor de y depende tanto del tiempo t como de la posición x del medio que consideremos.

Periodicidad respecto a la posición

Para un instante determinado, la elongación y es una función sinusoidal de la posición x, cuyo

periodo es la longitud de onda λLas partículas separadas por un número entero de longitudes de ondas : x , x + λ , x + 2λ , x + 3λ , x +4 λ , x + 5 λ , …. están en fase.

Si están separadas por un número impar de medias longitudes de ondas: x, x+ , x+ 3 ….. están en oposición de fase

y (m)

x(m)0

+A

– A

λ

λ

λ

λλ

2

2

λ2

λ

Doble periodicidad de la función de onda

y ( x , t) = y (x + n· λ , t)


25

Periodicidad respecto al tiempo

Para una posición fija, la elongación y es una función sinusoidal del tiempo t, cuyo periodo

es T

y (m)

t(s)0

+A

– A

T

T

T

T

Los estados de vibración de una partícula para tiempos que difieren en un número entero de

periodos: t , t + T , t + 2 T, t + 3 T ,…. están en fase.

Si los tiempos difieren un número impar de semiperiodos: t , t + , t + 3 están en oposición de fase

T

2

T

2

y ( x , t) = y (x , t + n · T )


26

Actividad 4

y(x, t) 5 senπ (8 t 1,57 x)= × ×+ ×Tenemos la ecuación de una onda armónica:

x e y en cmt en sDeterminar:

a) Dos partículas del medio que estén en concordancia de fase con la partícula que se encuentra en el punto x = 0,85 cm

Estarán en fase todas las partículas que distan de x=0,85 cm un número entero de longitudes de ondas.Por tanto, tenemos que calcular la longitud de onda λ :

0y(x, t) A sen (ω t k x φ )= × × + × +

Como :2

kπ=

λdespejamos la longitud de onda:

2

k

πλ =2

1,57

π= 4 cm=

Estarán en fase con la partícula situada en x = 0,85 cm las partículas situadas en:

x = 0,85 + 4 = 4,85 cm ; x = 0,85 + 2 ·4 = 8,85 cm ; en general : x = (0,85 + n ·4) cm

b) La elongación del punto x = 0,85 cm en el instante t = 0,5 s.

Sustituimos estos valores en la ecuación de la onda para obtener la elongación y :

y(0'85,0'5) 5 senπ (8 0,5 1,57 0,85)= × × + × 5 senπ (4 1,34)= × + =

5 sen (5,34π)= × 5 ( 0,88)= × − 4,4 cm=−

c) Dos instantes posteriores en los que esta partícula tenga la misma elongación.


27

Actividad 4 (Cont.)

y(x, t) 5 senπ (8 t 1,57 x)= × ×+ × x e y en cmt en s

La partícula situada en x = 0,85 cm tendrá la misma elongación en todos los instantes que

difieran de 0, 5 s un número entero de periodos T.

Por tanto, tenemos que calcular el periodo T :

0y(x, t) A sen (ω t k x φ )= × × + × +Como :

2

T

πω = despejamos el periodo: 2

Tπ=

ω2

8

π= 0,79 s=

La partícula situada en x = 0,85 cm tendrá la misma elongación en los instantes

t = 0,5 + 0,79 = 1,29 s ; t = 0,5 + 2 · 0,79 = 2,08 s ; en general : t = (0,5 + n ·0,79) s

d) ¿Qué desfase existe entre los puntos x1 = 0,85 cm y x2 = 2,85 cm en cualquier instante.

Para x1 la fase en cualquier instante t vale:

3,14 rad=

1 1 0φ (ω t k x φ )= × + × +Para x2 la fase en cualquier instante t vale: 2 2 0φ (ω t k x φ )= × + × +

El desfase o diferencia de fase es:

2 1Δφ φ φ= − 2 0(ω t k x φ )= × + × +1 0(ω t k x φ )− × + × + 2 1k (x x )= −

Sustituyendo por sus valores podemos calcular el desfase: 1

Δφ 1,57 (2,85 0,85) cmcm

= × −Estos puntos estarán siempre en oposición de fase


2814/01/13 IPFA Cádiz Departamento de Física y Química 28

3.3. Energía de una onda armónicaCuando una onda armónica se propaga por un medio, cada partícula del medio se ve sometida a un movimiento armónico simple MAS.

Como vimos en el tema anterior, cada partícula tiene energía mecánica, suma de la cinética ( que tiene por estar en movimiento) y la potencial elástica ( como consecuencia de estar sometida a una fuerza conservativa)

Si recordamos lo que vimos en el tema anterior: 21E k A

2= × ×

2kω m= ×Como: ( ) 22π f m= × × 2 24π f m= × ×Sustituyendo en la expresión de la energía mecánica:

21E k A

2= × × 2 2 21

4π f m A2

= × × × × 2 2 2E 2π m A f= × × ×La energía transmitida por una onda armónica es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud A y al cuadrado de la frecuencia f

A partir de la energía podemos, dividiendo por el tiempo Δt, calcular la potencia P de la onda:

EP

Δt=

2 2 22π mA f

Δt= En el S.I. se mide en vatios (W)


2929

Intensidad de las ondas

Rayo (recta que indica la dirección de propagación de la onda)

λ

λ

Frentes de onda esféricos (conjunto de puntos que en un momento vibran en concordancia de fase)

R1

R2

Foco

En la figura se representa una onda que se propaga por el espacio con frentes de onda esféricos.

La dirección de propagación de la onda es perpendicular al frente de onda y su velocidad es la misma en todas las direcciones radiales.

En un instante determinado t la onda ha alcanzado todos los puntos de una esfera de radio R1

Con cierto retraso el movimiento ondulatorio va alcanzando otros frentes de onda de radio cada vez mayor, como R2 .

Las partículas del frente de onda van recibiendo la energía procedente del foco, que se reparte entre todas las partículas. A medida que aumenta el radio del frente de onda, es mayor el número de partículas e irá disminuyendo la energía que recibe cada una. Teniendo en cuenta esto, introducimos una nueva magnitud, la intensidad.

Llamamos intensidad I de una onda a la energía que atraviesa por unidad de tiempo una superficie unidad perpendicular a la dirección de propagación de la onda.

Matemáticamente, se expresa:

E

Δt S=

×P

S=

P = Potencia de la onda

S = Área de la superficie

Unidad en el S.I.

2

J

sm 2

W

m= 2W m−= ×

Porción del frente de onda

•

E

ΔtIS

=E

Δt=


3030

Intensidad de las ondas (Cont.)

•

λ

λ

Frentes de onda esféricos (conjunto de puntos que en un momento vibran en concordancia de fase)

R1

R2

Foco

Veamos como disminuye la intensidad de la onda a medida que nos vamos alejando del foco.

Fijémonos en las superficies esféricas de radio R1 y R2 en un instante.

La intensidad en cada superficie será:

1 21

EI

Δt 4πR=

× 2 22

EI

Δt 4πR=

×ya que la energía que procede del foco es la misma para todas las superficies.

Dividiendo ambas ecuaciones, obtenemos:

21 1

222

E

IΔt 4πREI

Δt 4πR

×=

×

21 2

22 1

I R

I R=

La intensidad de un movimiento ondulatorio, cuyos frentes de ondas sean esféricos, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco.

Como hemos visto que la energía E es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud A: 2 2 2E 2π m A f= × × × y la intensidad I es directamente proporcional a la energía E , podemos

poner que:

2 21 22 22 1

A R

A R= 1 2

2 1

A R

A R=

La amplitud de un movimiento ondulatorio, cuyos frentes de ondas sean esféricos, es inversamente proporcional a la distancia al foco.

2I Aµ y por tanto:


3131

Rayos

Si los frentes de ondas son superficies planas, la intensidad y la amplitud de la onda no disminuyen con la distancia al foco; se mantienen constante pues la energía se propaga por superficies iguales.

Atenuación y absorción de las ondas

I0 I0

x = espesor del medioβ x

0I I e− ×= ×

Hemos visto que cuando la onda se aleja del foco, la energía propagada se distribuye en la superficie de los frentes de onda, cada vez con mayor número de partículas y en consecuencia cada partícula vibrará con menor energía. Este fenómeno se conoce con el nombre de atenuación de las ondas ( disminución natural de la energía).

En una dirección así veríamos a la onda:A

x

Por otra parte, el rozamiento de las partículas del medio y otras causas, producen una absorción de energía, cuya magnitud depende de la naturaleza del medio por el que se propaga la onda.

I0 I < I0

β = Coeficiente de absorción del medio. En el SI se mide en m–1 .

β

La intensidad de la onda se mantiene constante.No hay absorción.

La intensidad de la onda disminuye. Hay absorción.

La intensidad de la onda disminuye exponencialmente con el espesor del medio, según la ecuación:


32

Actividad 5 Una partícula transmite energía al medio elástico,homogéneo , isótropo y no absorbente que le rodea a razón de 20 J cada 5 s de forma continua. La amplitud de la vibración es de 3 cm a una distancia de 10 cm del foco emisor. Calcular:

a) La amplitud del movimiento ondulatorio en un punto que dista 40 cm del foco.

1 2

2 1

A R

A R=

Hemos visto que la amplitud es inversamente proporcional a la distancia:

1 12

2

A RA

R

×= 3 cm 10 cm

40 cm

×= 0,75 cm=

b) La intensidad de la onda en dicho punto.

Por definición:

2 22

EI

Δt 4πR=

× 2

20 J

5 s 4π (0,4m)=

× × 2

W2

m=

No es necesario expresar las distancias al foco en metros, pues se eliminan las unidades.

c) ¿A qué distancia, medida desde el foco, la intensidad de la onda es la mitad de la obtenida en el apartado anterior?

Hemos visto que la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:

2322

3 2

RI

I R=

22 2

33

I RR

I

×=2

2

2

W2 (40 cm)

mW

1m

×= 2 40 cm= × 56,6 cm=


33

Actividad 6 Calcular la velocidad del sonido en el aire a 27 °C.

Datos: el coeficiente adiabático del aire γ = 1,4 ; la constante de los gases R = 8,314 J

mol K×la masa molar del aire M = 28,9

R Tv

M

γ × ×=

g

molComo cualquier onda, la velocidad de propagación del sonido depende sólo de las características del medio por el que se propaga ( aire en este caso) y no de las de la fuente que lo emite.

Aplicamos la expresión que vimos en la diapositiva 8, expresando los datos en el S.I.:

3

J1,4 8,314 300K

mol Kkg

28,9 10mol

−

× ××=

×

J

kg

N m

kg

×=2

mkg m

skg

× ×= m

s=

T 27 273 300 K= + = 3g kgM 28,9 28,9 10

mol mol−= = ×

m347,2

s=


34

Actividad 7 ¿A qué temperatura la velocidad de propagación del sonido en el aire es de 340 m/s?

Datos: el coeficiente adiabático del aire γ = 1,4 ; la constante de los gases R = 8,314 J

mol K×la masa molar del aire :

R Tv

M

γ × ×=

A partir de la expresión anterior, despejamos la temperatura:

3g kgM 28,9 28,9 10

mol mol−= = ×

2v MT

R

×=γ ×

2 3m kg(340 ) 28,9 10

s molJ

1,4 8,314mol K

−× ×=

××

287 K=

t T 273 287 273 14 C= − = − = °


35

Actividad 8 Las ondas sonoras son audibles por el oído humano para frecuencias comprendidas entre 20 Hz y 20 000 Hz. Determinar las longitudes de ondas de los sonidos que oímos los humanos.

Dato: Tomar la velocidad del sonido en el aire : 340 m/s

Como cualquier onda, la velocidad de propagación de las ondas sonoras se relaciona con su longitud de onda y su frecuencia por la expresión:

v f= λ ×

Despejando podemos calcular la longitud de onda:

Para f = 20 Hz:v

fλ =

m340

s1

20s

= 17 m=

Para f = 20 Hz:v

fλ =

m340

s1

20000s

= 0,017 m= 1,7 cm=


36


37

Se denomina frente de onda al lugar geométrico en que los puntos del medio son alcanzados en un mismo instante por una determinada onda. Dada una onda propagándose en el espacio o sobre una superficie, los frentes de onda pueden visualizarse como superficies o líneas que se desplazan a lo largo

del tiempo alejándose de la fuente sin tocarse.


38

2.2. Energía del Oscilador armónico simple Hemos visto que un oscilador armónico es un sistema material que se mueve con movimiento armónico simple MAS.La energía mecánica que posee es CINÉTICA, porque está en movimiento y POTENCIAL ELÁSTICA, ya que el movimiento armónico es consecuencia de la acción de una fuerza conservativa (la fuerza elástica recuperadora).Energía cinética

La partícula de masa m que se mueve con una velocidad v tendrá una energía cinética:

21Ec m v

2= × × 2 2

0

1Ec k A cos (ωt φ )

2= × × × + 2 21

Ec k (A x )2

= × × −

Energía potencial elástica

Para un oscilador cuya constante elástica es k, la energía potencial elástica en el instante que su elongación es x vale:

21Ep k x

2= × × 2 2

0

1Ep k A sen (ωt φ )

2= × × × +

Energía mecánica

Es la suma de las dos anteriores: 21E k A

2= × ×

VOLVERAPPLET


39

http://www.retena.es/personales/lpastord/problemas/movimiento_armonico_simple.htm

http://www.retena.es/personales/lpastord/prueba_navegacion.htm

http://www.edu.aytolacoruna.es/aula/fisica/fisicaInteractiva/Ondasbachillerato/Ondas_bach_indice.htm

http://newton.cnice.mecd.es/4eso/ondas/ondas-transversales1.htm?1&0

2f 02 b movimiento ondulatorio

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