2f 01 gravitación4

01/14/13 IPEP Cádiz Departamento de Física y Química Física 2º 1

Gravitaciónen el

Universo

Campo gravitatoriode la Tierra

Movimiento de planetas y satélites

Intensidad del campogravitatorio terrestre

Descripción del movimiento de planetas y satélites

Leyes de Kepler

Energía potencialgravitatoria terrestre

Tema 3: GRAVITACIÓN EN EL UNIVERSO


1.Campo gravitatorio de la Tierra

El campo gravitatorio de la Tierra es la perturbación que ésta produce en el espacio que la rodea por el hecho de tener masa.

Lo estudiamos especialmente ya que sus efectos nos atañen directamente, aunque los resultados que obtengamos son aplicables a cualquier cuerpo celeste.

Como vimos en la unidad anterior, los campos gravitatorios quedan caracterizados por:

gr

● la intensidad de campo en cada punto

● el potencial V en cada punto


1.1. Intensidad del campo gravitatorio terrestre

P

r

gr u

r

En el punto P, que dista una distancia r del centro de la Tierra, el vector intensidad de campo es:

T2

Mg G u

r= − ×r r

donde MT es la masa de la Tierra.La distancia r la podemos poner en función del radio de la Tierra RT y de la altura h:

RT

h

r = RT + h

T2

T

Mg G u

(R h)= − ×

+r r

El módulo de este vector es:

T2

T

Mg G

(R h)=

+Para puntos situados sobre la superficie de la Tierra a nivel del mar donde h = 0:

T2

T

Mg G

R=


Actividad 1: Calcular el valor de la intensidad del campo gravitatorio sobre la superficie de la Tierra

Datos: MT= 5,98·1024 kg; RT = 6,37·106 m ; G = 6,67·10-11 2

2

N m

kg

×

T2T

Mg G

R= ×

2411

6 2

5,98 106,67 10

(6,37 10 )− ×= × ×

×N

9,83kg

=

Aplicamos la expresión anterior y sustituimos los datos:

¿Y en la cima del Everest, cuya altura es de 8 850 m ?

La distancia la centro de la Tierra es ahora: RT + h

T2

T

Mg G

(R h)= ×

+

2411

6 3 2

5,98 106,67 10

(6,37 10 8,85 10 )− ×= × ×

× + ×N

9,80kg

=


Peso de un cuerpoPeso de un cuerpo es la fuerza con que la Tierra (o el planeta en el que se encuentre) lo atrae.

rTierra ,cuerpoF p (peso)≡r r

Tierra

Cuerpo de masa m

pr

pr

El peso de un cuerpo está relacionado con la intensidad del campo gravitatorio de la Tierra (del planeta):

TTierra,cuerpo 2

M mF p G u

r

×= = − × ×r r r

La fuerza peso, al igual que la intensidad de campo, tiene en cualquier punto dirección radial y sentido dirigido hacia el centro de la Tierra.

p m· g=r r

El peso de cuerpo situado a cierta distancia de la Tierra puede:


►Hacer caer el objeto sobre la superficie terrestre

g

g

g

g

La caída tiene lugar con una aceleración a la que llamamos aceleración de la gravedad , que tiene el mismo valor que la intensidad del campo gravitatorio en ese punto.

g

gr

La aceleración de la gravedad (y la intensidad del campo gravitatorio ) no es constante sino que disminuye al aumentar la distancia al centro de la Tierra.

T2

Mg G u

r= − × ×r r


g =9 m/s2La aceleración de la gravedad (y la intensidad del campo gravitatorio ) no es constante sino que disminuye con la distancia al centro de la Tierra.

g =9,1 m/s2

g =9,2 m/s2

g =9,3 m/s2

g =9,4 m/s2

g =9,5 m/s2

g =9,6 m/s2

g =9,7 m/s2

g =9,8 m/s2


►Mantener el objeto o satélite en órbita alrededor de la Tierra.

pr

En este caso, el peso actúa como fuerza centrípeta

La fuerza centrípeta es imprescindible para que cualquier objeto describa una órbita cerrada ( circular, elíptica, … )

Esto ocurre con la Luna o con los satélites artificiales.

Applet Lanzamiento Newton

http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/newt/newtmtn.html


pr

¿Qué ocurriría si , en un instante determinado, la Tierra dejara de atraer al satélite?


Masa y Peso

Aunque en el lenguaje cotidiano confundimos ambas magnitudes: Mi peso es 60 kg, debemos diferenciarlas claramente.

La masa es una magnitud escalar propia de cada cuerpo que se refiere a la cantidad de materia que contiene e indica la resistencia que el cuerpo ofrece a ser acelerado.

Es constante y su valor no depende del lugar en el que se encuentre el cuerpo. Se mide en kg en el S.I.

Por el contrario, el peso es una magnitud vectorial que expresa la fuerza con que la Tierra lo atrae.

Se mide en N en el S.I. Su valor no es constante, ya que depende del lugar en el que se encuentre el cuerpo.

Ambas magnitudes está relacionadas: p m· g=r r


Variación de la gravedad y del peso con la altura

T0 2

T

Mg G

R= ×

h

T2

T

Mg G

(R h)= ×

+

Hemos visto que la aceleración de la gravedad y el peso varían con la altura.

Si llamamos g0 a la aceleración de la gravedad sobre la superficie de la Tierra y g al valor de la aceleración de la gravedad a una altura h:

Dividiendo ambas ecuaciones, obtendremos una expresión que nos relaciona a ambas aceleraciones.

0

g

g

G

=

TM× 2

T(R

G

h)+

TM× 2

TR

2

20 T

Tg

(

R

R )g h=

+

Para el peso nos vale la misma expresión. Basta cambiar la aceleración g por el peso p.


Actividad 2 : Un satélite artificial tiene una masa de 600 kg. Calcula su peso: a) en la superficie de la Tierra , b) a 800 km de altura

Datos: RT = 6 370 km = 6,37·106 m ; MT = 5,98· 1024 kg; G = 6,67·10─11

a) Como el peso de un cuerpo es la fuerza con que lo atrae la Tierra, aplicamos la ley de Newton de la Gravitación:

TTierra ,satélite 2

T

M mF p G

R

×≡ =

× 2

2

N m

kgh = 800 km = 8·105 m

TR

2411

6 2

5,98 10 6006,67 10

(6,37 10 )− × ×= ×

×5898 N=

b)Aplicamos la misma expresión anterior, pero teniendo en cuenta que la distancia es ahora mayor :

TR

h T2

T

M mp G

(R h)

×=+

2411

6 5 2

5,98 10 6006,67 10

(6,37 10 8 10 )− × ×= ×

× + ×4655 N=

2411T

2 6 2T

M 5,98 10 Ng G 6,67 10 9,83

R (6,37 10 ) kg− ×= = × =

× p m g 600 9,83 5898 N= × = × =

Otra forma: Calculamos primero el valor de g y después el peso p = m · g

Otra forma: Calculamos primero el valor de g y después el peso p = m · g

2411T

2 6 5 2T

M 5,98 10 Ng G 6,67 10 7,76

(R h) (6,37 10 8 10 ) kg− ×= = × =

+ × + ×p m g 600 7,76 4656 N= × = × =


Actividad 3 : Determinar a qué altura sobre la superficie de la Tierra debemos subir un cuerpo para su peso se reduzca un 20 %

Datos: RT = 6 370 km = 6,37·106 m

Para que el peso se reduzca un 20%, la aceleración de la gravedad debe reducirse en el mismo porcentaje.

g0

h

g Si debe de reducirse un 20%, a la altura h la aceleración g debe valer el 80% de g0:

g = 0,80 · g0

Sustituyendo en la expresión que obtuvimos en la diapositiva anterior:

2T

20 T

Rg

g (R h)=

+00,8 g×

0g

2T

2T

R

(R h)=

+

Resolviendo la ecuación anterior ,podemos calcular la altura h que nos piden:

TR (1 0,8)h

0,8

× −= 6370 (1 0,8)

0,8

× −= 752 km=


r

Un cuerpo de masa m sometido al campo gravitatorio terrestre, adquiere cierta energía potencial, que nos viene dada por la fórmula:

TM mEp G

r

×= −donde MT es la masa de la Tierra y r la distancia del cuerpo al centro de la Tierra.

RT

h

r = RT + h

T

T

M mEp G

R h

×= −+

Como vimos en la unidad anterior, a la energía potencial que tiene el cuerpo m cuando esté infinitamente alejada de la Tierra, le asignamos valor cero (La Tierra no interacciona con ella).

1.2. Energía potencial gravitatoria terrestre

Como podemos expresar r en función del radio de la Tierra y de la altura:

Cuando la masa m se acerca a la Tierra, su energía potencial debe disminuir y por tanto debe valer menos que cero. Esta es la razón por la que la energía potencia gravitatoria es siempre negativa ( excepto en el infinito que vale cero)

m


1.2. Energía potencial gravitatoria terrestre(Cont.)

m Para calcular la energía potencial gravitatoria en cursos anteriores se utilizaba la expresión: Ep m g h= × ×

Diferente a la que hemos visto este curso:

T

T

M mEp G

R h

×= −+

La primera expresión supone que la aceleración de la gravedad g es constante a diferentes alturas, lo cual no es cierto.

Por tanto, sólo podremos aplicar esa expresión para cuerpos que se encuentren cerca de la superficie terrestre, donde el valor de g no varía apreciablemente.

Esta ecuación se obtuvo asignando a la masa m una energía potencial nula cuando se encuentra sobre la Tierra. Al alejarse de ella, su energía potencial va aumentando y adquiriendo valores positivos.


1.2. Energía potencial gravitatoria terrestre

m

Ep m g h 0= × × =

T

T

M mEp G 0

R h

×= − <+

Ep m g h 0= × × >

T

T

M mEp G 0

R h

×= − <+

T

T

M mEp G 0

R h

×= − =+

Ep m g h 0= × × >

∞m m

Aumenta la energía potencial gravitatoria


Potencial gravitatorio terrestre

Como vimos en la unidad anterior, el potencial gravitatorio en un punto del campo gravitatorio terrestre es el trabajo que realiza la fuerza del campo gravitatorio para trasladar la unidad de masa desde dicho punto hasta el infinito.

PEl potencial gravitatorio que crea la Tierra en el punto P es:

TMV G

r= −

r

T

T

MV G

R h= −

+Como vimos en la unidad anterior, el trabajo para trasladar un cuerpo de masa m desde un punto A a otro B es:

BA A BW m (V V )= × −

siendo VA y VB el potencial gravitatorio en los puntos A y B.

Cuando expresamos r en función del radio de la Tierra y de la altura, el potencial es:

RT

h


Actividad 4: Calcular :a) el potencial gravitatorio terrestre en un punto A situado a 300 km de altura b) el trabajo que realizarán las fuerzas del campo al trasladar una masa de 2000 kg desde el punto anterior a otro en el que el potencial vale – 8·107 J/kg

a) El potencial gravitatorio que crea la Tierra en el punto A es:

TA

MV G

r= −

BA A BW m (V V )= × −

Datos: RT = 6 370 km = 6,37·106 m ; MT = 5,98· 1024 kg; G = 6,67·10─11 × 2

2

N m

kgh = 300 km = 3·105 m ; VB = – 8·107 J/kg

TR

hT

T

MGR h

= −+

2411 7

6 5

5,98 10 J6,67 10 5,98 10

6,37 10 3 10 kg− ×= − × = − ×

× + ×

b) Como vimos en el unidad2 y en la diapositiva anterior, el trabajo gravitatorio para trasladar un cuerpo de masa m desde un punto A a otro B es:

7 72000 [ 5,98 10 ( 8 10 )]= ×− × − − × = 72000 2,02 10× × = 104,04 10 J×

A


2. Movimientos de planetas y satélites

Para el estudio del movimiento de los planetas alrededor del sol o de los satélites (naturales o artificiales) alrededor de la Tierra, se introducen las siguientes magnitudes:

►Velocidad orbital

►Período de revolución

►Energía mecánica de traslación o energía de enlace

►Velocidad de escape

En el Sistema Solar los planetas se mueven alrededor del Sol en órbitas el´pticas de mayor o menor excentricidad. La excentricidad de la órbita de la Tierra es muy pequeña, de manera que la órbita es casi circular.

Los satélites también siguen este tipo de órbitas alrededor de sus correspondientes planetas.

2.1.Descripción del movimiento de planetas y satélites


►Velocidad orbitalEs la velocidad que tiene el planeta en su movimiento alrededor del Sol o del satélite alrededor del planeta.

Como la fuerza gravitatoria le proporciona al planeta o al satélite la fuerza centrípeta necesaria:

gravitatoria centrípetaF F=

T L2

M mG

r

× 2

L

vm

r= ×

La velocidad orbital es:TG M

vr

×=

Vemos que la velocidad orbital de la Luna NO DEPENDE de la masa de la Luna.

►Período de revolución o período orbital TEs el tiempo que tarda el planeta o el satélite en dar una vuelta completa

2π rT

v

×=

Fgravitatoria

distancia veloc tiempo= ×

2π r v T× = ×

r


►Energía mecánica de traslación o energía de enlace

Es la suma de la energía cinética más la energía potencial gravitatoria que tiene el planeta (o el satélite) en su movimiento orbital.

E Ec Ep= + 21 G M mm v

2 r

− × ×= × +

Si sustituimos la velocidad orbital v por el valor deducido en la diapositiva anterior, nos queda:

1 G M

2 rE

m× ×−=

La energía mecánica de traslación es pues negativa, ya que el planeta ( o el satélite) describe una órbita cerrada alrededor del Sol ( o del planeta)

Cuando un satélite cambia de órbita en ausencia de rozamiento, su energía mecánica se conserva:

órbita in ferior órbita in ferior órbita superior órbita superiorEc Ep Ec Ep+ = +


►Velocidad de escapeEs la velocidad ve que debe adquirir un cuerpo (un satélite artificial) para escapar de la atracción terrestre.

Se considera que un cuerpo escapa del campo gravitatorio terrestre cuando llega a una distancia infinita de la Tierra ( Ep = 0 ) con velocidad nula ( Ec = 0 )

Aplicando la conservación de la energía mecánica, nos queda:

órbita in ferior órbita in ferior órbita superior órbita superiorEc Ep Ec Ep+ = +

10 0 m

2+ = 2 T

e

G M mv

− × ×× +r

Obtenemos para la velocidad de escape, la expresión:

Te

2 G Mv

r

× ×=


Actividad 5: a) Hallar la velocidad de escape que debemos imprimir a un cohete de 600 kg de masa si queremos lanzarlo desde un punto situado sobre la superficie de la Tierra y a nivel del mar.

Te

2 G Mv

r

× ×=11 24

6

2 6,67 10 5,98 10

6,37 10

−× × × ×=×

m11.190

s=

b) ¿Cuánto valdría la velocidad de escape si la masa del cohete fuera 1200 kg?

ya que la velocidad de escape es independiente de la masa del cohete. Sólo influye la masa del planeta desde el cual queremos lanzar el cohete

m11.190

s

Datos: RT = 6,37·106 m; MT = 5,98· 1024 kg; G = 6,67·10–11 × 2

2

N m

kg

c) ¿Cuánto valdría la velocidad de escape si la plataforma de lanzamiento estuviese a 900 km de altura sobre la superficie de la Tierra?

Basta con aplicar la expresión que hemos obtenido en la diapositiva anterior:

h = 9·105 m

r = RT

r = RT + h

Te

T

2 G Mv

R h

× ×=+

11 24

6 5

2 6, 67 10 5,98 10

6,37 10 9 10

−× × × ×=× + ×

m10.475

s=

Aplicamos la misma fórmula anterior:


Primera Ley:

Todos los planetas se deslazan alrededor del Sol siguiendo una trayectoria elíptica, una elipse, en uno de cuyos focos se encuentra emplazado el Sol.

Eje menor

Eje mayor

semieje mayor FocosSol

Planeta

perihelioafelio

APPLET 1ªLey Fendt

Leyes de Kepler A.Franco

2.2.Leyes de KeplerYa las vimos al comienzo de la unidad 2. Son la descripción cinemática del movimiento de los planetas y satélites.

http://www.walter-fendt.de/ph14s/keplerlaw1_s.htm

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/kepler/kepler.htm




Tercera Ley:

Los cuadrados de los periodos siderales de revolución de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas elípticas.

Segunda Ley: La recta que une cada planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

tt

Áreas iguales

APPLET 2ªLey Fendt

APPLET 2ªLey

APPLET 3ªLey

aerolarv constante=r

2 3T k r= ×

http://www.walter-fendt.de/ph14s/keplerlaw2_s.htm

http://www.sociedadelainformacion.com/departfqtobarra/gravitacion/kepler/2kepler/KeplersLawssegunda.html

http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/gravitacion/kepler3/kepler3_indice.htm


Actividad 6: Según la 3ª ley de Kepler, el cuadrado del periodo de revolución de la Tierra es directamente proporcional al cubo del radio de su órbita ( considerada ésta como circular)

r

2 3T k r= ×Determinar de qué magnitudes depende la constante de proporcionalidad k.

La velocidad orbital de la Tierra es:

SolG Mv

r

×=

El periodo de revolución:

2π rT

v

×=

2 SolG Mv

r

×=

2π r

vT

×=

2 22

2

4π rv

T

×=

SolG M

r

× 2 2

2

4π r

T

×=2 3

2

Sol

4π rT

G M

×=×

2

Sol

4πk

G M=

×


Actividad 7: ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad de la 3ª ley de Kepler para cualquier planeta de nuestro sistema solar?

r

Sustituimos en la expresión obtenida en la dispositiva anterior:

2

Sol

4πk

G M=

×

Datos: MS = 1,98· 1030 kg; G = 6,67·10–11 × 2

2

N m

kg

2

11 30

4π

6,67 10 1,98 10−= =× × ×

219

3

s3 10

m−= ×

318

2

mk ' 3,35 10

s= ×


Actividades para el próximo día:

* 2, 3 y 6 de la página 79

* 10 de la página 81

* 13 y 14 de la página 83

* 15 y 16 de la página 85


Actividad 2, de la página 79La masa de un cuerpo es una propiedad intrínseca de éste e independiente del lugar donde se encuentra y de los cuerpos que le rodean. Por tanto, aunque el cuerpo se aleje de la superficie terrestre, su masa no cambia, es la misma que en cualquier otro lugar.

Su peso, por el contrario, es la fuerza con que la Tierra lo atrae. Esta fuerza es inversamente proporcional a la distancia al centro de la Tierra. Por lo tanto, si el cuerpo se aleja de la superficie ( asciende), su peso disminuye.

T0 2

T

M mp G

R

×= ×

h

T2

T

M mp G

(R h)

×= ×+


Actividad 3 de la página 79

Datos: h = 200 km = 2·105 m; RT = 6,37·106 m; MT = 5,98· 1024 kg;

G = 6,67·10─11 × 2

2

N m

kg

Hallamos el módulo del campo gravitatorio terrestre a una distancia del centro de la Tierra r = RT + h :

T2

Mg G

r= T

2T

MG

(R h)=

+

2411

6 5 2

5,98 106,67 10

(6,37 10 2 10 )− ×= × ×

× + ×N

9,24kg

=


Actividad 6 de la página 79

Datos: RT = 6,37·106 m;

Hallamos la altura a la cual el peso se reduce a la cuarta parte a partir de la expresión de la página 78 . En este caso la relación entre el peso p a una altura h y el peso p0 sobre la superficie de la Tierra es:

opp

4=

2T

20 T

Rp

p (R h)=

+

0p

0

4p

2T

2T

R

(R h)=

+

2T

2T

R1

4 (R h)=

+

Extraemos la raíz cuadrada a esta última ecuación: T

T

R1

2 R h=

+

Despejamos la altura h:T Th 2 R R= −

Si sustituimos en la expresión de la página 78:

TR= 66,37 10 m= ×


Actividad 10 de la página 81:Datos: m = 7 500 kg; hA = 4 200 km = 4,2· 106

m ; hB = 5 800 km = 5,8· 106 m ;

MT = 5,98· 1024 kg; RT = 6,37·106

m; G = 6,67·10-11

× 2

2

N m

kg

Si tomamos el origen del potencial en el infinito, el potencial gravitatorio creado por la Tierra en cada uno de los puntos será:

TgA

T A

MV G

R h= −

+

2411

6 6

5, 98 106, 67 10

6, 37 10 4, 2 10− ×= − × ×

× + ×7 J

3, 77 10kg

= − ×

kg

J1028,3

108,51037,6

1098,51067,6

hR

MGV 7

66

2411

BT

TgB ⋅−=

⋅+⋅⋅⋅⋅−=

+−= −

El trabajo realizado por el campo es igual a la disminución de energía potencial gravitatoria y lo podemos expresar en función del potencial en cada punto, como vimos antes:

BA gA gBW m (V V )= × − 7 77500 3, 77 10 ( 3, 28 10 ) = × − × − − × =

103, 68 10 J= − ×


Actividad 13 de la página 83:Datos: r = 8 500 km = 8,5· 106

m ; MT = 5,98· 1024 kg; G = 6,67·10-11

× 2

2

N m

kg

Calculamos la velocidad a la que el satélite describe su órbita, velocidad orbital, con la expresión :

11 24

6

6, 67 10 5, 98 10

8, 5 10

−× × ×=×

3 m6,85 10

s= ×

El período de revolución T lo calculamos en función de la distancia recorrida 2·π·r y la velocidad orbital v:

2 rT

v

×π×=6

3

2 8, 5 10

6,85 10

×π× ×=×

37,8 10 s= ×

pr

TG Mv

r

×=


Actividad 16 de la página 85:

Datos: v = 1 000 m/s; MT = 5,98· 1024 kg; RT = 6,37·106

m; G = 6,67·10-11

× 2

2

N m

kgEn ausencia de rozamientos, la energía mecánica se conserva, lo que significa que la energía mecánica Eo que tiene el objeto cuando se encuentra sobre la superficie

de la Tierra tiene que ser igual a la energía mecánica E que tenga cuando se encuentre en el punto más alto, con velocidad nula:

Eo = E Eco + Epo = Ec + Ep

2 T To

T T

G M m G M m1m v 02 R R h

− × × − × ×× + = ++

Sustituyendo cada término:

Y para calcular la altura h basta con despejarla de la expresión anterior:

T TT2

T T o

2 G M Rh R

2 G M R v

× × ×= − =× × − ×

11 24 66

11 24 6 2

2 6,76 10 5,98 10 6,37 106,37 10

2 6,67 10 5,98 10 6,37 10 1000

−

−

× × × × × ×= − ×× × × × − × ×

45,12 10 m= ×


Satélite geoestacionario: describe una órbita geoestacionaria

Una órbita geoestacionaria es una órbita geosíncrona directamente encima del ecuador terrestre

una órbita donde el satélite tiene un periodo orbital igual al periodo de rotación del objeto principal y en la misma dirección


Satélite geoestacionario

2f 01 gravitación4

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