1. definición de derivada

MATEMÀTIQUES I GRAU en ADE curs 2012-13

Professor: Josep E. Peris Ferrando 1

BLOQUE II: DERIVACIÓN

1. Definición de derivada 2. Interpretación de la derivada 3. Reglas de derivación 4. Relación entre derivabilidad y continuidad 5. Diferenciales: aproximación lineal 6. Derivación implícita 7. Derivadas de orden superior: aproximación cuadrática 8. Máximos y mínimos 9. Concavidad y convexidad 10. Representación gráfica de la función y = f(x)

1. Definición de derivada

1.1. Definición e idea intuitiva: límite de la pendiente de la secante

x 0

f(x x) f(x)

(x x) x

f(x x) f(x) f(x x) f(x)(x x) x x

f(x x) f(x)limxΔ →

+ Δ −

+ Δ −

+ Δ − + Δ −=

+ Δ − Δ

+ Δ −

Δ

Al límite del cociente incremental, si existe, se le llama derivada de la función f(x) en el punto x, y se representa por:

f’(x) [o, escribiendo y = f(x), se denota y’(x)] También se denota por:

df(x) dydx dx

o Imagen gráfica de cada concepto: cociente incremental = tangente del ángulo α = pendiente recta secante

incremento de la función

incremento de la variable cociente incremental

límite



límite = pendiente de la curva = pendiente de la recta tangente

1.2. Pasos para obtener la derivada por la definición NOTACIÓN: En vez de usar el símbolo xΔ , utilizaremos la letra h

h 0

f(x h) f(x)limh→

+ −

1) Calcular el incremento de la función: f(x h) f(x)+ −

2) Calcular el cociente incremental: f(x h) f(x)h

+ −

3) Calcular el límite de este cociente: h 0

f(x h) f(x)limh→

+ −

Ejemplos: a) f(x) = C (constante) para x cualquiera

x

α f(x)

x x+ Δ

f(x x)+Δ



b) f(x) = 2x – 1 para x cualquiera c) f(x) = 2x para x = 2, x cualquiera SOLUCIÓN: a) 1) incremento función f(x h) f(x) C C 0+ − = − =

2) cociente incremental f(x h) f(x) 00

h h+ −

= =

3) límite [ ]h 0 h 0

f(x h) f(x)lim lim 0 0h→ →

+ −= =

(la derivada de una constante vale cero) b) 1) incremento función [ ] [ ]f(x h) f(x) 2(x h) 1 2x 1 2h+ − = + − − − =

2) cociente incremental f(x h) f(x) 2h2

h h+ −

= =

3) límite [ ]h 0 h 0

f(x h) f(x)lim lim 2 2h→ →

+ −= =

(la derivada de la función f(x) 2x 1= − vale siempre dos, f '(x) 2= ) c) para x 2=

1) incremento función ( ) ( )2 2 2 2f(2 h) f(2) 2 h 2 4 4h h 4 4h h+ − = + − = + + − = +

2) cociente incremental 2f(x h) f(x) 4h h

4 hh h

+ − += = +

3) límite ( )h 0 h 0

f(x h) f(x)lim lim 4 h 4h→ →

+ −= + =

c) para x cualquiera: 1) incremento función

( )2 2 2 2 2 2f(x h) f(x) x h x x 2hx h x 2hx h+ − = + − = + + − = +

2) cociente incremental 2f(x h) f(x) 2xh h2x h

h h+ − +

= = +

3) límite ( )h 0 h 0

f(x h) f(x)lim lim 2x h 2xh→ →

+ −= + =

(la derivada de la función 2f(x) x= vale siempre f '(x) 2x= ) Ejercicio: Calcula la pendiente de la parábola 2y x= en el punto x 1= − . Calcula la ecuación de la recta tangente en dicho punto SOLUCIÓN: a) la pendiente viene definida por la derivada en el punto que nos dan: 2f(x) x f '(x) 2x f '( 1) 2 m 2= = − = − = − b) el punto por el que pasa es:



2x 1 y f( 1) ( 1) 1 punto : ( 1,1)= − = − = − = − c) recta con pendiente conocida que pasa por un punto y 1 ( 2)(x ( 1)) 2x 2 y 2x 1− = − − − = − − = − −

2. Interpretación de la derivada

2.1. Aplicación: velocidad, tasa de cambio, ... En el mundo físico, sabemos que la velocidad es el espacio dividido por el tiempo:

velocidad media = desplazamiento s(t h) s(t)tiempo utilizado h

+ −= = cociente incremental

Ej: en 3 horas hemos recorrido 210 Km m210v 70 km / h3

= =

El límite del cociente incremental (la derivada), nos da la velocidad instantánea. Entonces:

ds(t)v(t)dt

=

Ej: la función que nos da la distancia recorrida (km) en función del tiempo transcurrido (en horas) viene dada por 2s(t) 3t 1= + Calcular:

a) km recorridos en las 5 primeras horas b) velocidad media en este periodo c) velocidad en ese momento d) cuántos km se recorrerán aproximadamente entre el periodo t = 5, t = 5.1

De igual manera, si p(q) es una función que indica que el precio de un artículo depende del número de unidades compradas, por ejemplo: 2p(q) 100q q= − el precio medio que hemos pagado por q = 6 unidades es

mp(6) 600 36p 94 €6 6

−= = =



¿Cuánto vale aproximadamente una unidad adicional? aproximadamente = p’(6) = 88 € [en realidad, vale p(7) – p(6) = 87 €] Otro ejercicio similar: ¿en cuánto aumenta el área de un círculo de radio 1 m, si aumenta el radio 1 cm?

( )

2 2

2 2

A(r) r A(1) A(1.01) (1.01) ; A '(r) 2 r

A(1.1) A(1) A '(1) (0.01) 0.02 0.0628 m ; A(1.1) A(1) 0.0201 0.0631 m

= π = π = π = π

− ≈ = π ≈ − = π =

2.2. Aplicaciones en administración y economía:

o coste medio y coste marginal dada la función de coste de producción de q unidades de una mercancía C(q), el coste medio por unidad viene dado por:

mC(q)Cq

=

y el coste marginal es justo la derivada:

dC(q)C '(q)dq

=

como en los ejemplos anteriores, el coste marginal es, aproximadamente, lo que cuesta producir una unidad adicional Ej: Dada la función de coste 3 2C(q) 0.0001q 0.02q 5q 5000= − + + calcula: coste de producir 100 unidades (5400 €) coste medio por unidad al producir 100 unidades (54 €)

coste marginal para q = 100 (que es, aproximadamente, lo que cuesta producir la unidad 101) C’(100) = 4 € NOTA: C(101) – C(100) = 4.0101 €

o ingreso marginal si se venden q unidades a un precio fijado p los ingresos vienen dados por I(q) = p q por ejemplo, si p = 80 €, vendiendo las 100 unidades producidas se tienen unos ingresos de 8000 € el ingreso marginal es, de nuevo la derivada de la función de ingresos que, en este caso es constante:



d (q)dq

=I

p

o beneficio la función de beneficios se define como ingresos menos costes:

(q) (q) C(q) q C(q)π = − = −I p igualmente podemos calcular el beneficio marginal de producir 100 unidades, que nos indicará, aproximadamente, el beneficio que nos dará producir la unidad 101. En el ejemplo: I ⎡ ⎤π = − = − − + +⎣ ⎦

3 2(q) (q) C(q) q 0.0001q 0.02q 5q 5000p

'(100) C '(100) 80 4 76€π = − = − =p

3. Reglas de derivación

o regla 1: derivada de una constante f(x) C f '(x) 0= = o regla 2: derivada de la potencia n-ésima de x

n n 1

q q 1

f(x) x f '(x) nx

f(x) x f '(x) qx q cualquiera

−

−

= =

= =

o regla 3: derivada del producto de una constante por una función h(x) C f(x) h'(x) C f '(x)= = o regla 4: derivada de la suma y resta de funciones = ± = ±h(x) f(x) g(x) h'(x) f '(x) g '(x) o regla 5: derivada del producto de dos funciones

h(x) f(x) g(x) h'(x) f '(x) g(x) f(x) g '(x)= = + !

o regla 6: derivada del cociente de dos funciones

[ ]2

f(x) f '(x) g(x) f(x) g '(x)h(x) h'(x)g(x) g(x)

−= = !

o regla 7: derivada de la función compuesta (regla de la cadena)



h(x) g[f(x)] h'(x) f '(x) g '[f(x)]= =

NOTA: una manera cómoda de escribirlo es:

[ ]

== = =

=

=

y f(x)z h(x) g(y ) g f(x)

z g(y )dz dz dyentonces :dx dy dx

Ejemplo:

2

2

2

y f(x) x x z g(y ) y h g f

z h(x) x xdz dz dy 1 2x 1

(2x 1)dx dy dx 2 y 2 x x

= = + = = =

= = +

+= = + =

+

o

o regla 8: derivada de la potencia n-ésima de una función n n 1h(x) [f(x)] h'(x) f '(x) n[f(x)] −= =

NOTA: esta regla se puede ver como aplicación de la regla de la cadena

[ ]

[ ] −−

= = = =

= =

= = =

on

n

n 1n 1

y f(x) z g(y ) y h g f

z h(x) f(x)

dz dz dy n y f '(x) n f(x) f '(x)dx dy dx

o derivadas de funciones especiales:

Ø logaritmo (neperiano o natural)

[ ] 1ln(x) 'x

=

Ø exponencial x xe ' e⎡ ⎤ =⎣ ⎦

Ø trigonométricas (seno, coseno; tangente como aplicación de la regla 6)

[ ] [ ]

[ ][ ]

= = −

=2

sen(x) ' cos(x) cos(x) ' sen(x)

1tg(x) ' (obtener ésta como derivada de un cociente)cos(x)

Ø derivada del arco tangente:

( ) =+21arctg(x) '

x 1



Ø derivada de la función inversa:

1 1f (y ) 'f '(x)

−⎡ ⎤ =⎣ ⎦

escrito de otra manera:

=dx 1

dydydx

Ejemplo: obtener la derivada del logaritmo a partir de la exponencial

( )

( )( )

( )

−= = = =

= =

= = = = = =

⇒ =

x 1

x x

x ln( y )x

y f(x) e x f (y ) ln(y )dy e ' edx

dx 1 1 1 1 1ln(y ) ' dydy e e ye 'dx

1ln(x) 'x



4. Relación entre derivabilidad y continuidad

RESULTADO IMPORTANTE:

Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto

Razonamiento: Las condiciones para que una función sea continua son:

a) La función debe existir en ese punto [x = a es un punto del dominio], con un valor finito f(a)

b) La función debe tener límite cuando x → a, con un valor finito L c) La función y el límite coinciden en este punto x = a

xlimf(x) f( )→

=a

L = a

Para que la función sea derivable, debe existir el límite:

h 0

f( h) f( )limh→

+ −a a

lo cual ya implica que existe f(a). Veamos ahora que existe el límite y vale f(a):

[ ] [ ]x h 0 h 0

h 0 h 0 h 0

limf(x) lim f( h) lim f( h) f( ) f( )

f( h) f( ) f( h) f( )lim h f( ) lim lim h f( ) f '( )·∙0 f( ) f( )h h

→ → →

→ → →

= = − +

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

aL = a+ a+ a a

a+ a a+ aa a a a a

NOTA: lo contrario no es cierto: una función puede que sea continua en un punto y que no sea derivable en dicho punto. Por ejemplo: la función valor absoluto en el punto x 0= . Vamos a ver por la definición que no es derivable:

h 0

h 0 h 0 h 0

f(x) xf( h) f( )lim 0

hh 0 hf(0 h) f(0)lim lim lim no existe no derivable

h h h

→

→ → →

=

+ −=

−+ −= = ⇒

a aa

IDEA GRÁFICA DE DERIVABILIDAD: funciones “suaves”

En muchos textos sudamericanos, se llama a las funciones derivables funciones suaves. La idea detrás de la derivabilidad es que no pueden existir picos (como ocurre con la función valor absoluto en el cero) Por tanto, cuando



observamos la gráfica de una función, podemos ver en qué puntos va a ser derivable y en cuáles no lo es. La siguiente gráfica puede ser ilustrativa.

5. Diferenciales: aproximación lineal

Cuando h x≡ Δ es muy pequeño, el cociente incremental y la derivada son muy parecidos, con lo cual en un punto 0x

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

0 0

0 00

0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

y f f(x x) f(x )f(x x) f(x )y f '(x ) x muy pequeño

x xy f '(x ) x

f(x x) f(x ) f '(x ) x

f(x x) f(x ) f '(x ) x f(x h) f(x ) f '(x ) h

Δ = Δ = + Δ −

+ Δ −Δ= ≈ Δ =

Δ ΔΔ ≈ Δ

+ Δ − ≈ Δ

+ Δ ≈ + Δ + ≈ +

y entonces la derivada nos sirve para aproximar el valor de la función.

Ejemplo: Calcular, aproximadamente, el valor de ( )20.9999−



2f(x) x x 1 h x 0.0001 f( 1) 1

f '(x) 2x f '( 1) 2

f( 0.9999) f( 1 0.0001) f( 1) f '( 1) x 1 ( 2) 0.0001 0.9998

= = − ≡ Δ = − =

= − = −

− = − + ≈ − + − Δ = + − =

NOTA: f( 0.9999) 0.99980001− = exactamente NOTA: cuanto más pequeño es xΔ mejor es la aproximación; lo buena que es dicha aproximación también depende de la función NOTA: en realidad, lo que estamos haciendo es tomar la recta tangente como aproximación de la función, ya que [ ]0 0y f(x ) f '(x ) h= +

es la ecuación de la recta tangente a la curva y f(x)= en el punto ( )0 0x , f(x ) Cuando el ‘h’ es muy pequeño, la gráfica de la función y la recta tangente están muy cercanos una de la otra. En las siguientes gráficas se puede observar la tangente de la función 3f(x) 3x 2x 1= − − en el punto x 1= y una ampliación en los alrededores de dicho punto. Como se ve, la tangente y la función están muy cerca.

6. Derivación implícita

o Idea y ejemplos: La función que define la parábola puede escribirse de las dos formas siguientes:

2

2

1. y x

2. x y 0

=

− =

La primera forma del tipo y f(x)= , que es la que usamos habitualmente, se dice explícita, mientras que la segunda es implícita. Así, bajo determinadas condiciones, toda expresión que relacione las variables x, y definirá (de forma implícita) una función y = f(x). Ejemplos:



2 2

a) 3x 2y 18

b ) x y 1

c) xy 1

d) x y ln(x) ln(y )

ye) ln 0.5x1 y

− =

+ =

=

− = +

⎛ ⎞=⎜ ⎟−⎝ ⎠

En algunas [a), c)] es muy fácil despejar la función y = f(x). En la b) tendríamos dudas entre coger la raíz cuadrada positiva o la negativa. En las otras dos es imposible despejar. Pero en todas podemos calcular la derivada

dydx

Para calcularlo, lo que hacemos es derivar directamente la expresión que define implícitamente la función, y luego despejamos el término que buscamos. Por ejemplo, en

2 dy dyx y 0 2x 0 2xdx dx

− = ⇒ − = ⇒ =

lo que ya sabíamos: 2y x y ' 2x= =

Resolver los otros ejemplos, calculando la derivada en un punto (x,y) cualquiera y en los puntos que se indican para cada apartado:

a) (8,3) b) (3/5,4/5) c) (-1,-1) d) (1,1) e) (0,0.5)

SOLUCIÓN (sólo algunos; se recomienda hacer los otros):

2 2 3 4b ) x y 1 , NOTA: observemos que el punto cumple la ecuación5 5

derivando:

2x x2x 2y·∙y ' 0 y '

2y y3 4 0.6 3en el punto , (0.6,0.8) y '(0.6) 0.755 5 0.8 4

⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

−+ = ⇒ = = −

⎛ ⎞ = = − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠



2

ye) ln 0.5x (0,0.5) el punto cumple la ecuación1 y

derivando:

y y '(1 y ) y( y ')'

1 y (1 y )0.5 0.5yy

(1 y )1 ysustituyendo el punto :

y '0.5 y '(0) 0.125

0.25

⎛ ⎞=⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞ − − −⎜ ⎟− −⎝ ⎠ = ⇒ =⎛ ⎞⎜ ⎟ −−⎝ ⎠

= ⇒ =

Resolución del apartado e) aplicando la derivada de la función inversa: en el último ejemplo, es fácil despejar “x”, calcular su derivada y aplicar la derivada de la función inversa para tener y ' :

[ ]yx 2 ln 2 ln(y ) ln(1 y )

1 y

1 1 1x ' 2 x '(0.5) 8 y '(0) 0.125y 1 y x '(0.5)

⎛ ⎞= = − −⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎡ ⎤−= − ⇒ = ⇒ = =⎢ ⎥−⎣ ⎦

Ejercicio: encontrar la pendiente de la curva y la ecuación de la recta tangente en el punto ( )1,2− , definida por la relación 3 2x y 3+ = SOLUCIÓN: En primer lugar vemos que el punto cumple la ecuación: sustituyendo se tiene la igualdad. Ahora vamos a calcular la derivada, con lo que tendremos la pendiente y podremos calcular la ecuación de la recta tangente:

( )

3 2

2

x y 3 ( 1,2)

derivando :

3x 2y y ' 0

sustituyendo el punto:

33 4y ' 0 y ' 0.75 0.75

4ecuación recta tangente:

y 2 0.75 x ( 1) y 0.75x 1.25

+ = −

+ =

+ = ⇒ = − = − ⇒ = −

− = − − − ⇒ = − +

m

7. Derivadas de orden superior: aproximación cuadrática

o Idea y ejemplos:



Cuando calculamos la derivada de una función f(x) en todos los puntos de un cierto intervalo, obtenemos una nueva función g(x) f '(x)=

Ejemplo: 3 2f(x) x g(x) f '(x) 3x= = =

Si esta nueva función es derivable, a su derivada g '(x) se la denomina segunda derivada de f(x) y se representa por f ''(x) .

3 2f(x) x f '(x) 3x f ''(x) 6x= = =

De nuevo podemos derivar esta nueva función f ''(x) y obtener así la tercera derivada de f(x), representada por f '''(x) ; etc.

3 2 IVf(x) x f '(x) 3x f ''(x) 6x f '''(x) 6 f (x) 0= = = = =

Ejemplos: calcular las cuatro primeras derivadas de las siguientes funciones, en un punto x cualquiera y en el punto x = 1.

x 1a) f(x) e b ) f(x) x c) f(x)x

= = =

SOLUCIÓN:

x x x

1 1 3

2 2 2

5 7IV2 2

1 2 3

2

4 IV 5

a) f(x) e f '(x) e f ''(x) e ...

1 1 1b ) f(x) x x f '(x) x f ''(x) x2 42 x3 15f '''(x) x f (x) x8 16

1 1c) f(x) x f '(x) x f ''(x) 2xx x

f '''(x) 6x f (x) 24x

− −

− −

− − −

− −

= = =

= = = = = −

= = −

= = = − = − =

= − =

o Aproximación cuadrática:

Usando la primera y segunda derivada, y argumentando de modo similar a la aproximación lineal vista anteriormente, podemos encontrar una mejor aproximación al valor de f(x h)+

20 0 0 0

1f(x h) f(x ) f '(x )h f ''(x )h2

+ ≈ + +

Veamos el mismo ejemplo para observar el resultado y comparar:

Ejemplo: Calcular, aproximadamente, el valor de ( )20.9999−



2

2

f(x) x x 1 h x 0.0001 f( 1) 1

f '(x) 2x f '( 1) 2

f ''(x) 2 f ''( 1) 2

1 1f( 0.9999) f( 1 0.0001) f( 1) f '( 1)h f ''( 1)h 1 ( 2) 0.0001 2(0.00000001)2 2

f( 0.9999) 0.99980001

= = − ≡ Δ = − =

= − = −

= − =

− = − + ≈ − + − + − = + − +

− ≈ NOTA: f( 0.9999) 0.99980001− = exactamente, luego en este ejemplo la

aproximación nos da el resultado exacto.

8. Máximos y mínimos

8.1. Funciones crecientes y decrecientes Definición: una función f(x) es creciente en un intervalo [a,b] si:

1 2 1 2 1 2x ,x [a,b] : x x f(x ) f(x )∀ ∈ < ⇒ ≤

una función f(x) es decreciente en un intervalo [c,d] si:

1 2 1 2 1 2x ,x [c,d] : x x f(x ) f(x )∀ ∈ < ⇒ ≥



La función de la gráfica es creciente en unas zonas y decreciente en otras; en todo el intervalo [0,8] no es ni creciente ni decreciente. Para conocer el comportamiento de una función es importante saber cuáles son las zonas donde crece y donde decrece. Caracterización usando la primera derivada:

o si nos fijamos en la gráfica anterior, en las zonas donde la función es creciente la recta tangente tiene pendiente positiva, mientras que donde es decreciente la pendiente es negativa

o recordando que la pendiente de la curva (y de su recta tangente) viene

dada por la derivada de la función en el punto, tenemos el siguiente resultado:

o zonas de crecimiento de la función: x : f '(x) 0≥

o zonas de decrecimiento de la función: x : f '(x) 0≤ Cálculo de las zonas de crecimiento y de decrecimiento: Así, para encontrar las zonas de crecimiento y decrecimiento de una función f(x) basta con:

o calcular la derivada de la función o estudiar el signo de dicha derivada

Ejemplos: encontrar las zonas donde las siguientes funciones son crecientes y las zonas donde son decrecientes

creciente creciente

decreciente



2 3 3 2a) f(x) 2x 1 b) f(x) 4x c) f(x) x 6x 15= + = = + + SOLUCIÓN:

2a) f(x) 2x 1 f '(x) 4xf '(x) 0 4x 0 x 0

x 0 f '(x) 0 decrecientex 0 f '(x) 0 creciente

= + =

= = =

< < ⇒⎧⇒ ⎨

> > ⇒⎩

3 2

2

b ) f(x) 4x f '(x) 12x

f '(x) 0 12x 0 x 0

x 0 f '(x) 0 crecientex 0 f '(x) 0 creciente

= =

= = =

< > ⇒⎧⇒ ⎨

> > ⇒⎩

3 2 2c) f(x) x 6x 15 f '(x) 3x 12xf '(x) 0 x 0; x 4

x ( , 4) f '(x) 0 crecientex ( 4,0) f '(x) 0 decrecientex (0, ) f '(x) 0 creciente

= + + = +

= ⇒ = = −

∈ −∞ − >⎧⎪

⇒ ∈ − <⎨⎪ ∈ +∞ >⎩

8.2. Máximos y mínimos relativos (o locales) definición

o una función tiene un máximo local en un punto 0x si existe un intervalo



0 0(x ,x )−ε + ε tal que

0 0 0x (x ,x ) : f(x) f(x )∀ ∈ −ε + ε ≤

[la función en ese punto es más grande que en los que tiene alrededor]

o una función tiene un mínimo local en un punto 0x si existe un intervalo

0 0(x ,x )−ε + ε tal que

0 0 0x (x ,x ) : f(x) f(x )∀ ∈ −ε + ε ≥

[la función en ese punto es más pequeña que en los que tiene alrededor]

discusión usando la primera derivada si miramos la gráfica de la página 14, o las de crecimiento-decrecimiento,

o para que exista un máximo en 0x la función tiene que pasar en ese punto de ser creciente (derivada positiva), a ser decreciente (derivada negativa). Por tanto (siempre que la función tenga derivadas) en el punto 0x la derivada debe ser igual a cero.

igualmente,

o para que exista un mínimo en 0x la función tiene que pasar en ese punto de ser decreciente (derivada negativa), a ser creciente (derivada positiva). Por tanto (siempre que la función tenga derivadas) en el punto 0x la derivada debe ser igual a cero.

Obtenemos como conclusiones que (siendo la función derivable):

o si en un punto 0x se alcanza un máximo, entonces 0f '(x ) 0=

o si en un punto 0x se alcanza un mínimo, entonces 0f '(x ) 0=

o si en un punto 0x la derivada pasa de ser positiva a su izquierda a negativa a su derecha, entonces se alcanza un máximo local

o si en un punto 0x la derivada pasa de ser negativa a su izquierda a positiva a su derecha, entonces se alcanza un mínimo local

puntos críticos



Se llaman puntos críticos de una función derivable a aquellos puntos en que su (primera) derivada vale 0:

0 0x : f '(x ) 0=

Resultado: si la función es derivable y en 0x tiene un MÁXIMO o un MÍNIMO local, entonces 0x es un punto crítico.

NOTA: calculando los puntos críticos tenemos los candidatos a máximos y/o mínimos locales. Pero no todos los puntos críticos son máximos o mínimos, como se verá en el ejemplo b) siguiente. Ejemplos: calcula los puntos críticos de las funciones anteriores y analiza si son máximos o mínimos locales

2

3

3 2

a) f(x) 2x 1 puntos críticos: x 0 MÍNIMO

b ) f(x) 4x puntos críticos: x 0 NO ES ni máximo , ni mínimo

c) f(x) x 6x 15

x 4 MÁXIMOpuntos críticos:

x 0 MÍNIMO

= + =

= =

= + +

⎧ = −⎪⎨

=⎪⎩

8.3. Teorema de Rolle Si la función f(x) es: continua en [a,b], derivable en (a,b) y cumple que f(a) = f(b), existe (al menos) un punto c en (a,b) tal que f '(c) 0= Idea gráfica: 2[a,b] [ 2,2] f(x) x 5= − = −



Aplicación: existencia de punto crítico si consideramos la función

2xf(x) e 10 cos(x)= −

para calcular los puntos críticos nos queda la ecuación

2x2xe 10sen(x) 0+ = [*]

que no se puede resolver; sin embargo la función es continua en [-1,1] y derivable en (-1,1), y además f(-1) = f(1); por tanto existe un punto crítico en el intervalo abierto (-1,1)

NOTA: si nos fijamos un poco en la ecuación [*], x = 0 es un punto crítico, que además minimiza la función. 8.4. Teorema del valor medio Si la función f(x) es: continua en [a,b] y derivable en (a,b), entonces existe (al menos) un punto c (a,b)∈ tal que

f(b ) f(a)f '(c)b a−

=−

Idea gráfica:

si la función empieza y acaba a la misma altura, o bien vale siempre los mismo (es constante y su derivada vale 0), o bien tendrá que subir y bajar (o al contrario) con lo que tendrá un máximo (o un mínimo) y en dicho punto la derivada vale 0



f(b ) f(a)b a−

− pendiente de la recta que pasa por los puntos

f '(c) pendiente de la tangente a la curva en x = c 9. Concavidad y convexidad

9.1. Definición intuitiva gráfica

convexa cóncava

Las funciones convexas tienen forma de ∪ . El ejemplo típico es la parábola.

Las funciones cóncavas tienen forma de ∩ . El ejemplo típico es la parábola con signo negativo.

lo que nos dice es que hay un punto donde la tangente tiene la misma pendiente que el segmento que une los dos puntos



caracterización usando la segunda derivada si nos fijamos en las tangentes de la función convexa, su pendiente es cada vez mayor; esto es, su derivada va creciendo; si la función derivada f '(x) es creciente, su derivada tiene que ser positiva; es decir, f ''(x) es positivo; razonando igual, las funciones cóncavas tienen su segunda derivada negativa Así tenemos:

o zonas de convexidad de la función: x : f ''(x) 0≥

o zonas de concavidad de la función: x : f ''(x) 0≤ zonas de concavidad y de convexidad Analizando el signo de la segunda derivada tenemos las zonas de concavidad y convexidad de una función. puntos de inflexión

o se llama punto de inflexión a todo punto en que la función pasa de cóncava a convexa.

Si ya hemos calculado las zonas de concavidad/convexidad, los puntos de inflexión están ya calculados. Ejemplos: calcula las zonas de concavidad/convexidad de las funciones anteriores e indica (si hay) los puntos de inflexión:

( )( )

= +

= >

=

> > +∞⎧= ⇒ ⎨

< < −∞⎩=

= + +

2

3

3 2

a) f(x) 2x 1

f ''(x) 4 0 siempre es positiva, luego la función es convexa en su dominio

b ) f(x) 4x

f ''(x) 0 x 0 convexa en 0,f ''(x) 24x

f ''(x) 0 x 0 cóncava en ,0

en x 0 hay un punto de inflexión

c) f(x) x 6x 15

f '( )( )

> + > − +∞⎧= + ⇒ ⎨

< + < −∞ −⎩= −

f ''(x) 0 6x 12 0 convexa en 2,'(x) 6x 12

f ''(x) 0 6x 12 0 cóncava en , 2

en x 2 hay un punto de inflexión



9.2. Uso de la segunda derivada para clasificar puntos críticos: En un punto crítico

0 0x : f '(x ) 0= se alcanza un

máximo local si: 0f ''(x ) 0<

mínimo local si:

0f ''(x ) 0> Ejemplos: analiza los puntos críticos de las funciones anteriores utilizando la segunda derivada

2

0 0

3 2

0 0

3 2 2

a) f(x) 2x 1 f '(x) 4x f ''(x) 4

punto crítico: x 0 f ''(x ) 4 0 mínimo

b ) f(x) 4x f '(x) 12x f ''(x) 24xpunto crítico: x 0 f ''(x ) 0 la segunda derivada no decide

c) f(x) x 6x 15 f '(x) 3x 12x f ''(x) 6x 12

punt

= + = =

= ⇒ = > ⇒

= = =

= ⇒ = ⇒

= + + = + = +

0 0

1 1

o crítico: x 0 f ''(x ) 12 0 mínimopunto crítico: x 4 f ''(x ) 12 0 máximo

= ⇒ = > ⇒

= − ⇒ = − < ⇒

9.3. Otra manera gráfica de ver el concepto de concavidad/convexidad

una función es convexa cuando el segmento que une dos puntos de su gráfica queda por encima de la gráfica



10. Representación gráfica de la función y = f(x)

10.1. Pasos a seguir para representar una función:

a) Calcular el dominio de la función (asíntotas verticales ?) b) Puntos de corte con los ejes c) Comportamiento en ,+∞ −∞ (asíntotas horizontales ?) d) Continuidad y posibles discontinuidades e) Zonas de crecimiento y decrecimiento [signo de f '(x) ] f) Máximos y mínimos locales g) Convexidad y concavidad [signo de f ''(x) ] h) Puntos de inflexión

Ejemplos: realizar todo esto con los ejemplos ya vistos (como ejercicio) (sólo falta ver el dominio, corte con los ejes y comportamiento en ±∞ ; NOTA: en el ejemplo c) no hacer el corte con el eje X)

una función es cóncava cuando el segmento que une dos puntos de su gráfica queda por debajo de la gráfica

2f(x) 2x 1= +



Ejemplo:

x 1yx 1

−=

+

a) Calcular el dominio de la función (asíntotas verticales ?)

o se trata de un cociente de funciones; como ni el numerador, ni el denominador, tienen problemas de dominio, la única restricción es que el denominador sea distinto de cero

( ) ( )fx 1 0 x 1 D , 1 1,+ ≠ ⇒ ≠ − ⇒ = −∞ − − +∞U

ampliación cerca del origen de coordenadas

3f(x) 4x=

3 2f(x) x 6x 15= + +



o en el punto donde no está definida puede haber una asíntota vertical; para verlo, se debe calcular el límite

x 1

tiende a + por la izquierdax 1 2lim :tiende a - por la derecha x 1 0

x 1 es una asíntota vertical

→−

∞⎧− −≡ ⎨

∞+ ⎩

⇒ = −

b) Puntos de corte con los ejes

o 0 1EJE Y : x 0 y 1 punto (0, 1)0 1

−= ⇒ = = − −

+

o x 1EJE X : y 0 0 x 1 0; x 1 punto (1,0)x 1

−= ⇒ = ⇒ − = =

+

c) Comportamiento en ,+∞ −∞ (asíntotas horizontales ?)

o x x

x 1 1 (1 / x) 1lim lim 1; y 1 es una asíntota horizontalx 1 1 (1 / x) 1→−∞ →−∞

− −= = = =

+ +

o x x

x 1 1 (1 / x) 1lim lim 1; y 1 es una asíntota horizontalx 1 1 (1 / x) 1→+∞ →+∞

− −= = = =

+ +

d) Continuidad y posibles discontinuidades

o se trata de un cociente de funciones continuas (tanto el numerador, como el denominador, son rectas); por tanto es una función continua siempre que el denominador no se anule; es decir, es continua en su dominio

o analizando el punto x 1= − el límite por la derecha es −∞ , el límite por la izquierda es +∞ [visto en apartado a)], y ese es un punto de discontinuidad (de salto infinito)

datos obtenidos hasta el momento



e) Zonas de crecimiento y decrecimiento [signo de f '(x) ]

o 2 2

1(x 1) (x 1)1 2f '(x)(x 1) (x 1)

+ − −= =

− −

o 2

2f '(x) 0 0 2 0 no puede ser(x 1)

= ⇒ = ⇒ =−

o en este caso, se ve que la derivada tiene siempre el mismo signo ya que tanto numerador como denominador son positivos; luego f '(x) 0 siempre>

o por tanto, la función es siempre creciente en su dominio o al mismo tiempo, observamos que no hay puntos críticos, luego no

hay candidatos a máximo/mínimo local f) Máximos y mínimos locales

o no hay g) Convexidad y concavidad [signo de f ''(x) ]

o 3

4f ''(x)(x 1)

−=

+

o no hay ningún punto que anule la segunda derivada pero, a diferencia de la primera derivada, ésta no tiene siempre el mismo signo pues el denominador es a veces positivo y a veces negativo

o + < < − ⇒ >x 1 0; x 1 f ''(x) 0 convexa o + > > − ⇒ <x 1 0; x 1 f ''(x) 0 cóncava

h) Puntos de inflexión

o punto donde cambia de cóncava/convexa (o viceversa): x 1= − ! Con todos estos datos ya podemos representar la gráfica completa, que aparece en la siguiente figura.



Ejemplo:

3 2y x x 16x 16= + − − a) Calcular el dominio de la función (asíntotas verticales ?)

o se trata de una función polinómica que no tiene problemas de dominio

( )fD ,= = −∞ +∞° no hay entonces asíntotas verticales

b) Puntos de corte con los ejes

o EJE Y : x 0 y 16 punto (0, 16)= ⇒ = − − o 3 2EJE X : y 0 x x 16x 16 0= ⇒ + − − =

§ x 4 punto : ( 4,0)= − − § x 1 punto : ( 1,0)= − − § x 4 punto : (4,0)=

c) Comportamiento en ,+∞ −∞ (asíntotas horizontales ?)

o 3 2

xlim x x 16x 16→−∞

⎡ ⎤+ − − = −∞⎣ ⎦

o 3 2

xlim x x 16x 16→+∞

⎡ ⎤+ − − = +∞⎣ ⎦

o no hay asíntotas horizontales

x 1yx 1

−=

+



d) Continuidad y posibles discontinuidades

o se trata de un polinomio (suma y producto de funciones continuas) y, por tanto, es una función continua en toda la recta real

e) Zonas de crecimiento y decrecimiento [signo de f '(x) ]

o 2f '(x) 3x 2x 16= + −

o 2 8f '(x) 0 3x 2x 16 0 x 2; x3

= ⇒ + − = ⇒ = = −

o en los puntos obtenidos puede haber cambio de signo, con lo que hay que observar el signo de la derivada en cada uno de los tres intervalos:

§ 8x , f '(x) 0 (probamos con x 10)3

⎛ ⎞∈ −∞ − > = −⎜ ⎟⎝ ⎠

§ 8x ,2 f '(x) 0 (probamos con x 0)3

⎛ ⎞∈ − < =⎜ ⎟⎝ ⎠

§ ( )x 2, f '(x) 0 (probamos con x 10)∈ +∞ > =

o por tanto, la función es:

§ creciente en: ( )8, 2,3

⎛ ⎞−∞ − +∞⎜ ⎟⎝ ⎠

U

§ decreciente en: 8,2

3

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

o al mismo tiempo, observamos que los puntos críticos (candidatos a máximo/mínimo local) son:

datos obtenidos



§ 8x x 23

= − =

f) Máximos y mínimos locales

o analizando los puntos críticos y las zonas de crecimiento y decrecimiento, tenemos que en:

§ 8x3

= − se alcanza un máximo local

§ x 2= se alcanza un mínimo local g) Convexidad y concavidad [signo de f ''(x) ]

o f ''(x) 6x 2= +

o 1f ''(x) 0 6x 2 0 x3

= ⇒ + = ⇒ = −

o en el punto obtenido puede haber cambio de signo en la segunda derivada, por lo que hay que observar el signo en cada una de las dos zonas:

§ 1x , f ''(x) 0 cóncava3

⎛ ⎞∈ −∞ − < ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

§ 1x , f ''(x) 0 convexa3

⎛ ⎞∈ − +∞ > ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

h) Puntos de inflexión

o punto donde cambia de cóncava/convexa (o viceversa): 1x3

= −



Con todos estos datos ya podemos representar la gráfica completa, que aparece en la siguiente figura.

10.2. Comportamiento de una función conociendo la primera derivada Si sabemos cómo es la gráfica de f '(x) , podemos extraer mucha información acerca de f(x)

• f’(x) > 0 f(x) creciente • f’(x) < 0 f(x) decreciente • de aquí encontraremos los máximos y/o mínimos locales • si f’(x) es creciente, entonces f’’(x) > 0 convexa • si f’(x) es decreciente, entonces f’’(x) < 0 cóncava • de aquí encontraremos los puntos de inflexión

3 2y x x 16x 16= + − −



Ejemplo: la siguiente gráfica nos da la forma de f’(x). Extraer toda la información posible sobre la función f(x)

o ( ) ( )f '(x) 0 x 1,3 7, f(x) creciente> ∈ +∞U o ( ) ( )f '(x) 0 x ,1 3,7 f(x) decreciente< ∈ −∞ U o ( ) ( )f '(x) creciente x ,a b, f ''(x) 0 convexa∈ −∞ +∞ ⇒ >U o ( )f '(x) decreciente x a,b f ''(x) 0 cóncava∈ ⇒ < o x 1= mínimo local o x 3= máximo local o x 7= mínimo local o x a= pasa de convexa a cóncava: punto de inflexión o x b= pasa de cóncava a convexa: punto de inflexión

Ejercicio: con estos datos se pide hacer una gráfica aproximada de la función

f(x)

f’(x)

0 1 a 3 4 5 b 6 7

0



10.3. Uso de la derivada para resolver límites indeterminados (DUDA): Regla de L’Hôpital

o idea y ejemplos: resolución de indeterminaciones en el cálculo de límites:

o se aplica básicamente a indeterminaciones del tipo

0

0

∞

∞

o bajo determinadas condiciones de derivabilidad (que

supondremos que se cumplen)

x a x a

f(x) f '(x)lim limg(x) g '(x)→ →

=

o la idea es que estamos sustituyendo las funciones por sus

pendientes (en cierto modo, usando la aproximación lineal que hemos visto antes)

o NOTA: Este proceso se puede aplicar más de una vez

o también se puede aplicar a otras indeterminaciones se convierten

en estas tomando logaritmos 1∞ tomando logaritmos queda:

ln(1) 0ln(1) ; ln(1)1 1 0

ln(1)

∞ ∞∞ = = ∞ = =

∞∞

00 tomando logaritmos queda:

0 0 ln(0)0 ln(0) ; ln(0)

1 10ln(0) 0

∞= = ∞ = =

∞

0∞ tomando logaritmos queda:

0 0 ln( )0 ln( ) ; 0 ln( )

1 10ln( ) 0

∞ ∞∞ = = ∞ = =

∞∞



NOTA: Al tomar logaritmos, estamos calculando el logaritmo del límite

L* = ln(L). Como queremos calcular L, tenemos que usar ahora la inversa del logaritmo:

*LL e= Ejemplos: resuelve las siguientes indeterminaciones



x 0 x 0

2

2x 0 x 0

3 2

x x xx x x

xx

x 0 x 0

2

x

sen(x) 0 cox(x) 1lim lim 1x 0 1 1

x 3x 0 2x 3 3lim lim2x 0 4x 0

L , L no existe L

x 3x 6xlim lim lime e e

6 6lim 0e

1ln(1 x) 0 11 xlim lim 1

x 0 1 1

lim x e

→ →

→ →

+ −

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞

→ →

→−∞

≡ ⇒ = =

+ +≡ ⇒ ≡

= +∞ = −∞

+∞ +∞ +∞≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡+∞ +∞ +∞

⇒ ≡ =+∞

+ +≡ ⇒ ≡ =

2x

xx

x xx x

x

x

*

x

2

x x

2

* 1

x·∙0 lime

2x 2 2lim lim 0e e

1L lim 1 1x

1L ln(L ) lim x ln 1 ·∙ln(1) ·∙0x

1

x1 1ln 1 1x xlim lim 1

1 1

x xL 1 L e e

−→−∞

− −→−∞ →−∞

+∞

→+∞

→+∞

→+∞ →+∞

+∞⎡ ⎤ ≡ ∞ ⇒ ≡⎣ ⎦ +∞

⇒ = ≡ =− +∞

⎡ ⎤= + ≡⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞⎛ ⎞= = + ≡ +∞ = +∞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

−

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠⇒ = =

−

⇒ = ⇒ = =

1. definición de derivada

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