definiciÓn de la derivada de una funciÓn vectorial
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842
componente por compo-nente
r
t
lim0
lim0
lim0
lim0
lim0
.
., ,
,
Figura 12.8
DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
derivada de una función vectorial r
t r t r derivable en tr t t I r derivable en el inter-
valo I
lim 0
843
r t ti t j r tr t r r
Solución
r t i tj
r t x ty t y x tr i j r i j rr r
a) b)c) d)
Solución
a)b)
c)
d)
c función real
2 sin 2 cos
cos sin
20
sin cos
20
sin cos
cos sin
sin cos
cos sin
20
sin cos sin cos 0
cos sin cos sin 0sin cos 2
cos sin 2 ,
TEOREMA 12.1 DERIVACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES
1. g t
2. g h t
.
,
.
,
Figura 12.9
1.2.3.4.5.6.7. r rr r
r rr u r u r ur u r u r u
r r rr u r ur r
845
t
a) b)
Solución
a)
b)
a b
2 4 .0 2 4
20
10
2
210
2
220
2
220
10
2 ,2 2
3 1.
2 2 11
12
1 2 2
1ln 2 2
2 2 ,12
1
.
2 21 ln
.1 ) 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
21,2,1,2 21 1
r t ti tj
.0
4 .
44 .4
.
846
escalaresvector
Solución
32
23 .
3 .
.
1 2 3
1 2 3
.,,
32,1,
,.
DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
1. integralindefinida antiderivada r
integral definida
2. gintegral indefinida antiderivada r
integral definida
.
, ,,,
.
, ,,
En los ejercicios 1 a 8, dibujar la curva plana representada porla función vectorial y dibujar los vectores y para elvalor dado de Colocar los vectores de manera que el punto ini-cial de esté en el origen y el punto inicial de esté en elpunto final de ¿Qué relación hay entre y la curva?
En los ejercicios 9 y 10, a) dibujar la curva en el espacio repre-sentada por la función vectorial, y b) dibujar los vectores y
para el valor dado de
9.
10.
En los ejercicios 11 a 22, hallar
En los ejercicios 23 a 30, hallar a) r (t), b) r (t) y c) r (t) r (t).
En los ejercicios 31 y 32 se dan una función vectorial y su gráfica. La gráfica también muestra los vectores unitarios
y Hallar estos dos vectores unita-rios e identificarlos en la gráfica.
Figura para 31 Figura para 32
En los ejercicios 33 a 42, hallar el (los) intervalo(s) abierto(s) enque la curva dada por la función vectorial es suave.
33. 34.
35.36.37.
38.
39. 40.
41.42.
En los ejercicios 43 y 44, usar las propiedades de la derivadapara encontrar lo siguiente.
a) b) c)d) e) f)
43.44.
En los ejercicios 45 y 46, hallar a) y b) en dos diferentes formas.
i) Hallar primero el producto y luego derivar.ii) Aplicar las propiedades del teorema 12.2.45.46.
En los ejercicios 47 y 48, hallar el ángulo entre y en fun-ción de t. Usar una herramienta de graficación para representar
Usar la gráfica para hallar todos los extremos de la función.Hallar todos los valores de t en que los vectores son ortogonales.
47. 48. 23 sin 4 cos
cos sin ,
42 2 3 ,
1 2 sin 2 cos
2 sin 2 cos ,3 2 , 4 2 3
2 1 14
3 tan
31 1 2
28 3
2 2
8 3
2 sin 1 2 cos sin 1 cos
2 cos3 3 sin3
11 32 3
y
x
z
x y
z
0 22 32 ,
0322 cos 2 sin ,
848
1.2.
3.
4.
5.
6.
7.8. tr t e t et
tr t et e t
tr t i tj
tr t ti tj
tr t t i t j
tr t t i t j
tr t ti t jtr t t i tj
11. 12.13. 14.15.
16.
17.18.19.20.21.22. r t t t
r t t t t t tr t t t tr t e t i j tetkr t t i t t j t kr t a t i a tj k
r t t i tj t k
r t ti t j t kr t t t tr t t tr t t i t jr t t i tj
23.24.25.26.27.28.29.30. r t e t t t
r t t t t t t t tr t ti t j t kr t t i tj t kr t t i tjr t ti tjr t t t i t t jr t t i t j
31.32. tr t ti t j e t k
tr t t i t j t k
En los ejercicios 49 a 52, usar la definición de la derivada parahallar
49. 50.
51. 52.
En los ejercicios 53 a 60, hallar la integral indefinida.
53. 54.
55. 56.
57.
58.
59. 60.
En los ejercicios 61 a 66, evaluar la integral definida.
61. 62.
63.
64.
65. 66.
En los ejercicios 67 a 72, hallar para las condiciones dadas.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
En los ejercicios 77 a 84, demostrar la propiedad. En todos loscasos, suponer que r, u y v son funciones vectoriales derivables det, que w es una función real derivable de t, y que c es un escalar.
84.
85. Movimiento de una partículaxy
a r
b86. Movimiento de una partícula
yz
ab
87.
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 89 a 92, determinar si ladeclaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué odar un ejemplo que muestre que es falsa.
89.
90.
91.
92. r u t.
sin cos .
2 cos 3 sin .
.
sin 1 cos .
0.
1 211 2
12
1 ,
0 12
2 ,
0 40 3 ,4 cos 3 sin ,
00 600 3 600 ,32 ,
0 23 2 6 ,
0 24 2 3 ,
3
0 2
2
0
4
0 sec tan tan 2 sin cos
2
0 cos sin
1
1 3 3
1
0 8
sin cos sec2 11 2
sin cos
2 1 4 3 3
ln 1 1 3 2
4 3 6 4 2
0, sin , 42, 0, 2
3 23 2 1 2
849
73.
74.75.
uu
76. z ut
u
0.0.
88. Investigación r t tit j
a r t
b r r r ra
c r
A-30 Soluciones de los ejercicios impares
r
r
r
r
rr
i j k
rr i j k
i ki j ki ji j
i ji j
i ki ji j k
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r i kr
r
r j k
rr
r
rr
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r i jr ir i jr j
rr
r
rr
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r i jr i jr i jr i j
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s i j ks i j ks i j k
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Soluciones de los ejercicios impares A-31
rrr
i j ki ji j
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i j ki j Ci j k C
i j k Ci j k Cr i kr i j
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ki j k