cÁlculo diferencial temario - ipn...cÁlculo diferencial temario unidad ii derivadas de funciones...

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS No. 8 “NARCISO BASSOLS”

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

Elaboró: Profra. Teresa Badillo Academia de Matemáticas T. V.

Cal

culo

Dif

eren

cial

1

CÁLCULO DIFERENCIAL

Temario

Unidad II Derivadas de funciones algebraicas y Trascendentales

1. Definición y concepto de derivada.

2. Derivadas de funciones algebraicas y trascendentales.

a. Método de los cuatro pasos.

b. Fórmulas de derivación.

c. Derivación de funciones implícitas.

d. Derivadas sucesivas.

FORMULAS DE DERIVADAS ALGEBRAICAS

FUNCIÓN NOTACIÓN DERIVADA

cy dx

cd

dx

dy 0'y

xy dx

xd

dx

dy 1'y

cxy dx

cxd

dx

dy cy '

xy

1

dx

xd

dx

dy

1

2

1'

xy

... vuy

dx

vud

dx

dy ...

...''' vuy

( )

u

cy

dx

u

cd

dx

dy

2

''

u

cuy

FUNCIÓN NOTACIÓN DERIVADA

...uvwy

dx

uvwd

dx

dy ...

...'...'...'...' uvwvuwwuvy

v

uy

dx

v

ud

dx

dy

2

'''

v

uvvuy

nxy dx

xd

dx

dy n

1' nnxy

nuy dx

ud

dx

dy n

'' 1unuy n

uy dx

ud

dx

dy

u

uy

2

''

Recordando que “u” representa una función cualquiera.

'lim

0y

dx

xfd

y

x

x

Definición de derivada

h

xshxsxf

xx

00limlim





Cal

culo

Dif

eren

cial

2

Ejemplos

Derivadas Algebraicas

Deriva cada una de las siguientes funciones aplicando la fórmula correspondiente:

No. Función/Derivada Observaciones

1)

4

21´

8

221´

8

21

12

2

xy

xy

xy

Se aplica la fórmula:

1´ nn cnuycuy

Por lo que se obtiene:

122 2´ xuxu

Sustituyendo en la fórmula cada parte, se obtiene

el debido resultado.

2)

7

15´

7

35´

7

5

2

13

3

xy

xy

xy

Se aplica nuevamente la fórmula:

1´ nn cnuycuy


133 3´ xuxu

Sustituyendo en la fórmula cada parte, se obtiene

el debido resultado.

3)

3

4

4

2

4

22

22

2

2

87´

87´

87´

1487´

2747´

74

x

xy

x

xxy

x

xxy

x

xxxy

x

xxxy

x

xy


2

´´´

v

uvvuy

v

uy

Donde u es la función del numerador y v es la

función del denominador, por lo que se obtiene:

xvxv

uxu

2´

7´74

2

Sustituyendo en la derivada cada parte,

respectivamente.

Se factoría para reducir lo más posible, y en caso

de poder reducir.

4)

2222

22

132

32

7124271236´

7124236´

14127123´

712

xxxxxy

xxxy

xxxy

xxy


´´ 1unuyuy nn

Dónde:

3

2712´712 122

ny

xuxxu

Por lo que se sustituye en la fórmula de la

derivada cada parte.





Cal

culo

Dif

eren

cial

3

5)

32

6´

322

26´

326

xy

xy

xy


u

uyuy

2

´´

En este caso: 2´32 uxu

Y posteriormente se sustituye en la misma.

6)

22

2

32

2

332

2

32

3

95

6512´

95

7260´

95

3610860´

95

941295´

95

4

x

xxy

x

xxy

x

xxxy

x

xxxy

x

xy


2

´´´

v

uvvuy

v

uy


9´95

34´4 233

vxv

xuxu

Sustituyendo en la derivada cada parte,

respectivamente.

7)

xxxxy

xxxxy

xxxxy

xxxx

y

15

18

3

28

63

120

18

25´

215

94

3

7

7

5

9

24

2

5

9

5´

15

9

3

7

9

24

9

5

15

9

3

7

9

24

9

5

57

12

2

7

12141

7

51

2

5

247

5

2

5

2

47 55

Para resolver el ejercicio primero

se aplica la fórmula n

na

a

1

para

trasformar las potencias

fraccionarias.

Para derivar se aplica la formula 1´ nn nxyxy

Ampliándola, aplicando la

constante “c” 1´ nn cnxycxy

8)

11

3925284´

399311

28´

9339711

4´

3911

4

11

394

632

632

263

73

73

xxxy

xxxy

xxxy

xxy

xxy

Aplicando la fórmula:

´´ 1unuyuy nn

Donde

11

47

93´39 133

cyn

xuxxu

Modificando la fórmula, agregando “c”

´´ 1ucnuycuy nn

Se aplica nuevamente sustituyendo cada variable.





Cal

culo

Dif

eren

cial

4

9)

xy

xy

xy

1454

7´

14524

14´

4

145

Se aplica la fórmula: u

uyuy

2

´´

En este caso: 14´145 uxu

Para posteriormente sustituir en la fórmula a

aplicar

10)

11192

57´

1119

3

2

3

x

xy

xy

El ejercicio pareciese simple, pero, hay que tener cuidado como se aplica

la fórmula, un error en cómo se aplica y todo está mal resuelto.

La fórmula a aplicar es: u

uyuy

2

´´

En este caso: 2133 57´319´1119 xuxuxu

Realizando posteriormente la debida sustitución en la fórmula

Ejercicios: Derivar las funciones algebraicas siguientes.

1) xx

y2

1

2

1

2) xxf 43)( 5

3) 53 23 xxy

4) 52)( 2 xxf

5) 36 1412 xxy

6) 3 5

1

xy

7) 62 525 xy

8) x

xy

16

52

9) 3

2

2

3

xx

xxy

10) 15

55

x

xxy

11) 42 125 xxy

12) 36 xy

13) 10 3

5

6xy

14) 25

6

xy

15) 42

3

xy

16) 7

2

xy

17) 5 84

3

xy

18) 36 725 xxy





Cal

culo

Dif

eren

cial

5

Ejemplos

Derivadas Algebraicas sucesivas o de orden superior

Una derivada sucesiva o de orden superior, implica derivar la derivada, hasta el orden que se indique o

posiblemente hasta cero.

El orden, se refleja en el número de comillas (o número romano) que se escribe como superíndice.

No. Función/Derivada

Derivar cada una de las funciones siguientes hasta obtener cero, por resultado.

1)

0''

2´

2

y

y

xy

2)

0'''

4

21''

4

21´

8

21 2

y

y

xy

xy

3)

11

39136089072151239168''

11

391360845364536151239168''

11

5418392528439168''

11

933962528439168''

11

3925284´

11

394

532463

5322463

253263

253263

632

73

xxxxxxxy

xxxxxxxxy

xxxxxxxy

xxxxxxxy

xxxy

xxy

En este caso se debe llegar a la derivada número 22 para obtener el cero, pero, se van ampliando el número de

términos para poder llegar a esta





Cal

culo

Dif

eren

cial

6

4)

5

4

3

2

24

6'''

2''

1´

1

xy

xy

xy

xy

xy

iv

En este caso no existe la

derivada cero, ya que va incrementándose la

potencia.

5)

7

5

3

18

15

8

3'''

4

1''

2

1´

xy

xy

xy

xy

xy

iv

Este es otro caso donde la

derivada cero no existe, se va haciendo más

grande la potencia.

Ejercicios:

1) 3

1

ttf ; xf ´´

2) 152 6 xxf;

xf IV

3) 3

6

m

mmf ; xf ´´

4) xxxf 52 ; xf ´´

5) 165 34 mmmf;

xf VI

6) 23

65

m

mmf ; xf ´´

7) 336 xxf; xf ´´´

8) 64 2tttf ; xf V

Ejemplos

Derivadas Algebraicas Implícitas

Hasta este momento solo se han trabajado funciones explicitas, ahora, derivaremos funciones implícitas, es

decir, funciones en las cuales de ambos lados de la igualdad se encuentren las variables, por ejemplo, las

ecuaciones de las cónicas.

Para estos casos se aplicaran las formulas:

a)

'ydx

yd b)

'1yny

dx

yd nn

Lo que significa que donde se tenga una variable diferente a la que se asigne como independiente, en otras

palabras, “x”, u la que se indique, se podrá esta como derivada, o bien, las comillas que indican derivada. Para

posteriormente realizar el despeje que corresponda en cada caso.





Cal

culo

Dif

eren

cial

7

No. Función/Derivada Notas

1)

yy

xxy

xxyyy

xxyyyy

yyxyyx

yxyx

23

32'

3223'

32'2'3

'22'33

2

2

22

22

22

2233

Derívese término a término y factorice solo la

variable que indica la derivada, no más variables,

ya que para el despeje no sirve de mucho realizar

completamente la factorización.

2)

4210

455'

4554210'

455'4'2'10

'45'24'105

425

2

24

242

242

422

522

xxy

xyyxy

xyyxxxyy

xyyxyyxxyy

yxyxxyxyyy

yxyxxy

Observe que en este caso se aplica la fórmula para

derivar un producto, uv , además de la fórmula de

derivación de potencia. Se debe de tener mucho

cuidado en cómo se aplican las formulas y como se

factoría para no caer en errores, ya que en caso de

no aplicar la formula completa en cada caso no se

puede obtener el resultado solicitado.

3)

26

77'

1414412'

1414'4'12

'41414'12

4274

2

6

62

62

62

723

y

xxy

xxyy

xxyyy

yxxyy

yxxy

Obsérvese como, derivando término a término y

despejando poco a poco, se llega al resultado

correcto.

Ejercicios. Obtén las siguientes derivadas implícitas:

1) 2222 44356 xyxxxyyx

2) yxxyyxxy 65333 22

3) 73125 22 yxyxx

4) xyyyxx 13352 22

5) 33

2

x

yxy

x

xxy





Cal

culo

Dif

eren

cial

8

Ejemplos

Derivadas Funciones Trascendentales: Exponenciales

uay auay u ln'' Este caso la base se trata de un número constante y en la potencia es donde

se tiene la variable.

uvy vuvvuvy uu ln''' 1

Este caso se trata de un polinomio elevado a otro polinomio, lo que implica

que tanto en la base como en la potencia se encuentra la variable.

uey ueuy ''

En este caso la base es el número de Euler, el cual es una constante

inconmensurable, es la fórmula que más aplicación tiene.


1)

7.0ln27.0´

7.0

2

2

x

x

y

y

Se aplica la fórmula: auayay uu ln'´

Dónde: 2´2

7.0

uxu

a

Sustituyendo en la fórmula cada parte, se obtiene el debido resultado.

2)

3ln343ln35´

3ln453´

3

22

2

2

2525

25

25

xxxx

xx

xx

xy

xy

y

Se aplica la fórmula: auayvy uu ln'´

Dónde: xuxxu

a

45´25

3

2

Sustituyendo en la fórmula cada parte, se obtiene el debido

resultado.

Los siguientes ejercicios son los casos de polinomio elevado a un polinomio, por lo que se debe de tener

mucho cuidado en cómo se aplica la formula, ya que es necesario derivar tanto la base como la potencia.

3)

x

x

x

x

xy

xx

xxx

y

xy

xx

xx

x

1ln11

´

1ln1

1111

´

1

2

11

2

11

1


vuvvuvyvy uuu ln''' 1

Dónde:

2

1'

1

1´1

xu

xu

vxv

Por lo que se sustituye en la fórmula de la

derivada cada parte. Para terminar, se

multiplica, dejando especificada la operación,

cada termino.

4)

xxxxxx

xxxxxx

xx

xy

xy

y

23ln232ln223´

23ln1232ln223´

23

1

1


vuvvuvyvy uuu ln''' 1

Dónde: 1'

2ln2´23

uxu

vv xx

Por lo que se sustituye en la fórmula de la derivada

cada parte. Para terminar, se aplican las leyes de

los exponentes para reducir el resultado.

Los casos donde la base es el número de Euler, son los más fáciles de resolver y los de mayor aplicación, ya

que solo se debe de derivar la variable que está en la potencia.





Cal

culo

Dif

eren

cial

9

5)

x

x

ey

ey

2

2

2'

Aplicando la fórmula: uu euyey '´

Dónde: 2´2 uxu

Sustituyendo por ultimo en la formula.

6)

2

2'

2

2'

2´

2´

tey

etey

etey

t

teey

tey

t

tt

tt

tt

t


Además, la formula principal seria, para este caso:

''´ wvvwyvwy

Dónde: t

utu2

1´

Sustituyendo por ultimo en la formula. Y aplicando leyes de los

exponentes y radicales, denominador común y factorizando, se

obtiene el resultado deseado.

7)

2

2

21'

2'

2´

2

22

22

2

xey

exey

xxeey

xey

x

xx

xx

x


Además, la formula principal seria, para este caso: ''´ wvvwyvwy

Dónde: xuxu 2´2

Sustituyendo por ultimo en la formula. Y aplicando leyes de los exponentes y

radicales, denominador común y factorizando, se obtiene el resultado

deseado.

Ejercicios. Obtén mediante formula, la derivada trascendental de las Funciones Exponenciales

1) xexxf 33)(

2) xexy 32 3

3) tettP 23

4) 32104 xyx

5) 3223 2 xyx

6) ttP 02.1300

7) tets 45 2





Cal

culo

Dif

eren

cial

10

Ejemplos

Derivadas Funciones Logarítmicas

uy ln u

uy

''

El logaritmo natural es un logaritmo cuya base es el número de Euler,

uue lnlog . Es una de las fórmulas más usuales.

vy log

v

evy

log''

10ln

´'

v

vy

El logaritmo base diez, vulgar o de Briggs, tiene dos fórmulas de derivación

aplicables, ambas fórmulas, se pueden aplicar indistintamente.

uy alog au

uy

ln

''

En este logaritmo la base es cualquier número diferente a él número de Euler o a

10, tampoco puede ser un número negativo, puede ser cualquier número real

positivo.


1)

ty

tt

ty

tty

5ln1'

5ln5

5´

5ln

Aplicando la fórmula: ''´ vwwvywvy y la formula

u

uyuy

'´ln

Dónde: 5´5 utu

Aplicando en primer lugar la fórmula del producto y en una parte

la del logaritmo, además de reducir, se llega al resultado.

2)

xx

xy

xx

xy

xx

x

xx

y

xx

xx

x

y

xx

xx

xx

y

xxy

3

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

12'

1

12'

1

1

1

´

1

11´

1

11

´

1ln

Aplicando la fórmula: u

uyuy

'´ln

Dónde:

11

2´1 2

2

2

x

x

xxuxxu

Aplicando en este caso la fórmula:

''´ vwwvywvy

Cambiando una variable para no causar

confusión.

Sustituyendo por ultimo en la formula inicial,

reduciendo lo más posible.





Cal

culo

Dif

eren

cial

11

Menos usual que el logaritmo natural son los logaritmos de cualquier base y de Briggs.

3) 37log xy

Para este ejercicio se tienen dos posibilidades de

solución:

a) Usando la derivada v

evy

log'' , se tiene:

37

log7'

x

ey

b) Usando la derivada 10ln

´'

v

vy , se tiene:

10ln37

7'

xy

La deriva de él logaritmo de Briggs, tiene dos

posibles resultados:v

evy

log'' o

10ln

´'

v

vy ,

por lo que cualquiera de los dos es correcto.

Donde 7'37 vxv

Se puede realizar las sustitución en cualquiera de

las dos formulas

4)

2ln95

9'

95log 2

xy

xy

La deriva de un logaritmo de cualquier base es:au

uy

ln

''

Donde 9'95 uxu y la base es 2a

Debe de realizarse cuidadosamente la sustitución en la formula.

5)

9ln76

12'

76log

2

2

9

x

xy

xy


uy

ln

''

Donde xuxu 12'76 2 y la base es 9a


6)

11ln3272

146'

3272log

23

2

23

11

xx

xxy

xxy


uy

ln

''

Donde xxuxxu 146'3272 223 y la base es

11a


Ejercicios. Obtén mediante formula, la derivada trascendental de las Funciones Logarítmicas

1) xxxxxf 4532ln)( 423

2) 22log)( 2 xx eexf

3) x

xxf

1

1log)(

4) xxxf 1ln)(

5) 4 23ln)( xxf

6) xxxf 3log)( 2

2

7) 20log 5 xy

8) senx

senxy

1

1ln

9)

1

1ln

x

xy

10) 1ln 2 xxy





Cal

culo

Dif

eren

cial

12

Ejemplos

Derivadas Funciones Trigonométricas

senuy uuy cos''

uy cos senuuy ''

uy tan uuy 2sec''

uy cot uuy 2csc''

uy sec uuuy tansec''

uy csc uuuy cotcsc''


1)

xxy

xseny

1cos

1´

1

2

La fórmula de derivación en este caso es: uuysenuy ćos´

Como se observa el argumento de la función se deriva y multiplica a la

derivada de la función, considerando que si en lugar de “u”, fuera “x”

Se tendría: xysenxy cos´ y la derivada del argumento es

2

1´

1

xu

xu

2)

32

3

412´

4cos

xsenxy

xy

La fórmula de derivación en este caso es: senuuyuy ´ćos



Se tendría: senxyxy ćos y la derivada del argumento es

23 12´4 xuxu

3)

xy

xy

5sec´

5tan

2

La fórmula de derivación en este caso es: uuyuy 2´sec´tan



Se tendría: xyxy 2sec´tan y la derivada del argumento es

1´5 uxu

4)

322

322

3

52csc15´

52csc15´

52cot

xxy

xxy

xy

La fórmula de derivación en este caso es: uuyuy 2ćscćot



Se tendría: xyxy 2cscćot y la derivada del argumento es

23 15´52 xuxu

5)

xxxy

xy

2tan

2sec

2´

2sec

2

La fórmula de derivación en este caso es:

uuuyuy tan´sec´sec



Se tendría: xxyxy tansec´sec y la derivada del argumento

es 2

2´

2

xu

xu





Cal

culo

Dif

eren

cial

13

6)

xxx

y

xy

cotcsc2

1´

csc


uuuyuy cotćscćsc



Se tendría: xxyxy cotcscćsc y la derivada del

argumento es x

uxu2

1´

7)

22

22

22

cos4´

cos22'

xxsenxy

xsenxxy

xseny

La fórmula principal de derivación en este caso es:

´´ 1unuyuy nn , dado que la función se encuentra elevada a una

potencia, es decir, se encuentra como: nn senuuseny además de

aplicar la fórmula uuysenuy ćos´

Dónde: xuxun 2´,2 2

Por lo que primero se aplica la fórmula de la potencia y después la de la

función.

8)

xxseny

xsenxy

xy

77cos21´

77cos37´

7cos

2

2

3


´´ 1unuyuy nn , dado que la función se encuentra elevada a una

potencia, es decir, se encuentra como: nn uuy coscos además de

aplicar la fórmula senuuyuy ´ćos

Dónde: 7´7,3 uxun

Por lo que primero se aplica la fórmula de la potencia y después la de la

función.

9)

62625

62625

63

sectan18´

sectan63´

tan

xxxy

xxxy

xy


´´ 1unuyuy nn , dado que la función se encuentra elevada a

una potencia, es decir, se encuentra como: nn uuy tantan

además de aplicar la fórmula uuyuy 2´sec´tan

Dónde: 56 6´,3 xuxun

Se debe de tener cuidado, en este caso de cómo aplicar las formulas,

obsérvese, que los exponentes de la función y del argumento, nunca se

colocan juntas para reducirse, siempre se mantiene separadas.





Cal

culo

Dif

eren

cial

14

10)

1

1csc

1

2´

1

1csc

1

2´

1

1csc

1

11´

1

1csc

1

1111´

1

1cot

2

2

2

2

2

2

2

2

u

u

uy

u

u

uy

u

u

u

uuy

u

u

u

uuy

u

uy


uuyuy 2ćscćot

El argumento es 21

2´

1

1

uu

u

uu

11)

3322

3332

32

17tan17sec102´

17tan17sec17sec1732´

17sec

xxxy

xxxxy

xy


´´ 1unuyuy nn , dado que la función se

encuentra elevada a una potencia, es decir, se

encuentra como: nn uuy secsec además de

aplicar la fórmula uuuyuy tan´sec´sec

Dónde: 23 51´17,2 xuxun

Se debe de tener cuidado, en este caso de cómo aplicar

las formulas, obsérvese, que los exponentes de la

función y del argumento, nunca se colocan juntas para

reducirse, siempre se mantiene separadas. Pero, como

aparece doble las función secante, en ese caso se aplica

la formula mnmn aaa , para reducir la función,

solo se debe aplicar para reducir funciones, no se debe

aplicar con los argumentos.

12)

8867

88857

86

7cot7csc336´

7cot7csc7csc786´

7csc

xxxy

xxxxy

xy


´´ 1unuyuy nn , dado que la función se

encuentra elevada a una potencia, es decir, se encuentra

de la forma: nn uuy csccsc además de aplicar

la fórmula uuuyuy cotćscćsc

Dónde: 78 56´7,6 xuxun

Se debe de tener cuidado, en este caso de cómo aplicar

las formulas, obsérvese, que los exponentes de la

función y del argumento, nunca se colocan juntas para

reducirse, siempre se mantiene separadas. Pero, como

aparece doble las función cosecante, en ese caso se

aplica la formula mnmn aaa , para reducir la

función, solo se debe aplicar para reducir funciones, no

se debe aplicar con los argumentos.





Cal

culo

Dif

eren

cial

15

Ejercicios. Obtén mediante formula, la derivada trascendental de las Funciones Trigonométricas

1) xxy 3cos3csc

2) 59)( 3 xsenxf

3) 8

5)(

xsenxf

4) xxf 57cos)(

5) 42tan)( xxf

6) xxxf 85sec)( 2

7) xsenxf 3)( 3

8) 24 35cot)( xxxf

9) x

xy

2cos1

2cos1

10) xseny 2

Ejemplos

Derivadas Funciones Trigonométricas inversas (arco)

arcsenuy 21

''

u

uy

uy arccos 21

''

u

uy

uy arctan 21

''

u

uy

uarcy cot 21

''

u

uy

uarcy sec

1

''

2

uu

uy

uarcy csc

1

''

2

uu

uy


1)

21

1´

xy

arcsenxy

La derivada de la función arco seno es: 21

''

u

uy

Y dado que 1' uxu , se sustituye directo en la formula.

2)

21

1´

arccos

ry

ry


''

u

uy


3)

21

1´

arctan

xy

xy


''

u

uy

Y dado que 1' uxu , se sustituye directo en la formula





Cal

culo

Dif

eren

cial

16

4)

21

1´

cot

zy

zarcy


''

u

uy

Y dado que 1' uxu , se sustituye directo en la formula

5)

1

1´

sec

2

rry

rarcy


''

2

uu

uy


6)

1

1´

csc

2

xxy

xarcy


''

2

uu

uy


7)

23

2

3

751

715´

75

xx

xy

xxarcseny

La fórmula básica en este caso es 21

''

u

uyarcsenuy

Dónde: 715'75 23 xuxxu . Sustituyendo en la

formula los valores de u y u´, se obtiene el resultado deseado.

8)

19

6´

3

19

3

2

3´

9

19

3

2

3´

9

19

3

2

3´

9

11

3

2

3´

3

11

3

2

3´

3

1arccos3

4

2

4

3

4

4

3

4

4

3

4

3

2

2

3

2

xy

x

x

xy

x

x

xy

x

x

xy

x

xy

x

xy

xy

La fórmula básica en este caso es

21

''arccos

u

uyuy

Dónde: 32 3

2'

3

1

xu

xu y 3c

Sustituyendo en la formula los valores de u y u´, y

reduciendo poco a poco los términos, se obtiene el

resultado deseado.





Cal

culo

Dif

eren

cial

17

9)

6

2

23

2

3

251

60´

51

154´

5arctan4

x

xy

x

xy

xy


21

''arctan

u

uyuy

Dónde: 23 15'5 xuxu y 4c

Sustituyendo en la formula los valores de u y u´,

en la formula, se obtiene el resultado deseado.

10)

266036

12´

2560361

12´

561

12´

56cot

24

24

22

2

xx

xy

xx

xy

x

xy

xarcy


21

''cot

u

uyuarcy

Dónde: xuxu 12'56 2 .

Sustituyendo en la formula los valores de u y u´,

se obtiene el resultado deseado.

11)

3202525

5´

14202525

5´

12525

5´

25sec

2

2

2

xxxy

xxxy

xxy

xarcy


1

''sec

2

uu

uyuarcy

Dónde: 5'25 uxu

Sustituyendo en la formula los valores d u y u´, y

reduciendo, se obtiene el resultado deseado.

12)

14

5´

122

10´

2csc

10

255

4

5

xxy

xx

xy

xarcy


1

''csc

2

uu

uyuarcy

Dónde: 45 10'2 xuxu . Sustituyendo en

la formula los valores de u y u´, y reduciendo los

términos, se obtiene el resultado deseado.

Ejercicios. Obtén mediante formula, la derivada trascendental de las Funciones Trigonométricas inversas

1) xarcy 5cos

2) xarcseny

3) x

arcseny1

4) xarcxy cot2

5) 33tan xarcy

6) xarcseny 4

7) xarcy sec

8) 47csc xarcy

9) 3tan 2 xarcy

10) 3

cosx

arcxy





Cal

culo

Dif

eren

cial

18

Ejemplos

Derivadas de Funciones Trascendentales Compuestas

No. Función/Derivada

1)

xxy

x

xy

xarcseny

2

2

ln1

1´

ln1

1

´

ln

2)

x

x

exseny

ey

2cos

2cos

22´

3)

2

2arctan

2arctan

41

2´

x

ey

ey

x

x

4)

x

xseny

xy

ln´

lncos

5)

xarcsenx

y

xarcseny

2sec41

2´

2tan

2

2

6)

7ln´

7

7ln7´

7ln

y

y

y

x

x

x

Ejercicios. Realizar las derivadas de las siguientes funciones trascendentales compuestas

1) xxseny 25ln

2) senxy ln

3) xy tanln

4) xy cosln

5) xarcy lnsec

6) xarcy 5lntan

7) xy logarccos

8) xarcy 5sec4

9)

2

1ln

senx

senxy

10) senxey

Ejemplos

Derivadas Implícitas de funciones Trascendentales No. Función/Derivada Observaciones

1)

1´

1´

´'

´'

´´

ln

2

2

2

2

xy

yy

yxyy

yyxyy

yyxyy

y

yyxy

yxy

Al igual que en las funciones algebraicas

implícitas, en las trascendentales, se aplican la

fórmulas de las explícitas con adecuaciones, para

su desarrollo, recordando que

'ydy

yd .

En esta función se aplican las fórmulas de la

multiplicación y la de logaritmo natural.

Posteriormente se debe de juntar los términos

comunes, para poder factorizar y despejar la

variable que indica la derivada.





Cal

culo

Dif

eren

cial

19

2)

coxy

xy

xyy

xyyy

yyxy

ysenxy

2

2´

2cos2´

2ćos´2

ćos2´2

2 2


potencia y la de la función seno.




3)

yxx

yxysenxy

yxx

yxysenxy

yxysenxyxxy

yxysenxyxyxy

ysenxxyyxyyx

ysenxxyyxy

xyyxsen

coscos

cos´

coscos

cos´

coscoscos´

cosćosćos

ćosćoscos

ćoscos´1

cos


función seno y coseno además de la de

producto.




Nótese además que aunque el argumento de la

función seno tiene una suma de funciones, esta

no se separa, se debe de mantener de esta

manera, ya que el argumento, solo se separa

aplicando una identidad trigonométrica.

4)

xyx

senysenxyy

senysenxyxyxy

senysenxyxyyxy

xyyyyxsenysenx

xyyyxsenxseny

xyxseny

coscos´

coscos´

ćosćos

ćosćos

ćoscos

cos


función seno y coseno además de la de producto.




Obsérvese que en el producto de seno y coseno, al

no tener los mismos argumentos, no son términos

comunes por lo que no se pueden escribir como un

solo termino, en otras palabras, como potencia.

5)

y

y

y

y

y

y

eyy

yxy

yxeyyy

yxeyyyy

yxeyyyy

xeyy

yy

xey

52

24

2452

2452

2452

45

2

552

52

10´

1052´

10´5´2

10´5´2

10´5´2

2ln

En esta función se aplican las fórmulas de

logaritmo natural, numero de Euler y potencia.

Se debe de juntar los términos comunes, para

poder factorizar y despejar la variable que indica la

derivada.





Cal

culo

Dif

eren

cial

20

Obtén las siguientes derivadas implícitas:

1) 21 xysenx

2) 422 xsenyyx

3) 1cos4 xseny

4) yxe yx 2

5) yxsenxe y 1cos

6) 239ln5 xexyy

7) xyxyx ln42 2

8) 2

1325 xyeyxy

Ejemplos

Derivadas de funciones Trascendentales sucesivas o de orden superior

Una derivada sucesiva o de orden superior, implica derivar la derivada, hasta el orden que se indique o

posiblemente hasta cero. El orden, se refleja en el número de comillas (o número romano) que se escribe como

superíndice. En cada uno de los siguientes ejercicios, se obtendrá hasta la tercer derivada


1)

6

6

6

6

6

14´´

4'

246

1'

24

x

x

x

x

ey

ey

ey

ey

6

6

6

9

1´´´

6

1

3

2´´´

3

2´´

x

x

x

ey

ey

ey

En este ejercicio se aplica la fórmula de la derivada

de Euler, por ser una de las formulas repetitivas,

siempre se tendrá en la derivada, tómese en cuenta

que el exponente es el único que se deriva y se

multiplica por la constante en cada una de las

derivadas, siendo este el que se reduce en cada una

de las Derivadas, ya que es un numero fraccionario.

2)

x

x

x

x

x

x

x

y

y

y

y

y

y

y

33

32

32

3

3

3

3

22ln27'''

2ln322ln9'''

22ln9''

2ln322ln3''

22ln3´

2ln32´

2

Este caso es de una constante elevada a la variable,

aplicando esta fórmula en cada una de las veces que

se debe derivar, por lo que la derivada es muy

similar a la del número de Euler, se debe de

considerar que el logaritmo de la base se debe de

multiplicar por el mismo cada vez que se derive,

considerando esto, se toma como un término

algebraico, para poder reducirlo,





Cal

culo

Dif

eren

cial

21

3)

3

2

3

2

3

6´´´

3´´

3´

7

21´

7ln

xy

xy

xy

x

xy

xy

La fórmula para derivar el logaritmo natural, es de

las más sencillas, ya que es la derivada del

argumento entre el argumento, por lo que se reduce

a una fracción, la cual se vuelve a derivar aplicando

la fórmula de una constante entre una variable.

4)

xy

xy

xseny

xseny

xy

xy

xseny

4cos192´´´

4cos448´´´

448´´

4412´´

4cos12´

4cos43´

43

La derivada de la función seno es el coseno y la

derivada de la función coseno es seno, negativo,

por lo que la derivada de estas funciones es

recíproca, por lo que en esta se repiten seno y

coseno en cada derivada, con signo diferente,

además de considerar que en cada derivada se

multiplica por el argumento de la función

trigonométrica, dado que la variable es lineal, solo

se multiplica en cada una por una constante.

5)

ssssy

ssssssy

sssssssssy

sssy

sssssy

ssy

sy

7csc7cot3437csc7cot1718´´´

7cot7csc10297csc7cot3437csc7cot689´´´

7cot7csc7csc73497cot7csc7cot7497csc7csc7cot7249´´´

7csc497csc7cot49´´

7csc7csc777cot7csc7cot77´´

7cot7csc7´

7csc

33

333

222

32

2

Este caso también es cíclico, dado que la derivada de cosecante es ella misma por cotangente, en la

segunda derivada se obtienen dos términos, así que la derivada se vuelve la de un producto, y la siguiente

se convierte en la derivada de un producto y una potencia, por lo cíclica de las funciones y la tercera se

convierte en la de productos y potencias, por lo que en cada una de las derivadas se convierte en una

derivada más compleja, además de que los signos se van multiplicando pasando de positivos a negativos y

viceversa en cada derivada nueva.





Cal

culo

Dif

eren

cial

22

6)

23

234

23

2234234

23

223

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

124´´´

123632222´´´

131222´´´

12´´

1

12´´

1

1

12

´´

1

11

2

´´

1

11

2

´´

1

1´

csc

xx

xxxy

xx

xxxxxxxxxy

xx

xxxxxxy

xx

xxy

xx

xxy

xx

x

xx

y

xx

xx

x

y

xx

xx

xx

y

xxy

xarcy

La derivada de cualquier función

trigonométrica inversa es una fracción,

en algunos casos, como este, es una raíz,

por lo que en la segunda derivada, aparte

de derivar la división de dos funciones,

se deriva una raíz, misma que en este

caso particular se reduce a un polinomio,

mismo que debe volverse a derivar,

aplicando la fórmula de división de dos

polinomios, en este caso, no se puede

reducir ningún termino, ya que el

polinomio resultante en el numerador no

es factorizable ninguno de los

polinomios resultantes en el numerador

de las derivadas obtenidas.

En cada uno de los siguientes ejercicios, obtén hasta la tercera derivada:

1) tey 24

2) ty 02.1400

3) xy 1log

4) xy 5ln

5) xxf 2cos

6) xxy tan2

7) senxxy 3

8) xy 2sec4

1

9) xarcy 3cos

10) xarcy 7tan

cÁlculo diferencial temario - ipn...cÁlculo diferencial temario unidad ii derivadas de funciones...

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