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Capรญtulo 2
Derivada de una funciรณn www.mathspace.jimdo.com
2.1. Preliminares
2.1.1. La pendiente de una recta secante a una curva
Sea una funciรณn ๐ que pasa por los puntos ๐ y ๐ de coordenadas
๐(๐ฅ0, ๐(๐ฅ0)) y ๐(๐ฅ0 + โ, ๐(๐ฅ0 + โ))
Figura 1. Recta secante que pasa por los puntos P y Q
La pendiente de la Recta Secante ๐๐ ๐๐ que pasa por los puntos P y Q estรก dada por la expresiรณn:
๐๐ ๐๐ =๐(๐ฅ0+โ)โ๐(๐ฅ0)
๐ฅ0+โโ๐ฅ0 =
๐(๐ฅ0+โ)โ๐(๐ฅ0)
โ
En Cรกlculo la expresiรณn anterior tambiรฉn es conocida como la Razรณn de Cambio Promedio.
Cuando Q se acerca a P (โ โ 0), las Rectas Secantes se aproximan a la Recta Tangente en el punto P.
Figura 2. Recta tangente que pasa por el punto P
La pendiente de la recta tangente ๐๐ก que pasa por el punto ๐ estรก dada por la expresiรณn:
๐๐ก = limโโ๐
๐(๐ฅ0+โ)โ๐(๐ฅ0)
โ
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Siempre que el lรญmite exista y ๐ estรฉ definida en un intervalo abierto que contiene a ๐ฅ0.
En Cรกlculo la expresiรณn anterior tambiรฉn es conocida como la Razรณn de Cambio Instantรกnea.
Ejemplo 1. Sea ๐(๐ฅ) una curva que tiene como ecuaciรณn ๐(๐ฅ) = ๐๐๐(๐ฅ) y pasa por los puntos P (๐
4, ๐ (
๐
4)) y
Q(๐ฅ, ๐๐๐(๐ฅ)). Escribir una ecuaciรณn que depende de โxโ que represente la pendiente de la secante que une a los puntos P y
Q.
Soluciรณn:
Ejemplo 2. Problema de aproximaciรณn de la razรณn de cambio instantรกnea
La tabla muestra el nรบmero de tiendas de una cadena estadounidense de cafรฉ del 2000 al 2006. El nรบmero de tiendas
registradas es el nรบmero al comienzo de cada aรฑo, en Enero 1.
t(aรฑo) 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
S(tiendas) 1996 2759 3501 4272 5239 6177 7353
Determinar una aproximaciรณn razonable para la razรณn de cambio instantรกnea de tiendas de cafรฉ por aรฑo a principios del
2003 tomando el promedio de las pendientes de dos secantes cercanas.
Soluciรณn:
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2.2. Derivada de una funciรณn.
La expresiรณn ๐(๐ฅ+โ)โ๐(๐ฅ)
โ se denomina tambiรฉn Cociente Diferencial de ๐(๐ฅ).
Definiciรณn: La derivada de una funciรณn ๐(๐) respecto de ๐ es la funciรณn ๐โฒ(๐) (se lee: ๐ prima de ๐) y estรก
dada por:
๐โฒ(๐ฅ) = limโโ๐
๐(๐ฅ + โ) โ ๐(๐ฅ)
โ
El proceso de calcular la derivada se denomina derivaciรณn.
Se dice que ๐(๐ฅ) es derivable en ๐ฅ0 si existe ๐โฒ(๐ฅ0), es decir si el lรญmite del Cociente Diferencial existe cuando ๐ฅ = ๐ฅ0.
Ejemplo 3. Interpretando la pendiente de una curva
Dada la grรกfica de la funciรณn determine un intervalo donde ๐(๐ฅ) > 0 y ๐โฒ(๐ฅ0) < 0
Ejemplo 4. Grรกficas de funciones y sus derivadas.
Dada la grรกfica de la funciรณn, que pasa por los puntos, A,B,C,D,E,F determine en quรฉ puntos de la grรกfica:
a. limโโ๐
๐(๐ฅ+โ)โ๐(๐ฅ)
โ= 0
b. ๐(๐ฅ)๐โฒ(๐ฅ0) < 0
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Ejemplo 5. Identificando la derivada de una funciรณn.
Ejemplo 6. Averiguando cual funciรณn es la derivada.
Ejemplo 7. Trazando intuitivamente la derivada de una funciรณn.
Ejemplo 8. Visualizando derivadas.
Ejercicios: Use la definiciรณn de derivada en los siguientes ejercicios:
Ejercicio 1. Sea ๐(๐) = ๐๐, hallar ๐โฒ(๐).
Ejercicio 2. Calcule la derivada de ๐(๐) = โ๐ฅ y luego utilรญcela para:
a) Hallar la ecuaciรณn de la tangente a la curva ๐(๐) = โ๐ฅ en ๐ฅ = 4.
b) Hallar la razรณn de cambio instantรกnea cuando ๐ฅ = 1.
2.3. Funciones no derivables en un punto
Ejemplo 9. Determine si ๐(๐) = |๐ฅ| es diferenciable en (0,0).
๐โฒ(๐ฅ) = limโโ๐
๐(๐ฅ + โ) โ ๐(๐ฅ)
โ
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Ejemplo 10. En donde una funciรณn no es derivable.
2.4. Notaciรณn de la derivada Sea la funciรณn ๐ = ๐(๐)
Notaciรณn Derivada Derivada de ๐(๐) cuando
๐ = ๐
Notaciรณn de Lagrange: ๐ฆโฒ ๐โฒ(๐ฅ) ๐โฒ(๐)
Notaciรณn de Leibniz: ๐๐ฆ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)|
๐ฅ=๐
Notaciรณn de Cauchy: ๐ท๐ฆ ๐ท๐ฅ๐(๐ฅ) ๐ท๐ฆ|๐ฅ=๐
Notaciรณn de Newton: ๏ฟฝฬ๏ฟฝ ๐ฬ(๐ฅ) ๐ฬ(๐)
2.3. Teorema. Diferenciabilidad y continuidad. Si ๐ es diferenciable en ๐ฅ0, entonces ๐ es continua en ๐ฅ0 .
Nota: Si ๐ es continua en ๐ฅ0, entonces no necesariamente ๐ es diferenciable en ๐ฅ0.
Ejemplo 11. ๐(๐ฅ) = |๐ฅ|. ยฟPor quรฉ f es continua mรกs no diferenciable en un punto dado? ยฟCuรกl punto?
Ejemplo 12. ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2/3. ยฟPor quรฉ g es continua mรกs no diferenciable en un punto dado? ยฟCuรกl punto?
2.5. รlgebra de Derivadas.
รLGEBRA DE DERIVADAS ๐
๐๐ฅ(๐(๐ฅ) ยฑ ๐(๐ฅ)) =
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ) ยฑ
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
๐
๐๐ฅ๐๐(๐ฅ) = ๐
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ); ๐: ๐ถ๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก๐
๐
๐๐ฅ(๐(๐ฅ)๐(๐ฅ)) = ๐(๐ฅ) (
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)) + (
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)) ๐(๐ฅ)
๐
๐๐ฅ(
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)) =
๐(๐ฅ)(๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ))โ๐(๐ฅ)(
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ))
[๐(๐ฅ)]2 ; ๐(๐ฅ) โ 0
๐
๐๐ฅ(๐(๐ฅ)๐(๐ฅ)) = ๐(๐ฅ)๐(๐ฅ) [
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)(
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)) + ๐ฟ๐(๐(๐ฅ)) (
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ))]
๐โฒ(0) = limโโ๐
๐(0 + โ) โ ๐(0)
โ
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TABLA DE DERIVADAS
Nยบ FUNCIรN DERIVADA DERIVADA COMPUESTA
1 ๐ฆ = ๐; ๐: ๐ถ๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก๐ ๐๐
๐๐ฅ= 0
2 ๐ฆ = ๐ฅ ๐๐ฅ
๐๐ฅ= 1
3 ๐ฆ = ๐ฅ๐ ๐
๐๐ฅ๐ฅ๐ = ๐๐ฅ๐โ1
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ(๐(๐ฅ))๐ = ๐๐(๐ฅ)๐โ1
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
4 ๐ฆ = ๐๐๐๐(๐ฅ) ๐
๐๐ฅ๐๐๐๐(๐ฅ)=
1
๐ฅ๐๐๐๐(๐)
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ๐๐๐๐(๐(๐ฅ))=
1
๐(๐ฅ)๐๐๐๐(๐)
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
5 ๐ฆ = ๐ฟ๐(๐ฅ) ๐
๐๐ฅ ๐ฟ๐(๐ฅ) =
1
๐ฅ
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ ๐ฟ๐(๐(๐ฅ)) =
1
๐(๐ฅ)
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
6 ๐ฆ = ๐๐ฅ ๐
๐๐ฅ๐๐ฅ = ๐๐ฅ๐ฟ๐(๐)
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ๐๐(๐ฅ) = ๐๐(๐ฅ)๐ฟ๐(๐)
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
7 ๐ฆ = ๐๐ฅ ๐
๐๐ฅ๐๐ฅ = ๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ๐๐(๐ฅ) = ๐๐(๐ฅ) ๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
8 ๐ฆ = ๐ ๐๐(๐ฅ) ๐
๐๐ฅ๐ ๐๐(๐ฅ) = cos (๐ฅ)
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ๐ ๐๐(๐(๐ฅ)) = cos (๐(๐ฅ))
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
9 ๐ฆ = ๐๐๐ (๐ฅ) ๐
๐๐ฅ๐๐๐ (๐ฅ) = โ๐ ๐๐(๐ฅ)
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ๐๐๐ (๐(๐ฅ)) = โ๐ ๐๐(๐(๐ฅ))
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
10 ๐ฆ = ๐ก๐๐(๐ฅ) ๐
๐๐ฅ๐ก๐๐(๐ฅ) =
1
๐๐๐ 2๐ฅ
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ๐ก๐๐(๐(๐ฅ)) =
1
๐๐๐ 2(๐(๐ฅ))
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
11 ๐ฆ = ๐๐๐ก(๐ฅ) ๐
๐๐ฅ๐๐๐ก(๐ฅ) = โ๐๐ ๐2(๐ฅ)
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ๐๐๐ก(๐(๐ฅ)) = โ๐๐ ๐2(๐(๐ฅ))
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
12 ๐ฆ = ๐ ๐๐(๐ฅ) ๐
๐๐ฅ๐ ๐๐(๐ฅ) = sec(๐ฅ) tan (๐ฅ)
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ๐ ๐๐(๐(๐ฅ)) = sec(๐(๐ฅ)) tan (๐(๐ฅ))
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
13 ๐ฆ = ๐๐ ๐(๐ฅ) ๐
๐๐ฅ๐๐ ๐(๐ฅ) = โ๐๐ ๐(๐ฅ)๐๐๐ก(๐ฅ)
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ๐๐ ๐(๐(๐ฅ)) = โ๐๐ ๐(๐(๐ฅ))๐๐๐ก(๐(๐ฅ))
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
14 ๐ฆ = ๐๐๐๐ ๐๐(๐ฅ) ๐
๐๐ฅ๐๐๐๐ ๐๐(๐ฅ) =
1
โ1 โ ๐ฅ2
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ๐๐๐๐ ๐๐(๐(๐ฅ)) =
1
โ1 โ (๐(๐ฅ))2
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
15 ๐ฆ = ๐๐๐๐๐๐ (๐ฅ) ๐
๐๐ฅ๐๐๐๐๐๐ (๐ฅ) =
โ1
โ1 โ ๐ฅ2
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ๐๐๐๐๐๐ (๐(๐ฅ)) =
โ1
โ1 โ (๐(๐ฅ))2
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
16 ๐ฆ = ๐๐๐๐ก๐๐(๐ฅ) ๐
๐๐ฅ๐๐๐๐ก๐๐(๐ฅ) =
1
1+๐ฅ2
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ๐๐๐๐ก๐๐(๐(๐ฅ)) =
1
1 + (๐(๐ฅ))2
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
17 ๐ฆ = ๐ ๐๐โ(๐ฅ) ๐
๐๐ฅ๐ ๐๐โ(๐ฅ) = ๐๐๐ โ(๐ฅ)
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ๐ ๐๐โ(๐(๐ฅ)) = ๐๐๐ โ(๐(๐ฅ))
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
18 ๐ฆ = ๐๐๐ โ(๐ฅ) ๐
๐๐ฅ๐๐๐ โ(๐ฅ) = ๐ ๐๐โ(๐ฅ)
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ๐๐๐ โ(๐(๐ฅ)) = ๐ ๐๐โ(๐(๐ฅ))
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
19 ๐ฆ = ๐ก๐๐โ(๐ฅ) ๐
๐๐ฅ๐ก๐๐โ(๐ฅ) =
1
๐๐๐ โ2(๐ฅ)
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ๐ก๐๐โ(๐(๐ฅ)) =
1
๐๐๐ โ2(๐(๐ฅ))
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
20 ๐ฆ = ๐๐๐๐ ๐๐โ(๐ฅ) ๐
๐๐ฅ๐๐๐๐ ๐๐โ(๐ฅ) =
1
โ๐ฅ2 + 1
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ๐๐๐๐ ๐๐โ(๐(๐ฅ)) =
1
โ(๐(๐ฅ))2 + 1
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
21 ๐ฆ = ๐๐๐๐๐๐ โ(๐ฅ) ๐
๐๐ฅ๐๐๐๐๐๐ โ(๐ฅ) =
1
โ๐ฅ2 โ 1
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ๐๐๐๐๐๐ โ(๐(๐ฅ)) =
1
โ(๐(๐ฅ))2 โ 1
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
22 ๐ฆ = ๐๐๐๐ก๐๐โ(๐ฅ) ๐
๐๐ฅ๐๐๐๐ก๐๐โ(๐ฅ) =
1
1 โ ๐ฅ2
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ๐๐๐๐ก๐๐โ(๐(๐ฅ)) =
1
1 โ (๐(๐ฅ))2
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
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EJERCICIOS EN CLASE. Derivar cada una de las siguientes funciones:
1. ๐ฆ = 6๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 1
2. ๐ฆ = โ3๐ฅ๐ โ ๐๐ฅ๐ + ๐๐ฅ + ๐ฅโ2
3. ๐ง = โ๐ฅ โ 2โ๐ฅ53+
1
2โ๐ฅ2 + 14
โ4
โ๐ฅ+
10
๐ฅโ ๐ฅ
4. ๐ฆ = โ๐ฅ + โ๐ฅ + โ๐ฅ
5. ๐ฆ = โ(1 โ ๐ฅ)2 + โ๐ฅ โ 1
6. ๐ฆ = โ๐ฅ + โ1
๐ฅ
7. ๐ก = log3 ๐ฅ โ log4(๐ฅ โ 5) + log3(๐ฅ10 โ 3๐ฅ)
8. ๐ค = ๐ฟ๐(๐ฅ) + ๐ฟ๐(๐ฅ2 โ ๐ฅ) โ ln (๐ฅ โ1
๐ฅ)
9. ๐ฆ = ๐ฟ๐(๐ฅ๐๐ฅ) โ ๐ฟ๐ (๐ฅ
๐๐ฅ) + ๐ฟ๐(๐ฅ)5
10. ๐ง = ๐ฟ๐9(๐ฅ) โ ๐ฟ๐(๐ฅ9) + ๐ฟ๐(๐ฅ + ๐๐ฅ)
11. ๐ฆ = ๐ฟ๐โ1+๐ฅ2
๐ฅ2โ1
12. ๐ง = โ๐ฅ2 + 3๐ฅ + 2 โ ๐ ๐๐(๐ฅ2 โ 3๐ฅ)
13. ๐ง = (๐ข3 + 1)5(๐ข3 โ 2)8
14. ๐ฆ = โ๐ฅ๐๐ฅ + ๐๐ฅ+3๐ฅ
15. ๐ฆ = ๐๐ฅ+1๐ฟ๐(๐ฅ2 + 1)
16. ๐ก = ๐๐ฅ3+1๐ ๐๐(๐ฟ๐(๐ฅ))
17. ๐ก = (๐ฅ + 10)๐ด๐๐๐ ๐๐(๐ฅ โ 3)
18. ๐ฆ = (๐ฅ2 โ 7)๐ฟ๐(๐ฟ๐(๐ฅ2 โ 7))
19. ๐ง = (3๐ก)๐๐๐ 4(3๐ก2) โ ๐ก๐ ๐๐9(6๐ก)
20. ๐ฆ = 100๐ค(๐ค2 โ 3)(๐ด๐๐๐๐๐ (๐ค โ 10))
21. ๐ฆ = ๐๐๐ (5๐ฅ) + ๐๐๐ 2(5๐ฅ) โ ๐๐๐ ((5๐ฅ)2)
22. ๐ฆ = cos(๐ฅ)๐ด๐๐ ๐ก๐๐(๐ฅ) โ ๐ ๐๐(๐ฅ + 2) +
[csc (10๐ฅ)]4
23. ๐ค = 9๐ฅ2+2
๐ฅ3+1
24. ๐ฆ = [๐ฅ3+3๐ฅ2+๐ฅ
๐ฅ2โ1]
10
25. ๐ง =1
โ3๐ฅ2+๐ฅ
26. ๐ฆ = โ๐ฅ+1
๐ฅ2โ1
27. ๐ฆ = (๐ ๐๐(๐ก)
cos (2๐ก))
3
28. ๐ง =1
4๐ฟ๐ (
๐ฅ2
๐ฅ2โ4) โ
1
๐ฅ2โ4
29. ๐ค =๐ก๐ ๐๐3(๐๐ก)
1+๐ก
30. ๐ง =(3๐ก2โ6)
4
(2โ2๐ก2)5
31. ๐ฆ = (๐ฅ2โ4
๐ฅโ4)
1/2
32. ๐ฆ =โ๐ค+1+3
(๐ค2+1)5
33. ๐ฆ = ๐ฅ๐ฅ
34. ๐ฆ = ๐๐ฅ; r: constante
35. ๐ฆ = (โx)cos (๐ฅโ3)
36. ๐ง = (๐ฟ๐(๐ฅ + 1))๐ด๐๐๐ก๐๐(๐ฅ)
37. ๐ค = (๐ฅ2 + 10๐ฅ)๐๐ ๐(๐ฅ)
38. ๐ฆ = (sec (๐ฅ โ 2))๐๐๐(๐ฅ2)
39. ๐ฆ = (โcot (๐ฅ + 2))๐ฅ5
40. ๐ฆ = (๐ฅ๐๐ฅ) โ๐ฅ+13
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2.6. Derivada compuesta - Regla de la cadena. Si ๐ฆ = ๐(๐ฅ) es una funciรณn derivable de ๐ข, y si ademรกs ๐ข = ๐(๐ฅ) es una funciรณn derivable de ๐ฅ, entonces ๐ฆ = ๐(๐(๐ฅ)) es
una funciรณn derivable con
๐๐ฆ
๐๐ฅ=
๐๐ฆ
๐๐ขโ
๐๐ข
๐๐ฅ
O lo que es lo mismo:
๐
๐๐ฅ[๐(๐(๐ฅ))] =
๐
๐๐ข๐(๐(๐ฅ)) โ
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
Nota: Todos los ejercicios anteriores, se trabajaron usando la Regla de la Cadena. Observe la รบltima columna de la Tabla
de Derivadas.
2.7. Derivaciรณn implรญcita. Es una tรฉcnica que se usa para derivar funciones que no estรกn dada en la forma usual ๐ฆ = ๐(๐ฅ) (forma explรญcita) o donde
resulta muy difรญcil despejar ๐ en funciรณn de ๐.
Procedimiento:
1. Derivar ambos lados de la ecuaciรณn con respecto a ๐ฅ (variable independiente).
2. Agrupar todos los tรฉrminos que contengan ๐๐ฆ
๐๐ฅ en un lado de la ecuaciรณn y agrupar los demรกs tรฉrminos en el otro
lado.
3. Despejar ๐๐ฆ
๐๐ฅ.
Ejemplo 13. Derivar implรญcitamente la funciรณn dada: ๐ฆ + ๐ฆ3 โ ๐ฅ = 7.
๐ฆ + ๐ฆ3 โ ๐ฅ = 7 ๐
๐๐ฅ(๐ฆ + ๐ฆ3 โ ๐ฅ) =
๐
๐๐ฅ(7)
๐
๐๐ฅ(๐ฆ) +
๐
๐๐ฅ(๐ฆ3) โ
๐
๐๐ฅ(๐ฅ) =
๐
๐๐ฅ(7)
๐๐ฆ
๐๐ฅ+ 3๐ฆ2
๐๐ฆ
๐๐ฅโ 1 =
0
๐๐ฆ
๐๐ฅ+ 3๐ฆ2
๐๐ฆ
๐๐ฅ = 1
๐๐ฆ
๐๐ฅ(1 + 3๐ฆ2) = 1
๐๐ฆ
๐๐ฅ =
1
1 + 3๐ฆ2
Ejemplo 14. Derivar implรญcitamente la funciรณn dada: ๐ฅ3 + 4๐ฅ๐ฆ2 โ 27 = ๐ฆ4.
Ejemplo 15. Encontrar la pendiente de la curva ๐ฅ3 = (๐ฆ โ ๐ฅ2)2 en (1,2).
Ejemplo 16. Sea ๐ โ ๐ = ๐ฟ๐(๐) + ๐ฟ๐(๐). Encuentre ๐๐
๐๐.
Derivada interna
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Ejemplo 17. Encontrar la pendiente de la curva ๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 4 en (โ2, โ2). Hacer una representaciรณn grรกfica de la
curva y la recta que pasa por la curva y el punto dados.
2.8. Derivada de funciones inversas. Sea ๐ una funciรณn inyectiva, si ๐ es derivable en ๐โ1(๐) y esa derivada es distinta de cero, entonces ๐ es derivable en ๐ y
se cumple que:
๐
๐๐ฅ๐โ1(๐) =
1
๐๐๐ฅ
๐[๐โ1(๐)]
Ejemplo 18. Derivada de logaritmo natural.
๐ฆ = ๐ฟ๐(๐ฅ) Sea la funciรณn logaritmo natural. ๐๐ฆ = ๐ฅ Despejando ๐ฅ.
๐
๐๐ฅ๐๐ฆ =
๐
๐๐ฅ๐ฅ Derivando con respecto a ๐ฅ.
๐๐ฆ๐๐ฆ
๐๐ฅ = 1
๐๐ฆ
๐๐ฅ =
1
๐๐ฆ Despejando
๐๐ฆ
๐๐ฅ.
๐๐ฆ
๐๐ฅ =
1
๐ฅ
Reemplazando ๐๐ฆ = ๐ฅ.
Por tanto, ๐
๐๐ฅ๐ฟ๐(๐ฅ) =
1
๐ฅ.
Ejemplo 19. Derivada de seno inverso.
Ejemplo 20. Derivada de coseno inverso.
Ejemplo 21. Derivada de tangente inversa.
2.9. Derivaciรณn logarรญtmica. Es una tรฉcnica usada con frecuencia para simplificar la derivaciรณn de ๐ฆ = ๐(๐ฅ) cuando ๐(๐ฅ) tiene productos, cocientes o
potencias.
Procedimiento:
1. Tomar logaritmo natural en ambos lados de la ecuaciรณn.
2. Simplificar usando las propiedades de los logaritmos.
3. Derivar ambos lados de la ecuaciรณn.
4. Despejar ๐ฆโฒ.
5. Expresar la respuesta solo en tรฉrminos de ๐ฅ. (la variable independiente).
Verificar: ๐
๐๐ฅ๐โ1(๐ฅ) =
1
๐๐๐ฅ
๐[๐โ1(๐ฅ)]
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Ejemplo 22. Usar derivaciรณn logarรญtmica para derivar la funciรณn dada: ๐ฆ =(2๐ฅโ5)3
๐ฅ2 โ๐ฅ2+14
Ejemplo 23. Usar derivaciรณn logarรญtmica para derivar la funciรณn dada: ๐ฆ =
Ejemplo 24. Usar derivaciรณn logarรญtmica para derivar la funciรณn dada: ๐ฆ =
2.10. Derivadas de orden superior. La derivada de una funciรณn ๐ฆ = ๐(๐ฅ) es a su vez, una funciรณn ๐โฒ(๐ฅ). Si se deriva ๐โฒ(๐ฅ), la funciรณn resultante se llama
segunda derivada de f con respecto a x y se denota como ๐โฒโฒ(๐ฅ) (se lee: f doble prima de x o f segunda de x). De manera
similar se define la tercera derivada de f(x), etc.
Notaciรณn:
Primera derivada ๐ฆโฒ ๐โฒ(๐ฅ) ๐๐ฆ
๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ[๐(๐ฅ)]
Segunda derivada ๐ฆโฒโฒ ๐โฒโฒ(๐ฅ) ๐2๐ฆ
๐๐ฅ2 ๐2
๐๐ฅ2[๐(๐ฅ)]
Tercera derivada ๐ฆโฒโฒโฒ ๐โฒโฒโฒ(๐ฅ) ๐3๐ฆ
๐๐ฅ3 ๐3
๐๐ฅ3[๐(๐ฅ)]
Cuarta derivada ๐ฆ(4) ๐(4)(๐ฅ) ๐4๐ฆ
๐๐ฅ4 ๐4
๐๐ฅ4[๐(๐ฅ)]
Ejemplo 25. Sea ๐(๐ฅ) = ๐๐ฅ5 โ ๐๐ฅ3 + 2๐ฅ โ 97. Encontrar todas las derivadas de orden superior de f(x).
Ejemplo 26. Determinar la razรณn de cambio de ๐โฒ(๐ฅ), si ๐(๐ฅ) = ๐ฅ๐ฟ๐(๐ฅ) + ๐๐ฅ.
2.11. Valores extremos locales. Sea ๐(๐ฅ) definida en un intervalo I que contiene a c.
1. ๐(๐) es el mรญnimo de ๐ en ๐ผ si ๐(๐) โค ๐(๐ฅ) (โ๐ฅ โ ๐ผ). (Valor mรญnimo local).
2. ๐(๐) es el mรกximo de ๐ en ๐ผ si ๐(๐) โฅ ๐(๐ฅ) (โ๐ฅ โ ๐ผ). (Valor mรกximo local).
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Ejemplo 27. Sea ๐(๐ฅ) = ๐ ๐๐(๐ฅ).
2.12. Valores extremos globales. (Consultar)
2.13. Teorema. Si f toma un valor extremo en c y es derivable en c, entonces ๐โฒ(๐) = 0.