08ti - anualidades constantes a plazo fijo

8/13/2019 08ti - Anualidades Constantes a Plazo Fijo

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INTRODUCCIN

La presente investigacin es realizada, utilizando los trminos: anualidad vencida

cuando tratemos con rentas post pagables y anticipadas cuando tratemos con

rentas prepagables.

Las anualidades que estudiaremos a continuacin nos permiten determinar el

valor actual o futuro a travs de modelos matemticos que varan en progresin

geomtrica creciente o decreciente. Tratase de anualidades constantes o

uniformes post pagables o prepagables.

Los valores actuales y futuros de las anualidades (gradientes, perpetuidades)

anticipadas (adelantadas) o prepagables son calculadas a partir de las vencidas o

post pagables multiplicndolas por (1 + i), reiteramos, el VA o VF de las

anualidades prepagables son el resultado de capitalizar un perodo las post

pagables.

El prontuario de frmulas se puede ver en el captulo cuatro, seguido del captulo

cinco donde se desarrollan diez casos prcticos de anualidades.


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ndice

INTRODUCCIN .............................................................................................................................. ii

I. CAPITULO I .............................................................................................................................. 6

A) OBJETIVOS ...................................................................................................................... 6

Caractersticas de la matemtica................................................................................... 6

B) QU SIGNIFICA LA PALABRA MATEMTICA........................................................ 7

C) QU ES LA MATEMTICA ........................................................................................... 7

D) ALGUNOS PROBLEMAS MATEMTICOS ............................................................... 8

E) CMO SE DA LA INNOVACIN EN LA MATEMTICA......................................... 9

F) LA NATURALEZA DE LAS MATEMTICAS................................................................. 9

G) PAUTAS Y RELACIONES ........................................................................................... 10

H) MATEMTICAS, CIENCIA Y TECNOLOGA ........................................................... 12I) LA INVESTIGACIN MATEMTICA ............................................................................. 13

Abstraccin y representacin simblica...................................................................... 13

Manipulacin de los enunciados matemticos .......................................................... 14

Aplicacin ......................................................................................................................... 15

J) DEFINICIN DE MATEMTICA FINANCIERA ........................................................... 17

K) CONCEPTOS BSICOS .............................................................................................. 17

Factibilidad Econmica .................................................................................................. 17

. Factibilidad Financiera ................................................................................................. 18

Factibilidad Econmica versus Factibilidad Financiera............................................ 18

Valor Econmico Agregado .......................................................................................... 19

Proyecto de Inversin .................................................................................................... 19

Relaciones de la matemtica financiera con otras disciplinas................................ 19

II. CAPITULO II ........................................................................................................................... 23

A) OBJETIVOS .................................................................................................................... 23

B) DEFINICIN DE ANUALIDADES ............................................................................... 23C) OTRAS DEFINICIONES IMPORTANTES ................................................................. 25

Intervalo o Perodo de Pago ......................................................................................... 25

Plazo de la Anualidad .................................................................................................... 26

Renta ................................................................................................................................ 26


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D) PRINCIPALES APLICACIONES DE LAS ANUALIDADES................................... 26

E) POCAS DE VALUACIN DE LAS ANUALIDADES............................................. 26

F) OBJETO DE CLCULO DE LAS ANUALIDADES ..................................................... 27

G) ELEMENTOS QUE CONFORMAN LAS ANUALIDADES...................................... 28

III. CAPITULO III ...................................................................................................................... 29

A) OBJETIVOS .................................................................................................................... 29

B) ANUALIDADES CIERTAS O A PLAZO FIJO .......................................................... 29

C) EN FUNCIN DE LA POCA DE PAGO DE CADA RENTA ................................ 29

Vencidas u ordinarias .................................................................................................... 29

Anticipadas o inmediatas .............................................................................................. 29

Diferidas ........................................................................................................................... 30

Diferidas vencidas .......................................................................................................... 30 Diferidas anticipadas ...................................................................................................... 30

Atendiendo la periodicidad de los pagos y la frecuencia de las capitalizaciones deinters ....................................................................................................................................... 31

D) ATENDIENDO LA VARIABILIDAD DE LOS PAGOS DE RENTA....................... 31

Constantes ....................................................................................................................... 31

Variables .......................................................................................................................... 31

E) ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO................................................................... 32

Rentas perpetuas ........................................................................................................... 32

Costo capitalizado .......................................................................................................... 32

Costos equivalentes ....................................................................................................... 32

Lmite de gastos para alargar la vida til de un activo.............................................. 32

F) ANUALIDADES CONTINGENTES O EVENTUALES................................................. 33

Rentas vitalicias .............................................................................................................. 33

Dote pura ......................................................................................................................... 33

Seguros de vida .............................................................................................................. 34

IV. CAPITULO IV ..................................................................................................................... 35

A) OBJETIVOS .................................................................................................................... 35

B) ANUALIDADES .............................................................................................................. 35

Monto ................................................................................................................................ 36

Valor actual ...................................................................................................................... 36


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Renta en funcin del monto .......................................................................................... 36

Renta en funcin del valor actual................................................................................. 36

Tiempo en funcin del monto ....................................................................................... 37

Tiempo en funcin del valor actual .............................................................................. 37

C) ANUALIDADES PAGADERAS CADA K AOS.................................................. 37

Monto ................................................................................................................................ 38

Valor actual ...................................................................................................................... 38

Renta en funcin del monto .......................................................................................... 38

Renta en funcin del valor actual................................................................................. 39

Tiempo en funcin del valor actual .............................................................................. 39

V. CAPITULO V ........................................................................................................................... 40

A) ANUALIDADES PAGADERAS EN PERIODOS MENORES O IGUALES A UNAO 40

PROBLEMA NO. 1 MONTO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA.............................. 40

Problema no. 2 monto de una anualidad anticipada. ............................................... 41

Anualidades en funcin del valor actual anticipado.................................................. 41

Anualidades en funcin del valor actual diferido....................................................... 42

Renta En Funcin del Valor Actual .............................................................................. 43

Renta en Funcin del Monto ......................................................................................... 43

Tiempo en funcin del Monto: ...................................................................................... 45

Tiempo en funcin del Valor Actual ............................................................................. 46

B) PROBLEMA DE ANUALIDADES CONSTANTES A PLAZO FIJO PAGADEROSEN PERODOS MAYORES DE UN AO .............................................................................. 47

Valor actual anticipado diferido .................................................................................... 47

Tiempo en funcin del valor actual anticipado........................................................... 48

CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 50

RECOMENDACIONES ................................................................................................................. 51

BIBLIOGRAFA .............................................................................................................................. 52

CUESTIONARIO ............................................................................................................................ 53

ANALISIS ............................................................................................................................................ 54


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Universidad San Carlos de Guatemala

Seminario Integrador Profesional

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I. CAPITULO I

GENERALIDADES DE LAS MATEMTICAS

Debido a su abstraccin, las matemticas son universales en un sentido en que

no lo son otros campos del pensamiento humano. Tienen aplicaciones tiles en

los negocios, la industria, la msica, la historia, la poltica, los deportes, la

medicina, la agricultura, la ingeniera y las ciencias naturales y sociales.

A) OBJETIVOS

Dar a conocer la definicin de matemtica, con nfasis a la matemtica

financiera.

Establecer los conceptos relacionados a la matemtica financiera.

Establecer la relacin que tienen la matemtica financiera con otras

disciplinas.

Caractersticas de la matemtica

La Matemtica posee varias caractersticas que la hacen diferir de otras

disciplinas.

1. La primera es que es muy difcil de describir o definir su materia de

estudio. Es claro cuales la materia de estudio de la Astronoma y de la,

Biologa, pero no de la Teora Algebraica. Esto se debe

fundamentalmente a que los objetos de estudio son conceptosabstractos definidos que a menudo van encadenados a otros conceptos

previamente definidos. Su descripcin se reduce a definiciones formales

que requieren de conexiones neuronales, las cuales requieren de cierto

tiempo para realizarse. Esto, aunado a una madurez matemtica o

entrenamiento matemtico le permite al ser humano asimilar una buena

cantidad de ideas abstractas. Por ejemplo, trate usted de explicarle a su

sobrinita preguntona qu es la adicin, o de qu se trata la GeometraAnaltica, o qu es un anillo. Requerir, despus de muchas


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explicaciones intuitivas, establecer definiciones formales y tiempo,

mucho tiempo.

2. La segunda caracterstica es que posee una lgica perfecta. LaMatemtica de Euclides es tan vlida hoy como en la poca de Euclides.

Esto contrasta con otras teoras, como la de la tierra plana, la del flogisto

o la del ter.

3. La tercera es lo conclusivo de la Matemtica, esto es, las diferentes

disciplinas toman conclusiones con base en las manipulacionesmatemticas.

4. La cuarta es su independencia, esto es, no requiere de equipos costosos

a diferencia de las ciencias experimentales. Basta a veces con lpiz y

papel, o ni siquiera esto. Arqumedes dibujaba sobre la arena. Leray

escribi su matemtica siendo prisionero de guerra. Apesar de los

regmenes polticos de toda ndole, la Matemtica contina

evolucionando. Es interesante observar que sus bibliotecas son menosgrandes que las de otras disciplinas.

B) QU SIGNIFICA LA PALABRA MATEMTICA

Segn Arrigo Coen, Mathema significa erudicin, manthnein es el infinitivo de

aprender, el radical mendh significa en pasivo, ciencia, saber. Luego, es lo

relativo al aprendizaje. As que en sentido implcito, Matemtica significa: lo

digno de ser aprendido.

C) QU ES LA MATEMTICA

No existe una definicin de lo que es la Matemtica. Sin embargo, se dice que

es una coleccin de ideas y tcnicas para resolver problemas que provienen de

cualquier disciplina, incluyendo a la Matemtica misma.


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D) ALGUNOS PROBLEMAS MATEMTICOS

Recuerden el famoso ltimo teorema de Fermat (el cual sucede al de la

ecuacin pitagrica x2 + y2 = z2) que dice que la ecuacin xn + yn = zn nuncatiene soluciones enteras positivas para cualquier entero positivo n mayor que 2.

Excepto para n = 2, estas ecuaciones no tienen una interpretacin geomtrica.

Aparentemente este problema no pareciera tener mucha importancia,

sin embargo ha tenido una influencia enorme en el desarrollo de la

Matemtica. Fermat dijo que tena una demostracin pero que no tena espacio

para escribirla. Por ms de 300 aos, este problema, aparentemente sencillo,

ha sido el motivo de grandes esfuerzos de muchos matemticos y esprecisamente de estos esfuerzos que se han creado nuevas tcnicas y

conceptos, los cuales tienen influencia en muchas reas de la Matemtica.

El problema de los cuatro colores afirma que solamente se requieren 4 colores

para iluminar o colorear cualquier mapa del globo terrestre con la condicin de

que dos pases adyacentes deban tener colores diferentes. La solucin

positiva, ms de cien aos despus, fue obtenida mediante el uso de la

computadora, teniendo un impacto muy pequeo en la Matemtica. Fue el

primer problema no trivial solucionado por la computadora.

En la Matemtica, si un problema se resuelve mediante mtodos estndar, el

problema pierde mucho de su inters. Si no se resuelve mediante los mtodos

conocidos por mucho tiempo, se convierte en un problema clsico. Un buen

problema es aquel que da lugar a nuevas tcnicas con gran aplicabilidad aotras reas.

Las ideas nuevas que constituyen los pasos para obtener la solucin de algn

problema constituyen el progreso de la Matemtica. Los matemticos sabemos

apreciar las tcnicas ingeniosas.


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E) CMO SE DA LA INNOVACIN EN LA MATEMTICA

A diferencia de otras disciplinas cientficas, en la Matemtica la creacin de

nuevos mtodos o tcnicas constituye la innovacin, la cual es vital para elprogreso de la Matemtica.

No se requiere del descubrimiento de antiguos documentos manuscritos, ni del

trabajo experimental o de la introduccin de nueva tecnologa. La innovacin se

da, entre otras cosas, por la creacin de nuevas tcnicas. Por ejemplo, cuando

Galois se dio cuenta al trabajar en el problema de la insolubilidad de laecuacin polinomial general de grado al menos 5 que la clave estaba en las

simetras de las cinco soluciones de la ecuacin, provey los fundamentos de

la teora general de la simetra, la cual es una de las ramas ms profundas y de

amplio espectro de toda la Matemtica, llamada Teora de Grupos.

Tambin hay innovacin interna al tratar de dar cohesin a una teora

matemtica, al realizar preguntas adecuadas, las cuales requieren de mucha

intuicin y compenetracin. Tambin puede venir de problemas de otras

disciplinas.

Se puede decir que hay progreso matemtico cuando existe una aplicacin

continua de mtodos usuales intercalados espectacularmente con nuevos

conceptos y problemas.

F) LA NATURALEZA DE LAS MATEMTICAS

Las matemticas dependen tanto de la lgica como de la creatividad, y estn

regidas por diversos propsitos prcticos y por su inters intrnseco. Para

algunas personas, y no slo para los matemticos profesionales, la esencia deesta disciplina se encuentra en su belleza y en su reto intelectual Para otros,


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incluidos muchos cientficos e ingenieros, su valor principal estriba en la forma

en que se aplican a su propio trabajo. Ya que las matemticas juegan ese

papel central en la cultura moderna, es indispensable una comprensin

bsica de ellas en la formacin cientfica. Para lograr esto, debe percatarse

de que las matemticas forman parte del quehacer cientfico, comprender la

naturaleza del pensamiento matemtico y familiarizarse con las ideas y

habilidades de esta disciplina.

G) PAUTAS Y RELACIONES

Las matemticas son la ciencia de las pautas y las relaciones. Como disciplina

terica, exploran las posibles relaciones entre abstracciones, sin importar si

stas tienen homlogos en el mundo real. Las abstracciones pueden ser

cualquier cosa, desde secuencias de nmeros hasta figuras geomtricas o

series de ecuaciones. Si se propone, por ejemplo, "forma una pauta el

intervalo entre nmeros primos?" como pregunta terica, los matemticos se

interesarn slo en encontrar la pauta o probar que sta no existe, pero no en

buscar la utilidad que podra tener tal conocimiento. Cuando se deriva, por

ejemplo, una expresin para el cambio en el rea de cualquier cuerpo regular

cuando su volumen se aproxima a cero, los matemticos no manifiestan inters

en la concordancia entre los cuerpos geomtricos y los objetos fsicos del

mundo real.

Una lnea fundamental de investigacin en las matemticas tericas es

identificar en cada campo de estudio un pequeo conjunto de ideas y reglas

bsicas a partir de las cuales puedan deducirse, por lgica, todas las dems

ideas y reglas de inters en ese campo. Los matemticos, como otros

cientficos, gozan en particular cuando descubren que partes de esa ciencia sin

relacin previa pueden ser derivables entre s o a partir de una teora ms

general. Parte del sentido de belleza que muchas personas han percibido en

esta ciencia no radica en hallar la ms grande perfeccin o complejidad, sino al


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contrario, en encontrar un gran ahorro y sencillez en la representacin y la

comprobacin. A medida que las matemticas avanzan, se han encontrado

ms y ms relaciones entre partes que se haban desarrollado por separado

por ejemplo, entre las representaciones simblicas del lgebra y las

representaciones espaciales de la geometra. Estas interconexiones hacen

posible que surjan intuiciones que deben desarrollarse en las diversas partes

de la disciplina; juntas, fortalecen la creencia en la exactitud y unidad esencial

de toda la estructura.

Las matemticas son tambin una ciencia aplicada. Muchos matemticos

dedican sus energas a resolver problemas que se originan en el mundo de la

experiencia. De igual manera, buscan pautas y relaciones; en el proceso

utilizan tcnicas similares a las que se emplean en esta ciencia puramente

terica. La diferencia es en gran medida de propsito. En contraste con las

matemticas tericas, las aplicadas, en los ejemplos anteriores, podran

estudiar la pauta del intervalo de los nmeros primos para desarrollar un nuevo

sistema para codificar informacin numrica, ms que como un problemaabstracto. Tambin podran abordar el problema sobre el rea/volumen como

un paso en la concepcin de un modelo para el estudio del comportamiento del

cristal.

Los resultados de las matemticas tericas y aplicadas con frecuencia influyen

entre s. A menudo los descubrimientos de los matemticos tericos tienen un

valor prctico no previsto algunas veces dcadas despus. Por ejemplo, el

estudio de las propiedades matemticas de acontecimientos que ocurren al

azar condujo al conocimiento que ms tarde hizo posible mejorar el diseo de

los experimentos en las ciencias naturales y sociales. Por el contrario, al tratar

de solucionar el problema del cobro justo a los usuarios del telfono de larga

distancia, los especialistas hicieron importantes descubrimientos sobre las

matemticas de redes complejas. Las matemticas tericas, a diferencia de

otras ciencias, no estn restringidas por el mundo real, pero a la larga

contribuyen a entenderlo mejor.


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H) MATEMTICAS, CIENCIA Y TECNOLOGA

Debido a su abstraccin, las matemticas son universales en un sentido en que

no lo son otros campos del pensamiento humano. Tienen aplicaciones tiles en

los negocios, la industria, la msica, la historia, la poltica, los deportes, la

medicina, la agricultura, la ingeniera y las ciencias naturales y sociales. Es

muy amplia la relacin entre las matemticas y los otros campos de la ciencia

bsica y aplicada. Ello obedece a varias razones, incluidas las siguientes:

La relacin entre la ciencia y las matemticas tiene una larga historia,que data de muchos siglos. La ciencia le ofrece a las matemticas

problemas interesantes para investigar, y stas le brindan a aqulla

herramientas poderosas para el anlisis de datos. Con frecuencia, los

modelos abstractos que han sido estudiados por los matemticos, por el

puro inters que despiertan han resultado ser muy tiles para la ciencia

tiempo despus. La ciencia y las matemticas estn tratando de

descubrir pautas y relaciones

Las matemticas son el principal lenguaje de la ciencia. El lenguaje

simblico matemtico ha resultado ser en extremo valioso para expresar

las ideas cientficas sin ambigedad. La declaracin a = F/m no es slo

una manera abreviada de decir que la aceleracin de un objeto depende

de la fuerza que se le aplique y de su masa; sino que es un enunciado

preciso de la relacin cuantitativa entre esas variables. Ms importante

an, las matemticas proporcionan la gramtica de la ciencia las reglaspara el anlisis riguroso de ideas cientficas y datos.

Las matemticas y la ciencia tienen muchas caractersticas en comn.

Estas incluyen la creencia en un orden comprensible; una interaccin de

imaginacin y lgica rigurosa; ideales de honestidad y franqueza; la

importancia decisiva de la crtica de los compaeros; el valor atribuido a

ser el primero en hacer un descubrimiento clave; abarcar el mbito

internacional; e incluso, con el desarrollo de poderosas computadoras


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electrnicas, ser capaz de utilizar la tecnologa para abrir nuevos

campos de investigacin.

Las matemticas y la tecnologa tambin han desarrollado una relacinproductiva mutua. Las matemticas de las relaciones y cadenas lgicas,

por ejemplo, han contribuido considerablemente al diseo del hardware

computacional y a las tcnicas de programacin. Las matemticas

tambin ayudan de manera importante a la ingeniera, como en la

descripcin de sistemas complejos cuyo comportamiento puede ser

simulado por la computadora. En tales simulaciones, pueden variarse las

caractersticas del diseo y las condiciones de operacin como un mediopara encontrar diseos ptimos. Por su parte, la tecnologa

computacional ha abierto reas totalmente nuevas en las matemticas,

aun en la misma naturaleza de la comprobacin, y tambin contina

ayudando a resolver problemas anteriormente atemorizantes.

I) LA INVESTIGACIN MATEMTICA

El uso de las matemticas para expresar ideas o resolver problemas

comprende por lo menos tres fases: 1. representar de manera abstracta

algunos aspectos de las cosas; 2. manejar las abstracciones mediante reglas

de lgica para hallar nuevas relaciones entre ellas, y 3. ver si las nuevas

relaciones indican algo til sobre las cosas originales.

Abstraccin y representacin simblica

El pensamiento matemtico comienza con frecuencia con el proceso de

abstraccin esto es, observar una similitud entre dos o ms acontecimientos u

objetos. Los aspectos que tienen en comn, ya sea concretos o hipotticos, se

pueden representar por smbolos como los nmeros, letras, otros signos,

diagramas, construcciones geomtricas o incluso palabras. Todos los nmeros

son abstracciones que representan el tamao de conjuntos de cosas y

sucesos, o el orden de los elementos en una serie. El crculo como concepto esuna abstraccin derivada de caras humanas, flores, ruedas, u olas pequeas


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que se expanden; la letra A puede ser una abstraccin para el rea de objetos

de cualquier forma, para la aceleracin de todos los objetos mviles o para

aquellos que tienen una propiedad especfica; el smbolo + representa un

proceso de adicin, aun cuando uno se encuentre sumando manzanas o

naranjas, horas o millas por hora. Y las abstracciones no se hacen slo a partir

de objetos o procesos concretos; tambin pueden realizarse con base en otras

abstracciones, como las clases de nmeros (los nmeros pares, por ejemplo).

Tal abstraccin permite a los matemticos concentrarse en ciertas

caractersticas de los objetos, adems de que les evita la necesidad de guardar

continuamente otras en su mente. En lo que a las matemticas se refiere, no

importa si un tringulo representa el rea de un velero o la convergencia de dos

lneas visuales sobre una estrella; los matemticos pueden trabajar con ambos

conceptos de igual manera. El ahorro de esfuerzo resultante es muy til

siempre y cuando al hacer la abstraccin se ponga cuidado en no soslayar las

caractersticas que juegan un papel importante en la determinacin de los

resultados de los sucesos que se estn estudiando.

Manipulacin de los enunciados matemticos

Una vez que se han hecho las abstracciones y se han seleccionado las

representaciones simblicas de ellas, los smbolos se pueden combinar y

recombinar de diversas maneras de acuerdo con reglas definidas con

exactitud. En ocasiones, eso se lleva a cabo teniendo en mente un objetivo fijo;

en otras, se hace en el contexto de un experimento o prueba para ver lo que

sucede. A veces, una manipulacin apropiada se puede identificar fcilmente a

partir del significado intuitivo de las palabras y smbolos de que se compone; en

otras ocasiones, una serie til de manipulaciones se tiene que resolver por

tanteo.


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Es comn que el conjunto de smbolos se combine en enunciados que

expresan ideas o proposiciones. Por ejemplo, el smbolo A para el rea de

cualquier cuadrado se puede combinar con la letra s que representa la longitud

del lado del cuadrado, para formar la expresin A = s2. Esta ecuacin

especfica de qu manera se relaciona el rea con el lado y tambin implica

que no depende de nada ms. Las reglas del lgebra comn se pueden utilizar,

entonces, para descubrir que si se duplica la longitud de los lados de un

cuadrado, el rea de ste se cuadruplica. En s, este conocimiento hace posible

que se descubra lo que le sucede al rea de un cuadrado sin importar cunto

vare la longitud de sus lados y, por el contrario, cmo cualquier cambio en el

rea afecta a los lados.

El discernimiento matemtico en las relaciones abstractas ha aumentado a lo

largo de miles de aos y todava sigue amplindose y en ocasiones se revisa.

Aunque las matemticas comenzaron en la experiencia concreta de contar y

medir, han evolucionado a travs de muchas etapas de abstraccin y ahora

dependen mucho ms de la lgica interna que de la demostracin mecnica.Entonces, en cierto sentido, la manipulacin de las abstracciones es casi un

juego: comenzar con algunas reglas bsicas, despus hacer

cualquier

Movimiento que las cumpla el cual incluye la invencin de reglas adicionales y

encontrar nuevas relaciones entre las antiguas. La prueba para validar lasideas nuevas consiste en que sean congruentes y se relacionen lgicamente

con las dems.

Aplicacin

Los procesos matemticos pueden llevar a un tipo de modelo de una cosa, a

partir de los cuales se obtendran profundizaciones de la cosa misma.


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Cualquier relacin matemtica que se obtenga por medio de la manipulacin de

enunciados abstractos puede o no transmitir algo verdadero sobre el objeto que

se est modelando. Por ejemplo, si a dos tazas de agua se agregan otras tres,

y la operacin matemtica abstracta 2 + 3 = 5 se utiliza para calcular el total, la

respuesta correcta es cinco tazas de agua. No obstante, si a dos tazas de

azcar se aaden tres tazas de t caliente y se realiza la misma operacin,

cinco es una respuesta incorrecta, pues esa suma da por resultado slo un

poco ms de cuatro tazas de t muy dulce. La simple suma de volmenes es

apropiada para la primera situacin, pero no para la segunda lo que podra

haberse predicho slo conociendo algo sobre las diferencias fsicas en los dos

casos. As, para utilizar e interpretar bien las matemticas, es necesario estar

interesado en algo ms que la validez matemtica de las operaciones

abstractas, as como tomar en consideracin qu tan bien se corresponden con

las propiedades de las cosas que representan.

Algunas veces, el sentido comn es suficiente para decidir si los resultados de

las matemticas son apropiados. Por ejemplo, para calcular la estatura de unajoven cuando tenga 20 aos si en la actualidad mide 1.63 m y crece a una tasa

de 2.54 cm por ao, el sentido comn sugiere rechazar la respuesta simple de

"tasa por tiempo" de 2.13 m como muy improbable, y dirigirse a algn

otro modelo matemtico, como las curvas que aproximan valores restrictivos.

Sin embargo, en ocasiones, puede ser difcil saber qu tan correctos son los

resultados matemticos por ejemplo, al tratar de predecir los precios en la

bolsa de valores, o los terremotos.

Con frecuencia, sucede que una sesin de razonamiento matemtico no

produce conclusiones satisfactorias; entonces se intenta efectuar cambios en la

manera en que se hizo la representacin o en las mismas operaciones. De

hecho, se dan saltos entre pasos hacia adelante y hacia atrs y no hay reglas

que determinen cmo se debe proceder. El proceso avanza tpicamente a

empujones, con muchas vueltas errneas y callejones sin salida. Este proceso

contina hasta que los resultados son suficientemente buenos.


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Pero, qu grado de exactitud es el suficiente? La respuesta depende de la

forma en que se vaya a utilizar el resultado, las consecuencias del error, y elposible costo de modelar y estimar una respuesta ms precisa. Por ejemplo, un

error de 1% al calcular la cantidad de azcar en una receta para pastel podra

ser insignificante, pero un grado de error similar en el clculo de la trayectoria

de una sonda espacial podra resultar desastroso. Sin embargo, la importancia

de la pregunta "suficiente" ha llevado al desarrollo de procesos matemticos

para estimar qu tan lejos podran llegar los resultados y cunto clculo se

requerira para obtener el grado de precisin deseado.

J) DEFINICIN DE MATEMTICA FINANCIERA

La Matemtica Financiera es una derivacin de la matemtica aplicada que

estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el

tiempo para obtener un rendimiento o inters, a travs de mtodos de

evaluacin que permiten tomar decisiones de inversin. Llamada tambinanlisis de inversiones, administracin de inversiones o ingeniera econmica.

En este texto debe comprenderse las Matemticas financieras como: Conjunto

de herramientas matemticas, las cuales permiten analizar cuantitativamente la

viabilidad o factibilidad econmica y financiera de los proyectos de inversin.

K) CONCEPTOS BSICOS

Factibilidad Econmica

La factibilidad econmica de un proyecto de inversin tiene que ver con la

bondad de invertir recursos econmicos en una alternativa de inversin, sin

importar la fuente de estos recursos. En esta fase de la evaluacin, se analizala decisin de inversin independiente del dueo del proyecto, se enfatiza


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nicamente en los recursos comprometidos en la empresa, excluyendo el

origen de estos.

. Factibilidad Financiera

En la factibilidad financiera del proyecto de inversin se evala el retorno para

los dueos. En esta fase del proyecto lo que interesa es determinar si la

inversin efectuada exclusivamente por el dueo, obtiene la rentabilidad

esperada por l.

Factibilidad Econmica versus Factibilidad Financiera

En el mbito de la evaluacin de proyecto es de vital importancia comprender

que a cada decisin de inversin, corresponde una decisin de financiacin.

Con la condicin fundamental de que la rentabilidad de la inversin, debe

satisfacer la estructura financiera de la empresa. La decisin de

inversin, como ya se mencion, tiene que ver con la estructura operativa de laempresa y con una de las funciones de la Administracin financiera que es

definir donde invertir. Para poder tomar la decisin de invertir hay necesidad de

definir los indicadores de gestin financiera que permitan establecer si la

empresa cumple con su objetivo financiero bsico y si los proyectos de

inversin que enfrenta cotidianamente la acercan a su meta. La decisin de

financiacin, otra de las decisiones fundamentales de la administracin, tienen

que ver con la estructura financiera de la empresa o proyecto, esta estructurase refiere a los dueos de los recursos (deuda o recursos propios), la cual tiene

un costo que se denomina el costo de capital promedio ponderado. Al evaluar

la estructura financiera del proyecto, interesa disear indicadores financieros

que permitan identificar si los inversionistas o dueos de la empresa estn

alcanzando la meta financiera, la cual en empresas que tengan nimo de lucro,

es ganar ms dinero ahora y en el futuro.


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Valor Econmico Agregado

Solamente, cuando la rentabilidad de la inversin supere el costo de capital

promedio ponderado, se generara valor econmico para los propietarios de laempresa. nicamente en este evento los inversionistas estn satisfaciendo sus

expectativas y alcanzando sus objetivos financieros.

Proyecto de Inversin

Oportunidad de efectuar desembolsos de dinero con las expectativas de

obtener retornos o flujos de efectivo (rendimientos), en condiciones de riesgo.

Cualquier criterio o indicador financiero es adecuado para evaluar proyectos de

inversin, siempre y cuando este criterio permita determinar que los flujos de

efectivo cumplan con las siguientes condiciones: Recuperacin de las

inversiones, recuperar o cubrir los gastos operacionales y adems obtener una

rentabilidad deseada por los dueos del proyecto, de acuerdo a los niveles del

riesgo de este. El riesgo del proyecto se describe como la posibilidad de que un

resultado esperado no se produzca. Cuanto ms alto sea el nivel de riesgo,tanto mayor ser la tasa de rendimiento y viceversa, de este nivel de riesgo se

desprende la naturaleza subjetiva de este tipo de estimaciones.

Relaciones de la matemtica financiera con otras disciplinas

La matemtica financiera, Es una rama de la matemtica aplicada que estudia

el valor del dinero en el tiempo, al combinar elementos fundamentales (capital,

tasa, tiempo) para conseguir un rendimiento o inters, al brindarle herramientas

y mtodos que permitan tomar la decisin ms correcta a la hora de una

inversin.


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Contabilidad: Es el proceso mediante el cual se identifica, mide, registra y

comunica la informacin econmica de una organizacin o empresa, con el fin

de que las personas interesadas puedan evaluar la situacin de la entidad.

Relacin: Suministra en momentos precisos o determinados, informacin

razonada, en base a registros tcnicos, de las operaciones realizadas por un

ente privado pblico, que permitan tomar la decisin ms acertada en el

momento de realizar una inversin.

Derecho: Es el conjunto de leyes, preceptos y reglas, a los que estn

sometidos los hombres que viven en toda sociedad civil. El derecho posee

diferentes ramas por lo que se relaciona de diversas maneras con las

matemticas financieras.

Derecho Mercantil: es el conjunto de leyes relativas al comercio y a lastransacciones realizadas en los negocios.

Relacin: En sus leyes se encuentran artculos que regulan las ventas, los

instrumentos financieros, transportes terrestres y martimos, seguros, corretaje,

garantas y embarque de mercancas; que representan instrumentos esenciales

en las finanzas.

Derecho Civil: es el conjunto de normas e instituciones destinadas a laproteccin y defensa de la persona y de los fines que son propios de sta.

Relacin: Regula la propiedad de los bienes, la forma en que se pueden

adquirir, los contratos de compra y venta, disposiciones sobre hipotecas,

prstamos a inters; que representa el campo de estudio de las matemticas

financieras, es decir, todas las transacciones econmicas que estudia esta

disciplinas.


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21

Economa: Es una ciencia social que estudia los procesos de produccin,

distribucin, comercializacin y consumo de bienes y servicios; es decir,

estudia la riqueza para satisfacer necesidades humanas.

Relacin: esta disciplina brinda la posibilidad de determinar los mercados en

los cuales, un negocio o empresa, podra obtener mayores beneficios

econmicos.

Ciencia poltica: es una disciplina que estudia el estudio sistemtico del

gobierno en su sentido ms amplio. Abarca el origen de los regmenes

polticos, sus estructuras, funciones e instituciones, las formas en que los

gobiernos identifican y resuelven problemas socioeconmicos y las

interacciones entre grupos e individuos importantes en el establecimiento,

mantenimiento y cambio de los gobiernos.

Relacin: Las ciencias polticas estudian y resuelven problemas econmicos

que tengan que ver con la sociedad, donde existen empresas e

instituciones en manos de los gobiernos. Las matemticas financieras auxiliana esta disciplina en la toma de decisiones en cuento a inversiones,

presupuestos, ajuste econmico y negociaciones que beneficien a toda la

poblacin.

Ingeniera: Es l termino que se aplica a la profesin en la que el conocimiento

de las matemticas y la fsica, alcanzado con estudio, experiencia y prctica, se

aplica a la utilizacin eficaz de los materiales y las fuerzas de la naturaleza.

Relacin: Esta disciplina controla costos de produccin en el proceso fabril, en

el cual influye de una manera directa la determinacin del costo y depreciacin

de los equipos industriales de produccin.

Informtica: es el campo de la ingeniera y de la fsica aplicada relativo al

diseo y aplicacin de dispositivos, por lo general circuitos electrnicos, cuyo

funcionamiento depende del flujo de electrones para la generacin,

transmisin, recepcin y almacenamiento de informacin.


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22

Relacin: Esta disciplina ayuda a ahorrar tiempo y a optimizar procedimientos

manuales que estn relacionados con movimientos econmicos, inversiones y

negociaciones.

Finanzas: Es el termino aplicado a la compra-venta de instrumentos legales

cuyos propietarios tienen ciertos derechos para percibir, en el futuro, una

determinada cantidad monetaria.

Relacin: esta disciplina trabaja con activos financieros o ttulos valores e

incluyen bonos, acciones y prstamos otorgados por instituciones financieras,

que forman parte de los elementos fundamentales de las matemticas

financieras.

Sociologa: es la ciencia que estudia el desarrollo, la estructura y la funcin de

la sociedad. Esta analiza las formas en que las estructuras sociales, las

instituciones y los problemas de ndole social influyen en la sociedad.

Relacin: la sociedad posee empresas que necesitan el buen manejo o una

buena administracin de los recursos tanto humano como material. La

matemtica financiera trabaja con inversiones y le proporciona a la sociologalas herramientas necesarias para que esas empresas produzcan ms y

mejores beneficios econmicos que permitan una mejor calidad de vida de la

sociedad


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23

II. CAPITULO II

GENERALIDADES DE LAS ANUALIDADES

En el presente captulo se muestran algunas de las generalidades ms

importantes de las anualidades.

A) OBJETIVOS

Dar a conocer la definicin de anualidad.

Establecer los conceptos relacionados en el desarrollo de las anualidades,

su aplicacin, las pocas de valuacin de las anualidades y el objeto de

clculo de stas.

B) DEFINICIN DE ANUALIDADES

Se conoce como anualidades a una serie de pagos iguales y peridicos.Tambin se dice que una anualidad es un pago o ingreso derivado de fondos

cuyo fin es proporcionar la base para el pago de una cantidad.

La palabra anualidad da la idea de perodos anuales; sin embargo son

anualidades siempre y cuando sean perodos regulares, no importando que

sean anuales o no (Perodos menores o mayores a un ao). Por ejemplo:

Una anualidad cuyos pagos peridicos se realizan al final de cada

ao y de Q. 500.00 cada uno.

- 1 ao - - 1 ao - - 1 ao - - 1 ao -

500 500 500 500


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24

Una anualidad cuyos pagos peridicos de Q. 150.00 se realizan al final de

cada 6 meses.

Una anualidad cuyos pagos peridicos de Q. 2,500.00 se realizan al final

de cada 2 aos.

En todos los casos anteriores se cumplen las condiciones de las anualidades,

pagos de igual valor por perodos regulares, no necesariamente de un ao, enlos ltimos dos casos.

En algunas ocasiones, se debe tener cuidado de diferenciar ms de una

anualidad en una serie de pagos por ejemplo:

Dos anualidades en las que los pagos se estn haciendo al final de cada

1.5 aos, pero sus valores no son los mismos, y entonces hay una

anualidad para los pagos de Q. 800.00 y otra para los pagos de Q.

5,800.00

- 6 meses - - 6 meses - - 6 meses - - 6 meses -

150 150 150 150

- 2 aos - - 2 aos - - 2 aos - - 2 aos -

2,500 2,500 2,500 2,500

- 1.5 aos - - 1.5 aos - - 1.5 aos - - 1.5 aos -

800 800 2,800 2,800


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25

Dos anualidades en las que todos los pagos son de Q. 800.00 cada uno,

pero una es pagadera cada 6 meses y la otra cada ao.

C) OTRAS DEFINICIONES IMPORTANTES

Intervalo o Perodo de Pago

Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro de la anualidad. Existen

anualidades con perodos de pago iguales a un ao, menores de un ao y con

perodos de pago mayores a un ao.

- 6 meses - - 6 meses - - 1 ao - - 1 ao -

800 800

- 6 meses -

800 800 800

1 2

1 2


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26

Plazo de la Anualidad

Es el tiempo que transcurre desde el inicio del primer perodo de pago y el final

del ltimo perodo de pago de la anualidad.

Renta

Es el pago peridico de la anualidad.

D) PRINCIPALES APLICACIONES DE LAS ANUALIDADES

Las anualidades son utilizadas en distintas operaciones financieras por

ejemplo: los pagos mensuales de alquiler, arrendamiento financiero, los pagos

de sueldos y salarios, las amortizaciones de las viviendas compradas a plazos,

las amortizaciones de crditos otorgados, las compras al crdito de vehculos

mediante amortizaciones iguales cada cierto tiempo, entre otros.

E) POCAS DE VALUACIN DE LAS ANUALIDADES

Dependiendo lo que se desea conocer de la anualidad se vala al inicio o al

final del plazo. Si se desea conocer el valor actual se debe realizar la valuacinal inicio del plazo.

Si lo que se quiere conocer es su monto, la valuacin debe realizarse al final de

la serie de pagos. Tambin puede evaluarse en perodos intermedios y

determinar montos si se quiere conocer lo acumulado hasta esa fecha o

valores actuales si se desea conocer lo que est pendiente de amortizar a esa

fecha. Por ejemplo:


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27

Cuando la valuacin se realiza al inicio y al final de la anualidad.

Cuando la valuacin se realiza en perodos intermedios. Si se quiere

conocer lo acumulado a la fecha de valuacin se determina el monto delos pagos efectuados.

Cuando la valuacin se realiza en perodos intermedios. Si se quiere

conocer lo que est pendiente de amortizar a la fecha de valuacin, sedetermina el valor actual de los pagos que an no se han hecho.

F) OBJETO DE CLCULO DE LAS ANUALIDADES

Bsicamente se utilizan para crear fondos, mediante la acumulacin de los

pagos y/o amortizar deudas, mediante los abonos peridicos por valores

iguales o cuotas niveladas.

A S

Valor Actual Monto

Inicio Final

S

Fecha de Valuacin

Inicio Acumulacin Parcial

A

Valor Actual

Saldo pendiente deamortizar

Final


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G) ELEMENTOS QUE CONFORMAN LAS ANUALIDADES

ELEMENTO SMBOLO

Monto S

Valor Actual A

Renta R

Tiempo N

No. de pagos en el ao P

Tasa efectiva de inters I

Tasa nominal de inters J

No. de capitalizaciones en el ao M

Perodo de diferimiento Y


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III. CAPITULO III

CLASIFICACIN DE LAS ANUALIDADES

A continuacin se la clasificacin de las anualidades:

A) OBJETIVOS

Conocer las diferentes anualidades que pueden desarrollarse.

Establecer las principales diferencias entre las anualidades.

Aprender a identificar los tipos de anualidades que se presentan.

B) ANUALIDADES CIERTAS O A PLAZO FIJO

Son aquellas en las cuales se conoce cuando se inician y cuando finalizan los

pagos y si tienen plazo indefinido o a perpetuidad.

C) EN FUNCIN DE LA POCA DE PAGO DE CADA RENTA

Vencidas u ordinarias

Cuando la renta se efecta al final de cada perodo de pago. Por ejemplo los

pagos mensuales vencidos, los pagos cada final de ao, los pagos al final de

cada semestre, etc.

Anticipadas o inmediatas

Cuando la renta se efecta al inicio de cada perodo de pago. Por ejemplo los

pagos mensuales anticipados, los pagos al inicio de cada ao, al inicio de cadasemestre, etc.

R R R R


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30

Diferidas

Cuando la serie de pagos no se inicia de inmediato, sino que se deja pasar un

perodo sin que se efecte amortizacin alguna. Estas anualidades diferidas

pueden ser a su vez, diferidas vencidas o diferidas anticipadas.

Diferidas vencidas

Diferidas anticipadas

R R RR

R R

En estos perodos no se hacen pagos.

Perodo de diferimiento

RR

En estos perodos no se hacen pagos.

Perodo de diferimiento


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31

El perodo de diferimiento deber aplicarse nicamente a las frmulas del valor

actual o sus derivadas y no as para las del monto.

Atendiendo la periodicidad de los pagos y la frecuencia de las

capitalizaciones de inters

Un pago de renta en el ao y tasa de inters efectiva

Un pago de renta en el ao y tasa de inters nominal

Varios pagos en el ao y tasa de inters efectiva.

Varios pagos en el ao y tasa de inters nominal.

Pagos por perodos mayores de un ao y tasa de inters efectiva.

Pagos por perodos mayores de un ao y tasa de inters nominal.

D) ATENDIENDO LA VARIABILIDAD DE LOS PAGOS DE RENTA

Constantes

Son constantes cuando el valor de la renta siempre es el mismo.

Variables

Cuando el valor de la renta vara atendiendo leyes matemticas, por lo que

pueden ser en progresin aritmtica y en progresin geomtrica, en amboscasos pueden presentarse de forma creciente o decreciente.


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32

E) ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO

Rentas perpetuas

Es una serie de pagos cuyo plazo es indeterminado o sea que el tiempo es

infinito, por lo tanto el capital permanece invariable por un tipo infinito y los

pagos de renta se toman de los intereses generados en un determinado

tiempo. En este tipo de anualidades no se puede determinar el monto por

desconocerse el tiempo de finalizacin de la serie de pagos.

Costo capitalizado

Se le denomina as a la inversin necesaria para adquirir un activo y al mismo

tiempo estar en condicin de reemplazarlo cada determinado perodo de aos

en forma indefinida o sea que es igual al costo inicial del activo ms el valor

actual de infinito nmero de renovaciones. Para interpretar los resultados de

dos alternativas a elegir se deber considerar la que presente el menor costocapitalizado.

Costos equivalentes

Consiste en determinar el precio el precio que se puede pagar por un bien que

debe ser reemplazado cada perodo de aos de manera que dicho desembolso

en perodos infinitamente largos sea equivalente al de otro bien que tenga la

misma utilidad pero con un costo inicial y de reemplazo diferentes.

Lmite de gastos para alargar la vida til de un activo

Constituye un indicador financiero que determina el lmite de gastos que puede

adicionarse para prolongar la vida til de un activo en comparacin con el costo

de preposicin de un activo similar cuya vida til est relacionada con el


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33

nmero de aos que se puede prolongar dicho activo. Es aquella erogacin

que justificadamente se puede hacer para prolongar la vida til de un activo sin

alterar su costo capitalizado. Nos permite determinar financieramente cundo

conviene prolongar la vida de un activo en vez de sustituirlo.

F) ANUALIDADES CONTINGENTES O EVENTUALES

Son aquellas cuyo inicio o finalizacin depende de un suceso cuya realizacin

no puede fijarse con certeza, como por ejemplo la supervivencia o la muerte de

una persona. Se aplica en las rentas vitalicias y los seguros de vida.

Rentas vitalicias

Serie de pagos que me efectan durante el tiempo que la persona beneficiaria

se encuentre con vida para recibirlos. Con la muerte del rentista finaliza la

obligacin de pagar las rentas.

Dote pura

Toma este nombre una cantidad de dinero que se pagar al cabo de n aos a

una persona de edad actual x a condicin, de que est entonces con vida.

Se trata de un capital cuyo pago es un evento aleatorio porque est

condicionado a que la persona de edad x cumpla x +n aos para recibirlo,

por tanto el precio justo est dado por la esperanza matemtica o depsito que

el individuo en cuestin debe efectuar hoy para recibirlo slo si se encuentra

con vida a la edad x + n.


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34

Seguros de vida

Los pagos de la prima del seguro se realizan si el asegurado se encuentra con

vida para hacerlos, y al ocurrir su muerte se hace efectivo el pago de la sumaasegurada.


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35

IV. CAPITULO IV

PRONTUARIO DE FORMULAS DE ANUALIDADES

En el presente captulo se dan a conocer las diferentes frmulas a utilizar para

resolver las anualidades.

A) OBJETIVOS

Conocer las diferentes frmulas para el desarrollo de las anualidades.

Establecer la frmula necesaria para resolver cada tipo de anualidad que se

presente.

B) ANUALIDADES

Simbologa

Monto = S

Valor Actual = A

Renta = R

Tiempo = n

No. de pagos en el ao = P

Tasa efectiva de inters = i

Tasa nominal de inters = j

No. de capitalizaciones en el ao = m


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36

Perodo de diferimiento = y

Monto

Valor actual

Renta en funcin del monto

Renta en funcin del valor actual

mn

(1 + j/m) - 1

S = R

FACTOR DE ANTICIPACIN

m/p

- mn

1 - (1 + j/m)

A = R

FACTORES DE

ANTICIPACIN Y DIFERIMIENTO

m/p

S { (1 + j/m) - 1 }

R =


- m/p

m/p

A { (1 + j/m) - 1 }

R =

FACTORES DE



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37

Tiempo en funcin del monto

Tiempo en funcin del valor actual

C) ANUALIDADES PAGADERAS CADA K AOS

Simbologa

Monto = S

Valor Actual = A

Renta = W

Tiempo = n

No. de aos para cada pago = k

m/p

S { (1 + j/m) - 1 }

Log + 1

R *

=

* FACTOR DE ANTICIPACIN

m/p

1

m/p

A { (1 + j/m) - 1}

Log 1 -

* *

* * FACTORES DE



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38

Tasa nominal de inters = j

No. de capitalizaciones en el ao = m

Perodo de diferimiento = y

Monto

Valor actual

Renta en funcin del monto

mn

(1 + j/m) - 1

S = W


mk

- mn

1 - (1 + j/m)

A = W

FACTORES DE


mk

(1 + j/m) - 1

W = S


- mk


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39

Renta en funcin del valor actual

Tiempo en funcin del monto

Tiempo en funcin del valor actual

mk

(1 + j/m) - 1

W = A

FACTORES DE


mk

S { (1 + j/m) - 1 }

Log + 1

W *

* FACTOR DE ANTICIPACIN

mk

1

mk

A { (1 + j/m) - 1}

Log 1 -

W * *

n =

* * FACTORES DE



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40

V. CAPITULO V

CASOS PRCTICOS DE ANUALIDADES

En el presente captulo se dan a conocer ejemplos de algunas anualidades que

se utilizan frecuentemente.

OBJETIVOS

1. Aplicar las frmulas establecidas en el captulo anterior.

2. Desarrollar de manera correcta los diferentes tipos de anualidades.

A) ANUALIDADES PAGADERAS EN PERIODOS MENORES O

IGUALES A UN AO

PROBLEMA NO. 1 MONTO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA.

Una empresa descuenta a sus empleados el 5% quincenal de sus sueldos,cantidad que deposita en una cuenta de depsitos monetarios de un banco del

sistema, con el propsito que al retirarse tengan una suma de dinero adicional

a la de sus prestaciones. Los depsitos son bimensuales por valor de Q.3,

000.00 cada uno, devengando el 10% anual de inters capitalizable cada

trimestre. Qu cantidad se ha acumulado hoy que han transcurrido 5 aos y 6

meses?

Resolucin:


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41

Problema no. 2 monto de una anualidad anticipada.

Un ganadero depositar Q. 12,000.00 al principio de cada semestre en su

cuenta bancaria, la que le abona el 6% de inters anual capitalizable cadacuatrimestre. Lo acumulado lo retirar cuando hayan transcurrido 5 aos. Qu

cantidad tendr acumulada al final del plazo?

Anualidades en funcin del valor actual anticipado

Le presentan el siguiente plan para la compra de su vehculo, tendr que

dar un enganche de Q.13, 250.00 y 11 pagos mensuales anticipados de

Q.1, 200.00, si la tasa cobrada es del 36% anual capitalizable

mensualmente Cul es el precio de contado del vehculo?

Anticipacin

Datos:

R=1200

J=0.36

M=12

n=11/12

p=12

A = R 1- (1+ j/m)-mn (1+ j/m)m/p -1

A = 1,200 1- (1+ 0.36/12)-12*11/12 (1+ 0.36/12)12/12 -1

A = 11,103.15 por factor de anticipacin

A = 11,436.24


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Enganche de Q.13, 250.00

Enganche: Q.13, 250.00

Valor Actual Q.11, 436.24

Total Q.24, 686.24

Anualidades en funcin del valor actual diferido

Se ofrece Mobiliario con las siguientes condiciones de pago: 20%

enganche y 5 pagos bimestrales vencidos de Q1, 100.00 cada uno, con el

18% anual de inters capitalizable cada 15 das, si el primer pago debe

hacerse al final del cuarto mes de la compra Cul es el precio de

contado?

diferimiento

Datos:

R=1,100

J=0.18

m =24

n = 10/12

p =6

y =2/12

A = R 1- (1+ j/m)-mn *(1+ j/m)-my (1+ j/m)m/p -1

A=1100 1-(1+0.18/24)-24*10/12*(1+ 0.18/24)-24 *2/12 (1+ 0.18/24)24/6 -1

A = 4,884.61

Enganche de Q.1, 221.15 20%

Valor actual Q.4, 884.61

Total Q.6, 105.76


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43

Renta En Funcin del Valor Actual

Determinar cul es el saldo pendiente de cancelacin al inicio de pago numero4 por un prstamo por valor de Q90, 000.00 por el cual se realizan 4 pagos

trimestrales en forma anticipada, si se sabe que la tasa de inters es del 22%

anual capitalizable 12 veces en el ao elaborar el cuadro correspondiente

Datos:

A= 90,000 R = A [(1+ j/m)m/p -1] * (1+ j/m)-m/pP= 4 1 -(1+ j/m) -mn

n= 1j= 0.22m= 12R=? R = 90,000 [(1+ 0.22/12)12/4 -1] *(1+ 0.22/12)-12/4

1 -(1+ 0.22/12) -12*1

R= 5041.30458332

0.1958807078

R= 25,736.61

#Abonos Pago Inters

Abono aK

CapitalPendiente

90,000.001 25,736.61 5,041.30 20,695.31 69,304.692 25,736.61 3,882.07 21,854.54 47,450.153 25,736.61 2,657.90 23,078.71 24,371.444 25,736.61 1,365.15 24,371.46 ----------- --------

Renta en Funcin del Monto

Se est formando un fondo para redimir a su vencimiento el capital de una

emisin de bonos por Q2,580,000.00 hace cuatro aos se reiniciaron depsitos

mensuales anticipados en una institucin que reconoce el 15% anual de inters


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44

capitalizable mensualmente. Si el plazo para el pago de las obligaciones vence

dentro de ocho aos determine cuanto se tendr reunido al vencimiento del

octavo ao de iniciados los depsitos

Datos:

S= 2,580,000.00 R = S [(1+ j/m)m/p -1] * (1+ j/m)-m/p

P= 12 (1+ j/m)mn -1

j= 15%

m= 12

n= 2 R = 2, 580,000[(1+ 0.15/12)12/12 -1]*(1+ 0.15/12)-

12/12

(1+ 0.15/12)12*2 -1

R= 2, 580,000[(1.0125)1 -1]*(1.0125)-1

(1.0125)14-1

R= 2, 580,000 * 0.002508767662 * 0.987654

R= 6,392.71

Datos:

R= 6,392.71 S = R [(1+ j/m)mn -1] * (1+ j/m)m/p

n= 8 (1+ j/m)m/p -1

j= 15%

m= 12

S= ? S = 6,392.71 [(1+ 0.15/12)12*8 -1] * (1+ 0.15/12)(1+ 0.15/12)12/12 -1

S = 6,392.71 [( 1.0125)96 -1] * ( 1.0125)

(1.0125) -1

S= 1,188,631.73


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45

Tiempo en funcin del Monto:

El Seor Diego Gramajo, desea contar con Q.200, 000.00 para construir su

casa. Para el efecto depositar Q 10,000.00 al inicio de cada ao, en un bancoque le reconocer el 18% anual de inters capitalizable trimestralmente. Qu

tiempo ser necesario para acumular la suma indicada?

Datos

n= ?

S= 200,000j= 0.18m= 4p= 1R= 10,000

(S[(1+j/m)m/p-1]Log {--------------------------------------- + 1}

R(1+j/m)m/p

n= --------------------------------------------------------------------m Log (1+j/m)

Log( 38,503.720125 + 1)11,925.186006

n= -------------------------------------------------------4 Log (1+0.18/4)

n= 0.6262143860590.076465161788

n= 8.18953849

R// El tiempo necesario para acumular la suma indicada ser de 8 aosy 69 das.


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46

Tiempo en funcin del Valor Actual

Una industria textil, obtuvo financiamiento por valor de Q1, 200,000.00 para lacompra de maquinaria. Las amortizaciones sern de Q. 186,000.00 cada tresmeses anticipadas. El primer abono lo har al inicio del primer trimestre deltercer ao de recibido el prstamo. La tasa que reconocer es del 26% anualcapitalizable semestralmente. Cul es el plazo en el que cancelar elprstamo?

Datos

A= 1,200,000R= 186,000y= 2j= 0.26m= 2p= 4n=?

1 .

1,200,000 [(1+0.26/2)2/4-1]Log {1[---------------------------------------------------------------------}

186,000 *(1+0.26/2)2/4 *(1+0.26/2)-2*2

n= --------------------------------------------------------------------2 Log (1+0.26/2)

1 .

Log { 1-[ 75617.497528157 ] }

121265.81559137n= ---------------------------------------------------------------------

0.1061568869

n= 3.99= 4 aos

R// El plazo en que cancelar el prstamo ser de 4 aos.


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B) PROBLEMA DE ANUALIDADES CONSTANTES A PLAZO FIJO

PAGADEROS EN PERODOS MAYORES DE UN AO

Valor actual anticipado diferido

Una empresa de importacin obtuvo un prstamo que tendr que pagar en 20

aos, mediante pagos de Q.42, 511.63 al final de cada 2 aos. La Institucin

financiera le cobra una tasa de inters del 18% anual capitalizable 4 veces en

el |ao. Cul fue el importe del prstamo?

Datos Frmula

A travs del monto

DATOS FRMULA

1-(0.18/4) .-4*20

A=42,511.63 (0.18/4) 4*2-1

A=42,511.63 0.97044052

0.422100612

A= 42,511.63*2.299073449

A= 97,737.38


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48

Tiempo en funcin del valor actual anticipado

Una persona recibo en prestamo del Banco Oro Q. 30,000. 00, ls que

cancelara por mdio de abonos de Q. 8,000.00 cada uno, al principio de cada

18 meses. Reconocer el 12% anual de inters con capitalizacin semestral

Durante cuanto tiempo deber hacer los pagos?

Datos

A = 30,0000.00

R = 8,000.00

J = 0.12

m = 2

k = 1.5n = ?

1_______

Log 1- A [( 1+ j/m)mk-1]

n = W*( 1+ j/m)mk __

m Log ( 1+j/m)

___________1______________Log 1- 30,000.00 [( 1+ 0.12/2)2x1.5-1]

(1+0.18/4) 4*20

A=42,511.63 (1+0.18/4) 4*2-1

32.83009643

A=42,511.63 0.422100612

S= 42511.63*77.77789383

S= 3,306,465.02


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n = 8,000*[( 1+ 0.12/2)2x1.5

2 Log ( 1+0.12/2)

___________1______________

Log 1- 30,000.00 [( 1.191016) -1]

n = 8,000* ( 1.191016) ______

2 Log ( 1.06)

___________1______________

Log 1- 30,000.00 (0.191016)

n = 9,528.128_______________

2 ( 0.02530586526)

___________1______________

Log 1- 5,730.48__

n = 9,528.128____________

0.05061173053

___________1______________

n = Log 1- 0.6014276886__________

0.05061173053

___________1______________

n = Log 0.3985723114_____________

0.05061173053

n = Log __2.508955016 __ n = 0.399928748_

0.05061173053 0.05061173053

n = 7.893286212 = 7 aos con 326 dias. R.

n = 0.893286212 x 365 = 326 dias


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CONCLUSIONES

Las anualidades son fondos para crear, mediante la acumulacin de los

pagos y/o amortizar deudas, mediante los abonos peridicos por valores

iguales o cuotas niveladas.

Al realizar un anlisis al mercado local, se puede visualizar una serie deproductos que estas entidades ofertan a potenciales compradores.

Existen muchas opciones para aplicar anualidades, dgase, por ejemplo

recomendar a una empresa, la mejora de un activo, y esta ser

beneficiosa, financieramente hablando.

Como podemos ver las anualidades, siempre estarn relacionadas con

los prstamos, a pesar de que pueden surgir como obligaciones que no

necesariamente lo sean, pero tambin pueden ser aplicadas por los

mismos.


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RECOMENDACIONES

La aplicacin de herramientas financieras son la base para tomar

decisiones acertadas, para esto se necesita de un plan de accin en las

instituciones, ayudando a las empresas a tener un plan estructurado de

sus activos, pasivos, ingresos y gastos financieros.

Siempre ser importante ahondar dentro del tema, ya que en nuestra

investigacin se hace referencia a los elementos ms importantes y

bsicos de las anualidades, pero hay mucho ms que se puede

aprender al ahondar en el tema.

Al existir mucha oferta, el mercado carece de reglamentaciones, que

hagan que estos productos y servicios sean confiables. Para fiarse de

estos instrumentos financieros se necesita de herramientas matemticas

que dan el aval en la toma de decisiones.


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BIBLIOGRAFA

- www.project2061.org/esp/publications/bsl/online/ch2/ch2.htm

- http://home.galileo.edu/~tutor03540/Matem%E1ticas%20financieras%20

PUBLICACION.doc

- http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4010045/Leccion

es/Cap%201/Conceptos%20basicos.htm

- http://www.monografias.com/trabajos12/mafin/mafin.shtml


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CUESTIONARIO

1. Qu es una anualidad? R// a una serie de pagos iguales y peridicos.

2. Qu es intervalo o periodo de pago? R/ Es el tiempo que transcurre entre

un pago y otro de la anualidad.

3. Qu es el plazo de la anualidad? R// es el tiempo que transcurre desde el

inicio del primer periodo de pago y el final del ltimo periodo.

4. Qu es la renta? R// es el pago peridico de la anualidad.

5. Principales aplicaciones de las anualidades? R// Las anualidades son

utilizadas en distintas operaciones financieras por ejemplo los pagos

mensuales de alquiler, arrendamiento financiero, los pagos de sueldos y

salarios, las amortizaciones de crditos otorgados entre otros.

6. pocas de evaluacin de las anualidades? R// se evalan al inicio o al final

del plazo.

7. Anualidades en funcin de la poca de pago? R// se dividen en vencidas,

anticipadas, diferidas.

8. Atendiendo a la variabilidad de los pagos de la renta se dividen en? R//

Constantes y variables

9. Anualidades a plazo indefinido se dividen en? R// Rentas perpetuas, costo

capitalizado, costo equivalente.

10. Las anualidades contingentes o eventuales se dividen en? R// Rentas

vitalicias, dote pura y seguros de vida.


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ANALISIS

En las matemticas financieras es posible manejar cualquier operacin, evaluar

diversas alternativas de inversin con seis frmulas. Como una unidad, estas

seis frmulas, reciben el nombre de factores financieros. Estos seis factores

financieros derivan de la frmula general del inters compuesto.

Tanto los pagos como los ingresos efectuados en la empresa son

fundamentales para el fortalecimiento de la institucin, razn por la cual deben

ser evaluados constantemente con el objeto de determinar el impacto que

producen en el entorno empresarial, realizar proyecciones financieras yestudios de nuevos proyectos.

Para este cometido, los factores financieros son de mucha utilidad y aplicacin.

Sirven para solucionar mltiples problemas financieros referidos al monto

compuesto, anualidades vencidas y anualidades adelantadas.

Por lo que llegamos a la conclusin que una anualidad es un flujo de caja con

montos de dinero uniformes, es decir, todos los flujos son iguales y los

movimientos de capitales ocurren a intervalos regulares.

08ti - anualidades constantes a plazo fijo

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