133169414 anualidades constantes a plazo fijo
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INTRODUCCIÓN
La presente investigación es realizada con el ánimo de conocer las herramientas
matemáticas para toma de decisiones en las actividades financieras de una empresa.
En el capítulo uno se aborda las generalidades de la matemática financiera y sus
diferentes campos de acción, tomando como base las generalidades matemáticas.
En el capítulo dos, trata de las anualidades como tema central, abordándolo de forma
específica
El capítulo tres se hace mención de la clasificación de las anualidades, esto para
conocerlas, con sus diferencias, y como pueden desarrollarse.
El prontuario de formulas se puede ver en el capitulo cuatro, seguido del capítulo cinco
donde se desarrollan diez casos prácticos de anualidades.
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CAPITULO I
1.1 CARACTERÍSTICAS DE LA MATEMÁTICA
La matemáticas posee varias características que la hacen diferir de otras disciplinas.
La primera es que es muy difícil de describir o definir su materia de estudio. Es
claro cuales la materia de estudio de la Astronomía y de la, Biología, pero no de la
Teoría algebraica. Esto se debe fundamentalmente a que los objetos de estudio
son conceptos abstractos definidos que a menudo van encadenados a otros
conceptos previamente definidos. Su descripción se reduce a definiciones
formales que requieren de conexiones neuronales, las cuales requieren de cierto
tiempo para realizarse. Esto, aunado a una madurez matemática o entrenamiento
matemático le permite al ser humano asimilar una buena cantidad de ideas
abstractas. Por ejemplo, trate usted de explicarle a su sobrinita preguntona qué es
la adición, o de qué se trata la Geometría Analítica, o qué es un anillo. Requerirá,
después de muchas explicaciones intuitivas, establecer definiciones formales y
tiempo, mucho tiempo.
La segunda característica es que posee una lógica perfecta. La Matemática de
Euclides es tan válida hoy como en la época de Euclides. Esto contrasta con otras
teorías, como la de la tierra plana, la del flogisto o la del éter.
La tercera es lo conclusivo de la Matemática, esto es, las diferentes disciplinas
toman conclusiones con base en las manipulaciones matemáticas.
La cuarta es su independencia, esto es, no requiere de equipos costosos a
diferencia de las ciencias experimentales. Basta a veces con lápiz y papel, o ni
siquiera esto. Arquímedes dibujaba sobre la arena. Leray escribió su matemática
siendo prisionero de guerra. A pesar de los regímenes políticos de toda índole, la
Matemática continúa evolucionando. Es interesante observar que sus bibliotecas
son menos grandes que las de otras disciplinas.
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1.2 QUÉ SIGNIFICA LA PALABRA MATEMÁTICA
Según Arrigo Coen, Mathema significa erudición, manthánein es el infinitivo de aprender,
el radical mendh significa en pasivo, ciencia, saber. Luego, es lo relativo al aprendizaje.
Así que en sentido implícito, Matemática significa: «lo digno de ser aprendido».
1.3 QUÉ ES LA MATEMÁTICA
No existe una definición de lo que es la Matemática. Sin embargo, se dice que es una
colección de ideas y técnicas para resolver problemas que provienen de cualquier
disciplina, incluyendo a la Matemática misma.
1.4 ALGUNOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS
Recuerden el famoso último teorema de Fermat (el cual sucede al de la ecuación
pitagórica x2 + y2 = z2) que dice que la ecuación xn + yn = zn nunca tiene soluciones
enteras positivas para cualquier entero positivo n mayor que 2. Excepto para n = 2, estas
ecuaciones no tienen una interpretación geométrica. Aparentemente este problema no
pareciera tener mucha importancia, sin embargo ha tenido una influencia enorme en el
desarrollo de la Matemática. Fermat dijo que tenía una demostración pero que no tenía
espacio para escribirla. Por más de 300 años, este problema, aparentemente sencillo, ha
sido el motivo de grandes esfuerzos de muchos matemáticos y es precisamente de estos
esfuerzos que se han creado nuevas técnicas y conceptos, los cuales tienen influencia en
muchas áreas de la Matemática.
El problema de los cuatro colores afirma que solamente se requieren 4 colores para
iluminar o colorear cualquier mapa del globo terrestre con la condición de que dos países
adyacentes deban tener colores diferentes. La solución positiva, más de cien años
después, fue obtenida mediante el uso de la computadora, teniendo un impacto muy
pequeño en la Matemática. Fue el primer problema no trivial solucionado por la
computadora.
En la Matemática, si un problema se resuelve mediante métodos estándar, el problema
pierde mucho de su interés. Si no se resuelve mediante los métodos conocidos por mucho
tiempo, se convierte en un problema clásico. Un buen problema es aquel que da lugar a
nuevas técnicas con gran aplicabilidad a otras áreas.
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Las ideas nuevas que constituyen los pasos para obtener la solución de algún problema
constituyen el progreso de la Matemática. Los matemáticos sabemos apreciar las técnicas
ingeniosas.
1.5 CÓMO SE DA LA INNOVACIÓN EN LA MATEMÁTICA
A diferencia de otras disciplinas científicas, en la Matemática la creación de nuevos
métodos o técnicas constituye la innovación, la cual es vital para el progreso de la
Matemática.
No se requiere del descubrimiento de antiguos documentos manuscritos, ni del trabajo
experimental o de la introducción de nueva tecnología. La innovación se da, entre otras
cosas, por la creación de nuevas técnicas. Por ejemplo, cuando Galois se dio cuenta al
trabajar en el problema de la insolubilidad de la ecuación polinomial general de grado al
menos 5 que la clave estaba en las simetrías de las cinco soluciones de la ecuación,
proveyó los fundamentos de la teoría general de la simetría, la cual es una de las ramas
más profundas y de amplio espectro de toda la Matemática, llamada Teoría de Grupos.
También hay innovación interna al tratar de dar cohesión a una teoría matemática, al
realizar preguntas adecuadas, las cuales requieren de mucha intuición y compenetración.
También puede venir de problemas de otras disciplinas.
Se puede decir que hay progreso matemático cuando existe una aplicación continua de
métodos usuales intercalados espectacularmente con nuevos conceptos y problemas.
1.6 LA NATURALEZA DE LAS MATEMÁTICAS
Las matemáticas dependen tanto de la lógica como de la creatividad, y están
regidas por diversos propósitos prácticos y por su interés intrínseco. Para algunas
personas, y no sólo para los matemáticos profesionales, la esencia de esta
disciplina se encuentra en su belleza y en su reto intelectual Para otros, incluidos
muchos científicos e ingenieros, su valor principal estriba en la forma en que se
aplican a su propio trabajo. Ya que las matemáticas juegan ese papel central en la
cultura moderna, es indispensable una comprensión básica de ellas en la
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formación científica. Para lograr esto, debe percatarse de que las matemáticas
forman parte del quehacer científico, comprender la naturaleza del pensamiento
matemático y familiarizarse con las ideas y habilidades de esta disciplina.
1.7 PAUTAS Y RELACIONES
Las matemáticas son la ciencia de las pautas y las relaciones. Como disciplina
teórica, exploran las posibles relaciones entre abstracciones, sin importar si éstas
tienen homólogos en el mundo real. Las abstracciones pueden ser cualquier cosa,
desde secuencias de números hasta figuras geométricas o series de ecuaciones.
Si se propone, por ejemplo, "¿forma una pauta el intervalo entre números primos?"
como pregunta teórica, los matemáticos se interesarán sólo en encontrar la pauta
o probar que ésta no existe, pero no en buscar la utilidad que podría tener tal
conocimiento. Cuando se deriva, por ejemplo, una expresión para el cambio en el
área de cualquier cuerpo regular cuando su volumen se aproxima a cero, los
matemáticos no manifiestan interés en la concordancia entre los cuerpos
geométricos y los objetos físicos del mundo real.
Una línea fundamental de investigación en las matemáticas teóricas es identificar
en cada campo de estudio un pequeño conjunto de ideas y reglas básicas a partir
de las cuales puedan deducirse, por lógica, todas las demás ideas y reglas de
interés en ese campo. Los matemáticos, como otros científicos, gozan en
particular cuando descubren que partes de esa ciencia sin relación previa pueden
ser derivables entre si o a partir de una teoría más general. Parte del sentido de
belleza que muchas personas han percibido en esta ciencia no radica en hallar la
más grande perfección o complejidad, sino al contrario, en encontrar un gran
ahorro y sencillez en la representación y la comprobación. A medida que las
matemáticas avanzan, se han encontrado más y más relaciones entre partes que
se habían desarrollado por separado por ejemplo, entre las representaciones
simbólicas del álgebra y las representaciones espaciales de la geometría. Estas
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interconexiones hacen posible que surjan intuiciones que deben desarrollarse en
las diversas partes de la disciplina; juntas, fortalecen la creencia en la exactitud y
unidad esencial de toda la estructura.
Las matemáticas son también una ciencia aplicada. Muchos matemáticos dedican
sus energías a resolver problemas que se originan en el mundo de la experiencia.
De igual manera, buscan pautas y relaciones; en el proceso utilizan técnicas
similares a las que se emplean en esta ciencia puramente teórica. La diferencia es
en gran medida de propósito. En contraste con las matemáticas teóricas, las
aplicadas, en los ejemplos anteriores, podrían estudiar la pauta del intervalo de los
números primos para desarrollar un nuevo sistema para codificar información
numérica, más que como un problema abstracto. También podrían abordar el
problema sobre el área/volumen como un paso en la concepción de un modelo
para el estudio del comportamiento del cristal.
Los resultados de las matemáticas teóricas y aplicadas con frecuencia influyen
entre sí. A menudo los descubrimientos de los matemáticos teóricos tienen un
valor práctico no previsto algunas veces décadas después. Por ejemplo, el estudio
de las propiedades matemáticas de acontecimientos que ocurren al azar condujo
al conocimiento que más tarde hizo posible mejorar el diseño de los experimentos
en las ciencias naturales y sociales. Por el contrario, al tratar de solucionar el
problema del cobro justo a los usuarios del teléfono de larga distancia, los
especialistas hicieron importantes descubrimientos sobre las matemáticas de
redes complejas. Las matemáticas teóricas, a diferencia de otras ciencias, no
están restringidas por el mundo real, pero a la larga contribuyen a entenderlo
mejor.
1.8 MATEMÁTICAS, CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Debido a su abstracción, las matemáticas son universales en un sentido en que no
lo son otros campos del pensamiento humano. Tienen aplicaciones útiles en los
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negocios, la industria, la música, la historia, la política, los deportes, la medicina, la
agricultura, la ingeniería y las ciencias naturales y sociales. Es muy amplia la
relación entre las matemáticas y los otros campos de la ciencia básica y aplicada.
Ello obedece a varias razones, incluidas las siguientes:
La relación entre la ciencia y las matemáticas tiene una larga historia, que data de
muchos siglos. La ciencia le ofrece a las matemáticas problemas interesantes para
investigar, y éstas le brindan a aquélla herramientas poderosas para el análisis de
datos. Con frecuencia, los modelos abstractos que han sido estudiados por los
matemáticos, por el puro interés que despiertan han resultado ser muy útiles para
la ciencia tiempo después. La ciencia y las matemáticas están tratando de
descubrir pautas y relaciones generales, y en este caso ambas son parte del
mismo quehacer.
Las matemáticas son el principal lenguaje de la ciencia. El lenguaje simbólico
matemático ha resultado ser en extremo valioso para expresar las ideas científicas
sin ambigüedad. La declaración a = F/m no es sólo una manera abreviada de decir
que la aceleración de un objeto depende de la fuerza que se le aplique y de su
masa; sino que es un enunciado preciso de la relación cuantitativa entre esas
variables. Más importante aún, las matemáticas proporcionan la gramática de la
ciencia las reglas para el análisis riguroso de ideas científicas y datos.
Las matemáticas y la ciencia tienen muchas características en común. Estas
incluyen la creencia en un orden comprensible; una interacción de imaginación y
lógica rigurosa; ideales de honestidad y franqueza; la importancia decisiva de la
crítica de los compañeros; el valor atribuido a ser el primero en hacer un
descubrimiento clave; abarcar el ámbito internacional; e incluso, con el desarrollo
de poderosas computadoras electrónicas, ser capaz de utilizar la tecnología para
abrir nuevos campos de investigación.
Las matemáticas y la tecnología también han desarrollado una relación productiva
mutua. Las matemáticas de las relaciones y cadenas lógicas, por ejemplo, han
contribuido considerablemente al diseño del hardware computacional y a las
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técnicas de programación. Las matemáticas también ayudan de manera
importante a la ingeniería, como en la descripción de sistemas complejos cuyo
comportamiento puede ser simulado por la computadora. En tales simulaciones,
pueden variarse las características del diseño y las condiciones de operación
como un medio para encontrar diseños óptimos. Por su parte, la tecnología
computacional ha abierto áreas totalmente nuevas en las matemáticas, aun en la
misma naturaleza de la comprobación, y también continúa ayudando a resolver
problemas anteriormente atemorizantes.
1.9 LA INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA
El uso de las matemáticas para expresar ideas o resolver problemas comprende
por lo menos tres fases: 1. representar de manera abstracta algunos aspectos de
las cosas; 2. manejar las abstracciones mediante reglas de lógica para hallar
nuevas relaciones entre ellas, y 3. ver si las nuevas relaciones indican algo útil
sobre las cosas originales.
1.9.1 Abstracción y representación simbólica
El pensamiento matemático comienza con frecuencia con el proceso de
abstracción esto es, observar una similitud entre dos o más acontecimientos u
objetos. Los aspectos que tienen en común, ya sea concretos o hipotéticos, se
pueden representar por símbolos como los números, letras, otros signos,
diagramas, construcciones geométricas o incluso palabras. Todos los números
son abstracciones que representan el tamaño de conjuntos de cosas y sucesos, o
el orden de los elementos en una serie. El círculo como concepto es una
abstracción derivada de caras humanas, flores, ruedas, u olas pequeñas que se
expanden; la letra A puede ser una abstracción para el área de objetos de
cualquier forma, para la aceleración de todos los objetos móviles o para aquellos
que tienen una propiedad específica; el símbolo + representa un proceso de
adición, aun cuando uno se encuentre sumando manzanas o naranjas, horas o
millas por hora. Y las abstracciones no se hacen sólo a partir de objetos o
procesos concretos; también pueden realizarse con base en otras abstracciones,
como las clases de números (los números pares, por ejemplo).
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Tal abstracción permite a los matemáticos concentrarse en ciertas características
de los objetos, además de que les evita la necesidad de guardar continuamente
otras en su mente. En lo que a las matemáticas se refiere, no importa si un
triángulo representa el área de un velero o la convergencia de dos líneas visuales
sobre una estrella; los matemáticos pueden trabajar con ambos conceptos de igual
manera. El ahorro de esfuerzo resultante es muy útil siempre y cuando al hacer la
abstracción se ponga cuidado en no soslayar las características que juegan un
papel importante en la determinación de los resultados de los sucesos que se
están estudiando.
1.9.2 Manipulación de los enunciados matemáticos
Una vez que se han hecho las abstracciones y se han seleccionado las
representaciones simbólicas de ellas, los símbolos se pueden combinar y
recombinar de diversas maneras de acuerdo con reglas definidas con exactitud.
En ocasiones, eso se lleva a cabo teniendo en mente un objetivo fijo; en otras, se
hace en el contexto de un experimento o prueba para ver lo que sucede. A veces,
una manipulación apropiada se puede identificar fácilmente a partir del significado
intuitivo de las palabras y símbolos de que se compone; en otras ocasiones, una
serie útil de manipulaciones se tiene que resolver por tanteo.
Es común que el conjunto de símbolos se combine en enunciados que expresan
ideas o proposiciones. Por ejemplo, el símbolo A para el área de cualquier
cuadrado se puede combinar con la letra s que representa la longitud del lado del
cuadrado, para formar la expresión A = s2. Esta ecuación específica de qué
manera se relaciona el área con el lado y también implica que no depende de
nada mas. Las reglas del álgebra común se pueden utilizar, entonces, para
descubrir que si se duplica la longitud de los lados de un cuadrado, el área de éste
se cuadruplica. En sí, este conocimiento hace posible que se descubra lo que le
sucede al área de un cuadrado sin importar cuánto varíe la longitud de sus lados
y, por el contrario, cómo cualquier cambio en el área afecta a los lados.
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El discernimiento matemático en las relaciones abstractas ha aumentado a lo largo
de miles de años y todavía sigue ampliándose y en ocasiones se revisa. Aunque
las matemáticas comenzaron en la experiencia concreta de contar y medir, han
evolucionado a través de muchas etapas de abstracción y ahora dependen mucho
más de la lógica interna que de la demostración mecánica. Entonces, en cierto
sentido, la manipulación de las abstracciones es casi un juego: comenzar con
algunas reglas básicas, después hacer cualquier
movimiento que las cumpla el cual incluye la invención de reglas adicionales y
encontrar nuevas relaciones entre las antiguas. La prueba para validar las ideas
nuevas consiste en que sean congruentes y se relacionen lógicamente con las
demás.
1.9.3 Aplicación
Los procesos matemáticos pueden llevar a un tipo de modelo de una cosa, a partir
de los cuales se obtendrían profundizaciones de la cosa misma. Cualquier relación
matemática que se obtenga por medio de la manipulación de enunciados
abstractos puede o no transmitir algo verdadero sobre el objeto que se está
modelando. Por ejemplo, si a dos tazas de agua se agregan otras tres, y la
operación matemática abstracta 2 + 3 = 5 se utiliza para calcular el total, la
respuesta correcta es cinco tazas de agua. No obstante, si a dos tazas de azúcar
se añaden tres tazas de té caliente y se realiza la misma operación, cinco es una
respuesta incorrecta, pues esa suma da por resultado sólo un poco más de cuatro
tazas de té muy dulce. La simple suma de volúmenes es apropiada para la
primera situación, pero no para la segunda lo que podría haberse predicho sólo
conociendo algo sobre las diferencias físicas en los dos casos. Así, para utilizar e
interpretar bien las matemáticas, es necesario estar interesado en algo más que la
validez matemática de las operaciones abstractas, así como tomar en
consideración qué tan bien se corresponden con las propiedades de las cosas que
representan.
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Algunas veces, el sentido común es suficiente para decidir silos resultados de las
matemáticas son apropiados. Por ejemplo, para calcular la estatura de una joven
cuando tenga 20 años si en la actualidad mide 1.63 m y crece a una tasa de 2.54
cm por año, el sentido común sugiere rechazar la respuesta simple de "tasa por
tiempo" de 2.13 m como muy improbable, y dirigirse a algún otro modelo
matemático, como las curvas que aproximan valores restrictivos. Sin embargo, en
ocasiones, puede ser difícil saber qué tan correctos son los resultados
matemáticos por ejemplo, al tratar de predecir los precios en la bolsa de valores, o
los terremotos.
Con frecuencia, sucede que una sesión de razonamiento matemático no produce
conclusiones satisfactorias; entonces se intenta efectuar cambios en la manera en
que se hizo la representación o en las mismas operaciones. De hecho, se dan
saltos entre pasos hacia adelante y hacia atrás y no hay reglas que determinen
cómo se debe proceder. El proceso avanza típicamente a empujones, con muchas
vueltas erróneas y callejones sin salida. Este proceso continúa hasta que los
resultados son suficientemente buenos.
Pero, ¿qué grado de exactitud es el suficiente? La respuesta depende de la forma
en que se vaya a utilizar el resultado, las consecuencias del error, y el posible
costo de modelar y estimar una respuesta más precisa. Por ejemplo, un error de
1% al calcular la cantidad de azúcar en una receta para pastel podría ser
insignificante, pero un grado de error similar en el cálculo de la trayectoria de una
sonda espacial podría resultar desastroso. Sin embargo, la importancia de la
pregunta "suficiente" ha llevado al desarrollo de procesos matemáticos para
estimar qué tan lejos podrían llegar los resultados y cuánto cálculo se requeriría
para obtener el grado de precisión deseado.
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1.10 DEFINICIÓN DE MATEMÁTICA FINANCIERA
La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que
estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo
para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que
permiten tomar decisiones de inversión. Llamada también análisis de inversiones,
administración de inversiones o ingeniería económica.
En este texto debe comprenderse las Matemáticas financieras como: Conjunto de
herramientas matemáticas, las cuales permiten analizar cuantitativamente la
viabilidad o factibilidad económica y financiera de los proyectos de inversión.
Es la parte de las matemáticas que se ocupa del estudio y valoración de los
capitales financieros, así como de su variación a lo largo del tiempo por efecto de
las operaciones financieras que con ellos puedan realizarse.
El capital financiero, es el valor monetario que posee en un momento determinado
una persona natural o jurídica, expresado precisamente, en términos de dinero.
Macroeconómicamente hablando, es la fusión de los recursos monetarios del
sector agrícola, industrial, comercial y de servicios. En este orden de ideas, todos
los recursos monetarios terminan llegando a las instituciones financieras, las
cuales los utilizan a su vez para fomentar e impulsar las diversas actividades
económicas mediante las diversas formas de crédito; pero para también, invertir
en otras empresas que al final de cuentas, marcan el dinamismo económico y
financiero de un país.
Las operaciones financieras, son toda acción encaminada a sustituir un capital o
varios por otro y otros equivalentes en diferentes momentos del tiempo aplicando
una determinada ley financiera (cálculo matemático) en un determinado punto de
referencia (fecha de pago, tiempos, etc.).
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Por ejemplo: un depósito que da intereses, es un cambio del capital depositado al
principio de la operación, por el capital incrementado al final de la operación
gracias a los intereses. Un préstamo es un intercambio entre dos partes donde el
prestamista le entrega al prestatario una cantidad determinada de dinero (en una o
varias veces) con el objetivo de recibir de este otra cantidad por concepto de
intereses y devolución del capital (amortización) también en una o varía entregas.
En conclusión, las Matemáticas Financieras ayudarán a comprender el valor del
dinero en el tiempo para con ello conocer aspectos como:
El valor presente del dinero.
El valor futuro del dinero.
El costo de adquirir dinero.
El beneficio de captar dinero a una tasa de interés.
La pérdida del poder adquisitivo del dinero (Inflación).
Tasa de interés real.
Rentabilidad de un proyecto de inversión (Factibilidad).
1.11 Reseña histórica y evolución de las matemáticas
Las matemáticas han sido aplicadas a muchas áreas de las finanzas a través de
los años. No hay mucha información acerca de la historia de las matemáticas
financieras, ni de cuál era el problema que se intentaba solucionar con ellas, lo
que se cree es que se dieron como un desarrollo involuntario, pero necesario, que
complementaba algunas transacciones comerciales o determinados pagos, por
ejemplo los que habían de realizar los aldeanos a sus señores feudales en la
época del feudalismo en Europa. Las matemáticas financieras aparecieron
inicialmente con los intereses, se cree que "alguien" se dio cuenta que si otro le
debía dinero o vacas o cabras o lo que fuera, él debía recibir una compensación
por el tiempo que esta persona tardara en cancelar la deuda.
En la segunda mitad del siglo XX hemos asistido a una notable evolución de la
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economía financiera, que sólo ha sido posible mediante la aplicación sistemática y
con intensidad creciente del pensamiento matemático. Una vez más, las
matemáticas han permitido formular con rigor los principios de otra ciencia, y han
proporcionado un método de análisis que conduce al establecimiento de
propiedades y relaciones que, lejos de ser triviales, incorporan un alto nivel de
complejidad, son fáciles de contrastar desde el punto de vista empírico y tienen
aplicación práctica inmediata.
La prueba más clara de lo anterior se encuentra en la teoría de los mercados
financieros, los planteamientos de Markowitz, Sharpe, Fama, Black, Scholes y
Merton, entre otros muchos, cambiaron radicalmente los análisis que se hacían
hasta entonces. Este nuevo enfoque, que coincide con el nacimiento de la teoría
de los mercados eficientes, permite que disciplinas como la teoría de la
optimización, el cálculo de probabilidades, el cálculo estocástico, la teoría de
ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales, etc., pasen a ser de vital
importancia en el estudio de problemas de valoración de activos financieros,
selección de inversiones o equilibrio en los mercados de capitales.
Otro paso importante se da cuando Ross introduce el concepto de arbitraje,
verdadera piedra angular en el estudio de la valoración de activos y el equilibrio de
mercados. Fueron numerosos economistas y matemáticos los que consiguieron
extender este concepto y caracterizar la ausencia de arbitraje a través de la
existencia de funciones lineales de valoración neutral al riesgo o la teoría de la
martingala. Vemos que disciplinas como el análisis funcional o la teoría de la
medida pasan a jugar un papel esencial para probar resultados fundamentales de
la economía financiera.
Un mundo como el financiero, en constante crecimiento y evolución, está
generando problemas que tienen cada vez mayor complejidad. Hoy nos
encontramos ante cuestiones que tienen un gran contenido matemático y del
máximo interés para las instituciones financieras, quienes se encuentran ante una
competitividad muy intensa, un mercado con márgenes cada vez menores y un
mundo sin fronteras. Temas como la gestión y medición de riesgos, el riesgo de
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crédito, la valoración de nuevos activos o la valoración de nuevos derivados con
subyacente no negociable (temperaturas, catástrofes naturales, sequías), no
almacenable (electricidad) o al menos no financiero(mercancías) presenta cada
vez más dificultades matemáticas.
Finalmente, la teoría de mercados financieros está motivando el desarrollo de
otras partes de la economía financiera (finanzas empresariales, gestión de
tesorería, mercados emergentes etc.) en las que también hay un alto contenido en
formulación y razonamiento matemático. Por consiguiente, desde el análisis
funcional hasta el cálculo de probabilidades, todas las ramas que constituyen la
matemática han jugado un papel esencial en el proceso de desarrollo de la
economía financiera. (Jiménez Guerra, 2000, Conferencia aniversario matemático)
1.12 IMPORTANCIA DE LAS MATEMATICAS FINANCIERAS
Las organizaciones y personas deben analizar factores económicos y no
económicos, así como también factores tangibles e intangibles en cada una de las
decisiones que se toman para invertir el dinero en las diferentes opciones que se
presentan; es así como la importancia de las matemáticas financieras permite
tomar las decisiones ya que cada una de ellas afecta lo que se realiza en un
futuro.
1.13 Conceptos Básicos
1.13.1 Factibilidad Económica
La factibilidad económica de un proyecto de inversión tiene que ver con la bondad
de invertir recursos económicos en una alternativa de inversión, sin importar la
fuente de estos recursos. En esta fase de la evaluación, se analiza la decisión de
inversión independiente del dueño del proyecto, se enfatiza únicamente en los
recursos comprometidos en la empresa, excluyendo el origen de estos.
1.13.2 Factibilidad Financiera
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En la factibilidad financiera del proyecto de inversión se evalúa el retorno para los
dueños. En esta fase del proyecto lo que interesa es determinar si la inversión
efectuada exclusivamente por el dueño, obtiene la rentabilidad esperada por él.
1.13.1.3 Factibilidad Económica versus Factibilidad Financiera
En el ámbito de la evaluación de proyecto es de vital importancia comprender que
a cada decisión de inversión, corresponde una decisión de financiación. Con la
condición fundamental de que la rentabilidad de la inversión, debe satisfacer la
estructura financiera de la empresa. La decisión de inversión, como ya se
menciono, tiene que ver con la estructura operativa de la empresa y con una de
las funciones de la Administración financiera que es definir donde invertir. Para
poder tomar la decisión de invertir hay necesidad de definir los indicadores de
gestión financiera que permitan establecer si la empresa cumple con su objetivo
financiero básico y si los proyectos de inversión que enfrenta cotidianamente la
acercan a su meta. La decisión de financiación, otra de las decisiones
fundamentales de la administración, tienen que ver con la estructura financiera de
la empresa o proyecto, esta estructura se refiere a los dueños de los recursos
(deuda o recursos propios), la cual tiene un costo que se denomina el costo de
capital promedio ponderado. Al evaluar la estructura financiera del proyecto,
interesa diseñar indicadores financieros que permitan identificar si los
inversionistas o dueños de la empresa están alcanzando la meta financiera, la cual
en empresas que tengan ánimo de lucro, es ganar más dinero ahora y en el futuro.
1.13.1.4 Valor Económico Agregado
Solamente, cuando la rentabilidad de la inversión supere el costo de capital
promedio ponderado, se generara valor económico para los propietarios de la
empresa. Únicamente en este evento los inversionistas están satisfaciendo sus
expectativas y alcanzando sus objetivos financieros.
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1.13.1.5 Proyecto de Inversión
Oportunidad de efectuar desembolsos de dinero con las expectativas de obtener
retornos o flujos de efectivo (rendimientos), en condiciones de riesgo. Cualquier
criterio o indicador financiero es adecuado para evaluar proyectos de inversión,
siempre y cuando este criterio permita determinar que los flujos de efectivo
cumplan con las siguientes condiciones: Recuperación de las inversiones,
recuperar o cubrir los gastos operacionales y además obtener una rentabilidad
deseada por los dueños del proyecto, de acuerdo a los niveles del riesgo de este.
El riesgo del proyecto se describe como la posibilidad de que un resultado
esperado no se produzca. Cuanto más alto sea el nivel de riesgo, tanto mayor
será la tasa de rendimiento y viceversa, de este nivel de riesgo se desprende la
naturaleza subjetiva de este tipo de estimaciones.
1.13.2 Relaciones de la matemática financiera con otras disciplinas
La matemática financiera, Es una rama de la matemática aplicada que estudia el
valor del dinero en el tiempo, al combinar elementos fundamentales (capital, tasa,
tiempo) para conseguir un rendimiento o interés, al brindarle herramientas y
métodos que permitan tomar la decisión más correcta a la hora de una inversión.
Contabilidad: Es el proceso mediante el cual se identifica, mide, registra y
comunica la información económica de una organización o empresa, con el fin de
que las personas interesadas puedan evaluar la situación de la entidad.
Relación: Suministra en momentos precisos o determinados, información
razonada, en base a registros técnicos, de las operaciones realizadas por un ente
privado publico, que permitan tomar la decisión mas acertada en el momento de
realizar una inversión.
Derecho: Es el conjunto de leyes, preceptos y reglas, a los que están sometidos
los hombres que viven en toda sociedad civil. El derecho posee diferentes ramas
por lo que se relaciona de diversas maneras con las matemáticas financieras.
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Derecho Mercantil: es el conjunto de leyes relativas al comercio y a las
transacciones realizadas en los negocios.
Relación: En sus leyes se encuentran artículos que regulan las ventas, los
instrumentos financieros, transportes terrestres y marítimos, seguros,
corretaje, garantías y embarque de mercancías; que representan
instrumentos esenciales en las finanzas.
Derecho Civil: es el conjunto de normas e instituciones destinadas a la
protección y defensa de la persona y de los fines que son propios de ésta.
Relación: Regula la propiedad de los bienes, la forma en que se pueden adquirir,
los contratos de compra y venta, disposiciones sobre hipotecas, prestamos a
interés; que representa el campo de estudio de las matemáticas financieras, es
decir, todas las transacciones económicas que estudia esta disciplinas.
Economía: Es una ciencia social que estudia los procesos de producción,
distribución, comercialización y consumo de bienes y servicios; es decir, estudia la
riqueza para satisfacer necesidades humanas.
Relación: esta disciplina brinda la posibilidad de determinar los mercados en los
cuales, un negocio o empresa, podría obtener mayores beneficios económicos.
Ciencia política: es una disciplina que estudia el estudio sistemático del gobierno
en su sentido más amplio. Abarca el origen de los regímenes políticos, sus
estructuras, funciones e instituciones, las formas en que los gobiernos identifican y
resuelven problemas socioeconómicos y las interacciones entre grupos e
individuos importantes en el establecimiento, mantenimiento y cambio de los
gobiernos.
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Relación: Las ciencias políticas estudian y resuelven problemas económicos que
tengan que ver con la sociedad, donde existen empresas e instituciones en
manos de los gobiernos. Las matemáticas financieras auxilian a esta disciplina en
la toma de decisiones en cuento a inversiones, presupuestos, ajuste económico y
negociaciones que beneficien a toda la población.
Ingeniería: Es él termino que se aplica a la profesión en la que el conocimiento de
las matemáticas y la física, alcanzado con estudio, experiencia y practica, se
aplica a la utilización eficaz de los materiales y las fuerzas de la naturaleza.
Relación: Esta disciplina controla costos de producción en el proceso fabril, en el
cual influye de una manera directa la determinación del costo y depreciación de
los equipos industriales de producción.
Informática: es el campo de la ingeniería y de la física aplicada relativo al diseño y
aplicación de dispositivos, por lo general circuitos electrónicos, cuyo
funcionamiento depende del flujo de electrones para la generación, transmisión,
recepción y almacenamiento de información.
Relación: Esta disciplina ayuda a ahorrar tiempo y a optimizar procedimientos
manuales que estén relacionados con movimientos económicos, inversiones y
negociaciones.
Finanzas: Es el termino aplicado a la compra-venta de instrumentos legales cuyos
propietarios tienen ciertos derechos para percibir, en el futuro, una determinada
cantidad monetaria.
Relación: esta disciplina trabaja con activos financieros o títulos valores e incluyen
bonos, acciones y prestamos otorgados por instituciones financieras, que forman
parte de los elementos fundamentales de las matemáticas financieras.
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Sociología: es la ciencia que estudia el desarrollo, la estructura y la función de la
sociedad. Esta analiza las formas en que las estructuras sociales, las instituciones
y los problemas de índole social influyen en la sociedad.
Relación: la sociedad posee empresas que necesitan el buen manejo o una buena
administración de los recursos tanto humano como material. La matemática
financiera trabaja con inversiones y le proporciona a la sociología las herramientas
necesarias para que esas empresas produzcan más y mejores beneficios
económicos que permitan una mejor calidad de vida de la sociedad.
1.14 INTERÉS
Cuando se utiliza un bien que no es de propiedad, generalmente se debe pagar un
dinero por el uso, es así como el interés se define como la renta o rédito que hay
que pagar por el uso del dinero prestado, es el rendimiento que se al invertir de
manera productiva. El interés se simboliza con l, se mide por el incremento entre
la suma original invertida en préstamo y el monto final pagado.
1.15 TASAS DE INTERES
Mide el valor de los intereses en los porcentajes para un periodo de tiempo
determinado; es el valor que se fija en la unidad de tiempo a cada cien unidades
que se invierten o se toman como préstamo.
La tasa de interés puede depender de la oferta monetaria, las necesidades, la
inflación, las políticas de gobierno. La unidad de tiempo más usada para expresar
las tasas de interés es el año.
1.16 EQUIVALENCIA
Es de gran importancia ya que en los problemas financieros lo que se busca es la
equivalencia financiera o equilibrio ingresos o egresos. La conjugación del valor de
dinero en el tiempo y la tasa de interés permite desarrollar el concepto de
equivalencia, el cual, significa que diferentes sumas de dinero en tiempos
diferentes pueden tener igual valor económico.
20
1.17 DIAGRAMA DE TIEMPO
Es conocido como diagrama económico o diagrama de flujo de caja. Es una de las
Herramientas más útiles para la definición, interpretación y análisis de los
problemas financieros. Visualiza el comportamiento del dinero a medida que
transcurren los periodos de tiempo.
1.18 INTERÉS SIMPLE
Es aquel que se paga al final de cada periodo, el capital prestado o invertido no
varía y por la misma razón la cantidad recibida por interés siempre va a ser la
misma. No se capitalizan los intereses.
1.19 INTERÉS COMPUESTO
Es un sistema que capitaliza los intereses hace que el valor que se paga por
intereses se incremente mes a mes. Es aplicado en el sistema financiero se utiliza
en todos los créditos que hacen los bancos, el capital cambia de cada periodo ya
que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital denominado
monto y sobre este volver a calcular los intereses.
1.20 Renta
En el lenguaje corriente, renta es una sucesión de cobros y pagos periódicos, que
tiene el carácter de rendimiento de un capital.
En matemáticas financieras, el concepto de renta es muy amplio y corresponde a
un conjunto de prestaciones se le llama PLAZO o término de la renta, y
llamaremos Periodo al espacio de tiempo que hay entre dos prestaciones
consecutivas.
1.20.1 Elementos de una renta
En tratamiento de las rentas en matemáticas financieras será el de calcular el
valor de la misma en un momento determinado del tiempo. Podremos calcular el
21
valor actual de la renta, el valor final o realizar una valoración en un momento
intermedio.
Para calcular el valor final utilizaremos la ley de capitalización compuesta. Para el
cálculo del valor actual utilizaremos la ley del descuento compuesto racional (o
matemático). Y para calcular un valor intermedio habremos de utilizar ambas
leyes.
1.20.2 Clasificación de las rentas
Ciertas o aleatorias: se conoce la
cuantía de la prestación y el
momento del vencimiento.
Según la naturaleza de sus términos
Aleatorias: la cuantía de la
prestación o el momento del
vencimiento dependen de un
proceso aleatorio.
Discretas: los periodos están
definidos temporalmente (año, mes,
día, etc.)
Según por el periodo de maduración
Continuas: los periodos tienen una
duración infinitesimal, y están
definidos por una función.
Constantes: todos sus términos
son del mismo importe.
Según cuantía de sus términos
22
Variables: los términos van variando. Esta variación puede ser siguiendo una progresión geométrica, aritmética, variables según polinomio, etc.
Plegables: los términos coinciden
con el momento inicial de cada
periodo.
Según vencimiento de sus términos
Pospagables: los términos
coinciden con el momento final de
cada uno de los periodos.
Temporal: Con duración finita,
determinada.
Según la duración de la renta
Perpetua: Tiene duración ilimitada.
Diferida: la valoración se realiza
antes del origen o inicio de la renta
Inmediata: El momento de la
Según el momento de su valoración valoración coincide con el origen o
inicio de la renta.
Anticipada: la valoración se realiza
después de terminada la renta.
23
Hay que añadir que las rentas tendrán una característica de cada tipo de
clasificación. Por tanto, se puede dar un gran número de combinaciones a estudia
con las rentas. (Martínez Carrasco, 2010, p. 99 – 101)
CAPITULO II
2 Definición de anualidad
Una anualidad es un conjunto de pagos iguales hechos a intervalos iguales de
tiempo. El termino anualidad parece significar que los pagos se hacen
anualmente. En el sentido estricto de la expresión, esto no es necesariamente asi.
En matemáticas financieras, anualidad significa pagos hechos a intervalos iguales
de tiempo, que pueden ser anuales, trimestrales, mensuales, quincenales, diarios,
etc.
El estudio de las anualidades es de mucha importancia en finanzas, entre otras
razones, porque es el sistema de amortización más común en los créditos
comerciales, bancarios y de vivienda. Este sistema de pagos permite que el
financiador, cada vez que recibe el pago de la cuota, recupere parte del capital
prestado. (Meza Orozco, 2008, p. 207)
Antes de entrar de lleno a estudiar las anualidades, es necesario definir algunos
términos generales.
La palabra anualidad da la idea de períodos anuales; sin embargo son
anualidades siempre y cuando sean períodos regulares, no importando que sean
anuales o no (Períodos menores o mayores a un año). Por ejemplo:
Una anualidad cuyos pagos periódicos se realizan al final de cada año y
de Q. 500.00 cada uno.
24
- 1 año - - 1 año - - 1 año - - 1 año -
Una anualidad cuyos pagos periódicos de Q. 150.00 se realizan al final de
cada 6 meses.
Una anualidad cuyos pagos periódicos de Q. 2,500.00 se realizan al final de
cada 2 años.
En todos los casos anteriores se cumplen las condiciones de las anualidades,
pagos de igual valor por períodos regulares, no necesariamente de un año, en los
últimos dos casos.
En algunas ocasiones, se debe tener cuidado de diferenciar más de una anualidad
en una serie de pagos por ejemplo:
Dos anualidades en las que los pagos se están haciendo al final de cada 1.5
años, pero sus valores no son los mismos, y entonces hay una anualidad
para los pagos de Q. 800.00 y otra para los pagos de Q. 5,800.00
25
500 500 500 500
- 6 meses - - 6 meses - - 6 meses - - 6 meses -
150 150 150 150
- 2 años - - 2 años - - 2 años - - 2 años -
2,500 2,500 2,500 2,500
Dos anualidades en las que todos los pagos son de Q. 800.00 cada uno, pero
una es pagadera cada 6 meses y la otra cada año.
2.1 OTRAS DEFINICIONES IMPORTANTES
2.1.1 Intervalo o Período de Pago
Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro de la anualidad. Existen anualidades
con períodos de pago iguales a un año, menores de un año y con períodos de pago
mayores a un año.
2.1.2 Plazo de la Anualidad
26
- 1.5 años - - 1.5 años - - 1.5 años - - 1.5 años -
800 800 2,800 2,800
- 6 meses - - 6 meses - - 1 año - - 1 año -
800 800
- 6 meses -
800 800 800
1 2
1 2
Es el tiempo que transcurre desde el inicio del primer período de pago y el final del último
período de pago de la anualidad.
2.1.3 Renta
Es el pago periódico de la anualidad.
2.2 PRINCIPALES APLICACIONES DE LAS ANUALIDADES
Las anualidades son utilizadas en distintas operaciones financieras por ejemplo: los
pagos mensuales de alquiler, arrendamiento financiero, los pagos de sueldos y salarios,
las amortizaciones de las viviendas compradas a plazos, las amortizaciones de créditos
otorgados, las compras al crédito de vehículos mediante amortizaciones iguales cada
cierto tiempo, entre otros.
2.3 ÉPOCAS DE VALUACIÓN DE LAS ANUALIDADES
Dependiendo lo que se desea conocer de la anualidad se valúa al inicio o al final del
plazo. Si se desea conocer el valor actual se debe realizar la valuación al inicio del plazo.
Si lo que se quiere conocer es su monto, la valuación debe realizarse al final de la serie
de pagos. También puede valuarse en períodos intermedios y determinar montos si se
quiere conocer lo acumulado hasta esa fecha o valores actuales si se desea conocer lo
que está pendiente de amortizar a esa fecha. Por ejemplo:
Cuando la valuación se realiza al inicio y al final de la anualidad.
27
A S
Valor Actual Monto
Inicio Final
Cuando la valuación se realiza en períodos intermedios. Si se quiere conocer lo
acumulado a la fecha de valuación se determina el monto de los pagos efectuados.
Cuando la valuación se realiza en períodos intermedios. Si se quiere conocer lo que
está pendiente de amortizar a la fecha de valuación, se determina el valor actual de
los pagos que aún no se han hecho.
2.4 OBJETO DE CÁLCULO DE LAS ANUALIDADES
Básicamente se utilizan para crear fondos, mediante la acumulación de los pagos y/o
amortizar deudas, mediante los abonos periódicos por valores iguales o cuotas niveladas.
2.5 ELEMENTOS QUE CONFORMAN LAS ANUALIDADES
ELEMENTO SÍMBOLO
Monto S
Valor Actual A
Renta R
Tiempo n
No. de pagos en el año P
Tasa efectiva de interés i
Tasa nominal de interés j
28
SFecha de Valuación
Inicio Acumulación Parcial
A
Valor Actual
Saldo pendiente de amortizar
Final
No. de capitalizaciones en el año m
Período de diferimiento y
2.6 ANUALIDADES CIERTAS O A PLAZO FIJO
Son aquellas en las cuales se conoce cuando se inician y cuando finalizan los
pagos y si tienen plazo indefinido o a perpetuidad.
2.7En función de la época de pago de cada renta
2.7.1 Vencidas u ordinarias
Cuando la renta se efectúa al final de cada período de pago. Por ejemplo los
pagos mensuales vencidos, los pagos cada final de año, los pagos al final de cada
semestre, etc.
2.7.1.1 Anticipadas o inmediatas
Cuando la renta se efectúa al inicio de cada período de pago. Por ejemplo los
pagos mensuales anticipados, los pagos al inicio de cada año, al inicio de cada
semestre, etc.
29
R R R R
R R RR
2.7.1.2 Diferidas
Cuando la serie de pagos no se inicia de inmediato, sino que se deja pasar un
período sin que se efectúe amortización alguna. Estas anualidades diferidas
pueden ser a su vez, diferidas vencidas o diferidas anticipadas.
Diferidas vencidas
Diferidas anticipadas
El período de diferimiento deberá aplicarse únicamente a las fórmulas del valor
actual o sus derivadas y no así para las del monto.
2.7.2 Atendiendo la periodicidad de los pagos y la frecuencia de las
capitalizaciones de interés
2.7.2.1 Un pago de renta en el año y tasa de interés efectiva
2.7.2.2 Un pago de renta en el año y tasa de interés nominal
2.7.2.3 Varios pagos en el año y tasa de interés efectiva.
2.7.2.4 Varios pagos en el año y tasa de interés nominal.
2.7.2.5 Pagos por períodos mayores de un año y tasa de interés efectiva.
30
R R
En estos períodos no se hacen pagos. Período de diferimiento
RR
En estos períodos no se hacen pagos. Período de diferimiento
2.7.2.6 Pagos por períodos mayores de un año y tasa de interés nominal.
2.7.3 Atendiendo la variabilidad de los pagos de renta
2.7.3.1 Constantes
Son constantes cuando el valor de la renta siempre es el mismo.
2.7.3.2 Variables
Cuando el valor de la renta varía atendiendo leyes matemáticas, por lo que
pueden ser en progresión aritmética y en progresión geométrica, en ambos casos
pueden presentarse de forma creciente o decreciente.
2.8ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO
2.8.1 Rentas perpetuas
Es una serie de pagos cuyo plazo es indeterminado o sea que el tiempo es infinito,
por lo tanto el capital permanece invariable por un tipo infinito y los pagos de renta
se toman de los intereses generados en un determinado tiempo. En este tipo de
anualidades no se puede determinar el monto por desconocerse el tiempo de
finalización de la serie de pagos.
2.8.2 Costo capitalizado
Se le denomina así a la inversión necesaria para adquirir un activo y al mismo
tiempo estar en condición de reemplazarlo cada determinado período de años en
forma indefinida o sea que es igual al costo inicial del activo más el valor actual de
infinito número de renovaciones. Para interpretar los resultados de dos
alternativas a elegir se deberá considerar la que presente el menor costo
capitalizado.
2.8.3 Costos equivalentes
31
Consiste en determinar el precio el precio que se puede pagar por un bien que
debe ser reemplazado cada período de años de manera que dicho desembolso en
períodos infinitamente largos sea equivalente al de otro bien que tenga la misma
utilidad pero con un costo inicial y de reemplazo diferentes.
2.8.4 Límite de gastos para alargar la vida útil de un activo
Constituye un indicador financiero que determina el límite de gastos que puede
adicionarse para prolongar la vida útil de un activo en comparación con el costo de
preposición de un activo similar cuya vida útil está relacionada con el número de
años que se puede prolongar dicho activo. Es aquella erogación que
justificadamente se puede hacer para prolongar la vida útil de un activo sin alterar
su costo capitalizado. Nos permite determinar financieramente cuándo conviene
prolongar la vida de un activo en vez de sustituirlo.
2.9ANUALIDADES CONTINGENTES O EVENTUALES
Son aquellas cuyo inicio o finalización depende de un suceso cuya realización no
puede fijarse con certeza, como por ejemplo la supervivencia o la muerte de una
persona. Se aplica en las rentas vitalicias y los seguros de vida.
2.9.1 Rentas vitalicias
Serie de pagos que me efectúan durante el tiempo que la persona beneficiaria se
encuentre con vida para recibirlos. Con la muerte del rentista finaliza la obligación
de pagar las rentas.
2.9.2 Dote pura
Toma este nombre una cantidad de dinero que se pagará al cabo de “n” años a
una persona de edad actual “x” a condición, de que esté entonces con vida.
Se trata de un capital cuyo pago es un evento aleatorio porque está condicionado
a que la persona de edad “x” cumpla “x +n” años para recibirlo, por tanto el precio
justo está dado por la esperanza matemática o depósito que el individuo en
32
cuestión debe efectuar hoy para recibirlo sólo si se encuentra con vida a la edad “x
+ n”.
2.9.3 Seguros de vida
Los pagos de la prima del seguro se realizan si el asegurado se encuentra con
vida para hacerlos, y al ocurrir su muerte se hace efectivo el pago de la suma
asegurada.
33
CAPITULO III
3.1 ANUALIDADES
Simbología
Monto = S
Valor Actual = A
Renta = R
Tiempo = n
No. de pagos en el año = P
Tasa efectiva de interés = i
Tasa nominal de interés = j
No. de capitalizaciones en el año = m
Período de diferimiento = y
3.1.1 Monto
3.1.2 Valor actual
34
mn
(1 + j/m) - 1
S = R
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
m/p
- mn
1 - (1 + j/m)
A = R
FACTORES DE
ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
3.1.3 Renta en función del monto
3.1.4 Renta en función del valor actual
3.1.5 Tiempo en función del monto
3.1.6 Tiempo en función del valor actual
35
m/p
S { (1 + j/m) - 1 }
R =
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
- m/p
m/p
A { (1 + j/m) - 1 }
R =
FACTORES DE
ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
m/p
S { (1 + j/m) - 1 }
Log + 1
R *
n =
* FACTOR DE ANTICIPACIÓN
m/p
1
m/p
A { (1 + j/m) - 1}
Log 1 -
R * *
* * FACTORES DE
ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
3.2 ANUALIDADES PAGADERAS CADA “K” AÑOS
Simbología
Monto = S
Valor Actual = A
Renta = W
Tiempo = n
No. de años para cada pago = k
Tasa nominal de interés = j
No. de capitalizaciones en el año = m
Período de diferimiento = y
3.2.1 Monto
3.2.2 Valor actual
3.2.3 Renta en función del monto
36
mn
(1 + j/m) - 1
S = W
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
mk
- mn
1 - (1 + j/m)
A = W
FACTORES DE
ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
mk
(1 + j/m) - 1
W = S
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
- mk
3.2.4 Renta en función del valor actual
3.2.5 Tiempo en función del monto
3.2.6 Tiempo en función del valor actual
3.3 ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Simbología
Monto = S
Valor Actual = A
Primer pago = B
Diferencia = d
37
mk
(1 + j/m) - 1
W = A
FACTORES DE
ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
mk
S { (1 + j/m) - 1 }
Log + 1
W *
n =
* FACTOR DE ANTICIPACIÓN
mk
1
mk
A { (1 + j/m) - 1}
Log 1 -
W * *
* * FACTORES DE
ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
Tiempo = n
No. de pagos en un año = p
Tasa nominal de interés = j
No. de capitalizaciones en el año = m
Período de diferimiento = y
3.3.1 Factor del monto (FM)
3.3.2 Factor del valor actual (FVA)
3.4 ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA CRECIENTES
En las siguientes fórmulas para que se conviertan en “Decrecientes” se le cambia de
signo a la diferencia “d”.
3.4.1 Monto
3.4.2 Valor actual
38
mn
(1 + j/m) - 1
S p ┐n j(m) =
- mn
1 - (1 + j/m)
A p ┐n j(m) =
S p ┐n j(m) - np
S = B S p ┐n j(m) + d
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
m/p
- mn
Ap ┐n j(m) - np (1 + j/m)
FACTORES DE
ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
En las siguientes fórmulas el factor del monto aparecerá con las iniciales “FM” y el factor
del valor actual con las iniciales (FVA).
3.4.3 Primer pago en función del monto
3.4.4 Primer pago en función del valor actual
3.4.5 Diferencia en función del monto
3.4.6 Diferencia en función del valor actual
39
FM - np
m/p
S - d (1 + j/m) - 1
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
m/p
- mn
FVA - np (1 + j/m)
FACTORES DE
ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
m/p - my
S - B (FM)
FM - np
d =
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
m/p
3.5 ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA CRECIENTES
Simbología
Monto = S
Valor Actual = A
Primer pago = B
Razón = r
Tiempo = n
No. de pagos en un año = p
Tasa nominal de interés = j
No. de capitalizaciones en el año = m
Período de diferimiento = y
3.5.1 Monto
Si m = p y r = (1 + j/m), no es aplicable esta fórmula, en su lugar se aplica la
siguiente:
40
FACTORES DE
ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
m/p - my
A - B (FVA)
-mn
d = FVA - np (1+j/m)
np mn (r) - ( 1 + j/m)
S = B
m/p
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
m/p
mn - 1
S = B n p ( 1 + j/m)
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
m/p
3.5.2 Valor actual
Si m = p y r = (1 + j/m), no es aplicable esta fórmula, en su lugar se aplica la
siguiente:
3.5.3 Primer pago partiendo del monto
Si m = p y r = (1 + j/m), no es aplicable esta fórmula, en su lugar se aplica la
siguiente:
41
np -mn
(r) (1 + j/m) - 1
A = B
FACTORES DE
ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
- 1
S = B n p ( 1 + j/m)
FACTORES DE
ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
m/p r - ( 1 + j/m)
B = S
np mn
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
- m/p
S
B =
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
- m/p
3.5.4 Primer pago partiendo del valor actual
Si m = p y r = (1 + j/m), no es aplicable esta fórmula, en su lugar se aplica la
siguiente:
3.6 ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO – RENTAS PERPETUAS
Simbología
Valor Actual = A
Renta para períodos menores a un año = R
Renta para períodos mayores a un año = W
Tiempo = n
No. de pagos en un año = p
Períodos de pago mayores de 1 año = k
Tasa nominal de interés = j
No. de capitalizaciones en el año = m
Período de diferimiento = y
42
m/p r - ( 1 + j/m)
B = S
np -mn
FACTORES DE
ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
A ( 1 + j/m)
B =
FACTORES DE
ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
3.6.1 Valor actual
3.6.1.1 Pagadera cada “k” años
3.6.1.2 Pagadera anualmente o en períodos menores de un año
3.6.2 Rentas
3.6.2.1 Pagadera cada “k” años
3.6.2.2 Pagadera anualmente o en períodos menores de un año
43
W
A =
FACTORES DE
ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
R
A =
FACTORES DE
ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
mk
W = A [ ( 1 + j/m ) - 1 ]
FACTORES DE
ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
m/p
R = A [ ( 1 + j/m ) - 1 ]
FACTORES DE
ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
3.6.3 Tasa de interés
3.6.3.1 Pagaderas cada “k” años
3.6.3.2 Pagadera anualmente o en períodos menores de un año
3.7 ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO - COSTO CAPITALIZADO
Simbología
Costo capitalizado = C
Costo de reemplazo = W
Costo inicial del activo = F
No. de años de vida útil = k
Tasa de interés = j
Número de capitalizaciones = m
3.7.1 Costo inicial y de reemplazo diferentes
44
1/mk
p/m
W
C = F +
W
F = C -
3.7.2 Costo inicial y de reemplazo iguales
3.8 ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO - COSTOS EQUIVALENTES
Simbología
Costo equivalente del bien que desea obtener = F’
Costo inicial y de reemplazo del bien base = F
Vida útil estimada del bien base = k
Vida útil del bien que se quiere adquirir o comparar su costo = t
Tasa de interés = j
Número de capitalizaciones al año = m
3.9 LÍMITE DE GASTOS PARA ALARGAR LA VIDA ÚTIL DE UN ACTIVO
Simbología
Valor de la mejora o cantidad máxima a invertir = x
Costo inicial del activo = F
Vida útil del activo = k
Años que se puede prolongar la vida útil de un activo = b
Tasa de interés = j
Número de capitalizaciones = m
45
F
C =
- mk
F = C [ 1 - ( 1 + j/m) ]
-mt
1 - (1 + j/m)
F’ = F
3.10 RENTAS VITALICIAS
Simbología
Valor actual de una renta vitalicia = Ax
Edad de la persona que adquiere la renta vitalicia = x
Período de diferimiento = m
Plazo temporal de una renta vitalicia = n
Renta o cantidad a recibir en forma anual = R
3.11 DOTE PURA
Simbología
Valor actual de una dote pura = nEx
Cantidad de la dote = k
Edad actual de la persona = x
46
-mb
1 - (1 + j/m)
x = F
Nx + 1
Ax = R
m Ax
R = Nx + m + 1
Tiempo o plazo para recibir la dote = n
3.12 SEGURO DE VIDA
Simbología
Edad de la persona asegurada = x
Plazo del seguro = n
Gastos fijos – Quetzales = k
Gastos variables – Porcentaje = h
Cantidad asegurada = K
47
nEx
K = Dx + n
Dx + n
nEx = K
Px + K
PT =
CAPITULO IV
4.1 EJEMPLO No. 1 - ANUALIDADES EN GENERAL
Hace 3 años el señor Culebro Delgado recibió un préstamo, con el compromiso de
cancelarlo en 5 años, mediante pagos mensuales de Q.300.00 cada uno, dicho préstamo
se concedió con una tasa de interés del 10% anual, capitalizable semestralmente; el día
de hoy le han notificado al Sr. Delgado que la nueva tasa de interés vigente, por el saldo
del préstamo, será el 12 % anual, capitalizable trimestralmente. ¿Cuál debe ser la nueva
renta considerando que el plazo del préstamo no se modifica y cuál es el valor del
préstamo original?
DATOS
R = Q. 300.00 (vencidas)
n = 5
p = 12
j = 0.10
m = 2
48
HOY
1 2 3 4 5
- mn
1 - (1 + j/m)
A = R
- 10
1 - (1 + 0.05)
A = 300
A = Q. 14, 185.94 PRÉSTAMO ORIGINAL
DATOS
R = Q. 300.00 (vencidas)
n = 2
p = 12
j = 0.10
m = 2
A =Q. 6, 514.42 VALOR INSOLUTO PARA CALCULAR LA NUEVA RENTA
DATOS
A = Q. 6,514.42
n = 2
p = 12
j = 0.12
m = 4
49
- mn
1 - (1 + j/m)
A = R
- 4
1 - (1 + 0.05)
A = 300
m/p
A { (1 + j/m) - 1 }
R =
4/12
6514.42 { (1 + 0.03) - 1 }
R =
R = Q. 306.29 LAS NUEVAS RENTAS
4.2 EJEMPLO No. 2 - ANUALIDADES EN GENERAL
Una lotificadora ofrece lotes con un enganche fraccionado de Q. 7,000.00, pagando Q.
2,000.00 el día de hoy y la diferencia dentro de 2 años, luego se efectuarán 180
mensualidades de Q. 840.00 cada una pagaderas al final de cada mes, se considera en la
operación el 16% anual de interés capitalizable semestralmente. ¿Cuál será el precio de
contado de cada lote?
DATOS
n = 15 años
R = Q. 840.00 (vencidas)
j = 0.16
m = 2
p = 12
y = 2 años de diferimiento
50
HOY
2,000 5,000 180 / 12 = 15 años
17 años
A = (840) (69.76456641) (0.735029852)
A = Q. 43, 074.40
DATOS DEL RESTO DEL ENGANCHE (Q. 5,000.00)
S = Q. 5,000.00
j = 0.16
m = 2
n = 2
P = Q. 3,675.15
ENGANCHE Q. 2,000.00 +
A 43,074.40
P 3,675.15
Q. 48,749.55 PRECIO DE CONTADO DE CADA LOTE
51
- mn
1 - (1 + j/m)
A = R
FACTOR
DE DIFERIMIENTO
- 30
1 - (1 + 0.08)
A = 840
FACTOR
DE DIFERIMIENTO
- mn
P = S (1 + j/m )
- 4
4.3 EJEMPLO No. 3 - ANUALIDADES EN GENERAL
Un préstamo recibido hace 7 años fue cancelado mediante pagos de Q. 600.00 al final de
cada mes, y se sabe que el mismo devengó intereses del 8% anual capitalizable
semestralmente durante los primeros 3 años y por el resto del tiempo el banco cobró una
tasa de interés del 10% anual capitalizable semestralmente. ¿Cuál fue el valor original de
dicho préstamo?
DATOS No. 1 DATOS No. 2
j = 0.08 j = 0.10
R = Q. 600.00 R = 600.00
m = 2 m = 2
p = 12 p = 12
n = 2 n = 4
y = 3
52
HOY
1 2 3 1 2 3 4
7 años
- mn
1 - (1 + j/m)
A = R
FACTOR DE
DIFERIMIENTO
A1 = Q. 19,183.82
A2 = Q. 18,768.16
A1 Q. 19,183.82 +
A2 Q. 18,768.16
Q. 37,951.98 VALOR ORIGINAL DEL PRÉSTAMO
4.4 EJEMPLO No. 4 - ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
DECRECIENTE ANTICIPADA
Un estudiante inició el día de hoy una serie de depósitos semestrales para comprar un
vehículo al final de cinco años, y para tal efecto depositó la cantidad de Q. 6,000.00 y los
siguientes depósitos disminuyen en Q. 500.00 cada uno de su inmediato anterior; la
institución bancaria le reconoce una tasa de interés del 10% anual, capitalizable
semestralmente. ¿Cuánto podrá acumular al final de dicho plazo?
53
- 6
1 - (1.04)
A1 = 600
- 8
1 - (1.05)
A2 = 600
FACTOR DE
DIFERIMIENTO
6000
HOY
5000
DATOS
B = Q. 6,000.00
d = Q. 500
p = 2
j = 0.10
m = 2
n = 5
S p ┐n j(m) = 12.57789254
S = Q. 52,172.85 MONTO ACUMULADO AL FINAL DEL PLAZO
54
mn
(1 + j/m) - 1
S p ┐n j(m) =
10
(1.05) - 1
S p ┐n j(m) =
S p ┐n j(m) - np
S = B S p ┐n j(m) - d
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
m/p
12.57789254 - 10
S = 6000(12.57789254) -500
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
4.5 EJEMPLO No. 5 - ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
CRECIENTE VENCIDA
La empresa “Ganadores, S. A.”, terminó el día de hoy de cancelar un préstamo obtenido
hace 5 años, por Q. 50,000.00, el cual fue cancelado mediante pagos al final de cada seis
meses, variables en progresión aritmética, se sabe que el primer pago fue por Q. 6,000.00
y que la financiera le aplicó una tasa de interés del 20 % anual, capitalizable
semestralmente. Se desea saber ¿en qué cantidad variaron los pagos periódicos?
DATOS
n = 5
A = Q. 50,000.00
p = 2
B = Q. 6,000.00
j = 0.20
m = 2
A p ┐n j(m) = 6.144567106
55
6000
HOYA = 50,000
- mn
1 - (1 + j/m)
A p ┐n j(m) =
- 10
1 - (1.10)
A p ┐n j(m) =
d = Q. 573.69 CANTIDAD EN LA QUE AUMENTARON LOS
PAGOS PERIÒDICOS
4.6 EJEMPLO No. 6 - ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
CRECIENTE VENCIDA
Un activo fijo será cancelado en 4 años mediante pagos semestrales vencidos que
aumentan cada uno de su inmediato anterior un 15%, el primero de estos será por Q.
15,000.00, se aplica una tasa de interés del 18% anual capitalizable trimestralmente.
¿Cuál es el valor original del activo fijo?
DATOS
n = 4
p = 2
r = 1.15
56
A - B (FVA)
-mn
d = FVA - np (1+j/m)
50,000 - 6,000 (6.144567106)
-10
B = 15,000
B = Q. 15,000.00
j = 0.18
m = 4
A = Q. 132,624.31 VALOR ORIGINAL DEL ACTIVO
4.7 EJEMPLO No. 7 - RENTA PERPETUA VENCIDA
Una empresa depositó cierta cantidad de dinero para que al final de cada año se le
entregue a una asociación Q. 10,000.00. Considerando que la financiera aplica una tasa
de interés del 18% anual, capitalizable trimestralmente. ¿Qué cantidad de dinero depositó
la empresa para que la asociación reciba los Q. 10,000.00 a perpetuidad?
DATOS
R = Q. 10,000.00
p = 1
j = 0.18
m = 4
57
np -mn
(r) (1 + j/m) - 1
A = B
8 -16
(1.15) (1.045) - 1
A = 15000
A = Q. 51,943.03 ES LA CANTIDAD DE DINERO QUE
DEPOSITÓ LA EMPRESA.
4.8 EJEMPLO No. 8 - COSTO CAPITALIZADO
Una empresa tiene las siguientes ofertas de maquinaria:
Una máquina que tiene un costo inicial de Q. 25,000.00 y debe reemplazarse cada 8
años por otra cuyo costo es de Q. 30,000.00.
Una máquina que tiene un costo inicial de Q. 28,000.00 y debe reemplazarse cada
10 años por otra a un costo de Q. 30,000.00.
Considerando una tasa de interés del 10% anual, capitalizable trimestralmente. ¿Cuál de
las dos alternativas es la más conveniente desde el punto de vista financiero?
DATOS No. 1 DATOS No. 2
F = Q. 25,000.00 F = Q. 28,000.00
k = 8 k = 10
W = Q. 30,000.00 W = Q. 30,000.00
j = 0.10 j = 0.10
m = 4 m = 4
58
R
A =
10,000
A =
C1 = Q. 49, 921.97
C2 = Q. 45,803.48
LA SEGUNDA ALTERNATIVA ES LA MÁS CONVENIENTE PUESTO QUE EL COSTO
CAPITALIZADO ES MENOR QUE EL PRIMERO.
4.9 EJEMPLO No. 9 - COSTOS EQUIVALENTES
Una constructora tiene equipo con un costo de Q. 100,000.00, debe ser reemplazado
cada 10 años al mismo costo. Un fabricante ofrece otro equipo con un costo inicial y de
reemplazo de Q. 125,000.00, debe ser reemplazado cada 12 años. El gerente de la
constructora desea saber ¿cuál de los 2 equipos resulta más económico y cuánto puede
pagar por el segundo para que su costo resulte equivalente al del primero? Considere el
18% anual de interés capitalizable trimestralmente.
DATOS No. 1 DATOS No. 2
F = Q. 100,000.00 F = Q. 125,000.00
k = 10 k = 12
j = 0.18 j = 0.18
m = 4 m =
59
W
C = F +
30,000
C1 = 25,000 +
30,000
C2 = 28,000 +
C1 = Q. 120,762.55
C2 = Q. 142,190.51
DATOS
F = Q. 100,000.00
k = 10
t = 12
j = 0.18
m = 4
60
F
C =
100,000
C 1 =
125,000
C 2 =
-mt
1 - (1 + j/m)
F’ = F
F’ = Q. 106,162.63 PARA QUE EL COSTO DEL SEGUNDO SEA
EQUIVALENTE AL DEL PRIMERO.
4.10 EJEMPLO No. 10 - LÍMITE DE GASTOS PARA ALARGAR LA VIDA ÚTIL DE
UN ACTIVO
Una empresa posee cierto equipo que tiene un costo de Q. 50,000.00, y debe
reemplazarse cada 10 años, el proveedor de dicho equipo ofrece cambiarle ciertos
componentes para alargarle la vida útil en 4 años más. ¿Hasta qué cantidad se podrá
pagar por el cambio de componentes considerando una tasa de interés del 12% anual,
capitalizable trimestralmente?
DATOS
F = Q. 50,000.00
k = 10
b = 4
j = 0.12
m = 4
61
-48
1 - (1.045)
F’ = 100,000
-mb
1 - (1 + j/m)
x = F
x = Q. 8,329.50 ES LO MÁS QUE SE PUEDE PAGAR POR EL
CAMBIO DE COMPONENTES
62
-16
1 - (1.03)
x = 50,000
CONCLUSIONES
1. Las anualidades son fondos para crear, mediante la acumulación de los pagos y/o
amortizar deudas, mediante los abonos periódicos por valores iguales o cuotas
niveladas.
2. Las anualidades son utilizadas en el mercado financiero guatemalteco. Al realizar
un análisis al mercado local, se puede visualizar una serie de productos que estas
entidades ofertan a potenciales compradores. Existen muchas opciones para
aplicar anualidades, dígase, por ejemplo recomendar a una empresa, la mejora de
un activo, y esta será beneficiosa, financieramente hablando.
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Meza Orozco, Jhonny de Jesus
Matematicas Financieras aplicadas
3ra Edición, Bogota, Ecoe Ediciones 2008
(207 - 208)
Martinez Carrasco, Rafael Domingo
Productos financieros basicos
1ra edición San Vicente Alicante, Editoria Club Universitario, 2010
(99 - 101)
Jimenez Guerra, Pedro
Matematica y economia Financiera
Conferencia, Año mundial de la matematica, 2000
http://laberintos.itam.mx/PDF/num11/243
http://home.galileo.edu/~tutor03540/Matem%E1ticas%20financieras
%20PUBLICACION.doc
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