UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALACENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE DIVISIÓN DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍACATEDRATICO: ING. EDELMAN MONZONMATEMATICA INTERMEDIA III (MATE 6)

VACIADO DE TANQUES

GRUPO 8NOMBRES:

MANUEL ENRIQUE POL CETO.................................2004-30972MOMOTIC CITALAN, EDDÍ MANUEL.....................2005-30325LUIS ERNESTO AGUILAR LÓPEZ............................2005-30783LUÍS ALBERTO DÍAZ VALDÉS...............................2005-30978MARIA FERNANDA BARRIOS CAMPOSECO........2005-31034

QUETZALTENANGO 29 DE DICIEMBRE DEL 2,006

Introducción.

 

Crear modelos con ecuaciones diferenciales es a la vez de ciencia un arte, el arte radica en

que el conjunto de suposiciones que sustentan al modelo están centrados en ajustes e

ideales, para lo cual no hay reglas universales, que el propio modelador elige con base en la

naturaleza y los costos del problema que pretende resolver o de la situación que pretende

explicar.  Por otro lado, es ciencia porque se fundamenta en el método científico y la fina

estructura lógica matemática de las ecuaciones diferenciales.

Dicho proceso de modelado se fundamenta principalmente en el análisis exhaustivo que el

modelador realiza de la situación, pero también en su experiencia sobre el propio modelado

y en la simplificación adecuada de las expresiones resultantes, para evitar la complejidad

por variabilidades irrelevantes o variables que pueden ser ignoradas por su bajo impacto en

las consecuencias del fenómeno o incluso en aras de la elegancia de la simplicidad y la

pérdida mínima de la capacidad de predicción que posea el propio modelo obtenido.

Por ello, los primeros pasos en la experiencia del modelado mediante ecuaciones

diferenciales se dan observando el trabajo de los expertos, es decir estudiar las suposiciones

finas y las herramientas (leyes y principios de la ciencias que fundamentan el problema en

cuestión) que se emplean en los modelos que han trascendido a lo largo del tiempo en la

ciencia y en la ingeniería. 

Vaciado de tanques a través de un orificio o un conducto

Básicamente nuestro modelo matemático se apega al procedimiento usual para el vaciado de un tanque aplicando ecuaciones diferenciales siendo la forma general del problema la siguiente.

Un depósito de forma conocida, se llena hasta una altura H0 medida por encima de un orificio de área Ao, o un conducto de S longitud y Bo de área de flujo de desde el cual escapa el líquido que contiene el depósito. ¿Cómo modelamos esta situación?

Análisis:   En un instante t, la altura del líquido es h medida a partir del orificio o del inicio del conducto.  Luego cuando el espejo del líquido en el tanque disminuye una altura dh, el volumen que se ha vaciado en el tanque es dV = A(h) dh, lo cual en el conducto seria lo que avanzaría en S de lo cual obtendríamos dV = B(h)dh en donde A(h) y B(h) son las áreas de la sección del tanque en esa posición h.   Por otro lado, puesto que la cantidad dV que se ha vaciado del tanque escapa por el orificio, se tiene que el gasto desalojado en un tiempo dt es para el area A, Q = v Ao dt = (2gh)1/2 Ao dt, y para el área B seria igual si suponemos que B = A por lo que igualando ambos volúmenes se tiene

En este modelo se presentan los siguientes supuestos: 

Se puede expresar el área de la sección del depósito en función de la altura h, esto es A(h), o B(h) lo cual es igual

El signo negativo en la ecuación se debe a que h disminuye conforme t crece.

El área del orificio  Ao es constante.

Se cumple la Ley de Torricelli, en el sentido de que la presión del fluido provoca la velocidad de vaciado por el orificio, y ésta depende de la altura de la columna de líquido y por conservación de la energía se satisface finalmente v = (2gh)1/2 .

No hay pérdidas de velocidad (energía cinética) debido al rozamiento en los “filos del orificio”.

El fluido no presenta resistencia a “fluir”; es decir,  se desprecia la viscosidad.

No hay presiones ajenas a la atmosférica sobre el espejo del líquido.

De lo cual podemos realizar el siguiente análisis: 

AT: area transversal del tanque

AO: area del orificio en la base del tanque

h: altura del nivel del agua en el tanque

Ley de Torricelli:

Lo cual será nuestro parámetro para resolver nuestro modelo respectivo, en el cual se han de aplicar los mismos principios que fueron proporcionados.

Problema.Un recipiente con una sección transversal constante A se llena con agua hasta la altura H. El agua fluye del tanque a través de un orificio, de sección trasversal B, en la base del recipiente. Encuentre la altura del agua en cualquier tiempo y encuentre el tiempo para vaciar el tanque.

Formulación matemática. Considere el tanque que aparece en la figura 3.35, donde A es el área de la sección transversal constante, y B el área de la sección transversal de orificio. Sea h la altura del agua en el tanque en tiempo t (nivel 1) y h +∆h la altura en tiempo t + ∆t (nivel 2).

El principio básico que usamos es el principio obvio de que la cantidad de agua que se pierde cuando el nivel baja de 1 a 2 es igual a la cantidad de agua que se escapa por el orificio. Cuando el nivel del agua baja de 1 a 2, el

volumen perdido es numéricamente igual a A∆h. Sin embargo, debemos ser cuidadosos con los signos. Puesto que ∆h es realmente negativo, tenemos, para el volumen real perdido en tiempo ∆t, la cantidad - A∆h. El volumen de agua que escapa a través del orificio es aquel volumen que contendría un cilindro de sección transversal B y longitud ∆s, donde ∆s es la distancia que el agua viajaría en tiempo ∆t si se mantuviera viajando horizontalmente. Tenemos entonces -A∆h = B∆s. Dividendo por ∆t y tomando el limite cuando ∆t → 0, encontramos

A dhdt

B dsdt

1 B v o A dh B v dt

Donde v = ds dt es la velocidad instantánea de evacuación a través del orificio.Necesitamos tener ahora una expresión para la velocidad v de evacuación del agua. Es claro que a mayor altura del agua, mayor es v. De hecho, no es difícil mostrar que para condiciones ideales * v = (2gh)(1/2) así 1 se convierte en

A dh B 2 g h dtPuesto que la altura es inicialmente H, tenemos h = H en t = 0

Esto se cumple puesto que la energía potencial mgh de una masa m de agua es igual a la energía cinética (1/2)mv2. en la practica, con perdidas, v = (2gh)(1/2), entonces 0 < c < 1, donde c es el coeficiente de descarga.

Solución La separación de variables en (2) produce

d

1

hh d

B 2 g

At

. 2 h

B 2 g tA

c

Nivel 1

Nivel 2

hh+∆h

Usando h = H en t = 0, encontramos c = 2 ( H ), de modo que

2 h B 2 g t

A2 H

Lo cual expresa la altura como una función de t .

El tiempo para vaciarse el tanque se obtiene al encontrar t donde h = 0 obtenemos

tA 2

Hg

B