unidad i. fisica trayecto i periodo 2 definiciÓn del

Material didáctico para estudiantes de Física del Periodo 2.del PNF de HSL. Recopilado por Ing. Yira Rodríguez. 1

UNIDAD I. FISICA TRAYECTO I PERIODO 2

DEFINICIÓN DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE y CARACTERÍSTICAS

Conviene aclarar lo que significa periódico, oscilatorio y vibratorio para entender porqué se aplica este término al movimiento armónico simple:

Movimiento periódico: un movimiento se dice que es periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración, etc.) SE REPITEN . Ej. la Tierra alrededor del Sol

Movimiento oscilatorio: Es el movimiento en el que la distancia del móvil al centro de oscilación, pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo. Ej. un péndulo.

Movimiento vibratorio: Es un movimiento que tiene su origen en el punto medio y en cada vibración pasa por él. Las separaciones a ambos lados del centro se llama amplitud y son iguales. Ej. una varilla que sujeta por un extremo a la que damos un impulso en el otro. La varilla vibra.

El Movimiento armónico simple -M.A.S- es: un movimiento vibratorio.

Se llama M.A.S a un movimiento periódico en ausencia de rozamiento, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional al desplazamiento y aplicada en la misma dirección pero de sentido opuesto. Fr = -kx

La ecuación que determina la posición es una función matemática seno o coseno y por ello se las denomina armónicas. No se consideran las atenuaciones del medio por lo que al movimiento así simplificado se le llama simple.

PARAMETROS DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Observando el movimiento del resorte vemos que se desplaza entre dos puntos, desde la máxima compresión hasta la máxima elongación, pasando por un punto medio de equilibrio.

ELONGACION:

Es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición de equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado.

AMPLITUD: es la máxima elongación, es decir el desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio

PERÍODO : Es el tiempo que emplea en realizar una oscilación completa, se representa por la letra “ T “ y se mide en segundos. T = 2


FRECUENCIA es el número de oscilaciones o vibraciones que realiza la partícula por unidad de tiempo. La unidad de la frecuencia usada en el Sistema Internacional es el ciclo/seg llamado también HERTZ, se representa con la letra “f “ la

f = 1/T ; f =

POSICION DE EQUILIBRIO: Es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante.

REPASO DEL MOVIMIENTO CIRCULAR

El movimiento circular es el que se basa en un eje de giro y radio constante: la trayectoria será una circunferencia. Si, además, la velocidad de giro es constante, se produce el Movimiento circular Uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio fijo r y velocidad angular constante.

Conceptos Fundamentales del Movimiento Circular En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos específicos para este tipo de movimiento:

Eje de Giro: es la línea alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje puede permanecer fijo o variar con el tiempo, pero para cada instante de tiempo, es el eje de la rotación.

Longitud de arco(S): Es el espacio recorrido, a lo largo de la circunferencia de radio r, cuando la partícula rota un Angulo de giro igual a θ con movimiento circular, tenemos que: S = r. θ Se expresa en unidad de longitud.:

Angulo de giro ( θ ) : partiendo de un eje de giro, es el ángulo o arco de radio unitario con el que se mide el desplazamiento angular. Su unidad es el radián.

Radian: es el Angulo subtendido por una longitud de arco (S) igual al radio del arco ( r ) El radian es una unidad artificial.

Velocidad angular (ω): es la variación de desplazamiento angular por unidad de tiempo

Aceleración angular ( ) : es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo El período indica el tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta a la circunferencia

que recorre. Su fórmula principal es: T = Tiempo total / Nº de Vueltas T = 2 π / ω

La frecuencia es la inversa del periodo, es decir, las vueltas que da un móvil por unidad de tiempo, usualmente segundos. Se mide en hertz o seg – 1

f = Nº de Vueltas / tiempo total ; f = 1 / T ; ω / 2π


Paralelismo movimiento lineal y angular

Dado un eje de giro y la posición de una partícula en movimiento giratorio, para un instante t, dado, se tiene:

VELOCIDAD ANGULAR Y VELOCIDAD TANGENCIAL

Velocidad angular: llamaremos velocidad angular a la variación del arco respecto al tiempo, la señalaremos con la letra , y definiéndose como:

ω = Δ θ / Δ t ; si ω = 2 π / T y T = 1/f ; luego ω = 2 π f

La velocidad tangencial de la partícula es la velocidad real del objeto que efectúa el movimiento circular, puede calcularse a partir de la velocidad angular. ω

Si llamamos vt a la velocidad tangencial, a lo largo de la circunferencia de radio r, tenemos que:

V t = r ω. V t = 2 π r / T V t = 2 π r f

Aceleración angular

Se define la aceleración angular como la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo y la representaremos con la letra: y se calcula: α = dω / dt

Si llamamos at a la aceleración tangencial, a lo largo de la circunferencia de radio r , tenemos que at = r

La aceleración centrípeta o aceleración normal afecta a un móvil siempre que éste realiza un movimiento circular, ya sea uniforme o acelerado. La fórmula para hallarla es: ac = V2 / r ac = ω2 r

Fuerza centrípeta : La fuerza centrípeta es la fuerza que produce en la partícula la aceleración centrípeta. Dada la masa del móvil, y basándose en la segunda ley de Newton (F=ma) se puede calcular la fuerza centrípeta a la que está sometido el móvil mediante la siguiente fórmula: F = m. a centrípeta

Movimiento

lineal angular

Posición x Arco

Velocidad v Velocidad angular

Aceleración a

Aceleración angular


CINEMÁTICA del M.A.S.

Para una partícula que oscila con M.A.S existe una ecuación que permite calcular la posición en función del tiempo. La ecuación es senoidal y armónica.

x = A sen(t + )

siendo x la elongación, A la amplitud, la frecuencia angular y el desfase.

El desfase nos indica que la partícula no está en el punto medio de la oscilación cuando se comienza a medir el tiempo (t = 0), está en otro lugar.

El lugar en que está para t = 0 es xo y su expresión

xo= A sen()

Es muy común la confusión de alumnos que no entienden porqué unos libros ponen que la posición está dada por:

X = A sen(t + ) y otros por X = A cos(t + ).

Las dos expresiones son totalmente correctas y el elegir una u otra sólo depende de donde se empiece a observar la oscilación, si partiendo del medio para t = 0 , o partiendo del extremo.

De una expresión se puede pasar a la otra añadiendo una fase de/2

Para estudiar las expresiones de la posición de un cuerpo que oscila sin parar, podemos elegir cuando empezamos a contar el tiempo, por lo que si no está en el origen escogido existirá una fase.Vamos a considerar una oscilación sobre el eje de las X.

Si empezamos a contar el tiempo cuando pasa por el centro y se dirige a la derecha, la expresión será:

x = A sen(t) y en ella vemos que para t = 0 —> x = 0

Si empezamos a contar cuando está ligeramente a la derecha del centro, la expresión será:

x = A sen(t + ) y para t = 0 — >xo= A·sen( )

y en general para un tiempo t estará en: x = A sen(t + )

En consecuencia, si empezamos a contar desde el centro, usamos la expresión seno, con o sin desfase.


Si empezamos a contar el tiempo cuando pasa por el extremo y comienza a regresar al centro, la expresión será:

x = A·cos(t) y para t = 0 —>x = A

Si empezamos a contar cuando ya está regresando (por ejemplo en 1, a la izquierda del extremo, ya giró )

para t = 0 está en xo= A cos()

y en general para un tiempo t estará en : x = A cos(t + )

Si empezamos a contar desde el extremo, usamos la expresión coseno, con o sin desfase.

La expresión de la posición también dependerá del eje sobre el que se está considerando la oscilación.

En general, si una partícula se mueve a lo largo del eje X, se dice que lo hace con un movimiento armónico simple, cuando X varía en el tiempo de a cuerdo con la relación

x = A cos(t + )

donde : A = amplitud del movimiento = frecuencia angular en rad/ seg = constante de fase en radianes

La pulsación, o frecuencia angular equivale al número de oscilaciones completas que se ejecutan en 6,28 segundos ( = 2· / T).

Es decir tenemos que = 2· / T y f

Relacionando F = m.a y F = Kx, y del mov circular tenemos que a = X

Entonces podemos igualar las aceleraciones como a = K.X/m luego

X = k X/m

Finalmente el valor de la frecuencia angular está relacionado con la constante recuperadora por la siguiente ecuación: ω 2 = K / m

Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como

, y por lo tanto el periodo como ;


VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL M.A.S.

A partir de la ecuación de la posición o de la elongación y, derivando respecto al tiempo, obtenemos la ecuación de la velocidad en el M.A.S: Si x = A cos(t + )

v = - A sen(t + )

v(máx) = ·A

Modificando ligeramente esta ecuación encontramos una expresión de la velocidad en función de la elongación, x:

Derivando la velocidad con respecto al tiempo, obtenemos la ecuación de la aceleración en el M.A.S:

a = - A 2 cos(t + )

a(máx) = A 2

de la que podemos obtener también una ecuación que la relaciona con la posición:

a = - 2 X

Hemos obtenido ecuaciones para la velocidad y la aceleración no sólo en función del tiempo sino también en función de la posición.Con las expresiones de la velocidad y de la aceleración podemos calcular fácilmente los valores máximos de ambas y los puntos de la trayectoria donde se dan estos valores. Quedan resumidos en la siguiente tabla:


Magnitud Ecuación en función del tiempo

Ecuación en función de la posición

Condición de máximo

El máximo se da en

Velocidad v = A -sen(t + )

X = 0 —> Vmax= · A

el punto de equilibrio

Aceleración a = - A 2 cos(t + ) a = - 2 ·X

X= A —> amax= 2 ·A (X es máximo)

en los puntos extremos

Observa que en el punto central de la oscilación (punto de equilibrio) la suma de la fuerza recuperadora más la de la gravedad es cero, pero la velocidad no lo es. Puede, por lo tanto, haber un punto de equilibrio ( F = 0 ) que tiene velocidad distinta de cero.

Los signos que aparecen en las fórmulas sólo significan que la magnitud despejada tiene sentido contrario al vector de la derecha ( "a" tiene sentido contrario a x). Los módulos son siempre positivos.

Para determinar el valor de la constante de fase tenemos: Para t=0 X0 = A cos

v0 = -A sen si V0 / X0 = -A sen A cos entonces

tang V0 / X0

ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son fuerzas conservativas y centrales. Por tanto, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza, de tal manera que su suma con la energía cinética (Ec) permanezca invariable a lo largo del desplazamiento:

donde Ec = ½ m v2 = ½ m sen 2 (t + )

Esta última magnitud Em recibe el nombre de energía mecánica.

La Energía potencial elástica almacenada en el resorte para cualquier elongación X viene dada por

La energía potencial, como la fuerza, alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria (cuando hace parar a la partícula y reiniciar la marcha en sentido contrario) y, también como la fuerza, tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto central del movimiento.

Ep = ½ K A 2 cos 2 (t + ) ; luego

E mecánica = ½ m sen 2 (t + ) + ½ K A 2 cos 2 (t + )


Recordando que sen 2 (t + ) + cos 2 (t + ) = 1

; Em = ½ K A 2

La energía mecánica total de un oscilador simple es una constante del movimiento y es proporcional al cuadrado de la amplitud

PENDULO SIMPLE

Llamamos péndulo simple a un ente ideal constituido por una masa puntual suspendido de un hilo inextensible y sin peso, capaz de oscilar libremente en el vacío y sin rozamiento. Al separar la masa de su posición de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armínico simple. En la posición de uno de los extremos se produce un equilibrio de fuerzas, según observamos en el gráfico:

El peso de la bola se descompone en dos componentes: una primera componente que se equilibra con la tensión del hilo, de manera que:

La segunda componente, perpendicular a la anterior, es la que origina el movimiento oscilante:

Sin embargo, para oscilaciones de valores de ángulos pequeños, se cumple: .para θ ≤ 15º

Comprobamos en la tabla siguiente, con datos de ángulos y sus senos, esta afirmación.

Por consiguiente, podremos escribir, teniendo en cuenta, el valor del seno del ángulo:


Se observa que la fuerza recuperadora, que hace oscilar al péndulo, es función de la elongación (X), con lo que podemos afirmar que se trata de un M. A. S. Por ello, podemos comparar la ecuación que caracteriza a este tipo de movimientos, que vemos a continuación: F= m.a y a = ω 2 X ; sustituyendo a en F

,con la ecuación obtenida anteriormente , por similitud

vemos que la velocidad angular es: , y teniendo en cuenta que

Igualando tenemos: T = 2π / ω ; T = 2π √ L / g

donde T es el período: Tiempo utilizado en realizar una oscilación completa, llegamos a:

Ejercicios Resueltos de M.A.S

1. Un objeto en movimiento en movimiento armónico simple con frecuencia de 10 Hz tiene una velocidad de 3 ms-1. ¿Cúal es la amplitud del movimiento?

Si la ecuación del movimiento es y = A sen t la velocidad es:

Si esa velocidad de 3 m s-1 es la velocidad máxima:

2. La frecuencia de una masa que oscila en los extremos de un muelle es de 5 Hz ¿Cuál es la aceleración de la masa cuando el desplazamiento es 0,15 m?.

Como la frecuencia es f = 5 Hz, y = A sen 2ft = A sen 10 la velocidad es:

y la aceleración:

3. Un muelle o resorte se estira 0,05 m cuando se le cuelga una masa de 0,3 kg a) ¿Cuál es la constante del muelle? b) ¿Cuál es la frecuencia de vibración de la masa en el extremo del muelle?

Como F = - kx:

a)


b) El periodo será:

por lo que:

4. El periodo de una masa de 0,75 kg en un muelle es de 1,5 s ¿Cúal es la constante del resorte o muelle?

El periodo viene dado por:

5. Un objeto fijado a un muelle describe un movimiento armónico simple. Su velocidad máxima es 3 m s-1 y su amplitud 0,4 m ¿Cúal es su desplazamiento cuando v = 1,5 m s-1?

Si v = A cos t, la velocidad es: V = A ω cos ω t = 0,4 . ω cos ω t

luego:

luego:

y la elongación:

6. Un péndulo simple tiene un período de 1,5 s sobre la Tierra. Cuando se pone a oscilar en la superficie de otro planeta, el período resulta ser de 0,75 s ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en este planeta?

El periodo del péndulo es ambos planetas es:

luego:

7. Un objeto en movimiento armónico simple con una amplitud de 0,5 m y un periodo de 2s tiene una velocidad de 1,11 m/ s ¿Cuál es la elongación?

La elongación en cualquier instante es:


La velocidad en cualquier instante es:

y la elongación en este instante es:

8. Una masa de 0,05 kg se cuelga de una cinta de goma de masa despreciable que se alarga 0,1 m a) ¿Cuál es la constante elástica de la cinta de goma b) ¿Cuál es la frecuencia característica de oscilación del sistema? C) ¿Cuál es el período de oscilación d) Si la masa se estira 0,05 m por debajo de su posición de equilibrio y se suelta ¿Cuál es la energía asociada a las oscilaciones?.

Suponiendo que la goma cumple la ley de Hooke:

a)

b)

c)

d) La energía potencial máxima (que coincide con la energía total) su valor se calcula con E = ½ K. X2

10. ¿En qué factor debe aumentarse la masa de un objeto fijado a un muelle o resorte para que se duplique el periodo de oscilación?

Si el periodo de un muelle de constante k y masa m es:

el de un péndulo doble debe cumplir:

siendo m’ su masa. Dividiendo la segunda expresión por la primera:

la masa debe multiplicarse por 4.


11. Cuando un pasajero de 80 kg de masa entra en un coche, los amortiguadores se comprimen debido a su peso una distancia de 1,2 cm. Si la masa total sostenida por éstos es de 900 kg (incluido el ocupante), hallar la frecuencia característica de oscilación del coche y el pasajero?

Aplicando la ley de Hooke a este caso y suponiendo que los 80 kg producen un desplazamiento de 1,2 cm (1,2·10-2m):

y el periodo de oscilación de toda la masa del coche, 900 kg:

F = 1/T = 1/ 0,737 = 1,35 hertz ( coche con ocupante)

12. ¿Para qué desplazamiento de un objeto en movimiento armónico simple es máximo el módulo de a) la velocidad b)la aceleración.

a) La velocidad es máxima cuando el desplazamiento es cero.

b) La aceleración es máxima cuando también el desplazamiento es máximo.

13. Dos masas m y M se cuelgan de dos muelles idénticos de constante k. Cuando se ponen en movimiento, la frecuencia característica de M es tres veces la de m ¿Qué relación hay entre M y m?

El periodo y la frecuencia de cada una de las masas es:

Como f 2 = 3 f1:

La masa m debe ser 9 veces la masa M.

14.¿ Cuándo el desplazamiento de un oscilador armónico simple es la mitad de su amplitud? ¿qué fracción de la energía total es energía cinética?

Cuando y = A/2:

b) como y = A/2, la energía potencial es:


La energía total es: (*), por lo que la energía cinética es:

La fracción de energía cinética respecto a la total es:

(*) Como y = A sen ( t+ ), v = A cos( t+ ), la energía cinética es:

La energía potencial:

y la energía total:

unidad i. fisica trayecto i periodo 2 definiciÓn del

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