Unidad 5 Integración

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

5.1 Introducción a La IntegracionIntroducción a la Integración

La integración es un método para la obtención deuna función o un valor cuyo diferencial sea equivalente a la misma función.

Esto significa que si la función dada es f(x), mediante integrarla obtendríamos g(x).

Ahora bien, si g ‘(x) es el diferencial de la función g(x) entonces g’ (x) y f (x) son la misma función en sí.

El proceso de integración es el inverso de la diferenciación.

El símbolo se utiliza para denotar la función de integración.

Sea f(x) el coeficiente diferencial de una función F(x) con respecto a x entonces,

O,

Tomando la sumatoria de todas las diferenciales obtenemos,

dy = f(x) dx = d [F(x)]

O,

y = f(x) dx = F(x)

Cuando dx tiende hacia cero, la sumatoria es sustituida con la integral. Entonces, y = f(x) dx = F(x)

Aquí f(x) dx es leída como la integral de f(x) dx. En la ecuación anterior, f(x) es llamada integrando y F(x) es llamada la integral o función primitiva de f(x).

Además la integración de f(x) con respecto a x es F(x).

Es importante tener en cuenta que el signo se utiliza para la sumatoria de valores discretos, mientras que se utiliza para la sumatoria de funciones continuas.

Esto significa que el método de integración se utiliza para sumar el efecto de una función que varía continuamente, por ejemplo, el trabajo hecho en contra de una fuerza variable.

Es de notar que el álgebra ordinaria no proporciona algún método para sumar el efecto de una función que varíe.

La integración es de dos tipos, integración indefinida e la integración definida.

Cuando una función es integrada dentro de los límites definidos, la integral se denomina integral definida.

Por ejemplo,

f(x) dx es la integral definida de f(x) entre los límites a y b y es escrita como, f(x) dx = F(x) = F(b) – F(a)

Aquí a se llama límite inferior y b se llama límite superior de integración.

Si una función está dada por y = + C, donde C es una constante de integración entonces, dy/ dx = d(5×5 + C)/ dx = 25×4 + 0 = 25×4

Como la integración es el proceso inverso de la diferenciación, por tanto 25×4 dx = 5×5.

Esto significa que durante la integración la constante no aparece.

Esto es debido al hecho de que el coeficiente diferencial de una constante es cero.

Por tanto, no podemos decir con certeza si es 25×4 dx = 5×5 o 5×5 + C.

Dicha integración se conoce como integración indefinida. Por consiguiente en todas las integrales indefinidas, se supone que está presente una constante de integración C, si la condición de integración, esto es, el límite de integración no es mencionado.

Es por esto que debemos añadir una constante C en el resultado de todas las integrales indefinidas.

Vamos ahora a resolver un ejemplo con los dos métodos para entender la diferencia entre ambos.

27 p2 (p3 + 2)8 dx

El ejemplo anterior no contiene límites de integración y por tanto es una integral indefinida.

27 p2 (p3 + 2)8 dx (p3 + 2)9 + C

Ahora bien, si ponemos los límites de la integración como,

27 p2 (p3 + 2)8 dx

(p3 + 2)9

(33 + 2)9 - (23 + 2)9

= 381957187929

5.2 Integral De LineaIntegral de Línea

La integración de línea es la técnica de integración para una función a lo largo de una curva dada.

También es conocida por los nombres de integral de contorno, integral de trayectoria, curva integral etc.

Aquí uno podría confundir la integral de línea y el cálculo de la longitud de un arco con la ayuda de la integración.

Ambos, los campos escalares así como los vectoriales pueden ser integrados utilizando este método.

Una integración de línea de tales campos produciría una sumatoria de valores de campo para cada punto de la curva dada que se encuentra en el campo.

Por ejemplo, asuma que la fuerza F actúa sobre una partícula y haga que se mueva sobre la trayectoria AB como se muestra a continuación.

Esto implica que el trabajo total realizado por la fuerza F en el movimiento de la partícula a lo largo de una distancia pequeña s será,

W = F. s

De manera similar, para determinar el trabajo completo realizado por la fuerza F para mover la partícula a lo largo de toda la trayectoria se calculará la suma de todas las piezas pequeñas de trabajo realizado. Esto se hace mediante la integración, por supuesto como,

Aquí es importante notar que en lugar de escribir los límites de integración, sólo el nombre de la trayectoria está escrito en el subíndice.

Esto significa que la integración se está efectuando a lo largo de una trayectoria AB.

Este es un enfoque de integración totalmente diferente, dado que aquí la variable está siendo integrada con respecto a la función, y no se está incrementando a lo largo de una trayectoria recta, sino que es curva.

Por esta razón en particular, esta integral es reescrita en la forma de sus coordenadas Cartesianas xe y. Y la función es integrada como,

Como se puede observar en la figura anterior, la fuerza F se bifurca en dos componentes en las direcciones x e y como P x y Q y, respectivamente.

Por tanto, la integral anterior se transforma en una de la manera siguiente,

El cálculo de la integral de línea de un campo escalar es algo diferente.

En este, dividimos lo dado en piezas más pequeñas de igual longitud. Elija un punto arbitrario en la curva y nómbrelo como punto de muestra.

Permita que el punto de muestra sea elegido por cada pieza de arco sobre la curva completa.

Trace una línea recta entre cada par de estos puntos de muestra.

Sea la distancia entre estos puntos de muestra denotada como s.

La multiplicación de la función de estos puntos de muestra y las respectivas distancias entre ellos puede considerarse como el área del rectángulo con altura f(r(ti)) y anchura si.

Tomando la sumatoria de tales términos con límite .

Reconstruyendo la ecuación anterior obtenemos,

Dado que la distancia medida entre los puntos sucesivos al punto de muestra es,

Esto es equivalente a la sumatoria de Riemann, la cual es,

La integral de línea encuentra una gran aplicación práctica.

Incluso la ley del electromagnetismo de Faraday está inspirada en la integral de línea misma.

También el cálculo del voltaje en el vecindario de una carga puntual puede hacerse utilizando la integral de línea.

Veamos ahora un ejemplo ilustrativo,

para

p’(t) = (-t/ , 1)

F ds = F(p(t)). p’(t) dt

= F( , t).(-t/ , 1) dt

= (0, ).(-t/ , 1) dt

= dt

Asuma que t = sin u ydt = cos u du

F ds = cos(u) du

cos(u) du

cos2(u) du

La integración anterior puede realizarse fácilmente utilizando las técnicas de integración.

5.3 Integrales Iteradas Dobles Y TriplesIntegrales iteradas dobles y triples

La integración iterada es un método de integración en el cual efectuamos la operación de integración en cascada con respecto a cualquier variable en relación con las otras variables que se mantienen constantes. La notación convencional de la integración iterada es como se muestra a continuación,

En el ejemplo anterior, primero se calcularía la integración con respecto a la variable y, y luego con respecto a la variable x. Por motivos de conveniencia y para aumentar la comprensión, también puede ser escrita como,

La integración iterada también puede realizarse como integración definida e indefinida.

En el ejemplo anterior hemos mostrado una integración indefinida iterada.

Del mismo modo también puede hacerse que la integración definida itere.

Lo anteriormente definido es una integración iterada doble. De manera similar, también puede llevarse a cabo una integración iterada triple.

En esa situación, efectuamos la integración tres veces en cascada cada momento con respecto a una variable diferente, mientras que tratamos las otras dos variables como términos constantes.

La notación convencional para la integración triple es,

En la figura siguiente, tenemos una función como, z = f(x, y),

Si calculamos la integración doblede esta función, la salida sería algo como,

Vamos ahoraa comprender el método de cálculo para esta integral. El método para determinar el volumen de una figura sólida mediante dividirla en trozos de igual tamaño e integrarla para el sólido entero es conocido por todos. Sin embargo, es conocido por muy pocas personas que tambiéneste puede utilizarse para determinar la integral doble de una función.

Attach:cv115.jpg   Δ

Suponga que la columna cilíndrica Q pasa a través de la figura dada, como se muestra en la figura anterior. Dibuje un plano paralelo al plano y-z en esta figura y nombre el plano como xx’. El área transversal de la columna Q es similar al área de la curva z = f (x’, y). Esta área yace entre (x’, Y2) y (x’, Y1). Aquí los puntos (x’, Y2) y (x’, Y1), son los puntos de intersección de la región dada y del plano de intersección.

La sección transversal de esta pieza es,

La figura anterior es una mirada cercana de la parte inferior de la figura dada. Suponga que el mayor valor adquirido por x es b y el valor más pequeño es a. Como se puede ver en la figura anterior la recta x= x’ intersecta el plano R en sólo dos puntos y los valores correspondientes de y en estos puntos son Y1 y Y2. El valor de Y1 es menor que Y2. Es posible determinar el valor de Y para algún valor de x a partir de la ecuación de frontera de la región R.

La ecuación anterior puede reescribirse como,

Al colocar este valor en la ecuación del volumen obtenemos,

Donde la ecuación de volumen es,

Para esta ecuación, primero realizamos la integración con respecto ay, la cual es la integración interior considerando a x como un término constante y luego con respecto a x considerando a y como término constante.

De la misma forma, la integración iterada triple se utiliza para calcular el momento de inercia, centroides, etc. La integración triple también es calculada en los sistemas de coordenadas esféricas y cilíndricas.

5.4 Aplicaciones a áreas y solución de problemaAplicaciones a áreas y solución de problema Suma y resta de vectores: método gráfico y analítico.

Cuando necesitamos sumar 2 o más magnitudes escalares de la misma especie lo hacemos aritméticamente. Por ejemplo, 2kg + 5kg = 7kg; 20m2 + 10 m2 = 35m2;3h + 4h = 7h; 200K + 100K = 300K. Sin embargo, para sumar magnitudes vectoriales, que como ya mencionamos aparte de magnitudes tienen dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una simple suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos, pero ambos casos se consideran además de la magnitud del vector, su dirección y su sentido.Resolución de problemas de suma de vectores

Un jinete y su caballo cabalgan 3km al norte y después 4km al oeste.

Calcular:

¿Cuál es la diferencia total que recorren?

¿Cuál es su desplazamiento?

Solución:

Como la distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al sumar aritméticamente las dos distancias:

Dt = d1+ d2= 3km + 4km = 7km

para encontrar su desplazamiento, que es una magnitud vectorial toda vez que corresponde a una distancia medida en una dirección particular entre dos puntos(el de partida y el de llegada), debemos hacer un diagrama vectorial. Para ello, dibujamos a escala el primer desplazamiento de 3km realizado al norte, representado por d1, después el segundo desplazamiento de 4 Km. al oeste representado por d2. Posteriormente, unimos el origen del vector d1, con el extremo del vector d2, al fin de encontrar el vector r equivalente a la suma vectorial de los dos desplazamientos. El origen del vector resultante R es el mismo que tiene el origen del vector d1 y su extremo coincide con el vector d2. Para calcular la magnitud de R medimos su longitud de acuerdo con la escala utilizada y su dirección se determina por el ángulo  que forma. Así, encontramos que R =5 Km. con un ángulo  de 37º en dirección noroeste.

Descomposición y composición rectangular de vectores por métodos gráficos y analíticos.

 Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente, el cual puede contener un número mayor o menor de vectores que el sistema considerado. Si el sistema equivalente tiene un número mayor de vectores, el procedimiento se llama descomposición. Si el sistema equivalente tiene un número menor de vectores, el procedimiento se denomina composición.

En la siguiente, se muestra un vector a cuyo punto de aplicación se ha colocado en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares. Si a partir del extremo del vector a trazamos una línea perpendicular hacia el eje de las X y otra hacia el eje de las Y, los vectores a x y a y así formados, reciben el nombre de las componentes rectangulares del vector a.se les llama rectangulares por que las componentes forman entre si un ángulo (90º).

Se llama componentes de un vector aquellas que los sustituyen en la composición. Un ejemplo: encontrar gráfica y analíticamente las componentes rectangulares del siguiente vector.

Solución por método grafico

Para encontrar de manera grafica las componentes rectangulares o perpendiculares del vector, primero tenemos que establecer una escala. Para este caso puede ser: 1cm = 10N

Trazamos nuestro vector al medir el ángulo de 30º con el transportador. Después a partir del extremo del vector, trazamos una línea perpendicular hacia el eje delas X y otra hacia el eje de las Y. en el punto de intersección del eje X quedara el extremo del vector componente Fx. En el punto de intersección del eje Y quedara el extremo del vector componente  Fy. En ambas componentes su origen será el mismo que tiene el vector F = 40N, el cual estamos descomponiendo:

Par encontrar el valor de la componente en X del vector F o sea Fx, basta medir con regla la longitud, y de acuerdo con la escala encontrar su valor. En este caso mide aproximadamente 3.4cm que representan 34N.Para hallar el valor de la componente de Y del vector F o sea Fy, es suficiente medir con la regla la longitud, y según la escala encontrar su valor que en este caso es de casi 2.0 cm., es decir, de 20N.

Solución por método analíticoCalculo de Fy:  Sen 30º = cateto opuesto = FyHipotenusa FDespejemos Fy:      Fy = F sen 30º = 40N x 0.5 = 20N                                 Calculo de Fx:                 Cos 30º = cateto adyacente = Fx          Hipotenusa FDespejemos Fx:              Fx = F cos 30º = 40N x 0.8660 = 34.64N

Si comparamos los dos resultados obtenidos para calcular el valor de Fy Y Fx de manera gráfica y analítica, encontraremos una pequeña diferencia. Esto se explica si consideramos que al hallar las componentes gráficamente estamos expuestos a cometer errores al trazar el vector y al medir el valor de las componentes. En cambio, de manera analítica se eliminan estos errores y el valor de las componentes es obtenido con mayor precisión

5.5 Integral Doble En Coordenadas Polares

5.6 Coordenadas cilindricas y esféricas

5.7 APLICACIÓN DE LA INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS CARTESIANAS, CILINDRICAS Y ESFERICAS