7/24/2019 1020_8.- Derivada 3

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DERIVACION IMPLICITA

Prof. Luis Martnez CatalnProf. Luis Martnez Cataln

20082008

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DERIVACION IMPLICITADERIVACION IMPLICITA

En general, la ecuacin , para determinados intervalos de ,

define a como una funcin de ; en tal caso su derivada

se determina por el METODO DE DERIVACIO IM!"ICITA#ue consiste en

derivar directamente, la ecuacin considerada, como un polinomio en e

teniendo presente #ue, para determinar dos intervalos de , la varia$le se

comporta como funcin de % es diferencia$le con respecto a , es decir,

e&iste , #ue por la regla de la cadena, de$e derivarse primero con

respecto a % luego con respecto a

0),( =yxf x

)(xyy = x )(xy

x y

x y

x x

)(xy

y x

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E'( !or el m)todo de derivacin impl*cita, encontrardx

dy

+ 222 ayx =+

02=+

dx

dyy

dx

dy

y

x

dx

dydx

dyyx

=

=+ 022

-

x2

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. 053 33 =++ xyxy

23ydx

dyx3+

dx

dy 033 2 =++ xy

dx

dy )33()33( 22 xyxy +=+

xyxy

xyxy

dxdy

++=++= 22

2

2

3333

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E'( Determinar , si xxxf 2)( 2 +=)(xf

/olucin(

=

+=

)(

)2()( 2

12

xf

xxxf

2

1)22()2( 2

12 ++

xxx

)(xfxx

x

22

)1(22 ++=

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E'( 0allar la derivada de la relaciny 0132 = xyy

/olucin(13013 22 == yxyyxy

!or definicin de valor a$soluto se tiene(

i 132 = yxy ii 132 = yxy

En i % ii, derivando impl*citamente, se o$serva #ue la derivada del .1

miem$ro es nula, por lo tanto, para i % ii, se tiene(

dx

dyy2 y3 0=dx

dyx3-

)32( yy =dx

dy y3xy

y

dx

dy

32

3

=

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E'( 0allar la ecuacin de la tangente % normal a la curva

En el punto (1,1)de ella

53 22 =++ yyxx

/olucin( (1,1) es pto2 de la curva2

Derivando impl*citamente con respecto a se tiene(x

xyx 332 ++ +dx

dy y2 0=dx

dy

115

5

23

32

)1,1( ====+

= NT mmdxdy

yx

yx

dx

dy -

T(

02

11

)1(11

=+

+==

yx

xy

xy (

xy

xy

== 11

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DERIVADA DE ORDEN SUPERIORDERIVADA DE ORDEN SUPERIOR

-/* es diferencia$le, entonces se tiene , +3derivada

de con respecto a

)(xfy = )(xfdx

dy =y x

-!uesto #ue es funcin de , se tiene derivando con

respecto a

)(xf x )(xf

x

[ ])(

)(

2

2

xfdx

ydxf

dx

d ==

, .3derivada de con respecto a xy

- es funcin de , entonces()(xf x

[ ])(

)()3(

3

3

xf

dx

ydxf

dx

d==

, 43derivada de con respecto a x

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-/* tiene derivadas, se llega a la e&presin()(xfy =

dx

d

n

n)()(

)(

)1(x

n

n

n

fdx

yd

x

nf ==

, -)sima derivada de con

respecto a x

y

E'( Determinar las derivadas sucesivas de

/olucin(

)(xfy =

3

1 153 23

++ xxx

0)(

2)(

62)(

56)(

)(

2

=

=

+=

++=

xf

xf

xxf

xxxf

IV

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E'( Determinar en la ecuacin , suponiendo

#ue es funcin de

2

2

dx

yd 2=++ yyxx

y x

/olucin(xy ++1

x

y

dx

dy

dx

dy

dx

dy

+

+==+

1

10

Derivando impl*citamente(

02

2

2

2

=+++

dx

yd

dx

yd

dx

dy

dx

dy x

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dx

dy

xdx

yd2

1

12

2

+

=

22

2

2

2

)1(

)1(2

1

1

1

1

x

y

dx

yd

x

y

xdx

yd

++

=

++

+

= 2

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APLICACIONES DE LA DERIVACIONAPLICACIONES DE LA DERIVACION

TEOREMATEOREMA 5Teorema de los valores e&tremos

/i es una funcin continua definida en el intervalo cerrado ,

e&iste 5por lo menos un punto tal #ue , en el cual

toma el ma%or valor, % e&iste, 5por lo menos un punto , tal

#ue en el cual toma el menor valor2

f [ ]ba,[ ]bax ,1 bxa

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GrficamenteGrficamente

[ ]bax , se cumple en #ue)()()( 12 xfxfxf

)( 1xf es el m6&imovalor de enf [ ]ba, %

)( 2xf es el m*nimovalor de enf [ ]ba,

x

y

a01x 2x b

)( 2xf

)( 1xf

)(xfy=

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TEOREMA:TEOREMA: /upngase #ue es continua en un intervalo #ue toma su

valor m6&imo 5o m*nimo en alg7n punto #ue est6 en el interior del

Intervalo2 /i e&iste , entonces

f

0x

)( 0xf 0)( 0 = xf

COROLARIO:/* es un m*nimo de , entonces ,

/iempre #ue e&ista la derivada

)( 0xf f 0)( 0 = xf

NOTA:Es importante 8acer notar #ue de$e ser un punto interior al

intervalo, puesto #ue , definida en0

x

2)( xxf = 21 x

Tiene un m6&imo en % un m*nimo en % adem6s

en todo punto del intervalo

2=x 1=x 0)( xf[ ]2,1

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x

y

0

2)( xxfy ==

!

1)1( =f

4)2( =f

es un m*nimo de

es un m6&imo de

[ ]2,1enf

[ ]2,1enf

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APLICACIONES DE LA DERIVADA A LAAPLICACIONES DE LA DERIVADA A LA

REPRESENTACION GRA"ICA DE "UNCIONESREPRESENTACION GRA"ICA DE "UNCIONES

Estudiaremos los siguientes conceptos en forma simult6nea( 9uncin

Creciente, 9uncin Decreciente, M6&imo %:o M*nimo Relativo, Concavidad

8acia arri$a, Concavidad 8acia a$a'o % punto de infle&in en la funcin2

Analiando el comportamiento de la funcin se tiene, s*()(xfy=

),(0)( 111 yxxf = es un m6&imo o un m*nimo

)(xf concavidad

= 0)(xf !unto de infle&in de la funcin, cam$io deconcavidad

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Entonces(

)(0)(0)( 111 xfxfxf = es un m*nimo relativo deen 1x

)(xf

4 )(0)( 1 xfxf = tiene un punto de infle&in en 1x

NOTA :"os puntos donde tiene un m6&imo, un m*nimo % un punto de

infle&in se llaman puntos cr*ticosde la funcin2

)(xf

NOTA !:o siempre cuando la funcin tiene un0=dx

dy)(xfy=

punto e&tremo 5m6&imo o m*nimo2

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E'( Estudie % grafi#ue la funcin 15)( 5

+= xxxf

Dominio de e&istencia( R

Intervalos de crecimiento % decrecimiento(

010)(,55)(

44

=== xxfxxf

0)1()1()1(

0)1()1(

2

22

=++

=+

xxx

xx

Rix

x

x

=

=

=

1

1

!untos e&tremos 11 == xyx-+ +

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/*

)(0)(1 xfxfx >>