unidad ii: derivada

Escuela de Economía – UTPL

Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca

Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir

igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).

UNIDAD II: DERIVADA

Continuando con el estudio de la segunda unidad lo iniciaremos con el estudio del

cálculo diferencial que se ocupa de cómo varía una cantidad en relación con otra (LA

DERIVADA). En el texto guía se encuentra desarrollada esta unidad con gran amplitud,

sírvase colocarse en el segundo capítulo y conjuntamente con la guía iremos

aprendiendo sobre el tema.

La derivada se la utiliza en casos donde es necesario medir la rapidez con que se

produce el cambio de una magnitud o situación.

La definición tenemos en el texto base 1, la misma que viene dada por:

h

xfhxfxf

x

)()(lim)´(

0

−+=→

Supuesto que exista ese límite.

Estimado estudiante tenga presente las diversas formas de representar una derivada

que le presentamos a continuación:

Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Calculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”.

Elaborado: Abad Ana, (2009): “Guía Didáctica”

1 Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias

Sociales”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, Pág.99

NOTACIÓN SE LEE

)´(xf f prima de x

dx

dy

Derivada de y con respecto a x

'y y prima

( )[ ]dx

xfd

Derivada de f(x)

[ ]yDx d sub x de y





Razón de Cambio y Pendiente

En lo que respecta a la derivada con razón de cambio, es una aplicación de la derivada

que se ocupa de hallar la Razón (o ritmo) de cambio de una magnitud respecto a la

otra, es decir , la razón de cambio de una variable respecto de otra, que estén

relacionadas por una función y=f(x) derivable.

Es una cuestión que aparece en una multitud de problemas prácticos, por ejemplo:

• Crecimiento de poblaciones

• Ritmo de producción,

• Flujos de agua,

• Cantidad de dinero, etc.

En este punto le recomiendo que en primer lugar analice los ejercicios propuestos, en

el capítulo dos, relacionados con la razón de cambio porcentual, para que se

familiarice con la teoría y el proceso de variación de una variable respecto a otra.

Ejemplo 32

Razón de cambio del precio respecto a la cantidad 2

Sea p= 100-q2 (en dólares) la función de demanda del producto de una fábrica.

Encuentre la razón de cambio del precio p por unidad con respecto a la cantidad q.

¿Qué tan rápido está cambiando el precio con respecto a q cuando q= 5? 2 Ernest F, Haeussler. (2006): “Matemáticas para Administración, Economía y Ciencias Sociales y de la

vida” , Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.583-584.

Este tema lo ilustraremos con algunos ejemplos.





La razón de cambio de p con respecto a q es dp/dq

Solución

2100 qp −=

qdq

dp2−=

Cuando q=5, entonces

10)5(2 −=−=dq

dp

Esto significa que cuando se demanda 5 unidades, un incremento de una unidad extra

demandada corresponde a un decremento de aproximadamente 10 dólares en el

precio por unidad que los consumidores están dispuestos a pagar.

Analicemos un ejemplo de razón de cambio de la matricula.

Ejemplo 33

Razón de cambio de la matrícula 3

Un sociólogo está estudiando varios programas que pueden ayudar en la educación de

niños de edad preescolar en cierta ciudad. El sociólogo cree que x años después de

iniciado un programa particular, f(x) miles de niños estarán matriculados, donde

)12(9

10)( 2xxxf −= 0≤ x ≥12. ¿A qué razón cambiará la matrícula. a) Después de tres

años de iniciado el programa y b) después de 9 años?

Solución

La razón de cambio de f(x) es f’’(x):

)12(9

10)( 2xxxf −=

3 Ernest F, Haeussler. (2006): Matemáticas para Administración, Economía y Ciencias Sociales y de la

vida, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.583-584.





)212(9

10)´( xxf −=

a) Después de 3 años la razón de cambio es:

3

20

9

)6(10))3(212(

9

10)3(' ==−=f

Por lo tanto, la matricula estará creciendo a razón de 20/3 miles de niños por

año

b) Después de 9 años la razón de cambio es:

3

20

9

)6(10))9(212(

9

10)9(' −=−=−=f

Por lo tanto, la matricula estará decreciendo a razón de 20/3 miles de niños por

año.

Recta Tangente con Pendiente

Si f está definida en un intervalo abierto que contiene a c y además existe el límite

entonces, la recta que pasa por (c, f(c)) con pendiente m se llama RECTA TANGENTE a

la grafica de f en el punto (c, f(c)).

Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias

Sociales”.

Si en la definición descrita anteriormente, sustituimos Dx por h, y c por x asumiendo

una recta que va desde un punto P(x,f(x)) a un punto Q(x+h, f(x+h)), tal como se ilustra

en el texto base tenemos que la ecuación de la pendiente, también la pudiéramos

escribir así:

Para recordar:

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (c,f(c)) se llama

PENDIENTE A LA GRAFICA DE F EN C





h

xfhxfm

h

)()(lim

0

−+=→

Ejemplo 34

Calcular la derivada de la función dada y hallar la pendiente de la recta tangente a la

grafica para el valor especifico de la variable independiente, dado4 2;1)( 3 =−= xxxf

Solución

Se puede usar la definición expresada de cualquier de las dos maneras, que es

exactamente lo mismo nosotros usaremos la primera. En el texto base en capitulo

dos, existe un ejercicio resuelto con la segunda forma, puede analizarlo.

1)()(33)( 3223 −+++=+ DxDxxDxxxDxxf

x

xfxxfm

x ∆−∆+=

→∆

)()(lim

0

x

xxxxxxxm

x ∆+−−∆+∆+∆−=

→∆

)1()1)()(33(lim

33223

0

x

xxxxxm

x ∆∆+∆−∆=

→∆

22

0

)())(33(lim

222

03)()(33lim xxxxxm

x=∆+∆−=

→∆

Como queremos calcular m, en x=2, tenemos

12)2(3 2 ==m

4 Ernest F, Haeussler. (2006): “Matemáticas para Administración, Economía y Ciencias Sociales y de la

vida”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.583-584.

Ahora con los conocimientos adquiridos a través de estos temas es el momento para desarrollar el siguiente ejercicio





Le sugiero analizar el tema “Técnicas De Derivación” confrontarlo en su texto básico

en el capitulo dos, sección dos.

Para encontrar la derivada hemos usado la definición mediante límites, ahora vamos a

aprender varias reglas de derivación que permiten calcular las derivadas de una

manera más sencilla y rápida y sin el uso directo de la definición de límite. Estas reglas

se denominan Teoremas., Técnicas o Propiedades de la Derivación.


Sociales”.

Reglas de Derivación

Regla Función Derivada Ejemplo

Regla de la constante K 0 y = 5 y` = 0

Regla de la Identidad x 1 y = x y` = 1

Regla de la potencia nx 1−nnx

5xy = 45' xy =

Regla del factor

constante

)(xkf )(' xkf 53xy =

415' xy =

Regla de la suma )()( xgxf +

)(')(' xgxf + xy 2 +=

12' += xy

Regla del producto )(*)( xgxf

)(*)(')('*)( xgxfxgxf + Más adelante lo

explicaremos con

ejercicios estas reglas Regla del cociente

)(

)(

xg

xf 0)(

)(

)('*)()('*)(2

≠−xsig

xg

xgxfxfxg

Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Calculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”.

Elaborado: Abad Ana, (2009): “Guía Didáctica”

Para Memorizar:

Tenemos las reglas de la constante, regla de la potencia, regla del múltiplo

constante y la regla de la suma. Todas estas son fundamentales para el estudio del

cálculo, por lo que usted debe DOMINARLAS. La manera más practica de

familiarizarse con las mismas es primero leerlas, entenderlas y memorizarlas, para

posteriormente realizar ejercicios; le sugiero primero los resueltos y luego los

propuestos





Ejemplo 35

Derivar la función 3

25

42

12 23

2

2

++++++−= xx

xx

xy

Solución

3

2

3

15

4

1

2

12 22

13

22 ++++++−= −− xxxxxy

3

1)2(

4

1)

2

1(

2

1

3

2)2(2' 2

33

13 ++−++−−= −−− xxxxy

3

1

2)

2

1(

4

1

3

24' 2

3

333++−−+= − x

xxxx

y

Ejemplo 36

La demanda de los consumidores de ciertos artículos es 12000200)( +−= ppD

unidades por mes cuando el precio del mercado es p dólares por unidad.

a) Expresar el gasto total mensual de los consumidores del artículo como un función de p

dibujar la gráfica.

b) Utilice el cálculo para determinar el precio del mercado para la cual el gasto de

consumo es máximo.

Solución

a) E(p) = gasto total mensual = (demanda mensual)(precio por unidad)

E(p)= (D(p))(p)

E(p) = (-200p + 12000)(p)

E(p) = -200p(p-60)

E(p) =-200p2 + 1200p

Continuemos resolviendo algunos ejercicios de

aplicación a estas reglas





b) El precio del mercado para el cual el gasto de consumo es mayor es el punto

donde la recta tangente es horizontal o:

E’(p) = 400p + 12000 = 0

Cuando p = 30 entonces E(30)= 180000 dólares

La Regla del Producto y la Regla del Cociente

Estimado estudiante confróntese al texto base capitulo dos sección tres, y lea

detenidamente las reglas del producto y cociente para que luego se las memorice. Le

recomiendo que no trate de aprendérselas como fórmula sino como un teorema

teórico.


Sociales”.

Para Memorizar:

La regla del producto: “La derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera

función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la

primera.”

La regla del cociente: “La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador

por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, todo

ello dividido por el cuadrado del denominador.”

Luego de haber revisado todos estos contenidos, es oportuno resolver algunos

ejercicios de aplicación a estas reglas

Para Reforzar

Como tarea realice la gráfica para que compruebe estos valores.





Ejemplo 37

Hallar la derivada de la función dada )21)(5()( 2 uuuf −−=

Solución

)21)(2()2)(5()(' 2 uuuuf −+−−=

102642102)(' 222 ++−=−++= uuuuuuf

Ejemplo 38

Hallar la derivada de la siguiente función utilizando las reglas adecuadas 2

2

1

1

t

ty

−+=

Solución

2222

22

22

22

)1(

4

)1(

)11)(2(

)1(

)2)(1()2)(1('

t

t

t

ttt

t

tttty

−=

−++−=

−−+−−=

Ejemplo 39

Hallar la ecuación de la recta tangente a la grafica de la función dada en el punto

(x,f(x)) para el valor de x=0 )24)(132()( 2523 +−−++= xxxxxxf

Solución

)343)(24()85)(132()(' 225423 +−+−+−−++= xxxxxxxxxxf

Como m= f’(x)

f’(0)=6y f(0)=-2(ecuación punto pendiente)

entonces la ecuación de la recta tangente es:

)0(6)2( −=−− xy

xy 62 =+

26 −= xy





Ejemplo 40

Hallar la derivada de la siguiente función

x

xxg

34)(

2 +−=

Solución

21

21

21

21 19))(19(

316)( xxxx

x

xxg −=−=+−=

−−

212

3

2

1

2

19)('

−−

−−= xx

xg

Ejemplo 40

Hallar la derivada de la siguiente función 15

52)(

−+=

x

xxf

Solución

Aplicamos la regla del cociente

222 )15(

2510210

)15(

)2510()210(

)15(

)5)(52()2)(15()('

−−−−=

−+−−=

−+−−=

x

xx

x

xx

x

xxxf

2)15(

27)('

−−=x

xf

Señor estudiante al tratar de solucionar y analizar estos ejercicios, le permitirá

encontrar la aplicabilidad del Cálculo con ejemplos prácticos.

La segunda derivada

Ahora que ya poseemos el conocimiento de cómo resolver la primera derivada

podemos resolver la segunda derivada de una función que no es más que la derivada

de la primera derivada.





La segunda derivada expresa la razón de cambio de la razón de cambio de una función.

Para calcular la segunda derivada se utiliza las mismas reglas que para la primera,

simplemente cuando ya tenemos la primera derivada la volvemos a derivar y

obtenemos la segunda.

La segunda derivada se denota como sigue:

'';);('' 2

2

ydx

ydxf


Sociales”.

Para Recordar:

Antes de encontrar la segunda derivada simplifique al máximo la primera derivada para

que el cálculo de la segunda sea más sencillo. Le recomiendo comenzar con funciones no

muy complicadas y luego analice las funciones que se utilizan la regla de la cadena.

Con los conocimientos adquiridos a través de su lectura comprensiva, es momento de analizar el

siguiente ejemplo.





Ejemplo 41

Halle la segunda derivada de la función dada. Utilice la notación apropiada y

simplifique la respuesta dado.

43)21( xy −=

Solución

En primer lugar calculamos la primera derivada. Como la función que vamos a derivar es una

potencia utilizamos la regla de la cadena para derivar, de la siguiente manera:

332233 )21(24)6()21(4' xxxxy −−=−−=

Ahora, para obtener la segunda derivada vamos a derivar la primera, para lo cual aplicamos la

regla del producto y luego de la cadena.

[ ]332 )21(24' xxy −−=

[ ])6()21)(3()21()2(24'' 223233 xxxxxy −−+−−=

[ ]2333 )21(9)21(48'' xxxxy −+−−=

[ ]3323 9)21()21(48'' xxxxy +−−−=

[ ]3323 921)21(48'' xxxxy +−−−=

[ ]323 71)21(48'' xxxy +−−=

Derivadas de Orden superior

Como usted domina las reglas de derivación podemos avanzar con la derivación de

orden superior. Cuando se calcula la derivada de f(x) se obtienen f `(x), si derivamos

otra vez f`(x) se obtiene f’’(x)(segunda derivada), si derivamos otra vez f’’(x) se obtiene

f’’’(x)(tercera derivada) y así sucesivamente.

Regla de la Cadena

Estimado estudiante otro de los teoremas importantes dentro del calculo diferencial,

es el denominado “regla de la cadena” teorema que nos ayuda a derivar cualquier

función. Analice en primer lugar la teoría correspondiente que se encuentra en el

capitulo dos sección tres y luego analice los ejemplos.





Ejemplo 42

5 En una cierta fabrica, si C dólares es el costo total de producción de s unidades,

entonces 10002

4

1 2 ++= ssC. Además, si se producen s unidades durante t horas

desde que se inició la producción, entonces tts 503 2 += . Determinar la intensidad de

cambio del costo total con respecto a un tiempo de 2 horas después de iniciarse la

producción.

Solución

Se requiere obtener dC/dt cuando t=2. De la regla de la cadena, se tiene

dt

ds

ds

dC

dt

dC.=

Derivando separadamente:

22

1 += sds

dC

506 += tdt

ds

Sustituyendo estas derivadas en la primera ecuación:

( )506221 +

+= tsds

dC

Cuando t=2 entonces s = 3(4) + 50(2) = 112

5 Louis Leithold. (2006):”Cálculo para ciencias Administrativas, Biológicas y Sociales”, Colombia,

Edit. Mc Graw-Hill, pag.143.

Señor estudiante es

momento oportuno de

realizar algunas aplicaciones





Por lo tanto cuando t=2, tenemos

( ) 3596)62)(58(50)2(62)112(21 ==+

+=ds

dC

En consecuencia, 2 horas después de iniciarse la producción el costo total se

incrementa a razón de $3596 dólares por hora.

Es momento oportuno de ampliar los conocimientos es por ello le

sugiero referirse al texto básico y realizar una lectura compresiva de:

Análisis marginal y aproximaciones por incrementos:

Análisis Marginal.

El cálculo se ha convertido en un instrumento importante para resolver algunos

problemas que surgen en la Economía. Si para describir una cierta cantidad económica

se usa una función f, entonces, se emplea el adjetivo marginal para hacer referencia a

la derivada f. En el texto base está claramente desarrollado el marco teórico del

análisis marginal y tiene algunos problemas resueltos, le ruego que los analice en

forma detenida. Le recuerdo que todos estos conceptos los ha estudiado en la

asignatura de Teoría Económica.

Las derivadas C, A', R' y P' se llaman función de costo marginal, función de costo medio

marginal, función de ingreso marginal y función de utilidad marginal, respectivamente.

El número C'(x) es el costo marginal asociado a la producción de x unidades. Si se

interpreta la derivada como la tasa de variación o de cambio, se dice entonces que el

costo varía con respecto a la cantidad de unidades producidas x a razón de C'(x)

unidades monetarias por unidad de producción. Pueden hacerse afirmaciones

semejantes para A'(x), R'(x) y P'(x).





Si C es la función de costo y n es un entero positivo, entonces, por la definición de

derivada, tenemos:

h

nChnC

h

nChnCnC

h

)()()()(lim)('

0

−+≡−+=→ (si h es pequeño)

Cuando la cantidad de n unidades producidas es grande, los economistas suelen tomar

h = 1 en la fórmula anterior y estimar el costo marginal por:

C’(n) C(n + l) -C(n)

En este contexto, el COSTO MARGINAL ASOCIADO A LA PRODUCCIÓN DE N UNIDADES

ES (APROXIMADAMENTE) IGUAL AL COSTO DE PRODUCIR UNA UNIDAD MAS.

Algunas empresas consideran que el costo C(x) de producir x unidades de un bien de

consumo está dado por una fórmula como esta: C(x) = a + bx + dx2 + kx3.

En donde:

La constante a representa un costo fijo por conceptos como alquiler, electricidad y

calefacción, que son independientes del número de unidades producidas. Si el costo de

producir una unidad fuera by no hubieran otros factores implícitos, entonces el

segundo término bx en la fórmula representaría el costo de producción de x unidades.

Cuando x es muy grande, entonces los términos dx2 y kx3 pueden afectan

significativamente los costos de producción.

Derivaciones de funciones en forma implícita.


Sociales”.

Para Recordar:

Una función esta escrita en forma implícita, cuando su variable dependiente (y) no está despejada





La Derivación Implícita es una técnica muy sencilla basada en la regla de la cadena que

permite calcular la derivada sin necesidad de resolver la ecuación explícitamente para

x o para y. En el texto guía en el capitulo dos de la sección seis en los ejercicios

resueltos se detalla la manera como resolver este tipo de ejercicios.


Sociales”.

Ejemplo 43

Hallar dx

dy si 0325 =+− xyyx

Solución

0)3()()( 25 =+−dx

dxy

dx

dyx

dx

d

Para Memorizar:

a) Si queremos obtener dy/dx, derivamos término a término con respecto a x, considerando a y como una función de x.

b) En cambio, si queremos obtener dx/dy, derivamos término a término con respecto a y, considerando a x como una función de y

Para comprender mejor sobre el cálculo de derivaciones de funciones en forma

implícita realizaremos algunos ejercicios





00)()()( 2

255 =+

+−

+

dx

xdy

dx

dyx

dx

xdy

dx

ydx

0)1()2()(

5)( 245 =

+−

+ ydx

dyyx

dx

xdxy

dx

ydx

0)2)1(5)( 245 =

+−

+ ydx

dyxyyx

dx

ydx

0)2)1(5)( 245 =

+−

+ ydx

dyxyyx

dx

ydx

Destruyendo los corchetes y agrupando los términos que contienen dy/dx en un

miembro y los independientes en el otro, tenemos que:

yxyxyxdx

dy 425 5)2( +=−

xyx

yxy

dx

dy

2

55

42

−+=

Ejemplo 44

Hallar dy

dx

si 0325 =+− xyyx

Solución

0)3()()( 25 =+−dy

dxy

dy

dyx

dy

d

00)()()( 2

255 =+

+−

+

dy

xdy

dy

dyx

dy

xdy

dy

ydx

0)(

2)(

5 245 =

−−+

dx

xdyxy

dy

xdyxx

xyxyyxdy

dx2)5( 524 +−=−

yxy

xyx

yxy

xyx

dy

dx42

5

42

5

5

2

)5(

)2(

−+=

−−−+−−=





Cambiamos de signo a la derivada dx/dy, solamente para expresarla igual que a la

derivada dy/dx, para poder sacar la siguiente conclusión al comparar estas dos

derivadas.

dx

dydx

dy 1=

Es decir que encontrando la una derivada podemos usar esta relación para encontrar

la otra.

Ejemplo 45

6 Hallar dx

dy si yxyxy 495 37 +=−

Solución

Aplicamos el operador derivada en ambos miembros de la igualdad

)49()5( 37 yxdx

dyxy

dx

d +=−

ydx

dx

dx

dy

dx

dxy

dx

d495 37 +=−

Utilizando las reglas de la derivada anteriormente descrita (producto, potencia y regla

de la cadena)

dx

dyy

dx

dyx

dx

dyy

dx

dx 49355 277 +=−

−

dx

dy

dx

dyyy

dx

dyyx 493)5(75 276 +=−+

dx

dy

dx

dyyy

dx

dyxy 493535 276 +=−+

Escribimos en el lado izquierdo todos los términos que contengan a la derivada y del

lado derecho los que no lo contengan:

6 Castro L.(2009) “D erivadas de funciones Implícitas” [en línea] .Disponible en:

http://www.fic.umich.mx/~lcastro/10%20derivadas%20de%20funciones%20implicitas.pdf

[consulta 11-10-2009].





726 594335 ydx

dy

dx

dyy

dx

dyxy −=−−

Factorizando dx

dy es decir sacando factor común

( ) 726 594335 yyxydx

dy −=−−

Despejando tenemos ( )4335

5926

7

−−−=

yxy

y

dx

dy

En economía se utiliza la derivada implícita tanto en la práctica como en la teoría. La

principal aplicación es para resolver problemas de TASAS RELACIONADAS O RAPIDEZ

DE VARIACION RELACIONADAS, como se las denomina a las derivadas dx/dt y dy/dt, ya

que están vinculadas o relacionadas efectivamente por medio de una ecuación. Tal

ecuación puede usarse para evaluar una de la derivada cuando se conoce la otra; esto

tiene muchas aplicaciones prácticas.


Sociales”.

Para Recordar:

A continuación se dan algunas recomendaciones que le pueden servir de guía para resolver

problemas de variación relacionadas, como una manera de complemento al procedimiento que

se tiene en el texto base.

1. Leer cuidadosamente el problema varias veces y pensar en los datos y en las

cantidades que se desea calcular.

2. Hacer un croquis o esquema apropiado y dar nombre a las variables y a las cantidades

desconocidas.

3. Escribir los hechos conocidos expresando las rapideces de variación dadas (datos) y las

desconocidas (incógnitas) como derivadas de las variables.

4. Encontrar una ecuación general que relacione las variables

5. Derivar con respecto a t ambos lados de la ecuación del punto 4 para obtener una

relación general entre las razones de cambio respecto al tiempo.

6. Sustituir los valores y las derivadas conocidas y despejar la rapidez de cambio

desconocida.





Un error que se comete frecuentemente es usar los valores específicos de las

derivadas y las variables demasiado pronto en la resolución. Recuérdese siempre

obtener una formula general que correlacione las rapideces de variación para todo

tiempo t. Los valores específicos de las variables deben sustituirse solamente en los

últimos pasos de la resolución.

Ejemplo 46 7

La producción de cierta planta es 22 05.014.006.0 yxyxQ ++= unidades por día,

donde x es el número de horas-trabajador calificado utilizado y y es el número de

horas –trabajador no calificado utilizado. Actualmente, se emplean 60 horas-

trabajador calificado y 300 horas-trabajador no calificado cada día. Utilice el cálculo

para estimar el cambio que debe hacerse en el número de horas de trabajo no

calificado para compensar un incremento de 1 hora en el trabajo calificado, de manera

que la producción se mantenga en su nivel actual

Solución

El nivel actual de producción es el valor de Q cuando x = 60 y y=300. Es decir

22 )300(05.0)300)(60(14.0)60(06.0 ++=Q

7 Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y

Ciencias Sociales”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.167 (#36)

Vamos a resolver algunos

ejercicios de aplicaciones en

la economía





723645002520216 =++=Q unidades

Si la producción se debe mantener en este nivel, la relación entre trabajo calificado x y

trabajo no calificado y está dado por la ecuación

22 05.014.006.07236 yxyx ++=

Que define y implícitamente como una función de x.

El objetivo es calcular el cambio en y que corresponda a un incremento de 1 unidad en

x, cuando x y y estén relacionadas por esta ecuación.

El cambio provocado en y por un incremento de 1 unidad en x se puede aproximar

mediante la derivada dx

dy. Para determinar esta derivada, se utiliza la derivación

implícita.

dx

dyyx

dx

dy

dx

dyxx )3(05.0)(14.014.0)2(06.00 +++=

xydx

dyy

dx

dyx )2(06.014.0)3(05.014.0 +=−−

xyyxdx

dy12.014.0)15.014.0( +=−−

)15.014.0(

12.014.0

yx

xy

dx

dy

−−+=

Ahora se asigna esta derivada cuando x=60 y y=300

))300(15.0)60(14.0(

)60(12.0)300(14.0

30060 −−

+===

yxdx

dy

9,0)454,8(

2,742

30060

−=−−

+===

yxdx

dy





Es decir para mantener el nivel actual de producción, el trabajo no calificado se deberá

disminuir en aproximadamente 0.9 horas para compensar el incremento de 1 hora de

trabajo calificado.

unidad ii: derivada

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