Cálculo MA459

Unidad 1: DIFERENCIACIÓN

Clase 1.3 La derivada como una razón de cambio

CÁLCULO 1

2

Considere la función utilidad U (en cientos de soles) dada por U(q) = 0,25q2, donde q es la cantidad producida y vendida (en miles de unidades).

¡Reflexión!

¿Cómo determinaría la razón a la que cambia la utilidad respecto a la cantidad vendida, cuando se vende 2 000 unidades?

Recuerde que para la función f continua, se llama al cociente

, razón de cambio promedio de f

respecto a x en el intervalo [x0; x0 + h].

x0 x0+h

f(x0+h)

f(x0)

3

Razón de cambio instantánea

se llama razón de cambio instantánea de y con respecto a x en x = x0.

h

xfhxf

x

y )()( 00

)´()()(

limlim 000

00xf

hxfhxf

xy

hx

entonces

CÁLCULO

4

Suponga que un objeto se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la ecuación s = f(t) = t2 donde s es la posición del objeto en metros en el tiempo t en segundos. Determine: a.La razón de cambio promedio de s en el intervalo de t = 1 a t = 3 segundos.b.La razón de cambio de s cuando t = 1 segundo.

Ejemplo 1:

5

La derivada de una función f en x0 es:

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en x0

La razón de cambio instantánea de la función f en x0

0 0

0limh

f x h f x

h

CÁLCULO

6

Ejemplo 2:La grafica da la relación entre el porcentaje de desempleo U y el porcentaje correspondiente a la inflación I. Utilice la grafica para calcular la razón a que cambia I respecto de U cuando el nivel de desempleo es 3% y cuando es 10%.

(3,15)

(10;0)

Pendiente= -14

Pendiente= -0,4

% Desempleo

% Inflaciòn

CÁLCULO

x

y

7

Para la función f(x) = x2, ¿en cual de los puntos (1; 1) ó (2; 4) , la función tiene mayor razón de cambio?

Ejemplo 3:

CÁLCULO

CÁLCULO 8

Ejemplo 4: Un comerciante determinó que el ingreso por la venta de un producto en miles de dólares es

donde q es la cantidad producida y vendida en cientos de unidades.a.¿Cuál es la razón de cambio promedio del ingreso cuando la cantidad cambia de q = 5 a q = 10 cientos de unidades? Interprete.b. Determine la razón de cambio instantánea del ingreso respecto a la cantidad vendida para q = 5 cientos de unidades. Interprete.

210000010)( qqqI

Si consideramos el cociente

tenemos un medio para comparar la razón de cambio de f consigo misma. Esta razón se llama razón de cambio relativa de f.

Si multiplicamos la razón de cambio relativa por 100% obtenemos las razón de cambio porcentual.

Razón de cambio relativa y porcentual

CÁLCULO 9

Ejemplo 5:

Se estima que dentro de t años, la circulación de un periódico local será:

C(t) = 100t2 + 400t + 5000 ejemplares

a. ¿A qué razón cambiará la circulación respecto al tiempo dentro de 5 años?b. ¿Cuál será la razón de cambio porcentual de la circulación respecto al tiempo dentro de 5 años?

CÁLCULO 10

Ejemplo 6:

Determine la razón de cambio porcentual de f en x = 4.

f

CÁLCULO 11

Se muestra la gráfica de la función costo total C(q) en dólares por la producción de q unidades.

Si C(4) = 8 dólares, ¿cuál es la razón de cambio porcentual del costo cuando se producen 4 unidades?

CÁLCULO 12

q

1

0,81,2

4

CLT

.Ejemplo 7: