clase 3 derivada

INFORMACION GENERAL DE OBJETO DE APRENDIZAJE

Bibliografía

Competencia

Tema

INICIO

3.1 Concepto de derivada de una función“La recta tangente y su relación con la derivada

de una función”

El Cálculo, Louis Leithold 7ma Edición, Editorial Harla México

Interpretación geométrica del concepto derivada de una función para la resolución de problemas sobre optimización relacionados al área de

Ingeniería

Introducción a la Derivada

Dónde estoy, y a dónde voy?

Posición actualDónde estoy?

Ej. Apatía, irresponsabilidaddistracciones, etc.

Fuerzas externas que atacan

Antes de iniciar, es importante reflexionar…

Recordemos el camino trazado…

1. Funciones de una variable

2. Limites y continuidad

3. La derivada

4. Aplicaciones de la derivada

Pero, antes de iniciar veamos una simple pregunta…


Ya analizamosfunciones…También limites de funciones…

Y el tema que iniciamos hoy es….

“La pregunta del millón…”

( un minuto de silencio…)


“La pregunta del millón…”Si tenemos una función definida por

2xy

La mayoría contestaría: “su derivada es: ”

MUY BIEN!! ….. Pero……..

“memorizar términos matemáticos y no tener la mínimaidea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”

“las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”


xy 2

Algunos conceptos básicos.Introducción a la Derivada

La recta secante y la recta tangente

en términos geométricos

Recta secanteRecta tangente

“es una recta queintersecta un círculoen dos puntos”

“es una recta quetiene un punto en común con un circulo”



en una funciónFunción original




Recta secante




Recta tangente


Sabemos que una de las característicasprincipales de una recta es su pendiente (m)

En términos muy simples la pendiente de una recta esun valor numérico que representa la inclinación de dicha recta

1 1( , )x y

2 2( , )x y

2 1x x

2 1y y

2 1

2 1

y ymx x

Muy sencillo de obtener si tienes dos puntos sobre una recta!


Función original

Recta secante

De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una rectasecante en la curva de una función es:

2 1

2 1

y ymx x

1 1( , )x y

2 2( , )x y


Recta tangente

Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una rectatangente si solo conoce un punto?

1 1( , )x y2 1

2 1

?y ymx x

Algo de historia.Introducción a la Derivada

Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años, y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres, entre los que se encuentran :

Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz

Leibniz, llamado por muchos el padre del CálculoModerno, en 1684 propuso un método general para encontrar las tangentes a unacurva a través de lo que el llamo símbolos.

La derivada.Introducción a la Derivada

Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

Supongamos que deseamosconocer la pendiente de larecta tangente en X=1

Observe que si hacemosdiversas aproximaciones de rectassecantes, podemos hacer unamuy buena estimación de la Pendiente de la recta tangente

tanm


Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm



1 1( , )x y

2 2( , )x ytanm



1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm



1 1( , )x y2 2( , )x y

tanm



1 1( , )x y

Observa que el punto

Cada vez se acercamás al punto

1 1( , )x y

2 2( , )x y

2 2( , )x y

Atajo

Volver amostrar

Continuar

tanm



Ahora, como expresar elcomportamiento anterioren términos matemáticos?


1 1( , )x y

2 2( , )x y

Aprox.tanm secm Procedemos

a sustituir: 12

12sec xx

yym2 1

2 1

y yx x

tanm

12

12sec xx

yym


1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm 2 1

2 1

y yx x

Considerando:

( )y f x

2 1

2 1

( ) ( )f x f xx x

)( 1xf

)( 2xf

tanm

Procedemosa sustituir:


1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm 2 1

2 1

( ) ( )f x f xx x 2 1x x x Ahora

Consideremos:

2 1( ) ( )f x f xx

2 1x x x

tanm


1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm 2 1( ) ( )f x f xx

Ahora recordemos el comportamientode las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuirx

Presiona para observar nuevamente el comportamiento(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)

2 1x x x

tanm


1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

2 1x x x

2 1( ) ( )f x f xx

Podemos expresar lo anterior así:lim

0x 0x Analizando dicho comportamiento,procedemos a aplicar un límite así:

Se puede observarque el punto cada vez se aproximamás al puntopero no llegará a tocarlo

2 2( , )x y

1 1( , )x y

tanm


1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

Finalmente considerando lo siguiente:

lim 2 1( ) ( )f x f xx0x

2 1x x x La expresión nos queda así:

1 1( ) ( )f x x f xx

2 1x x x

tanm

1 1( ) ( )f x x f xx


1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm Finalmente considerando lo siguiente:lim

0x 2 1x x x

La expresión nos queda así:

2 1x x x

tanm


tanm lim0x

1 1( ) ( )f x x f xx

Este límite (el cual genera otra función), representa la pendiente de las diversas rectas tangentes a lagráfica de una función…..Y se le conoce comúnmente como:

Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:

dxdy

Por su origen basado enincrementos

=

La derivada de en está dada por siempre que ese límite exista. Ese resultado también es una función de y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto .

El proceso de calcular la derivada se llama derivación y se dice que una función es derivable en si su derivada en existe. Decimos que la función es derivable en un intervalo abierto si es derivable en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo.

Además de , que se lee “ prima de ”, se usan otras notaciones para la derivada de .las más usuales están dadas por:

Veamos unos ejemplos:

Para continuar haz clic en la flecha o en los botones de abajo.

Derivada de una funciónConceptos básicos sobre derivadas


lim

0x

1 1( ) ( )f x x f xx

dx

dy=

Y precisamente por esta fórmula es que lo siguiente, ahora si, tiene sentido:

Si tenemos una función definida por 2xy

Entonces su derivada es: xdxdy 2

Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original

Aplicación del límite obtenido….Introducción a la Derivada

Procederemos a la aplicacióndel límite deducido paraobtener la derivada de la función:

2)( xxfy

xxfxxf

dxdy

x

)()(lim0

Recordemos que laderivada esta definidapor el límite:

Al evaluar el término)( xxf

se puede observar que:

2)()( xxxxfy

Al sustituirlo obtenemos:


xxxx

dxdy

x

22

0

)(lim

)( xxf )(xf

Al desarrollar el binomioal cuadrado obtenemos:

xxxxxx

dxdy

x

222

0

))()(2(lim Reduciendo términos:

xxxx

dxdy

x

2

0

)()(2lim Aplicando los teoremassobre límites tenemos losiguiente:


x

xxxdxdy

x

2

0

)()(2lim xxxx

00lim2lim

Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que:

Si tenemos una función definida por 2xy

Entonces su derivada es: xdxdy 2

0

Representación gráfica de:

2xy La función querepresenta suderivada es:

xdxdy 2



xdxdy 2

1xAl sustituiren la derivadael valor de X:

2)1(2tan dxdym

Observe que:

?tan m



xdxdy 2

2tan m



xdxdy 2

Ejemplos: 1) Calcule la derivada de Solución:


Derivada de una función Conceptos básicos sobre derivadas

𝑓 ′ (𝑥 )=limh→0¿¿ ¿

¿ limh→0¿¿¿

Evaluamos la función en y

¿ limh→0

3 (𝑥2+2 h𝑥 +h2 )+4 𝑥+4 h−5−3 𝑥2−4 𝑥+5h

Elevamos el binomio al cuadrado y realizamos los productos indicados

¿ limh→0

3𝑥2+6 h𝑥 +3h2+4 𝑥+4 h−5−3 𝑥2−4 𝑥+5h Simplificamos términos

semejantes

¿ limh→0

6 h𝑥 +3h2+4 hh Dividimos cada término del trinomio del

numerador entre

¿ limh→0

(6 𝑥+3h+4 ) Calculamos el límite cuando

¿6 𝑥+4

Aplicamos la definición de la derivada

RAFAEL FONG SILVA

Hacer animación de tal forma que cuando el estudiante vaya haciendo clic, le vaya apareciendo el paso siguiente con la explicación que aparece en cada recuadro.

Tomada de “El Cálculo”por Louis Leithold

Primeros ejemplosVamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos de derivadas, con la intención de que ustedes vayan

deduciendo un procedimiento (regla) para resolverlas.

xxf 3)(

3dxdf

3)(

3xxf 512)( xxf

26)( xxf

2xdxdf

xdxdf 2

52

dxdf

Sea la función:

La derivada de esta función es:

Regla para encontrar derivadas

dxdf

)x(f c x n

1n

dxdf 1ncnx

Sea la función:


Derivadas especiales

dxdf

)x(f c x 1

11

dxdf 0cx

cdxdf

Sea la función:

Derivadas especiales

0dxdf

cxf )(


Sea la función:


Ejemplos de derivadas

dxdf

)x(f 5 x 3

13

dxdf 215x

Sea la función:



dxdf

)x(f 3 x 4

14

dxdf 312x

Sea la función:



dxdf

)x(f 32 x 5

1

151

dxdf 5

4

152

x

Derivada de una suma y diferencia de funciones

)()()( xhxgxf

Sea la función:

dxdh

dxdg

dxdf

La derivada de la suma o diferencia es:

- Derivada de un productoEn general

Si )(...)()()( 321 xfxfxfxfy n

Entonces)(...)()()( 321 xfxfxfxf n

dxdy

Es decir, combinando las fórmulas anteriores podemos calcular la derivada de cualquier función polinomial en x.

Ej: Hallar la derivada de 52723)( 245 xxxxxf

Solución:

214815)( 34 xxxxf

Ejemplos

675)( 2 xxxf

Sean las funciones:

710 xdxdf

1651034)( 256 xxxxxf

5201524 45 xxxdxdf

Ejercicios propuestos

421

438)( xxxf

Deriva las siguientes funciones:

521

)4(43

21)8(

xx

dxdf

xxxf 103)( 4

xxdxdf 512

5

534xxdx

df

1)854

745

3512125)(

53112)(

xxxxf

xxxxxf

2)

3)

30308456)(

)57()66()62(7)(

)57()62()(

23

23

3

xxxxf

xxxxxf

xxxxf

52

43

833)(

23)(

xxxf

xxxxf

Derivada de un producto de funciones

Si la función que voy a derivar f(x) es el producto de las funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada

de esta función.

)x(h)x(g)x(f

dxdhxgxh

dxdg

dxdf )()(

- Derivada de un producto

Si y y

entonces,

)(xuu )(xvv ,)()()( xvxuxf

)()()()()( xvxuxvxuxf

Ej: Hallar la derivada de )62()23()( 232 xxxxxxf

y evaluar para 2x

Solución: )62()32()643()23()( 2322 xxxxxxxxxf

Si 4)2(2 fx

EjemploConsideremos el siguiente producto de funciones

dxdhg)x(h

dxdg

dxdf

)413)(58()( 22 xxxxfClaramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4

y recordando la regla para derivar productos de funciones

tenemos que

)26)(58()413)(516( 22 xxxxxdxdf

2323 130208206564208 xxxxx

2064195416 23 xxx


Resuelve el producto de funciones:

)3)(4()( 2xxxf

)2)(4()3)(1( 2 xxxdxdf

22 283 xxx

383 2 xx

Deriva este otro producto de funciones:

)2)(3()( 2132 xxxxxf

)4)(3()2)(36( 232214 xxxxxxxxdxdf

253253 412363126 xxxxxx

34224 523 xxx


Derivada de un producto de varios factores

Un caso especial en este tipo de derivadas, se presenta cuando debemos derivar más de dos factores o términos. Para este caso

debemos seguir la siguiente regla. Consideremos tres factores, es decir

)()()()( xhxgxexf

dxdhxgxexh

dxdgxexhxg

dxde

dxdf )()()()()()(

su derivada será:

EjemploDerivemos la siguiente expresión:

)5)(2)(3()( xxxxf

)1)(2)(3()5)(1)(3()5)(2)(1( xxxxxxdxdf

)2)(3()5)(3()5)(2( xxxxxx

)236()32)(5( 2xxxxxx

)56()25)(5( 2xxxx 22 56251025 xxxxx

31203 2 xx

Derivadas

Si la función que voy a derivar f(x) es un cociente de funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta

función.

)x(h)x(g)x(f

2)()(

xhdxdhgxh

dxdg

dxdf

- Derivada de un cuociente

Si )(xf ,)()(xvxu 0)( xvcon

entonces, )(xf 2)(

)()()()(xv

xvxuxuxv

Ej: Determinar la derivada de )(xf332

2

2

xxx

Solución: )(xf

22

2

22

2323

22

22

)3(9123

)3(6493124

)3(2)32()34()3(

xxx

xxxxxx

xxxxxx

)(xf

)(xf

EjemploConsideremos el siguiente cociente de funciones

2354)(xxxf

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar productos de funciones

tenemos que

223)3)(54()23)(4(

xxx

dxdf

2)()(

xhdxdhgxh

dxdg

dxdf

Ejemplo

223)1512(812

xxx

dxdf

2237

x

Es importante recordar que siempre tenemos que llegar a la mínima expresión, como fue en este caso.

Ejercicio propuestoSea

11168)(

2

xxxxf

2

2

)1()1)(1168()1)(616(

xxxxx

dxdf

2

22

)1(1168161616

xxxxxx

2

2

)1(10168

xxx

Ejercicio propuestoSea

11)( 3

3

xxxf

23

2332

)1()3)(1()1(3

xxxxx

dxdf

23

2525

)1(3333

xxxxx

23

2

)1(6

xx

Derivadas

Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que está elevada a una potencia n, existe una regla para encontrar la

derivada de esta función.

nxhxf )()(

dxdhxhn

dxdf n 1)(

EjemploConsideremos el siguiente cociente de funciones

2)45()( xxf

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando la regla de la cadena

tenemos que

)5)(45(2 xdxdf

dxdhxhn

dxdf n 1)(

)45(10 x

4050 x

EjemploSea

367)( 2 xxxf

61436721

21

2

xxxdxdf

21

2 367

37

xx

x

36737

2 xx

x

La función puede escribirse también de la siguiente forma:

21

2 367)( xxxf

y

367)( 2 xxxf

21

2 367)( xxxf

EjemploSea

23

2

)6(63)(xx

xxf

223

2322321

23

2

)6()63)(6(2)63()6)(6(

)6(63

21

xxxxxxxxx

xxx

dxdf

43

223321

2

23

)6()63()6(6)6(

63)6(

21

xxxxxxxx

xxx

43

24243

2

23

)6()36369(366)6(

63)6(

21

xxxxxxxx

xxx

Ejemplo

43

24243

2

3

)6()36369366)(6(

63)6(

21

xxxxxxxx

xxx

43

423

2 )6()363()6(

631

21

xxxxx

x

23

4

2 )6(363

631

21

xxx

x

63)6(363

21

223

4

xxx

x

En los siguientes cinco ejercicios escoja solo una de las siguientes cuatro opciones planteadas:

1) Al derivar la función obtenemos:


Derivada de una función

Actividad de retroalimentación

𝑥4+2𝑥3+8 𝑥2−16 𝑥+3(𝑥2+𝑥−1 )2

𝑥4+2𝑥3−5 𝑥2−2(𝑥2+𝑥−1 )2

a)

b)

𝑥4+2𝑥3+5 𝑥2−2(𝑥2+𝑥−1 )2

𝑥4−2𝑥3+5 𝑥2−2(𝑥2+𝑥−1 )2

c)

d)

RAFAEL FONG SILVA

Se debe habilitar la opción de escoger la respuesta correcta (QUES ES LA OPCION B)). Si se escoge la opción errada, deberá aparecer carita triste y si se escoge la opción correcta deberá aparecer "carita feliz" o un mensaje que diga "MUY BIEN".

2) Dada la función tenemos que:

Derivada de una función Actividad de retroalimentación

𝑔 ′ (𝑦 )= 𝑦−2√𝑥+ 𝑦2−4 𝑦+4a) 𝑔 ′ (𝑦 )= 2 𝑦−3

√𝑥+2 𝑦 2−6 𝑦+4b)

𝑔 ′ (𝑦 )= 3 𝑦2+12√5𝑥+𝑦 3+𝑦+4c) 𝑔 ′ (𝑦 )= 2−𝑦

√3 𝑥− 𝑦2+4 𝑦+7d)

RAFAEL FONG SILVA

Se debe habilitar la opción de escoger la respuesta correcta (QUES ES LA OPCION d)). Si se escoge la opción errada, deberá aparecer carita triste y si se escoge la opción correcta deberá aparecer "carita feliz" o un mensaje que diga "MUY BIEN".

3) El valor de la primera derivada de la función es:


Derivada de una función

Actividad de retroalimentación

− 3(𝑥−2 ) (𝑥+1 )a)

4(𝑥−2 ) (𝑥+2 )b)

c)

− 4(𝑥−1 ) (𝑥+3 )d)

RAFAEL FONG SILVA

Se debe habilitar la opción de escoger la respuesta correcta (QUES ES LA OPCION c)). Si se escoge la opción errada, deberá aparecer carita triste y si se escoge la opción correcta deberá aparecer "carita feliz" o un mensaje que diga "MUY BIEN".

4) Al encontrar dado que tenemos:



a)

b)

c)

d)

18 𝑥𝒆−3 𝑥2− 2

12𝑥𝒆− 2𝑥2−1

−12 𝑥𝒆2𝑥2+4

−12 𝑥𝒆3𝑥2+2

RAFAEL FONG SILVA

Se debe habilitar la opción de escoger la respuesta correcta (QUES ES LA OPCION a)). Si se escoge la opción errada, deberá aparecer carita triste y si se escoge la opción correcta deberá aparecer "carita feliz" o un mensaje que diga "MUY BIEN".

5) El resultado de donde está dado por:



a)

b)

c)

d)

−18 𝑥 cos (6 𝑥 )−3 sen (6 𝑥 )

−12 𝑥cos (6 𝑥 )−2 sen (6 𝑥 )

12𝑥 sen (6 𝑥 )−2cos (6 𝑥 )

18 𝑥 sen (6 𝑥 )−3 cos (6 𝑥 )

RAFAEL FONG SILVA

Se debe habilitar la opción de escoger la respuesta correcta (QUES ES LA OPCION b)). Si se escoge la opción errada, deberá aparecer carita triste y si se escoge la opción correcta deberá aparecer "carita feliz" o un mensaje que diga "MUY BIEN".

DEFINICIÓN DE DERIVADA

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Hasta el momento, de una función expresada algebraicamente, y=f(x), podemos conocer:

• Dominio• Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y• Continuidad• Asíntotas y ramas parabólicas

Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer:

• Intervalos de crecimiento / decrecimiento• Máximos y mínimos relativos

Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS

La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas tangentes:

m=0

m=0

m<0

m>0 m<0 En los puntos de máximo o mínimo, la

recta tangente es horizontal ( es decir,

la pendiente es 0)

En los tramos de crecimiento la recta

tangente tiene pendiente positiva, en los de

decrecimiento la tiene negativa.

Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a

y=-3/2x-24

y=-4

y=3

y=1,2x+1,5

y=-1,3x+13

La derivada de la función f en a se denota con el símbolo f’(a), que se lee “f prima de a”

f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente en el punto de abscisa 4,5 tiene

pendiente -3/2.

f’(-2)= 0 f’(4)=0

f’(2)=1,2 f’(6)=-1,3

88

LA DERIVADA EN EL ANALISIS DE FUNCIONES

89

TEOREMA

f ’(c) = 0Si c es un punto de extremo local de f, entonces

90

PUNTOS CRITICOSDefinición:Un número c del dominio de f se llama número crítico o punto crítico de f si f ’(c) = 0.

91

1. Hallar todos los puntos críticos de f en [a, b]2. Hallar f(c) para cada punto crítico c3. Calcular f(a) y f(b)4. El mayor de los números hallados en

2 y 3 es el máximo absoluto de f en[a,b] y el menor el mínimo.

Procedimiento para determinar los máximos o mínimos de una función continua f en [a, b]

92

TEOREMASea f continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces:

Si f ’(x) 0 en (a, b) entonces

f es estrictamente CRECIENTE en [a,b]

>

93

Criterio de la primera derivada

Si c es un punto crítico de f y f es derivable alrededor de c, entonces:

i) Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c entonces c es un punto de MÁXIMO local de f

ii) Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c entonces c es un punto de MÍNIMO local de f

94

TEOREMA

Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces:

Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia

en x = carriba

>

+

95

TEOREMASea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces:

Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia

en x = cabajo

<-

96

Criterio de la segunda derivada

Sea c un punto crítico de f en el cual f ’(c) = 0, entonces,

Si f ’’(c) > 0, c es un punto demínimo local

Si f ’’(c) < 0, c es un punto demáximo local

97

Punto de inflexiónLa gráfica de f tiene en el punto (c, f(c)) un punto de inflexión si:

1 f es continua en c

2 La gráfica tiene tangente enel punto

sentido en c3 La concavidad cambia de

98

PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR Los PUNTOS DE INFLEXION

i) Determinar los puntos donde f ’’ es cero

ii) Verificar si cada uno de estos puntos es de inflexión. Esto es:• Si f es continua• Si la derivada existe o tiene límite infinito (tang. vertical)• Si f ’’ cambia de signo

clase 3 derivada

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