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Bases para el manejo algebraico en el área

económico-administrativa

U N I DAD 2

Introducción

Los logaritmos son un tema fundamental para el desarrollo de las matemáticas f inancieras, ya

que están involucrados en casi todos los problemas de tasas de interés, anualidades, entre otros,

de ahí la importancia de aplicarlos adecuadamente.

En esta unidad se presentan, además de las propiedades de los logaritmos y sus

aplicaciones, las leyes de los exponentes, cuyo manejo es importante para simplif icar expresiones

y para plantear y resolver ecuaciones. Se pondrá mucho énfasis en los exponentes fraccionarios,

los cuales se util izan también para resolver ecuaciones.

Competencia

Al f inalizar la unidad, el alumno podrá:

Resolver problemas de la empresa en el ámbito financiero y administrativo tomando

decisiones basadas en la aplicación de las herramientas aritméticas y algebraicas.

Contenido

2.1. Exponentes y su aplicación en decisiones de inversión y oportunidades

de negocio.

2.2. Exponentes fraccionarios.

2.3. Radicación.

2.4. Raíz cuadrada.

2.4.1. Raíces de orden superior.

2.4.2. Raíces y exponentes fraccionarios.

2.5. Logaritmos y su aplicación a crecimiento de población e inversiones

2.6. Identif icación de los procesos donde se requiere aplicar las bases matemáticas a la

solución eficiente de problemas económico-administrativos.

2.1. Exponentes y su aplicación en decisiones de in versión y oportunidades de negocio

En la unidad anterior se revisaron las leyes de los exponentes y se aplicaron en algunas decisiones

de negocios. A continuación se plantean otros ejemplos que nos muestran la ut ilidad de los

exponentes para faci litar las operaciones necesarias que permiten determinar si una inversión

resulta conveniente o no.

Ejemplo 1

El gobierno de un país ha determinado que su población actual es de 10 327 183 habitantes

y que ha aumentado anualmente con un factor de 1.041. Se desea determinar cuál será el

tamaño de la población dentro de tres años para determinar la amplitud de los proyectos

sociales durante estos años.

Sabemos que la población inicial es de 10 327 183 habitantes, y que, el factor de

crecimiento es de 1.041, esto signif ica que al cabo de un año la población habrá

aumentado y serán:

(10 327 183)(1.041) habitantes

La cantidad anterior es ahora la población inicial para el segundo año. Como

el factor de crecimiento se mantiene constante, para el f inal del segundo año la

población será:

(10 327 183)(1.041) (1.041) habitantes

Aplicando la ley de los exponentes tendremos:

2(10 327 183)(1.041)(1.041) (10 327 183)(1.041)

Nuevamente, la cant idad anterior es ahora la población inicial para el tercer año.

Como el factor de crecimiento se mantiene constante, para el f inal del tercer año

la población será:

2(10 327 183)(1.041) (1.041) habitantes

Aplicando la ley de los exponentes obtenemos:

2 3(10 327 183)(1.041) (1.041) (10 327 183)(1.041)

Finalmente realizamos las operaciones:

3(10 327 183)(1.041) (10 327 183)(1.12811) 11 650 218

Respuesta: Aproximadamente 11 650 218 habitantes

¿Te imaginas cuántas operaciones habríamos tenido que hacer si nos hubieran pedido el cálculo

para 6 o 12 años?

Si observas la última expresión, verás que el resultado se puede expresar como:

Población final = ( población inicial) ( factor de crecimiento)n donde n representa el

número de periodos durante los cuales se calcula el crecimiento de la población.

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo 2

Una compañía ha iniciado una promoción en la venta de equipo de cómputo y renta de internet.

Su éxito ha sido tan grande que planea comprar la producción total de sus actuales proveedores.

Sin embargo, antes de hacerlo desea determinar si tendrá clientes suficientes para un pedido tan

amplio. Con base en los datos de las primeras semanas se determinó que el número de ventas

ha crecido semanalmente con un factor de 1.28 teniendo inicialmente 200 clientes. Si se logra

mantener esta tendencia, ¿cuántos clientes tendrá dentro de 7 semanas?

Si hacemos las cuentas de manera semejante al ejemplo anterior, obtendremos que

el número de clientes para la semana 7 estará dado por 7(200)(1.28)

Realizando las operaciones obtenemos

7(200)(1.28) (200)(5.63) 1 126

Respuesta: Dentro de 7 semanas tendrá aproximadamente 1 126 clientes

Ejemplo 3

Un t rabajador gana $3 000 y se le ofrece un aumento bimestral de 3.5%, ¿cuánto ganará

en tres años?

El sueldo inicial es $3 000 y el aumento es de 3.5% = 0.035 cada bimestre, por

lo tanto, al terminar el primer bimestre la cantidad aumentada será:

(3 000)(0.035)

Que agregado al sueldo inicial nos da:

(3 000) (3 000)(0.035) (3 000)(1 0.035)

Por lo tanto al inicio del segundo bimestre su sueldo será:

(3 000)(1 0.035)

Para el segundo bimestre a la cantidad anterior se le aumenta el:

3.5% = 0.035

Por lo tanto, al terminar el segundo bimestre la cantidad aumentada será:

(3 000)(1 0.035)(0.035)

Agregando esta cantidad al sueldo que se tenía al inicio del segundo bimestre se tiene:

(3 000)(1 0.035) (3 000)(1 0.035)(0.035) (3 000)(1 + 0.035)(1 + 0.035) Aplicando las leyes de los exponentes tenemos:

(3 000)(1 + 0.035)(1 + 0.035) = (3 000)(1 + 0.035)2

Siguiendo este procedimiento, y considerando que en un año hay 6 bimestres, el

sueldo más los aumentos correspondientes serán:

(3 000) (1 + 0.035)6

Finalmente, al término del tercer año el sueldo total será:

6 3 18(3 000)((1 0.035) ) (3 000)(1 0.035)

Realizamos las operaciones y obtenemos:

18(3 000)(1.035) (3 000)(1.8575) 5 572.47

Respuesta: El sueldo final a los 3 años será de aproximadamente $5 572.47

Como puedes ver, el sueldo final se obtuvo con la siguiente ecuación: (1 )F C i n,

donde C es el sueldo inicial, i es el porcentaje de aumento, expresada como número decimal,

n es el número de periodos durante los cuales se realiza el análisis y F es el valor del sueldo al

final del último periodo.

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo 4

Si actualmente Juan recibe un sueldo de $3 500, ¿qué le conviene más, un aumento de 2%

trimestral durante un año o un aumento de 8% anual?

H agamos los cálculos para cada situación.

Si acepta un aumento de 8% anual al término del año tendrá:

Sueldo final:

= 3 500(1 0.08)

Realizamos las operaciones y obtenemos:

3 500(1 0.08) 3 780

Para calcular la siguiente opción ut ilizaremos el razonamiento seguido en el

ejemplo anterior, recordando que un año tiene 4 t rimestres.

Si acepta un aumento de 2% trimestral al término del primer año tendrá:

Sueldo final:

4 4(3 500)(1 0.02) (3 500)(1.02)

Realizando las operaciones tendremos:

4(3 500)(1.02) (3 500)(1.082) 3 788.5

Respuesta: Le conviene más el aumento de 2% trimestral.

Nota: La ley de crecimiento natural es una ecuación que podemos expresar como:r nA Pe (e

que nos presenta la cantidad total A, que se obtiene si P aumenta

cont inuamente a un porcentaje r durante n años.

Apliquemos la ley de crecimiento natural en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 5

La población de cierta ciudad en el año 2001 era de 200 000 habitantes y crece 3% anual, según

la ley del crecimiento natural. Encuentra la cantidad de habitantes que habrá en 2007.

Sabemos que la población inicial es:

P = 200 000.

El porcentaje decrecimiento es:

r = 3% anual.

El cálculo es para:

n = 6 años.(2006 - 2007)

Aplicando la ley de crecimiento natural se tiene que:

0.03 6(200 000)( )A e

Uti lizando la calculadora para realizar las operaciones tenemos:

0.18(200 000)(2.71828) A

Por lo tanto:

(200 000)(1.197 217) 239 443.4A

Respuesta: Para el año 2007 habrá aproximadamente 239 444 habitantes.

Ejemplo 6

La población de cierta ciudad es de 500 000 habitantes y crece 23.1% anual, según la

ley del crecimiento natural. Encuentra la cant idad de años que se requerirán para que se

duplique la población.


P = 500 000

El porcentaje de crecimiento es:

r = 23.1% anual.

Se requiere que la población final se duplique, por lo que:

A= 2 (500 000)= 1 000 000

Queremos determinar el número de años n.

Aplicando la ley de crecimiento natural se tiene:

0.2311 000 000 (500 000)( ) ne

O bien:

0.2311 000 000 (500 000)(2.71828) n

A partir de este momento, tendremos que continuar por exploración, dándole

valores a n y elevado la expresión (500 000) (2.718 28)(0.231)(n) hasta obtener un

valor cercano a A= 1 000 000.

Para n = 1 tendremos 0.231 1(500 000)(2.71 828)

Para n = 2 tendremos 0.231 2(500 000)(2.71 828) Para n = 3 tendremos 0.231 3(500 000)(2.71 828) Para n = 4 tendremos 0.231 4(500 000)(2.71 828) Respuesta: La población se duplicará dentro de 3 años aproximadamente.

Nota: El método uti lizado para resolver el ejercicio anterior será mejorado

aplicando las propiedades de la función logaritmo.

Actividad 1

Resuelve los siguientes problemas (redondea tus resultados a cuatro decimales).

a) Se le ha solicitado a un laboratorio un cultivo de bacterias, de aceptar el pedido deberán

entregarlo en 24 horas y en caso de incumplimiento serán fuertemente multados.

Se requiere que el cultivo de bacterias específ ico pese 1 200 gramos. El laboratorio

sabe que este tipo de cultivos crece cada hora conforme a un factor de 1.18. Si en

este momento la colonia de bacterias que posee pesa 70 gramos, ¿deberían aceptar el

pedido o sería mejor rechazarlo?

b) ¿Cuánto se ganará dentro de cinco años, si el sueldo actual es de $25 000 y se ofrece

un aumento de 7% trimestral?

c) Si el sueldo actual de un trabajador es de $1 500, ¿qué le conviene más, un aumento de 2%

bimestral durante cinco años o un aumento de 3% trimestral durante tres años?

2.2. Exponentes fraccionarios

Base

m

nExponente fraccionario

aRecordemos la expresión que representa una potencia,

pero ahora con exponentes fraccionarios.

En la unidad 1 vimos que la potencia con

exponente n entero y base a es igual que multiplicar

n veces la base a. De hecho, se permitía que el exponente tomara cualquier valor entero, positivo,

negativo o cero. Sin embargo, no existe ningún entero n que pueda satisfacer la ecuación:

(5 )(5 ) 5n n

Ya que:

si n > 0, entonces 5 5n y por lo tanto (5 )(5 ) 5 5n n

si n = 0, entonces 05 1 y por lo tanto (5 )(5 ) 1 1 1n n

si n = m con m > 0, entonces

15 5 < 1

5n m

m

y por lo tanto

1 1(5 )(5 ) 1

5 5n n

m m

Si consideramos que también podemos ut ilizar exponentes fraccionarios y suponemos

que podemos usar las leyes de los exponentes, ¿cuánto debe valer n para que la siguiente

igualdad sea válida?

(5 )(5 ) 5n n

De acuerdo con las leyes de los exponentes:2(5 )(5 ) 5 5n n n n n

Por lo que la ecuación inicial se transforma:

2 15 5 5n

Cuya solución es 2 1n , es decir, 12

n1 1 1 1

12 2 2 25 5 5 5 5

Si seguimos aplicando la ley de los signos tendremos:

1 m mn na a

De esta forma podemos extender las leyes de los exponentes para fracciones:

mn

, kl

y números 0a , 0b .

m k m kn l n la a a

Ejemplo: 1 1 13

334 4 45 5 5 5

mm knn l

k

l

aa

a

Ejemplo: 5 2 13

53 3

2

3

44 4

4

km km ln lna a

Ejemplo:

2 77 142

44 43 3 3

( )m m mn n nab a b

Ejemplo: 2 2 23 3 3(5 3) 5 3

mmnn

mn

a ab b

Ejemplo:4433

43

2 23 3

1mn

mn

aa

Ejemplo:2

42

4

13

3

Nota: Nunca olvides que es necesario 0a , porque aunque mna puede

tener sent ido para a < 0, y algún mn

, también puedes llegar a resultados

contradictorios.

Por ejemplo:

1 12 2 2(( 1) ) (1) 1

y

1 2212 2( 1) ( 1) ( 1) 1

Por lo tanto:

11 22 22(( 1) ) ( 1)

La diferencia proviene de aplicar las leyes de los exponentes a una base negativa,

en este caso (–1).

Ejemplo 7

Simplif ica las siguientes expresiones.

a) 1 2 1 2 3 4 72 3 2 3 6 6a a a a a

b)

33 1 12 5 755 4 20 20

14

aa a a

a

c)

1 13 13 33 77 37 21

3 121 7

1 1 1a a a

aa a

d)

4 423 2 2 23 2 6 4 21 2134 3 7 34 7 12 21

6 112 2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

b ba b a b a b

a a

e)

55 10 5 15 22 6 6 3 36

115 553 326 26

a a a a ab bb bb

Actividad 2

Simplif ica las siguientes expresiones.

a) 4 53 4a a

b)

32

4

aa

c)

67

52

a

a

d)

23 35a

e)

45 5

10

ab

f )

64 2

23a b

2.3. Radicación

En la unidad anterior aprendimos a elevar un número

a una potencia entera. Sin embargo, en algunas

ocasiones resulta necesario realizar el proceso inverso:

dado un número encontrar otro que elevado a la

potencia indicada coincida con el primero. En esta

sección aprenderemos a resolver este t ipo de situaciones y comprenderemos su relación con

los exponentes enteros y fraccionarios.

2.3.1. Raíz cuadrada

El Teorema de Pitágoras establece: “ Para un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa

es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. 2 2 2c a b

c

b

a

Por lo tanto, si sabemos que a= 3 y b= 4 y deseamos

determinar el valor de c, tendremos:

2 2 2(3) (4) 9 16 25c

Es decir, c es un número que elevado al

cuadrado da 25.

Observemos que 2(5) 25 y también

2( 5) 25 .

Como la hipotenusa es una longitud, debe ser positiva, determinamos que:

c = 5

En general, se dice que una raíz cuadrada r de un número a es un número tal que al

elevarlo al cuadrado da como resultado a.

Entonces:

si 2r a , se dice que r es una raíz cuadrada de a.

Por ejemplo:2(2) 4 y 2( 2) 4

Con lo cual tenemos que 2 y 2 son raíces cuadradas de 4.

Por lo tanto, si r es una raíz cuadrada de a, entonces –r también lo es, ya que:

r r r r a2 2( ) ( )( )

Se uti liza el símbolo a para denotar la raíz cuadrada no negativa de a y el

símbolo a para denotar la raíz cuadrada negat iva de a.

GradoRadicando

n a n

Observa: Normalmente se buscan raíces cuadradas con valores reales, por

este motivo cuando le pides a una calculadora que calcule 4 te marca

error, pues el cuadrado de cualquier número real, sea positivo o negat ivo,

siempre es positivo, por lo cual decimos que no existen raíces cuadradas reales

de números negat ivos.

Ejemplo 8

Relaciona las siguientes potencias con las raíces cuadradas correspondientes.

a) Si 22 4 , entonces 4 2

b) Si 24 16 , entonces 16 4

c) Si 23 9 , entonces 9 3

Del mismo modo que existen las leyes de los exponentes, podemos hablar de las

propiedades de la raíz cuadrada, que se resumen en la siguiente tabla:

( )( ) ( )( )a b a b

Ejemplo:

324 (81)(4) ( 81)( 4) (9)(2) 18

a ab b

Ejemplo:

25 25 59 39

Ejemplo 9

Uti liza las propiedades de la raíz cuadrada para simplif icar las siguientes expresiones.

a) 225 (9)(25) ( 9)( 25) (3)(5) 15

b) 7 056 (4)(36)(49) ( (4)(36))( 49) ( 4)( 36)( 49) (2)(6)(7) 84

c) 14 400 (4)(9)(16)(25) ( 4)( 9)( 16)( 25) (2)(3)(4)(5) 120

d) 81 81 9 3

144 12 4144

e) 64 64 8

121 11121

f )

75 7525 5

33

2.3.2. Raíces de orden superior

Si realizamos un razonamiento semejante al uti lizado para encontrar la raíz cuadrada, pero

permit iendo que el valor de n sea cualquier valor entero posit ivo, se puede definir la raíz de

grado n de un número a como el número b tal que a = bn.

Y escribimos:

na b que es equivalente a nb a

En donde al símbolo se le llama radical, al número a se le llama radicando y al

número n se le llama grado o índice de la raíz .

De esta forma podemos decir que:

4 es la raíz cúbica o de grado t res de 64 porque 43 = 64 y se representa como:

34 64

2 es la raíz cuarta o de grado cuatro de 16 porque 24 = 16 y se representa como:

42 16

3 es la raíz quinta o de grado cinco de 243 porque 35 = 243 y se representa como:

53 243

Observa: Normalmente, la raíz cuadrada se escribe sin índice, , en vez de 2 .

Siempre debes tener presente los siguientes puntos:

Si n es par, an siempre es mayor o igual que cero, así que un número negativo no

puede tener raíz de grado par.

Si n es par, y tenemos la igualdad b= an, entonces b= ( a )n; por lo tanto, b tendrá

dos raíces de grado par, a y –a

Si n es impar, todo número (posit ivo o negativo) tiene exactamente una raíz.

N ota: A part i r de este momento, a menos que se especif ique lo contrario,

consideraremos que los radicandos son mayores o iguales que cero,

de esta forma la raíz de grado n siempre será posit iva y única, lo cual

faci l itará su estudio.

Ahora veamos los principios básicos para la obtención de raíces de grado mayor que 2:

Nuevamente, podemos hablar de las propiedades de las raíces de grado n que se

resumen en la siguiente tabla:

n nn a b abPor ejemplo:

3 3 33216 (27)(8) ( 27)( 8) (3)(2) 6

n

nn

a abb

Por ejemplo:

555

5

96 9632 2

33

( )m mnn a a

Por ejemplo:2 24 44( 16) 16 256 4

m nm n a a

Por ejemplo:2 3 26 3 2729 729 729 9 3

Ejemplo 10

Relaciona las siguientes potencias con las raíces correspondientes.

a) Si 33 27, entonces 3 27 3

b) Si 62 64, entonces 2 64 2

c) Si 45 = 1 024, entonces 5 1 024 4

d) 35 125 , entonces 1

33(125) 125 5

e) 48 4 096, entonces 14 4(4 096) 4 096 8

f) 57 16 807, entonces 15 5(16 807) 16 807 7

Ejemplo 11

Uti liza las propiedades de las raíces de grado n para simplif icar las siguientes expresiones.

a) 223 3 3( 9) 9 81

b) 4

44

16 16 281 381

c) 3 3 3 3316 (8)(2) 8 2 2 2

d) 3 664 64 2

2.3.3. Raíces y exponentes fraccionarios

¿Te has preguntado cuánto puede valer 342 o

1216 ?

Aunque ya sabemos que existen potencias fraccionarias y hemos aplicado sus leyes en

algunos ejemplos algebraicos, aún no hemos aprendido a realizar este tipo de cálculos. Sin

embargo, podremos resolverlos si relacionamos, de manera adecuada, las raíces de grado n con

los exponentes fraccionarios.

Al inicio de esta sección se estableció que el exponente que hace válida la ecuación:

5 5n es 12

n y se llegó a la siguiente ecuación:

1 1

2 25 5 5

Es decir, 1

25 multiplicado por sí mismo es 5, entonces 1

25 es la raíz cuadrada de 5. Esto

sugiere la siguiente def inición:1

225 5 5

Si hacemos lo mismo para cualquier n entero positivo tendremos:1

nna a con a 0 y n un entero positivo.

Generalizado y aplicando las leyes de los exponentes y radicales se tiene:1

( )nm m

mn na a a

con 0a y n un entero positivo.

Veamos como lo podemos aplicar.

Ejemplo 12

U ti l iza las propiedades de los exponentes y las raíces para simpli f icar las siguientes

expresiones:

a) 1 1 1 15

15 15 533 3 3 3(64 ) (64) ( ) ( 64) 4a a a a

b) 1

24 41 1 24 6

24 2444 4 4

1 1 1 1(16 )

2(16 ) 16( ) 2a

aa a a

c)

36

3 23 336 3 96 2 22

3 38 3 123882 2 3 2

( 100)(100) ( ) (10)100

149 (7)(49) ( ) ( 49)

aa aa

b bb b

d) 3

3 3216 ( 16) 4 64

e) 2 1

23 33 33 3 9 9

f) 3 1

37 77 75 5 125 125

Ejemplo 13

Uti l iza las propiedades de los exponentes y las raíces para simpl i f icar las siguientes

expresiones:

a) b a b a

b a b a b a b ab ab a

8 44 4

10 5 10 54 18 4 8 4 24 44

224( ) ( )

b) a b a b a b a b a b a b42 9 3

3 3 342 9 42 9 42 9 2 2 37 7 7 21 21 721 21 7( ) ( ) ( )( )

c) a b a b a b a b a b36 2412 12

14 36 24 36 24 36 24 3 23 12 12( )

Actividad 3

Utiliza las propiedades de los exponentes y las raíces para simplif icar las siguientes expresiones.

a) 3 27

b) 39( 8)

c) 48( 25)

d) 23(64)

e) 13 44

5 34

a b

a b

2.5. Logaritmos y su aplicación a crecimiento de po blación e inversiones

Ref lexión: John Napier (o Neper) (1550-1617), matemático y teólogo escocés,

simultáneamente con John Brigg (1561-1631), matemático inglés, introdujeron el concepto de

logaritmos como una herramienta matemática práct ica y teórica.

Antes del advenimiento de las calculadoras y computadoras, los logaritmos eran

usados en estadística, navegación, astronomía y otras ramas de las matemáticas prácticas, ya

que gracias a sus propiedades se pueden transformar multiplicaciones en sumas, divisiones en

restas y potencias en productos.

En la actualidad, los logaritmos han dejado de tener la importancia computacional que

tenían hace algunos años; sin embargo, siguen teniendo importancia para describir algunos

fenómenos naturales, por ejemplo: la escala Ritcher, que se ut iliza para medir la intensidad de

un temblor y es una escala logarítmica.

La palabra logaritmo, que se debe a Napier, está formada de las palabras griegas

(logos), que significa razón o cociente, y o (arithmos), con el significado de número, y se

def ine, literalmente como un número que indica una relación o proporción.

Observa los números que aparecen en la siguiente tabla:

30 = 1 40 = 1 50 = 1 100 = 1

31 = 3 41 = 4 51 = 5 101 = 10

32 = 9 42 = 16 52 = 25 102 = 100

33 = 27 43 = 64 53 = 125 103 = 1 000

34 = 81 44 = 256 54 = 625 104 = 10 000

De el los se puede decir que el exponente al que se tiene que elevar es:

el número 3 para obtener 81 es 4: 34= 81

el número 4 para obtener 64 es 3: 43= 64 Forma exponencial



Usando estas af irmaciones decimos, respectivamente, que el logaritmo de base:

3 del número 81 es 4 y se escribe log3 (81) = 4

4 del número 64 es 3 y se escribe log4 (64) = 3

Forma logarítmca5 del número 25 es 2 y se escribe log

5 (25) = 2

10 del número 1 es 0 y se escribe log10

(1) = 0

En general, el logaritmo base a, a > 0, de un número x, x > 0, es el exponente y, al

que tenemos que elevar la base para que obtengamos el número x, y se escribe como:

log ( )a x y yx a

Nota: Si la base es 1, todas las potencias son iguales a 1.

Observa: En tu calculadora encontrarás dos funciones que te permitirán

resolver cualquier problema de logaritmos: la función log (logaritmo base

diez) e ln (logaritmo natural o base e). Si calculas log (10) e ln ( e) en ambos

casos te dará 1.

Sus propiedades se pueden resumir en la siguiente tabla:

log logna n a

y

ln lnna n a

Ejemplo:

2log(12) 2 log(12)32

3ln(7) ln(7)

2

log( ) log logab a b

y

ln( ) ln lnab a b

Ejemplo:

log(7 ) log(7) log( )a a

ln((8)(2)) ln(8) ln(2)

log log loga

a bb

y

ln ln lna

a bb

Ejemplo:

13log log(13) log(21)

21

57ln ln(57) ln( )b

b

log( ) log( ) (log log )nab n ab n a b

y

ln( ) ln( ) (ln ln )nab n ab n a b

Ejemplo:

10log(5 ) (10)(log(5) log( ))a a76

7ln((9)(11)) (ln(9) ln(11))

6

Ejemplo 14

Cambia las siguientes expresiones de la forma exponencial a la logarítmica y viceversa.

a) 433 81, entonces log (81) 4

b) 455 625, entonces log (625) 4

c) 31010 1 000, entonces log (1 000) 3

d) 1

77 7, entonces log (7) 1

e) 12

49

1log (7) , entonces 49 7

2

f) 42log (16) 4, entonces 2 16

g) 2

14

1log (16) 2, entonces 16

4

Ejemplo 15

Uti l iza las propiedades de los logaritmos para escribir como un solo logaritmo las

siguientes expresiones.

a) log3 (41)+ log

3 (10)–log

3(2)

Primero simplif iquemos la expresión:

3 3log (10) log (2)

3 3 3 3 3

10log (41) log (10) log (2) log (41) log

2

Realizamos la división indicada:

3 3 3 3

10log (41) log log (41) log (5)

2

Ahora simplif iquemos la expresión:

3 3log (41) log (5)

3 3 3log (41) log (5) log ((41)(5))

Realizamos la mult iplicación indicada:

3 3log ((41)(5)) log (205)

Por lo tanto:

3 3 3 3log (41) log (10) log (2) log (205)

b) 9 9 9log (35) (4)(log (15) log (3))

Recuerda que pr imero debemos realizar las operaciones ent re paréntesis, por

lo que empezaremos simplif icando la expresión:

9 9(log (15) log (3))

9 9 9 9 9

15log (35) (4)(log (15) log (3)) log (35) (4) log

3


9 9 9 9

15log (35) (4) log log (35) (4)(log (5))

3Ahora simplif iquemos la expresión:

9(4)(log (5))

49 9 9 9log (35) (4)(log (5)) log (35) log (5 )

Simplif icamos la expresión anterior y obtenemos:

49 9 9 4

35log (35) log (5 ) log

5

Finalmente, como:

(35) (7)(5)

9 9 94 4 3

(7)(5)35 7log log log

5 5 5

Por lo tanto:

9 9 9 9 3

7log (35) (4)(log (15) log (3)) log

5

c) 16

log2 (49)

13

log2 (7)

Primero nos concentraremos en los factores 16

y 13

1 16 3

2 2 2 2

1 1log (49) log (7) log 49 log 7

6 3

Ahora simplif iquemos la expresión anterior:1

1 1 66 3

2 2 2 13

49log 49 log 7 log

7

Aplicando la ley de los exponentes tenemos:1 1

1 1 13 36 2 2

2 2 21 13 3

49 49 49log log log

77 7

Como 12(49) 49 7 , entonces:

11 132 3

2 2

49 7log log

7 7

Finalmente:

13

2 2

7log log (1) 0

7

Por lo tanto:

16

log2 (49)

13

log2 (7) = 0

Ahora veamos cómo se pueden aplicar las propiedades del logaritmo a problemas de

crecimiento poblacional y de inversión.

Ejemplo 16

Una bacteria se reproduce por bipartición (se divide en dos) cada segundo. Si se requieren

15 975 bacterias para preparar vacunas, ¿cuánto t iempo habrá que esperar si en este

momento sólo se cuenta con una bacteria?

Como se reproducen por bipart ición, la expresión que nos permite saber cuantas

bacterias hay cada segundo es 2n, donde n representa los segundos que han

transcurrido.

Por lo tanto:

2 15 975n

Como nos interesa conocer el valor de n, podemos uti lizar las propiedades de los

logaritmos.

Aplicamos logaritmo en base 10 en ambos lados de la ecuación y obtenemos:

log(2 ) log(15 975)n

Usando las propiedades del logaritmo:

( ) log(2) log(15 975)n

Finalmente:

log(15 975)

log(2)n

Con ayuda de la calculadora obtenemos (redondea a 4 decimales):

n4.2 034

13.9 6480.3 010

Respuesta : Habrá que esperar 14 segundos para obtener las 15 975 bacterias.

Ejemplo 17

¿Cuánto t iempo tardará en triplicarse un sueldo de $3 500 si se solicita un aumento de

2% anual?

Uti licemos el razonamiento seguido en el ejemplo 4.

Si el sueldo actual es de $3 500 y deseamos se triplique con un aumento de 2%$3 500 y deseamos se triplique con un aumento de 2% y deseamos se t riplique con un aumento de 2%

anual, tendremos:

3(3 500) 10 500

10 500 = 3 500(1 0.02)n

Entonces:

10 500=(1.02)

3 500n

O bien:

3 (1.02)n

Ahora podemos aplicar el logaritmo base 10 en ambos lados de la ecuación:

log(3) log(1.02 )n

Aplicando las propiedades del logaritmo tenemos:

log(3) ( )(log(1.02))n

Por lo tanto:

log(3)

log(1.02)n

Con ayuda de la calculadora obtenemos (redondea a cuatro decimales):

n

0.4 77155.4 767

0.0 086

R espuesta: Se tendrá que esperar aproxi madamente 55.48 años; como

el aumento ocur re cada año, habrá que esperar 56 años, para t r ipl icar

el sueldo.

Actividad 4

1. Uti liza las propiedades de los logaritmos para resolver las siguientes operaciones

(redondea tus resultados a cuatro decimales).

a) 4log(125)

b) 8

log9

2. Cambia las siguientes expresiones de la forma exponencial a la logarítmica y viceversa.

a) 53 243

b) 64 = 1 296

c) 6log (7 776) 5

d) 17

log (117 649) 6

e) 34

16log 2

9

3. Escribe como un solo logaritmo las siguientes expresiones.

a) log7 (15) + log

7 (19) – log

7 (27) =

b) 5 5 5log (45) (3)(l og (75) log (5)) =

c) 12

log (49)23

log (7) =

2.6. Identificación de los procesos donde se requie re aplicar las bases matemáticas a la solución eficiente de problemas económico-admi nistrativos

En las secciones anteriores se aplicaron las propiedades de los exponentes, raíces y logaritmos

principalmente a ejercicios de t ipo algebraico. En los siguientes ejemplos veremos la forma

en qué podemos aplicar estas mismas propiedades a problemas económico-administrat ivos

para resolverlos de manera ef iciente.

Ejemplo 18

¿Qué porcentaje de aumento anual debe solicitarse si se desea que un sueldo de $2 000 se

duplique en tres años? (Redondea a cuatro decimales.)

Tenemos:

Sueldo inicial:

C = $2 000

Tiempo:

n = 3 años

Sueldo final esperado:

F = 2(2 000)= $4 000

Deseamos determinar el porcentaje de aumento que se necesita = i.

Como vimos en los ejemplo 3 y 4 el sueldo f inal después de 3 años está dado

por:

4 000 = (2 000) (1+ i)3

Por lo tanto, tendremos:

34 000(1 )

2 000i

O bien:32 (1 )i

Si sacamos la raíz de grado 3 de ambos lados de la igualdad:33 32 (1 )i

Se t iene:

3 2 1 i

Por lo tanto, el porcentaje de aumento buscado es:

3 2 1 (1.2599) 1 0.2599i

Respuesta: Se requiere un aumento del 25.99% anual aproximadamente.

Ejemplo 19

Se ofrece un trabajo con un sueldo inicial de $12 000 y un aumento anual constante que

permit irá duplicarlo en 10 años, ¿qué porcentaje de aumento anual se está ofreciendo?

(redondea a cuatro decimales.)

Nuevamente podemos realizar un análisis como en el ejemplo anterior.

Tenemos sueldo inicial:

C = $12 000

Tiempo:

n = 10 años


F = 2 (12 000)= $24 000

Deseamos determinar el porcentaje de aumento:

= i

El sueldo final después de 10 años es dado por:

24 000 = (12 000) (1+ i)10

Por lo tanto tendremos:

1024 000(1 )

12 000i

Es decir:

102 (1 )i

Si sacamos la raíz de grado 10 de ambos lados de la igualdad:

1010 102 (1 )i

Se t iene:

10 2 1 i


10 2 1 (1.0718) 1 0.0718i

Respuesta: Se está ofreciendo un aumento de 7.18% anual aproximadamente.

Ejemplo 20

La población de cierta ciudad es de 500 000 habitantes y crece 2.1% anual, según la ley del

crecimiento natural. Se considera que los servicios públicos actuales resultarán ineficientes en

el momento en que la población llegue a 1 000 000 de habitantes, por este motivo, se planean

iniciar obras que ayuden a prevenir esta situación. Determina en cuántos años deberán estar

listas dichas obras para garantizar que los servicios públicos continúen siendo adecuados.


P = 500 000

El factor de crecimiento es:

r = 2.1% = 0.021

La población final será:

A = 1 000 000

Determinar los años (n)

La ley de crecimiento natural queda de la siguiente forma:

0.0211 000 000 (500 000)( ) ne

Entonces:

0.0211 000 000

500 000ne

Por lo tanto:0.0212 ne

Ahora podemos aplicar el logaritmo natural (base e) en ambos lados de la

ecuación:

0.021ln(2) ln( )ne

Utilizando las propiedades del logaritmo tenemos:

ln(2) (0.021)( )(ln( ))n e

Como ln( ) 1e , entonces:

ln(2) (0.021)( )n

Por lo tanto:

ln( )n

.2

0 021

Con ayuda de la calculadora obtenemos:

0.6931533

0.021n

Respuesta: Las obras deberán estar listas en aproximadamente 33 años.

Ejemplo 21

Un cultivo de bacterias crece 10% cada minuto, si en este momento se cuenta con sólo 5

bacterias y se requieren 1 000 para la fabricación de una vacuna, ¿cuánto t iempo se tendrá

que esperar?


P = 5


r = 10% = 0.10 cada minuto

La población final:

A = 1 000

Determinar los minutos (n).


0.1200 ne

Entonces:

0.11 000

5ne

Por lo tanto:0.1200 ne

Ahora podemos aplicar el logaritmo natural (base e) en ambos lados de la ecuación

y obtendremos:

0.1ln(200) ln( )ne

Por las propiedades del logaritmo natural tendremos:

ln(200) (0.1)( )(ln( ))n e

Como:

ln( ) 1e

ln(200) (0.1)( )n

Por lo tanto:

ln(200)0.1

n


n5.2 983

52.9830.1

Si en lugar de aplicar el logaritmo natural aplicamos el logaritmo base 10

obtendremos:

0.1log(200) log( )ne

Por las propiedades del logaritmo base 10 tendremos:

log(200) (0.1)( )(log( ))n e

Finalmente:

log(200)

(0.1)(log( ))n

e


2.3 01052.98

(0.1)(0.4 343)n

Observa que obtuvimos el mismo resultado que en el análisis hecho con el

logaritmo natural.

Respuesta: La población necesaria de bacterias estará lista en 53 minutos.

Ejemplo 22

Para ofrecer un servicio óptimo, una compañía planea abrir una sucursal en el momento

en que logre triplicar el número actual de clientes. Con base en los datos de los primeros

meses se determinó que la clientela está creciendo mensualmente con un factor de 1.28. Si

actualmente cuenta con 200 clientes, ¿en cuántos meses será necesaria la nueva sucursal?

Si hacemos las cuentas de manera semejante al ejemplo 2, obtendremos que el

t iempo de espera para t ripl icar el número actual de clientes está dado por:

600 (200)(1.28) n

Entonces:

600=(1.28)

200n

Por lo tanto:

3 (1.28)n


log(3) log(1.28 )n

Por las propiedades del logaritmo tendremos:

log(3) ( )(log(1.28))n

Por lo tanto:

log(3)4.45

log(1.28)n

Respuesta: La nueva sucursal se necesitará en aproximadamente cuatro meses y medio.

Ejemplo 23

Si se cuenta con un sueldo actual de $5 000, ¿cuánto tiempo tendrá que esperarse para

duplicarlo, si se acepta un aumento de 2% trimestral?

Nuevamente uti licemos el razonamiento seguido en el ejemplo 4.

Si nuestro sueldo actual es de $5 000 y deseamos que se duplique con un aumento

de 2% trimestral tendremos:

10 000 = 5 000(1 0.02)n

Entonces:

10 000=(1.02)

5 000n

Por lo tanto:

2 (1.02)n


log(2) log(1.02 )n


log(2) ( )(log(1.02))n

Por lo tanto:

log(2)

log(1.02)n


0.30 10335.003

0.0 086n

Respuesta: Se tendrá que esperar 36 trimestres.

Actividad 5

Resuelve los siguientes planteamientos (redondea tus resultados a cuatro decimales).

a) ¿Qué porcentaje de aumento anual debe sol icitarse si se desea que un sueldo de

$7 000 se duplique en cuatro años?

b) Se ofrece un trabajo con un sueldo inicial de $10 000 y un aumento anual

constante que permitirá triplicarlo en 8 años. ¿Qué porcentaje de aumento anual

se está ofreciendo?

c) Un cult ivo de bacterias crece 47% cada hora, si en este momento se cuenta con

sólo 10 bacterias y se requieren 17 000 para producir una vacuna, ¿cuántas horas

se tendrá que esperar?

d) Para poder abrir una franquicia se debe contar con un público potencial de 700

personas. En este momento se analiza la posibi l idad de establecerse en una nueva

plaza comercial. Con base en los datos de los primeros meses se determinó que

la clientela potencial es de 150 personas y que está creciendo mensualmente en

un factor de 1.38. ¿En cuántos meses se contará con el público necesario para

abrir la franquicia?

e) ¿Cuantos años se tendrá que esperar para triplicar un sueldo de $55 000, si se

acepta un aumento de 2% anual?

Autoevaluación

1. Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a:

3

5 2

6

ab

a)

5 36 2a

b

b)

35

2

36

2

a

b

c) 152

9

ab


5 60 204 a b

a) 60 209 a b

b) 3a b

c) 1

60 20 9( )a b


log3 (41) + log

3 (7) – log

3 (2)

a) 3

(41)(7)log

2

b) 3log ((41)(7)( 2))

c) 3log (41 7 2)

4. Se ofrece un trabajo con un sueldo inicial de $10 000 y un aumento anual constante que

permitirá duplicarlo en 12 años, ¿qué porcentaje de aumento anual se está ofreciendo?

a) 8.7%

b) 5.95%

c) 4.87%

5. Un cultivo de bacterias crece 20% cada minuto, si en este momento se cuenta con sólo

7 bacterias y se requieren 1 000 para producir una vacuna, ¿cuánto t iempo se tendrá

que esperar?

a) Aproximadamente 30 minutos.

b) Aproximadamente 27 minutos.

c) Aproximadamente 25 minutos.

6. Si se cuenta con un sueldo de $15 500 ¿cuantos bimestres se tendrá que esperar para

triplicarlo, con un aumento del 3.5% bimestral?

a) 30 bimestres.

b) 32 bimestres.

c) 29 bimestres.

Respuestas a las actividadesActividad 1

a) El peso inicial del cultivo de bacterias es de 70 gramos y crecen cada hora conforme

un factor de 1.18, por lo tanto, después de 24 horas el cultivo pesará:

24(70)(1.18) (70)(53.11) 3 717.6 gramos

Como el pedido solicita 1 200 gramos, sí se puede cubrir en el tiempo establecido.

Respuesta: Sí deben aceptar el pedido.

b) Si el porcentaje de aumento es de 7% trimestral y si cada año tiene 4 trimestres, al

término del primer año tendremos:

4(25 000)(1 0.07)

Por lo tanto, al término del quinto año se tendrá:

Sueldo final = 4 5(25 000)((1 0.07) ) pesos

Aplicando la ley de los exponentes:

4 5 20(25 000)((1 0.07) ) (25 000)(1.07)

H aciendo los cálculos:

20(25 000)(1.07) (25 000)(3.87) 96 750

Respuesta: A l término de los cinco años se tendrá un sueldo de aproximadamente

$96 750

c) H agamos los cálculos para cada caso.

Pr imero revisemos la cant idad que se obt iene al aceptar un aumento de

2% bimest ral .

Como un año tiene 6 bimestres, después de un año se tendrá:

6 6(1 500)(1 0.02) (1 500)(1.02)

Por lo tanto, al término del año se tendrá un sueldo de:

Sueldo final = 6 5(1 500)((1.02) ) pesos


6 5 30(1 500)((1.02) ) (1 500)(1.02)


30(1 500)(1.02) (1 500)(1.81 136) 2 717.04

Ahora revisemos la cant i dad que se obt i ene al aceptar un aumento del

3% trimestral.

Como un año tiene 4 trimestres, después de un año se tendrá:

4 4(1 500)(1 0.03) (1 500)(1.03)

Por lo tanto, al término del tercer año se tendrá un sueldo de:

Sueldo final 4 3= (1 500)((1.03) ) pesos


4 3 12(1 500)((1.03) ) (1 500)(1.03)


12(1 500)(1.03) (1 500)(1.4 258) 2 138.70

Respuesta: Conviene más aceptar un aumento del 2% bimestral durante los

cinco años.

Actividad 2

Resuelve las siguientes operaciones.

a) 4 5 4 5 16 15 313 4 3 4 12 12a a a a a

b)

33 3 3 8 52 442 2 2 2

542

1( )

aa a a a a

a a

c)

66 5 6 5 12 35 2377 2 7 2 14 14

235142

1aa a a a a

aa

d) a a a a

23 23 6 235 35 15 5

e) aa a a a

b b bb b

45

45

44 5 455 455

410 8 21010 5

( )

( )

f )

624 6 64 24 122 2

2 4 63 2 23 6 24 6 2 3

1 1a b a b a b a b

a b a b

Actividad 3

Uti liza las propiedades de los exponentes y las raíces para simplif icar las siguientes expresiones.

a) 3 27 3 porque 33 = (3) (3) (3) = 27

b) 3 11 3 13

39 9 39 9 3( 8) 8 8 8 8 8 2

c) 4 11 4 14

48 88 8 212

1 1 1( 25) 25 25 25 25

52525

d) 2

2 233(64) ( 64) (4) 16

e) 13 4 13 44 1 1

13 5 4 3 8 8 2 24 4 44 445 35 34

( ) ( )a b a b

a b a b a b a b a ba ba b

Actividad 4

1. Resuelve las siguientes operaciones.

a) 4log(125) 4 log(125) (4)(2.0 969) 8.3 876

b) 8

log log(8) log(9) 0.05129

2. Cambia las siguientes expresiones de la forma exponencial a la logarítmica y viceversa.

a) 533 243 entonces log (243) 5

b) 466 1 296 entonces log (1 296) 4

c) 56log (7 776) 5 entonces 6 7 776

d) 6

17

1log (117 649) 6 entonces 117 649

7

e) 2

34

16 3 16log 2 entonces

9 4 9

3. Escribe como un solo logaritmo las siguientes expresiones:

a) log7 (15) + log

7 (19) – log

7 (5) =

Primero simplif icamos la expresión:

log7 (19) – log7 (5)

7 7

19log7 (15) + log7 (19) – log7 (5) = log (15) log

5

Ahora simplif icamos los términos restantes:

7 7 7

19 19log (15) log log (15)

5 5

Como (15) es divisible entre (5) tenemos:

7 7

19log (15) log ((3)(19))

5

H acemos la mult iplicación indicada:

7 7l og ((3)(19)) log (57)

Finalmente:

log7 (15) + log7 (19) – log7 (27) = log7 (57)

b) log5 (45) – ( 3 ) (log

5 (75) – log

5 (5)) =

Primero simplif icamos la expresión encerrada entre paréntesis:

5 5

75log5 (45) – ( 3 ) (log5 (75) – log5 (5)) = log (45) (3) log

5


5 5 5 5

75log (45) (3) log log (45) (3) log (15)

5

Aplicamos la propiedad de la potencia de los logaritmos:

35 5 5 5log (45) (3) log (15) log (45) log (15 )

Simplif icamos los términos restantes:

35 5 5 53

45 1log (45) log (15 ) log log

15 75

Finalmente:

log5 (45) – ( 3 ) (log

5 (75) – log

5 (5)) = 5

1log

75

c) 12

log (49) – 23

log (7) =

Primero aplicamos la ley de la potencia de los logaritmos:

1 22 3

1 2log (49) – log (7) = log 49 log 7

2 3

Simplif icamos los términos restantes:

1 22 3

23

7log 49 log 7 log

7

Simplif icamos la división indicada:

2 11

3 323

7log log 7 log 7

7

Finalmente:

13

1 2log (49) – log (7) = log 7

2 3

Actividad 5

a) Tenemos un sueldo inicial

C = $7 000

Tiempo:

n = 4 años


F = $14 000

Deseamos determinar el porcentaje de aumento = i

Como el sueldo f inal después de 3 años es dado por:414 000 (7 000)(1 )i

Entonces tendremos:

414 000(1 )

7 000i

O bien:

42 (1 )i

Si sacamos la raíz de grado 4 de ambos lados de la igualdad:

44 42 (1 )i


4 2 1 i


4 2 1i


i (1.18 921) 1 0.1 892

Respuesta: Se requiere de una aumento de 18.92% anual aproximadamente.

b) Tenemos

Sueldo inicial es:

C = $10 000

Tiempo:

n = 8 años


F = $30 000

Deseamos determinar el porcentaje de aumento = i

Como el sueldo f inal después de 8 años es dado por:830 000 (10 000)(1 )i

Por lo tanto, tendremos:

830 000(1 )

1 000i

O bien:83 (1 )i

Si sacamos la raíz de grado 8 de ambos lados de la igualdad:88 83 (1 )i


8 3 1 i


8 3 1i


(1.1 472) 1 0.1 472i

Respuesta: Se requiere un aumento de 14.72% anual aproximadamente.

c) La población inicial es:

P = 10


r = 47% cada hora

La población final:

A = 17 000

Determinar las horas (n).


0.4717 000 (10)( ) ne

Entonces:

0.4717 000

10ne

Por lo tanto:

0.471 700 ne

Ahora podemos aplicar el logaritmo natural en ambos lados de la ecuación:

0.47ln(1 700) ln( )ne

Por las propiedades del logaritmo natural tendremos:

ln(1 700) (0.47)( )(ln( ))n e

Como:

ln( ) 1e

ln(1 700) (0.47)( )n

Por lo tanto:

ln(1 700)15.83

0.47n


n7.4 384

15.830.47

Respuesta: La población necesaria de bacterias estará lista en 16 horas.

d) El t iempo que se tendrá que esperar para alcanzar el número de clientes requerido

está dado por:

(150)(1.38) 700n

Entonces:700

(1.38)150

n

O bien:

n(1.38) 4.6667

Ahora podemos aplicar el logaritmo base 10 en ambos lados de la ecuación y

obtendremos:

log(4.6 667) log(1.38 )n


log(4.6 667) ( )(log(1.38))n

Por lo tanto:

log(4.6 667)

log(1.38)n


0.6694.78

0.1 399n

Respuesta: Se contará con el público necesario dentro de 5 meses.

e) El sueldo actual es de $55 000 y deseamos que se triplique con un aumento de

2% anual.

165 000 = 55 000(1 0.02)n

Entonces:

165 000=(1.02)

55 000n

Por lo tanto:

3 (1.02)n


log(3) log(1.02 )n


log(3) ( )(log(1.02))n

Por lo tanto:

log(3)

log(1.02)n


0.47 71255.48

0.0 086n

Respuesta: Se tendrán que esperar 56 años para triplicar el valor del sueldo inicial.

Respuestas a la autoevaluación

1. c)

2. b)

3. a)

4. b)

5. c)

6. b)

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