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Unidad 2Modelos de optimización

Objetivos

Al nalizar la unidad, el alumno: • Construirá modelos matemáticos de optimización. • Resolverá problemas prácticos con el método gráfico.

Matemáticas para negocios 45

2. Modelos de optimización

La investigación de operaciones utiliza una metodología sencilla para acercarse a la solución de problemas que requieren de optimización. Tal metodología puede expresarse como sigue:

• Identicación del problema que requiere de la investigación de operaciones y recopilación de información.

• Planteamiento del modelo matemático. • Solución del problema matemático y ajustes al mismo. • Implementación de la mejor solución.

Los puntos de la metodología pueden desarrollarse, también, respondiendo a algunas de las siguientes preguntas: ¿la situación o problemática es un problema operacional?, es decir, si se puede resolver con la investigación de operaciones; ¿qué valores deben determinarse?, por ejemplo nivel de producción, número de horas-hombre por contratar, etc., ¿qué información se necesita para saber cómo se relacionan los valores por determinar?, es decir, la obtención del modelo matemático y ¿cómo puede resolverse el modelo obtenido para encontrar la mejor solución? Las respuestas a estas preguntas pueden orientar hacia el seguimiento de la metodología de la investigación de operaciones, y en este capítulo estudiaremos principalmente la obtención de modelos matemáticos de problemas operacionales.

Uno de los modelos más utilizado en la investigación de operaciones es el Modelo de Programación Lineal (PL), el cual tiene la característica de que todas las expresiones que lo componen son lineales. El modelo de programación lineal cuenta con una función objetivo, la cual se pretende optimizar, y una serie de expresiones matemáticas que representan las restricciones que deben satisfacerse para que la solución obtenida sea óptima y factible. Es decir, que la solución del modelo matemático sea la mejor posible y que pueda

46 Unidad 2 Modelos de optimización

implementarse en la realidad. El siguiente es un ejemplo de un modelo de programación lineal:

0 15 12Max Z x x= + (A)

s. a

0 12 125x x+ ≤ (1)

0 13 65x x+ ≤ (2)

CNN 0 1, 0x x ≥ (3)

La ecuación (A) es la función objetivo a maximizar en este caso, y las ecuaciones (1), (2) y (3) representan el conjunto de restricciones a satisfacer, cabe mencionar que la ecuación (3) se conoce como Condición de No Negatividad (CNN) y que el modelo se lee como “la función objetivo Z sujeta a (s. a) el conjunto de restricciones dado”.

2.1. Planteamiento del modelo

Un modelo es la representación abstracta de un proceso en particular o de la realidad en general. Dependiendo de la complejidad y del n de lo que se desea representar, se han desarrollado diferentes modelos como son los diagramas de ujo, que indican el orden y secuencia de una serie de actividades; los organigramas, que indican la jerarquía e interrelaciones de una organización; o los modelos matemáticos, que son representaciones de problemas o casos prácticos con números y signos matemáticos. Ejemplo de estos últimos son las ecuaciones que representan la oferta y la demanda y la expresión matemática de las utilidades o de los costos de producción de una empresa.

Para comenzar el modelado se utilizan modelos sencillos, y a partir de éstos se construyen otros más complejos y con más información; concluyendo el modelado hasta que el responsable del mismo considere que con éste se representa de manera satisfactoria el problema de estudio; es decir, que se tiene un modelo con validez.

A continuación se presenta la forma en la que se construyen los modelos matemáticos en la investigación de operaciones.


2.1.1. Datos y variables de decisión

La identicación de un problema, proceso o situación que puede optimizarse con la investigación de operaciones se basa en reconocer si el problema de estudio cuenta con variables controlables, que llamaremos variables de decisión. Una variable controlable o de decisión es aquella que se puede medir y modicar en su valor deliberadamente.

Para invertir cierto capital C en tres instrumentos financieros T1, T

2 y T

3. Se

requiere determinar la cantidad a invertir en cada uno de los instrumentos de modo que el rendimiento sea el mayor posible.

Los rendimientos que ofrecen los instrumentos T1, T

2 y T

3 son valores que no

pueden ser determinados por el inversionista, pero la cantidad de dinero a invertir en cada uno de ellos (que podemos denotar como c

1, c

2 y c

3 respectivamente)

si es una decisión de la persona que invierte, por lo tanto, c1, c

2 y c

3 son las

variables de decisión.

Las variables de decisión se identican con literales o etiquetas que faciliten su manejo en los modelos matemáticos; así, en el ejemplo anterior c

1 representa la

variable de decisión “cantidad proveniente del capital C a invertir en el instrumento T

1”, donde se observa que el uso de la etiqueta c

1 es más fácil de manejar en una

ecuación, que todo el signicado de la variable.Las variables de decisión de un problema pueden obtenerse respondiendo algunas de las preguntas:

• ¿Qué valores debo determinar para resolver el problema? • ¿Qué valores puedo controlar para modicar los resultados del proceso? • ¿Qué se desea cuanticar? • ¿De cuáles variables se desea calcular su valor?Analicemos el siguiente planteamiento para poder denir la variables de decisión del problema.

Denición 2.1.

Ejemplo 1


Una empresa comercializa dos tipos de viaje en globo aerostático, uno llamado de lujo y el segundo llamado económico a un precio de $3,000.00 y $2,000.00 respectivamente. Saben que en un día sólo pueden vender a lo más 6 viajes de cualquier tipo, debido a que tienen prohibido volar de noche por razones de seguridad. Cada viaje de lujo requiere de tres cilindros de gas y cada viaje económico sólo dos cilindros, la empresa cuenta con 12 cilindros de gas en total. Con esta información se desea conocer la combinación óptima de viajes necesaria para maximizar los ingresos de la empresa.

De manera similar al primer ejemplo de la sección, las variables de decisión pueden obtenerse respondiendo a la pregunta ¿qué se desea cuanticar?, y la respuesta está en el planteamiento mismo como “...la combinación óptima de viajes

necesaria para maximizar los ingresos...”, entonces se denen como variables de decisión aquellas que indiquen la cantidad de viajes de cada tipo:

:x = Cantidad de viajes de lujo que se requiere vender.

:y = Cantidad de viajes económicos que se requiere vender.

A partir de este punto, las expresiones de “la función objetivo” y “las restricciones” del problema en un modelo de P. L. deben escribirse en función de las variables de decisión denidas.

2.1.2. Función objetivo y las restricciones

Toda vez que se han denido las variables de decisión, es momento de indicar la forma en que estas variables y los datos se interrelacionan, obteniendo de esto la función objetivo y las restricciones del problema.

Identicación de la función objetivoLa función objetivo es una expresión matemática que representa una cantidad, la cual tratamos de optimizar (maximizar o minimizar) como pueden ser los ingresos, las utilidades o los costos en una empresa.

Ejemplo 2


Como la investigación de operaciones es una herramienta que permite tomar decisiones de tipo operativo, estas decisiones son tomadas con la premisa de maximizar las utilidades o minimizar los costos de la organización, los cuales dependen de los siguientes factores:

• Costos de producción. • Precio de venta. • Volumen de venta.Por lo tanto, toda función objetivo deberá estar conformada por este tipo de componentes. De no ser así, se sugiere validar la función objetivo con las variables y datos del problema.

La función objetivo se obtiene, primero, identicando si se trata de maximizar ingresos o minimizar costos y, segundo, escribiendo la forma en la que los ingresos o costos se cuantican.Para el ejemplo 2 de los viajes en globo (del cual tenemos identificadas las variables de decisión) se trata de maximizar los ingresos de la empresa, ya que se indica “combinación óptima de viajes necesaria para maximizar los ingresos”; la forma en la que se cuantican los ingresos es multiplicando el ingreso que cada tipo de viaje genera por el número de viajes que se pueden comercializar. Esto es:



3000 2000Max Z x y= + ()

Identicación de las restriccionesLas restricciones son una serie de expresiones matemáticas que indican las relaciones entre las variables de decisión y las limitantes de la organización. Tales expresiones son desigualdades o igualdades lineales. Las limitantes de toda


organización pueden clasicarse de manera general en limitantes físicas, políticas de la organización y limitantes externas a la empresa. Ejemplos de limitantes son: disponibilidad de recursos humanos, materiales, tecnológicos, y políticas como las regulaciones ociales, y externos como la demanda de los clientes. El siguiente esquema indica algunas limitantes de toda organización:

Las restricciones son las limitantes o condiciones que las variables de decisión deben satisfacer para constituir una solución del modelo de programación lineal.

Para el ejemplo 2 de los viajes en globo, tenemos las variables de decisión y la función objetivo, ecuación (), y como se ha indicado es necesario expresar las restricciones en términos de las variables de decisión:



3000 2000Max Z x y= + ()

Para plantear las limitantes o condiciones que las variables deben cumplir se debe extraer información del planteamiento, primero identicado las limitantes o recursos del mismo, en este caso se sabe que “en un día sólo se pueden vender a lo más

6 viajes de cualquier tipo” y “la empresa cuenta con 12 cilindros de gas en total”, lo cual indica claramente las limitantes de la política de ventas y la disponibilidad de los recursos materiales, y segundo, identificando la forma en la que se relacionan las variables de decisión con las limitantes.


Entonces, el número total de viajes que se puede vender debe ser menor o igual a 6 viajes:

6x y+ ≤ (1) Cantidad de viajes vendidos en un día.

Y la cantidad de cilindros de gas que se utilizan en cada tipo de viaje (tres en los viajes de lujo y dos en los económicos) debe ser menor a 12 cilindros que son con los que cuenta la compañía:

3 2 12x y+ ≤ (2) Cantidad de cilindros disponibles para los viajes.

Además de todas la restricciones del modelo, en todo modelo de programación lineal se debe incluir la condición de no negatividad que indica que todas las variables del modelo deben ser iguales o mayores a cero:

, 0x y ≥ (3) Condición de no negatividad (CNN).

Cabe mencionar que esta última restricción no se utiliza como una ecuación en sí pero debe cumplirse, ya que no puede considerarse una solución factible si una de las variables de decisión toma un valor negativo; por ejemplo, no se puede “vender” una cantidad negativa de viajes en globo.

Una vez que se han establecido todas las restricciones del modelo, se escriben juntas la función objetivo y las restricciones para formar el modelo de programación lineal:

3000 2000Max Z x y= + ()

sujeto a




Donde la ecuación () es la función objetivo y las ecuaciones (1) a (3) son las restricciones del modelo de programación lineal.

Se observa que aunque la construcción de modelos obedece a un planteamiento lógico de la información presentada, también es importante dejar claro que no existe una metodología especíca y puntual para construir modelos, lo cual es considerado por algunos autores como un arte, y que la misma construcción y complejidad del modelo dependen totalmente del problema a resolver. Asimismo,


debe considerarse que los modelos matemáticos pueden tener n variables y m restricciones, y que dependiendo del número de variables con que cuenta el modelo se selecciona el método de solución adecuado.

2.2. Solución gráca

La solución de un modelo de programación lineal es el siguiente paso después de obtener el modelo matemático de un problema. Para seleccionar el método de solución se requiere considerar la cantidad de variables de decisión del modelo matemático; cuando se tienen dos variables de decisión puede obtenerse la solución de manera gráca; sin embargo, cuando se tienen más de dos variables a gracar se torna complejo y por esta razón se han desarrollado otros métodos que se estudiarán más adelante.

El método gráco para encontrar la solución de modelos de programación lineal es el siguiente:

• Se requiere un modelo PL. • Se gracan las restricciones como desigualdades y se indican cada una de

ellas. • Se halla la región factible (región de posibles soluciones) y se señala en la

gráca. • Se graca la función objetivo. • Se desplaza la función objetivo hasta encontrar la solución óptima.Aunque son pocos los ejemplos reales de dos dimensiones, éstos sirven como antecedente para comprender mejor el método analítico de solución que se estudiará más adelante, el cual se utiliza para resolver problemas de PL de n variables.

Por otra parte realizaremos un análisis de sensibilidad, el cual consiste en estudiar el comportamiento de la solución óptima de un modelo cuando los coecientes de la función objetivo o las cantidades limitantes de las restricciones se modican. Se debe tener presente que existen problemas cuya solución no existe o bien no es única, lo cual se presenta continuamente en la realidad.


2.2.1. Gráca de rectas y desigualdades

Para utilizar el método gráco se requiere gracar rectas y desigualdades asociadas a la función objetivo y a cada restricción respectivamente, y debido a esta razón revisaremos los siguientes apartados.

Una línea recta es un objeto geométrico que ha sido denido por diversos autores con características bien denidas, las cuales utilizaremos para dibujarlas.La ecuación general de una línea recta es de la forma Ax + By + C = 0, donde A, B y C son números reales. Ésta es una ecuación de primer orden con dos incógnitas que tiene un grado de libertad, esto quiere decir que podemos dar un valor arbitrario a cualquiera de las incógnitas y después despejar el valor de la otra variable, el cual queda determinado por el primer valor arbitrario que utilizamos. Otra forma de expresar la ecuación de una recta es la forma ordinaria y mx b= + ; donde m representa la pendiente de la recta y b la ordenada al origen.

La pendiente m de una recta responde a la expresión 0

0

y ym

x x

−= − , y todos los puntos

(x,y) que cumplan esta relación pertenecen a la misma recta. Por otro lado, la ordenada al origen b indica la ordenada del punto de intersección de la línea recta con el eje y.

Gráca de rectasPara gracar líneas rectas consideraremos que sólo necesitamos obtener dos puntos de una misma recta; para obtener dichos puntos podemos utilizar dos caminos:

1. Partiendo de la ecuación general Ax + By + C = 0 se da un valor arbitrario a una de las dos variables y se despeja o resuelve la ecuación para la otra variable. Como se indica, puede sustituirse cualquier valor; sin embargo, se recomienda sustituir el valor de cero para las dos variables (no al mismo tiempo), ya que esto facilita los cálculos y la construcción de una gráca más precisa y con esto se determinan los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados.


Obtener la gráca de la ecuación 2 6 6 0x y+ − = .

Comenzamos por sustituir arbitrariamente el valor de 0x = en la ecuación general de la recta dada y resolver la expresión para y , con lo que se tiene:

( )2 0 6 0y+ − = 0 6 0y+ − = 6y =Esto nos indica un primer punto por donde pasará nuestra recta, el punto es ( )1 0,6P = .

Ahora sustituimos el valor de 0y = en la ecuación general de la recta dada y se resuelve la expresión para x , con lo que se tiene:

( )2 0 6 0x + − = 2 6 0x − = 2 6x =

62

x = 3x =Esto nos indica un segundo punto por donde pasará nuestra recta, el punto es

2 (3,0)P = . Los dos puntos recién obtenidos se gracan sobre ejes coordenados y se unen mediante una línea recta, la cual representa la recta de la ecuación dada. La línea recta que une los dos puntos puede prolongarse tanto como se requiera en cualquier sentido.

Figura2.1. Grácadeunalínearectaapartirdelaunióndedospuntosconocidos.

Ejemplo 3


2. Partiendo de la ecuación ordinaria y = mx + b , se da un valor arbitrario a una de las dos variables y se despeja o resuelve la ecuación para la otra variable. Como en la primera forma, en realidad se está realizando la misma operación; sin embargo, el lector puede hacer uso de la que más fácil represente su manejo.

Obtener la gráca de la ecuación 1y x= − + .

Comenzamos por sustituir arbitrariamente el valor de 0x = en la ecuación ordinaria de la recta dada y se resuelve la expresión para y , con lo que se tiene:

( )0 1y = − + 0 1y = + 1y =Esto nos indica un primer punto por donde pasará la recta, el punto es ( )1 0,1P = .

Ahora sustituimos el valor de 0y = en la ecuación ordinaria de la recta dada y se resuelve la expresión para x , con lo que se tiene:

0 1x= − + 1x =Esto nos indica un segundo punto por donde pasará la recta, el punto es ( )2 1,0P = . Los dos puntos recién obtenidos se gracan sobre ejes coordenados y se unen mediante una línea recta.


Ejemplo 4


La línea recta que une los dos puntos puede prolongarse tanto como se requiera en cualquier sentido, como ya se ha mencionado; sin embargo, para el estudio de la solución gráca de modelos de PL, la condición de no negatividad (CNN) limita la búsqueda de la solución al primer cuadrante del plano cartesiano, por lo que las grácas obtenidas sólo se muestran en el primer cuadrante. Ahora es el turno de presentar la forma en que se gracan las desigualdades.Gráca de desigualdadesToda desigualdad de dos variables tiene asociada una línea recta, la cual se obtiene gracando la restricción o desigualdad como una igualdad.

Considera la desigualdad 3 2 6x y+ ≤ , y la línea recta asociada a ésta 3 2 6x y+ = .

Se sabe que una desigualdad lineal de una variable, así como una desigualdad lineal de dos variables, tiene por solución una región del plano cartesiano, por lo que para obtener dicha región se emplea el siguiente procedimiento:

1. Gracar la igualdad asociada a la restricción. La línea recta obtenida divide el plano cartesiano en dos regiones.

2. Para seleccionar la región que satisface la desigualdad, se toma un punto cualquiera del plano cartesiano. Este punto se sustituye en la desigualdad.

3. Si la desigualdad se cumple, entonces la región donde tomamos el punto es la región solución. Si no satisface la desigualdad, entonces la región solución es la opuesta a donde tomamos el punto.

Ejemplo 5


Con la desigualdad 3 2 6x y+ ≤ sabemos que la línea recta asociada a la igualdad es 3x + 2y = 6, de la cual obtenemos los puntos P

1 = (0,3) y P

2 = (2,0), con la

metodología mencionada en la sección de gráca de rectas, gracando estos dos puntos sobre los ejes coordenados y uniendo los puntos con una línea recta como se muestra en la Figura 2.3.


Para seleccionar la región que satisface la desigualdad, se toma el punto ( )3,4 y se sustituye en la desigualdad 3 2 6x y+ ≤ , lo cual queda como:

+ ≤3(3) 2(4) 6 + ≤9 8 6 ≤17 6

Como no se cumple la desigualdad, quiere decir que el punto escogido para la prueba no pertenece a la región solución de la desigualdad y, por lo tanto, debe tomarse la región opuesta a donde pertenece el punto probado. Lo anterior se esquematiza en la Figura 2.4.

Figura2.4. Grácadeunadesigualdadyelpuntodeprueba(3,4).Lapartesombreadaindicalaregión

solucióndeladesigualdadincluidalalínearecta.

Ejemplo 6


Es importante hacer notar la diferencia entre las desigualdades de la forma < y ≤ o > y ≥ , por ejemplo, si se tiene la desigualdad 5 3 0x y+ > la línea recta asociada a la igualdad no es parte del conjunto solución de esta desigualdad. En general se indica con los signos ≤ y ≥ para incluir la línea recta en la región solución y con < o > para no incluirla.

Es común encontrar restricciones o desigualdades del tipo L1: 4x ≤ o L2: 2y ≥ , por ejemplo, las cuales se representan también con líneas rectas horizontales y verticales respectivamente como se observa en la Figura 2.5.

Figura.2.5. GrácadedesigualdadesdeltipoL1: ≤ 4x oL2: ≥ 2y .Lasechasindicanlaregiónsolución

decadadesigualdad.

2.2.2. Región factible

La región factible o región de soluciones factibles es una región del plano cartesiano donde se satisfacen todas las restricciones de un modelo de programación lineal y, por tanto, en ella se encuentran las probables soluciones del modelo. Existen diferentes tipos de región factible e incluso problemas que no tienen región factible debido a las condiciones que las restricciones imponen.

En un solo sistema coordenado se graca el conjunto de restricciones (rectas llamadas fronteras y regiones) cuya intersección será la región factible; es importante señalar la región factible de cada modelo, por ejemplo, sombreando la región, con una letra “R” o con el símbolo Ω, como algunos autores lo aconsejan.


Encuentra la región factible asociada al modelo de programación lineal:

2 1Min Z x x= + ()

Sujeto a

1 5x ≤ (1)

2 3x ≤ (2)

1 2

33

5x x+ ≤ (3)

CNN 1 2, 0x x ≥Las restricciones (1) y (2) son vertical y horizontal respectivamente, para la restricción (3) se obtienen dos puntos y se gracan las tres desigualdades en un mismo plano cartesiano. Sin embargo, para este ejemplo se gracan por separado para al nal juntar las tres grácas.La gráca de 1 5x ≤ es:

La región solución está hacia la izquierda de la restricción 1, ya que se requiere que los valores de 1x sean menores o iguales a cinco, se incluye la recta en la región solución debido a la igualdad.

La gráca de 2 3x ≤ está dada por:

La región solución está hacia abajo de la recta representada por la restricción 2, ya que se requiere que los valores de 2x sean menores o iguales a tres, se incluye la recta en la región solución debido a la igualdad.

Ejemplo 7


Para la restricción 3, primero se obtienen dos puntos, como se presentó en la sección de gráca de rectas con la ecuación 1 2

33

5x x+ ≤ :

Si 1 0x = , entonces ( ) 2

30 3

5x+ =

20 3x+ = 2 3x =El primer punto es ( )1 0,3P = .

Si 2 0x = , entonces ( )1

30 3

5x + =

1

30 3

5x + =

1

53

3x

= 1 5x =El primer punto es ( )2 5,0P = .

Los puntos ( )1 0,3P = y ( )2 5,0P = se gracan en un plano cartesiano y se unen con una línea recta, como se muestra a continuación:

La última acción para encontrar la región factible del modelo es empalmar las tres grácas en una sola y señalar la región factible como la región donde se cumplen todas las restricciones, es decir, la región donde se traslapan todas las regiones solución de cada restricción.


Observamos que la región donde se cumplen todas las restricciones en este ejemplo es el polígono que se forma en la parte inferior izquierda de la gráca, por lo tanto, la gráca de la región factible del modelo de programación lineal es la siguiente:

La región factible del modelo de programación lineal es el polígono sombreado de la gráca anterior. Cabe mencionar que, como en toda gráca, es necesario indicar qué variable está en cada uno de los ejes de las abscisas y las ordenadas, además de escribir la escala de la gráca, ya que en algún momento se realizan lecturas de estos valores; por último, se observa que todas las restricciones están etiquetadas para su fácil identicación y manejo en la gráca de la región factible.

El ejemplo anterior se desarrolló gracando por separado cada una de las restricciones; sin embargo, como ya se ha mencionado, este proceso se puede llevar a cabo en una sola gráca desde el principio.A continuación se presentan los diferentes tipos de regiones factibles, así como los casos especiales cuando no existe solución a un modelo de PL.

Región factible acotada

La región factible es acotada si la región que se obtiene se encuentra dentro de un polígono irregular que contiene todos los puntos solución del modelo, las líneas

del polígono también pertenecen a la región factible, ya que estamos trabajando con desigualdades donde la igualdad se incluye. Cabe mencionar que en este tipo de región factible es posible generar polígonos tanto regulares como irregulares.


La región factible que a continuación se presenta es acotada.

Figura2.6. Regiónfactibleacotada.

En la Figura 2.6. se observa cómo se forma un polígono irregular correspondiente a la región factible de este ejemplo.

Región factible no acotada

La región factible es no acotada, cuando puede extenderse indenidamente hacia algún extremo del plano cartesiano.

La región factible que a continuación se presenta es no acotada.

Figura2.7. Regiónfactiblenoacotada.

Como en los ejemplos anteriores, las echas en la Figura 2.7. indican la región solución de cada desigualdad. En la misma gura se observa que no se forma un polígono para la región o zona factible, a diferencia de esto la región factible se extiende indenidamente hacia la extrema derecha del plano cartesiano.

Ejemplo 8

Ejemplo 9


Región no factible

Otro resultado importante en el método gráco se reere a las regiones no

factibles, esto quiere decir que existen modelos PL que no tienen solución debido a las condiciones y limitantes a las que están sujetos, es decir, el problema no puede ser resuelto y, por lo tanto, no se puede obtener una región factible asociada al modelo. Cuando un modelo tiene región no factible, quiere decir que no existe una región factible para el modelo en estudio.

La siguiente es una región no factible. Es decir, no existe una región factible donde se pueda buscar una solución potencial al modelo matemático al cual pertenece la gráca.

Figura2.8. Regiónno factible.

De la Figura 2.8. se puede concluir que no existe una región donde se cumplan todas las restricciones gracadas, lo más que encontramos son zonas donde se satisfacen dos restricciones a la vez, sin embargo, para tener una región factible, es estrictamente necesario generar una zona donde se satisfagan todas las restricciones del modelo; por lo tanto, esta región es una región no factible.

La importancia de la región no factible radica en que este resultado nos lleva a concluir que el modelo no tiene solución tal como está planteado; sin embargo, al modicar el modelo o hacer más exible alguna de las restricciones, quizás el modelo pueda tener solución. Más adelante se presenta un estudio que permite identicar estos aspectos.

Ejemplo 10


2.2.3. Punto óptimo

Una vez que se ha obtenido la región factible –si ésta existe– de un problema, es momento de localizar el punto óptimo en la gráca generada y para tal efecto es necesario gracar la recta asociada a la función objetivo del modelo PL. Para gracar la función objetivo simplemente se toma un par ordenado que pertenezca a la región factible y se sustituye en la función Z, después se obtienen los puntos restantes de la recta por sustitución.

Cuando se tiene la gráca de la función objetivo, la línea recta que se obtuvo se desplaza de manera paralela a la recta original hasta alcanzar el último punto de la región factible sin salirse de la misma, considerando lo siguiente:

i) Para maximizar se desplaza hacia la derecha y arriba de la región factible. ii) Para minimizar se desplaza hacia la izquierda y debajo de la región factible.

Es importante recordar que los desplazamientos siempre se realizan de forma paralela a la gráca de la recta de la función objetivo.Una forma de realizar los desplazamientos abarca los siguientes pasos:

1. Alinear una escuadra sobre la función objetivo. 2. Apoyar el otro lado recto de la escuadra sobre una regla o escuadra. 3. Desplazar la primera escuadra hacia la izquierda o derecha, según

corresponda, de la región factible hasta el último punto de la misma.

El punto localizado por este método se le conoce como punto óptimo del modelo y representa los valores de la variables de decisión del problema, lo cual quiere decir que con este punto podemos interpretar la solución de un modelo.

Del ejemplo 8 recuperamos la región factible generada para gracar la función objetivo del modelo PL sobre la región factible.


Resolver el modelo:

2 1Min Z x x= + ()

Sujeto a

1 5x ≤ (1)

2 3x ≤ (2)

1 2

33

5x x+ ≤ (3)

CNN 1 2, 0x x ≥Donde la región factible se muestra en la Figura 2.9.

Figura2.9. Regiónfactibleacotada.

Para gracar la función objetivo se toma el punto (0,1), por ejemplo, ya que está dentro de la región factible, y se sustituye en 2 1Z x x= + :

( )0,1 0 1Z = + ( )0,1 1Z =Y con este resultado se buscan todos los puntos de la recta 2 1 1x x+ = para gracarla sobre la región factible. (Figura 2.10.)

Figura2.10. Grácadelafunciónobjetivosobrelaregiónfactibleacotada.

Como el objetivo de este ejemplo es minimizar, tendremos que desplazar la función objetivo de manera paralela hacia la izquierda de la región factible

Ejemplo 11


hasta alcanzar el último punto de la misma con la función, como se muestra en la Figura 2.11.

Figura2.11. Desplazamientodelafunciónobjetivosobrelaregiónfactibleconescuadras.

El último punto que se toca de la región factible con este desplazamiento es (0,0). Entonces, el punto óptimo del modelo es (0,0), lo cual quiere decir que el valor de las variables de decisión son 1 0x = y 2 0x = ; con un valor mínimo de 0.Z = El resultado de este modelo es de tipo didáctico; sin embargo, se resolverán modelos con resultados diferentes.

Una forma analítica de encontrar el punto óptimo de un modelo PL de dos variables proviene de aplicar un teorema (el cual no se demuestra en este texto) que asegura que la solución óptima de un problema (al maximizar o minimizar la función objetivo) se encuentra en uno de los vértices de la región factible.

Con base en lo anterior, lo que debe hacerse es identicar los puntos de todos los vértices de la región factible y evaluarlos en la función objetivo. Si el propósito es maximizar, se selecciona el punto con resultado máximo en la función objetivo; en caso de minimizar se escoge el punto cuyo valor en la función objetivo sea mínimo. Este método es más preciso por ser analítico, sin embargo, es indispensable obtener la región factible y después estudiar el comportamiento de los vértices en la función objetivo en lugar de los desplazamientos. De cualquier forma es indispensable señalar el punto óptimo en la región factible, como se muestra en la Figura 2.12.

Figura2.12. LafunciónobjetivodesplazadasobreelpuntoóptimodeunmodeloPL.


Existen algunos casos especiales en cuanto a las posibles soluciones de modelos de programación lineal, por ejemplo, cuando la función objetivo es paralela a una de las fronteras de la región factible se tiene una innidad de soluciones, ya que toda la frontera contiene soluciones al modelo PL.

Para concluir con la solución gráca de modelos de programación lineal se deben interpretar los resultados obtenidos para la implantación de la solución. Para mostrar todo el proceso relacionado con el método gráco, retomaremos el ejemplo 2 y su desarrollo completo.

Una empresa comercializa dos tipos de viaje en globo aerostático, uno llamado de lujo y el segundo llamado económico a un precio de $3,000.00 y $2,000.00 respectivamente. Saben que en un día sólo pueden vender a lo más 6 viajes de cualquier tipo, debido a que tienen prohibido volar de noche por razones de seguridad. Cada viaje de lujo requiere de tres cilindros de gas y cada viaje económico sólo dos cilindros; la empresa cuenta con 12 cilindros de gas en total. Con esta información se desea conocer la combinación óptima de viajes necesaria para maximizar los ingresos de la empresa.

Se denen las variables de decisión:



Se establece el modelo PL:

3000 2000Max Z x y= + ()

Sujeto a




Ejemplo 12


La región factible asociada a este modelo con la función objetivo desplazada hacia la derecha de la región se ve como:

En este caso la función objetivo es paralela a una de las fronteras que contiene un punto óptimo, es decir, se tienen infinidad de soluciones; sin embargo, debe notarse que el problema de la comercialización de globos obedece a que las variables de solución tengan un valor entero, ya que no se puede vender una fracción de viaje, por lo tanto se pueden identicar tres puntos solución para este problema que son (0,6), (2,3) y (4,0); es decir, se requiere vender sólo seis viajes económicos, o dos viajes de lujo y tres económicos, o sólo cuatro viajes de lujo para tener un ingreso máximo de $12,000.00Z = para los tres casos; por lo que la implantación de la solución puede ser cualquiera de las tres presentadas.

2.2.4. Análisis gráco de sensibilidad

Debido a que los sistemas con los que se trabaja son dinámicos y no estáticos, es necesario realizar un análisis de sensibilidad para conocer cómo se afecta la solución a un modelo cuando se modican los coecientes de la función objetivo o las cantidades limitantes del modelo.

Cambio en los coecientes de la función objetivoLos coecientes de la función objetivo representan la utilidad o costo unitario de cada uno de los bienes o servicios, y por esta razón un cambio en alguno de estos datos representará una modicación a la función objetivo, para lo cual se considera que la solución se mantendrá en el mismo vértice mientras la pendiente m de la recta asociada a la función objetivo sea tal que

i jR Rm m m≤ ≤ ; siendo iRm y

jRm las pendientes de las fronteras de la región factible cuya intersección forma el vértice solución. Como se muestra en la Figura 2.13. donde las curvas punteadas indican el cambio que la pendiente de la función objetivo puede tener sin modicar la solución del problema.


Figura2.13. Rangodemovimientodelapendientemdelafunciónobjetivosincambiarlasolución.

En la Figura 2.13. se observa que si la pendiente de la función objetivo cambia más que la diferencia

2 1R Rm m− , se tendrá una solución diferente como se ve en la Figura 2.14. para el mismo ejemplo.

Figura2.14. Cambiodelapendientemdelafunciónobjetivoqueocasionasemodiquelasolución.

Al comparar las Figuras 2.13. y 2.14. puede identicarse la misma región factible en ambas guras, pero con la diferencia en el valor de la pendiente de la función objetivo, lo que provoca que la solución al modelo haya cambiado del vértice central al vértice inferior de la misma región factible.

Por lo anterior se concluye que la solución de un modelo de PL puede modicarse si los cambios realizados en los coecientes de la función objetivo afectan el valor de la pendiente de la recta asociada a esta función, de tal forma que se modique el valor de la pendiente a otro valor diferente y que este cambio sobrepase el rango que las pendientes del vértice solución le permiten.

Cambio en las cantidades limitantes

Cuando cambia alguna de las cantidades limitantes, la región factible cambia su tamaño, por lo que el vértice solución puede cambiar. Al realizar el análisis debemos cuidar que el cambio que se haga no provoque una región no factible.


Para mostrar el efecto de un cambio en las cantidades limitantes del modelo se presenta el siguiente ejemplo.

Sea el modelo:

75 45Max Z x y= + ()

Sujeto a

6 4 24x y+ ≤ (1)

3 4 18x y+ ≤

(2)

CNN , 0x y ≥ (3)

La región factible asociada a este modelo es:

Entonces, si se aplica un cambio en una de las restricciones, por ejemplo el cambio de 6 4 24x y+ ≤ a 6 4 30x y+ ≤

Se genera un aumento en la región factible y, como cambian los vértices, también se modica la región, lo cual se indica con la parte sombreada de la gura cuya frontera es la restricción 2R ′ . De manera general se puede decir que pequeños incrementos en las cantidades limitantes de las restricciones generan pequeños aumentos en la región factible y viceversa con los decrementos.

Ejemplo 13


2.3. Desigualdades lineales: Casos de inversión y distribución

Como una aplicación del modelo de programación lineal se encuentran los casos de inversión y distribución, los cuales generalmente están sujetos a múltiples restricciones que dependen de diversos contextos, desde reservas de capital hasta cantidad de orígenes y destinos de un problema de distribución.

El problema de un caso de inversión puede ser la selección óptima de los instrumentos nancieros que conforman un portafolio de inversiones donde las restricciones quizás estén asociadas al riesgo de cada instrumento, a la tasa de rendimientos o al plazo de que cada uno maneje. Otro problema útil en los negocios puede ser la selección de diferentes fuentes de nanciamiento, ya que generalmente los negocios requieren buscar recursos de varias fuentes y por esta razón la toma de decisiones debe apoyarse en información cuantitativa proveniente de la solución de modelos matemáticos. Las variables de decisión serían la cantidad de unidades que deben ser nanciadas por cada opción de nanciación y la nalidad es maximizar los ingresos o minimizar los pagos del nanciamiento.

Para realizar una inversión se puede seleccionar entre cinco instrumentos diferentes clasicados con nivel de riesgo 1, 2 y 3, donde 1 es el nivel más bajo y 3 el más alto. El nivel de riesgo de cada instrumento se muestra en la siguiente tabla:

Instrumento Nivel de riesgo Costo unitario Rendimiento

A 1 2 5%

B 2 7 8%

C 2 3 6%

D 3 10 12%

E 3 14 15%

La empresa tiene una política de no manejar riesgos combinados de más de siete unidades, es decir, que la suma del nivel de riesgo de todos los tipos de instrumentos adquiridos sea mayor a este riesgo combinado. Además, consideran que el capital máximo disponible es de $126,472.00.

Ejemplo 14


Para este caso de inversión es claro que las limitantes son el riesgo combinado de “7” unidades y el capital disponible de “$126,472.00” y estas limitantes generarán dos desigualdades de la forma: “expresión del riesgo combinado” 7≤ y “expresión del costo

total inversión” 126,472≤ . En este ejemplo sólo se especica la relación de los casos de inversión y las desigualdades lineales, el modelo completo se obtendrá más adelante.

Otro problema útil y práctico es el relacionado con la distribución de productos, ya que toda actividad comercial está relacionada con el transporte de materia prima, insumos de ocina, distribución de productos, transporte de desechos de procesos e incluso transporte de personal. En este caso, las variables de decisión serían la cantidad de productos a distribuir de cada origen a cada uno de los diferentes destinos, con el propósito de minimizar los costos de transporte de toda la operación.

Una distribuidora de cartuchos para impresora que da servicio a domicilio tiene dos ocinas y tres clientes ubicados en diferentes puntos de la ciudad. Los costos unitarios de transporte se muestran en la siguiente tabla:

Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3

Ocina 1 4 3 8Ocina 2 2 5 5

En cada ocina tienen 10 y 20 cartuchos de impresora respectivamente y cada cliente requiere al menos 7 cartuchos. Con esta información se desea conocer la combinación óptima de envíos para tener un costo de distribución mínimo.

Para este planteamiento se observa que las desigualdades asociadas a las restricciones del modelo pueden plantearse como 21≤ “número de cartuchos

enviados” 30,≤ que en realidad son dos desigualdades.

En general, los problemas de inversión y distribución se relacionan con las desigualdades de manera tal que se generan las restricciones de un modelo, es decir, cada una de las condiciones que un problema debe cumplir.

De manera práctica, los modelos que representan casos de inversión y distribución cuentan con más de dos variables, por lo que más adelante se resuelven ejemplos de este tipo de problemas.

Ejemplo 15


2.4. Aplicaciones de la optimización en la toma de decisiones en los negocios

En esta sección se muestra cómo la optimización puede aportar información válida y conable para sustentar una toma de decisión; es importante remarcar que, a n de cuentas, el gerente o administrador es quien tomará la decisión; sin embargo, si se fundamenta esta decisión en resultados cuantitativos se estará en posición de generar mejores resultados en un negocio.

Al manejar el término negocio podríamos pensar en diferentes deniciones, y para evitar confusiones se presenta la siguiente denición:Se entiende por negocio: cualquier ocupación, quehacer o trabajo que sea lucrativo o de interés.

De acuerdo con lo anterior: cualquier planteamiento referido a alguna actividad de producción, transformación, distribución o en general que se apegue a la denición de negocio se considera como tal; dentro de estas actividades también se tienen negocios particularmente especícos, como los casos de inversión y distribución.

Se cuenta con un capital de $1,125,000.00 disponible para invertir en bienes raíces y en instrumentos de inversión. El rendimiento de los bienes raíces es de 4% mientras que para los instrumentos de inversión es de 12%. La institución que manejará la inversión requiere que para invertir en bienes raíces se tenga un importe mínimo de $500,000.00 y para los instrumentos de inversión un importe máximo de $750,000.00, debido a las reglas de sociedades de inversión.

Como responsable de tomar la decisión en este negocio, tienes que indicar la combinación óptima de cantidad a invertir en los bienes raíces y en los instrumentos de inversión para maximizar las utilidades por concepto de rendimientos de inversión.

Para resolver este caso de inversión utilizaremos el método gráco.

Denición 2.4.1.

Ejemplo 16


Se denen las variables de decisión como:

x = Cantidad a invertir en bienes raíces.

y = Cantidad a invertir en instrumentos de inversión.

Por lo tanto, el modelo de programación lineal asociado al caso de inversión es:

0.04 0.12Max Z x y= + () Función de la utilidad de los rendimientos. Sujeto a

1125000x y+ ≤ (1) Restricción del capital disponible.

500000x ≥ (2) Restricción del importe mínimo de inversión en bienes raíces.

750000y ≤ (3) Restricción del importe máximo de inversión en instrumentos. CNN , 0x y ≥ (4)

Es importante notar que en la función objetivo se utilizaron los valores en decimales correspondientes a los porcentajes dados como rendimientos. Como regla general no se utilizan porcentajes en ninguna ecuación.

La región factible del modelo matemático del caso de inversión se obtiene gracando las restricciones del modelo.Los puntos para gracar la restricciones son:

1125000x y+ ≤ (1)

Si 0x = , entonces 0 1125000y+ ≤ ; 1125000y = , lo cual genera el punto ( )0,1125000 . Si 0y = , entonces 0 1125000x + ≤ ; 1125000x = , lo cual genera el punto ( )1125000,0 .

500000x ≥ (2)

Esta ecuación representa una recta vertical en 500000.x = 750000y ≤ (3)

Esta ecuación representa una recta horizontal en 750000.y =


Entonces, la gráca de la región factible (R) es:

En la gráca se han identicado los vértices de la región factible con las letras A, B y C para un mejor manejo de la información. Las coordenadas de los vértices A y C se leyeron directamente de la gráca. Para obtener las coordenadas del vértice B, como en el punto donde se cruzan las rectas, las restricciones tienen las mismas coordenadas, se igualaron las ecuaciones de las restricciones R1 y R2 y se resolvió el sistema de ecuaciones.

1125000x y+ = (1)

500000x = (2)

Para resolver este sistema, únicamente se sustituye el valor de x en la ecuación (2) y se obtiene el valor de y, con estos dos valores se generan las coordenadas del vértice B (500000, 625000).

En este ejemplo evaluaremos los vértices de la región factible en la función objetivo, para posteriormente elegir el punto que genere el valor máximo en la función objetivo como solución al problema.

Los vértices de la región factible y su evolución en la función objetivo pueden expresarse como sigue:

x=500000

y=750000

x + y =1125000

A (500000, 0); evaluado en ( )(500000,0) 0.04(500000) .12 0 20000Z = + = B (500000, 625000); evaluado en ( )(500000,625000) 0.04(500000) .12 625000 95000Z = + = C (1125000,0); evaluado en ( )(1125000,0) 0.04(1125000) .12 0 45000Z = + =


Con el vértice B se obtiene el mayor valor de la función objetivo Z, por lo que se indica, en la región factible, este vértice como el punto óptimo del problema.

La conclusión de este problema consiste en interpretar la solución obtenida y ésta puede ser de la forma:

“Se debe invertir $500,000.00 en bienes raíces y $625,000.00 en instrumentos de inversión, para obtener una utilidad máxima por concepto de rendimientos de $95,000.00.”

Otro caso importante en los negocios será cuando se deba decidir entre diferentes fuentes de nanciamiento, por esto en la siguiente sección se proponen varios ejercicios para su solución.


Ejercicios

Con el n de practicar todos los pasos del método gráco, se han propuesto los siguientes ejercicios, desde los pasos básicos del método para gracar desigualdades hasta la completa aplicación del método e interpretación de los resultados. Gráca de rectas y desigualdades

1. Obtén la gráca de las siguientes rectas: a) La recta que pasa por los puntos (3,4) y (2,1). b) La recta que pasa por los puntos (0,5) y (7,0). c) ¿Cuál es la gráca de la ecuación 1 26 10 12x x− = ? d) En el primer cuadrante del plano cartesiano graca la recta 1 22 6 18x x+ = . e) ¿Cuál es la gráca de 3 10 30x y+ > ? f) En el cuadrante I del plano cartesiano graca la desigualdad 21 7 21x y+ ≤ .

Región factible

1. Graca la región factible asociada a cada uno de los siguientes modelos PL: a) 5 3Max Z x y= + Sujeto a

2 18y ≤ 2 3 12x y+ ≤ , 0x y ≥ b) 5 3Max Z x y= + Sujeto a

2 18y ≥ 2 3 12x y+ ≥ , 0x y ≥ c) 16 10Max Z x y= + Sujeto a

5 2 6x y+ ≥ 3 4 16x y+ ≤ 2 1x ≥ , 0x y ≥


d) 1 220 16Min Z x x= + Sujeto a

1 22 9x x+ ≥ 1 22 4 8x x+ ≥ 1 2, 0x x ≥ e) 1 29 6Min Z x x= + Sujeto a

2 6x ≤ 1 22 4 18x x+ ≥ 1 3x ≤ 1 2, 0x x ≥Método gráco

1. Resuelve los siguientes modelos PL con el método gráco. a) 5 3Max Z x y= + Sujeto a

2 10y ≤ 2 3 18x y+ ≤ , 0x y ≥ b) 5 3Max Z x y= + Sujeto a

2 4y ≥ 2 2 24x y+ ≤ 5 100x y+ ≤ , 0x y ≥ c) 8 5Max Z x y= + Sujeto a

2 5 6x y+ ≥ 4 3 16x y+ ≤ 2 3x ≤ , 0x y ≥


d) 1 215 12Min Z x x= + Sujeto a

1 22 6x x+ ≤ 1 22 4 8x x+ ≥ 1 2, 0x x ≥ e) 1 210 6Min Z x x= + Sujeto a

2 5x ≤ 1 22 4 18x x+ ≥ 1 3x ≥ 1 2, 0x x ≥ 2. Una empresa arma y vende dos clases de autos, uno de lujo y otro estándar; cada

auto requiere un proceso diferente de fabricación. El auto de lujo requiere 20 horas de armado, 2 horas en equipamiento y produce una utilidad de $100,000.00. El auto estándar requiere de 10 horas de armado, 1 hora en equipamiento y produce una utilidad de $65,000.00. Se dispone de 1,000 horas para armado y 400 para equipamiento. Se ha pronosticado que la demanda para el modelo estándar es a lo más de 100 autos. ¿Cuál es el nivel óptimo de producción?

3. Se desea vender dos clases de acciones de una empresa de manera telefónica y con apoyo de computadoras. Las acciones son de dos tipos, A y B; cada acción tipo A producirá una ganancia de $8.00, mientras que una de tipo B generará una ganancia de $3.00. Para vender una acción tipo A se necesitan 2 minutos por teléfono y 1 minuto en la computadora. La acción tipo B requiere un minuto en el teléfono y 3 minutos en la computadora. Hay dos horas disponibles en el teléfono y cuatro horas de computadora. Suponiendo que todas las llamadas que se realizan concluyen con una venta y que a lo más se pueden vender 150 acciones tipo B, determine la combinación óptima de acciones vendidas que maximicen la utilidad.

4. Una agencia nanciera maneja $30 millones para nanciamiento de pequeñas y medianas empresas. Conocen que la tasa anual de recuperación para las pequeñas empresas es de 8% y de 10% para las medianas. El comité técnico dictaminó que la cantidad total de nanciamiento a las medianas empresas debe ser al menos de tres veces la cantidad total de nanciamientos de pequeñas empresas. ¿Cuál es el modelo de programación lineal que indica la cantidad invertida en cada tipo de nanciamiento que la agencia debe realizar para obtener el máximo monto de recuperación?


5. Resuelve con el método gráco el siguiente modelo:

min 1 212 27Z x x= + ()

Sujeto a:

1 2 30x x+ ≥ (1)

1 2 20x x+ ≤ (2)

1 2, 0x x ≥ CNN

Autoevaluación

1. Es un modelo de uso común en la investigación de operación:

a) Modelo de programación lineal. b) Modelo a escala. c) Modelo representativo. d) Modelo cuadrático.

2. ¿De cuántas variables son los problemas que se pueden resolver con el método gráfico?

a) 2 y 3 variables. b) Más de 2 variables. c) 2 variables. d) 3 variables.

3. ¿Cuál es la solución de una desigualdad lineal?

a) Un punto fuera del plano cartesiano. b) Una región del plano cartesiano. c) Los puntos de una línea recta. d) El origen.

4. Es la zona donde se satisfacen todas las restricciones de un modelo PL.

a) Región solución de una desigualdad. b) Zona de convergencia. c) Zona no factible. d) Región factible.


5. Si la región factible de un problema de maximización es no acotada:

a) No hay solución. b) La solución es óptima pero no factible. c) La solución es factible pero no óptima. d) Hay innidad de soluciones. 6. Cuando se tiene un polígono como región factible se dice que la región es:

a) No factible. b) Inexistente. c) No acotada. d) Acotada.

7. El punto óptimo de un modelo de programación lineal de minimización es aquel que:

a) Evaluado en la función objetivo genera el valor mínimo posible. b) Evaluado en todas las restricciones es mínimo. c) Evaluado en la función objetivo genera el valor máximo posible. d) Evaluado en la condición de no negatividad es mínimo.

8. Son las variables con las que se expresan la función objetivo y las restricciones de un modelo de PL.

a) Variables aleatorias. b) Variables de decisión. c) Variables no controlables. d) Variables discretas.

9. Un modelo PL tiene como una de sus características que todas las ecuaciones que los componen son de orden:

a) Lineal. b) Exponencial. c) Cuadrático. d) Cero.


Respuestas a los ejercicios

Gráca de rectas y desigualdades

1. Obtén la gráca de las siguientes rectas: a)

b)

c)

d)

e) La región sombreada es la región solución y no incluye la recta, ya que es una desigualdad estrictamente mayor que (>).


f) La región sombreada es la región solución y sí incluye la recta, ya que es una desigualdad (≤ ).

Región factible

1. Graca la región factible asociada a cada uno de los siguientes modelos PL: a)

b) Es una región factible no acotada.

c)

d) Es una región factible no acotada que se extiende indenidamente hacia la derecha del plano.


e)

Método gráco

1. Resuelve los siguientes modelos PL con el método gráco. a) El punto óptimo es (9,0) con Z

max = 45.

b) El punto óptimo es B( )10,2 con Zmax

= 56 . c) El punto óptimo es D( )4,0 con Z

max = 32 .

d) El punto óptimo es ( )0,2 con Zmin

= 24. e) El punto óptimo es B( )3,3 con Z

min = 48.

2. :x = Cantidad de autos de lujo a armar y vender.

:y = Cantidad de autos estándar a armar y vender.

max 100000 65000Z x y= + ()

Sujeto a:

20 10 1000x y+ ≤ (1) Restricción de las horas disponibles para armado.

2 400x y+ ≤ (2) Restricción de las horas disponibles para equipamiento.

100y ≤ (3) Restricción de la demanda máxima de autos tipo estándar.

, 0x y ≥ CNN.

De la gráca de la región factible se obtiene que el punto óptimo es el vértice

B(0,100) con max 6500000Z = , lo cual quiere decir que se deben armar y


vender 100 autos estándar, ninguno de lujo, para tener una utilidad máxima de $6,500,000.00

3. :x = Cantidad de acciones tipo A para vender.

:y = Cantidad de acciones tipo B para vender.

max 8 3Z x y= + ()

Sujeto a:

2 120x y+ ≤ (1) Restricción de las horas disponibles para hablar por teléfono.

3 240x y+ ≤ (2) Restricción de las horas disponibles de cómputo.

150y ≤ (3) Restricción de la venta máxima de acciones tipo B.

, 0x y ≥ CNN.

De la gráca de la región factible se obtiene que el punto óptimo es el vértice D(80,0) con max 640Z = , lo cual quiere decir que se deben vender 80 acciones tipo A y ninguna acción tipo B, al menos para las condiciones que se tienen.

4. 1 :x = Cantidad invertida en pequeñas empresas.

2 :x = Cantidad invertida en medianas empresas.

max 1 20.08 0.1Z x x= + ()

Sujeto a:

1 2 30 000 000x x+ ≤ (1) Restricción del capital para financiamiento.

2 13x x≥ (2) Restricción propuesta por el comité técnico.

1 2, 0x x ≥ CNN.


El punto óptimo es el vértice B(22.5,7.5) con max 2.55Z = , pero como la escala

de la gráca está en millones la interpretación es: “Se deben invertir $22,500,000.00 en medianas empresas y $7,500,000.00 en

pequeñas empresas para obtener un monto máximo de recuperación de $2,550,000.00.”

5. Como no existe una región factible para el modelo, entonces el problema no tiene solución.

Respuestas a la autoevaluación

1. a) 2. c) 3. b) 4. d) 5. d) 6. d) 7. a) 8. b) 9. a)

unidad modelos de optimización -...

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