Unidad 9

Movimiento periódico

Al término de la unidad, el alumno:

• Definirá e identificará el movimiento periódico de una

partícula.

• Identificará y calculará los parámetros que describe el movimiento

periódico.

• Relacionará el movimiento armónico con el círculo de referencia.

• Resolverá problemas que involucren el péndulo simple.

Ob

jeti

vo

s

215

Introducción

El movimiento periódico o vibración mecánica es la oscilación de una masa alrededor

de una posición de equilibrio. También se le conoce como movimiento oscilatorio,

vibraciones o movimiento armónico. Cuando el cuerpo es desplazado de su posición

de equilibrio, las fuerzas de restitución (gravitacionales o elásticas) lo obligan a regresar

a la posición de equilibrio, pero con cierta velocidad, adquirida en el desplazamiento

inicial, por lo que su movimiento va más allá de la posición de equilibrio. Si no existen

fuerzas de fricción que amortigüen la oscilación, este movimiento puede continuar

indefinidamente y recibirá el nombre de vibración no amortiguada. Sin embargo,

generalmente están presentes fuerzas de fricción internas y externas que afectan la

vibración, por lo que prácticamente todas las vibraciones son amortiguadas.

Pueden identificarse dos tipos de vibraciones: libre y forzada. La vibración libre es

aquél movimiento que se mantiene por efecto de las fuerzas restauradoras, como en el

caso de un péndulo. La vibración forzada es el movimiento oscilatorio generado por la

acción de una fuerza externa aplicada a los elementos que intervienen.

En la figura 9.1 se puede observar un cuerpo de masa m que tiene un movimiento

periódico horizontal. Podemos apreciar que este movimiento se caracteriza por presentar

una posición de equilibrio estable. Si alejamos el cuerpo de esa posición y lo soltamos,

se genera una fuerza de restitución que trata de restablecer el equilibrio. Sin embargo,

cuando alejamos el cuerpo de la posición de equilibrio adquiere energía cinética, la

cual lo hace pasarse de la posición de equilibrio hasta detenerse en el otro extremo,

donde es impulsado otra vez hacia la posición de equilibrio, ocurriendo lo mismo cada

vez que llega a un extremo hasta que dicha energía se pierde por efecto de la fricción.

C inemátiCa y dinámiCa

216

Figura 9.1. Representación esquemática de un movimiento periódico.

9.1. Fuerzas restauradoras elásticas

Como se analizó en el capítulo previo de elasticidad, cuando aplicamos un esfuerzo a un cuerpo y

cambia su forma, la fuerza aplicada siempre es proporcional a la deformación. Lo anterior se cumple

sólo si no rebasamos el límite de elasticidad del material que estemos tratando. Aunque existen varios

tipos de deformaciones debidas a tensiones, compresiones o torsiones, en esta unidad se considerarán

básicamente aquéllas debidas a esfuerzos de tensión y de compresión en las cuales la deformación se

reduce al desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza.

En este caso la aceleración a

está variando de un instante a otro bajo la acción de una fuerza

recuperadora. Si consideramos que la fuerza aplicada es proporcional a la deformación, entonces

podemos utilizar la ley de Hooke, la cual rige las deformaciones, puesto que para poner a oscilar una

masa se necesita aplicar una fuerza que desplaza a dicha masa una distancia x con respecto a su posición

de equilibrio como se aprecia en la figura 9.2. Por consiguiente tenemos que:

F

= k x (9.1)

Donde k es una constante de proporcionalidad denominada constante elástica y x es el desplazamiento

respecto a la posición de equilibrio. F

es la fuerza necesaria que debe aplicarse sobre un cuerpo para

producir el desplazamiento x. La fuerza F

generada en sentido contrario, cuando el cuerpo se encuentra

en el extremo opuesto al desplazamiento x inicial, se denomina fuerza recuperadora. Esta fuerza tiende

a obligar al cuerpo a regresar a la posición de equilibrio. Su expresión matemática es:

F = –k x (9.2)

x1

x2

Ek2

Ep2

= ½ m v22

= ½k x22

Ek

= 0Posición de equilibrio

Ek1= 0

Ep1

= ½k x12

x = 0

217

Unidad 9

Posición de equilibrio

Figura 9.2. Se aprecian las fuerzas: F = k x necesaria para producir el desplazamiento x y F = – k x recuperadora

elástica. A es la amplitud o elongación máxima y x es la elongación.

Si aplicamos la segunda ley de Newton a la expresión anterior obtenemos:

F = –k x = m a donde: a = (–k / m) x m es la masa del cuerpo.

Puesto que k y m son constantes, entonces (–k / m) es una constante y la aceleración a es proporcional

al desplazamiento x y de sentido contrario a él. Por lo tanto, la aceleración siempre está dirigida hacia el

punto medio de la trayectoria o posición de equilibrio.

9.2. Ecuaciones del movimiento armónico

Para aplicar correctamente las ecuaciones, es necesario definir algunos conceptos fundamentales

del movimiento armónico. Teórica y experimentalmente se ha demostrado que una vez aplicada la

fuerza F

inicial, el objeto tiene un desplazamiento de la posición de equilibrio que podemos indicar

como A en cada extremo de la posición de equilibrio y que cada movimiento de ida y vuelta ocurre en

el mismo tiempo.

El movimiento armónico de un cuerpo de masa m, que ocurre sin rozamiento y que se encuentra

sujeto a una fuerza recuperadora se denomina Movimiento Armónico Simple y se abrevia como MAS.

Existen por lo menos cinco conceptos involucrados en las ecuaciones de este tipo de movimiento, los

cuales se describen a continuación:

• Amplitud (A). Máxima elongación o distancia máxima inicial de un MAS. La distancia entre

las dos posiciones extremas es por consiguiente 2A.

• Oscilación o vibración. Es el movimiento que inicia en el punto de partida, pasa por la posición

de equilibrio hasta llegar al extremo opuesto y regresa al punto de partida, pasando otra vez por

la posición de equilibrio.

F = –kx F = –kx F = kx

x

A A

C inemátiCa y dinámiCa

218

• Frecuencia (f). Es el número de oscilaciones completas que ocurren en un segundo.

• Periodo (T). Es el tiempo necesario para que ocurra una oscilación completa.

• Elongación (x). Es la distancia a la posición de equilibrio en un instante determinado.

La máxima elongación es la amplitud misma.

Como ya se mencionó, este movimiento cambia su aceleración cada instante y por lo tanto utiliza

ecuaciones diferentes a las de los movimientos que se han estado analizando en este texto. Para obtener

las ecuaciones del MAS se utiliza la expresión matemática del principio de conservación de la energía

mecánica, sin considerar las fuerzas de fricción.

EKi

+ EPi = E

Kf + E

Pf (9.3)

Donde:

EKi

=Energía cinética inicial

EKf

=Energía cinética final

EPi=Energía potencial inicial

EPf

=Energía potencial final

es decir:

½ m vi2 + ½ k x

i2 = ½ m v

f2 + ½ k x

f2

Donde (½ k x2) es la energía potencial de un cuerpo sujeto a una fuerza recuperadora.

En las dos posiciones extremas de A tenemos que EK = 0. Si hacemos la amplitud (A) igual al

desplazamiento inicial (xi), entonces puede reescribirse la ecuación de la energía potencial como

EP = ½ k A2. (9.4)

Por lo tanto: 0 + ½ k A2 = ½ m v2 + ½ k x2 despejando v: v2 = k/m (A2 – x2)

Por lo tanto:

2 2dx kv A x

dt m= = −

Integrando la elongación x en función del tiempo t:

2 2( )

dx kdt

mA x

= − ∫ ∫entonces: arc sen (x/A) =

kt

m

t + c

( )

219

Unidad 9

Si se toma como origen x = A para t = 0, la constante de integración es:

arc sen 1 = 90° = π/2 rad por lo tanto: x/A = sen [kt

m

(t) + π/2]

Considerando la identidad trigonométrica sen (θ + 90°) = cos θ se obtiene la elongación:

x = A cos kt

m

(t) medida en m (9.5)

Derivando una vez, se obtiene la velocidad:

v = dx/dt = –kt

m

(A sen kt

m

) medida en m / s (9.6)

Derivando otra vez, se obtiene la aceleración:

a = dv/dt = – k/m (A cos kt

m

) medida en m / s2 (9.7)

Usando la elongación x se puede obtener el tiempo t desde x = +A hasta x = –A; es decir, el tiempo

de una semioscilación o semiperiodo T/2:

t = kt

m

(arc cos x/A)

por lo tanto:

arc cos (arc cos( 1))2

T m A m

k A k

− = = − Pero sabemos que: arc cos (–1 )= 180° = π rad, por consiguiente se obtiene la expresión para

calcular el periodo de un MAS:

( )

2

T m

kπ= despejando T: 2

mT

kπ = (9.8)

Si se sabe que la frecuencia es la inversa del periodo: f = 1/T, entonces se puede obtener la expresión

para calcular la frecuencia de un MAS:

1

2

kf

mπ= cuyas unidades son s–1 equivalente a 1 Hz. (9.9)

De lo anterior se puede notar, que el periodo T y la frecuencia f no dependen de la amplitud A, sino

que dependen de la masa m y de la constante de recuperación k.

C inemátiCa y dinámiCa

220

9.3. Círculo de referencia

El denominado círculo de referencia es precisamente un círculo que permite obtener un sistema de

ecuaciones para el MAS, equivalente al sistema obtenido en el capítulo anterior. Para demostrarlo se

puede considerar la figura 9.3, en la cual se puede basar la deducción.

Figura 9. 3. Determinación geométrica utilizando un círculo de referencia de la elongación x, la velocidad v

y la aceleración a para un movimiento armónico simple.

Supongamos que el punto Q gira describiendo una trayectoria circular de radio A, con velocidad

angular constante ω. Si proyectamos este punto Q sobre el diámetro horizontal de la trayectoria circular,

obtenemos el punto P. Conforme el punto Q se mueve circularmente, el punto P se mueve sobre

el diámetro horizontal en ambos sentidos, estando siempre en la proyección vertical del punto Q.

Entonces la elongación del punto P es siempre una abscisa del punto Q y la velocidad y aceleración de P

es en todo instante igual a la proyección horizontal de la velocidad y la aceleración de Q. De lo anterior

se puede establecer que el punto P realiza una oscilación completa por cada vuelta de Q.

Si los puntos P y Q coinciden cuando el tiempo t = 0 y se inicia el movimiento de Q, se forma un

ángulo θ delimitado por el radio A y el diámetro horizontal. Como se trata de un movimiento circular,

se sabe que ω = θ / t. Despejando θ se obtiene la expresión: θ = ω t, que es siempre el valor del ángulo

formado. Por consiguiente, si se considera el triángulo rectángulo QPOQ y se utiliza la función coseno

se obtiene la elongación x del punto P en el instante t:

x = A cos (ω t) medida en m (9.10)

A

P

Q

x

0

v

ωt

ωt

v=ωA

a=ω2A

a

221

Unidad 9

Derivando una vez la elongación, se obtiene la magnitud de la velocidad:

v = – ω A sen (ω t) medida en m / s

Derivando otra vez, obtenemos la magnitud de la aceleración:

a = – ω2 A cos (ω t) medida en m / s2

El signo negativo indica que la velocidad v se dirige en sentido contrario a la elongación x. Ahora

bien utilizando la relación 2 π rad = 360° = 1 rev y sabiendo que la frecuencia f = 1/T es el número de

oscilaciones por segundo, se puede decir que la frecuencia angular ω del punto Q es:

ω = 2π f = rad / s (9.11)

Si se sustituye esta expresión en las tres ecuaciones anteriores, se obtienen las ecuaciones del círculo

de referencia para un MAS.

x = A cos (2 π f t) (9.12)

v = – 2 π f A sen (2 π f t) (9.13)

a = – 4 π2 f2 A cos (2 π f t) (9.14)

De lo anterior se puede concluir que el Movimiento Armónico Simple (MAS) es la proyección de un

Movimiento Circular Uniforme (MCU) sobre cualquier diámetro de una trayectoria circular.

9.4. Cuerpo suspendido de un resorte

Cuando se tiene un resorte horizontal y se somete a una tensión o a una compresión, al retirar la

fuerza el resorte comenzará a oscilar (vibrar), describiendo una serie de movimientos de compresión

y estiramiento sobre la misma trayectoria en la que se aplicó la fuerza.

Este es un movimiento oscilatorio o armónico simple. Ahora, si se coloca el resorte verticalmente,

las oscilaciones producidas debido a la aplicación de una fuerza son prácticamente las mismas que las

generadas en un resorte horizontal.

Para verificar esta aseveración supón que se tiene un resorte colgado verticalmente como se muestra

en la figura 9.4. En la primera posición tenemos un resorte sin estirar en estado de reposo. Si se le

coloca en el extremo libre un cuerpo de masa m y se suelta, como se aprecia en la segunda posición, el

resorte empezará a oscilar y al alcanzar el equilibrio quedará estirado una distancia x0.

C inemátiCa y dinámiCa

222

Ep

= 0

F = 0 Fx0

x

F

mg

mg

Ep

= ½ k x02

– m g x 0

F =–k x 0

Ep

= ½ kx2

F =–k (x + x 0 )

Figura 9.4. Resorte vertical al que se le cuelga una masa m y se estira una distancia x0. Nótense las tres posiciones

claves del resorte, mismas que son útiles para hacer la demostración de que el resorte se comporta

de igual manera tanto horizontal como verticalmente.

Este estiramiento x0 puede determinarse utilizando la ecuación de movimiento de Newton, cuando

la masa suspendida alcanza el equilibrio:

Σ F = 0, m g – k x0 = 0 m g = k x

0 x

0 = m g / k

Si estiramos el resorte una distancia x más allá del equilibrio alcanzado al colgar simplemente la

masa m, la fuerza neta que está actuando sobre la masa m es la siguiente:

F = m g – k (x + x0) como x

0 = m g / k, entonces:

F = m g – k (x + m g / k) = m g – k x – m g = –k x

Por consiguiente, podemos decir que la ley de Hooke para un resorte horizontal, tiene la misma

constante de recuperación k que un resorte vertical.

Pasa lo mismo con la energía. Si consideramos un punto que corresponde a la longitud original del

resorte como punto de referencia, sucede que la energía potencial almacenada es la siguiente:

Ep = ½ k x

02 – m g x

0 (9.15)

Donde el primer término corresponde a la energía potencial elástica (½ k x02) y el segundo término

a la energía potencial gravitacional (m g x0). Por consiguiente, cuando el resorte se estira una distancia

adicional x, la energía potencial almacenada queda como:

223

Unidad 9

Ep = ½ k (x + x

0)2 – m g (x + x

0) – ½ k x

02 + m g x

0

Desarrollando el binomio cuadrado, resolviendo el producto y simplificando queda:

Ep = ½ k x2 + k x x

0 – m g x = ½ k x2 + k x (m g / k) – m g x

Ep ½ kx2 (9.16)

Lo anterior demuestra que la energía almacenada en un resorte se conserva, independientemente

de su posición.

9.5. Movimiento armónico angular

Este movimiento también se denomina Movimiento Armónico de Rotación y ocurre cuando

un cuerpo oscila describiendo trayectorias circulares alrededor de un eje perpendicular al plano del

movimiento, estando el cuerpo sujeto a una torca recuperadora M

proporcional a la elongación angular

θ, la cual se mide a partir de la posición de equilibrio. Lo anterior se muestra en la figura 9.5.

x

z

y

= - k’ θ

θ

= k’ θM M

Figura 9.5. En este esquema se pueden apreciar los elementos que conforman al Movimiento Armónico

Angular. Se puede notar que dichos elementos son los equivalentes del Movimiento Armónico Simple, el cual es

lineal. M

= k`θ es la magnitud de la torca necesaria para producir el movimiento y M

= – k`θ es la magnitud

de la torca recuperadora.

En este tipo de movimiento, la torca recuperadora M

proporcional a la elongación angular θ la

podemos expresar en términos de la ley de Hooke como:

M

= – k’ θ (9.17)

Donde k’ es la constante de recuperación para el movimiento angular.

M

C inemátiCa y dinámiCa

224

En la unidad 7 se vio que la masa m de un cuerpo en movimiento rectilíneo es equivalente al

momento de inercia I de un cuerpo que se encuentra girando. Por consiguiente, si sustituimos m por I

en la ecuación lineal del periodo, obtenemos las expresiones matemáticas del periodo y de la frecuencia

en el Movimiento Armónico Angular.

2'

IT

kπ=

como la frecuencia es f = 1 / T,

entonces:

1 '

2

kf

Iπ=

Ahora bien, si empleamos la expresión de la segunda ley de Newton en movimiento rotacional

(ver unidad 7) tenemos que:

M = I α entonces: –k’ θ = I α despejando α:

'k

Iα θ− = medida en rad/s

Esta última expresión es la aceleración angular en el Movimiento Armónico Angular.

Si utilizamos la relación ω = 2 π f y despejamos f obtenemos: f = ω / 2 π. Si sustituimos esta ecuación

en la expresión matemática de la frecuencia y despejamos la frecuencia angular ω obtenemos:

1

2 2

k

I

ωπ π

′=

despejando ω: ' 'k k

I mω = = medida en rad/s (9.18)

Esta relación es la velocidad angular o frecuencia angular en el Movimiento Armónico Angular. Cabe aclarar

que existe una diferencia entre velocidad angular y frecuencia angular: la primera nos indica los radianes

por segundo, mientras que la segunda nos indica el número de ciclos por segundo. El desplazamiento

angular o elongación angular se describe por la siguiente función:

θ = Θ cos (ω t + ф) rad (9.19)

Donde Θ es la amplitud angular y ф es un ángulo de fase determinado por la posición y velocidad inicial

del cuerpo.

225

Unidad 9

Podemos concluir que en este tipo de movimiento el periodo T y la frecuencia f no dependen de

la amplitud A, sino que dependen del momento de inercia I (masa del cuerpo para la rotación) y de la

constante de recuperación k’.

9.6. Péndulo simple

Un péndulo simple consiste en un cuerpo de masa m, suspendido de un hilo que se considera sin

masa e inextensible. La posición de equilibrio de la masa suspendida es la vertical. Si aplicamos una

fuerza F

a la masa, ésta oscilará en torno a su posición de equilibrio. La trayectoria que describe la masa

m al aplicar la fuerza F

no es una línea recta, sino un arco circular de radio L, donde L es la longitud

del hilo, como se aprecia en la figura 9.6.

m

L

T

θ

-m g sen θ

m g cos θ

x = Lθ

m g

Figura 9. 6. En este diagrama se aprecian las fuerzas involucradas en el movimiento de un péndulo simple.

Si se aplica una fuerza a la masa, ocurre una elongación x medida sobre el arco circular. Sin embargo,

en este caso las fuerzas que actúan sobre la masa son la tensión del hilo y el peso W

= m g

. Si colocamos

el marco de referencia sobre la masa en una de las posiciones extremas, encontramos que el peso (m g

)

tiene una componente radial y una tangencial. Esta última se denomina la fuerza de restitución ( F

T ) y

es una componente de la fuerza neta. Por consiguiente, el movimiento pendular no es un movimiento

armónico simple y la magnitud de la fuerza restauradora es:

FT = – m g sen θ (9.20)

Esta fuerza se debe exclusivamente a la gravedad, ya que la tensión del hilo T

solamente tiene la

función de que la masa (m) describa un arco circular.

C inemátiCa y dinámiCa

226

De la figura 9.6 y de la expresión matemática anterior se puede deducir que la magnitud de la fuerza

restauradora es proporcional al sen θ y no al desplazamiento angular total θ. Si el ángulo expresado en

radianes o amplitud es pequeño (0.1 rad ≈ 6° por tanto sen 6° = 0.099), la ecuación anterior se puede

reescribir como:

FT = – m g θ pero de la figura θ = x / L,

Y como la masa, la gravedad y la longitud de cuerda no varían, entonces:

T

mgF x

L

= − (9.21)

Si la amplitud no es pequeña (≥ 15° a cada lado de la posición de equilibrio) la divergencia respecto

al MAS aumenta considerablemente y el periodo T se vuelve impreciso.

Considerando desplazamientos pequeños, la constante recuperadora es k = m g / L y por lo tanto la

frecuencia angular ω = kt

m se convierte en:

mg

gL

m Lω

= = medida en rad/s (9.22)

Por consiguiente, las expresiones para frecuencia y periodo en un movimiento circular con

desplazamientos pequeños quedan de la siguiente forma:

1

2 2

gf

L

ωπ π

= = medida en Hz (9.23) y 2 2

2L

Tgg

L

π π πω

= = = medida en s (9.24)

Un péndulo simple largo tiene periodos largos y viceversa. Si aumenta g, aumenta la fuerza

recuperadora, provocando un aumento en la frecuencia y una disminución en el periodo.

Podemos apreciar que en las ecuaciones del péndulo simple para el periodo y la frecuencia no

interviene la masa m del cuerpo. Esto se debe a que la fuerza restauradora es la componente tangencial

del peso (m g) del cuerpo y es proporcional a la masa m, la cual al aparecer en ambos lados se elimina.

227

Unidad 9

Problemas resueltos

1. Un osciloscopio utilizado para medir frecuencias cardiacas se encuentra oscilando con una

frecuencia de 5.50 MHz. ¿Cuánto tiempo tarda en ocurrir cada oscilación? ¿Cuál es la frecuencia

angular?

Respuesta

Este problema es muy sencillo. Del enunciado podemos deducir que las incógnitas son el periodo T

y la frecuencia angular ω, por lo cual podemos utilizar las siguientes relaciones:

T = 1 / f = 1 / 5.50 × 106 Hz = 1.0 × 10–7 s

ω = 2 π f = 2 π rad/ciclo (5.50 × 106 ciclos/s) = 3.45 × 107 rad / s

2. Los muelles de una camioneta Pick-up de 1,500 kg se comprimen 4.7 cm cuando suben en ella

una máquina de 350 kg para su traslado. Si los muelles se comportan como un sistema vibratorio, ¿cuál

será la constante de los mismos? ¿Cuánto disminuye la altura de la camioneta si la carga se aumenta al

triple?

Respuesta

Como la ecuación que involucra a la constante está en función de la fuerza, primero debemos calcular

el peso, es decir: W = m g = (350 kg) (9.81 m/s2) = 3, 433.5 N y por consiguiente los cm a m: 4.7 cm (1m

/ 100 cm) = 0.047 m = 4.70 × 10–2 m.

Utilizando la ley de Hooke y despejando k:

F = k x k = F / x = (3,433.5 N) / (4.70 × 10–2 m) = 7.30 × 104 N / m

Ahora, para calcular cuánto se comprime el resorte si la carga aumenta al triple, podemos hacer

simplemente una regla de tres, ya que la constante de los muelles no cambia.

350 kg —————4.7 cm

X = (1,050 kg)(4.7 cm) / (350 kg) = 14.1 cm

1,050 kg ————X cm

C inemátiCa y dinámiCa

228

Una manera alternativa de llegar al mismo resultado es utilizando la misma ley de Hooke, pero

despejando x y cambiando el valor de F:

F = k x x = F / k = (1,050 kg)(9.81 m/s2) / (7.30 × 104 N / m) = 0.141 m = 14.1 cm

3. Una masa (m) se encuentra girando en un círculo de referencia de 2.5 m de radio, con una frecuencia

de 30 rpm. ¿Cuál sería la ecuación del MAS si proyectáramos dicho movimiento sobre el diámetro

horizontal del círculo? ¿Cuál será la ecuación del MAS si comenzáramos a contar el tiempo a partir de la

posición dada en la pregunta anterior y nos detenemos cuando se ha girado un ángulo de 65°?

Respuesta

Para contestar la primera pregunta, sabemos del enunciado que:

Amplitud A = 2.5 m y que la velocidad angular es ω = 2 π f; convirtiendo unidades:

30 1min 12 2 /

min 60 2

rev revrad rad rad s

s sω π π π

= ⋅ = =

Por lo tanto, usando la ecuación de la elongación para un círculo de referencia:

x = A sen (ω t) sustituyendo: x = 2.5 sen (π t)

En el caso de la segunda pregunta, es claro que debemos utilizar la expresión x = A sen (ω t + ф).

Sabemos que ф es un ángulo de fase y lo podemos obtener mediante una regla de tres:

180° ————π rad

ф = (65°) (π rad) / (180°) = 1.13 rad por lo tanto:

65°————— ф rad

x = 2.5 sen (π t + 1.13)

4. Un resorte de 150 kg se encuentra colgado verticalmente. En su extremo libre se coloca un peso

de 750 N y el resorte se estira 3.5 cm, comenzando a oscilar. ¿Cuáles son el periodo y la frecuencia de

oscilación?

Respuesta

Como el periodo y la frecuencia son una función de la constante k y de la masa, primero debemos

encontrar estos valores.

229

Unidad 9

Para encontrar la constante, podemos darnos cuenta que cuando se coloca el peso de 750 N al

resorte y se estira 0.035 m, inmediatamente se comprime otros 0.035 m, lo cual implica un cambio en

el signo en la dirección de la elongación. Si despejamos la constante k de la ley de Hooke obtenemos:

F = – k x k = – (F / – x)

k = – (750 N / –0.035 m) = 2.14 × 104 kg m / s2 m = 2.14 X 104 kg / s2

Para encontrar la masa total mT, tenemos que la masa del peso colocado es m

p = W / g, lo cual debe

sumarse a la masa del resorte mR:

mT = m

p + m

R = (750 kg m / s2 / 9.81 m / s2) + (150 kg) = 226.45 kg

Finalmente, tenemos que el periodo y la frecuencia son inversos, por lo que si obtenemos uno de

ellos, su inverso es el valor del otro.

T = 2 π m

k = 2 π (226.45 kg / 2.14 × 104 kg / s2) = 0.64 s

F = 1 / T = 1 / 0.64 s = 1.56 Hz

5. Un ave de rapiña de 4.5 kg de masa se posa sobre la rama de un árbol, la cual empieza a oscilar con

una frecuencia F de 3 Hz. ¿Cuál es el valor de la constante k de la rama del árbol? ¿Con qué frecuencia

vibrará la rama si sobre ella se para, además, otra ave de 5 kg de masa?

Respuesta

Para responder a la primera pregunta podemos utilizar la ecuación de la frecuencia en función de

la constante k y de la masa m.

f = 1 / 2π k

m despejando k:

k = (2 π f)2 m = [(2 π)(3 s–1)]2 (4.5 kg) = 1,598.87 N / m

Para responder la segunda pregunta, debemos sumar ambas masas y simplemente sustituirlas en la

ecuación de la frecuencia: m = m1 + m

2 = 4.5 kg + 5 kg = 9.5 kg.

f = 1 / 2π (1,598.87 kg m / s2) / (9.5 kg) = 2.06 Hz

6. Calcular el periodo y la frecuencia de un péndulo simple cuya longitud del hilo es de 75 cm, el cual

se encuentra localizado en un lugar donde la aceleración gravitacional es de 9.79 m/s.

C inemátiCa y dinámiCa

230

Respuesta

Como ya vimos, el periodo y la frecuencia de un péndulo no dependen de la masa. Son una función de

la longitud del hilo. Además sabemos que el periodo y la frecuencia son valores inversos, por lo que si

obtenemos uno de ellos, su inverso será el valor del otro. Por lo tanto:

T = 2 π L

g

= 2 π (0.75 m / 9.79 m / s2) = 1.74 s

f = 1 / T = 1 / 1.74 s = 0.57 Hz

Problemas propuestos

1. La cuerda de una guitarra efectúa 440 oscilaciones cada medio segundo. Obtener el periodo y la

frecuencia angular de la cuerda en vibración.

Respuesta

ω = 5.53 × 10 3rad / s y T = 1.14 × 10–3 s

2. Una pieza de un reloj de pared inicia sus oscilaciones con una amplitud A = 18 mm y sigue

oscilando con una frecuencia f = 5 ciclos/s. ¿Cuánto tiempo tarda la pieza en realizar la cuarta parte de

una oscilación?

Respuesta

t = 0.050 s

3. Un cuerpo de masa m se cuelga de la parte libre de un resorte vertical que se considera sin masa,

cuya constante es k = 120 N / m. La frecuencia de oscilación del resorte con la masa colgando es de 6 Hz.

Obtener la masa del cuerpo, así como la frecuencia angular y el periodo del resorte oscilando.

Respuesta

m = 8.44 × 10–2 kg ω = 37.7 rad / s T = 0.167 s

4. Durante un sismo un edificio se encuentra vibrando en MAS con un periodo T = 1.2 s y una

amplitud A = 60 cm. Cuando el sismo inicia el tiempo es t = 0 s y el edificio se encuentra en la posición

x = 0 m. Cuando ha transcurrido un tiempo t = 0.5 s. ¿A qué distancia se encuentra la posición de

equilibrio?

Respuesta

x = 0.354 m

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Unidad 9

5. Una masa se encuentra oscilando linealmente con un periodo T = ½ s, con una aceleración de

6.45 m / s2. ¿Cuál será su velocidad?

Respuesta

v = 0.501 m / s

6. Después de aterrizar sobre la superficie del planeta Venus, un robot programado despliega un

péndulo simple cuya longitud del hilo es L = 0.5 m. El péndulo realiza 100 oscilaciones en 2 minutos

con 15 segundos. ¿Cuál será el valor de la aceleración gravitacional en Venus?

Respuesta

Vg

= 10.59 m / s2

7. Dos resortes paralelos suspendidos verticalmente tienen su respectiva constante k. Entre ambos

sostienen un cuerpo de masa m. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación del cuerpo colgado en los

resortes?

Respuesta

f = 1 / 2 π 2k

m

8. Una bola de la tómbola del concurso Melate se encuentra chocando contra las dos paredes de la

casilla que la contiene, con una amplitud A = 15 cm. ¿Cuál es la distancia total que se desplaza en un

periodo?

Respuesta

x = 0.59 m

9. ¿Cuál es la longitud máxima L de un péndulo simple que realiza una oscilación cada segundo?

Respuesta

L = 0. 249 m

10. ¿Cuál será el periodo de oscilación de un péndulo simple cuyo hilo tiene una longitud L = 0.5 m

en los siguientes casos?

a) En la superficie terrestre.

b) Dentro de un elevador que se encuentra descendiendo en caída libre.

Respuesta

El alumno debe encontrarla.