trigo t_4

7/29/2019 Trigo T_4

1/26

TrigonometraCompendio de Ciencias - IV - A

125SISTEMA HELICOIDAL

7/29/2019 Trigo T_4

2/26

Trigonometra Compendio de Ciencias - IV - A

126 PASCUAL SACO OLIVEROS

7/29/2019 Trigo T_4

3/26



INTRODUCCIN:En el captulo anterior se vio cmo calcular de

una forma prctica las razones trigonomtricas dengulos positivos menores de una vuelta, aunque

ello pudo haber sido calculado mediante el cap-

tulo de razones trigonomtricas para un ngulo en

posicin normal, ahora veremos algunas tcnicas

para calcular las razones trigonomtricas de ngulos

mayores a una vuelta y ngulos de la forma ().

CASO I:Reduccin para ngulos mayores de una

vuelta

Partiendo de dos ngulos que seancoterminales, se cumple:

RT( ) = RT( ) ... (2)

De (I): = 360m + ... (3)

Reemplazando (3) en (2) obtenemos:

o su equivalencia en radianes.

Esto indica que se puede sumar o restar

mltiplos de 360 2 , a un ngulo y su razntrigonomtrica no cambia de valor, los siguientesejemplos aclaran un poco ms al respecto.

Ejemplo:

a) sen 390 = sen(30+360) = sen 30 =

b) cos 405 = cos(45+360) = cos45 =

c)

d)

Ejemplo 1:

Calcular el valor de:

Resolucin:

Para reducir:

se divide 37 entre el doble del denominador que

es 4. Esto es 37 entre 8.

Calcularlasrazonestrigonomtricasparangulosmayoresaunavuelta.

Calcularlasrazonestrigonomtricasparalosngulosdelaforma(x).

7/29/2019 Trigo T_4

4/26



LuegoDe igual forma:

Clculo deSe divide 32 con el doble de 3.

Luego:Finalmente:

CASO II:Para ngulos de la forma .

Partimos de un ngulo en posicin normal y

su ngulo opuesto , tambin en posicin normal,

esto es:

P y Q son sim-tricos respecto del

eje de abscisas en-

tonces si P(a;b)

Q(a; b) y

ambos tienen un

radio vector igual

a ;

ahora el grfico se vera.

Por definicin:

Para ( ) Para ( )

a) ;

Se observa:

b) ;

Se observa:

c) ;

Se observa:

Expuesto lo anterior concluimos en las siguientes

identidades, las cuales ms adelante las demostra-

remos con otras teoras.

admisible se cumple:

Los ejemplos siguientes ilustran un poco ms al

respecto.

7/29/2019 Trigo T_4

5/26



Ejemplo:

a) sen(30) = sen30 =

b) cos(45) = cos45 =

c) tg(30) = tg30=

d) tg(120) = tg120 =

Parareduciralgunosngulosdela

forma( )sepuedeutilizar:

Ejemplo:

i) tg(120) = tg(120 + 180) = tg60 =

ii) tg 225 = tg(225 180) = tg 45 = 1

iii) ctg(150)=ctg(150+180)= ctg(+30)=

iv) ctg(135) = ctg(135+180) = ctg45 =1

1. Calcule si es positivo mayor de una vuelta pero menor de dos vueltas que pertenece al tercer cuadrantetal que:

Resolucin:Graficando el ngulo

1)2) De la condicin:

De (1): 3) En (1):

7/29/2019 Trigo T_4

6/26



2. ProblemaSi n es impar demustrese que:

Resolucin:

1. Calcule:

Rpta.: ...........................................................

2. Calcule: K = tg 945 + 2 sen 930

Rpta.: ...........................................................

3. Reducir:

Rpta.: ...........................................................

4. Reducir:

Rpta.: ...........................................................

5. Calcule: tg (1200)

Rpta.: ...........................................................

6. Simplificarse:

Rpta.: ...........................................................

7. Reducir:

Rpta.: ...........................................................

8. Calcule: M = tg 1125 + tg 110 + tg 1780

Rpta.: ...........................................................

9. Si: y son ngulos complementarios, redu-cir:

Rpta.: ...........................................................

10.Calcule:

Rpta.: ...........................................................

11.Si: tg 10 = a, calcule: sen (1340)

Rpta.: ...........................................................

12.Calcule:

Rpta.: ...........................................................

7/29/2019 Trigo T_4

7/26



13.Calcule:

Rpta.: ...........................................................

14.Reducir:

Rpta.: ...........................................................

15.Calcule: K = 5 sen + 12 tg

Rpta.: ...........................................................

1. Reducir:

A) 2 B) 1 C) 1 D) 2 E) 0

2. Calcule:

E = cos 480 tg 240 + sen 1140

A) B) C) 0

D) E)

3. Reducir:K= tg 120 ctg 210 + tg 945

A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2

4. Calcule:E = sen 800 + cos 1250 + tg 1935

A) 0 B) 1 C) 1

D) E)

5. Calcule:

A) B) C)

D) E) 1

6. Calcule si: ;

adems:

A) B) C)

D) E)

7. Reducir:

A) 1 B) 1 C) tg

D) tg E) ctg

8. Calcule:E = sen (300) cos (240) tg (315)

A) B) C)

7/29/2019 Trigo T_4

8/26



D) E)

9. Calcule: K= 13 sen + 12 tg

A) 0 B) 10 C) 10 D) 7 E) 7

10.Calcule:

A) B)

C) D)

E)

7/29/2019 Trigo T_4

9/26



INTRODUCCIN:

Todo lo estudiado anteriormente se ha hecho

en base al clculo de razones trigonomtricas de

ngulos, sin embargo existe otro concepto muy im-

portante el cual es, el de la razones trigonomtricas

de nmeros reales. La principal diferencia entre am-

bos conceptos radica en la etimologa de argumento.

Las representaciones trigonomtricas de nmeros

reales es de amplia importancia en la matemtica.

Para que usted pueda entender con xito la parteterica sgame con las siguientes nociones previas.

CIRCUNFERENCIA REGULAR

Es aquella circunferencia inscrita en un plano

cartesiano cuyo centro coincide con el origen de

coordenadas.

Dicha ecuacin se puede deducir a partir de la

distancia entre dos puntos P y O

Luego: r2

=x2

+ y2

DEFINICINUna circunferencia trigonomtrica es aquella cir-

cunferencia regular, cuyo radio es igual a la unidad

de escala del sistema.

Donde:A(1; 0) : Origen de arcos

B(0; 1) : Origen de complementos

A'(1; 0) : Origen de suplementos

B'(0; 1) : Sin nombre especial

: Eje de tangentes

NMEROS REALES Y ARCOS DIRIGIDOSEN POSICIN NORMAL

Calcularlasrazonestrigonomtricasdenmerosreales.

Calcular las variacionesde las razones trigonomtricas segnel cuadrante alcual

perteneceelngulo(arco).

7/29/2019 Trigo T_4

10/26



Dado el grfico:

P : Extremo final del arco AP o simplemente Ex-

tremo del arco

En el sector circular AOP por longitud de arco

se sabe que:

Luego podemos afirmar que el ngulo dirigido

rad. asociado a la C.T., es nicamente igual al

arco , aclarando esto un poco ms concluimos

que:

Ejemplo:

El grfico siguiente ilustra un poco ms al res-

pecto:

Unextremodearcoeselarcodeinfini-

tosarcos,esdecirquecadapuntodela

C.T.representarainfinitosarcos,esto

esunarco ysuscoterminales.

P : E x t r e m o d e y t a m b i n d e

De igual forma

R.T.( rad)=R.T.( )

*

REPRESENTACIONES TRIGONOMTRICASEN LA C.T.

DEFINICIN I

El seno de un arco dirigido en posicin normal

7/29/2019 Trigo T_4

11/26



en la C.T. se representa mediante la ordenada del

extremo del arco.

DEFINICIN II

El coseno de un arco dirigido en posicin normal

en la C.T. se representa mediante la abscisa del

extremo del arco.

Para aclarar un poco ms al respecto sgamecon el siguiente ejemplo:

En el punto B:

; pero B=(0; 1)

Concluimos entonces:

De donde:

De igual forma en el punto A

A' = (cos ; sen ); pero A'=(1; 0)

Concluimos que:

(cos ; sen ) = (1; 0)

De donde:

Ejemplo 1:

Si:

Halle los valores del sen .

Resolucin:

Del dato

Representando estos arcos en la C.T.

Se observa que:

1 < sen < 0

Teorema:

7/29/2019 Trigo T_4

12/26



1. En la C.T. mostrada demustrese que las coor-

denadas del punto P es:

Resolucin:

Por pendiente de la recta L recordar que m es

la pendiente de la recta: .

i) con P y A:

ii) Con A y M:

De (i) y (ii):

2. ProblemaEn la C.T. demustrese que las coordenadas delpunto P son (cos ; sen )

Resolucin:

1. Si: seale verdaderas (V) ofalsas (F) las siguientes proposiciones:I. sen > sen II. cos > cos

III. |sen | > |sen |

IV. |cos | > |cos |

Rpta.: ...........................................................

2. Si: seale verdaderas (V) ofalsas (F) las siguientes proposiciones:I. sen > sen II. cos > cos

III. |sen | > |sen |

IV. |cos | > |cos |

Rpta.: ...........................................................

7/29/2019 Trigo T_4

13/26



3. Ordene en forma creciente:sen 40, sen 100, sen 160, sen 260, sen 350

Rpta.: ...........................................................

4. Ordene en forma decreciente:cos 10, cos 120, cos 200, cos 300

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

7/29/2019 Trigo T_4

14/26



Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

14.Seale verdadero (V) o falso (F) en las siguientesproposiciones:

I. sen 2 > sen 3 II. cos 5 > cos 6

III. sen 3 > sen 4 IV. cos 4 > cos 5

Rpta.: ...........................................................

15.Ordene en forma decreciente:sen 1, sen 2, sen 3, sen 4, sen 5, sen 6

Rpta.: ...........................................................

1. Si: seale verdaderas (V) o falsas(F)las siguientes proposiciones:

I. sen > sen

II. cos > cos

III. sen cos > 0

A) VVV B) VFV C) VVF

D) VFF E) FFV

2. Seale el de mayor valor:A) sen 50

B) sen 160

C) sen 210

D) cos 260

E) cos 350

3. Calcule la distancia de P hacia A.

A) B) C)

D) E)

7/29/2019 Trigo T_4

15/26



B)

C)

D)

E)

B)

C)

D)

E)

B)

C)

D)

E)

C)

D)

E)

C) D)

E)

10.Seale verdaderas (V) o falsas (F) las siguientesproposiciones:

7/29/2019 Trigo T_4

16/26



I. Si:

II. Si:

III. Si:

A) VVF B) VFF C) FVF

D) FFV E) FFF

C)

D)

E)

7/29/2019 Trigo T_4

17/26



Dado un arco , representado en la C.T.

sera:

Se observa que las ordenadas van de 1 a 1.

De igual forma para el cos

de donde:

Ejemplo:

Si . A qu cuadrante pertenece ?

Resolucin:

* Luego la C.T. se ver.

k = 0

k = 1

k = 2

7/29/2019 Trigo T_4

18/26



1. Calcule los valores de y tal que cumpla:

Resolucin:i) De la condicin:

ii) Pero:

de (i) y (ii): cos2 = 1

iii) Reemplazando cos2 = 1

En la condicin:

2. ProblemaDemustrese que:

Resolucin:

1. Calcule la extensin de la expresin:K = 3 sen + 2

Rpta.: ...........................................................

2. Halle los valores enteros de la expresin:K=2 cos + 5

Rpta.: ...........................................................

3. Calcule la extensin de la expresin:M = 2 3 sen

2

Rpta.: ...........................................................

4. Si: halle la extensin de la expre-sin:

E = 2 cos + 3

Rpta.: ...........................................................


E = 2 cos + 3

Rpta.: ...........................................................


M = 3 + 4 sen

Rpta.: ...........................................................

7. Si: , halle la extensin de laexpresin: E = 5 2 cos .

Rpta.: ...........................................................

7/29/2019 Trigo T_4

19/26



8. Si: , calcule el mximo valor de laexpresin:

Rpta.: ...........................................................

9. Si: , adems: k = 2 sen2 3 cos

2,

calcule: K(mx.) K(mn.)

Rpta.: ...........................................................

10.Halle la extensin de la expresin:A = (2 + sen ) (2 sen )

Rpta.: ...........................................................

11.Halle la extensin de la expresin:

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

13.Cul de las siguientes igualdades es posible?

Rpta.: ...........................................................

14.Calcu le s i : a , b > 0 ta l que :

Rpta.: ...........................................................

15.Calcule la extensin de:I. K= sen (sen + 1)

II.

Rpta.: ...........................................................

7/29/2019 Trigo T_4

20/26



1. Calcule el mnimo de:

A) 5 B) 1 C) 2 D) 1 E) 5

2. Calcule la suma de los valores enteros de laexpresin: E = 4 cos + 1

A) 10 B) 15 C) 16 D) 9 E) 5

3. Calcule el valor de k si: 2 sen 3 k = 1

A) B) C)

D) E)

4. Si: , adems: , calcule lasuma de los valores enteros de a.

A) 25 B) 24 C) 23

D) 22 E) 18

5. Calcule los valores si:

A) B) C)

D) E)

6. Si: , halle la expresin:

A) B) C)

D) E)

7. Halle los valores de a si:,

adems:

A) B)

C) D)

E)

8. Calcule la extensin de la expresin:

A) [0; 2[ B) [0; 1] C) [1; 2]

D) ]0; 2[ E) [0; 2]

9. Calcule la extensin de la expresin:

A) B) [1; 2] C)

D) E)

10.Calcule el mnimo valor de la expresin:

k = cos (cos 1)

A) B) C)

D) E) 1

7/29/2019 Trigo T_4

21/26



INTRODUCCIN:

A continuacin se estudiarn las equivalencias

que relacionan las razones trigonomtricas de un

mismo ngulo, dichas identidades tiene un papel

muy importante en la matemtica, fsica, etc, en las

cuales se utiliza para simplificar y poder obtener una

expresin equivalente la cual puede ser ms sencilla

para analizarla.

Como todas las identidades trigonomtricas son

igualdades que se verifican para todo valor admi-

sible de la variable angular (arco). Seguidamentepresentamos algunos ejemplos de identidades.

Bueno seor lector para que usted tenga un

mejor entendimiento de lo que es un valor admisi-

ble, preste atencin a lo siguiente: Las identidades

trigonomtricas slo se pueden aplicar cuando las

razones trigonomtricas de un cierto ngulo estn

definidos o tienen un valor determinado.

Ejemplo:

i) tg 60 =

( es un valor real; tiene un valor fijo) en-tonces podemos utilizar las identidades

ii) ctg 180 (no tiene un valor real)

es decir ctg180En consecuencia no se puede utilizar la identi-dad

(esto es incorrecto)

De donde afirmamos que:

Seguidamente se citan las identidades trigo-

nomtricas fundamentales acompaados de sus

respectivas restricciones.

IDENTIDADES TRIGONOMTRICASFUNDAMENTALES

Identidades Pitagricas.

Identidades Por Cociente.

Conocerlasidentidadesbsicasyreconocerlasformasalternativasdecadauna.

Conocerlastcnicasempleadasparalaverificacindecadaunadelasidentidades.

Conocerlasdiversaspropiedadesdelasidentidadestrigonomtricas.

7/29/2019 Trigo T_4

22/26



Identidades Recprocas.

A continuacin se presenta algunas demostraciones

a partir de un arco dirigido en posicin normal

.

Dado un arco .

P pertenece a la C.T. entonces debe utilizar la

ecuacin de la C.T. esto es:

De donde:

(Identidad Pitagrica)

Por definicin:

... (1)

como tg( rad) = tg ... (2)

(2) en (1)

(Identidad por Cociente)

Por definicin:

... (1)

como csc( rad) = csc ... (2)

(2) en (1)

(Identidad Recproca)

Los problemas sobre identidades los podemos

dividir en cuatro grupos.

i) Problemas de demostracin.ii) Problemas de simplificacin o reduccin.iii) Problemas sobre eliminacin de la variable

angular.

iv) Problemas condicionales.

En este ltimo problema es donde se debe teneren cuenta acerca de los valores admisibles, en los

dems no, se sobreentiende que en ellos se trabaja

con valores admisibles.

Ejemplo 1:

Si: , calcule sen cos

Resolucin:

De donde:

Ejemplo 2:

Simplifique la expresin:

7/29/2019 Trigo T_4

23/26



Resolucin:

Se sabe que

Luego:

Como:

PROPIEDADES

Ejemplo 1:

Si: . Calcule sen

Resolucin:De:

Se observa que:

Ejemplo 2:

Calcule tg si se cumple que

Resolucin:

De: 3sen 4cos = 5

Se observa que

Como:

7/29/2019 Trigo T_4

24/26



1. Demustrese que:Resolucin:

i) sec2x= 1 + tg

2x

csc2

x= 1 + ctg2x

sec2x+ csc

2x= 2 + tg

2x+ ctg

2x

ii)

Pero: tgxctgx= 1

iii) De (ii):

2. ProblemaDemustrese que:

Resolucin:

1. Reducir:

Rpta.: ...........................................................

2. Simplificar: E = tg (csc sen )

Rpta.: ...........................................................

3. Calcule k si: ctg2x cos

2x = k ctg

2x

Rpta.: ...........................................................

4. Reducir:

Rpta.: ...........................................................

5. Reducir:

Rpta.: ...........................................................

6. Simplificar:

Rpta.: ...........................................................

7. Si:calcule sen cos

Rpta.: ...........................................................

8. Si: , calcule (tg2 + ctg

2

)

7/29/2019 Trigo T_4

25/26



Rpta.: ...........................................................

9. Si: sec tg = 3, calcule tg

Rpta.: ...........................................................

10.Si: 1 + tgx= a secx1 tgx = b secx

calcule (a2

+ b2)

Rpta.: ...........................................................

11.Si: 3 senx + 4 cosx = 5

calcule

Rpta.: ...........................................................

12.Si:calcule senxcosx

Rpta.: ...........................................................

13.Si: reducir:

Rpta.: ...........................................................

14.Si: reducir:

Rpta.: ...........................................................

15.Simplificar:

Rpta.: ...........................................................

1. Reducir: K= senxsecxctgx+ 1A) 1 B) sen

2x C) csc

2x

D) 2 E) 3

2. Reducir:

A) 1 B) 2 C) 2 sen cos

D) 4 E) 4 sen cos

3. Simplificar: K= senxtgx+ cosx

A) secx B) cscx C) tgx

D) ctgx E) 1

4. Calcule k si:A) 1 B) 2 C) 3

D) E)

5. Calcule k si: tg2x sen

2x = k tg

2

A) sen2x B) cos

2x C) sec

2x

7/29/2019 Trigo T_4

26/26



D) csc2x E) ctg

2x

6. Reducir:A) tg2x B) ctg

2x C) tg

4x

D) ctg4x E) tg

6x

7. Si:calcule (secx + csc x)

A) B) C)

D) 1 E) 2

8. Si: tgx ctgx= 2, calcule (tgx+ ctgx)

A) B) 4 C)

D) E) 3

9. Si: cscx+ ctg x= 2, calcule ctgxA) 0,5 B) 0,75 C) 1

D) 1,25 E) 1,5

10.Si:

calcule

A) 1 B) 2 C)

D) E)

trigo t_4

Documents