trigo final
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trabajo MICHAEL DARIO HURTADO CAMPOTRANSCRIPT
Razones trigonomeacutetricas
MICHAEL DARIO HURTADO CAMPO
TrigonometriacuteaRama de las matemaacuteticas que estudia las relaciones entre los lados y los aacutengulos de triaacutengulos de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos Las dos ramas fundamentales de la trigonometriacutea son la trigonometriacutea plana que se ocupa de figuras contenidas en un plano y la trigonometriacutea esfeacuterica que se ocupa de triaacutengulos que forman parte de la superficie de una esferaLas primeras aplicaciones de la trigonometriacutea se hicieron en los campos de la navegacioacuten la geodesia y la astronomiacutea en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible como la distancia entre la Tierra y la Luna o una distancia que no podiacutea ser medida de forma directa Otras aplicaciones de la trigonometriacutea se pueden encontrar en la fiacutesica quiacutemica y en casi todas las ramas de la ingenieriacutea sobre todo en el estudio de fenoacutemenos perioacutedicos como el sonido o el flujo de corriente alterna
Razones trigonomeacutetricas
Razones trigonomeacutetricas en un triaacutengulo rectaacutengulo
SENOEl seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusaSe denota por sen B
El seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusa Se denota por sen B
SENO B= CATETO OPUESTO = BHIPOTENUSA A
CosenoEl coseno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto contiguo al aacutengulo y la hipotenusa Se denota por cos B
COSENO B= CATETO CONTIGUO= CHIPOTENUSA A
Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
Tangente B = SEN B=CATETO OPUESTO = BCOS B CATETO CONTIGUO C
Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de BSe denota por cosec B
COSEC B = 1 = HIPOTENUSA =ASEN B CATETO OPUESTO B
Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de BSe denota por sec B
Sec = = 1 = HIPOTENUSA =ACOS B CATETO CONTIGUO C
Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de BSe denota por cotg B
Cotg B= 1 = COS B= CATETO CONTIGUO= CTG B SEN B CATETO OPUESTO B
Razones trigonomeacutetricas en una circunferenciaSe llama circunferencia goniomeacutetrica a aqueacutella que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidadEn la circunferencia goniomeacutetrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del relojQOP y TOS son triaacutengulos semejantesQOP y TOSprime son triaacutengulos semejante
El seno es la ordenadaEl coseno es la abscisa-1 le sen α le 1-1 le cos α le 1
Signo de las razones trigonomeacutetricas
Tabla de razones trigonomeacutetricas
Relaciones entre las razones trigonomeacutetricas
cossup2 α + sensup2 α = 1secsup2 α = 1 + tgsup2 αcosecsup2 α = 1 + cotgsup2 α
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
SEN 2ordf = 2 SEN ACOS A
COS 2ordf = COS ^2ordf - SEN`^2A
TG 2ordf= 2TG A1- TG^2A
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
El mayor aporte de las trigonometriacutea al mundo esta en las maravillas del mundo como el arte de la arquitectura junto a la trigonometriacutea a creado edificaciones tan perfectas y hermosas que son los lugares insignias de cada paiacutes donde se encuentran que mas aporte que ese
La Gran Piraacutemide de Guiza Terminada alrededor del antildeo 2570 a C fue construida para el faraoacuten Keops Ubicada en Guiza Egipto es la uacutenica de las siete maravillas que auacuten se puede contemplar
los egipcios los maestros de la arquitectura sin muchos recurso las construyeron y muchas personas no creen que fueron ellos ademaacutes no solo su construccioacuten sino el Angulo que forma la sombra
Los Jardines Colgantes de Babilonia Construidos en 605 a C - 562 a C Ubicados en la ciudad de Babilonia actual Irak Perduraron hasta no maacutes allaacute de 126 a C cuando la ciudad fue destruida definitivamente por los partos
Alquenos no creen que existan otros aseguran a verlos visto pero para imaginaacuterselos se necesita tener un gran conocimiento trigonomeacutetrico o ser muy creativo
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
TrigonometriacuteaRama de las matemaacuteticas que estudia las relaciones entre los lados y los aacutengulos de triaacutengulos de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos Las dos ramas fundamentales de la trigonometriacutea son la trigonometriacutea plana que se ocupa de figuras contenidas en un plano y la trigonometriacutea esfeacuterica que se ocupa de triaacutengulos que forman parte de la superficie de una esferaLas primeras aplicaciones de la trigonometriacutea se hicieron en los campos de la navegacioacuten la geodesia y la astronomiacutea en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible como la distancia entre la Tierra y la Luna o una distancia que no podiacutea ser medida de forma directa Otras aplicaciones de la trigonometriacutea se pueden encontrar en la fiacutesica quiacutemica y en casi todas las ramas de la ingenieriacutea sobre todo en el estudio de fenoacutemenos perioacutedicos como el sonido o el flujo de corriente alterna
Razones trigonomeacutetricas
Razones trigonomeacutetricas en un triaacutengulo rectaacutengulo
SENOEl seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusaSe denota por sen B
El seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusa Se denota por sen B
SENO B= CATETO OPUESTO = BHIPOTENUSA A
CosenoEl coseno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto contiguo al aacutengulo y la hipotenusa Se denota por cos B
COSENO B= CATETO CONTIGUO= CHIPOTENUSA A
Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
Tangente B = SEN B=CATETO OPUESTO = BCOS B CATETO CONTIGUO C
Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de BSe denota por cosec B
COSEC B = 1 = HIPOTENUSA =ASEN B CATETO OPUESTO B
Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de BSe denota por sec B
Sec = = 1 = HIPOTENUSA =ACOS B CATETO CONTIGUO C
Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de BSe denota por cotg B
Cotg B= 1 = COS B= CATETO CONTIGUO= CTG B SEN B CATETO OPUESTO B
Razones trigonomeacutetricas en una circunferenciaSe llama circunferencia goniomeacutetrica a aqueacutella que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidadEn la circunferencia goniomeacutetrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del relojQOP y TOS son triaacutengulos semejantesQOP y TOSprime son triaacutengulos semejante
El seno es la ordenadaEl coseno es la abscisa-1 le sen α le 1-1 le cos α le 1
Signo de las razones trigonomeacutetricas
Tabla de razones trigonomeacutetricas
Relaciones entre las razones trigonomeacutetricas
cossup2 α + sensup2 α = 1secsup2 α = 1 + tgsup2 αcosecsup2 α = 1 + cotgsup2 α
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
SEN 2ordf = 2 SEN ACOS A
COS 2ordf = COS ^2ordf - SEN`^2A
TG 2ordf= 2TG A1- TG^2A
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
El mayor aporte de las trigonometriacutea al mundo esta en las maravillas del mundo como el arte de la arquitectura junto a la trigonometriacutea a creado edificaciones tan perfectas y hermosas que son los lugares insignias de cada paiacutes donde se encuentran que mas aporte que ese
La Gran Piraacutemide de Guiza Terminada alrededor del antildeo 2570 a C fue construida para el faraoacuten Keops Ubicada en Guiza Egipto es la uacutenica de las siete maravillas que auacuten se puede contemplar
los egipcios los maestros de la arquitectura sin muchos recurso las construyeron y muchas personas no creen que fueron ellos ademaacutes no solo su construccioacuten sino el Angulo que forma la sombra
Los Jardines Colgantes de Babilonia Construidos en 605 a C - 562 a C Ubicados en la ciudad de Babilonia actual Irak Perduraron hasta no maacutes allaacute de 126 a C cuando la ciudad fue destruida definitivamente por los partos
Alquenos no creen que existan otros aseguran a verlos visto pero para imaginaacuterselos se necesita tener un gran conocimiento trigonomeacutetrico o ser muy creativo
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Razones trigonomeacutetricas
Razones trigonomeacutetricas en un triaacutengulo rectaacutengulo
SENOEl seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusaSe denota por sen B
El seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusa Se denota por sen B
SENO B= CATETO OPUESTO = BHIPOTENUSA A
CosenoEl coseno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto contiguo al aacutengulo y la hipotenusa Se denota por cos B
COSENO B= CATETO CONTIGUO= CHIPOTENUSA A
Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
Tangente B = SEN B=CATETO OPUESTO = BCOS B CATETO CONTIGUO C
Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de BSe denota por cosec B
COSEC B = 1 = HIPOTENUSA =ASEN B CATETO OPUESTO B
Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de BSe denota por sec B
Sec = = 1 = HIPOTENUSA =ACOS B CATETO CONTIGUO C
Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de BSe denota por cotg B
Cotg B= 1 = COS B= CATETO CONTIGUO= CTG B SEN B CATETO OPUESTO B
Razones trigonomeacutetricas en una circunferenciaSe llama circunferencia goniomeacutetrica a aqueacutella que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidadEn la circunferencia goniomeacutetrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del relojQOP y TOS son triaacutengulos semejantesQOP y TOSprime son triaacutengulos semejante
El seno es la ordenadaEl coseno es la abscisa-1 le sen α le 1-1 le cos α le 1
Signo de las razones trigonomeacutetricas
Tabla de razones trigonomeacutetricas
Relaciones entre las razones trigonomeacutetricas
cossup2 α + sensup2 α = 1secsup2 α = 1 + tgsup2 αcosecsup2 α = 1 + cotgsup2 α
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
SEN 2ordf = 2 SEN ACOS A
COS 2ordf = COS ^2ordf - SEN`^2A
TG 2ordf= 2TG A1- TG^2A
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
El mayor aporte de las trigonometriacutea al mundo esta en las maravillas del mundo como el arte de la arquitectura junto a la trigonometriacutea a creado edificaciones tan perfectas y hermosas que son los lugares insignias de cada paiacutes donde se encuentran que mas aporte que ese
La Gran Piraacutemide de Guiza Terminada alrededor del antildeo 2570 a C fue construida para el faraoacuten Keops Ubicada en Guiza Egipto es la uacutenica de las siete maravillas que auacuten se puede contemplar
los egipcios los maestros de la arquitectura sin muchos recurso las construyeron y muchas personas no creen que fueron ellos ademaacutes no solo su construccioacuten sino el Angulo que forma la sombra
Los Jardines Colgantes de Babilonia Construidos en 605 a C - 562 a C Ubicados en la ciudad de Babilonia actual Irak Perduraron hasta no maacutes allaacute de 126 a C cuando la ciudad fue destruida definitivamente por los partos
Alquenos no creen que existan otros aseguran a verlos visto pero para imaginaacuterselos se necesita tener un gran conocimiento trigonomeacutetrico o ser muy creativo
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
SENOEl seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusaSe denota por sen B
El seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusa Se denota por sen B
SENO B= CATETO OPUESTO = BHIPOTENUSA A
CosenoEl coseno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto contiguo al aacutengulo y la hipotenusa Se denota por cos B
COSENO B= CATETO CONTIGUO= CHIPOTENUSA A
Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
Tangente B = SEN B=CATETO OPUESTO = BCOS B CATETO CONTIGUO C
Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de BSe denota por cosec B
COSEC B = 1 = HIPOTENUSA =ASEN B CATETO OPUESTO B
Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de BSe denota por sec B
Sec = = 1 = HIPOTENUSA =ACOS B CATETO CONTIGUO C
Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de BSe denota por cotg B
Cotg B= 1 = COS B= CATETO CONTIGUO= CTG B SEN B CATETO OPUESTO B
Razones trigonomeacutetricas en una circunferenciaSe llama circunferencia goniomeacutetrica a aqueacutella que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidadEn la circunferencia goniomeacutetrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del relojQOP y TOS son triaacutengulos semejantesQOP y TOSprime son triaacutengulos semejante
El seno es la ordenadaEl coseno es la abscisa-1 le sen α le 1-1 le cos α le 1
Signo de las razones trigonomeacutetricas
Tabla de razones trigonomeacutetricas
Relaciones entre las razones trigonomeacutetricas
cossup2 α + sensup2 α = 1secsup2 α = 1 + tgsup2 αcosecsup2 α = 1 + cotgsup2 α
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
SEN 2ordf = 2 SEN ACOS A
COS 2ordf = COS ^2ordf - SEN`^2A
TG 2ordf= 2TG A1- TG^2A
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
El mayor aporte de las trigonometriacutea al mundo esta en las maravillas del mundo como el arte de la arquitectura junto a la trigonometriacutea a creado edificaciones tan perfectas y hermosas que son los lugares insignias de cada paiacutes donde se encuentran que mas aporte que ese
La Gran Piraacutemide de Guiza Terminada alrededor del antildeo 2570 a C fue construida para el faraoacuten Keops Ubicada en Guiza Egipto es la uacutenica de las siete maravillas que auacuten se puede contemplar
los egipcios los maestros de la arquitectura sin muchos recurso las construyeron y muchas personas no creen que fueron ellos ademaacutes no solo su construccioacuten sino el Angulo que forma la sombra
Los Jardines Colgantes de Babilonia Construidos en 605 a C - 562 a C Ubicados en la ciudad de Babilonia actual Irak Perduraron hasta no maacutes allaacute de 126 a C cuando la ciudad fue destruida definitivamente por los partos
Alquenos no creen que existan otros aseguran a verlos visto pero para imaginaacuterselos se necesita tener un gran conocimiento trigonomeacutetrico o ser muy creativo
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
CosenoEl coseno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto contiguo al aacutengulo y la hipotenusa Se denota por cos B
COSENO B= CATETO CONTIGUO= CHIPOTENUSA A
Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
Tangente B = SEN B=CATETO OPUESTO = BCOS B CATETO CONTIGUO C
Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de BSe denota por cosec B
COSEC B = 1 = HIPOTENUSA =ASEN B CATETO OPUESTO B
Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de BSe denota por sec B
Sec = = 1 = HIPOTENUSA =ACOS B CATETO CONTIGUO C
Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de BSe denota por cotg B
Cotg B= 1 = COS B= CATETO CONTIGUO= CTG B SEN B CATETO OPUESTO B
Razones trigonomeacutetricas en una circunferenciaSe llama circunferencia goniomeacutetrica a aqueacutella que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidadEn la circunferencia goniomeacutetrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del relojQOP y TOS son triaacutengulos semejantesQOP y TOSprime son triaacutengulos semejante
El seno es la ordenadaEl coseno es la abscisa-1 le sen α le 1-1 le cos α le 1
Signo de las razones trigonomeacutetricas
Tabla de razones trigonomeacutetricas
Relaciones entre las razones trigonomeacutetricas
cossup2 α + sensup2 α = 1secsup2 α = 1 + tgsup2 αcosecsup2 α = 1 + cotgsup2 α
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
SEN 2ordf = 2 SEN ACOS A
COS 2ordf = COS ^2ordf - SEN`^2A
TG 2ordf= 2TG A1- TG^2A
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
El mayor aporte de las trigonometriacutea al mundo esta en las maravillas del mundo como el arte de la arquitectura junto a la trigonometriacutea a creado edificaciones tan perfectas y hermosas que son los lugares insignias de cada paiacutes donde se encuentran que mas aporte que ese
La Gran Piraacutemide de Guiza Terminada alrededor del antildeo 2570 a C fue construida para el faraoacuten Keops Ubicada en Guiza Egipto es la uacutenica de las siete maravillas que auacuten se puede contemplar
los egipcios los maestros de la arquitectura sin muchos recurso las construyeron y muchas personas no creen que fueron ellos ademaacutes no solo su construccioacuten sino el Angulo que forma la sombra
Los Jardines Colgantes de Babilonia Construidos en 605 a C - 562 a C Ubicados en la ciudad de Babilonia actual Irak Perduraron hasta no maacutes allaacute de 126 a C cuando la ciudad fue destruida definitivamente por los partos
Alquenos no creen que existan otros aseguran a verlos visto pero para imaginaacuterselos se necesita tener un gran conocimiento trigonomeacutetrico o ser muy creativo
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
Tangente B = SEN B=CATETO OPUESTO = BCOS B CATETO CONTIGUO C
Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de BSe denota por cosec B
COSEC B = 1 = HIPOTENUSA =ASEN B CATETO OPUESTO B
Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de BSe denota por sec B
Sec = = 1 = HIPOTENUSA =ACOS B CATETO CONTIGUO C
Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de BSe denota por cotg B
Cotg B= 1 = COS B= CATETO CONTIGUO= CTG B SEN B CATETO OPUESTO B
Razones trigonomeacutetricas en una circunferenciaSe llama circunferencia goniomeacutetrica a aqueacutella que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidadEn la circunferencia goniomeacutetrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del relojQOP y TOS son triaacutengulos semejantesQOP y TOSprime son triaacutengulos semejante
El seno es la ordenadaEl coseno es la abscisa-1 le sen α le 1-1 le cos α le 1
Signo de las razones trigonomeacutetricas
Tabla de razones trigonomeacutetricas
Relaciones entre las razones trigonomeacutetricas
cossup2 α + sensup2 α = 1secsup2 α = 1 + tgsup2 αcosecsup2 α = 1 + cotgsup2 α
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
SEN 2ordf = 2 SEN ACOS A
COS 2ordf = COS ^2ordf - SEN`^2A
TG 2ordf= 2TG A1- TG^2A
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
El mayor aporte de las trigonometriacutea al mundo esta en las maravillas del mundo como el arte de la arquitectura junto a la trigonometriacutea a creado edificaciones tan perfectas y hermosas que son los lugares insignias de cada paiacutes donde se encuentran que mas aporte que ese
La Gran Piraacutemide de Guiza Terminada alrededor del antildeo 2570 a C fue construida para el faraoacuten Keops Ubicada en Guiza Egipto es la uacutenica de las siete maravillas que auacuten se puede contemplar
los egipcios los maestros de la arquitectura sin muchos recurso las construyeron y muchas personas no creen que fueron ellos ademaacutes no solo su construccioacuten sino el Angulo que forma la sombra
Los Jardines Colgantes de Babilonia Construidos en 605 a C - 562 a C Ubicados en la ciudad de Babilonia actual Irak Perduraron hasta no maacutes allaacute de 126 a C cuando la ciudad fue destruida definitivamente por los partos
Alquenos no creen que existan otros aseguran a verlos visto pero para imaginaacuterselos se necesita tener un gran conocimiento trigonomeacutetrico o ser muy creativo
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de BSe denota por cosec B
COSEC B = 1 = HIPOTENUSA =ASEN B CATETO OPUESTO B
Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de BSe denota por sec B
Sec = = 1 = HIPOTENUSA =ACOS B CATETO CONTIGUO C
Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de BSe denota por cotg B
Cotg B= 1 = COS B= CATETO CONTIGUO= CTG B SEN B CATETO OPUESTO B
Razones trigonomeacutetricas en una circunferenciaSe llama circunferencia goniomeacutetrica a aqueacutella que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidadEn la circunferencia goniomeacutetrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del relojQOP y TOS son triaacutengulos semejantesQOP y TOSprime son triaacutengulos semejante
El seno es la ordenadaEl coseno es la abscisa-1 le sen α le 1-1 le cos α le 1
Signo de las razones trigonomeacutetricas
Tabla de razones trigonomeacutetricas
Relaciones entre las razones trigonomeacutetricas
cossup2 α + sensup2 α = 1secsup2 α = 1 + tgsup2 αcosecsup2 α = 1 + cotgsup2 α
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
SEN 2ordf = 2 SEN ACOS A
COS 2ordf = COS ^2ordf - SEN`^2A
TG 2ordf= 2TG A1- TG^2A
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
El mayor aporte de las trigonometriacutea al mundo esta en las maravillas del mundo como el arte de la arquitectura junto a la trigonometriacutea a creado edificaciones tan perfectas y hermosas que son los lugares insignias de cada paiacutes donde se encuentran que mas aporte que ese
La Gran Piraacutemide de Guiza Terminada alrededor del antildeo 2570 a C fue construida para el faraoacuten Keops Ubicada en Guiza Egipto es la uacutenica de las siete maravillas que auacuten se puede contemplar
los egipcios los maestros de la arquitectura sin muchos recurso las construyeron y muchas personas no creen que fueron ellos ademaacutes no solo su construccioacuten sino el Angulo que forma la sombra
Los Jardines Colgantes de Babilonia Construidos en 605 a C - 562 a C Ubicados en la ciudad de Babilonia actual Irak Perduraron hasta no maacutes allaacute de 126 a C cuando la ciudad fue destruida definitivamente por los partos
Alquenos no creen que existan otros aseguran a verlos visto pero para imaginaacuterselos se necesita tener un gran conocimiento trigonomeacutetrico o ser muy creativo
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de BSe denota por sec B
Sec = = 1 = HIPOTENUSA =ACOS B CATETO CONTIGUO C
Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de BSe denota por cotg B
Cotg B= 1 = COS B= CATETO CONTIGUO= CTG B SEN B CATETO OPUESTO B
Razones trigonomeacutetricas en una circunferenciaSe llama circunferencia goniomeacutetrica a aqueacutella que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidadEn la circunferencia goniomeacutetrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del relojQOP y TOS son triaacutengulos semejantesQOP y TOSprime son triaacutengulos semejante
El seno es la ordenadaEl coseno es la abscisa-1 le sen α le 1-1 le cos α le 1
Signo de las razones trigonomeacutetricas
Tabla de razones trigonomeacutetricas
Relaciones entre las razones trigonomeacutetricas
cossup2 α + sensup2 α = 1secsup2 α = 1 + tgsup2 αcosecsup2 α = 1 + cotgsup2 α
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
SEN 2ordf = 2 SEN ACOS A
COS 2ordf = COS ^2ordf - SEN`^2A
TG 2ordf= 2TG A1- TG^2A
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
El mayor aporte de las trigonometriacutea al mundo esta en las maravillas del mundo como el arte de la arquitectura junto a la trigonometriacutea a creado edificaciones tan perfectas y hermosas que son los lugares insignias de cada paiacutes donde se encuentran que mas aporte que ese
La Gran Piraacutemide de Guiza Terminada alrededor del antildeo 2570 a C fue construida para el faraoacuten Keops Ubicada en Guiza Egipto es la uacutenica de las siete maravillas que auacuten se puede contemplar
los egipcios los maestros de la arquitectura sin muchos recurso las construyeron y muchas personas no creen que fueron ellos ademaacutes no solo su construccioacuten sino el Angulo que forma la sombra
Los Jardines Colgantes de Babilonia Construidos en 605 a C - 562 a C Ubicados en la ciudad de Babilonia actual Irak Perduraron hasta no maacutes allaacute de 126 a C cuando la ciudad fue destruida definitivamente por los partos
Alquenos no creen que existan otros aseguran a verlos visto pero para imaginaacuterselos se necesita tener un gran conocimiento trigonomeacutetrico o ser muy creativo
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de BSe denota por cotg B
Cotg B= 1 = COS B= CATETO CONTIGUO= CTG B SEN B CATETO OPUESTO B
Razones trigonomeacutetricas en una circunferenciaSe llama circunferencia goniomeacutetrica a aqueacutella que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidadEn la circunferencia goniomeacutetrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del relojQOP y TOS son triaacutengulos semejantesQOP y TOSprime son triaacutengulos semejante
El seno es la ordenadaEl coseno es la abscisa-1 le sen α le 1-1 le cos α le 1
Signo de las razones trigonomeacutetricas
Tabla de razones trigonomeacutetricas
Relaciones entre las razones trigonomeacutetricas
cossup2 α + sensup2 α = 1secsup2 α = 1 + tgsup2 αcosecsup2 α = 1 + cotgsup2 α
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
SEN 2ordf = 2 SEN ACOS A
COS 2ordf = COS ^2ordf - SEN`^2A
TG 2ordf= 2TG A1- TG^2A
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
El mayor aporte de las trigonometriacutea al mundo esta en las maravillas del mundo como el arte de la arquitectura junto a la trigonometriacutea a creado edificaciones tan perfectas y hermosas que son los lugares insignias de cada paiacutes donde se encuentran que mas aporte que ese
La Gran Piraacutemide de Guiza Terminada alrededor del antildeo 2570 a C fue construida para el faraoacuten Keops Ubicada en Guiza Egipto es la uacutenica de las siete maravillas que auacuten se puede contemplar
los egipcios los maestros de la arquitectura sin muchos recurso las construyeron y muchas personas no creen que fueron ellos ademaacutes no solo su construccioacuten sino el Angulo que forma la sombra
Los Jardines Colgantes de Babilonia Construidos en 605 a C - 562 a C Ubicados en la ciudad de Babilonia actual Irak Perduraron hasta no maacutes allaacute de 126 a C cuando la ciudad fue destruida definitivamente por los partos
Alquenos no creen que existan otros aseguran a verlos visto pero para imaginaacuterselos se necesita tener un gran conocimiento trigonomeacutetrico o ser muy creativo
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Razones trigonomeacutetricas en una circunferenciaSe llama circunferencia goniomeacutetrica a aqueacutella que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidadEn la circunferencia goniomeacutetrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del relojQOP y TOS son triaacutengulos semejantesQOP y TOSprime son triaacutengulos semejante
El seno es la ordenadaEl coseno es la abscisa-1 le sen α le 1-1 le cos α le 1
Signo de las razones trigonomeacutetricas
Tabla de razones trigonomeacutetricas
Relaciones entre las razones trigonomeacutetricas
cossup2 α + sensup2 α = 1secsup2 α = 1 + tgsup2 αcosecsup2 α = 1 + cotgsup2 α
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
SEN 2ordf = 2 SEN ACOS A
COS 2ordf = COS ^2ordf - SEN`^2A
TG 2ordf= 2TG A1- TG^2A
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
El mayor aporte de las trigonometriacutea al mundo esta en las maravillas del mundo como el arte de la arquitectura junto a la trigonometriacutea a creado edificaciones tan perfectas y hermosas que son los lugares insignias de cada paiacutes donde se encuentran que mas aporte que ese
La Gran Piraacutemide de Guiza Terminada alrededor del antildeo 2570 a C fue construida para el faraoacuten Keops Ubicada en Guiza Egipto es la uacutenica de las siete maravillas que auacuten se puede contemplar
los egipcios los maestros de la arquitectura sin muchos recurso las construyeron y muchas personas no creen que fueron ellos ademaacutes no solo su construccioacuten sino el Angulo que forma la sombra
Los Jardines Colgantes de Babilonia Construidos en 605 a C - 562 a C Ubicados en la ciudad de Babilonia actual Irak Perduraron hasta no maacutes allaacute de 126 a C cuando la ciudad fue destruida definitivamente por los partos
Alquenos no creen que existan otros aseguran a verlos visto pero para imaginaacuterselos se necesita tener un gran conocimiento trigonomeacutetrico o ser muy creativo
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Signo de las razones trigonomeacutetricas
Tabla de razones trigonomeacutetricas
Relaciones entre las razones trigonomeacutetricas
cossup2 α + sensup2 α = 1secsup2 α = 1 + tgsup2 αcosecsup2 α = 1 + cotgsup2 α
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
SEN 2ordf = 2 SEN ACOS A
COS 2ordf = COS ^2ordf - SEN`^2A
TG 2ordf= 2TG A1- TG^2A
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
El mayor aporte de las trigonometriacutea al mundo esta en las maravillas del mundo como el arte de la arquitectura junto a la trigonometriacutea a creado edificaciones tan perfectas y hermosas que son los lugares insignias de cada paiacutes donde se encuentran que mas aporte que ese
La Gran Piraacutemide de Guiza Terminada alrededor del antildeo 2570 a C fue construida para el faraoacuten Keops Ubicada en Guiza Egipto es la uacutenica de las siete maravillas que auacuten se puede contemplar
los egipcios los maestros de la arquitectura sin muchos recurso las construyeron y muchas personas no creen que fueron ellos ademaacutes no solo su construccioacuten sino el Angulo que forma la sombra
Los Jardines Colgantes de Babilonia Construidos en 605 a C - 562 a C Ubicados en la ciudad de Babilonia actual Irak Perduraron hasta no maacutes allaacute de 126 a C cuando la ciudad fue destruida definitivamente por los partos
Alquenos no creen que existan otros aseguran a verlos visto pero para imaginaacuterselos se necesita tener un gran conocimiento trigonomeacutetrico o ser muy creativo
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Tabla de razones trigonomeacutetricas
Relaciones entre las razones trigonomeacutetricas
cossup2 α + sensup2 α = 1secsup2 α = 1 + tgsup2 αcosecsup2 α = 1 + cotgsup2 α
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
SEN 2ordf = 2 SEN ACOS A
COS 2ordf = COS ^2ordf - SEN`^2A
TG 2ordf= 2TG A1- TG^2A
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
El mayor aporte de las trigonometriacutea al mundo esta en las maravillas del mundo como el arte de la arquitectura junto a la trigonometriacutea a creado edificaciones tan perfectas y hermosas que son los lugares insignias de cada paiacutes donde se encuentran que mas aporte que ese
La Gran Piraacutemide de Guiza Terminada alrededor del antildeo 2570 a C fue construida para el faraoacuten Keops Ubicada en Guiza Egipto es la uacutenica de las siete maravillas que auacuten se puede contemplar
los egipcios los maestros de la arquitectura sin muchos recurso las construyeron y muchas personas no creen que fueron ellos ademaacutes no solo su construccioacuten sino el Angulo que forma la sombra
Los Jardines Colgantes de Babilonia Construidos en 605 a C - 562 a C Ubicados en la ciudad de Babilonia actual Irak Perduraron hasta no maacutes allaacute de 126 a C cuando la ciudad fue destruida definitivamente por los partos
Alquenos no creen que existan otros aseguran a verlos visto pero para imaginaacuterselos se necesita tener un gran conocimiento trigonomeacutetrico o ser muy creativo
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Relaciones entre las razones trigonomeacutetricas
cossup2 α + sensup2 α = 1secsup2 α = 1 + tgsup2 αcosecsup2 α = 1 + cotgsup2 α
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
SEN 2ordf = 2 SEN ACOS A
COS 2ordf = COS ^2ordf - SEN`^2A
TG 2ordf= 2TG A1- TG^2A
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
El mayor aporte de las trigonometriacutea al mundo esta en las maravillas del mundo como el arte de la arquitectura junto a la trigonometriacutea a creado edificaciones tan perfectas y hermosas que son los lugares insignias de cada paiacutes donde se encuentran que mas aporte que ese
La Gran Piraacutemide de Guiza Terminada alrededor del antildeo 2570 a C fue construida para el faraoacuten Keops Ubicada en Guiza Egipto es la uacutenica de las siete maravillas que auacuten se puede contemplar
los egipcios los maestros de la arquitectura sin muchos recurso las construyeron y muchas personas no creen que fueron ellos ademaacutes no solo su construccioacuten sino el Angulo que forma la sombra
Los Jardines Colgantes de Babilonia Construidos en 605 a C - 562 a C Ubicados en la ciudad de Babilonia actual Irak Perduraron hasta no maacutes allaacute de 126 a C cuando la ciudad fue destruida definitivamente por los partos
Alquenos no creen que existan otros aseguran a verlos visto pero para imaginaacuterselos se necesita tener un gran conocimiento trigonomeacutetrico o ser muy creativo
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
SEN 2ordf = 2 SEN ACOS A
COS 2ordf = COS ^2ordf - SEN`^2A
TG 2ordf= 2TG A1- TG^2A
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
El mayor aporte de las trigonometriacutea al mundo esta en las maravillas del mundo como el arte de la arquitectura junto a la trigonometriacutea a creado edificaciones tan perfectas y hermosas que son los lugares insignias de cada paiacutes donde se encuentran que mas aporte que ese
La Gran Piraacutemide de Guiza Terminada alrededor del antildeo 2570 a C fue construida para el faraoacuten Keops Ubicada en Guiza Egipto es la uacutenica de las siete maravillas que auacuten se puede contemplar
los egipcios los maestros de la arquitectura sin muchos recurso las construyeron y muchas personas no creen que fueron ellos ademaacutes no solo su construccioacuten sino el Angulo que forma la sombra
Los Jardines Colgantes de Babilonia Construidos en 605 a C - 562 a C Ubicados en la ciudad de Babilonia actual Irak Perduraron hasta no maacutes allaacute de 126 a C cuando la ciudad fue destruida definitivamente por los partos
Alquenos no creen que existan otros aseguran a verlos visto pero para imaginaacuterselos se necesita tener un gran conocimiento trigonomeacutetrico o ser muy creativo
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
El mayor aporte de las trigonometriacutea al mundo esta en las maravillas del mundo como el arte de la arquitectura junto a la trigonometriacutea a creado edificaciones tan perfectas y hermosas que son los lugares insignias de cada paiacutes donde se encuentran que mas aporte que ese
La Gran Piraacutemide de Guiza Terminada alrededor del antildeo 2570 a C fue construida para el faraoacuten Keops Ubicada en Guiza Egipto es la uacutenica de las siete maravillas que auacuten se puede contemplar
los egipcios los maestros de la arquitectura sin muchos recurso las construyeron y muchas personas no creen que fueron ellos ademaacutes no solo su construccioacuten sino el Angulo que forma la sombra
Los Jardines Colgantes de Babilonia Construidos en 605 a C - 562 a C Ubicados en la ciudad de Babilonia actual Irak Perduraron hasta no maacutes allaacute de 126 a C cuando la ciudad fue destruida definitivamente por los partos
Alquenos no creen que existan otros aseguran a verlos visto pero para imaginaacuterselos se necesita tener un gran conocimiento trigonomeacutetrico o ser muy creativo
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
El mayor aporte de las trigonometriacutea al mundo esta en las maravillas del mundo como el arte de la arquitectura junto a la trigonometriacutea a creado edificaciones tan perfectas y hermosas que son los lugares insignias de cada paiacutes donde se encuentran que mas aporte que ese
La Gran Piraacutemide de Guiza Terminada alrededor del antildeo 2570 a C fue construida para el faraoacuten Keops Ubicada en Guiza Egipto es la uacutenica de las siete maravillas que auacuten se puede contemplar
los egipcios los maestros de la arquitectura sin muchos recurso las construyeron y muchas personas no creen que fueron ellos ademaacutes no solo su construccioacuten sino el Angulo que forma la sombra
Los Jardines Colgantes de Babilonia Construidos en 605 a C - 562 a C Ubicados en la ciudad de Babilonia actual Irak Perduraron hasta no maacutes allaacute de 126 a C cuando la ciudad fue destruida definitivamente por los partos
Alquenos no creen que existan otros aseguran a verlos visto pero para imaginaacuterselos se necesita tener un gran conocimiento trigonomeacutetrico o ser muy creativo
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Transformaciones de productos en sumas
El mayor aporte de las trigonometriacutea al mundo esta en las maravillas del mundo como el arte de la arquitectura junto a la trigonometriacutea a creado edificaciones tan perfectas y hermosas que son los lugares insignias de cada paiacutes donde se encuentran que mas aporte que ese
La Gran Piraacutemide de Guiza Terminada alrededor del antildeo 2570 a C fue construida para el faraoacuten Keops Ubicada en Guiza Egipto es la uacutenica de las siete maravillas que auacuten se puede contemplar
los egipcios los maestros de la arquitectura sin muchos recurso las construyeron y muchas personas no creen que fueron ellos ademaacutes no solo su construccioacuten sino el Angulo que forma la sombra
Los Jardines Colgantes de Babilonia Construidos en 605 a C - 562 a C Ubicados en la ciudad de Babilonia actual Irak Perduraron hasta no maacutes allaacute de 126 a C cuando la ciudad fue destruida definitivamente por los partos
Alquenos no creen que existan otros aseguran a verlos visto pero para imaginaacuterselos se necesita tener un gran conocimiento trigonomeacutetrico o ser muy creativo
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
El mayor aporte de las trigonometriacutea al mundo esta en las maravillas del mundo como el arte de la arquitectura junto a la trigonometriacutea a creado edificaciones tan perfectas y hermosas que son los lugares insignias de cada paiacutes donde se encuentran que mas aporte que ese
La Gran Piraacutemide de Guiza Terminada alrededor del antildeo 2570 a C fue construida para el faraoacuten Keops Ubicada en Guiza Egipto es la uacutenica de las siete maravillas que auacuten se puede contemplar
los egipcios los maestros de la arquitectura sin muchos recurso las construyeron y muchas personas no creen que fueron ellos ademaacutes no solo su construccioacuten sino el Angulo que forma la sombra
Los Jardines Colgantes de Babilonia Construidos en 605 a C - 562 a C Ubicados en la ciudad de Babilonia actual Irak Perduraron hasta no maacutes allaacute de 126 a C cuando la ciudad fue destruida definitivamente por los partos
Alquenos no creen que existan otros aseguran a verlos visto pero para imaginaacuterselos se necesita tener un gran conocimiento trigonomeacutetrico o ser muy creativo
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
La Gran Piraacutemide de Guiza Terminada alrededor del antildeo 2570 a C fue construida para el faraoacuten Keops Ubicada en Guiza Egipto es la uacutenica de las siete maravillas que auacuten se puede contemplar
los egipcios los maestros de la arquitectura sin muchos recurso las construyeron y muchas personas no creen que fueron ellos ademaacutes no solo su construccioacuten sino el Angulo que forma la sombra
Los Jardines Colgantes de Babilonia Construidos en 605 a C - 562 a C Ubicados en la ciudad de Babilonia actual Irak Perduraron hasta no maacutes allaacute de 126 a C cuando la ciudad fue destruida definitivamente por los partos
Alquenos no creen que existan otros aseguran a verlos visto pero para imaginaacuterselos se necesita tener un gran conocimiento trigonomeacutetrico o ser muy creativo
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Los Jardines Colgantes de Babilonia Construidos en 605 a C - 562 a C Ubicados en la ciudad de Babilonia actual Irak Perduraron hasta no maacutes allaacute de 126 a C cuando la ciudad fue destruida definitivamente por los partos
Alquenos no creen que existan otros aseguran a verlos visto pero para imaginaacuterselos se necesita tener un gran conocimiento trigonomeacutetrico o ser muy creativo
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
El Faro de Alejandriacutea Construido entre 285 a C y 247 a C en la isla de Pharos en Alejandriacutea (Egipto) para guiar a los naviacuteos que se dirigiacutean al puerto de la ciudad Al igual que la tumba de Mausolo dio nombre geneacuterico a todos los grandes monumentos funerarios que la siguieron la torre de Faros (Pharos) hizo lo propio con las torres de sentildeales para la navegacioacuten
Espectacular monumento una de los mejores y los matemaacuteticos que lo hicieron eran uno genios en el arte de la arquitectura
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
La Torre de Pisa o Torre inclinada de Pisa es el campanario de la Catedral de Pisa Fue construida para que permaneciera en posicioacuten vertical pero comenzoacute a inclinarse tan pronto como se inicioacute su construccioacuten en agosto de1173 La altura de la torre es de 557 a 558 metros desde la base su peso se estima en 14700 toneladas y la inclinacioacuten de unos 4deg extendieacutendose 39 m de la vertical
en esta hermosura de monumento parte del creacutedito lo tiene la naturaleza quien fue la que la inclino esta a sido una de las pocas estructuras que sean podido salvar ya que esta se iba a caer por falta de equilibrio pero la salbaron
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
En los siglos VII y IV ane o sea en los periacuteodos de Primavera y Otontildeo y de los Reinos Combatientes los principados feudales construyeron murallas defensivas en sus respectivas fronteras con el fin de protegerse de los ataques de los hunos una de las tribus noacutemadas del norte de China asiacute como de los principados feudales vecinos
Los principios de la construccioacuten de la Muralla China fueron defenderse de los ataques noacutemadas de los pueblos del norte tambieacuten se convierte en un monumento a la arquitectura
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Hay muchas mas construcciones maravillosa
que nos a dado la arquitectura en ayuda con la arquitectura cuidemos el arte de los monumento que son algo valioso para el
mundo
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
iquestque importancia tiene la trigonometriacutea en la vida diaria
1)Nos da la facilidad de medir la altura de las paredes conocer las medidas de inclinacioacuten de una escalera
2)Podemos calcular los aacutengulos de las figuras a utilizar
3)En construccioacuten de diversas figuras geomeacutetricas tales como sillas mesas y espacios a utilizar en la vida diaria de cada persona
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometriacutea y funciones trigonomeacutetricas Por ejemplo la teacutecnica de la triangulacioacuten se utiliza en astronomiacutea para medir la distancia a las estrellas cercanas en geografiacutea para medir distancias entre puntos de referencia y en los sistemas de navegacioacuten por sateacutelite La funciones seno y coseno son fundamentales para la teoriacutea de funciones perioacutedicas como las que describen el sonido y la luz olas
Aplicaciones de la trigonometriacutea
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Por mi parte se me dificulta la parte de graficar las funciones trigonomeacutetricas ala hora de que intento hacer la grafica no me queda exacta y la matemaacutetica es exacta ademaacutes no se manejar curviacutegrafo
El problema a la hora de graficar las funciones es el que no se como debe quedar cada funcioacutenPero tengo que seguir intentando asta que mede y intentar buscar informacioacuten de coacutemo debo organizar los puntos para poder de ir entendiendo
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Mi dificulta en los ejercicios en clase y los exaacutemenes es que solo entiendo los que la profesora explica y si pone uno mas complicado no lo entiendo
La solucioacuten seria pedir explicaciones a la profesora pero en los exaacutemenes pone distintos tendriacutea que trabajar mas y hacer el ejercicio de barias maneras y investigar por aparte el tema
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Funciones trigonomeacutetricas reciprocas
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Las funciones trigonomeacutetricas son como seguro ya sabes seno coseno tangente (y puedes juntar cotangente secante cosecante) Como buenas funciones si evaluacuteas un nuacutemero x te devuelven un nuacutemero y por ejemplo
sen(x) = y
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
La funcioacuten reciacuteproca consiste en echar reversa a la operacioacuten En las funciones trigonomeacutetricas suele escribirse arc antes de la funcioacuten para denotar la reciacuteproca asiacute
arco sen(y) = x
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
seriacutea la reciacuteproca de seno y observa que como sen(x)=y arcsen(y)=x
Tambieacuten suelen poner un -1 como exponente de la funcioacuten para denotar el reciacuteproco de una funcioacuten aquiacute seriacutea
sen^(-1) x
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
De queacute sirve aquiacute va una idea elemplo imagina que tienes un aacutengulo de 30deg entonces si necesitas calcular la funcioacuten seno por ejemplo para calcular el lado de un triaacutengulo sabes que sen 30deg = 05
Ahora imagina que sabes el lado del triaacutengulo pero no el aacutengulo opuesto asiacute que debes buscar un aacutengulo cuyo seno sea 05 solucioacuten
arco sen y = 05y = 30deg
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Definiciones formalesSea f una funcioacuten real inyectaba cuyo dominio sea el conjunto I es decir creciente o decreciente en el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J Entonces la funcioacuten reciacuteproca o inversa de f denotada f -1 es la funcioacuten de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla
F(x)=y f-1(y)=x
Destaquemos que f -1 al igual que f es una aplicacioacuten directiva que queda determinada de modo uacutenico por f y que cumple
y
f-1 o f=id i y F o f-1=id j
De hecho estas dos uacuteltimas propiedades caracterizan a la funcioacuten inversa como muestra la siguiente definicioacuten alternativa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades
G o f =id I y F o g=id j
entoncesSi se cumple 1) entonces f es inyectaba y g sobreyectiva y diremos que g es inversa por la izquierdead fSi se cumple 2) entonces g es inyectaba y f sobreyectiva y diremos que g es inversa por la derecha de fSi se cumplen simultaacuteneamente 1) y 2) entonces f y g son directivas y g es la inversa de fEste uacuteltimo punto se usa con frecuencia como definicioacuten de funcioacuten inversa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Propiedades algebraicasLa reciacuteproca de la composicioacuten de dos funciones viene dada por la foacutermula
(g o f)ndash1 = fndash1 o gndash1
Obseacutervese que se invierte el orden de f y g pues para deshacer el camino avanzado primero por f y despueacutes por g habraacute que empezar deshaciendo este uacuteltimo por medio de gndash1 y terminar con fndash1
-La reciacuteproca de la reciacuteproca de una funcioacuten es la propia funcioacuten
(fndash1)-1=f
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas y
Esta propiedad se deduce de la simetriacutea que hay en las foacutermulas= fndash1 o f = Idx`y
f o fndash1= Idy
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Propiedades analiacuteticas de funciones reales de una variable
bullf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) =
bull Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Continuidadf y g son simultaacuteneamente continuas Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra Sin embargo es posible que ninguna lo sea Por ejemplo se puede definir f asiacute si x es racional f(x) = x y si es irracional f(x) = -x En este caso muy particular g = f Ademaacutes en tal caso f y g son monoacutetonas y tienen el mismo sentido de variacioacuten (ver la figura)
Graacutefica de la funcioacuten inversaLas graacuteficas que representan f y g son simeacutetricas con relacioacuten a la primera diagonal es decir la recta Δ y = x En efecto esta simetriacutea enviacutea un punto cualquiera M(xy) sobre el punto Macute(yx) M pertenece a la curva de f si y soacutelo si Macute pertenece a la de g porque la primera condicioacuten se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definicioacuten equivalentesLas tangentes en M y Macute tienen pendientes inversas Es un efecto de la simetriacutea anterior y es la ilustracioacuten geomeacutetrica de la relacioacuten ya vista g(y)middot f (x) = 1
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
f y g son simultaacuteneamente derivables Si una lo es tambieacuten lo seraacute la otra con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g Ademaacutes en tal caso para cualquier x de I si notamos y = f(x) entonces por regla de la cadena tenemos que g(y)middot f(x) = 1 La derivada de g se obtiene asiacute faacutecilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final)
Derivabilidad
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
TAREA 2
APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES plantea y resuelve 5 problemas de aplicacioacuten de funciones trigonomeacutetricas (elabora graacuteficos que expliquen el problema)
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
1) Estimacioacuten de la distancia Tierra-Luna
Tg 025 = r
x
X= r = 1738
tg 025 00043633
= 3983117 km
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra contemplamos su disco bajo un aacutengulo de medio grado
Si a x que es la distancia hasta el centro de la Luna le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separacioacuten entre Tierra y Luna de 396579 Km
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna Se ha podido conocer mediante el enviacuteo de rayos laacuteser que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
2) Estimacioacuten de la distancia Tierra-SolAristarco (s III a J) ceacutelebre astroacutenomo de Alejandriacutea intentoacute calcular cuaacutentas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las liacuteneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un aacutengulo de 90ordm Aristarco midioacute el aacutengulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87ordm
De esta forma
Cos 87 = (t- L) (t-s)= (t-L) = 191 (T-L)
(T-S) 00523359
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente obtenemos una distancia solar de 7344920 Km
Volviendo con nuestro astroacutenomo faltaba comentar que cometioacute un pequentildeo error al medir el aacutengulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89ordm 50 Esta pequentildea diferencia en la medida del aacutengulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separacioacuten Tierra-Sol
Con mayor precisioacuten se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km Como recordaraacutes a este valor se le llama unidad astronoacutemica (UA)
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un riacuteo que mide 10 m de ancho de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacioacuten de 20E iquestCuaacutel debe ser la longitud de la baranda iquesta queacute distancia del cauce se situaraacute el comienzo de la rampa
Sen 20=2 h = 2 = 584 CM
h sen 20
Tg 20 = 2 x= 2 = 549
x tg 20
la baranda es de unos 21 m y 70 cmLa escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
4) Caacutelculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre para ello se miden los aacutengulos de elevacioacuten desde los puntos A y B Con los datos de la figura tenemos que
0839 = tg 40 = h
10 + x
196 = tg 63 = h
x
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos(10+x)middot0839=196middotx 839+0839middotx=196middotx 839=1121middotx x=7484 m aproximadamenteh=7484middot196=14668 La torre mide unos 14 metros y medio de alto
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
5 problema
un hombre se pone al frente de un balcoacuten para hallarla altura y
forma un triaacutengulo claacutesico de 30 tiene hipotenusa de longitud
2 lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud radic3
tangente tan(30deg) = 1 1732 = 0577
coseno cos(30deg) = 1732 2 = 0866
seno sin(30deg) = 1 2 = 05
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
3 TAREA
TAREA 3- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOacuteMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Esta haciendo mucho sol un hombre busca la sombra de un aacuterbol que tiene una sombra de a=5cm de largo b=4cm de ancho y un Angulo B=30 el hombre quiere saber la altura de la sombra y el aacuterbol (A)hallar c y C
-calculamos el aacutengulo x conocemos dos lados y el Angulo apuesto b
1 Teorema del seno
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
a = b 4 = 5 senA=405= 04sen A sen B senA sen30 5
A= arcseno 04 A= 2358
--Calculamos el Angulo c conocemos dos aacutengulos y un lado
Angulo C C=108-(2358+30) C= 12642
EL LADO C APLICADO C = 5 C = 5 SEN 12642 C=81 cm
Sen 12642 sen 30 sen30
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Grafica del problema
Altura del aacuterbol 2358
C=81 CM
c= 12642
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
En un partido de beisbol el entrenador para armar una jugada tiene que hallar la distancia entre el jugador C y el jugador A y el aacutengulo que forma el jugador A con los jugadores B y C y el aacutengulo que forma el jugador C con los jugadores A y B resolver el problema el entrenador consiguioacute los siguientes datos
-aacutengulo del jugador B= 108-distancia entre el jugador B y el A= 1200cm (a)-distancia entre el jugador B y el A= 700cm (c)
2Teorema del coseno
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Dibujamos y vemos que nos dan 2 lados y el aacutengulo que forman calculamos el otro lado
b2 =a2+c2-2ac cos
b= radic12002+7002-21200700cos
108
b= 156497 m
Con a y b conocidos calculamos el aacutengulo C despajando `C
COS `C= c2-a2-b2 C os `C =7002-12002-b1564972
-2ab -21200156497
Cos C= 090 C= 2518
Calculamos el aacutengulo de jugador A
A=180 ndash (108+25176) A=4682
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
FANDINtildeO CHACON HERMESCURSO X-APROBLEMAS DE SENO Y COSENOlos aacutengulos de elevacioacuten de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estaacuten a 275 km entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos con el mismo plano vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo
3-Seno y coseno
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
a = AC b = BC c = ABCordm = 180ordm - 30ordm - 40ordm = 110ordmaplicando ley del seno bsen B = csen C
b = c sen B sen C = 275 sen (40ordm) sen(110ordm)
b = 188111 Ahora en el triangulo recto CDAsen C = CD ACsen 30ordm = H aH = a sen 30ordm = 188111 05 = 94055
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
h
BA
H =94055 Km Respuesta
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un aacutengulo de 60ordm supongamos que el hilo esta tirante hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa
4-Seno y coseno
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Sen 60ordm = h 100 =
h= sen 60 x 100
h= 8660 m Cos B= 8660 m
100 m Cos B= 086B= cos minus1086 = 3068C= 180
-60ordm+3086ordm= 8914ordm
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
60ordm
b100m
h=
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
5- LEY SENOSen A = Sen B = Sen C
b= 5 cm Sen A = Sen B
A b
Sen A = Sen 30
4 cm 5 cm
Sen A= sen 30 x 4 cm = Sen A= 01 x 4 = 04 = A Sen-1 04
5 cm
A= 2357ordm rArr C= 180-(235+30)=12643ordm
A=
C=a= 4 cm
B
C=
30
Sen C = Sen B rArr Sen 12643 = Sen 30 = c Sen 12643c= 804 cm
c b c 5cm sen 30
Sen A = sen C rArr sen A = Sen 46 rArr Sen A= sen 46 x 12 cm rArrA Sen-1 057A=a b 12 15 cm 15 cm
B= 180ordm - (46+3513)B= 9887ordm
Sen 46 = Sen 988 rArr b= Sen 988 x 15 cm b= 2060 cm15 cm b sen 46
3513ordm
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
6- LEY SENO
a2 = b2 + c2 - 2bc cos C rArr 2bc cos 2
C 2 = b + c - a 2
cos C=B2+C2-A2 rArr (C 2 cos 12) b2+c - a2bc 2bc
= C=cos-1 64+100-36= 08 = c3686
2(8)(10)
a=6 cm
c= 10 c
b= 8cmC
b a
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Actividad 2 El triaacutengulo oblicuo (u oblicuaacutengulo) es aquel que NO TIENE ninguacuten aacutengulo recto Pueden tener sin embargo aacutengulos mayores a 90deg Ejemplo Un triaacutengulo que tenga un aacutengulo interno de 120deg otro de 20deg y otro de 40deg (recordar que la suma de los aacutengulos interiores es de 180deg)El otro tipo de triaacutengulos - atento a esta clasificacioacuten - es el rectaacutengulo (aquel que siacute posee un aacutengulo de 90deg)
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Los triaacutengulos acutaacutengulos (aquellos en los cuales todos sus aacutengulos interiores son menores a 90deg) constituyen un caso especial de triaacutengulos oblicuaacutengulos (por ejemplo un triaacutengulo cuyos aacutengulos internos fueran 30deg 80deg y 70deg) Espero que esta respuesta te haya servido
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Una cosa maacutes para comentar una respuesta de las que has recibido La clasificacioacuten de equilaacutetero (3 lados iguales) isoacutesceles (2 lados iguales y uno desigual) y escaleno (de lados distintos) responde a la evaluacioacuten de los lados del triaacutengulo en tanto que la clasificacioacuten en oblicuaacutengulos (u oblicuos con su caso especial de acutaacutengulos) y rectaacutengulos responden a la evaluacioacuten de los aacutengulos internos del triaacutengulo
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos1
De un triaacutengulo sabemos que a = 6 m B = 45deg y C = 105deg Calcula los restantes elementos
A= 108-45105=30
^2
6 = B B = 6SEN 45=62= 62M
SEN30 SEN 45 SEN 30 1
2
6 = C C = 6 SEN105 =116 M
SEN 30 SEN 105 SEN 30
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos2
De un triaacutengulo sabemos que a = 10 m b = 7 m y C = 30deg Calcula los restantes elementos
7 = 527 SEN B = 0664 B= 41 31 52
SEN B SEN 30 b= 138222
C=radic102+72 -2107 COS 30= 527m
B= 41`37`52 por que al ser agtb el aacutengulo obtuso seraacute A
A = 180- 30 - 41`37`52 = 108`22`8
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Problemas resueltos de triaacutengulos oblicuaacutengulos3
Resuelve el triaacutengulo de datos A = 30deg a = 3 m y b = 8 m
3 = 8 sen B=4 gt 1
Sen 30 sen B 3
TAREA 4 Aporte individual a la construccioacuten de un marco teoacuterico que permita mejorar el desempentildeo y la buacutesqueda de soluciones reales en el aacuterea de matemaacuteticas
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
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Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa
Seria bueno que la profesora nos diera la pagina o el hombre del libro donde saca los ejercicios que nos pone a desarrollar en clase para poder ver el desarrollo de cada problema por nuestra cuenta y estudiar los problemas que quizaacutes nos salgan en los exaacutemenes no importa si les cambia a los ejercicios algunas cosas con esto mejorariacutea un poco el entendimiento y el trabajo que realizamos en casa