tercer ciclo relaciones y algebra

7/23/2019 Tercer Ciclo Relaciones y Algebra

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Programas de Estudio de Matemticas

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Tercer ciclo, Relaciones y lgebraIntroduccin

Al ingresar a este ciclo cada estudiante tiene la habilidad para resolver ecuaciones sencillas de primergrado, reconocer relaciones de dependencia entre dos cantidades variables, aplicar la regla de tres,porcentajes y proporcionalidad directa con el fin de solucionar problemas, calcular la distancia entrepuntos ubicados en un mapa con escala y realizar operaciones que involucran suma, resta, multiplicaciny divisin. Tambin, puede comprender el concepto de variable e identificar cuantitativamente cambios enla variable.

El Tercer ciclo ampliar estas habilidades e incluir otras que tienen que ver con el estudio de relacionesde diversos tipos !lineal, cuadrtica, proporcionalidad inversa", as# como el uso de distintasrepresentaciones para las relaciones mencionadas !verbal, tabular, algebraica, grfica".

En $% A&o se estudian las relaciones de proporcionalidad directa e indirecta, con una orientacin queprepara hacia el estudio de las funciones. 'a relacin de proporcionalidad entre las variables x, ydel tipo

y axes un caso particular de funciones que sern abordadas en () A&o.

'as relaciones de proporcionalidad son muy importantes para la identificacin y utilizacin de modelos endiversos conte*tos. El uso de tecnolog#as adquiere aqu# un lugar ms relevante pues permitir visualizarlas grficas de las relaciones que sern estudiadas.

+e espera que al concluir $% A&o cada estudiante utilice modelos sencillos de fenmenos y situaciones delconte*to que tienen que ver con relaciones de proporcionalidad directa o inversa.

'as funciones cuadrticas, que tambin son casos particulares de relaciones, se introducen en % A&o. Elenfoque con el que se abordan las funciones lineales y cuadrticas privilegia la relacin entre variables

!dependientes e independientes" y sus distintas representaciones por medio de tablas, e*presionesalgebraicas y grficas. Es un enfoque consistente con toda la preparacin recibida desde la educacin-rimaria.

o se usa en este ciclo un enfoque abstracto por medio de conjuntos, sino un acercamiento ms intuitivo.o se busca introducir nociones como dominio, mbito, ni el estudio de propiedades como la inyectividad.Este tipo de tratamiento ms formal se desarrollar en el /iclo diversificado.

Adicionalmente, se trabajar en este ciclo con tareas que envuelven actividades de simbolizacin y lamanipulacin matemtica correcta de e*presiones algebraicas.

El enfoque propuesto fomenta las cone*iones entre las funciones estudiadas y las relaciones algebraicassimblicas y su manipulacin. -or ejemplo, se integra el estudio de la funcin lineal con el uso y la

resolucin de ecuaciones de primer grado, la funcin cuadrtica con las ecuaciones de segundo grado.Esta integracin conceptual permite no slo visualizar importantes cone*iones entre estos temas sinodarle significado a muchos de los procedimientos que deben estudiarse en el uso de e*presionessimblicas. 'o mismo ocurre con los tpicos de la factorizacin en los que se persigue mostrar su v#nculocon las funciones estudiadas.

+e espera que al concluir este ciclo cada estudiante utilice modelos sencillos de fenmenos y situacionesdel conte*to relacionados con las funciones lineales y0o cuadrticas, adems de tener un dominioapropiado de la manipulacin de s#mbolos algebraicos y sus relaciones.


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Propsitos de la enseanza

El propsito de la ense&anza en el rea de Relaciones y lgebrapara este ciclo es el desarrollo dehabilidades para trabajar con relaciones y funciones matemticas bsicas, profundizar su comprensin dela nocin de variable y del lenguaje algebraico, la manipulacin adecuada de e*presiones algebraicas,reconocer y aplicar modelos matemticos sencillos que involucren las relaciones de proporcionalidad, ylas funciones lineales y cuadrticas.

Habilidades generales

'as habilidades generales que deber tener cada estudiante en Relaciones y lgebraal finalizar esteciclo son1

2 Establecer la ley de formacin en sucesiones utilizando distintas representaciones.

2 Analizar patrones numricos y no numricos.2 3dentificar y utilizar distintas representaciones para relaciones de proporcionalidad.2 Efectuar operaciones con e*presiones algebraicas.2 4tilizar distintas representaciones para las funciones lineales y cuadrticas.2 4tilizar las ecuaciones de primer y segundo grado para resolver problemas.2 -lantear problemas a partir de una situacin dada.2 3dentificar los modelos matemticos que se adaptan mejor a una situacin dada.

'as nuevas funciones matemticas que se introducen ofrecen mayores oportunidades para identificar yusar modelos matemticos del entorno, por lo que se ampl#an las posibilidades para mostrar la utilidad delas 5atemticas.

El uso de funciones lineales y cuadrticas dentro de situaciones en conte*tos reales fortalecer la

realizacin del proceso de Resolver y plantear problemas, lo que a su vez promover cone*iones condistintas disciplinas y con otras reas de las 5atemticas. Tambin, se enfatizar el uso correcto dellenguaje matemtico en la comunicacin verbal y el uso de m6ltiples representaciones matemticas comotablas, grficas y s#mbolos matemticos.

Conocimientos, habilidades especicas e indicaciones puntuales

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!" #o

Conocimientos Habilidades especicas Indicaciones puntuales

$ucesiones

2'ey deformacin

2-atrones

7. 3dentificar la ley de formacin

de una sucesin utilizandolenguaje natural, tabular yalgebraico.

8. -lantear y resolverproblemas relacionados consucesiones y patrones.

Estos conceptos se introducen aqu# para promover una

recapitulacin de aprendizajes realizados en la educacinprimaria en relacin con esta rea matemtica.

-roponer un problema conte*tualizado que repase todas lashabilidades de sucesiones y representaciones estudiadas enlos ciclos anteriores.

Adriana recibe semanalmente 9:;;,;;colones para

cubrir sus gastos de estudio. Ella decide ahorrar7(;;,;;colones por semana, para formar un fondo de ahorro.


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contiene las ganancias generadas por la venta.Cantidadpa%uetes

7 8 > ? :

&ananciasen colones >:;

9;;

(:;

77;;

7>:;

@/ul es el precio de cada paquete de prensasBetermine la ganancia fija que desde un inicio muesCtra lainformacin del cuadro anterior.@/unto dinero gana =uan por la venta de >87 paCquetesde prensas

Burante la etapa de clausura se presenta la nocin de ley deformacin utilizando representacin numrica, algebraica y

+i usted invierte inicialmente 8; ;;;,;; en lacooperativa del /olegio y gana de inters compuesto anual de

7;D, describa numricamente, tabularmente y simblicamentela sucesin que representa la cantidad de dinero anual quetendr, si no hace retiros.

a. 'um(ricamente) 8; ;;;,;; 88 ;;;,;; 8? 8;;,;;89 98;,;; 8 8(8,;; >8 87;,8; !colones"

b. #lgebraicamente) 'a cantidad de colones C(n)quetendr despus de n a&os se modela por lae*presin1

C(n) F 8; ;;; !7 G ;,7"n

c. Tabularmente)

A&o ; 7 8 /antidadcolones"

8; ;;; 88 ;;; 8? 8;;

+olicite al estudiantado proponer un problema con esta situaC

-or ejemplo, ellos podr#an proponer1 @/untos colones tendrdespus de : a&os, ( a&os, 7; a&os

+e recomienda el uso de calculadora para hacer losclculos indicados en la representacin algebraica.

tabular.

!

cin.

Relaciones

-roporcionalidadinversa

>. 3dentificar relaciones deproporcionalidad inversaen diversos conte*tosreales.

+e recomienda plantear un problema para repasar el conceptode proporcionalidad directa.

'a fiesta de aniversario de 9 ;;;,;; si ella invita a 9 personas. @/unto costar la fiestasi ella decide invitar a 7: personas +uponga que la relacin esdirectamente proporcional.

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+e puede plantear un problema que involucre proporcionalidadinversa, particularmente relaciones que pueden ser e*presadas en laforma

k k y ,yx x2

con kconstante de proporcionalidad.

+eg6n la ley de gravitacin universal propuesta por

eHton, el efecto de la gravedad de la Tierra sobre un objeto !supeso" var#a inversamente con el cuadrado de su distancia al centrodel planeta. +uponga que el radio de la Tierra es 9?;; Im. +i el pesode un astronauta en la superficie de la Tierra es de $: Ig, @cul serel peso de este astronauta a una altura de 79;; Im sobre lasuperficie de la Tierra

'a relacin anterior es un modelomatemtico que relaciona el peso

de un objeto con su distancia al centro de la Tierra.

Representaciones ?. Analizar relaciones de +olicitea cada estudiante representar algebraicamente


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2 Jerbal

2 Tabular

2 Krfica

2 Algebraica

proporcionalidad directa einversa de forma verbal,tabular, grfica y algebraica.

las e*presiones1

a. 'a fuerza de atraccin entre dos objetos esdirectamente proporcional al producto de susmasas e inversamente proporcional al cuadrado de

la distancia entre ellos.b. 'a intensidad luminosa es inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia del objeto ala fuente de luz.

c. 'a energ#a cintica de un objeto es directamenteproporcional a la masa del objeto y al cuadrado desu velocidad.

'as e*presiones anteriores son modelos matemticos desituaciones reales relacionadas con la L#sica.

Bada una relacin matemtica de proporcionalidad en formaverbal, representarla en forma algebraica o tabular.

C var#a directamente con R e inversamente con elcuadrado de S. +i CF 87 cuando RF $ y S F 7,:, complete latabla que sigue1

R S C

78; 88,:

8;; 78,:

7: 7;,:

Bada una representacin tabular, pasarla a algebraica ye*traer conclusiones sobre cantidades que no estn en la

4tilice frmulas para determinar el rea de superficies y elvolumen de formas tridimensionales.-or ejemplo1

tabla.

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*" #o

Conocimientos Habilidades especicas Indicaciones puntuales

+unciones

Luncin lineal

7. 3dentificar situacionesdadas que pueden sere*presadasalgebraicamente en laforma y = ax + b.

M -roponer un problema conte*tualizado que implique unarelacin del tipoy ax b .

En el a&o 8;77, para trasladarse en un ta*i la tarifa era

de ::; para el primer Iilmetro y 8;; para cada Iilmetro adicional.

a.


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abscisas mientras que cada cent#metro puede representar :;;en el eje de las ordenadas.

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Al trabajar con representaciones tabulares, en varias ocasionesse utilizan datos numricos peque&os para una de las variablesy datos muy grandes para la otra variable. En tales casos sesugiere utilizar diferentes escalas en los ejes.

'a poblacin de asalariados cubiertos por el seguro

de salud de la /aja /ostarricense de +eguro +ocial apareceindicada en la siguiente tabla1

#o 'mero deasalariados

8;;; $89 ;?(8;;7 $8$ 9;>8;;8 $:? $>78;;> $$; ;>88;;? (;; 78>8;;: (?8 7>8;;9 (9 ?7

8;;$ $8 8;(8;;( 7 ;:? ?$8;; 7 ;>( 8>$8;7; 7 ;$: :8(

+uente) Programa -stado de la 'acin ./00http)112223estadonacion3or3cr1

'a cantidad de asalariados A cubiertos por seguro de saludpuede ser apro*imada por la funcin

A(t) = > ;(t + 9$(?8;

en donde trepresenta el a&o, con t = 0correspondiente al a&o8;;;. En este caso la grfica correspondiente no pasa por lospuntos que representan los datos de la tabla. 'a funcin anteriores un modelo lineal que apro*ima los datos de la tabla.

@En qu a&o la cantidad de asalariados cubiertos por el segurode salud ser 7 :;; ;;; apro*imadamente

Este tipo de pregunta plantea la necesidad de introducir lasecuaciones lineales y de trabajar con expresiones algebraicas.

En particular, una ecuacin de primer grado de la forma ax bc se relaciona con la funcin lineal con representaCcin algebraica yF ax + b.


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8.


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ota1 4na atmsfera es una unidad equivalente a la presin queejerce la atmosfera a nivel del mar. Es una unidad de presinque no pertenece al +istema 3nternacional de 4nidades.

Este modelo tiene cone*in con Su#mica y L#sica. -or ejemplo,se utiliza para medir la presin en los neumticos de losveh#culos o en un cilindro que contiene gas.

9.


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7;. 4tilizar productosnotables para desarrollare*presiones algebraicas.

/onsidere 6nicamente los tres primeros productos notables!aG b"8, !aU b"8,!aG b"!aU b".

Es importante evitar utilizar e*presiones complicadas cuando seutilizan los productos notables. 4tilice a lo sumo dos distintas

operaciones de suma y0o resta dentro del parntesis. -orejemplo1

O2aV W3b c2P2

'a e*presin dentro del parntesis puede ser agrupada dedistintas formas1

O2aV 3bPW c2;O2a cW 2PV 3b ; 2aVO3b cW 2P.

/alcule el rea del cuadrado de lado ;,?a& G :b8cent#metros, en trminos de a, b.

Es relevante usar figuras geomtricas para justificar losdesarrollos, conforme se propone en las indicacionesmetodolgicas. Esto permite hacer cone*in con 'eometra yabre espacio para mencionar la historia del Xlgebra.


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-cuaciones

Ecuaciones delprimer gradocon una

incgnita

- +olucin deuna ecuacin

- /ero de unafuncin

- . metros, plantee una ecuacin que permita calcular la altura decada uno de ellos.

Imagen propiedad del 5-P

-ara reducir una ecuacin a otra forma equivalente utiliceoperaciones aritmticas. 'a habilidad implica el reconocimientode que ambas ecuaciones tienen la misma solucin.

'a inflacin es una situacin econmica en la cual se

incrementa los precios de los bienes y servicios. +uponga que lagasolina aumenta la misma cantidad de colones cada a&o. +i el

costo de la gasolina en cierto a&o esC

0 entonces el costo C

despus de t a&os es dado por la siguiente representacinalgebraica1

C = C0+ t

+olicitar a cada estudiante que plantee un problema con estasituacin. 'a ecuacin anterior es un modelo de costos.

4n posible problema ser#a1 si la gasolina aumenta 7:D cada a&o,@cuntos colones costar al final de : a&os

Ntra posibilidad es1 si la gasolina aumenta 7:D cada a&o,@cunto tiempo ser necesario para que duplique de precio

4na pintura muy famosa es la Kioconda del artista

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'eonardo da Jinci. Esta pintura se encuentra en el 5useo de'ouvre en -aris, Lrancia. El cuadro tiene forma rectangular y sualtura es 8? cent#metros ms que su ancho. El per#metro delcuadro es de 89; cent#metros. /alcule la altura y el ancho del

Este tipo de problema tiene cone*in con

la!razn urea", el arte, la historia, y confirma la

utilidad de las matemticas en diversos mbitos de la vida.

cuadro.

'eometra

7:.


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La poblacin de asalariados cubiertos por seguro

+unciones

Luncincuadrtica

7. 3dentif icar situacionesdadas que pueden sere*presadasalgebraicamente en laforma yF ax8Gbx+c.

8.

8;;8 $:? $>7

8;;> $$; ;>8

8;;? (;; 78>

8;;: (?8 7>

8;;9 (9 ?7

8;;$ $8 8;(8;;( 7 ;:? ?$

8;; 7 ;>( 8>$

8;7; 7 ;$: :8(

+uente) Programa -stado de la 'acin ./00http)112223estadonacion3or3cr1

'a cantidad de asalariados A cubiertos por seguro de saludpuede ser apro*imada por el modelo matemtico

A(t) = 7?7t*+ 8; ??t + $;$ :?8

en donde trepresenta el a&o, con t = 0 correspondiente al a&o8;;; !este modelo apro*ima mejor los valores de la tabla que elmodelo lineal planteado en ( A&o". En este caso la grficacorrespondiente no pasa por los puntos que representan losdatos de la tabla !es una curva que apro*ima los datos".

@En qu a&o la cantidad de asalariados cubiertos por el segurode salud ser 7 :;; ;;; apro*imadamente

Este tipo de pregunta plantea la necesidad de introducir las

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ecuaciones de segundo grado y de trabajar con expresionesalgebraicas, como por ejemplo la factorizacin.


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En particular, una ecuacin de segundo grado de la forma ax2Vbxc dV se relaciona con la funcin cuadrtica conrepresentacin algebraica

*

y = ax + bx + c.

/ada estudiante debe tener claro que resolver la ecuacin

ax*+ bx + c = d

corresponde a determinar el valor dexpara el cual el valor de lavariable dependiente y en y = ax*+ bx + c sea igual a d.

+e recomienda generar un dilogo en la clase acerca

de la importancia de la salud y de la cobertura del seguro social.

'a idea es introducir la funcin cuadrtica como relacin entrevariables. o se debe tener un enfoque abstracto en % A&o encuanto a funciones, sino un enfoque ms intuitivo.'a representacin tabular es ms apropiada para realizar elpaso hacia la representacin grfica. Al trabajar conrepresentaciones tabulares, en varias ocasiones se utilizandatos numricos peque&os para una de las variables y datosmuy grandes para la otra variable. En tales casos se sugiereutilizar diferentes escalas en los ejes.

Aspectos como dominio, mbito, inyectividad, entre otros,tendrn un tratamiento ms formal en 7;% A&o.

Ejemplos de funciones cuyo criterio esy ax 2 1a. El rea de un cuadrado de ladoxcm es A Fx8cm8.

b. El rea de un c#rculo de radio rcm esA r2cm8.c. En el instante t 0segundos se deja caer una bola

desde cierta altura. 'a distancia recorrida por la bola

despus de tsegundos es dada pory 4.9t2

Todos estos son modelosde distintas situaciones que

se conectan con 'eometray L#sica.

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-4presionesalgebraicas

2Lactorizacin

2Bivisin depolinomios

2Nperaciones cone*presionesalgebraicasfraccionarias

2. Lactorizar y simplificare*presiones algebraicas.

?. E*presarx8 Gpx + como

!x G !"8G k

:. Efectuar divisin de poliCnomios.

9. Efectuar operaciones cone*presiones algebraicasfraccionarias.

$.


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a.35

2

a

b. 7 32

para , 05

!"! "

c.3# $

$

V W

d.#

3 2

% !

% !

W

W

e.23

35

%

%

V

W

-ara la divisin de polinomios considere la divisin de1a. Rinomio por monomio.b. Trinomio por monomio !en una o dos variables".c. Rinomio por binomio.d. Trinomio por binomio !en una variable".

e. Trinomio por trinomio !en una variable".

M


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2 42

y 5 21

2 4 El procedimiento anterior requiere para su asimilacin

una actitud perseverante.


22/35


c

-cuaciones Ecuaciones

desegundogrado con

una incgniCta

-


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de segundo grado con una incgnita.

Es conveniente relacionar el signo del discriminante con eln6mero de ra#ces de la ecuacin de segundo grado con unaincgnita ax8 G bx + cF ;.


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& 5V

1 8 680

C s( ) s2W Vs 180 9 9

donde s es la capacidad de la unidad de disco duro, en

gigabytes. Sue cada estudiante plantee un problema con lasituacin.

Imagen cortesa de +ree7igitalPhotos3net

Ejemplo1 encuentre la capacidad del disco duro que tiene elmenor costo de produccin. @/ul es el costo m#nimo deproduccin

Es importante que cada estudiante utilice distintos mtodospara resolver ecuaciones de segundo grado con una incgnita1factorizacin por inspeccinQ completando cuadradoQ porfrmulaQ grficamente y utilizando calculadora.

'a solucin de una ecuacin de segundo grado que

tiene muchas aplicaciones en distintas reas y disciplinas es eln6mero de oro, cuya historia podr estimular al estudiantado.

En el libro J3 de los /lementosde Euclides aparece por primeravez un estudio formal sobre lo que hoy se conoce como n6meroureo. Este n6mero es la solucin positiva de la ecuacincuadrticax8Ux 7 F ;.

Esta ra#z es el n6mero irracional

2

que aparece en conte*tos bastante variados1 obrasarquitectnicas !como el -artenn", en la naturaleza !caracoles",

en las pinturas !obras de 5iguel Xngel, Burero y 'eonardo BaJinci", en el pentagrama !s#mbolo m#stico utilizado por lospitagricos" y hasta en la m6sica.


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Indicaciones metodolgicas

Generales para el ciclo

7. Es adecuado dar tiempo a cada estudiante para que analice sucesiones y patrones. El anlisiscontempla identificar, conjeturar, utilizar ensayo y error, comparar soluciones y argumentar lasestrategias utilizadas.

8. +e espera que cada estudiante utilice s#mbolos matemticos en sus argumentaciones, por ejemplo,los s#mbolos G, C, , , F, Y, Z, , al analizar sucesiones o patrones numricos.

>. Bebe indicarse al estudiantado el cambio de simbolog#a para la multiplicacin. Ahora se utilizar elpunto en lugar del s#mbolo .

?. -ara lograr habilidades relacionadas con sucesiones y patrones, es recomendable utilizar recursosvariados tales como1 recortes de revistas, peridicos, papel cuadriculado, cartulina, geoplano, soma,papel de construccin y objetos que se encuentran en el entorno de las y los estudiantes, que

contengan patrones o bien para construir patrones.

:. /uando se utilizan recursos como el geoplano o el soma, hay que dar tiempo para que cada estuCdiante se familiarice con ellos, antes de proceder a realizar las tareas espec#ficas.

9. Es recomendable que los materiales concretos utilizados sean reciclables para fomentar una culturaambiental para el desarrollo sostenible, valor transversal en el +istema Educativo /ostarricense.

$. El foco central de este ciclo consiste en un acercamiento ms intuitivo a las funciones lineales ycuadrticas en sus distintas representaciones, utilizando los conocimientos de relacionesdesarrollados en los ciclos anteriores.

(. Es importante fomentar un ambiente de respeto por las ideas presentadas por cada estudiante en susrazonamientos y argumentaciones y as# promover la #ivencia de los derec!os !-manos para lademocracia y la pa1.

Stimo ao

7. -ara las sucesiones y patrones, se esperan varias acciones en el trabajo estudiantil1 la conjetura, elensayo y error, la comparacin de las soluciones obtenidas y comunicacin las estrategiasutilizadas mediante s#mbolos matemticos y letras para representar las variables correspondientes.

8. -ara las sucesiones, es relevante que cada estudiante haga cambios entre representaciones,

principalmente la algebraica, utilizando letras para representar el trmino ensimo de la sucesin.-or ejemplo, se puede dar una representacin verbal de la proporcin y pedir a cada estudiante

que complete una tabla. +i la energ#a cintica / de un objeto que se mueve es directamenteproporcional al cuadrado de su velocidad v, y si / F 8?,$: = cuando vF >; m0s, complete lasiguiente tabla1

v /

?;

77:

352


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>. -ara dotar de conte*to real a las relaciones de proporcionalidad, es recomendable utilizar recortesde revistas, peridicos y datos estad#sticos obtenidos, por ejemplo, del 3nstituto acional deEstad#stica y /ensos !3E/" o del Estado de la acin.

?. En las representaciones de las proporciones, es necesario combinar proporciones directas einversas. -or ejemplo, si la presin "de un gas ideal var#a directamente con la temperatura 2e

inversamente con el volumen #del recipiente que lo ocupa, y si "F >; atm cuando la temperaturaes 2F 8( o/ y el volumen es #F 7,: litros, completar la siguiente tabla.

2!o/" #!l" "!atm"7: ;,$:

8; ?:

;,? :(

Octavo ao

7. 'a idea es introducir la funcin lineal como una relacin entre variables. En particular, la funcinlineal con criterio de la forma y F ax, con aconstante, es un caso particular de proporcin directa

vista en 9) A&o. En 7;) A&o se dar un tratamiento ms formal a las funciones.

En algunos pa#ses como Espa&a, Lrancia y -ortugal, la funcin lineal yF axG b con se b ;conoce como funcin af#n. El trmino lineal se reserva al caso de funciones con criterio de la formay F axen concordancia con la terminolog#a utilizada en matemtica para transformaciones lineales.Toda transformacin lineal lleva el cero del dominio en el cero del mbito, es decir, la imagen delcero es cero. En este programa utilizaremos el trmino lineal para ambos casos. Be esa manera,se seguir la terminolog#a usada tradicionalmente en /osta


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Tambin es fundamental que cada estudiante comprenda que una ecuacin puede tener variassoluciones, una 6nica solucin o bien ninguna.

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:. -ara la habilidad 7;, es pertinente dar una representacin geomtrica de las frmulas notablesconsideradas, suponiendo que los n6meros utilizados son todos positivos. -or ejemplo1

! a G b"8F a8G 8abG b8

Esta estrategia permite la cone*in con 'eometra. +e puede sugerir hacer lo mismo para las otras

dos frmulas notables1 ! aU b"8

F a8

U 8abG b8

, !aG b"!aU b" F a8

U b8

.

9.


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334

?. Es bastante 6til partir de la representacin grfica de la funcin 3!x" Fx8para construir la grfica dela cuadrtica general. -ara la funcin prototipo 3!x" F x8que servir de modelo para representar lafuncin cuadrtica general, que cada estudiante tenga claro lo siguiente1

+i cambiamosxpor Uxse obtiene el mismo valor de yF 3!x" pues 3(Ux" F !Ux"8Fx8. Esto implica

que la grfica de la funcin prototipo es simtrica respecto al eje vertical 4y5o seaxF ;, y por lotanto basta graficar la parte correspondiente ax ;. 'a otra parte sale por simetr#a respecto al ejevertical y.

/omo 3!x" Fx8 ; para todoxreal y 3!;" F ;, entonces el valor m#nimo de la funcin ocurre cuandoxF ;. 'a grfica es una parbola que se abre hacia arriba y el origen es el vrtice de la parbola.'a funcin 3a!x" F ax8es una homotecia de la funcin prototipo. +i a Z ; la parbola se abre haciaarriba, si a Y ; la parbola se abre hacia abajo. 'a funcin g!x" F ax8G ces una translacin verticalde 3a!x" F ax8hacia arriba de c unidades si c Z ; y hacia abajo si c Y ;.

'a funcinp!x" F a!xU !"8es una translacin horizontal de 3a!x" F ax8, !unidades hacia la derechasi ! Z ;, o hacia la izquierda si ! Y ;. 'a recta verticalxF !es el eje de simetr#a de la parbola, y

su vrtice se encuentra en el punto !!,;".

:. +e sugiere deducir la frmula general para las soluciones de una ecuacin cuadrtica, mediante latcnica de completar cuadrados.

0 ax2 bx ca x 2 ba x ac a x 2ba2 ac 4ba22a x 2ba2 b2 4a42ac

+i a ;, lo anterior implica que

xV b 2 b2 42ac

2a 4a

Be lo anterior se deduce que

W bb2W 4acWbW b2W 4ac x1 ,x2 2a 2a

son las ra#ces de la ecuacin ax bx c2 0.Es importante que cada estudiante concluya que el

valor b2W4ac, conocido como discriminante de la e*presin cuadrtica, determina si la ecuacin

tiene dos ra#ces, una ra#z o ninguna ra#z real.

9. -ara la funcin con criterio 3!x" F ax8G bxG c, completamos cuadrados para obtener1

b c


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f x( ) a x 2V a x V a ax V 2ba 2V W ac

4ba

22 ax V 2b 2 4 2 a x V ba 2W4 a

a a 2

que representa una parbola con vrtice en el punto1

2bf b ab , 4a

a , 2a 2

- 'a parbola es cncava hacia arriba si aes positivo y cncava hacia abajo si aes negativo.

W b -'a recta verticalx es el eje de simetr#a de la parbola.2a

- +i la parbola interseca el eje de las abscisas entonces su vrtice se encuentra en el puntomeCdio de las intersecciones.

$. +e pueden establecer analog#as aritmticas para deducir los procedimientos correspondientes yresolver operaciones con e*presiones algebraicas fraccionarias. -or ejemplo1

15 6 2 3 3 5 3 3

Aritmticamente1 2 2 4 75 2 3.5 2 5 10

x2Vx x2W 25 x x( V1)(xV 5)(xW 5) xV 5

Algebraicamente1x2W10xV 25x

3V 2x

2Vx x x( W 5) (

2xV1)2 (xW 5)(xV1)

(. -ara las operaciones con e*presiones algebraicas fraccionarias !suma, resta, multiplicacin,divisin" utilice solamente dos e*presiones cuyo numerador y denominador sean monomios,binomios o polinomios de no ms de cuatro trminos !con una o dos variables". -or ejemplo1

x 3

2 x2x1x1

2

2 x2 4x2

1 4

2 2x5

Ox5Px2 x x3 2x2 x

357


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2 x2 10 25x x2 25

. -ara las ecuaciones de segundo grado, cada estudiante debe tener claro que resolver la ecuacinax2 V V bx c dcorresponde a determinar el valor dexpara el cual el valor de la variable depenC

diente yen y ax2 bx csea igual a d. Este valor dexse conoce como una solucin o ra#z

de la ecuacin ax2 V V bx c d . /uando d 0 , la ra#z de la ecuacin ax2Vbx cV 0tambin se conoce

como cero de la funcin representada algebraicamente pory ax bx c 2 y geomtricamente

representa a la abscisa del punto en donde la curva correspondiente corta el eje x. 'a ecuacin ax2V

V bx c des equivalente a la ecuacin ax2Vbx c d V W 0 , es decir, la ra#z de

ax2 V V bx c dcoincide con los ceros dey

ax

2 bxd.

7;. Ejemplos de ecuaciones que se reducen a ecuaciones del segundo grado !habilidad "1a1?G b18G cF ;, haciendoxF 18

as bs c 0, haciendox s

77. -ara la habilidad 77 se recomienda el uso de softHare graficador. -or ejemplo, a travs de lavariacin del parmetro ben la representacin algebraica de la funcin cuadrtica 3(x) =ax8G bxGc se puede observar y conjeturar acerca del movimiento del vrtice de la parbola.

Indicaciones de e8aluacin

En el traba6o cotidiano es importante evaluar el uso apropiado del vocabulario y la simbolog#amatemtica, el grado de participacin de cada estudiante en las actividades propuestas, as# como laforma de comunicar y e*poner sus argumentos.

'os traba6os extraclase debern estar orientados al anlisis de relaciones de proporcionalidad, lamanipulacin correcta de e*presiones algebraicas, los diversos cambios de representaciones para lasfunciones lineales o cuadrticas y la resolucin de ecuaciones derivadas de conte*tos reales.

4n posible traba6o extraclasepara el ) A&o consiste en que cada estudiante investigue acerca de

situaciones que pueden ser modeladas por funciones lineales o cuadrticas. Adems se les solicitar#autilizar distintas representaciones para los modelos encontrados y proponer un problema para uno destos.

-ara la evaluacin mediante tareas cortas ! traba6o extraclase" y pr-ebasse deben tener presentes lassiguientes indicaciones.

-ara evaluar las habilidades relacionadas con sucesiones, proponga una sucesin en forma tabuClar y solicite la e*presin algebraica que representa la ley de formacin para la sucesin dada.


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-ara la habilidad de analizar relaciones de proporcionalidad, dicte una situacin que tiene que vercon proporcionalidad directa, inversa o combinada. /ada estudiante escribe la representacinalgebraica correspondiente y plantea un problema para la situacin planteada.

-ara las e*presiones algebraicas es importante evaluar posibles errores algebraicos que son coC

munes, como por ejemplo,Wan es positivo si nes par y aes no nulo, a b2 V V2 a b Q

Oa b P2 a b2 2 , a2 a , entre otros. Estos aspectos deben ser evaluados de forma continua y

sistemtica en el traba6o cotidiano.

'a evaluacin de las funciones lineales debe contemplar cambios de representaciones. -orejemplo, dado un problema en forma verbal1 \la edad de Ana es ocho a&os menos que el triple dela edad de =os], escriba la representacin algebraica correspondiente si y es la edad de Ana yxes la edad de =os. -ara la situacin, plantee un problema cuya solucin tenga sentido. Ntraposibilidad es plantear el problema en forma verbal y que cada estudiante complete una tabla1

\e*isten ocho pjaros en cada rbol y once pjaros en el piso]. +i xrepresenta el n6mero derboles ypel n6mero de pjaros, complete la tabla1

x p

7:

7$

:7

-ara las funciones cuadrticas tambin es importante evaluar cambios de representaciones. -or

ejemplo1 el movimiento de un objeto es descrito por la ecuacin y a x h O P2 b, xrepresenta el tiempo, yrepresenta la distancia recorrida por el objeto. Krafique la trayectoria del

objeto en el siguiente cuadriculado si el vrtice de la parbola es !>,8" y !$,9" pertenece a lacurva.

El proceso inverso ser#a dar una grfica en el plano cuadriculado y solicitar el criterio de laparbola.

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4n tipo de evaluacin de representaciones funcionales consiste en hacer pareo entre un conjuntodado de grficas contra un conjunto dado de tablas o bien de criterios algebraicos.

-ara las ecuaciones, incluya aquellas que no tienen solucin, las que tienen solucin 6nica y lasque tienen infinitas soluciones, como por ejemplo1

x2 9 0,x2 6x 9 0,x2 2

O2x2P


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tercer ciclo relaciones y algebra

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