algebra recreativa

REGLAS PARA LA DIRRECIÓN DEL ENTENDIMIENTO RENÉ DESCARTES

Sección: Clásicos René Descartes: Reglas para la dirección del espíritu

El Libro de Bolsillo Alianza Editorial Madrid

Título original: “Regulae ad directionem ingenii” Traductor: Juan Manuel Navarro Cordón

Primera edición en «El Libro de Bolsillo»; 1984 Tercera reimpresión en «El Libro de Bolsillo»: 1996

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© De la introducción, traducción y notas: Juan Manuel Navarro Cordón

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41,614-1995 Impreso en Closas-Orcoyen, S. L. Polígono Igarsa Paracuello del Jarama (Madrid)

Printed in Spaini

1

INDICE:

Indice: .............................................................................................. 1

Introducción: ................................................................................... 3

I. Significado, estructura y temática de las Reglas ................. 3

1. Las «Reglas» y la modernidad. ........................................ 3

2. Significado y estructura de las «Reglas» ......................... 7

3. Ciencia, método y filosofía en las Reglas ....................... 18

II. Método y Filosofía ............................................................ 22

1. La unidad de la ciencia ................................................. 25

2. Método y matemática .................................................. 29

3. Método y Filosofía ........................................................ 44

III. Referencia bibliográfica .................................................. 54

1. Ediciones críticas de las «Reglas» .................................. 54

2. Obras generales de interés para las «Reglas» ............... 54

3. Obras sobre las «Reglas» y el método .......................... 56

Reglas para la dirección del Espíritu: ............................................. 57

Regla I ........................................................................................ 57

Regla II ....................................................................................... 62

Regla III ...................................................................................... 69

Regla IV ...................................................................................... 74

Regla V ....................................................................................... 84

Regla VI ...................................................................................... 86

Regla VII ..................................................................................... 92

2

Regla VIII .................................................................................... 97

Regla IX .................................................................................... 105

Regla X ..................................................................................... 108

Regla XI .................................................................................... 111

Regla XII ................................................................................... 114

Regla XIII .................................................................................. 135

Regla XIV .................................................................................. 142

Regla XV ................................................................................... 155

Regla XVI .................................................................................. 156

Regla XVII ................................................................................. 161

Regla XVIII ................................................................................ 163

Regla XIX .................................................................................. 170

Regla XX ................................................................................... 171

Regla XXI .................................................................................. 171

CONTRAPORTADA ....................................................................... 172

REGLAS PARA LA DIRECCIÓN DEL ESPÍRITU

René Descartes

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INTRODUCCIÓN:

I. Significado, estructura y temática de las Reglas

1. Las «Reglas» y la modernidad.

Parece difícil presentar el pensamiento de Descartes o alguno de sus escritos, en nuestro caso las Reglas para la dirección del espíritu, sin señalar en el umbral mismo la novedad epocal de su obra, pues en verdad él inicia no sólo la moderna Filosofía, sino también «la cultura de los tiempos modernos». Hagamos nuestras, a este propósito, las palabras de aquel pensador que tan hondamente meditó sobre el sentido «histórico» de los discursos filosóficos: «Con Cartesio —escribe Hegel— entramos... en una filosofía propia e independiente, que sabe que procede sustantivamente de la razón y que la conciencia de sí es un momento esencial de la verdad. Esta filosofía erigida sobre bases propias y peculiares abandona totalmente el terreno de la teología filosofante, por lo menos en cuanto al principio, para situarse del otro lado. Aquí, ya podemos sentirnos en nuestra casa y gritar, al fin..., ¡tierra!» 1 El texto hegeliano indica sólo, pero con suficientes matices y precisión, aspectos fundamentales del giro cartesiano: la independencia del pensamiento con respecto a la teología, la autonomía de la razón, la inseparabilidad entre la verdad y autoconciencia, giro que abre las vías para un venidero humanismo, en el sentido en que Sartre escribe que «precisamente estamos en un plano donde solamente hay

1 Hegel, G. W. F., «Vorlesungen über die Geschichte det Philosophie», en

Werke, Suhrkamp Verlag, Frankfurt 1971, vol. XX, p. 120, ed. cast. F. C. E., México, 1955, p. 252.


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hombres»2; humanismo que aunque no cuadre del todo ni con la letra ni quizá tampoco con el espíritu de la completa obra cartesiana, sí que puede considerarse en cierto sentido de raigambre cartesiana, pues por obra del pensador francés se ha bosquejado, e incluso fundado formalmente, lo que se ha llamado «el principio de la inmanencia», mediante «un cambio de dirección del objeto al sujeto, del mundo al yo, de lo exterior a lo interior»3

Las Reglas para la dirección del espíritu, y no sólo por lo temprano de su redacción en el pensamiento de Descartes, trazan las bases de la nueva época. «Sólo quien haya pensado real y detenidamente este escrito, radicalmente parco, hasta en sus rincones más recónditos y fríos, está en condiciones de tener una idea de lo que pasa en la ciencia moderna»4. Podría pensarse, no yendo más allá de la literalidad de la afirmación heideggeriana, que las Reglas son un escrito de singular importancia para la ciencia moderna, y nada más, aunque ello ya sea mucho. Estimando por nuestra parte que lo es en efecto, pensamos además que el significado de la obra y el alcance de la afirmación de Heidegger tienen otra dimensión más rica aún y originaria. De un lado, porque el significado «científico» de la obra requiere ser leído desde un marco previo y totalizador, donante de sentido; y porque las Reglas mismas, con todos sus significados posibles, y entre ellos el «científico», hay que interpretarlas desde una

2 Sartre, J. P., El existencialismo es un humanismo, Ed. Sur, Buenos Aires,

1980, p. 26. Véase en el muy interesante trabajo de Sartre, La liberté cartésienne, recogido en el vol. I, de Situations, Gallimard, París, 1947, pp. 289-308, la lectura sartreana del incoativo y formal ateísmo humanista cartesiano. 3 Fabro, C, Introduzione all'ateismo moderno, Editrice Studium, Roma,

1964, p. 921. 4 Heidegger, M., Die Tragc nacb dem Ding, M. Niemeyer, Tübingcii, 1962,

p. 78; cil. cast. Sur, Buenos Aires, 1964, p. 100.


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experiencia de la vida y en función de un proyecto histórico, en los que la simple ciencia, por lo demás grandiosa y admirable, puede jugar, sí, un papel relevante, pero no primordial ni decisivo. Junto a la técnica maquinista, el arte considerado como estética y objeto de la vivencia, el obrar humano como cultura, y la desdivinización, es la ciencia, según señala Heidegger, uno y quizá el más definitorio de los «fenómenos esenciales de la Edad Moderna». Pero ninguno de ellos individual ni separadamente, ni tampoco la simple suma de todos ellos, delinea ni expresa originariamente la «figura esencial» (Wesensgestalt) de una época, pues cabe y es preciso preguntarse «qué concepción de lo existente y qué interpretación de la verdad sirve de fundamento a estos fenómenos». Una pregunta tal escapa siempre, precediéndolo y sobrepasándolo, a cada uno de los referidos fenómenos, correspondiéndole, por el contrario, a ese difícil, pero necesario ejercicio o acción del pensamiento que es el filosofar. Acción de innumerables nombres y modos de realización, uno de los cuales, y quizá singularmente sobrio v apropiado, es el de «meditación» (Besmnung): «Meditación es atreverse a cuestionar al máximo la verdad de las propias presuposiciones {Voraus-setzungen) y el ámbito de los propios fines»5. Así pues, una pregunta tal, que en cuanto «meditación entra en el sentido (Sinn)6 de una época desvelando su figura esencial, es tarea de la Filosofía. En la tradición {Über-lieferung) occidental que va de Platón a Nietzsche, la filosofía se entendió y realizó como Metafísica. Pues bien, «en la metafísica —escribe Heidegger— se efectúa la meditación sobre la esencia de lo existente y una decisión sobre la esencia de la verdad. La metafísica funda una época al darle un fundamento de su figura esencial mediante una determinada interpretación de lo

5

Heidegger, M., «Die Zeit des Weltbildes», en Hohwege, V. Klostermann, Frankfurt am Main, 1972, p. 69. 6 Cft. Heidegger, M., «Wissenschaft und Besinnung», en Vor-tr'áge und

Aufsátze, Neske, Pfullingen, 1978, pp. 41-66; p. 64.


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existente y mediante una determinada concepción de la verdad. Este fundamento domina todos los fenómenos que caracterizan la época. Viceversa, en esos fenómenos debe poderse reconocer el fundamento metafísico para una meditación suficiente sobre ellos»7.

El indudable significado «científico» de las Reglas no las agotan; más fundamentalmente, las Reglas para la dirección del espíritu ofrecen, todavía quizá con la ambigüedad y la indecisión que se quiera (debidas justamente a su carácter de frontera entre un mundo fenecido y otro que nace y que ellas mismas ayudan a alumbrar), los rasgos esenciales que bosquejarán la época moderna; en ellas pueden quizá rastrearse los factores esenciales de lo que Heidegger ha denominado «lo esencial de una postura fundamental metafísica», que comprende los ya referidos: «la interpretación esencial del ser de lo existente», «el proyecto esencial de la verdad», y además, y en indisoluble unidad de estructural significación, «el modo y manera como el hombre es hombre», y «el sentido conforme al cual el hombre es medida (Mass) para la verdad de lo existente» 8.

Como es palmario, aquí «metafísica» no mienta ningún pretendido (o pretencioso) conocimiento de trasmun-dos, sino algo previo a cualquier decisión sobre esa o parecidas cuestiones. Nos parece claro que en las Reglas se ofrece una interpretación de lo existente en correlación con un proyecto de qué entender por verdad; y también nos resulta claro que hay una interpretación del hombre que como sujeto epistémico funda y establece «medida» (Mass) para la verdad y para lo que ha de ser instituido como su correlato objetual cierto; si bien con una claridad de claroscuro, la claridad de una presencia de la que se sabe sólo por sus operaciones y

7 Heidegger, M., Holzwege, L, c.

8 Heidegger, M., Holzwege, ed. cit., p. 96, y Nietzsche, Neske, Pfullingen,

1961, II, p. 170.


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obras: parecería como si el «filósofo de la máscara» pusiese especial cuidado en no dejar entrever del «yo» sino lo necesario o lo ineludible. Pero que el hombre, en cuanto sujeto, esté en cierta oscuridad o ausencia no significa que no venga operando desde el principio en el filosofar cartesiano. H. Gouhier lo ha señalado con precisión y sencillez: «El cartesianismo nace de una intuición que lo vuelve hacia el hombre, animal racional (raisonnable)9 que vive en un universo físico y en un medio social. Ahora bien, esta intuición primera no deja de ser primaria en el pensamiento del filósofo. ¿Cómo podría subsistir su sistema sin lo que le da su dirección y su movimiento?»10.

Poder llegar a apreciar el ensamblaje de estos factores en las Reglas evitará su reduccionismo «ciencista», su significación «epistemológica» se verá desde otra perspectiva y a otra luz, y la obra misma mostrará su riqueza y su potencial «metafísico», entendida esta palabra en el significado apuntado.

2. Significado y estructura de las «Reglas»

¿Qué significan en la experiencia vital y filosófica de Descartes, las Reglas para la dirección del espíritu? No vamos a recordar una vez más ni siquiera los acontecimientos más relevantes de la vida de Descartes, nacido en La Haye, ciudad de Turena, el 31 de marzo de

9 Un pasaje de la Antropología en sentido pragmático de Kant expresa

con claridad y precisión el matiz que queremos resaltar; hablando del hombre dice Kant que «tiene un carácter que él mismo se ha creado, en cuanto que es capaz de perfeccionarse de acuerdo con los fines que él mismo se señala; por medio de lo cual él, como animal dotado de capacidad de razón (Vernunftfahig-keit) (animal rationabile), puede hacer de sí mismo un animal racional (vernünftiges) (animale rationale)». Kant's Werke, Akademie Textausgabe, W.°de Gruyter, Berlín, "1968,'vol." VII, p.' 321~ 10

Gouhier, H., Descartes, Essais sur le «Discours de la Mé-thode», La Métaphysique et la Morale, J. Vrin, París, 1973, p. 204.


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1596, ni tampoco nada de su carácter y de la relación de éste con su obra; ni, en fin, una relación de sus escritos. Es de mayor interés para nosotros, atenidos como estamos además a un espacio que se nos ha fijado a pesar de ello con generosidad, responder aunque sea muy brevemente a la pregunta recién formulada. Y, para empezar, encontramos en Hegel unas observaciones breves, precisas y que orientan adecuadamente. Descartes «se caracterizaba por su espíritu vivaz e inquieto, que buscaba con insaciable afán todas las ramas del conocer humano, buceando en todos los sistemas y formas de pensamiento»11. A ello hay que añadir una firme voluntad de «investigar seriamente la verdad de las cosas» (Reglas, I, 361), y no sólo para mejor dirigir las acciones de la vida, sino además «por aquel placer que se encuentra en la contemplación de la verdad y que es casi la única felicidad pura de esta vida» (Ibid).

Adornado con un espíritu tal y movido por el afán de verdad, tres experiencias jalonan el camino hasta las Reglas. En primer lugar, «sus estudios de juventud en el colegio de jesuítas y los que hizo por su cuenta le infundieron, al cabo de muchos años de engolfarse en ellos, una fuerte repugnancia por el estudio libresco»; de otra parte, «siendo todavía mozo, a los dieciocho años, se trasladó a París y vivió en el gran mundo de la capital. Pero, como tampoco esto satisface sus afanes, pronto abandonó esta sociedad y retornó a sus estudios», y por último, «se retiró... consagrado principalmente al estudio de las matemáticas»12. Estas tres experiencias expresan tres vías o caminos (métodos) en la búsqueda de la verdad y que representan «la quiebra de una cultura» y, en contraste con ello, «el hechizo de las matemáticas»13. Y si, como antes se señaló, el Cartesianismo nace

11

11 Hegel, G. W. F., Op. c, p. 255 12

Hegel, G. W. F., L. c. 13

Gouhier, H., O. c, pp. 14 y 12.


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de una intuición que lo vuelve hacia el hombre, al sí-mismo (moi-même) (giro en el que las matemáticas desempeñan un gran papel, pero cuyo preciso sentido y alcance es menester desentrañar; y de ello nos ocupamos reiteradas veces en esta edición), ese nacimiento es el resultado de una experiencia que se inicia con «la quiebra de una cultura» y a la que seguirá una segunda. La primera es la quiebra de las «lettres», de las «litterae humanae», de las Humanidades en que había sido alimentado desde su juventud (Lenguas antiguas, Historia; Elocuencia, Poesía, Teología; Filosofía; Lógica, Física, Metafísica y Moral; en fin, Medicina y Jurisprudencia). El fracaso de las Humanidades, en el nivel histórico en que se encontraban, se debe a su incapacidad para fundar y promover la idea de racionalidad y libertad que definen la destinación del hombre.

Abandonando «por completo el estudio de las letras», Descartes inicia la experiencia del «gran libro del mundo» (á recueiller diverses expériences): la experiencia mundana e intersubjetiva con «otros hombres» y «otros pueblos». A pesar de las ventajas y utilidad que reporta esta experiencia, carente y vacía aún de la conciencia de sí mismo como principio y guía, resulta incapaz para proporcionar lo que se busca: una verdad que, inseparable de lo que es o existe cognoscible con certeza, instaure una idea del hombre y su «ser medida» que permita fundadamente «ver claro en mis acciones, y marchar con seguridad en esta vida». Es la quiebra de lo que podríamos denominar la «cultura mundana no mediada por la autoconciencia».

Se abre, pues, y no resta sino la tercera experiencia o camino: el encanto o hechizo de las matemáticas. Aunque Descartes las había estudiado y apreció desde el primer momento su certeza, sin embargo sólo más tarde llegó a reparar en su verdadero uso. Parece que ello tuvo lugar en una fecha precisa: el 10 de noviembre de 1619. En las Olympica puede leerse: «El 10 de


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noviembre de 1619, como estuviera lleno de entusiasmo y hallara los fundamentos de la admirable ciencia, etc.» (A. T., X, p. 179). La gestación de las Reglas, cuya fecha de redacción más probable es el invierno de 1628, se inicia en aquellas fechas y también por entonces el descubrimiento del método. En ello las matemáticas han desempeñado un papel singular. Recibió Descartes en La Fleche no sólo amplios conocimientos matemáticos, sino principalmente «el espíritu mismo del saber matemático»14. Este espíritu unido a su singular penetración filosófica le llevó a rechazar el simple «valor técnico de las matemáticas», su utilización como mero instrumento para las artes y artificios mecánicos, y reparar en su posible «valor de cultura», dada «la certeza y la evidencia de sus razones». Interesándole a Descartes principalmente las empresas del espíritu, lo más importante y revelador en su ocupación con las matemáticas es «el descubrimiento de esta técnica puramente especulativa que pone al espíritu en posesión de la verdad»15, y en posesión de sí mismo. Así, el significado de las matemáticas en el desarrollo y acuñación del método, buscando éste una «conversión a lo humano» y siendo inseparable de la razón y del sí-mismo (moi-même), constituye uno de los tópicos más discutidos. E. Gilson ha interpretado ese significado como «matematicismo»: «la filosofía de Descartes no es más que un experimento temerariamente realizado para ver lo que deviene el conocimiento humano cuando se le moldea según el modelo de la evidencia matemática», y en esta degeneración que es el matematicismo, «las matemáticas comenzaron.. .a inundar como una riada descolorida la compleja realidad», convirtiendo a la Filosofía «en un capítulo de la matemática universal»16. Cabe otra lectura del sentido de la

14

Gilson, E., La unidad de la experiencia filosófica, Rialp, Madrid, 1973, p. 153. 15

Gouhier, H., O. c, p. 61. 16

Gilson, E., O. c, pp. 156, 161 y 178, respectivamente.


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relación entre matemáticas y la razón que impone desde sí un método, y sobre ello volveremos más adelante. Por ahora basta con dejar constancia del interés de la tercera experiencia cartesiana: la que tuvo con las matemáticas.

Descartes ha llevado a cabo en tres ocasiones «la puesta a punto» de su método: la primera, en ese invierno de 1619 y en el año siguiente («El 11 de noviembre de 1620 empecé a comprender el fundamento del admirable descubrimiento»; A. T., X, p. 179); y el Studium bonae mentís, de por la misma época (A. T., X, pp. 191-203), ha sido considerado como un primer esbozo de las Reglas17. La segunda «puesta a punto» la constituyen las Reglas para la dirección del espíritu. Y la tercera, el Discurso, de 1637. Excede los límites y propósitos de nuestra Introducción abordar las diferentes cuestiones que plantea la relación entre las Reglas y el Discurso. Señalemos tan sólo que mientras para algunos (Hamelin, por ejemplo), las Reglas, «conviene subordinarlas al Discurso, tomando a éste como base y a aquéllas como simple complemento»18, para otros (así Rodis-Lewis), «a pesar de sus límites las Regulae siguen siendo el texto a la vez más espontáneo y más desarrollado»19. Es manifiesto que el Discurso es una obra que sobrepasa en intenciones, variedad y riqueza temática, amén de su valor «autobiográfico», a las Reglas; pero en lo que se refiere estrictamente al «método», y en la significación que a este término damos en el apartado Método y filosofía de nuestra Introducción, las Reglas aventajan con mucho al Discurso, y por otra parte, el Discurso no enriquece el método de la obra de 1628,

17

Hamelin, O., El sistema de Descartes, Losada, Buenos Aires, 1949, pp. 49 y 55. G. Roras Lewis señala que «el fondo del método... ha salido de las reflexiones de 1619-20», L'oeuvre de Descartes, J. Vrin, París, 1971, vol. I, pp. 89-90. 18

Hamelin, O., O. c, p. 58. 19

Roms Lewis, G., O. c, p. 168.


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manteniéndose una unidad metódica: «es el mismo método el que está en juego y las fórmulas de 1637 mantienen lo que, en las de 1628, expresa la actitud tomada desde 1619»20.

Las Reglas para la dirección del espíritu es probablemente el último de sus escritos de juventud; escrito en latín, quedó sin terminar y fue publicado años después

de la muerte de Descartes (acaecida en febrero de 1650, en Estocolmo), en Amsterdam, en el año 1701, formando parte de Opúsculo Posthuma physica et mathematica, tras una serie de peripecias, fruto de un azar diríase que perverso, que tuvo sin embargo su réplica en la fortuna que quiso salvarlas de la destrucción (pues buena fortuna hizo falta para que a pesar de tantos riesgos el texto no se perdiese y viese la luz). En el Inventario de los escritos de Descartes hecho a su muerte, y en el capítulo F, se lee: «Nueve cuadernos enrollados, conteniendo parte de un tratado de reglas útiles y claras para la dirección del Espíritu en la búsqueda de la verdad» (A. T., X, p. 9). Fueron estos cuadernos los que trajo y llevó el azar en peripecias que nos dispensamos de recordar21.

Las Reglas presentan una notable singularidad; con razón se ha dicho que flotan «en una extraña indecisión», pues es «un texto sin texto», un «texto sin título» fijo y único, y un «texto sin genealogía ni posteridad»22. Un texto, o mejor, unos textos que nos han llegado, ninguno de los cuales es el original. El manuscrito original fue a poder de Clerselier, un amigo de Descartes que murió sin conseguir publicar el manuscrito, que a fin de cuentas se

20

Gouhier, H., O. c, pp. 75-76. 21

Además de las monografías ya citadas, véase también al respecto A. T. X., pp. 351-357. 22

Marión, J. L., Sur l'Ontologjc grisc ¿le Desearles, J. Vrin, París, 1975, p. H.


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perdió. No sin antes haberse hecho de él algunas copias. Perdido el original, se dispone del manuscrito de Amsterdam (publicado en 1701), de cuya autenticidad no se puede dudar. Es el que recoge principalmente la edición de Adam y Tannery y es citado como A. Otro texto es el manuscrito de Hannover, copia que Leibniz compró en 1670 al médico Schüler y que fue corregido por el mismo Leibniz. Es citado como H. Y aún puede hablarse de un tercer texto o manuscrito, sobre el que Crapulli ha realizado su edición de las Reglas. Nuestra edición ha tomado como base el texto de AT., optando en cada caso por las variantes de los otros textos que nos han parecido más pertinentes, como se indica en sus lugares y notas respectivas.

Aunque habitualmente denominadas Regulae ad directionem ingenii (Reglas para la dirección del espíritu), y así lo hacemos nosotros, el texto no ha recibido un título único. El manuscrito de Hannover titula Regulae de inquirenda veritate, resaltándose especialmente por Leibniz el carácter de «búsqueda de la verdad». Y el manuscrito original, según el inventarío de Estocolmo, reza así: Tratado de reglas útiles y claras para la dirección del Espíritu en la búsqueda de la verdad. Es éste, sin duda, el título más comprensivo. Pero lo que importa señalar, y mucho, en esta diversidad de títulos y extensión y términos de su formulación es que la obra, y el método de que se ocupa, no tiene ni una primaria intención «epistemológica» ni se reduce sin más a su significación «científica». Pues, de una parte, del método espera Descartes «una conversión del espíritu»23, y de otra, las Reglas constituyen una «meditación sobre la esencia —moderna— de la verdad»24. Y claro es que, en virtud de que ese «emparejamiento entre cierto

23

Y, en este sentido, escribe I. Belaval, regulae ad directionem ingenii debería traducirse: reglas para servir de directrices a los que tienen don (ingeniutn), Leibniz critique de Descartes, Galli-mard, París, 1960, p. 27. 24

Marión, j. L., O. c, p. 15.


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modo de censar y cierta idea del Ser, según recordaba Ortega, no es accidental, sino que es inevitable» 25, una meditación sobre la esencia de la verdad es también y al mismo tiempo26, al menos incoativa y formalmente, una meditación sobre la esencia de lo que es. El que «lo que es» en este caso pueda «interpretarse» como «objeto» no quita un ápice a su significado ontológico.

Texto, en fin, decíamos con J. L. Marión, sin genealogía ni posteridad. Sin genealogía, porque ninguno de los escritos cartesianos anteriores ayudan a comprender adecuadamente la obra, como puede apreciarse a la luz de diversos trabajos27 sobre esos escritos. Y es que, de un lado, las Reglas, más que insertarse en una génesis, constituyen propiamente la génesis misma del pensamiento cartesiano, y, de otro, su inteligibilidad y sentido reciben especial luz del mudo diálogo que mantienen con la

25

La idea de principio en Leibniz, prg. 3: «Pensar y ser, o los dióscuros», en Obras completas, Revista de Occidente, Madrid, 1970, VIII, p. 70. «Modo de pensar» sustituye aquí, en la intención de Ortega, a «método»; y ha visto bien la «debilidad» semántica de esta palabra, a causa de su habitual sobredeterminación «epistemológica» y «metodologista». «La palabra 'método', escribe en el mismo lugar, aunque es adecuada a lo que ahora insinúo, es una expresión asténica, grisienta, que nos 'dice' con energía suficiente toda la gravedad o radicalidad de la noción que intento declarar. Parecería como si la palabra 'método' significase que en la operación llamada pensar, entendida según venía tradicionalmente entendiéndose, introduce el filósofo algunas modificaciones que aprietan los tornillos a su funcionamiento, haciéndolo con ello más riguroso y de rendimiento garantizado. No es esto lo que quiero decir. Se trata de algo mucho más decisivo». 26

Recuérdese la formulación del principio supremo de los juicios sintéticos a priori en la Crítica de la razón pura, A-158, B-197. 27

Además del libro de O. Hamelin ya citado, véase el de H. Gouhier, Les premieres pensées de Descartes, J. Vrin, París, 1958, y el también ya citado de G. Rodis Lewis, I., capítulos I y II.


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tradición escolástica, y muy especialmente Aristóteles. Se comprende así quizá mejor la doble ruptura que en ellas se refleja: ruptura con las principales tesis tradicionales; y ruptura (silencio) de las Reglas, una vez cumplida la ruptura con la tradición, en la obra posterior cartesiana. Pues ninguna mención posterior a ellas, silencio de no pocas cuestiones fundamentales de las Reglas (la Mathesis TJniversalis, el intuitus), lo que no impide en absoluto el que las bases adquiridas en ellas no se mantengan y operen en el pensamiento posterior cartesiano. El que el propio Descartes no las publicase, y el que quedasen inacabadas28 coadyuvan no poco a su indecisión y a cierta dificultad de su «lectura».

Referido a este orden de cuestiones, Hegel escribe lacónicamente: «El espíritu de su filosofía no es otra cosa que el saber como unidad del ser y el pensar». O. c, p. 257.

Para facilitar ésta en alguna medida indicaremos la estructura de la obra. El programa de las Reglas aparece claramente señalado en dos pasajes: en la Regla VIII (p. 399) y en la Regla XII (pp. 428-429); programa a desarrollar en tres libros. ¿Qué criterio guía esta división? En la Regla VIII no queda suficientemente distinguido ni precisado el criterio adecuado, pues al cifrarlo allí en los conceptos de «simplicidad» y «composición» y su funcionalidad («Las dividimos, escribe Descartes, en naturalezas absolutamente

28

No parece haber razones claras de la interrupción de la obra. Podría pensarse en la carta de 15 de abril de 1630 a Mersenne en que Descartes se refiere a un incremento y progreso en los conocimientos que obliga a una reforma del proyecto primitivo; pero no es seguro que en esta carta se refiera a las Reglas; antes bien, quizá a un proyectado por esas fechas Tratado de Metafísica. Rodis-Lewis cree que «su inacabamiento es el corolario de una complejidad todavía insuficientemente dominada» (O. c, I, p. 167), indicando que la Geometría (como es sabido, uno de los Ensayos que siguen al Discurso del Método) perfeccionará notablemente el álgebra esbozada en el libro segundo de las Reglas.


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simples y en complejas o compuestas»), queda sin mencionar explícitamente como criterio la intervención de «lo desconocido» como término de la composición, habiendo de quedar por ello, en su caso, ambigua la distinción entre el Libro primero y segundo; y así también entre el segundo y el tercero. La Regla XII, más rigurosamente, señala como criterio la división en «proposiciones simples», es decir, esas proposiciones que «deben presentarse espontáneamente y no pueden ser buscadas (y de ellas se ocupará el Libro primero, que comprende las doce primeras Reglas), y «cuestiones», en las que ya interviene un elemento desconocido (de las que habrían de ocuparse los Libros segundo y tercero). Ahora bien, de las cuestiones, «unas se entienden perfectamente, aunque se ignore su solución», y al tener todas las premisas, sólo queda por buscar «la manera de encontrar la conclusión». «En tales problemas (o cuestiones) la solución está enteramente determinada, de manera que se sabe perfectamente bien lo que busca: el principio que define la solución está implícito, pero rigurosamente determinado; por fin, el modo de dependencia que enlaza la solución con su principio es tal, que la negación del principio traería consigo la negación de la solución, y recíprocamente, la negación de la solución implicaría la negación del principio. Estos problemas perfectamente determinados son casi siempre problemas abstractos, por consiguiente, problemas aritméticos y geométricos. Por eso, observémoslo al pasar, las Reglas XIII-XXI son reglas matemáticas, circunstancia que a veces ha inducido a los historiadores a pensar, equivocadamente, que a medida que avanzaba en su tratado, Descartes, sin quererlo, se circunscribía más y más a las ciencias matemáticas»29. De tales cuestiones se ocupa el inconcluso Libro segundo. Pero otras cuestiones «no se entienden perfectamente», a saber, «aquellas cuyo enunciado es incompleto y no permite sino una solución, en

29

Hamelin, O., O. c, p. 77.


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parte, indeterminada»30. y de ellas habrían de ocuparse las doce reglas del Libro tercero.

Reparemos con algún detalle, a su vez, en la estructura del Libro primero, sin duda alguna el más importante. Cabe señalar en él claramente tres secciones31. Una primera que comprende las reglas I-IV, en que se aborda la nueva teoría del saber y de la ciencia. La regla I establece el fin que se propone el Tratado, cifrando en la unidad de la ciencia el fundamento de la nueva idea del saber. La II instituye la certeza como el carácter fundamental y definitorio de la ciencia. La III aborda las operaciones o acciones del entendimiento por las que se establece el conocimiento cierto. Mientras que la regla IV desarrolla el sentido de la principalidad del método en la búsqueda de la verdad.

La sección segunda comprende las reglas V-VII, reglas que «prescriben el orden y lo implican». Su especial unidad las hace inseparables, requiriendo ser consideradas conjuntamente, no importando «cuál se enseñaría la primera». La V enseña la principialidad del orden en el método y la necesidad de sustituir un orden ontológico (en la acepción escolástica) por un orden epistémico. La VI critica los géneros del ente y las categorías como supuestos del orden, e instaura las series. Y la VII sustituye el silogismo por la enumeración como movimiento continuo e ininterrumpido del pensamiento. La regla VIII, por su parte, desarrolla con «ejemplos» los temas abordados en esta segunda sección.

La sección tercera comprende las reglas IX-XI. Definidas las operaciones epistemológicas en la sección segunda, las reglas de ésta tercera lleva a la práctica esas operaciones, precisando las

30

Ibid. 31

En lo que sigue recogemos diferentes observaciones de J. L. Marión, O. c, al respecto.


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condiciones subjetivas de su ejercicio, y su interna conexión. En efecto, la IX lo hace con respecto al Intuitus mediante la «perspicacia», a fin de intuir «distintamente cada cosa». La X se propone lo mismo con respecto a la deducción, usando para ello de la sagacidad. Mientras que la XI se propone la estrecha relación entre intuición y deducción, a fin de explicar «de qué modo estas dos operaciones se ayudan y completan hasta el punto de que parezcan fundirse en una sola, por un cierto movimiento del pensamiento que al mismo tiempo intuye atentamente cada cosa y pasa a otras» (Regla XI,). La regla XII, que cierra el libro primero recoge a modo de conclusión lo que ya se ha ido tratando.

3. Ciencia, método y filosofía en las Reglas

El complejo significado de las Reglas y la indecisión que plantea lo oscuro de su genealogía y el silencio sobre la posterior obra cartesiana, adquiere especial relevancia en la cuestión de si es una obra que trata estrictamente de cuestiones científico-metodológicas, con plena autonomía, y sin referencia alguna a cuestiones filosófico-metafísicas; o si más bien, aun tratando temas metodológicos y también científicos, el método es inseparable de la instancia filosófico-metafísica, o incluso, ésta constituye en último término lo fundamental. Quisiéramos tan sólo aquí dejar constancia de ambas lecturas,que vamos a ver de la mano de dos clásicos intérpretes de la obra cartesiana.

«Es una cuestión ardua la de saber si en Descartes el método es independiente de la metafísica»32, y, efectivamente, lo es, pues su desarrollo requiere una clarificación previa sobre qué entender por método, qué por metafísica y ambas a su vez en la evolución del pensamiento cartesiano. Desestimando en último término una evolución con cortes señalados y bruscos, o mejor quizá, admitiendo que en Descartes el «plan sistemático no hace sino

32

Hamelin, O. c, p. 38.


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reflejar la marcha efectiva del desarrollo cronológico de sus ideas», Hamelin, apoyado en el prefacio a los Principios de la filosofía, cuando Descartes compara la filosofía con un árbol, cuyas raíces son la Metafísica, estima que la filosofía antecede a la ciencia, que «la Metafísica precede y funda la física»33, y que el mismo método es deudor de aquélla. Si bien, «no es tan fácil como se cree situar el método en el lugar que debidamente le corresponde», pues aunque, en último término, sea inseparable de la Metafísica, el método ha sido considerado por Descartes «como un dominio aislado»34. Con todo, su «utilización» en campos determinados no quita para que «en el espíritu y en la obra de Descartes», el método «esté ligado» con la metafísica. Ahora bien, y la precisión del concepto, aquí como en todo lugar, es lo decisivo, para Hamelin «la Metafísica cartesiana... no es pura, ni tal vez propiamente una teoría del alma, de Dios y del mundo...; es además y quizá sobre todo, una propedéutica del conocimiento en general»35. Esta ambigüedad, o quizá más propiamente, esa sobredeterminación del significado de Metafísica, hace que el método pueda considerarse como precediéndola y estando, por tanto, fuera de la filosofía; o bien hace, de otro lado, que el método mismo exprese la dimensión crítica y de autofundamentación de la propia filosofía, siendo por ello inseparable de la metafísica, al constituir la instancia metódica de la filosofía como saber que «contiene los principios del conocimiento».

33

O. c, pp. 27 y 30, respectivamente. 34

O. c, pp. 110 y 103, respectivamente. 35

O. c, p. 104.


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De aquí que para Hamelin, primero, método y metafísica se presten mutuo apoyo36. Segundo, que los conceptos y los temas metafísicos están presentes en las Reglas37. Y tercero, que el fundamento común que liga método y metafísica es el «cogito»38, aunque su presencia en las Reglas sea, como decíamos por nuestra parte, una presencia de claroscuro.

La interpretación de F. Alquié no puede ser más antitética. «Las Regulae, escribe, no contienen ninguna huella de Metafísica». Están «en el estadio de un pensamiento puramente científico» y «la dirección del espíritu de que ellas se preocupan es menos una dirección de la conciencia en la profundización de sí que una dirección de la inteligencia hacia el mundo de las cosas... La ciencia cartesiana fue en un primer momento independiente de toda metafísica». Lo mismo puede decirse del método, que tiene un carácter total y exclusivamente científico. «Todo nos lleva, pues, a creer que Descartes no se ha ocupado seriamente de Metafísica antes de 1629, y, en todo caso, que por entonces no ha descubierto nada de lo que debía ser su metafísica»39. La filosofía cartesiana es para Alquié la marcha y el progreso de las ciencias a la verdadera filosofía, y a la reflexión sobre el hombre; marcha que tiene su quicio en la teoría de la creación de las verdades eternas, formulada en 1630.

En la época en que se pensaron y redactaron las Reglas era la investigación científica lo que ocupaba y preocupaba a

36

«Las preocupaciones metodológicas no están ausentes de las obras de Metafísica. Recíprocamente, ya hay mucha metafísica en las obras de metodología». O. c, p. 105. 37

O. c, p. 36. «Allí (en las Reglas) hay metafísica en abundancia», O. c., p. 105. 38

O. c, p. 116. 39

Alquie, F., O. c, pp. 78, 81, respectivamente.


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Descartes40, el método tiene un carácter a la vez autónomo y práctico, resultado operatorio de un quehacer científico que alumbra una física mecanicista, en la que el mismo hombre será una máquina entre máquinas. El saber científico y el método homogéneo con él, sólo puede alcanzar y fundar un único orden, el orden objetivo, en que «sólo lo mensurable deviene real» y en el que está ausente el ser del espíritu (primer momento de un orden metafísico) y en el que el primado del ingenium construye «la ciencia en una cierta inconsciencia de sí»41.

La presencia de sí del espíritu, frente al dominio del mundo objetivo y mecánico; la instauración de un orden de jerarquía y de subordinación, frente a la homogeneidad del orden objetivo científico; la remisión de todo conocimiento del objeto v del mundo, en cuanto mediados, a un conocimiento de algo que los trasciende absolutamente y los funda; el «descubrimiento de que el cogito no sabría ser totalmente principio», sino que, a su vez, «remite a otra cosa que él», a saber, a un «Dios que lo sostiene en su ser»42, todo ello marca propiamente para Alquié el paso a la Metafísica, y de tales cuestiones, como se dijo antes, no hay ni señal en las Reglas. Ello no quita para que este texto no plantee problemas cuya solución «reclama lo que será más tarde la Metafísica de las Meditaciones»43. Es decir, que aun entendiendo Metafísica en este sentido transcendente y transfísico, como saber del Ser absoluto, como único fundamento, en las Reglas cabe reconocer para el propio Alquié, problemas que llevan a una consideración y respuesta estrictamente filosóficas.

40

«Las Regulae son, pues, la obra de un físico deseoso de codificar su método». O. c, p. 62. 41

O. c, p. 73. 42

O. c, p. 297. 43

O. c, p. 82.


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Cabe entre ambas lecturas tan enfrentadas una tercera, no por ello ecléctica, que reconociendo como intención expresa de las Reglas su temática epistemológica (temática que se construye en el espacio abierto o hueco entre la metafísica escolástica y lo que habrá de ser la expresa y nueva Metafísica cartesiana, no se hace cargo aún consciente y temáticamente de los supuestos «metafísicos» (en la acepción que indicamos en el apartado 1,1) que operan en ella, comportando, no obstante, ineludiblemente una teoría de lo que hay interpretado como objeto. Con razón y agudeza J. L. Marión ha hablado de una «ontología gris» en las Reglas44. Si no metafísica, en el significado que la utiliza Alquié, sí cabría hablar de una antefísica, en un sentido parecido al que usa Ortega: Metafísica, no como «una suerte de física extramuros», sino como un «retroceder al fondo de sí mismo»45.

Una obra, las Reglas, que permite semejantes lecturas refleja con ello no sólo su riqueza, sino su condición de encrucijada entre dos mundos, uno que agoniza y otro, según decíamos, que lucha por nacer y alumbrar una nueva época.

II. Método y Filosofía46

En lo que sigue no nos proponemos una exposición, siquiera sea resumida, del método cartesiano, y menos aún de su filosofía. Se intenta, por el contrario, abordar la relación entre el método y la

44

Marión, J. L., O. c, especialmente pp. 179-190. 45

Ortega y Gasset, J., « ¿Qué es Filosofía? », en Obras completas, ed. cit., vol. VII, p. 317. 46

Reproducimos a continuación el trabajo que con el título Método y Filosofía en Descartes se publicó en Anales del Seminario de Metafísica, Facultad de Filosofía y Letras, Universidad Complutense de Madrid, 1972, pp. 39-63, y lo hacemos sin modificación porque su revisión (profundizar lo escrito entonces, explici-tarlo o cambiarlo) exigiría quizá no poco espacio; y, además, a fin de que exprese fielmente la lectura que entonces se proponía y pueda así ser considerada en su fecha.


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filosofía de Descartes. Esta relación presenta cierto problema, no tanto si se atiende a la génesis y constitución del pensamiento cartesiano, cuanto si se consideran las implicaciones entre método y filosofía una vez ya realizados. Tal intención no está motivada principalmente por un afán de elaborar una matización más en la historiografía cartesiana, sino por el convencimiento de que tal problema arroja más luz que otros del elenco cartesiano sobre el sentido y la intención de su filosofía, así como sobre el espíritu con que se inicia el pensamiento moderno.

La preocupación por el método constituye, como se sabe, un interés generalizado de la época, que ha nacido especialmente en el campo de la investigación científica. Pero en Descartes, además y sobre todo, el método viene requerido como la exigencia del espíritu crítico que necesita enfrentarse con el legado cultural e histórico, tanto para sopesarlo en su verdad y funcionalidad para el momento histórico presente, como para determinar el desde dónde y el modo de toda ulterior y futura valoración del quehacer científico e interpretación de lo real, así como para las exigencias y la finalidad que debe cumplir el saber. El método no se presenta y juega, pues, como algo meramente «metodológico», sino que su íntima motivación y exigencia es antropológica, y por lo tanto necesariamente práctica, pues lo cuestionado es el moi-même y su orientación práctica, y por ello obligadamente teórica, en el mundo. «Siempre tenía, nos confiesa Descartes, un inmenso deseo de aprender a distinguir lo verdadero de lo falso, para ver claro en mis acciones y andar con seguridad en esta vida»47. Vocación, pues, práctica del saber, llamada a fundarse dentro del horizonte del mundo (le livre du monde) y del moi-même. Se trata

47

Discours de la Méthode, I part., Adam et Tannery, J. Vrin, París, 1964, p. 10.


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de la reducción a hombre y mundo de que habla Karl Lówith y por tanto de la reducción «a un hombre secularizado»48.

Pero, en definitiva, la exigencia de fundamentalidad en el saber, impuesta por otra parte por el saber mismo y de ahí que tal empresa se realice como una liberación en y por la razón (mediante «toutes les forces de mon esprit»), exige recalar en el moi-même en modo alguno vacío y formal, sino un moi-même que lleva en su seno la historia del saber y sus realizaciones. Por ello, dice Descartes, «tan pronto como la edad (una edad en años, pero sobre todo una edad de madurez alcanzada tras el período necesario de estudio y formación en la historia) me permitió salir de la sujeción de mis preceptores abandoné completamente el estudio de las letras. Y resuelto a no buscar otra ciencia que la que se pudiera encontrar en mí mismo...»49. Con razón, pues, escribe Scholz que el saber justa y fundadamente adquirido (wohlerworbenes Wissen) no puede ser sino un «selbst-erworbenes Wissen», un saber legitimado y fundamentado en y por el moi-même50. De ahí que éste se constituya en el centro de atención y estudio de la tarea cartesiana, y que la actitud y la filosofía de Descartes puedan caracterizarse, en el sentido preciso que venimos apuntando, como «metódicas», en cuanto que se proponen orientar y ponerse en el camino adecuado en medio de una situación de crisis histórica. Pero la situación histórica y su crisis es compleja y múltiple, no meramente científica, por lo que el método tiene que partir de ella, asumirla y permitir una salida. Por ello el método no puede reducirse, ni ser sólo científico y válido para las ciencias de

48

Karl Lowith, Gott, Mensch und Welt in der Metaphysik von Descartes bis Nietzsche, Vandenhoeck. Ruprecht in Gottingen, 1967, p. 10. 49

Discours de la Méthode, I part. A. T., VI, 9. 50

Scholz, Mathesis Universalis. Abbandlungen zur Philosophie ais strenger Wissenschaft. Schwabe Co. Verlag, BaselStuttgart, 1969, p. 100.


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la naturaleza, o la matemática, sino que tiene una funcionalidad general a la vez que unitaria; lo cual no obsta, ciertamente, para que, una vez ya constituido en su materialidad y reglas, se muestre en su aplicación más rentable en alguna parcela del saber que en otras. Heidegger ha señalado, a nuestro juicio con acierto y rigor, esta función llamada a desempeñar por el método en cuanto que él es el intento de encontrar respuesta a la pregunta de «cómo conseguir y fundar una certeza (Gewissheit) buscada por el hombre mismo, por su vida terrena, sobre su ser hombre y sobre el mundo»51.

Queda así señalado el carácter funcional del método. La cumplida y satisfactoria realización de las exigencias que él implica, la ve y centra Descartes en el estudio del moi-même como expresión del espíritu crítico para con él y de acuerdo con él «aprender a distinguir lo verdadero de lo falso». La tarea primera consiste, pues, en obtener una idea precisa y suficiente del saber o, si se quiere, de la ciencia. Como se ve, el método, no ya en cuanto exigencia de salida de una situación en crisis, sino en la realización y obtención de las normas y principios que lo permitan, es remitido al moi-même o al espíritu (Pesprit), desde donde se determinará qué es y cómo entender el saber. Pero respecto de esta cuestión, ya desde su temprana edad, Descartes ha acariciado la idea de la unidad del saber y de la ciencia. Por ello hay que preguntarse qué es la unidad de la ciencia y qué significación comporta para el problema «método y filosofía».

1. La unidad de la ciencia

Podría pensarse que apenas tiene que ver el método, entendido como un conjunto de reglas a seguir y consistiendo «más en práctica que en teoría»52, con la unidad del saber radicada en el

51

Heidegger, Nietzscbe, Neske, Pfullingen, 1961, zweiter Band, p. 133. 52

Carta a Mersenne, marzo de 1637, A. T., I, 349.


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espíritu. Sin embargo, lo cuestionable es que el método, en la plenitud de su significación, sea sólo un conjunto de reglas y que éstas, en el orden de la fundamentación, gocen de autonomía. A este respecto es sumamente expresivo el que al comienzo mismo de las Regulae ad directionem ingenii se establezca la unidad de la ciencia con un carácter manifiesto de primariedad. Hasta Descartes y desde Aristóteles se pensaba que había diversidad de ciencias que venía impuesta por la diversidad de objetos. Estos eran lo determinante. Para Descartes, por el contrario, «nada puede ser conocido antes que el entendimiento, puesto que de él depende el conocimiento de todas las demás cosas, y no a la inversa»53. Aquí «intellectus» vale tanto como «bona mens», o «le bon sens» con que se abre el Discours de la Méthode, y que consiste en la capacidad de distinguir lo verdadero de lo falso, y ello no en elemental sentido de que sólo la inteligencia o la mente, en cuanto conciencia, distingue uno de otro, sino más bien en cuanto en ella se determina en principio la verdad y sus condiciones. Por tanto, dependiendo de ella el conocimiento de las demás cosas, y un conocimiento que lo sea plenamente, es decir, un conocimiento cierto y evidente, se comprende que la posibilidad de las ciencias (pues «toda ciencia es un conocimiento cierto y evidente», Regulae, II, 362) venga dada por la «bona mens» o la «raíson» y que estén radicadas de alguna manera en el conocimiento del espíritu (en la significación subjetiva y objetiva a la vez del genitivo). De ahí que para Descartes «las ciencias en todas sus partes consisten en el conocimiento del espíritu» (Regulae, I, 359. En la recherche de la vérité par la lumiere naturelle habla Descartes de «encontrar en sí mismo toda la

53

Regulae ad directionem ingenü, A. T., X, Regula VIII, 395. Las siguientes referencias a esta obra y su paginación corresponden a esta edición, que reproducimos al margen en la nuestra.


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ciencia» 54 . Como se ve, es reductible en este contexto el moi-même a «le bon sens»). Mas no sólo las ciencias en su integridad, sino además «todas las ciencias no son otra cosa que la sabiduría humana que permanece siempre una y la misma, aunque aplicada a diferentes objetos». Por tanto, en la tarea de orientación fundada en el saber y en la acción sólo es viable remitirse al moi-même, o como se dice en la segunda parte del Discours «construir sobre un fundamento que es enteramente mío» (p. 15).

Por ello también el que sea preciso, como se nos recuerda en un lugar tan significativo como el comienzo de la primera de las Meditationes de prima philosophia, «empezar todo de nuevo desde los fundamentos, si quería establecerse algo firme y consistente en las ciencias»55. Y, sin embargo, y por extraño que parezca, casi todo el mundo se ocupa de cuestiones más irrelevantes para el progreso y fundamentación de la ciencia, mientras que casi nadie medita v piensa «de bona mente, sive de hac universali Sapientia».

Es, pues, evidente la importancia y el carácter determinante de la unidad de la ciencia con respecto al hallazgo de un conocimiento verdadero y, por tanto, también con respecto al método que a ello conduzca. Ello solo basta para hacer cuestionable la posible pretensión de autonomía del método. Y en modo alguno cabe hablar de que la unidad de la ciencia de que trata la primera de las Regulae se refiere a la generalización del saber cierto de la Aritmética y la Geometría, a que se hace referencia en la segunda de las Regulae, y a la que acaso podría referirse la denominación de «mathesis universalis» que se emplea en la regla IV. Para mostrarlo basta por el momento con observar que a propósito de

54

En Oeuvres et Lettres, Bibliothéque de la Pléiade, Gallimard, París, 1953, p. 880. 55

A. T, VIII, 17.


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la unidad de la ciencia se habla de «universalis Sapientia», que no es lo mismo, como se mostrará suficientemente más adelante, que «mathesis universalis», referida ésta tan sólo a un grupo determinado de ciencias o saberes. La «sabiduría universal», que vale tanto como «unidad de la ciencia», va más allá que la «mathesis universalis» (en el sentido que se acaba de señalar), tanto en el ámbito de su aplicación y validez cuanto en el orden de la fundamentación. La «universalis Sapientia» es la «sagesse», a propósito de la cual escribe Descartes en el Prefacio de los Principia philosophiae: «este soberano bien, considerado mediante la razón natural sin la luz de la fe, no es sino el conocimiento de la verdad por sus primeras causas, es decir, la sabiduría, cuyo estudio es la filosofía»56.

Así pues, el método remite a la «humana sapientia» que hay que buscar en la «bona mens», en el «lumen rationis naturale», y por tanto está en estrecha relación, en el orden ontológico y en su justificación, con la filosofía. La unidad de la ciencia exige la unidad del método. Unidad, de ciencia y método, que tiene su razón de ser en venir determinada por la luz natural de la razón, «la cual permanece una y la misma», en que, además, se impone una sola norma de evidencia, y en que por tanto, asimismo, los diferentes modos de conocer sólo se distinguen de un modo no esencial. Y hasta tal punto es decisivo para todo el método la unidad de la ciencia establecida en la primera de las Regulae, que Descartes

56

A. T., X-2, p. 4. En La idea de principio en Leibniz señaló Ortega la diferencia entre la Ciencia única (universalis Sapientia), que encierra y empieza con la Metafísica, y la Ciencia universal (Mathesis universalis). Y escribe: «La diferencia entre la Ciencia Única y la Ciencia Universal no es, en definitiva, grande. Esta resta de aquella sólo la Metafísica y la Lógica», Obras Completas, Revista de Occidente, Madrid, 1962, VIII, p. 242. Pero creemos que la diferencia no es una cuestión de mera extensión, sino de rango ontológico y de fundamento.


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puede escribir: «no sin razón proponemos esta regla como la primera de todas, pues nada nos aleja más del recto camino de la búsqueda de la verdad que el dirigir los estudios no a este fin general, sino a algunos particulares» (Regulae, I, 360). De nuevo se apunta aquí la alternativa de que o bien no todas las reglas del método tienen un carácter «instrumental» y por tanto «metodológico», pues no es de tal carácter la unidad de la ciencia propuesta como primera regla, o bien es preciso hablar del método y entenderlo en un sentido distinto del meramente «práctico» en cuanto conjunto de reglas que hay que observar, sentido que podría llamarse «filosófico», o quizá mejor «interno» frente al carácter «externo» en cuanto conjunto de reglas a cumplir y practicar. En efecto, la primariedad de la unidad de la ciencia como regla con respecto a las demás (prima omnium) no es simplemente numérica, sino que se inserta con tal carácter en la tarea de encontrar un «fundamento absoluto inconmovible de verdad»». De ahí precisamente «de bona mente,... de naturali rationis lumine cogitare» (Regulae, I, 360-1).

Y, sin embargo, parece ser que el propio Descartes se ocupó antes en las ciencias matemáticas, Aritmética y Geometría, y acaso haya serias razones para establecerlas, como hace Scholz, «en la cumbre del saber». Es necesario por ello considerar la significación del saber matemático en la empresa cartesiana de fundamentación del saber.

2. Método y matemática

Ya hemos señalado cómo Descartes, en razón de la compleja situación histórica en que vive y en función del ejercicio del espíritu crítico exigido en toda existencia auténtica, busca un «fundamento absoluto inconmovible de verdad» en que poder basar un conocimiento científico que permita regir la vida y la acción. Científico en el estricto sentido de ser cierto y evidente, y por tanto aplicable para las ciencias y la filosofía. Tal exigencia


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refleja adecuadamente los rasgos del pensamiento cartesiano de que habla Gouhier, una curiosidad que no se limita ni circunscribe a ninguna especialización y la exigencia de realizar la ciencia integral y definitiva57. Pero ese conocimiento no puede obtenerse sin método, o como reza la regla TV, «el método es necesario para la investigación de la verdad», hasta el punto de que es preferible no buscar la verdad que ponerse a hacerlo sin método, y ello no sólo por la elemental razón de que sin método no se puede desarrollar ninguna ciencia, por lo que aquél viene a ser, como escribe Serrus, «la propedéutica necesaria» de ésta, sino además por una genuina razón cartesiana que por el momento sólo importa señalar en su aspecto negativo. En efecto, la futilidad de proceder sin método se sigue de que «es segurísimo que esos estudios desordenados y esas meditaciones oscuras turban la luz natural y ciegan el espíritu» (Regulae, IV,). Así pues, el método deberá reinstalar a la luz natural o al espíritu en su prístina y genuina claridad y visión (intueri) pura.

Es en este preciso contexto, y desde él hay que entenderlo, donde se da la caracterización de lo que es el método: «Entiendo por método, reglas ciertas y fáciles, mediante las cuales el que las observe exactamente no tomará nunca nada falso por verdadero, y no empleando inútilmente ningún esfuerzo de la mente, sino aumentando siempre gradualmente su ciencia, llegará al conocimiento verdadero de todo aquello de que es capaz» (Regulae, IV,). Caracterización, pues, externa y abstracta, en el sentido de que el método es una serie de reglas, cuya validez y fundamentación se presume. Se presupone qué es la verdad, de qué modo alcanzarla y en qué caracteres reconocerla. Y, en rigor, no puede entenderse que ello viene señalado y justificado por la primera de las reglas que se exponen en la segunda parte del

57

Les premieres pensées de Descartes, J. Vrin, París, 1958, página 23.


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Discours58, pues ni la intuición forma parte del método en su sentido externo, como se mostrará suficientemente después, ni por tanto tampoco la evidencia constituye ninguna de sus reglas. Antes bien, éstas suponen la intuición y la evidencia, tendiendo a posibilitar su espontáneo desarrollo. En efecto, cuando se procede sin método, no sólo se hace difícil encontrar alguna verdad, que de ser así se debería más al azar, sino que además y sobre todo se debilita la luz del espíritu (hebetarent ingenii lumen, Regulae, X). De ahí que el proceder con método fortifique y esté al servicio de la luz del espíritu, o bien, que deba observar, respetar y permitir el «concebir que nace por la sola luz de la razón».

Por otra parte, el método, en cuanto conjunto de reglas a observar para poder alcanzar la verdad, supone el orden, en el sentido de que dichas reglas o bien nos llevarán a su hallazgo o bien nos dirán cómo observarlo. Pero qué sea el orden y desde dónde y cómo se determine, es algo que escapa al método en su significación «externa». Este reposa v se levanta sobre él, con la finalidad de disponer a la mente para su efectivo reconocimiento: «todo el método, escribe Descartes, consiste en el orden y disposición de aquellas cosas a las que se ha de dirigir la mirada de la mente, a fin de que descubramos alguna verdad». Justamente por ello, el método puede presentarse, en este preciso respecto, como una habilidad, como «industria» (Regulae, V), habilidad para encontrar el modo de proceder adecuado y expresarlo en unas reglas (sería el proceder más original y más hábil, el caso de Descartes), y habilidad para aun contando ya con esas reglas rectoras seguirlas

58

«Consistía el primero en no admitir jamás como verdadera cosa alguna sin conocer con evidencia que lo era; es decir, evitar cuidadosamente la precipitación y la prevención y no comprender, en mis juicios, nada más que lo que se presentase a mi espíritu tan clara y distintamente que no tuviese motivo alguno para ponerlo en duda», A. T., VI, 18.


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y cumplirlas fielmente. Por ello, «el método enseña a seguir el verdadero orden»59. Pero no sólo a seguirlo, sino también a observarlo de un modo constante: método «que... no suele ser otro que la observación constante del orden, bien existente en el objeto mismo, o bien producido sutilmente por el pensamiento» (Regulae, X, 404), siendo muy significativa la precisión cartesiana de que es externo para con el método como reglas a observar y seguir el que el orden exista en la cosa misma o que sea excogitado o construido. De ahí la función preparatoria y esclarecedora del método: él hace al espíritu más apto para intuir y conocer distintivamente60, a la par que corrige su lentitud (ingenní tardi-tatem emendari) con vistas a que «adquiramos el uso de distinguir inmediatamente qué es más o menos relativo y por qué grado se reduce a lo absoluto» (Regulae, XI). De nuevo, como se ve, el remitir el método a la intuición y al orden. Se comprende pues la insistencia con que Descartes alude al carácter práctico del método y a la necesidad de ejercitarse en él61.

Pero conviene señalar que ello no significa afirmar el carácter mecánico, arbitrario o descoyuntado de las reglas ejercitadas, pues practicando y siguiendo el método, Descartes nos dice, «cultivar mi razón» (Discours, p. 27). De ahí la primacía determinante de la razón. De ahí también, por tanto, el que «no es suficiente tener buen espíritu, sino que lo principal es aplicarlo bien» (Ibid., pág. 2), pero no porque le bon sens o la raison no se

59

Discours de la Méthode, A. T., VI, 21. 60

«Arte etiam et exercitio ingenia ad hoc reddi possunt longe aptiora». El «ad hoc» se refiere a «distincte intueri et distincte cognoscere», Regulae, IX, 401-2. 61

Por ejemplo, en el Prefacio de los Principia se dice: «Puesto que él (el método) depende mucho de su uso, es bueno que se ejercite largo tiempo en practicar las reglas», A. T., X-2, 14. En el Discours nos confiesa Descartes la necesidad que él mismo sentía de ello: «Continuaba ejercitándome en el método y practicándolo», A. T., VI, 29.


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baste para descubrir la verdad, sino porque no siempre está en condiciones de hacerlo cegada y confundida por los estudios desordenados, por la autoridad muerta y externa 62 , por la tradición irreflexivamente soportada, etc. Así pues, Descartes reconoce la capacidad del sentido común (le sens commun, que es otra expresión para designar le bon sens) «para descubrir las verdades, incluso las más difíciles,... con tal de que sea bien dirigido»63, con tal que se aplique la mente «ut par est» {Regulae, VIII, 396). Pero hay que preguntarse, ¿cómo y hacia qué hay que dirigir el espíritu? ¿Desde dónde y cómo se justifica lo adecuado de su aplicación?

La finalidad del método está en posibilitar el ejercicio de la intuición, y en señalar la manera adecuada de realizar deducciones, así como en seguir el orden. Con ello colocará a la mente en el umbral mismo de la ciencia. «Si el método, escribe Descartes, explica rectamente en qué modo ha de usarse la intuición de la mente para no caer en el error contrario a la verdad, y cómo han de ser hechas las deducciones para que lleguemos al conocimiento de todas las cosas: me parece que nada se requiere para que éste sea completo, puesto que ninguna ciencia puede obtenerse, sino mediante la intuición de la mente o la deducción» (Regulae, IV). En esta función propedéutica y operacional se completa el método en su sentido «externo», y en este preparar la intuición del orden consiste y se agota toda la habilidad (industria) de la razón, hasta el punto de que una vez realizada la posibilitación del ejercicio de la intuición, no se necesita ninguna ayuda del método, bastando para alcanzar la verdad la sola luz natural. El siguiente pasaje no deja la menor duda al respecto: «Y en verdad casi toda la industria de la razón

62

Recordando una hermosa página de Hegel sobre Descartes; Cfr. Vorlesungen über die Geschichte der Philosophie, ed. cit., pp. 120-1. 63

La rechercbe de la vérité par la lumiére naturelle, ed. cit., p. 894.


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consiste en preparar esta operación; pues cuando es clara y simple, no hay necesidad de ninguna ayuda del arte, sino de la luz natural sola para intuir la verdad que se obtiene por ella.» (Regulae, XIV).

Así pues, lo primario, para Descartes, es la actividad del espíritu y la manera de su ejercicio y proceder impuesta por su propia naturaleza, y sólo desde y mediante ellas cabe percibir y reconocer, y por tanto establecer, las reglas expresables en un método. Descartes habla de haber percibido ciertas reglas en una larga experiencia64, donde «experientia» no tiene, evidentemente, la significación de la atenencia inmediata y reductiva a los datos de los sentidos, sino la más amplia, rica y comprensiva del «experíre» del conocimiento en sus múltiples formas y funciones65. Y por tanto cabe decir que puede pasarse sin reglas cuando la razón, abandonada a su luz natural, actúa por sí sola66, lo que no quiere decir, evidentemente, la futilidad y no necesidad de las reglas, sino precisamente su reducción al espíritu en su operar. O si se quiere, la insuficiencia del carácter «externo» del método como su expresión adecuada y plena.

64

«Certas regulas... longa experientia percepisse», Regulae, X, 403. 65

Un pasaje expresivo al respecto lo encontramos en la regla XII: «Experimentamos todo lo que percibimos por los sentidos, todo lo que oímos de otros y, en general, todo lo que llega a nuestro entendimiento, bien de fuera, bien de la contemplación reflexiva de sí mismo. En este punto se ha de notar que el entendimiento no puede jamás ser engañado por ninguna experiencia, sí únicamente intuye de modo preciso la cosa que le es objeto, en tanto que la tiene o en sí mismo o en la imaginación», Regulae, XII, 422-3. 66

En La recherche de la vérité par la lumiere naturelle se lee: «Sin lógica, sin regla, sin fórmula de argumentación, por la sola luz de la razón y el buen sentido que está menos expuesto a los errores, cuando obra sólo por sí mismo», ed. cit., p. 896.


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Resulta, por tanto, innegable la exigencia de remitir las reglas del método al saber de la razón, pero repetimos que hay motivos para pensar, en principio, que se trata de la razón matemática, y que las reglas lo son primariamente del saber matemático. No es fortuito que, en la segunda parte del Discours, inmediatamente antes de expresar de un modo conciso las reglas del método, Descartes haga constar que se interesó por la Lógica, por el análisis de los geómetras y por el álgebra, intentando encontrar un método que «comprendiendo las ventajas de estos tres, estuviese exento de sus defectos»67. Y también es preciso valorar que tras señalar las cuatro reglas, o preceptos (la evidencia con sus notas de claridad y distinción, el análisis, la síntesis y la enumeración), se reconozca que tal proceder es el que siguen con éxito los geómetras en sus demostraciones y que por ello «me habían dado ocasión de imaginar que todas las cosas que pueden caer bajo el conocimiento de los hombres, se siguen unas de otras de igual manera»68. Siendo, pues, indudable la presencia del método matemático en el pensamiento cartesiano, el problema está en determinar su significación y alcance, en decidir si el método cartesiano, con la unidad y generalidad de aplicación propias, es experimentado y observado en la matemática, encontrando en ella su última justificación, y siendo generalizado y aplicado a todo el «corpus» del saber (de ser así, la cuestión inmediata sería la validez de su aplicación a los problemas metafísicos), o si por el contrario dicho método y el concepto de saber que expresa y realiza, aun siendo experimentados y alumbrados en la matemática, no encuentran en ésta su fundamentación, ni le pertenecen de un modo exclusivo, sino que remiten a otro orden.

Que Descartes, en su exigencia de encontrar un conocimiento cierto y evidente que rija con seguridad la acción en la vida, dé

67


Discours de la Méthode, A. T., VI, 19.


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unidad al saber y así pueda convertirse en investigación comunitaria y continuada y de este modo «nos vuelve como maestros y poseedores de la naturaleza», se haya guiado en el modo de pensar matemático y que vaya elaborando su método en la larga experiencia con esas ciencias, es algo indudable. Tanto las Regulae, pero sobre todo el Discours, con su carácter de autobiografía crítico-intelectual y pedagógica, lo muestran sin lugar a dudas69. Y aparte de los trabajos puramente matemáticos y sus definitivos hallazgos, no hay que olvidar que Descartes orienta en ellas su pensamiento llevado de su búsqueda de un conocimiento cierto: «sobre todo gustaba de las matemáticas por la certeza y evidencia de sus razones»70, y que por tanto ofrecían cuanto menos una función propedéutica y de orientación: «Cultivé preferentemente la Aritmética y la Geometría, porque se las tenía por las más simples y como un camino para las demás» (Regulae, IV, 374-5). Por ello, y porque en todas las demás no se encuentran sino conocimientos probables, sólo restan ellas dos a las que hay que quedar reducidos, pues sólo ellas están libres de falsedad e incertidumbre (ab omni falsitatis vel incertitudinis vitio puras existere», Regulae, II, 364). Pero, y ello es importante a la par que significativo, con la intención de saber «quare hoc ita sit».

De los dos modos que se muestran como los más adecuados para conocer algo, a saber, la experiencia o la deducción, aquélla puede ser falaz, pero no ésta, siempre que no se omita nada en la «illatio unius ab altero». De ahí que el error no puede provenir sino de que «se admiten ciertas experiencias poco comprendidas, o de

69

Para una consideración más minuciosa sería preciso atender a los primeros escritos cartesianos. Puede verse al respecto, por ejemplo, el libro de Hamelín, El sistema de Descartes, Losada, Buenos Aires, 1949, caps. III y IV, y sobre todo el de Gouhier, Les premieres pensées de Descartes, J. Vrin, París, 1958. 70



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que se emiten juicios precipitadamente y sin fundamento» (Regulae, II, 365). Es de señalar algunos aspectos. Es sugerente el que Descartes se refiera a la “deductio” y no al “intuitus” como un modo cierto de conocimiento. Y es que no le importa sino mostrar el proceder de la matemática como cuerpo ya constituido y obtenido de conocimientos demostrativos. Sin embargo, será preciso dar razón de la deducción misma y el orden seguido, así como de la justificación de sus supuestos. O de otro modo, se desestima el proceder «absque fundamento», con lo que tácitamente se remite a un orden ontológico que apunta a la luz natural de la razón. Mas no en su vaciedad, sino en estrecha relación e incluso dependencia con la «experiencia», en el sentido más amplio de su significado, pero referida a la razón para ser fundada en su validez («intellecta» dice Descartes). Y estas dos posibilidades del error dan ya razón externa, y sólo externa, de la certeza de las matemáticas, pues su objeto no puede ser negado por la experiencia, pues es «purum et simplex», y su proceder consiste en una secuencia sintética que observa y respeta el orden («consistunt in consequientiis rationabiliter deducendis»).

Pero hay que preguntar el por qué de los caracteres de pureza y simplicidad, y el cómo de su constitución o alumbramiento, e indagar asimismo por el fundamento del proceder sintético-deductivo y sus supuestos. Y no es difícil adivinar el término de referencia de estas exigencias reductivas. Por otra parte, hay que observar que el objeto de la matemática es, dice Descartes, tal «quale requerimus», esto es, que se han establecido y determinado ya cuáles deben ser las exigencias a cumplir por todo saber que pretenda ser cierto y evidente, y sobre qué objetos ha de versar (no en el sentido de qué clases de objetos, sino qué rasgos han de presentar y exhibir, y tampoco objetos «en cuanto se refieren a algún género del ente, sino en cuanto pueden conocerse unos a partir de otros» (Regulae, VI), y que, por tanto, vienen determinados por la razón misma; determinación que en


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modo alguno es para Descartes convencional o por «consensus», sino que se sigue de las exigencias que la razón encuentra y se presenta en sí misma. Por tanto, en modo alguno se trata de que sólo haya que aprender y ocuparse de la aritmética y la geometría, sino más bien de que, en la búsqueda del camino que lleve a la verdad, deben requerirse los rasgos que aparecen en ellas. Y así, la aritmética y la geometría representan para Descartes, en este contexto, un papel propedéutico e indicativo. En ellas «se experimenta» tanto la certeza y la evidencia requeridas para un adecuado saber, como el que son y manifiestan el desarrollo espontáneo del espíritu: «Lo que experimentamos... no son otra cosa que frutos espontáneos nacidos de los principios innatos» (Regulae, IV,). Cabe a este respecto hablar de un cierto carácter instrumental y pedagógico de la matemática en la tarea de encontrar y fundar un modo de saber científico (cierto y evidente) unificado. Ello lo reconoce Descartes, y lo aprecia, ya en el pensamiento antiguo, donde el estudio y la práctica de la matemática se consideraban como lo más adecuado, a la par que sumamente necesario para preparar y formar el espíritu para emprender y comprender ciencias más elevadas71. La utilidad que,

71

«Omnium facillima et máxime necessaria videretur ad ingenia capessendis alus majoribus scientiis erudienda et praeparanda», Regulae, IV, 376. Este pasaje hace pensar inmediatamente en el carácter propedéutico con que Platón hace uso de la matemática en el Menón, de acuerdo con el cual el verdadero saber y aprender surge del alma y de ella recibe su certeza, para en La República entenderla como necesario encaminamiento a la realización de la «paideia» entendida como conversión del alma. Cfr. Jaeger, Pai-deia: los ideales de la cultura griega, F. C. E., México, 1968, páginas 549-563, 691-715. Sobre la relación entre verdad y «paideia», cfr. Heídegger, Platons Lebre von der Wahrheit, en Wegmarken, V. Klostermann, Frankfurt am Main, 1967, p. 123 y sgs. Sobre la presencia de esta concepción platónica en el nacimiento del pensamiento moderno, puede verse Cassirer, El problema del


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en este respecto, espera Descartes de ellas se reduce a que acostumbren al espíritu a la verdad: «Aunque no esperase de ellas ninguna otra utilidad sino que acostumbrarían mi espíritu a saciarse de verdades y a no contentarse de ningún modo con falsas razones»72. Hasta tal punto esto es así que Descartes manifiesta reiteradamente la inanidad y desinterés que le merecen el álgebra y la geometría en cuanto un mero ocuparse de números vacíos y de figuras imaginarias, e igual desinterés mostraría por las reglas del método si no valiesen sino para resolver vanos problemas de calculadores y geómetras73.

Todo ello no significa, evidentemente, ni que la matemática sea para Descartes algo adjetivo en el «corpus» y en el modo de saber, ni que la investigación matemático-metodológica de Descartes haya carecido de especial importancia al respecto. El carácter propedéutico y pedagógico de la aritmética y la geometría sólo están en cuanto que se pretende realizar la idea y posibilidad de una «verdadera matemática», que, corrigiendo sus deficiencias y limitaciones, se convierta en un saber generalizable y válido para toda la región de la cantidad y en un saber más fácil y simple; en cuanto que, además, puede mostrar un modo cierto de saber, y en la medida en que puede remitir, y acaso lo exija, a aquello desde donde quizá se haga posible y se siga el modo de proceder (método) de la matemática, y a donde haya que remitir también, por tanto y en último término, las reglas del método y el método

conocimiento en la filosofía y en la ciencia moderna, F. C. E., México, 1953, vol. I, especialmente pp. 459-460. 72


«Pues, en verdad, nada es más vacío que ocuparse de simples números y de figuras imaginarias, de tal modo que parezca que queremos contentarnos con el conocimiento de tales bagatelas»; «y no tendría en mucho estas reglas si no sirvieran más que para resolver vacíos problemas en los que Calculistas y Geómetras ociosos acostumbraron a distraerse», Regulae, IV, 375 y 373, respectivamente.


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mismo, experimentado y cultivado en la investigación matemática. La primera finalidad, apunta, como se sabe, a la idea de una «mathesis universalis». Tanto la aritmética como la geometría están limitadas y en cierto modo impedidas para una mayor «claridad y facilidad» (perspicuitas et facilitas) a causa de reducirse a y operar con figuras v cifras. Descartes alumbra la posibilidad de un saber matemático que considere sólo «las diversas relaciones o proporciones... en general» de tal modo que pueda generalizarse y ser válido para todo aquel saber y objetos, que quepa realizar y conocer de acuerdo con tal cualidad y exigencia. Será por ello una «mathesis universalis»74, un saber universal del orden y de la medida: «Y considerando esto más atentamente, al cabo se nota que solamente en aquellas en las que se estudia el orden y la medida hacen referencia a la Mathesis... y que, por lo tanto debe haber una ciencia general que explique todo lo que puede buscarse acerca del orden y la medida no adscrito a una materia especial.» (Regulae, IV, 377-8). Es conocido el entusiasmo con que vive Descartes este hallazgo de una «scientia penitus nova», como escribe a Beeckmann en marzo de 1619.

La «mathesis universalis» no significa para Descartes tanto el conjunto de los saberes matemáticos, cuanto un determinado y preciso modo y forma de saber. Es aquél que referido en cuanto matemática al orden de la cantidad (orden y medida) y de las proporciones, se desarrolla en la forma científica (cierta) consistente en una rigurosa deducción a partir de unos axiomas o principios evidentes siguiendo escrupulosamente el orden de las naturalezas simples (naturae simplices) en su relación. La certeza y evidencia de esta forma de proceder (método) se sigue de la indudable inmediatez y verdad existente en el orden de las naturalezas simples y sus relaciones, y, en último término, porque

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en tal proceder se actúa de acuerdo con la razón, no sólo en el sentido de que se presenta como verdadero ante y para la razón, sino además en el más fundamental de que la razón determina desde sí y se impone tal proceder y el orden y la relación, absoluta o relativa, de lo simple (al menos «in ordine cognoscendi», que es donde se plantea el método). De ahí el que en el orden y en defintiva en lo simple radique el principal secreto del método («esta proposición... contiene sin embargo el principal secreto del arte», Regulae, VI), el que todo verdadero saber se reduzca en último término a lo simple («jamás podemos entender nada fuera de esas naturalezas simples y de cierta mezcla o composición de ellas entre sí», Regulae, XII), simple cuyo carácter no lo recibe (al menos «in ordine cognoscendi») de las cosas mismas, sino en cuanto depende de la razón («por lo que no tratando nosotros aquí de cosas sino en cuanto son percibidas por el entendimiento sólo llamamos simples a aquellas cuyo conocimiento es tan claro y distinto...», Ibídem, 418. «Claridad y facilidad sumas» buscaba y exigía Descartes para la «vera Mathesis», Regulae, IV), razón a la que hay pues que remitirlas para comprenderlas fundadamente en su realidad y verdad («naturalezas puras y simples que podamos intuir desde un principio por sí mismas, independientemente de cualquiera otra, ya en la misma experiencia, ya por cierta luz innata en nosotros», Regulae, IV). Una razón que se expresa plena y adecuadamente como intuición, entendiendo por tal (y la mera formulación bastará para mostrar su gran significación para nuestro propósito) «no el testimonio fluctuante de los sentidos, o el juicio falaz de una imaginación que compone mal, sino la concepción de una mente pura y atenta tan fácil y distinta, que en absoluto quede duda alguna sobre aquello que entendemos;... la concepción, que nace de la sola luz "j de la


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razón» (Regulae, III,), lo cual en modo alguno significa, apenas si sería preciso decirlo, un desestimar el mundo de la experiencia75.

Así pues, el modo de saber matemático remite a la razón como aquello donde tan sólo puede encontrarse el fundamento de lo adecuado y verdadero de tal proceder. El mismo Descartes lo dice sin ambages: «pero lo que me contentaba más en este método era que mediante él yo estaba seguro de utilizar en todo mi razón» 76. De ahí, digamos, la tentación, más motivada y exigida por la naturaleza de la razón misma de generalizar este modo de proceder, tanto más hacedero cuanto que el saber del orden y la medida, que es la «mathesis universalis», puede convertirse en un modo de saber («mathesis», y no mera matemática) universal del orden, siendo reducible al orden la medida. Claro que de ser posible y hacedera tal generalización, no se trataría ya de un saber I propio de las matemáticas, sino el rasgo esencial del saber cierto que exige e impone la razón. Sólo así podría establecerse que «todas las cosas que pueden caer bajo el conocimiento de los hombres se siguen unas de otras de igual manera»77. Con estas palabras expresa Descartes el hallazgo no ya de una «scientia penitus nova», sino de una «scientia mírabili», una ciencia admirable que no es otra que la unidad del saber y la ciencia, la «humana Sapientia» de que se habla en la primera de las Regulae y que no en vano encabeza este tratado del método78.

75

Descartes no cree poder contarse, y con razón, enrre «aquellos filósofos que, descuidando las experiencias, piensan que la verdad surgirá de su propio cerebro como Minerva del de Júpiter», Regulae, V, 380. 76

Discours de la Métbode, A. T., VI, 21. 77

lbid., p. 19. 78

Los Olympica comienzan así: «X novembris 1619, cum ple-nus forem Enthousiasmo, et mirabilis scientiae fundamenta reperi-rem». La carta a Beeckmann en que le comunicaba el hallazgo de una «scientia penitus


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Por todo ello, la «mathesis universalis» (en cuanto referida estrictamente a los saberes matemáticos) no es para Descartes el saber y la ciencia supremos, pues ella no muestra el porqué, y su modo de proceder remite, así como su significación y validez universal, a la razón. En efecto, tras hallar esta «mathesis universalis» y cultivarla y practicarla suficientemente, Descartes juzga poder ocuparse de «ciencias un poco más elevadas» («paulo altiores scientias... tractare», Regulae, IV), lo que no puede querer decir, en función de la unidad de la ciencia y en función de que la diversidad de las ciencias viene determinada no tanto por la diversidad de sus objetos cuanto por un más originario y fundado modo de saber, sino la admisión de un saber superior. Más explícito al respecto es el Discours: lo que más le satisface del método no es sólo que en él se usa de la razón, sino además, y precisamente por ello, en que «no habiéndolo sujetado a ninguna materia particular, me prometía aplicarlo tan útilmente a las dificultades de las demás ciencias como había hecho a las del álgebra... Pero, habiendo advertido que todos sus principios debían estar tomados de la filosofía,... pensé que ante todo era preciso tratar de establecer algunos»79. Ello nos lleva a preguntar por el sentido de la relación entre método y filosofía.

nova» es de 26 de marzo de 1619. Cfr. Gou-hier, o. c, especialmente pp. 42-66. En el mismo sentido viene a pronunciarse Gilson, dejando al margen la ironía con que trata esta generalización y el entusiasmo cartesiano, en La unidad de la experiencia filosófica, Rialp, Madrid, 1960, pp. 162-174. Por su parte, Scholz estima que esta dimensión metodológico-filosófica ha guiado la ocupación de Descartes con la matemática: «Nunca ha considerado la ocupación con la Matemática como un fin en sí mismo», o. c, p. 67. 79

Discours de la Méthode, A. T., VI, 21-2. Estimamos importante para la comprensión del sentido del método como conjunto de reglas y del carácter pedagógico-hermenéutico de las matemáticas el orden del discurso, tanto en la segunda parte del Discours como en las Regulae, en


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3. Método y Filosofía

Así pues, ni el método en su significación «externa», como conjunto de reglas a observar, ni el saber matemático ofrecen en cuanto tales el fundamento de su posibilidad ni la razón de su certeza. Para ello han de ser reducidos a la «humana sapientia», a la luz natural de la razón y al modo original de su adecuado ejercicio, la intuición. Reducción y referencia en modo alguno adjetiva para el método y sus reglas, pues sin la intuición y su ejercicio no se entenderían las reglas por fáciles que sean. Las palabras de Descartes son tajantes al respecto: «si nuestro entendimiento no pudiera ya antes usar de ellas, no comprendería ningún precepto del método mismo por muy fácil que fuera» (Regulae, IV, 372). Y si se considera que la primera de las reglas del método, tal y como se expresa en la segunda parte del Discours, y la rectora en cuanto a exigencia y justificación de la certeza y por tanto de la validez de las restantes reglas, mienta el carácter de fácil (evidencia, claridad y distinción), será manifiesto su remisión a un determinado modo de proceder (en un sentido formal y estructural) de la razón. La intención última del método en cuanto práctica encaminada a conseguir determinados hábitos, así como la de la voluntad y su ejercicio en un proceder reductivo de duda, y, en fin, la exigencia crítica de la razón de liberarse de lo dado (tanto en su aspecto sincrónico como diacrónico) y su admisión por el mero hecho de ser dado, no es sino permitir el desarrollo espontáneo y natural de la razón. Entiende Descartes que la mente humana cuando no está cegada por estudios desordenados o poseída plena y dogmáticamente por una tradición, puede producir frutos espontáneos, en los que se expresaría y se podría experimentar el poder de la razón. Tal sucede, según él, con la

las que no es tan claro. En ellas es: unidad de la ciencia; intuición; carácter propedéutico del álgebra y la geometría, que llevan a la «mathesis universalis», que remite a «altiores scientiae»; a continuación el método como conjunto de reglas a aplicar.


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aritmética y la geometría. Estas no son sino «frutos espontáneos nacidos de los principios innatos de este método». Y no parece difícil admitir que aquí «método» («huius methodi») no puede significar el conjunto de reglas ya establecidas, pues éstas empiezan por alumbrarse, experimentarse y obtenerse en el quehacer matemático y se siguen de él, por lo que no podrían ser la aritmética y la geometría frutos de ellas. Más bien «método» significa aquí el originario modo de proceder (meta-odos) de la mente humana que ejerciéndose de acuerdo con su naturaleza posibilita y permite, por lo pronto, tal saber matemático, por lo que cabría hablarse con fundamento del método en su significación «interna». De este modo, tanto el saber matemático como las reglas del método no constituyen sino la expresión y realización del mismo espíritu o de la razón natural80, que si bien hasta ahora (hactenus) no se ha mostrado en su validez sino en el saber matemático, ello no quiere decir que no pueda asimismo realizarse en otros saberes, pues en éstos la razón se ha visto impedida por mayores obstáculos, en modo alguno insalvables a juicio de Descartes, hasta el punto de que bastará cultivar esos principios de la razón, o lo que es lo mismo, la razón misma, con

80

En esta línea interpretativa se pronuncia Beck: The rules of method are in fact the description of the proper working of the mind in its operations of intuiting, deducing, and enumerating», en The method of Descartes. A study of the Regulae, Clarendon Press, Oxford, 1964, p. 154. En el mismo sentido se manifiesta Kemp Smith: el método «expresses the innermost essence of mind and the problem of method is therefore identical with the pro-blem as to the nature and limits of knowledge. Since in the method we have a complete analysis of the mind, in determining that method we necessarily also determine the measure and scope of mind», en Studies in Cartesian Philosophy, pp. 23-24, apud Beck, o. c, p. 21. En esta misma página escribe Beck por su parte: «Method is itself the mind at work», y en la pág. 106 del mismo libro dice que el método es «the movement of the mind itself, the ingenii motus».


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sumo cuidado (summa cura excolantur), para que también en los demás saberes el método (modo de proceder, sentido interno y sus reglas) sea válido y positivo, con lo que esos principios, y por tanto la razón misma y su método, «lleven a una perfecta madurez»81. Llevar a perfecta madurez el método y sus principios significa consumarlo tanto en el orden de su originariedad como en el de su aplicabilidad a cualquier objeto que pueda caer bajo el conocimiento humano. La realización de tal madurez constituye la «scientia universalis», que no hay que confundir con la «mathesis universalis», entendida ésta en su sentido restringido y que no sería sino la realización de la razón y su método en el orden de la cantidad (orden y medida). Sin embargo, a la «scientia universalis» cabría denominarla «mathesis» en cuanto este término significa un preciso modo de saber a la par que un determinado ámbito o elenco de objetos cognoscibles en ese preciso modo y por él prefigurado: el saber que procede a partir de la razón (a sola rationis luce nascitur) y que impone y determina de acuerdo con ésta las condiciones de todo conocimiento cierto, y un saber que con ello prefigurará el ámbito de lo cognoscible y los requisitos que ha de cumplir. O para decirlo con palabras de Scholz, será cognoscible «lo que el espíritu humano abandonado a sí mismo puede realizar por propia capacidad»82 y el saber se entenderá, como comenta Heidegger, «ais mente concipere», como un

81

«...principios..., y no me extraña el que hasta ahora tales frutos referidos a los objetos más simples de estas disciplinas hayan crecido más felizmente que en las otras, donde obstáculos de mayor peso suelen ahogarlos; pero donde, no obstante y también podrán sin duda alguna llegar a perfecta madurez, con tal de que sean cultivados con gran cuidado», Regulae, IV, 373. Apenas si es preciso señalar la significación «naturalista» del «excolari», consistente en dejar ser a la razón en su «obrar», tal y como se apunta en el. pasaje ya citado de La recherche de la vérité par la lumiere naturelle. 82

O. c., p. 102.


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«proyecto» (Entwurft) que «abre primeramente un ámbito, en el que se muestran las cosas», siendo la propia razón la que de acuerdo con su naturaleza configura el ámbito de lo cognoscible, por lo que puede decirse que no aprende y conoce sino «lo que en el fondo ya tiene»83.

De una tal disciplina dice Descartes que «debe contener los primeros rudimentos de la razón humana y desplegarse para hacer salir de sí verdades respecto de cualquier asunto; y, para hablar con franqueza, estoy convencido de que es preferible a todo otro conocimiento que nos hayan transmitido los hombres en cuanto que es la fuente de todos los otros»84. De ahí que no se trate (dentro, por supuesto, de cómo el mismo Descartes entiende el problema) de una «generalización» de un determinado saber, cuanto de una formal85 validez y aplicabilidad impuesta por la unidad de la razón86.

83

Heidegger, Die Frage nach dem Ding, Max Niemeyer, Tübin-gen, 1962, pp. 71 y 56, respectivamente. 84

Regulea, IV. Aunque no se dice explícita y directamente en el contexto, creemos que el citado pasaje puede referirse a la humana sapientia». Atendiendo al contexto anterior podría pensarse que dicho pasaje se refiere a la «mathesis universalis» (en su significación restringida), pero ni se dice explícitamente ni sería posible en la medida en que se habla_de los primeros rudimentos y principios de la razón humana susceptibles de una aplicabilidad y validez para cualquier objeto, además de considerarla como fuente de los demás conocimientos. 85

No en el sentido de la «vi formae» de la Lógica formal, es obvio, sino en cuanto está en estrecha relación con un determinado contenido. Cfr. Laporte, Le rationalisme de Descartes, P. U. F., París, 1950, pp. 21-5. 86

Como es sabido, son numerosísimos los pasajes en que Descartes afirma esta universal aplicabilidad y validez. Aparte de los ya señalados, pueden verse en las Regulae: IV, «aliove quovis ob-jecto», «nulli speciali materiae addictam», «et insuper ad alia multa extendedatur»; VI, «in alus etiam disciplinis»; VIII, «in qua-libet scientia», etc.


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Ahora puede entenderse, según creemos, suficientemente la necesidad y el sentido de la afirmación cartesiana de que «nada puede ser conocido antes que el entendimiento, puesto que de él depende el conocimiento de todas las demás cosas, y no a la inversa». Referido a la cuestión del método, ello significa que hasta que no se conozca en qué consiste el conocimiento humano y qué sea la razón en su luz natural, no se puede determinar fundadamente cuál sea el método y sus reglas, pues él se contiene en la «humana cognitio»; de ahí que nada sea más útil que dicha investigación: «en verdad nada puede ser más útil aquí que investigar qué es el conocimiento humano y hasta dónde se extiende... puesto que en esta investigación se encierran los verdaderos instrumentos del saber y todo el método» (Regulae, VIII). Aparecen aquí en rigurosa enumeración reductiva los tres momentos: el método como conjunto de reglas que remite a los verdaderos instrumentos o medios del saber, en definitiva, la intuición; y de éstos a la «humana cognitio», que viene a ser otra expresión de la «humana sapientia» de la primera regla y de cuya decisiva significación en el problema que tratamos ya hemos hablado. Por todo ello, ante la opción planteada por Blanché de ver en el método cartesiano «o bien instrumento extraño, o bien disposición interna del espíritu», estimamos plenamente certera su interpretación: «el método entonces no es ya un conjunto de recetas»87. En este preciso sentido hablamos del carácter interno del método como el proceder de la razón que impone y determina las reglas válidas para todo conocimiento cierto. Desde aquí, y no desde el saber de la aritmética y la geometría, hay que buscar el sentido originario del método cartesiano, no viendo en la matemática sino una función pedagógica: «y su utilidad (se refiere al uso de las reglas) para conseguir una sabiduría más elevada, es

87

Blanché, La logique et son histoire d'Aristote a Russell, Ar-mand Colin, París, 1970, p. 178.


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tan grande, que no temería decir que esta parte de nuestro método no ha sido inventada por la razón de problemas matemáticos, sino más bien que éstos deben ser aprendidos casi sólo para cultivar este método» (Regulae, XIV).

Lo cual no obsta, a nuestro entender, para que se pueda hablar de un cierto «matematicismo» como rasgo general del pensamiento cartesiano. Mas no en el sentido en que lo hace Gilson como generalización indebida y a todas luces nefasta del modo de proceder de una determinada ciencia88, sino en cuanto que el saber referido y acuñado por Descartes se desarrolla como «Mathesis» en el sentido apuntado más atrás, y cuyas perspectivas positivas son importantes e indudables. Como es sabido, Heidegger ha visto en este carácter del saber, y lo ha interpretado, el rasgo principal del pensamiento moderno en cuanto exigencia interna de fundamentación y medida para todo saber cierto, y que por haber de ser aplicado y válido para los demás saberes, en cuanto es la expresión misma de la razón, encierra una significación filosófica (metafísica dice Heidegger) en la medida en que se propone y refiere para la totalidad de lo real y para todo saber de ello en cuanto determinado desde el saber mismo (la razón misma). Por ello, quizá la nota más expresiva de lo «matemático» («mathesis») como rasgo de todo pensar sea la axiomatización entendida como «la posición de principios, sobre los que se funda en consecuencia evidente todo lo demás»89.

88

Gilson, O. c, pp. 162-174. 89

Heidegger, Die Frage nach dem Ding, p. 79. En general, véanse, pp. 49-82. También en el ya citado vol. II de su obra Nietzsche se trata en distinta perspectiva el mismo tema, especialmente pp. 141-168. Como expresión de esta hermenéutica puede señalarse el siguiente pasaje: «La seguridad de la proposición cogito sum (ego ens cogitans) determina la esencia de todo saber y de lo que puede saberse, es decir, de la mathesis, esto es, de lo matemático», p. 164. Expresiones, como se ve,


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Por todo ello, el método en su sentido «interno» deja de ser una cuestión «metodológica» («externa»), o que incumba a una determinada parcela del saber, para convertirse en objeto de consideración filosófica. Y en modo alguno, según entendemos, sería adecuado decir que lo que sólo es «método», lo convierte Descartes en «doctrina», «filosofía» o «metafísica» (siempre que se trate, por supuesto, de una generalización externa e indebida en relación con el resto del pensamiento cartesiano). Algo parecido a como Piaget dice del positivismo lógico que «ha cometido la imprudencia de transformar el método en doctrina»90, o lo que Aranguren señala a propósito del estructuralismo de Foucault, quien ha llevado a cabo «la elevación del método a metafísica»91. Más exacto sería decir que la validez del método así entendido remite a y depende de la «vraie philosophie» tal y como Descartes la entiende92.

que van en la línea, prescindiendo de la interpretación del hombre cartesiano en cuanto «cogito sum» como «Subjekt», de la verdad como «Gewissheit» y de lo real como «Vorgestelltheit», de la caracterización hecha por Scholz, más atrás apuntada, de un saber en cuanto ciencia «aus reiner Vernunft» y siendo «erkennbar, was der sich selbst überlassene menschliche Geist aus eigener Kraft , zu leisten vermag». O. c., p. 102. Por su parte, Gueroult, en su minuciosa y prolija obra Descartes selon l'ordre des raisons, Aubier, París, 1953, 2 vols., se refiere en diversos pasajes a este «mathématisme» en el sentido que aquí se viene usando; cfr.; por ejemplo, pp. 92, 94, 124, 157 y 287 del vol. I, y pp. 287-290 del vol. II. 90

Nature et méthodes de l'epistemologie, en Logique et con-naissance scientifique, Gallimard, París, 1967, p. 94. 91

El marxismo como moral, Alianza Editorial, Madrid, 1968, página 144. 92

En este punto cobra sentido el problema prolijamente debatido de si está fundada o no y es válida, dentro del pensamiento cartesiano, la general aplicabilidad del método, concretamente a la metafísica. Mientras para Serrus hay una extrapolación indebida e injustificada del


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En ningún otro lugar mejor que en el Prefacio a los Principia Philosophiae nos dice Descartes qué entiende por filosofía. Ello sólo nos interesa aquí en la medida en que puede mostrar que el método como algo «interno» a la razón es una cuestión filosófica. ¿Qué es, pues, filosofía para Descartes?

Según Scholz, sería «el conjunto de todo lo digno de saberse en la forma de una consecuencia de proposiciones, cada una de las cuales tiene la cualidad de una proposición científica», entendiendo por «científico» tanto como «matemático», es decir, la evidencia inmediata de unos principios a partir de los cuales puede deducirse de un modo riguroso todo lo demás93. Como se ve, aunque es objeto de la filosofía todo lo digno de saberse en esta forma científica, lo genuino y más característico de la concepción cartesiana de la filosofía consistiría en la forma misma científica del saber, que no es otra que la «forma» de la

método a la metafísica («el error de Descartes ha sido llevar este método fuera de su dominio propio, y querer aplicarlo a la metafísica», La méthode de Descartes et son appli-cation a la métaphysique, Félix Alean, París, 1933, p. 77), no lo entiende así Beck: «The method used in the Meditations is essen-tially that described at leugth in the Regulae and summarized in the Discourse. The Meditations are a elassie exemplification of the «secret of the method» desseribed in Rule 5 of the Regulae...»; «the Meditations... are an account of the working of the human mind in the creative act of discovering truth»; y en fin, «all these methodological preocupations and resolutions find their ultímate flowering in the Meditations», The metaphysic of Descartes. A study of the Meditations, Clarendon Press, Oxford, 1965, pp. 291, 36 y 296, respectivamente. Entendemos que no hay generalización externa e infundada de acuerdo con el desarrollo y exigencias del pensamiento cartesiano, cualquiera que sea el juicio que ello nos merezca. La unidad entre método y filosofía nos parecen indiscutibles. 93

Scholz, O. c, pp. 56-7.


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matemática, el proceder de las matemáticas94. Ello nos parece, evidentemente, correcto, y acaso tal exigencia «formal» para el saber constituya uno de los atisbos más importantes y definitivos del pensamiento cartesiano. Y creemos que es este aspecto esencial el que pretende recoger v resaltar Scholz. De acuerdo con ello, el saber filosófico seguiría y haría suyas sin más las exigencias del saber matemático.

Sin embargo, aunque correcto, no nos parece suficiente para la genuina y completa caracterización cartesiana de la filosofía, como puede apreciarse en una lectura del Prefacio que atienda y tenga en cuenta todos sus aspectos. En efecto, la filosofía consiste en «l'etude de la sagesse», en el estudio de la sabiduría, no siendo ésta sino un perfecto conocimiento de todo lo que el hombre puede saber. Para que un conocimiento sea perfecto se requiere que sea un conocimiento de principios y desde o a partir de principios, viniendo éstos caracterizados por aspectos que dan razón de (en rigor, que muestran) su primariedad en cuanto principios: el ser muy claros (qu'ils sont tres clairs), y el que desde ellos se pueda deducir lo demás (qu'on en peut deduire toutes les autres choses). Pero más importante que el que a partir de los principios se deduzca el conocimiento de las restantes cosas, es el que la naturaleza de los principios y su conocimiento ofrecen «las razones de todo lo que somos capaces de saber»95, es decir, que los principios delinean desde sí el horizonte de lo cognoscible. Y si por otra parte se tiene en cuenta que la prueba y la razón de la «claridad» de los principios se obtienen «por el modo mediante el cual los he encontrado», es decir, que el modo de acceder a ellos, encontrarlos e inteligirlos como tales en el ejercicio y desarrollo de

94

«Hay sólo una forma de obtención del conocimiento científico. Ella es idéntica con la forma de obtención del conocimiento matemático», o. c, p. 57. 95

Principia philosophiae, A. T., IX-2, 5.


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la razón (método interno) determina su ser principios, entonces aparecerá sin ninguna duda el esencial carácter metódico de la filosofía cartesiana, o si se quiere, que el método es una cuestión estrictamente filosófica, y acaso la primera y fundamental.

Así se apunta, por lo demás, en la ya dada caracterización cartesiana de la filosofía: es «l'étude de la sages-se», donde «étude» expresa la esencial pertenencia de lo metódico a la sabiduría en cuanto ésta no viene determinada y constituida sino en el interno desarrollo de la razón: por ello el método incumbe como algo interno a la filosofía. Pero en cuanto el método cartesiano no es «meramente formal», y la filosofía, aparte del método de su realización, tiene un propio campo de objetos, entendemos que no es legítimo, cartesianamente hablando, reducir filosofía a una estructura matemático-formal de proceder científico. Es, por el contrario, la interna y recíproca pertenencia entre forma y contenido, o mejor, entre método y filosofía, lo que expresa lo genuino del pensamiento cartesiano. En la «vraie philosophie» es imposible deslindar, sin romper su significación propia, uno y otro aspecto, como se muestra en que ahora la metafísica, que es la primera parte de esa «verdadera filosofía», «contiene los principios del conocimiento» y que estos primeros principios constituyan aquí «la premiére philosophie» o filosofía primera de Aristóteles.

Es esta nueva modelización de la filosofía y el modo de su cumplimiento el rasgo propio con que se inicia el pensamiento moderno. Su expresión cabal en Descartes viene dada por la unidad de la ciencia que descansa en la unidad de una razón preñada de contenidos. «Toda la filosofía es como un árbol, cuyas raíces son la metafísica, el tronco la física, y las ramas que salen de ese tronco son las restantes ciencias, que se reducen a tres principales, a saber, la medicina, la mecánica y la moral», ciencias todas ellas (cualquiera que sea el juicio que nos merezca la


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metafísica cartesiana, uno de sus aspectos dignos de consideración sería el de establecer el fundamento y la legitimación del conocimiento desde el punto de vista de la razón contrastada con la experiencia) que confirman el espíritu práctico de la vocación y del pensamiento cartesiano. Una unidad de la ciencia y del saber que, aunque pueda parecer desmedida en Descartes, ello no ha sido suficiente para que en la posterior historia del pensamiento se haya vuelto más de una vez a tal intento.

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Juan Manuel Navarro Cordón


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REGLAS PARA LA DIRECCIÓN DEL ESPÍRITU:

Regla I

El fin de los estudios debe ser la dirección del espíritu para que emita juicios sólidos y verdaderos de todo lo que se le presente.

Es costumbre de los hombres el que, cuantas veces reconocen alguna semejanza1 entre dos cosas, atribuyan a ambas, aun en aquello en que son diversas, lo que descubrieron ser verdad de una de ellas. Así, comparando equivocadamente las ciencias, que en todas sus partes consisten en el conocimiento del espíritu, con las artes, que requieren cierto ejercicio y hábito2 del cuerpo, y

1

Descartes va a encontrar en la semejanza, como experiencia fundamental y principio en la construcción deí saber, un motivo y ocasión de caer en el error. Así lo ha visto y señalado Michel Foucault: «Hasta finales del siglo XVI, la semejanza ha desempeñado un papel constructivo en el saber de la cultura occidental...» «Al principio del siglo XVIII... el pensamiento deja de moverse dentro del elemento de la semejanza» Las palabras y las cosas, Ed. Siglo XXI, México, 1968, pp. 26 y 57, respectivamente

2 Bajo esta aparentemente irrelevante comparación entre las ciencias y

las artes, introduce Descartes, en el pórtico mismo de las Reglas, el vuelco radical que va a llevar a cabo con respecto a la ciencia, su relación con sus objetos, y la relación de las ciencias entre sí con respecto a la filosofía, tal y como se entendía en la tradición aristotélico escolástica. Traducimos «habitum» por «hábito», pues significando también «disposición», el término «hábito» permite quizá más adecuadamente el engarce con la tradición filosófica escolástico-aristotélica, y, en su

contraste, entender mejor la revolución cartesiana. En Aristóteles, (Traducido al castellano por «hábito», García Yebra, Metafísica, Ed. Gredos, Madrid, 1970, o por «tenencia». H. Zucci, Metafísica, traducción directa del griego. Introducción, exposición sistemática e índices. Ed. Sudamericana, Buenos Aires, 1978), significa «una cierta actividad de


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viendo que no pueden ser aprendidas al mismo tiempo todas las artes por un mismo hombre, sino que aquel artista que ejerce solamente una, llega a ser más fácil mente el mejor, puesto que las mismas manos no pueden adaptarse al cultivo de los campos y a tocar la cítara, o a varios trabajos del mismo modo diferentes, con tanta facilidad como a uno solo de ellos, creyeron también lo mismo de las ciencias y distinguiéndolas unas de otras por la diversidad de sus objetos, pensaron que cada una debía adquirirse

aquello que tiene y de lo que es tenido, como una cierta acción () 0 movimiento» (Metafísica, V. 20, 1022, b, 4-7). Las ciencias son consideradas «hábitos» (Categorías, VIII, 8 b, 28). Tomás de Aquino desarrollará estas ideas: «Habitus est quaedam dispostio alicuius subiecti existentis in potentia vel ad forman, vel ad operationen» (S. T., I, II, q. 50, a. 1, corpus). Los hábitos son ciertas disposiciones para los hábitos, y difiriendo entre sí los actos en razón de la diversidad de sus objetos, será también según esta diversidad de objetos como se distingan los hábitos (S. T., I, II. q. 54, a. 2, sed contra). «Habitus autem im-portat ordinem ad aliquid. Omnia autem quae dicuntur secundum ordinem ad aliquid, distinguuntur secundum distinctione eorum ad quae dicuntur» (L. c. corpus). Con toda justicia, pues, señala Descartes que las ciencias eran distinguidas unas de otras por la diversidad de sus objetos (Reg. I,). Y estando ordenados a sus respectivos objetos serán las cosas de acuerdo con lo que en sí misma son, según cada género en que ellas quedan comprendidas, las que determinen y diversifiquen las ciencias, siendo, por otra parte, el término medio en el silogismo. «Diversa media sunt sicut diversa principia activa, secundum quae habitus scientiarum diversificantur» (L. c, ad secundum). La diversidad e incomunicabilidad de los géneros se constituye, pues, en el dogma de la concepción aristotélico-escolástica de la ciencia. El vuelco radical cartesiano, proclamado bajo el lema de la «unidad de la ciencia», ha de echar por tierra ese dogma. Así lo señaló Ortega: «Las Reglas comienzan sancionando como el fundamental error, precisamente la doctrina de la incomunicabilidad de los géneros» (La idea de principio en Leibniz, Obras completas, Revista de Occidente, Madrid, 1962, vol. VIII, p. 224).


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por separado, prescindiendo de todas las demás. En lo que evidentemente se engañaron. Pues no siendo todas las ciencias otra cosa que la sabiduría humana, que permanece siempre una y la misma, aunque aplicada a diferentes objetos, y no recibiendo de ellos mayor diferenciación que la que recibe la luz del sol3de la variedad de las cosas que ilumina, no es necesario coartar los espíritus con delimitación alguna, pues el conocimiento de una verdad no nos aparta del descubrimiento de otra, como el ejercicio de un arte no nos impide el aprendizaje de otro, sino más bien nos ayuda. Y, en verdad, me parece asombroso que casi todo el mundo estudie a fondo y con toda atención las costumbres de los hombres, las propiedades de las plantas, los movimientos de los astros, las transformaciones de los metales y otros objetos de ciencias semejantes, mientras que casi nadie se preocupa del buen sentido4 o de esta sabiduría universal, cuando, sin embargo, todas

3 Símil que Descartes, como indica Cassirer, toma de Plo-tino (El

problema del conocimiento en la filosofía y en la ciencia Moderna, F. C. E., México, 1953, vol. I, p. 449). 4 «Buen sentido» traduce la expresión «bona mens», siguiendo la

indicación del comienzo de la primera parte del Discurso del método: «El buen sentido es la cosa mejor repartida del mundo» (A. T. VI, p. 1). En este pasaje el «buen sentido» se hace sinónimo con «la razón», que es «el poder de juzgar bien y distinguir lo verdadero de lo falso» (L. c, p. 2). En la misma acepción también usa Descartes, abreviadamente, el término «sentido» (sens): «La razón o el sentido», y en ello cifra lo propio de los hombres: «es la única cosa que nos hace hombres y nos distingue de los animales» (Ibíd.). También lo hace sinónimo con lo que ordinariamente se llama «sentido común» (Cfr. La Recherche de la Vérité par la lumiére naturelle, en «Oeuvres et Lettres», Bibl. de la Pleiade, Gallimard, París, 1953, p. 894), y con «la luz natural de la razón» (L. c, p. 896). En esta acepción «buen sentido» significa una capacidad o poder del hombre adecuada y suficiente «para descubrir las verdades, incluso las más difíciles», pero siempre que sea bien dirigido» (L. c, p. 894), «bien gobernado» (L. c, p. 896), «cuando él actúa sólo por sí mismo» (Ibíd.). Por


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ello, en el Discurso se dice que «no es suficiente tener buen espíritu, lo principal es aplicarlo bien» (D. M. A. T. VI, p. 2). En esto radica la tarea del método entendido como «práctica», o bien, lo que nosotros hemos llamado «método externo» (Vid. nuestra Introducción). Pero «buen sentido» (bona mens) tiene otro significado: expresa tanto como «sabiduría universal» (Universalis Sapientia), como se dice, a continuación, en este mismo pasaje de las Reglas. En este sentido significa el uso adecuado y, en último término, perfecto de esta capacidad que la bona mens es como humen naturale, y expresa, por tanto, un ideal a alcanzar por todos los hombres. Ratifica esta otra acepción el pasaje de la Regla VIII (Vid. A. T. X, p. 395). Aún sería oportuno señalar un tercer significado de «buen sentido». Escribe Descartes a Elisabeth: «Y creo que, como no hay ningún bien en el mundo, exceptuado el buen sentido (le bon sens), que se pueda llamar absolutamente bien, no hay tampoco ningún mal del que no se pueda sacar ningún provecho, teniendo buen sentido» (junio de 1645, A. T. IV, p. 437). En el Prefacio a los Principia Philosophiae es considerado el buen sentido como un bien superior a todos aquellos que los hombres pueden poseer, como salud, honores, riqueza, etc.; lo llama «soberano bien». Y es el soberano bien, no sólo en cuanto ideal hipotéticamente alcanzado (que sería la sabiduría), sino también, primaria y formalmente, en cuanto capacidad que tiende a ella; de ahí que haya que preocuparse «tan sólo en acrecentar la luz natural de la razón» (Reg. I, A. T. X, p. 361). En este punto se muestra claramente, y ya desde las Reglas, la radical dimensión o carácter «moral» de la Filosofía y su función como rectora de la vida (Vid., p. e., H. Gouhier, Descartes, Essais sur le Discours de la Méthode, la Métaphysique et la Morale, J. Vrin, París, 1973, especialmente cap. V, pp. 197-229). Pues la luz natural de la razón se ha de acrecentar «no para resolver esta o aquella dificultad de escuela, sino para que en cada circunstancia de la vida el entendimiento muestre a la voluntad qué se ha de elegir» (Reg. I, A. T. X, p. 361). En esta línea se expresa también R. Lefevre, «para Descartes el propósito de la Filosofía es el perfeccionamiento del hombre según la verdad del ser, cuyo fundamento está en Dios y su criterio en la razón» (La structure du cartésianisme, Publ. de l'Université de Lille, III, 1978, p. 54).


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las otras cosas deben ser apreciadas no tanto por sí mismas cuanto porque aportan algo a ésta. Y por consiguiente no sin razón proponemos esta regla como la primera de todas5, pues nada nos aleja más del recto camino de la búsqueda de la verdad que el dirigir los estudios no a este fin general, sino a algunos particulares. Yo no hablo de fines malos y condenables, como la gloria vana y el torpe lucro: pues es transparente que a éstos conducen razones falaces y argucias propias de espíritus vulgares por un camino mucho más corto que el que pudiera el conocimiento sólido de la verdad. Sino que me refiero incluso a los honestos y dignos de alabanza, ya que a menudo nos engañan de un modo más sutil: así, si buscásemos las ciencias útiles para las comodidades de la vida, o por aquel placer que se encuentra en la contemplación de la verdad y que es casi la única felicidad pura de esta vida, no turbada por ningún dolor. Ciertamente podemos esperar de las ciencias estos legítimos frutos; pero si pensamos en ellos durante nuestro estudio, con frecuencia hacen que omitamos muchas cosas que son necesarias para el conocimiento de otras, porque a primera vista parecen poco útiles o poco interesantes. Y hemos de pensar que están enlazadas de tal modo entre sí todas las ciencias6, que es mucho más fácil aprenderlas todas juntas a la

5 Considera Descartes esta primera Regla (de la «unidad de la ciencia»)

como la primera de todas, primera, claro está, no sin más en el obvio sentido expositivo, sino en el proyecto cartesiano de fundamentación. Es primera, tanto para la destrucción de la concepción aristotélico-escolástica de la ciencia y sus supuestos filosóficos, como para abrir el nuevo camino de la búsqueda de la verdad y, como señala en la primera de las Meditaciones metafísicas, poder «empezar todo de nuevo desde los fundamentos» y «establecer algo firme y constante en las ciencias» (M. M. Med. I, Ed. Alfaguara, Trad. V. Peña, p. 17). 6 En esta cuestión de la conexión de las ciencias es significativa la

posición «intermedia» de Suárez. Parece como si afirmara dicha conexión: «Quod omnes scientiae videntur ita ínter se connexae, ut nulla


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vez, que separar una sola de ellas de las demás. Así pues, si alguien quiere investigar seriamente la verdad de las cosas, no debe elegir una ciencia determinada, pues todas están entre sí enlazadas y dependiendo unas de otras recíprocamente; sino que piense tan sólo en acrecentar la luz natural de la razón, no para resolver esta o aquella dificultad de escuela, sino para que en cada circunstancia de la vida el entendimiento muestre a la voluntad qué se ha de elegir; y pronto se admirará de haber hecho progresos mucho mayores que los que se dedican a estudios particulares, y de haber conseguido no sólo todo aquello que los otros desean, sino además logros más elevados que lo que ellos puedan esperar.

Regla II

Conviene ocuparse tan sólo de aquellos objetos, sobre los que nuestros espíritus parezcan ser suficientes para obtener un conocimiento cierto e indudable.

sine alus possit perfecte tradi» (Disputaciones Metafísicas, XLIV, Sect. XI, n. 59. Ed. Gredos vol. VI, p. 462). Sin embargo, Suárez sigue manteniendo la teoría de los hábitos. Alquié estima que la inspiración mecanicista cartesiana cambia el sentido de las fórmulas que él ha tomado de sus maestros (La découverte metaphysique de l'homme chez Descartes, P. U. F., París, 1966, p. 68). Sin embargo, el pensamiento suarista sobre la conexión de la ciencia encierra alguna inflexión «cartesianizante» en cuanto toma también en consideración las exigencias de la ratio, además de la esencia de las cosas (Vid. L. c, núm. 69, páginas 468-469). En este sentido, como señala J. L. Marión, Suárez mantiene todavía un equilibrio que Descartes vendrá a romper definitivamente (Regles útiles et claires pour la direction de l'es-prit en la recberche de la vérilé, Traduction selon le lexique cartésien et annotation conceptuelle, par J. L. Marión, M. Nijhoff, La Haye, 1977, p. 101).


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Toda ciencia es un conocimiento cierto7 y evidente; y el que duda de muchas cosas no es más docto que el que jamás pensó en ellas, sino que incluso parece más indocto que éste, sí de alguna de ellas se formó una falsa opinión; y por tanto es mejor no estudiar nunca que ocuparse de objetos de tal modo difíciles que, no pudiendo distinguir los verdaderos de los falsos, estemos obligados a admitir los dudosos por ciertos, puesto que en ellos no hay tanta esperanza de ampliar la ciencia como peligro de disminuirla. Y así, por esta regla rechazamos todos aquellos conocimientos tan sólo probables8 y establecemos que no se debe dar asentimiento sino

7 Aún siendo muy importante, y también definitoria del saber, la nota o

el carácter de evidente, y se hable de la evidencia como criterio de verdad, nos parece que la caracterización más fundamental del saber en Descartes consiste en la certeza. Decir que la ciencia es un conocimiento cierto y evidente, sin más precisiones, puede valer para otros filósofos. Lo que se requiere, en nuestro caso, es precisar qué se entiende por certeza y cómo se llega a su instauración. Ello empieza a mostrarse con la sola indicación de la esencial referencia de la certeza a la razón, en cuanto ésta es instituida por Descartes como el principio desde donde se determina el aspecto y respecto en que algo llega solamente a ser sabido, con la consiguiente correlativa des-realización de las «cosas». En último término, todas las reglas están encaminadas a mostrarlo. La evidencia no vendría a ser sino la expresión y resultado de esa «operación» en que la razón o la mente, constituyéndose en pivote y principio, establece de antemano los requisitos y condiciones de lo que puede llegar a ser sabido. Esta operatividad principal del espíritu puede apreciarse claramente en los dos siguientes pasajes: La primera de las cuatro reglas del Discurso del método, A. T. VI, p. 18 y el parágrafo 45 de los Principios de la filosofía. Las condiciones de la presencia y manifestación son establecidos por el espíritu, que viene a consistir en este respecto en el asegurarse y en el aseguramiento de aquello que no le escapa y que queda sometido a su querer y poder. 8 La exigencia de certeza como propiedad epistemológica impone la

exclusión radical y plena de los conocimientos tan sólo probables. La relación de exclusión entre certeza y probabilidad puede verse ilustrada,


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a los perfectamente conocidos y de los que no puede dudarse9. Y aunque los eruditos estén convencidos quizá de que tales conocimientos son muy pocos, porque de acuerdo con un vicio común a todos los hombres descuidaron reflexionar en ellos, en la idea que son demasiado fáciles y obvios a cada cual, yo les advierto, sin embargo, que son muchos más de los que piensan y que son suficientes para demostrar con certeza innumerables proposiciones, sobre las que hasta ahora no han podido disertar sino de un modo probable. Y porque creyeron que era indigno de un hombre culto confesar que ignoraba alguna cosa, de tal modo se acostumbraron a adornar sus falsas razones que después se convencieron poco a poco a sí mismos, y así las han presentado como verdaderas.

En verdad, si observamos bien esta regla muy pocas cosas se encuentran cuyo estudio pueda emprenderse. Pues apenas hay en las ciencias cuestión alguna sobre la que los hombres de talento

por ejemplo, en un pasaje de la segunda parte del Discurso del método (Vid. A. T. VI, p. 13). Para calibrar el sentido en que Descartes desestima la probabilidad como modo o grado de conocimiento, conviene tener presente que es la interpretación aristotélica de la probabilidad lo que Descartes tiene principalmente presente. Véase a este propósito J. L. Marión, Sur l'Ontologie grise de Descartes, Science cartésienne et savoir aristotelicien dans les Regulae, J. Vrin, París, 1975, pp. 37-43. 9 El tema de la duda está ya presente en las Reglas implícitamente, con

todo lo que ella, como artificio metódico, comporta, tanto en el Discurso del método (A. T. VI, p. 32), como en las Meditaciones metafísicas (Ed. cit., p. 17). F. Alquié, sin embargo, estima que el sentido metafísico de la duda está ausente de las Reglas (O. c, p. 71). En cualquier caso, la duda encerraría en su seno a lo probable, de manera que no hay otra alternativa que, o certeza: indubitabilidad, o dudoso: probable, y, en cuanto tal, a considerar como falso. La unidad excluyente del criterio epistémico está en relación con la unidad arquitectónica de la razón, en la que consiste la sabiduría.


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no hayan discutido muchas veces entre sí. Ahora bien, siempre que dos a propósito del mismo asunto llegan a puntos de vista distintos, es cierto que por lo menos uno de ellos se equivoca, e incluso ni siquiera el otro parece poseer la ciencia; pues si la razón de éste fuese cierta y evidente, de tal modo podría proponérsela a aquél que también convenciera finalmente a su entendimiento. Así pues parece que de todo aquello en que sólo hay opiniones probables no podemos adquirir una ciencia perfecta, pues no podemos sin presunción esperar de nosotros mismos más de lo que los otros consiguieron; de modo que, si calculamos bien, de las ciencias ya descubiertas sólo quedan la Aritmética y la Geometría10, a las que la observación de esta regla nos reduce.

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Aparece aquí, por primera vez en las Reglas, ya insinuándose, un problema de importancia en el pensamiento de Descartes: la relación de las Matemáticas con la Filosofía, y que brevemente podría expresarse así: si las Matemáticas como ciencia, son consideradas como el modelo del saber y su fundamento, siéndolo también para la Filosofía, o si, por el contrario, es el saber filosófico, tal como Descartes lo concibe, quien funda y justifica en su raíz el saber y tus notas o caracteres epistémicos en general. Las interpretaciones de esta cuestión son diversas y la bibliografía muy abundante. Véase tan sólo con carácter indicativo el citado libro de J. L. Marión y el trabajo de J. A. Schuster, Descartes' Mathesis Universalis: 1619-28, en Descartes Philosophy, Mathe-matics and Physics, Edited by Stephen Gauckroger, The Harves-ter Press, Sussex, 1980, pp. 41-96, así como nuestra introducción. En este pasaje no se dice sino que de las ciencias ya descubiertas sólo la Aritmética y la Geometría no ofrecen duda ni encierran conocimientos sólo probables; lo cual no quiere decir que ellas sólo haya que aprender (Vid. más adelante, p. 366), ni que la certeza buscada se ofrezca originariamente en ellas, y por ellas sea fundada, de modo que desde ellas hubiese de ser extendida sin más al resto de las ciencias y a la Filosofía misma. A lo más en esta Regla sólo se indicará que en la búsqueda de la verdad, no deberá «ocuparse de ningún objeto del que no puedan tener una certeza igual a la de las demostraciones aritméticas


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Y, sin embargo, no por ello condenamos aquella manera de filosofar que otros han seguido hasta ahora, ni las máquinas de guerra de los silogismos probables de los escolásticos, tan apropiadas para las disputas: en verdad, ejercitan los espíritus de los jóvenes y los promueven con cierta emulación; y es mucho mejor instruirlos en tales opiniones, aunque parezcan inciertas, ya que son discutidas entre los eruditos, que si se los deja libres y abandonados a sí mismos. Pues quizá sin guía se encaminarían al abismo; pero mientras continúen sobre las huellas de sus predecesores, aunque alguna vez se aparten de la verdad, sin embargo emprenderán ciertamente un camino más seguro, por lo menos en el sentido de que ha sido ya experimentado por otros más prudentes. Y nosotros mismos nos alegramos de haber sido educados así, en otro tiempo, en las escuelas; pero puesto que ya estamos libres de aquel juramento, que nos ligaba a las palabras del maestro, y por fin, con una edad bastante madura, hemos sustraído la mano a la férula 11 , si queremos seriamente proponernos a nosotros mismos reglas, con cuya ayuda ascendamos hasta la cumbre del conocimiento humano, seguramente ha de ser admitida entre las primeras aquella que nos advierte que no abusemos del ocio, como hacen muchos que desdeñan todo lo que es fácil y no se ocupan sino en las cosas difíciles, sobre las cuales componen ingeniosamente conjeturas ciertamente sutilísimas y razonamientos muy probables, pero después de muchos trabajos al fin advierten demasiado tarde que

y geométricas» (p. 366). No se trata de extrapolar y generalizar, sino de examinar «la razón por la cual ello es así» (p. 364). 11

En el Discurso del método dice Descartes algo parecido: «tan pronto como la edad me permitió salir de la sujeción de mis preceptores abandoné enteramente el estudio de las letras. Y al resolverme a no buscar más otra ciencia que la que se podía encontrar en mí mismo» (A. T. VI, p. 9). También aquí la reducción al «moi-même», representa la vía para el hallazgo de la verdad.


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tan sólo han aumentado el número de las dudas, sin haber aprendido ciencia alguna.

Pero ahora, ya que poco antes hemos dicho que de entre las disciplinas ya conocidas sólo la Aritmética y la Geometría están libres de todo defecto de falsedad e incertidumbre, a fin de que examinemos con más cuidado la razón por la cual ello es así, se ha de notar que llegamos al conocimiento de las cosas por dos caminos, a saber, por la experiencia12 o por la deducción. Se ha de notar, además, que las experiencias de las cosas son, con frecuencia falaces, pero que la deducción, o simple inferencia de una cosa a partir de otra, puede ciertamente ser omitida, si no se repara en ella, pero nunca ser mal realizada por el entendimiento por poco razonable que sea. Y para esto me parece que son muy poco útiles aquellos encadenamientos de los dialécticos, con los cuales ellos piensan regir la razón humana aun cuando no niego

12

La experiencia y la deducción son, según señala Descartes en este pasaje, los dos caminos por los que «llegamos al conocimiento de las cosas». Puede resultar extraño el que Descartes vea en la experiencia uno de los caminos. Ahora bien, el término «experiencia» encierra en Descartes una ambigüedad, o mejor, quizá, una riqueza de significado, que es preciso clarificar y precisar para cosas (sean) con frecuencia falsas», según dice Descartes a continuación. La ambigüedad o polisignificatividad de la experiencia es obvia. La cuestión estará en señalar los diferentes niveles, y sus respectivos valores en que juega la experiencia. Sobre este tema pueden versar, entre otros, los siguientes trabajos: G. Tour-nade, L'orientation de la science cartésienne, J. Vrin, París, 1982, especialmente cap. II (L'expérience) y cap. III (Expérience et déduction) de la Sección primera, pp. 47-125. D. M. Clarke, Descartes' Philosophy of Science, Mancbester University Press, 1982, especialmente cap. II: «Expérience in cartesian Science», pp. 17-46. J. Laporte, Le rationalisme de Descartes, J. Vrin, París, 1950, pp. 26-27 y 206-212, y S. Rábade, Descartes y la gnoseología moderna, G. del Toro, Madrid, 1971, pp. 170-181.


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que sean muy apropiados para otros usos. En efecto, todo error13, que puede alcanzar a los hombres —y no a las bestias, quede claro—, jamás se origina de una mala inferencia, sino sólo de que se admiten ciertas experiencias poco comprendidas, o de que se emiten juicios precipitadamente14 y sin fundamento.

De lo cual se colige evidentemente por qué la Aritmética y la Geometría son mucho más ciertas que las demás disciplinas, a saber: porque sólo ellas se ocupan de un objeto de tal modo puro y simple que no suponen absolutamente nada que la experiencia haya mostrado incierto, sino que se asientan totalmente en una serie de consecuencias deducibles por razonamiento. Son, por consiguiente, las más fáciles y transparentes de todas, y tienen un objeto tal como el que requerimos15, pues en ellas, a no ser por inadvertencia, parece difícil equivocarse. Y, sin embargo, no por eso debe sorprender que muchos espíritus espontáneamente se dediquen más bien a otras artes o a la filosofía, pues esto sucede

13

La teoría cartesiana del error aparece aquí ya esbozada. Este no es imputable al entendimiento, siempre que obre según establece el método, sino al juicio (o la voluntad). Véase la cuarta de las Meditaciones metafísicas, y también, más adelante, la Regla XII. 14

Esta exigencia de no juzgar precipitadamente es recogida en el primero de los preceptos del Discurso del método: «evitar cuidadosamente la precipitación» (A. T. VI, p. 18), es decir, juzgar antes de haber comprendido clara y distintamente. 15

Este pasaje nos parece especialmente importante y significativo, a la vez que viene a añadir un matiz de interés en relación con el tema de las Matemáticas y su relación con la Filosofía (Vid. nota 10). El «obiectum quae requirimus» expresa que, en la búsqueda de la verdad de las cosas y el establecimiento de su criterio, el espíritu pone de antemano los requisitos que habrá de cumplir cualquier cosa, para que pueda ser objeto del saber. Si es preciso reparar en la Aritmética y en la Geometría no es porque se las instituya como modelos, sino porque «sólo ellas se ocupan de un objeto... tal como el que requerimos».


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porque cada uno se toma más confiadamente la libertad de adivinar en un asunto oscuro que en uno evidente, y porque es mucho más fácil hacer alguna conjetura sobre cualquier cuestión que llegar en una sola, aun cuando sea fácil, a la verdad misma. Mas de todo esto se ha de concluir no ciertamente que se han de aprender sólo la Aritmética y la Geometría, sino únicamente que aquellos que buscan el recto camino de la verdad no deben ocuparse de ningún objeto del que no puedan tener una certeza igual16 a la de las demostraciones aritméticas y geométricas.

Regla III

Acerca de los objetos propuestos se ha de buscar no lo que otros hayan pensado o lo que nosotros mismos conjeturemos, sino lo que podamos intuir clara y evidentemente o deducir con certeza; pues la ciencia no se adquiere de otra manera 17.

Se deben leer los libros de los antiguos, puesto que es un gran beneficio el que podamos servirnos de los trabajos de tantos hombres: de una parte para conocer lo que ya en otro tiempo ha sido descubierto rectamente, y de otra, además para darnos cuenta de lo que queda aún por descubrir en las demás ciencias. Sin embargo, hay el gran riesgo de que quizá algunos errores, contraídos en una lectura demasiado atenta de ellos, se nos peguen a pesar de nuestras resistencias y precauciones. Pues los escritores suelen tener un espíritu tal, que cuantas veces por una

16

Sobre el sentido de esta afirmación, véase nuestra Introducción. 17

Se enumeran aquí las clases principales de «experiencia» para, descartando las inadecuadas, señalar la que proporciona ciencia. Así, la experiencia indirecta, que obtenemos de lo que otros han juzgado; la experiencia conjetural, meramente probable; y la experiencia cierta, identificable a la intuición y derivadamente a la deducción. En la Regla XII (pp. 422-423), además de recogerse y ampliar los sentidos de «experiencia», precisa Descartes la estrecha relación entre experiencia cierta e intuición del entendimiento. Véase también nuestra nota 12.


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irreflexiva credulidad han caído en la aceptación de una opinión controvertida, siempre se esfuerzan por llevarnos a ella con sutilísimos argumentos; mientras que al contrario, cuantas veces encontraron afortunadamente algo cierto y evidente, nunca lo muestran a no ser envuelto en diferentes rodeos y ambigüedades, temiendo sin duda que la simplicidad del argumento disminuya la importancia del hallazgo, o porque nos rehúsan la verdad manifiesta.

Pero aunque todos fuesen sinceros y francos y no nos impusieran como ciertas cosas dudosas, sino que lo expusieran todo de buena fe, nunca sabríamos a quién creer, puesto que apenas hay algo dicho por uno, cuyo opuesto no haya sido afirmado por otro. Y de nada serviría contar los votos para seguir la opinión que tuviera más autores: pues si se trata de una cuestión difícil, es más creíble que su verdad haya podido ser descubierta por pocos que por muchos. Pero aun cuando todos estuviesen de acuerdo entre sí, no bastaría, sin embargo, su doctrina: pues, por ejemplo, nunca llegaremos a ser matemáticos, por mucho que sepamos de memoria todas las demostraciones de otros, a no ser que también nuestro espíritu sea capaz de resolver cualquier problema; n llegaremos a ser filósofos, aunque hayamos leído todo; los razonamientos de Platón y Aristóteles, si no podemos: emitir un juicio firme sobre las cuestiones propuestas pues de este modo parecería que hemos aprendido nc ciencias, sino historias 18.

18

Contraposición radical y clara entre ciencia e historia. Des cartes desestima la historia, no sólo por no ser ciencia, sino ir cluso como vía de acceso al descubrimiento de la verdad. Se 1 reconoce un cierto y sólo relativo valor como instrucción, per nada más. Los testimonios y libros antiguos son considerados com< historias y «fábulas». Por lo demás, «cuando uno es demasiad' curioso de las cosas que se practicaban en los siglos pasados, s> permanece ordinariamente muy ignorante de las que se practica) en el presente» (D. M. A. T. VI, p. 6). En el mejor de los caso


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Se nos advierte además que de ningún modo debemos mezclar jamás conjetura alguna con nuestros juicios sobre la verdad de las cosas. Advertencia de no poco valor, pues la razón más estimable por la cual nada se ha encontrado en la filosofía corriente tan evidente y cierto que no pueda ser puesto en controversia, es, en primer lugar que los hombres de estudio, no contentos con conoce) cosas trasparentes y ciertas, se atrevieron a afirmar también las oscuras y desconocidas, a las que sólo llegaban por conjeturas probables; y concediéndoles después ellos mismos poco a poco una fe plena, y confundiéndolas sin distinción con las verdaderas y evidentes, al fin nada han podido concluir que no pareciese depender de una proposición de tal índole y que por consiguiente no fuese incierto.

Pero para que en lo sucesivo no caigamos en el mismo error, se enumeran aquí todas las acciones de nuestro entendimiento, por las que podemos llegar al conocimiento de las cosas sin temor

no encierra demostraciones, sino sólo razones probables, y ei cualquier caso «la ciencia de los libros... no aproxima tanto a 1 verdad como los simples razonamientos que puede hacer natura] mente un hombre de buen sentido acerca de las cosas que se 1 presenten» (O. c, pp. 12-13). Parecería como si estas reflexiones cartesianas fuesen recogida por Kant en su distinción entre conocimiento histórico (cognitii ex datis) y conocimiento racional (cognitio ex principiis): «Se cual sea la procedencia originaria de un conocimiento historio cuando sólo conoce en el grado y hasta el punto en que le h sido revelado desde fuera, ya sea por la experiencia inmediata por un relato o a través de una enseñanza (de conocimientos generales). Quien haya aprendido, en sentido propio, un sistema d filosofía, el de Wolf, por ejemplo, no posee, consiguientemente por más que sepa de memoria todos sus principios, explicaciones y demostraciones, juntamente con la división del cuerpo doctrina eterno, y por más que sepa enumerarlo todo con los dedos, sini un conocimiento histórico completo de la filosofía wolfiana: (KrV., A-836, B-864, Trad. de P. Rivas, Alfaguara).


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alguno de error: y tan sólo se admiten dos, a saber, la intuición y la inducción19.

Entiendo por intuición no el testimonio fluctuante de los sentidos, o el juicio falaz de una imaginación que compone mal, sino la concepción20 de una mente pura y atenta tan fácil y distinta, que en absoluto quede duda alguna sobre aquello que entendemos; o, lo que es lo mismo, la concepción no dudosa de una mente pura y atenta, que nace de la sola luz de la razón y que por ser más simple, es más cierta que la misma deducción, la cual, sin embargo, ya señalamos más arriba que tampoco puede ser mal hecha por el hombre. Así cada uno puede intuir con el espíritu que existe, que piensa, que el triángulo está definido sólo por tres líneas, la esfera por una sola superficie, y cosas semejantes que son más numerosas de lo que creen la mayoría, precisamente porque desdeñan para mientes en cosas tan fáciles.

Además a fin de que algunos no se extrañen del nuevo uso de la palabra intuición, y de otras cuyo significado vulgar me veré obligado a cambiar en lo sucesivo de igual manera, advierto aquí, de un modo general, que no pienso en absoluto en el modo con que esos vocablos han sido empleados en las escuelas en estos

19

Al mantener «inducción» (inductio), en lugar de sustituirla por «deducción» (deductio), seguimos la edición de A. T. y la de J. L. Marión. Véase, especialmente, pp. 117-119 de esta obra, así como sus argumentos. En latín, inductio, como señala G. Rodis-Lewis (Uoeuvre de Descartes, Lib. Philosophique J. Vrin, París, 1971, vol. I, p. 171), acentúa la analogía con la inferencia o illatio, término que expresa, como indica J. L. Marión, «la reducción de la exterioridad de la deducción a la presencia del intuitus», y por ella «el dominio del discurso se reduce al intui-tus» (Marión, L. c). 20

«Concepción» traduce el término «conceptas», traducción ésta preferible, a nuestro juicio, a la de «concepto», por recoger el carácter activo de la mens.


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últimos tiempos, pues sería muy difícil dar los mismos nombres y pensar cosas radicalmente distintas; sino que sólo tengo en cuenta lo que significa cada palabra en latín y así, cuantas veces faltan las palabras apropiadas, transfiero a mi sentido aquellas que me parecen las más aptas.

Ahora bien, esta evidencia y certeza de la intuición se requiere no sólo para las enunciaciones, sino también para cualquier razonamiento. Así, por ejemplo, dada esta consecuencia: dos v dos hacen lo mismo que tres y uno, no sólo hay que intuir que dos y dos hacen cuatro, y que tres y uno hacen también cuatro, sino además que de estas dos proposiciones se sigue necesariamente aquella tercera.

A partir de este momento puede ser ya dudoso porqué además de la intuición hemos añadido aquí otro modo de conocer; el que tiene lugar por deducción: por la cual entendemos, todo aquello que se sigue necesariamente de otras cosas conocidas con certeza. Pero hubo de hacerse así porque muchas cosas se conocen con certeza, aunque ellas mismas no sean evidentes, tan sólo con que sean deducidas a partir de principios verdaderos conocidos mediante un movimiento continuo e ininterrumpido del pensamiento que intuye con trasparencia cada cosa en particular: no de otro modo sabemos que el último eslabón de una larga cadena está enlazado con el primero, aunque no contemplemos con uno sólo y el mismo golpe de vista todos los intermedios, de los que depende aquella concatenación, con tal de que los hayamos recorrido con los ojos sucesivamente y recordemos que están unidos desde el primero hasta el último cada uno a su inmediato. Así pues, distinguimos aquí la intuición de la mente de la deducción en que ésta es concebida como un movimiento o sucesión, pero no ocurre de igual modo con aquélla; y además, porque para ésta no es necesaria una evidencia actual, como para la intuición, sino que más bien recibe en cierto modo de la


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memoria su certeza. De lo cual resulta poder afirmarse que aquellas proposiciones que se siguen inmediatamente de los primeros principios, bajo diversa consideración, son conocidas tanto por intuición como por deducción; pero los primeros principios mismos sólo por intuición 21 , mientras que las conclusiones remotas no lo son sino por deducción.

Y estos dos caminos son los más ciertos para la ciencia, y no deben admitirse más por parte del espíritu, sino que todos los demás deben ser rechazados como sospechosos y sujetos a error. Lo que no impide, sin embargo, que creamos todo lo que ha sido revelado por Dios como más cierto que todo conocimiento, puesto que la fe, que se refiere a cosas oscuras, no es una acción del espíritu, sino de la voluntad; y si ella tiene algunos fundamentos en el entendimiento, pueden y deben ser descubiertos ante todo por una u otra de las vías ya dichas, como quizás alguna vez mostraremos más ampliamente.

Regla IV22

21

También para Aristóteles el conocimiento de los primeros principios

corresponde sólo al intelecto (): «Si, por tanto, las formas de conocimiento mediante las cuales alcanzamos la verdad y nunca nos engañamos sobre lo que no puede o puede ser de otra manera, son la ciencia, la prudencia, la sabiduría y el intelecto, y tres de ellas (es decir, la ciencia, la prudencia y la sabiduría) no pueden tener por objeto los

principios, forzosamente serán objeto del intelecto (

) (Ética a Nicómaco, VI, 6, 1141, a 3-7. Instituto de Estudios Políticos, Trad. de J. Marías, Madrid, 1970). Véase igualmente Analíticos segundos, II, 19, 1006, 5-17). 22

La regla cuarta está dividida en dos partes, atendiendo no sólo a la fecha de su redacción, sino también con respecto al tema fundamental de que se ocupa. Partes denominadas por J. P. Weber (La constitution du texte des Regulae, París, 1964), IV-A, que se extiende desde 371 hasta 374, línea 15, y IV-B, desde 374, línea 16 hasta el final de la regla. El


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El método es necesario para la investigación de la verdad de las cosas23.

motivo inicial que pudo tener Weber para esta división probablemente fuese el hecho, como señala, J. A. Schuster (Descartes' Mathesis Universalis, 1619-28, o. c, p. 83), de que en el manuscrito de Hannover IV-B estaba desplazado al final, después de la regla XXI. Pero ni Adam-Tanneri, ni Crapulli, ni Marión la han remitido en sus ediciones, al final. Ambas partes son de época distinta. Parece evidente que IV-B es anterior a IV-A; sobre las diferentes propuestas de fechas, véase Weber, o. c, pp. 13-17, especialmente págs. 15 y 17; y J. A. Schuster, o. c, especialmente pp. 51-54. Pero el problema y el interés verdaderamente filosóficos de las dos partes radica en el sentido de su posible unidad, el significado de su correspondencia, o si, por el contrario, hay entre ellas una relación de oposición que permite «difícilmente un todo orgánico» (Weber). Y el problema es tanto más importante cuanto que lo que en él se debate es la relación entre la «Mathesis Universalis» y el sentido del método cartesiano (téngase presente a este propósito lo que se dice en la nota siguiente sobre «método»). Más acertada que la interpretación de Weber nos parece la de Marión; véase Sur l'ontologie grise, prg. 9, pp. 55-59, y especialmente la página 56, en la que se expone la correspondencia de los temas respectivos de ambas partes. 23

Sobre el sentido y alcance de esta Regla IV hace Heidegger el siguiente comentario: «Esta regla no expresa el lugar común de que una ciencia debe tener también su método, sino que quiere decir que el procedimiento (Vorgehen), esto es, el modo como estamos en general

tras las cosas (), decide de antemano sobre lo que encontramos de verdadero en las cosas. El método no es una pieza de la indumentaria de la ciencia, sino la instancia fundamental a partir de la cual se determina lo que puede llegar a ser objeto y cómo puede llegar a serlo» (Die Frage nach dem Ding, M. Niemeyer, Tübitigen, 1962, p. 79; Trad. castellana, Ed. Sur, Buenos Aires, 1964, p. 100). Y con relación al título de esta misma Regla dice Heidegger en otro lugar que «'Método' es ahora el nombre para el proceder (Vorgeben)


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Los mortales están poseídos por una curiosidad tan ciega que con frecuencia conducen sus espíritus por vías desconocidas, sin motivo alguno de esperanza, sino tan sólo para tantear si se encuentra allí lo que buscan: como alguien que ardiese en tan estúpido deseo de encontrar un tesoro, que vagase continuamente por las calles, tratando de encontrar por casualidad alguno perdido por un caminante. Así estudian casi todos los químicos, la mayor parte de los geómetras y no pocos filósofos; y ciertamente no niego que algunas veces vagan tan felizmente que encuentran algo de verdad; sin embargo no por ello concedo que son más hábiles, sino sólo más afortunados. Así que es mucho más acertado no pensar jamás en buscar la verdad de las cosas que hacerlo sin método: pues es segurísimo que esos estudios desordenados y esas meditaciones oscuras turban la luz natural y ciegan el espíritu; y todos los que así acostumbran a andar en las tinieblas, de tal modo debilitan la penetración de su mirada que después no pueden soportar la plena luz: lo cual también lo confirma la experiencia, pues muchísimas veces vemos que aquellos que nunca se han dedicado al cultivo de las letras, juzgan mucho más firme y claramente sobre cuanto les sale al paso que los que continuamente han residido en las escuelas. Así pues, entiendo por método reglas ciertas y fáciles, mediante las cuales el que las observe exactamente no tomará nunca nada falso por verdadero, y, no empleando inútilmente ningún esfuerzo de la mente, sino aumentando siempre gradualmente su ciencia, llegará al, conocimiento verdadero de todo aquello de que es capaz.

asegurador y conquistador con respecto al ente, a fin de ponerlo con seguridad (es... sicherzustellen) corno objeto para el sujeto». De ahí que el método defina «metafísicamente» la modernidad de Descartes, por lo que precisa Heidegger: «En el sentido de 'método' así entendido, todo el pensamiento medieval es esencialmente carente de método (Methodenloss)» (Nietzsche, Neske, Pfullingen, 1961, vol. II, p. 170).


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Y hay que resaltar aquí estas dos cosas: no tomar nunca nada falso por verdadero y llegar al conocimiento de todas las cosas. Puesto que si ignoramos algo de que podemos saber, ello sucede solamente o porque nunca hemos advertido algún camino que nos condujera; tal conocimiento, o porque hemos caído en el error contrario. Pero si el método explica rectamente de que modo ha de usarse la intuición de la mente para no cae; en el error contrario a la verdad, y cómo han de se: hechas las deducciones para que lleguemos al conocí miento de todas las cosas: me parece que nada se requiere para que éste sea completo, puesto que ninguna ciencia puede obtenerse, sino mediante la intuición de 1í mente o la deducción, como ya se dijo anteriormente. E método no puede, en efecto, extenderse hasta enseña: cómo han de hacerse estas mismas operaciones, porque son las más simples y las primeras de todas, de suerte que, si nuestro entendimiento no pudiera ya antes usa: de ellas, no comprendería ningún precepto del método mismo por muy fácil que fuera. En cuanto a las otra: operaciones de la mente que la Dialéctica intenta dirigí: con la ayuda de estas primeras24 son aquí inútiles, o más bien,

24

Cuenta aquí Descartes con la distinción entre aquellas open ciones de la mente que son primeras (la intuición y la deducció entendidas cartesianamente) y aquellas otras operaciones que 1 mente ejerce en el silogismo y la formalización lógica de que s ocupa la Dialéctica o Lógica. Se refiere con estas segundas oper¡ ciones a «aquellos encadenamientos de los Dialécticos» (illa, vincula) (Reg. II, 365), a «todos los preceptos de los Dialécticos (omnia... praecepta) (Reg. X, 405). El verdadero fundamento di saber y de la ciencia estará en aquellas operaciones primeras, á manera que, estas otras se tornan inútiles cuando no perjud cíales. Así, escribe Descartes en el Discurso del método: «E cuanto a la Lógica, sus silogismos y la mayoría de sus demás instrucciones sirven más bien para explicar a otro las cosas que s saben, o incluso, como en el arte de Lulio, a hablar sin juici de las que se ignora, más que a aprenderlas» (A. T., VI, p. 17 Distingue y opone, pues, claramente Descartes el método a est Lógica de la Escuela. Ello no significa que no sea preciso, como


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deben ser contadas entre los obstáculos, pues nada puede añadirse a la pura luz de la razón que de algún modo no la oscurezca.

Así pues, como la utilidad de este método es tan grande, que el entregarse sin él al cultivo de las letras parece que sería más nocivo que provechoso, he llegado al convencimiento de que ya anteriormente ha sido de algún modo vislumbrado por los grandes ingenios bajo la guía incluso de su sola capacidad natural. Pues tiene la mente humana no sé qué de divino, en donde las primeras semillas25 de pensamientos útiles han sido arrojadas de tal modo que con frecuencia, aun descuidadas y ahogadas por estudios contrarios producen un fruto espontáneo. Esto lo experimentamos

escribe en los Principia, «estudiar la Lógica, no la de la Escuela, que corrompe el buen sentido (bon sens) más que lo aumentí sino aquella que enseña a conducir bien su razón para descubrir: las verdades que se ignora» (Prefacio, A. T., IX-B, p. 13). 25

Expresión clara del innatismo cartesiano. Para no entrar en la discusión del innatismo recordemos lo que escribe Descartes en las Notae in programma quodarn: «Pues jamás escribí o juzgué que la mente necesite de ideas innatas que sean algo diverso de su facultad de pensar» (A. T., VIII, pp. 358). Y en esta Regla, línea más abajo, hablará de los «principios innatos de este método» (ex ingenitis huius methodi principiis). Y algo después de prima quaedam veritatum semina humanis ingeniis a natura ínsita. Expresiones parecidas pueden encontrarse en diversos pasajes de otras obras de Descartes. Cabe en todos ellos reconocer la presencia de dos tradiciones: la estoica y la del pensamiento filosófico-teológico de la Escolástica hasta recalar en San Agustín. Especial interés tiene considerar estas expresiones innatistas referidas a la teoría de la creación de las verdades eternas, tanto para ver la relación de Descartes con la tradición, como para apreciar el cambio que se opera con respecto a ella. Véase, especialmente: Carta a Mersenne, de 15 de abril de 1630, de 6 de mayo de 1630 y de 27 del mismo mes y año; así como las Respuestas a las Sextas objeciones de las Meditaciones Metafísicas.


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en las más fáciles de las ciencias, la Aritmética y la Geometría, viendo con toda claridad que los antiguos geómetras se han servido de cierto análisis, que extendían a la resolución de todos los problemas, si bien privaron de él a la posteridad. Y ahora florece cierta clase de aritmética que llaman álgebra, para realizar sobre los números lo que los antiguos hacían sobre las figuras. Y estas dos ciencias no son otra cosa que frutos espontáneos nacidos de los principios innatos de este método, y no me extraña el que hasta ahora tales frutos referidos a ios objetos más simples de estas disciplinas hayan crecido más felizmente que en las otras, donde obstáculos de mayor peso suelen ahogarlos; pero donde, no obstante, también podrán sin duda alguna llegar a perfecta madurez, con tal de que sean cultivados con gran cuidado.

Esto es en verdad lo que principalmente me he propuesto en este tratado; y no tendría en mucho estas reglas, si no sirvieran más que para resolver vanos problemas, en los que calculistas y geómetras ociosos acostumbraron a distraerse; pues así creería no haberme distinguido en otra cosa que en decir bagatelas acaso más sutilmente que otros. Y aunque debo hablar aquí muchas veces de figuras y números, puesto que de ninguna otra disciplina pueden tomarse ejemplos tan evidentes y ciertos, sin embargo, quienquiera que reflexione atentamente sobre mi idea, fácilmente se dará cuenta de que en absoluto pienso aquí en la Matemática corriente, sino que expongo cierta disciplina distinta, de la cual aquellas son más bien envoltura que partes. Pues ésta debe contener los primeros rudimentos de la razón humana y desplegarse para hacer salir de sí verdades respecto de cualquier asunto; y, para hablar con franqueza, estoy convencido de que es preferible a todo otro conocimiento que nos hayan transmitido los hombres en cuanto que es la fuente de todos los otros. Y si he dicho envoltura, no es porque quiera cubrir esta doctrina y envolverla para mantener alejado al vulgo, sino más bien para


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vestirla y adornarla de modo que pueda ser lo más acomodable al espíritu humano.

Cuando por primera vez me dediqué a las disciplinas Matemáticas, de inmediato leí por completo la mayor parte de lo que suelen enseñar sus autores, y cultivé preferentemente la Aritmética y la Geometría, porque se las tenía por las más simples y como un camino para las demás. Pero por entonces, ni en una ni en otra, caían en mis manos ni por casualidad autores que me satisficieran plenamente: pues ciertamente leía en ellas muchas veces cosas acerca de los números que yo comprobaba, habiendo hecho cálculos, ser verdaderas; y respecto a las figuras, presentaban en cierto modo ante los mismos ojos muchas verdades que concluían a partir de determinadas consecuencias; pero por qué esto era así, y cómo eran halladas, no parecían mostrarlo suficientemente a la mente; por lo que no me extrañaba que la mayor parte incluso de los hombres de talento y eruditos o en seguida desdeñasen, una vez tratadas por encima, estas disciplinas, como pueriles y vanas, o por el contrario, se apartasen atemorizados en el comienzo mismo de aprenderlas, por muy difíciles y embrolladas. Pues, en verdad, nada es más vano que ocuparse de simples números y de figuras imaginarias, de tal modo que parezca que queremos contentarnos con el conocimiento de tales bagatelas, y que dedicarse a estas demostraciones superficiales, que se encuentran más veces por casualidad que por arte y que incumben más a los ojos y a la imaginación que al entendimiento, a tal punto que nos desacostumbramos en cierto modo a usar de la razón misma; y al mismo tiempo nada es más complicado que resolver, con tal modo de proceder, las nuevas dificultades encubiertas en números confusos. Pero como después pensase por qué sucedía que antiguamente los primeros creadores de la Filosofía no quisieran admitir para el estudio de la sabiduría a nadie que no supiese Mathesis, como si esta disciplina pareciese la más fácil y sobremanera necesaria de todas para educar los espíritus y


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prepararlos para comprender otras ciencias más altas, tuve la clara sospecha de que ellos conocían cierta Mathesis26 muy diferente

26

Respetamos, dejando sin traducir el término Mathesis, una distinción clara, y que nos parece fundamental, entre lo que este término quiere significar y lo que expresa el término «Matemática» referido a las conocidas disciplinas matemáticas; distinción fundamental para abordar el problema de la relación, en orden a su recíproca fundamentación, entre las disciplinas matemáticas, el método cartesiano, la denominada Mathesis Universalis y el concepto de Filosofía, en estrecha conexión todo ello con la unidad del saber. Señalemos tan sólo tres puntos que parecen fuera de toda «interpretación»: 1.° Descartes distingue con claridad, y ade más no sólo nominalmente, entre «Mathesis» y la «Matemática vulgar» (con sus disciplinas y diversas partes), indicando la insatisfacción que dichas disciplinas le producían con respecto a las preguntas de por qué (quare) y cómo (quommodo), así como con respecto a su verdadera naturaleza y fundamento. 2." La «Mathesis» (que él considera como «vera Mathesis») tiene que ver con «ciertas primeras semillas de verdades impresas por la naturaleza en el espíritu humano» y con la «luz de la mente», constituyendo un determinado, preciso y fundamental modo de saber, que es reconocible tanto en la antigüedad como «en este siglo». 3.° La «Mathesis» (la «vera Mathesis») recibe, pues, un significado y función que la aproxima mucho a la Filosofía, como saber fundamental, hablándose de «una cierta ciencia general» (Mathesis Universalis), en cuya intención (y en su mismo nombre), pueden resonar las preguntas de la «Filosofía primera» o «cierta ciencia». El problema, y su último significado epistemológico-filosófico ha recibido numerosas interpretaciones. Como orientación puede verse, por ejemplo, Marión, o. c, parágrafo 11, pp. 64-69; E. Gilson, ha unidad de la experiencia filosófica, ed. cit., capítulo V: «El ma-tematicismo cartesiano», pp. 147-176; Schuster, Descartes' Mathesis universalis: 1619-28, ed. cit.; W. Ród, Descartes' Erste Philosophie. Versuch einer Analyse mit hesonderer Berücksichtigung der Cartesíanischen Methodologie, Bouvier, Bonn, 1971, especialmente pp. 1-10, 76-80 y 86-94; nuestra Introducción, apartado «Métodc y filosofía»; y Scholz,


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de la Matemática vulgar de nuestro tiempo; sin que yo pensase que la conociesen perfectamente, pues sus extravagantes alegrías y sus sacrificios por inventos de poca monta muestran claramente hasta qué punto fueron ingenuos, y no me cambian de opinión ciertas máquinas de ellos que son alabadas entre los historiadores; pues aunque muy bien hubieran sido muy simples fácilmente pudieron ser elevadas a la reputación de milagros por la multitud ignorante e impresionable. Pero yo estoy convencido de que ciertas primeras semillas de verdades impresas por la naturaleza en el espíritu humano, y que ahogamos en nosotros leyendo y oyendo cada día tantos y tan diversos errores, tenían tanta fuerza en esa ruda y sencilla antigüedad, que por la misma luz de la mente por la que veían que debe preferirse la virtud al placer y lo honesto a lo útil, aunque ignorasen por qué esto era así, conocieron también ideas verdaderas de la Filosofía y de la Mathesis, aun cuando no pudiesen todavía conseguir perfectamente dichas ciencias. Y, ciertamente, me parece que algunos vestigios de esta verdadera Mathesis aparecen todavía en Pappus y Diophanto, los cuales, aunque no en los primeros tiempos, vivieron, sin embargo, muchos siglos antes de ahora. Y fácilmente creería que después fue ocultada por los mismos escritores a causa de una funesta astucia; pues así como es cierto que lo han hecho muchos artistas con sus inventos, quizá ellos temieron que, puesto que era muy fácil y simple, disminuyera su valor una vez divulgada, y prefirieron, a fin de que los admiremos, mostrarnos en su lugar algunas verdades estériles expuestas sutilmente a partir de consecuencias, como productos de su arte, antes que enseñarnos el arte mismo, que habría hecho desaparecer absolutamente la admiración. Ha habido, finalmente, algunos hombres de un gran espíritu, que han intentado

Mathesis Universalis: Abhandlungen zur Philosophie ais strenger Wissenschaft, ed. cit., pasajes referidos en nuestra introducción.


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resucitarla en este siglo: pues aquel arte no parece ser otra cosa que lo que llaman, con nombre extranjero, Algebra, con tal que se la pueda liberar de los múltiples números e inexplicables figuras, con que está sobrecargada, de modo que no le falte más la suma claridad y facilidad, que suponemos debe haber en la verdadera Mathesis. Habiéndome llevado estos pensamientos de los estudios particulares de la Aritmética y la Geometría a cierta investigación general de la Mathesis, indagué, en primer lugar, qué entienden todos precisamente por ese nombre y por qué no sólo las ya citadas, sino también la Astronomía, la Música, la Óptica, la Mecánica y otras muchas se consideran parte de la Matemática. Pues en esto no basta atender a la etimología de la palabra, ya que como el término Mathesis significa tan sólo lo mismo que disciplina, no con menor derecho que la Geometría se llamarían Matemáticas las demás ciencias. Y, sin embargo, vemos que no hay casi nadie, con tal que haya pisado tan sólo los umbrales de las escuelas, que no distinga fácilmente de entre cuanto se le presente qué pertenece a la Mathesis y qué a las otras disciplinas. Y considerando esto más atentamente al cabo se nota que solamente aquellas en las que se estudia cierto orden27 y medida hacen referencia a la Mathesis, y que no importa si tal medida ha de buscarse en los números, en las figuras, en los astros, en los sonidos o en cualquier otro objeto; y que, por lo tanto, debe haber una cierta ciencia general que explique todo lo que puede buscarse acerca del orden y la medida no adscrito a una materia especial, y que es llamada, no con un nombre adoptado, sino ya antiguo y recibido por el uso, Mathesis Universalis, ya que en ésta se contiene todo aquello por lo que las otras ciencias son llamadas partes de la Matemática. Y cuánto esta aventaja en utilidad y facilidad a las otras ciencias que de ella dependen, se pone de

27

Seguimos la variante del texto según FL: aliquis ordo, siguiendo así las ediciones de J. L. Marión y Crapulli.


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manifiesto en que ella se extiende a todas las mismas cosas a las que aquéllas y además a otras muchas, y si algunas dificultades encierra, las mismas las hay también en aquéllas, en las que se encuentran también otras procedentes de sus objetos particulares y que ésta no tiene. Ahora bien, ya que todos conocen su nombre y comprenden, aun no ocupándose de ella, sobre qué versa: ¿por qué sucede que la mayoría investiga laboriosamente las otras disciplinas que dependen de ella, y, sin embargo, nadie se preocupa de aprender esta misma? Yo, ciertamente, me admiraría si no supiese que ésta es considerada por todos como muy fácil y no me hubiera dado cuenta desde hace tiempo de que siempre el espíritu humano, dejado a un lado lo que estima poder conseguir fácilmente, se apresura directamente hacia las cosas nuevas y más elevadas.

Pero yo, consciente de mi debilidad, determiné observar tenazmente en la investigación del conocimiento de las cosas un orden tal, que comenzando siempre por las cosas más sencillas y fáciles, no pasase nunca a otras, hasta que me pareciera no haberme dejado nada más que desear en las primeras; por lo cual he cultivado hasta ahora, en cuanto en mí estuvo, esta Mathesis Universalis, de modo que juzgo que puedo tratar en lo sucesivo, sin un celo prematuro, de ciencias un poco más elevadas. Pero antes de pasar adelante, intentaré reunir y poner en orden todo lo que en mis estudios anteriores he encontrado digno de ser notado, para tomarlo cómodamente de este opúsculo, si lo necesito en el futuro cuando con la edad vaya perdiendo la memoria, o para que, libre ya de ello mi memoria, pueda dedicar a otras materias un espíritu más libre.

Regla V


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Todo el método consiste en el orden y disposición28 de aquellas cosas a las que se ha de dirigir la mirada de la mente a fin de que descubramos alguna verdad. Y la observaremos exactamente si reducimos gradualmente las proposiciones complicadas y oscuras a otras más simples, y si después intentamos ascender por los mismos grados desde la intuición de las más simples hasta el conocimiento de todas las demás.

En esto solo se encierra lo esencial de toda la habilidad humana, y esta regla ha de ser seguida por el que ha de emprender el conocimiento de las cosas no menos que el hilo de Theseo por quien ha de entrar en el laberinto. Pero muchos, o no reflexionan en lo que ella prescribe, o lo ignoran en absoluto, o presumen que ellos no la necesitan, y con frecuencia examinan las cuestiones más difíciles tan desordenadamente, que me parecen obrar del mismo modo que si intentaran llegar de un solo salto desde la parte más baja de un edificio hasta la más alta, bien sea desdeñando los grados de 1 lera, que están destinados a este uso, o bien no advirtiéndolos. Así proceden todos los astrólogos, que no conociendo la naturaleza de los cielos, e incluso no habiendo observado con perfección siquiera sus movimientos, esperan poder indicar sus efectos. Así la mayoría de los que estudian la Mecánica sin la Física, y fabrican al azar nuevos instrumentos para

28

Una traducción quizá más exacta de «in ordine et dispositione» sería: «disponer en orden», expresión ésta que refleja, además, mejor el carácter que tiene el método de instituir y establecer el orden, de modo que éste venga a ser operado y producido por el método. Así, por ejemplo, en la Regla XXI (p. 469) se habla de «ordine disponendi»: «disponer en orden». Baillet traduce el pasaje, interpretándolo correctamente así: «Que este método consiste en dar orden (donner de l'ordre) a las cosas que se quiere examinar» (citado en A. T., vol. V, p. 478). El tercer precepto del Discurso del método establece, en consonancia con esta Regla, de conduire par ordre mes pensées (A. T., v. VI, p. 18).


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provocar movimientos. Así también aquellos filósofos que, descuidando las experiencias29, piensan que la verdad surgirá de su propio cerebro, como Minerva del de Júpiter.

Y en verdad todos aquellos pecan evidentemente contra esta regla. Pero puesto que con frecuencia el orden, que aquí se desea, es tan oscuro y complicado que no todos pueden reconocer cuál es, apenas pueden precaverse suficientemente de error, a no ser que observen diligentemente lo que será expuesto en la siguiente proposición.

Regla VI

Para distinguir las cosas más simples de las complicadas e investigarlas con orden, conviene en cada serie de cosas, en que hemos deducido directamente algunas verdades de otras, observar cual es la más simple y cómo todas las demás están más o menos o igualmente alejadas de ella30.

Aunque esta proposición no parece enseñar nada realmente nuevo, contiene, sin embargo, el principal secreto del arte31, y no

29

Sobre el significado de «experiencia», véase nuestra nota 12. 30

Instituido el orden en la Regla V, en esta VI tiene lugar la «práctica operatoria» del orden, en un «diálogo... constante y preciso con Aristóteles» (J. L. Marión, Sur l'Ontologie grise, ed. cit., pp. 38-79), diálogo en el que tiene lugar la deconstrucción de los supuestos ontológicos aristotélicos que impedían el concepto de orden y la nueva idea de saber. 31

«El principal secreto del arte» está íntimamente ligado con el rechazo de la disposición de las cosas desde la idea aristotélica del ente, por la inutilidad que tal disposición comporta para el nuevo punto de vista cartesiano, como se dirá inmediatamente después: «En el sentido en que pueden ser útiles a nuestro propósito». Idea que conlleva, por otra parte, el significado «práctico» del saber cartesiano, tal como indica en la sexta parte del Discurso del método: «Nous rendre comme maítres et posesseurs de la na-ture» (A. T., VI, p. 62). «El nuevo 'modo de pensar'


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hay ninguna más útil en todo este tratado: pues enseña que todas las cosas pueden ser dispuestas en ciertas series, no sin duda en cuanto se refieren a algún género del ente, como las dividieron los filósofos conforme a sus categorías, sino en cuanto pueden conocerse unas a partir de otras, de modo que cuantas veces se presente alguna dificultad, inmediatamente podamos advertir si sería útil examinar algunas otras primero, y cuáles y en qué orden.

Ahora bien, para que esto pueda ser hecho rectamente, se ha de notar en primer lugar que todas las cosas, en el sentido en que pueden ser útiles a nuestro propósito, cuando no consideramos sus naturalezas en tanto que aisladas, sino que las comparamos entre sí, a fin de que sean conocidas unas a partir de otras, pueden ser llamadas absolutas o relativas32.

(cartesiano), ha escrito Ortega, no consiste sólo en ser un nuevo método para conocer, sino que parte ya de una idea de lo que es el conocer mismo completamente distinta de la tradicional. Teoría no es ya contemplación del Ser, sino contemplación de lo útil en el Ser para un sistema de deducciones» (La idea de principio en Leibniz, o. c, ed. cit., p. 244). 32

Como señala Beck (The Method of Descartes, A study of the Regulae, At the Clarendon Press, Oxford, 1964, p. 164), absoluto y relativo son ellos mismos a su vez «términos relativos», de modo que algo puede ser «absoluto» en un respecto y «relativo» en otro. «Absoluto» no se dice de algo en sí mismo, sino que lo es sólo en relación a, y en dependencia del orden instituido en la Mathesis Universalis; «Absoluto» y «relativo» se refieren siempre, como señala Villoro, a una relación de objetos o ideas dentro de un orden (La idea y el ente en la filosofía de Descartes, F. C. E., México, 1965, p. 49). Se trata, con la denominación precisa de Marión (Sur l'Ontologie grise, Ed. cit., p. 90), de un «absoluto puramente epistémico», como resulta de la comparación (comparamus) que el sujeto epistémico instituye. Las cosas, anuladas su significación «en cuanto se refieren a algún género del ente», se convierten en relaciones;


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Llamo absoluto a todo aquello que contiene en sí la naturaleza pura y simple, sobre la cual es la cuestión: por ejemplo, todo lo que se considera como independiente, causa, simple, universal, uno, igual, semejante, recto u otras cosas de esta índole; y también lo llamo lo más simple y lo más fácil, a fin de que nos sirvamos de ello en la resolución de las cuestiones.

Y relativo es lo que participa en la misma naturaleza, o al menos en algo de ella, por lo cual puede ser referido a lo absoluto y ser deducido de ello según una cierta serie; pero además comprende en su concepto otras cosas que yo llamo relaciones: tal es lo que se llama dependiente, efecto, compuesto, particular, múltiple, desigual, desemejante, oblicuo, etc. Estas cosas relativas se alejan tanto más de las absolutas cuanto contienen más relaciones de este género subordinadas unas a otras; en esta regla se nos hace saber que todas, estas relaciones han de ser distinguidas y que se ha de observar el nexo mutuo de ellas entre sí y su orden natural 33, de modo que a partir de lo último podamos llegar a lo que es lo más absoluto, pasando por todo los demás.

En esto consiste el secreto de todo el arte, a saber, en que en todas las cosas observemos puntualmente lo más absoluto. Pues algunas cosas, bajo un punto de vista son más absolutas que otras, pero consideradas de otro modo son más relativas: así, lo universal es ciertamente más absoluto que lo particular, porque tiene una naturaleza más simple, pero también puede llamarse más relativo, porque depende de los individuos para existir,

y así «las ciencias no se ocupan de las cosas como tales cosas, sino de sus 'relaciones o proporciones'» (Ortega, ibíd.). 33

Aquí «orden natural» no significa, obviamente, un orden de la naturaleza, pues ya la misma distinción y división entre «absoluto/relativo» (absolutum/respectivum) se establece, no en cuanto a sus naturalezas aisladas y en sí mismas consideradas, sino desde un determinado punto de vista o respecto.


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etcétera. Del mismo modo algunas cosas son a veces verdaderamente más absolutas que otras, pero, sin embargo, no aún las más absolutas de todas: así, si consideramos el género es algo relativo; entre las cosas mensurables, la extensión es algo absoluto, pero entre extensiones, lo es la longitud, etc. Del mismo modo, en fin, para que se entienda mejor que nosotros consideramos aquí la serie de las cosas en cuanto han de ser conocidas y no la naturaleza de cada una de ellas, deliberadamente34 hemos enumerado la causa y lo igual entre las cosas absolutas, aunque su naturaleza sea verdaderamente relativa; pues para los Filósofos ciertamente la causa y el efecto son correlativos; pero aquí, si buscamos cuál es el efecto, es preciso conocer antes la causa, y no al contrario. También las cosas iguales se corresponden recíprocamente, pero las que son desiguales no las conocemos sino por comparación a las iguales y no al revés, etcétera.

Hay que notar, en segundo lugar, que sólo hay pocas naturalezas puras y simples que podamos intuir desde un principio y por sí mismas, independientemente de cualquiera otra, ya en la misma experiencia, ya por cierta luz innata en nosotros; y decimos que también éstas han de observarse atentamente, pues son aquéllas a las que llamamos más simples en cada serie. Todas las demás, sin embargo, no pueden ser percibidas de otro modo sino deduciéndose de éstas, y esto o inmediata y próximamente, o mediante dos o tres o más conclusiones diversas, cuyo número también se ha de observar, para que sepamos si aquéllas están apartadas en muchos o pocos grados de la primera y más simple proposición. Y tal es por todas partes el encadenamiento de consecuencias, de donde nacen aquellas series de cosas que hay que buscar, a las cuales ha de ser reducida toda cuestión, para que

34

«Deliberadamente» traduce la expresión de industria, queriendo significar un modo artificioso de proceder o considerar algo.


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pueda ser examinada con un método cierto. Pero como no es fácil enumerarlas todas, y como además no tanto han de ser retenidas en la memoria cuanto distinguidas por la sutileza del espíritu; se ha de buscar algo para formar los espíritus, de tal modo que, cuantas veces sea necesario, las adviertan inmediatamente; para lo cual, ciertamente, nada es más adecuado, según yo mismo he experimentado, que acostumbrarnos a reflexionar con sagacidad en las cosas más pequeñas que ya anteriormente hemos percibido.

Finalmente35, hay que notar, en tercer lugar, que el comienzo de los estudios no se ha de hacer en la investigación de cosas difíciles, sino que antes de que nos dispongamos a abordar algunas cuestiones determinadas, conviene, primero, recoger sin elección alguna las verdades que se presentan como evidentes por sí mismas, y, después, poco a poco, ver si algunas otras pueden deducirse de éstas, y a su vez otras de éstas, y así sucesivamente. Después de hecho esto, se ha de reflexionar atentamente en las verdades encontradas, y pensar cuidadosamente por qué hemos podido encontrar unas antes y más fácilmente que otras, y cuáles son aquéllas, para que de ahí juzguemos también, cuando abordemos alguna cuestión determinada, a qué otras investigaciones es útil aplicarse antes. Por ejemplo, si me viniere al pensamiento que el número 6 es el doble del 3 buscaría después el doble del 6, es decir, el 12; buscaría de nuevo, si me place, el doble de éste, es decir, el 24, y el de éste, es decir, el 48, etc. y de ahí deducirla, como es fácil hacerlo, que hay la misma proporción entre 3 y 6 que entre 6 y 12, lo mismo entre 12 y 24, etc., y que,

35

Se inicia aquí la búsqueda de las medias proporcionales, con las que Descartes ilustra la institución de las series establecidas según el orden. Para todo esto, véase el trabajo de P. Costabel, La solution par Descartes du próbleme des moyennes proportio-nelles, en su libro Demarches originales de Descartes savant, J. Vrin, París, 1982 (Reprise), pp. 49-52.


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por tanto, los números 3, 6, 12, 24, 48, etc., son continuamente proporcionales: de aquí en realidad, aunque todas estas cosas sean tan claras que parezcan casi pueriles, comprendo, reflexionando atentamente, según qué razón están implicadas todas las cuestiones que pueden plantearse acerca de las proporciones o relaciones de las cosas y en qué orden deben ser buscadas: y es esto lo único que encierra lo más esencial de toda la ciencia de la Matemática pura.

Pues advierto, en primer lugar, que no es más difícil haber encontrado el doble de seis que el doble de tres; e igualmente que en todas las cosas, encontrada la proporción entre dos magnitudes cualesquiera, se pueden dar otras innumerables magnitudes que tengan entre sí la misma proporción; y no cambia la naturaleza de la dificultad si se buscan 3 ó 4 o un número mayor, porque cada una debe ser encontrada separadamente y sin ninguna relación con las demás. Advierto después que, aunque dadas las magnitudes 3 y 6, encuentro fácilmente la tercera en proporción continua, es decir, 12; sin embargo, dados los dos extremos, es decir, 3 y 12, no es igualmente fácil encontrar la media, a saber, 6; para quien examine la razón de esto, es manifiesto que hay aquí otra clase de dificultad completamente distinta de la anterior: porque, para encontrar una medía proporcional, es preciso atender a la vez a los dos extremos y a la proporción que hay entre ellos, a fin de que de su división se obtenga una nueva; lo cual es muy distinto de lo que se requiere, dadas dos magnitudes, para encontrar una tercera en proporción continua. Voy más lejos aún y examino si, dadas las magnitudes 3 y 24, se hubiera podido encontrar con la misma facilidad una

de las dos medias proporcionales, es decir, 6 y 12; y aquí se presenta aún otra clase de dificultad más complicada que las anteriores, pues ahora se ha de atender no a una sola cosa o a dos, sino a tres diversas a la vez, para encontrar una cuarta. Se


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puede todavía ir más lejos y ver si, dados tan sólo 3 y 48, hubiera sido aún más difícil encontrar una de las tres medias proporcionales, es decir, 3, 12 y 24; lo cual, ciertamente, así parece a primera vista. Pero en seguida se ve que esta dificultad puede ser dividida y aminorada: si, por ejemplo, se busca primero solamente la única media proporcional entre 3 y 48, es decir, 12, y después se busca la otra media proporcional entre 3 y 12, es decir, 6, y la otra entre 12 y 48, es decir, 24, y así se reduce a la segunda clase de dificultad expuesta anteriormente.

De todo lo cual, advierto, además, cómo puede buscarse el conocimiento de una misma cosa por caminos diferentes, uno de los cuales es mucho más difícil y oscuro que el otro. Así, para encontrar estos cuatro términos en proporción continua, 3, 6, 12, 24, si se suponen dados dos seguidos, es decir, 3 y 6, ó 6 y 12, ó 12 y 24, para que a partir de ellos se encuentren los demás, la cosa será muy fácil de hacer; y entonces diremos que la proporción que se ha de hallar es examinada directamente. Pero si se suponen dados dos que alternan, es decir, 3 y 12, ó 6 y 24, a fin de encontrar a partir de ellos todos los demás, entonces diremos que la dificultad es examinada indirectamente del primer modo. Lo mismo si se suponen dos extremos, es decir, 3 y 24, para buscar a partir de ellos los intermedios 6 y 12, entonces la dificultad será examinada indirectamente del segundo modo. Y así podría ir más lejos, y deducir otras muchas cosas de este solo ejemplo; pero éstas bastarán para que el lector vea lo que yo pretendo cuando digo que una proporción es deducida directamente o indirectamente, y aprecie que, a partir del conocimiento de las cosas más fáciles y primeras, pueden encontrarse muchas cosas, incluso en las otras disciplinas, por quien reflexiona atentamente e investiga con sagacidad.

Regla VII


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Para completar la ciencia es preciso recorrer en un movimiento continuo e ininterrumpido del pensamiento todas y cada una de las cosas que conciernen a nuestro propósito, y abarcarlas en una enumeración36 suficiente y ordenada.

La observación de lo que aquí se propone es necesaria para admitir entre las ciertas aquellas verdades que, según dijimos más arriba, no se deducen inmediatamente de los principios primeros y conocidos por sí mismos37. Pues algunas veces esta deducción se hace por un encadenamiento tan largo de consecuencias que, cuando llegamos a estas verdades, no recordamos fácilmente todo el camino que nos llevó hasta allí; y por esto decimos que se ha de ayudar a la debilidad de la memoria con un movimiento continuo de pensamiento. Así pues, si, por ejemplo, he conocido por diversas operaciones, primero, qué relación hay entre las magnitudes A y B, después entre B y C, luego entre C y D, y, finalmente, entre D y E, no por ello veo qué relación hay entre A y E, y no puedo comprenderlo precisamente a partir de las ya conocidas, a no ser que las recuerde todas. Por lo tanto, las recorreré varias veces con un movimiento continuo del pensamiento38, que intuya cada cosa y al mismo tiempo pase a

36

Es el cuarto precepto del Discurso del método lo que esta regla anticipa y desarrolla: «Hacer en todo enumeraciones tan detalladas y revisiones tan generales que estuviese seguro de no omitir nada» (A. T., VI, p. 19). 37

Se refiere a los primeros principios que mencionaba la Regla III (p. 370). 38

Aunque el texto que da Adam-Tanneri, siguiendo A y H, dice: «Con un movimiento de la imaginación» (imaginationis motu), nos parece preferible y más acertado leer «con un movimiento del pensamiento» (cogitationis motu), como hacen Crapulli y Marión. Por lo demás, está en consonancia tanto con el tema de la Regla VII y su relación con la V y III (Orden, intuición, principios conocidos por sí mismos), así como evita la casi segura improcedencia de la necesidad de la imaginación en el


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otras, hasta que haya aprendido a pasar tan rápidamente de la primera a la última que, no dejando casi ningún papel a la memoria, parezca que intuyo el todo de una vez, pues de este modo, al mismo tiempo que se ayuda a la memoria, se corrige la lentitud del espíritu y en cierta manera se aumenta su capacidad.

Pero añadimos que este movimiento no debe ser interrumpido en ninguna parte, pues frecuentemente aquellos que quieren deducir algo demasiado rápidamente y a partir de principios remotos, no recorren toda la concatenación de conclusiones intermedias tan cuidadosamente, como para no pasar por alto inconsideradamente muchas. Y, ciertamente, donde se ha omitido algo por mínimo que sea, inmediatamente se rompe la cadena y cae toda la certeza de la conclusión.

Decimos además que se requiere la enumeración para completar la ciencia: porque otros preceptos ayudan ciertamente a resolver muchas cuestiones, pero sólo con la ayuda de la enumeración puede hacerse que, a cuanto apliquemos el espíritu, sobre ello emitamos siempre un juicio verdadero y cierto y, por lo tanto, no nos escape absolutamente nada, sino que parezca que sabemos algo de todas las cosas.

Es, pues, esta enumeración o inducción, una investigación tan diligente y cuidadosa de todo lo que respecta a una cuestión dada, que concluimos de ella con certeza y evidentemente que nada ha sido omitido por descuido: de suerte que, cuantas veces usemos de ella, si la cosa buscada nos permanece oculta, seamos más sabios al menos en esto, en que percibamos con certeza que no puede ser encontrada por ningún camino conocido por nosotros, y si acaso, como sucede con frecuencia, hemos podido recorrer

proceso de deducción como intuición seriada, habiendo sido descartada desde la intuición el papel de la imaginación. Véase la definición de intuición en. Regla III (p. 368).


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todos los caminos que se presentan a los hombres para ello, nos esté permitido afirmar audazmente que su conocimiento sobrepasa el alcance del espíritu humano.

Es preciso notar además que por enumeración suficiente o inducción entendemos solamente aquella de la que se concluye una verdad más ciertamente que por cualquier otro género de prueba, excepto la simple intuición; cuantas veces un conocimiento no puede ser reducido a la intuición, sólo nos queda, rechazadas todas las cadenas de los silogismos, este único camino, al cual debemos ofrecer toda confianza. Pues todas las proposiciones que hemos deducido inmediatamente unas de otras, si la inferencia ha sido evidente, han sido ya reducidas a una verdadera intuición. Pero si de muchas proposiciones separadas inferimos algo único, con frecuencia la capacidad de nuestro entendimiento no es tan grande que pueda abarcarlas todas con una sola intuición; en este caso la certeza de la enumeración debe bastarle. Del mismo modo que no podemos distinguir con una sola mirada todos los anillos de una cadena muy larga; pero, no obstante, si hemos visto el enlace de cada uno con sus inmediatos, esto bastará para decir que también hemos visto cómo el último está en conexión con el primero.

He dicho que esta operación debe ser suficiente porque muchas veces puede ser defectuosa y, en consecuencia, sujeta a error. Pues a veces, aunque recorramos por enumeración muchas cosas que son muy evidentes, si omitimos, sin embargo, algo, aunque sea mínimo, se rompe la cadena y cae toda la certeza de la conclusión. Otras veces ciertamente abarcamos todo en la enumeración, pero no distinguimos cada una de las cosas entre sí, de modo que conocemos todo tan sólo confusamente.

Además, esta enumeración debe ser a veces completa, a veces distinta, y otras no hace falta ni lo uno ni lo otro; y por eso se ha dicho solamente que debe ser suficiente. Pues si yo quisiera


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probar por enumeración cuántos géneros de entes son corpóreos o de alguna manera caen bajo los sentidos, no afirmaría que son tantos, y no más, a no ser que antes haya conocido con certeza que he abarcado todos en la enumeración y he distinguido unos de otros. Pero si por el mismo camino quisiera mostrar que el alma racional no es corpórea, no será necesario que la enumeración sea completa, sino que bastará que reúna todos los cuerpos a la vez en algunos conjuntos, de manera que demuestre que el alma racional no puede ser referida a ninguno de ellos. Si finalmente quisiera mostrar por enumeración que el área del círculo es mayor que todas las áreas de las demás figuras cuyo perímetro sea igual, no es necesario pasar revista a todas las figuras, sino que basta demostrar esto de alguna en particular para concluir por inducción lo mismo también de todas las otras.

He añadido también que la enumeración debe ser ordenada: de una parte, porque no hay remedio más eficaz contra los defectos ya enumerados para examinar todo con orden; de otra, además, porque sucede con frecuencia que, si cada una de las cosas que se refieren a la cuestión propuesta, hubiera de ser examinada separadamente, la vida de ningún hombre sería suficiente para ello, bien porque esas cosas son demasiadas, bien porque frecuentemente volverían a presentarse las mismas. Pero si disponemos todas estas cosas en un orden perfecto a fin de reducirlas lo más posible a clases ciertas, bastará examinar exactamente o una sola de esas clases, o algo de cada una de ellas, o unas mejor que otras, o al menos no recorreremos nunca inútilmente dos veces la misma cosa; lo cual de tal modo es útil que muchas veces, gracias a un orden bien establecido, se realizan por entero en poco tiempo y con fácil trabajo una serie de cosas que a primera vista parecían inmensas.

Pero este orden de las cosas que se, han de enumerar puede variar frecuentemente, y depende de la voluntad de cada uno; por


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lo tanto, para descubrirlo más agudamente conviene recordar lo que se dijo en la quinta proposición. Hay también muchas cosas entre los artificios más fútiles de los hombres, para cuya solución todo el método consiste en disponer este orden: así, si se quiere hacer un anagrama perfecto mediante la trasposición de las letras de algún nombre, no es necesario pasar de lo más fácil a lo más difícil, ni distinguir las cosas absolutas de las relativas, pues esto no tiene aquí lugar, sino que bastará, para examinar la trasposición de las letras, proponerse un orden tal que nunca se vuelva dos veces sobre las mismas, y que su número, por ejemplo, sea distribuido en clases ciertas, de tal modo que se muestre inmediatamente en cuáles es mayor la esperanza de encontrar lo que se busca; pues así con frecuencia el trabajo no será largo, sino solamente pueril.

Por lo demás, estas tres últimas reglas no deben separarse, pues casi siempre se ha de reflexionar en ellas juntamente, y todas contribuyen igualmente a la perfección del método; y poco importaba cuál había de enseñarse la primera. Y aquí las hemos explicado en pocas palabras, porque casi no hemos de hacer otra cosa en lo que queda de este tratado, donde mostraremos en particular lo que aquí hemos considerado en general.

Regla VIII

Si en la serie de las cosas que se han de investigar se presenta algo que nuestro entendimiento no puede intuir suficientemente bien, allí es preciso detenerse; y no se debe examinar las demás cosas que siguen, sino abstenerse de un trabajo superfino.

Las tres reglas precedentes prescriben el orden y lo explican; ésta muestra cuándo es absolutamente necesario y cuándo solamente útil. En efecto, todo lo que constituye un grado completo en la serie, por la cual se ha de pasar de las cosas relativas a algo absoluto, o a la inversa, debe necesariamente ser examinado


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antes que lo que sigue. Pero si, como sucede a menudo, pertenecen muchas cosas al mismo grado, es sin duda siempre útil recorrerlas todas por orden. Sin embargo, no estamos obligados a observar el orden tan estricta y rígidamente, y casi siempre, aunque no conozcamos claramente todas las cosas, sino tan sólo pocas o incluso una sola de ellas, es posible, sin embargo, pasar más allá.

Y esta regla se sigue necesariamente de las razones dadas para la segunda; y, sin embargo, no se debe creer que ésta no contiene nada nuevo para promover la erudición, aunque parezca apartarnos solamente de la investigación de algunas cosas, sin mostrar, sin embargo, alguna verdad: en efecto, a los principiantes no enseña otra cosa que a no perder su esfuerzo, casi por la misma razón que la segunda. Pero a aquellos que conozcan perfectamente las siete reglas anteriores, muestra en qué razón pueden, en cualquier ciencia, satisfacerse a sí mismos de tal manera que no deseen nada más; pues cualquiera que haya observado exactamente las precedentes reglas en la solución de alguna dificultad y, sin embargo, le sea impuesto por ésta el detenerse en alguna parte, entonces conocerá con certeza que no puede encontrar por ningún otro artificio39 el conocimiento que busca, y ello no por culpa de su espíritu, sino porque la naturaleza de la misma dificultad o la condición humana se opone a ello. Este conocimiento no es una ciencia menor que aquella que muestra la naturaleza de la cosa misma, y parecería no tener buen sentido aquél que extendiera su curiosidad más allá.

Es preciso ilustrar todo esto con uno o dos ejemplos40. Si, por ejemplo, alguien que estudie solamente la Matemática busca

39

Traduce «industria», según se indicó en la nota 34. 40

Se inicia aquí un inciso que se extiende hasta la página 396, terminando con «... satisfará ampliamente su curiosidad».


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aquella línea que en Dióptrica Uaman anaclástica41, y en la cual los rayos paralelos se refractan de tal modo que todos tras la refracción se cortan en un punto, fácilmente advertirá, conforme a las reglas quinta y sexta, que la determinación de esta línea depende de la proporción que guardan los ángulos de refracción con los ángulos de incidencia; pero como no será capaz de hacer esta investigación, puesto que no pertenece a la Mathesis42, sino a la Física, se verá obligado a detenerse en el umbral, y nada conseguirá si quiere oír de los filósofos este conocimiento u obtenerlo de la experiencia: pues pecaría contra la regla tercera. Y, además, esta proposición es todavía compuesta y relativa; ahora bien, en el lugar oportuno 43 se dirá que sólo de las cosas puramente simples y absolutas puede tenerse experiencia cierta. En vano supondrá también entre tales ángulos una proporción que él creerá ser más verdadera que todas; pues entonces no buscaría ya la anaclástica, sino la línea que siguiese la razón de su suposición.

Por el contrario, si alguien que no estudia solamente la Matemática sino que, de acuerdo con la primera regla44, desea buscar la verdad sobre todo lo que se le presente, viene a dar con la misma dificultad, encontrará más, a saber, que esta proporción entre los ángulos de incidencia y refracción depende del cambio de estos mismos ángulos según la diferencia de los medios; que este cambio, a su vez, depende del modo como el rayo penetra en todo el cuerpo trasparente, y que el conocimiento de esta

41

Sobre este punto, véase el trabajo de P. Costabel, L'anaclasti-que et la loi des sinus pour la réfraction de la lumiere, recogido en el libro citado (pp. 53-58). 42

Sobre las razones para transcribir Mathesis y no traducir simplemente por Matemáticas, véase la nota 26. 43

Se refiere Descartes a la página 399 de esta Regla VIII, a la Regla XII (p. 420) y la Regla XIII (p. 432). 44

Hace referencia especialmente a la unidad de la ciencia.


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penetración supone conocida también la naturaleza de la acción de la luz; y que, finalmente, para comprender la acción de la luz es preciso saber qué sea en general una potencia natural, lo cual es, por último, en toda esta serie lo más absoluto. Entonces, después que haya visto esto claramente por intuición de la mente, volverá por los mismos grados, según la regla quinta: y si en el segundo grado no puede conocer la naturaleza de la acción de la luz, enumerará, según la regla séptima, todas las otras potencias naturales, a fin de que, a partir del conocimiento de alguna de ellas, la comprenda también, al menos por comparación, de la que después hablaré; hecho esto, indagará según qué razón el rayo penetra por todo el cuerpo trasparente, y así recorrerá el resto por orden, hasta que llegue a la anaclás-tica misma. Aunque ésta en vano ha sido buscada hasta ahora por muchos, no veo, sin embargo, nada que pueda impedir que alguien, que se sirva perfectamente de nuestro método la conozca con evidencia.

Pero demos el ejemplo más noble de todos. Si alguien se propone como cuestión examinar todas las verdades para cuyo conocimiento es suficiente la razón humana (lo cual me parece que debe ser hecho una vez en la vida por todos los que desean seriamente llegar a la sabiduría)45, encontrará ciertamente por las reglas que han sido dadas que nada puede ser conocido antes que el entendimiento, puesto que de él depende el conocimiento de todas las demás cosas, y no a la inversa; luego, después de haber examinado todo lo que sigue inmediatamente tras el conocimiento del entendimiento puro, enumerará entre otras cosas todos los demás instrumentos de conocimiento, además del entendimiento, y que 3% son sólo dos, a saber, la fantasía y los sentidos. Así, pues, pondrá toda su habilidad en distinguir y examinar estos tres modos de conocimiento, y viendo que la

45

«A la sabiduría» traduce la expresión ad bonam mentem. Sobre la relación entre bona mens y sabiduría, véase la nota 4.


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verdad o la falsedad propiamente no puede estar sino en el solo entendimiento46, pero que toman frecuentemente su origen de los otros dos, atenderá cuidadosamente a todo aquello que pueda engañarle, a fin de precaverse; y enumerará exactamente todas las vías que se le presentan a los hombres hacia la verdad, a fin de seguir la cierta; pues no son tan numerosas que no las descubra fácilmente todas y por medio de una enumeración suficiente. Y, lo que parecerá extraño e increíble a los que no hayan hecho la experiencia, tan pronto como haya distinguido respecto de cada objeto los conocimientos que tan sólo llenan o adornan la memoria, de aquellos por los cuales alguien debe llamarse en verdad más sabio, lo cual también conseguirá fácilmente se dará cuenta ciertamente de que no ignora nada por defecto del espíritu o del método, y que absolutamente nada puede saber otro hombre, que él no sea también capaz de saber, con tal que aplique a eso mismo su espíritu como es conveniente. Y aunque a menudo puedan presentársele muchas cosas, cuya investigación le será prohibida por esta regla, como, no obstante, percibirá claramente que sobrepasan toda la capacidad del espíritu humano, no se creerá por eso más ignorante, sino que el conocer que nadie puede saber la cosa buscada, si él es igual, satisfará ampliamente su curiosidad47.

Mas para no estar siempre inciertos sobre lo que puede nuestro espíritu y a fin de no trabajar en vano y al azar, antes de

46

Recoge aquí Descartes una tradición que se remite al menos hasta Aristóteles (Metafísica, VI, 4, 1027 b, 25-27), sobre el juicio y el entendimiento, como el lugar propio de la verdad. La relación en Descartes entre verdad y certeza, y la modalízación que éste representa en la línea de esta tradición, ha sido pensada históricamente (geschichlicht) por Heidegger; véase, entre otros lugares, Die Zeit des Weltbildes, en «Holzwege», W. Klostermann, Frankfurt am Main, 1972, pp. 69-104. 47

Termina aquí el inciso que había comenzado en la página 393.


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disponernos al conocimiento de las cosas en particular, es preciso haber examinado cuidadosamente, una vez en la vida, de qué conocimiento es capaz la razón humana. Y para hacerlo mejor, siempre deben investigarse primero de entre las cosas igualmente fáciles las que son más útiles.

Este método imita a aquellas artes mecánicas que no necesitan de la ayuda de otras, sino que ellas mismas enseñan cómo es preciso fabricar sus instrumentos. Sí alguien, pues, quisiera ejercer una de ellas, por ejemplo, la del herrero, y estuviese privado de todo instrumento, estaría ciertamente obligado al principio a servirse como yunque de una piedra en lugar de martillo, disponer trozos de madera en forma de tenazas, y a reunir según la necesidad otros materiales por el estilo; y después de preparados éstos, no se pondría inmediatamente a forjar, para uso de otros, espadas o cascos, ni ninguno de los objetos que se hacen de hierro, sino que antes de nada fabricará martillos, un yunque, tenazas y todas las demás que le son útiles. Este ejemplo nos enseña, que si no hemos podido encontrar al principio más que preceptos no fundados y que parecían innatos en nuestro espíritu más bien que elaborados con arte, no se ha de intentar inmediatamente con su auxilio dirimir las disputas de los filósofos o resolver los problemas de los matemáticos, sino que se deben utilizar antes para investigar con sumo cuidado aquello que es más necesario para el examen de la verdad; tanto más cuanto que no hay ninguna razón por la que esto sea más difícil de solucionar que algunas cuestiones de aquellas que suelen plantearse en la Geometría, en la Física o en otras disciplinas.

Pero en verdad nada puede ser más útil aquí que investigar qué es el conocimiento humano y hasta dónde se extiende. Por eso reunimos ahora esto mismo en una sola cuestión, la cual juzgamos debe ser examinada la primera de todas según las reglas anteriores enumeradas; y esto debe hacerse una vez en la vida por


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todo aquél que ame un poco la verdad, puesto que en esta investigación se encierran los verdaderos instrumentos del saber y todo el método. Por el contrario, nada me parece más absurdo que disputar osadamente sobre los misterios de la naturaleza, sobre la influencia de los cielos en nuestra tierra, sobre la predicción del porvenir y otras cosas semejantes, como hacen muchos, y no haber, sin embargo, indagado nunca si la razón humana es capaz de descubrirlas. Y no debe parecer arduo o difícil determinar los límites del espíritu, que sentimos en nosotros mismos, puesto que muchas veces no dudamos en juzgar incluso de aquellas cosas que están fuera de nosotros y nos son muy ajenas. Ni tampoco es un trabajo inmenso querer abarcar con el pensamiento todo lo que está contenido en el universo para reconocer cómo cada cosa está sometida al examen de nuestra mente; pues nada puede haber tan múltiple o disperso que no se pueda, por medio de la enumeración de que hemos tratado, circunscribir en límites ciertos u ordenar en unos cuantos grupos. Y a fin de hacer la experiencia en la cuestión propuesta, en primer lugar, dividimos todo lo que atañe a ella en dos partes; pues debe referirse o a nosotros que somos capaces de conocimiento, o a las cosas mismas que pueden ser conocidas, y estas dos partes las discutimos separadamente.

Y, ciertamente, observamos en nosotros que el entendimiento sólo es capaz de ciencia, pero que puede ser ayudado o impedido por otras tres facultades, a saber, la imaginación, el sentido y la memoria. Se ha de ver, pues, por orden en qué pueden perjudicarnos cada una de estas facultades, a fin de precavernos; o en qué pueden ser útiles, a fin de que empleemos todos sus recursos. Y así esta parte será discutida mediante enumeración suficiente, como se mostrará en la regla siguiente.


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Después se ha de pasar a las cosas mismas, que tan sólo deben ser consideradas en la medida que tienen relación 48 con el entendimiento; y en este sentido las dividimos en naturalezas absolutamente simples y en complejas o compuestas. Las naturalezas simples no pueden ser más que espirituales o corporales, o pertenecer a la vez a ambas clases; y de las compuestas, unas las experimenta el entendimiento como tales, antes de que píense determinar algo acerca de ellas, y otras las compone él mismo. Todo esto será expuesto más ampliamente en la regla duodécima, donde se demostrará que no puede haber error más que en estas últimas naturalezas que el entendimiento compone, y, por esto, las dividimos todavía en aquellas que se deducen de las naturalezas más simples y conocidas por sí mismas, de las cuales trataremos en todo el libro siguiente; y aquellas que presuponen otras también, de las que sabemos por experiencia que son en sí mismas realmente compuestas, a cuya exposición destinamos el tercer libro íntegro.

Y, ciertamente, en todo este Tratado intentaremos indagar con tanto cuidado todos los caminos que se abren a los hombres para conocer la verdad, y presentarlos tan fáciles, que cualquiera que haya aprendido perfectamente todo este método, aun cuando tenga un espíritu mediocre, verá, sin embargo, que no hay ninguno que le esté a él más vedado que a los demás49, y que no

48

Se retoma aquí la precisión establecida en la Regla VI (página 381), según la cual las cosas serán consideradas no de acuerdo con el genus entis y las categorías (supuestos ontológicos de la ciencia aristotélica), sino en cuanto dispuestas en ciertas series de modo que el entendimiento produce las condiciones de su inteligibilidad. 49

Al comienzo del Discurso del método escribe Descartes: «El buen sentido o razón es, naturalmente, igual en todos los hombres» (A. T. VI, p. 2). Con respecto a este pasaje y al sentido del bon sens, estima E. Denissoff que «no se puede dudar de la intención irónica de Descartes» (Descartes, premier tbéoricien de la Physique Mathématique,


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ignora nada por falta de espíritu o de arte, sino que cuantas veces aplique la mente al conocimiento de alguna cosa, o lo descubrirá enteramente, o verá claramente que depende de alguna experiencia, que no está en su poder, y, por lo tanto, no culpará a su espíritu, aunque se vea obligado a detenerse allí, o, en fin, demostrará que lo que busca excede todo el alcance del espíritu humano, y, por consiguiente, no se creerá más ignorante por eso, puesto que haber conocido esto no es menor ciencia que conocer cualquier otra cosa.

Regla IX

Conviene dirigir toda la agudeza del espíritu a las cosas más insignificantes y fáciles, y detenerse en ellas largo tiempo hasta acostumbrarnos a intuir distinta y claramente la verdad.

Expuestas las dos operaciones de nuestro entendimiento, la intuición y la deducción, de las que dijimos que sólo ellas deben utilizarse para aprender las ciencias, continuamos para explicar, en esta y la siguiente regla, de qué modo podemos hacernos más aptos para ejercerlas, y desarrollar al mismo tiempo las dos facultades principales del espíritu, a saber, la perspicacia, intuyendo distintamente cada cosa, y la sagacidad, deduciendo con arte unas de otras.

Y en verdad, cómo se ha de usar de la intuición de la mente, lo conocemos ya por la misma comparación con la vista. Pues el que quiere mirar con un mismo golpe de vista muchos objetos a la vez, no verá ninguno de ellos distintamente; e igualmente, quien suele atender a muchas cosas a la vez con un solo acto de pensamiento, tiene el espíritu confuso. En cambio, aquellos artesanos que se

Publications Univ. de Louvain, 1970, p. 51). Al margen de que haya en el pasaje un deje de ironía, no nos parece aceptable la idea que deja entrever Denissoff de que no habría una unidad natural de la razón o formal igualdad de juicio. Véase a este respecto nuestra nota 4.


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ocupan en trabajos delicados y que están acostumbrados a dirigir atentamente su mirada a cada punto en particular, adquieren con la costumbre la capacidad de distinguir perfectamente las cosas por pequeñas y sutiles que sean; así también aquellos que nunca dispersan su pensamiento en varios objetos a la vez, sino que lo ocupan siempre por entero en considerar las cosas más simples y fáciles, se hacen perspicaces.

Pero es un defecto común a los mortales el considerar las cosas difíciles como más bellas50, y la mayor parte creen no saber nada cuando la causa de alguna cosa la encuentran muy clara y simple, mientras que admiran ciertos razonamientos sublimes y profundos de los filósofos, aunque como casi siempre, se apoyen en fundamentos no examinados jamás suficientemente por nadie, insensatos en verdad que prefieren las tinieblas a la luz. Ahora bien, se debe señalar que aquellos que verdaderamente saben, reconocen la verdad con igual facilidad, ya la hayan obtenido de un objeto simple, o de uno oscuro, pues comprenden cada verdad con un acto semejante, único y distinto, una vez que llegaron a ella; pero toda la diferencia está en el camino, que ciertamente debe ser más largo, si conduce a una verdad más alejada de los principios primeros y más absolutos.

Conviene, pues, que todos se acostumbren a abarcar con el pensamiento tan pocas cosas a la vez y tan simples, que no piensen jamás saber algo que no sea intuido tan distintamente como aquello que conocen lo más distintamente de todo. Para lo

50

En este pasaje, que recoge un tópico platónico (República, 435 c), y aristotélico (Física, IV, 4, 212 a 6), inicia Descartes una crítica de la admiración (admirare) como origen de la Filosofía y del saber, tesis genuinamente platónica (Teeteío, 155 d) y aristotélica (Metafísica, I, 2, 982 b, 12-14). Sobre la admiración en Descartes, véase Las pasiones del alma, artículos 70-73, y sobre su crítica, artículos 75-78, especialmente el artículo 76.


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cual, sin duda, algunos nacen más aptos que otros, pero con el arte y el ejercicio pueden hacer al espíritu mucho más apto para ello; y hay algo que me parece se debe advertir aquí más que ninguna otra cosa, a saber, que cada uno se persuada firmemente de que deben deducirse las ciencias, aun las más ocultas, no de cosas grandes y oscuras, sino sólo de las fáciles y más obvias.

Así, por ejemplo, si quiero examinar si alguna potencia natural puede, en el mismo instante, pasar a un lugar distante y a través del espacio intermedio, no dirigiré por lo pronto mi mente a la fuerza magnética o al influjo de los astros, ni siquiera a la rapidez de la luz, para indagar si tal vez tales acciones se realizan en un instante: pues más difícilmente podría probar esto que lo que se busca; sino que más bien reflexionaré sobre el movimiento local de los cuerpos, puesto que en todo este género nada puede haber más sensible. Y observaré que la piedra ciertamente no puede pasar en un instante de un lugar a otro, porque es cuerpo; pero que una potencia, semejante a la que mueve a la piedra, no se comunica sino en un instante, si pasa sola de un objeto a otro. Por ejemplo, si muevo uno de los extremos de un bastón tan largo como se quiera, fácilmente concibo que la potencia que mueve aquel extremo del bastón mueve también, necesariamente, en un solo y mismo instante, todas sus otras partes, porque entonces se comunica sola, y no existe en algún cuerpo, como en la piedra, por el cual sea transportada.

Del mismo modo, sí quiero conocer cómo una sola y la misma causa simple puede producir al mismo tiempo 403 efectos contrarios, no me serviré de los remedios de los médicos, que arrojan ciertos humores y retienen otros; no divagaré acerca de la luna, diciendo que calienta por la luz y enfría por una cualidad oculta, sino que consideraré más bien una balanza en que el mismo peso, en un solo y mismo instante, eleva un platillo mientras hace bajar el otro y cosas semejantes.


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Regla X

Para que el espíritu se vuelva sagaz debe ejercitarse en buscar las mismas cosas que ya han sido descubiertas por otros, y en recorrer con método incluso los más insignificantes artificios de los hombres, pero sobre todo aquellos que explican el orden o lo suponen.

Confieso haber nacido con un espíritu tal, que he puesto siempre el mayor placer del estudio no en escuchar las razones de los otros, sino en descubrirlas por mi propia habilidad; y habiéndome atraído esto sólo, cuando todavía era joven, a aprender las ciencias, cada vez que un libro prometía en su título un nuevo descubrimiento, antes de leer más, hacía la experiencia de si era capaz de conseguir, por medio de una cierta sagacidad mía natural, algo semejante, y me cuidaba muy bien de que una precipitada lectura me privara de este placer inocente. Esto me salió bien con tanta frecuencia que al fin advertí que llegaba a la verdad de las cosas no tanto, como suelen los demás, mediante indagaciones vagas y ciegas, y más bien con el auxilio de la suerte que con el del arte, sino que había percibido en una larga experiencia ciertas reglas que son muy útiles a este fin, de las que me serví después para descubrir muchas otras, y así he cultivado con esmero todo este método, y me he convencido de que seguí desde el principio el modo de estudiar más útil de todos.

Pero, como no todos los espíritus son por naturaleza tan inclinados a indagar las cosas por sus propios medios, esta proposición enseña que no es conveniente que nos ocupemos de entrada en las cosas más difíciles y arduas, sino que es preciso analizar antes las artes51 menos importantes y más simples, y

51

Esta referencia a las artes no significa, como ya habrá observado el lector atento, que Descartes vea las ciencias desde las artes, y según el estatuto de éstas; en efecto, ya en la Regla I (página 359), rechazó este


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sobre todo aquellas en las que impera más el orden, como son las de los artesanos, que tejen telas y tapices o las de las mujeres que bordan o hacen encajes infinitamente variados; asimismo, todos los pasatiempos de números, y todo lo que se refiere a la Aritmética y otras cosas semejantes, es de admirar cuánto ejercitan el espíritu todas estas cosas, con tal que no tomemos de otros su invención, sino de nosotros mismos. Pues como en ellas nada hay oculto y en su totalidad son adecuadas a la capacidad del conocimiento humano, nos muestra muy distintamente innumerables órdenes, todos diferentes entre sí, y no por ello menos regulares, en la observación exacta de los cuales consiste casi toda la sagacidad humana.

Y por esta razón hemos advertido que era necesario buscar aquellas cosas con método, el cual en esas materias de menor importancia no suele ser otro que la observación constante del orden, bien existente en el objeto mismo, o bien producido sutilmente por el pensamiento52: así, si queremos leer un texto velado por caracteres desconocidos, ningún orden sin duda aparece allí, pero imaginamos uno, sin embargo, no sólo para examinar todas las conjeturas que pueden darse sobre cada signo, palabra o frase, sino también para disponerlos de manera que conozcamos por enumeración lo que puede deducirse de ellos. Y sobre todo es necesario cuidarse de no perder el tiempo adivinando cosas semejantes al azar y sin arte, pues aunque a veces pueden ser encontradas sin arte, e incluso por un

equívoco. Antes al contrario, se trata de ver la importancia básica del método único y del orden. 52

He aquí expresamente indicada la dualidad o el doble sentido del orden (ordo) y la función productora del pensamiento en el mismo. Sobre esta cuestión, en relación además con la tradición aristotélica, véase el capítulo II, prgs. 12, 13 y 14 de la obra de J. L. Marión últimamente citada.


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afortunado alguna vez quizá más rápidamente que mediante el método, se debilitaría, sin embargo, la luz del espíritu y lo acostumbrarían de tal modo a lo pueril y vago, que después se quedaría siempre en la superficie de las cosas y no podría penetrar en el fondo. Pero no caigamos, sin embargo, en el error de los que sólo ocupan su pensamiento en cosas serias y muy elevadas, de las que tras muchos trabajos no adquieren sino una ciencia confusa, precisamente cuando la desean profunda. Así, pues, conviene que primero nos ejercitemos en estas cosas más fáciles, pero con método, a fin de que nos acostumbremos a penetrar siempre en la íntima verdad de las cosas por caminos obvios y conocidos, como jugando, pues de este modo, casi imperceptiblemente y en menos tiempo del que se podía esperar, sentiremos que también nosotros podemos con igual facilidad deducir de principios evidentes varias proposiciones que parecían muy difíciles y complicadas.

Pero algunos quizá se extrañarán de que en este lugar, donde buscamos de qué modo nos convertimos en más aptos para deducir unas verdades de otras, omitamos todos los preceptos de los Dialécticos, por los cuales piensan regir la razón humana prescribiéndole ciertas formas de razonamiento que concluyen tan necesariamente, que la razón confiada a ellas, aunque en cierto modo se desinterese de la consideración evidente y atenta de la inferencia53 misma, pueda, sin embargo, a veces, por virtud de la forma 54 , concluir algo cierto: bien que observemos que frecuentemente la verdad escapa de estos lazos mientras que aquellos mismos que los usan quedan enredados en ellos. Lo cual

53

La inferencia (illatio) ha de estar unida y conjuntamente considerada, con la intuición (intuitus). 54

«Por virtud de la forma» (ex vi formae) se refiere «a la forma como

, y no como , es decir, a las figuras del silogismo» (J. L. Marión, edición de las Regulae, nota 11 de la página 217).


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no sucede tan frecuentemente a los demás, y sabemos por experiencia que los más sutiles sofismas casi nunca acostumbran a engañar a nadie que usa de la pura razón, sino a los mismos sofistas.

Por eso aquí, cuidándonos sobre todo de que nuestra razón no permanezca ociosa mientras examinamos la verdad de alguna cosa, rechazamos esas formas como contrarias a nuestro propósito y buscamos más bien todas las ayudas que puedan mantener atento nuestro pensamiento, como se mostrará en lo que sigue. Pero para que aparezca todavía con más evidencia que aquel arte de razonar en nada contribuye al conocimiento de la verdad, es preciso señalar que los dialécticos no pueden formar con su arte ningún silogismo que concluya en la verdad, a no ser que posean antes la materia del mismo, esto es, si no conocieran ya antes la misma verdad, que deducen en el silogismo. De donde resulta evidente que ellos mismos no aprenden nada nuevo a partir de tal forma, y que por ello la Dialéctica vulgar es totalmente inútil para los que desean investigar la verdad de las cosas, y que tan sólo puede servir a veces para exponer a otros más fácilmente las razones ya conocidas, por lo que es preciso hacerla pasar de la Filosofía a la Retórica.

En lo que sigue de esta regla señala Descartes tres deficiencias de la Lógica silogística: no proporciona ningún conocimiento nuevo; los lazos (vincula) formales dificultan más que ayudan, siendo necesarios buscarle a la intuición del pensamiento otras ayudas (adjumenta); no contribuye al conocimiento de la verdad, y si accede en su conclusión a alguna, es porque ya antes la conocía.

Regla XI

Después de haber intuido algunas proposiciones simples, si de ellas concluimos alguna otra cosa, es útil recorrerlas con un movimiento continuo e ininterrumpido del pensamiento,


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reflexionar en sus mutuas relaciones y concebir distintamente, cuanto sea posible, varias cosas a la vez, pues así nuestro conocimiento se hace mucho más cierto y, sobre todo, se desarrolla la capacidad del espíritu.

Se presenta aquí la ocasión de exponer más claramente lo que ya se dijo sobre la intuición de la mente en las reglas tercera y séptima, porque en un lugar la opusimos a la deducción55, y en otro sólo a la enumeración,56 a la cual definimos como una inferencia obtenida a partir de varias cosas separadas; pero allí mismo dijimos que la simple deducción de una cosa a partir de otra se hace por intuición.

Y hubo de hacerse así, porque exigimos dos condiciones para la intuición de la mente, a saber: que la proposición sea entendida clara y distintamente, y además toda al mismo tiempo y no sucesivamente. La deducción, por el contrario, si la consideramos en su modo de ser hecha, como en la regla tercera, no parece realizarse toda ella simultáneamente, sino que implica un cierto movimiento de nuestro espíritu que infiere una cosa de otra, y por ello allí la distinguimos con razón de la intuición. Pero si atendemos a ella en cuanto ya terminada, como en lo dicho en la regla séptima, entonces no designa ya ningún movimiento, sino el término de un movimiento, y por ello añadimos que es vista por intuición cuando es simple y clara, pero no cuando es múltiple y oscura, a la cual dimos el nombre de enumeración o inducción, porque entonces no puede ser comprendida toda entera a la vez por el entendimiento, sino que su certeza en cierto modo depende de la memoria, en la cual deben retenerse los juicios sobre cada una de las partes enumeradas, a fin de colegir de todos ellos uno solo.

55

Se refiere a la Regla III (p. 369). 56

Se refiere a la Regla VII (p. 387).


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Era necesario distinguir todos estos conceptos para la interpretación de esta regla; pues, una vez que la novena ha tratado sólo de la intuición de la mente y la décima únicamente de la enumeración, ésta explica de qué modo estas dos operaciones se ayudan y completan mutuamente hasta el punto que parezcan fundirse en una sola57 por un cierto movimiento del pensamiento que al mismo tiempo intuye atentamente cada cosa y pasa a otras.

Señalamos la doble utilidad de esto: conocer con más certeza la conclusión de que se trata y hacer más apto el espíritu para descubrir otras. En efecto, la memoria, de la que se dijo depende la certeza de las conclusiones que abarcan más de lo que podemos captar por una sola intuición, siendo fugaz y débil, debe ser renovada y fortalecida por ese continuo y repetido movimiento del pensamiento: así, si por medio de varias operaciones he aprendido, en primer lugar, cuál es la relación entre una primera y segunda magnitud, después entre la segunda y una tercera, luego entre la tercera y una cuarta y, finalmente, entre la cuarta y una quinta, no veo por ello qué relación hay entre la primera y la quinta, y no puedo deducirla de las ya conocidas, a no ser que me acuerde de todas: por lo cual me es necesario recorrerlas con un pensamiento reiterado, hasta que pase de la primera a la última tan rápidamente, que no dejando casi ningún papel a la memoria parezca que intuyo el todo al mismo tiempo.

Todo el mundo ve que por esta razón, sin duda, corrige la lentitud del espíritu y se aumenta también su capacidad. Pero se ha de advertir además que la máxima utilidad de esta regla consiste en que, reflexionando sobre la mutua dependencia de las proposiciones simples, adquirimos el uso de distinguir

57

De este modo, la Regla XI aborda y resuelve la cuestión de la relación entre las dos operaciones fundamentales del entendimiento, la intuición y la deducción, con la consiguiente extensión di: la certeza directa e inmediata.


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inmediatamente qué es más o menos relativo y por qué grados se reduce a lo absoluto. Por ejemplo, si recorro algunas magnitudes en proporción continua, reflexionaré en todo esto, a saber: que por una concepción semejante y no más ni menos fácil conozco la relación existente entre la primera magnitud y la segunda, la segunda y la tercera, la tercera y la cuarta, etc.; pero que no puedo concebir tan fácilmente cuál es la dependencia de la segunda respecto de la primera y la tercera a la vez, y mucho más difícil aún la dependencia de la misma respecto de la primera y de la cuarta, etc. Por lo cual conozco a continuación por qué razón, si sólo son dadas la primera y la segunda, fácilmente puedo descubrir la tercera y la cuarta, etc., a saber, porque esto se hace por medio de concepciones particulares y distintas. Pero si sólo son dadas la primera y la tercera, no conoceré tan fácilmente la intermedia, porque esto no puede hacerse más que mediante una concepción que abarque a la vez las dos magnitudes dadas. Si únicamente son dadas la primera y la cuarta, todavía me será más difícil intuir las dos intermedias, porque aquí se implican al mismo tiempo tres concepciones. De modo que, por consiguiente, parecería más difícil todavía descubrir a partir de la primera y de la quinta las tres intermedias. Pero hay otra razón por la que sucede de otro modo: porque, aunque están juntas cuatro concepciones, pueden, sin embargo, separarse, puesto que cuatro es divisible por otro número; de modo que podría buscar la tercera sola a partir de la primera y la quinta, después la segunda a partir de la primera y tercera, etc. Quien se ha acostumbrado a reflexionar en estas cosas y en otras semejantes, cuantas veces examina una cuestión nueva, reconoce en seguida qué es lo que engendra en ella la dificultad y cuál es el modo más simple de resolverla; lo cual es una ayuda muy grande para el conocimiento de la verdad.

Regla XII


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Finalmente, es preciso servirse de todos los recursos del entendimiento, de la imaginación, de los sentidos y de la memoria: ya para intuir distintamente las proposiciones simples; ya para comparar debidamente lo que se busca con lo que se conoce, a fin de reconocerlo; ya para descubrir aquellas cosas que deben ser comparadas entre, sí de modo que no se omita ningún elemento de la habilidad humana.

Esta regla58 encierra todo lo que anteriormente se ha dicho, y enseña en general lo que debía ser explicado en particular de esta forma:

Para el conocimiento de las cosas se han de considerar tan sólo dos términos, a saber, nosotros que conocemos, y las cosas mismas que deben ser conocidas. En nosotros sólo hay cuatro facultades, de las que podemos servirnos para ello: el entendimiento, la imaginación, los sentidos y la memoria. Sólo el entendimiento es capaz de percibir la verdad, pero debe ser ayudado por la imaginación, los sentidos y la memoria, a fin de que no omitamos nada de lo que está puesto en nuestra habilidad. Por parte de las cosas basta examinar tres puntos, a saber: primero, lo que se muestra por sí mismo, después cómo se conoce una cosa a partir de otra, y, finalmente, qué cosas se deducen de cada una. Esta enumeración me parece completa y que no omite nada de lo que puede alcanzar la habilidad humana.

Volviéndome, pues, a lo primero, desearía exponer en este lugar qué es la mente humana, qué el cuerpo, cómo éste es informado

58

Esta Regla XII, que recoge a modo de conclusión lo que ya se ha ido tratando, está dividida en dos partes, establecidas de acuerdo con los dos términos de la relación entre el saber y las cosas: «Nosotros que conocemos» y «las cosas mismas que deben ser conocidas» (retomando la misma distinción indicada en la Regla VIII, p. 398). La primera parte, que estudiará las facultades de que podemos servirnos se extiende hasta la página 417; la segunda, desde ésta a la página 428.


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por aquélla, cuáles son en todo el compuesto las facultades que sirven para conocer las cosas y qué hace cada una de ellas, si no me pareciera demasiado estrecho para contener todo lo que ha de ser establecido previamente antes de que la verdad de estas cosas pueda estar patente a todos. Pues deseo escribir siempre de tal modo que no afirme nada sobre cuestiones que suelen ser controvertidas, a no ser que haya expuesto previamente las razones que me han llevado hasta aquel punto, y por las cuales creo que también los demás pueden ser convencidos.

Pero como esto no es posible, me bastará explicar lo más brevemente que pueda cuál es la manera más útil a mi propósito de concebir todo lo que hay en nosotros para conocer las cosas. Y no creáis, si no os place, que la cosa es así; pero, ¿qué impedirá que adoptéis las mismas suposiciones59, si es evidente que ellas en nada disminuyen a la verdad de las cosas, sino que, por el contrario, las tornan a todas mucho más claras? Es lo mismo que cuando en Geometría hacéis sobre la cantidad algunas suposiciones que de ningún modo debilitan la fuerza de las demostraciones, aunque frecuentemente en Física penséis de otro modo sobre su naturaleza.

59

Con el término «suposición» se quiere caracterizar aquel discurso o modo de proceder epistemológico que, 110 tomando en consideración la naturaleza de la cosa conocida en cada caso, se propone hacer inteligible los fenómenos, mostrándose su operati-vidad por medio de las consecuencias que de él se siguen. «Suposición» vale, en este sentido, tanto como «hipótesis». La viabilidad del método hipotético-deductivo exige precisamente y comporta la eliminación de la interpretación «naturalista» del objeto. Descartes va a operar una tal superación en las dos partes de esta Regla, señaladas en la nota anterior. Sobre estos conceptos puede verse G. Buchdahl, Metaphysics and the Philosophy of Science, B. Black-well, Oxford, 1969, pp. 118-126; E. Denissoff, o. c, pp. 89-94.


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Así, pues, se ha de pensar, en primer lugar60, que todos los sentidos externos, en cuanto son partes del cuerpo, aunque los apliquemos a los objetos por medio de una acción, es decir, mediante un movimiento local, sin embargo, sienten propiamente por pasión, del mismo modo que la cera recibe la figura del sello. Y no se ha de pensar que esto se dice por analogía, sino que se debe concebir absolutamente del mismo modo, que la figura externa del cuerpo sentiente es realmente modificada por el objeto, como la que hay en la superficie de la cera es modificada por el sello. Lo cual no sólo ha de admitirse cuando tocamos algún cuerpo dotado de figura, o duro o áspero, etc., sino también cuando percibimos con el tacto el calor, el frío, y cosas semejantes. Lo mismo en los otros sentidos, a saber: la primera parte del ojo, que es opaca, recibe así la figura que imprime en ella el movimiento de la luz diversamente coloreada; y la primera membrana de los oídos, de la nariz y de la lengua, impenerrable al objeto, recibe así también una nueva figura del sonido, del olor y del sabor.

60

Se inicia aquí el tratamiento de lo que podría denominarse la «psicología» cartesiana en esta Regla XII, con indicaciones sobre la sensación, el sentido común, la imaginación y el entendimiento. Hay en estas páginas una implícita referencia, clara por lo demás, y muy importante, para comprender el alcance de la novedad del pensamiento cartesiano, al tratado De anima de Aristóteles. Y si es verdad que, por ello remite, como señaló F. Alquié (o. c, p. 72), «a la metafísica clásica de la época», remite, sí, a Aristóteles, pero justamente para indicar la modificación de sentido y el cambio que se opera con respecto a él. La nueva significación epistemológica instaurada por la unidad de la ciencia y la Mathesis Universalis tiene aquí su correlato epistémico en el orden de las facultades. Para un tratamiento preciso de la relación y distancia del tratamiento cartesiano de las cuatro facultades (sensación, sentido común, imaginación y entendimiento) con respecto a las tesis aristotélicas, véase la obra de J. L. Marión, pp. 19-21.


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Concebir así todas estas cosas ayuda mucho, pues nada cae más fácilmente bajo los sentidos que la figura: pues se toca y se ve. Y que nada falso se sigue de esta suposición más que de cualquiera otra, se demuestra a partir de esto: que el concepto de figura es tan común y simple que está implicado en todo lo sensible. Por ejemplo, supon que el color es lo que tú quieras, no negarás, sin embargo, que es extenso y que por consiguiente tiene figura. Pues si, cuidándonos de no admitir inútilmente ni de imaginar imprudentemente ningún nuevo ser61, y sin negar en verdad respecto al color lo que a otros les plugiera pensar, prescindimos de todo, excepto de que tiene la propiedad de poseer figura y concebimos la diversidad que hay entre el blanco, el azul, el rojo, etc., como la que existe entre las siguientes figuras u otras parecidas, ¿qué inconveniente habría?

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Y lo mismo puede decirse de todo, puesto que es cierto que la multitud infinita de figuras basta para expresar todas las diferencias de las cosas sensibles.

En segundo lugar, se ha de pensar que cuando el sentido externo es movido por el objeto, la figura que recibe es trasladada a otra parte del cuerpo, que se llama sentido común, de un modo instantáneo y sin que ningún ser pase realmente de uno a otro:

61

La expresión «cuidándonos de no admitir inútilmente ni de imaginar imprudentemente ningún nuevo ser», recuerda el principio de economía metafísica de G. de Ockham: «Non sunt mul-tiplicanda entia sine necessitate».


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exactamente de la misma manera que ahora, mientras escribo, comprendo que en el mismo instante en que cada letra es trazada en el papel, no sólo es puesta en movimiento la parte inferior de la pluma, sino que no puede haber en ella ningún movimiento, por mínimo que sea, que al mismo tiempo no se reciba en toda la pluma, y que toda aquella variedad de movimientos también son descritos por la parte superior de la pluma en el aire, aunque piense que nada real pasa de un extremo a otro. Pues, ¿quién va a pensar que la conexión entre las partes del cuerpo humano es menor que la que hay entre las de pluma y qué se puede imaginar más simple para expresar esto?

En tercer lugar, se ha de entender que el sentido común desempeña también la función de un sello para imprimir en la fantasía o imaginación, como en la cera, las mismas figuras o ideas que llegan de los sentidos externos puras y sin cuerpo; y que esta fantasía es una verdadera parte del cuerpo y de una magnitud tal que sus diversas partes pueden asumir varias figuras distintas entre sí, y que suelen conservarlas durante mucho tiempo: es lo que se llama entonces memoria.

En cuarto lugar, se ha de pensar que la fuerza motriz o los nervios mismos tienen su origen en el cerebro, en donde se halla la fantasía, por lo cual son movidos aquellos de diversos modos, como el sentido común lo es por el sentido externo, o como la pluma entera lo es por su parte inferior. Ejemplo que muestra además cómo la fantasía puede ser causa de muchos movimientos en los nervios, sin que sus imágenes, sin embargo, las tenga en ella expresas62, sino algunas otras de las cuales pueden seguirse estos movimientos: pues tampoco toda la pluma se mueve como su parte inferior sino más bien, en su mayor parte, parece seguir un

62

Imagines expressae es una resonancia de la distinción clásica entre species impressa y species expressa, en. estrecha relación con la distinción entre intellectus agens y possibile.


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movimiento completamente diverso y contrario. Y por todo esto se puede comprender cómo pueden realizarse todos los movimientos de los demás animales, aunque en ellos no se admita en absoluto ningún conocimiento de las cosas, sino tan sólo una imaginación puramente corporal; y también cómo se realizan en nosotros mismos todas aquellas operaciones que llevamos a cabo sin ningún concurso de la razón.

Finalmente, en quinto lugar, se ha de concebir que aquella fuerza por la cual propiamente conocemos las cosas es puramente espiritual y no menos distinta de todo el cuerpo, que la sangre lo es del hueso, o la mano del ojo; y que tal fuerza es única, que o bien recibe las figuras del sentido común simultáneamente con la fantasía, o bien se aplica a las que se conservan en la memoria, o bien forma otras nuevas que de tal modo ocupan la imaginación, que muchas veces no se basta para recibir al mismo tiempo las ideas que vienen del sentido común o para transmitirlas a la fuerza motriz según la disposición del puro cuerpo. En todos estos casos esta fuerza cognoscente a veces es pasiva, a veces activa, unas veces imita al sello, otras a la cera; lo cual, sin embargo, solamente se debe tomar aquí por analogía, pues en las cosas corpóreas no se encuentra absolutamente nada semejante a esta fuerza. Y es una sola y misma fuerza, la cual, si se aplica con la imaginación al sentido común, es denominada ver, tocar, etc.; si se aplica a la imaginación sola en cuanto ésta está revestida de diversas figuras, es denominada recordar; si a la imaginación para formar nuevas figuras, decimos imaginar o concebir; si finalmente, actúa sola, entender: cómo se realiza esta última operación lo expondré más ampliamente en su momento. Y también por esto esta misma fuerza se llama, según estas diversas funciones, entendimiento puro, o imaginación, o memoria, o sentido; pero propiamente se llama espíritu, tanto cuando forma nuevas ideas en la fantasía, como cuando se aplica a las ya formadas; la consideramos, pues, apta para estas diversas operaciones, y en lo


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que sigue deberá observarse la distinción de estos nombres. Concebidas así todas estas cosas, fácilmente colegirá el lector atento qué ayudas deben exigirse de cada facultad y hasta dónde puede extenderse la habilidad de los hombres para suplir las deficiencias del espíritu.

Puesto que el entendimiento puede ser movido por la imaginación, o, por el contrario, actuar sobre ella, del mismo modo la imaginación puede actuar sobre los sentidos por medio de la fuerza motriz aplicándolos a los objetos, o, por el contrario, actuar éstos sobre ella, en la cual inscriben las imágenes de los cuerpos; pero la memoria, al menos aquella que es corporal y semejante a la de los animales, no es en nada distinta de la imaginación: se concluye, pues, con certeza que, si el entendimiento se ocupa de cosas que no tienen nada corpóreo o semejante a lo corpóreo, no puede ser ayudado por estas facultades, sino que, por el contrario, a fin de no ser entorpecido por ellas, debe prescindir de los sentidos y despojar a la imaginación, en cuanto sea posible, de toda impresión distinta. Pero si el entendimiento se propone examinar algo que pueda referirse al cuerpo, su idea se ha de formar en la imaginación lo más distintamente posible; y para hacerlo más cómodamente, será preciso presentar a los sentidos externos la cosa misma que esta idea representa. Y una pluralidad de objetos no puede ayudar al entendimiento a intuir distintamente cada cosa. Pero para extraer una cosa de una pluralidad, como hay que hacer frecuentemente, es preciso apartar de las ideas de las cosas lo que no requiera la atención presente, a fin de poder retener más fácilmente lo restante en la memoria; y del mismo modo, no será preciso entonces presentar las cosas mismas a los sentidos externos, sino más bien alguna figura abreviada de las mismas que, con tal que basten para guardarnos de la falta de memoria, serán más útiles cuanto más breves. Quien observe todo esto me


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parece que no habrá omitido nada de lo que se refiere a esta parte.

Mas para comenzar ya la segunda parte 63 y para distinguir cuidadosamente las nociones de las cosas simples de las compuestas, y ver en unas y otras dónde puede estar la falsedad, a fin de precavernos, y cuáles puedan ser conocidas con certeza, a fin de ocuparnos de ellas solas: aquí como más arriba, es preciso admitir algunas proposiciones 64 que quizá no son aceptadas expresamente por todos; pero importa poco que no se las crea más verdaderas que aquellos círculos imaginarios, con los que los Astrónomos describen sus fenómenos, con tal que con su auxilio se distinga qué conocimiento, acerca de cualquier asunto, puede ser verdadero o falso.

Así pues, decimos en primer lugar que cada cosa debe ser considerada en relación a nuestro conocimiento de modo diferente que si hablamos de ella en cuanto existe realmente. En efecto, si consideramos, por ejemplo, algún cuerpo con extensión y figura, confesaremos ciertamente que es en cuanto a su realidad, uno y simple: pues en ese sentido no podría decirse compuesto, por su naturaleza corporal, de extensión y de figura, ya que estas partes nunca han existido separadas unas de otras, pero respecto de nuestro entendimiento, lo llamamos un compuesto de esas tres naturalezas, porque hemos concebido cada una separadamente antes de haber podido juzgar que las

63

Esta segunda parte de la Regla XII que se propone estudiar el estatuto de los componentes «onticos» correlativos a las facultades epistémicas estudiadas en la primera parte, de modo que se haga posible la ciencia, como conocimiento cierto y evidente (Regla II, p. 362), se desarrolla en tres principales núcleos temáticos: primero, la teoría de la simplicidad (pp. 418-419); segundo, división y recensión de las naturalezas simples (pp. 419-421), y tercero, composición de las naturalezas simples. 64

Véase nuestra nota 59.


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tres se encuentran reunidas al mismo tiempo en un solo y mismo sujeto. Por lo que no tratando nosotros aquí65 de cosas sino en cuanto son percibidas por el entendimiento, sólo llamamos simples a aquellas, cuyo conocimiento es tan claro y distinto, que no pueden ser divididas por la mente en varias que sean conocidas más distintamente 66 : tales son la figura, la extensión, el movimiento, etc.; pero todas las demás las concebimos compuestas en cierto modo, de éstas. Lo cual se ha de tomar de un modo tan general que no se exceptúen ni siquiera aquellas que a veces abstraemos de las mismas cosas simples: como sucede si decimos que la figura es el límite de la cosa extensa, entendiendo por límite algo más general que por figura, porque sin duda se puede hablar también del límite de la duración, del límite del movimiento, etc. Pues entonces, aunque la significación de límite sea abstraída de la figura, no por eso, sin embargo, debe parecer más simple que la figura; sino más bien, puesto que se atribuye también a otras cosas que se diferencian en toda su naturaleza de

65

Siguiendo a Crapulli y Marión, reinttoducimos en el texto «nosotros» (nos), presente en H, y que Adam-Tanneri eliminan. El nos expresa, claramente, esa función productora que el sujeto epistémico lleva a cabo tanto con respecto al orden como aquí, con respecto a las naturalezas simples. 66

La simplicidad así definida es manifiesta y radicalmente distinta de aquella otra simplicidad que cabe atribuir y reconocer en una cosa «en cuanto existe realmente» (prout revera existunt), que es «realmente» (a parte reí) «simple» (simplex) y que se encuentra «en un solo y mismo sujeto». Por el contrario, esta simplicidad cartesiana es el producto y resultado de un proceder de simplificación (análisis), proceder que encuentra su límite (que es el que a su vez define la simplicidad) en aquel grado de evidencia que de proseguirse la división simplificadora empezaría a disminuir o se rompería el grado de evidencia máximo obtenido. En relación y a diferencia del «átomos eidos» platónico es acertado denominarlo con Hamelin «átomo de evidencia» (El sistema de Descartes, Losada, Buenos Aires, 1949, p. 96).


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la figura, como el término de la duración o del movimiento, etc., debió ser abstraída de éstas también, y por tanto es compuesto de varias naturalezas totalmente diversas, y a las cuales no se aplica sino equívocamente.

Decimos, en segundo lugar, que aquellas cosas que en relación a nuestro entendimiento son llamadas simples, son o puramente intelectuales, o puramente materiales, o comunes. Puramente intelectuales son las que conoce el entendimiento mediante cierta luz connnatural y sin la ayuda de ninguna imagen corpórea: pues es cierto que existen cosas tales, y que no puede imaginarse ninguna idea corpórea que nos represente qué es el conocimiento, qué la duda, qué la ignorancia, qué la acción de la voluntad que se puede llamar volición, y cosas semejantes; todas las cuales, sin embargo, las conocemos realmente y tan fácilmente que basta para ello que participemos de la razón. Puramente materiales son las que no se conocen sino como existentes en los cuerpos: como son la figura, la extensión, y el movimiento, etc. Finalmente se deben llamar comunes las que se atribuyen indistintamente ya a las cosas corporales, ya a las espirituales, como la existencia, la unidad, la duración, y otras semejantes. A esta clase han de ser referidas también aquellas nociones comunes que son como una especie de vínculos para unir otras naturalezas simples entre sí y en cuya evidencia se apoya cuanto concluimos razonando. Estas, por ejemplo: las cosas iguales a una tercera son iguales entre sí; y también, las cosas que no pueden referirse del mismo modo a una misma tercera, tienen también entre sí algo diverso, etc. Y, en verdad, estas nociones comunes67 pueden ser conocidas o por el

67

Entre las «comunes» (res Mae... communes) distingue Descartes las que propiamente llama «cosas comunes», y en las que cuenta la existencia (ser), unidad y duración (tiempo), y las «nociones comunes» (communes notiones), que rememoran las koinai doxai de Aristóteles (Metafísica, III, 2, 996, b, 28), y las koinai archai (Metafísica, V, I, 1013,


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entendimiento puro o por el mismo entendimiento que ve las imágenes de las cosas materiales.

Por otra parte, entre estas naturalezas simples, es adecuado contar también sus privaciones y negaciones, en cuanto son entendidas por nosotros: porque el conocimiento por el cual intuyo qué es la nada, o el instante, o el reposo, no es menos verdadero que aquél por el que entiendo qué es la existencia, o la duración, o el movimiento. Y este modo de concebir permitirá el que podamos decir después que todas las cosas que conocemos están compuestas de estas naturalezas simples: así, si juzgo que alguna figura no se mueve diré que mi pensamiento está compuesto de algún modo de figura y reposo, y así de lo demás.

Decimos, en tercer lugar, que todas aquellas naturalezas simples son conocidas por sí mismas, y nunca contienen falsedad alguna. Lo que fácilmente se mostrará si distinguimos la facultad del entendimiento que intuye y conoce las cosas, de aquella otra que

a-14). Es muy revelador el que los ejemplos de «nociones comunes» que da Descartes a continuación se refieran al orden y la medida (ordo et mensura), reduciendo, sin mencionarlo, los principios aristotélicos de identidad y de no contradicción, principios del ente. Véase un comentario lúcido y suge-rente en la última obra citada de Marión, pp. 137-138. Sobre las «nociones comunes» de la Regla XII, puede verse H. Gouhier, La pensée metaphysique de Descartes, J. Vrin, París, 1957, páginas 271-276; en las nociones comunes de la Regla XII ve Gouhier «un boceto de los artículos 48 y 49» de los Principios de filosofía. La consideración de la noción común como «una cierta verdad eterna» (artículo 49) es retomada en la Entretien avec Barman en Oeuvres et Lettres, ed. cit., p. 1.385. Sobre esta cuestión y pasaje, puede verse el comentario de J. Cottingham en Descartes' Conversation avec Burman, translated with introduction and com-mentary, Clarendon Press, Oxford, 1976, pp. 102-104.


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juzga afirmando o negando68; pues puede suceder que cosas que conocemos realmente, creamos ignorarlas, a saber, sí sospechamos que en ellas además de aquello mismo que intuimos o que alcanzamos pensando, hay algo distinto oculto para nosotros, y que este pensamiento nuestro es falso. Con este razonamiento es evidente que nos engañamos, si alguna vez juzgamos que no conocemos totalmente alguna de estas naturalezas simples; pues si de ella llegamos a conocer incluso lo mínimo, lo cual es ciertamente necesario, puesto que se supone que juzgamos algo de la misma, por ello mismo se ha de concluir que la conocemos toda entera; pues de otro modo no podría Uamarse simple, sino compuesta de lo que en ella percibimos y de aquello que juzgamos ignorar.

Decimos, en cuarto lugar, que la conjugación de estas cosas simples entre sí es o necesaria o contingente. Es necesaria cuando una de tal modo está implicada en el concepto de otra por alguna razón confusa que no podemos concebir distintamente ni una ni otra, si juzgamos que están separadas entre sí: de este modo está unida la figura a la extensión, el movimiento a la duración o al tiempo, etc., porque no es posible concebir la figura privada de toda extensión, ni el movimiento de toda duración. Así también, si digo: cuatro y tres son siete, esta composición es necesaria, pues no concebimos distintamente lo septenario, a no ser que en él incluyamos, por alguna razón confusa lo ternario y la cuaternario.

68

Este pasaje puede encerrar alguna ambigüedad; en base a ella quizá, F. Alquié opina que el entendimiento y la voluntad no son distinguidos: «La Regla XII atribuye a la vez al entendimiento el poder de apercibir y el de afirmar o negar» (o. c, pp. 72-73). De ser leído así el pasaje, estaría en contra de la tesis mantenida en la cuarta de las Meditaciones metafísicas. Sin embargo, no parece que esta lectura sea necesaria. Distingue aquí Descartes dos facultades, una que intuye y conoce, y que es atribuida al entendimiento, y otra que juzga, sin que atribuya al entendimiento, ni expresamente tampoco a la voluntad.


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Y del mismo modo, cuanto sobre las figuras o sobre los números se demuestra, está necesariamente unido con aquello de lo que se afirma. Y esta necesidad se encuentra no sólo en las cosas sensibles, sino también, por ejemplo, si Sócrates dice que duda de todo, de aquí se sigue necesariamente: luego sabe al menos esto: que duda 69 ; y también: luego conoce que algo puede ser verdadero o falso, etc., pues todo esto está necesariamente ligado a la naturaleza de la duda. Es por el contrario contingente la unión de aquellas cosas que no están unidas por ninguna relación inseparable: como cuando decimos que un cuerpo es animado, que un hombre está vestido, etc. Pero también, a veces, están unidas necesariamente entre sí muchas, que son consideradas entre las contingentes por la mayoría, que no advierten su relación como esta proposición: existo, luego Dios existe70; y también entiendo, luego tengo un alma distinta del cuerpo, etc. Finalmente se debe señalar que muchas proposiciones necesarias, una vez convertidas, son contingentes: así, aunque de que yo exista, concluya con certeza que existe Dios, no sin embargo de que Dios exista, es lícito afirmar que también yo existo.

Decimos, en quinto lugar, que jamás podemos entender nada fuera de esas naturalezas simples y de cierta mezcla o composición de ellas entre sí; y, ciertamente, con frecuencia es

69

Laporte ve en este pasaje una anticipación del «cogito», Le rationalisme de Descartes, P. U. F., París, 1950, p. 18, nota 7. 70

A propósito de las conjunciones de las cosas simples entre sí, y dado que un ejemplo de conjunción necesaria es «existo, luego Dios existe» (sum, ergo Deus est), cabe plantearse si en las Reglas figura en verdad, aunque no se diga expresamente, la idea de Dios como una naturaleza simple; o si la idea de Dios está en el fundamento de todo conocimiento. En este sentido se pronuncia R. Lefévre, La structure du cartésianisme, ed. cit., pp. 101-102. Sobre la admisión de problemas o instancias metafísicas, en las Reglas, y su posible sentido, véase nuestra introducción.


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más fácil considerar a la vez varias unidas entre sí, que separar una sola de las otras: pues, por ejemplo, puedo conocer el triángulo, aunque nunca haya pensado que en este conocimiento está contenido también el conocimiento del ángulo, de la línea, del número tres, de la figura, de la extensión, etc.; lo cual no obsta, sin embargo, para que digamos que la naturaleza del triángulo está compuesta de todas esas naturalezas, y que las mismas son más conocidas que el triángulo, puesto que estas mismas son las que se entienden en él; y en él además acaso están implicadas otras muchas que se nos ocultan, como la magnitud de los ángulos, que son iguales a dos rectos, e innumerables relaciones que hay entre los lados y los ángulos, o la capacidad del área, etc.

Decimos, en sexto lugar, que aquellas naturalezas que llamamos compuestas nos son conocidas, o porque experimentamos lo que son, o porque nosotros mismos las componemos. Experimentamos todo lo que percibimos por los sentidos, todo lo que oímos de otros, y, en general, todo lo que llega a nuestro entendimiento, bien de fuera, bien de la contemplación reflexiva de sí mismo71. En este punto se ha de notar que el entendimiento no puede jamás ser engañado por ninguna experiencia, si únicamente intuye de modo preciso la cosa que le es objeto, en tanto que la tiene o en sí mismo o en la imaginación, y si además no juzga que la imaginación ofrece fielmente los objetos de los sentidos, ni que los sentidos revisten las verdaderas figuras de las cosas; ni finalmente que las cosas exteriores son siempre tales como aparecen; pues en todo esto estamos sujetos a error: como si alguien nos cuenta una fábula y creemos que ha sucedido; como

71

En el Discurso del método encontramos un pasaje que también expresa este carácter reflexivo del conocimiento: «Y al resolverme a no buscar más otra ciencia que la que se podía encontrar en mí mismo o en el gran libro del mundo, empleé el resto de mi juventud en... ponerme a prueba a mí mismo... y en hacer siempre tal reflexión...» (A. T., VI, p. 9).


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si alguien porque padece ictericia juzga que todo es amarillo al tener los ojos teñidos de este color; como si, en fin, estando trastornada la imaginación, como sucede a los melancólicos, juzgamos que sus perturbados fantasmas representan cosas verdaderas. Pero todas estas cosas no engañarán al entendimiento del sabio, puesto que juzgará sin duda que todo lo que recibe de la imaginación verdaderamente está grabado en ella; sin embargo, nunca afirmará que eso mismo ha pasado íntegro y sin mutación alguna de las cosas exteriores a los sentidos, y de éstos a la imaginación, a no ser que antes haya conocido esto mismo por alguna otra razón. Pues, componemos nosotros mismos las cosas que entendemos, cada vez que creemos que en ellas se encuentra algo que nuestra mente en ninguna experiencia ha percibido inmediatamente: así, si el ictérico se persuade de que las cosas que ve son amarillas, éste su pensamiento estará compuesto de aquello que su imaginación le representa y de lo que toma de sí, a saber, que aparece el color amarillo, no por defecto de la vista, sino porque las cosas vistas son realmente amarillas. De donde se concluye que nosotros sólo podemos engañarnos en cuanto que nosotros mismos componemos de algún modo las cosas que creemos.

Decimos en séptimo lugar, que esta composición puede hacerse de tres modos, a saber: por impulso, por conjetura o por deducción. Componen por impulso sus' juicios acerca de las cosas aquellos que por su natural son llevados a creer algo, no persuadidos por ninguna razón, sino sólo determinados o por alguna potencia superior72, o por la propia libertad, o por una disposición de su fantasía: la primera nunca engaña, la segunda rara vez, la tercera casi siempre; pero la primera no pertenece a

72

Se refiere Descartes a la fe y a cuanto ha sido revelado por Dios, como se señaló en la Regla III, p. 370. Al señalar que «no cae bajo el arte», se resalta el carácter autónomo del método y del nuevo saber.


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este lugar, porque no cae bajo el arte. Se hace por conjetura, si, por ejemplo, del hecho de que el agua, más alejada del centro que la tierra, es también de una sustancia más sutil, así como de que el aire, que está por encima del agua, es también más ligero que ella, conjeturamos que sobre el aire no hay nada más que algo etéreo purísimo mucho más sutil que el aire mismo, etcétera. Pero lo que por esta razón componemos, ciertamente no nos lleva a error, si juzgamos que sólo es probable y nunca afirmamos que es verdadero, pero tampoco nos hace más sabios73.

Sólo nos queda, pues, la deducción, para que por medio de ella podamos componer las cosas de tal modo que estemos ciertos de su verdad; aunque también puede haber en ella muchos defectos: como, si de que en este espacio lleno de aire no percibimos nada ni con la vista ni con el tacto ni con ningún otro sentido, concluimos que está vacío, uniendo indebidamente la naturaleza del vacío con la de este espacio; y lo mismo sucede siempre que de lo particular y contingente juzgamos poder deducirse algo general y necesario. Pero está en nuestro poder evitar este error, a saber, si no unimos nunca entre sí ninguna cosa, a no ser que intuyamos que la unión de una con otra es absolutamente necesaria: como si del hecho de que la figura tenga una unión necesaria con la extensión, deducimos que no puede tener una figura lo que no sea extenso, etcétera.

De todo esto resulta, en primer lugar, que hemos expuesto con distinción, y según creo, mediante una enumeración suficiente lo que al principio pudimos mostrar tan sólo confusamente y con un arte rudo, a saber que ningún camino se abre a los hombres para el conocimiento cierto de la verdad aparte de la intuición evidente y de la deducción necesaria; y también qué son aquellas

73

Seguimos el texto de H, leyendo pues no (non), en lugar de nosotros (nos) que propone A. T. El contexto así lo aconseja claramente, siendo además seguido por la mayoría de los editores.


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naturalezas simples de las que se trató en la proposición octava. Y es claro que la intuición de la mente se aplica a todas esas naturalezas simples, a conocer sus necesarias conexiones y, finalmente a todo lo demás que el entendimiento experimenta con precisión o en sí mismo o en la fantasía. De la deducción se dirán más cosas en lo que sigue.

Resulta, en segundo lugar, que no hay que emplear ningún esfuerzo en conocer estas naturalezas simples, puesto que son suficientemente conocidas por sí mismas, sino tan sólo en separarlas unas de otras y en intuirlas con la agudeza de la mirada de la mente cada una por separado. Pues nadie tiene un espíritu tan obtuso que no perciba que él, mientras está sentado, de algún modo se diferencia de sí mismo en cuanto permanece de pie; pero no todos separan con igual distinción la naturaleza de la posición de todo lo demás que está contenido en aquel pensamiento, ni pueden afirmar que nada cambia entonces fuera de la posición. Y esto no lo advertimos aquí inútilmente, pues con frecuencia los hombres de letras suelen ser tan sutiles, que encuentran el modo de cegarse incluso en aquellas cosas que son evidentes por sí mismas y que nunca ignoran los indoctos; esto les sucede siempre que intentan exponer esas cosas conocidas por sí mismas por medio de algo más evidente: pues o explican otra cosa o no explican nada; en efecto, ¿quién no percibe todo aquello, cualquiera que ello sea, en que cambiamos cuando mudamos de lugar, y quién hay que entendiera la misma cosa cuando se le dice que el lugar es la superficie del cuerpo circundante?74 puesto que esta superficie puede cambiar, sin moverme yo y sin cambiar de lugar; o por el contrarío, puede moverse conmigo de tal manera que aunque ella misma me rodee no esté yo, sin embargo, ya en el mismo lugar. Pero en verdad, ¿acaso no parece que pronuncian

74

Referencia a la Física de Aristóteles (IV, 4, 212 a, 20-21), donde se define el lugar


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palabras mágicas que tienen una virtud oculta y por encima del alcance del espíritu humano, aquellos que dicen que el movimiento, cosa conocidísima para cualquiera, es el acto de un ente en potencia en cuanto está en potencia?75 Pues, ¿quién entiende estas palabras? ¿Quién no reconocerá que aquellos han buscado un nudo en el junco? Así pues, se ha de decir que nunca se han de explicar las cosas con definiciones de esta clase, no sea que tomemos las cosas compuestas en lugar de las simples; sino sólo que, separadas de todas las demás, deben ser intuidas atentamente por cada uno y según la luz de su espíritu.

Resulta, en tercer lugar, que toda la ciencia humana consiste en esto sólo: que veamos distintamente cómo esas naturalezas simples concurren a la composición de otras cosas. Lo cual es muy útil de señalar, pues siempre que se propone alguna dificultad para examinarla, casi todos se detienen en el umbral, no sabiendo a qué pensamientos deban entregar la mente, y pensando que han de buscar algún nuevo género de ente, desconocido antes para ellos: así, si se pregunta cuál es la naturaleza del imán, ellos al instante, porque presienten que la cuestión es ardua y difícil, apartando el espíritu de todo lo que es evidente, lo dirigen a lo más difícil, y esperan inciertos si por causalidad, errando por el espacio vacío de las numerosas causas, se encontrará algo nuevo. Pero el que piensa que nada puede conocerse en el imán, que no conste de algunas naturalezas simples y conocidas por sí mismas, no dudando lo que ha de hacer, en primer lugar reúne diligentemente todas las experiencias que puede tener sobre esta piedra, de las que después intenta deducir cuál es la mezcla de naturalezas simples necesaria para producir todos aquellos efectos que ha experimentado en el imán; y una vez hallada, puede afirmar resueltamente que ha comprendido la verdadera

75

Referencia a la Física de Aristóteles (III, 1, 201 a, 10-11) donde se define el movimiento:


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naturaleza del imán, en la medida en que puede ser encontrada por el hombre y según las experiencias dadas.

Finalmente, en cuarto lugar, resulta de lo dicho que ningún conocimiento de las cosas debe considerarse más oscuro que otro, pues que todos son de la misma naturaleza y consisten en la sola composición de cosas conocidas por sí mismas. De lo cual casi nadie se da cuenta, sino que prevenidos por la opinión contraria, los más osados, sin duda, se permiten afirmar sus conjeturas como demostraciones verdaderas, y en cosas que ignoran por completo adivinan ver como a través de una niebla verdades a menudo oscuras; y no temen proponerlas, ligando sus conceptos a ciertas palabras, con cuyo auxilio suelen razonar muchas cosas y hablar con coherencia, pero que en realidad ni ellos mismos ni los que los oyen entienden. Los más modestos, por el contrario, se abstienen con frecuencia de examinar muchas cosas, aunque fáciles y sobre todo necesarias para la vida, tan sólo porque se creen incapaces para ellas; y puesto que estiman que pueden ser comprendidas por otros dotados de mayor ingenio abrazan las opiniones de aquellos en cuya autoridad más confían.

Decimos, en octavo lugar76, que sólo pueden deducirse o las cosas de las palabras, o la causa del efecto, o el efecto de la causa, o lo semejante de lo semejante, o las partes o el todo mismo de las partes...

Por lo demás, para que a nadie se le oculte acaso la concatenación de nuestros preceptos, dividimos todo lo que puede conocerse en proposiciones simples y cuestiones. En cuanto a las proposiciones simples no damos otros preceptos que las que preparan la

76

Leemos «en octavo lugar», siguiendo a Crapulli y Marión, y no «quinto lugar», como hace A. T., rompiendo así su engarce con el texto iniciado en «De todo esto resulta, en primer lugar...» (p. 425), y prosiguiendo el «decimos en séptimo lugar...» (p. 424).


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facultad de conocer a intuir con más distinción y a indagar con más sagacidad cualquier clase de objetos, puesto que esas proposiciones deben presentarse espontáneamente, y no pueden ser buscadas; esto lo hemos abarcado en las doce primeras reglas, en las que estimamos haber expuesto todo lo que juzgamos puede hacer más fácil, de algún modo, el uso de la razón. De las cuestiones, en cambio, unas se entienden perfectamente, aunque se ignore su solución; de ellas trataremos únicamente en las doce reglas que siguen inmediatamente; otras, en fin, no se entienden perfectamente, a las que reservaremos para las últimas doce reglas. División que hemos inventado con un propósito, tanto para que no estemos obligados a decir nada que presuponga el conocimiento de lo que sigue, como para que enseñemos primero aquello, a lo que creemos hay que dedicarse en primer lugar para cultivar el espíritu. Se ha de señalar que entre las cuestiones que se entienden perfectamente, establecemos sólo aquellas en las que percibimos distintamente tres cosas, a saber: en qué signos puede reconocerse lo que se busca, cuando se presente; qué es precisamente aquello de lo cual debemos deducirlo; y cómo se ha de probar que esas cosas de tal modo dependen una de otra que no se pueda por ninguna razón cambiar una sin que cambie la otra. De suerte que tengamos todas las premisas, y no quede por enseñar más que la manera de encontrar la conclusión, no ciertamente deduciendo de una cosa simpie una sola cosa (pues ya se ha dicho que esto puede hacerse sin preceptos), sino desenvolviendo con tanto arte una sola cosa que depende de muchas otras implicadas juntamente, que en ningún caso se requiera mayor capacidad de espíritu que para hacer la más simple inferencia. Tales cuestiones, puesto que son abstractas en su mayor parte, y casi sólo se presentan en aritmética y geometría, parecerán poco útiles a los no versados en ellas; advierto, sin embargo, que deben ocuparse y ejercitarse largo tiempo en aprender este arte aquellos que deseen poseer perfectamente la


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parte siguiente del método en la que tratamos de todas las demás cuestiones.

Regla XIII

Si entendemos perfectamente una cuestión, debemos abstraería de todo concepto superfino, reducirla a la mayor simplicidad y dividárla en las partes más pequeñas que se pueda enumerándolas.

Imitamos a los Dialécticos en esto solo, en que así como ellos, para enseñar las formas de los silogismos, suponen conocidos sus términos o materia, así también nosotros exigimos aquí que la cuestión sea perfectamente entendida. Sin embargo, no distinguimos, como ellos, dos extremos y el medio, sino que consideramos la cosa en su totalidad del siguiente modo: primeramente es necesario que en toda cuestión haya algo desconocido, pues de lo contrario se buscaría en vano; en segundo lugar, eso mismo debe ser designado de alguna manera, pues de lo contrario no estaríamos determinados a investigar eso más bien que otra cosa cualquiera; en tercer lugar, no puede ser designado sino por medio de algo que sea conocido. Todo esto se encuentra también en las cuestiones imperfectas: así, si se busca cuál es la naturaleza del imán, lo que entendemos ser significado por estos dos términos, imán y naturaleza, es conocido y ello nos determina a buscar esto más bien que otra cosa, etc. Pero además, para que la cuestión sea perfecta, queremos que esté determinada por completo, de modo que no se busque nada más que lo que puede deducirse de los datos: así, si alguno me pregunta qué debe inferirse de un modo preciso acerca de la naturaleza del imán a partir de los experimentos, que Gilbert77 afirma haber hecho, ya

77

Mención a la obra de Gilbert, publicada en 1600 De magnete magneticisque corporibus et de magno magnete Tellure Physiologia nova, y que «constituye uno de los más antiguos testimonios del método


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sean verdaderos o falsos; lo mismo si me pregunta qué pienso de la naturaleza del sonido tan sólo a partir de esto, que tres cuerdas78, A, B, C, den igual sonido, entre las cuales, por hipótesis, B es dos veces más gruesa que A, pero no más larga y está tensada por un peso dos veces mayor; por el contrario, la cuerda C no es más gruesa que A, sino sólo dos veces más larga, y está tensada, sin embargo, por un peso cuatro veces mayor, etc. De donde fácilmente se comprende cómo todas las cuestiones imperfectas pueden reducirse a perfectas, como se expondrá más ampliamente en su lugar79; y se pone de manifiesto también de qué modo esta regla puede ser observada para abstraer de todo concepto superfluo la dificultad bien comprendida, y reducirla a tal punto que no pensemos ya que nos ocupamos de este o aquel objeto, sino en general tan sólo en comparar ciertas magnitudes entre sí, pues, por ejemplo, después que estamos determinados a considerar sólo estos o aquellos experimentos acerca del imán, no queda ninguna dificultad en apartar nuestro pensamiento de todas las demás.

Se añade además que la dificultad debe ser reducida a la mayor simplicidad, conforme a las reglas quinta y sexta, y dividida, conforme a la regla séptima: así, si examino el imán a partir de varios experimentos, recorreré separadamente uno después de otro; lo mismo, si examino el sonido, como se ha dicho, compararé separadamente entre sí las cuerdas A y B, después A y C, etcétera, a fin de abarcar después todas a la vez por una enumeración

inductivo moderno» (Cassirer, El problema del conocimiento en la filosofía y en la ciencia modernas, Ed. cit., vol. I. pág. 327). 78

Sobre este tema, véase el trabajo de P. Costabel, Les lois des cordes vibrantes, en «Problémes scientifiques dans las Regulae», recogido en su libro Demarches originales de Descartes savant, ed. cit. 79

Una cuestión que habría de ser tratada en el libro III de las Reglas, libro que, como ya se indicó, falta.


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suficiente. Y respecto de los términos de cualquier proposición se presentan tan sólo estas tres cosas, como dignas de ser observadas por el entendimiento puro, antes de que lleguemos a su solución definitiva, si es que necesita usar de las once reglas siguientes; en la tercera parte de este tratado se mostrará más claramente cómo debe hacerse. Por otra parte, entendemos por cuestiones todo aquello en lo que se encuentra lo verdadero y lo falso, cuyos diferentes géneros han de ser enumerados a fin de determinar qué podemos prometer respecto a cada uno.

Ya hemos dicho80 que en la sola intuición de las cosas ya simples o compuestas, no puede haber falsedad; ni tampoco en este sentido se llaman cuestiones, sino que adquieren este nombre tan pronto como decidimos emitir un juicio determinado sobre ellas. Y tampoco contamos sólo entre las cuestiones las preguntas que hacen otros; pero acerca de la misma ignorancia, o mejor, acerca de la duda de Sócrates, ya hubo una cuestión, cuando volviéndose Sócrates por primera vez hacia ella empezó a preguntar si era verdad que él dudaba de todo, y aseguró que sí.

Pero buscamos o las cosas a partir de las palabras, o las causas a partir de los efectos, o los efectos desde las causas, o a partir de las partes el todo u otras partes, o en fin muchas cosas a la vez a partir de todas estas.

Decimos que se buscan las cosas a partir de las palabras, cuantas veces la dificultad radica en la oscuridad del discurso; y a esto se refieren no sólo todos los enigmas, como el de la Esfinge acerca del animal, que al principio era cuadrúpedo, después bípedo, y sin embargo al final tenía tres pies; y lo mismo el de los pescadores que, de pie en la orilla, provistos de cañas y anzuelos para coger peces, decían que no tenían ya aquellos que habían cogido, pero que por el contrario tenían los que todavía no habían podido

80

En la Regla XII (p. 420).


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coger, etc.; pero además en la mayor parte de aquello de que disputan los letrados, casi siempre la cuestión es una cuestión de palabras. Y no es necesario tener tan mala opinión de los grandes ingenios, que pensemos que conciben mal las cosas, siempre que no las explican con palabras suficientemente apropiadas: por ejemplo, cuando llaman lugar a la superficie del cuerpo circundante, no conciben en realidad ninguna cosa falsa, sino que tan sólo abusan de la palabra lugar, que en su uso común significa aquella naturaleza simple y conocida por sí misma, en razón de la cual se dice que algo está aquí o allí; que consiste enteramente en cierta relación de la cosa, que se dice estar en el lugar, a las partes del espacio externo, y a la que algunos, viendo que el nombre de lugar es tomado por la superficie circundante, llamaron impropiamente donde intrínseco, y así de lo demás. Y estas cuestiones sobre palabras se presentan tan frecuentemente que si hubiese siempre entre los Filósofos un acuerdo acerca de la significación de las palabras, desaparecerían casi todas sus controversias.

Se buscan las causas a partir de los efectos siempre que indagamos de alguna cosa si existe o qué es...

Por lo demás, como cuando se nos propone alguna cuestión a resolver, frecuentemente no advertimos en un primer momento de qué género es ni si se han de buscar las cosas a partir de las palabras o las causas a partir de los efectos, etc.: por eso me parece superfluo decir más cosas en particular sobre todo ello. Pues será más breve y más útil si al mismo tiempo buscamos con orden todo lo que es preciso hacer para la solución de una dificultad cualquiera. Por lo tanto, dada una cuestión cualquiera, es preciso esforzarse ante todo por comprender distintamente lo que se busca.

Pues frecuentemente algunos de tal modo se apresuran en investigar los problemas, que aplican a su solución un espíritu


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ligero, antes de haber considerado en qué signos reconocerán la cosa buscada, si acaso se presenta: son tan ineptos como un criado que, enviado a algún sitio por su amo, fuese tan solícito por obedecerle, que se apresurase a correr sin haber recibido aún las' órdenes y no sabiendo adonde se le mandaba ir.

Por el contrario, en toda cuestión, aunque debe haber algo desconocido, pues de otro modo se indagaría en vano, sin embargo es preciso que esto desconocido de tal modo esté designado por condiciones precisas, que estemos totalmente determinados a investigar una cosa más bien que otra. Y éstas son las condiciones, cuyo examen hemos dicho que es necesario emprender desde el principio: lo cual se conseguirá si dirigimos la mirada de la mente para intuir distintamente cada cosa, indagando diligentemente hasta qué punto lo desconocido que buscamos está circunscrito por cada una de ellas; pues de dos maneras suele equivocar en esto el espíritu humano, a saber, o tomando algo más de lo que es dado para determinar una cuestión, o por el contrario omitiendo algo.

Hay que guardarse de suponer más cosas y más precisas que las que han sido dadas: principalmente en los enigmas y en otros problemas artificialmente inventados para confundir el espíritu, pero a veces también en otras cuestiones, cuando para resolverlas parece suponerse como cierto algo, de lo que no nos ha persuadido ninguna razón cierta, sino una opinión inveterada. Por ejemplo, en el enigma de la Esfinge, no hay que creer que la palabra pie significa tan sólo los verdaderos pies de los animales, sino que es preciso ver también si se puede aplicar a otras cosas, como sucede sin duda respecto de las manos del niño y del bastón de los ancianos, porque unos y otros se sirven de estas cosas como de pies para andar. Igualmente, en el enigma de los pescadores, hay que guardarse de que el pensamiento de los peces no ocupe de tal modo nuestra mente, que la aparte del pensamiento de


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aquellos animales, que los pobres a menudo llevan encima consigo sin quererlo y que arrojan cuando los cogen. Lo mismo si se busca cómo ha sido construido un vaso como el que vimos en una ocasión, en medio del cual se alzaba una columna, sobre la que estaba puesta una estatua de Tántalo81 como impaciente por beber; en este vaso el agua echada se contenía perfectísimamente, mientras que no fuese lo suficientemente alta para penetrar en la boca de Tántalo; pero tan pronto como llegaba a los infelices labios, al instante desaparecía toda: a primera vista parece ciertamente que todo el artificio estaba en la construcción de la estatua de Tántalo, la cual sin embargo en realidad de ningún modo determina la cuestión, sino que tan sólo la acompaña: pues toda la dificultad consiste en esto solo, que busquemos cómo hubo de ser construido el vaso para que toda el agua se escape de él tan pronto como alcance una determinada altura y en modo alguno antes. Lo mismo, en fin, si a partir de todas las observaciones que tenemos acerca de los astros se busca qué podemos afirmar sobre sus movimientos, no se ha de admitir sin razón que la tierra está inmóvil y situada en el centro del universo, como hicieron los Antiguos, porque así nos ha parecido desde la infancia, sino que examinemos después qué es lícito tener como cierto sobre este asunto. Y así de lo demás.

Pecamos, al contrario, por omisión, siempre que no reflexionamos en alguna condición requerida para la determinación de la cuestión, ya esté expresada en la cuestión misma, ya haya que entenderla de algún modo: así, si se busca el movimiento perpetuo, no el natural como el de los astros o de las fuentes, sino

81

En esta referencia de Descartes a la estatua de Tántalo, ve F. Alquié la ilustración del esquema mecánico que regía entonces el pensamiento cartesiano, su exigencia de seguridad o aseguramiento técnico que produce la creencia en una naturaleza mecanizada, un mundo, pues, en que no cabe el engaño. Véase O. c, pp. 65-66.


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el producido por la industria humana, y alguno piensa (como creyeron algunos que podía hacerse, estimando que la tierra se mueve perpetuamente con movimiento circular alrededor de su eje y que el imán retiene todas las propiedades de la tierra) que él encontrará el movimiento perpetuo, si él ha dispuesto esta piedra de tal modo que se mueva en círculo, o que comunique al hierro su movimiento con sus otras propiedades; aunque sucediese esto, sin embargo no produciría por arte el movimiento perpetuo, sino que tan sólo se serviría del movimiento natural, no de otro modo que si colocase en la corriente de un río una rueda de modo que se moviera siempre; omitiría entonces la condición requerida para la determinación de la cuestión, etcétera.

Una vez entendida suficientemente la cuestión, se ha de ver precisamente en qué consiste su dificultad, para que separada de todo lo demás, se resuelva más fácilmente.

No siempre basta entender la cuestión para conocer en qué reside su dificultad; sino que además es preciso reflexionar en cada una de las cosas que se busca en ella, a fin de que si algunas se nos presentan fáciles de encontrar, las pasemos por alto, y apartadas de la proposición, tan sólo quede aquello que ignoramos. Así, en la cuestión aquella del vaso, descrito poco antes, sin duda advertimos fácilmente cómo debe hacerse el vaso: la columna ha de ser colocada en su centro, el ave pintada, etc.; rechazado todo esto como no afectando a la cuestión, la dificultad desnuda reside en lo siguiente, a saber, que el agua contenida antes en el vaso se escapa en su totalidad en cuanto llega a determinada altura; cómo sucede esto, es lo que hay que buscar.

Así pues, aquí decimos que la única cosa importante es recorrer con orden todo lo que está dado en una proposición, rechazando aquello que vemos claramente no afecta a la cuestión, reteniendo lo necesario, y remitiendo lo dudoso a un examen más atento.


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Regla XIV

Esta regla debe ser aplicada a la extensión real de los cuerpos, y proponerse toda ella a la imaginación mediante puras figuras: pues así será percibida por el entendimiento mucho más distintamente.

Mas para servirnos también de la ayuda de la imaginación, se ha de señalar que cada vez que se deduce algo desconocido de algo ya anteriormente conocido, no por eso se encuentra algún nuevo género de ser, sino que tan sólo se extiende todo este conocimiento hasta el punto que percibimos que la cosa buscada participa de un modo o de otro de la naturaleza de las cosas que están dadas en la proposición. Por ejemplo, si alguien es ciego de nacimiento, no se ha de esperar que consigamos jamás con ningún argumento que perciba las verdaderas ideas de los colores, tales como nosotros las hemos obtenido por los sentidos; pero si alguien ha visto alguna vez los colores fundamentales, mas nunca los intermedios y mixtos, puede hacerse que se represente también las imágenes de aquellos que no ha visto por medio de una especie de deducción, según su semejanza con los otros. Del mismo modo, si en el imán hay algún género de ser, semejante al cual nuestro entendimiento no ha percibido ninguno hasta ahora no se ha de esperar que lo llegaremos a conocer alguna vez por razonamiento, pues sería preciso estar dotados de algún nuevo sentido, o de una mente divina; todo lo que en este asunto puede dar el espíritu humano, creemos haberlo conseguido, si percibimos muy distintamente aquella mezcla de seres o naturalezas ya conocidas que produce los mismos efectos que aparecen en el imán.

Y en verdad, todos estos seres ya conocidos, como son la extensión, la figura, el movimiento y cosas semejantes, cuya


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enumeración no es de este lugar82, son conocidos en diversos objetos mediante una misma idea, y no imaginamos de un modo distinto la figura de una corona si es de plata que si es de oro; y esta idea común no se transfiere de un objeto a otro más que mediante una simple comparación, por medio de la cual afirmamos que lo buscado es según este o aquel respecto semejante, o idéntico, o igual a algo dado: de modo que en todo razonamiento sólo por comparación conoceremos con precisión la verdad. Por ejemplo, en esto: todo A es B, todo B es C, luego todo A es C; se comparan entre sí lo buscado y lo dado, a saber A y C, según que uno y otro es B, etc. Pero ya que, como varias veces hemos advertido, las formas de los silogismos no ayudan en nada a percibir la verdad de las cosas, será útil al lector el que, una vez rechazadas totalmente aquéllas, comprenda que absolutamente todo conocimiento que no se obtiene por medio de la intuición simple y pura de un objeto aislado, se adquiere por la comparación de dos o más objetos entre sí. Y en verdad casi toda la industria de la razón consiste en preparar esta operación; pues cuando es clara y simple, no hay necesidad de ninguna ayuda del arte, sino de la luz natural sola para intuir la verdad que se obtiene por ella.

Se debe señalar que las comparaciones sólo se llaman simples y claras cuando lo buscado y lo dado participan igualmente de cierta naturaleza; y que las demás comparaciones no necesitan preparación por ninguna otra causa que porque aquella naturaleza común no está de una manera igual en las dos, sino según otros ciertos respectos y proporciones en que está envuelta; y que la parte principal de la industria humana no consiste sino en reducir

82

Ya en la Regla XII (p. 419) se vio también la relación de «figura, extensión y movimiento» como naturalezas simples puramente materiales.


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estas proporciones, de modo que se vea claramente la igualdad entre lo buscado y algo que sea conocido.

Se ha de señalar después que a esta igualdad no puede reducirse sino lo que admite un más y un menos, y que todo ello es abarcado por el nombre de magnitud: de manera que, después que conforme a la regla precedente los términos de la dificultad han sido abstraídos de todo objeto, entendemos que aquí en lo sucesivo tan sólo nos ocupamos acerca de las magnitudes en general.

Pero a fin de que imaginemos también entonces algo, y nos sirvamos no del entendimiento puro, sino del entendimiento ayudado por las imágenes pintadas en la fantasía, hay que señalar finalmente que nada se dice de las magnitudes en general que no pueda referirse también a cualquiera en particular.

De lo cual se concluye fácilmente que no será de poco provecho si transferimos aquellas cosas que entendemos se dicen de las magnitudes en general a aquella especie de magnitud que se pinte en nuestra imaginación más fácil y distintamente que las demás: ahora bien, que ésta es la extensión real de los cuerpos abstraída de todo, excepto de que tiene figura, se sigue de lo dicho en la regla doce, donde comprendimos que la fantasía misma con las ideas existentes en ella no es más que un verdadero cuerpo real extenso y figurado. Lo cual es también evidente por sí mismo, puesto que en ningún otro sujeto se muestran más distintamente todas las diferencias de las proporciones; pues aunque una cosa pueda llamarse más o menos blanca que otra, y lo mismo un sonido más o menos agudo, y así de lo demás, no podemos determinar, sin embargo, exactamente si tal exceso consiste en una proporción doble o triple, etc., a no ser mediante cierta analogía con la extensión del cuerpo figurado. Quede, pues, ratificado y fijo que las cuestiones perfectamente determinadas apenas contienen dificultad alguna, aparte de aquella que consiste


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en llevar las proporciones a igualdades; y que todo aquello en que se encuentra tal dificultad, fácilmente puede y debe ser separado de todo otro objeto, y después ser transferido a la extensión y a las figuras, de las cuales solamente, por lo tanto, trataremos desde ahora hasta la regla vigésimoquinta, renunciando a todo otro pensamiento.

Desearíamos encontrar aquí un lector inclinado a los estudios de la Aritmética y de la Geometría, aunque preferiría que aún no esté versado en ellas a que esté instruido según la manera común: en efecto, el uso de las reglas que daré aquí para aprender estas ciencias para lo cual basta plenamente, es mucho más fácil que para cualquier otro género de cuestiones; y su utilidad para conseguir una sabiduría más elevada es tan grande, que no temería decir que esta parte de nuestro método no ha sido inventada por razón de problemas matemáticos, sino más bien que éstos deben ser aprendidos casi sólo para cultivar este método83. Y no supondré nada de estas disciplinas a no ser algo conocido por sí mismo y obvio para cada uno; pero el conocimiento de ellas, tal como suelen tenerlo otros, aunque, no está alterado por algún error manifiesto, sin embargo está oscurecido por un gran número de principios equívocos y mal concebidos, que en diversas partes trataremos de corregir en lo que sigue.

Entendemos por extensión todo aquello que tiene longitud, latitud y profundidad, sin indagar si es un cuerpo verdadero o sólo espacio; y no parece necesitar mayor explicación, puesto que nada en absoluto es percibido más fácilmente por nuestra imaginación. Pero como los letrados se sirven con frecuencia de distinciones tan sutiles que disipan la luz natural y encuentran tinieblas incluso en

83

Está aquí en juego, o implícitamente considerada la distinción llevada a cabo en la Regla IV (pp. 373-374), entre la «matemática corriente» y la «Mathesis universalis».


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aquello que los incultos nunca ignoran, hay que advertirles que aquí por extensión no se designa algo distinto y separado de su sujeto mismo, y que en general no conocemos entidades filosóficas 84 de esta clase, que realmente no caen bajo la imaginación. Pues aunque alguno pueda convencerse, por ejemplo, de que si se redujese a la nada lo que es extenso en la naturaleza, ello no obstaría a que la extensión misma exista por sí sola, sin embargo, para concebir esto no se servirá de una idea corpórea, sino del solo entendimiento que juzga mal. Lo cual él mismo reconocerá si reflexiona atentamente en la imagen misma de la extensión, que entonces se esforzará en fingir en su fantasía: pues advertirá que no la percibe privada de todo sujeto, sino que la imagina totalmente de otro modo a como la juzga; de modo que aquellas entidades abstractas (cualquiera que sea lo que piense el entendimiento acerca de la verdad de la cosa) jamás se forman en la fantasía separadas de sus sujetos.

Pero como en lo sucesivo no haremos nada sin el auxilio de la imaginación, merece la pena distinguir con cautela, por medio de qué ideas cada una de las significaciones de las palabras ha de ser propuesta a nuestro entendimiento. Por lo cual proponemos considerar estas tres formas de hablar: la extensión ocupa lugar, el cuerpo tiene extensión, y la extensión no es el cuerpo.

La primera de ellas muestra cómo la extensión se toma por lo que es extenso; pues exactamente concibo, lo mismo si digo: la extensión ocupa lugar que si digo lo extenso ocupa lugar. Y, sin embargo, no por eso es mejor, a fin de evitar la ambigüedad, usar el término extenso, pues no significaría tan distintamente aquello que concebimos, a saber, que un objeto ocupa lugar, porque es

84

En la Regla XII ya se hizo mención a la necesidad de no «imaginar... ningún nuevo ser» (p. 413 y nuestra nota correspondiente). Aquí, el principio de economía se ve profundizado y explicado desde la exigencia metodológica de reducir lo desconocido a lo conocido.


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extenso; y alguien podría solamente interpretar que lo extenso es el objeto que ocupa lugar, no de otro modo que si dijera: lo animado ocupa lugar. Esta razón explica por qué hemos dicho que trataríamos aquí más bien de la extensión que de lo extenso, aunque pensamos que la extensión no se ha de concebir de otro modo que lo extenso. Pasemos ahora a estas palabras: el cuerpo tiene extensión, donde entendemos que extensión significa otra cosa que cuerpo; no formamos, sin embargo, dos ideas distintas en nuestra fantasía, una de cuerpo y otra de extensión, sino una tan sólo, la de cuerpo extenso; y esto no es distinto de parte de la cosa, que si dijera: el cuerpo es extenso, o más bien: lo extenso es extenso. Lo cual es peculiar a aquellos entes que no existen sino en otro y que nunca pueden concebirse sin un sujeto85; de otro modo acontece en aquellos que se distinguen realmente, de sus sujetos: pues si dijera, por ejemplo, Pedro tiene riquezas, la idea de Pedro es totalmente diferente de la de riquezas; y lo mismo si dijera Pablo es rico, imaginaría algo absolutamente distinto que sí dijera: el rico es rico. La mayoría, no distinguiendo esta diferencia, opinan falsamente que la extensión contiene algo distinto de aquello que es extenso; del mismo modo que las riquezas de Pablo son algo distinto de Pablo.

Finalmente, si se dice: la extensión no es el cuerpo, entonces el vocablo extensión se toma de muy distinto modo que anteriormente; y en esta significación no le corresponde ninguna idea peculiar en la fantasía, sino que toda esta enunciación se lleva a cabo por el entendimiento puro, que es el único que tiene la facultad de separar entes abstractos de esta clase. Lo cual es ocasión de error para muchos, que no advirtiendo que la extensión así considerada no puede ser comprendida por la imaginación, se la representan por una verdadera idea; y como

85

Referencia a la definición aristotélica del accidente en Categorías 2, 1, a 23-25.


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esta idea envuelve necesariamente el concepto de cuerpo, se enredan imprudentemente en que lo mismo es a la vez cuerpo y no cuerpo. Y es de gran importancia distinguir los enunciados en los que nombres tales como extensión, figura, número, superficie, línea, punto, unidad, etc., tienen una significación tan estricta, que excluyen algo de lo que en realidad no son distintos, como cuando se dice: la extensión, o la figura no es el cuerpo; el número no es la cosa numerada; la superficie es el límite del cuerpo; la línea el de la superficie; el punto el de la línea; la unidad no es la cantidad, etc. Todas éstas y las proposiciones semejantes han de ser totalmente apartadas de la imaginación para que sean verdaderas; por lo cual no vamos a tratar de ellas en lo que sigue.

Se ha de señalar cuidadosamente que en todas las otras proposiciones, en que estos nombres, aunque mantengan la misma significación y sean dichas del mismo modo separadas de sus sujetos, no excluyen, sin embargo, o niegan nada de lo que no se distingan realmente, podemos y debemos servirnos de la ayuda de la imaginación: porque entonces, aunque el entendimiento atienda precisamente sólo a aquello que se designa con la palabra, la imaginación no obstante debe formar la verdadera idea de la cosa, a fin de que el mismo entendimiento pueda dirigirse, si alguna vez lo exige el uso, a sus otras condiciones no expresadas por el vocablo, y para que nunca juzgue imprudentemente que ellas han sido excluidas. Así, si la cuestión es acerca del número, imaginemos un objeto que pueda ser medido por muchas unidades; aunque el entendimiento en esta ocasión reflexione sólo en esta multitud, nos cuidaremos, sin embargo, de concluir de aquí algo en lo que se suponga que la cosa numerada ha sido excluida de nuestro concepto, como hacen aquellos que atribuyen a los números maravillosas propiedades secretas y meras tonterías, a las que sin duda no darían tanto crédito si no concibieran el número como algo distinto de las cosas


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numeradas86. Lo mismo, si tratamos de la figura, pensemos que tratamos de un sujeto extenso, concebido sólo bajo este aspecto: que es figurado; si tratamos del cuerpo, pensemos que tratamos del mismo como largo, ancho y profundo; si de la superficie, concibamos lo mismo como largo y ancho, no tomando en consideración la profundidad aunque sin negarla; si de la línea, tan sólo como largo; si del punto, concibamos lo mismo, no tomando en consideración ninguna otra cosa, excepto que es ente.

Aunque yo haga aquí una exposición detallada de todas estas cosas, los espíritus de los mortales se hallan tan llenos de prejuicios que aún remo que gran número de ellos no se encuentren a cubierto de todos los peligros de equivocarse y que van a encontrar demasiado corta la explicación de mi pensamiento en un discurso tan largo; pues incluso las mismas artes de la Aritmética y la Geometría, aun cuando son las más ciertas de todas, sin embargo aquí nos engañan: pues, ¿qué calculista no piensa que sus números están no sólo abstraídos por el entendimiento de todo sujeto, sino que es preciso también distinguirlos verdaderamente por la imaginación? ¿Qué geómetra, en contradicción con sus principios no confunde la evidencia de su objeto cuando piensa que las líneas carecen de anchura y las superficies de profundidad, v a pesar de ello, luego forja unas de otras, sin advertir que la línea de cuya prolongación entiende que se forma la superficie, es un verdadero cuerpo; y, que, sin embargo, aquélla, que carece de anchura, no es sino una medida del cuerpo, etc.? Mas, para no detenernos por más tiempo en el recuento de estas cosas, será más breve exponer de qué manera suponemos que debe ser concebido nuestro objeto, a fin de

86

Mención del pasaje de la Física de Aristóteles, en que se señala el doble modo en que se dice el número: como numerado y numerable y como medio de numerar (Física, IV, 11, 219 b, 6-8).


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demostrar lo más fácilmente posible, cuanto de verdad se halla acerca de él en la Aritmética y la Geometría.

Tratamos, por tanto, aquí sobre un objeto extenso, no considerando en absoluto en él otra cosa excepto la extensión misma y prescindiendo de propósito del vocablo cantidad, ya que algunos filósofos son tan sutiles que han distinguido aquélla de la extensión, pero suponemos que todas las cuestiones han sido deducidas a tal extremo que no se investiga otra cosa que conocer una cierta extensión, a partir de su comparación con alguna otra extensión conocida. Pues como no consideramos aquí el descubrimiento de ningún ente nuevo sino que simplemente queremos reducir las proposiciones en la medida en que están implicadas, hasta el punto de que aquello que es desconocido aparezca como igual a algo conocido: es cierto que todas las diferencias de las proporciones, cuantas existen en otros sujetos, también pueden encontrarse entre dos o más extensiones; y, por lo tanto, basta a nuestro propósito si en la extensión misma consideramos aquellas cosas que pueden ayudar a exponer las diferencias de las proporciones, que son únicamente tres, a saber: dimensión, unidad y figura.

Por dimensiones entendemos el modo y razón según los que un sujeto es considerado mensurable: de modo que no sean sólo dimensiones del cuerpo la longitud, la anchura y la profundidad, sino que también la gravedad sea la dimensión, según la cual los sujetos son pesados, la velocidad sea la dimensión del movimiento; y así otras infinitas cosas del mismo tipo. Pues la división misma en varias partes iguales, ya sea real o sólo mental, es propiamente la dimensión según la cual numeramos las cosas; y aquella medida que constituye al número, dícese con propiedad que es una especie de dimensión, aun cuando haya alguna diferencia en el significado del nombre. Ya que si consideramos las partes en su orden al todo, se dice que entonces numeramos; si,


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por el contrario, consideramos al todo como distribuido en sus partes, medimos aquél; por ejemplo, medimos los siglos en años, días, horas y momentos; si, por el contrario, numeramos los momentos, las horas, los días, los años, llenaremos, por fin, los siglos.

Es manifiesto, según esto, que en un mismo sujeto puede haber infinitas dimensiones diversas y que ellas nada añaden en absoluto a las cosas medidas, sino que se entienden de igual modo tanto si tienen un fundamento real en los mismos sujetos, como si han sido excogitadas al capricho de nuestra mente87. Es, pues, algo real la gravedad del cuerpo, o la velocidad del movimiento o la división del siglo en años y días; no, en cambio, la división del día en horas y momentos, etc.. Todas estas cosas, sin embargo, se comportan de la misma manera si son consideradas únicamente bajo la razón de dimensión, como debe hacerse aquí y en las disciplinas matemáticas; pues corresponde más a los Físicos examinar si el fundamento de aquéllas es real.

Esta observación proporciona una gran luz a la Geometría, ya que en ella casi todos conciben equivocadamente tres especies de cantidad: la línea, la superficie y el cuerpo. Ya se dijo antes que la línea y la superficie no caen bajo un concepto como verdaderamente distintas del cuerpo, o entre sí; pues si son consideradas simplemente como abstraídas por el entendimiento, entonces no son más diferentes las especies de cantidad, que animal y viviente son en el hombre diversas especies de sustancia. Ha de observarse, de paso, que las tres dimensiones de los cuerpos, longitud, anchura y profundidad discrepan entre sí tan sólo en el nombre: pues nada obsta, en un sólido dado, a tomar la extensión que se quiera como longitud, a otra como anchura, etc..

87

Pasaje paralelo al de la Regla X (p. 404), y nuestra nota correspondiente; en el caso presente referido a la instauración de la medida.


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Y aunque estas tres al menos en toda cosa extensa, como simplemente extensa, tengan un fundamento real, sin embargo no las consideramos aquí a ellas más que a otras infinitas, que o bien son creadas por el entendimiento o tienen otros fundamentos en las cosas: como, por ejemplo, en el triángulo, si queremos medirlo perfectamente, deben conocerse tres elementos de parte de la cosa, a saber: o los tres lados, o dos lados y un ángulo, o dos ángulos y el área, etc.; del mismo modo cinco elementos en un trapecio, seis en un tetraedro, etcétera...; todos ellos pueden ser denominados dimensiones. No obstante, a fin de elegir aquí aquellas que aportan una mayor ayuda a nuestra imaginación, no prestaremos atención al mismo tiempo a más de una o dos pintadas en nuestra fantasía, aun cuando entendamos que en la proposición de que estemos ocupándonos existen cuantas otras se quiera; ya que es característica del arte distinguir aquellas en el mayor número posible, de tal modo que prestemos atención a muy pocas a un mismo tiempo, pero sí en cambio a todas sucesivamente.

La unidad es aquella naturaleza común de la que anteriormente dijimos88 debían participar igualmente todas aquellas cosas que son comparadas entre sí. Y, a no ser que en la cuestión alguna esté ya determinada, podemos tomar por ella o una de entre las magnitudes ya dadas u otra cualquiera, y ésta será la medida común de todas las otras; y entenderemos que existen en ella tantas dimensiones, cuantas en los mismos extremos que habían de compararse entre sí, y concebiremos la misma o simplemente como algo extenso, abstrayéndola de toda otra cosa (y entonces será lo mismo que el punto de los Geómetras, cuando su fluir compone la línea), o como cierta línea, o como un cuadrado.

88

Véase Regla XII (p. 419).


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En lo que atañe a las figuras, ya se mostró anteriormente de qué manera por medio de ellas solas pueden formarse las ideas de todas las cosas; resta advertir en este lugar que, de entre las numerosas diversas especies de aquéllas, nosotros nos serviremos aquí tan sólo de aquellas con las que más fácilmente se expresan todas las diferencias de modos o proporciones. Existen, por otra parte, sólo dos géneros de cosas que se comparan entre sí: multitudes y magnitudes; y tenemos también dos géneros de figuras para proponerlas a nuestra concepción: pues, por ejemplo, los puntos con los que se designa el número triangular, o el árbol que explica la genealogía de alguien

PADRE

HIJO HIJA

etcétera, son figuras para mostrar la multitud; aquéllas, en cambio, que son continuas e indivisas, como el triángulo, el cuadrado, etcétera...

explican las magnitudes.

Ahora bien, a fin de exponer de cuáles de todas ellas vamos a servirnos aquí, debe saberse que todos los modos que puedan existir entre entes del mismo género, deben ser referidos a dos principales: a saber, el orden, o la medida.


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Debe saberse, además, que excogitar el orden requiere no poca habilidad, como se puede observar a lo largo de este método, que casi no enseña otra cosa; conocer, sin embargo, el orden, una vez que ha sido descubierto, ninguna dificultad encierra en absoluto, sino que nosotros podemos recorrer, de acuerdo con la regla séptima, cada una de las partes ordenadas por la mente, ya que en este género de modos unas se refieren a otras por sí solas, no en cambio mediante un tercero, como sucede en las medidas, de cuyo desarrollo únicamente por lo tanto tratamos aquí. Conozco, pues, cuál sea el orden entre A y B, sin considerar ninguna otra cosa excepto uno y otro extremo; pero no conozco la proporción de magnitud que existe entre dos y tres, a no ser que considere otro tercero, es decir, la unidad, que es la medida común de uno y otro.

Debe saberse también que las magnitudes continuas, gracias a la unidad empleada, pueden todas ellas, en ocasiones, ser reducidas a la multitud, y siempre, al menos, en parte; y que la multitud de unidades puede posteriormente disponerse en un orden tal que la dificultad que atañía al conocimiento de la medida, dependa finalmente de la inspección del solo orden y que en este progreso reside la mayor ayuda del arte.

Ha de saberse, finalmente, que de las dimensiones de una magnitud continua ninguna en absoluto se concibe más distintamente que las de longitud y anchura, y que no debe atenderse a varias al mismo tiempo en una misma figura para comparar entre sí a dos diferentes: pues es propio del arte el que si tenemos más de dos diferentes que han de ser comparadas entre sí, las recorramos sucesivamente y que atendamos tan sólo a dos al mismo tiempo.

Advertido esto, se deduce fácilmente: que aquí deben abstraerse las proposiciones de las figuras mismas, de las que tratan los Geómetras, si es que la cuestión versa acerca de ellas, no menos


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que de cualquier otra materia; y que no debe mantenerse para este uso ninguna otra excepto las superficies rectilíneas y rectangulares, o las líneas rectas a las que llamamos también figuras, ya que por medio de ellas imaginamos un sujeto verdaderamente extenso no menos que por medio de las superficies, como se dijo arriba; y, finalmente, por medio de las mismas figuras deben mostrarse tanto las magnitudes continuas como también la multitud o el número; y para exponer todas las diferencias de los modos no hay nada más simple que pueda ser hallado por la habilidad humana.

Regla XV

Es útil también en muchas ocasiones describir estas figuras y mostrarlas a los sentidos externos para que de este modo se mantenga atento nuestro pensamiento más fácilmente.

Es por sí mismo evidente como deben dibujarse para que mientras se ofrecen a los ojos mismos se vayan formando más distintamente sus imágenes en nuestra imaginación: pues en primer lugar dibujamos la unidad de tres maneras, a saber, por

medio del cuadrado , si la consideramos como larga y ancha, o por medio de una línea , si la aceptamos

como larga o, finalmente, por medio de un punto , si no miramos otra cosa sino que de ella se compone la multitud; sea cual sea el modo en que se dibuje y conciba, entendemos siempre que la misma es un sujeto extenso en todas las maneras y capaz de infinitas dimensiones. De igual manera exhibiremos visiblemente los términos de una proposición, cuando haya que fijarse a un tiempo en dos de sus magnitudes diferentes, por medio de un rectángulo, cuyos dos lados serán las dos magnitudes propuestas: si son inconmensurables con respecto a la unidad, de

la siguiente manera, si


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son mensurables así

o así: :::

y nada más, excepto si la cuestión es acerca de la multitud de unidades. Finalmente, si atendemos únicamente a una única magnitud de aquellos términos, la dibujaremos por medio de un rectángulo, uno de cuyos lados sea la magnitud propuesta y el

otro la unidad, de este modo , y esto sucede cuantas veces la unidad haya de ser comparada con alguna superficie; o bien por medio de una sola línea, así:

, sí se contempla tan sólo como una longitud inconmensurable; y si es una multitud, entonces asi:

Regla XVI

En cuanto a las cosas que no requieren la atención presente de la mente, incluso si son necesarias para la conclusión, es mejor designarlas por medio de signos muy breves que por figuras completas: pues así la memoria no podrá fallar, mientras que además el pensamiento no se distraerá en retenerlas, cuando se dedique a deducir otras.

Por lo demás, ya que hemos dicho que no han de contemplarse, con una sola y misma intuición, ya sea de los ojos, o de la mente, más de dos dimensiones diferentes, de entre las innumerables que en nuestra fantasía pueden ser pintadas, merece la pena retener todas las demás de tal modo que se presenten fácilmente cuantas veces la utilidad lo exija; para cuyo fin la memoria parece haber sido instituida por la naturaleza. Mas dado que la memoria es con


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157

frecuencia lábil, y con el fin de que no nos veamos obligados a dedicar una parte de nuestra atención a refrescarla, mientras nos encontramos entregados a otros pensamientos, muy acertadamente el arte inventó el uso de la escritura, fiados en cuya ayuda, nada en absoluto encomendaremos ya a la memoria, sino que, dejando a la fantasía en su totalidad libre para las ideas presentes, escribiremos en el papel cuanto haya de ser retenido; y ello por medio de signos muy breves, para que, una vez que, de acuerdo con la regla novena, hayamos inspeccionado distintamente cada una, podamos, según la regla undécima89 recorrer todas con un movimiento rapidísimo del entendimiento e intuir al mismo tiempo el mayor número posible.

Por lo tanto, a cuanto haya de ser contemplado como uno para la solución de una dificultad, lo designaremos por medio de un signo único que puede ser formado al capricho de cada cual. Mas, para mayor facilidad, nos serviremos de las letras a, b, c, etc., para expresar las magnitudes ya conocidas, y de A, B, C, etc., para las desconocidas; a estas letras antepondremos con frecuencia los signos numéricos 1, 2, 3 y 4, etc., para explicar la multitud de aquéllas, y también los añadiremos el número de relaciones que en ellas habrán de entenderse; así, si escribo 2a3, será lo mismo que si dijera el duplo de la magnitud denotada por la letra a, que contiene tres relaciones. Y con este artificio no solamente resumiremos muchas palabras, sino que, lo que es más importante, mostraremos los términos de la dificultad tan puros y desnudos, que, sin omitir nada útil, no se encuentre en ellos nada superfluo y que ocupe inútilmente la capacidad del espíritu, mientras la mente se vea obligada a abarcar a un tiempo muchas cosas.

89

Se refiere, respectivamente, a la Regla IX (pp. 400-401) y a la Regla XI (pp. 408-409).


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A fin de que todo esto se entienda con mayor claridad, ha de observarse, en primer lugar, que los Calculistas acostumbran a designar cada una de las magnitudes por medio de varias unidades o por medio de algún número, y que nosotros en cambio en este lugar hacemos abstracción de los números mismos no menos que poco antes de las figuras geométricas o de cualquier otra cosa. Hacemos esto tanto para evitar el tedio de un cálculo largo y superfluo, como principalmente para que las partes del objeto que atañe a la naturaleza de la dificultad permanezcan siempre distintas v no sean envueltas por números inútiles: así, si se busca la base de un triángulo rectángulo cuyos lados sea 9 y 12, el

Calculista dirá que aquella es √ ; nosotros, sin embargo, en lugar de 9 y 12 pondremos a y b, y encontraremos que la base

es √ , y aquellas dos partes a2 y b2, que en el número están confusas, permanecerán distintas.

Debe también advertirse que por número de relaciones se ha de entender proposiciones que se siguen unas a otras en orden continuo, y que otros en el Algebra común intentan expresar por medio de varias dimensiones y figuras, y de las cuales llaman a la primera, raiz; a la segunda, cuadrado; a la tercera, cubo, y a la cuarta, bicuadrado, etc. Confieso que yo mismo fui engañado durante mucho tiempo por estos nombres: en efecto, me parecía que nada más claro podía proponerse a mi imaginación, después de la línea y el cuadrado, que el cubo y otras figuras formadas a semejanza de éstas; y desde luego, con su ayuda podía resolver no pocas dificultades. Mas, finalmente, tras muchas experiencias, me di cuenta de que jamás había descubierto por medio de este modo de concebir nada que no hubiera podido conocer con mucha mayor facilidad y distinción sin él; y que tales nombres deben ser absolutamente rechazados para que no enturbien el concepto, puesto que la misma magnitud, aunque sea llamada cubo o bicuadrado, nunca debe ser propuesta a la imaginación, de acuerdo con la regla precedente, más que como una línea o como


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una superficie. Por lo tanto es preciso notar sobre todo que la raíz, el cuadrado, el cubo, etc., no son otra cosa que magnitudes en proporción continua, a las que siempre se supone antepuesta aquella unidad asumida, de la que hemos hablado ya más arriba; a esta unidad hace referencia inmediatamente la primera proporcional y por medio de una única relación; la segunda, por su parte, por medio de la primera y por lo tanto por medio de dos relaciones; la tercera, mediante la primera y la segunda, y por medio de tres relaciones, etc. Llamaremos, pues, en lo sucesivo, primera proporcional a aquella magnitud que en Algebra es denominada raíz, segunda proporcional a la que es llamada cuadrado y así las restantes.

Finalmente, es preciso advertir que incluso si aquí abstraemos de ciertos números los términos de la dificultad para examinar su naturaleza, sin embargo, sucede con frecuencia que aquélla puede ser resuelta de un modo más simple con los números dados que si se la abstrayera de ellos: esto sucede por el doble uso de los números, al que ya antes hicimos referencia, a saber, porque los mismos explican tanto el orden como la medida; y, por lo tanto, una vez que la hemos buscado expresada en términos generales, conviene someterla a los números dados, para que veamos si quizá ellos nos proporcionan una solución más simple; por ejemplo, una vez que hemos visto que la base de un triángulo rectángulo de lados a y b es aV + b2, se sustituirá a2 por 81 y b2 por 144, que sumados dan 225, cuya raíz o media proporcional entre la unidad y 225 es 15; de donde conoceremos que la base 15 es conmensurable con los lados 9 y 12, pero de un modo general porque sea la base de un triángulo rectángulo, uno de cuyos lados es al otro como 3 es a 4. Todo esto lo distinguimos nosotros, que buscamos un conocimiento evidente y distinto de las cosas, pero no los Calculistas, que se quedan satisfechos con tal que se les presente la suma buscada, aun cuando no se den


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cuenta de qué modo ésta dependa de los datos, en lo cual solo, sin embargo, consiste propiamente la ciencia.

Más, de modo general, es preciso observar que jamás debe encomendarse a la memoria ninguna de las cosas que no requieran una continuada atención, si podemos depositarlas en el papel, no sea que un recuerdo superfluo para el conocimiento de un objeto presente nos prive de alguna parte de nuestro espíritu; es preciso hacer también un cierto cuadro en el cual escribiremos los términos de la cuestión tal corno hayan sido propuestos la primera vez; después de qué modo son abstraídos, y por medio de qué signos son designados, con el fin de que, una vez que en los mismos signos haya sido encontrada la solución, la apliquemos fácilmente y sin ninguna ayuda de la memoria al objeto particular sobre el que verse la cuestión; pues nada se abstrae sino a partir de algo menos general. Escribiré, pues, de la siguiente manera: se busca la base AC en el triángulo rectángulo ABC y abstraigo la dificultad para buscar, de un modo general, la magnitud de la base a partir de la magnitud de los lados; a continuación, en lugar de AB, que es igual a 9, pongo a; en lugar de BC, que es igual a 12, pongo b, y así de lo demás.

A 15

9

B 12 C

Y es preciso señalar que vamos a servirnos todavía de estas cuatro reglas en la tercera parte de este Tratado, y tomadas con algo más


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de amplitud que la que aquí de ellas hemos expuesto, como se dirá en su lugar90.

Regla XVII

Es preciso recorrer directamente la dificultad propuesta, haciendo abstracción de que algunos de sus términos sean conocidos y otros desconocidos, e intuyendo a través de discursos verdaderos la mutua dependencia de cada uno con respecto a los otros.

Las cuatro reglas anteriores han enseñado de qué modo dificultades determinadas y perfectamente entendidas han de ser abstraídas de cada objeto y reducidas a un punto tal que en adelante no se busque otra cosa que conocer ciertas magnitudes a partir de que por medio de este o de aquel modo de relación sean referidas a otras magnitudes dadas. Pues bien, ahora en las cinco reglas siguientes expondremos cómo esas mismas dificultades han de ser sometidas a estudio, de manera que, cualesquiera que sean en una sola proposición las magnitudes desconocidas, todas se subordinen entre sí mutuamente, y tal como sea la primera en relación a la unidad, lo mismo lo sea la segunda en relación a la primera, la tercera a la segunda, la cuarta a la tercera, y que consecuentemente así, por numerosas que sean, den una suma igual a cierta magnitud conocida; y esto con un método tan cierto que de este modo aseguremos con toda garantía que ninguna habilidad las habría podido reducir a términos más simples.

Pero en cuanto a la presente, es preciso notar que, en toda cuestión que ha de resolverse por medio de una deducción, existe algún camino llano y directo por cuyo medio, con mayor facilidad que por ningún otro, podemos pasar de unos términos a otros, y que los demás son todos más difíciles e indirectos. Para comprender esto conviene recordar aquello que se dijo en la regla

90

Tarea no realizada, al no haberse llevado a cabo esa tercera parte de las Reglas.


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undécima91, donde expusimos cuál sea el encadenamiento de las proposiciones, en las que si cada una es puesta en relación con las vecinas, percibimos fácilmente cómo también la primera y la última están en relación entre sí mutuamente, aun cuando no deduzcamos tan fácilmente a partir de las extremas las intermedias. Por lo tanto, si ahora intuimos la dependencia mutua de cada una, en un orden en ninguna parte interrumpido, para que a partir de allí infiramos de qué modo la última depende de la primera, recorreremos directamente la dificultad; más, sí a la inversa, por el hecho de saber que la primera y la última están en cierto modo conexionadas entre sí, quisiéramos deducir cuáles son las medianas que las unen, seguiríamos un orden totalmente indirecto e inverso. Y puesto que aquí tratamos únicamente de cuestiones involucradas, es decir, en las cuales hay que reconocer en un orden cambiado ciertas intermedias a partir de las extremas, el artificio entero de esta exposición consistirá en que, suponiendo lo desconocido como conocido, podamos preparar92 un camino de investigación fácil y directo, incluso en las dificultades más intrincadas que se quiera; y nada impide el que esto ocurra siempre, habiendo supuesto nosotros desde el comienzo de esta parte93 que conocemos que, en una cuestión cualquiera, es tal la dependencia de los elementos desconocidos respecto a los conocidos, que están aquellos absolutamente determinados por estos al punto de que si reflexionamos sobre aquellos mismos que se nos ofrecen los primeros, una vez que conocemos aquella determinación y que cataloguemos aquellos mismos entre los conocidos aun cuando sean desconocidos, a fin

91

Se refiere al pasaje de las páginas 409-410. 92

Leemos «preparar» (praeparare), siguiendo el texto de H, como Crapulli y Marión, en vez de «proponer» (proponere) dei texto A que sigue A. T. 93

Se refiere a la Regla XIII (p. 430) con que se inicia la segunda parte de las Reglas.


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de que deduzcamos gradualmente de aquéllos y por medio de discursos verdaderos todas las restantes cosas incluso conocidas como si fueran desconocidas, conseguiremos todo cuanto esta regla preceptúa: los ejemplos sobre este punto, así como de otras muchas cosas que seguidamente hemos de decir, los reservamos para la regla vigésimo cuarta, ya que allí se expondrán con mayor comodidad.

Regla XVIII

Para esto se requieren solamente las cuatro operaciones: suma, resta, multiplicación y división; de ellas las dos últimas no deben con frecuencia utilizarse aquí, para no complicar nada imprudentemente, y porque después pueden hacerse con más facilidad.

La multitud de reglas proviene muchas veces de la ignorancia del Doctor, y cosas que pueden reducirse un único precepto general son menos trasparentes si se dividen en muchos particulares. Por lo tanto aquí nosotros reducimos todas las operaciones de las que se ha de usar para recorrer las cuestiones, esto es, para deducir unas magnitudes de otras, tan sólo a cuatro fundamentales; de su explicación se conocerá cómo ellas son suficientes.

En efecto, si llegamos al conocimiento de una sola magnitud, a partir de que tenemos las partes de que consta, esto se hace por adición; si conocemos una parte a partir de tener el todo y el exceso del todo sobre esa misma parte, esto sucede por sustracción; y de ningún otro modo puede deducirse alguna magnitud cualquiera a partir de otras tomadas absolutamente y en las cuales de alguna manera está contenida. Si, en cambio, es preciso encontrar una a partir de otras de las cuales sea totalmente distinta y en las cuales no esté contenida en manera alguna, es necesario relacionarla con ellas por alguna razón: y si


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esta relación o disposición debe buscarse directamente, entonces debe utilizarse la multiplicación; si indirectamente, la división.

A fin de exponer con claridad estos dos puntos, debe saberse que la unidad, de la que ya hemos hablado94, es aquí la base y el fundamento de todas las relaciones, y que en la serie de magnitudes continuamente proporcionales ocupa el primer grado, que, en cambio, las magnitudes dadas están contenidas en el segundo, y las buscadas en el tercero y cuarto, y los restantes, si la proporción es directa; si, por el contrario, es indirecta, la buscada está contenida en el segundo y demás grados inter medios y la dada en el último.

En efecto, si se dice: como la unidad es a la magnitud dada a ó 5, así b ó 7, magnitud dada, lo es a la magnitud basada, que es ab ó 35, entonces a y b están en segundo grado y ab, que es su producto, en tercero. Del mismo modo, si se añade como la unidad es a c ó 9, así ab ó 35 es a la magnitud buscada abc ó 315, entonces abc está en cuarto grado y es el producto de dos multiplicaciones de ab y de c, que están en segundo grado, y así de las demás. Del mismo modo, como la unidad es a a ó 5, así a ó 5 es a1 ó 25; y a su vez, como la unidad es a ó 5, así a' ó 25 es a <a' ó 125; y en fin, como la unidad es a tí ó 5, así a' ó 125 es a «s ó 625, etc....; y la multiplicación no se hace de otra manera ya la misma magnitud sea llevada por sí misma, ya sea llevada por medio de otra totalmente diferente.

Ahora bien, si se dice que como la unidad es a a ó 5, divisor dado, así B ó 7, magnitud buscada, es a ab ó 35 dividendo dado, entonces el orden ha sido alterado y es indirecto, por lo que B, magnitud buscada, no se obtiene sino dividiendo la dada ab por la también dada a. Del mismo modo, si se dice: como la unidad es a A ó 5, magnitud buscada, así la buscada A ó 5 es a la dada a9 ó 25;

94

Se refiere a la Regla XIV (p. 449) y Regla XVI (p. 457).


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o bien, como la unidad es a A ó 5, magnitud buscada, así A2 ó 25, magnitud buscada, es a a3 ó 125, magnitud dada; y así de las demás. Todas estas cosas las abarcaremos bajo el nombre de división, aun cuando debe tenerse en cuenta que las últimas especies de ésta contienen una mayor dificultad que las primeras, porque en ellas se encuentra con mayor frecuencia la magnitud buscada, la cual, en consecuencia, implica varias relaciones. El sentido de estos ejemplos es el mismo que si se dijera que ha de extraerse la raíz cuadrada de ¿ o de 25, o la cúbica de a3 o de 125, y así del resto; modo éste de hablar que es utilizado entre los Calculistas. O para explicarlo también en los términos de los Geómetras, es lo mismo que si se dijera que es preciso hallar la media proporcional entre aquella magnitud recibida, a la que llamamos unidad y aquella que es designada por a", o dos medias proporcionales entre la unidad y a1, y así de las demás.

De lo cual fácilmente se colige de qué modo estas dos operaciones bastan para encontrar cualquier magnitud que debe ser deducida de otras según alguna relación. Y entendido esto, viene el que expongamos ahora de qué manera estas operaciones hayan de ser sometidas al examen de la imaginación y de qué modo deba mostrarse a los ojos mismos para que finalmente más tarde expliquemos su uso o praxis.

Si se ha de hacer una suma o una resta, concebimos el objeto bajo la forma de una línea o bajo la de una magnitud extensa, en la que debe atenderse a la longitud sola, pues si ha de añadirse la línea a a la línea b,

a b

unimos la una a la otra de este modo, ab


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a b

y se produce c

c

Si, por el contrario, ha de restarse la menor de la mayor, es decir, b de a

b a

Colocamos la una sobre la otra de la siguiente manera:

b a

y de este modo tenemos aquella parte de la mayor que no puede ser cubierta por la menor, es decir,

En la multiplicación concebimos también las magnitudes dadas bajo la forma de líneas; pero imaginamos que de ellas surge un rectángulo: en efecto, si multiplicamos a por b


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a b

Juntamos la una a la otra en ángulo recto asi:

A

B

y nace un rectángulo

A

B

Igualmente, si queremos multiplicar ab por c, conviene imaginar ab como una línea, es decir:


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168

ab

de modo que en lugar de abc surja:

ab

c

Finalmente en la división, en la cual el divisor está dado, imaginamos que la magnitud a dividir es un rectángulo, uno de cuyos lados es el divisor y el otro el cociente; así, si el rectángulo ab se ha de dividir por a


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A

B

Se quita de aquél la longitud a, y queda b por cociente:

B

o, al contrario, si el mismo se divide por b se quitará la altura h, y el cociente será a:

En cambio, en aquellas divisiones en las que no es dado el divisor, sino designado solamente por alguna relación, como cuando se dice que se ha de extraer la raíz cuadrada o cúbica, etc., hay que notar entonces que el término dividendo y todos los otros deben ser concebidos siempre como líneas que son continuamente proporcionales, de las cuales la primera es la unidad y la última la magnitud que ha de dividirse. En su lugar se dirá cómo han de ser encontradas también cualesquiera medias proporcionales entre dicha magnitud y la unidad; y baste de momento haber advertido que nosotros suponemos que tales operaciones no quedan todavía solventadas aquí, ya que deben ser realizadas por medio de movimientos indirectos y reflejos de la imaginación; ahora tratamos únicamente de cuestiones que han de examinarse directamente.

En lo que atañe a otras operaciones, pueden resolverse muy fácilmente, por cierto, de aquel modo que dijimos que debían ser


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concebidas. Falta, no obstante, exponer de qué manera deban prepararse los términos de las mismas; pues aunque, cuando nos enfrentamos por vez primera a una dificultad, tenemos libertad para concebir sus términos como líneas o como rectángulos, y no hemos de darles nunca otras figuras, como se dijo en la regla decimocuarta, frecuentemente, sin embargo, en el razonamiento, el rectángulo, después que ve el producto de la multiplicación de dos líneas, ha de concebirse poco más tarde como una línea para hacer otra operación; o el mismo rectángulo, o la línea producida por una suma o una resta, ha de concebirse poco después como algún otro rectángulo sobre la línea designada, por la cual él debe ser dividido.

Merece, pues, la pena exponer aquí de qué modo todo rectángulo pueda ser transportado en una línea y a su vez una línea o incluso un rectángulo en otro rectángulo, cuyo lado está designado; cosa que para los Geómetras es facilísima tan sólo con que adviertan que por medio de las líneas, cuantas veces las comparamos con algún rectángulo, como en este lugar, nosotros concebimos siempre rectángulos, uno de cuyos lados es aquella longitud que hemos tomado como unidad. Así, por tanto, todo este asunto se reduce a la siguiente proposición: dado un rectángulo, construir otro igual sobre el lado dado.

Aunque esto sea algo trillado, incluso para los principiantes en Geometría, quiero, sin embargo, exponerlo, no sea que parezca que he omitido algo.

Regla XIX

Por medio de este método de razonamiento deben buscarse tantas magnitudes expresadas de dos maneras diferentes, cuantos términos desconocidos hemos supuesto como conocidos para recorrer directamente la dificultad: pues de esta manera se obtendrán otras tantas comparaciones entre dos cosas iguales.


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Regla XX

Una vez halladas las ecuaciones, se han de realizar las operaciones que hemos omitido, no utilizando nunca la multiplicación siempre que haya lugar a la división.

Regla XXI

Si hay varias ecuaciones de esta clase, es preciso reducirlas todas ellas a una sola, a saber, a aquella cuyos términos ocupen el menor número de grados en la serie de magnitudes continuamente proporcionales, según la cual los mismos términos han de ser dispuestos en orden.

CONTRAPORTADA

—Comenzadas en el invierno de 1628 y publicadas solo póstumamente— constituyen una pieza clave en la obra de RENÉ DESCARTES (1596-1650) y el punto de arranque de un «nuevo modo de reflexión científica. «Solo quien haya pensado real y detenidamente —comenté Martín Heidegger— este escrito, radicalmente parco, hasta en sus rincones más recónditos y fríos, estará en condiciones de tener una idea de lo que pasa en la ciencia moderna.» Pero la importancia epistemológica de la obra no agota la riqueza de su contenido, lleno de implicaciones filosófico-metafísicas. Este «Tratado de reglas útiles y claras para la dirección del Espíritu en la búsqueda de la verdad» —titulo registrado en el inventario de Estocolmo que reúne los escritos dejados por Descarte» a su muerte— está situado en la encrucijada de dos mundos y sienta algunas de las bases fundamentales de la época moderna. Joan Manuel Navarro Cordón —traductor, prologuista y anotador del volumen— ha tomado como base de su trabajo el manuscrito publicado en Ámsterdam en 1701, sin perjuicio de optar en los casos oportunos por tas variantes recogidas por otras ediciones. En esta misma colección: «Discurso del método» (f.,B 736), de René Descartes.

El libro de bolsillo.

Alianza Editorial

Algebra Recreativa Yakov Perelman

Patricio Barros

PresentaciónEntre las numerosas obras de divulgación científica, escritas por el célebre matemático soviéticoYakov Perelman, figura el "Algebra Recreativa".Este libro no es un manual elemental de álgebra para principiantes. El lector, al que destinamosla presente obra, debe poseer ciertas nociones de álgebra, aunque las haya asimiladosuperficialmente o las tenga sermiolvidadas. El libro "Algebra Recreativa", en primer lugar,pretendo despertar en el lector el Interés por los ejercicios de álgebra y el deseo de cubrir, conayuda de los manuales, las lagunas de que adolezca.El libro contiene problemas confeccionados basándose en temas originales que despiertan lacuriosidad en el lector, permite hacer entretenidas excursiones por la historia de las matemáticas,muestra inesperadas aplicaciones del álgebra a cuestiones de la vida práctica, etc.El nombre de Yakov Perelman es ampliamente conocido en todo el mundo. De su pluma hansalido muchas obras de divulgación científica como: "Física Recreativa", "MatemáticasRecreativas", "Astronomía Recreativa", "Algebra Recreativa", "Geometría Recreativa" y muchasotras. Perelman ya no vive. Falleció en 1942, durante el bloqueo de Leningrado. Pero los librosescritos por él siguen siendo reeditados, habiendo sido, muchos de ellos, traducidos a distintaslenguas extranjeras. En los años pasados fueron introducidos en ellos, solo pequeños cambios acausa del rápido desarrollo de las ciencias y la técnica, considerándose ejemplares en el arte dedivulgación científica. Estos libros siguen siendo los predilectos de millones de lectores dediferentes países.En las páginas de los libros de Perelman se puede encontrar extractos de obras conocidas, leerrelatos amenos sobre ilustres personajes y distintos fenómenos de la naturaleza, presentando, elautor, en cada uno de ellos, problemas de diferentes campos de la física, matemáticas,astronomía, que exigen detenida meditación con enseñanzas fructíferas.Los libros de Perelman son leídos con interés por estudiantes y especialistas, hallando en ellos,todo lector, algo interesante y útil.


Patricio Barros

Del Prefacio del Autora la Tercera Edición Rusa

El presente libro no es un manual elemental de álgebra para principiantes. Algebra Recreativa, aligual que otras obras mías de la misma serie, es, ante todo, un libro de estudio libre y no un texto.El lector al que destinamos el presente volumen debe poseer ciertos conocimientos de álgebra,aunque los haya asimilado superficialmente o los tenga semiolvidados. Algebra Recreativa sepropone refrescar y afianzar estos conocimientos dispersos e inconsistentes, pero en primer lugar,pretende despertar en el lector el interés por los ejercicios de álgebra y el deseo de cubrir, conayuda de los manuales, las lagunas de que adolezca.A fin de hacer más atrayente el tema y elevar el interés por él, me valgo de métodos diversos:problemas a base de temas originales que despiertan la curiosidad, entretenidas excursiones por lahistoria de las matemáticas, inesperadas aplicaciones del álgebra a cuestiones de la vida práctica,etc.


Patricio Barros

INDICE

Del prefacio del autor a la tercera edición rusa

Capítulo primero. La quinta operación matemática.La quinta operaciónCifras astronómicas¿Cuánto pesa el aire?Combustión sin llama ni calorLas variaciones del tiempoLa cerradura secretaCiclista supersticiosoResultados de la duplicación consecutivaMillones de veces más rápido10 000 operaciones por segundoCantidad posible de partidas de ajedrezEl secreto de la máquina de jugar al ajedrezLos tres doses Los tres tresesLos tres cuatrosCon tres cifras igualesLos cuatro unos Los cuatro doses

Capítulo segundo. El idioma del álgebraEl arte de plantear ecuacionesLa vida de DiofantoEl caballo y el muloLos cuatro hermanosLas aves de la orillaE1 paseoE1 artel de segadoresLas vacas en el pradoEl problema de NewtonE1 cambio de las manecillas del relojCoincidencia de las saetasE1 arte de adivinar númerosUn supuesto absurdoLa ecuación piensa por nosotrosCuriosidades y sorpresasEn la peluquería .El tranvía y el peatónEl barco y la balsaDos botes de caféVeladaExploración marinaEn el velódromoCarrera de motocicletas .Velocidad media


Patricio Barros

Máquinas de cálculo rápido

Capítulo tercero. En ayuda de la aritméticaMultiplicación abreviadaLas cifras 1, 5 y 6Los números 25 y 76Números infinitosCompensaciónDivisibilidad por 11El número del automóvilDivisibilidad por 19Teorema de Sofía GermainNúmeros compuestosAcerca de los números primosE1 mayor número primo conocidoUn cálculo muy laboriosoEn ocasiones es preferible no recurrir al álgebra

Capítulo cuarto. Las ecuaciones de DiofantoCompra de una bufandaUna revisión en la tiendaCompra de sellos de correosCompra de frutas .Adivinar el día de nacimientoVenta de pollosDos números y cuatro operacionesCómo será el rectánguloDos números de dos cifrasLos números de PitágorasEcuación indeterminada de tercer gradoCien mil marcos por la demostración de un teorema

Capítulo quinto. La sexta operación matemáticaSexta operación¿Qué raíz es mayor?Resuélvase al primer golpe de vistaComedias algebraicas

Capítulo sexto. Ecuaciones de segundo gradoEl apretón de manosEl enjambre de abejasLa manada de monosPrevisión de las ecuacionesEl problema de EulerLos altavocesEl álgebra del vuelo a la Luna"Ejercicio complicado"


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¿Qué números son?

Capítulo séptimo. La magnitud mayor y la menor .Dos trenes.¿Dónde construir el apeadero?¿Cómo trazar la carretera al embarcadero?¿Cuándo alcanza el producto su máximo valor?¿Qué suma será la menor?E1 tronco de mayor volumenDos parcelas de tierraLa cometa .La construcción de una casaLa parcelaEl canalón de sección máximaEl embudo de mayor capacidadLa iluminación más intensa

Capitulo octavo. Progresiones .La progriesión más antiguaAlgebra en papel cuadriculadoE1 riego de la huertaLa comida para las gallinasBrigada de cavadoresLas manzanasLa compra del caballo .La recompensa del soldado

Capítulo noveno. La séptima operación matemáticaLa séptima operaciónLos rivales de los logaritmosEvolución de las tablas de logaritmosCuriosidades logarítmicasLos logaritmos en escenaLos logaritmos en el corralLos logaritmos en la músicaLas estrellas, el ruido y los logaritmosLos logaritmos y el alumbrado eléctricoLegados a largo plazoInterés continuo .El número "e"Comedia logarítmicaExpresar cualquier número tan sólo con tres doses


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Capitulo PrimeroLA QUINTA OPERACION MATEMATICA

Contenido1. La quinta operación2. Cifras astronómicas3. ¿Cuánto pesa el aire?4. Combustión sin llama ni calor5. Las variaciones del tiempo6. La cerradura secreta7. Ciclista supersticioso8. Resultados de la duplicación consecutiva9. Millones de veces más rápido10. 10.000 operaciones por segundo11. Cantidad posible de partidas de ajedrez12. El secreto de la máquina de jugar al ajedrez13. Los tres doses14. Los tres treses15. Los tres cuatros16. Con tres cifras iguales17. Los cuatro unos18. Los cuatro doses

1. La quinta operaciónCon frecuencia se denomina al álgebra la «aritmética de las siete operaciones», queriendosubrayar con ello que a las cuatro operaciones matemáticas conocidas por todos, el álgebra añadetres más: la elevación a potencias y sus dos inversas.Comencemos nuestras pláticas algebraicas por la «quinta operación»: la elevación a potencias.¿Responde esta operación a una exigencia de la vida práctica? Indudablemente. Con ellatropezamos a menudo en la vida. Recordemos los innumerables casos en que para calcularsuperficies y volúmenes se precisa elevar los números a la segunda o tercera potencia. Otroejemplo: la fuerza de gravitación universal, la acción recíproca electrostática y magnética, la luzy el sonido son inversamente proporcionales al cuadrado de las, distancia. La continuidad de latraslación de los planetas alrededor del Sol (o, de los, satélites alrededor de los planetas) vieneexpresada también en forma de una potencia dependiente de la distancia que les separa de sucentro de traslación: la relación entre los cuadrados de los tiempos de traslación es igual a larelación entre los cubos de las distancias.Es un error pensar que en la práctica tropezamos tan sólo con segundas y terceras potencias, yque no existen exponentes de potencias superiores más que en los manuales de álgebra. Cuandoun ingeniero busca el grado de solidez de un cuerpo se ve obligados operar a cada instante concuartas potencias; y en otros cálculos (para hallar el diámetro de tubo conducto de vapor, porejemplo) llega a operar incluso con la sexta potencia. Asimismo los técnicos hidráulicos se valende las sextas potencias cuando tratan, de averiguar la fuerza con que son arrastradas las piedras


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por el agua: si la corriente de un río es cuatro veces más rápida que la de otro, el primero es capazde arrastrar por su lecho piedras 4", es decir, 4.096 veces más pesadas que el segundo río1.Al estudiar la relación que existe entre la luminosidad de un cuerpo incandescente - el filamentode una lámpara, por ejemplo - y su temperatura-, se opera con potencias aún mayores. Cuando laincandescencia es blanca, su luminosidad general aumenta en relación a la decimosegundapotencia de su temperatura; cuando es roja, en relación a la trigésima potencia de su temperatura(siendo ésta «absoluta», es decir, a partir de –273°C). Esto significa que si calentamos un cuerpode 2.000°' a 4.000° absolutos, por ejemplo, o sea, si elevamos su temperatura al doble, laluminosidad de dicho cuerpo aumentará en 212 , es decir, en más de 4.000 veces. En otro lugarnos ocuparemos de la importancia que tienen para la técnica de fabricación de lámparas eléctricasestas proporciones tan singulares.Volver

2. Cifras astronómicasEs probable que nadie haga tanto uso de la «quinta operación matemática» como los astrónomos.Los exploradores del firmamento manejan sin cesar cantidades formadas por una o dos cifrassignificativas seguidas de una larga fila de ceros. Sería muy incómodo expresar con los mediosordinarios tales cantidades, llamadas con razón «astronómicas» y, sobre todo, operar con ellas.Los kilómetros que nos separan de la nebulosa de Andrómeda se representan con la siguientecifra:

95 000 000 000 000 000 000.

Por añadidura, al efectuar cálculos astronómicos, muchas veces hay que operar no con kilómetrosu otras unidades aún mayores, sino con centímetros. En este caso, la distancia antes referida llevacinco ceros más:

9 500 000 000 000 000 000 000 000.

La masa de las estrellas viene expresada en cifras todavía más considerables, sobre todo si hemosde registrarla en gramos, como exigen muchos cálculos. La masa del Sol, en gramos, es igual a:

1 983 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Huelga ocuparse de los inconvenientes que representaría operar con números tan desmesurados yde lo fácil que sería incurrir en error en tales casos. Además, las cantidades referidas están muylejos de ser las mayores en la astronomía.La quinta operación matemática aligera los cálculos. La unidad seguida de varios ceros seexpresa con el número 10 elevado a una determinada potencia

100 = 102; 1.000 = 103; 10.000 = 104; etc.

Los enormes números citados anteriormente pueden representarse como sigue:

el primero 950*1022

1 En mi libro Mecánica Recreativa, capítulo IX, trato con más detalle de esta cuestión


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el segundo 1.983*1030

Se expresan así no sólo para economizar espacio, sino también para facilitar los cálculos. Sihubiera, por ejemplo, que multiplicar ambos número entre sí, bastaría hallar el producto de950*1.983 = 1.883.850 y tras él colocar el factor 10 22+30 1052 de la forma siguiente:

950 * 1022 * 1.983 1030 = 188.385*1053.

Es evidente que esto resulta más cómodo que escribir un número seguido de 22 ceros, otro de 30ceros y, por último, un tercero acompañado de 53 ceros. Y no sólo más sencillo, sino tambiénmás seguro, por cuanto al escribir tal fila de ceros puede ser omitido alguno, obteniendo unresultado erróneo.Volver

3.¿Cuánto pesa el aire?Para comprobar hasta qué punto se facilitan los cálculos al representar lo números en forma depotencias, pongamos el siguiente ejemplo: hallemos cuántas veces la masa del globo terrestre esmayor que la del aire que lo rodea.El aire presiona sobre cada centímetro cuadrado de superficie terrestre con la fuerza de unkilogramo aproximadamente. Esto quiere decir que el peso de la columna de aire que se apoya en1 cm2 es igual a 1 kg. La capa atmosférica de la Tierra se forma, por decirlo así, del conjunto dedichas columnas de aire, que son tantas como centímetros cuadrados forman la superficie denuestro planeta, y como cantidad de kilos pesa la atmósfera en su conjunto Si consultamos losíndices correspondientes, averiguaremos que la superficie terrestre mide 510 millones dekilómetros cuadrados, es decir, 51* 107 km2 Veamos cuántos centímetros cuadrados hay en unkilómetro cuadrado. E kilómetro lineal se forma de 1 000 metros y cada uno de éstos tiene 10centímetros, o sea, un total de 105 cm, por lo cual, el kilómetro cuadrado lo formarán (105)2 1010

cm2. De aquí que la superficie del globo terrestre ser igual a

51*107*1010 = 51 * 1017 cm2.

Esta cifra representa también la cantidad de kilogramos que pesa la atmósfera de la Tierra.Transformando los kilogramos en tonelada resultarán:

51*1017 /1.000 = 51*1017/103 = 51*10 17 - 3 = 51*1014

mientras que la masa del globo terrestre es de 6 *1021 toneladas.Para conocer cuántas veces es más pesado nuestro planeta que la capa de aire que lo rodea,efectuemos la siguiente división:

6*1021/51*1014 ≈ 106,

de donde se deduce que la masa atmosférica es, aproximadamente, la millonésima parte de la delglobo terrestre2.Volver

2 El signo ≈ significa la igualdad aproximada.


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4. Combustión sin llama ni calorSi se pregunta a un químico por qué la leña o el carbón arden únicamente a elevada temperatura,contestará que la combinación del carbono y el oxígeno tiene lugar a cualquier temperatura, peroque cuando ésta es baja, dicho proceso transcurre con excesiva lentitud (es decir, en la reaccióntoma parte un número insignificante de moléculas), y por ello escapa a nuestra observación. Laley que rige la velocidad de las reacciones químicas enseña que al descender la temperatura en10°, la velocidad de la reacción (el número de moléculas que toma parte en ella) se reduce a lamitad.Apliquemos dicha ley a la reacción que se produce al oxigenarse la madera, esto es, al proceso decombustión de la madera. Supongamos que un gramo de madera sometido a una temperatura de600° se consume en un segundo. ¿Cuánto tardará en consumirse 1 g de leña a la temperatura de20°? Es sabido que con una temperatura 580=58*10 grados menor, su reacción será 258 vecesmás lenta, o lo que es lo mismo, un gramo de leña se consumirá en 258 segundos. ¿A cuántos añosequivale este lapso? Podemos calcularlo sin efectuar 57 multiplicaciones consecutivas en las queel multiplicador sea 2, y sin recurrir a la tabla de logaritmos. Es notorio que

210 = 1.024 ≈ 103,

de lo que se deduce que

258 = 260-2 = 260/22 = (¼)*260 = (¼)* (210)6 ≈ (¼)*1018,

es decir, aproximadamente la cuarta parte de un trillón de segundos. El año tiene cerca de 30millones de segundos, o, lo que es igual, 3*107 segundos; por esto

¼ * 1018 / 3*107 = (1/12) * 1011 ≈ 1010

¡Diez mil millones de años! Este es aproximadamente el tiempo que tardaría en consumirse ungramo de madera sin llama ni calor.Así, pues, la madera y el carbón arden a la temperatura ordinaria, sin encenderlos. La invenciónde instrumentos para obtener el fuego aceleró este proceso, de enorme lentitud, en miles demillones de veces.Volver

5. Las variaciones del tiempo

ProblemaFijemos nuestra atención sólo en un elemento: si el tiempo es nublado o despejado; es decir,distinguimos los días por el hecho de si en el cielo hay nubes o no. ¿Qué piensa el lector? Enestas condiciones, ¿habrá muchas semanas con diferente combinación de días nublados ydespejados?Puede parecernos que éstas serán pocas y que pasados unos dos meses se agotarán todas lascombinaciones de días nublados y despejados, repitiéndose entonces a la fuerza alguna de lascombinaciones ya observadas. Mas, probemos a calcular exactamente el número posible decombinaciones que pueden darse en estas condiciones. Este es uno de los problemas que nos


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conducen inesperadamente a la quinta operación matemática. En fin, ¿de cuántas formasdiversas pueden combinarse los días nublados y despejados en una misma semana?

SoluciónEl primer día de la semana puede ser despejado o nublado; lo que quiere decir que por elmomento se tienen dos «combinaciones».En el transcurso de dos días son posibles las siguientes combinaciones de días nublados ydespejados:

Despejado y despejadodespejado y nubladonublado y despejadonublado y nublado.

En dos días se tienen ya 22 combinaciones diferentes. Al tomar tres días, a cada una de las cuatrocombinaciones correspondientes a los dos primeros días, se une alguna de las dos combinacionesdel tercer día, de esta forma obtenemos un total de variantes igual a

22 * 2 = 23.

En cuatro días, el número de combinaciones será de

23 * 2 = 24.

Al llegar al quinto día se producirán 25 combinaciones; al sexto, 26, y, por último, en la semanahabrá 27 = 128 combinaciones.De todo esto se deduce que hay 128 semanas con diferentes variantes de días despejados ynublados. Al cabo de 128 * 7 = 896 días se repetirá inevitablemente una de las combinacionesanteriores, aunque dicha repetición puede surgir antes, pero 896 días constituyen el período apartir del cual esta repetición es completamente inevitable. Y, por el contrario, pueden transcurrirdos años e incluso más (dos años y 166 días), sin que el estado atmosférico de una semana separezca al de las otras.Volver

6. La cerradura secreta

ProblemaEn cierta institución soviética fue hallada una caja fuerte de tiempos anteriores a la revolución.Hallóse la llave de la misma, mas para poder abrirla se precisaba conocer el secreto de lacerradura: ésta se componía de cinco rodillos, en torno a los cuales había un alfabeto con 36letras; los rodillos debían combinarse de tal manera que formasen una determinada palabradesconocida. Para evitar forzar la caja decidióse probar con dichas letras todas lascombinaciones posibles. En cada una de estas combinaciones se invertían tres segundos. ¿Podíaabrirse la cerradura en 10 jornadas?


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SoluciónCalculemos el número total de combinaciones posibles. Cada una de las 36 letras del primerrodillo puede unirse a cada una de las 36 letras del segundo rodillo. Así pues, el número decombinaciones posibles con dos letras de los dos rodillos será:

36 * 36 = 362

A cada una de estas combinaciones podemos añadir cualquiera de las 36 letras del tercer rodillo,con lo cual, el total de variantes con tres letras de los tres rodillos equivaldrá a:

362 * 36 = 363.

De esta misma manera hallemos la cantidad de combinaciones posibles con cuatro letras de loscuatro rodillos, que llegarán a 364 ; y con cinco letras de los cinco rodillos tendremos 365, o sea,60.466.176. Para practicar estas 60 millones y pico de combinaciones, dedicando tres segundos acada una, se necesitarán

3 * 60.466.176 = 181.398.528

segundos, es decir, más de 50.000 horas, lo que equivale a casi 6.300 jornadas de trabajo de ochohoras, ¡más de 20 años!Esto quiere decir que existen 10 casos favorables entre 6.300, o 1 entre 630, de que la caja seaabierta en 10 jornadas de trabajo. Por lo tanto, la probabilidad es muy reducida.Volver

7. Ciclista supersticioso

ProblemaHasta hace poco cada bicicleta debía tener una matrícula igual que el automóvil. Esta matrículatenía seis guarismos.Cierta persona muy supersticiosa adquirió una bicicleta con el propósito de aprender amanejarla. Cuando supo que a cierta avería, propia de éstas máquinas, se le denomina "ocho",se creyó condenado a algún contratiempo si en el número de su matrícula figuraba algún ocho.Al ir por ésta, le tranquilizó la siguiente reflexión: cualquiera que sea el número de la matrícula,debe formarse con guarismos del 0 al 9. De éstos, tan sólo el 8 es "aciago", por lo cual, de cada10 casos existe uno en que la matrícula resulte "infausta". ¿Es acertada esta deducción?

SoluciónEl número de las matrículas se compone de seis guarismos. Por lo tanto, habrá 999.999diferentes, desde el 000 001, 000 002, etc. hasta el 999 999. Calculemos ahora cuántos números"afortunados" podríamos encontrar. El lugar de las unidades del número puede ser ocupado poralguna de las nueve cifras "felices": 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. En el segundo lugar también puedeencontrarse una de estas cifras. De ahí que las dos primeras cifras den lugar a 9 * 9 = 9 2

combinaciones "favorables". A cada una de estas combinaciones puede agregarse una terceracifra de las nueve "bienhadadas"; por lo tanto las combinaciones "felices" de tres cifras llegan a92 * 9 = 93.


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De esta misma manera se deduce que el número de combinaciones "satisfactorias", compuestasde seis cifras, es igual a 96. No obstante, hay que tener en cuenta que este número comprende lacombinación 000 000, que no sirve para matrícula. Por consiguiente, la cantidad de matrículas"afortunadas" es de 96-1 =531.440, lo que constituye algo más del 53% del total de númerosposibles, y no el 90%, como suponía el ciclista en cuestión.El lector se convencerá de que en la serie de números con siete cifras, hay más "infaustos" que"bienhadados".Volver

8. Resultados de la duplicación consecutivaEn la famosa leyenda en la que se habla de la recompensa concedida al inventor del ajedrez3

puede encontrarse un ejemplo demostrativo del rápido incremento que se obtiene al duplicarrepetidamente un número por pequeño que sea. Sin detenerme en este paradigma clásico, meremitiré a otros menos conocidos.

ProblemaCada 27 horas, como término medio, el infusorio paramecio se parte en dos. Si todos losinfusorios surgidos de esta suerte quedaran vivos, ¿cuánto tiempo sería necesario para que losdescendientes de un paramecio llegaran a tener el volumen del Sol?Los datos necesarios para este cálculo son: la 40° generación, si se conservan todas desde laprimera, ocupa después de su desdoblamiento, un volumen igual a un metro cúbico. El volumendel Sol es de 1021 m3.

SoluciónLa tarea consiste en determinar cuántas veces 1 m3 debe multiplicarse por dos para llegar a 1027

m3

1027 = (103)9 ≈ (210)9 =290,

puesto que 210 ≈ l 000.De esta forma, la cuadragésima generación debe sufrir 90 nuevas divisiones sucesivas paraalcanzar el volumen del Sol. El número total de generaciones, incluyendo la primera, es de

40 + 90 = 130.

No ofrece dificultad alguna precisar que esto tiene lugar el día 147.El microbiólogo Metálnikov observó 8.061 divisiones sucesivas del paramecio. Que calcule elpropio lector el colosal volumen que tendría la última generación si no hubiera muerto ni unosolo de estos infusorios...La cuestión examinada en este problema puede ser presentada, como si dijéramos, desde el ladoopuesto.Imaginémonos que se ha dividido el Sol en dos mitades, que una de estas mitades también se hadividido en dos, etc. ¿Cuántas operaciones semejantes serían precisas para que resultara eltamaño de un infusorio?

3 Véase mi libro Matemáticas Recreativas, cap. VII


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Aunque el lector conoce ya la contestación, 130, no por eso deja de asombrar lo reducido de estenúmero.A mí me fue planteado este problema en la siguiente forma:Una hoja de papel es dividida en dos, y una de las mitades obtenidas es, a su vez, dividida por lamitad, etc. ¿Cuántas divisiones serían precisas para llegar a la dimensión del átomo?Supongamos que la hoja de papel pesa 1 gramo y que tomamos 1/(1024) de gramo como peso delátomo. Como quiera que 1024 puede sustituirse por 280, de valor aproximado, se hace evidenteque, se necesitan tan sólo unos 80 desdoblamientos, y no millones, como se contesta confrecuencia cuando se da a conocer este problema.Volver

9. Millones de veces más rápidoEl aparato eléctrico, llamado basculador, contiene dos lámparas electrónicas4. La corriente puedeentrar en el basculador sólo a través de una lámpara: bien por la de la "izquierda" o por la de la"derecha". El aparato tiene dos contactos, a los que puede enviarse desde afuera una señaleléctrica instantánea (impulso) y dos contactos a través de los cuales transmite el basculador laseñal de respuesta. En el momento en que llega el impulso eléctrico exterior, el basculadorcambia el contacto: la lámpara por la cual ha pasado la corriente se desconecta y la corrientecomienza a pasar por la otra lámpara. El basculador envía el impulso de respuesta al desconectarla lámpara de la derecha y conectar la de la izquierda.,Veamos ahora cómo funcionará el basculador si le enviamos varios impulsos consecutivos.Fijemos la situación del basculador basándonos en la lámpara de la derecha: si la corriente nopasa por ella convengamos en que el basculador se encuentra en la "posición 0"; y si la corrientepasa por ella (la derecha), el aparato se halla en la "posición 1".Supongamos que el basculador se encuentra en la posición 0, es decir, que la corriente pasa por lalámpara izquierda (fig. l). Después del primer impulso la corriente entra por la lámpara derecha,es decir, el basculador pasa a la posición 1. Entre tanto, el aparato no emite el impulso derespuesta, por cuanto ésta se produce sólo cuando se desconecta la lámpara derecha (no laizquierda).Después del segundo impulso, la corriente entra ya por la lámpara izquierda, es decir, elbasculador toma de nuevo la posición 0. Mas en ese instante, el basculador lanza la señal derespuesta (impulso).

4 Si en vez de las lámparas electrónicas uno va a utilizar transistores o, los así llamados, circuitos sólidos (de capas)no se cambiará el resultado.


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Figura 1.

A continuación (después de los dos impulsos), el aparato torna de nuevo a su posición inicial. Poreso, después del tercer impulso, el basculador vuelve a la posición 1, como lo hizo después delprimero; después del cuarto vuelve (como después del segundo) a la posición 0, enviando almismo tiempo la señal de respuesta, y así sucesivamente. Cada dos impulsos se repite la situacióndel basculador.Supongamos ahora que tenemos varios basculadores, y que los impulsos del exterior se envíansólo al primero de ellos, los impulsos de respuesta del primer basculador se transmiten alsegundo, los del segundo al tercero, etc. (en la fig. 2 se presentan los aparatos conectados en seriede derecha a izquierda). Veamos cómo funcionará esa cadena de basculadores.Supongamos que en el momento inicial, todos los basculadores se hallan en la posición 0. Porejemplo, para la serie de cinco basculadores tendremos la combinación 00000.Después del primer impulso el primer basculador (el del extremo de la derecha) toma la posición1, mas como en este caso no se da el impulso de contestación, todos los demás aparatospermanecen en la posición 0, es decir, la combinación se caracterizará por la posición 00001.Después del segundo impulso, el primer basculador se desconecta (vuelve a la posición 0), peroéste da la señal de respuesta, en virtud de la cual se conecta el segundo basculador sin producircambios en el resto de los aparatos, es decir, obtenemos la posición 00010. Después del tercerimpulso se conecta el primer basculador; los demás no cambian de posición. Tendremos lacombinación 00011. Con el cuarto impulso se desconecta el primer basculador; éste da la señalde respuesta que sirve de impulso desconectador del segundo basculador que también da elimpulso de respuesta; finalmente, con este último impulso se conecta el tercer basculador. Elresultado de todo esto será la combinación 00100.Si se continúan estos razonamientos resultará

Impulso Combinación1° 000012° 000103° 000114° 001005° 00101


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6° 001107° 001118° 01000

Se aprecia cómo esta serie de basculadores "cuenta" el número de señales recibidas del exterior ylo "anota" a su manera. No es difícil advertir que la anotación del número de impulsos recibos nose produce de acuerdo con el sistema de base diez, sino con el sistema de base dos.

Figura 2

En este sistema, la numeración se forma mediante unos y ceros. La unidad del segundo lugar noes diez veces mayor que la del primero, sino sólo dos veces. La unidad que en el sistema de basedos ocupa el último puesto (el de la derecha) es una unidad ordinaria. La unidad del siguienteorden (la que ocupa el segundo lugar contando desde la derecha) representa un dos; la siguienteunidad, un cuatro; la otra, un ocho, etc.Por ejemplo, el número 19=16+2+1 se registra en el sistema de base dos en forma de 10011.Quedamos pues en que la serie de basculadores "cuenta" el número de señales recibidas y las«anota» con el sistema de numeración de base dos. Obsérvese que el cambio de posición delbasculador, es decir, el registro de uno de los impulsos llegados, dura en total ¡algunasmillonésimas de segundo! Los contadores de basculador modernos pueden "contar" decenas demillones de impulsos por segundo, lo que abrevia la operación unas 100.000 de veces en relacióncon dicho cálculo hecho por una persona que no disponga de aparato alguno: la vista humanapuede distinguir con claridad señales que se sucedan con una frecuencia que no sea superior a 0,1segundo.Si se forma una serie de veinte basculadores, es decir, si se registra la cantidad de señales dadasen números que no tengan más de veinte cifras del sistema de base dos, entonces se puede«contar» hasta 2 20-1 o sea, más de un millón. Y si se forma una serie de 64 basculadores, sepuede registrar la famosa «cifra del ajedrez».La posibilidad de contar centenares de miles de señales en un segundo reviste gran importanciapara los trabajos experimentales relacionados con la física nuclear. Puede ser registrado, porejemplo, el número de partículas de uno u otro tipo que salgan despedidas en la desintegracióndel átomo.Volver

10. 10.000 operaciones por segundoMerece destacar que los esquemas de basculadores permiten también realizar operaciones concifras. Veamos, por ejemplo, cómo se efectúa la adición de dos números.


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Figura 3

Supongamos que tres series de basculadores se encuentran unidas como se indica en la fig. 3. Laserie superior sirve para registrar el primer sumando; la segunda serie, para el segundo sumando,y la inferior, para la suma. En el momento de conectar el aparato, a los basculadores de la serieinferior llegan impulsos de los basculadores de la serie superior y de la media que se encuentranen la posición 1.Admitamos que, como se señala en la fig. 3, las dos primeras series presentan los sumandos 101y 111 (con el sistema de numeración de base dos). En este caso, cuando conectemos el aparatollegarán al primer basculador de la serie inferior (el del extremo de la derecha) dos impulsos: losdel primer basculador de cada uno de los sumandos. Es sabido que al recibir dos impulsos, elprimer basculador queda en la posición 0, pero responde con un impulso que envía al segundobasculador. A éste llega, además, una señal del segundo sumando. De esta forma, al segundobasculador llegan dos impulsos; con esto queda en la posición 0 y envía el impulso de respuestaal tercer basculador. Asimismo, al tercero llegan otros dos impulsos de cada uno de lossumandos. En consecuencia, a cada una de las tres señales, el tercer basculador pasa a la posición1 y despide un impulso de respuesta. Este último impulso traslada el cuarto basculador a laposición 1 (al cuarto no llegan más señales). Así es cómo en el aparato representado en la fig. 3se ha realizado, mediante el sistema de numeración de base dos, una suma de dos números "encolumna":

101+1111100

o, según la suma del sistema decimal, 5 + 7 = 12. Al darse la señal de respuesta en la serieinferior de basculadores parece como si el aparato "llevara una unidad" de la columna anterior yla pasara a la siguiente, es decir, hace lo mismo que cuando sumamos en "columna".Si en cada serie hubiera en lugar de cuatro, 20 basculadores, por ejemplo, podríamos realizarsumas de números inferiores a un millón y, si se aumentara todavía más el número debasculadores, sería posible sumar cantidades mayores.Debemos advertir que en la práctica, el esquema de este mecanismo debe ser mucho máscomplicado de lo que aparece en la fig. 3. Entre otras cosas, la máquina debe tener un aparatoespecial que asegure el "retardo" de las señales. En efecto: en la máquina representada en elesquema, las señales de los dos sumandos le llegan simultáneamente (en el instante que seconecta la máquina) al primer basculador de la serie inferior. Por ello ambas señales se fundiránen una sola, siendo registradas por el basculador, no como dos, sino como una señal única. Paraevitar esto es preciso que las señales de los sumandos no lleguen a la vez, sino unas más «tarde»


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que las otras. La presencia de este "retardador" determina que en la suma se emplee más tiempodel necesario para el registro de una señal en el contador de los basculadores.Si se cambia el esquema de la máquina cabe efectuar la sustracción en lugar de la adición. Puedeemplearse también para la multiplicación (que consiste en la adición consecutiva de sumandos, loque exige más tiempo), la división y otras operaciones.Los aparatos a que nos hemos referido se emplean en las máquinas modernas de cálculo. Estaspueden realizar en un segundo ¡decenas e incluso centenares de miles de operaciones numéricas!Esta vertiginosa rapidez operativo puede parecernos superflua. ¿Qué diferencia puede haber, porejemplo, en que la máquina eleve un número de 15 cifras al cuadrado en una diezmilésima desegundo o, supongamos, en un cuarto de segundo? Lo uno y lo otro nos parecerán soluciones"instantáneas" del ejercicio... sin embargo, no hay que apresurarse en las conclusiones. Tomemosel siguiente ejemplo: Un buen ajedrecista, antes de mover una pieza analiza decenas e inclusocentenares de variantes posibles. Si suponemos que el análisis de una variante le ocupa algunossegundos, para el examen de centenares de ellas precisará minutos y decenas de minutos. No esraro que en las partidas complicadas, los jugadores resulten en «zeitnot», es decir, se veanobligados realizar las últimas jugadas apresuradamente porque al meditar los planes anterioreshan agotado casi todo el tiempo destinado a la partida. ¿Y si encargamos a la máquina el examende las variantes de jugada en la partida de ajedrez? La máquina, como sabemos, no puede caernunca en "zeitnot", ya que hace miles de operaciones por segundo y puede analizar todas lasvariantes “instantáneamente"...Podrá objetarse que una cosa es efectuar operaciones por complicadas que y otra, jugar ajedrez:¡la máquina no puede hacer esto! ¡Al analizar las variantes, el ajedrecista no opera, sino quepiensa! Mas no divaguemos ahora; volveremos a esto más adelante.Volver

11. Cantidad posible de partidas de ajedrezHagamos el cálculo más o menos exacto del número de partidas de ajedrez posibles. Comocarece de sentido la determinación precisa, ofreceremos al lector un intento de determinaraproximadamente el número de partidas de ajedrez posibles. En el libro La matemática de losjuegos y distracciones matemáticas, de M. Kraitchik, matemático belga, encontramos el siguientecálculo:"Al mover la primera pieza, las blancas tienen 20 jugadas a elegir (16 jugadas con los ochopeones, cada uno de los cuales puede avanzar un escaque o dos; y dos jugadas de cada caballo).A cada jugada de las blancas, las negras pueden contestar con cualquiera de esas variantes.Combinando cada movimiento de las blancas con cada uno de las negras tendremos 20 * 20 =400 variantes después de la primera jugada por ambas partes.Después del primer movimiento, el número de jugadas posibles es aún mayor. Si las blancas hanmovido, por ejemplo, e2 - e4, para la segunda jugada, tienen ya 29 variantes a elegir. En losucesivo, el número de jugadas posibles es todavía mayor. Tan sólo la reina, encontrándose, porejemplo, en el escaque d5, puede hacer 27 movimientos (suponiendo que todas las casillas dondepuede ir estén libres). Sin embargo, para simplificar el cálculo, nos atendremos a las siguientescifras medias: 20 variantes para cada una de las partes en las primeras cinco jugadas; 30 variantespara cada parte en todas las demás jugadas.Admitamos, además, que el total de jugadas en una partida normal, como término medio, sea 40.Partiendo de este supuesto, las partidas posibles serán:

(20 * 20)5 * (30 * 30)35


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Para determinar la magnitud aproximada de esta expresión nos valdremos de las siguientestransformaciones y simplificaciones:

(20 * 20)5 * (30 * 30)35 = 2010 * 3070 = 210 * 370 * 1080.

Sustituyamos 210 por 1.000, que es una magnitud parecida, es decir, por 103.Presentamos la potencia 310 en la forma que sigue:

370 = 368 * 32 ≈ 10 * (34)17 ≈ 10 * 8017 = 10 * 817 * 1017=251 * 1018 =

= 2 * (210)5 * 1018 ≈ 2 * 1015 * 1018 = 2 * 1033

por consiguiente,

(20 * 20)5 * (30 * 30)35 ≈ 103 * 2 * 1033 * 1080 = 2 * 10116.

Este número deja muy atrás a la consabida cantidad de granos de trigo pedida como premio por lainvención del ajedrez (2 64- 1 ≈18 * 1018). Si toda la población del globo terrestre jugara alajedrez el día entero, moviendo una pieza cada segundo, para agotar todas las posibles partidas deajedrez, ese juego general y permanente duraría ¡no menos de 10100 siglos!Volver

12. El secreto de la máquina de jugar al ajedrez

Figura 4

Sin duda asombrará al lector enterarse de que en cierta época existían máquinas automáticas deajedrez. En efecto, ¿cómo concebir semejantes aparatos si el número de combinaciones de laspiezas en el tablero de ajedrez es prácticamente infinito?Su explicación es muy sencilla. No era una máquina lo que existía, sino la fe en ella. Un aparatoque gozó de gran popularidad fue el del mecánico húngaro Wolfgang von Kempelen (1734-1804), que lo presentó en las cortes austriaca y rusa y después hizo con él exhibiciones públicas


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en París y Londres. Napoleón I jugó con esta máquina creyendo que se enfrentaba de verdad conella. A mediados del pasado siglo el célebre aparato fue a parar a América, destruyéndolo unincendio en Filadelfia.La fama de las demás máquinas fue menos ruidosa. No obstante, ni aún en tiempos posteriores seperdió la fe en la existencia de tales aparatos.En realidad, ni una sola máquina de ajedrez actuaba automáticamente. En su interior se ocultabaun adiestrado ajedrecista que movía las piezas. Este seudo automático lo formaba un voluminosocajón en cuyo interior había un complejo mecanismo,. El cajón tenía también un tablero deajedrez con sus piezas que movía la mano de un gran muñeco. Antes de empezar el juego sepermitía al público que se cerciorara de que en el cajón no había más que las piezas delmecanismo. Sin embargo, en dicho cajón quedaba sitio suficiente para ocultar a un hombre debaja estatura (ese papel fue desempeñado en su tiempo por los célebres ajedrecistas JohannAllgaier y William Lewis). Es probable que mientras se iban mostrando sucesivamente al públicodiferentes departamentos del cajón, la persona escondida pasara con sigilo de un lugar a otro sinser vista. El mecanismo de por sí no tornaba parte en el funcionamiento del aparato, sirviendo tansólo para velar la presenciadel jugador de carne y hueso.De lo dicho puede concluirse lo siguiente: el número de partidas de ajedrez es prácticamenteinfinito, por lo cual sólo en la imaginación de personas cándidas pueden existir máquinasindicadoras del movimiento más acertado. De ahí que no deba temerse crisis alguna en el juegodel ajedrez.No obstante, en los últimos años se han producido acontecimientos que ponen en duda laveracidad de tal afirmación. Ya existen máquinas que "juegan" al ajedrez. Nos referimos a lascomplicadas máquinas de cálculo que permiten efectuar miles de operaciones por segundo. Deellas hemos hablado más arriba. Mas, ¿cómo pueden "jugar" al ajedrez estas máquinas? Claro esque ninguna máquina de cálculo puede hacer otra cosa que operar con números. Mas el aparatoefectúa las operaciones siguiendo un esquema previo y de acuerdo con un programa elaborado deantemano. El "programa" de ajedrez lo confeccionan los matemáticos a base de una determinadatáctica de juego; entendiendo por táctica el sistema de reglas que permite elegir, en cada posición,la salida más efectiva (la "mejor" desde el punto de vista de la táctica dada).He aquí uno de los ejemplos de la misma. A cada trebejo se le adjudica un determinado númerode puntos, que determina su valor.

El rey +200 puntos El peón +1 puntoLa reina +9 Un peón atrasado -0,5La torre +5 Un peón aislado -0,5El alfil +3 Un peón doblado -0,5El caballo +3

Además se fija una determinada valoración a las posiciones más favorables (movilidad de lasfiguras, colocación de éstas más cerca del centro que de los costados, etc.) que son expresadas endécimas de punto. Del número global de puntos que tienen las blancas, se descuenta la suma depuntos de las negras. La diferencia reflejará, hasta cierto punto, la superioridad material y deposición que tienen las blancas sobre las negras. Si esta diferencia es positiva, la situación de lasblancas será más ventajosa que la de las negras; si es negativa, será menos ventajosa.La máquina de calcular señala cómo puede cambiar en el curso de tres jugadas la diferenciaregistrada. Indica la combinación de tres lances más ventajosa y la registra en una tarjeta


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especial; con ello, la "jugada" está hecha 5. Para ello la máquina emplea muy poco tiempo(dependiendo éste del programa y de la velocidad operativo de la máquina), de forma que no haymotivo para temer el "zeitnot".Es cierto que el hecho de "prever" una partida sólo con tres jugadas por anticipado caracteriza ala máquina como "jugador" bastante mediocre6. Pero podemos estar seguros de que con el rápidoperfeccionamiento actual de la técnica de calcular, las máquinas "aprenderán" a "jugar" al ajedrezmucho mejor.Nos sería difícil exponer con más detalle la composición de programas de ajedrez para lamáquina de cálculo. Algunos tipos sencillos de programas serán examinados esquemáticamenteen el próximo capítulo.Volver

13. Los tres dosesCon seguridad que todos sabrán cómo deben escribirse tres cifras para que se alcance con ellas sumáximo valor. Deben tomarse tres nueves y colocarlos así:

999

es decir, escribiendo la potencia de una potencia.Este número es tan enormemente grande que es imposible encontrar con qué compararlo. Elnúmero de electrones que forman todo el Universo visible es una insignificancia respecto a estenúmero. En mis Matemáticas Recreativas (cap. X) me ocupé del particular. He insistido en esteejemplo porque me propongo ofrecer aquí otro ejercicio del mismo tipo:

ProblemaVéase la forma de alcanzar el número más alto con tres doses sin emplear signo alguno.

SoluciónEl ejemplo anterior inducirá sin duda a colocar los doses del mismo modo, es decir:

222

Sin embargo, en este caso no se logra el efecto deseado. El resultado es incluso menor que 222.En efecto, hemos escrito tan sólo 24, es decir, 16.El número mayor, entre los que pueden formar tres doses, no es 222 ni 222 (es decir, 484), sino

222 = 4.194.304.

5 Existen también otros tipos de "táctica" de ajedrez. Por ejemplo, en el cálculo pueden tenerse en cuenta no todas lasjugadas con que puede replicar el adversario, sino sólo las más "serias" (el jaque, la toma de alguna pieza, el ataque,la' defensa, etc.). En otros casos, cuando las jugadas del adversario sean muy peligrosas, puede practicarse el cálculono sólo de tres, sino de un número mayor de lances por adelantado. También es posible el empleo de otra escaladistinta para los valores de las piezas. En dependencia de una u otra táctica cambia el ,,estilo de juego" de lamáquina.6 En las partidas de los mejores maestros de ajedrez se calculan combinaciones de 10 o más jugadas por anticipado.


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El ejemplo es muy aleccionador, y enseña que en matemáticas resulta peligroso servirse deanalogías: éstas pueden conducirnos fácilmente a conclusiones erróneas.Volver

14. Los tres treses

ProblemaDespués de esto, quizá se proceda con mayor precaución al resolver el siguiente problema:Escríbanse tres treses de forma que adquieran su máximo valor sin emplear ningún signo.

SoluciónLa potencia de potencia no ofrece aquí el efecto deseado porque

333 , es decir, 327 es menor que333.La última disposición de los treses es la que responde a la pregunta formulada.Volver

15. Los tres cuatros

ProblemaEscríbanse tres cuatros de forma que adquieran su máximo valor sin recurrir a signos.

SoluciónSi se sigue el ejemplo de los dos ejercicios anteriores, es decir,

444

no se obtiene la solución más favorable, puesto que en este caso, la potencia de potencia,

444

proporciona el valor máximo posible. Ya que 44 =256, y 4256 es mayor que 444.Volver

16. Con tres cifras igualesProcuremos profundizar en este intrigante fenómeno y aclarar por qué, cuando con las cifras seestablece una potencia de potencia, unas veces se obtienen números enormemente altos y otras,no. Examinemos el caso general.. Obténgase el número más elevado posible dado por tres cifrasiguales prescindiendo de todo signo.Representemos la cifra con la letra a. A la distribución

222, 333, 444

corresponde la expresión

a(10a + a) , es decir a11a

La potencia de potencia, en su aspecto general, se presenta así:


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aaa

Determinemos cuál ha de ser el valor de a para que la última variante sea de mayor magnitud quela primera. Como quiera que ambas potencias tienen idéntica base entera, a mayor exponentecorresponderá mayor valor. ¿En qué caso

aa > 11a?

Dividamos ambos miembros de la desigualdad por a, y tendremos

aa-1 > 11.

Es fácil determinar que aa-1 es mayor que 11 sólo en el caso en que a sea mayor que 3, puesto que

44 - 1 > 11en tanto que las potencias

32 y 21

son menores que 11.Quedan, pues, explicadas las sorpresas con que hemos tropezado al resolver los problemasprecedentes: para los doses y los treses había que servirse de potencias con exponentes de doscifras, para los cuatros y cifras mayores tiene que emplearse la potencia de potenciaVolver

17. Los cuatro unos

ProblemaObténgase la cantidad más elevada posible con cuatro unos sin emplear ningún signo.

SoluciónEl número 1.111 no responde a las exigencias del problema, por ser mucho más pequeño que 1111

Sería muy laborioso encontrar este número mediante 11 multiplicaciones consecutivas por 11.Sin embargo, puede hacerse el cálculo con mucha mayor rapidez utilizando las tablas delogaritmos.Este número rebasa los 285 000 millones y, por lo tanto, es más de 25 millones de veces mayorque 1.111.Volver

18. Los cuatro doses

ProblemaResolvamos este problema tratándose de doses. ¿Cómo deben disponerse cuatro doses para queadquieran su máximo valor?


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SoluciónLas combinaciones posibles son 8:

2222, 2222, 2222, 2222,

((22)2 )2 , ((2)22 )2, ((2)2)22, (((2)2 )2 )2

¿Cuál de estos valores es el mayor?Examinemos la primera fila.El primer número, 2.222, es a todas luces menor que las tres potencias que le siguen. Paraestablecer una comparación entre las dos siguientes

2222 y 2222,

transformemos la segunda de ellas:

2222 = 222*11 = (222)11 = 48411.

Esta última es mayor que 2222, ya que tanto la base como el exponente son mayores que los de2222.Comparemos ahora 2222 con 2222 . Sustituyamos 2222 por otra magnitud superior, 3222 y veremosque incluso ésta es menor que 2222.En efecto,

3222 = (25)22 = 2110

que es menor que 2222.

Quedamos, pues, en que el valor más elevado de la primera fila es 2222. Comparemos ahora lamayor potencia de la primera fila y las cuatro de la segunda:

((22)2 )2 , ((2)22 )2, ((2)2)22, (((2)2 )2 )2

La última potencia es sólo igual a 216, por lo que queda eliminada. Prosigamos. La primera deesta fila equivale a 224 y es menor que 324 o que 220, por cuya razón es inferior a las dos que lasiguen. Quedan sólo tres potencias a comparar, todas de base 2. Es evidente que será mayoraquella que tenga mayor exponente. De los tres

222, 484 y 220+2 (= 210*2 * 22 ≈106 * 4)

el último es el mayor.Por eso, el valor más elevado que pueden tomar los cuatro doses vendrá expresado como sigue:

((2)2)22

Sin recurrir a la tabla de logaritmos podernos imaginarnos aproximadamente la magnitud de estapotencia valiéndonos de un número aproximado:


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210 ≈ 1 000.

Y así es, en efecto:222=220 * 22 ≈ 4 * 106

((2)2)22 ≈ 24000000 > 101200000.

Este número consta de más de un millón de cifras.Volver


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Capítulo SegundoEL IDIOMA DEL ALGEBRA

Contenido1. El arte de plantear ecuaciones2. La vida de Diofanto3. El caballo y el mulo4. Los cuatro hermanos5. Las aves de la orilla6. E1 paseo7. E1 artel de segadores8. Las vacas en el prado9. El problema de Newton10. E1 cambio de las manecillas del reloj11. Coincidencia de las saetas12. E1 arte de adivinar números13. Un supuesto absurdo14. La ecuación piensa por nosotros15. Curiosidades y sorpresas16. En la peluquería17. El tranvía y el peatón18. El barco y la balsa19. Dos botes de café20. Velada21. Exploración marina22. En el velódromo23. Carrera de motocicletas24. Velocidad media25. Máquinas de cálculo rápido

1. El arte de plantear ecuaciones.El idioma del álgebra es la ecuación. "Para resolver un problema referente a números o relacionesabstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idiomaalgebraico», escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal. IsaacNewton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la traducción. He aquí uno de ellos:

En la lengua vernácula: En el idioma del álgebra:Un comerciante tenía una determinada sumade dinero x

El primer año se gastó 100 libras x - 100

Aumentó el resto con un tercio de éste34004

3)100(

)100(−

=−

+−xx

x

Al año siguiente volvió a gastar 100 libras3

7004100

34004 −

=−− xx


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y aumentó la suma restante en un tercio de ella9

800.2169

70043

7004 −=

−+

− xxx

El tercer año gastó de nuevo 100 libras9370016

1009

280016 −=−

− xx

Después de que hubo agregado su terceraparte 27

148006427

3700169370016 −

=−

+− xxx

el capital llegó al doble del inicial xx

2271480064

=−

SoluciónPara determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la últimaecuación.La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación a basede los datos de un problema suele ser más difícil. Hemos visto que el arte de plantear ecuacionesconsiste, efectivamente, en traducir "la lengua vernáculo a la algebraica". Pero el idioma delálgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fáciltraducción. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad, como puedeconvencerse el lector a la vista de los ejemplos de ecuación de primer grado expuestos.Volver

2. La vida de DiofantoProblemaLa historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de laantigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura ensu sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Reproducimos estainscripción:

En la lengua vernácula En el idioma del álgebra:¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos deDiofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh,milagro!, cuán larga fue su vida,

x

cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. x / 6Había transcurrido además una duodécima partede su vida, cuando de vello cubrióse su barbilla x / 12

Y la séptima parte de su existencia transcurrió enun matrimonio estéril.

x / 7

Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso elnacimiento de su precioso primogénito, 5

que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, ala tierra, que duró tan sólo la mitad de la de supadre

x / 2

Y con profunda pena descendió a la sepultura,habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su 4

25

7126+++++=

xxxxx


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hijoDime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó la muerte.

SoluciónAl resolver la ecuación y hallar el valor de la incógnita, 84, conocemos los siguientes datosbiográficos de Diofanto: se casó a los 21 años, fue padre a los 38, perdió a su hijo a los 80 ymurió a los 84.Volver

3. El caballo y el muloProblemaHe aquí un antiguo ejercicio muy sencillo y fácil de traducir al idioma de] álgebra."Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábaseel jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: "¿De qué te quejas? Si yo te tomara unsaco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga se igualará a lamía". ¿Decidme, doctos matemáticos, cuántos sacos llevaba el caballo, y cuántos el mulo?".

Solución

Si yo te tomara un saco x - 1mi carga y + 1sería el doble que la tuya. y + 1 = 2 (x - 1)Y si te doy un saco, y - 1tu carga x + 1se igualará a la mía y - 1 = x + 1

Hemos planteado el problema mediante un sistema de ecuaciones con dos incógnitas:

y + 1 = 2 * (x - 1)y - 1 = x + 1

ó2x – y = 3y – x = 2

Una vez resuelto el sistema vemos que x = 5, y = 7. El caballo llevaba 5 sacos, y el mulo, 7.Volver

4. Los cuatro hermanosProblemaCuatro hermanos tienen 45 rublos. Si el dinero del primero es aumentado en 2 rublos, el delsegundo reducido en 2 rublos, se duplica el del tercero y el del cuarto se reduce a la mitad, todoslos hermanos tendrán la misma cantidad de rublos. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

Solución

Los cuatro hermanos tienen 45 rublos x + y + z + t = 45


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Si al dinero del primero se le agregan 2rublos x + 2

al del segundo se restan 2 rublos y - 2el del tercero se duplica, 2zy el del cuarto se divide por dos t / 2a todos los hermanos les quedará la mismacantidad de rublos

x + 2 = y - 2 = 2z = t /2

La última ecuación nos permite plantear tres ecuaciones independientes:

=+

=+

−=+

zx

tx

yx

222

2

22

de donde

+=

+=

+=

422

24

xt

xz

xy

Colocando estos valores en la primera ecuación, tendremos:

x + x + 4 + (x + 2) / 2 + 2x + 4 = 45

de donde x = 8.A continuación hallamos que y = 12, z = 5, t = 20. Por lo tanto, los hermanos tenían: 8, 12, 5 y 20rublos.Volver

5. Las aves de la orillaProblemaEn las obras de un matemático árabe del siglo XI hallamos el siguiente problema:A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, la una frente a la otra. La altura de una es de 30codos, y la de la otra, de 20. La distancia entre sus troncos, 50 codos. En la copa de cadapalmera hay un pájaro. De súbito los dos pájaros descubren un pez que aparece en la superficiedel agua, entre las dos palmeras. Los pájaros se lanzaron y alcanzaron el pez al mismo tiempo.¿A qué distancia del tronco de la palmera mayor apareció el pez?


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Figura 5

SoluciónMediante la fig. 5 y aplicando el teorema de Pitágoras, establecemos:

AB2 = 302 + x2

AC2 = 202 + (50 - x)2.

Pero AB = AC, por cuanto los pájaros cubren esta distancia en un mismo tiempo. Por eso,

302 + x2 = 202 + (50 - x)2.

Al quitar los paréntesis simplificando la fórmula nos encontramos con una ecuación de primergrado:

100x = 2 000,

de donde

x = 20.

El pez apareció a 20 codos de la palmera que tenía 30 codos de altura.Volver

6. El paseoProblema - Pase usted mañana por mi casa - dijo el viejo doctor a un conocido. - Muy agradecido. Saldré mañana a las tres. Quizá desee usted dar también un paseo. En estecaso salga a la misma hora y nos encontraremos a la mitad del camino. - Usted olvida que soy ya viejo y ando tan sólo tres kilómetros por hora, en tanto que usted,jovenzuelo, cuando más despacio va, hace 4 kilómetros por hora. No sería ningún delito que meconcediera alguna ventaja.


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- Tiene razón - contestó el joven - . Comoquiera que yo recorro un kilómetro a la hora más queusted, le doy este kilómetro de ventaja, es decir, saldré de casa un cuarto de hora antes ¿le serásuficiente? - Es usted muy amable - aprobó al instante el anciano. El joven cumplió lo prometido y salió desu casa a las tres menos cuarto, marchando a 4 kilómetros por hora. El doctor salió a la calle alas tres en punto y anduvo a tres kilómetros por hora. Cuando se encontraron, el anciano dio lavuelta, yendo juntos a su domicilio.Tan sólo cuando el joven regresó a su casa comprendió que debido a la ventaja concedida tuvoque caminar, no el doble, sino el cuádruplo de lo que anduvo el doctor.¿A qué distancia de la casa del doctor estaba la de su joven conocido?

SoluciónExpresemos la distancia que separa las casas con la x (km). El joven anduvo en total 2x, y eldoctor, la cuarta parte, es decir x / 2 . Desde que salió de casa hasta que se encontraron, el doctorrecorrió la mitad de cuanto anduvo en total, es decir, x / 4 , y el joven hizo el resto, es decir, 3x /4. El anciano caminó x / 12 y el joven 3x / 16 horas; además, sabemos que éste caminó ¼ de horamás que el doctor.Establezcamos la siguiente ecuación

41

12163

=−xx

de donde x = 2,4 km.Entre las dos casas mediaba una distancia de 2,4 km.Volver

7. El artel de segadoresEn los recuerdos acerca de L. Tolstói, el conocido físico A. Tsínguer refiere el siguienteproblema que agradaba en extremo al eminente escritor:

Problema"Un artel de segadores debía segar dos prados, uno tenía doble superficie que otro. Durantemedio día trabajó todo el personal del artel en el prado grande; después de la comida, una mitadde la gente quedó en el prado grande; y la otra mitad trabajó en el pequeño. Durante esa tardefueron terminados los dos tajos, a excepción de un reducido sector del prado pequeño, cuyasiega ocupó el día siguiente completo a un solo segador. ¿Con cuántos segadores contaba elartel?".

SoluciónEn este ejercicio, además de la incógnita fundamental - número de segadores - que expresamoscon la x, es conveniente introducir otra incógnita complementaria: la superficie del sector segadopor un trabajador en un solo día, que expresamos con la y.Aunque el problema no exige que se halle su valor, contribuye a encontrar la raíz de la x.Representemos la superficie del prado grande con x e y. Este prado lo segaron durante medio díax trabajadores, que segaron ½ * (x * y) = x * y / 2


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Figura 6

Durante la segunda parte del día trabajó allí la mitad del artel, es decir, x / 2 y segaron

x / 2 * ½ * y = x * y / 4

Comoquiera que al final de la jornada había sido segado todo el prado, su área será:

x * y / 2 + x * y / 4 = 3 * x * y / 4

Expresamos ahora la superficie del prado menor mediante x e y. Durante medio día se ocuparonen él x trabajadores y segaron una superficie de

½ * x / 2 * y = x * y / 4

Agreguemos a esto el sector que quedó sin segar, que es igual a y (superficie segada por untrabajador en una jornada), y hallaremos la superficie del prado menor:

x * y / 4 + y = (x * y + 4 * y ) / 4

No nos queda más que traducir al idioma del álgebra la frase "el primer prado tiene doblesuperficie que el segundo", y la ecuación quedará establecida como sigue:

24

3

2

44

43

=+

=+

yxyxy

yxy

xy


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Dividiendo por y el numerador y denominador del quebrado de la segunda igualdad, se elimina laincógnita auxiliar, resultando la siguiente ecuación:

3x / (x + 4) = 2, ó 3x = 2x + 8de donde

x = 8.

En el artel habla 8 segadores.Después de haber sido publicada la primera edición del Algebra Recreativa, el profesor A.Tsínguer me envió una información detallada y muy interesante, relacionada con este problema.El efecto esencial del problema, a su juicio, reside en que "no es algebraico en absoluto sinoaritmético, y aunque es muy sencillo se tropieza conciertas dificultades en su resolución debido aque no es de tipo corriente"."La historia del presente problema es la siguiente - continúa el profesor A. Tsínguer - . En lafacultad de matemáticas de la Universidad de Moscú, cuando estudiaban en ella mi padre e I.Raievski, mi tío, (amigo íntimo de L. Tolstói), entre otras disciplinas se enseñaba algo semejantea la pedagogía. A este fin, los estudiantes debían ir a una escuela pública urbana, puesta adisposición de la universidad, y en colaboración con expertos y venerables maestros, hacíanprácticas pedagógicas. Entre los compañeros de estudios de Tsínguer y Raievski había un talPetrov, que, según cuentan, era persona muy inteligente y original en extremo. Este Petrov(fallecido en su juventud, creo que de tisis) afirmaba que en las clases de aritmética embrutecíana los escolares con problemas y métodos estereotipados. Para poner de evidencia su punto devista, Petrov ingeniaba problemas que por salirse de las normas corrientes embarazaban a los"expertos y venerables maestros", pero que los alumnos más lúcidos, todavía no embotados por elestudio rutinario, resolvían con facilidad. Entre dichos problemas (Petrov discurrió varios) estabael de los segadores. Los maestros con experiencia, claro, podían resolverlo con facilidadmediante ecuaciones, pero no daban con su sencilla resolución aritmética. Sin embargo, elproblema es tan fácil que para resolverlo en absoluto no merece la pena servirse del álgebra.Si el prado mayor fue segado por todo el personal del artel en medio día, y por la mitad de lagente en el resto de la jornada, es natural que medio artel segó en medio día 1 / 3 del prado. Porconsiguiente, en el prado menor quedaba sin segar

1 / 2 - 1 / 3 = 1 / 6

Si un trabajador siega en un día 1 / 6 del prado, y si fue segado 6 / 6 + 2 / 6 = 8 / 6, esto quieredecir que había 8 segadores.Tolstói, aficionado de siempre a los problemas que se resuelven utilizando algún subterfugio yofrecen cierta dificultad, conocía desde la juventud éste, de los segadores, gracias a mi padre.Cuando tuve ocasión de hablar de dicho problema con Tolstói, ya anciano, le agradaba, sobretodo, el hecho de que el problema se hace más comprensible si, al resolverlo, se emplea estesencillo diagrama (fig. 7)".


Patricio Barros

Figura 7.

Ofrecemos a continuación algunos problemas que, con cierta imaginación, son más fáciles deresolver por medio de la aritmética que valiéndose del álgebra.Volver

8. Las vacas en el pradoProblema"Al estudiar las ciencias, los ejercicios son más útiles que las reglas",escribía Newton en suAritmética Universal, y acompañaba las indicaciones teóricas con una serie de ejemplos. Entreellos hallamos el de los toros que pastan en el prado, que generó un tipo específico de problemassemejantes a éste:"La hierba crece en todo el prado con igual rapidez y espesura. Se sabe que 70 vacas se lacomerían en 24 días, y 30, en 60 días. ¿Cuántas vacas se comerían toda la hierba en 96 días?".Este problema sirvió de argumento para un cuento humorístico, que recuerda el Maestroparticular de Chéjov. Dos adultos, familiares del escolar a quien habían encargado resolver esteproblema, se esforzaban inútilmente por hallar su solución y se asombraban: - ¡Qué extraño es el resultado! - dijo uno - . Si en 24 días 70 vacas se comen la hierba, entonces,¿cuántas vacas se la comerán en 96 días? Claro que 1 / 4 de 70, es decir, 17 1 / 2 vacas... ¡Estees el primer absurdo! El segundo todavía más extraño, es que si 30 vacas se comen la hierba en60 días, en 96 se la comerán 18 3 / 4 vacas. Además, si 70 vacas se comen la hierba en 24 días,30 vacas emplean en ello 56 días, y no 60, como afirma el problema. - ¿Pero tiene usted en cuenta que la hierba crece sin cesar? - preguntó otro.La observación era razonable; la hierba crece incesantemente, circunstancia que no puedeecharse en olvido, pues en ese caso no sólo no puede resolverse el problema, sino que susmismas condiciones parecerán contradictorias.¿Cómo debe resolverse pues, el problema?

SoluciónIntroduzcamos también aquí una segunda incógnita, que representará el crecimiento diario de lahierba, expresado en partes de las reservas de la misma en el prado. En una jornada hay uncrecimiento de y; en 24 días será 24y. Si tomamos todo el pasto como 1, entonces, en 24 días lasvacas se comerán

1 + 24yEn una jornada las 70 vacas comerán

(1 + 24y) / 24


Patricio Barros

y una vaca (de las 70) comerá

(1 + 24y) / (24 * 70)

Siguiendo el mismo razonamiento: si 30 vacas acaban con toda la hierba del prado en 60 días,una vaca comerá en un día

1 + 60y / (30 * 60)

Pero la cantidad de hierba comida por una vaca en un solo día es igual para los dos rebaños. Poreso

(1 + 24y) / (24 * 70) = (1 + 60y) / (30 * 60)

de dondey = 1 / 480

Cuando se halla y (medida de crecimiento) es ya fácil determinar qué parte de la reserva inicial secome una vaca al día

(1 + 24y) / (24 * 70) = (1 + 24 / 480) / (24 * 70) = 1 / 1600

Por último establecemos la ecuación para la solución definitiva del problema: si el número devacas es x, entonces,

{1 + (96 / 480)} / 96x = 1600

de donde x = 2020 vacas se comerían toda la hierba en 96 días.Volver

9. El problema de NewtonExaminemos ahora un problema del mismo tipo que el anterior: el problema de Newton acerca delos toros.El problema, en realidad, no fue ideado por Newton, sino que es de origen popular.

Problema"Tres prados cubiertos de hierba de una misma espesura y con el mismo grado de crecimiento,tienen un área de 3 1/3 Ha, 10 Ha y 24 Ha. La hierba del primero es comida por 12 toros durante4 semanas; la del segundo, por 21 toros durante 9 semanas. ¿Cuántos toros comerán la hierbadel tercero durante 18 semanas?"

SoluciónIntroducimos la incógnita auxiliar y, que significa la parte de la reserva inicial de hierba que creceen 1 Ha durante una semana. En el primer prado crece durante la primera semana una cantidad dehierba iguala 3 1/3 y; durante 4 semanas, 3 1/3 y * 4 = (40 / 3)*y de la reserva de hierba que habíainicialmente en 1 Ha. Esto equivale a un crecimiento del área inicial del prado igual a:


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3 1/3 + (40 / 3)y

hectáreas. En otras palabras: los toros comen tanta hierba como se precisa para cubrir un prado de{3 1/3 + (40 / 3)y} hectáreas. En una semana 12 toros se comen un cuarto de esta cantidad, y untoro come en una semana 1 / 48, es decir, la reserva de hierba que hay en un área de

{3 1 / 3 + (40 / 3)y} / 48 = (10 + 40y) / 144 hectáreas.

De esa misma manera, con los datos del segundo prado, hallamos el área de éste que alimenta aun solo toro durante una semana:

crecimiento de la hierba en 1 Ha durante 1 semana = ycrecimiento de la hierba en 1 Ha durante 9 semanas = 9ycrecimiento de la hierba en 10 Ha durante 9 semanas = 90y

La superficie del sector que contiene hierba suficiente para alimentar 21 toros durante 9 semanases igual a

10 + 90y.

El área necesaria para mantener un toro durante una semana será:

(10 + 90y) / 9 * 21 = (10 + 90y) / 189

hectáreas. Ambas normas de alimentación deben ser idénticas:

(10 + 40y) / 144 = (10 + 90y) / 189

Al despejar la incógnita encontramos que y = 1 / 12. Veamos ahora cuál debe ser el área delprado con hierba suficiente para mantener un toro durante una semana:

(10 + 40y) / 144 = (10 + 40 / 12) / 144 = 5 / 54

hectáreas. Ocupémonos, por último, de la pregunta del problema. Si representamos el númerodesconocido de toros con la x, tendremos:

{24 + (24 * 18 / 12)} / 18x = 5 / 54

de donde x = 36.El tercer prado puede mantener 36 toros durante 18 semanas.Volver

10. El cambio de las manecillas del relojProblemaA. Moshkovski, biógrafo y amigo del famoso físico Albert Einstein, en su deseo de distraer a éstedurante su enfermedad, le propuso resolver el problema siguiente (fig. 8):


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"Tomemos un reloj - dijo Moshkovski - que tenga las saetas en las 12. Si en esta posición elminutero y el horario cambiaran de función, la hora marcada sería la misma; pero a otrashoras, por ejemplo, a las 6 esa permuta de las saetas daría lugar a un absurdo, a una situaciónque, en un reloj que marchara normalmente no podría producirse; el minutero no puede hallarseen las 6 cuando el horario se encuentra en las 12. De aquí surge la siguiente pregunta: ¿Cuándoy cada cuánto tiempo ocupan las manecillas de un reloj tal posición en la cual al cambiar éstasde función entre sí se producen nuevas situaciones posibles en un reloj normal? - Sí, contestó Einstein, este problema es muy apropiado para un hombre obligado por suenfermedad a permanecer postrado en el lecho: despierta bastante interés y no es muy fácil. Metemo, sin embargo, que la distracción dure poco tiempo: he dado ya con la forma de resolverlo.Se incorporó en el lecho y con unos cuantos trazos dibujó en un papel un esquema que reflejabalas condiciones del problema. Einstein no necesitó para resolverlo más tiempo que el que heempleado yo en formularlo..." ¿Cómo se resuelve?

SoluciónMidamos la distancia que recorren las manecillas, valiéndonos de 60 divisiones de la esfera, apartir de las 12. Supongamos que en una de las posiciones buscadas, el horario se encuentra a xfracciones a partir del número 12, y el minutero, a y divisiones.

Figura 8

Como las 60 fracciones son recorridas por el horario en 12 horas, es decir, a 5 divisiones porhora, entonces, x partes de la esfera serán recorridas por el horario en x / 5 horas. Dicho con otraspalabras, habrán pasado x / 5 horas desde que el reloj dio las 12. El minutero recorre y fraccionesen y minutos, es decir, en y / 60 horas. Expresado de otro modo: el minutero ha pasado la cifra 12hace y / 60 o al cabo de

x / 5 – y / 60

horas después de que ambas saetas se encontraban en las doce. Este número es entero (desde elcero al 11), ya que muestra cuántas horas completas han pasado desde las doce. Al cambiar lasmanecillas defunción encontraremos por analogía que a partir de las doce habrán pasado

y / 5 – x / 60

horas completas. Este número también es entero (desde el cero hasta el 11).


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Planteamos el siguiente sistema de ecuaciones:

=−

=−

nxy

myx

605

605

donde m y n son números enteros comprendidos entre el 0 y el 11. En este sistema despejaremoslas incógnitas:

x = {60 * (12m + n)} / 143

y = {60 * (12n + m) / 143

Asignando a m y n un valor comprendido entre 0 y 11 determinaremos todas las posicionesrequeridas de las saetas. Como cada uno de los 12 valores que tiene m, puede ser confrontado concada uno de los 12 de n, quizás parezca que el número de soluciones posibles puede ser 12*12 =144; pero en realidad es igual a 143, porque cuando m = 0, n = 0, y si m = 11, n = 11, lasmanecilla ocupan la misma posición.Cuando m = 11, n = 11 tenemos:

x = 60y= 60

es decir, las manecillas están en las 12, como en el caso de m = 0, n = 0.No nos detendremos a examinar todas las posiciones posibles; ocupémonos de dos casos: Primercaso:m = 1, n = 1;

x = 60 * 13 / 143 = 55 / 11

es decir, señala 1 hora 5 / 11 minutos; en este momento las manecillas están en el mismo sitio porlo que pueden cambiar de función (como siempre que coincidan).

Segundo caso:m = 8, n = 5;

x = {60 * (5 + 12 * 8)} / 143 ≈ 42.38y = {90 * (8 + 12 * 5)} / 143 ≈ 28.53

Los momentos respectivos serán: las 8 horas y 28,53 minutos y las 5 horas 42,38 minutos.El número de soluciones, como se indicó ya, es de 143. Para llegar a los puntos de la esferadonde se encuentran las posiciones requeridas de las saetas, hay que dividir la circunferencia dela esfera en 143 partes iguales, obteniendo 143 puntos que son los que buscamos. En los espaciosintermedios no hay otras posiciones semejantes de las manecillas.Volver


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11. Coincidencia de las saetasProblema¿En cuántas posiciones pueden coincidir el horario y el minutero de un reloj que marchenormalmente?

SoluciónPodemos valernos de las ecuaciones del problema anterior, ya que si las dos manecillascoinciden, pueden cambiar entre sí de función sin que se produzca alteración alguna. En estecaso, ambas saetas habrán recorrido el mismo número de divisiones, a partir del número 12; esdecir, x = y. Por esta causa, los razonamientos del problema precedente nos brindan la siguienteexpresión:

x / 5 - x / 60 = m

donde m es un entero comprendido entre 0 y 11. Aquí podemos despejar la incógnita:

x = 60 * m / 11

De los doce valores de m (del 0 al 11) obtenemos en lugar de 12, sólo 11 posiciones diversas delas manecillas, toda vez que siendo m = 11 vemos que x = 60; es decir, ambas saetas hanrecorrido 60 divisiones y se hallan en la cifra 12; esto mismo sucede cuando m = 0.Volver

12. El arte de adivinar númerosCada uno de Uds. se encontraba indudablemente con "prestidigitadores" que pueden adivinarnúmeros. Como regla un prestidigitador propone realizar operaciones del siguiente carácter:pensar un número cualquiera, adicionar 2, multiplicar el resultado por 3, restar 5, restar el númeropensado etc., en total cinco o una decena de operaciones. Luego el prestidigitador pide que lecomuniquen el resultado y, al obtener la respuesta, en seguida comunica el número pensado.Claro está que el secreto de la "prestidigitación" es muy fácil y se basa en las mismas ecuaciones.Supongamos que el prestidigitador le haya propuesto a Ud. realizar un programa de operacionesindicado en la columna izquierda de la tabla siguiente:

piense un número xadicione 2 x + 2el resultado multiplíquelo por 3 3x + 6reste 7 3x - 1reste el número pensado 2x + 1multiplique por 2 4x + 2reste 1 4x + 1

Luego el prestidigitador pide que le comuniquen el resultado final y - , al obtenerlo, dice alinstante el número pensado. ¿Cómo lo hace?


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Para comprender esto, hay que mirar la columna derecha de la tabla, donde las indicaciones delprestidigitador están traducidas al idioma del álgebra. Mirando esta columna se puedecomprender, que si Ud. ha pensado cualquier número x, entonces realizadas todas las operacionesse obtendrá 4x - 1. Conociendo este resultado no es difícil "adivinar" el número.Supongamos, por ejemplo, que Ud. haya dicho al prestidigitador que el resultado es 33. Entoncesel prestidigitador resuelve mentalmente muy rápido la ecuación 4x – 1 = 33 y obtiene larespuesta: x = 8. Es decir, hace falta restar 1 del resultado final (33 - 1 - = 32) y luego el númeroobtenido se divide entre 4 (32 : 4 = 8), El resultado de esta división es el número pensado (8). Siel resultado final es 25, entonces el prestidigitador hace mentalmente las siguientes operaciones25 – 1 = 24, 24 / 4 = 6 y le comunica que Ud. ha pensado el número 6.Como se ve todo es muy fácil. El prestidigitador sabe de antemano qué hace falta hacer con elresultado para obtener el número pensado.Después de comprender esto Ud. puede asombrar y desconcertar aún más a sus amigosproponiéndoles a ellos mismos escoger según su propio parecer, el carácter de operaciones sobreun número pensado. Ud. propone a su amigo pensar un número y realizar en cualquier ordenoperaciones del carácter siguiente: sumar o restar un número conocido (por ejemplo: sumar 2,restar 5, etc.), multiplicar1 por un número conocido (por 2, por 3, etc.), sumar o restar el númeropensado. Su amigo, para embrollarle, va a amontonar una serie de operaciones. Por ejemplo, él hapensado el número 5 (el número pensado no se le comunica a Ud.) y realizando operaciones ledice: - he pensado un número, lo he multiplicado por 2, al resultado he sumado 3, luego he sumado elnúmero pensado, al resultado he sumado 1, todo lo he multiplicado por 2, he restado el númeropensado, luego he restado 3, una vez más he restado el número pensado, he restado 2. Por fin, elresultado lo he multiplicado por 2 y he sumado 3.Al decidir que él le ha embrollado por completo él comunica a Ud. con el aspecto triunfante: - el resultado final es 49.Para su asombro Ud. le comunica inmediatamente que él ha pensado el número 5.¿Cómo lo hace Ud.? Ahora todo eso es bastante claro. Cuando su amigo le comunica lasoperaciones que él está realizando con el número pensado, Ud. a la vez actúa mentalmente con laincógnita x. El le dice: "He pensado un número...", Ud. repite mentalmente: "entonces tenemosx". El dice: "...lo he multiplicado por 2..." (él de veras realiza la multiplicación de números), Ud.prosigue mentalmente; "...ahora tenemos 2x". El dice: "...al resultado he sumado 3...", Ud. lesigue inmediatamente: 2x + 3 etc. Cuando él le "ha embrollado" completamente y ha realizadotodas las operaciones mencionadas arriba, Ud. ha llegado al resultado indicado en la tablasiguiente (en la columna izquierda está escrito todo lo dicho en voz alta por su amigo y en laderecha - las operaciones que Ud. ha hecho mentalmente):

He pensado un número xlo he multiplicado por 2 2xal resultado he sumado 3 2x + 3luego he sumado el número pensado 3x + 3ahora he sumado 1 3x + 4el resultado lo he multiplicado por 2 6x + 8he restado el número pensado 5x + 8he restado 3 5x + 5

1 Mejor que no le permita dividir, pues la división complica mucho la prestidigitación.


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más he restado el número pensado 4x + 5he restado 2 4x + 3por fin, el resultado lo he multiplicado por 2 8x + 6y he sumado 3 8x + 9

Ud. ha pensado por último: el resultado final es 8x + 9. Ahora él dice: "El resultado final es 49".Ud. tiene ya la ecuación hecha: 8x + 9 = 49. Resolverla es una futilidad y Ud. le comunica en elacto que él ha pensado el número 5. Esta prestidigitación es particularmente impresionanteporque las operaciones que hace falta realizar con el número pensado no las propone Ud., sino suamigo las "inventa".Sin embargo, hay un caso cuando la prestidigitación no tiene éxito. Si Ud. después de realizar(contando mentalmente) una serie de operaciones ha obtenido, por ejemplo, x + 14, y su amigodice luego: "...ahora he restado el número pensado y el resultado final es 14". Ud. le sigue (x +14) - x = 14, de verdad resulta 14, pero no hay ninguna ecuación y por eso Ud. no puede adivinarel número pensado. ¿Qué es necesario hacer en este caso? Obre así: tan pronto Ud. tenga elresultado que no contiene la incógnita x, interrumpa a su amigo, diciéndole: "¡Pare! Ahora puedosin preguntar nada comunicarte el resultado que tienes. Es 14". Esto de veras va a desconcertar asu amigo, pues él no le ha dicho completamente nada. A pesar de que Ud. no supo adivinar elnúmero pensado, la prestidigitación ha resultado espléndida.He aquí un ejemplo más (como antes en la columna izquierda se encuentra lo dicho por suamigo):

He pensado un número xa este número he sumado 2 x + 2el resultado lo he multiplicado por 2 2x + 4ahora he sumado 3 2x + 7he restado el número pensado x + 7he sumado 5 x + 12luego he restado el número pensado 12

En el momento cuando el resultado ha sido 12, es decir, es una fórmula que no tiene más laincógnita x, Ud. interrumpe al amigo comunicándole que ahora el resultado es 12.Después de practicar un poco Ud. podrá fácilmente mostrar a sus amigos semejantes"prestidigitaciones".Volver

13. Un supuesto absurdoProblemaHe aquí un problema que puede parecer incongruente: ¿Cuál es la equivalencia de 84 si 8 * 8 =54?Esta insólita pregunta está muy lejos de carecer de sentido, y puede ser resuelta medianteecuaciones.Pruebe a descifrarla.

SoluciónProbablemente habrán comprendido que los datos del problema no pertenecen al sistema decimal,pues en caso contrario, la pregunta "¿Cuál es la equivalencia de 84?" sería un absurdo.


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Supongamos que la base del sistema desconocido de numeración es x. El número "84" equivaleentonces a 8 unidades de segundo orden y 4 unidades del primero, es decir

“84" = 8x + 4.

El número "54" equivale a 5x + 4. Tenemos, por lo tanto, la ecuación

8 * 8 = 5x + 4,

es decir, en el sistema de numeración decimal sería 64 = 5x + 4,de donde x = 12.Este número está expresado en el sistema de base 12, y "84" = 8 * 12 + 4 = 100. Por lo tanto, si 8* 8 = "54", "84" será igual a 100.De esta misma manera se resuelve otro de los problemas de este tipo: ¿Cuál es el equivalente de100, si 5 * 6 = 33?Respuesta: 81 (sistema de base 9).Volver

14. La ecuación piensa por nosotrosSi no cree que las ecuaciones son a veces más previsoras que nosotros mismos resuelva esteproblema:El padre tiene 32 años; el hijo, 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre diez vecesmayor que la del hijo?Expresemos el tiempo buscado con x. Al cabo de x años el padre tendrá 32 + x años; y el hijo, 5 +x años. Y como el padre debe tener 10 veces más años que el hijo, se establece la ecuación

32 + x = 10 * (5 + x).

Al resolverla hallamos que x = - 2."Al cabo de menos 2 años" significa "hace dos años". Al plantear la ecuación no pensábamos queen el futuro la edad del padre no sería nunca 10 veces superior a la del hijo; esa correlación pudotener lugar sólo en el pasado. La ecuación ha sido más reflexiva que nosotros, y nos ha recordadonuestro descuido.Volver

15. Curiosidades y sorpresasHay ocasiones en las que al resolver las ecuaciones tropezamos con soluciones que puedendesconcertar a un matemático poco ducho. Veamos algunos ejemplos:

I. Hallar un número de dos cifras que tenga las siguientes propiedades:La cifra de las decenas debe ser 4 unidades inferior a la cifra de las unidades. Si ese mismonúmero se escribe invirtiendo el lugar de sus cifras y se le sustrae el número buscado, se obtiene27. Expresando el guarismo de las decenas con la x, y el de las unidades con la y, formaremosfácilmente el siguiente sistema de ecuaciones para este problema:


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=+−+−=

27)10()10(4

yxyxyx

Si el valor que tiene x en la primera ecuación se coloca en la segunda, resultará que

10y + y – 4(10(y - 4) + y) = 27

al operar tendremos que

36 = 27.

No se ha hallado el valor de las incógnitas, pero se ha visto que 36 = 27... ¿qué quiere decir esto?Esto significa que no existe ningún número compuesto de dos cifras que responda a lascondiciones del problema, y que las ecuaciones planteadas se contradicen mutuamente. En efecto,multipliquemos ambos miembros de la primera igualdad por 9 y tendremos:9y - 9x - = 36y de la segunda ecuación (después de abrir los paréntesis y reducir los términos semejantes)resulta:

9y - 9x = 27.

Según la primera ecuación 9y - 9x es igual a 36 y de acuerdo con la segunda equivale a 27. Estoes a todas luces imposible, por cuanto 36 ≠ 27. Una confusión análoga espera a quien resuelva elsiguiente sistema de ecuaciones:

==4*

8* 22

yxyx

Al dividir la primera ecuación por la segunda obtendremos:

x * y = 2

y si confrontamos la ecuación obtenida con la segunda del sistema veremos que

x * y = 4x * y = 2

es decir, que 4 = 2. No hay cifras que satisfagan las condiciones de este sistema.

(Sistemas de ecuaciones, semejantes a los que acabamos de examinar que no pueden serresueltos, se llaman no combinados.)

II. Si cambiamos un tanto las condiciones del problema anterior recibiremos otra sorpresa.Supongamos que la cifra de las decenas es menor en 3 unidades que la cifra de las unidades. Lasdemás condiciones del problema permanecen invariables ¿Cuál será este número? Planteemos la


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ecuación. Si expresamos la cifra de las decenas con la x, la de las unidades será x + 3.Traduzcamos el problema al idioma del álgebra:

10 * (x + 3) + x - [10x + (x + 3)] = 27.

Al reducir se obtiene 27 = 27.Esta igualdad es incuestionable, pero nada nos dice de la raíz de x ¿Significa esto que no existeningún valor que responda a las condiciones del problema?Por el contrario. Esto se debe a que la igualdad dada es una identidad, es decir, que es ciertacualquiera que sea la magnitud de la incógnita x. En efecto, las condiciones del problema sonválidas para todo número compuesto de dos cifras siempre que el guarismo de las unidades seamayor en 3 unidades que el de las decenas:

14 + 27 = 4147 + 27 = 7425 + 27 = 5258 + 27 = 8536 + 27 = 6369 + 27 = 96.

III. Hallar un número de tres cifras que responda a las siguientes condiciones:1. La cifra de las decenas sea 7;2. La cifra de las centenas sea inferior en 4 unidades a la cifra de las unidades;3. Si las cifras del mismo se colocan en orden inverso, el nuevo número será 396 unidades mayorque el buscado.Formemos la ecuación sustituyendo la cifra de las unidades con la x:

100x + 70 + x - 4 - [100(x - 4) + 70 + x] = 396.

Después de reducida esta ecuación se llega a la igualdad 396 = 396.Los lectores conocen ya cómo hay que interpretar los resultados de este tipo. Esto significa queun número de tres cifras, en el que la primera es menor que la tercera2 en 4 unidades, aumenta en396 si se le coloca en orden inverso.Hasta ahora hemos examinado problemas que tienen un carácter más o menos artificioso yteórico; su misión consiste en contribuir a que se adquiera hábito en el planteamiento y lasolución de ecuaciones. Ahora, pertrechados teóricamente, ofreceremos algunos ejemplosrelacionados con la producción, la vida cotidiana, y la actividad militar y deportiva.Volver

16. En la peluqueríaProblema¿Puede el álgebra tener alguna aplicación en la peluquería? Resulta que puede darse esacircunstancia. Me convencí de ello en cierta ocasión, cuando encontrándome en unestablecimiento de esa clase, se dirigió a mí un oficial con una inesperada petición:

2 La cifra de las decenas no juega ningún papel


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- ¿No podrá resolvernos usted un problema que no sabemos cómo hacerlo? - ¡No se imaginacuánta agua oxigenada hemos echado a perder por esa causa! - agregó otro. - ¿De qué se trata? - pregunté. - Tenemos dos soluciones de agua oxigenada: al 30% una, y al 3% ]a otra. Debemos mezclarlasde tal forma que obtengamos una solución al 12%. Pero no podemos hallar las proporcionescorrespondientes...Me dieron un papel y encontré la proporción que buscaban. Resultó ser un problema muy fácil.

SoluciónEl problema puede ser resuelto también por vía aritmética, pero mediante el álgebra se obtiene elresultado con más sencillez y prontitud. Supongamos que para formar la mezcla al 12% hay quetomar x gramos de solución al 3% e y gramos al 30% . Siendo así, la primera porción contendrá0,03 x gramos de agua oxigenada pura y, la segunda, 0,3 y; en total habrá

0,03x + 0,3y

Con esto resultará (x + y) gramos de solución, en la que el agua oxigenada pura será 0,12 (x + y).Tenemos la ecuación

0,03x + 0,3y = 0,12 (x + y)

De esta ecuación hallamos: x = 2y, es decir, que deberá tomarse doble cantidad de solución al 3%que la empleada del 30%.Volver

17. El tranvía y el peatónProblemaCuando marchaba a lo largo de la línea del tranvía observé que cada 12 minutos me alcanzabauno de esos vehículos, y cada 4 minutos otro de ellos pasaba en dirección contraria. Tanto losvehículos como yo nos desplazábamos con velocidad constante¿Cada cuántos minutos salían los tranvías de las estaciones terminales?

SoluciónSi los tranvías salían cada x minutos, eso quiere decir que por aquel lugar donde yo meencontraba con un tranvía tenía que pasar el siguiente después de x minutos. Si el vehículo iba enmi dirección, entonces en 12 - x minutos debía recorrer el camino que yo hacía en 12 minutos.Eso significa que el camino que yo andaba en un minuto el tranvía lo hacía en (12 - x) / 12minutos.Si el tranvía iba en dirección contraria nos cruzaríamos 4 minutos después de habermeencontrado con el anterior, y en el tiempo restante (x - 4) minutos debía recorrer el camino hechopor mí en esos 4 minutos. Por lo tanto, el camino que yo andaba en 1 minuto lo hacía el tranvíaen (x – 4) / 4 minutos. Tenemos pues la ecuación

(12 - x) / 12 = (x - 4) / 4

De donde se deduce que x = 6. Cada 6 minutos iniciaban los tranvías su itinerario.


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Puede proponerse la siguiente resolución (en esencia es una solución aritmética). Expresemos ladistancia que separaba a los tranvías entre sí con la letra a. Entonces la distancia que mediabaentre el tranvía que iba a mi encuentro y yo, disminuía en a / 4 cada minuto (por cuanto ladistancia entre el tranvía que acababa de pasar y el siguiente, igual a a, la recorríamos en 4minutos). Si el tranvía iba en mi dirección, la distancia entre nosotros se reducía cada minuto ena/12. Supongamos que yo marchara hacia delante durante un minuto y, después, anduviera otrominuto hacia atrás (es decir, regresara al punto de partida). En este caso la distancia que mediabaentre el tranvía - que iba a mi encuentro - disminuía durante el primer minuto en a / 4 , y en elsegundo minuto, en a / 12. En consecuencia, en el lapso de 2 minutos, la distancia entre nosotrosse reducía en a / 4 + a / 12 = a / 3. Lo mismo habría ocurrido si yo hubiera permanecido inmóvilen el sitio, ya, que, en fin de cuentas, volvería hacia atrás. De esta manera, si yo no hubieraavanzado, en un minuto (no en dos) el tranvía se hubiese acercado hacia mí a / 3 : 2 = a / 6 , ytoda la distancia a la habría recorrido en 6 minutos. Por ello, para un observador inmóvil, lostranvías pasaban con intervalos de 6 minutos.Volver

18. El barco y la balsaProblemaUn barco se desplaza 5 horas sin interrupción río abajo desde la ciudad A a la ciudad B. Devuelta avanza contra la corriente (con su marcha ordinaria y sin detenerse) durante 7 horas.¿Cuántas horas necesitará una balsa para desplazarse de la ciudad A a la B, yendo a la mismavelocidad de la corriente?

SoluciónExpresemos con x el tiempo (en horas) que necesita el barco para recorrer la distancia que separaA de B en el agua estancada (es decir, con la velocidad del barco) y con y, el tiempo que sedesliza la balsa. Siendo así, en una hora el barco recorre 1 / x de la distancia AB, y la balsa (aligual que la corriente) 1 / y de esta distancia. Por esta razón, el barco, marchando impulsado porla corriente, en una hora recorre 1 / x + 1 / y de la distancia AB, y hacia arriba (contra lacorriente) 1 / x – 1 / y . Por las condiciones del problema se deduce que hacia abajo el barco haceen una hora 1 / 5 de la distancia, y, hacia arriba, 1 / 7 . De aquí el sistema:

1 / x + 1 / y = 1 / 51 / x – 1 / y = 1 / 7

Observamos que para solucionar este sistema no debemos hacer desaparecer los denominadores:es suficiente con restar la segunda ecuación de la primera. Operando resultará:

2 / y = 2 / 35

de donde y = 35. Las balsas se deslizarán desde A hasta B en 35 horas.Volver

19. Dos botes de caféProblema


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Dos botes llenos de café tienen la misma forma y están hechos de la misma hojalata. El primeropesa 2 kg y tiene 12 cm de altura; el segundo pesa 1 kg y mide 9,5 cm de altura. ¿Cuál es el pesoneto del café en los dos botes?

SoluciónExpresemos el peso del contenido del bote grande con x, y el del pequeño con y. El peso de losbotes lo expresaremos con z y t respectivamente. De donde se obtienen las siguientes ecuaciones:

x + z = 2y + t = 1

Teniendo en cuenta que los pesos del contenido de ambos botes repletos se relacionan entre sícomo sus propios volúmenes es decir, como el cubo de sus alturas3, resulta que

x / y = 123 / 9.53 ≈ 2.02 ó x = 2.02 y

El peso de los botes vacíos se relaciona entre sí como se relacionan sus superficies completas, esdecir, como los cuadrados de sus alturas. Por ello

z / t = 122 / 9.52 ≈ 1.6 ó z = 1.60t

Sustituyendo los valores de x y de z en la primera ecuación resultará el sistema

2,02 y + 1,60 t = 2y + t = 1

Al resolverlo tendremos:

y = 20 / 21 = 0.95, t = 0.05

Por lo tanto, x = 1,92, z = 0,08.El peso del café sin el envase será: el del bote grande, 1,92 kg; el del pequeño, 0,94 kg.Volver

20. VeladaProblemaA una velada asistieron 20 personas. María bailó con siete muchachos; Olga, con ocho; Vera,con nueve, y así hasta llegar a Nina, que bailó con todos ellos. ¿Cuántos muchachos había en lavelada?

Solución

3 Esta proporción puede ser aplicada sólo en el caso en que los lados de los botes no sean demasiado gruesos, porcuanto la superficie, la interna y la externa del bote no son semejantes, y la altura de su parte interna tiene ciertadiferencia con la altura de la propia caja.


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La solución del problema es muy sencilla si se elige con acierto la incógnita. Busquemos elnúmero de las jóvenes, que expresaremos con la x :

1a María bailó con 6 + 1 muchachos2ª Olga bailó con 6 + 2 muchachos3ª Vera bailó con 6 + 3 muchachos... ... ... ...xa Nina bailó con 6 + x muchachos

Establezcamos la siguiente ecuación: x + (6 + x) = 20, de donde x = 7, por lo tanto, el número demuchachos era 20 - 7 = 13.Volver

21. Exploración marinaPrimer problemaEl explorador (la nave de reconocimiento), que marchaba con el resto de la escuadra, recibió latarea de explorar el mar en una zona de 70 millas en la dirección en que marchaba la escuadra.La velocidad de ésta era de 35 millas por hora; la del barco explorador, de 70 millas por hora.¿Cuánto tiempo tardará éste en incorporarse de nuevo a la escuadra?

SoluciónDesignemos el número de horas buscadas con la x. Durante este tiempo la escuadra recorrió 35xmillas; y la nave de reconocimiento, 70x. Esta navegó 70 millas hacia adelante y una parte de estaruta al regreso; la otra parte fue hecha por el resto de la escuadra. Todos juntos recorrieron 70x +35x, lo que es iguala 2 * 70 millas. De aquí la ecuación

70x + 35x = 140,

de donde

x = 140 / 105 horas.

La embarcación exploradora se incorporó a la escuadra, aproximadamente, al cabo de hora 20minutos.

Segundo problemaEl barco explorador recibió la orden de hacer el reconocimiento en la dirección que llevaba laescuadra. Tres horas después, la nave debía incorporarse a la escuadra. ¿Al cabo de cuántotiempo, a partir del momento en que sé distancia de la escuadra, debe iniciar el barcoexplorador el regreso, si su velocidad es de 60 nudos, y la de la escuadra de 40 nudos?

SoluciónSupongamos que la nave de reconocimiento debía volver al cabo de x horas; eso significa que sealejó de la escuadra x horas, y marchó de vuelta, a su encuentro, 3 - x horas. Mientras todos losbarcos marchaban en una misma dirección, en x horas pudo la embarcación exploradora alejarse auna distancia igual a la diferencia entre las distancias recorridas por cada uno, es decir, en


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60 x - 40 x = 20 x.

Cuando regresó el explorador había cubierto, en dirección a la escuadra, una distancia de 60 * (3- x), en tanto que la escuadra había recorrido 40 * (3 - x). Uno y otra recorrieron juntos 10x. Porlo tanto

60 * (3 - x) + 40 * (3 - x) = 20x,

de donde

x = 2 1/2.

El explorador tuvo que modificar el rumbo, iniciando el regreso, al cabo de 2 horas y 30 minutosa partir del momento en que abandonó la escuadra.Volver

22. En el velódromoProblemaDos ciclistas corren por el velódromo a velocidades constantes. Al llevar direcciones opuestas seencuentran cada 10 segundos; cuando van en la misma dirección, un ciclista alcanza al otrocada 170 segundos, ¿Cuál es la velocidad que desarrolla cada ciclista si la longitud de la pistaes de 170 m?

SoluciónSi la velocidad del primer ciclista es x, en 10 segundos habrá recorrido 10x metros. El segundo(yendo al encuentro) recorre el resto de la vuelta en el intervalo que media entre dos cruces, esdecir, 170 - 10x metros. Si la velocidad del segundo es y, esto constituye 10y metros; por lo tanto

170 - l0 x = l0 y.

Si los ciclistas marchan uno tras otro, en 170 segundos el primero recorre 170x metros, y elsegundo, 170y metros. Si el primero marcha más de prisa que el segundo, de un encuentro al otrocorre una vuelta más que el segundo, es decir,

170x - 170y = 170.

Al simplificar éstas ecuaciones, tenemos:

x + y = 17, x – y = 1

de donde x = 9, y = 8 (metros por segundo).Volver

23. Carrera de motocicletasProblema


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En una carrera de motocicletas, tres máquinas salieron simultáneamente. La segunda hace 15km por hora menos que la primera, y 3 km más que la tercera y llega a la meta 12 minutosdespués que la primera y 3 minutos antes que la tercera. Durante el recorrido no se registraronparadas.Hay que determinar:

a. La distancia de la carrera,b. La velocidad de cada motocicleta yc. El tiempo empleado por cada máquina.

SoluciónAunque las incógnitas llegan a siete, se emplean sólo dos para resolver el problema. Formemosun sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.Expresando la velocidad de la segunda moto con la x, la velocidad de la primera será x + 15, y lade la tercera x - 3. La distancia se expresa con la y. En este caso la duración de la carrera fue:

para la primera motocicleta y / (x + 15)para la segunda motocicleta y / xpara la tercera motocicleta y / (x – 3)

La segunda máquina hizo el recorrido en 12 minutos (1 / 5 de hora) más que la primera. Por ello

y / x – y / (x + 15) = 1 / 5

La tercera empleó en la carrera 3 minutos (1 / 20 de hora) más que la segunda. Por consiguiente,

y / (x - 3) – y / x = 1 / 20

Multiplicando por 4 esta ecuación y restándola de la anterior, se obtiene:

y / x – y / (x + 15) –4[y / (x - 3) – y / x] = 0

Dividimos todos los términos por y (y ≠ 0) y quitamos los denominadores, con lo que se obtiene:

(x - 15) * (x - 3) - x * (x - 3) - 4x * (x + 15) + 4 * (x + 15) * (x - 3) = 0

y al abrir paréntesis y reducir los términos semejantes, resultará:

3x - 225 = 0

de donde x = 75. Conociendo la x se obtiene el valor de la y en la primera ecuación.

y / 75 – y / 90 = 1 / 5

de donde y = 90.De aquí que la velocidad de las motocicletas sea: 90, 75 y 72 km por hora. La distancia será de 90km.


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Dividiendo la distancia por la velocidad de cada motocicleta se obtiene el tiempo invertido porcada máquina:

la primera: 1 horala segunda: 1 hora y 12 minutosla tercera: 1 hora y 15 minutos

De esta forma se ha encontrado el valor de las siete incógnitas.Volver

24. Velocidad mediaProblemaUn automóvil cubrió la distancia entre dos ciudades a 60 km por hora e hizo el viaje de regresoa 40 km por hora. ¿Cuál fue la velocidad media de su recorrido?

SoluciónLa aparente sencillez del problema confunde a muchos. Sin pensar detenidamente en él, hallan lamedia aritmética de 60 y 40, es decir, la semisuma

(60 + 40) / 2 = 50

Esta "simple" solución sería cierta si la ida y la vuelta hubieran durado el mismo tiempo. Pero esevidente que el recorrido de vuelta (a menos velocidad) requiere más tiempo que la ida. Sitenemos esto en cuenta, veremos que la respuesta de 50 km es errónea.Y así es, en efecto. La ecuación nos da otra solución. No resulta difícil establecer la ecuación siintroducimos una incógnita auxiliar: la magnitud l, distancia entre las dos ciudades. Expresemoscon x la velocidad media buscada y formemos la ecuación

2 * l / x = l / 60 + l / 40

Comoquiera que l ≠ 0, podemos dividir la ecuación por l, obteniendo,

2 / x = 1 / 60 + 1 / 40

de donde

x = 2 / (1 / 60 + 1 / 40) = 48

De esta forma vemos que la respuesta acertada no es 50, sino 48 km por hora. Si resolviéramoseste mismo problema con letras (en la ida, el automóvil marchaba a una velocidad de a por hora,y de vuelta, a b por hora y obtendríamos la ecuación

2l / x = l / a + l / b

de donde al despejar la x resultará

2 / (1 / a + 1 / b)


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Esto se denomina media harmónica de las magnitudes a y b.Por lo tanto, la velocidad media del recorrido se expresa, no con la media aritmética, sino con lamedia harmónica de las velocidades. Para a y b; positivas, la media harmónica será siempremenor que la media aritmética a + b / 2, como se ha visto en el ejemplo numérico (48 < 50).Volver

25. Máquinas de cálculo rápidoAl tratar de las ecuaciones, Algebra Recreativa no puede desentenderse de la solución deecuaciones en máquinas de calcular. Ya se ha dicho que las calculadoras pueden "jugar" alajedrez (o a las damas). Además pueden realizar también otras funciones; por ejemplo, latraducción, la orquestación de melodías, etc. Basta con elaborar el "programa" correspondiente,con arreglo al cual debe actuar la máquina.Claro que no vamos a examinar aquí "programas" para el ajedrez ,o para la traducción, que sondifíciles en extremo. Examinaremos tan sólo dos "programas" sencillos. Mas en principio hay quedecir algunas palabras sobre la construcción de la máquina de cálculo.En el capítulo primero se ha tratado de dispositivos que permiten hacer miles y decenas de milesde operaciones por segundo. La parte de la máquina que sirve para la ejecución directa deoperaciones se llama aritmómetro. Además, la máquina tiene un dispositivo de dirección (queregula el trabajo de toda la máquina) y el dispositivo de memoria. La "memoria", es un depósitode números y signos convencionales. Por último, la máquina está equipada con dispositivos deentrada y de salida destinados a introducir nuevos datos numéricos y ofrecer los resultadosdefinitivos. La máquina registra estos resultados (ahora ya en el sistema decimal) en tarjetasespeciales.Es notorio que el sonido puede ser registrado en discos o en cinta, y después reproducido. Pero lagrabación del sonido en un disco puede hacerse tan sólo una vez: para realizar una nuevagrabación se precisa otro disco. La impresión de sonidos en magnetófono tiene lugar de forma untanto distinta, mediante el imantado de una cinta especial. El sonido registrado puedereproducirse las veces que sean precisas y, si la impresión resulta ya innecesaria, puede"desimantarse" y efectuar en ella una nueva grabación. Una misma cinta puede grabarse variasveces, con la particularidad de que cada nueva grabación "borra" la anterior.El funcionamiento de la "memoria" se basa en un principio análogo. Los números y signosconvencionales se registran eléctrica, magnética o mecánicamente en un tambor, una cinta u otrodispositivo. E1 número grabado puede ser "leído" en el momento oportuno; si no se necesita máspuede ser borrado, grabándose otro en su lugar. La "extracción" y la "lectura" del número o elsigno convencional dura sólo algunas millonésimas de segundo. La "memoria" puede constar dealgunos miles de celdas y, cada celda, de varias decenas de elementos magnéticos, por ejemplo.Convengamos en que para registrar los números por medio del sistema de base dos, cadaelemento imantado expresa el 1, y los no imantados, el 0. Supongamos, por ejemplo, que cadacelda retentiva contiene 25 elementos (o como dicen, 25 órdenes del sistema de base dos) y,además, el primer elemento de la celda sirve para expresar el signo del número ( + ó - ), lossiguientes 14 elementos sirven para imprimir la parte entera del número y, los últimos 10, pararegistrar la parte decimal.


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Figura 9

En la fig. 9 se presentan esquemáticamente dos celdas de memoria, con 25 elementos en cadauna, los imantados se expresan con el signo + ; los desimantados, con el - . Examinemos la celdasuperior (la coma indica el lugar donde empieza la parte decimal, y la línea punteada separa elprimer elemento - que sirve para fijar el signo - de los demás). En esa celda hay escrito (en elsistema de base dos) el número + 1011,01, equivalente en el sistema decimal, al que estamosacostumbrados, al 11,25.Además de los números, en las celdas retentivas se conservan las órdenes que componen el"programa". Veamos en qué consiste el sistema de órdenes a tres direcciones. En este caso, alescribir la orden, la celda retentiva se divide en 4 partes (las líneas de puntos en la celda inferior,fig. 9). La primera parte sirve para indicar el signo de operación, que va cifrado. Por ejemplo:

Suma = operación I,sustracción = operación II,multiplicación = operación III, etc.Las órdenes se descifran así: la primera parte de la celda es el número de la operación; la segunday la tercera, los números de las celdas (direcciones), de las cuales hay que extraer las cifras paralas operaciones; la parte cuarta es el número de la celda (dirección) adonde debe enviarse elresultado obtenido. Por ejemplo, en la fig. 9 (fila inferior) hay escritos por el sistema binario losnúmeros 11, 11, 111,1011, en el sistema decimal, 3, 3, 7, 11, lo que significa la siguiente orden:la operación III (multiplicación) debe efectuarse con los números de las celdas tercera y séptimay almacenar el resultado (es decir, registrarlo) en la celda undécima.En lo sucesivo inscribiremos números y órdenes, no con signos convencionales, como en la fig.9, sino directamente en el sistema decimal. Por ejemplo; la orden expuesta en la serie inferior dela fig. 9, se escribe así:

multiplicación 3 7 11

Examinemos ahora dos sencillos ejemplos de programa.

Programa 1°1. Suma 4 5 42. Multiplicación 4 4→3. OD4 14. 05. 1

4 OD operación de dirección


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Veamos cómo funciona una máquina en cuyas cinco primeras celdas están almacenados lossiguientes datos:

1a orden: sumar los números de las celdas 4 y 5 y enviar el resultado a la celda 4 (en sustituciónde lo que figuraba anteriormente). Por consiguiente, la máquina escribe el número 0 + 1 = 1 en lacelda 4. Después de cumplida la orden, en las celdas 4 y 5 se encontrarán los siguientes números:4. 15. 1

2a orden: multiplicar el número de la celda 4 por sí mismo (esto es, elevarlo al cuadrado) yregistrar en la tarjeta el resultado, es decir, 12 (la flecha significa la salida de un resultadoobtenido).

3a orden: operación de dirección a la celda 1. En otras palabras la orden OD significa larepetición de todas las órdenes, empezando desde la primera. De forma que se ejecuta la primeraorden.

la orden: sumar los números de las celdas 4 y 5, y fijar la suma de nuevo en la celda 4. Enconsecuencia, en la celda 4 estará el número 1 + 1 = 2:

4. 25. 1

2a orden: elevar al cuadrado el número de la celda 4 y el resultado, 22, registrarlo en la tarjeta (laflecha indica la salida del resultado).

3a orden: operación de dirección a la celda 1 (es decir, volver de nuevo a la primera orden).

la orden: el número 2 + 1 = 3 enviarlo a la celda 4:4. 35. 1

2a orden: registrar en la tarjeta el valor de 32.3a orden: operación de dirección a la celda 1, etc.

Hemos visto cómo la máquina calcula sucesivamente los cuadrados de números enteros y losregistra en la tarjeta. Obsérvese que no es preciso elegir cada vez el nuevo número: la máquinamisma escoge uno tras otro los números enteros y los eleva al cuadrado. Actuando de acuerdocon este programa la máquina obtiene el cuadrado de todos los números enteros desde 1 hasta el10 000, en algunos segundos (o en partes de segundo). Debe hacerse notar que, en realidad, elprograma para el cálculo de los cuadrados de números enteros debe ser algo más complejo que elmencionado más arriba. Esto se refiere, en particular, a la 2a orden. Para registrar el resultado entarjeta se requiere mucho más tiempo que el que precisa la máquina para ejecutar una operación.Por eso, los resultados se almacenan primero en las celdas libres de la "memoria", y sólo después("sin precipitarse") se registran en las tarjetas. De esta suerte, el primer resultado definitivo sealmacena en la celda la de la "memoria" que se encuentra libre; el segundo en la celda 2a; el


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tercero, en la 3a, etc. En el programa simplificado expuesto anteriormente, todo ello había sidoomitido.Por añadidura, la máquina no puede dedicarse durante largo tiempo al cálculo de cuadrados puesno bastan las celdas de la "memoria", y es imposible "adivinar" cuándo ha obtenido la máquinalos cuadrados que necesitamos, a fin de desconectarla, (ya que la máquina ejecuta miles deoperaciones por segundo). Por esa razón se prevén órdenes especiales para detener la máquina enel momento oportuno. Por ejemplo, el programa puede ser compuesto de tal manera que lamáquina calcule los cuadrados de todos los números enteros, del 1 al 10 000, y después se pareautomáticamente.Hay también otra clase de órdenes más complicadas, de las cuales no nos ocuparemos.He aquí qué aspecto tiene el programa para el cálculo de cuadrados del 1 al 10 000:

Programa I. a1) suma 8 9 82) multiplicación 8 8 103) suma 2 6 24) OC5 8 7 15) stop6) 0 0 17) 10 0008) 09) 110) 011) 012) 0…

Las dos primeras órdenes se diferencian poco de las que se han expuesto en el programasimplificado. Después de cumplir estas dos órdenes, en las celdas 8, 9 y 10 habrá los siguientesnúmeros:

8) 19) 110) 12

La tercera orden es muy interesante: hay que sumar el contenido de las celdas 2 y 6, registrar otravez el resultado en la celda 2, después de lo cual, ofrecerá el siguiente aspecto:

2) multiplicación 8 8 11.

De aquí que, después de cumplida la 3a orden, cambia la segunda orden, mejor dicho, cambia unade las direcciones de la 2a orden. A continuación aclararemos las razones a que obedece esto.La cuarta es la operación de comparación (en sustitución de la tercera orden del programaexaminado anteriormente). Esta se cumple así: si el número almacenado en la celda 8 es menorque el de la 7, la operación de dirección la transmite a la celda l; en caso contrario, se efectúa la 5 OC = operación de comparación


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orden siguiente, (la 5). En nuestro caso como 1 < 10 000, la operación de dirección se le encargaa la celda 1.Por consiguiente, volvemos otra vez a la orden primera. Una vez cumplida ésta en la celda 8 seencontrará el número 2. La segunda orden, que se presentará como

2) multiplicación 8 8 11,

consiste en que 22 se envía a la celda 11. Ahora queda claro para qué fue cumplida anteriormentela 3a orden: el nuevo 22 no puede ir a parar a la celda 10 que ya está ocupada, sino a la siguiente.Una vez cumplidas las órdenes la y 2a, tendremos los siguientes números:

8) 29) 110) 12

11) 22

Después de ejecutada la orden 3a, la celda 2, aparecerá así:

2) multiplicación 8 8 12

es decir, la máquina "se preparó" para anotar el nuevo resultado en la celda 12. Y como en lacelda 8 sigue habiendo un número menor que en la 9, la 4a orden significa que se encarga a lacelda 1 la operación de dirección.Ahora, cumplidas ya las órdenes la y 2a, obtendremos:

8) 39) 110) 12

11) 22

12) 32

¿Hasta cuándo continuará la máquina calculando los cuadrados según el programa? Hasta que enla celda 8 aparezca el número 10 000, es decir, mientras no hayan sido obtenidos los cuadradosde los números comprendidos entre el 1 y el 10 000. Después, la 4a orden ya no transmite laoperación de dirección a la celda 1 (por cuanto en la celda 8 habrá un número no menor, sinoigual al almacenado en la celda 7), es decir, después de la 4a orden, la máquina cumple la 5a

orden: cesa de funcionar (se desconecta). Examinemos ahora un proceso más complicado deprogramación para resolver sistemas de ecuaciones. Veamos un programa simplificado. Si sedesea puede imaginarse el aspecto completo del programa. Supongamos el siguiente sistema deecuaciones:

=+=+

feydxcbyax

Este sistema es fácil de resolver:


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−−

=

−−

=

bdaecdaf

y

bdaebfce

x

Este sistema (con los valores numéricos de los coeficientes a, b, c, d, e, f) podría resolverse enmenos de un minuto. La máquina, en cambio, puede dar en un segundo la solución de miles detales sistemas de ecuaciones. Examinemos el programa correspondiente. Consideremos que hansido dados simultáneamente varios sistemas: con valores numéricos para los coeficientes a, b, c,d, e, f, a', b', ...He aquí el correspondiente programa:

Programa II

1) * 28 30 20 14) + 3 19 3 26) a2) * 27 31 21 15) + 4 19 4 27) b3) * 26 30 22 16) + 5 19 5 28) c4) * 27 29 23 17) + 6 19 6 29) d5) * 26 31 24 18) OD 1 30) e6) * 28 29 25 19) 6 6 0 31) f7) - 20 21 20 20) 0 32) a’8) - 22 23 21 21) 0 33) b’9) - 24 25 22 22) 0 34) c’

10) / 20 21 → 23) 0 35) d’11) / 22 21 → 24) 0 36) e’12) + 1 19 1 25) 0 37) f’13) + 2 19 2 38) a’’

1a orden: plantear la multiplicación de los números almacenados en las celdas 28 y 30, y enviarel resultado a la celda 20. Dicho en otras palabras: en la celda 20 se almacenará el número ce.De manera análoga serán realizadas las órdenes desde la 2a hasta la 6a. Después de ejecutarlas,desde la celda 20 hasta la 25 encontraremos los siguientes números:

20) ce21) bf22) ae23) bd24) af25) cd

7a orden: del número de la celda 20, restar el de la 21, y el resultado, (es decir, ce - bf), volver aalmacenarlo en la celda 20.De la misma forma se cumplen las órdenes 8ª y 9a En consecuencia, en las celdas 20, 21 y 22aparecerán los siguientes números:20) ce - bf


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21) ae - bd22) af - cd

Ordenes l0a y 11a: se forman los siguientes quebrados:

(ce - bf) / (ae - bd)(af - cd) / (ae - bd)

que se registran el la tarjeta (es decir, se presentan como resultados definitivos). Estos son losvalores de las incógnitas obtenidas del primer sistema de ecuaciones.Como vemos, el primer sistema ha sido resuelto. ¿Para qué hacen falta nuevas órdenes? La partesiguiente del programa (desde la celda 12 hasta la 19) está destinada a obligar a la máquina a"pasar" al segundo sistema de ecuaciones. Veamos su proceso.

Figura 10

Las órdenes desde la 10 hasta 17 consisten en agregar al contenido desde la celda 1 hasta la 6 loalmacenado en la celda 19, y los resultados vuelven otra vez a las celdas desde la 1 hasta la 6. Detal manera, después de cumplir la orden 17a, las primeras seis celdas tendrán el siguientecontenido:

1) * 34 36 202) * 33 37 213) * 32 36 224) * 33 35 235) * 32 37 246) * 34 35 25

Orden 18a: operación de dirección a la primera celda.¿En qué se diferencian las nuevas anotaciones de las primeras seis celdas de las anteriores? Enque las dos direcciones primeras tienen en estas celdas los números que van del 32 al 37 y no del26 al 31, como antes. En otras palabras, la máquina realizará de nuevo las mismas operaciones,pero las cifras no serán tomadas, de las celdas 26 a la 31, sino de la 32 a la 37 donde están los


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coeficientes del segundo sistema de ecuaciones. Después de resolver éste, la máquina pasa altercero, etc.Lo dicho hasta aquí patentiza la importancia de "programar" con acierto. La máquina, "de por sí",no "sabe" hacer nada. Sólo puede cumplir el programa que se la encomiende. Hay programaspara calcular raíces, logaritmos y senos, para resolver ecuaciones de grados superiores, etc. Se haindicado ya que existen programas para jugar al ajedrez, para la traducción de un idioma a otro,etc. Es claro que cuanto más difícil sea el problema a resolver, tanto más complejo será elprograma correspondiente.Añadamos, como conclusión, que existe la programación de programas, es decir, aquélla conayuda de la cual la misma máquina puede componer el programa para resolver el problema. Estofacilita en gran medida la programación, que con frecuencia es bastante laboriosa.Volver


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Capitulo CuartoLAS ECUACIONES DE DIOFANTO

Contenido1. Compra de una bufanda2. Una revisión en la tienda3. Compra de sellos de correos4. Compra de frutas5. Adivinar el día de nacimiento6. Venta de pollos7. Dos números y cuatro operaciones8. Cómo será el rectángulo9. Dos números de dos cifras10. Los números de Pitágoras11. Ecuación indeterminada de tercer grado12. Cien mil marcos por la demostración de un teorema

1. Compra de una bufandaProblemaUna bufanda cuesta 19 rublos, pero el comprador no tiene más que billetes de tres rublos; y lacajera, sólo de cinco. ¿Puede en estas condiciones abonarse el importe de la compra, y cómohacerlo?La misión de este problema se reduce a saber cuántos billetes de tres rublos deben entregarse ala cajera para que ella dé las vueltas con billetes de cinco, cobrando los 19 rublos. Lasincógnitas del problema son dos: el número de billetes de tres rublos (x) y el número de billetesde cinco (y). Sólo puede plantearse una ecuación:

3x - 5y = 19

Aunque una ecuación con dos incógnitas tiene infinidad de soluciones, esto no quiere decir queentre ellas haya alguna en las que x e y sean números enteros y positivos (recordemos que setrata del número de billetes de banco). He aquí por qué el álgebra ha elaborado el método desolución de estas ecuaciones "indeterminadas". El mérito de haberlas introducido en el álgebrapertenece al primer sabio europeo que cultivó esta ciencia, a Diofanto, célebre matemático de laantigüedad, por lo que estas ecuaciones se llaman con frecuencia "ecuaciones de Diofanto".

SoluciónEn el ejemplo citado mostremos cómo deben resolverse tales ecuaciones. Hay que hallar el valorde x y de y en la ecuación

3x - 5y = 19

sin olvidar que tanto x cómo y son números enteros y positivos. Despejando la incógnita cuyocoeficiente es menor, es decir, 3x tendremos:

3x = 19 + 5y


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de donde

x = (19 + 5y) / 3 = 6 + y + (1 + 2y) / 3Como x, 6 e y son números enteros, la ecuación puede ser acertada sólo en el caso de que (1 +2y) / 3 sea también un número entero. Expresémosle con la letra t. Entonces

x = 6 + y + t,donde

t = (1 + 2y) / 3y, por tanto,

3t = 1 + 2y , 2y = 3t - 1

De la última ecuación despejaremos la y

y = (3t - 1) / 2 = + (t - 1) / 2

Comoquiera que y y t son números enteros, (t - 1) / 2 debe ser un número entero t1. Porconsiguiente,

y = t + t1

y, además,

t1 = (t - 1) / 2

de donde

2t1 = t - 1t = 2t1 + 1

Sustituyamos el valor de t = 2t1 + 1 en las igualdades anteriores:

y = t + tl = 2t1 + 1 + tl = 3t1 + 1

x = 6 + y + t = 6 + (3tl a - 1) + (2t1 + 1) = 8 + 5t1

De esta forma hemos encontrado la expresión para x y para y

x = 8 + 5t1y = 1 + 3t1

Es sabido que x e y son enteros y además positivos, es decir, mayores que 0; por lo tanto,

8 + 5t1 > 01 + 3t1 > 0


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De estas desigualdades resulta que

5t1 > - 8 y tl > - 8 / 53t1 > - 1 y tl > - 1 / 3

Con esto el valor tl está acotado.De aquí que la magnitud tl es mayor que - 1 / 3, (y claro, mucho mayor que - 8 / 5). Mas, como tles un número entero, se deduce que puede tener tan sólo los siguientes valores:

tl = 0, 1, 2, 3, 4, ...

Los valores correspondientes de x y de y son:

x = 8 + 5t1 = 8, 13, 18, 23, ...y = 1 + 3t1 = 1, 4, 7, 10, ....

Veamos ahora de qué manera puede efectuarse el pago: o bien se entregan 8 billetes de 3 rublos,recibiendo de vuelta uno de cinco:

8 - 3 - 5 = 19

o se entregan 13 billetes de 3 rublos, recibiendo de vuelta 4 billetes de 5 rublos:

13 * 3 - 4 * 5 = 19

Teóricamente, este problema tiene infinidad de soluciones, pero en la práctica su número eslimitado, por cuanto ni el comprador, ni la cajera tienen una cantidad ilimitada de billetes debanco. Si cada uno dispone, por ejemplo, de 10 billetes, el pago puede efectuarse sólo de unaforma: entregando 8 billetes de 3 y recibiendo uno de 5. Como vemos, en la práctica lasecuaciones indeterminadas pueden dar soluciones determinadasVolviendo a nuestro problema, proponemos al lector que, en calidad de ejercicio, resuelva por sucuenta una de las variantes: concretamente, examinar el caso en que el comprador no tenga másque billetes de 5 rublos, y la cajera, sólo de 3. En este caso aparecen las siguientes soluciones:

x = 5, 8, 11, ....y = 2, 7, 12, ....

En efecto,5 * 5 - 2 * 3 = 198 * 5 - 7 * 3 = 19

11 * 5 - 12 * 3 = 19

Podríamos obtener también estos resultados al tomar las soluciones del problema centralmediante un sencillo procedimiento algebraico. Puesto que entregar billetes de cinco rublos yrecibir de tres rublos equivale a "recibir billetes negativos de cinco rublos" y "dar billetes


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negativos de 3 rublos", la nueva variante del problema se resuelve con la ecuación planteada en elproblema central:

3x - 5y = 19

pero con la condición de que x e y sean números negativos. Por eso, de las igualdades

x = 8 + 5t1y = 1 + 3t1

sabiendo que x < 0 e y < 0, deducimos:

8 + 5t1 < 01 + 3t1 < 0

y, por consiguiente,

t1 < - 8 / 5

Tomando t1 = - 2, - 3, - 4, etc., obtenemos de las fórmulas anteriores, los siguientes valores para xe y

t1 = - 2 - 3 - 4x = - 2 - 7 - 12y = - 5 - 8 - 11

El primer par de soluciones, x = - 2, y = - 5, significa que el comprador "paga menos dos billetesde tres rublos" y "recibe menos cinco billetes de cinco", es decir, traducido al idioma común,quiere decir que paga con cinco billetes de a cinco, recibiendo como vuelta 2 billetes de a tres. Deesta misma manera interpretaremos también las demás soluciones.Volver

2. Una revisión en la tiendaProblemaAl revisar los libros de contabilidad de la tienda, uno de ellos apareció con borrones de tinta,presentando este aspecto:

Figura 11


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No era posible descifrar el número de metros vendidos, pero no cabía duda de que éste no era undecimal. En el importe de la venta podían distinguirse sólo las tres últimas cifras y establecerque, delante de éstas, había otras tres. ¿Podía la comisión revisora averiguar qué cifras eran lasdel libro auxiliar, valiéndose tan sólo de estos datos?

SoluciónRepresentemos el número de metros con la x y el importe de la venta, expresado en kopeks, conel número 4.936 x.Las tres cifras cubiertas por el borrón las expresamos con una y. Esto, sin duda, expresa lacantidad de millares de kopeks; y toda la suma de kopeks será:

1.000y + 728.

Tenemos la ecuación4.936x = 1.000y + 728. Después de dividir los dos miembros de la igualdad por 8, resulta

617x - 125y = 91

En esta ecuación, los números x e y son enteros y, además, y no es superior a 999, por cuanto nopuede tener más de tres cifras. Resolvamos la ecuación como indicamos antes:

125y = 617x - 91

y = 5x - 1 + (34 - 8x) / 125 = 5x - 1 + 2(17 - 4x) / 125 = 5x - 1 + 2t

(Aquí hemos tomado 617 / 125 = 5 - 8 / 125, ya que nos conviene que haya el menor residuoposible. El quebrado

2(17 - 4x) / 125

es un número entero, y como 2 no se divide por 125, (17 - 4x) / 125, x debe ser un número entero,que representaremos con la t. Después, de la ecuación

(17 - 4x) / 125 = t

se obtiene

17 - 4x = 125t

x = 4 - 31t + (1 - t) / 4 = 4 - 31t + t1donde

t1 = (1 - t) / 4

por lo tanto4t1 = 1 - t


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t = 1 - 4t1x = 125t1 – 27

y = 617t1 - 1341.Se sabe que

100 [ y< 1000Por consiguiente

100 [ 617t1 - 134 < 1000,de donde

tl / 234 / 617 y tl = 1134 / 617

Es evidente que para tl existe solamente un valor entero:tl = 1,

de donde x = 98, y = 483; es decir, fueron vendidos 98 metros por una suma total de 4.837 rublos28 kopeks. E1 libro auxiliar, pues, ha sido restablecido.Volver

3. Compra de sellos de correosProblemaSe dispone de 1 rublo para comprar 40 sellos de correos: de 1, 4 y 12 kopeks. ¿Cuántos sellos decada uno de estos precios deberán comprarse?

SoluciónEn este caso tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas:

x + 4y + 12z = 100, x + y + z = 40,

donde x es el número de sellos de 1 kopeks; y, el de 4 kopeks, y z, el de 12 kopeks. Restando dela primera ecuación la segunda, obtendremos una ecuación con dos incógnitas:

3y + llz = 60

Despejemos la y:

y = 20 - 11 * z / 3

Es evidente que 3 es un número entero. Indiquémosle con la t. Tenemos:Y = 20 - 11t

z = 3t

Sustituyamos la y y la z en la segunda de las ecuaciones iniciales:

1 Obsérvese que los coeficientes de ti son iguales a los de x e y en la ecuación inicial 617x - 125y = 91, además, unode los coeficientes de tl tiene el signo contrario. Esto no es fortuito: puede demostrarse que debe suceder así siempreque los coeficientes de x y de y sean primos entre sí.


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X + 20 – 11t + 3t = 40;

de aquí quex = 20 + 8t

Como x / 0, y / 0 y z / 0, no es difícil establecer los límites de t:

O [ t [ l 9 / 11

de donde se deduce que para t son posibles sólo dos valores enteros: t = 0 y t = 1.Los valores correspondientes de x, y y z son:

t = 0 1x = 20 28y = 20 9z = 0 3

Prueba:

y = 20 * 1 + 20 * 4 + 0 * 12 = 100z = 28 * 1 + 9 * 4 + 3 * 12 = 100

En la compra de sellos, como vemos, son posibles dos variantes (si van a exigir que se compreaunque sea un solo sello de cadavalor, es posible una sola variante).Pasemos al segundo problema de este mismo tipo.Volver

4. Compra de frutasProblemaPor 5 rublos se compraron 100 unidades de diferentes frutas. Sus precios son los siguientes:

sandía 50 kopeks cada unamanzanas 10 kopeks cada unaciruelas 1 kopeks cada una

¿Cuánta fruta de cada clase fue comprada?

SoluciónIndicando el número de sandías con la x, el de las manzanas con la y y el de las ciruelas con la z,establezcamos dos ecuaciones:

=++=++

10050011050

zyxzyx

Restando de la primera ecuación la segunda, obtendremos una ecuación con dos incógnitas


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49x + 9y = 400.

El ulterior desarrollo del problema será el siguiente:

txx

xx

y 45449

)1(4544

99400

+−=−

+−=−

=

txx

t 919

1−=⇒

−=

ttty 49394)91(577 +=+−−=

De las desigualdades

1 - 9t / 0 y 39 + 49 t/ 0se deduce que

1 / 9 / t / - 39 / 49por consiguiente, t = 0. Por eso.

x = 1, y = 39.

Sustituyendo los valores de x y de y en la segunda ecuación, deduciremos que z = 60.Se compraron 1 sandía, 39 manzanas y 60 ciruelas.Sólo cabe esta combinación.Volver

5. Adivinar el día de nacimiento.ProblemaLas ecuaciones indeterminadas permiten efectuar el siguiente truco matemático. Se propone auna persona que multiplique la fecha del día de su nacimiento por 12, y el número del mes, por31. Con la suma de los productos de esos datos puede calcularse la fecha del nacimiento de lapersona dada. Si por ejemplo nació el 9 de febrero, se efectuarán las siguientes operaciones:

9 * 12 = 108 , 2 * 31 = 62 , 108 + 62 = 170.

¿Cómo se deducirá el día del nacimiento conociendo esa suma?

SoluciónLa tarea se reduce a resolver la ecuación indeterminada

12x + 31y = 170

en la que los valores de las incógnitas deben ser enteros y positivos; además, la fecha del mes, x,no es superior a 31, y el número del mes, y, no pasa de 12


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tyy

yy

x +−=+

+−=−

= 31412

52314

1231170

2 + 5y = 12t

1225

1*22

5122

ttt

tt

y −=−

−=+−

=

1 –t = 5t1, t = 1 – 5t1

y = 2 * (1 - 5t1) – 2t1 = 2 – 12t1

x = 14 – 3 * (2 – 12t1) + 1 – 5t1 = 9 + 31t1

Se sabe que 31 / x > 0 y 12 / y > 0, por lo que los límites para t1 :

- 9 / 31 < t1 < 1 / 6 .

Por lo tanto,tl = 0, x = 9, y = 2

La fecha de nacimiento es el día 9 del segundo mes, es decir, el 9 de febrero. Se puede proponerotra solución que no exige el empleo de ecuaciones. Nos han dicho la cifra a = 12x + 31y. Puestoque 12x + 24y se divide entre 12, en este caso los números 7y y a, después de ser divididos entre12, tienen restas iguales. Al multiplicar por 7 resulta que 49y y 7a, después de ser divididos entre12, tienen restas iguales. Pero 49y = 48y + y, y 48y se divide entre 12. Resulta que y y 7a al serdivididos entre 12 tienen restas iguales.Con otras palabras, si a no se divide entre 12, en este caso y es igual a la resta de la división delnúmero 7a entre 12; pero si a se divide entre 12, entonces y = 12. Este número y (número delmes) se determina enteramente. Sabiendo y ya es muy fácil determinar x.Un pequeño consejo: antes de determinar la resta de la división del número 7a entre 12, cambie elmismo número a por su resta de la división entre 12 - será más fácil calcular. Por ejemplo, si a =170, Ud. tiene que efectuar mentalmente los siguientes cálculos:

170 = 12 14 + 2 (entonces la resta es 2)

2 * 7 = 14; 14 = 12 * 1 + 2 (entonces y = 2)

912

18012

2*3117012

31170' ==

−=

−=

yx

entoncesx = 9

Ahora Ud. puede comunicar que la fecha del nacimiento es el 9 de febrero. Demostremos que eltruco nunca falla, es decir, que la ecuación tiene siempre una sola solución, siendo sus valores


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enteros y positivos. Representemos por a el número que se nos comunica. En este caso, la fechadel nacimiento vendrá expresada por la ecuación

12x + 31y = a.

Razonemos "por reducción al absurdo". Supongamos que esta ecuación tiene dos solucionesdiferentes enteras y positivas, concretamente: la solución x1, y1 y la solución x2, y2; además, tantox1 como x2 no son superiores a 31; y1 y y2 tampoco son mayores que 12. Tenemos:

12x1 + 31y1 = a12x2 + 31y2 = a

.Restando la segunda ecuación de la primera, tendremos:

12 (xl - x2) + 31 (y1 - y2) = 0.De esta igualdad se desprende que el número 12(x1 - x2) es divisible por 31. Como x1 y x2, sonnúmeros positivos que no superan 31, su diferencia, x1 – x2 es una magnitud menor que 31. Poreso, el número 12(x1 x2) puede dividirse por 31 sólo cuando x1 = x2, es decir, si la primerasolución coincide con la segunda. De esta manera, la suposición de que existen dos solucionesdiferentes conduce a una contradicciónVolver

6. Venta de pollosAntiguo problemaTres hermanas fueron a vender pollos al mercado. Una llevó 10 pollos; otra, 16, y la tercera, 26.Hasta el mediodía, las tres habían vendido al mismo precio una parte de los pollos. Después delmediodía, temiendo que no pudieran desprenderse de todos los pollos, bajaron el preciovendiendo los que les quedaban al mismo precio. Las tres hermanas regresaron a casa con igualcantidad de dinero, obtenida de la venta de las aves, con 35 rublos cada una. ¿A qué preciovendieron los pollos antes y después del mediodía?

SoluciónRepresentemos el número de pollos vendidos por cada una de las hermanas hasta el mediodía conx, y y z. Después del mediodía vendieron 10 - x, 16 - y y 26 - z pollos. E1 precio que rigió por lamañana lo expresamos con m, y el de la tarde, con n. Para mayor claridad confrontemos estasexpresiones:

Número de pollos vendidos PrecioHasta el mediodía x y z mDespués del mediodía 10 - x 16 - y 26 – z n

La primera hermana obtuvo:

mx + n (10 - x); por consiguiente, mx + n (10 – x ) = 35

la segunda:


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my + n (16 - y); por lo tanto, my – r - n (16 – y ) = 35

la tercera:

mz + n (26 - z); de aquí que, mz + n (26 - z) = 35.

Transformemos estas tres ecuaciones:

=+−=+−

=+−

3526)(3516)(

3510)(

nznmnynm

nxnm

Restando de la tercera ecuación la primera, y después la segunda, obtendremos sucesivamente:

=+−−=+−−

010))((016))((

nyznmnxznm

o lo que es lo mismo

=−−=−−

nzynmnzxnm

10))((16))((

Dividimos la primera por la segunda:

5858 zyzx

zyzx −

=−

⇒=−−

Como x, y, z son números enteros, las diferencias x - z, y - z son también números enteros. Poresta razón, para que se produzca la igualdad

58zyzx −

=−

es preciso que x - z se divida por 8, e y - z, por 5. Por lo tanto,

58zy

tzx −

==−

de dondex = z + 8ty = z + 5t

Observemos que el número t, además de entero, es también positivo, por cuanto x > z (en casocontrario, la primera hermana no hubiera podido conseguir tanto dinero como la tercera).Como x < 10.


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z + 8t < 10.Al ser z y t números enteros y positivos, la última desigualdad puede ser satisfecha sólo en elcaso en que z = 1 y t = 1. Sustituyendo estos valores en

x = z + 8ty = z + 5t

resulta que x = 9, y = 6.

Si en las ecuacionesmx + n (10 - x) = 35,my + n (16 - y) = 35,mz + n (26 - z) = 35

sustituimos los valores de x, y, y z, ya conocidos, tendremos el precio por el que han sidovendidos los polluelos:

m = 3 ¾ rublos y n = 1 ¼ rublosHasta el mediodía, los polluelos fueron vendidos, como hemos visto, a 3 rublos 75 kopeks;después del mediodía, a 1 rublo 25 kopeks.Volver

7. Dos números y cuatro operacionesProblemaEl problema anterior, resuelto mediante un sistema de tres ecuaciones con cinco incógnitas, nose ha desarrollado por los procedimientos ordinarios, sino por un razonamiento matemáticolibre. De esta misma forma resolveremos los siguientes problemas, y se reducen a ecuacionesindeterminadas de segundo grado.He aquí el primero de ellos.Con dos números enteros y positivos fueron realizadas las cuatro operaciones siguientes:

1) los sumaron2) restaron el menor del mayor,3) los multiplicaron4) dividieron el mayor por el menor.

La suma de los resultados obtenidos fue 243. Hállense esos dos números.

SoluciónSi el número mayor es x, y el menor y,

(x + y) + (x – y) + xy + x / y = 243

Si se multiplica esta ecuación por y, se abren los paréntesis y se reducen los términos semejantes,tendremos:

x(2y + y2 + 1) = 243y


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Pero

2y + y2 + 1 = (y + 1)2

Por eso

2)1(243

+=

xy

x

Para que el número x sea entero, es preciso que el denominador (y + 1)2 sea uno de los divisoresde 243 (por cuanto y no puede tener factores comunes con y + 1). Sabiendo que 243 = 35, sededuce que 243 es divisible sólo por los números siguientes, que son cuadrados: 1, 32 92. Asípues, (y + l)2 debe ser igual a 1, 32 o 91. Puesto que y debe ser un número positivo, resulta que yes 8 ó 2.Entonces x será igual a

243 * 8 / 81 ó , 243 * 2 / 9

Los números buscados, por lo tanto, serán 24 y 8 ó 54 y 2.Volver

8. Cómo será el rectánguloProblemaLos lados de un rectángulo vienen dados por números enteros. ¿Cuál será la longitud de dichoslados para que el perímetro y la superficie de esta figura se expresen con los mismos números?

Solución.Representando los lados del rectángulo con x e y tendremos la ecuación

2x + 2y = xyde donde

22−

=y

yx

Como x e y deben ser números positivos, también lo será el numero y - 2, es decir, y debe sermayor que 2.Fijémonos ahora en que

24

224)2(2

22

−+=−

+−=

−=

yy

yy

yx

Como x tiene que ser un número entero, 2

4−y

, también lo será. Pero como y > 2, sólo se

satisfacen las condiciones del problema si y es igual a 3, 4 o 6.


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El valor correspondiente de x será 6, 4 ó 3.Vemos, pues, que la figura buscada será un rectángulo cuyos lados equivaldrán a 3 y 6, o uncuadrado de lado 4.Volver

9. Dos números de dos cifras

ProblemaLos números 46 y 96 tienen una curiosa propiedad: su producto no se altera aunque las cifrasque los componen cambien de lugar. En efecto,

46 * 96 = 4416 = 64 * 69

¿Cómo podrá averiguarse si existen otros números de dos cifras con idéntica propiedad?

SoluciónRepresentando las cifras de los números buscados con x, y, z, t, tendremos la ecuación

(10x + y)(10z + t) = (10y + x)(10t + z)

Abriendo los paréntesis y reduciendo los términos semejantes, se obtiene

xz = yt

donde x, y, z, y t son números enteros menores que 10. Para buscar la solución se forman con lasnueve cifras significante todas las parejas que dan un mismo resultado:

1 * 4 = 2 * 2 1 * 9 = 3 * 3 2 * 9 = 3 * 61 * 6 = 2 * 3 1 * 4 = 2 * 2 3 * 8 = 4 * 61 * 8 = 2 * 4 2 * 6 = 3 * 4 4 * 9 = 6 * 6

Las igualdades son en total 9. De cada una de ellas puede formarse uno o dos grupos de las cifrasbuscadas. Por ejemplo, de la igualdad 1 * 4 = 2 * 2 se obtiene

12 * 42 = 21 * 24

De la igualdad 1 * 6 = 2 * 3 hallarnos dos soluciones:

12 * 63 = 21 * 36, 13 * 62 = 31 * 26

Siguiendo el mismo procedimiento encontraremos las siguientes 14, soluciones:

12 * 42 = 21 * 24 23 * 96 = 32 * 6912 * 63 = 21 * 36 24 * 63 = 42 * 3612 * 84 = 21 * 48 24 * 84 = 42 * 4813 * 62 = 31 * 26 26 * 93 = 62 * 39


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13 * 93 = 31 * 39 34 * 86 = 43 * 6814 * 82 = 41 * 28 36 * 84 = 63 * 4823 * 64 = 32 * 46 46 * 96 = 64 * 69

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10. Los números de PitágorasEl fácil y exacto método que los agrimensores emplean para trazar líneas perpendiculares sobre elterreno consiste en lo siguiente.Supongamos que por el punto A hay que trazar una perpendicular a MN (fig. 12).

Figura 12

En dirección AM, desde el punto A se señala tres veces la distancia cualquiera (a). Después, enuna cuerda se hacen tres nudos separados por una distancia igual a 4a y 5a. Colocando los nudosextremos en los puntos A y B, se tira del nudo del medio. Con ello se forma un triángulo en elque el ángulo A es recto.Este antiguo método, empleado ya hace miles de años por los constructores de las pirámidesegipcias, se basa en que los triángulos, en los que la relación de sus lados sea 3 : 4 : 5, de acuerdocon el conocido teorema de Pitágoras serán rectángulos por cuanto

32 + 42 = 52.

Además de los números 3, 4 y 5 existe, como se sabe, infinidad de números enteros y positivos a,b, c que satisfacen la correlación

a2 + b2 = c2

y reciben la denominación de números de Pitágoras. De acuerdo con el teorema de Pitágoras,estos números pueden expresar la longitud de los lados de un triángulo rectángulo. Los lados a yb serán dos "catetos" y c la "hipotenusa".Es evidente que si a, b, c son un trío de números de Pitágoras, los números pa, pb, pc (donde p esun factor entero) serán también números de Pitágoras. Y al contrario, si los números de Pitágoras


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tienen un factor común, pueden ser simplificados por éste, obteniéndose de nuevo el grupo denúmeros de Pitágoras. Por eso, para empezar analicemos tres números pitagóricos que seanprimos entre sí (los demás se hallan multiplicándolos por el factor entero p).Mostremos que uno de los "catetos" de los números a, b, c debe ser número par, y el otro, impar.Razonemos partiendo de la reducción al "absurdo". Si los dos "catetos" a y b son pares, tambiénlo será la suma a2 + b2 y, por lo tanto, lo mismo sucederá con la "hipotenusa". Sin embargo, estocontradice el hecho de que los números a, b, c no tienen un factor común ya que 2 divideexactamente a tres números pares. Por consiguiente, por lo menos uno de los "catetos", a, b tieneque ser impar.Puede ofrecerse otra variante, que ambos "catetos" sean impares y la "hipotenusa", par. No esdifícil demostrar que esto es imposible. En efecto. Si los "catetos tienen la forma

2x + 1 y 2y + 1

la suma de sus cuadrados será igual a

4x2 + 4x + 1 + 4y2 + 4y + 1 = 4(x2 + x + y2 + y) + 2

es decir, se trata de un número que al ser divido por 4 da de residuo 2. En tanto que el cuadradode cualquier número par debe dividirse por 4 sin residuo. Por consiguiente, la suma de loscuadrados de dos números impares no puede ser el cuadrado de un número par; en otras palabras:nuestros tres números no son pitagóricos.Así, pues, de los "catetos" a, b uno es par y otro impar. Por eso, el número a2 + b2 es impar y, enconsecuencia, también lo será la "hipotenusa" c.Supongamos, para mayor precisión, que a es el "cateto" impar y b el par.De la igualdad

a2 + b2 = c2

obtenemos fácilmente:

a2 = c2 - b2 = (c + b)(c - b)

Los factores c + b y c - b son primos entre sí. Efectivamente. Si estos números tuvieran algúnfactor común primo, excepción hecha de la unidad, entonces también se dividiría por dicho factorsu suma

(c + b) + (c - b) = 2c,su diferencia

(c + b) - (c - b) = 2b,y su producto

(c + b) (c - b) = a2,

es decir, los números 2c, 2b y a tendrían un factor común. Como a es impar este factor no puedeser 2, y por eso, los números a, b y c tienen este factor común, lo que, sin embargo, es imposible.La contradicción obtenida demuestra que los números c + b y c - b son primos entre sí. Pero si el


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producto de dos números primos entre sí es un cuadrado, entonces, cada uno de ellos será uncuadrado, es decir,

=−

=+2

2

nbc

mbc

Al resolver este sistema hallamos

2,

2

2222 nmb

nmc

−=

+=

a2 = (c + b)(c – b) = m2 * n2, a = mn

De aquí que los números de Pitágoras examinados se representen así:

2,

2,

2222 nmc

nmbmna

+=

−==

donde m y n son números impares primos entre sí. El lector puede convencerse fácilmente de locontrario: las fórmulas citadas, con cualesquiera números m y n impares, dan los númerospitagóricos a, b, c. He aquí algunos grupos de números pitagóricos, obtenidos con diferentesvalores de m y n:

cuando m = 3 n = 1 32 + 42 = 52

“ m = 5 n = 1 52 + 122 = 132

“ m = 7 n = 1 72 + 242 = 252

“ m = 9 n = 1 92 + 402 = 412

“ m =11

n = 1 112 + 602 = 612

“ m =13

n = 1 132 + 842 = 852

“ m = 5 n = 3 152 + 82 = 172

“ m = 7 n = 3 212 + 202 = 292

“ m =11

n = 3 332 + 562 = 652

“ m =13

n = 3 392 + 802 = 892

“ m = 7 n = 5 352 + 122 = 372

“ m = 9 n = 5 452 + 282 = 532

“ m =11

n = 5 552 + 482 = 732

“ m =13

n = 5 652 + 722 = 972

“ m = 9 n = 7 632 + 162 = 652

“ m = n = 7 772 + 362 = 852


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11

(Todos los demás grupos de tres números pitagóricos, o tienen factores comunes, o contienennúmeros mayores de 100).Los números de Pitágoras tienen, en general, propiedades curiosas que enumeraremos acontinuación sin demostraciones:

1) Uno de los "catetos" debe ser múltiplo de tres.2) Uno de los "catetos" debe ser múltiplo de cuatro.3) Uno de los números de Pitágoras debe ser múltiplo de cinco

El lector puede convencerse de la existencia de estas propiedades al examinar los ejemplos degrupos de cifras pitagóricas que figuran más arriba.Volver

11. Ecuación indeterminada de tercer gradoLa suma de los cubos de tres números enteros puede ser el cubo de un cuarto número. Porejemplo,

33 + 43 + 53 = 63.

Esto significa, entre otras cosas, que el cubo, cuya arista es igual a 6 cm equivale a la suma de losvolúmenes de tres cubos, en los que sus aristas sean 3, 4 y 5 cm (fig. 13). Según cuentan, estacorrelación interesó vivamente a Platón.Intentemos hallar otras correlaciones del mismo género, es decir, resolvamos la siguiente tarea:encontrar soluciones a la ecuación

x3 + y3 + z3 = u3.

Es más cómodo, sin embargo, expresar la incógnita u con - t. Entonces la ecuación ofrecerá unaforma más sencilla:

x3 + y3 + z3 + t2 = 0

Veamos un método que nos permita hallar multitud de soluciones a esta ecuación, en númerosenteros (positivos y negativos). Supongamos que a, b, c, d y a, ß, ?, d son dos grupos de cuatronúmeros que satisfacen la ecuación. Sumemos a los números del primer grupo de cuatro los delsegundo multiplicados por un cierto número k, y busquemos éste de forma que los númerosobtenidos

a + ka, b + kß, c + k?, d + kd,

satisfagan también la ecuación. En otras palabras: elijamos k de tal forma que sea satisfecha laigualdad

(a + ka)3 + (b + kß)3 + (c + k?)3 + (d + kd)3 = 0.


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Al abrir los paréntesis, sin olvidar que a, b, c, d y a, ß, ?, d satisfacen las exigencias de nuestraecuación, es decir, que tienen lugar las igualdades

a3 + b3 + c3 + d3 = 0,

a3 + ß3 + ?3 + d3 = 0

obtenemos:

3a2ka + 3ak2a2 + 3b2kß + 3bk2ß2 + 3c2k? + 3ck2?2 + 3d2kd + 3dk2d2 = 0,

ó3k[(a2a + b2ß + c2? + d2d) + k(aa2 + bß2 + c?2 + dd2)] = 0

El producto será cero sólo en el caso en que lo sea uno de sus factores. Equiparando cada uno delos factores a cero obtenemos dos valores para k. El primero de ellos k = 0, no nos satisface; ellosignifica que si a los números a, b, c y d no se les agrega nada, los números obtenidos satisfacennuestra ecuación. Por eso tomaremos solamente el segundo valor de k:

2222

2222aδγβαδγβα

dcbadcb

k++++++

=

De aquí que, conociendo dos grupos de cuatro números que satisfagan la ecuación de partida,puede ser hallado un nuevo grupo: para esto hay que sumar a los números del primer cuarteto losdel segundo multiplicados por k, donde k tiene el valor indicado más arriba.Para aplicar este método es preciso encontrar dos grupos de cuatro números que satisfagan lascondiciones de la ecuación inicial. Uno de ellos (3, 4, 5, - 6) es ya conocido. ¿De dónde sacarotro? No es difícil encontrar salida a esta situación; el grupo pueden formarlo los números r, - r,s, - s, que responden, sin duda, a las condiciones de la ecuación inicial. En otras palabras,supongamos que

a = 3, b = 4, c = 5, d = - 6,a = r, ß = - r, ? = s, d = - s.

Entonces k, tomará la siguiente forma:

2222 7117

7117

srsr

srsr

k−

+=

−−−

−=

y los números a + ka, b + kß, c + k?, d + kd serán respectivamente iguales a

22

22

731128

srsrsr

−−+


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22

22

741121

srsrsr

−−−

22

22

76735

srsrsr

−++

22

22

75742

srsrsr

−−−−

De acuerdo con lo expuesto estas cuatro expresiones satisfacen las exigencias de la ecuación departida

x3 + y3 + z3 + t2 = 0

Comoquiera que esos quebrados tienen el mismo denominador, puede prescindirse de éste. (Enconsecuencia, los numeradores de estos quebrados también satisfacen las exigencias de laecuación examinada.) Se ha visto, pues, que la ecuación indicada es satisfecha (cualquiera quesea el significado de r y s) por los siguientes números:

x = 28r2 + 11 rs – 3s2

y = 21r2 - 11rs – 4s2

z = 35r2 + 7rs + 6s2

t = - 42r2 - 7rs – 5s2,

lo cual puede comprobarse elevando estas expresiones al cubo y sumándolas. Atribuyendo a r y sdiversos valores enteros podemos obtener toda una serie de soluciones a la ecuación expresadasen números enteros. Si en estas circunstancias los números obtenidos tienen un factor común,podemos dividir por él todos estos números. Por ejemplo, cuando r = l, s = l, las incógnitas x, y, z,t equivaldrán a 36, 6, 48, - 54, o, que al dividirlos por 6, darán 6, 1, 8, - 9. Por consiguiente,

63 + 13 + 83 = 93.

He aquí una serie más de igualdades del mismo tipo (obtenidas después de simplificadas al serdivididas por un divisor común):

Cuando r = 1 s = 2 383 + 733 = 173 + 763

“ r = 1 s = 3 173 + 553 = 243 + 543

“ r = l s = 5 43 + 1103 = 673 + 1013

“ r = 1 s = 4 83 + 533 = 293 + 503

“ r = l s = - 1 73 + 143 + 173 = 203

“ r = l s = - 2 23 + 163 = 93 + 153

“ r = 2 s = - 1 293 + 343 + 443 = 533


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Observemos que si en el grupo inicial 3, 4, 5, - 6, o en alguno de los obtenidos después, secambian de sitio los números y se aplica el mismo método, obtendremos una nueva serie desoluciones. Por ejemplo, tomando decir, suponiendo que a = 3, b = 5, c = 4, d = - 6) z, t, losvalores

x = 20r2 + 10rs – 3s2

y = 12r2 – 10rs –5s2

z = 16r2 + 8rs + 6s2

t = - 24r2 – 8rs – 4s2

De aquí que al variar los valores de r y s obtengamos una serie de nuevas correlaciones:

cuando r = l, s = l 93 + 103 = 13 + 123

“ r = 1, s = 3 233 + 943 = 633 + 843

“ r = 1, s = 5 53 + 1633 + 1643 = 2063

“ r = 1, s = 6 73 + 543 + 573 = 703

“ r = 2, s = l 233 + 973 + 863 = 1163

“ r = l, s = - 3 33 + 363 + 373 = 463

etc

De esta manera puede obtenerse un número infinito de soluciones de la ecuación dada.Volver

12. Cien mil marcos por la demostración de un teoremaCierto problema de ecuaciones indeterminadas adquirió en sus tiempos enorme popularidaddebido a que al afortunado que lo resolviera con acierto se le ofrecía todo un capital ¡100 000marcos alemanes!El ejercicio consiste en demostrar la siguiente tesis llamada teorema o “gran proposición" deFermat.La suma de potencias de idéntico grado de dos números enteros no puede ser potencia de untercer número entero. Se excluye sólo la segunda potencia, para la que es posible.En otras palabras, hay que demostrar que la ecuación

xn + yn = zn

no tiene solución, tratándose de base entera, para n > 2.Aclaremos lo dicho. Hemos visto que las ecuaciones

x2 + y2 = z2,x3 + y3 + z3 = t3

tienen, tratándose de números enteros, cuantas soluciones se deseen. Sin embargo será imposibleencontrar tres números enteros positivos que satisfagan la igualdad x3 + y3 = z3.


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Idéntico fracaso acompaña cuando se trata de las potencias de cuarto, quinto, sexto grados, etc.Esto es lo que afirma la "gran proposición de Fermat".¿Qué se exige de los aspirantes al premio? Deben demostrar esta tesis para todas las potenciasque cumplen las condiciones dadas. El caso es que el teorema de Fermat no esta aún demostradoy pende, por decirlo así, en el aire.Han transcurrido tres siglos desde que fue formulado, sin embargo, los matemáticos no hanlogrado hasta ahora hallar su demostración.Las figuras más eximias de esta ciencia se han ocupado del problema, mas, en el mejor de loscasos, 2consiguieron demostrar el teorema para algunos exponentes o para ciertos grupos de ellos;pero de lo que se trata es de hallar la demostración g e n e r a 1, para t o d o exponente entero.Lo interesante del caso es que esta inaccesible demostración del teorema de Fermat, por lo visto,fue descubierta en cierta ocasión, y después se extravió. El autor del teorema, el genialmatemático del siglo XVII, Pierre de Fermat, afirmaba que conocía la demostración. Su "granproposición", fue escrita por él (lo mismo que toda una serie de teoremas acerca de la teoría delos números) en forma de observación en los márgenes de una obra de Diofanto, acompañándolade las siguientes palabras:"He encontrado una demostración verdaderamente asombrosa para esta proposición, pero aquíhay poco sitio para desarrollarla".En ningún sitio, ni en los documentos del gran matemático ni en su correspondencia, ha sidoposible hallar huellas de esta demostración.Los discípulos de Fermat han tenido que marchar por su propio camino.He aquí los resultados de estos esfuerzos: Euler (1797) demostrar; el teorema de Fermat parapotencias de tercero y cuarto grados, para las de quinto fue demostrado por Legendre (1823);para las de séptimo3, por Lamé y Lebesgue (1840). En 1849, Kummer demostró el teorema parauna serie muy amplia de potencias y, entre otras, para todos los exponentes menores de ciento.Estos últimos trabajos rebasan con mucho la esfera de las matemáticas conocidas por Fermat, yempieza a ser problemático el hecho de que este último pudiera hallar la demostración general desu "gran proposición". Además es posible que él se equivocó.Quien sienta curiosidad por la historia y el estado actual del problema de Fermat, puede leer elfolleto de A. Jinchin El gran teorema de Fermat. Esta publicación, obra de un especialista, estádedicada a lectores que sólo tienen conocimientos elementales de matemáticas.Volver

2 Fermat (1603 - 1665) no era matemático profesional. Era jurista y consejero del parlamento; se dedicaba a lasinvestigaciones matemáticas sólo en los momentos libres. No obstante, hizo una serie de descubrimientosextraordinarios, los cuales, dígase de paso, no publicaba, sino que, como se acostumbraba hacer en esa época, losdaba a conocer en su correspondencia a los hombres de ciencia, amigos suyos: Pascal, Descartes, Huygens, Robervaly otros.3 Para los exponentes compuestos (a excepción del 4) no hace falta ninguna demostración especial: estos casos sereducen a los casos con exponentes primos


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Capítulo TerceroEN AYUDA DE LA ARITMETICA

Contenido:1. Multiplicación abreviada2. Las cifras 1, 5 y 63. Los números 25 y 764. Números infinitos5. Compensación6. Divisibilidad por 117. El número del automóvil8. Divisibilidad por 199. Teorema de Sofía Germain10. Números compuestos11. Acerca de los números primos12. E1 mayor número primo conocido13. Un cálculo muy laborioso14. En ocasiones es preferible no recurrir al álgebra

La aritmética es a menudo incapaz de demostrar categóricamente, con sus propios medios, laveracidad de algunas de sus afirmaciones. En tales casos tiene que remitirse a los métodossintetizadores del álgebra. A este género de tesis aritméticas, fundamentadas en el álgebra,pertenecen, por ejemplo, muchas de las reglas empleadas en las operaciones abreviadas, lascuriosas propiedades de algunos números, los caracteres de la divisibilidad, etc. Este capítulo lodedicamos al examen de cuestiones de este tipo.

1. Multiplicación abreviadaLas personas con grandes hábitos calculatorios facilitan con frecuencia las operaciones mediantetransformaciones algebraicas poco complejas. Por ejemplo, la operación 9882 se efectúa comosigue:

988 * 988 = (988 + 12) * (988 - 12) + 122 = = 1000 * 976 + 144 = 976 144

Es fácil comprender que en este caso se recurre ala siguiente transformación algebraica:

a2 = a2 – b2 + b2

En la práctica podemos aplicar esta fórmula para los cálculos mentales. Por ejemplo:

272 = (27 + 3) * (27 - 3) + 32 = 729632 = 66 * 60 + 32 = 3969182 = 20 – 16 + 22 = 324372 = 40 * 34 + 32 = 1369482 = 50 - 46 + 22 = 2304542 = 58 * 50 + 42 = 2916


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La multiplicación 986 * 997 se realiza así:

986 * 997 = (986 - 3) * 1000 + 3 * 14 = 983 042.

¿En qué se basa este método? Supongamos a los factores en forma de:

(1000 - 14) * (1000 - 3)

y multipliquemos estos factores según las reglas del álgebra:

1000 * 1000 – 1000 * 14 – 1000 * 3 + 14 * 3.

A continuación siguen las transformaciones:

1000 * (1000 - 14) –1000 * 3 + 14 * 3 = = 1000 * 986 – 1000 * 3 + 14 * 3 =

= 1000 (986 - 3) + 14 * 3

La última línea es la que expresa el método de dicho cálculo. Ofrece interés el procedimientopara multiplicar dos números compuestos de tres cifras, cuando el guarismo de las decenas es elmismo, y la suma de las unidades, 10.Por ejemplo, la multiplicación

783 * 787

se efectuará de esta manera:

78 * 79 = 6162; 3 * 7 = 21

y su resultado es

616.221.

Este método se deduce de las siguientes transformaciones:

(780 - 1 - 3) * (780 - 1 - 7) = = 780 * 780 - 1 - 7803 + 780 * 7 + 3 * 7 =

= 780 * 780 + 780 * 10 + 3 * 7 = = 780 * (780 + 10) + 3 * 7 = 780 * 790 + 21 =

= 616.200 + 21

Existe otro medio, todavía más sencillo, para realizar multiplicaciones análogas:

783 * 787 = (785 - 2) * (785 + 2) = 7852 - 4 = = 616.225 - 4 = 616.221


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En este ejemplo hemos tenido que elevar al cuadrado el número 785. Para elevar rápidamente alcuadrado un número acabado en 5, es muy cómodo el siguiente método:

352; 3 * 4 = 12; resultado 1225652; 6 * 7 = 42; resultado 4225752; 7 * 8 = 56; resultado 5625

Se efectúa la operación multiplicando la cifra de las decenas por otra mayor que ésta en unaunidad, y escribiendo 25 a continuación del resultado.El método se basa en lo siguiente: si el número de decenas es a, todo el número puede serexpresado así:

10a + 5.

El cuadrado de este número, como cuadrado de un binomio será igual a

100a2 + 100a + 25 = 100a * (a + 1) + 25

La expresión a * (a + 1) es el resultado de multiplicar la cifra de las decenas por ella mismaaumentada en urea unidad. Multiplicar el número por 100 y añadirle 25 es lo mismo que colocar25 a la derecha del producto. De este mismo método se desprende el sencillo medio de elevar alcuadrado los números mixtos en los que la parte fraccionaria es 1 / 2.Por ejemplo:

(3 1 / 2)2 = 3.52 = 12.25 = 12 1 / 4(7 1 / 2)2 = 7.52 = 56.25 = 56 1 / 4(8 1 / 2)2 = 8.52 = 72.25 = 72 1 / 4

Volver

2. Las cifras 1, 5 y 6¿Quién no ha advertido que al multiplicar por sí misma una serie de números terminados en uno ocinco, el producto acaba en la misma cifra? Sin duda será menos conocido que lo expresado serefiere también al 6. Por esta razón, entre otras, la potencia de todo número terminado en seis,termina asimismo en seis.Por ejemplo:

462 = 2116; 463 = 97.336.

Esta curiosa propiedad de las cifras 1, 5 y 6 puede ser fundamentada por vía algebraica.Examinémosla en el caso del seis.Todo número terminado en seis se descompone de esta forma:10a + 6; 10b + 6, etc.;donde a y b son números enteros. La multiplicación de dos enteros como éstos es igual a

100ab + 60b + 60a + 36 = = 10(l0ab + 6b + 6a) + 30 + 6 =

= 10(10ab + 6b + 6a + 3) + 6


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El resultado debe constar, pues, de algunas decenas y la cifra 6 en las unidades, la cual, ni quedecir tiene, debe reaparecer al final.Este mismo método de demostración puede ser empleado para el 1 y el 5. Lo expuesto permiteafirmar que, por ejemplo,

3862567 termina en 6815723 termina en 5

4911732 termina en 1, etc.Volver

3. Los números 25 y 76Hay números de dos cifras que también tienen la misma propiedad que las cifras 1,5 y 6: nosreferimos a los números 25 y - lo más sorprendente al 76. El producto de dos números terminadosen 76 acaba también en 76. Demostrémoslo. La expresión común para tales números es comosigue:

100a + 76, 100b + 76, etc.

Multipliquemos dos números de este tipo entre sí y obtendremos:

10.000ab + 7600b + 7600a + 5776 = = 10.000ab + 7600b + 7600a + 5700 + 76 =

= 100 * (100ab + 76b + 76a + 57) + 76

El principio ha sido demostrado: el resultado terminará en 76.De esto se desprende que toda potencia de un número acabado en 76, termina en el mismonúmero:

3762 = 141.376, 5763 = 191.102.976, etc.Volver

4. "Números" infinitosExisten también grupos de números con mayor cantidad de cifras que, al figurar al final de losmismos, se conservan también en su multiplicación. El número de tales grupos de cifras esinfinitamente grande.Conocemos ya dos grupos compuestos de dos cifras, que poseen propiedad análoga: el 25 y el 76.Para encontrar grupos semejantes con tres cifras hay que colocar delante del 25 o del 76 una cifratal que nos dé un grupo de tres guarismos con la misma propiedad.¿Qué cifra se debe colocar ante el 76? Expresémosla con k. En este caso, el número buscado detres cifras será:

100k + 76

La expresión común para todo número que termine en este grupo de cifras deberá ser:

1000a + 100k + 76, 1000b + 100k + 76, etc.


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Multipliquemos dos números de este tipo entre sí y tendremos:

1.000.000ab + - 100.000ak + 100.000bk + 76000a + + 76.000b + 10.000k2 + 15.200k + 5.776

Todos los sumandos, menos los dos últimos, terminan, por lo menos, en tres ceros. Por esto, elresultado acaba en 100k + 76 si la diferencia

15.200k + 5.776 - (100k + 76) = 15.100k + 5.700 = = 15.000k + 5.000 + 100 (k + 7)

se divide por 1.000. Esto, evidentemente, ocurrirá cuando k sea igual a 3. Así pues, el grupo decifras buscado es 376. A esto se debe que toda potencia de 376 termine en dicho número. Porejemplo:

3762 = 141.376.

Si nos interesa hallar un grupo de cuatro cifras que tenga la misma propiedad, debemos colocardelante de 376 una cifra más. Si expresamos esta cifra con l, se nos planteará el siguienteproblema: ¿cuál debe ser la cifra L para que la multiplicación

(10.000a + 1000L + 376) * (10.000b + 1.000L + 376)

termine en 1.000L + 376? Si abrimos los paréntesis de esta multiplicación y prescindimos detodos los factores que terminan en cuatro ceros o más, nos quedará

752.000L + 141.376

La multiplicación termina con 1.000L + 376 si la diferencia

752.000L + 141.376 - (1.000L + 376) = = 751.000L + 141.000 =

= (750.000L + 140 000) + 1.000 * (L + 1)

se divide por 10.000. Esto, sin duda, tendrá lugar solamente cuando L sea igual a 9.El grupo de cuatro cifras buscado será 9376.El grupo obtenido puede ser completado con una cifra más, para lo cual es preciso seguir idénticorazonamiento. Obtendremos 09.376. Si damos un paso más hallaremos el grupo de cifras 109.376y, después, 7.109.376, etc. Una tal adición de cifras a la izquierda del número puede ser efectuadainfinita cantidad de veces. En consecuencia obtendremos un "número" con infinidad de cifras:

...7 109 376.

Tales "cifras" pueden ser sumadas y multiplicadas de acuerdo con las reglas comunes: como sesabe, escríbense de derecha a izquierda, y en este mismo sentido se suman y multiplican losnúmeros "en columna"; por lo cual en la suma y en la multiplicación de dos de estos números sepuede operar sucesivamente con todas las cifras que se quieran.


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Y lo más interesante, por muy raro que parezca, es que ese número infinito satisface a la ecuación

x2 = x

Y así es, en efecto; el cuadrado de este "número" (es decir, el resultado de multiplicarse por símismo) termina en 76 ya que cada uno de los factores termina en 76; por esa misma causa, elcuadrado del "número" escrito acaba en 376, en 9376, etc.Es decir, operando sucesivamente con cada una de las cifras del "número" x2, donde x = ... 7 109376, obtendremos las mismas cifras que teníamos con el número x, por lo cual, x2 = x.Hemos examinado grupos de cifras que terminan en 761. Si se aplica el mismo razonamiento paragrupos de cifras terminados en 5 obtendremos los siguientes grupos de cifras:

5, 25, 625, 0625, 90625, 890 625, 2 890 625, etc.

Por ello podemos escribir otro "número" infinito:

2.890.625,

que también satisface la ecuación x2 = x. Podríamos demostrar que este "número" infinito es"igual" a

(((52)2)2)2)...

El interesante resultado obtenido en el idioma de los "números" infinitos se formula de estamanera: la ecuación x2 = x tiene (además de x = 0, x = 1), otras dos raíces "infinitas"

x = ... 7.109.376 y x = ... 2.890.625;

sin ninguna otra solución (en el sistema de base diez) 2

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5. Compensación

Antiguo problemaEn tiempos remotos ocurrió el siguiente hecho. Dos mercaderes vendieron una partida de toros,recibiendo por cada animal tantos rublos como toros había en la partida. Con el dinero recibidocompraron un rebaño de ovejas, pagando 10 rublos por cada oveja, y un corderito. Al repartirseel rebaño en dos mitades, uno recibió una oveja más, y otro, el corderillo. El que recibió éste fuecompensado por su socio con una suma complementaria correspondiente. Siendo dicho pagocomplementario una cantidad entera de rublos, ¿de cuántos rublos constará?

1 Observemos que el grupo de dos cifras 76 puede ser hallado con razonamientos análogos a los efectuados másarriba. Basta con resolver la cuestión de qué cifra debe ser colocada delante del 6 para obtener un grupo de dos cifrasque tenga la propiedad señalada. Por eso, el "número"... 7 109 376 puede ser conseguido agregando sucesivamentecifras ante el 6.2 Los "números" infinitos pueden ser examinados, no sólo en el sistema de base diez, sino también en otros sistemasde numeración. Estos "números" examinados en el sistema de numeración de base p se llaman números de base p .


Patricio Barros

SoluciónEste problema no se presta a la traducción directa al "idioma algebraico", pues no puedeconstruirse la ecuación necesaria. Es preciso resolverlo mediante un procedimiento especial, elllamado razonamiento matemático libre. Más también aquí el álgebra presta a la aritmética unabuena ayuda. El valor en rublos de todo el rebaño es un cuadrado exacto, por cuanto dicho rebañoha sido adquirido con el dinero recibido por la venta de n toros, a n rublos por cabeza. Uno de lossocios recibió una oveja más, por lo tanto, el número de ovejas es impar. También es impar, porlo mismo, el número de decenas en la cantidad n2. ¿Cuál es la cifra de las unidades? Podemosdemostrar que si en un cuadrado exacto, la cifra de las decenas es impar, la de las unidades debeser sólo 6.Efectivamente. El cuadrado de todo número compuesto de a decenas y b unidades, es decir, (10a+ b)2, será igual a

l00a2 + 20ab + b2 = 10 * (l0a2 + 2ab) + b2

El número de decenas en esta cantidad es l0a2 + 2ab más algunas decenas comprendidas en b2.Pero 10a2 + 2ab es divisible por dos, luego es un número par. Por eso, el número de decenascomprendidas en (10a + b)2 resultará impar sólo cuando en el número b2 haya un número imparde decenas. Recordemos lo que representa b2. Este número es el cuadrado de la cifra de lasunidades, es decir, una de las cifras siguientes:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81

Entre ellas, sólo 16 y 36, tienen decenas impares, y ambos terminan en 6. Esto quiere decir que elcuadrado exacto

100a2 + 20ab + b2

puede tener un número impar de decenas sólo en el caso en que termine en 6. Ahora es ya fácilhallar la respuesta a la pregunta formulada en el problema.Es evidente que el corderito costó 6 rublos. El socio a quien correspondió éste, recibió 4 rublosmenos que el compañero. Para que el reparto sea equitativo, el poseedor del cordero debe sercompensado por su socio con 2 rublos. La compensación es igual a 2 rublos.Volver

6. Divisibilidad por 11El álgebra facilita en gran medida la búsqueda de indicios que permiten prever, sin recurrir a ladivisión, si determinado número es divisible por uno u otro divisor. La divisibilidad por 2, 3, 4, 5,6, 8, 9 y 10 es ampliamente conocida. El caso del 11 es muy sencillo y práctico. Supongamos queen un número de varias cifras, N, la cifra de las unidades es a, la de las decenas, b; la de lascentenas, c; la de las unidades de millar d, etc., es decir

N = a + 10b + 100c + 1000d + ... = a + 10 * (b + 10c + 100d + ...)

donde los puntos suspensivos representan la suma de las cifras siguientes. Restemos de N elnúmero 11(b + l0c + l00d + ...), múltiplo de 11. La diferencia es igual a


Patricio Barros

a - b - 10 * (c + 10d + ... )

que dará el mismo residuo que N al dividirla por 11. Si a esta diferencia le agregamos 11 * (b +10c + 100d + ...), múltiplo de 11, obtendremos

a - b - 10 * (c + 10 + ...)

que dividido por 11, da el mismo residuo que el número N. Al sustraer 11 * (d + ...), múltiplo de11, resultará

a - b + c - d + ... = (a + c + ...) - (b + d + ...)

que, dividido por 11 da el mismo resto que el número N. De aquí se desprende la siguiente reglade divisibilidad por 11: de la suma de las cifras que ocupan los lugares impares se resta la sumade las cifras que ocupan los lugares pares; si la diferencia es cero o múltiplo de 11 (negativo opositivo), el número que probamos será múltiplo de 11. En caso contrario no será divisible por11. Probemos, por ejemplo, el número 87.635.064:

8 + 6 + 5 + 6 = 25,7 + 3 + 0 + 4 = 14

25 - 14 = 0

En consecuencia, el número dado es divisible por 11.Existe otro criterio de divisibilidad por 11, cómodo para números relativamente pequeños.Consiste en que el número que probamos se separa de derecha a izquierda en grupos de dos cifrasy se suman estos grupos. Si la suma se divide por 11 sin residuo, el número probado será múltiplode 11, en caso contrario, no lo será. Por ejemplo, necesitamos probar el número 528. Separamosel número en dos grupos (5 y 28) y los sumamos:

5 + 28 = 33

Como 33 se divide exactamente por 11, el número 528 es múltiplo de 11:

528 / 11 = 48

Demostremos este criterio de divisibilidad. Dividamos en grupos el número N, que tiene variascifras. Obtendremos grupo de dos (o de una cifra3 que designaremos de derecha a izquierda cona, b, c, etc., de forma que el número N puede ser expresado de la forma siguiente:

N = a + 100b + 10.000c + ... = a + 100 * (b + 100c + ...)

Restemos de N el número 99 * (b + 100c + ...), múltiplo de 11. El número obtenido

3 Si el número N tuviera una cantidad impar de cifras, el último grupo (el extremo de la izquierda) tendría una solacifra. Además, los grupos como 03 también deben ser considerados como de una sola cifra, cual si se tratara sólo delguarismo 3.


Patricio Barros

a + (b + 100c + ...) = a + b + 100 * (c + ...)

dará, al dividirlo por 11, el mismo residuo que el número N. De este número descontemos elnúmero 99 * (c + ...), múltiplo de 11, etc.Por todo ello vemos que el número N da el mismo resto al dividirlo por 11 que el número

a + b + c + ...Volver

7. El número del automóvil

ProblemaCuando paseaban por la ciudad tres estudiantes de matemáticas, observaron que el conductor deun automóvil infringió el reglamento de tráfico. Ninguno de los estudiantes recordaba el número(de cuatro cifras) de la matrícula, pero como los tres eran matemáticos, cada uno de ellosadvirtió alguna particularidad de dicho número. Uno de ellos advirtió que las dos primerascifras eran iguales. El segundo se dio cuenta de que también coincidían las dos últimas cifras. Y,por último, el tercero aseguraba que todo el número de cuatro cifras era un cuadrado exacto.¿Puede determinarse el número de la matrícula del automóvil valiéndose tan sólo de estosdatos?

SoluciónExpresemos la primera y la segunda cifra del número buscado con la a, y la tercera y la cuartacon la b. Entonces el número será igual a

1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b = 11 * (l00a + b)

Este número es divisible por 11 y, por eso, (siendo un cuadrado exacto) se divide también por112. Con otras palabras, el número 100a + b se divide por 11. Al emplear cualquier de loscriterios de divisibilidad expuestos, deduciremos que el número a + b es divisible por 11. Peroesto significa que

a + b = 11

por cuanto cada una de las cifras a, b es menor que diez.La última cifra b que es un cuadrado exacto, puede tomar los siguientes valores:

0, 1, 4, 5, 6, 9

Por eso, para la cifra a, que es igual a 11 - b, se encuentran los siguientes valores posibles:

11, 10, 7, 6, 5, 2

Los dos primeros valores son inaceptables, quedando, pues, los siguientes:

b = 4 a = 7


Patricio Barros

b = 5 a = 6b = 6 a = 5b = 9 a = 2

Vemos, en consecuencia, que el número de la matrícula debe ser alguno de éstos:

7744, 6655, 5566, 2299

Pero como los tres últimos no son cuadrados - el número 6655 es divisible por 5, pero no por 25;el 5566 se divide por 2, pero no por 4, y 2299 (producto de 12 * 19) tampoco es cuadrado - noqueda más que 7744, segunda potencia de 88, que nos ofrece la solución del problema.Volver

8. Divisibilidad por 19Ocupémonos del siguiente criterio de divisibilidad por 19.Un número es múltiplo de 19 sólo en el caso en que sus decenas más el doble de sus unidadesforme un múltiplo de 19.

SoluciónTodo número N puede ser presentado como

N = l0x + y

donde x es el número de decenas (no la cifra que ocupa las decenas, sino la cantidad de decenasdel número); y es la cifra de las unidades. Tenemos que demostrar que N es múltiplo de 19 tansólo cuando

N' = x + 2y

es múltiplo de 19. Para esto multipliquemos N' por 10, y del producto restemos N de donde

10N' - N = 10 * (x + 2y) - (l0x + y) - 19y

Con esto se demuestra que si N' es múltiplo de 19, entoncesN = 10N' - 19y se dividirá exactamente por 19 y al contrario, si N se divide por 19, entonces

10N' = N + 19y

será múltiplo de 19, y en ese caso también N' será múltiplo de 19. Supongamos que se precisasaber si el número 47.045.881 se divide por 19. Apliquemos sucesivamente nuestro criterio dedivisibilidad


Patricio Barros

Figura01

Como 19 se divide exactamente por 19, los números 57, 475, 4.712, 47.063, 470.459, 4.704.590,47.045.881 son múltiplos de 19. Por lo tanto, también se divide el número propuesto por 19.Volver

9. Teorema de Sofía GermainHe aquí un problema propuesto por Sofía Germain, conocida matemática francesa: Demuéstreseque los números del tipo a4 + 4 son compuestos, (con la condición de que a no sea igual a 1).

SoluciónLa demostración se desprende de las siguientes transformaciones:

a4 + 4 = a4 + 4a2 + 4 - 4a2 = (a2 + 2)2 - 4a2 = = (a2 + 2)2 - (2a)2 = (a2 + 2 - 2a) * (a2 + 2 + 2a)

De aquí se desprende que, el número a4 + 4 puede ser expresado en forma de dos factores que nosean iguales a él ni a la unidad4, es decir, es un número compuesto.

10. Números compuestosLos números primos, es decir, aquellos que son mayores que 1 y no se dividen exactamente másque por sí mismo y la unidad, son infinitos.A partir de 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ..., su serie es interminable. Intercalados entre losnúmeros compuestos, dividen la serie de números naturales en series más o menos prolongadasde números compuestos.¿Cuál es la continuidad de estas series? ¿Puede encontrarse alguna que abarque, por ejemplo,hasta mil números compuestos sucesivos?Puede demostrarse, aunque parezca inverosímil, que las series de números compuestos, situadasentre los primos, pueden ser de cualquier extensión. No hay límites para la prolongación de talesgrupos, ya que pueden estar formados por miles, millones, trillones, etc., de números compuestos.Para mayor facilidad no serviremos del signo convencional n!, que representará el producto detodos los números consecutivos, del 1 a n inclusive. Por ejemplo, 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5.Demostremos como la serie

4 Esto último, debido a quea2 + 2 - 2a = (a2 - 2a + 1) = (a - 1)2 + 1 ≠ 1, si a ≠ 1


Patricio Barros

[(n + l)! + 2], [(n + 1)! + 3], [(n + 1)! + 4], ......hasta [(n + 1)! + n + 1] inclusive

está formada por n números compuestos consecutivos.Estos números van sucediéndose uno tras otro en serie natural, por cuanto cada uno es superior enuna unidad al que le antecede. Queda tan solo por demostrar que todos ellos son compuestos.

El primero

[(n + l)! + 2] = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * ... * [(n + l) + 2],

es par, ya que en sus dos sumandos contiene el factor 2. Y todo número par mayor que 2 escompuesto.

El segundo

[(n + 1)! + 3] = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * ... * [(n + 1) + 3],

consta de dos sumandos, cada uno de los cuales es múltiplo de 3. Por lo tanto, este númerotambién es compuesto.

El tercero

[(n + 1)! + 4] = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * ... * [(n + 1) + 4]

es divisible por 4, ya que se compone de sumandos múltiplos de 4. De manera análogaestablecemos que el número (n + 1)! + 5es múltiplo de 5, etc. En otras palabras, cada uno de estos números contiene un factor, además delmismo número y de la unidad, por lo tanto será compuesto. Si se desea obtener 5 númeroscompuestos consecutivos basta sustituir la n por el 5 en la serie anterior. De este modo resultará

722, 723, 724, 725, 726

Por ésta no es la única serie de cinco números compuestos consecutivos. Existen también, comopor ejemplo:

62, 63, 64, 65, 66

O números todavía menores:

24, 25, 26, 27, 28

Intentemos resolver ahora un problema: Escribir diez números compuestos consecutivos.

SoluciónEn virtud de lo expuesto, el primero de los diez números buscados puede ser


Patricio Barros

1 * 2 * 3 * 4 * ... * 10 * 11 + 2 = 39.816.802

Por consiguiente, para la serie de números buscada, nos sirve

39.816.802, 39.816.803, 39.816.804, etc.

Sin embargo, existen series de diez números compuestos consecutivos considerablemente máspequeños. Incluso puede señalarse una serie no de diez, sino de trece números, comprendidosentre la primera y la segunda centena:

114, 115, 116, 117, etc. hasta el 126, inclusive.Volver

11. Acerca de los números primosEl hecho de que existan infinitas series muy prolongadas de números compuestos consecutivospuede inducir a la creencia de que las series de números primos son limitadas. Por ello, no será demás demostrar que la cantidad de dichas series de números primos es infinita.Esta demostración se debe al matemático Euclides, de la antigua Grecia, figura en sus célebresPrincipios. Pertenece a la categoría de demostraciones por reducción al absurdo. Supongamosque la serie de números primos es limitada y que representamos con la N el último número deella. Desarrollemos la factorial de N:

1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * ... * N = N!

Al sumarle la unidad, resultará N! + 1Este número, al ser entero, debe contener por lo menos un factor primo, es decir, debe serdivisible, aunque no sea más que por un número primo. Pero todos los números primos, deacuerdo con el supuesto no superan el número N; mientras que el número N! + 1 no es múltiplode ninguno de los números menores o iguales a N, pues su división siempre da un restoequivalente a la unidad.Por lo tanto, no puede aceptarse que la serie de números primos sea limitada: tal suposiciónconduce al absurdo. Por consiguiente, por muy considerable que sea el grupo de númerosconsecutivos compuestos que nos encontremos en la serie de números naturales, puede tenerse laseguridad de que al remontarse por ella se encontrarán infinitos números primos.Volver

12. El mayor número primo conocidoUna cosa es estar convencido de que existen números primos tan grandes como se quiera, y otrasaber cuáles son esos números. Cuanto mayor sea el número natural, tanto más operaciones hayque realizar para conocer si es primo o no. He aquí el número primo más grande de cuantos seconocen:

22281 - 1


Patricio Barros

Este número tiene cerca de setecientas cifras del sistema decimal. Los cálculos que sirvieron parademostrar que este número es primo fueron realizados en las máquinas modernas de calcular.(Véanse los capítulos I y II).Volver

13. Un cálculo muy laboriosoEn la práctica del cálculo se encuentran operaciones matemáticas cuya realización seríaextraordinariamente difícil si para ello no se aplicaran los métodos simplificadores del álgebra.Supongamos que sea necesario efectuar las siguientes operaciones:

000.000.000.901

1

2

+

(Este cálculo es necesario para establecer si la técnica relacionada con las velocidades de losmovimientos de los cuerpos - pequeñas en comparación con la velocidad de la difusión de lasondas electromagnéticas - puede valerse de las antiguas leyes que regulan la suma develocidades, sin tener en cuenta aquellos cambios que la teoría de la relatividad ha introducido enla mecánica. De acuerdo con la mecánica antigua, el cuerpo sometido a dos movimientos,efectuados en una misma dirección, con velocidades de v1 y v2 kilómetros por segundo, tiene unavelocidad de (vl + v2) kilómetros por segundo. La nueva teoría aplica la siguiente fórmula para lavelocidad de los cuerpos

221

21

*1

cvv

vv

+

−

kilómetros por segundo, donde c es la velocidad de difusión de la luz en el vacío,aproximadamente igual a 300 000 kilómetros por segundo. Un cuerpo sometido a dosmovimientos, efectuados en una misma dirección, y a una velocidad de kilómetro por segundocada uno, según la antigua mecánica desarrollaba 2 kilómetros por segundo de velocidad y, segúnla nueva,

000.000.000.901

1

2

+

¿Cuál es la diferencia entre esas dos fórmulas? ¿Es perceptible esa diferencia para los aparatosmás sensibles de medición? A fin de aclarar esta importante cuestión es preciso realizar el cálculoindicado).Empleemos dos métodos: primero, el aritmético, y después, mostremos cómo se puede efectuarmediante el álgebra. Basta con echar un vistazo a la larga serie de cifras que figuran más abajopara convencerse de la indiscutible superioridad del procedimiento algebraico.En primer lugar transformemos el quebrado


Patricio Barros

001.000.000.90000.000.000.180

000.000.000.901

1

2=

+

Efectuamos ahora la división del numerador por el denominador:

Esta operación resulta agotadora y laboriosa, siendo muy fácil confundirse e incurrir en error, entanto que para la solución del problema tiene mucha importancia saber con exactitud dóndetermina el período del nueve y comienza el de otra cifra.Compárese ahora con qué brevedad cumple su tarea el álgebra, valiéndose del siguienteplanteamiento: si a es un quebrado muy pequeño, entonces

1 / (1 + a) ≈ 1 - a

donde el signo ≈ significa "aproximadamente igual".Es muy fácil convencerse de la veracidad de este aserto: comparemos el dividendo 1 con elproducto del divisor por el cociente:

1 = (1 + a) * (1 - a)

es decir, 1 = 1 - a2.Como a es una fracción muy pequeña (por ejemplo 0,001), el valor de a2 será todavía inferior(0,000001), pudiendo ser despreciado.


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Apliquemos lo expuesto a nuestro cálculo 5:

...7779999999999.1...2220000000000.02

10*...111.01(*2

10*91

1

2

000.000.000.901

1

2 10

10

=−=

=−≈+

=+

−

Se llega, pues, al mismo resultado, pero el procedimiento es mucho más corto.(Quizás tenga interés el lector en conocer la importancia que reviste el resultado del problema.Por él se deduce que en virtud de la escasa magnitud de las velocidades examinadas - encomparación con la de la luz - , no se observa en la práctica ninguna desviación de la antigua leyde la suma de velocidades: esa desviación se pone de manifiesto sólo en la cifra undécima delnúmero hallado, en tanto que las mediciones de longitud más exactas no rebasan la novena cifra,y en la práctica, la técnica se limita a 4 o 6 cifras. En consecuencia, podemos afirmar sin ningunareserva que la nueva mecánica, la de Einstein, no altera los cálculos técnicos relativos almovimiento "lento" de los cuerpos en el espacio (en comparación con la velocidad de difusiónlumínica).Pero existe una rama de la vida actual, donde esta conclusión incondicional hace falta tomarlacon cuidado. Se trata de la cosmonáutica. Ahora hemos alcanzado ya las velocidades de 10 kmpor segundo (durante los vuelos de sputniks y cohetes). En este caso la divergencia de lamecánica clásica y de la de Einstein se pone de manifiesto ya en la cifra novena. Hay que teneren cuenta qué velocidades mayores no están tan lejos.

14. En ocasiones es preferible no recurrir al álgebraJunto a los casos en los que el álgebra presta un gran servicio a la aritmética, hay otros en que suaplicación da lugar a complicaciones innecesarias. El verdadero conocimiento de las matemáticasconsiste en saber emplear los recursos matemáticos de tal suerte que sirvan para encontrar elcamino más corto y seguro, sin reparar en que el método de solución pertenezca a la aritmética, alálgebra, a la geometría, etc. Por eso será útil examinar un caso en que el empleo del álgebra tansolo embaraza la solución. Como ejemplo aleccionador puede servirnos el siguiente problema:Encontrar el número más pequeño entre los que divididos

por 2 dan de residuo 1por 3 dan de residuo 2por 4 dan de residuo 3por 5 dan de residuo 4por 6 dan de residuo 5por 7 dan de residuo 6por 8 dan de residuo 7por 9 dan de residuo 8

Solución

5 Nos valemos a continuación de la siguiente aproximación:A / (1 + a) ≈ A * (1 - a).


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Propusiéronme este problema acompañándolo con las siguientes palabras: "¿Cómo lo resolveríausted? Aquí hay demasiadas ecuaciones y resulta muy lioso"La cosa es sencilla. Para la solución del problema no hacen falta ni ecuaciones ni álgebra. Seresuelve con un sencillo razonamiento aritmético.Agreguemos una unidad al número buscado. ¿Cuál será el residuo de este número si lo dividimospor dos? Será 1 + 1 = 2; es decir, el número se divide por 2 sin residuo. De esta misma manera sedivide sin residuo por 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. El menor de estos números será 9 * 8 * 7 * 5 = 2.520, yel número buscado, 2.519, lo que es fácil comprobar.Volver


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Capítulo QuintoLa Sexta Operación Matemática

Contenido1. Sexta operación2. ¿Qué raíz es mayor?3. Resuélvase al primer golpe de vista4. Comedias algebraicas

1. Sexta operaciónLa suma y la multiplicación tiene cada una su operación inversa, la sustracción y la división. Laquinta operación aritmética, la potenciación o elevación a potencias, tiene dos operacionesinversas: la que tiene por objeto encontrar la base y la dedicada a hallar el exponente. Cuando laincógnita es la base, tenemos la sexta operación matemática, denominada radicación; si se tratadel exponente, efectuamos la séptima operación, llamada cálculo logarítmico. Es fácilcomprender por qué la potenciación tiene dos operaciones inversas, en tanto que la suma y lamultiplicación no tienen más que una. Los sumandos (el primero y el segundo) pueden alterar suorden entre sí. Otro tanto sucede con la multiplicación. En cambio, los elementos de lapotenciación, es decir, la base y el exponente, no gozan de esa propiedad por lo que no puedeninvertirse sus funciones (por ejemplo, 35 ≠ 53). De ahí que para hallar cada uno de los términos dela suma o la multiplicación se empleen los mismos procedimientos en tanto que la base de lapotencia se halla por un procedimiento distinto al utilizado para encontrar su exponente.La sexta operación, la radicación, se expresa con el signo √¯. No todos conocen que este signo esuna variante de la letra latina r, primera de la palabra latina radix, que significa "raíz". En otrostiempos (en el siglo XVI), el signo de raíz, no era la r minúscula, sino la mayúscula, la R, y juntoa ella se escribía la primera letra de las palabras latinas quedratus, la q, o la primera de cubus, lac, señalando con ello que la raíz a extraer era cuadrada o cúbica1.Escribían, por ejemplo,

R.q.4352

en lugar de la moderna expresión

4352

Si a esto añadimos que a la sazón no eran empleados en general los signos actuales de más ymenos, y en su lugar se colocaban las letras p. (de plus) y m. (de minus), y que los paréntesis eranexpresados con los signos , comprenderemos el extraño aspecto que las expresionesalgebraicas ofrecerían al lector contemporáneo.Véase una de ellas tomada, por ejemplo, de un libro del antiguo matemático Bombelly (año1572):

1 En el manual de matemáticas escrito por Magnitski que era libro de texto en Rusia durante la primera mitad delsiglo XVIII no existe en absoluto un signo especial para la operación de la extracción de raíces.


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R.c. R.q.4352p. 16 m.R.c. R.q.4352m. 16

Lo que nosotros escribiríamos como sigue:

33 164352164352 −−+

Para la operación n a , además de esta expresión, empléase la de a1/n , muy cómoda parageneralizar gráficamente la idea de que toda raíz no es otra cosa que una potencia con unexponente fraccionario. Esta segunda variante fue propuesta por Stevin, notable matemáticoholandés del siglo XVI.Volver

2. ¿Qué raíz es mayor?

Primer problema¿Qué es mayor

255 ó

Resuélvase éste y los problemas que le siguen a condición de que no se ha11en 1as raíces.

SoluciónElevando ambas expresiones a la décima potencia, obtendremos:

255)5( 2105 == y 322)2( 510 ==

y como 32 > 25, entonces

255 <

Segundo problema¿Qué raíz es mayor:

74 74 ó

SoluciónElevemos ambas expresiones a la potencia de grado 28 y tendremos:

277147284 1282*224)4( ====

222144287 497*727)7( ====

Como 128 > 49, resultará que


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74 74 >

Tercer problema¿Qué raíz es mayor:

193107 ++ ó

SoluciónElévense ambas expresiones al cuadrado y resultará:

70217)107( 2 +=+

57222)193( 2 +=+

De ambos términos restemos 17 y tendremos

7027 + y 5725+

Si después elevarnos ambas expresiones al cuadrado, obtendremos 280 y 5720253 + .Restando 253 podremos comparar los resultados 27 y 5720 .Como 57 es mayor que 2, entonces 405720 > ; por consiguiente

193107 +<+Volver

3. Resuélvase al primer golpe de vista

ProblemaObsérvese la ecuación 3

3

=xx atentamente y dígase cuál es el valor de x.

SoluciónTodo el que esté familiarizado con los símbolos algebraicos deducirá que

3 3=x

En efecto,

)3(33 =x

por consiguiente

333

== xx x


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que era lo que se buscaba.Aquellos a quienes esta solución "al primer golpe de vista" les resulte difícil, pueden valerse, paradespejar con más sencillez la incógnita, del siguiente razonamiento:Admitimos que

x3 = y

Entonces3 yx =

por lo que la ecuación presentará esta forma

3)(3 =yy

elevando la expresión al cubo

yy = 33

Es pues evidente que y = 3, y, por consiguiente,

33 3== yxVolver

4. Comedias algebraicasLa sexta operación aritmética permite representar auténticas comedias y farsas algebraicas conlos siguientes argumentos: 2 : 2 = 5; 2 = 3, etc. La gracia de tales representaciones algebraicasreside en un error, harto elemental, pero que, por hallarse muy oculto, tarda en ser descubierto.Mostremos dos piezas de este repertorio cómico del álgebra.

Primer problema2 = 3

En primer lugar aparece en escena una igualdad indiscutible:

4 - 10 = 9 - 15

En el siguiente "cuadro" se suma a ambos miembros de esta igualdad una misma cantidad, 6 ¼

4 – 10 + 6 ¼=9 – 15 + 6 ¼

El ulterior desarrollo de la comedia se reduce a transformaciones:

22 - 2 * 2* (5 / 2) + (5 / 2)2 = 32 - 2 * 3* (5 / 2) + (5 / 2)2

(2 – 5/2)2 = (3 – 5/2)2


Patricio Barros

Extraída la raíz cuadrada de ambos miembros de la igualdad, resulta:

2 – 5/2 = 3 – 5/2

Sumando 5/2 a uno y otro miembro, llegamos a la igualdad absurda:

2 = 3¿En qué consiste el error?

Soluci6nEl error consiste en que de la expresión

(2 – 5/2)2 = (3 – 5/2)2

se dedujo que

2 – 5/2 = 3 – 5/2

Aunque los cuadrados sean iguales, no por eso son idénticas las primeras potencias, pues

(-5)2 = 52

pero -5 no es igual a 5. Los cuadrados pueden ser iguales cuando las primeras potencias tienendistinto signo. En nuestro ejemplo se ofrece precisamente este caso:

(-1/2)2 = (1/2)2

pero ½ no es igual a –½

Segundo problema

Figura 14. Una farsa matemática


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Nueva farsa algebraica

2 * 2 = 5

La acción se desarrolla en forma semejante al caso anterior y se basa en el mismo truco. Enescena aparece una igualad que no despierta ninguna desconfianza

16 - 36 = 25 - 45.

Se suma a cada miembro una misma cantidad:

16 – 36 + 20 ¼ = 25 – 45 + 20 ¼

A continuación se hacen las transformaciones siguientes:

42 – 2 * 4 * 9/2 + (9/2)2 = 52 – 2 * 5 * 9/2 + (9/2)2

Después, mediante el absurdo razonamiento anterior se llega a

4 – 9/2 = 5 – 9/2

4 = 5

2 * 2 = 5Estos divertidos ejemplos deben prevenir a los matemáticos con poca experiencia contra todaactitud descuidada hacia las ecuaciones que tengan su incógnita en el radical.Volver


Patricio Barros

Capitulo SextoECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Contenido1. El apretón de manos2. El enjambre de abejas3. La manada de monos4. Previsión de las ecuaciones5. El problema de Euler6. Los altavoces7. El álgebra del vuelo a la Luna8. "Ejercicio complicado"9. ¿Qué números son?

1. El apretón de manos

ProblemaLas personas que asistieron a una reunión se estrecharon la mano. Uno de ellos advirtió que losapretones de mano fueron 66. ¿Cuántas personas concurrieron a la reunión?

SoluciónLa cuestión se resuelve con facilidad si recurrimos al álgebra. Cada una de las x personas dio lamano a las otras x- 1. Por tanto, el total de apretones de manos debe ser x (x - l). Además hay quetener en cuenta que cuando Ivanov da la mano a Petrov, Petrov estrecha la mano de Ivanov; estosdos apretones de manos deben ser considerados como uno solo. Por eso, el número de apretonesde manos contados es dos veces menor que x (x -1). En consecuencia surge la ecuación

662

)1(=

−xx

o sea, que después de las correspondientes transformaciones se tendrá

x2 – x – 132 = 0,

de donde

252811 +±

=x

x1=12, x 2=-11.

como quiera que la raíz negativa (-11 personas) carece de todo sentido, la rechazamos,conservando únicamente la primera: en la reunión estuvieron 12 personas.Volver

2. El enjambre de abejas


Patricio Barros

ProblemaEn la antigüedad estaba muy extendida en la India una diversión singular: la solución derompecabezas en competiciones públicas. Los manuales de matemáticas de ese país contribuíana la celebración de tales campeonatos de cálculo mental. "Aplicando las reglas aquí expuestas -escribía el autor de uno de dichos libros -, un hombre inteligente puede idear miles de problemassemejantes. Así como el Sol hace palidecer las estrellas con sus destellos, un hombre discretoeclipsa la gloria de otro hombre en los concursos populares, proponiendo y resolviendoproblemas algebraicos". En el original, estas palabras presentan un aspecto más poético, porcuanto el libro está escrito en verso. Los problemas también aparecen versificados. Enunciemosen prosa uno de estos rompecabezas.Un grupo de abejas, cuyo número era igual a la raíz cuadrada de la mitad de todo su enjambre,se posó sobre un jazmín, habiendo dejado muy atrás a 8/9 del enjambre; sólo una abeja delmismo enjambre revoloteaba en torno a un loto, atraída por el zumbido de una de sus amigasque cayó imprudentemente en la trampa de la florecilla, de dulce fragancia.¿Cuántas abejas formaban el enjambre?

SoluciónSi expresamos el número buscado de abejas del enjambre con la letra x, tendremos la ecuación

xxx

=++ 298

2

Puede simplificarse la ecuación introduciendo una incógnita auxiliar:

2x

y =

Entonces x = 2 y2, por lo que resultará la siguiente ecuación:

01892,229

16 222

=−−=++ yyóyy

y

La ecuación tiene dos raíces para y:

y1 = 6, y2 = -3/2

y otras dos para x

x1 = - 72, x2 = 4,5.

Mas, como el número de abejas debe ser entero y positivo, es válida sólo la primera raíz: elenjambre constaba, pues, de 72 abejas. Comprobémoslo:


Patricio Barros

722646272*98

272

=++=++

Volver

3. La manada de monos

ProblemaOtro de los problemas indios puede ser presentado en verso tal y como fue traducido porLébedev, autor del excelente libro ¿Quién inventó el álgebra?

Regocíjanse los monosdivididos en dos bandos:su octava parte al cuadradoen el bosque se solaza.

Con alegres gritos, doceatronando el campo están.¿Sabes cuántos monos hayen la manada, en total?

SoluciónSi el número total de la manada es x, entonces:

xx =+

12

8

2

de donde

x1 = 48, x2 = 16.

Figura 15


Patricio Barros

El problema tiene dos soluciones positivas: en la manada puede haber 48 y 16 monos. Las dossoluciones satisfacen por las condiciones del problema.Volver

4. Previsión de las ecuacionesEn los casos examinados y en dependencia de las condiciones del problema, hemos hechodiferente uso de las dos raíces obtenidas. En el primer caso hemos desechado la raíz negativa porno responder al contenido del problema; en el segundo, hemos renunciado a la raíz fraccionaria ynegativa y, en el tercero, por el contrario, hemos aceptado las dos raíces. La presencia de unasegunda solución es, a veces, completamente inesperada no sólo para quien resuelve el problema,sino también para su autor; pongamos un ejemplo de cómo la ecuación resulta más previsora queel mismo que la establece.

ProblemaUna pelota ha sido lanzada al aire a una velocidad de 25 m por segundo. ¿Al cabo de cuántossegundos se encontrará la pelota a 20 m de altura?

SoluciónPara los cuerpos lanzados al alto, y libres en su ascensión de toda resistencia, la mecánicaestablece las siguientes proporciones entre la altura a la que sube el cuerpo sobre la tierra (h), su.velocidad inicial (v), el aceleramiento de la fuerza de gravedad (g) y el tiempo (t):

2

2gtvth −=

En este ejemplo concreto podemos hacer caso omiso de la resistencia aérea, por cuanto es muypequeña cuando la velocidad no es de consideración. A fin de simplificar la operación, demos ag, el valor 10 m, en lugar de 9,8 m (el error es tan sólo del 2%). Sustituyendo h, v, g por susvalores en la fórmula indicada, tendremos la siguiente ecuación:

20 = 25t – 10t2 / 2

y después de quitar denominadores y simplificar

t2 - 5t + 4 = 0.

Resultan las raíces:

t1 = 1, t2 = 4

La pelota estará dos veces a la altura de 20 m: al primer segundo y después de cuatro segundos dehaber sido lanzada.Acaso parezca inverosímil y, al no reflexionar, puede rechazarse el segundo resultado. Sinembargo, esto sería erróneo. El segundo resultado es completamente lógico: la pelota puedeencontrarse dos veces a la altura de 20 m: una, al ascender, y otra, al descender.


Patricio Barros

Se deduce con facilidad que la pelota puede ascender durante 2,5 segundos con la velocidadinicial de 25 m, llegando a una altura de 31,25 m. Después de alcanzar la altura de 20 m, (alsegundo de ascenso) la pelota seguirá elevándose durante 1,5 segundos más, al cabo de lo cualdescenderá durante 1,5 segundos hasta la altura de 20 m, llegando al suelo un segundo después.Volver

5. El problema de EulerProblemaAl referirse Stendhal en su Autobiografía a sus años de estudiante, escribe lo siguiente:"En su casa (la de su maestro de matemáticas) encontré a Euler con su problema acerca de loshuevos que la campesina llevaba al mercado... Esto fue para mí un descubrimiento. Comprendílo que significaba valerse de un arma como el álgebra. Pero ¡demonios!, nadie me lo habíaexplicado antes..."He aquí el problema de la Introducción al álgebra, de Euler que tan fuerte impresión produjeraen Stendhal.Dos campesinas llevaron en total 100 huevos al mercado. Una de ellas tenía más mercancía quela otra, pero recibió por ella la misma cantidad de dinero que la otra. Una vez vendidos todos, laprimera campesina dijo a la segunda: "si yo hubiera llevado la misma cantidad de huevos que tú,habría recibido 15 cruceros". La segundo contestó: "Y si yo hubiera vendido los huevos quetenías tú habría sacado de ellos 62/3, cruceros". ¿Cuántos huevos llevó cada una?

SoluciónSupongamos que la primera campesina tenía x huevos. La segunda tendría 100 - x. Si la primerahubiera tenido 100 - x habría sacado de ellos 15 cruceros. Eso quiere decir que la primeracampesina vendió los huevos

x−10015

cada unoDe esta manera vemos que la segunda campesina vendió los huevos a

xx 320/6 3

2

=

cada uno.Hallemos ahora la cantidad obtenida por cada campesina: la primera:

xx

xx

−=

− 10015

10015

*

la segunda

( )x

xx

x3

)100(*203020

*100−

=−

Y como ambas recibieron lo mismo, entonces


Patricio Barros

xx

xx

3)100(*20

10015 −

=−

que después de las correspondientes transformaciones resultará

x2 + 160x – 8000 = 0,

de donde

x1 = 40, x 2 = 200.

La raíz negativa carece de sentido en el presente caso. El problema no tiene más que unresultado: la primera campesina llevó al mercado 40 huevos y la segunda 60.El problema puede resolverse con más brevedad. El procedimiento es más ingenioso, aunque másdifícil.Supongamos que la segunda campesina llevó al mercado k huevos más que la primera. Ambasrecibieron por su mercancía la misma suma de dinero.Esto significa que la primera vendió los huevos k veces más caros que la segunda. Si hubierancambiado la mercancía, la primera campesina hubiera tenido k veces más huevos que la segunday los habría vendido k' veces más caros, recibiendo k2 más dinero que aquélla. Por lo tantotendremos:

k2 = 15 / 62/3 = 45 /20 = 9/4

de donde resulta que

k = 3 / 2

Ahora no nos queda más que dividir los 100 huevos proporcionalmente a 3 y a 2. La primeracampesina llevó 40 huevos y la segunda, 60.Volver

6. Los altavoces

ProblemaEn la plaza hay instalados 5 altavoces distribuidos en dos grupos: uno de ellos consta de 2aparatos, y el otro, de 3. La distancia que separa los dos grupos es de 50 m. ¿Dónde habrá quecolocarse para que el sonido de ambos grupos se oiga con la misma intensidad?

SoluciónSi designamos con x la distancia que separa el punto buscado del grupo de dos altavoces,entonces, la distancia entre este punto y el otro grupo será 50 - x (véase la fig. 16).


Patricio Barros

Figura 16

Puesto que la intensidad del sonido disminuye en proporción al cuadrado de la distancia,tendremos la siguiente ecuación:

2

2

)50(32

xx−

=

que después de efectuar las operaciones, aparece como sigue:

x2 + 200x - 5000 = 0.

La ecuación tiene dos raíces:

x1 = 22,5,x2 = - 222,5.

La raíz positiva corresponde a la pregunta formulada en el problema: el punto citado se encuentraa 22,5 m de distancia del grupo de dos altavoces, y, en consecuencia, a 27,5 m del grupo de tres.Pero ¿qué significa la raíz negativa? ¿Tiene algún sentido?Indudablemente. El signo menos significa que el segundo punto de idéntica audición seencuentra en dirección o p u e s t a al punto positivo que se tomó al establecer la ecuación.Partiendo del lugar ocupado por los dos reproductores y en la dirección conveniente llegamos alos 222,5 m, punto en el que el sonido de ambos grupos de altavoces se oye con la mismaintensidad. Este punto dista

222,5 + 50 = 272,5 m

del grupo de tres aparatos.Así pues se han encontrado dos puntos de igual audición colocados en la línea formada por lasfuentes de sonido. En esta línea no hay más puntos donde coincida la intensidad de sonidos, perofuera de ella, sí. Puede demostrarse que el lugar geométrico de los puntos que responden a lascondiciones del problema es la circunferencia que pasa por los dos puntos hallados, cual si fueranlos extremos de su diámetro. Esta circunferencia, como vernos, limita un espacio bastanteextenso (la parte rayada en la figura) dentro del cual la intensidad auditiva del grupo formado por


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dos altavoces supera la audición del grupo de tres aparatos; fuera del espacio indicado se observael fenómeno opuesto.Volver

7. El álgebra del vuelo a la LunaDel mismo modo como se han encontrado los puntos de igual audición de dos tipos de altavoces,se puede encontrar también puntos de igual atracción del cohete cósmico por dos cuerposcelestes, la Tierra y la Luna. Busquemos estos puntos.De acuerdo con la ley de Newton, la fuerza de atracción recíproca de dos cuerpos es directamenteproporcional al producto de las masas que se atraen, e inversamente proporcional al cuadrado dela distancia entre ellos. Si designamos con M la masa de la Tierra y con x la distancia entre ella yel cohete, la fuerza con que la Tierra atrae cada gramo de masa de la nave aérea se expresarámediante

2xMk

donde k es la fuerza de atracción recíproca de un gramo por un gramo a la distancia de 1 cm.La fuerza con que la Luna atrae cada gramo del cohete en ese mismo puntoserá:

2)( xlmk−

donde m es la masa de la Luna y 1 la distancia que la separa de la Tierra (se presupone que elcohete se halla en la recta que une los centros de la Tierra y de la Luna). El problema exige que

22 )( xlmk

xMk

−=

es decir

22

2

2 xlxlx

mM

+−=

La relación M/m, según la Astronomía, equivale aproximadamente a 81,5. mAplicándola tendremos

5.812 22

2

=+− xlxl

x

por lo cual

80.5x2 – 160lx + 81.5l2


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Al despejar la incógnita x resulta:

x1 = 0,9 l, x2 = 1, 12 l.

Al igual que en el problema de los altavoces, se llega a la conclusión de que en la línea que une laTierra y la Luna existen dos puntos buscados donde la atracción de ambos planetas actúa sobre elcohete con idéntica intensidad: uno a 0,9 de la distancia que separa los planetas partiendo delcentro de la Tierra; el otro, a 1,12 de esta misma distancia. Como quiera que la distancia 1 entrelos centros de la Tierra y la Luna ≈ 384 000 km, uno de los puntos buscados se encuentra a346.000 km de la Tierra; el otro, a 430.000 km. Sabemos ya por el problema anterior que esamisma propiedad caracteriza a todos los puntos de la circunferencia que pasa por los dos puntoshallados, tomados como los dos extremos del diámetro. Si hacemos girar esa circunferenciatomando como eje la línea que une los centros de la Tierra y la Luna describirá una esfera cuyospuntos responden a las exigencias del problema.

Figura 17

El diámetro de esa esfera llamada "esfera de atracción" de la Luna (fig. 17) será igual a:

1,12 l - 0,9 l = 0, 22 l ≈ 84.000 km

Mucha gente piensa erróneamente que para acertar con un cohete en la Luna es bastante hacerlealcanzar la esfera de atracción de ésta.A primera vista parece que si el cohete se halla dentro de la esfera de atracción (y su velocidad noes muy grande) él debe caer forzosamente en la superficie de la Luna, por cuanto la fuerza deatracción de la Luna "supera" a la de la Tierra.Si fuera así entonces la tarea del vuelo a la Luna sería mucho más fácil, pues no haría falta acertara la Luna cuyo diámetro se ve en el cielo bajo un ángulo de 1/2', sino a un globo de 84 000 km dediámetro, la dimensión del cual equivale a 12'.Pero no es difícil demostrar el error de razones parecidas. Supongamos que un cohete lanzadodesde la Tierra hacia la Luna, perdiendo su velocidad por causa de la atracción terrestre, llegue ala esfera de la atracción lunar teniendo la velocidad cero. ¿Va a caer éste en la Luna? ¡De ningúnmodo!


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En primer lugar, dentro de la esfera de atracción lunar hay también la atracción terrestre. Por esoal lado de la línea de Tierra - Luna la fuerza de atracción de la Luna no va sólo a "superar" a laterrestre, sino éstas se sumarán de acuerdo con la regla del paralelogramo de fuerzas yobtendremos una fuerza resultante no dirigida directamente a la Luna (sólo en la línea de Tierra -Luna esta fuerza resultante sería dirigida directamente al centro de la Luna).En segundo lugar (y esto es lo principal), la misma Luna no es un blanco inmóvil y si nosotrosqueremos saber cómo va a moverse con relación a ésta el cohete (si va a "caer" en ella), hacefalta tener en cuenta la velocidad del cohete respecto a la Luna. Mas esta velocidad no equivale acero, pues la misma Luna se mueve alrededor de la Tierra con una velocidad de 1 km/seg. Poreso la velocidad del movimiento del cohete con relación a la Luna es demasiado grande para queésta pueda atraer el cohete o por lo menos detenerlo en la esfera de su atracción como un satéliteartificial. En realidad la atracción de la Luna empieza a ejercer influencia considerable en elmovimiento del cohete antes de acercarse éste a la esfera de atracción de la Luna. En la balísticaceleste hay que tener en cuenta la atracción de la Luna desde el momento cuando el cohete lleguea la esfera de influencia de la Luna que tiene el radio de 66 000 km. En este caso ya se puedeconsiderar el movimiento del cohete con relación a la Luna al olvidar por completo la atracciónterrestre, pero hace falta tener en consideración la velocidad exacta (respecto a la Luna) con queel cohete entra en la esfera de influencia de la Luna. Por eso es natural que el cohete debe serlanzado a la Luna por una trayectoria que puede asegurar que la velocidad (con relación a laLuna) de entrada en la esfera de influencia de la Luna esté dirigida directamente a la Luna. Paraeso la esfera de influencia de la Luna debe chocar con el cohete que se mueve a su encuentro.Como se ve no es una cosa tan fácil acertar a la Luna como a un globo de 84 000 km de diámetro.Volver

8. “Ejercicio complicado”

ProblemaSon muchos los que conocen el cuadro Ejercicio complicado, (año 1895) de Bogdánov - Belski,pero muy pocos se percatan del contenido del ,,ejercicio complicado" al contemplar dichocuadro.

Figura 18


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Trátase de resolver rápida y mentalmente el siguiente ejercicio:

3651413121110 22222 ++++

El ejercicio, efectivamente, no es fácil. Sin embargo, los alumnos del cuadro lo resuelven confacilidad. En la figura del maestro, el pintor reprodujo a S. Rachinski, profesor de CienciasNaturales, que abandonó la cátedra de la universidad para convertirse en un sencillo maestrorural. El inteligente pedagogo cultivaba en su escuela el cálculo mental, basado en el hábilempleo de las propiedades de los números. Los números 10, 11, 12, 13 y 14 tienen una curiosapropiedad:

102 + 112 + 122 = 132 + 142

Comoquiera que

100 + 121 + 144 = 365,

es fácil hallar mentalmente que la expresión reproducida en el cuadro es igual a 2.El álgebra nos ofrece los medios necesarios para plantear con más amplitud la cuestión de estainteresante particularidad de las series de números. ¿Es acaso ésta la única serie de cinconúmeros consecutivos, en la que la suma de los cuadrados de los tres primeros es igual a lasuma de los cuadrados de los otros dos?

SoluciónSi expresamos el primero de los números buscados con x, tendremos la siguiente ecuación:

x2+(x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x+ 4)2

Sin embargo, es más cómodo expresar con x, no el primer número de los buscados, sino elsegundo. Entonces la ecuación tendrá un aspecto más sencillo:

(x – 1)2+ x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2 + (x+ 3)2

Al abrir los paréntesis y reducir los términos semejantes, resultará:

x2 -10x - 11 = 0,

de donde

11255 +±=xy

x1 = 11, y x2 = -1


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Existen por consiguiente, dos series de números que tienen las propiedades exigidas: la serie deRachinski

10, 11, 12, 13, 14

y la serie

-2, -1, 0, 1, 2.

Así es, en efecto,

(-2)2 + (-1)2 + 02 = 12 + 22.

9. ¿Qué números son?

ProblemaHállense tres números consecutivos en los que el cuadrado del número del medio sea mayor enuna unidad al producto de los dos restantes.

SoluciónSi la primera cifra es x, tendremos la ecuación:

(x + 1)2 = x (x + 2) + 1.

Abriendo los paréntesis resultará la siguiente ecuación:

x2 + 2x + 1 = x2 + 2x + 1,

de la cual no puede deducirse la magnitud de x. Esto muestra que la igualdad formulada pornosotros es una identidad; y la identidad es efectiva, no sólo cuando sus letras encierran un valordeterminado, como ocurre en la ecuación, sino para cualquier valor de las mismas. Por ello, tresnúmeros consecutivos, sean los que fueren, poseen dicha propiedad. En efecto, tomemos trescifras al azar:

17, 18, 19y nos convenceremos de que

182 –17 *19 = 324 – 323 = 1.

Lo inevitable de esta correlación salta más a la vista si expresamos la segunda cifra con la letra x,con lo que

x2 -1 = (x + 1) * (x - l).

Es decir, se trata de una identidad evidente. Volver


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Capitulo SéptimoLA MAGNITUD MAYOR Y LA MENOR

Contenido1. Dos trenes2. ¿Dónde construir el apeadero?3. ¿Cómo trazar la carretera al embarcadero?4. ¿Cuándo alcanza el producto su máximo valor?5. ¿Qué suma será la menor?6. El tronco de mayor volumen7. Dos parcelas de tierra8. La cometa9. La construcción de una casa10. La parcela11. El canalón de sección máxima12. El embudo de mayor capacidad13. La iluminación más intensa

Los problemas presentados en este capítulo pertenecen a una clase muy interesante; con ellos sepropone hallar el valor mayor o el menor de cierta magnitud. Estos problemas pueden serresueltos por diferentes procedimientos, uno de los cuales exponemos a continuación.P. Chebyshev, matemático ruso, en su obra "Delineación de los mapas geográficos" escribía quelos métodos, que ayudaban a resolver un problema común para toda la actividad práctica delhombre - cómo disponer de sus medios para obtener, en la medida de lo posible, mayor provechotienen una importancia especial.

1. Dos trenesProblemaDos líneas férreas se cruzan formando un ángulo recto. Los trenes se acercan a gran velocidadhacia el cruce. Uno parte de cierta estación situada a 40 km del cruce; el otro, de una estaciónque dista 50 km del cruce. El primero marcha a una velocidad de 800 m por minuto, el segundoa 600 m ¿Cuántos minutos transcurrirán desde el momento de la partida para que laslocomotoras se hallen a la menor distancia entre sí, y cuál será esa distancia?

SoluciónDibujemos el esquema de la marcha de los trenes. Supongamos que las líneas rectas AB y CDson dos líneas férreas que se cruzan (fig. 19.) La estación B se encuentra a 40 km del cruce O, yla estación, D a 50 km. Admitamos que al cabo de x minutos los trenes se encuentran a ladistancia más próxima entre sí: (MN = m). El tren que sale de B hace el recorrido BM = 0,8x, yaque en un minuto recorre 800 m = 0,8 km. Por consiguiente, OM = 40 - 0,8x. Del mismo modohallaremos que ON = 50 - 0,6x. Según el teorema de Pitágoras

2222 )6.050()8.040( xxONOMmMN −+−=+==

Elevemos al cuadrado ambas partes de la ecuación


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22 )6.050()8.040( xxm −+−=

Figura 19.

y operando tendremos

04100124 22 =−+− mx

Resolviendo la ecuación para hallar el valor de x, resultará

25662 2 −±= mx

Ya que x, el número que expresa los minutos transcurridos, no puede ser una raíz imaginaria,entonces m2 -256 debe ser una magnitud positiva o, a lo sumo, equivalente a cero. El último es elque corresponde al valor mínimo de m; de aquí que:

m2 = 256, o sea, m = 16.

Es evidente que m no puede ser menor que 16, de lo contrario x se convertiría en una raízimaginaria. Y si m2 – 256 = 0, entonces x = 62.De esta forma las locomotoras llegan a su punto de mayor aproximación al cabo de 62 minutos, yla distancia que las separa será de 16 km. Determinemos dónde se encontrará cada una en elmomento de mayor aproximación. Al buscar la distancia OM, tendremos que es igual a

40 – 62 * 0,8 = -9,6.

El signo negativo indica que la primera locomotora habrá rebasado el cruce en 9,6 km. Ladistancia ON será:

50 – 62 * 0,6 = 12,8.


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Es decir, que a la segunda locomotora le faltarán 12,8 km para llegar al cruce. En la fig. 20 se vela posición que ocupan las locomotoras en el momento dado. Se puede apreciar que ésta no es taly como nos la imaginábamos al principio.

Figura 20.

La ecuación ha resultado ser tan tolerante que, a pesar de lo erróneo del esquema, nos da unresultado acertado. No es difícil averiguar de dónde proviene esa tolerancia, que estácondicionada por las reglas algebraicas de los signos.Volver

2. ¿Dónde construir el apeadero?ProblemaA 20 km del ferrocarril, cuya línea es recta, se encuentra el punto poblado B (fig. 21).

Figura 21

¿Dónde hay que construir el apeadero C para que en el viaje de A a B por la línea férrea AC, ypor la carretera CB se invierta el menor tiempo posible? La velocidad por ferrocarril es de 0,8 ypor carretera de 0,2 kilómetros por minuto.

SoluciónExpresemos la distancia AD (desde A hasta la base de la perpendicular BD a la horizontal AD)con la a; y CD, con la x. Entonces


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2222 20+=+=

−=−=

xBDCDCB

xaCDADAC

El tiempo empleado por el tren para cubrir el trayecto AC será igual a

8.08.0xaAC −

=

El tiempo necesario para recorrer la distancia CB de la carretera equivale a

2.020

2.0

22 +=

xCB

El viaje desde A hasta B ocupará, en total,

2.020

8.0

22 ++

− xxa

Esta suma, que expresamos con m, debe ser la menor.La ecuación

mxxa

=+

+−

2.020

8.0

22

preséntase así:

8.02.020

8.0

22 am

xx−=

++−

Multiplicando por 0,8 tendremos

amxx −=++− 8.0204 22

Y cuando expresamos 0,8m-a, con la k, haciendo desaparecer el radical, tendremos la ecuación desegundo grado

15x2 – 2kx + 6400 – k2 = 0

de donde

159600016 2 −±

=kk

x


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Y como k = 0, 8m - a, al alcanzar m la mínima magnitud sucede lo mismo con la k, y viceversa1.Mas para que x resulte real es necesario que 16k2 no sea menor que 96 000. Por lo tanto, el valormínimo para 16k2 será 96 000. Por esa razón, m será la magnitud menor cuando 116k2 = 96000,de donde

6000=k

y por consiguiente

16.5156000

160

≈=±

=k

x

El apeadero debe construirse aproximadamente a 5 km del punto D cualquiera sea la longitud a =AD.No obstante, es evidente que nuestra solución tiene sentido sólo en el caso de x < a, pues alformular la ecuación hemos considerado que la expresión a - x era un valor positivo.Si x = a ≈ 5,16 no hace falta ningún apeadero y debe llevarse la carretera hasta la estación. Demanera idéntica hay que operar en los casos en que la distancia a sea inferior a 5,16 km.Esta vez somos nosotros los que hemos obrado con mayor prudencia que la ecuación. Sihubiéramos confiado ciegamente en la ecuación, habríamos tenido que construir el apeadero másallá de la estación, cosa totalmente absurda: en este caso x>a, por eso, el tiempo a-x/0,8durante el cual teníamos que viajar en ferrocarril, sería negativo. El caso es aleccionador ymuestra que, al valerse de recursos matemáticos hay que mantener una actitud prudente hacia losresultados obtenidos, recordando siempre que si no se cumplen las condiciones en las que sefundamenta el empleo del recurso matemático, el resultado puede perder todo sentido.Volver

3. ¿Cómo trazar la carretera al embarcadero?ProblemaDesde la ciudad ribereña A hay que trasladar cargamento al punto B, situado a a km más abajo,y a d km de la orilla del río (fig. 22).¿Cómo debe trazarse la carretera desde B al río para que el transporte de cargas desde A hastaB resulte lo más barato posible, considerando que el transporte de una tonelada-kilómetro porrío cuesta la mitad que por carretera?

1 Debe tenerse en cuenta que k >0, por cuanto axxaxxam =+−>++−= 22 2048.0


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Figura 22

SoluciónExpresaremos la distancia AD con la x, y la longitud de la carretera DB con la y. Como hemossupuesto, la longitud AC = a, y la BC = d. Puesto que el transporte por carretera cuesta el dobleque por río, la suma

x+ 2y

debe ser, respondiendo a las exigencias del problema, la más pequeña. Expresémosla con la m.De aquí la ecuación

x + 2y = m.

Perox = a – DC

y22 dyDC −=

entonces la ecuación se presentará así:

mydya =+−− 222

y, al hacer desaparecer el radical, resulta:

3y2 - 4 (m - a) y + (m-a)2 + d2 = 0.

Resolvamos ahora la ecuación:

33)(

)(32 22 dam

amy−−

±−=


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Para que y responda a las condiciones, (m - a)2 no debe ser inferior a 3d2 . La magnitud máspequeña de (m - a)2 es igual a 3d2 y entonces

332

30)(2

3

damy

dam

=+−

=

=−

yd

BCD =⟨sen ,

es decir,

23

332

sen ===⟨dd

yd

BCD

Mas el ángulo cuyo seno es igual a √3/2 equivale a 60°. Esto significa que la carretera debe sertrazada formando un ángulo de 60° con el río, independiente de la distancia AC.Aquí vuelve a aparecer la misma particularidad que en el problema anterior. El resultado tienesentido sólo en determinadas condiciones. Si el punto poblado está situado de tal manera que lacarretera (cuya línea forma un ángulo de 60° con la del río) pasa por el lado opuesto de la ciudadA, entonces la solución dada es inaplicable; en este caso hay que unir directamente el punto Bcon la ciudad A por carretera sin emplear en absoluto el río para el transporte.Volver

4. ¿Cuándo alcanza el producto su máximo valor?ProblemaPara resolver muchos problemas relacionados con "el máximo y el mínimo", es decir, parabuscar el valor mayor y el menor de una magnitud variable, puede emplearse un teoremaalgebraico que examinaremos a continuación. Veamos el problema siguiente:¿En qué dos partes debe dividirse un número para que su producto alcance el máximo valor?

SoluciónSupongamos que el número dado sea a. Las partes en que se divide a son

xa

xa

−

+

2

2

El número x indica la diferencia de estas partes con la mitad de a. El producto de ellas es igual a

22

42*

2x

ax

ax

a−=

−

+


Patricio Barros

Es evidente que el producto de las partes tomadas aumentará en la medida en que disminuya x, esdecir, en la medida en que disminuya la diferencia entre las mismas. El resultado mayor serácuando x = 0, es decir, cuando ambas partes sean iguales a a /2Quedarnos, pues, en que el número debe dividirse por la mitad. El producto de dos números, cuyasuma sea constante alcanzará su máximo valor cuando estos números sean iguales entre sí.Examinemos este mismo ejemplo con tres números.

Problema¿En qué tres partes debe dividirse un número para que su producto alcance el máximo valor?

SoluciónPara resolver este problema nos apoyaremos en el anterior.Tomemos un número a dividido en tres partes. Supongamos previamente que ninguna de las trespartes es igual a a / 3- Entre ellas habrá una parte mayor que a / 3 (las tres no pueden ser menoresque a / 3). Dicha parte la expresaremos así:

(a / 3) + x

También habrá otra parte menor que a /3 que representaremos con

(a / 3) – y

Los números x e y son positivos. La parte tercera será indudablemente igual a

(a / 3) + y - x

Los números (a / 3) y (a / 3) + x - y representan una suma igual a la de las dos primeras partesdel número a, pero la diferencia entre ellas (es decir, x - y) es menor que la diferencia entre lasdos primeras partes, que era equivalente a x+ y. Como hemos visto en el problema anterior, elproducto de

−+ yx

aa33

es mayor que el producto de las dos primeras partes del número a.De esta forma, si las dos primeras partes del número a son sustituidas por los números

(a / 3) y (a / 3) + x - y

dejando la tercera intacta, el producto aumentará.Supongamos ahora que una de las partes es igual a a/3 . Entonces las otras dos partes sepresentarán así

a/3 + z y a/3 - z

Si hacemos que estas dos partes sean iguales a a/3 (cuya suma, por ello, no se altera), veremosque su producto aumenta, siendo igual a:


Patricio Barros

273*

3*

3

3aaaa=

Así pues, si el número a se divide en tres partes desiguales, el producto de éstas será menor quea3 /27 es decir, menor que el producto de tres factores iguales que sumen a.Por el mismo procedimiento puede demostrarse este teorema para cuatro factores, para cinco, etc.Examinemos ahora un caso más general.

ProblemaHállese el valor de x y de y para que la expresión xp*yq alcance la mayor magnitud si x+ y = a.

SoluciónBusquemos el valor de x mediante el cual la expresión

xp*(a – x)q

alcance su máxima magnitud.Multipliquemos esta expresión por 1/ xp*yq y obtendremos la siguiente:

q

q

p

p

qxa

px )(

*−

que alcanzará su máxima magnitud cuando la adquiera la expresión inicial.Representemos así a la expresión obtenida

444 3444 2143421qvecespveces

qxa

qxa

qxa

px

px

px −−−

**...***

La suma de todos los factores será igual a

axaxq

xaqppx

qxa

qxa

qxa

px

px

px

qvecespveces

=−+=−

+=

=−

+−

+−

+++

)(

......444 3444 214434421

es decir, será una magnitud constante.Si nos basamos en lo demostrado anteriormente deduciremos que el producto

444 3444 2143421qvecespveces

qxa

qxa

qxa

px

px

px −−−

**...***


Patricio Barros

alcanza el máximo valor al ser iguales sus factores, es decir, cuando

qxa

px −

=

Sabemos que a – x = y; sustituyendo el antecedente de la segunda razón y alterando el orden delos medios, resultará

x / y = p / q

De esta forma, el producto de xp*yq alcanza su máximo valor, si la suma x+ y es constante,cuando

x : y = p : q

Siguiendo semejante razonamiento puede demostrarse que los productos

xp*yq*zr, xp*yq*zr*tu, etc

llegan a su valor máximo, si las sumas x + y + z, x + y + z + t, etc. son constantes, cuando

x : y : z = p : q : r, x : y : z : t = p : q : r: u, etc.Volver

5. ¿Qué suma será la menor?El lector que desee abordar la demostración de teoremas algebraicos de valor práctico, puededemostrar por sí mismo el siguiente principio:

1. La suma de dos números, cuyo producto es constante, alcanza el valor mínimo cuando dichosnúmeros son iguales. Por ejemplo, para el producto 36 : 4 + 9 = 13, 3 + 12 = 15, 2 + 18 = 20,1 + 36 = 37 y, por último, 6 + 6 = 12.

2. La suma de varios números, cuyo producto es invariable, será la menor cuando lasmagnitudes de los números dados sean idénticas. Por ejemplo, para 216: 3 + 12 + 6 = 21, 2 +18 + 6 = 26, 9 + 6 + 4 = 19, mientras que 6 + 6 + 6 = 18.

Mostremos en una serie de ejemplos cómo son aplicados en la práctica estos teoremas.Volver

6. El tronco de mayor volumenProblemaDe un tronco cilíndrico debe sacarse una viga rectangular del máximo volumen. ¿Qué forma hade tener su sección? (fig. 23)


Patricio Barros

Figura 23

SoluciónDe acuerdo con el teorema de Pitágoras, si los lados de la sección rectangular son x e y,tendremos

x2 + y2 = d2

Donde d es el diámetro del tronco. El volumen de la viga será el máximo cuando la superficie desu sección sea también la mayor, es decir, cuando xy alcance la mayor magnitud. Mas si xy tienesu máximo valor, también lo alcanzará x2y2. Y como la suma x2 + y2 es constante, el producto x2y2

será el mayor, como demostramos antes, cuando

x2 = y2 ó x = y

Por lo tanto, la sección de la viga debe ser cuadrada.Volver

7. Dos parcelas de tierraProblemas1. ¿Qué forma ha de tener una parcela rectangular de un área dada, para que la longitud de

su cerca sea la menor posible?2. ¿Qué forma debe tener una parcela rectangular para que, con una longitud fija de su

cercado, tenga aquélla la mayor área posible?

Solución

1. La forma de la parcela rectangular se determina por la relación entre sus lados, x e y. Elárea de una parcela cuyos lados sean x e y es igual a xy, y la longitud de la cerca 2x + 2y.Esta última será la menor si x + y tiene el menor valor.Si el producto xy es constante, la suma x + y es la menor si x = y. Por lo tanto, elrectángulo que buscamos debe ser un cuadrado.

2. Si x e y son los lados de una parcela rectangular, la longitud de su cerca será 2x + 2y, y suárea, xy. Este producto es el mayor cuando lo es también el producto 4xy, o sea, 2x*2y;este último alcanza su máximo valor (si la suma de sus factores 2x + 2y es constante)cuando 2x = 2y, es decir, si la parcela es un cuadrado.

A las propiedades del cuadrado, conocidas por la geometría podemos agregar una más: Elcuadrado es, entre los rectángulos, el que con un área dada tiene menor perímetro; y con unperímetro dado, mayor área.


Patricio Barros

Volver

8. La cometaProblemaBúsquese la forma de una cometa con un sector circular que tenga la mayor superficie,partiendo de un perímetro previamente dado.

SoluciónPrecisadas las condiciones del problema, debemos hallar la relación entre la longitud del arco delsector y su radio que nos de la mayor superficie posible, sin alterar el perímetro dado.Si el radio de un sector es x y el arco y, el perímetro 1 y la superficie S, se expresarán así (fig. 24).

Figura 24

1 = 2x + y,S = xy/2 = x(I - 2x)/2

La magnitud de S llega a su máximo valor, con los valores de x que lo proporcionen también a laexpresión 2x (1-2x), o sea, el cuádruplo de la superficie, Y como la suma 2x+ (1-2x) = l es unamagnitud constante, su producto será el mayor cuando 2x=l-2x, de donde

x = l/4y = l – 2 * l/4 = l/2

De esta forma, un sector con perímetro dado tiene la mayor superficie cuando su radio representala mitad del arco (es decir, la longitud de su arco es igual a la suma de los radios; o la longitud dela línea curva de su perímetro es igual a la longitud de la quebrada). El ángulo del sector esaproximadamente de 115°, o sea, dos radianes. Las cualidades de vuelo de tal cometa ya es unacuestión ajena a este problema.Volver

9. La construcción de una casa


Patricio Barros

ProblemaEn el solar de una casa derruida, donde queda en pie tan sólo una pared de 12 m de largo, seproyecta la construcción de un nuevo edificio aprovechando el muro existente. La superficie dela nueva casa debe ser de 112 m2. Las condiciones económicas para la obra son:1. La reparación de un metro lineal de pared vieja equivale al 25% de lo que cuesta levantar

una nueva.2. El derribo de un metro lineal de la pared vieja y la construcción de una nueva con ladrillo

recobrado alcanza el 50% de lo que costaría levantarla con material de fábrica.En tales condiciones, ¿cómo sería más ventajoso aprovechar la pared vieja?

SoluciónSupongamos que se conservan x metros de pared y los demás 12-x se derriban para, con elmaterial recuperado, levantar una parte de la pared de la futura casa (fig. 25).

Figura 25

Si el valor de cada metro lineal levantado con ladrillo nuevo es igual a a, la reparación de xmetros de pared vieja costará ax/4 ; la edificación de los 12-x metros de pared costará a (12-x)/ 2;el resto de la pared, a[y - (12 - x)], es decir, a(y+x-12); la tercera parte de la pared, ax, y la cuarta,ay. Todo el trabajo equivaldrá a

ayxa

ayaxxyaxaax

64

)87()12(

2)12(

4−

+=++−++

−+

La última expresión llegará a su mínima magnitud cuando la suma 7x + 8y alcance su valormínimo.Sabemos que el área de esta casa xy es igual a 112; por lo tanto,

7x * 8y = 56 * 112.

Si el producto es constante, la suma 7x * 8y tomará el menor valor cuando

7x = 8y,


Patricio Barros

de donde y = (7/8) * xSustituyendo el valor de y en la ecuación xy = 112tendremos:

3.11128

11287 2

≈=

=

x

x

Y siendo la longitud de la antigua pared de 12 m debe desmontarse tan sólo 0,7 m de dicha pared.Volver

10. La parcelaProblemaCon el fin de construir una casa de campo se precisaba cercar la pared destinada a este fin.Contábase con material para l metros lineales de valla. Además, en uno de los lados de laparcela podía emplearse una cerca construida con anterioridad.En estas condiciones, ¿cómo hubo que cercar la parcela rectangular para abarcar la mayorsuperficie posible?

SoluciónSupongamos que la longitud de la parcela (según la cerca) es igual a x, y el ancho (es decir, ladimensión de la parcela en la dirección perpendicular a la cerca) equivale a y (fig. 26).

Figura 26

En este caso, para cercar esta parcela fueron precisos x+2y metros de cerca, de forma que

x + 2y = l.

El área de la parcela será

S = xy = y(l - 2y),


Patricio Barros

que alcanzará un valor máximo simultáneamente con el valor 2y (l - 2y) (duplo del área),producto de dos factores, siendo l constante. Por eso, para conseguir la mayor área de la parcela,debe tener lugar la siguiente igualdad

2y = l - 2y,

de donde

y = -l/4 , x = l -2y

En otras palabras: x = 2y, es decir, la longitud de la parcela debe ser el doble de la anchura.Volver

11. El canalón de sección máximaProblemaHemos de doblar en forma de canalón una hoja rectangular de chapa (fig. 27).

Figura 27

Su sección debe tener forma de trapecio isósceles, lo que puede conseguirse por diversosprocedimientos, según se indica en la fig. 28.

Figura 28.

¿Cuál ha de ser la anchura de los costados y qué ángulo deben formar para que la sección delcanalón tenga la máxima superficie? (fig. 29).

Figura 29.


Patricio Barros

SoluciónRepresentemos por l la anchura de la hoja; por x, la de los costados doblados, y por y la del fondodel canalón. Introduzcamos una medida más, la incógnita z, cuyo valor aparece con toda claridaden la fig. 30.

Figura 30.

La superficie del trapecio que representa la sección del canalón será

22222 ()(2

)(zxzxzx

zyzS −+=−

++=

La tarea consiste en determinar cuáles han de ser los valores de x, y, z para que S alcance lamayor magnitud admitiendo que la suma 2x + y (anchura de la hoja) es una constante l. Pasemosa las transformaciones:

))(()( 22 zxzxzyS −++=

S2 alcanzará su máxima magnitud con los valores de x, y y z que la proporcionen también a 3S2.3S2puede presentarse en forma de producto

(y + z)(y + z) (x+ z) (3x - 3z).

La suma de estos factores será:

y + z + y + z + x + z + 3x -3z = 2y + 4x = 2l,

es decir, es invariable. Por eso, el producto de nuestros cuatro factores llega al máximo cuandoéstos son iguales entre sí, es decir

y + z = x + z x + z = 3x - 3z.

Por la primera ecuación sabemos que

y = x

y como y + 2x = l, entonces x = y = l/3De la segunda ecuación, resulta


Patricio Barros

z = x / 2 = l / 6

Como el cateto z es igual a la mitad de la hipotenusa x (fig. 30), el ángulo opuesto a este catetoserá igual a 30°, y el ángulo de inclinación de los costados equivaldrá a 90° + 30° = 120°.En fin, el canalón alcanzará la mayor sección cuando sus dobleces tengan la forma de 3 ladoscontiguos de un hexágono regular.Volver

12. El embudo de mayor capacidadProblemaDebemos construir la parte cónica de un embudo valiéndonos de un círculo de hojalata. Paraello se corta un sector en dicho círculo y, con el resto, se construye el cono (fig. 31).

Figura 31

¿Cuántos grados debe tener el arco del sector que se ha cortado para que el embudo alcance lamayor capacidad posible?

SoluciónLa longitud del arco de aquella parte que se aprovecha para el cono se representa con la x (enunidades lineales). Por lo tanto, la generatriz será el radio, R, del círculo de hojalata, y lacircunferencia de la base será igual a x. El radio r, de la base del cono, se determinará en laigualdad

2πr = x,de donde

r = x/2π

La altura del cono, según el teorema de Pitágoras, será (fig. 31).

2

222

2πx

RrRH r −=−=

El volumen de este cono equivaldrá a

2

22

22

4233 ππππ x

Rx

HrV −

==


Patricio Barros

Y esta expresión alcanza su mayor valor simultáneamente con la expresión

22

2

22

−

ππx

Rx

y con su cuadrado

−

22

4

22 ππx

Rx

y como

22

22

22R

xR

x=

−

ππ

es un valor constante, el último producto (como se demuestra en las páginas anteriores) llega a sumáximo valor cuando x tiene una magnitud tal, que

1:22

:2

22

2

=

−

ππx

Rx

de donde

RRx

Rx

xR

x

15.563

2

22

3

222

2

22

22

2

≈=

=

−=

ππ

ππ

El arco x tiene alrededor de 295° y, en consecuencia, el arco del sector cortado equivaldráaproximadamente a 65 grados.Volver

13. La iluminación más intensaProblema¿A qué altura de la mesa debe hallarse la llama de una vela para que ilumine con la mayorintensidad a una moneda colocada sobre dicha mesa?


Patricio Barros

SoluciónPuede parecer que para conseguir el objetivo propuesto deba colocarse la llama lo más bajaposible. Esto es falso. En esas condiciones, los rayos de luz caen muy oblicuos. Mas si se elevala vela para que los rayos caigan más verticales, el foco de luz se aleja. Por eso, la iluminaciónmás ventajosa es, sin duda, la que se realiza desde una altura media.

Figura 32

Denominemos a esta altura con la letra x (fig. 32). La distancia BC, que media entre la moneda By la base C de la perpendicular que pasa por la llama A, la designaremos con la letra a. Si laclaridad de la llama es i, de acuerdo con las leyes de la óptica, la luminosidad será expresada así:

( ) 22222

coscoscos

xai

xa

iABi

++=

ααα

donde α es el ángulo de caída de los rayos AB. Y como

22coscos

xa

xABx

+==Α=α

la luminosidad será

( )23

222222 *

xa

ix

xa

xxa

i

+=

++

Esta expresión alcanza su máximo valor cuando sin variar la x, adquiera también su mayormagnitud el cuadrado de aquélla

( )322

22

xa

xi

+

Omitamos el valor del factor i2 por su magnitud constante y transformemos el resto de laexpresión analizada como sigue:


Patricio Barros

( ) ( ) ( )

+

−

+

=

+

−+

=+

22

22

2222

2

222322

2

11

11

axa

axaxa

axxa

x

La expresión transformada alcanza su mayor magnitud cuando la alcanza la expresión

( )

+

−

+ 22

22

22

2

1ax

aax

a

por cuanto el factor constante introducido, a 4 , no influye en el valor de x con el cual el productollega a su más elevada magnitud.Partiendo de que la suma de las primeras potencias de estos factores

( ) 11 22

2

22

2

=

+

−+

+ ax

aax

a

es una magnitud constante, se deduce que el producto examinado alcanza su más alto valorcuando

( ) 1:21: 22

2

22

2

=

+

−

+ ax

aax

a

Tenemos una ecuación:

a2 = 2x2 +2a2 -2a2

que al resolverla resultará

aa

x 71.02

≈=

La moneda es iluminada con la mayor intensidad cuando el foco de luz se encuentra a una alturade 0,71 de la distancia desde la proyección del foco hasta la moneda. El conocimiento de estacorrelación ayuda a instalar con la mayor acierto el alumbrado en los lugares de trabajo.Volver


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Capitulo OctavoPROGRESIONES

Contenido1. La progresión más antigua2. Algebra en papel cuadriculado3. E1 riego de la huerta4. La comida para las gallinas5. Brigada de cavadores6. Las manzanas7. La compra del caballo8. La recompensa del soldado

1. La progresión más antiguaProblemaEl problema de progresiones más antiguo no es el de la recompensa al inventor del ajedrez, quetiene ya más de dos mil años, sino otro mucho más viejo, repartición del pan, registrado en elcélebre papiro egipcio de Rind. Este papiro, hallado por Rind a fines del siglo pasado, fueescrito unos 2 000 años antes de nuestra era y constituye una copia de otra obra matemática aúnmás remota que data seguramente del tercer milenio antes de nuestra era. Entre los problemasaritméticos, algebraicos y geométricos que figuran en dicho documento aparece el quetransmitimos en traducción libre.

Figura 33


Patricio Barros

Entre cinco personas se repartieron cien medidas de trigo, de tal suerte que la segunda recibiómás que la primera tanto como le correspondió a la tercera más que a la segunda, a la cuartamás que a la tercera y a la quinta más que a la cuarta. Además, las dos primeras obtuvieronsiete veces menos que las tres restantes. ¿Cuánto correspondió a cada una?

SoluciónEs evidente que las cantidades de trigo distribuidas entre los cinco participantes en el repartoconstituyen una progresión aritmética creciente. Supongamos que el primer miembro sea x, y ladiferencia, y.En ese caso tendremos:

Parte de la 1ª x2ª x+y3ª x + 2y4ª x + 3y5ª x + 4y

De acuerdo con las premisas del problema establecemos estas dos ecuaciones:

x+(x+y)+(x+2y)+(x+3y)+(x+4y)=100,

7[x+(x+y)]=(x+2y)+(x + 3y)+(x+4y)

Después de su simplificación, la primera ecuación será

x + 2y = 20,

y la segunda:11x = 2y.

Al resolver este sistema resultará

x = 1 2/3, y = 9 1/6

Por consiguiente, el trigo debe ser repartido en las siguientes proporciones:

1 2/3, 10 5/6, 29 1/6, 38 1/3Volver

2. Algebra en papel cuadriculadoA pesar de que este problema de progresiones tiene ya 50 siglos de antigüedad, en la prácticaescolar, la progresión apareció hace relativamente poco tiempo. Aunque en el manual deMagnitski, publicado hace doscientos años y empleado en Rusia durante medio siglo como textoen las escuelas, se trata de progresiones, no se dan fórmulas generales que liguen las magnitudesque figuran en las mismas. Por esa razón, el propio autor sale airoso de esos problemas sólo acosta de grandes esfuerzos. Y, sin embargo, la fórmula de la suma de los miembros de la


Patricio Barros

progresión aritmética puede deducirse por un medio sencillo y gráfico, empleando para ello elpapel cuadriculado. En éste, cualquier progresión aritmética puede expresarse con una figuraescalonada.

Figura 34

Por ejemplo, la figura ABDC, de la fig. 34 representa la progresión:

2; 5; 8; 11; 14.

Para determinar la suma de los miembros completamos el diseño hasta formar el rectánguloABGE y obtendremos dos figuras iguales: ABDC y DGEC. La superficie de cada una representala suma de los miembros de nuestra progresión. De ahí que la doble suma de los miembros esigual a la superficie del rectángulo ABGE, es decir:

(AC+CE) * AB.

Pero AC + CE expresa la suma de los miembros 1° y 5° de la progresión; AB representa elnúmero de miembros de la progresión, por eso, el duplo de la suma.

2S = (suma del primero y el último término) * (número de términos)o

S = (primer término + último término) * (número de términos)2

Volver

3. El riego de la huertaProblemaEn una huerta hay 30 caballones; cada uno de ellos tiene 16 m de largo y 2,5 m de ancho.Durante el riego, el hortelano lleva los cubos de agua desde el pozo situado a 14 metros delextremo de la huerta (fig. 35) y da la vuelta al caballón por el surco. El agua que carga cadavez le sirve para regar un solo caballón.¿Cuál es la longitud del camino que recorre el hortelano para regar toda la huerta? El caminocomienza y termina junto al pozo.


Patricio Barros

SoluciónPara regar el primer caballón, el hortelano ha de recorrer un camino igual a

14 + 16 + 2,5 + 16 + 2,5 + 14 = 65 m.

Para regar el segundo recorre

14 + 2,5 + 16 + 2,5 + 16 + 2,5 + 2,5 +14 = 65 + 5 = 70 m.

Cada nuevo caballón exige andar 5 metros más que para ir al anterior. Por ello tendremos lasiguiente progresión:

65; 70; 75;..... ; 65 + 5 * 29.

La suma de sus miembros será

(65+ 65 + 29 * 5) * 30 / 2 = 4 125 m

Para regar toda la huerta, el hortelano necesita recorrer 4,125 km,Volver

4. La comida para las gallinasProblemaPara 31 gallinas se ha preparado una cantidad de reservas de comida a base de un decalitrosemanas para cada una. Esto se hacía en el supuesto de que el número de gallinas permanecierainvariable. Pero, debido a que cada semana disminuía en una el número de aves, la comidapreparada duró doble tiempo del proyectado.¿Qué cantidad de comida prepararon como reserva y para cuánto tiempo fue calculada?

SoluciónSupongamos que la reserva fue de x decalitros de comida para y semanas. Como el alimento secalculó para 31 gallinas a razón de 1 decalitro por cabeza a la semana, resulta que

x = 31y

En la primera semana fueron consumidos el 31 Dl; en la segunda, 30; en la tercera, 29, y asísucesivamente hasta la última semana del plazo doble, cuando se consumió

(31- 2y + 1) Dl1.

1 El consumo de comida fue:1° semana = 31 Dl,2° » = 31-1 Dl,3° » = 31-2 Dl,

................2y° » =31- (2y -1) = 31-2y+1 Dl.


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La reserva, por consiguiente, sería de

x = 3, y = 31 – 30 + 29 +...+ (31 - 2y + 1).

La suma de 2y miembros de la progresión, el primero de la cual es 31, y el último 31-2y + l, seráigual a

yyyy

y )263(2

2*)123131(31 −=

+−+=

Y como y no puede ser igual a cero, entonces tenemos derecho a dividir por y ambos miembrosde la igualdad, con lo que tendremos

31 = 63 - 2yy = 16

de donde

x = 31y = 496.

Fueron preparados 496 Dl de comida para 16 semanas.Volver

5. Brigada de cavadoresProblemaUn grupo de alumnos de la secundaria se hizo cargo de construir una zanja en la huerta de laescuela y para eso formaron una brigada. Si hubiera trabajado toda la brigada, la zanja habríasido cavada en 24 horas. Mas el trabajo fue comenzado por un solo miembro de la brigada.Poco después se le unió otro y más tarde un tercero, al cabo del mismo tiempo se incorporó uncuarto, y así sucesivamente, hasta el último. Cuando se hizo el balance del trabajo efectuado,resultó que el primero había invertido en el trabajo 11 veces más de tiempo que el último.¿Cuánto trabajó el último?

SoluciónSupongamos que el último miembro de la brigada trabajó x horas; siendo así, el primero habrátrabajado 11x horas. Prosigamos. Si el número de miembros de la brigada es y, el número globalde horas de trabajo se determina corno la suma de y miembros de una progresión decreciente,cuyo primer término es 11x, y el último, x, es decir

xyyxx

62

)11(=

+

Sabemos también que la brigada, compuesta por y personas, trabajando simultáneamente hubieraterminado la zanja en 24 horas, lo que quiere decir que para realizar ese trabajo hacen falta 24yhoras de trabajo. Por tanto


Patricio Barros

6xy = 24y.

Como y no es igual a 0, la ecuación puede ser simplificada por ese factor, después de lo cualobtendremos:

6x = 24 y x = 4.

Por lo tanto, el último miembro de la brigada trabajó 4 horas.Hemos contestado a la pregunta del problema, mas si quisiéramos saber el número de obreros conque cuenta la brigada no podríamos determinarlo, aunque en la ecuación figuraba este último conla y. Para resolver esta cuestión no se cuenta con datos suficientes.Volver

6. Las manzanasProblemaUn hortelano vendió al primero de sus compradores la mitad de las manzanas de su jardín másmedia manzana; al segundo, la mitad de las restantes más media; al tercero, la mitad de cuantasquedaron más media, etc. El séptimo comprador adquirió la mitad de las manzanas quequedaban más media, agotando con ello la mercancía ¿Cuántas manzanas tenía el jardinero?

SoluciónSi el número inicial de manzanas era x, el primer comprador adquirió

21

21

2+

=+xx

el segundo

221

21

21

21 +

=+

+

−xx

x

el tercero

32 21

21

21

21

21 +

=+

+

−+

−xxx

x

el séptimo

721+x

Tenemos la ecuación

xxxxx

=+

+++

++

++

732 21

...2

12

12

1

o

xx =

+++++ 732 2

1...

21

21

21

)1(


Patricio Barros

Hallada la suma de los miembros de la progresión geométrica comprendida en los paréntesis,resultará:

1271221

11

7

7

=−=

−=+

xx

x

El hortelano tenía 127 manzanas.Volver

7. La compra del caballoProblemaEn la aritmética de Magnitski encontramos un divertido problema que damos a conocer sinsujetarnos al lenguaje del original:Cierta persona vendió su caballo por 156 rublos. Mas el comprador se arrepintió de haberloadquirido y devolvió el caballo diciendo:- No me interesa comprar el caballo por ese precio, pues no lo merece.El vendedor le propuso nuevas condiciones:- Si te parece elevado ese precio, compra sólo los clavos de las herraduras y conseguirás debalde el caballo. En cada herradura hay 6 clavos; por el primer clavo me pagas tan sólo ¼ dekopek; por el segundo, ½; por el tercero, 1 kopek, etc.El comprador, deslumbrado por las nuevas condiciones, en su afán de tener gratis un caballo,aceptó la propuesta, creyendo que tendría que pagar por los clavos no más de 10 rublos.¿Cuál fue el importe de la compra?

SoluciónPor los 24 clavos hubo de pagar:

¼ + ½ + 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 224 kopekscuya suma será igual a

kopeks43

303.194.441

212

41

2*222

21

=−=−

−

Es decir, cerca de 42.000 rublos. En tales condiciones no da pena entregar el caballo de balde.Volver

8. La recompensa del soldadoProblemaDe otro antiguo manual ruso de matemáticas, que lleva el ampuloso título de Curso completo dematemáticas puras elaborado por Efim Voitiajovski, cadete de artillería y profesor particular,para uso y provecho de la juventud y cuantos se ejercitan en matemáticas (1795), copio elsiguiente problema.


Patricio Barros

"Un soldado veterano recibe como recompensa 1 kopek por la primera herida sufrida; 2, por lasegunda; 4, por la tercera, etc. Cuando se hizo el recuento, el soldado resultó recompensadocon 655 rublos 35 kopeks. Deséase saber el número de heridas".

SoluciónPlanteamos la ecuación

65.535 = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2x – 1

ó

1212

12*2535.65

1

−=−

−=

−x

x

de donde obtendremos:

65535 = 2x y x = 16

resultado que obtenemos fácilmente por tanteo.Con este generoso sistema de recompensa, el soldado debía ser herido 16 veces, quedandoademás vivo, para obtener 655 rublos y 35 kopeks.Volver


preparado por Patricio Barros

Capitulo NovenoLA SEPTIMA OPERACION MATEMATICA

Contenido1. La séptima operación2. Los rivales de los logaritmos3. Evolución de las tablas de logaritmos4. Curiosidades logarítmicas5. Los logaritmos en escena6. Los logaritmos en el corral7. Los logaritmos en la música8. Las estrellas, el ruido y los logaritmos9. Los logaritmos y el alumbrado eléctrico10. Legados a largo plazo11. Interés continuo12. El número "e"13. Comedia logarítmica14. Expresar cualquier número tan sólo con tres doses

1. La séptima operaciónHemos recordado que la quinta operación - elevación a potencias - tiene dos operacionesinversas. Si

ab = c,

la búsqueda de a será una de las operaciones inversas: la extracción de raíz. Para hallar la b serecurre a la otra: la logaritmación. Supongo que el lector conoce las nociones de logaritmoscorrespondientes a un curso escolar. Para él no representará ninguna dificultad encontrar, porejemplo, a qué es igual

alogab.

Es fácil comprender que si la base del logaritmo a se eleva a la potencia del logaritmo del númerob se obtendrá el número b.Los logaritmos fueron descubiertos para acelerar y simplificar el cálculo. Neper, inventor de lasprimeras tablas de logaritmos, refiere así el propósito que le animaba:

"En la medida de mis capacidades, me proponía evitar las difíciles y aburridas operaciones decálculo, cuyo fastidio constituye una pesadilla para muchos que se dedican al estudio de lasmatemáticas".

En efecto, los logaritmos facilitan y aceleran en grado sumo los cálculos, sin hablar ya de quepermiten realizar operaciones que serían en extremo complejas si no los aplicáramos (extracciónde raíces de cualquier índice).



Laplace escribió con todo fundamento que "con la reducción del trabajo de varios meses decálculo a unos pocos días, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de losastrónomos" .El famoso matemático se refería a los astrónomos por cuanto se ven obligados a hacer cálculosagotadores y de singular complejidad. Mas sus palabras pueden ser aplicadas con pleno derecho atodos aquellos que operan con números.A nosotros, acostumbrados al empleo de logaritmos y al alivio que proporcionan, nos es difícilcomprender el asombro y la admiración que ocasionó su aparición. Briggs, contemporáneo deNeper, célebre más tarde por su invención de los logaritmos decimales, escribió al recibir la obrade aquél: "Con sus nuevos y asombrosos logaritmos, Neper, me ha obligado a trabajarintensamente con la cabeza y las manos. Confío verle este verano, pues jamás he leído un libroque tanto me agradara y asombrara como éste" . Briggs realizó su deseo, dirigiéndose a Escociapara visitar al inventor de los logaritmos. Cuando se encontraron, Briggs le dijo:

"He emprendido este prolongado viaje con el fin exclusivo de verle a usted y conocer con ayudade qué ingenioso procedimiento y de qué arte se ha valido para concebir ese admirable recursopara los astrónomos: los logaritmos. Y, por cierto, que lo que ahora más me asombra es quenadie los hallara antes; hasta tal punto parecen sencillos después de conocerlos".Volver

2. Los rivales de los logaritmosAntes de haberse inventado los logaritmos, la necesidad de acelerar las operaciones determinó laaparición de unas tablas de otro género, mediante las cuales la multiplicación se suplía por laresta y no por la suma. Dichas tablas se basaban en la identidad:

4)(

4)( 22 baba

ab−

−+

=

cuya veracidad es fácil de comprobar abriendo los paréntesis.Disponiendo de cuartos del cuadrado, puede hallarse el producto de dos sin multiplicarlos. Bastarestar de un cuarto del cuadrado de la suma de estos números el cuarto del cuadrado de sudiferencia. Esas mismas tablas alivian la elevación al cuadrado y la extracción de la raízcuadrada. La tabla de cifras inversas simplifica también la división.La superioridad de estas tablas sobre las de logaritmos estriba en que gracias a ellas se obtienenresultados exactos y no aproximados. Sin embargo ceden ante ellas en lo referente a muchaspropiedades, que prácticamente son de mayor trascendencia. Si las tablas de las cuartas partes delos cuadrados permiten la multiplicación de dos cifras, los logaritmos, en cambio, hacen posibleencontrar al mismo tiempo el producto de cuantos factores se quieran y, por añadidura, lapotenciación de cualquier grado y puede extraer las raíces de cualquier índice (entero oquebrado). Los problemas de interés compuesto no pueden resolverse con las tablas de cuartosdel cuadrado.A pesar de eso siguieron publicándose las tablas de cuartos del cuadrado aún después de aparecerlas de logaritmos de todas clases. En 1856 se editaron en Francia unas tablas tituladas: Tabla delos cuadrados de números del 1 al 1 000 millones, con ayuda de la cual se halla el productoexacto de números mediante un sistema sencillo en extremo y más cómodo que el de logaritmos.Compuestas por Alejandro Cossar.



Esta idea se les ocurre a muchos que ni sospechan que está ya superada. Se me han dirigido dosveces inventores de semejantes tablas creyendo se trataba de una novedad, enterándose conasombro que su invención data de hace tres siglos.Otro de los rivales de los logaritmos, aunque más joven, son las tablas de cálculo que figuran enmuchos manuales de consulta técnicos. Se trata de tablas generales que contienen las siguientescolumnas: cuadrados y cubos, raíces cuadradas y cúbicas, números inversos, la longitud de lacircunferencia y la superficie de círculos para números del 2 al 1 000. Estas tablas, a menudomuy cómodas para una serie de cálculos técnicos, son insuficientes; las de logaritmos tienen unaesfera de aplicación considerablemente más extensa.Volver

3. Evolución de las tablas de logaritmosHasta hace poco tiempo, en nuestras escuelas se empleaban tablas de logaritmos de cinco cifras.Actualmente se ha pasado a las de cuatro, por cuanto cubren las necesidades de los cálculostécnicos. Mas para la mayoría de las necesidades prácticas son más que suficientes las mantisasde 3 cifras, ya que las mediciones comunes raramente se realizan con más de tres cifras.El empleo de mantisas con pocas cifras es bastante reciente. Recuerdo los tiempos en los que ennuestras escuelas se empleaban voluminosas tablas de logaritmos de 7 cifras, que fueronsustituidos por los de 5 sólo después de duro forcejeo. Al aparecer en 1794 las tablas delogaritmos de 7 cifras fueron tachadas de novedad inadmisible. Las primeras tablas de logaritmosdecimales, confeccionadas por el matemático inglés Henri Briggs, en 1624, tenían 14 cifras. Unosaños después Andrian Vlacq, matemático holandés, redujo sus tablas a 10 cifras.Como vemos, la evolución de las tablas corrientes de logaritmos ha sido en sentido restrictivo,pasando de las mantisas de cifras numerosas a otras más cortas, proceso que no ha terminado aúnen nuestros días, porque todavía hay quien no comprende que la precisión en los cálculos nopuede superar la exactitud de las mediciones.La reducción de las mantisas acarrea dos importantes consecuencias prácticas:

1) la sensible disminución del volumen de las tablas y2) la correspondiente simplificación de su empleo, y, por lo tanto, la aceleración de los cálculos

que se efectúan con ellas.

Las tablas de siete cifras ocupan cerca de 200 páginas de gran formato; las de 5, 30 páginas, lamitad de formato que las anteriores; las de 4 decimales ocupan un espacio diez veces menor,reduciéndose a dos páginas cuando se imprimen en formato grande, y, las de 3 pueden limitarse auna sola página.En cuanto a rapidez en las operaciones, los cálculos con las tablas de 5 cifras requieren la terceraparte de tiempo que al operar con las de 7.Volver

4. Curiosidades logarítmicasSi las tablas de 3 ó 4 cifras satisfacen completamente las necesidades logarítmicas de la vidapráctica y los cálculos técnicos, en cambio los investigadores teóricos se ven obligados a manejartablas mayores incluso que las de 14 cifras de Briggs. En realidad, los logaritmos son, en lamayoría de los casos, un número irracional que no puede ser expresado exactamente por muchosguarismos que lo formen: los logaritmos de la mayoría de los números, por muchas cifras que



tengan se expresan sólo aproximadamente, aumentando su exactitud a medida que se toman máscifras para la mantisa. En los cálculos científicos, hay ocasiones en que resultan insuficientes lastablas de 14 cifras1, pero entre los 500 tipos de tablas logarítmicas, publicadas desde que éstasfueron inventadas, el investigador puede encontrar siempre aquellas que le satisfacen.Recordemos, por ejemplo, las tablas de 20 cifras para números del 2 al 1 200, publicadas enFrancia por Callet (1795). Para un grupo de números todavía más limitado hay tablas con enormecantidad de cifras, es un verdadero milagro logarítmico cuya existencia, como he podidocomprobar, era desconocida por muchos matemáticos.He aquí estas tablas gigantes, todas ellas de logaritmos neperianos2.

• Las tablas de 48 cifras de Wolfram, para números inferiores a 10 000;• las tablas de 61 cifras, de Sharp;• las tablas de 102 cifras, de Parkhurst, y por último, la ultracuriosidad logarítmica:• las tablas de 260 cifras, de Adams.

Por cierto que en éstas, tenemos, no unas tablas, sino los logaritmos naturales de cinco números:2, 3, 5, 7 y 10, y la recíproca (260 cifras) para transformarlos a decimales. Mas no es difícilcomprender que disponiendo ya de los logaritmos de estos cinco números, con una simpleadición o multiplicación, se puede obtener el logaritmo de multitud de números compuestos: porejemplo, el logaritmo de 12 es igual a la suma de los logaritmos de 2, 2 y 3, etc. Como curiosidadlogarítmica podría hacerse referencia a la regla de cálculo, «logaritmos de madera», si no sehubiera transformado, por su comodidad, en un instrumento de cálculo habitual entre lostécnicos, como los ábacos decimales para los contables. Debido a la costumbre ya no asombre eseinstrumento, basado en el principio de los logaritmos, aunque lo que lo manejan puedendesconocerlos.Volver

5. Los logaritmos en escenaEl truco más sorprendente de cuantos han sido presentados ante el público por calculadoresprofesionales es, sin duda, el siguiente:Enterado por las carteleras de que un notable calculador se disponía a extraer de memoria lasraíces de elevados índices de números muy grandes, prepara usted en casa, pacientemente, la 3la

potencia de un número cualquiera y se dispone a hacer fracasar al calculista con su gran númerode 35 cifras. En el momento oportuno se dirige al calculador con las siguientes palabras:- Eso está bien, ¡pero pruebe a extraer la raíz, cuyo índice es 31, del siguiente número de 35cifras! Tome nota, se las voy a dictar.El calculador toma la tiza, pero ya antes de que pronuncie usted la primera cifra, él ya haencontrado el resultado: 13.El calculador sin saber el número, ha extraído su raíz, siendo, además, de grado 31; lo ha hechode memoria y, por añadidura, ¡con rapidez de relámpago! ...

1 Por cierto que las tablas de logaritmos de 14 cifras, de Briggs, sólo comprenden del número 1 al 20.000 y del90.000 al 101.000.2 Se llaman neperianos o naturales los logaritmos que a diferencia de los decimales, cuya base es 10, tienen comobase el número 2,718... a los que nos referiremos más adelante.



Usted se maravilla y descorazona, aunque no ha sucedido nada extraordinario. El secreto resideen que no existe más que un número, precisamente el 13, que elevado a una potencia cuyoexponente sea 31, dé un resultado de 35 cifras. Los números menores a 13 dan menos de 35cifras, y los mayores, más. ¿De dónde sabía eso el calculador? ¿Cómo halló la cifra 13? Se sirvióde los logaritmos, de logaritmos con dos cifras de mantisa, que recuerda de memoria, para losprimeros 15 ó 20 números. Aprendérselos no es tan difícil como parece, sobre todo si se tiene encuenta que el logaritmo de un número compuesto es igual a la suma de los logaritmos de susfactores primos. Recordando bien los logaritmos de 2, 3 y 73 se conocen ya los logaritmoscorrespondientes a los 10 primeros números; para saber los de la 2a decena (del 10 al 20) hay queacordarse de los logaritmos de otros cuatro números.A cualquier calculador profesional le es fácil conservar en la memoria la siguiente tabla delogaritmos de dos cifras:

Cifras Log. Cifras Log.2 0,30 11 1,043 0,48 12 1,084 0,60 13 1,115 0,70 14 1,156 0,78 15 1,187 0,85 16 1,208 0,90 17 1,239 0,95 18 1,26

19 1,28

El truco matemático que los ha llenado de asombro consiste en lo siguiente:

31,...34

)35(log 31 =cifras

El logaritmo buscado puede encontrarse entre

34/31 y 34,99/31 o entre 1,09 y 1,13.

En este intervalo sólo se encuentra el logaritmo de un número entero 1,11, que es el logaritmo de13. De esa manera es como se halla el resultado que los ha dejado perplejos. Claro que para hacertodo esto mental y rápidamente hay que disponer del ingenio y la destreza de un profesional, peroen esencia, la cuestión es bastante sencilla. Cualquiera puede realizar trucos análogos, si no dememoria, al menos, por escrito.Supongamos que le proponen resolver el siguiente problema: extraer la raíz de índice 64 de unnúmero de 20 cifras.Sin indagar de qué número se trata puede usted ofrecer el resultado: la raíz es igual a 2.En efecto

3 Recordemos que log 5 = log 10/2 = 1-log 2



64,...19

)20(log 64 =cifras

por lo tanto debe estar comprendido entre 19/64 y 19.99/64 , es decir, entre 0,29 y 0,32. Tallogaritmo para número entero no puede ser más que uno: 0,30.... o sea, el logaritmo del número2.Usted podría desconcertar definitivamente al que le planteara el problema, anticipándole elnúmero que él se disponía a dictarle: el famoso número del «ajedrez»

264 = 18 446 744 073 709 551 616.Volver

6. Los logaritmos en el corralProblemaLa llamada ración alimenticia de «sostén», (es decir, el alimento mínimo que cubreexclusivamente las calorías, que consume el funcionamiento de los órganos internos, elrestablecimiento de las células que perecen, etc.)4 es proporcional a la superficie externa delcuerpo animal. Conociendo esto hallar las calorías necesarias para la ración alimenticia desostén de un buey que pesa 420 kg. Se sabe que en esas condiciones, un buey que pesa 360 kgnecesita 13500 calorías.

SoluciónPara resolver este problema práctico de la esfera de la ganadería, además de recurrir al álgebradebe utilizarse la geometría. De acuerdo con las condiciones del problema, las calorías buscadas(x) son proporcionales a la superficie externa (s) del cuerpo del animal, es decir,

113500 ssx

=

donde s, es la superficie externa del buey, que pesa 630 kg. La geometría enseña que lassuperficies (s) de cuerpos semejantes son proporcionales al cuadrado de sus medidas lineales (l),y los volúmenes (y, por consiguiente, el peso) son proporcionales al cubo de las medidas lineales.Por eso

3

3

1

21

2

21

2

1

630420

630420

=

=

=

ll

ll

ll

ss

de donde

4 A diferencia de la ración de producción, es decir, el alimento destinado a la producción ganadera, debido al cual semantiene el ganado



33

2

3 2

3 2

32

630420

630

42013500

=

==

x

3

94

500.13=x

Empleando las tablas de logaritmos se encuentra que: x = 10.300.El buey necesita 10 300 calorías.Volver

7. Los logaritmos en la músicaA los músicos raramente les atraen las matemáticas. Aunque en su mayoría, sienten respeto poresa ciencia, prefieren mantenerse alejados de ella. Sin embargo, los músicos, incluso los quecomo el Salleri de Pushkin menosprecian el álgebra en la armonía, se las tienen que ver con lasmatemáticas más a menudo de lo que ellos mismos suponen y, por añadidura, con cosas tanterribles como los logaritmos.A este propósito me permito transcribir el fragmento de un artículo de nuestro difunto profesor defísica, A. Eihenvald 5.«A mi compañero de gimnasio le gustaba tocar el piano, pero no le agradaban las matemáticas;incluso manifestaba en tono despectivo que la música y las matemáticas no tienen nada decomún: «Es cierto que Pitágoras halló ciertas correlaciones entre las vibraciones del sonido; peroprecisamente la gama de Pitágoras resultó inaplicable para nuestra música».Imagínense lo desagradable de la sorpresa de mi compañero al demostrarle que al tocar sobre lasteclas del piano moderno, se toca, hablando con rigor, sobre logaritmos... Efectivamente: losllamados «grados» de tonalidad de la escala cromática no son equidistantes ni por el número devibraciones ni por la longitud de las ondas de los sonidos respectivos, sino que representan loslogaritmos de estas magnitudes. La base de estos logaritmos es 2, y no 10, como se admite enotros casos.Supongamos que la nota do de la octava más baja - la representamos con el cero - estádeterminada por n vibraciones por segundo. En este caso, el do de la primera octava producirá alsegundo 2n vibraciones; el do de la m octava producirá n*2m vibraciones, etc. Expresemos todaslas notas de la escala cromático del piano con los números p, tomando el do de cada octava comonota cero; entonces, la nota sol será la nota 7a, el la, la 9a, etc.; la 12a será de nuevo el do, aunquede una octava más alta. Y como en la escala cromática, cada nota siguiente tiene 12 2 másvibraciones que la anterior, entonces el número de éstas de cualquier tono puede ser expresadocon la fórmula

( )pmpm nN 12 22*=

Aplicando los logaritmos a esta fórmula, obtendremos:

5 Fue publicado en el Calendario astronómico ruso de 1919 bajo el título de Acerca de laspequeñas y grandes distancias.



122log

2logloglog pmnN pm ++=

ó

2log12

loglog

++=

pmnN pm

al tomar el número de vibraciones del do más bajo como unidad (n= 1) y pasando los logaritmosal sistema de base 2 (o simplemente tomando log 2 = l), tenemos:

12log

pmN pm +=

De aquí vemos que los números de teclas del plano constituyen logaritmos de la cantidad devibraciones de cada uno de los sonidos correspondientes6. Podemos incluso decir que el númerode la octava forma la característica, y el número del sonido en la octava dada7 es la mantisa deeste logaritmo».Por ejemplo, en el tono sol de la tercera octava, es decir, en el número 3+ 7/12 (˜3,583), elnúmero 3 es la característica del logaritmo del número de vibraciones de este tono y 7/12(˜0,583), la mantisa del mismo logaritmo de base 2; por consiguiente el número de vibraciones es23,583 o sea, es 11,98 veces mayor que el número de vibraciones del tono do de la primera octava.Volver

8. Las estrellas, el ruido y los logaritmosEste título, que trata de cosas a primera vista tan heterogéneas, no parece ser el más indicado parauna parodia de las obras de Kuzmá Prutkov8, mas, en realidad, se ocupa de las estrellas y delruido en estrecha conexión con los logaritmos.El ruido y las estrellas aparecen aquí juntos porque tanto la intensidad del sonido como laluminosidad de las estrellas se calculan de la misma manera: mediante la escala logarítmica.Los astrónomos dividen las estrellas, según el grado de luminosidad visible, en astros de primeramagnitud, de segunda, tercera, etc. Las magnitudes consecutivas de las estrellas sonrepresentadas como miembros de una progresión aritmética. Mas la luminosidad física de lasestrellas varía de acuerdo con otra ley, la luminosidad objetiva constituye una progresióngeométrico, con una razón igual a 2,5. Es fácil comprender que la "magnitud" de una estrella noes otra cosa que el logaritmo de su luminosidad física.Por ejemplo, una estrella de tercera es 2,5(3-1) (es decir, 6,25) veces más luminosa que una estrellade primera magnitud. En pocas palabras: al establecer la luminosidad visible de una estrella, elastrónomo opera con las tablas de logaritmos de base 2,5. No me detengo con más detalle enestas interesantes correlaciones por cuanto en otro de mis libros, Astronomía Recreativa, sededican a ello suficientes páginas.

6 Multiplicados por 127 Dividido por 128 Kuzmá Prutkov es el nombre de un imaginario autor de ingeniosos aforismos. El seudónimo corresponde a losescritores rusos herinalios Zhernchúzhnikov y a A. Tolstoi.



De la misma forma se calcula intensidad del sonido. La influencia nociva de los ruidosindustriales en la salud del obrero y en su productividad incitó a elaborar un método para precisarexactamente la intensidad numérica del ruido. La unidad de esa intensidad es el bel(prácticamente se emplea el decibel, décima parte del bel). Los siguientes escalones de sonoridad:1 bel, 2 beles, etc., (en la práctica, 10 decibeles, 20 decibeles, etc.), constituyen para nuestro oídouna progresión aritmética. La "fuerza" física de estos sonidos (energía, más exactamente)constituye una progresión geométrica cuya razón es 10. A la diferencia de intensidad de un belcorresponde la relación de fuerza de sonido 10. Por lo tanto, la intensidad del sonido expresadaen beles será igual al logaritmo decimal de su intensidad física.Esto aparecerá más claro si examinamos algunos ejemplos.El tenue rumor de las hojas se considera como de 1 bel; la conversación en voz alta, 6,5 beles; elrugido del león, 8,7 beles. De aquí se deduce que, por la fuerza del sonido, la conversación superaal susurro de las hojas en

106,5-1 = 105,5 = 316.000 veces.

El rugido del león es superior a la conversación en voz alta en

108,7 - 6,5 = 102,2 = 158 veces.

El ruido cuya intensidad es superior a 8 beles se considera perjudicial para el organismo humano.Este margen es rebasado en muchas fábricas, donde se producen ruidos de 10 beles y más; elgolpe de martillo sobre láminas de acero ocasiona un ruido de 11 beles. Estos ruidos son 100 y1.000 veces más fuertes que la norma permitida y de 10 a 100 veces más intensos que los másestrepitosos de las cataratas del Niágara (9 beles). ¿Es fortuito que al calcular la luminosidadvisible de las estrellas y al medir la intensidad del sonido nos refiramos a la dependencialogarítmica existente entre la magnitud de las sensaciones y la irritación que éstas ocasionan?No. Tanto lo uno como lo otro son efectos de una misma ley (llamada "ley psicofísica deFechner") que dice así: la magnitud de la sensación es proporcional al logaritmo de la intensidadde irritación.Vemos, pues, cómo los logaritmos van invadiendo el campo de la psicología.Volver

9. Los logaritmos y el alumbrado eléctricoProblemaLa causa de que las lámparas de gas (con frecuencia se les llama erróneamente "de mediovatio") alumbren más que las de vacío, aun teniendo filamento metálico del mismo material,consiste en la diferente temperatura del filamento. Según una regla de física, la cantidad generalde luz proyectada con la incandescencia blanca aumenta en proporción a la potencia deexponente 12 de la temperatura absoluta. En consecuencia hagamos el siguiente cálculo:determinar cuántas veces una lámpara, "de medio vatio", cuya temperatura de filamento es de2.500° por la escala absoluta (a partir de –273°) despide más luz que otra de vacío, cuyofilamento llega hasta 2.200° de temperatura.

SoluciónRepresentando con la x la relación buscada, tenemos la siguiente ecuación:



1212

2225

22002500

=

=x

de donde:

log x =12*(log 25 – log 22); x = 4,6La lámpara de gas despide 4,6 veces más luz que la de vacío. De ahí que si esta última equivale a50 bujías, la primera, en las mismas condiciones, produce 230 bujías.

ProblemaHagamos otro cálculo: ¿Cuál será la elevación de temperatura absoluta (en tanto por ciento)necesaria para duplicar la luminosidad de la lámpara?

SoluciónPlanteemos la ecuación:

2100

112

=

+

x

de donde

%612

2log100

1log

=

=

+

x

x

ProblemaVeamos ahora en qué proporción (en tanto por ciento) aumentará la luminosidad de unalámpara si la temperatura absoluta de su filamento se eleva en el i%.

SoluciónSi resolvemos la ecuación por medio de logaritmos, tendremos:

x = 1,0112,

de donde

x = 1, 13.

La luminosidad crece en el 13%.Al calcular la elevación de la temperatura en el 2% veremos que el aumento de la luminosidad esdel 27%, y con una elevación de temperatura en un 3%, aumentará la luminosidad en el 43%.Esto explica por qué la industria de lámparas eléctricas se preocupa tanto de la elevación de latemperatura del filamento, siéndole de gran valor cada grado que logra superar.Volver

10. Legados a largo plazo



¿Quién no ha oído hablar del consabido número de granos de trigo que, según las leyendas, pidiócomo recompensa el inventor del ajedrez? Esta cantidad se forma duplicando sucesivamente cadauno de los números obtenidos; primer escaque del tablero, el inventor pidió un grano; para elsegundo, dos; etc. A cada uno de los escaques le corresponde el doble que al anterior, hasta llegaral 64 escaque.Mas crecimiento tan vertiginoso se da, no sólo duplicando sin cesar la cifra anterior, sino con unanorma de crecimiento notablemente más moderada. Un capital que produce el 5% anual a interéscompuesto, aumenta cada año 1,05 veces. Parece éste un crecimiento de poca consideración, masal cabo de cierto tiempo el capital llega a alcanzar grandes proporciones. Esto explica quedespués de transcurridos muchos años de ser legada una herencia crezca de forma insólita. Pareceextraño que dejando el finado una suma harto modesta se convierta ésta en un enorme capital. Esbien conocido el testamento de Franklin, famoso estadista norteamericano. Fue publicado enRecopilación de diversas obras de Benjamín Franklin. He aquí un fragmento de él: "Dono millibras esterlinas a los habitantes de Boston. Si las aceptan, estas mil libras, deben seradministradas por los vecinos más distinguidos de la ciudad, que las concederán en préstamo al5%, a los artesanos jóvenes9. Al cabo de cien años esta suma se elevará a 131.000 librasesterlinas. Deseo que entonces sean empleadas, 100.000 libras en la construcción de edificiospúblicos, y las 31.000 restantes concedidas en crédito por un plazo de 100 años. Al cabo de estetiempo la suma habrá llegado a 4.061.000 libras esterlinas, de las cuales 1.060.000 dejo adisposición de los vecinos de Boston y 3.000.000, al municipio de Massachusetts. En lo sucesivono me atrevo a seguir extendiéndome con más disposiciones".Franklin, que dejó una herencia de 1.000 libras, distribuyó millones de ellas. Y no se trata deningún malentendido. El cálculo matemático confirma que las disposiciones del testador sonciertas. Las 1.000 libras aumentaron cada año en 1,05 veces y, al cabo de 100 años seconvirtieron en

x = 1.000 * 1,05100 libras.

Esta expresión puede calcularse mediante los logaritmos:

log x = log 1.000 + 100 log 1,05 = 5,11893,

de donde

x= 131.000

de acuerdo con el testamento. En el segundo siglo las 31.000 llegarán a

y = 31 000*1,05100,

de donde, al aplicar los logaritmos resultará:

y = 4.076.500

suma que se diferencia muy poco de la señalada en el testamento. 9 Por entonces no había en América instituciones de crédito.



Dejemos a juicio del lector fa solución del siguiente problema, que aparece en la obra Losseñores Golovliov, de Saltikov-Schedrín:

"Porfiri Vladimirovich está en su despacho escribiendo cantidades en hojas de papel. Trata desaber cuánto dinero tendría si los cien rublos que le regaló su abuelo al nacer, en lugar de sergastados por su madre, hubieran sido depositados en la caja de Ahorros. Sin embargo, elresultado no es muy elevado: ochocientos rublos".Si suponemos que Porfiri tiene a la sazón 50 años y, admitiendo que hubiera hecho bien elcálculo (poco probable, pues sin duda alguna desconocía los logaritmos, por lo que no podríaresolver problemas de interés compuesto) hay que establecer qué tanto por ciento concedía enaquellos tiempos la Caja de Ahorros.Volver

11. Interés continuoEn las Cajas de Ahorro, el interés del capital se suma al depósito. Si la adición se hace con másfrecuencia, el capital crece más de prisa por cuanto forma el rédito una suma mayor. Tomemosun sencillo ejemplo puramente teórico. Admitamos que se depositan 100 rublos en la Caja deAhorros al 100% anual. Si se acumula el interés al depósito, al cabo del año sumarán 200 rublos.Veamos ahora qué ocurre si el porcentaje se va sumando al capital inicial cada medio año. Alfinalizar el primer semestre llegará a

100 rublos * 1,5 = 150 rublos.

Al segundo semestre:

150 rublos * 1,5 = 225 rublos.

Si la adición se realiza cada 1/3 de año, serán:

100 rublos * (1 1/3)3 ≈ 237 rublos 3 kopeks.

Hagamos más frecuentes los plazos de acumulación del 'rédito al capital depositado: a 0,1 de año;0,01 de año; 0,001 de año, etc., y veremos que los 100 rublos, al cabo del año se transforman en

100 rublos * 1,110 ≈ 259 rublos y 37 kopeks100 rublos * 1.01100 ≈ 270 rublos y 48 kopeks100 rublos * 1.0011000 ≈ 271 rublos y 69 kopeks

Las matemáticas superiores demuestran que reduciendo indefinidamente los plazos deacumulación del rédito devengado al depósito, éste no crece infinitamente, sino que se aproximaa un cierto límite, que equivale más o menos10 a 271 rublos 83 kopeks.Un capital depositado al 100% no puede crecer en un año más allá de 2,7183 veces, aunque fueraacumulándose el interés al capital cada segundo.

10 Tomando los kopeks por aproximación



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12. El número “e”El 2,718... obtenido, número que desempeña en las matemáticas superiores un papel trascendental(quizás tan importante como el famoso π) tiene un signo especial de expresión: la e. Es unnúmero irracional que no puede ser expresado con ninguna cifra exacta11, pero se calcula con laaproximación deseada, mediante la siguiente serie:

...5*4*3*2*1

14*3*2*1

13*2*1

12*1

111

1 ++++++

Por el ejemplo de capitalización expuesto puede verse que el número e es el límite de laexpresión

n

n

+

11

para un incremento ilimitado de n.Por numerosas razones, que no procede explicar aquí, es de suma conveniencia tomar el númeroe como base del sistema de logaritmos. Tales tablas (de "logaritmos naturales") existen y seaplican en gran escala en, la ciencia y la técnica. Aquellas grandes tablas de 48, 61, 102 y 260cifras, a las que nos hemos referido más arriba, tienen precisamente como base el número e. Confrecuencia el número e aparece allí donde menos se sospecha. Supongamos, por ejemplo, elsiguiente problema:¿En qué partes debe dividirse el número a para que el producto de todas ellas sea el mayor?Ya sabemos que cuando la suma de factores es invariable, su producto será el mayor cuando losfactores sean iguales entre sí. Pero, ¿en cuántas partes hay que dividir a? ¿En dos, en tres, endiez? Las matemáticas superiores enseñan que se obtiene el producto mayor cuando los factoresadquieren valores lo más cercanos posibles al del número e. Por ejemplo: 10 debe dividirse en talcantidad de partes iguales que cada una de ellas se aproxime cuanto pueda a 2,718... Para ello hayque encontrar el cociente

10 / 2.718... = 3.678...

Mas, como no es posible dividir en 3,678... partes iguales hay que hacerlo por la cifra entera máspróxima, por 4, y obtendremos el producto mayor los sumandos de 10, si éstos son iguales a 10/4es decir, 2,5.Quiere decirse que:

(2,5)4 = 39,0625

es el producto mayor que puede obtenerse multiplicando los sumandos iguales del número 10.En efecto, dividiendo 10 en 3 ó en 5 partes iguales, los productos de éstas son menores:

11 Además, lo mismo que el número π, es trascendente, es decir, no puede ser obtenido como resultado de la soluciónde ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros.



(10 / 3)3 = 37(10 / 5)5 = 32

Para conseguir el producto mayor de las partes iguales del número 20, éste debe dividirse en 7partes, puesto que

20 / 2,718... = 7,36 ≈ 7.

Para obtener el producto mayor de las partes iguales del número 50, éste debe dividirse en 18partes, y 100 en 37, puesto que

50 / 2,718... = 18,4,100 / 2,718... = 36, 8.

El número e desempeña un enorme papel en las matemáticas, la física, la astronomía y en otrasciencias. Veamos algunas de las cuestiones para cuyo análisis matemático hay que valerse deeste número (la cantidad de tales cuestiones podría ampliarse indefinidamente):• la fórmula barométrica (la disminución de la presión con la altura);• la fórmula de Euler;• la ley del enfriamiento de los cuerpos;• la desintegración radiactiva y la edad de la Tierra;• las oscilaciones libres del péndulo;• la fórmula de Tsiolkovski para la velocidad del cohete;• los fenómenos oscilatorios en un circuito radiofónico;• el crecimiento de las células.

13. Comedia logarítmicaProblemaComo complemento a las comedias matemáticas, que el lector tuvo ocasión de conocer en elcapítulo V, presentamos un caso más del mismo género: la "demostración" de la desigualdad 2 >3. Esta vez interviene la logaritmación. La "comedia" empieza con la desigualdad

1 / 4 > 1 / 8

que es completamente cierta. Después siguen las transformaciones

(1 / 2)2 > (1 / 2)3

que tampoco inspira desconfianza. A un número mayor le corresponde un logaritmo tambiénmayor; por lo tanto

2 log10 (1/2) > 3 log10 (1/2)

Después de dividir ambos miembros de la desigualdad por log10 (1/2), tenemos 2>3. ¿Dónde estáel error de esta demostración?



SoluciónEl error reside que al simplificar por log10 (1/2), el signo > no fue sustituido por <; entre tanto,era necesario hacerlo, por cuanto log10 es un número negativo. [Si no se hubieran aplicado loslogaritmos vulgares, sino otros menores que ½ el log10 (1/2), hubiera sido positivo, aunqueentonces no habríamos podido afirmar que a un número mayor corresponde un logaritmo tambiénmayor.]Volver

14. Expresar cualquier número tan sólo con tres dosesTerminemos el libro con un ingenioso rompecabezas algebraico que distrajo a los delegados deun congreso físico celebrado en Odesa.

ProblemaProponemos el siguiente problema: expresar cualquier número, entero y positivo, mediante tresdoses y signos matemáticos.

SoluciónMostremos en un ejemplo la solución de este problema. Supongamos que el número dado es el 3.En este caso el problema se resuelve así:

2loglog3 22−=

Es fácil convencerse de la veracidad de tal igualdad.

En efecto:

32log

22log

2222

32

322

22

121

21

21

3

33

=−

=

==

=

−

−−

−

Si el número dado fuera 5, resolveríamos el problema por los mismosprocedimientos:

2loglog5 22−=

Se tiene presente que siendo la raíz cuadrada, se omite el índice de la misma.La solución general del problema es como sigue: si el número dado es N, entonces



4434421Nveces

N 2...loglog 22−=

Además, el número de radicales es igual al número de unidades del número dado.Volver

Matemática Recreativa Yakov I. Perelman

Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001

Matemática Recreativa

Yakov I. Perelman



Prólogo

Éste es un libro para jugar mientras aprenden a resolver problemas matemáticos o, si lo prefieren,para aprender matemáticas mientras se juega.Alguien puede pensar que sus conocimientos aritméticos son insuficientes, o que con el tiempo yase han olvidado para disfrutar del contenido de Matemáticas recreativas.¡Se equivoca completamente!El propósito de esta obra reside expresamente en destacar la parte de juego que tiene la resoluciónde cualquier acertijo, no en averiguar los conocimientos logarítmicos que usted puede tener... Bastacon que sepa las reglas aritméticas y posea ciertas nociones de geometría.No obstante, el contenido de esta obra es variadísimo: en ella se ofrece desde una numerosacolección de pasatiempos, rompecabezas e ingeniosos trucos sobre ejercicios matemáticos hastaejemplos útiles y prácticos de contabilidad y medición, todo lo cual forma un cuerpo de más de uncentenar de acertijos y problemas de gran interés.Pero, ¡cuidado! A veces los problemas aparentemente más sencillos son los que llevan peorintención...A fin de evitar que caiga en la tentación de consultar las soluciones precipitadamente, la obra se hadividido en dos partes: la primera contiene diez capítulos en donde se plantean todo tipo deacertijos, y la segunda contiene la solución correspondiente. Antes de recurrir a ella, piense unpoco y diviértase intentando esquivar la trampa.Y ahora, para terminar, un ejemplo: ¿qué es mayor, el avión o la sombra que éste proyecta sobre laTierra? Piense en ello, y si no está muy convencido de sus conclusiones, busque la respuesta en laparte dedicada a las soluciones.



Capítulo 1Desayuno y rompecabezas

1. - La ardilla en el calvero - Hoy por la mañana he jugado al escondite con una ardilla - contaba a la hora del desayuno uno delos comensales en el albergue donde pasábamos las vacaciones -. ¿Recuerdan ustedes el calverocircular del bosque con un abedul solitario en el centro'? Para ocultarse de mí, una ardilla se habíaescondido tras ese árbol. Al salir del bosque al claro, inmediatamente he visto el hociquito de laardilla y sus vivaces ojuelos que me miraban fijamente detrás del tronco. Con precaución, sinacercarme, he empezado a dar la vuelta por el contorno del calvero, tratando de ver al animalillo.Cuatro vueltas he dado alrededor del árbol, pero la bribona se iba retirando tras del tronco ensentido contrario, sin enseñarme más que el hociquillo. En fin, no me ha sido posible dar la vueltaalrededor de la ardilla. - Sin embargo - objetó alguien -, usted mismo ha dicho que dio cuatro veces la vuelta alrededor delárbol. - Alrededor del árbol, sí; pero no alrededor de la ardilla. - Pero la ardilla, ¿no estaba en el árbol? -¿Y qué? - Entonces usted daba también vueltas alrededor de la ardilla. - ¿Cómo, si ni siquiera una vez le pude ver el lomo? - ¿Pero qué tiene que ver el lomo? La ardilla se halla en el centro, usted marcha describiendo uncírculo, por lo tanto anda alrededor de la ardilla. - Ni mucho menos. Imagínese que ando junto a usted describiendo un círculo, y que usted vavolviéndome continuamente la cara y escondiendo la espalda. ¿Diría usted que doy vueltas a sualrededor? - Claro que sí. ¿Qué hace usted si no? - ¿Le rodeo, aunque no me encuentre nunca detrás de usted, y no vea su espalda? - ¡La ha tomado usted con mi espalda! Cierra el círculo usted a mi alrededor; ahí es donde está elintríngulis, y no en que me vea o no la espalda. - ¡Perdone! ¿Qué significa dar vueltas alrededor de algo? - A mi entender no quiere decir nada más que lo siguiente: ocupar sucesivamente distintasposiciones de modo que pueda observarse el objeto desde todos los lados. ¿No es así, profesor? -preguntó uno de los interlocutores a un viejecillo sentado en la mesa. - En realidad, est n ustedes discutiendo sobre palabras - contestó el hombre de ciencia -. En estoscasos hay que empezar siempre por lo que acaban de hacer; o sea, hay que ponerse de acuerdo en elsignificado de los términos. ¿Cómo deben comprenderse las palabras "moverse alrededor de unobjeto"? Pueden tener un doble significado. En primer lugar, pueden interpretarse como unmovimiento por una línea cerrada en cuyo interior se halla el objeto. Esta es una interpretación.Otra: moverse respecto a un objeto de modo que se le vea por todos los lados. Si aceptamos laprimera interpretación, debe reconocer que ha dado usted cuatro vueltas alrededor de la ardilla.Manteniendo la segunda, llegamos a la conclusión de que no ha dado vueltas a su alrededor ni unasola vez.Como ven ustedes, no hay motivo para discutir, si ambas partes hablan en un mismo lenguaje ycomprenden los términos de la misma manera. - Eso está muy bien; puede admitirse una interpretación doble. Pero, ¿cuál es la justa? - La cuestión no debe plantearse así. Puede convenirse lo que se quiera. Sólo hay que preguntarsecuál es la interpretación más corriente. Yo diría que la primera interpretación es la más acorde con



el espíritu de la lengua, y he aquí por qué. Es sabido que el Sol da una vuelta completa alrededor desu eje en 26 días... - ¿El Sol da vueltas? - Naturalmente, lo mismo que la Tierra alrededor de su eje. Imaginen ustedes que la rotación delSol se realizara más despacio; es decir, que diera una vuelta no en 26 días, sino en 365 días y 1/4; osea, en un año. Entonces el Sol tendría siempre el mismo lado orientado a la Tierra y nuncaveríamos la parte contraria, la espalda del Sol. Pero, ¿podría entonces afirmarse que la Tierra nodaba vueltas alrededor del Sol? - Así, pues, está claro que a pesar de todo yo he dado vueltas alrededor de la ardilla. - ¡Señores, no se vayan! - dijo uno de los que habían escuchado la discusión -. Quiero proponer losiguiente. Como nadie va a ir de paseo, lloviendo como está, y por lo visto la lluvia no va a cesarpronto, vamos a quedamos aquí resolviendo rompecabezas. En realidad, ya hemos empezado. Quecada uno discurra o recuerde algún rompecabezas. Usted, profesor, será nuestro árbitro. - Si los rompecabezas son de álgebra o de geometría, yo no puedo aceptar - declaró una joven. - Ni yo tampoco - añadió alguien más. - No, no; deben participar todos. Rogamos a los presentes que no hagan uso ni del álgebra ni de lageometría; en todo caso, sólo de los rudimentos. ¿Hay alguna objeción? - Ninguna - dijeron todos -. ¡Venga, vamos a empezar!

2. - Funcionamiento de los círculos escolares - En nuestro Instituto - comenzó un estudiante de bachillerato - funcionan cinco círculos: dedeportes, de literatura, de fotografía, de ajedrez y de canto. El de deportes funciona un día sí y otrono; el de literatura, una vez cada tres días, el de fotografía, una cada cuatro; el de ajedrez, una cadacinco, y el de canto, una cada seis. El primero e enero se reunieron en la escuela todos los círculos,y luego siguieron haciéndolo en los días designados, sin perder ninguno. Se trata de adivinarcuántas tardes más, en el primer trimestre, se reunieron los cinco círculos a la vez. - ¿El año era corriente o bisiesto? - preguntaron al. estudiante. - Corriente. - ¿Es decir, que el primer trimestre, enero, febrero y marzo, fue de 90 días? - Claro que sí. - Permíteme añadir una pregunta más a la hecha por ti en el planteamiento del rompecabezas - dijoel profesor -. Es la siguiente: ¿cuántas tardes de ese mismo trimestre no se celebró en el Institutoninguna reunión de círculo? - ¡Ah, ya comprendo! - exclamó alguien -. Es un problema con segundas... Me parece que despuésdel primero de enero, no habrá ni un día en que se reúnan todos los círculos a la vez, ni tampocohabrá uno en que no se reúna ninguno de los cinco. ¡Claro! - ¿Por qué? - No puedo explicarlo, pero creo que quieren pescarle a uno. - ¡Señores! - tomó la palabra el quehabía propuesto el juego y al que todos consideraban como presidente de la reunión -. No hay quehacer públicas ahora las soluciones definitivas de los rompecabezas. Que cada uno discurra. Elárbitro, después de cenar, nos dará a conocer las contestaciones acertadas. ¡Venga el siguiente!

3. - ¿Quién cuenta más?Dos personas estuvieron contando, durante una hora, todos los transeúntes que pasaban por laacera. Una estaba parada junto a la puerta, mientras la otra andaba y desandaba la acera. ¿Quiéncontó más transeúntes? - Naturalmente, andando se cuentan más; la cosa está clara - oyóse en el otro extremo de la mesa.



- Después de cenar sabremos la respuesta - declaró el presidente -. ¡El siguiente!

4. - Los billetes de autocar - Soy taquillero en una estación de autocares y despacho billetes - empezó a decir el siguienteparticipante en el juego -. A muchos esto les parecerá sencillo. No sospechan el número tan grandede billetes que debe manejar el taquillero de una estación, incluso de poca importancia. Esindispensable que los pasajeros puedan adquirir billetes de la indicada estación a cualquier otra delmismo autocar. Presto mis servicios en una línea que consta de 25 estaciones. ¿Cuántos billetesdistintos piensan ustedes que ha preparado la empresa para abastecer las cajas de todas lasestaciones? - Ha llegado su turno, señor aviador - proclamó el presidente.

5. - El vuelo del dirigible - Imaginemos que despegó de Leningrado un dirigible rumbo al norte. Una vez recorridos 500 kmen esa dirección cambió de rumbo y puso proa al este. Después de volar en esa dirección 500 km,hizo un viraje de 900 y recorrió en dirección sur 500 km. Luego viró hacia el oeste, y después decubrir una distancia de 500 km, aterrizó. Si tomamos como punto de referencia Leningrado, sepregunta cuál será la situación del lugar de aterrizaje del dirigible: al oeste, al este, al norte o al surde esta ciudad. - Este es un problema para gente ingenua - dijo uno de los presentes -. Siguiendo 500 pasos haciadelante, 500 a la derecha, 500 hacia atrás y 500 hacia la izquierda, ¿adónde vamos a parar?Llegamos naturalmente al mismo lugar de donde habíamos partido. - ¿Dónde le parece, pues, que aterrizó el dirigible? - En el mismo aeródromo de Leningrado, dedonde había despegado. ¿No es así? - Claro que no. - ¡Entonces no comprendo nada! - Aquí hay gato encerrado - intervino en la conversación el vecino -. ¿Acaso el dirigible no aterrizóen Leningrado ... ? ¿Puede repetir el problema?El aviador accedió de buena gana. Le escucharon con atención, mirándose perplejos. - Bueno - declaró el presidente -. Hasta la hora de la cena disponemos de tiempo para pensar eneste problema. Ahora vamos a continuar.

6. - La sombra - Permítanme tomar como tema de mi rompecabezas el mismo dirigible - dijo el participante deturno -. ¿Qué es más largo, el dirigible o la sombra completa que proyecta sobre la Tierra? - ¿Es ése todo el rompecabezas? - Sí. - La sombra, claro está, es más larga que el dirigible; los rayos del Sol se difunden en forma deabanico - propuso inmediatamente alguien como solución. - Yo diría que, por el contrario, los rayos del Sol van paralelos - protestó alguien -. La sombra y eldirigible tienen la misma longitud. - ¡Qué va! ¿Acaso no ha visto usted los rayos divergentes del Sol oculto por una nube? De ellopuede uno convencerse observando cuánto divergen los rayos solares. La sombra del dirigible debeser considerablemente mayor que el dirigible, en la misma forma que la sombra de la nube esmayor que la nube misma. - ¿Por qué se acepta corrientemente que los rayos del Sol son paralelos? Todos lo consideran así...El presidente no permitió que la discusión se prolongara y concedió la palabra al siguiente.



7.- Un problema con cerillasEl jugador de turno vació sobre la mesa su caja de cerillas, distribuyéndolas en tres montones. - ¿Se dispone usted a hacer hogueras? - bromearon los presentes. - El rompecabezas será a base de cerillas - explicó -. Tenemos tres montoncitos diferentes. En elloshay en total 48 cerillas. No le digo cuántas hay en cada uno, pero observen lo siguiente: si deprimer montón paso al segundo tantas cerillas como hay en éste luego del segundo paso al tercerotantas cerillas como hay en es tercero, y, por último, del tercero paso al primero tantas cerillascomo existen ahora en ese primero, resulta que habrá el mismo número de cerillas en cada montón.¿Cuántas cerillas había en cada montón al principio?

8.- El tocón traicionero - Este rompecabezas - empezó a decir el penúltimo contertulio - me recuerda un problema que meplanteó en cierta ocasión un matemático rural. Era un cuento bastante divertido. Un campesino seencontró en el bosque a un anciano desconocido. Pusiéronse a charlar. El viejo miró al campesinocon atención y le dijo: - En este bosque sé yo de un tocón maravilloso. En caso de necesidad ayuda mucho. - ¡Cómo que ayuda! ¿Acaso cura algo? - Curar no cura, pero duplica el dinero. Pones debajo d e él el portamonedas con dinero, cuentashasta cien, y listo: el dinero que había en el portamonedas se ha duplicado. Esta es la propiedad quetiene. ¡Magnífico tocón! - Si pudiera probar... - exclamó soñador el campesino. - Es posible. ¡Cómo no! Pero hay que pagar. - ¿Pagar? ¿A quién? ¿Mucho? - Hay que pagar al que indique el camino. Es decir, a mí en este caso. Si va a ser mucho o poco esotra cuestión.Empezaron a regatear. Al saber que el campesino llevaba poco dinero, el viejo se conformó conrecibir una peseta y veinte céntimos después de cada operación.El viejo condujo al campesino a lo más profundo del bosque, lo llevó de un lado para otro y por finencontró entre unas malezas un viejo tocón de abeto cubierto de musgo. Tomando de manos delcampesino el portamonedas, lo escondió entre las raíces del tocón.Contaron hasta cien. El viejo empezó a escudriñar y hurgar al pie del tronco, y al fin sacó elportamonedas, entregándoselo al campesino.Éste miró el interior del portamonedas y... en efecto, el dinero se había duplicado. Contó y dio alanciano la peseta y los veinte céntimos prometidos y le rogó que metiera por segunda vez elportamonedas bajo el tocón.Contaron de nuevo hasta cien; el viejo se puso otra vez a hurgar en la maleza junto al tocón, yrealizóse el milagro: el dinero del portamonedas se había duplicado. El viejo recibió la peseta y losveinte céntimos convenidos.Escondieron por tercera vez el portamonedas bajo el tocón. El dinero se duplicó esta vez también.Pero cuando el campesino hubo pagado al viejo la remuneración prometida, no quedó en elportamonedas ni un solo céntimo. El pobre había perdido en la combinación todo su dinero. Nohabía ya nada que duplicar y el campesino, abatido, se retiró del bosque.El secreto de la duplicación maravillosa del dinero, naturalmente, está claro para ustedes: no enbalde el viejo, rebuscando el portamonedas, hurgaba en la maleza junto al tocón. Pero, ¿puedenustedes indicar cuánto dinero tenía el campesino antes de los desdichados experimentos con eltraicionero tocón?

9.- Un truco aritmético



- Me toca hablar el último. A fin de que haya mayor variedad, presentaré un truco aritmético, conel ruego de que descubran el secreto que encierra. Que cualquiera de los presentes, usted mismo,presidente, escriba en un papel un número de tres cifras, sin que yo lo vea. - ¿El número puede tener ceros? - No pongo limitación alguna. Cualquier número de tres cifras, el que deseen. - Ya lo he escrito. ¿Qué más? - A continuación de ese mismo número, escríbalo otra vez, y obtendrá una cantidad de seis cifras. - Ya está.- Déle el papel al compañero más alejado de mí, y que este último divida por 7 la cantidadobtenida. - ¡Qué fácil es decir divídalo por siete! A lo mejor no se divide exactamente. - No se apure; se divide sin dejar resto. - No sabe usted qué número es, y asegura que se divide exactamente. - Haga primero la división y luego hablaremos. - Ha tenido usted la suerte de que se dividiera.- Entregue el cociente a su vecino, sin que yo me entere de cuál es, y que él lo divida por 11. - ¿Piensa usted que va a tener otra vez suerte, y que va a dividirse? - Haga la división. No quedará resto. - ¡En efecto! ¿Y ahora, qué más? - Pase el resultado a otro. Vamos a dividirlo por... 13. - No ha elegido bien. Son pocos los números que se dividen exactamente por trece... ¡Oh, ladivisión es exacta! ¡Qué suerte tiene usted! - Déme el papel con el resultado, pero dóblelo de modo que no pueda ver el número.Sin desdoblar la hoja de papel, el prestidigitador la entregó al presidente. - Ahí tiene el número que usted había pensado. ¿Es ése? - ¡El mismo! - contestó admirado, mirando el papel - . Precisamente es el que yo había pensado...Como se ha agotado la lista de jugadores, permítanme terminar nuestra reunión, sobre todoteniendo en cuenta que la lluvia ha cesado. Las soluciones de todos los rompecabezas se haránpúblicas hoy mismo, después de cenar. Las soluciones por escrito pueden entregármelas a mí.Antes de poner fin al capítulo de los rompecabezas en el albergue, explicaré tres trucos aritméticosmás para que puedan ustedes entretener a sus amigos en los ratos libres. Dos de estos trucosconsisten en averiguar números; el tercero en averiguar cuáles son los propietarios de objetosdeterminados.Son trucos viejos, y hasta es posible que los conozcan, pero no todos seguramente saben en qué sebasan. Para que el truco pueda presentarse en forma segura y racional, se requieren ciertosconocimientos teóricos. Los dos primeros exigen una pequeña y nada fatigosa incursión por elálgebra elemental.

10.- La cifra tachadaUna persona piensa un número de varias cifras, por ejemplo el 847. Propóngale que halle la sumade los valores absolutos de las cifras de, este número (8 + 4 + 7 = 19) y que la reste del númeropensado. Le resultará:

847 - 19 = 828



Que tache una cifra cualquiera del resultado obtenido, la que desee, y que le comunique a usted lasrestantes. Le dirá usted inmediatamente la cifra tachada, aunque no sepa el número pensado y nohaya visto lo que ha hecho con él.

11.- Adivinar un número sin preguntar nadaPropone usted a alguien que piense un número cualquiera de tres cifras que no termine en cero, y leruega que ponga las cifras en orden contrario. Hecho esto, debe restar del número mayor el menor yla diferencia obtenida sumarla con ella misma, pero con las cifras escritas en orden contrario. Sinpreguntar nada, adivina usted el número resultante.

12.- ¿Quién ha cogido cada objeto?Para presentar este ingenioso truco, @hay que preparar tres cosas u objetos pequeños que quepanfácilmente en el bolsillo, por ejemplo, un lápiz, una llave y un cortaplumas. Además, se coloca enla mesa un plato con 24 avellanas; a falta de ellas pueden utilizar fichas del juego de damas, dedominó, cerillas, etcétera.A tres de los presentes les propone que mientras esté usted fuera de la habitación, escondan en susbolsillos, a su elección, uno cualquiera de los tres objetos: el lápiz, la llave o el cortaplumas, y secompromete usted a adivinar el objeto que ha escondido cada uno.El procedimiento para adivinarlo consiste en lo siguiente: Al regresar a la habitación una vez quelas tres personas hayan escondido los objetos en los bolsillos, les entrega usted unas avellanas paraque las guarden. Al primero le da una avellana, dos al segundo y tres al tercero. Las restantes lasdeja en el plato. Luego sale usted otra vez dejándoles las siguientes instrucciones: cada uno debecoger del plato más avellanas; el que tenga el lápiz tomará tantas como le fueron entregadas; el quetenga la llave, el doble de las que recibió; el del cortaplumas, cuatro veces más que las que usted lehaya dado.Las demás avellanas quedan en el plato.Una vez hecho todo esto y dada la señal de que puede regresar, al entrar en el cuarto echa usted unamirada al plato, e inmediatamente anuncia cuál es el objeto que cada uno guarda en el bolsillo.



Capítulo 2

Las matemáticas en el dominóy el croquet

13.- Línea de 28 fichas¿Por qué las 28 fichas del dominó pueden colocarse, siguiendo las reglas del juego, formando unalínea?

14.- El comienzo y el final de la líneaEstando las 28 fichas casadas, en uno de los extremos hay 5 tantos. ¿Cuántos habrá en el otroextremo?

15.- Un truco con el dominóUna persona toma una de las fichas y les propone que casen las 27 restantes, afirmando que essiempre posible hacerlo, cualquiera que sea la ficha tomada. Pasa a la habitación contigua, para nover cómo lo hacen.Empiezan ustedes a colocarlas y llegan a la conclusión de que dicha persona tenía razón: las 27fichas quedan casadas. Pero lo más asombroso es que, desde la otra habitación y sin ver el dominó,también puede anunciar cuántos tantos hay en cada extremo de la fila de fichas.¿Cómo puede saberlo? ¿Por qué está seguro de que 27 fichas cualesquiera pueden colocarse en unasola línea casándolas correctamente?

16.- El marcoLa figura reproduce un marco cuadrado, formado por las fichas del dominó de acuerdo con lasreglas del juego. Los lados del marco tienen la misma longitud, pero no igual número de tantos; loslados superior e izquierdo contienen 44 tantos cada uno; de los otros dos lados, uno tiene 59 y elotro 32.

Fig. 2.1



¿Puede construirse un marco cuadrado cuyos lados contengan el mismo número de tantos, es decir,44 cada uno?

17.- Los siete cuadrados

Cuatro fichas de dominó, elegidas convenientemente, pueden colocarse formando un cuadrado conidéntico número de tantos en cada lado. En la figura pueden ustedes ver un modelo donde la sumade los tantos de cada lado del cuadrado equivale siempre a 11.

Fig 2.2

¿Podrían ustedes formar con todas las fichas del dominó siete cuadrados de este tipo? No esnecesario que la suma de tantos de cada lado de todos los cuadrados sea la misma. Lo que se exigees que los cuatro lados de cada cuadrado tengan idéntico número de tantos.

18.- Los cuadrados mágicos del dominó

La figura muestra un cuadrado formado por 18 fichas de dominó, y que ofrece el interés de que lasuma de los tantos de cualquiera de sus filas - longitudinales, transversales y diagonales - es entodos los casos igual a 13. Desde antiguo, estos cuadrados se llaman mágicos.

Fig. 2.3

Trate de construir algunos cuadrados mágicos compuestos de 18 fichas, pero en los que la suma detantos sea otra diferente. Trece es la suma menor en las filas de un cuadrado mágico formado de 18fichas. La suma mayor es 23.

19.- Progresión con las fichas del dominóEn la figura se ven seis fichas de dominó casadas según las reglas del juego, con la particularidadde que la suma total de tantos de cada ficha (en ambas mitades de cada una) aumenta



Fig. 2.4

sucesivamente en una unidad: empezando con la suma 4, la serie consta de los siguientes númerosde puntos:

4, 5, 6, 7, 8, 9.

La serie de números en que cada término consecutivo aumenta (o disminuye) en la misma cantidadrespecto del anterior se llama progresión aritmética. En la serie que acabamos de exponer, cadatérmino es mayor que el precedente en una unidad, pero la diferencia entre los términos de unaprogresión puede tener otro valor.Se trata de formar progresiones a base de 6 fichas.

20.- ¿Pasar bajo los aros o golpear la bola del contrario?Los aros del croquet tienen forma rectangular. Su anchura es dos veces mayor que el diámetro delas bolas. En estas condiciones, ¿qué es más fácil? ¿Pasar el aro sin rozar el alambre, desde laposición mejor, o a la misma distancia golpear la bola del contrario?

21.- La bola y el posteEl poste de croquet, en su parte inferior, tiene un grosor de 6 centímetros. El diámetro de la bola esde 10 cm. ¿Cuántas veces es más fácil dar en la bola que, desde la misma distancia, pegar en elposte?

22.- ¿Pasar el aro o chocar con el poste?La bola es dos veces más estrecha que los aros rectangulares y dos veces más ancha que el poste.¿Qué es más fácil, pasar los aros sin tocarlos desde la posición mejor, o desde la misma distancia,pegar en el poste?

23.- ¿Pasar la ratonera o dar en la bola del contrario?La anchura de los aros rectangulares es tres veces mayor que el diámetro de la bola. ¿Qué es másfácil, pasar, desde la mejor posición, la ratonera sin tocarla, o desde la misma distancia, tocar labola del contrario?

24.- La ratonera impracticable¿Qué relación debe existir entre la anchura de los aros rectangulares y el diámetro de la bola, paraque sea imposible atravesar la ratonera?



Capítulo 3Once rompecabezas más

25.- El bramante-¿Más cordel? - preguntó la madre, sacando las manos de la tina en que lavaba. Ayer mismo te diun buen ovillo. ¿Para qué necesitas tanto? ¿Dónde lo has metido?-¿Dónde lo he metido? - contestó el muchacho -. Primero me cogiste la mitad...-¿Con qué quieres que ate los paquetes de ropa blanca?-La mitad de lo que quedó se la llevó Tom para pescar.-Debes ser condescendiente con tu hermano mayor.-Lo fui. Quedó muy poquito y de ello cogió papá la mitad para arreglarse los tirantes que se tehabían roto de tanto reírse con el accidente de automóvil. Luego, María necesitó dos quintos delresto, para atar no sé qué...-¿Qué has hecho con el resto del cordel?-¿Con el resto? ¡No quedaron más que 30 cm!-¿Qué longitud tenía el cordel al principio?

26.- Calcetines y guantesEn una misma caja hay diez pares de calcetines color café y diez pares negros, y en otra caja haydiez pares de guantes café y otros tantos pares negros. ¿Cuántos calcetines y guantes es necesariosacar de cada caja, para conseguir un par de calcetines y un par de guantes de un mismo color(cualquiera)?

27.- La longevidad del cabello¿Cuántos cabellos hay por término medio en la cabeza de una persona? Se han contado unos150.000. Se ha determinado también que mensualmente a una persona se te caen cerca de 3.000pelos.¿Cómo calcular cuánto tiempo dura en la cabeza cada pelo?

28.- El salarioLa última semana he ganado 250 duros, incluyendo el pago por horas extraordinarias. El sueldoasciende a 200 duros más que lo recibido por horas extraordinarias. ¿Cuál es mi salario sin lashoras extraordinarias?

29.- Carrera de esquíesUn esquiador calculó que si hacía 10 km por hora, llegaría al sitio designado una hora después delmediodía; si la velocidad era de 15 km por hora, llegaría una hora antes del mediodía.¿A qué velocidad debe correr para llegar al sitio exactamente al mediodía?

30.- Dos obrerosDos obreros, uno viejo y otro joven, viven en un mismo apartamento y trabajan en la mismafábrica. El joven va desde casa a la fábrica en 20 minutos; el viejo, en 30 minutos. ¿,En cuántosminutos alcanzará el joven al viejo, andando ambos a su paso normal, si éste sale de casa 5 minutosantes que el joven?



31.- Copia de un informeEncargóse a dos mecanógrafas que copiaran un informe. La que escribía más rápidamente hubierapodido cumplir el encargo en 2 horas; la otra, en 3 horas.¿En cuánto tiempo copiarán ambas ese informe, si se distribuyen el trabajo para hacerlo en el plazomás breve posible?Problemas de este tipo se resuelven generalmente por el método de los conocidos problemas dedepósitos. 0 sea: en nuestro problema, se averigua qué parte del trabajo realiza en una hora cadamecanógrafa; se suman ambos quebrados y se divide la unidad por esta suma. ¿No podría usteddiscurrir un método diferente, nuevo, para resolver problemas semejantes?

32.- Dos ruedas dentadasUn piñón de 8 dientes está engranado con una rueda dentada de 24 dientes (véase la figura). Al darvueltas la rueda grande, el piñón se mueve por la periferia.

Fig. 3.1

¿Cuántas veces girará el piñón alrededor de su eje, mientras da una vuelta completa alrededor de larueda dentada grande?

33.- ¿Cuántos años tiene?A un aficionado a los rompecabezas le preguntaron cuántos años tenía. La contestación fuecompleja:-Tomad tres veces los años que tendré dentro de tres años, restadles tres veces los años que teníahace tres años y resultará exactamente los años que tengo ahora. ¿Cuántos años tiene?

34.- ¿Cuántos años tiene Roberto?-Vamos a calcularlo. Hace 18 años, recuerdo que Roberto era exactamente tres veces más viejoque su hijo.-Espere; precisamente ahora, según mis noticias, es dos veces más viejo que su hijo.-Y por ello no es difícil establecer cuántos años tienen Roberto y su hijo.¿Cuántos?

35.- De comprasAl salir de compras de una tienda de París, llevaba en el portamonedas unos 15 francos en piezas deun franco y piezas de 20 céntimos. Al regresar, traía tantos francos como monedas de 20 céntimostenía al comienzo, y tantas monedas de 20, céntimos como piezas de franco tenía antes. En elportamonedas me quedaba un tercio del dinero que llevaba al salir de compras.¿Cuánto costaron las compras?



Capítulo 4¿Sabe Usted Contar?

36.- ¿Sabe usted contar?La pregunta es un tanto ofensiva para una persona mayor de tres años. ¿Quién no sabe contar? Nose necesita un arte especial para decir por orden «uno, dos, tres ... ». A pesar de todo, estoy segurode que no siempre resuelve usted este problema, tan sencillo al parecer. Todo depende de lo quehaya que contar... No es difícil contar los clavos que hay en un cajón. Pero supongamos que elcajón no contiene sólo clavos, sino clavos y tuercas revueltos, y que se precisa averiguar cuántoshay de unos y de otras. ¿Qué hacer en ese caso? ¿Va usted a colocar los clavos y las tuercas en dosmontones y luego contarlos?El mismo problema surge cuando un ama de casa ha de contar la ropa antes de darla a lavar.Primero hace montones, separando las camisas en uno, las toallas en otro, las fundas de almohadaen otro, etc. Sólo después de esta labor, bastante fastidiosa, empieza a contar las piezas de cadamontón.¡Eso se llama no saber contar! Porque ese modo de contar objetos heterogéneos es bastanteincómodo, complicado y algunas veces incluso irrealizable. Menos mal si lo que hay que contar sonclavos o ropa blanca, porque pueden distribuirse con facilidad en montones.Pero, pongámonos en el caso de un silvicultor que necesita contar los pinos, abetos, abedules,pobos que hay por hectárea en una parcela determinada. Le es imposible clasificar los árboles yagruparlos previamente por especies. ¿En qué forma podrá hacerlo? ¿Contará primero sólo lospinos, luego sólo abetos, después los abedules, y a continuación los pobos? ¿Va a recorrer laparcela cuatro veces?¿No existe acaso un procedimiento que simplifique esa operación, y exija que se recorra la parcelauna sola vez? Sí; existe ese procedimiento, y los silvicultores lo utilizan desde antiguo. Voy aexponer en qué consiste, tomando como ejemplo la operación de contar clavos y tuercas.Para contar de una vez cuántos clavos y tuercas hay en el cajón, sin agrupar previamente los objetosde cada clase, tome un lápiz y una hoja de papel, rayada como el modelo:

Fig. 4.1

Después empiece a contar. Tome del cajón lo primero que le venga a la mano. Si es un clavo, traceuna raya en la casilla correspondiente a los clavos; si es una tuerca, indíquelo con una raya en lacasilla de las tuercas. Tome el segundo objeto y haga lo mismo. Tome el tercero, etc., hasta quevacíe el cajón. Al terminar de contar, habrá trazado en la primera casilla tantas rayas como clavoshabía en el cajón, y en la segunda, tantas como tuercas había. Sólo falta hacer el recuento de lasrayas inscritas en cada columna.



El recuento de las rayas puede realizarse más fácil y rápidamente no poniéndolas simplemente unatras otra, sino agrupándolas de cinco en cinco, formando, por ejemplo, series como las indicadas enla figura.

Fig. 4.2

Esos cuadrados es mejor agruparlos en parejas, es decir, después de las 10 primeras rayas, se ponela undécima en una columna nueva; cuando en la segunda columna haya dos cuadrados, se empiezaotro cuadrado en la columna tercera, etc. Las rayas tomarán entonces una forma parecida a laindicada en la figura.

Fig. 4.3

Las rayas, así colocadas, es muy fácil contarlas, ya que se ve inmediatamente que hay tres decenascompletas, un grupo de cinco y tres rayas más, es decir,

30 + 5 + 3 = 38

Pueden utilizarse también otras clases de figuras; por ejemplo, se emplean a menudo figuras en lasque cada cuadrado completo vale 10 (véase la figura).

Fig. 4.4

En una parcela del bosque, para contar árboles de diferentes especies, debe procederse exactamenteen la misma forma; pero en la hoja de papel se precisan cuatro casillas y no dos, como acabamos dever. En este caso es mejor que las casillas tengan forma apaisada y no vertical. Antes de empezar acontar, la hoja presenta, por consiguiente, la forma indicada en la figura.



Fig. 4.5

Al terminar de contar, habrá en la hoja aproximadamente lo que muestra la figura.

Fig. 4.6

De este modo resulta facilísimo hacer el balance definitivo:

Pinos 53Abetos 79Abedules 46Pobos 37

Este mismo procedimiento utiliza el médico para contar en el microscopio el número de glóbulosrojos y leucocitos que tiene una muestra de sangre.Al hacer la lista de la ropa blanca para lavar, el ama de casa puede proceder de igual modo,ahorrando así tiempo y trabajo.Si tiene que contar, por ejemplo, qué plantas hay en un prado, y cuántas de cada clase, ya sabecómo podrá hacerlo con la mayor rapidez. En una hoja de papel, escriba previamente los nombresde las plantas indicadas, destinando una casilla a cada una, y dejando algunas casillas libres dereserva para otras plantas que puedan presentarse. Empiece a contar utilizando un gráfico parecidoal que se ve en la figura.Después, siga contando como hemos hecho en el caso de la parcela forestal.

37.- ¿Para qué deben contarse los árboles del bosque?En efecto, ¿qué necesidad hay de contar los árboles del bosque? Esto, a los habitantes de lasciudades les parece incluso empresa imposible. En Ana Karenina, novela de León Tolstoi, Levin,entendido en agricultura, pregunta a un pariente suyo, desconocedor de estas cuestiones, que quierevender un bosque:



-¿Has contado los árboles?-¿Qué quiere decir eso de contar los árboles? -le responde aquél, asombrado-. Aunque una mentelúcida podría contar las arenas y los rayos de los planetas...-Claro, claro, y la mente lúcida de Riabinin [comerciante] puede hacerlo. No hay comerciante quelos compre sin contarlos.

Se cuentan los árboles en el bosque para determinar cuántos metros cúbicos de madera hay en él.Para ello no se cuentan los árboles del bosque entero, sino de una parcela determinada: de mediahectárea o de un cuarto de hectárea. Se elige una parcela cuyos árboles, por la cantidad, altura,grosor y especie, constituyan el término medio de los de dicho bosque. Al contar, no bastadeterminar el número de árboles de cada clase, hay que saber además cuántos troncos hay de cadagrosor: cuántos de 25 cm, cuántos de 30 cm, cuántos de 35 cm, etc. Por ello, el registro donde va ainscribirse tendrá muchas casillas y no sólo cuatro, como el del ejemplo simplificado anterior. Secomprende ahora el número de veces que hubiera sido necesario recorrer el bosque para contar losárboles mediante un procedimiento corriente, en vez del que acabamos de explicar.Como se ve, contar es una cosa sencilla y fácil cuando se trata de objetos homogéneos. Para contarobjetos heterogéneos es preciso utilizar procedimientos especiales, como los expuestos, de cuyaexistencia mucha gente no tiene la menor idea.



Capítulo 5Rompecabezas numéricos

38.- Por cinco francos, cienUn artista de variedades, en un circo parisiense, hacía al público esta seductora proposición:-Declaro ante testigos que pagaré 100 francos al que me dé cinco francos en veinte monedas;deberá haber, entre estas 20, tres clases de monedas: de 50 céntimos, de 20 céntimos y de 5céntimos. ¡Cien francos por cinco! ¿Quién los desea?Reinó el silencio. El público quedó sumido en reflexiones. Los lápices corrían por las hojas de laslibretas de notas; pero nadie aceptaba la propuesta.-Estoy viendo que el público considera que 5 francos es un precio demasiado elevado para unbillete de 100 francos. Bien; estoy dispuesto a rebajar dos francos y a establecer un precio menor:3 francos, en monedas, del valor indicado. ¡Pago 100 francos, ,por 3! ¡Que se pongan en cola losque lo deseen!Pero no se formó cola. Estaba claro que el público vacilaba en aprovecharse de aquel casoextraordinario.-¿Es que 3 francos les parece también mucho? Bien, rebajo un franco más. Abonen, en lasindicadas monedas, sólo 2 francos, y entregaré cien francos al que lo haga.Como nadie se mostrara dispuesto a realizar el cambio, el artista continuó:-¡Quizá no tengan ustedes dinero suelto! No se preocupen, pueden entregármelo más tarde.¡Denme sólo escrito en un papel cuántas monedas de cada clase se comprometen a traer!Por mi parte, estoy dispuesto a pagar también cien francos a todo lector que me envíe por escrito lalista correspondiente.

39.- Un millar¿Puede usted expresar el número 1.000 utilizando ocho cifras iguales? (Además de las cifras sepermite utilizar también los signos de las operaciones.)

40.- VeinticuatroEs fácil expresar el número 24 por medio de tres ochos: 8 + 8 + 8. ¿Podrá hacerse esto mismoutilizando no el ocho, sino otras tres cifras iguales? El problema tiene más de una solución.

41.- TreintaEl número 30 es fácil expresarle con tres cincos: 5 x 5 + 5. Es más difícil hacer esto mismo conotras tres cifras iguales. Pruébelo. ¿No lograrían encontrar varias soluciones?

42.- Las cifras que faltanEn la siguiente multiplicación, más de la mitad de las cifras están sustituidas por asterisco.¿Podría reponer las cifras que faltan?



Fig. 5.1

43.- ¿Qué números son?He aquí otro problema del mismo tipo. Se pide la reposición de los números en la multiplicaciónsiguiente:

Fig. 5.2

44.- ¿Qué número hemos dividido?Repongan las cifras que faltan en la división:

Fig. 5.3

45.- División por 11Escriba un número de 9 cifras, sin que se repita ninguna de ellas (es decir, que todas las cifras seandiferentes), y que sea divisible por 11.Escriba el mayor de todos los números que satisfaga estas condiciones.Escriba el menor de todos ellos.

46.- Casos singulares de multiplicaciónFíjese en está multiplicación de dos números:



48 x 159 = 7.632

En ella participan las 9 cifras significativas.¿Podría usted encontrar algunos otros ejemplos semejantes? En caso afirmativo, ¿cuántos hay?

47.- Triángulo numéricoEn los circulitos de este triángulo (véase la figura) coloque las nueve cifras significativas en formatal que la suma de cada lado sea 20.

Fig. 5.4

48.- Otro triángulo numéricoHay que distribuir las cifras significativas en los círculos de¡ mismo triángulo (véase la figura) demodo que la suma en cada lado sea 17.

49.- Estrella mágicaLa estrella numérica de seis puntas dibujada en la figura tiene una propiedad mágica: las seis filasde números dan una misma suma:

4+6+ 7+9=26 11+ 6+ 8+1=264+8+12+2=26 11+ 7+ 5+3=269+5+10+2=26 1 + 12 + 10 + 3 = 26

La suma de los números colocados en las puntas de la estrella,es diferente:

4 + 11 + 9 + 3 + 2 + 1 = 30



Fig. 5.5

¿No podría usted perfeccionar esta estrella, colocando los números en los círculos de modo que nosólo las filas tuvieran la misma cantidad (26), sino que esa misma cantidad (26) fuera la suma delos números de las puntas?



Capítulo 6Relatos de números gigantes

50.- Un trato ventajosoNo se sabe cuándo ni dónde ha sucedido esta historia. Es posible que ni siquiera haya sucedido;esto es seguramente lo más probable. Pero sea un hecho o una invención, la historia que vamos arelatar es bastante interesante y vale la pena escucharía. Un millonario regresaba muy contento deun viaje, durante el cual había tenido un encuentro feliz que le prometía grandes ganancias...A veces ocurren estas felices casualidades -contaba a los suyos-. No en balde se dice que el dinerollama al dinero. He aquí que mi dinero atrae más dinero. ¡Y de qué modo tan inesperado! Tropecéen el camino con un desconocido, de aspecto muy corriente. No hubiera entablado conversación siél mismo no me hubiera abordado en cuanto supo que yo era hombre adinerado. Y al final denuestra conversación me propuso un negocio tan ventajoso, que me dejó atónito.

Fig. 6.1. Un solo céntimo

-Hagamos el siguiente trato -me dijo-. Cada día, durante todo un mes, le entregaré cien mil pesetas.Claro que no voy a hacerlo gratis, pero el pago es una nimiedad.El primer día yo debía pagarle, risa da decirlo, sólo un céntimo.No di crédito a lo que oía:-¿Un céntimo? -le pregunté de nuevo.-Un céntimo -contestó-. Por las segundas cien mil pesetas, pagará usted dos céntimos.-Bien -dije impaciente-. ¿Y después?-Después, por las terceras cien mil pesetas, 4 céntimos; por las cuartas, 8; por las quintas, 16. Asídurante todo el mes; cada día pagará usted el doble que el anterior.-¿Y qué más? -le pregunté.-Eso es todo -dijo-, no le pediré nada más. Pero debe usted mantener el trato en todos sus puntos;todas las mañanas le llevaré cien mil pesetas y usted me pagará lo estipulado. No intente romper eltrato antes de finalizar el mes.-¡Entregar cientos de miles de pesetas por céntimos! ¡A no ser que el dinero sea falso -pensé- estehombre está loco! De todos modos, es un negocio lucrativo y no hay que dejarlo escapar.-Está bien -le contesté-. Traiga el dinero. Por mi parte, pagaré, puntualmente. Y usted no me vengacon engaños. Traiga dinero bueno.



-Puede estar tranquilo -me dijo-; espéreme mañana por la mañana.Sólo una cosa me preocupaba: que no viniera, que pudiera darse cuenta de lo ruinoso que era elnegocio que había emprendido. Bueno, ¡esperar un día, al fin y al cabo, no era mucho!Transcurrió aquel día. Por la mañana temprano del día siguiente, el desconocido que el rico habíaencontrado en el viaje llamó a la ventana.-¿Ha preparado usted el dinero? -dijo-. Yo he traído el mío.Efectivamente, una vez en la habitación, el extraño personaje empezó a sacar el dinero; dinerobueno, nada tenía de falso. Contó cien mil pesetas justas y dijo: -Aquí está lo mío, como habíamosconvenido. Ahora le toca a usted pagar...El rico puso sobre la mesa un céntimo de cobre y esperó receloso a ver si el huésped tomaría lamoneda o se arrepentiría, exigiendo que le devolviera el dinero. El visitante miró el céntimo, losopesó y se lo metió en el bolsillo.-Espéreme mañana a la misma hora. No se olvide de proveerse de dos céntimos -dijo, y se fue.El rico no daba crédito a su suerte: ¡Cien mil pesetas que le habían caído del cielo! Contó de nuevoel dinero y convencióse de que no era falso. Lo escondió y púsose a esperar la paga del díasiguiente.Por la noche le entraron dudas; ¿no se trataría de un ladrón que se fingía tonto para observar dóndeescondía el dinero y luego asaltar la casa acompañado de una cuadrilla de bandidos?

Fig. 6.2. El desconocido llama

El rico cerró bien las puertas, estuvo mirando y escuchando atentamente por la ventana desde queanocheció, y tardó mucho en quedarse dormido. Por la mañana sonaron de nuevo golpes en lapuerta; era el desconocido que traía el dinero. Contó cien mil pesetas, recibió sus dos céntimos, semetió la moneda en el bolsillo y marchóse diciendo:-Para mañana prepare cuatro céntimos; no se olvideEl rico se puso de nuevo contento; las segundas cien mil pesetas, le habían salido también gratis. Yel huésped no parecía ser un ladrón: no miraba furtivamente, no observaba, no hacía más que pedirsus céntimos. ¡Un extravagante! ¡Ojalá hubiera muchos así en el mundo para que las personasinteligentes vivieran bien ...!El desconocido presentóse también el tercer día y las terceras cien mil pesetas pasaron a poder delrico a cambio de cuatro céntimos.Un día más, y de la misma manera llegaron las cuartas cien mil pesetas por ocho céntimos.Aparecieron las quintas cien mil pesetas por 16 céntimos.Luego las sextas, por 32 céntimos.



A los siete días de haber empezado el negocio, nuestro rico había cobrado ya setecientas milpesetas y pagado la nimiedadde: 1 céntimo + 2 céntimos + 4 céntimos + 8 céntimos + 16 céntimos + 32 céntimos + 64 céntimos= 1 peseta y 27 céntimos.Agradó esto al codicioso millonario, que sintió haber hecho el trato sólo para un mes. No podríarecibir más de tres millones. ¡Si pudiera convencer al extravagante aquel de que prolongara el plazoaunque sólo fuera por quince días más! Pero temía que el otro se diera cuenta de que regalaba eldinero.El desconocido se presentaba puntualmente todas las mañanas con sus cien mil pesetas. El 8° díarecibió 1 peseta 28 céntimos; el 9°, 2 pesetas 56 céntimos; el 10°, 5 pesetas 12 céntimos; el 11°, 10pesetas 24 céntimos; el 12°0, 20 pesetas 48 céntimos; el 13°0, 40 pesetas 96 céntimos; el 14°, 81pesetas 92 céntimos.El rico pagaba a gusto estas cantidades; había cobrado ya un millón cuatrocientas mil pesetas ypagado al desconocido sólo unas 150 pesetas.

51.- Propagación de los rumores en una ciudad¡Es sorprendente cómo se difunde un rumor entre el vecindario de una ciudad! A veces, no hantranscurrido aún dos horas desde que ha ocurrido un suceso, visto por algunas personas, cuando lanovedad ha recorrido ya toda la ciudad; todos lo conocen, todos lo han oído. Esta rapidez parecesorprendente, sencillamente maravillosa.Sin embargo, si hacemos cálculos, se verá claro que no hay en ello milagro alguno; todo se explicadebido a ciertas propiedades de los números y no se debe a peculiaridades misteriosas de losrumores mismos.Examinemos, como ejemplo, el siguiente caso:A las ocho de la mañana, llegó a la ciudad de 50.000 habitantes un vecino de la capital de la nación,trayendo una nueva de interés general. En la casa donde se hospedó, el viajero comunicó la noticiaa sólo tres vecinos de la ciudad; convengamos que esto transcurrió en un cuarto de hora, porejemplo.Así, pues, a las ocho y cuarto de la mañana conocían la noticia, en la ciudad, sólo cuatro personas;el recién llegado y tres vecinos.Conocida la noticia, cada uno de estos tres vecinos se apresuró a comunicarla a tres más, en lo queemplearon también un cuarto de hora. Es decir, que a la media hora de haber llegado la noticia, laconocían en la ciudad 4 + (3 x 3) = 13 personas.

Fig. 6.3. El vecino de la capital traeuna noticia de interés general



Cada uno de los nuevos conocedores la comunicaron en el siguiente cuarto de hora a otros 3ciudadanos; así que a las 8.45 de la mañana, conocían la noticia 13 + (3 x 9) = 40 ciudadanos.

52.- Avalancha de bicicletas baratasEn diversos países y épocas ha habido comerciantes que han recurrido a un método bastanteoriginal para despachar sus mercancías de mediana calidad. Empezaban por publicar en periódicosy revistas de gran difusión el anuncio que reproducimos.

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53.- La recompensaSegún una leyenda, tomada de un manuscrito latino antiguo, que pertenece a una bibliotecaparticular inglesa, sucedió en la Roma antigua, hace muchos siglos, lo siguiente.El jefe militar Terencio llevó a cabo felizmente, por orden del emperador, una campaña victoriosa,y regresó a Roma con gran botín. Llegado a la capital, pidió que le dejaran ver al emperador.Éste le acogió cariñosamente, alabó sus servicios militares al Imperio, y como muestra deagradecimiento, ofrecióle como recompensa darle un alto cargo en el Senado.Mas Terencio, al que eso no agradaba, le replicó:-He alcanzado muchas victorias para acrecentar tu poderío y nimbar de gloria tu nombre, ¡oh,soberano! No he tenido miedo a la muerte, y muchas vidas que tuviera las sacrificaría con gusto porti. Pero estoy cansado de luchar; mi juventud ya ha pasado y la sangre corre más despacio por mis



venas. Ha llegado la hora de descansar; quiero trasladarme a la casa de mis antepasados y gozar dela felicidad de la vida doméstica.-¿Qué quisieras de mí, Terencio? -le preguntó el emperador. -¡óyeme con indulgencia, oh,soberano! Durante mis largos años de campaña, cubriendo cada día de sangre mi espada, no pudeocuparme de crearme una posición económica. Soy pobre, soberano...-Continúa, valiente Terencio.-Si quieres otorgar una recompensa a tu humilde servidor -continuó el guerrero, animándose-, quetu generosidad me ayude a que mi vida termine en la paz y la abundancia, junto al hogar. No buscohonores ni una situación elevada en el poderoso Senado. Desearía vivir alejado del poder y de lasactividades sociales para descansar tranquilo. Señor, dame dinero con que asegurar el resto de mivida.El emperador -dice la leyenda- no se distinguía por su largueza. Le gustaba ahorrar para sí ycicateaba el dinero a los demás. El ruego del guerrero le hizo meditar.-¿Qué cantidad, Terencio, considerarías suficiente? -le preguntó.-Un millón de denarios, Majestad.El emperador quedó de nuevo pensativo. El guerrero esperaba, cabizbajo. Por fin el emperadordijo:-¡Valiente Terencio! Eres un gran guerrero y tus hazañas te han hecho digno de una recompensaespléndida. Te daré riquezas.Mañana a mediodía te comunicaré aquí mismo lo que haya decidido.Terencio se inclinó y retiróse.Al día siguiente, a la hora convenida, el guerrero se presentó en el palacio del emperador.-¡Ave, valiente Terencio! -le dijo el emperador.Terencio bajó sumiso la cabeza.-He venido, Majestad, para oír tu decisión. Benévolamente me cometiste una recompensa.El emperador contestó:-No quiero que un noble guerrero como tú reciba, en premio a sus hazañas, una recompensamezquina. Escúchame. En mi tesorería hay cinco millones de bras de cobre (moneda que valía laquinta parte de un denario). Escucha mis palabras: ve a la tesorería, coge una moneda, regresa aquíy deposítala a mis pies. Al día siguiente vas de nuevo a la tesorería, coges una nueva monedaequivalente a dos bras y la pones aquí junto a la primera. El tercer día traerás una monedaequivalente a 4 bras; el cuarto día, una equivalente a 8 bras; el quinto, a 16, y así sucesivamente,duplicando cada vez el valor de la moneda del día anterior. Yo daré orden de que cada día preparenla moneda del valor correspondiente. Y mientras tengas fuerzas suficientes para levantar lasmonedas, las traerás desde la tesorería. Nadie podrá ayudarte; únicamente debes utilizar tus fuerzas.Y cuando notes que ya no puedes levantar la moneda, detente: nuestro convenio se habrá cumplido



Fig. 6.4. Tomarás una monedade cobre

y todas las monedas que hayas logrado traer, serán de tu propiedad y constituirán tu recompensa.Terencio escuchaba ávidamente cada palabra del emperador. Imaginaba el enorme número demonedas, a cada una mayor que la anterior, que sacaría de la tesorería imperial.-Me satisface tu merced, Majestad -contestó con sonrisa feliz-, ¡la recompensa es verdaderamentegenerosa!

54.- Leyenda sobre el tablero de ajedrezEl ajedrez es un juego antiquísimo. Cuenta muchos siglos de existencia y por eso no es de extrañarque estén ligadas a él leyendas cuya veracidad es difícil comprobar debido a su antigüedad.Precisamente quiero contar una de éstas. Para comprenderla no hace falta saber jugar al ajedrez;basta simplemente saber que el tablero donde se juega está dividido en 64 escaques (casillas negrasy blancas, dispuestas alternativamente).El juego del ajedrez fue inventado en la India. Cuando el rey hindú Sheram lo conoció, quedómaravillado de lo ingenioso que, era y de la variedad de posiciones que en él son posibles. Alenterarse de que el inventor era uno de sus súbditos, el rey lo mandó llamar con objeto derecompensarle personalmente por su acertado invento.El inventor, llamado Seta, presentóse ante el soberano. Era un sabio vestido con modestia, quevivía gracias a los medios que le proporcionaban sus discípulos .-Seta, quiero recompensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado -dijo el rey.El sabio contestó con una inclinación.-Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado -continuó diciendo el rey-. Di larecompensa que te satisfaga y la recibirás.Seta continuó callado.-No seas tímido -le animó el rey-. Expresa tu deseo. No escatimaré nada para satisfacerlo.-Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto plazo para meditar la respuesta.Mañana, tras maduras reflexiones, te comunicaré mi petición.Cuando al día siguiente Seta se presentó de nuevo ante el trono, dejó maravillado al rey con supetición, sin precedente por su modestia.-Soberano -dijo Seta-, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablerode ajedrez.-¿Un simple grano de trigo? -contestó admirado el rey.



-Sí, soberano. Por la segunda casilla, ordena que me den dos granos; por la tercera, 4; por la cuarta,8; por la quinta, 16; por la sexta, 32...-Basta -interrumpióle irritado el rey-. Recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablerode acuerdo con tu deseo: por cada casilla doble cantidad que por la precedente. Pero has de saberque tu petición es indigna de mi generosidad. Al pedirme tan mísera recompensa, menosprecias,irreverente, mi benevolencia. En verdad que, como sabio que eres, deberías haber dado mayorprueba de respeto ante la bondad de tu soberano. Retírate. Mis servidores te sacarán un saco con eltrigo que solicitas.Seta sonrió, abandonó la sala y quedó esperando a la puerta del palacio.Durante la comida, el rey acordóse del inventor del ajedrez y envió a que se enteraran de si habíanya entregado al irreflexivo Seta su mezquina recompensa.-Soberano, están cumpliendo tu orden -fue la respuesta-. Los matemáticos de la corte calculan elnúmero de granos que le corresponden.El rey frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus órdenes.Por la noche, al retirarse a descansar, el rey preguntó de nuevo cuánto tiempo hacía que Seta habíaabandonado el palacio con su saco de trigo.-Soberano -le contestaron-, tus matemáticos trabajan sin descanso y esperan terminar los cálculos alamanecer.-¿Por qué va tan despacio este asunto? -gritó iracundo el rey-. Que mañana, antes de que medespierte, hayan entregado a Seta hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos vecesuna misma orden.

Fig. 6.4. Por la segunda casilla ordena que meden dos granos

Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia parapresentarle un informe muy importante.El rey mandó que le hicieran entrar.-Antes de comenzar tu informe -le dijo Sheram-, quiero saber si se ha entregado por fin a Seta lamísera recompensa que ha solicitado.-Precisamente por eso me he atrevido a presentarme tan temprano -contestó el anciano-. Hemoscalculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Seta. Resulta una cifra tanenorme...



-Sea cual fuere su magnitud -le interrumpió con altivez el rey, mis graneros no empobrecerán. Heprometido darle esa recompensa, y por lo tanto, hay que entregársela.-Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En todos tus graneros no existela cantidad de trigo que exige Seta. Tampoco existe en los graneros de todo el reino. Hasta losgraneros de] mundo entero son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida,ordena que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantíos, manda desecar los mares yocéanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del Norte. Que todo elespacio sea totalmente sembrado de trigo, y ordena que toda la cosecha obtenida en estos campossea entregada a Seta. Sólo entonces recibirá su recompensa.El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio. -Dime cuál es esa cifra tanmonstruosa -dijo reflexionando. -¡Oh, soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seismil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientoscincuenta y un mil seiscientos quince.

55.- Reproducción rápida de las plantas y de los animalesUna cabeza de amapola, en la fase final de su desarrollo, está repleta de minúsculas semillas, cadauna de las cuales puede originar una nueva planta. ¿Cuántas amapolas se obtendrían si germinaran,sin excepción, todas las semillas? Para saberlo es preciso contar las semillas contenidas en unacabeza de amapola. Es una tarea larga y aburrida, pero el resultado obtenido es tan interesante, quemerece la pena armarse de paciencia y hacer el recuento hasta el fin. La cabeza de una amapolatiene (en números redondos) tres mil semillas.¿Qué se deduce de esto? Que si el terreno que rodea a nuestra planta fuera suficiente y adecuadopara el crecimiento de esta especie, cada semilla daría, al caer al suelo, un nuevo tallo, y al veranosiguiente, crecerían en ese sitio, tres mil amapolas. ¡Un campo entero de amapolas de una solacabeza!Veamos lo que ocurriría después. Cada una de las 3.000 plantas daría, como mínimo, una cabeza(con frecuencia, varias), conteniendo 3.000 semillas cada una. Una vez crecidas, las semillas decada cabeza darían 3.000 nuevas plantas, y por tanto, al segundo año tendríamos ya

3.000 x 3.000 = 9.000.000 de plantas.

Es fácil calcular que al tercer año, el número de nuevas plantas, procedentes de la amapola inicial,alcanzaría ya

9.000.000 x 3.000 = 27.000.000.000Al cuarto año

27.000.000.000 x 3.000 = 81.000.000.000.000

En el quinto año faltaría a las amapolas sitio en la Tierra, pues el número de plantas sería igual a

81.000.000.000.000 x 3.000 = 243.000.000.000.000.000

la superficie terrestre, o sea, todos los continentes e islas del globo terráqueo, ocupan un área totalde 135 millones de kilómetros cuadrados -135.000.000.000.000 de m2- aproximadamente 2.000veces menor que el número de amapolas que hubieran debido crecer.



Vemos, por lo tanto, que si todas las semillas de amapola crecieran y se reprodujesen normalmente,la descendencia procedente de una sola planta podría, al cabo de cinco años, cubrir por completotoda la tierra firme de nuestro planeta de una maleza espesa, a un promedio de dos mil plantas encada metro cuadrado. ¡Esta es la cifra gigante oculta en una diminuta semilla de amapola!

56.- Una comida gratisDiez jóvenes decidieron celebrar la terminación de sus estudios comiendo en el restaurante. Unavez reunidos, se entabló entre ellos una discusión sobre el orden en que habían de sentarse a lamesa. Unos propusieron que la colocación fuera por orden alfabético; otros, con arreglo a la edad;otros, por los resultados de los exámenes; otros, por la estatura, etc. La discusión se prolongaba,enfrióse la sopa y nadie se sentaba a la mesa. Los reconcilió el hotelero, mediante las siguientespalabras:-Señores, dejen de discutir. Siéntense a la mesa en cualquier orden y escúchenme.Sentáronse todos sin seguir un orden determinado. El hotelero continuó:-Que uno cualquiera anote el orden en que están sentados ahora. Mañana vienen a comer y sesientan en otro orden. Pasado mañana vienen de nuevo a comer y se sientan en orden distinto, y asísucesivamente hasta que hayan probado todas las combinaciones posibles. Cuando llegue el día enque tengan ustedes que sentarse de nuevo en la misma forma que ahora, les prometo solemnementeque en lo sucesivo, les invitaré a comer gratis diariamente, sirviéndoles los platos más exquisitos yescogidos.La proposición agradó a todos y fue aceptada. Acordaron reunirse cada día en aquel restaurante yprobar todos los modos distintos posibles de colocación alrededor de la mesa, con objeto dedisfrutar cuanto antes de las comidas gratuitas.

57.- Juego con monedasEn mi infancia, recuerdo que mi hermano mayor me enseñó un juego muy entretenido a base deunas monedas. Colocó tres platos en fila, uno junto al otro; después, puso en uno de los platosextremos una pila de cinco monedas: la inferior, de ocho cm de diámetro; sobre ella, una de cuatrocm, la siguiente de dos cm, luego una de un cm y medio y por último, la superior, de un cm. Latarea consistía en trasladar todas las monedas al tercer plato, observando las tres reglas siguientes:1) Cada vez debe cambiarse de plato una sola moneda.2) No se permite colocar una moneda mayor sobre otra menor.3) Provisionalmente pueden colocarse monedas en el plato intermedio, observando las dosreglas anteriores, pero al final del juego, todas las monedas deben encontrarse en el tercer plato enel orden inicial.-Como ves -me dijo-, las reglas no son complicadas. Y ahora manos a la obra.Comencé a cambiar de plato las monedas. Coloqué la de 1 cm en el tercer plato, la de 1,5 en elintermedio y... me quedé cortado. ¿Dónde colocar la de 2 cm? Esta es mayor que la de 1 y 1,5 cm.-No te apures -dijo mi hermano-. Coloca la de 1 cm en el plato del centro, encima de la de 1,5 cm.Entonces te queda libre el tercer plato para la de 2 cm.Y así lo hice. Pero al continuar surgió otra nueva dificultad. ¿Dónde colocar la de 4 cm? Hay quereconocer que caí enseguida en la cuenta: primero pasé la de 1 cm al primer plato, después, la de1,5 al tercero, y después, la de 1 también al tercero. Ahora ya se podía colocar la de 4 en el platocentral vacío. A continuación, después de probar varias veces, conseguí trasladar la moneda de 8cm del primer plato al tercero y reunir en este último toda la pila de monedas en el ordenconveniente.



58.- La apuestaEn el comedor de una pensión, se inició durante la comida una conversación sobre el modo decalcular la probabilidad de los hechos. Un joven matemático, que se hallaba entre los presentes,sacó una moneda y dijo:-Si arrojo la moneda sobre la mesa, ¿qué probabilidades existen de que caiga con el escudo haciaarriba?-Ante todo, haga el favor de explicar lo que quiere usted decir con eso de las probabilidades -dijouna voz-. No está claro para todos.-¡Muy sencillo! La moneda puede caer sobre la mesa de dos maneras, o bien con el escudo haciaarriba o hacia abajo. El número de casos posibles es igual a dos, de los cuales, para el hecho quenos interesa, es favorable sólo uno de ellos. De lo dicho se deduce la siguiente relación:

el número de casos favorables / el número de casos posibles =1/2

La fracción 1/2 expresa la probabilidad de que la moneda caiga con el escudo hacia arriba.-Con la moneda es muy sencillo -añadió uno-. Veamos un caso más complicado, por ejemplo, conlos dados.-Bueno, vamos a examinarlo -aceptó el matemático-. Tenemos un dado, o sea, un cubo condistintas cifras en las caras. ¿Qué probabilidades hay de que al echar el dado sobre la mesa, quedecon una cifra determinada hacia arriba, por ejemplo, el seis? ¿Cuántos son aquí los casos posibles?El dado puede quedar acostado sobre una cualquiera de las seis caras, lo que significa que son seiscasos diferentes. De ellos solamente uno es favorable para nuestro propósito, o sea, cuando quedaarriba el seis. Por consiguiente, la probabilidad se obtiene dividiendo uno por seis, es decir, seexpresa con la fracción 116.-¿Será posible que puedan determinarse las probabilidades en todos los casos? -preguntó una de laspersonas presentes-. Tomemos el siguiente ejemplo. Yo digo que el primer transeúnte que va apasar por delante del balcón del comedor, será un hombre. ¿Qué probabilidades hay de que acierte?-Evidentemente, la probabilidad es igual a 1/2, si convenimos en que en el mundo hay tantoshombres como mujeres y si todos los niños de más de un año los consideramos mayores.-¿Qué probabilidades existen de que los dos primeros transeúntes sean ambos hombres? -preguntóotro de los contertulios.-Este cálculo es algo más complicado. Enumeremos los casos que pueden presentarse. Primero: esposible que los dos transeúntes sean hombres. Segundo: que primero aparezca un hombre y despuésuna mujer. Tercero: que primero aparezca una mujer y después un hombre. Y finalmente, el cuartocaso: que ambos transeúntes sean mujeres. Por consiguiente, el número de casos posibles es igual a4; de ellos sólo uno, el primero, nos es favorable. La probabilidad vendrá expresada por la fracción1/4. He aquí resuelto su problema.-Comprendido. Pero puede hacerse también la pregunta respecto de tres hombres. ¿Cuáles serán lasprobabilidades de que los tres primeros transeúntes sean todos hombres?-Bien, calculemos también este caso. Comencemos por hallar los casos posibles. Para dostranseúntes, el número de casos posibles, como ya sabemos, es igual a cuatro. Al aumentar untercer transeúnte, el número de casos posibles se duplica, puesto que a cada grupo de los 4enumerados compuesto de dos transeúntes, puede añadirse, bien un hombre, bien una mujer. Entotal, el número de casos posibles será 4 x 2 = 8. Evidentemente la probabilidad será igual a 1/8,porque tenemos sólo un caso favorable. De lo dicho dedúcese la -regla para efectuar el cálculo: enel caso de dos transeúntes, la probabilidad será 1/2 * 1/2 = 1/4; cuando se trata de tres 1/2 * 1/2 *1/2 = 1/8; en el caso de cuatro, las probabilidades se obtendrán multiplicando cuatro veces



consecutivas 1/2 y así sucesivamente. Como vemos, la magnitud de la -probabilidad vadisminuyendo.-¿Cuál será su valor, por ejemplo, para diez transeúntes?-Seguramente, se refiere usted al caso de que los diez primeros transeúntes sean todos hombres.Tomando 1/2 como factor diez veces, obtendremos 1/1024 , o sea, menos de una milésima. Estosignifica que si apuesta usted conmigo un duro a que eso ocurrirá, yo puedo jugar mil duros a queno sucederá así.-¡Qué apuesta más ventajosa! -dijo uno-. De buen grado pondría yo un duro para tener laposibilidad de ganar mil.-Pero tenga en cuenta que son mil probabilidades contra una. -¡Y qué! Arriesgaría con gusto unduro contra mil, incluso en el caso de que se exigiera que los cien primeros transeúntes fueran todoshombres.-¿Pero se da usted cuenta de qué probabilidad tan ínfima existe de que suceda así? -preguntó elmatemático.-Seguramente una millonésima o algo así por el estilo.-¡Muchísimo menos! Una millonésima resulta ya cuando se trata de veinte transeúntes. Para cienserá... Permítame que lo calcule aproximadamente. Una billonésima, trillonésima, cuatrillonésima...¡Oh! Un uno con treinta ceros.-¿Nada más?-¿Le parecen a usted pocos ceros? Las gotas de agua que contiene el océano no llegan ni a lamilésima parte de dicho número. -¡Qué cifra tan imponente! En ese caso, ¿cuánto apostaría ustedcontra mi duro?-¡Ja, ja... ! ¡Todo! Todo lo que tengo.-Eso es demasiado. Juéguese su moto. Estoy seguro de que no la apuesta.-¿Por qué no? ¡Con mucho gusto! Venga, la moto si usted quiere. No arriesgo nada en la apuesta.-Yo sí que no expongo nada; al fin y al cabo, un duro no es una gran suma, y sin embargo, tengo laposibilidad de ganar una moto, mientras que usted casi no puede ganar nada.-Pero comprenda usted que es completamente seguro que va a perder. La motocicleta no será nuncasuya, mientras que el duro, puede decirse que ya lo tengo en el bolsillo.-¿Qué hace usted? -dijo al matemático uno de sus amigos, tratando de contenerle. Por un duroarriesga usted su moto. ¡Está usted loco!-Al contrario -contestó el joven matemático-, la locura es apostar aunque sea un solo duro, ensemejantes condiciones. Es seguro que gano. Es lo mismo que tirar el duro.-De todos modos existe una probabilidad.-¡Una gota de agua en el océano, mejor dicho, en diez océanos! Esa es la probabilidad: diezocéanos de mi parte contra una gota. Que gano la apuesta es tan seguro como dos y dos son cuatro.No se entusiasme usted tanto, querido joven -sonó la voz tranquila de un anciano, que durante todoel tiempo había escuchado en silencio la disputa-. No se entusiasme.-¿Cómo, profesor, también usted razona así ... ?-¿Ha pensado usted que en este asunto no todos los casos tienen las mismas probabilidades? Elcálculo de probabilidades se cumple concretamente sólo en los casos de idéntica posibilidad, ¿no esverdad? En el ejemplo que examinamos..., sin ir más lejos -dijo el anciano prestando oído-, lapropia realidad me parece que viene ahora mismo a demostrar su equivocación. ¿No oyen ustedes?Parece que suena una marcha militar, ¿verdad?-¿Qué tiene que ver esa música ... ? -comenzó a decir el joven matemático, quedándose cortado depronto. Su rostro se contrajo de susto. Saltó del asiento, corrió hacia la ventana y asomó la cabeza. -Así es! -exclamó con desaliento-. He perdido la apuesta. ¡Adiós mi moto!



Al cabo de un minuto quedó todo claro. Frente a la ventana pasó desfilando un batallón desoldados.

59.- Números gigantes que nos rodean y que existen en nuestro organismoNo es preciso buscar casos excepcionales para tropezarse con números gigantes. Se encuentran entodas partes, en torno de nosotros, e incluso en el interior de nosotros mismos; únicamente hay quesaberlos descubrir.El cielo que se extiende sobre nuestras cabezas, la arena, bajo nuestros pies, el aire circulante, lasangre de nuestro cuerpo; todo encierra invisibles gigantes del mundo de los números.Los números gigantes que aparecen cuando se habla de los espacios estelares no sorprenden a lamayoría de la gente. Es sabido que cuando surge la conversación sobre el número de estrellas deluniverso, sobre las distancias que las separan de nosotros y que existen entre ellas, sobre susdimensiones, peso y edad, siempre hallamos números que superan, por su enormidad, los límites denuestra imaginación. No en vano, la expresión número astronómico se ha hecho proverbial.Muchos, sin embargo, no saben que incluso los cuerpos celestes, con frecuencia llamados pequeñospor los astrónomos, son verdaderos gigantes, si utilizamos para medirlos las unidades corrientesempleadas en Física. Existen en nuestro sistema solar planetas a los que debido a sus dimensionesinsignificantes, los astrónomos han dado la denominación de pequeños. Incluyen entre ellos los quetienen un diámetro de varios kilómetros. Para el astrónomo, acostumbrado a utilizar escalasgigantescas, estos planetas son tan pequeños, que cuando se refieren a ellos los llamandespectivamente minúsculos. Pero sólo son cuerpos minúsculos al compararlos con otros astrosmucho más grandes. Para las unidades métricas empleadas de ordinario por el hombre, claro que nopueden ser considerados diminutos. Tomemos, por ejemplo, un planeta minúsculo de tres km dediámetro; un planeta así se ha descubierto recientemente. Aplicando las reglas geométricas, secalcula con facilidad que su superficie es de 28 km2, 0 sea, 28.000.000 m2. En un metro cuadradocaben siete personas colocadas de pie. Por tanto, en los 28 millones de metros cuadrados puedencolocarse 196 millones de personas.La arena que pisamos nos conduce también al mundo de los gigantes numéricos. No en balde existedesde tiempo inmemorial la expresión incontables como las arenas del mar. Sin embargo, en laantigüedad, los hombres subestimaban el enorme número de granos de arena existentes, pues locomparaban con el número de estrellas que veían en el cielo. En aquellos tiempos, no existíantelescopios, y el número de estrellas que se ven a simple vista en el cielo, es aproximadamente de3.500 (en un hemisferio). En la arena de las orillas del mar hay millones de veces más granos queestrellas visibles a simple vista. Un número gigante se oculta asimismo en el aire que respiramos.Cada centímetro cúbico, cada dedal de aire, contiene 27 trillones (o sea, el número 27 seguido de18 ceros) de moléculas.Es casi imposible representarse la inmensidad de esta cifra. Si existiera en el mundo tal número depersonas, no habría sitio suficiente para todas ellas en nuestro planeta. En efecto, la superficie delglobo terrestre, contando la tierra firme y los océanos, es igual a 500 millones de km2, queexpresados en metros Suponen:

500.000.000.000.000 m2.

Dividiendo los 27 trillones por ese número, obtendremos 54.000, lo que significa que a cada metrocuadrado de superficie terrestre corresponderían más de 50.000 personas.Anteriormente dijimos que los números gigantes se ocultan también en el interior del cuerpohumano. Vankos a demostrarlo tomando como ejemplo la sangre. Si observamos al microscopio



una gota de sangre, veremos que en ella nada una multitud enorme de corpúsculos pequeñísimos decolor rojo, que son los que dan ese color a la sangre. Esos corpúsculos sanguíneos, llamadosglóbulos rojos, son de forma circular discoidea, o sea, oval aplanada, hundida en toda su partecentral. En todas las personas, los glóbulos rojos son de dimensiones aproximadamente iguales, de0,007 milímetros de diámetro y de 0,002 mm de grueso Pero su número es fantástico. Una gotitapequeñísima de sangre, de 1 mm cúbico, Contiene 5 millones de estos corpúsculos. ¿Cuál es sunúmero total en nuestro cuerpo? Por término medio, hay en el cuerpo humano un número de litrosde sangre 14 veces menor que el número de kilogramos que pesa la persona. Si pesa usted 40 kg, sucuerpo contiene aproximadamente 3 litros de sangre, 0 lo que es lo mismo, 3.000.000 de mmcúbicos. Dado que en cada milímetro cúbico hay 5 millones de glóbulos rojos, el número total delos mismos en su sangre será:

5.000.000 * 3.000.000 = 15.000.000.000.000

¡Quince billones de glóbulos rojos! ¿Qué longitud se obtendría si este ejército de glóbulos sedispusiera en línea recta, uno junto al otro? No es difícil calcular que la longitud de semejante filaalcanzaría 105.000 km. El hilo de glóbulos rojos, formado con los contenidos en su sangre, seextendería más de 100.000 km. Con él podría rodearse el globo terrestre por el Ecuador:

100.000: 40.000 = 2,5 veces,

y el hilo de glóbulos rojos de una persona adulta lo envolvería tres veces.Expliquemos la importancia que tiene para nuestro organismo la existencia de dichos glóbulosrojos tan extremadamente divididos. Están destinados a transportar el oxígeno por todo el cuerpo.Toman el oxígeno al pasar la sangre por los pulmones, y lo ceden cuando el torrente sanguíneo loslleva a los tejidos de nuestro cuerpo, a los rincones más distantes de los pulmones. El grado enormede desmenuzamiento que representan estos glóbulos los capacita para cumplir su misión, puestoque cuanto menor sea su tamaño, siendo grandísimo su número, tanto mayor será su superficie, quees lo que interesa, ya que los glóbulos rojos pueden absorber y desprender oxígeno únicamente através de su superficie. El cálculo demuestra que su superficie total es machismo mayor que la delcuerpo humano e igual a 1.200 m2. Esto viene a ser el área de un huerto grande de 40 m de largo y30 de ancho.Ahora comprenderán la importancia que tiene para la vida del organismo el que estos glóbulosestén tan desmenuzados y sean tan numerosos, pues en esta forma, pueden absorber y desprender eloxígeno en una superficie mil veces mayor que la superficie de nuestro cuerpo.Con justicia puede llamarse gigante al número enorme obtenido al calcular la cantidad de productosde diverso género con los que se alimenta una persona, tomando 70 años como término me dio deduración de la vida. Se necesitaría un tren entero para poder transportar las toneladas de agua, pan,carne, aves, pescado, patatas y otras legumbres, miles de huevos, miles de litros de leche, etc., conque el hombre se nutre en toda su vida. A primera vista, parece imposible que pueda ser la personasemejante titán, que literalmente engulle, claro que no de una vez, la carga de un tren de mercancíasentero.



Capítulo 7Mediciones sin utilizar instrumentos

60.- Medición de distancias con pasosNo siempre se dispone de regla para medir o de cinta métrica, por lo tanto, es muy útil saber cómo,sin necesidad de ellas, pueden efectuarse mediciones aproximadas.Por ejemplo, durante una excursión, puede medirse fácilmente con pasos una distancia más omenos larga. Para ello es preciso conocer la longitud de un paso, así como saber contar los pasoscon exactitud. Naturalmente, no todos los pasos son siempre iguales: podernos andar a paso corto, ytambién caminar a paso largo. Sin embargo, cuando se efectúa una marcha ordinaria, los pasos sonaproximadamente de la misma longitud. Conocida la longitud media de cada paso, puede, sin granerror, medirse la distancia recorrida.Para determinar la longitud media del paso propio, es necesario medir la longitud total de muchospasos y calcular la magnitud de uno. Para hacer esta operación, hace falta utilizar una cinta métricao un cordón.Extienda la cinta en un terreno llano y mida la distancia correspondiente a 20 metros. Marque esalínea en el suelo y retire la cinta.Ande con paso ordinario, siguiendo la línea, y cuente el número de pasos que ha dado. Es posibleque no resulte un número exacto de pasos en la distancia que se mida. Entonces, si el resto esmenor que la mitad de un paso, puede simplemente despreciarse; si es mayor que medio paso,puede contarse ese resto como un paso entero. Dividíendo la distancia total de 20 metros por elnúmero de pasos, obtendremos la longitud media de uno. Este número no hay que olvidarlo, para,en caso necesario, hacer uso de él cuando se deseen realizar mediciones de distancia.A fin de no equivocarse al contar los pasos, especialmente cuando se trate de grandes distancias, seaconseja hacerlo en la forma siguiente: se cuentan de diez en diez y cada vez que se alcanza estenúmero se dobla uno de los dedos de la mano izquierda. Cuando se hayan doblado todos los dedosde la mano izquierda, lo que supone 50 pasos, se dobla un dedo de la mano derecha. De este modopueden contarse hasta 250 pasos, después de lo cual se comienza de nuevo. No debe olvidarse elnúmero de veces que se hayan doblado los dedos de la mano derecha. Por ejemplo, si después derecorrer cierta distancia, se han doblado dos veces todos los dedos de la mano. derecha y alterminar de andar están doblados tres dedos de la mano derecha y cuatro de la izquierda, se habrándado los pasos siguientes:

2 x 250 + 3 x 50 + 4 x 10 = 690

A este número hay que añadir los pasos dados después de doblar por última vez un dedo de la manoizquierda (en nuestro ejemplo, el cuarto).Al mismo tiempo recordemos esta antigua regla: la longitud del paso de una persona adulta es iguala la mitad de la distancia de los ojos a la planta del pie.Otra antigua regla práctica que se refiere a la velocidad de marcha, dice: una persona recorre en unahora tantos kilómetros como pasos da en tres segundos. Es fácil demostrar que esta regla es exactacuando el paso tiene una longitud determinada, y desde luego, bastante grande. En efecto,supongamos que la longitud del paso sea de x metros, y que el número de pasos dados en tressegundos sea igual a n. En tres segundos, el peatón recorre nx metros, y en una hora (3.600



segundos) 1.200nx metros, o sea, 1,2nx kilómetros. Para que el recorrido, medido en km, sea igualal número de pasos correspondiente a tres segundos, deberá existir la siguiente igualdad:

1,2nx = n,o sea,

1,2x = 1de donde

x = 0,83 metros.

La primera regla que expresa la dependencia mutua entre la longitud del paso y la estatura de lapersona es siempre exacta, mientras que la segunda regla, que acabamos de examinar, es cierta sólopara las personas de estatura media: de unos 175 cm.

61.- Escala animadaPara medir objetos de magnitud media, cuando no se dispone de regla o cinta métrica, puedehacerse lo siguiente. Se extiende una cuerda o un palo desde el extremo de una mano, estando elbrazo extendido lateralmente, hasta el hombro del lado contrario. Esta magnitud es, en un adulto,alrededor de 1 metro. Otro procedimiento para obtener con aproximación la longitud del metroconsiste en colocar en línea recta 6 cuartas, o sea 6 veces la distancia comprendida entre losextremos de los dedos pulgar e índice, estando la mano con la palma plana extendida lo másposible.Esta última indicación nos enseña a medir sin necesidad de aparatos; para ello es preciso medirpreviamente ciertas longitudes en la mano y mantener en la memoria los resultados de la medición.¿Qué distancias son las que deben medirse en la mano? Primero, la anchura de la palma de lamano, tal como se indica en la figura.

Fig. 7.1



En una persona adulta, esta distancia es aproximadamente de 10 cm; es posible que en su mano,dicha distancia sea algo menor; entonces deberá usted saber exactamente en cuánto es menor. Hade medirse también la distancia entre los extremos de los dedos corazón e índice, separándolos lomás posible. Además, es conveniente conocer la longitud de su dedo índice, medida a partir de labase del dedo pulgar, en la forma que muestra la figura. Y por último, mida la distancia entre losextremos de los dedos pulgar y meñique, cuando ambos están totalmente extendidos.Utilizando esta escala animada, puede efectuarse la medición aproximada de objetos pequeños.



Capítulo 8Rompecabezas de geometría

Para resolver los rompecabezas incluidos en este capítulo no se requiere haber estudiado un cursocompleto de geometría; basta sencillamente conocer las nociones más elementales de esta rama dela ciencia. Las dos docenas de problemas descritos en este capítulo ayudarán al lector a darsecuenta de en qué grado domina los conocimientos de geometría que consideraba asimilados.Conocer bien la geometría quiere decir no sólo saber enumerar las propiedades de las figuras, sinotambién poder utilizar hábilmente estas propiedades para resolver problemas reales.

62.- La carreta¿Por qué el eje delantero de una carreta se desgasta más y se calienta con mayor frecuencia que eltrasero?

63.- La lente biconvexaCon una lupa, que aumenta cuatro veces, se observa un ángulo de grado y medio. ¿Con quémagnitud se ve?

64.- El nivel de la burbujaConocen ustedes, naturalmente, este tipo de nivel, con su burbuja de aire indicadora que sedesplaza a la izquierda o a la derecha de la marca índice cuando se inclina la base del nivel respectodel horizonte. Cuanto mayor sea la inclinación, tanto más se alejará la burbuja de la marca central.La burbuja se mueve porque es más ligera que el líquido que la contiene, y por ello asciende,tratando de ocupar el punto más elevado. Pero si el tubo fuera recto, la burbuja, al sufrir él nivel lamenor inclinación, se desplazaría a la parte extrema del tubo, o sea, a la parte más alta. Es fácilcomprender que un nivel de este tipo seria incomodísimo para trabajar. -Por tanto, el tubo del nivelse hace en forma curva. Cuando la base del nivel está horizontal, la burbuja, al ocupar el punto másalto del tubo, se encuentra en su parte central. Si el nivel está inclinado, el punto más elevado nocoincidirá con la parte central del tubo, sino que se hallará en otro punto próximo a la marca, y laburbuja se desplazará respecto de la marca índice, situándose en otro lugar del tubo, que entoncesserá el más alto.Se trata de determinar cuántos milímetros se separa la burbuja de la marca si el nivel tiene unainclinación de medio grado y el radio de curvatura del tubo es de 1 m.

65.- Número de carasHe aquí una pregunta que sin duda alguna parecerá muy cándida, o por el contrario, demasiadosutil. ¿Cuántas caras tiene un lápiz de seis aristas?Antes de mirar la respuesta, reflexione atentamente sobre el problema.

66.- El cuarto creciente de la LunaSe trata de dividir la figura de un cuarto creciente de la Luna en seis partes, trazando solamente doslíneas rectas.¿Cómo hacerlo?



Fig. 8.1

67.- Con 12 cerillasCon doce cerillas puede construirse la figura de una cruz (véase la figura), cuya área equivalga a lasuma de las superficies de cinco cuadrados hechos también de cerillas.Cambie usted la disposición de las cerillas de tal modo que el contorno de la figura obtenidaabarque sólo una superficie equivalente a cuatro de esos cuadrados.

Fig. 8.2

Para resolver este problema no deben utilizarse instrumentos de medición de ninguna clase.

68.- Con ocho cerillasCon ocho cerillas pueden construirse numerosas figuras de contorno cerrado. Algunas pueden verseen la figura; su superficie es, naturalmente, distinta.

Fig. 8.3

Se plantea cómo construir con 8 cerillas la figura de superficie máxima.

69.- ¿Qué camino debe seguir la mosca?



En la pared interior de un vaso cilíndrico de cristal hay una gota de miel situada a tres centímetrosdel borde superior del recipiente. En la pared exterior, en el punto diametralmente opuesto, se haparado una mosca.Indíquese cuál es el camino más corto que puede seguir la mosca para llegar hasta la gota de miel.

Fig. 8.4

La altura del vaso es de 20 cm y el diámetro de 10 cm.No piensen ustedes que la mosca va a encontrar ella misma el camino más corto y facilitar así lasolución del problema; para ello es necesario poseer ciertos conocimientos de geometría,demasiado vastos para el cerebro de una mosca.

70.- Hacer pasar una moneda de cinco pesetasTomen dos monedas: una de cinco pesetas y otra de diez céntimos. Dibujen en una hoja de papel uncírculo exactamente igual a la circunferencia de la moneda de diez céntimos y recórtenlocuidadosamente.¿Podrá pasar la moneda de cinco pesetas por ese orificio?No se trata de un truco, es un verdadero problema geométrico.

71.- Hallar la altura dé una torreEn la ciudad donde usted vive hay, sin duda, algunos monumentos notables, y entre ellos una torrecuya altura seguramente desconoce. Dispone usted de una postal con la fotografía de la torre.¿En qué forma puede esta foto ayudarle a averiguar la altura de la torre?

72.- Las figuras semejantesEste problema va destinado a los que sepan en qué consiste la semejanza geométrica. Se trata deresponder a las dos preguntas siguientes:1) En un cartabón de dibujo (véase la figura), ¿son semejantes los triángulos exterior e interior?2) En un marco, ¿son semejantes los rectángulos exterior e interior?



Fig. 8.5

73.- La sombra del cable¿A qué distancia se extiende en el espacio la sombra total producida por un cable telegráfico de 4mm de diámetro?

74.- El ladrillitoUn ladrillo, de los usados en la construcción, pesa unos cuatro kilogramos. ¿Cuánto pesará unladrillito de juguete hecho del mismo material y cuyas dimensiones sean todas cuatro vecesmenores?

75.- El gigante y el enano¿Cuántas veces es más pesado un gigante de 2 m de altura que un enano de 1 m?

76.- Dos sandíasHay a la venta dos sandías de tamaño diferente. Una de ellas es la cuarta parte más ancha que laotra y cuesta vez y media más cara. ¿Cuál de las dos es más ventajoso comprar?

77.- Dos melonesEstán a la venta dos melones de la misma calidad. Uno tiene 60 centímetros de perímetro, el otro 50cm. El primero cuesta vez y media más caro que el segundo; ¿Qué melón es más ventajosocomprar?

78.- La cerezaLa parte carnosa y el hueso de una cereza son de la misma anchura. Supongamos que la cereza y elhueso tengan forma esférica.¿Puede usted calcular cuántas veces es mayor el volumen de la parte jugosa que el del hueso?

79.- El modelo de la torre EiffelLa torre Eiffel de París tiene 300 m de altura y está construida enteramente de hierro; su peso totales de 8.000.000 de kilogramos.Deseo encargar un modelo exacto de dicha torre, también de hierro, y que pese sólo 1 kg. ¿Quéaltura tendrá? ¿Será mayor o menor que la de un vaso?

80.- Dos cacerolasTenemos dos cacerolas de cobre de igual forma con las paredes de idéntico espesor. La capacidadde la primera es 8 veces mayor que la segunda. ¿Cuántas veces es más pesada la primera?

81.- ¿Quién tiene más frío?Un día de frío, una persona mayor y un niño están al aire libre.Ambos van igualmente vestidos. ¿Cuál de los dos tiene más frío?

82.- El azúcar¿Qué pesa más, un vaso lleno de azúcar en polvo o de azúcar en terrones?



Capítulo 9La geometría de la lluvia la nieve

83.- El pluviómetroExisten ciudades que tienen la reputación de ser muy lluviosas. Sin embargo, los hombres deciencia dicen muchas veces que la cantidad anual de agua procedente de lluvia es mucho mayor enotras ciudades que no tienen dicha reputación. ¿De dónde sacan esto? ¿Puede acaso medirse lacantidad de agua aportada por la lluvia?El cálculo parece una tarea difícil; no obstante, ustedes mismos pueden aprender a hacerlo y adeterminar la cantidad de agua de lluvia. No piensen que para ello hace falta recoger toda el aguade lluvia que cae sobre la tierra. Basta, simplemente, con medir el espesor de la capa de aguaformada sobre el suelo, siempre que el agua caída no se pierda y no sea absorbida por el terreno.Esto es bien fácil de hacer. Cuando llueve, el agua cae sobre el terreno de manera uniforme; no seda el caso de que en un bancal caiga más agua que en el vecino. Basta medir el espesor de la capade agua de lluvia en un sitio cualquiera y esto nos indicará el espesor en toda la superficie delterreno regado por la lluvia.Seguramente adivinan ustedes qué, es lo que hay que hacer para medir el espesor de la capa deagua caída en forma de lluvia. Es necesario construir una superficie donde el agua no se escurra nipueda ser absorbida por la tierra. Para este fin sirve cualquier vasija abierta; por ejemplo, un balde.Si disponen de un balde de paredes verticales (para que sea igual su anchura en la base y en la partealta), colóquenlo bajo la lluvia en un lugar despejado, a cierta altura, con objeto de que no caigan alinterior del balde las salpicaduras de agua que saltan al chocar la lluvia contra el suelo. Cuandocese la lluvia, midan la altura del agua recogida en el balde y tendrán ustedes todo lo necesario paraefectuar los cálculos.Ocupémonos detalladamente de nuestro pluviómetro de fabricación casera. ¿Cómo se mide laaltura del nivel de agua en el balde? ¿Podrán hacerlo introduciendo una regla de medir? Esto seráposible cuando en el balde se haya acumulado bastante cantidad de agua. Si la capa de agua es,como ocurre por lo general, de espesor no superior a 2 o 3 cm e incluso de milímetros, secomprende la imposibilidad de medir con precisión la capa de agua empleando este procedimiento.Para nosotros, tiene importancia cada milímetro, cada décima de milímetro. ¿Cómo hacerlo?

84.- Determinación de la cantidad de agua de lluviaImaginemos un huerto de 40 m de largo y 24 m de ancho. Ha llovido y desea usted saber quécantidad de agua ha caído en el huerto. ¿Cómo calcularlo?Está claro que debe comenzarse por determinar el espesor de la capa de agua de lluvia. Sin estedato no es posible efectuar cálculo alguno. Su pluviómetro ha indicado la altura del agua recogida,por ejemplo, 4 mm. Calculemos los cm cúbicos de agua que corresponderían a cada metro delhuerto si el agua no fuera absorbida por el terreno. Un m' tiene 100 cm de ancho y 100 cm de largo;sobre esta superficie se halla la capa de agua de 4 mm, o sea, de 0,4 cm de altura. El volumen dedicha capa será:

100 x 100 x 0,4 = 4.000 cm3.



Sabe usted que un cm" de agua pesa 1 g. Por consiguiente, en cada m' del huerto habrán caído4.000 g, o sea, 4 kg de agua de lluvia. En total, el huerto tiene una superficie de

40 x 24 = 960 m2.

Por tanto, el agua que ha caído en él será:

4 x 960 = 3.840 kg casi 4 toneladas.

85.- Determinación de la cantidad de agua procedente de la nieveHemos aprendido a medir el agua que cae en forma de lluvia. ¿Cómo puede medirse el aguaprocedente del granizo? Exactamente por el mismo procedimiento. Recoja el granizo en supluviómetro, déjelo derretir, mida el agua contenida y dispondrá de los datos necesarios para elcálculo.El proceso de medición cuando se trata del agua procedente de la nieve, es algo diferente. En estecaso, se obtendrían con el pluviómetro resultados muy inexactos, pues el viento puede arrastrarparte de la nieve acumulada en el balde. Es posible realizar el cálculo de la cantidad de nieve sinnecesidad de emplear el pluviómetro, midiendo directamente el espesor de la capa de nieve quecubre el patio, el huerto, el campo, etc., utilizando para ello una regla graduada de madera. Peropara conocer el espesor de la capa acuosa obtenida al derretirse la nieve, es preciso hacer una nuevaoperación, consistente en llenar el balde con la nieve del mismo grado de porosidad, dejarla que sederrita y anotar la altura de la capa de agua obtenida. En esta forma, determina usted la altura, enmm, de la capa de agua resultante para cada cm de espesor de la capa de nieve. Conociendo estedato, es fácil convertir el espesor de una capa cualquiera de nieve en la cantidad correspondiente deagua.Si mide diariamente la cantidad de agua de lluvia caída en el período templado del año y añade alresultado el agua acumulada durante el invierno en forma de nieve, sabrá usted la cantidad total deagua que cae anualmente en su localidad. Este es un dato global muy importante, que indica lacantidad de precipitaciones para el lugar dado. (Se llama precipitaciones la cantidad total de aguacaída, bien sea en forma de lluvia, de nieve o de granizo.)Es bien sabido que en el globo terrestre existen grandes diferencias de medias anuales en lasprecipitaciones según las zonas geográficas, que van desde menos de 25 a más de 200 cm.Por ejemplo, si tomamos algunos casos extremos, cierto lugar de la India es totalmente inundadopor el agua de lluvia; caen anualmente 1.260 cm, o sea, 12 1/2 m de agua. En cierta ocasión,cayeron en ese sitio, en un día, más de cien cm de agua. Existen, por el contrario, lugares donde lasprecipitaciones son escasísimas; así, en ciertas regiones de América del Sur, por ejemplo, en Chile,se recoge durante todo el año, menos de 1 cm de precipitaciones.Las regiones donde las precipitaciones son inferiores a 25 centímetros se llaman secas. En ellas nopueden cultivarse cereales sin emplear métodos artificiales de irrigación.Es fácil comprender que si se mide el agua que cae anualmente en diversos lugares del globoterrestre, puede deducirse, por los datos obtenidos, el espesor medio de la capa de agua precipitadadurante el año en la Tierra. Resulta que en la tierra firme (en los océanos no se realizanobservaciones), la media anual de precipitaciones es de 78 cm. Se considera que en los océanos, lacantidad de agua caída en forma de lluvia viene a ser aproximadamente la misma que en lasextensiones equivalentes de tierra firme. Para calcular la cantidad de agua que cae anualmentesobre nuestro planeta en forma de lluvia, granizo y nieve, hay que conocer la superficie total del



globo terrestre. Si no tiene a mano dónde consultar este dato, puede calcularlo del modo queindicamos.



Capítulo 10Treinta problemas diferentes

Espero que la lectura de este libro no haya pasado sin dejar huella en el lector; que no sólo le hayarecreado, sino que le haya sido también de cierto provecho, desarrollando su comprensión e ingenioy enseñándole a utilizar sus conocimientos con mayor decisión y soltura. El lector, seguramente,deseará comprobar su capacidad comprensiva. A este fin van destinadas las tres decenas deproblemas de diverso género, recopiladas en este último capítulo de nuestro libro.

86.- La cadenaA un herrero le trajeron 5 trozos de cadena, de tres eslabones cada uno, y le encargaron que losuniera formando una cadena continua.

Fig. 10.1

Antes de poner manos a la obra, el herrero comenzó a meditar sobre el número de anillos quetendría necesidad de cortar y forjar de nuevo. Decidió que le haría falta abrir y cerrar cuatroanillos.¿No es posible efectuar este trabajo abriendo y enlazando un número menor de anillos?

87.- Las ararías y los escarabajosUn chiquillo cazó varias arañas y escarabajos, en total ocho, y los guardó en una caja. Si se cuentael número total de patas que corresponde a los 8 animales resultan 54 patas.¿Cuántas arañas y cuántos escarabajos hay en la caja?

88.- El impermeable el sombrero y los chanclosCierta persona compró un impermeable, un sombrero y unos chanclos y pagó por todo 140 duros.El impermeable le costó 90 duros más que el sombrero; el sombrero y el impermeable juntoscostaron 120 duros más que los chanclos. ¿Cuál es el precio de cada prenda?El problema hay que resolverlo mentalmente, sin emplear ecuaciones.

89.- Los huevos de gallina y de patoLas cestas que se ven en la figura contienen huevos; en unas cestas hay huevos de gallina, en lasotras de pato. Su número está indicado en cada cesta. «Si vendo esta cesta -meditaba el vendedor,me quedarán el doble de huevos de gallina que de pato.» ¿A qué cesta se refiere el vendedor?



Fig. 10.2

90.- El vueloUn avión cubrió la distancia que separa las ciudades A y B en 1 hora y 20 minutos. Sin embargo,al volar de regreso recorrió esa distancia en 80 minutos.¿Cómo se explica esto?

91.- Regalos en metálicoDos padres regalaron dinero a sus hijos. Uno de ellos dio a su hijo ciento cincuenta duros, el otroentregó al suyo cien. Resultó, sin embargo, que ambos hijos juntos aumentaron su capitalsolamente en ciento cincuenta duros.¿De qué modo se explica esto?

92.- Las dos fichasEn un tablero del juego de damas hay que colocar dos fichas, una blanca y otra negra. ¿De cuántosmodos diferentes pueden disponerse dichas fichas?

93.- Con dos cifras¿Cuál es el menor número entero positivo que puede usted escribir con dos cifras?

94.- La unidad¿Cómo expresar la unidad, empleando al mismo tiempo las diez primeras cifras?

95.- Con cinco nuevesExprese el número diez empleando cinco nueves. Indique, como mínimo, dos procedimientos delos múltiples que hay para realizarlo.

96.- Con las diez cifrasExprese el número cien, utilizando las diez primeras cifras. ¿Por cuántos procedimientos puedeusted hacerlo?



97.- Por cuatro procedimientosExprese el número cien de cuatro modos distintos, empleando cinco cifras iguales.

98.- Con cuatro unidades¿Cuál es el número mayor que puede usted escribir con cuatro unos?

99.- División enigmáticaEn el ejemplo de división que vamos a ver, todas las cifras están reemplazadas por asteriscos, aexcepción de cuatro cuatros. Coloque en lugar de los asteriscos las cifras reemplazadas.

Fig. 10.3

Este problema puede resolverse en diferentes formas.

100.- Un ejemplo más de división.

Fig. 10.4



101.- ¿Qué resulta?Supongamos un cuadrado de un metro de lado, dividido en cuadraditos de un milímetro. Calculementalmente qué longitud se obtendría si colocásemos todos los cuadraditos en línea, adosadosunos a otros.

102.- Otro problema del mismo generoImagínese un cubo de un metro de arista dividido en cubitos de un milímetro. Calcúlensementalmente los kilómetros de altura que tendría una columna formada por todos los cubitosdispuestos uno encima del otro.

103.- El aviónUn avión de doce metros de envergadura fue fotografiado desde el suelo durante su vuelo en elmomento de pasar por la vertical del aparato. La cámara fotográfica tiene doce cm de profundidad.En la foto, el avión presenta una envergadura de ocho mm. ¿A qué altura volaba el avión en elmomento de ser fotografiado?

104.- Un millón de objetosUn objeto pesa 89,4 g. Calcule mentalmente las toneladas que pesa un millón de estos objetos.

105.- Número de caminos posiblesEn la figura se ve un bosque dividido en sectores, separados entre sí por veredas. La línea depuntos indica el camino a seguir por las veredas para ir desde el punto A al B. Naturalmente, ésteno es el único camino entre dichos puntos, siguiendo las veredas. ¿Cuántos caminos diferentes,pero de igual longitud, existen entre los puntos mencionados?

Fig. 10.5

106.- La esfera de¡ relojSe trata de dividir esta esfera de reloj (véase la figura) en seis partes, de la forma que usted desee,pero con la condición de que en cada parte, la suma de los números sea la misma.



Fig. 10.6

Este problema tiene por objeto comprobar más que su ingenio, su rapidez de comprensión.

107.- La estrella de ocho puntasHay que distribuir los números del 1 al 16 en los puntos de intersección de las líneas de la figura demodo que la suma de los cuatro números que se hallan en cada lado de los dos cuadrados sea 34 yque la suma de los cuatro números que se encuentran en los vértices de cada cuadrado sea también34.

Fig. 10.7

108.- La rueda con númerosLas cifras del 1 al 9 hay que distribuirlas en la rueda de la figura: una cifra debe ocupar el centrodel círculo y las demás, los extremos de cada diámetro de manera que las tres cifras de cada filasumen siempre 15.

Fig. 10.8



109.- La mesa de tres patasExiste la opinión de que una mesa de tres patas nunca se balancea, incluso aunque las patas sean delongitud diferente. ¿Es verdad esto?

110.- Determinación de ángulos¿Qué magnitud tienen los ángulos formados por las saetas de los relojes de la figura de la páginasiguiente? Debe resolverse mentalmente sin utilizar el transportador.

Fig. 10.8

111.- Por el ecuadorSi pudiéramos recorrer la Tierra siguiendo el ecuador, la coronilla de nuestra cabeza describiría unalínea más larga que la planta de los pies. ¿Qué magnitud tendría la diferencia entre estaslongitudes?

112.- En seis filasSeguramente conoce usted la historia cómica sobre cómo nueve caballos fueron distribuidos endiez establos y en cada establo resultó haber un caballo. El problema que voy a proponerle separece mucho a esta broma célebre, pero no tiene solución imaginaria, sino completamente real.Consiste en lo siguiente: Distribuir 24 personas en 6 filas de modo que en cada fila haya 5personas.

113.- ¿De qué modo hacer la división?Existe un problema ya conocido: dividir una escuadra (o sea, un rectángulo del que se ha separadola cuarta parte) en cuatro partes iguales. Pruebe a dividir esta misma figura en tres partes, demanera que las tres sean iguales. ¿Es posible resolver este problema?

114.- El problema de BenediktovMuchos conocedores de la literatura universal no sospechan que el poeta V. Benediktov es autor dela primera colección en ruso de rompecabezas matemáticos. Este compendio no fue publicado;quedó en forma de manuscrito y no fue descubierto hasta 1924. Tuve la posibilidad de conocerlo, eincluso llegué a establecer el año 1869 como fecha en que fue escrito (en el manuscrito no seseñala), basándome en uno de los rompecabezas.Copio de ese compendio el siguiente problema, expuesto por el poeta en forma literaria. Se titulaSolución ingeniosa de un problema complicado:

Una comadre tenía para vender nueve decenas de huevos. Envió al mercado a sus tres, hijas,entregando a la mayor y más lista de ellas una decena; a la segunda, tres decenas, y a la tercera, lamenor, cincuenta huevos, y les dijo:



-Poneos previamente de acuerdo y fijad el precio a que debéis vender los huevos, y no os volváisatrás de lo convenido. Manteneos firmes las tres en lo tocante al precio; pero confío en que mi hijamayor, gracias a su sagacidad, aun ateniéndose al acuerdo de vender todas al mismo precio, sacarátanto por su decena como la segunda por sus tres decenas, y al mismo tiempo, aleccionará a lasegunda hermana sobre cómo vender las tres decenas por el mismo precio que la menor loscincuenta huevos. El producto de la venta y el precio deben ser los mismos para las tres. Quieroque vendáis todos los huevos, de modo que saquemos, en números redondos, 10 kopeks, comomínimo, por cada decena y no menos de 90 kopeks por las nueve decenas.Con esto interrumpo, por ahora, el relato de Benediktov, a fin de que los propios lectores puedanadivinar cómo cumplieron las tres muchachas el encargo recibido.



Soluciones

1El rompecabezas referente a la ardilla en el calvero ha sido analizado por completo anteriormente.Pasamos al siguiente.

2Contestaremos fácilmente a la primera cuestión -al cabo de cuántos días se reunirán en la escuela ala vez los cinco círculos-, si sabemos encontrar el menor de todos los números que se dividaexactamente (mínimo común múltiplo) por 2,3,4,5 y6. Es fácil comprender que este número es el60. Es decir, el día 61 se reunirán de nuevo los 5 círculos: el de deportes, después de 30 intervalosde dos días; el de literatura, a los 20 intervalos de 3 días; el de fotografía, a los 15 intervalos decuatro días; el de ajedrez, a los 12 de 5 días, y el de canto, a los 10 de 6 días. Antes de 60 días nohabrá una tarde así. Pasados otros 60 días vendrá una nueva tarde semejante, durante el segundotrimestre.Así pues, en el primer trimestre hay una sola tarde en la que se reunirán de nuevo los cinco círculosa la vez. Hallar respuesta a la pregunta ¿cuántas tardes no se reunirá ningún círculo? resulta máscomplicado. Para encontrar esos días hay que escribir por orden los números del 1 al 90 y tachar, enla serie, los días de funcionamiento del círculo de deportes; es decir, los números 1, 3, 5, 7, 9, etc.Luego hay que tachar los días de funcionamiento del círculo de literatura: el 4, 10, etc. Después dehaber tachado los correspondientes a los círculos de fotografía, de ajedrez y de canto, nos quedaránlos días en que en el primer trimestre no haya funcionado ni un solo círculo.Quien haga esta operación se convencerá de que durante el primer trimestre son 24 los días en queno funciona ningún círculo; 8 en enero: los días 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24 y 30. En febrero hay 7 díasasí, y en marzo, 9.

3Ambos contaron el mismo número de transeúntes. El que estaba parado junto a la puerta contabalos transeúntes que marchaban en ambas direcciones, mientras que el que andaba veía dos vecesmás personas que se cruzaban con él.

4En cada una de las 25 estaciones, los pasajeros pueden pedir billete para cualquier estación, esdecir, para los 24 puntos diferentes. Esto indica que el número de billetes diferentes que hay quepreparar es de 25 x 24 = 600.

5Este problema no contiene contradicción alguna. No hayque pensar que el dirigible vuela siguiendo el perímetro deun cuadrado; es necesario tener en cuenta la formaesferoidal de la Tierra. Los meridianos, al avanzar hacia elnorte, se van aproximando (véase la figura); por ello,cuando vuela los 500 kilómetros siguiendo el arco delparalelo situado a 500 km al norte de la latitud deLeningrado, el dirigible se desplaza hacia oriente unnúmero de grados mayor que el que recorre después en



dirección contraria, al encontrarse de nuevo en la latitud de Leningrado. Como resultado de ello, eldirigible, al terminar el vuelo, estaba al este de Leningrado.¿Cuánto? Esto puede calcularse. En la figura, ven ustedes la ruta seguida por el dirigible: ABCDE.El punto N es el Polo Norte; en ese punto se juntan los meridianos AB y CD. El dirigible volóprimero 500 km hacia el norte, es decir, siguiendo el meridiano AN.Como la longitud de un grado de meridiano equivale a 111 km, el arco de meridiano de 500 kmcontendrá 500: 111 = 4 grados y medio. Leningrado está situado en el paralelo 60; porconsiguiente, el punto B se encuentra en los 60° + 4,5° = 64,5°. Después, el dirigible voló conrumbo este, es decir, por el paralelo BC, y recorrió siguiéndolo, 500 km. La longitud de un gradoen este paralelo puede calcularse (o verse en las tablas); equivale a 48 km. Es fácil determinarcuántos grados recorrió el dirigible en dirección este, 500 : 48 = 10,4°. Luego, la nave aérea tomódirección sur, es decir, voló siguiendo el meridiano CD y recorridos 500 km había de encontrarsede nuevo en el paralelo de Leningrado. Ahora la ruta toma dirección oeste, es decir, va por AD; 500km de este camino es evidentemente una distancia más corta que AD. En la distancia AD hay losmismos grados que en la BC, es decir, 10,40. Pero la distancia de un grado, a los 60° de latitud,equivale a 55,5 km. Por consiguiente, entre A y D existe una distancia igual a 55,5 x 10,4 = 577km.Vemos, pues, que el dirigible no podía aterrizar en Leningrado: le faltaron 77 km para llegar a estepunto; es decir, que descendió en el lago Ladoga.

6Los que han hablado sobre esteproblema han cometido algunasfaltas. No es cierto que los rayosdel Sol que caen sobre la Tierradiverjan sensiblemente.Comparada con la distancia que lasepara del Sol, la Tierra es tanpequeña que los rayos del Sol quecaen sobre cualquier parte de susuperficie divergen en un ángulopequeñísimo, inapreciable;prácticamente pueden considerarseparalelos. A veces contemplamos, en la llamada irradiación tras las nubes, que los rayos del Sol sedifunden en forma de abanico; esto sólo es fruto de la perspectiva. Observadas en perspectiva, laslíneas paralelas parecen convergentes; recuerden, por ejemplo, los raíles que se pierden a lo lejos, ouna larga avenida de árboles.No obstante, el que los rayos del Sol caigan sobre la Tierra en un haz paralelo, no quiere decir, nimucho menos, que la sombra completa del dirigible sea igual a la longitud del mismo. Siexaminamos la figura veremos que la sombra completa del dirigible en el espacio se reduce endirección a la Tierra y que, por consiguiente, la sombra reflejada en la superficie de la Tierra debeser más corta que el mismo dirigible: CD menor que AB.Si se sabe la altura a que vuela el dirigible, puede calcularse la magnitud de esta diferencia.Supongamos que vuele a una altura de 1.000 m sobre la superficie terrestre. El ángulo formado porlas líneas A C y BD será igual al ángulo por el que se ve el Sol desde la Tierra; la magnitud de esteángulo es conocida: tiene cerca de medio grado. Por otra parte, es sabido que cualquier objeto, vistobajo un ángulo de medio grado dista del ojo observador 115 veces su diámetro. Es decir, el



segmento MN (este segmento se ve desde la superficie terrestre bajo un ángulo de medio grado)debe ser la ciento quinceava parte de AC. La magnitud de AC es mayor que la perpendicular bajadadesde A a la superficie de la Tierra. Si el ángulo comprendido entre la dirección de los rayossolares y la superficie terrestre es de 45°, AC (estando el dirigible a 1.000 m de altura) equivale aunos 1.400 m, y por consiguiente, el segmento MN es igual a

m12115

1400=

Pero la diferencia entre la longitud del dirigible y la de su sombra, es decir, el segmento MB, esmayor que MN, exactamente 1,4 veces mayor, porque el ángulo MBD es casi de 450. Porconsiguiente MB es igual a 12 x 1,4; o sea, casi 17 m.Todo lo dicho se refiere a la sombra completa del dirigible, negra y precisa, y no a la llamadasemisombra, débil y difuminada. Nuestros cálculos muestran, entre otras cosas, que si en lugar deldirigible hubiera un pequeño globo de menos de 17 metros de diámetro, no daría sombra completaalguna; se vería sólo una semisombra vaga.

7El problema hay que resolverlo empezando por el final. Vamos a partir de que, hechas todas lasmudanzas correspondientes, los montoncitos tienen un número igual de cerillas. Ya que en esoscambios el número total de cerillas no ha cambiado, ha quedado invariable (48), al terminar todaslas mudanzas resultó haber en cada montón 16 cerillas.Así, pues, al terminar tenemos:

montón I montón II montón III16 16 16

Inmediatamente antes de esto, se habían añadido al primer montón de cerillas tantas cerillas comohabía en él; en otras palabras, el número de cerillas de este montón se había duplicado. Esto quieredecir que antes de hacer el último cambio, en el primer montón no había 16 cerillas, sino 8. En eltercero, del cual quitamos 8 cerillas había, antes de hacer esta operación. 16+8 = 24 cerillasLas cerillas están ahora distribuidas por los montones así:


Sigamos. Sabemos que antes de esto fueron pasadas desde el segundo montón al tercero tantascerillas como había en éste: es decir, que el número 24 es el doble de las cerillas existentes en elmontón tercero antes de este cambio. De ahí deducimos la distribución de las cerillas después de laprimera mutación:

montón I montón II montón III8 16+12=28 12

Es fácil darse cuenta de que antes de hacer el primer cambio (es decir, antes de pasar del primermontón al segundo tantas cerillas como había en éste), la distribución de las cerillas era lasiguiente:




Este era el número de cerillas que había al principio en cada uno de los montones.

8También es más sencillo resolver este rompecabezas empezando por el final. Sabemos que despuésde la tercera duplicación quedaron en el portamonedas una peseta y veinte céntimos (éste fue eldinero que recibió el viejo la última vez). ¿Cuánto había antes de 16 esta operación? Está claro quesesenta céntimos. Estos céntimos habían quedado después de pagar al viejo por segunda vez; unapeseta y veinte céntimos; habiendo en el portamonedas, antes de pagarle, 1 peseta y 20 céntimos +60 céntimos = 1 peseta y 80 céntimos.Esta cantidad resultó haber en el portamonedas después de la segunda duplicación: antes de ellahabía sólo 90 céntimos, que habían quedado después de haber abonado al viejo por primera vez 1peseta y 20 céntimos. De aquí deducimos que en el portamonedas, antes de pagarle, había 90céntimos + 1 peseta y 20 céntimos = 2 pesetasEn el portamonedas había ese dinero después de la primera duplicación; anteriormente había lamitad; es decir, 1 peseta y 5 céntimos. Comprobémoslo.

Dinero en el portamonedas:Después de la primera duplicación:1 pta. 5 ctms. x 2 = 2 ptas. 10 ctms.

Después del pago 1°:2 ptas. 10 ctms. - 1 pta. 20 ctms. = 90 ctms.

Después de la 2° duplicación:90 ctms. x 2 = 1 pta. 80 ctms.

Después del pago 2°:1 pta. 80 ctms. - 1 pta. 20 ctms. = 60 ctms.

Después de la 3° duplicación:60 ctms. x 2 = 1 pta. 20 ctms.

Después del pago 3°:1 pta. 20 ctms. - 1 pta. 20 ctms. = 0 ctms.

9Analicemos lo que se ha hecho con el número pensado. Ante todo, se le ha agregado detrás elnúmero dado de tres cifras. Es lo mismo que agregarle tres ceros y luego sumarle el número inicial;por ejemplo:

872.872 = 872.000 + 872



Se ve claro qué es lo que en realidad se ha hecho con el número: se ha aumentado 1.000 veces yademás se ha añadido el mismo número; en resumidas cuentas, hemos multiplicado el número por1.001.¿Qué se ha hecho después con el producto? Lo han dividido por 7, por 11 y por 13. Es decir, lo handividido por el producto de 7 x 11 x 13, o lo que es lo mismo, por 1.001. . Así, pues, el númeropensado, primero lo han multiplicado por 1.001 y luego lo han dividido entre 1.001. ¿Cabeadmirarse de que se haya obtenido el mismo número?

10¿En qué forma se hace esto y en qué consiste la clave del truco?La solución es muy fácil. Se busca una cifra que adicionada a las que le comunica su interlocutorforme el número más próximo divisible por 9. Si, por ejemplo, en el número 828 ha sido tachada laprimera cifra (8) y le comunican a usted las cifras 2 y 8, usted, una vez sumados 2 + 8, calcula quehasta el número más próximo divisible por 9, es decir, hasta el 18, faltan 8. Esta es la cifra tachada.¿Por qué resulta así? Porque si a cualquier número le restamos la suma de sus cifras, debe quedarun número divisible por 9; en otras palabras, un número en el que la suma de los valores absolutosde sus cifras se divida por 9. En efecto, representemos por a la cifra de las centenas del númeropensado, por b la de las decenas y por c la de las unidades. Este número tendrá en total:

100a + l0b + c unidades

Restémosle la suma de los valores de sus cifras a + b + c. Obtendremos:

100a + l0b + c - (a + b + c) = 99a + 9b = 9(11a + b)

Pero 9(11a + b) está claro que es divisible por 9; por lo tanto, al restar de un número la suma de losvalores de sus cifras, debe resultar siempre un número divisible por 9, sin residuo.Al presentar el truco, puede suceder que la suma de las cifras que le comuniquen sea divisible entrenueve (por ejemplo 4 y 5). Esto indica que la cifra tachada es o un cero o un nueve. Así, que debeusted responder cero o nueve.He aquí una variante nueva del mismo truco: en lugar de restar del número pensado la suma de losvalores de sus cifras, puede restarse otro, formado cambiando de lugar las cifras de dicho número.Por ejemplo, del número 8.247 puede restarse 2.748 (si el número nuevo es mayor que el pensado,se resta del mayor el menor). Luego se continúa como se ha indicado anteriormente: 8.247 - 2.748= 5.499; si se ha tachado la cifra 4, conociendo @las cifras 5, 9, 9, calcula usted que el númerodivisible por 9 más próximo a 5 + 9 + 9, es decir, a 23, es el número 27. 0 sea, que se ha tachado lacifra 27 - 23 = 4.

11Si, por ejemplo, se había pensado el número 467, deben realizarse las siguientes operaciones:

467; 764 764 297-467 -792297 1089

Este resultado final, 1.089, es el que comunica usted. ¿Cómo puede saberlo?Analicemos el problema en su aspecto general. Tomemos un número con las cifras a, b y c. El



número será:

100a + l0b + c.

El número con las cifras en orden contrario será:

100c + l0b + a.

La diferencia entre el primero y el segundo será igual a

99a - 99c.

Hagamos las siguientes transformaciones:

99a - 99c = 99 (a - c) = 100 (a - c) - (a - c)== 100 (a - c) - 100 + 100 - 10 + 10 - a + c =

=100 (a - c - 1) + 90 + (10 - a + c).

Es decir, que la diferencia consta de las tres cifras siguientes:

cifra de las centenas: a - c - 1decenas: 9unidades: 10 + c - a

El número con las cifras en orden contrario se representa así:100 (10 + c - a) + 90 + (a - c - 1)Sumando ambas expresiones:100 (a - c- 1) + 90 + 10 + c - a + 100(10 + c - a) + 90 + a - c - 1.Resulta:

100 x 9 + 180 + 9 = 1.089.

Cualesquiera que sean las cifras a, b, c, una vez hechas las operaciones mencionadas se obtendrásiempre el mismo número: 1.089. Por ello no es difícil adivinar el resultado de estos cálculos: loconocía usted de antemano.Está claro que este truco no debe presentarse a la misma persona dos veces porque entonces elsecreto quedará descubierto.

12El truco deja perplejo al público, sobre todo porque se realiza sin participación de intermediariossecretos que nos hagan señales imperceptibles convenidas previamente. Es un truco sin engañoalguno, pues todo él está fundamentado exclusivamente en cálculos aritméticos. Se adivina quiéntiene cada objeto, sólo por el número de avellanas que han quedado en el plato. Quedan siemprepocas: de 1 a 7, y pueden contarse de un solo golpe de vista.Pero, ¿cómo conocer quién ha guardado uno u otro objeto, por el número de avellanas que quedan?Es muy sencillo; cada caso de distribución de los objetos entre las tres personas corresponden a unnúmero diferente de avellanas del plato. Vamos a convencernos inmediatamente.



Supongamos que sus compañeros se llaman Benigno, Gregorio y Juan. Designémosles por susiniciales: B, G, J. Designemos también los objetos por letras: el lápiz a, la llave b y el cortaplumasc. ¿Cómo pueden distribuirse estos objetos entre tres personas? De las seis maneras siguientes:

B G Ja b ca c bb a cb c ac a bc b a

Es evidente que no puede haber más combinaciones; la tabla comprende todas las posibles.Veamos ahora qué número de avellanas quedan en el plato en cada uno de los casos:

BGJNúmero de avellanas tomadas Total Resto

abc 1+1=2 2+4=6 3+12=15 23 1acb 1+1=2 2+8=10 3+6=9 21 2bac 1+2=3 2+2=4 3+12=15 22 3bca 1+2=3 2+8=10 3+3=6 19 5cab 1+4=5 2+2=4 3+6=9 18 6cba 1+4=5 2+4=6 3+3=6 17 7

Ya ven que el resto de avellanas es diferente cada vez. Por ello, conociendo el resto, es fácildeterminar cómo están distribuidos los objetos entre sus amigos. De nuevo -por tercera vez- se alejade la habitación y mira su libretita de notas donde lleva apuntado el cuadro anterior (en realidadsólo hacen falta la primera y la última columna); es difícil recordarlo de memoria, y además no haynecesidad de ello. El cuadro le indicará dónde se halla cada objeto. Por ejemplo, si han quedado enel plato 5 avellanas, quiere decir (caso bca) que

la llave la tiene Benigno;el cortaplumas, Gregorio;el lápiz, Juan.

Para que el truco salga bien, debe recordar exactamente cuántas avellanas ha entregado a cadapersona (distribúyalas siempre siguiendo el orden alfabético de los nombres, como lo hemos hechoen el caso explicado).

13A fin de simplificar el problema, dejemos por ahora a un lado los 7 dobles: 0 - 0, 1 - 1, 2 - 2, 3 - 3,4 - 4, 5 - 5, 6 - 6. Nos quedan 21 fichas en las que cada número de tantos se repite seis veces. Porejemplo, tenemos que todos los cuatro serán:



4 - 0; 4 - 1; 4 - 2; 4 - 3; 4 - 4; 4 - 5; 4 - 6.

Así, pues, cada número de tantos se repite un número par de veces, con lo cual las fichas queforman cada grupo pueden casarse una con otra hasta que se agote el grupo. Una vez hecho eso,cuando nuestras 21 fichas están casadas formando una fila ininterrumpida, colocamos los sietedobles 0 - 0, 1 - 1, 2 - 2, etc., en los sitios correspondientes entre las dos fichas casadas. Entonces,las 28 fichas resultan, formando una sola línea, casadas según las reglas del juego.

14Es fácil demostrar que en la fila del dominó debe ser idéntico el número de tantos del final y delcomienzo. En realidad, de no ser así, el número de tantos de los extremos de la fila se repetiría unnúmero impar de veces (en el interior de la línea el número de tantos está formando parejas);sabemos, sin embargo, que en las fichas del dominó, cada número de tantos se repite ocho veces: esdecir, un número par de veces. Por consiguiente, la suposición de que el número de tantos en losextremos de la línea no fuera el mismo, no es justa; el número de tantos debe ser el mismo.(Razonamientos semejantes a éste reciben en matemáticas la denominación de demostración por elcontrario.)De esta propiedad que acabamos de demostrar, se deduce que la línea de 28 fichas del dominópuede siempre cerrarse por los extremos formando un anillo. De aquí que todas las fichas deldominó puedan casarse siguiendo las reglas del juego, y formar no sólo una fila, sino un círculocerrado.Es posible que interese a los lectores saber cuántas líneas o círculos diferentes de ese tipo puedenformarse. Sin entrar en detalles fatigosos de cálculos, diremos que el número de modos diferentesde distribución que pueden formar las 28 fichas en una línea (o en un círculo) es enorme: pasa de 7billones. Su número exacto es:

7.959.229.931.520.

(Es el producto de los siguientes factores: 213 x 38 x 5 x 7 x 4.231).

15La solución de este rompecabezas se deduce de lo que acabamos de decir. Sabemos que las 28fichas del dominó pueden casarse formando un círculo cerrado; por consiguiente, si de este círculoquitamos una ficha resultará que:

1) Las otras 27 forman una fila ininterrumpida con los extremos sin casar;2) Los tantos de los extremos de esta línea coincidirán con los números de la ficha que se haquitado.Escondiendo una ficha del dominó, podemos decir previamente el número de tantos que habrá enlos extremos de la línea por las otras fichas.

16



La suma de tantos del cuadrado buscadodebe ser 44 x 4 = 176; es decir, 8 más quela suma de todos los tantos del dominó(168).Esto ocurre porque el número de tantos delas fichas que ocupan los ángulos delcuadrado se cuentan dos veces. De lo dichose deduce que la suma de los tantos en losextremos del cuadrado debe ser ocho. Estofacilita en cierto modo la colocaciónexigida, aunque el encontrarla es bastanteenredoso. La solución viene indicada en lafigura que se muestra a continuación.

17Damos dos soluciones de este problema entre las muchas posibles. En la primera (véase la figura)tenemos:

Figura

1 cuadrado con una suma de 3 1 cuadrado con una suma de 91 cuadrado con una suma de 6 1 cuadrado con una suma de 101 cuadrado con una suma de 8 1 cuadrado con una suma de 16

En la segunda solución (véase figura) tenemos



Figura

2 cuadrado con una suma de 4 2 cuadrado con una suma de 101 cuadrado con una suma de 8 2 cuadrado con una suma de 12

18La figura contigua ofrece un modelo de cuadro mágico con 18 tantos en cada fila:

Figura

19En total se pueden formar 23 progresiones a base de las 6 fichas. Las fichas iniciales son lassiguientes:a) para progresiones en las que la razón es 1:

0-0 1-1 2-1 2-2 3-20-1 2-0 3-0 3-1 2-41-0 0-3 0-4 1-4 3-50-2 1-2 1-3 2-3 3-4

b) para progresiones en las que la razón es 2:

0-0 0-2 0-1

20Incluso un jugador hábil dirá seguramente que, en las condiciones dadas, es más fácil atravesar losaros que golpear la bola del contrario, puesto que los aros son dos veces más anchos que la bola.Sin embargo, esa idea es equivocada: los aros, cierto, son más anchos que la bola, pero el espaciolibre para que la bola pase por el interior del aro es dos veces menor que el que la bola mismapresenta al hacer blanco.

Figura



Observen la figura, y verán con claridad lo que acabamos de decir. El centro de la bola no debeacercarse al alambre del aro a una distancia inferior a su radio; en caso contrario, la bola tocará elaro. Quiere decirse que al centro de la bola le queda un blanco que es dos radios menor que laanchura del aro. Puede verse con facilidad que en las condiciones dadas en nuestro problema, laanchura del blanco al atravesar el aro desde la posición más ventajosa, es igual a la magnitud deldiámetro de la bola.Veamos ahora la anchura del blanco en relación con el centro de una bola en movimiento quegolpea la del contrario. Es evidente que si el centro de la bola lanzada se aproxima al centro de labola que debe ser golpeada a una distancia menor que un radio, el choque se realizará. Esto quieredecir que la anchura del blanco en este caso, como puede verse en la figura, equivale a dosdiámetros de la bola.Así, pues, a pesar de lo que opinen los jugadores, en las condiciones expuestas, es dos veces másfácil dar en la bola que pasar libremente el aro desde la mejor posición.

21Después de lo que acabamos dedecir, el problema no exigedetalladas explicaciones.Puede verse fácilmente (véase lafigura de la página siguiente) que laanchura del blanco en el caso de quela bola sea tocada, equivale a dosdiámetros de la bola, o sea a 20 cm; mientras que la anchura del blanco al apuntar al poste es iguala la suma del diámetro de la bola y del poste, o sea, a 16 cm (véase la figura). De aquí que acertaren la bola del contrario es

20 / 16 = 1 1/4 veces

o sea 25 % más fácil que tocar el poste. Los jugadores de ordinario, aumentan mucho lasprobabilidades de tocar la bola al compararlas con las de dar en el poste.

22Cualquier jugador discurrirá del modo siguiente: Ya que el aro es doble de ancho que la bola, y elposte dos veces más estrechoque esta bola, el blanco serácuatro veces mayor paraatravesar el aro que para dar enel poste. El lector aleccionadoya por los problemasanteriores, no incurrirá ensemejante error. Calculará queal apuntar al poste, el blanco es vez y media más ancho que para pasar a través del aro desde laposición más ventajosa. Esto se ve claro en las figuras.(Si los aros no fueran rectangulares, sino semicirculares, la probabilidad de paso de la bola seríaaún menor, como es fácil deducirlo observando la figura.)

23



En las figuras se ve que el espacio a, que queda para el paso del centro de la bola, es bastanteestrecho en las condiciones indicadas enel problema. Los que conocen lageometría saben que el lado AB delcuadrado es 1,4 veces menor que sudiagonal AC. Si la anchura de los arcoses de 3d (siendo d el diámetro de la bola),AB será igual a:

3d/1,4 = 2,l d.

El espacio a, blanco del centro de la bola que pasa la ratonera desde la posición más favorable, estodavía más estrecho. Es un diámetro más pequeño e igual a:

2,l d - d = 1,l d.

Sin embargo, sabemos que el blanco referido al centro de la bola que va a tocar la del contrarioequivale a 2d. Por consiguiente, es casi dos veces más fácil tocar la bola del contrario, en lascondiciones indicadas, que pasar la ratonera.

24Es imposible pasar la ratonera cuando la anchura del aro sobrepasa el diámetro de la bola menos de1,4 veces. Así se deduce de las explicaciones dadas en el problema anterior. Si los aros tienenforma de arco circular, las condiciones del paso se complican todavía más.

25Después de haber cogido la madre la mitad, quedó 1/2; después de cederle al hermano mayor, 1/4;después de haber cortado el padre, 1/8 y después de la hermana, 1/8 * 3/5 * = 3/40. Si 30 cmconstituyen los 3/40 de la longitud inicial del bramante, la longitud total equivaldrá a 30/(3/40) cm;o sea, 4 m.

26Bastan tres calcetines, porque dos serán siempre del mismo color. La cosa no es tan fácil con losguantes, que se distinguen no sólo por el color, sino porque la mitad de los guantes son de la manoderecha y la otra mitad de la izquierda. En este caso hará falta sacar 21 guantes. Si se sacanmenos, por, ejemplo 20, puede suceder que los 20 sean de una mano (por ejemplo, 10 de color caféde la mano izquierda y 10 negros de la izquierda).

27Está claro que el pelo que tarda más en caer es el más reciente, es decir, el que tiene un día de edad.Veamos al cabo de cuánto tiempo le llegará el turno de caerse. De los 150.000 pelos que hay, enun momento dado, en la cabeza, durante el primer mes caen 3.000; los dos primeros meses, 6.000;en el curso del primer año, 12 veces 3.000, o sea, 36.000. Por consiguiente pasarán poco más decuatro años antes de que al último pelo le llegue el turno de caerse.

28



Sin pensarlo, muchos contestan: 200 duros. No es así, porque en ese caso el salario fundamentalsería sólo 150 duros más que lo cobrado por horas extraordinarias, y no 200 duros más.El problema hay que resolverlo del modo siguiente. Sabemos que si sumamos 200 duros a locobrado por horas extraordinarias, nos resulta el salario fundamental. Por eso, si a 250 duros lessumamos 200 duros deben resultarnos dos salarios fundamentales. Pero 250 + 200 = 450. Esto es,450 duros constituyen dos veces el salario fundamental. De aquí que un salario fundamental, sin elpago por horas extraordinarias, equivalga a 225 duros; lo correspondiente a las horasextraordinarias es lo que falta hasta 250 duros, es decir, 25 duros.Hagamos la prueba: el salario fundamental -225 duros- sobrepasa en 200 -duros lo cobrado por lashoras extraordinarias, 25 duros, de acuerdo con las condiciones del problema.

29Este problema es curioso por dos razones: en primer lugar puede sugerir la idea de que la velocidadbuscada es la media entre 10 y 15 km por hora; es decir, igual a 12 112 kilómetros por hora. No esdifícil convencerse de la falsedad de esa suposición. Efectivamente, si la distancia del recorrido esa kilómetros, el esquiador, yendo a una velocidad de 15 km por hora, estará en camino a/15 horas;y si lo hace a 10 km/h, a/10; recorriéndolo a 12,5 km/h, estará a/(12,5) o sea 2a/25 horas. Peroentonces debe establecerse la igualdad:

2a /25 - a/15 = a/10 - 2*a /25

porque cada una de estas diferencias equivale a una hora. Reduciendo a en todos los numeradorestendremos:

2/25 - 1/15 = 1/10 - 2/25

pasando de un miembro a otro de la igualdad y sumando, resulta:

5/25 = 1/15 + 1/10

igualdad falsa, pues 1/15 + 1/10 = 1/6, es decir, 4/24 y no 4/25

La segunda particularidad del problema es que puede resolverse, no sólo sin ayuda de ecuaciones,sino por cálculo mental.Hagamos el siguiente razonamiento: si el esquiador, a la velocidad de 15 km por hora, estuviera encamino dos horas más (es decir, tantas como haciendo el recorrido a 10 km por hora), recorrería 30km más de los que recorrió en realidad. Sabemos que en una hora cubre 5 km más; estaría, pues,en camino 30/5 = 6 horas. De aquí que la carrera durará 6 - 2 = 4 horas, marchando a 15 km porhora. Y a su vez se averigua la distancia recorrida: 15 x 4 = 60 kilómetros.Ahora es fácil averiguar a qué velocidad debe marchar el esquiador para llegar a la meta almediodía en punto; en otras palabras, para emplear 5 horas en el recorrido.

60/ 5 = 12 km.

Prácticamente puede comprobarse con facilidad que la solución es exacta.

30



El problema puede resolverse, sin recurrir a las ecuaciones, por diversos procedimientos.He aquí el primero: El obrero joven recorre en 5 minutos 1/4 del camino, el viejo 1/6, es decir,menos que el joven en 1/4 - 1/6= 1/12Como el viejo había adelantado al joven en 1/6 del camino, el joven lo alcanzará a los (1/6) / (1/12)= 2 espacios de cinco minutos; en otras palabras, a los 10 minutos.Otro método más sencillo. Para recorrer todo el camino, el obrero viejo emplea 10 minutos más queel joven. Si el viejo saliera 10 minutos antes que el joven, ambos llegarían a la fábrica a la vez. Siel viejo ha salido sólo 5 minutos antes, el joven debe alcanzarle precisamente a mitad de camino; esdecir, 10 minutos después (el joven recorre todo el camino en 20 minutos).Son posibles otras soluciones aritméticas.

31Ante todo, hagamos la pregunta: ¿cómo deben las mecanógrafas repartiese el trabajo paraterminarlo a la vez? (Es evidente que el encargo podrá ser ejecutado en el plazo más breve sólo enel caso de que no haya interrupciones.) Como la mecanógrafa más experimentada escribe vez ymedia más rápidamente que la de menos experiencia, es claro que la parte que tiene que escribir laprimera debe ser vez y media mayor que la de la segunda, y entonces ambas terminarán de escribiral mismo tiempo. De aquí se deduce que la primera deberá encargarse de copiar 3/5 del informe yla segunda 2/5.En realidad el problema está ya casi resuelto. Sólo queda averiguar en cuánto tiempo la primeramecanógrafa realizará los 3/5 de su trabajo. Puede hacer todo su trabajo, según sabemos, en 2horas; es decir, que lo hará en 2 * 3/5 = 1 1/5 horas. En el mismo tiempo debe realizar su trabajo lasegunda mecanógrafa.Así pues, el espacio de tiempo más breve durante el cual pueden ambas mecanógrafas copiar elinforme es 1 hora 12 minutos.

32Si piensa usted que el piñón girará tres veces, se equivoca: dará cuatro vueltas y no tres.Para ver claramente cómo se resuelve elproblema, ponga en una hoja lisa de papeldos monedas iguales, por ejemplo de unapeseta, como indica la figura. Sujetandocon la mano la moneda de debajo, vayahaciendo rodar por el borde la de arriba.Observará una cosa inesperada: cuando lamoneda de arriba haya recorrido mediacircunferencia de la de abajo y quedesituada en su parte inferior, habrá dado lavuelta completa alrededor de su eje. Estopuede comprobarse fácilmente por laposición de la cifra de la moneda. Al darla vuelta completa a la moneda fija, lamóvil tiene tiempo de girar no una vez,sino dos veces.Al girar un cuerpo trazando unacircunferencia, da siempre una revolución más que las que pueden contarse directamente. Por esemotivo, nuestro globo terrestre, al girar alrededor del Sol, da vueltas alrededor de su eje no 365



veces y 1/4, sino 366 y 1/4, si consideramos las vueltas en relación con las estrellas y no en relacióncon el Sol. Ahora comprenderá usted por qué los días siderales son más cortos que los solares.

33La solución aritmética es bastante complicada, pero el problema se resuelve con facilidad sirecurrimos al álgebra y planteamos una ecuación. Designaremos con la letra x el número de añosbuscado. La edad tres años después se expresará por x + 3, y la edad de 3 antes por x - 3. Tenemosla ecuación:

3 (x + 3) - 3 (x - 3) = x.

Despejando la incógnita, resulta x = 18. El aficionado a los rompecabezas tiene ahora 18 años.Comprobémoslo: Dentro de tres años tendrá 21; hace tres años, tenía sólo 15. La diferencia

3 * 21 - 3 * 15 = 63 - 45 = 18

es decir, igual a la edad actual.

34Como el problema anterior, éste se resuelve con una sencilla ecuación. Si el hijo tiene ahora xaños, el padre tiene 2x. Hace 18 años, cada uno tenía 18 menos: el padre 2x - 18, el hijo x - 18. Sesabe que entonces el padre era tres veces más viejo que el hijo:

3 (x - 18) = 2x - 18

Despejando la incógnita nos resulta x=36; el hijo tiene 36 años y el padre 72.

35Designemos el número inicial de francos sueltos por x, y el número de monedas de 20 céntimos pory. Al salir de compras, yo llevaba en el portamonedas:

(100x + 20y) céntimos.Al regresar tenía:

(100y + 20x) céntimos.

Sabemos que la última suma es tres veces menor que la primera; por consiguiente:

3 (100y + 20x) = 100x + 20y.

Simplificando esta expresión, resulta:

x = 7y.

Para y = 1, x es igual a 7. Según este supuesto, yo tenía al comienzo 7 francos 20 céntimos; lo queno está de acuerdo con las condiciones del problema («unos 15 francos»).Probemos y = 2; entonces x = 14. La suma inicial era igual a 14 francos 40 céntimos, lo quesatisface las condiciones del problema.



El supuesto y = 3 produce una suma demasiado grande: 21 francos 60 céntimos.Por consiguiente, la única contestación satisfactoria es 14 francos 40 céntimos. Después decomprar, quedaban 2 francos sueltos y 14 monedas de 20 céntimos, es decir, 200 + 280 = 480céntimos; esto, efectivamente, es un tercio de la suma inicial (1.440 : 3 = 480).Lo gastado ascendió a 1.440 - 480 = 960. 0 sea, que el coste de las compras fue 9 francos 60céntimos.

38Ninguno de los tres problemas (36, 37 y 38) tiene solución y tanto el artista como yo hemos podidosin riesgo alguno prometer cualquier premio por la solución de los mismos. Para convencerse deello, recurramos al álgebra.Pagando 5 francos. Supongamos que sea posible y que para hacerlo han hecho falta x monedas de50 céntimos, y de 20 céntimos y z de 5. Tendremos la ecuación:

50x + 20y + 5z = 500Dividiendo todos los términos por 5, resulta:10x + 4y + z = 100

Además, como el número total de monedas, según las condiciones del problema, equivale a 20, sepuede formar otra ecuación con los números x, y, z.x + y + z = 20Restando esta ecuación de la que hemos obtenido antes nos resulta:

9x + 3y = 80Dividiendo por 3, tenemos:

3x + y = 26 2/3

Pero 3x -tres veces el número de monedas de 50 céntimos- es un número entero. El número demonedas de 20 céntimos -y- es asimismo un número entero. La suma de dos enteros no puede sernunca un número mixto (26 2/3). Nuestro supuesto de que el problema tenía solución nos lleva,como se ve, al absurdo. El problema, pues, no tiene solución.El lector, siguiendo este procedimiento, se convence de que los otros dos problemas después de larebaja -abonando 3 y 2 francos- tampoco tienen solución. El primero nos lleva a la ecuación:

3x + y 13 1/3y el segundo a:

3x + y 6 2/3

Ambos son insolubles, pues deben ser expresados en números enteros.Como ve usted, el artista no arriesgaba nada al ofrecer importantes sumas por la solución de estosproblemas: nunca habrá de entregar los premios ofrecidos.Otra cosa sería si se propusiera abonar, por ejemplo, 4 francos a base de las 20 monedas del tipoindicado, en vez de 5, 3 o 2.El problema se resolvería fácilmente por siete procedimientos distintos. He aquí una de lasposibles soluciones: 6 monedas de 50 céntimos, 2 de 20 céntimos y 12 de 5 céntimos.



39

888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1.000

40He aquí dos soluciones:

22 + 2 = 24;33 - 3 = 24

41Indicamos tres soluciones:

6 x 6 - 6 = 3033 + 3 = 3033 - 3 = 30

42Las cifras que faltan se restablecen poco a poco,utilizando el siguiente método deductivo:Para mayor comodidad numeremos las filas:Es fácil determinar que el último asterisco de la línea111 es un 0; se ve claramente, por ser también un 0 laúltima cifra de la fila VI.A continuación se determina el valor del últimoasterisco de la fila 1; es una cifra que multiplicada por 2, da un número que termina en 0, y almultiplicarla por 3 da un número terminado en 5 (fila V). El 5 es la única cifra posible.No es difícil adivinar qué se oculta tras el asterisco de la fila II: un 8, porque sólo al multiplicar estenúmero por el 15 da de producto un número terminado en 20 como el que tenemos (fila IV).Finalmente, está claro el valor del primer asterisco de la fila 1: es 4, porque sólo este númeromultiplicado por 8 da un producto que empieza por 3 (fila IV).No presenta dificultad alguna averiguar las restantes cifras desconocidas: basta multiplicar losnúmeros de las dos primeras filas, determinados ya.Resulta la multiplicación siguiente:

43El valor que sustituye los asteriscos en este problema se averigua siguiendo un procedimientodeductivo semejante al que ya hemos utilizado para la resolución de¡ problema anterior.Resulta:



44He aquí la división que se buscaba:

45Para resolver este problema hay que saber en qué casos es un número divisible por 11. Un númeroes divisible por 11 si la diferencia entre la suma de los valores absolutos de las cifras colocadas enlos lugares pares y la suma de los valores de las colocadas en los lugares impares, es divisible por11 o igual a cero.Por ejemplo, hagamos la prueba con el número 23.658.904. La suma total de las cifras colocadas enlos lugares pares es:

3 + 5 + 9 + 4 = 21

La suma de las cifras colocadas en los lugares impares es:

2 + 6 + 8 + 0 = 16

La diferencia entre estas sumas (hay que restar del número mayor el menor) es:

21 - 16 = 5

Esta diferencia (5) no se divide por 11, lo que quiere decir que el número no es divisible por 11.Probemos el número 7.344.535:

3+ 4+ 3=107+4+ 5+ 5=21

21-10=11

Como el 11 se divide por 11, el número que hemos probado es múltiplo de 11.

Ahora ya nos es fácil determinar en qué orden hay que escribir las nueve cifras para que resulte unmúltiplo de 11 y para satisfacer lo que el problema exige. Por ejemplo: 352.049.786.Hagamos la prueba:

3 + 2 + 4 + 7 + 6 = 225 + 0 + 9 + 8 = 22



La diferencia es 22 - 22 = 0; quiere decirse que el número indicado es múltiplo de 11.

El mayor de todos los números pedidos es: 987.652.413Y el menor:

102.347.586

46Un lector paciente puede encontrar nueve casos distintos de esta clase de multiplicación. Son lossiguientes:

12 + 483 = 5.79642 x 138 = 5.79618 x 297 = 5.34627 x 198 = 5.34639 x 186 = 7.25448 x 159 = 7.63228 x 157 = 4.3964 x 1.738 = 6.9524 x 1.963 = 7.852

47 y 48Las figuras muestran las soluciones. Las cifras del centro de cada fila pueden permutarse entre sí yde ese modo se obtienen algunas soluciones más.

49Para establecer con más facilidad la busca de la colocación de los números pedida, nos guiaremospor los siguientes cálculos:La suma buscada de los números de las puntas de la estrella equivale a 26; la suma de todos losnúmeros de la estrella es igual a 78. Es decir, que la suma de los números del hexágono interiorequivale a 78 - 26 = 52.La suma de los números de cada lado es 26; si sumamos los tres lados obtendremos 26 x 3 = 78; sinolvidar que cada número situado en un ángulo se cuenta dos veces. Como la suma de los tres paresinteriores (es decir, del hexágono interior) debe ser, según sabemos, igual a 52, resulta que la sumaduplicada de los números de los ángulos de cada triángulo equivale a 78 - 52 = 26; la suma sencillaserá, pues, igual a 13.



El número de combinaciones queda así considerablemente reducido. Por ejemplo, sabemos que niel 12 ni el 11 pueden ocupar las puntas de la estrella (¿por qué?) . Esto quiere decir que podemosempezar a probar con el número 10, con lo cual se determina enseguida qué otros dos númerosdeben ocupar los restantes vértices del triángulo: 1 y 2.Siguiendo este camino, encontramos definitivamente la distribución que nos piden. Es la indicadaen la figura.

50Puede comprenderse que la alegría del rico no duró mucho; pronto empezó a comprender que elextraño huésped no era un simplón, ni el negocio que había concertado con él era tan ventajosocomo le había parecido al principio. A -partir del decimoquinto día, por las cien mil pesetascorrespondientes hubo de pagar no céntimos, sino cientos de pesetas, y las cantidades a pagaraumentaban rápidamente. En efecto, el rico, por la segunda mitad del mes, pagó:

por las 15°s cien mil pesetas 163 ptas. y 84 ctms16°s 327 y 6817°s 655 y 3618°s 1.310 y 7219°s 2.621 y 44

Sin embargo, el rico consideraba que no sufría pérdidas ni mucho menos. Aunque había pagadomás de cinco mil pesetas, había recibido 1.800.000 pesetas.No obstante, las ganancias disminuían de día en día, cada vez con mayor rapidez.

20° 5.242 ptas. y 88 ctms21° 10.485 y 7622° 20.971 y 5223° 41.943 y 424° 83.886 y 825° 167.772 y 1626° 335.544 y 3227° 671.088 y 64



Tenía que pagar ya más de lo que recibía. ¡Qué bien le hubiera venido pararse! Pero no podíarescindir el contrato.La continuación fue todavía peor. El millonario se convenció, demasiado tarde, de que eldesconocido había sido más astuto que él y recibiría mucho más dinero que el que había de pagar.A partir del día 28, el rico hubo de abonar millones. Por fin, los dos últimos días lo arruinaron. Heaquí estos enormes pagos:

28° 1.342.177 ptas. y 28 ctms29° 2.684.354 y 5630° 5.368.709 y 12

Cuando el huésped se marchó definitivamente, el millonario sacó la cuenta de cuánto le habíancostado los tres millones de pesetas a primera vista tan baratos. Resultó que había pagado aldesconocido 10.737.418 pesetas 23 céntimos. Casi once millones de pesetas. Y eso que habíaempezado pagando un céntimo. El desconocido hubiera podido llevar diariamente trescientas milpesetas, y con todo, no hubiera perdido nada.Antes de terminar esta historia, voy a indicar el procedimiento de acelerar el cálculo de las pérdidasde nuestro millonario; en otras palabras, cómo puede hacerse la suma de la serie de números:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 +...

No es difícil observar la siguiente particularidad de estos números:

1 = 12 = 1 + 14 =(1 + 2) + 18 =(1 + 2 + 4) + 116 =(1 + 2 + 4 + 8) + 132 =(1 + 2 + 4 + 8 + 16) + 1etc.

Vemos que cada uno de los números de esta serie es igual al conjunto de todos los anterioressumados más una unidad. Por eso, cuando hay que sumar todos los números de una serie de éstas,por ejemplo, desde 1 hasta 32.768, bastará añadir al último número (32.768) la suma de todos losanteriores. En otras palabras, le añadimos ese mismo último número restándole previamente launidad (32.768 - l). Resulta 65.535.Siguiendo este método pueden calcularse las pérdidas de nuestro millonario con mucha rapidez sisabemos cuánto ha pagado la última vez. El último pago fue de 5.368.709 pesetas 12 céntimos. Poreso, sumando 5.368.709 pesetas 12 céntimos y 5.368.709 pesetas 11 céntimos, obtendremosinmediatamente el resultado buscado: 10.737.418 pesetas 23 céntimos.

51Si se continuase de este modo difundiéndose el rumor por la ciudad, es decir, si cada uno que looiga logra comunicárselo a tres ciudadanos más en el cuarto de hora siguiente, la ciudad iráenterándose de la noticia de acuerdo con el horario que sigue:



9.00 h 40+(3*27) =1219.15 h 121+(3*81) =3649.30 h 364+(3*243) =1.093

A la hora y media de haber aparecido la noticia en la ciudad, la conocen, como vemos, unas 1.100personas en total.Puede parecer poco para una población de 50.000 habitantes y cabe pensar que la noticia no llegarápronto a ser conocida de todos los habitantes. Sin embargo, observemos la difusión futura delrumor:

9.45 h 1. 093+(3*729) =3.28010.00 h 3.280+(3*2.187) =9.84110.15 h 9.841+(3*6.561) =29.524

Esto indica que antes de las diez y media de la mañana, absolutamente todos los ciudadanos de lapopulosa ciudad conocerán la noticia que a las 8 de la mañana sabía sólo una persona.Examinemos ahora cómo se ha resuelto el cálculo anterior. Nos hemos limitado a sumar lasiguiente serie de números:

1 + 3 + (3 x 3) + (3 x 3 x 3 ) + (3 x 3 x 3 x 3), etc.

Cada uno comunica la noticia a otras tres personas

¿No puede averiguarse esta suma más brevemente, como hemos hecho antes con la suma de losnúmeros de la serie 1 + 2 + 4 + 8, etcétera? Es posible si tomamos en consideración la siguientepropiedad de los sumandos:

1=13=1 x 2 + 1



9= (1 + 3) x 2 + 127=(1 + 3 + 9) x 2 + 181=(1 + 3 + 9 + 27) x 2 + 1, etc.

En otras palabras, cada número de esta serie es igual al doble de la suma de todos los númerosanteriores más una unidad.De aquí se deduce que para encontrar la suma de todos los términos de la serie, desde uno hastacualquier término, basta agregar a este número su mitad (habiendo restado previamente el últimotérmino de la unidad).

A las diez y media todos conocen la noticia

Por ejemplo la suma de los números

1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729

es igual a 729 más la mitad de 728; es decir, 729 + 364 = 1.093. En el caso concreto a que nosreferíamos, cada vecino que sabía la noticia la comunicaba sólo a tres ciudadanos. Pero si loshabitantes de la ciudad hubieran sido más locuaces y hubieran comunicado la noticia escuchada, noa tres, sino por ejemplo, a cinco o a otros diez, está claro que el rumor se hubiera difundido conmucha mayor rapidez todavía. Si, por ejemplo, se transmitiera cada vez a cinco personas, lainformación de la ciudad presentaría el siguiente cuadro:

8.00 h = 1 persona8.15 h 1+5 = 68.30 h 6 + (5*5) = 318.45 h 31 + (25*5) = 1569.00 h 156 + (125*5) = 7819.15 h 781 + (625*5) = 3.9069.30 h 3.906 +(3.125*5) = 19.531

Antes de las 9.45 de la mañana era ya conocida por los 50.000 habitantes de la ciudad.



Proceso de difusión de un rumor

El rumor se difunde todavía con mayor rapidez si cada uno de los que lo escuchan transmite lanoticia a 10. Entonces resulta la curiosa serie de números:

8.00 h = 1 persona8.15 h 1+10 = 118.30 h 11 + 100 = 1118.45 h 111 + 1.000 = 1.1119.00 h 1.111 + 10.000 = 11.111

El número siguiente de esta serie será evidentemente 111.111; lo que indica que toda la ciudadconoce la noticia poco después de las nueve de la mañana.

52Sin embargo, este tipo de negocio era un verdadero fraude. La avalancha, como se llamó a esenegocio sucio, o la bola de nieve, como la denominaban los franceses, causaba pérdidas a losnumerosos participantes que no conseguían vender los billetes comprados. Esos eran los quepagaban a la empresa la diferencia entre los 50 duros del precio de la bicicleta y los 10 que sepagaban por ella. Tarde o temprano, llegaba infaliblemente un momento en que los poseedores debilletes no podían encontrar a nadie dispuesto a adquirirlos. De que esto tenía indefectiblementeque ocurrir así, se convencerán ustedes si tomando un lápiz, siguen el curso del proceso y anotan elímpetu creciente del número de personas arrastra das por la avalancha.El primer grupo de compradores que recibe sus billetes directa mente de la casa, de ordinario,encuentra compradores sin esfuerzo alguno; cada uno facilita billetes a cuatro nuevos participantes.Estos cuatro deben vender sus billetes a 4 x 5, es decir, a otro 20, convenciéndoles de las ventajasde esa compra. Supongamos que lo consigan, y ya tenemos reclutados 20 compradores.La avalancha avanza. Los 20 nuevos dueños de billetes debe distribuirlos a 20 x 5 = 100 personasmás.Hasta este momento, cada uno de los fundadores de la avalancha ha arrastrado a ella a

1 + 4 + 20 + 100 = 125 personas,



de las cuales 25 han recibido una bicicleta cada uno, y 100 sólo la esperanza de adquirirla, por loque han pagado 10 duros.La avalancha, en ese momento, sale del estrecho círculo de las personas conocidas y empieza aextenderse por la ciudad, donde sin embargo, es cada vez más difícil encontrar nuevos compradorade billetes. El indicado centenar de poseedores de billetes debe venderlos a 500 ciudadanos más,los que a su vez habrán de reclutar 2.500 nuevas víctimas. La ciudad queda muy pronto inundada dbilletes, y resulta bastante difícil encontrar nuevas personas dispuestas y deseosas de comprarlos.Ya ven ustedes que el número de personas arrastradas por 1 avalancha crece en virtud de la mismaley matemática que acabamos de examinar al referirnos a la divulgación de rumores. He aquí 1pirámide numérica que resulta:

14201005002.50012.50062.500

Si la ciudad es grande y toda la población capaz de montar en bicicleta asciende a 62.500 personas,en el momento que examinamos, es decir, a la octava vuelta, la avalancha debe desaparecer. Todoshan resultado absorbidos por ella, pero sólo la quinta parte ha recibido bicicleta; las restantes 4/5partes tienen en sus manos billetes, pero no encuentran a quién venderlos.Una ciudad de población más numerosa, incluso una capital de varios millones de habitantes, puedesaturarse de billetes prometedores al cabo de pocas vueltas, ya que la magnitud de la avalanchaaumenta con rapidez increíble.

312.5001.562.5007.812.50039.062.500

La vuelta 12° de la avalancha, como ven, podría arrastrar a la población de toda una nación, y 4/5de la población quedarían engañados por los organizadores de la avalancha.

53Empezaron las visitas diarias de Terencio a la tesorería imperial. Ésta se hallaba cerca del salón deltrono, y los primeros viajes no costaron esfuerzo alguno a Terencio.El primer día sacó de la tesorería un solo bras. Era una pequeña monedita de 21 mm de diámetro y5 g de peso. (Peso y tamaño aproximado de una moneda de 5 pesetas, acuñada en nuestros días.)El segundo, tercero, cuarto, quinto y sexto viajes fueron también fáciles: el guerrero trasladómonedas que pesaban 2, 4, 8, 16 y 32 veces más que la primera.La séptima moneda pesaba 320 gramos -según el sistema moderno de pesas y medidas- y tenía 8cm de diámetro (84 mm exactamente).



El octavo día, Terencio hubo de sacar de la tesorería una moneda correspondiente a 128 unidadesmonetarias. Pesaba 640 gramos y tenía unos 10,50 cm de anchura.

La séptima moneda, la novena moneda y la undécima moneda

El noveno día, Terencio llevó al salón imperial una moneda equivalente a 256 unidades monetarias.Tenía 13 cm de ancho y pesaba 1,25 kg.El duodécimo día, la moneda alcanzó casi 27 cm de diámetro con un peso de 10,25 kg.El emperador, que hasta aquel entonces había contemplado afablemente al guerrero, no disimulabaya su triunfo. Veía que Terencio había hecho 12 viajes y sacado de la tesorería poco más de 2.000monedas de bronce.El día decimotercero esperaba a Terencio una moneda equivalente a 4.096 unidades monetarias.Tenía unos 34 cm de ancho y su peso era igual a 20,5 kg.El día decimocuarto, Terencio sacó de la tesorería una pesada moneda de 41 kg de peso y unos 42cm de anchura.-¿Estás ya cansado, mi valiente Terencio? -le preguntó el emperador, reprimiendo una sonrisa.-No, señor mío -contestó ceñudo el guerrero, secándose el sudor que bañaba su frente.

La decimotercera moneda y la decimoquinta moneda



Llegó el día decimoquinto. Ese día, la carga de Terencio fue pesada. Se arrastró lentamente hasta elemperador, llevando una enorme moneda formada por 16.384 unidades monetarias. Tenía 53 cm deanchura y pesaba 80 kg: el peso de un guerrero talludo.El día decimosexto, el guerrero se tambaleaba bajo la carga que llevaba a cuestas. Era una monedaequivalente a 32.768 unidades monetarias, de 164 kg de peso y 67 cm de diámetro.El guerrero había quedado extenuado y respiraba con dificultad. El emperador sonreía...Cuando Terencio apareció, al día siguiente, en el salón del trono del emperador, fue acogido congrandes carcajadas. No podía llevar en brazos su carga, y la hacía rodar ante él. La moneda tenía 84cm de diámetro y pesaba 328 kg. Correspondía al peso de 65.536 unidades monetarias.El decimoctavo día fue el último del enriquecimiento de Terencio. Aquel día terminaron las idas yvenidas desde la tesorería al salón del emperador. Esta vez hubo de llevar una monedacorrespondiente a 131.072 unidades monetarias. Tenía más de un metro de diámetro y pesaba 655kg.

La decimosexta moneda y la decimoséptima moneda

Utilizando la lanza como si fuera una palanca, Terencio, con enorme esfuerzo, apenas si pudohacerla llegar rodando al salón. La gigantesca moneda cayó con estrépito a las plantas delemperador.Terencio se hallaba completamente extenuado.-No puedo más... Basta -susurró.El emperador reprimió con esfuerzo una carcajada de satisfacción al ver el éxito completo de suastucia. Ordenó al tesorero que contara cuántos bras, en total, había llevado Terencio al salón deltrono.



La decimoctava moneda

El tesorero cumplió la orden y dijo:-Majestad, gracias a tu largueza, el guerrero Terencio ha recibido una recompensa de 262.143 bras.Así, pues, el avaro emperador entregó al guerrero alrededor de la vigésima parte de la suma de unmillón de denarios que había solicitado Terencio.Comprobemos los cálculos del tesorero, y de paso, el peso de las monedas. Terencio llevó:

1 1 bras 5 g2 2 10 g3 4 20 g4 8 40 g5 16 80 g6 32 160 g7 64 320 g8 128 640 g9 256 1 kg 280 g10 512 2 kg 560 g11 1.024 5 kg 120 g12 2.048 10 kg 240 g13 4.096 20 kg 480 g14 8.192 40 kg 960 g15 16.384 81 kg 920 g16 32.768 163 kg 840 g17 65.536 327 kg 680 g18 131.072 655 kg 360 g

Conocemos ya el procedimiento para calcular fácilmente la suma de números que forman series deeste tipo; para la segunda columna, esta suma es igual a 262.143, de acuerdo con la regla indicadaen la página 129. Terencio había solicitado del emperador un millón de denarios, o sea, 5.000.000de bras. Por consiguiente, gracias a esta treta del emperador, recibió:

5.000.000/262.143 = 19 veces menos que la suma pedida.

54Esta es la leyenda. No podemos asegurar que haya sucedido en realidad lo que hemos contado; sinembargo, la recompensa de que habla la leyenda debe expresarse por ese número; de ello puedenconvencerse, haciendo ustedes mismos el cálculo. Si se comienza por la unidad, hay que sumar lassiguientes cifras: 1, 2, 4, 8, etc. El resultado obtenido tras 63 duplicaciones sucesivas nos mostrarála cantidad correspondiente a la casilla 64, que deberá recibir el inventor. Operando como se haindicado en la página 129, podemos fácilmente hallar la suma total de granos, si duplicamos elúltimo número, obtenido para la casilla 64, y le restamos una unidad. Es decir, el cálculo se reducesimplemente a multiplicar 64 veces seguidas la cifra dos:

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2...



y así sucesivamente 64 veces.Con objeto de simplificar el cálculo, podemos dividir estos 64 factores en seis grupos de diez dosesy uno de cuatro doses. La multiplicación sucesiva de diez doses, como es fácil comprobar, es iguala 1.024 y la de cuatro doses es de 16. Por lo tanto, el resultado que buscamos es equivalente a:

1.024 x 1.024 x 1.024 x 1.024 x 1.024 x 1.024 x 16.

Multiplicando 1.024 x 1.024 obtenemos 1.048.576.Ahora nos queda por hallar:

1.048.576 x 1.048.576 x 1.048.576 x 16.

Restando de¡ resultado una unidad, obtendremos el número de granos buscado:

18.446.744.073.709.551.615.

Para hacernos una idea de la inmensidad de esta cifra gigante, calculemos aproximadamente lamagnitud del granero capaz de almacenar semejante cantidad de trigo. Es sabido que un metrocúbico de trigo contiene cerca de 15 millones de granos. En ese caso, la recompensa del inventordel ajedrez deberá ocupar un volumen aproximado de 12.000.000.000.000 m3, 0 lo que es lomismo, 12.000 km3. Si el granero tuviera 4 m de alto y 10 m de ancho, su longitud habría de ser de300.000.000 de km, o sea, el doble de la distancia que separa la Tierra del Sol.El rey hindú, naturalmente, no pudo entregar semejante recompensa. Sin embargo, de haber estadofuerte en matemáticas, hubiera podido librarse de esta deuda tan gravosa. Para ello le habríabastado simplemente proponer a Seta que él mismo contara, grano a grano, el trigo que lecorrespondía.Efectivamente, si Seta, puesto a contar, hubiera trabajado noche y día, contando un grano porsegundo, habría contado en el primer día 86.400 granos. Para contar un millón de granos hubieranecesitado, como mínimo, diez días de continuo trabajo. Un metro cúbico de trigo lo hubieracontado aproximadamente en medio año, lo que supondría un total de cinco cuartos. Haciendo estosin interrupción durante diez años, hubiera contado cien cuartos como máximo, por mucho que seesforzase.Por consiguiente, aunque Seta hubiera consagrado el resto de su vida a contar los granos de trigoque le correspondían, habría recibido sólo una parte ínfima de la recompensa exigida.

55Haciendo un cálculo semejante, no sobre la amapola, sino sobre cualquier otra planta que produzcasemillas en menor número, obtendríamos resultados parecidos, con la única diferencia de que sudescendencia cubriría toda la superficie terrestre, no en cinco años, sino en un plazo algo mayor.Tomemos, por ejemplo, un diente de león, que produce aproximadamente cada año 10 semillas. Sitodas ellas crecieran, obtendríamos:

En un año 1 planta2 años 100 plantas3 10.000 plantas4 1.000.000 plantas



5 100.000.000 plantas6 10.000.000.000 plantas7 1.000.000.000.000 plantas8 100.000.000.000.000 plantas9 10.000.000.000.000.000 plantas

Este número de plantas es setenta veces superior al número de metros cuadrados de tierra firme queexisten en el globo terrestre.Por consiguiente, al noveno año, los continentes de la Tierra quedarían totalmente cubiertos dedientes de león, habiendo setenta plantas en cada metro cuadrado.¿-,Por qué, en la realidad, no se da una reproducción tan rápida y abundante? Se debe a que lainmensa mayoría de las semillas mueren sin germinar, bien porque al iniciarse el crecimiento sonahogadas por otra planta, o bien, finalmente, porque son destruidas por los animales. Pero si ladestrucción en masa de semillas y retoños no se verificara, cada planta, en un período de- tiemporelativamente breve, cubriría completamente nuestro planeta.Este fenómeno ocurre no sólo con las plantas, sino también con los animales. De no interrumpir lamuerte su multiplicación, la descendencia de una pareja cualquiera de animales, tarde o tempranoocuparía toda la Tierra. Una plaga de langosta, que cubre totalmente espacios enormes, puedeservirnos de ejemplo para dar una idea de lo que ocurriría si la muerte no obstaculizara el procesode reproducción de, los seres vivos. En el curso de unos dos o tres decenios, todos los continentesse cubrirían de bosques y estepas intransitables abarrotados de millones de animales, luchandoentre sí para conseguir sitio. El océano se llenaría de peces en tal cantidad que se haría imposible lanavegación marítima. El aire perdería casi totalmente su transparencia debido al inmenso númerode pájaros e insectos.Examinemos, a modo de ejemplo, la rapidez con que se multiplica la mosca doméstica de todosconocida. Aceptemos que cada mosca deposita ciento veinte huevecillos y que durante el veranotienen tiempo de aparecer siete generaciones, en cada una de las cuales la mitad son machos y lamitad hembras. Supongamos que la mosca en cuestión deposita por primera vez los huevos el 15 deabril y que cada hembra, en veinte días, crece lo suficiente para poder ella misma depositar nuevoshuevos. En ese caso, la reproducción se desarrollará en la forma siguiente:

15 de abril: cada hembra deposita 120 huevos; a comienzos de mayo nacen 120 moscas, de lascuales 60 son hembras.5 de mayo: cada hembra deposita 120 huevos; a mediados de mayo aparecen 60 x 120 = 7.200moscas, de las cuales 3.600 son hembras.25 de mayo: cada una de las 3.600 hembras deposita 120 huevos; a comienzos de junio nacen 3.600x 120 = 432.000 moscas, de las cuales la mitad, 216.000, son hembras.14 de junio: las 216.000 hembras depositan 120 huevos cada una; a finales de junio habrá25.920.000 moscas, entre ellas 12.960.000 son hembras.5 de julio: cada una de esas 12.960.000 hembras deposita 120 huevos; en julio nacen 1.555.200.000moscas más, de las que 777.600.000 son hembras.25 de julio: nacen 93.213.000.000 moscas, de ellas 46.656.000.000 son hembras.13 de agosto: nacen 5.598.720.000.000 moscas, de las cuales 2.799.360.000.000 son hembras.1 de septiembre: nacen 355.923.200.000.000 moscas.

Para comprender mejor lo que supone esta enorme cantidad de moscas, todas procedentes de unasola pareja, si la reproducción se verifica sin impedimento alguno durante un verano, imaginemos



que todas ellas están dispuestas en línea recta, una junto a la otra. Midiendo una mosca, por términomedio, 5 mm, todas ellas, colocadas una tras otra, formarán una fila de 2.500 millones de km, o sea,una distancia dieciocho veces mayor que la que separa la Tierra del Sol (aproximadamente como dela Tierra al planeta Urano).Como conclusión, citemos algunos casos reales de multiplicación extraordinariamente rápida deanimales, en condiciones favorables.Al principio, en América no 'existían gorriones. Este pájaro, tan corriente entre nosotros, fuellevado a los Estados Unidos con el fin de exterminar allí los insectos nocivos. Los gorriones, comosabemos, comen en abundancia orugas voraces y otros insectos destructores de plantas en huertos yjardines. El nuevo ambiente fue del agrado de los gorriones; en América no había, por aquelentonces, aves de rapiña que se alimentaran de gorriones y, por lo tanto, éstos comenzaron areproducirse con gran rapidez. Al poco tiempo, el número de insectos nocivos decreciónotoriamente. Pero los gorriones se multiplicaron en tal forma que ante la escasez de alimentoanimal, comenzaron a comer vegetales y a devastar los sembrados. Hubo, pues, necesidad deemprender la lucha contra los gorriones. Esta lucha costó tan cara a los norteamericanos que sepromulgó una ley prohibiendo la importación futura a dicho país de cualquier especie de animales.Otro ejemplo. En Australia no existían conejos cuando ese continente fue descubierto por loseuropeos. Llevaron allí el conejo a finales del siglo XVIII, y como en ese país no había animalescarnívoros que se alimentasen de conejos, el proceso de reproducción de estos roedores sedesarrolló a ritmo rapidísimo. Poco tiempo después, los conejos, en masas enormes, habíaninvadido toda Australia, ocasionando terribles daños a la agricultura y convirtiéndose en unaverdadera plaga para el país. En la lucha contra ese azote de la agricultura se emplearon colosalesrecursos y sólo gracias a medidas enérgicas se llegó a contrarrestar esa desgracia. Un casosemejante se repitió más tarde en California.La tercera historia que deseo relatar y que sirve de enseñanza, ocurrió en la isla de Jamaica. En esaisla había serpientes venenosas en gran abundancia. Para librarse de ellas se decidió llevar a la islael pájaro serpentaria, destructor furibundo de serpientes venenosas. En efecto, poco tiempodespués, el número de serpientes había disminuido considerablemente. En cambio, se multiplicaronde manera extraordinaria las ratas de campo, que antes eran devoradas por las serpientes. Las ratasocasionaron daños tan terribles en las plantaciones de caña de azúcar que los habitantes del país sevieron obligados a buscar urgentemente la forma de exterminarlas. Es sabido que el mundo indio esenemigo de las ratas. Se tomó la decisión de llevar a la isla cuatro parejas de estos animales y depermitir su libre reproducción. Los mungos se adaptaron perfectamente a la nueva patria y prontopoblaron toda la isla. Al cabo de unos diez años, casi todas las ratas habían sido exterminadas. Peroentonces surgió una nueva tragedia: los mungos, al carecer de ratas, comenzaron a alimentarse decuantos animales hallaban a su alcance, devorando cachorros, cabritillas, cerditos, aves domésticasy sus huevos. Al aumentar en número, empezaron a devastar los huertos, los sembrados y lasplantaciones. Los habitantes iniciaron una campaña de exterminio de sus recientes aliados; sinembargo, consiguieron limitar únicamente en cierto grado los daños ocasionados por los mungos.

56Sin embargo, los diez jóvenes no lograron llegar hasta ese día. Y no porque el hotelero nocumpliera su palabra, sino porque el número total de combinaciones diferentes alrededor de la mesaes extraordinariamente grande. Exactamente 3.628.000. Fácil es calcular que este número de díasson casi diez mil años.Posiblemente a ustedes les parecerá increíble que diez personas puedan colocarse en un número tanelevado de posiciones diferentes. Comprobemos el cálculo.



Ante todo, hay que aprender a determinar el número de combinaciones distintas posibles. Paramayor sencillez, empecemos calculando un número pequeño de objetos, por ejemplo, tres.Llamémosles A, B y C.Deseamos saber de cuántos modos diferentes pueden disponerse, cambiando mutuamente suposición. Hagamos el siguiente razonamiento. Si se separa de momento el objeto C, los dosrestantes, A y B, pueden colocarse solamente en dos formas.Ahora agreguemos el objeto C a cada una de las parejas obtenidas. Podemos realizar esta operacióntres veces:

1) colocar C detrás de la pareja,2) C delante de la pareja.3) C entre los dos objetos de la pareja

Es evidente que no son posibles otras posiciones distintas para el objeto C, a excepción de las tresmencionadas. Como tenemos dos parejas, AB y BA, el número total de formas posibles decolocación de los tres objetos será:

2 x 3 = 6.

Sigamos adelante. Hagamos el cálculo para cuatro objetos.Tomemos cuatro objetos, A, B, C y D, y separemos de momento uno de ellos, por ejemplo, elobjeto D. Efectuemos con los otros tres todos los cambios posibles de posición. Ya sabemos quepara tres, el número de cambios posibles es seis. ¿En cuántas formas diferentes podemos disponerel cuarto objeto en cada una de las seis posiciones que resultan con tres objetos? Evidentemente,serán cuatro. Podemos:

1) colocar D detrás del trío,2) D delante del trío,3) D entre el 1° y 2° objetos,4) D entre el 2° y 3° objetos.

Obtenemos en total:

6 x 4 = 24 posiciones,

pero teniendo en cuenta que 6 = 2 x 3 y que 2 = 1 x 2, podemos calcular el número de cambiosposibles de posición haciendo la siguiente multiplicación:

1 x 2 x 3 x 4 = 24.

Razonando de idéntica manera, cuando haya cinco objetos hallaremos que el número de formasdistintas de colocación será igual a:

1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.

Para seis objetos será:



1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720,

y así sucesivamente.Volvamos de nuevo al caso antes citado de los diez comensales. Sabremos el número de posicionesque pueden adoptar las diez personas alrededor de la mesa si nos tomamos el trabajo de calcular elproducto siguiente:

1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x l0.

Resultará el número indicado anteriormente:

3.628.000.El cálculo sería más complicado si de los diez comensales, cinco fueran muchachas y desearansentarse a la mesa alternando con los muchachos. A pesar de que el número posible decombinaciones se reduciría en este caso considerablemente, el cálculo sería más complejo.Supongamos que se sienta a la mesa, indiferentemente del sitio que elija, uno de los jóvenes. Losotros cuatro pueden sentarse, dejando vacías para las muchachas las sillas intermedias, adoptando 1x 2 x 3 x 4 = 24 formas diferentes. Como en total hay diez sillas, el primer joven puede ocupar 10sitios distintos. Esto significa que el número total de combinaciones posibles, para los muchachoses 10 x 24 = 240.¿En cuántas formas diferentes pueden sentarse en las sillas vacías, cinco situadas entre los jóvenes,las cinco muchachas? Evidentemente serán 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120. Combinando cada una de las240 posiciones de los muchachos con cada una de las 120 que pueden adoptar las muchachas,obtendremos el número total de combinaciones posibles, o sea,

240 x 120 = 28.800.

Este número, como vemos, es muchas veces inferior al que hemos citado antes y obtenemos untotal de 79 años. Los jóvenes clientes del restaurante que vivieran hasta la edad de cien añospodrían asistir a una comida gratis servida, si no por el propio hotelero, al menos por uno de susdescendientes.Como fin de nuestra charla sobre el número de combinaciones posibles, resolvamos el siguienteproblema relacionado con la vida escolar.Hay en la clase veinticinco alumnos. ¿En cuántas formas diferentes pueden sentarse en lospupitres?Para los que han asimilado lo expuesto anteriormente, la solución es muy sencilla: basta multiplicarsucesivamente los números siguientes:

1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x ... x 23 x 24 x 25.

En matemáticas existen diversos métodos de simplificación de los cálculos, pero para facilitaroperaciones como la que acabamos de mencionar, no los hay. El único procedimiento para efectuarexactamente esta operación consiste en multiplicar con paciencia todos los números. Sólo puedereducirse algo el tiempo requerido para efectuar esa multiplicación, eligiendo una agrupaciónacertada de los mismos. El resultado que se obtiene es un número enorme compuesto de veintiséiscifras, cuya magnitud es incapaz nuestra imaginación de representársela:



15.511.210.043.330.985.984.000.000.

De todos los números que hemos visto hasta ahora, éste es, naturalmente, el más grande, y a él, másque a ningún otro, le corresponde la denominación de número gigante. El número de gotitasdiminutas de agua que contienen todos los océanos y mares del globo terrestre es pequeño si secompara con este número enorme.

57-¿Cuántos cambios de lugar has hecho? -preguntó mi hermano, aprobando mi trabajo.-No los he contado.-Vamos a comprobarlo. Es interesante saber de qué modo es posible alcanzar el fin propuestoefectuando el mínimo de permutaciones. Si la pila constara de dos monedas y no de cinco, una de1,5 y otra de 10 cm, ¿cuántos cambios hubieras necesitado hacer?-Tres: la de 1 cm al plato del centro, la de 1,5 al tercero y después la de 1 al tercero.-Perfectamente. Ahora aumentemos una moneda de 2 cm, y contemos los cambios que se requierenpara trasladar una pila compuesta de este número de monedas. Procedamos de la manera siguiente:primero, pasemos sucesivamente las dos monedas menores al plato intermedio. Para ello es preciso,como ya sabemos, efectuar tres cambios. Después, pasemos la de 2 cm al tercer plato vacío; uncambio más. Seguidamente, traslademos las dos monedas que se hallan en el plato intermedio altercero, o sea, tres cambios más.En resumen hemos hecho:

3 + 1 + 3 = 7 cambios.

-Para el caso de cuatro monedas, permíteme a mí calcular el número de cambios que se requieren.Primero paso las tres monedas menores al plato intermedio, lo que supone siete cambios; después lade 4 cm la coloco en el tercero -un cambio más- y seguidamente trasladó las tres monedas menoresal tercer plato; o sea, siete cambios más. En total:

7 + 1 + 7 = 15.

-Magnífico. ¿Y para 5 monedas?Dije en el acto: 15 + 1 + 15 = 31.-Exactamente, veo que has comprendido perfectamente el método de cálculo. Sin embargo, te voy amostrar un método todavía más sencillo. Fíjate en que los números obtenidos, 3, 7, 15 y 31 sontodos múltiples de dos a los que se ha restado una unidad. Mira.Y mi hermano escribió la siguiente tabla:

3= 2 x 2 - 17= 2 x 2 x 2 – 115=2 x 2 x 2 x 2-131= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 – 1



-Comprendido: hay que tomar la cifra 2 como factor tantas veces como monedas se deben cambiary después restar una unidad. Ahora, yo mismo puedo calcular el número de cambios necesariospara una pila de cualquier cantidad de monedas. Por ejemplo, para siete:

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 - 1 128 - 1 = 127.

-Veo que has comprendido este antiguo juego. Sólo necesitas conocer una regla práctica más: si lapila tiene un número impar de monedas, la primera hay que trasladarla al tercer plato; si es par,entonces hay que pasarla primero al plato intermedio.-Acabas de decir que es un juego antiguo. ¿Acaso no lo has inventado tú?-No; yo solamente lo he aplicado. Este juego es antiquísimo y dicen que procede de la India. Existeuna interesante leyenda acerca del mismo. En la ciudad de Benarés hay un templo,, en el cual,según cuenta la leyenda, el dios hindú Brahma, al crear el mundo, puso verticalmente tres palitos dediamantes, colocando en uno de ellos 64 anillos de oro: el más grande, en la parte inferior, y losdemás por orden de tamaño uno encima del otro. Los sacerdotes del templo debían, trabajandonoche y día sin descanso, trasladar todos los anillos de un palito a otro, utilizando el tercero comoauxiliar, y observando las reglas de nuestro juego, o sea, cambiar cada vez sólo un anillo y nocolocar un anillo de mayor diámetro sobre otro de menor. La leyenda dice que cuando los 64anillos estuvieran trasladados llegaría el final del mundo.-¡Oh!, esto significa, si diéramos crédito a esa leyenda, que el mundo hace ya tiempo que noexistiría.-¡Tú crees, al parecer, que el traslado de los 64 anillos no exige mucho tiempo!-Naturalmente. Realizando un cambio cada segundo, en una hora pueden hacerse 3.600 traslados.-¿Bueno y qué?-Pues que en un día se harían cerca de cien mil. En diez días, un millón. Pienso que un millón decambios es suficiente para cambiar incluso mil anillos.-Te equivocas. Para trasladar los 64 anillos se necesitan 500.000 millones de años, en númerosredondos.-¿Pero, por qué? El motivo de cambios es igual a la multiplicación sucesiva de 64 doses menos unaunidad, y esto supone... Espera, ahora lo calculo.-Perfectamente. Mientras tú verificas el cálculo, tengo tiempo de ir a resolver mis asuntos.Marchóse mi hermano dejándome sumido en mis cálculos. Primero hice el producto de 16 doses, elresultado -65.536- lo multipliqué por sí mismo, y el número así obtenido lo volví a multiplicar porsí mismo. Por fin, no me olvidé de restar una unidad.Obtuve el número siguiente:

18.446.744.073.709.551.615.

Evidentemente, mi hermano tenía razón.

62A primera vista parece como si este problema no tuviera relación alguna con la geometría. Pero eneso estriba precisamente el dominio de esta ciencia, en saber descubrir los principios geométricosen que están fundados los problemas, cuando se encuentran ocultos entre detalles accesorios.Nuestra tarea es, sin duda, puramente geométrica. Sin poseer suficientes conocimientos degeometría, no es posible resolver ese problema.



Así, pues, ¿por qué el eje delantero de la carreta se desgasta más rápidamente que el trasero? Detodos es conocido que el diámetro de las ruedas delanteras es menor que el de las traseras. En unmismo recorrido, el número de vueltas que da la rueda pequeña es siempre mayor. En la pequeña,el perímetro, de la circunferencia exterior es menor, por lo cual cabe más veces en la longitud dada.Se comprende, por tanto, que en cualquier recorrido que haga la carreta, las ruedas delanteras daránmás vueltas que las traseras, y naturalmente, a mayor número de revoluciones, el desgaste del ejeserá más intenso

63Se equivocan ustedes si piensan que a través de la lupa, nuestro ángulo resulta de una magnitud 11/2 x 4 = 6°. La magnitud del ángulono aumenta lo más mínimo almirarlo a través de la lupa. Es verdadque el arco del ángulo que se mideaumenta sin duda alguna, pero en lamisma proporción aumentarátambién el radio de dicho arco, de modo que la magnitud del ángulo central quedará invariable. Lafigura aclarará lo dicho.

64Examine la figura en la cual MAN indica laposición inicial del arco de nivel y M'BN lanueva posición. La cuerda M'N' forma conla cuerda MN un ángulo de medio grado. Laburbuja, que se hallaba antes en el punto A,no cambia de lugar, mientras que el puntocentral del arco MN pasa a ocupar laposición B. Se trata de calcular la longituddel arco AB, sabiendo que su radio es de 1m y que el ángulo correspondiente a dicho arco es de medio grado (esto se deduce de la igualdad deángulos agudos con lados perpendiculares).El cálculo no es difícil. La longitud de la circunferencia total, para un radio de 1 m (1.000 mm), esigual a 2 x 3,14 x 1.000 = 6.280 mm. Como la circunferencia tiene 360° o 720 medios grados, lalongitud correspondiente a medio grado será

6.280: 720 = 8,7 mm.La burbuja se desplazará respecto de la marca (mejor dicho, la marca se desplazará respecto de laburbuja) unos 9 mm, casi un centímetro. Lógicamente se comprende que cuanto mayor sea el radiode curvatura del tubo, tanto mayor será la sensibilidad del nivel.

65Este problema se plantea en serio, y está basado en los errores habituales que se cometen al hacerun uso impropio de las palabras. Un lápiz de seis aristas no tiene seis caras, como seguramentepiensa la mayoría. Si no está afilado, tiene ocho caras: seis laterales y dos frontales más pequeñas.Si tuviera realmente seis caras, el lápiz tendría otra forma completamente distinta, la de una barritade sección rectangular.La costumbre de considerar en un prisma sólo las caras laterales olvidándose de las bases, está muyextendida. Muchos dicen «prisma de tres caras, de cuatro caras», etcétera, mientras que en realidad



deben llamarse: triangular o triédrico, cuadrangular o tetraédrico, etc., según sea la forma de labase. No existen prismas de tres caras, o sea, prismas con tres aristas.Así, pues, el lápiz de que se trata en el problema, debe llamarse, si se habla correctamente, no deseis caras, sino hexagonal o hexaédrico.

66Debe efectuarse como se indica en la figura. Se obtienen seispartes, que numeramos para hacerlas más evidentes.

67Las cerillas deben colocarse como muestra la figuraa; la superficie de esta figura es igual al cuádruplo dela de un cuadrado hecho con cuatro cerillas. ¿Cómose comprueba que esto es así? Para ello aumentamosmentalmente nuestra figura hasta obtener untriángulo. Resulta un triángulo rectángulo de trescerillas de base y cuatro de altura. Su superficie será iguala la mitad del producto de la base por la altura: 1/2 x 3 x 4= 6 cuadrados de lado equivalente a una cerilla (véasefigura b). Pero nuestra figura tiene evidentemente un áreamenor, en dos cuadrados, que la del triángulo completo, ypor lo tanto, será igual a cuatro cuadrados, que es lo quebuscamos.

68Puede demostrarse que de todas las figuras concontornos de idéntico perímetro, la que tiene mayorárea es el círculo. Naturalmente que a base de cerillasno es posible construir un círculo; sin embargo, conocho cerillas puede componerse la figura másaproximada al círculo, un octágono regular (véase lafigura). El octágono regular es la figura que satisfacelas condiciones exigidas en nuestro problema, pues esla que, con igual número de cerillas, posee mayorsuperficie.

69Para resolver este problema hay que desarrollar la superficie lateral del vaso cilíndrico,extendiéndola en un plano. En esta forma obtendremos un rectángulo (véase la figura) de 20 cm dealtura y una base cuya longitud es igual a la circunferencia del vaso, o sea, 10 x 3 1/7 = 31 1/2 cm



(aproximadamente). Marquemos en este rectángulo los lugares correspondientes a la mosca y a lagotita de miel. La mosca está en el punto A, situado a 17 cm de la base; la gotita de miel, en elpunto B, a la misma altura y distante del punto A la longitud correspondiente a mediacircunferencia del vaso, o sea, 15 3/4 CM.Para hallar ahora el punto donde la mosca ha de cruzar el borde del vaso pasando a su interior, hayque hacer lo siguiente. Tracemos desde el punto B (véase la figura), dirigida hacia arriba, unaperpendicular a AB y continuándola hasta el punto C equidistante de] punto B en relación al bordedel vaso. Seguidamente, tracemos la recta CA. El punto de intersección D será donde la moscacruce el borde, al pasar al otro lado del vaso. El camino ADB será el más corto.Una vez hallado el camino más corto en el rectángulo desplegado, lo enrollamos de nuevo en formade cilindro y veremos perfectamente qué ruta debe seguir la mosca para llegar con más rapidezhasta la gotita de miel (véase la figura).No puedo asegurar que la mosca vaya a elegir en un caso semejante dicho camino. Es posible queorientándose por el olfato, la mosca efectivamente marche por la trayectoria más corta, pero no esmuy probable, pues el olfato en estos casos no es un sentido que ofrezca tanta precisión.

70Aunque parezca extraño, la moneda de cinco pesetas puede pasar por un orificio tan pequeño. Paraello, se necesita solamente saber hacerlo. Se dobla la hoja de papel de manera que se alargue elorificio circular y adquiera la forma de una ranura (véase la figura). Por esa ranura pasaperfectamente la moneda de cinco pesetas.El cálculo geométrico ayuda a comprender este truco, que a primera vista parece complicado. Eldiámetro de la moneda de diez céntimos es de 18 mm. Su circunferencia, fácil de calcular, es depoco menos de 57 mm. La longitud de la ranura rectilínea será, evidentemente, la mitad delperímetro, o sea, unos 28 mm. Por otra parte, el diámetro de la moneda de cinco pesetas es de 23mm; por lo tanto, puede pasar sin dificultad por la ranura de 28 mm incluso teniendo en cuenta suespesor (1 1/2 mm).

71Para determinar por la fotografía la altura de la torre en su tamaño natural, hay que medir, lo másexactamente posible, la altura de la torre y la longitud de su base en la foto. Supongamos queobtenemos: para la altura 95 mm, y para la longitud de la base 19 mm. Después se mide la longitudde la base de la torre directamente del natural. Supongamos que sea igual a 14 metros.Hagamos ahora el razonamiento siguiente.La torre y su imagen en la fotografía poseen configuraciones geométricas semejantes. Porconsiguiente, la proporción entre las dimensiones de la base y la altura, en ambos casos, será lamisma. En la foto es de 95 : 19 = 5; de donde deducimos que la altura de la torre es cinco vecesmayor que su base, es decir, 14 x 5 = 70 metros.Por lo tanto, la torre de la ciudad tiene 70 m de altura.Sin embargo, hay que hacer notar que para determinar por el método fotográfico la altura de la torreno sirve cualquier fotografía, sino sólo las que no alteren las proporciones, cosa poco frecuente enfotógrafos con poca experiencia.

72De ordinario, a las dos preguntasplanteadas en este problema secontesta afirmativamente, lo que es



un error. En realidad, son semejantes únicamente los triángulos; los rectángulos exterior e interioren general, no son semejantes. Para que los triángulos sean semejantes es suficiente la igualdad desus ángulos, y, puesto que los lados de ambos triángulos, interior y exterior, son paralelos, las dosfiguras serán seme antes. Pero para que se cumpla la semejanza geométrico en otros polígonos nobasta con la igualdad de los ángulos (o lo que es lo mismo, con el paralelismo de los lados); esnecesario que los lados de ambos polígonos circunscritos sean, además, proporcionales. En elmarco, para los rectángulos exterior e interior, esto se verifica sólo cuando son cuadrados (y engeneral, rombos). En todos los demás casos, los lados del rectángulo exterior no son proporcionalesa los del interior, y por tanto, los rectángulos no son semejantes. La falta de semejanza se hace másnotoria en los marcos anchos y de forma rectangular, como puede verse en la figura. En el marco dela izquierda, las longitudes de los lados del rectángulo exterior se hallan en la proporción de 2 : 1 yen el interior de 4 : 1. En el marco de la derecha, para los exteriores es de 4 : 3 y para los interioresde 2 : 1.

73Es posible que a muchos les sorprenda que la solución de este problema requiera ciertosconocimientos de astronomía referentes a la distancia de la Tierra al Sol y a la magnitud deldiámetro solar.La longitud de la sombra totalformada en el espacio por elalambre puede determinarsegeométricamente por elesquema representado en lafigura. Es fácil ver que lasombra es mayor que el diámetro del alambre en la misma proporción que la distancia que separa elSol de la Tierra (150.000.000 de km) lo es respecto del diámetro del Sol (1.400.000 km). La últimarelación es, en números redondos, igual a 115. Esto significa que la longitud de la sombra total queforma el alambre en el espacio es:

4 x 115 = 460 mm = 46 cm.

La longitud insignificante de la sombra total proyectada explica el que la sombra no se vea connitidez en la tierra o en los muros de las casas; las rayas débiles que se distinguen en estos casos, noson sombras propiamente dichas, sino semisombras.Al examinar el rompecabezas número 7 hemos indicado otra forma de resolver problemas de estetipo.

74La respuesta de que el ladrillito de juguete pesa 1 kg, o sea, la cuarta parte, es una granequivocación. El ladrillito no sólo es cuatro veces más corto que el ladrillo de verdad, sino quetambién es cuatro veces más estrecho y más bajo; por lo tanto, su volumen y peso son 4 x 4 x 4 =64 veces menores. La respuesta correcta es:El ladrillito de juguete pesa 4.000: 64 = 62,5 gramos.

75Están ustedes ya bastante preparados para resolver este problema. En virtud de que las figurashumanas son aproximadamente semejantes, al ser la estatura dos veces mayor, su volumen será, no



el doble, sino ocho veces mayor. Esto quiere decir que nuestro gigante es ocho veces más pesadoque el enano. El gigante más alto de que se tiene noticia fue un habitante de Alsacia de 275 cm dealtura: o sea, un metro más alto que cualquier persona de estatura normal. El enano más pequeñoconocido tenía una altura menor de 40 cm, o sea, era unas siete veces más bajo que el titánalsaciano.Por lo tanto, si en uno de los platillos de la balanza se coloca el gigante de Alsacia, en el otro seránecesario, para conseguir el equilibrio, colocar 7 x 7 x 7 = 343 enanos, un verdadero tropel degente.

76El volumen de la sandía mayor supera al de la menor casi el doble.Por consiguiente, es más ventajoso comprar la sandía mayor. Esta sandía es vez y media más cara,pero, en cambio, la parte comestible es dos veces mayor.Sin embargo, ¿por qué los vendedores piden, de ordinario, por tales sandías un precio no doble sinosólo vez y media mayor? Se explica eso simplemente porque los vendedores, en la mayoría de loscasos, no están fuertes en geometría. Por otra parte, tampoco conocen bien esta materia loscompradores, que a menudo, se niegan a comprar, por esta causa, mercancías ventajosas. Puedeafirmarse que es más lucrativo comprar sandías grandes que pequeñas, puesto que aquéllas sevaloran siempre por debajo de su precio verdadero; no obstante, muchos de los compradores no sedan cuenta de ello.Por esta misma razón, es siempre más ventajoso comprar huevos grandes que menudos si no sevenden a peso.

77La relación existente entre las longitudes de las circunferencias es igual a la de sus diámetrosrespectivos. Si la circunferencia de un melón mide 60 cm y la de otro 50 cm, la relación entre susdiámetros será de 60 : 50 = 6/5, y la relación entre los volúmenes será:El melón mayor debe costar, si se valora con arreglo a su volumen (o peso), 1,73 veces más que elmenor; en otras palabras, el 73 % más caro. En total, sólo piden el 50 % más. Está claro que tienemás cuenta comprar el mayor.

78De las condiciones impuestas por el problema se deduce que el diámetro de la cereza es tres vecesmayor que el diámetro del hueso, lo que significa que el volumen de la cereza es 3 x 3 x 3 = 27veces mayor que el del hueso. Al hueso le corresponde 1/27 del volumen de la cereza, mientras quea la parte carnosa, lo restante, es decir, 26/27. Por consiguiente, el volumen de la parte carnosa dela cereza es 26 veces mayor que el del hueso.

79Si el modelo pesa 8.000.000 de veces menos que la torre y ambos están hechos del mismo metal, elvolumen del modelo debe ser 8.000.000 menor que el de la torre. Sabemos que la relación entre losvolúmenes de los cuerpos semejantes es igual a la que existe entre los cubos de sus alturasrespectivas. Por consiguiente, el modelo debe ser 200 veces más bajo que el natural, puesto que

200 x 200 x 200 = 8.000.000

La altura de la torre es de 300 metros. De donde se deduce que la altura del modelo es



300 : 200 = 1 1/2 m.

80Ambas cacerolas son dos cuerpos geométricamente semejantes. Si la cacerola grande tiene unacapacidad ocho veces mayor, todas sus dimensiones lineales tendrán el doble de longitud: será eldoble de alta y el doble de ancha en ambas direcciones. Siendo el doble de alta y de ancha, susuperficie será 2 x 2 = 4 veces mayor, puesto que la relación entre las superficies de los cuerpossemejantes es idéntica a la de los cuadrados de sus dimensiones lineales. Si las paredes tienen elmismo espesor, el peso de las cacerolas depende de las áreas de sus superficies respectivas. Loexpuesto nos da respuesta a la pregunta formulada en el problema: la cacerola grande es cuatroveces más pesada que la pequeña.

81A primera vista, este problema parece como si no estuviera relacionado con las matemáticas; sinembargo, en lo fundamental, se resuelve a base de razonamientos geométricos, de modo semejantea como se ha explicado el problema anterior.Antes de proceder a su resolución, examinemos un problema parecido, pero algo más sencillo.Supongamos dos calderas, una grande y otra pequeña, de idéntica forma y construidas del mismometal. Ambas están llenas de agua hirviente. ¿Cuál de ellas se enfriará antes?Los objetos irradian el calor a través de su superficie; por tanto, se enfriará más rápidamenteaquella caldera en que a cada unidad de volumen corresponda mayor superficie de irradiación. Siuna de las calderas es n veces más alta y ancha que la otra, la superficie de la primera será n2 vecesmayor y su volumen n3 veces; a la caldera de mayor tamaño le corresponde, por cada unidad desuperficie, un volumen n veces mayor. Por consiguiente, la caldera menor debe enfriarse antes.Por la misma causa, la criatura expuesta al frío debe sentir éste más que la persona adulta, si ambasestán igualmente abrigados, puesto que la cantidad de calor que se origina en cada cm3 del cuerpo,es en ambos casi idéntica; sin embargo, la superficie del cuerpo que se enfría, correspondiente a uncm3, es mayor en la criatura que en la persona adulta.Así se explica que se enfríen con más intensidad los dedos de las manos y la nariz, y que se hielencon mayor frecuencia que otras partes del cuerpo, cuya superficie no es tan grande en comparacióncon su volumen.Para terminar, examinemos el problema siguiente: ¿Por qué una astilla arde con mayor rapidez queel leño del que se ha cortado?Debido a que el calentamiento se verifica en la superficie y se difunde por todo el volumen delcuerpo, habrá que establecer la relación existente entre la superficie y el volumen de la astilla (porejemplo, de sección cuadrada) con la superficie y el volumen de un leño de idéntica longitud ysección, y de este modo, determinar cuál será la superficie que corresponda a cada cm3 de maderaen ambos casos. Si el grosor del leño es diez veces mayor que el de la astilla, la superficie lateraldel leño será también diez veces mayor que la de la astilla, y el volumen del primero será cienveces mayor que el de la astilla. Por consiguiente, a cada unidad de superficie de la astilla, si lacomparamos con el leño, le corresponde la décima parte del volumen. La misma cantidad de caloractúa sobre ambos, pero en la astilla calienta un volumen de madera diez veces menor, lo queexplica que la astilla se inflame con mayor rapidez que el leño del que formaba parte.Por ser la madera mala conductora del calor, las proporciones indicadas hay que considerarlas sóloaproximadas; caracterizan únicamente la marcha general del proceso y no el aspecto cuantitativodel mismo.



82Si no hacemos un pequeño esfuerzo de imaginación, este problema parecerá muy difícil; sinembargo, su solución es muy sencilla. Supongamos, para mayor sencillez, que los terrones deazúcar tengan una magnitud cien veces mayor que las partículas de azúcar en polvo. Imaginemosahora que todas las partículas de azúcar en polvo aumenten de tamaño cien veces, junto con el vasoque las contiene. El vaso adquiriría una capacidad 100 x 100 x I(X) = 1.000.000 de veces mayor.En esta misma proporción aumentará el peso del azúcar en él contenido. Tomemos mentalmente unvaso corriente de este azúcar en polvo (aumentado cien veces), o sea, una millonésima del vasogigante. La cantidad tomada pesará, naturalmente, tanto como pesa un vaso ordinario de azúcar enpolvo corriente. ¿Qué representa en sí este azúcar en polvo que hemos tomado agrandado detamaño? Al fin y al cabo, lo mismo que el azúcar en terrones. Esto quiere decir que el vasocontiene, en peso, la misma cantidad de azúcar en polvo que de azúcar en terrones.Si aumentáramos el tamaño de las partículas de azúcar, no cien veces, sino sesenta u otro cualquiernúmero de veces, el problema no cambiaría en absoluto. El razonamiento está basado en que lostrozos de azúcar en terrones pueden considerarse como cuerpos geométricamente semejantes a laspartículas de azúcar en polvo y que están también distribuidos en el vaso en forma semejante.

83Lo mejor de todo es trasvasar el agua a un recipiente de cristal más estrecho. En este recipiente, elagua tendrá un nivel más alto, y al mismo tiempo, permitirá observar fácilmente la altura del mismoa través del cristal. Comprenderán ustedes que la altura medida en el recipiente estrecho nocorresponde al espesor de la capa de agua de lluvia que se desea medir. Sin embargo, es fácil pasarde una medida a la otra. Supongamos que el diámetro del fondo del recipiente estrecho seaexactamente la décima parte del diámetro del fondo del balde-pluviómetro utilizado. La superficiedel fondo del recipiente estrecho será 10 x 10 = 100 veces menor que la del fondo del balde. Estáclaro que el nivel del agua vertida del balde se hallará cien veces más alta en el recipiente de cristal.Esto quiere decir que si en el balde el espesor de la capa de agua de lluvia es de 2 mm, en elrecipiente de vidrio esta misma cantidad de agua alcanzará un nivel de 200 mm, o sea, 20 cm.De este cálculo se deduce que la vasija de vidrio, en comparación con el balde-pluviómetro, nodeberá ser muy estrecha, pues entonces tendría que ser excesivamente alta. Es suficiente que la.vasija de vidrio sea cinco veces más estrecha que el balde, pues en esta forma, la superficie de sufondo será veinticinco veces menor que la del balde, y el nivel del agua vertida se elevará en estamisma proporción. A cada milímetro de espesor en el balde corresponderán 25 mm de altura deagua en el recipiente de vidrio. Para facilitar esta operación, es conveniente pegar en la paredexterior de la vasija de vidrio una cinta de papel, dispuesta verticalmente, y marcarla cada 25 mm,designando sucesivamente las divisiones con las cifras 1, 2, 3, etc. En esta forma, bastará con mirarel nivel del agua en la vasija estrecha, y sin necesidad de cálculos complementarios, sabremosinmediatamente el espesor de la capa de agua en el balde-pluviómetro. Si el diámetro de la vasijaestrecha no fuera 5, sino 4 veces menor, entonces habría que graduar en la pared de vidrio cada 16mm, y así sucesivamente.Es muy incómodo echar el agua del balde a la vasija medidora de vidrio derramándola por el borde.Lo mejor es hacer un pequeño orificio circular en la pared del balde y colocar en él un tubito decristal, provisto de tapón. Así se puede verter el agua con mayor comodidad.Así, pues, disponemos ya de los utensilios necesarios para medir el espesor de la capa de agua delluvia. Con el balde y la vasija medidora que hemos descrito no se podrán, claro está, realizar loscálculos con tanta precisión como con el pluviómetro y el cilindro graduado que se utilizan en las



estaciones meteorológicas. No obstante, estos instrumentos, sencillos y baratos, permitirán hacermuchos cálculos instructivos.

84En un cubo corriente caben 12 kg de agua. Por consiguiente, la lluvia ha regado el huerto con:

3.840: 12 = 320 cubos.

De lo dicho se deduce que hubiera usted necesitado echar en el huerto más de trescientos cubospara poder reemplazar el riego aportado por la lluvia que, en total, es posible que no durara más deun cuarto de hora.¿Cómo expresar en cifras cuándo la lluvia es fuerte o débil? Para ello es preciso determinar elnúmero de milímetros de agua (o sea, el espesor de la capa de agua) que caen durante un minuto, loque se llama magnitud de las precipitaciones. Si la lluvia fuera tal que en cada minuto cayeran, portérmino medio, 2 mm de agua, sería un chaparrón muy fuerte. Durante las lluvias menudas deotoño, cada milímetro de agua se acumula en el curso de una hora o en un período de tiempomayor.Como puede verse, es posible medir la cantidad de agua que cae durante la lluvia y hasta es fácilhacerlo. Además, si se quiere, puede hallarse la cantidad aproximada de gotas sueltas que caendurante la lluvia. En efecto, en una lluvia corriente, cada doce gotas pesan alrededor de un gramo.Esto supone que en cada m2 del huerto caen en este caso:

4.000 x 12 = 48.000 gotas.Es fácil calcular también el número de gotas de agua que caen en todo el huerto. Pero este cálculopuede efectuarse únicamente a modo de curiosidad; no tiene ninguna utilidad práctica. Lo hemosmencionado sólo para mostrar qué resultados, increíbles a primera vista, pueden obtenerse sisabemos efectuar y efectuamos esos cálculos.

85Sabemos que un metro es casi exactamente la cuarentamillonésima parte de la circunferencia delglobo terrestre. En otras palabras, la circunferencia de la Tierra es igual a 40.000.000 de m o sea40.000 km. El diámetro de cualquier círculo es 3 1/7 veces menor que el perímetro de sucircunferencia. Conociendo esto podemos hallar el diámetro de nuestro planeta:

40.000: 3 1/7 = 12.700 km.

La regla para determinar el área de una esfera consiste en multiplicar la longitud del diámetro por símisma y por 3 1/7, o sea:

12.700 x 12.700 x 3 1/7 = 509.000.000 de km2.

(A partir de la cuarta cifra hemos puesto ceros, pues sólo son exactas las tres primeras.)Por lo tanto, la superficie total del globo terrestre es de 509 millones de km cuadrados.Volvamos ahora a nuestro problema. Calculemos el agua que cae en cada km2 de la superficieterrestre. En un m2, o sea, 10.000 cm2, será:

78 x 10.000 = 780.000 cm3.



Un km2 tiene 1.000 x 1.000 = 1.000.000 de m2. Por lo tanto, el agua correspondiente a estaextensión será:

780.000.000.000 cm3 ó 780.000 m3.

En toda la superficie terrestre caerá:

780.000 x 509.000.000 = 397.000.000.000.000 m3

Para convertir esta cantidad de m3 en km3 hay que dividirla por 1.000 x 1.000 x 1.000, o sea, pormil millones. Obtenemos 397.000 km3.Por consiguiente, la cantidad anual de agua que cae en forma de precipitaciones atmosféricas, sobrenuestro planeta es, en números redondos, 400.000 km3.Con esto damos fin a nuestra charla sobre la geometría de la lluvia y de la nieve. En los libros demeteorología puede encontrarse una descripción más detallada de todo lo dicho.

86Puede cumplirse el trabajo, abriendo sólo tres eslabones. Para ello es preciso soltar los treseslabones de uno de los trozos y unir con ellos los extremos de los cuatro trozos restantes.

87Para resolver este problema hay que recordar cuántas patas tiene un escarabajo y cuántas posee unaaraña. El escarabajo tiene 6 patas, la araña 8.Sabiendo esto, supongamos que en la caja hubiera sólo escarabajos. En este caso, el número depatas sería 6 x 8 = 48, seis menos de las que se exigen en el problema. Reemplacemos unescarabajo por una araña. El número de patas aumentará en 2, puesto que la araña no tiene 6, sino 8patas.Está claro que si hacemos esta operación 3 veces consecutivas, el número de patas llegará a ser 54.Pero, entonces, de los 8 escarabajos quedarán sólo 5, los demás serán arañas. Así, pues, en la cajahabía 5 escarabajos y 3 arañas. Hagamos la comprobación: Los 5 escarabajos dan un total de 30patas; las tres arañas, 24, por tanto, 30 + 24 = 54, como exigen las condiciones planteadas en elproblema.Este problema puede resolverse también de otro modo. Supongamos que en la caja hubierasolamente arañas. Entonces, el número de patas sería 8 x 8 = 64, o sea diez más de las indicadas enel problema. Si reemplazamos una araña por un escarabajo, el número de patas disminuirá en 2. Senecesita, por tanto, hacer 5 cambios semejantes para que el número de patas llegue a ser elrequerido, 54. En otras palabras, de las 8 arañas hay que dejar sólo 3 y las restantes reemplazarlaspor escarabajos.

88Si en lugar del impermeable, el sombrero y los chanclos, dicha persona hubiera compradosolamente dos pares de chanclos, en vez de 140 duros habría pagado tanto menos cuanto másbaratos cuestan los chanclos que el impermeable y el sombrero juntos, o sea, 120 duros menos. Portanto, los dos pares de chanclos costaron 140 - 120 = 20 duros.Ahora ya sabemos que el impermeable y el sombrero juntos valían 140 - 10 = 130 duros, y además,que el impermeable costaba 90 duros más caro que el sombrero. Razonemos como lo hemos hechoantes: en lugar del impermeable y el sombrero, supongamos que esa persona comprara dos



sombreros. Habría pagado, no 130 duros, sino 90 duros menos. Esto significa que los dossombreros costaban 130 - 90 = 40 duros; de donde resulta que un sombrero valía 20 duros.Por consiguiente, el precio de las tres prendas fue: los chanclos, 10 duros; el sombrero, 20 duros, yel impermeable, 110 duros.

89El vendedor se refería a la cesta con 29 huevos. En las cestas con los números 23, 12 y 5 habíahuevos de gallina; los de pato se hallaban en las cestas designadas con el 14 y el 6.Hagamos la comprobación. Total de huevos de gallina que quedaron: 23 + 12 + 5 = 40. De pato 14+ 6 = 20.De gallina había el doble que de pato, lo que satisface las condiciones del problema.

90En este problema no hay nada que aclarar. El avión tarda el mismo tiempo en hacer el vuelo enambas direcciones, puesto que 80 minutos = 1 h y 20 minutos.El problema va destinado exclusivamente a los lectores que no prestan la debida atención alexaminar las condiciones planteadas en él y que pueden pensar que existe alguna diferencia entre 1h 20 min y 80 min. Aunque parezca raro, son muchas las personas que no caen en seguida en lacuenta; su número es mayor entre las acostumbradas a efectuar cálculos, que entre las pocoexperimentadas en ese terreno. Se debe eso a la costumbre de emplear el sistema decimal y lasunidades monetarias. Al ver la cifra 1 h 20 min y junto a ella 80 min, a primera vista nos parececomo si existiera alguna diferencia entre ellas, como por ejemplo ocurre en el caso de 1 peseta 20céntimos y 80 céntimos. Precisamente, el problema está basado en este error psicológico del lector.

91La clave del enigma consiste en que uno de los padres es hijo del otro. En total eran, no cuatro, sinotres personas: abuelo, hijo y nieto. El abuelo dio al hijo 150 duros y éste, de ese dinero, entregó alnieto (o sea, a su hijo) 100 duros, con lo cual los ahorros del hijo aumentaron, por consiguiente,sólo en 50 duros.

92Una de las fichas puede colocarse en cualquiera de las 64 casillas, o sea, en 64 formas diferentes.Una vez colocada la primera, puede ponerse la segunda en cualquiera de las 63 casillas restantes.Por tanto, a cada una de las 64 posiciones de la primera ficha hay que añadir las 63 posiciones de lasegunda. En total, el número de posiciones distintas que pueden ocupar las dos fichas en el tableroserá:

64 x 63 = 4.032

93El menor número entero que puede escribirse con dos cifras no es el diez, como seguramentepiensan algunos lectores, sino la unidad expresada de la manera siguiente:

1/1, 2/2, 3/3, 4/4 y así sucesivamente hasta 9/9

Aquellos que conozcan el álgebra pueden indicar también las siguientes:



10, 20, 30, 40, etc., hasta 90,

puesto que cualquier número elevado a cero es igual a la unidad.

94Hay que representarse la unidad como la suma de dos quebrados.

148/296 + 35/70 = 1

Los que tengan conocimientos de álgebra pueden dar además las siguientes respuestas:

123.456.7890; 234. 5679-8-1,

etcétera, pues los números con exponente cero son iguales a la unidad.Sin embargo, sería incorrecto que propusiéramos como resolución al problema 0 ó 00, pues estasexpresiones no tienen significación.

95He aquí dos procedimientos:

9 + (99/99) =10

El que sepa álgebra, puede aportar varias formas más, por ejemplo:

(9 * (9/9)) 9/9 = 10

9 + 99 9-9 = 10

96He aquí cuatro procedimientos:

70 + 24 * (9/18) + 5 * (3/6)80 * (27/54) + 19 * (3/6)

87 + 8 * (4/5) + 3 * (12/60)50 * (1/2) 49 * (38/76)

97El número 100 puede expresarse con cinco cifras iguales, empleando unos, treses, y lo mássencillo, cincos

111 - 11 = 100

33 * 3 + 3/3 = 100

5 * 5 * 5 - 5 * 5 = 100

(5 + 5 + 5 +5 +5) * 5 = 100



98A esta pregunta se contesta con frecuencia: 1111. Sin embargo, puede formarse un número muchomayor: once elevado a la undécima potencia, 1111. Si se tiene paciencia para llevar, hasta el fin estaoperación (con ayuda de los logaritmos estos cálculos se efectúan mucho más rápidamente), podráuno ver que es superior a 280.000 millones. Por consiguiente, supera a 1111 más de 250 millonesde veces.

99Los cuatro casos que damos a continuación coinciden con el ejemplo de división propuesto:

1.337.174: 943 = 1.4181.343.784: 949 = 1.4161.200.474: 846 = 1.4191.202.464: 848 = 1.418

100Una manera de resolver este ejemplo es:

7.375.428.413: 125.473 = 58.781.

Más tarde se han encontrado otros tres modos de resolverlo.Estos dos últimos problemas, de difícil solución, aparecieron por primera vez en las publicacionesnorteamericanas Periódico de Matemáticas, en el año 1920, y Mundo Escolar, en 1906.

101En un metro cuadrado hay un millón de milímetros cuadrados. Cada mil milímetros cuadrados,dispuestos uno junto a otro, constituyen un metro; mil millares formarán mil metros. Por lo tanto lalínea formada tendrá un kilómetro de longitud.

102La respuesta asombra por la magnitud inesperada que se obtiene: la columna se eleva a 1.000 km.Hagamos mentalmente el cálculo. Un metro cúbico contiene 1.000 x 1.000 x 1.000 milímetroscúbicos. Cada mil milímetros cúbicos, colocados uno encima del otro, forman una columna de1.000 m, o sea, 1 km. Pero como tenemos mil veces este número de cubitos, la altura de la columnaserá de 1.000 km.

103Examinando la figura se deduce (debido a la igualdad de los ángulos 1 y 2) que la relación entre las



dimensiones lineales del objeto y las correspondientes de la imagen es directamente proporcional ala que existe entre la longitud que dista del avión al objetivo y la profundidad de la cámara. Sidesignamos con la letra x la altura a que vuela el avión, expresada en metros, tendremos laproporción siguiente:

12.000 : 8 = x : 0, 12

de donde x = 180 m.

104Este tipo de cálculo se efectúa mentalmente multiplicando 89,4 g por un millón, o sea, por milmillares.Hagamos esta operación multiplicando dos veces sucesivas por mil. 89,4 g x 1.000 = 89,4 kg,puesto que 1 kg es mil veces mayor que un gramo. Después, 89,4 kg x 1.000 = 89,4 toneladas, puesuna tonelada es mil veces mayor que un kilogramo. Por tanto, el peso buscado será 89,4 toneladas.

105El número de caminos posibles para ir de A a B es de 70. (Este problema puede resolverse de formasistemática utilizando el triángulo de Pascal, que se describe en los libros de álgebra.)

106Como la suma de todas las cifras inscritas en la esfera delreloj es igual a 78, el número correspondiente a cada partedeberá ser 78: 6 = 13. Esto facilita hallar la solución que semuestra en la figura de la página siguiente.

107 y 108El modo de resolver estos problemas se indicaen las figuras.



109Una mesa de tres patas siempre puede apoyarse correctamente en el suelo con los tres extremos desus patas, puesto que por tres puntos situados en el espacio, puede pasar un plano y sólo uno. Poreste motivo, las mesas de tres patas son estables y nunca se balancean. Como se ve, este problemaes puramente geométrico y no físico.He aquí por qué es muy cómodo emplear trípodes para los instrumentos agrimensores y losaparatos fotográficos' La cuarta pata no aumenta la estabilidad; por el contrario, habría siemprenecesidad de preocuparse de la longitud exacta de las patas para que la mesa o los aparatos no sebalancearan.

110Es fácil contestar a la pregunta planteada en el problema si observamos la hora que marcan losrelojes. Las agujas del reloj de la izquierda marcan las 7 en punto. Esto significa que los extremosde las agujas abarcan un arco equivalente a 5/12 de la circunferencia completa.En grados, esto constituye:

360° x 5/12 = 150°

Las agujas del reloj de la derecha marcan las nueve y media. El arco comprendido por sus extremoses 3 1/2 veces la duodécima parte de la circunferencia, o sea 7/24 de ésta. Expresado en gradosserá:

360° * 7/24 = 105°

111Supongamos que la persona tenga 175 cm de altura y designemos con la letra R el radio de laTierra. Tendremos:

2 * 3,14 * (R + 175) - 2 * 3,14 * R = 2 * 3,14 * 175 = 1.100 cm

o sea, 11 metros. Lo sorprendente es que el resultado no depende en absoluto del radio del globo, ypor tanto, es el mismo para el Sol que para una bolita.



112Las condiciones impuestas por el problema sesatisfacen fácilmente si colocamos las personasformando un hexágono, como se muestra en la figura.

113El interés principal de este problema consiste en que para su resolución no pueden tomarsemagnitudes a, b, c, d, e, cualesquiera, sino que deberán tener valores perfectamente determinados.En efecto, queremos que la escuadra sombreada sea igual a cada una de las que no lo están. El ladoLM es sin duda menor queBC; por lo tanto, deberáser igual a AB. Por otraparte, LM debe ser igual aRC, o sea, LM = RC = b.Consiguientemente BR =a - zPero, BR debe ser igual aKL y CE, por lo tanto, BR= KL = CE, o sea, a - b =d y KL = dDe esto deducimos que a,b y d no pueden elegirsearbitrariamente. El lado dtiene que ser igual a la diferencia entre a y b. Pero esto es insuficiente. Veremos que todos los ladoshan de ser partes determinadas del lado a.Evidentemente, tenemos que PR * KL = AB o PR * (a - b) = b, es decir, PR = 2b - a. Comparandolos lados correspondientes de las escuadras, la sombreada y la no sombreada de la derecha,obtendremos: PR = MN, es decir, PR = d/2 de donde d/2 = 2b - a.Si comparamos esta última igualdad con la a - b = d, veremos que b = 3/5 a y d = 2/5 a.Confrontando la figura sombreada y la de la izquierda de las no sombreadas vemos también queAK = MN, o sea, AK = PR = d/2 = 1/5 a. En esta forma nos convencemos que KD = PR = 1/5 a;por consiguiente, AD = 2/5 a.

114Continuemos el cuento de Benediktov, que quedó interrumpido:La tarea era complicada. Las hijas, camino del mercado, comenzaron a consultarse una a la otra. Lasegunda y la tercera recurrieron al ingenio de la mayor, pidiéndole consejo. Ésta, después de pensarel asunto, dijo:-Hermanas, vamos a vender los huevos estableciendo el precio, no por docenas, como veníamoshaciendo hasta ahora, sino por septenas y ese precio lo mantendremos firmemente como nos indicó



nuestra madre. ¡No rebajéis ni un kopek el precio convenido! Por la primera septena pediremos 3kopeks, ¿de acuerdo?-¡Tan barato! -exclamó la segunda.-Sí, pero en cambio -contestó la mayor-, subiremos el precio para los huevos sueltos que quedan enlas cestas después de vender todas las septenas posibles. Me he enterado de que no habrá en elmercado más vendedoras de huevos que nosotras tres. No habrá, por tanto, competencia en elprecio. Es sabido que cuando la mercancía está terminándose y hay demanda, los precios suben.Con los huevos restantes recuperaremos las pérdidas.-¿Y qué precio vamos a pedir por los restantes? -preguntó la pequeña.-Nueve kopeks por cada huevo, y sólo este precio. Al que le hagan mucha falta huevos los pagará,no te preocupes.-¡Pero es muy caro! -repuso la segunda hermana.-¿Y qué? -respondió la mayor-; los primeros huevos, vendidos por septenas, son baratos. Lo unocompensará a lo otro.Llegaron al mercado y cada una de las hermanas se sentó en sitio diferente. Comenzaron a vender.Los compradores, contentos con la baratura, lanzáronse al puesto de la hermana menor, que teníacincuenta huevos, y se los compraron en un abrir y cerrar de ojos. Vendió siete septenas, y obtuvo21 kopeks. En la cesta le quedó un huevo. La segunda, que tenía tres decenas, vendió 28 huevos, osea, 4 septenas, y le quedaron 2 huevos. Sacó de beneficio 12 kopeks. La mayor vendió unaseptena, sacó 3 kopeks y le quedaron 3 huevos.Inesperadamente se presentó en el mercado una cocinera, enviada por su ama a comprar sin falta,costara lo que costara, una docena de huevos. Para pasar unos días con la familia, habían llegadolos hijos de la señora, que gustaban extraordinariamente de los huevos fritos. La cocinera corría deun lado para otro, pero los huevos ya se habían terminado. A las tres únicas vendedoras que habíaen el mercado les quedaban sólo 6 huevos: a una, un huevo, a otra, dos, y a la tercera, tres.-¡Vengan acá esos huevos! -dijo.La cocinera se acercó primero a la que tenía 3 huevos, la hermana mayor, que como sabemos habíavendido una septena por 3 kopeks.La cocinera preguntó:-¿Cuánto quieres por los tres huevos? -Nueve kopeks por cada uno.-¿Qué dices? ¿Te has vuelto loca? -preguntó la cocinera. -Como usted quiera -contestó-, pero amenor precio no los doy. Son los últimos que me quedan.La cocinera se acercó a la otra vendedora, que tenía 2 huevos en la cesta.-¿Cuánto cuestan?-A 9 kopeks. Es el precio establecido. Ya se terminan. -¿Y tu huevo, cuánto vale? -preguntó lacocinera a la hermana menor.-Lo mismo: 9 kopeks.¡Qué hacer! No tuvo más remedio que comprarlos a este precio inaudito.-Venga, compro todos los huevos que quedan.La cocinera dio a la hermana mayor 27 kopeks por los tres huevos, que con los tres kopeks quetenía, sumaban treinta; a la segunda le entregó 18 kopeks por el par de huevos, que con los 12 quehabía cobrado antes constituían 30 kopeks. La pequeña recibió de la cocinera, por el único huevoque le quedaba, 9 kopeks que al juntarlos con los 21 que ya poseía, le resultaron también 30kopeks.Terminada la venta, las tres hijas regresaron a casa, y al entregar cada una 30 kopeks a su madre, lecontaron cómo habían vendido los huevos, manteniendo todas un precio fijo y único y cómo se las



habían arreglado para que la ganancia, correspondiente a una decena y a cincuenta huevos, resultarauna misma cantidad y en total 90 kopeks.

FIN

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