INTRODUCCION AL ALGEBRA.

3a- RELACIONES.

Apuntes de la Cátedra.

Alberto Serritella.

Colaboraron: Vanesa Bergonzi

Cristian Mascetti.

Ricardo Galeazzi

Edición Previa – CECANA – CECEJS – CET – Junín – 2010.

UNNOBA

Universidad Nacional de Noroeste de la Pcia. de Bs. As.

Para mensajes: alberto_serritella@yahoo.com.ar

3a- RELACIONES:

Los conceptos de relaciones y funciones que veremos en esta unidad permiten construir buena parte

de la Matemática. Utilizando funciones se desarrolla la teoría sobre Estructuras Algebraicas, que en

una etapa posterior desemboca en los Espacios Vectoriales, Matrices, Sistemas de ecuaciones y

Determinantes. Por medio de relaciones de distintos tipos y de funciones se pueden construir

diferentes conjuntos de números. Y el estudio de las funciones definidas entre conjuntos numéricos

nos conduce al Análisis Matemático. Igualmente relaciones y funciones abren el camino a otras

ramas de las Matemáticas.

El embrión y puente hacia todo ello es el concepto de pares ordenados.

PARES ORDENADOS:

Intuitivamente un par ordenado es un conjunto de dos elementos, pero ordenado.

O sea que un par ordenado es " algo más " que un conjunto de dos elementos:

Es un conjunto de dos elementos al que se le agrega un criterio de orden que nos dice de esos dos

elementos cual es el primero y cual el segundo.

Siempre intuitivamente: el par ordenado formado por los elementos a y b será:

1° 2° → (a ; b) = { a ; b } "+" a b criterio de orden

El signo de suma está puesto entre comillas para remarcar que no es una verdadera

suma sino sólo que se agrega " algo " al concepto de conjunto de dos elementos.

Evidentemente no es lo mismo hablar del conjunto formado por Juan y Pedro que cumple:

{ Juan ; Pedro } = { Pedro ; Juan }

cuando simplemente se reúnen a conversar.

Que el caso de cuando el que es nombrado primero de ambos recibe el único regalo disponible.

( Juan ; Pedro ) ≠ ( Pedro ; Juan )

Por única vez daremos una definición rigurosa, entre varias posibles, de par ordenado:

{ } { }{ }a;b;a)b;a( =

O sea:

el par ordenado (a ; b)

está formado por dos datos:

el conjunto de dos elementos { a ; b }

y el elemento a .

¿Donde aparece el criterio de orden?.

El elemento a del conjunto unitario es el primero

y automáticamente el otro ( b ) es considerado segundo.

Corolario 1:

(a ; b) = (c ; d) ⇔ a = c ∧ b = d

Comentario:

En Teoría de Conjuntos se cumplía:

{ a ; b } = { b ; a }

Pero no ocurre lo mismo con los pares ordenados.

El siguiente corolario caracteriza a los pares ordenados

diferenciándolos de los conjuntos de dos elementos.

Corolario 2:

a ≠ b ⇔ (a ; b) ≠ (b ; a)

Las demostraciones de ambos corolarios son muy " técnicas " y totalmente ligadas a la definición

usada para par ordenado, por tal motivo se omiten. (Si alguien quiere hacerlas ¡ adelante !, son sencillas). Pero más importante que demostrarlos son los conceptos que tales corolarios dejan:

1) Cuando dos pares ordenados son iguales. (cuando sus componentes son respectivamente iguales).

2) Si dos elementos son distintos ello es lo mismo que decir que al cambiar el orden los pares

ordenados son distintos.

TERNAS ORDENADAS:

Es muy fácil extender el concepto de par ordenado a tres elementos:

la terna formada por a , b y c será, intuitivamente:

1° 2° 3° → (a ; b ; c) = { a ; b ; c } "+" a b c criterio de orden

Formalmente podría definirse así:

{ } { } { }{ }b;a;a;c;b;a)c;b;a( =

CUATERNAS ORDENADAS - OTROS CASOS:

Es igualmente factible extender el concepto de conjuntos ordenados a más cantidad de elementos.

Por ejemplo:

(a ; b ; c ; d) será una cuaterna ordenada.

Veremos luego otra manera de extender el concepto de par ordenado a más cantidad de elementos

mediante el concepto de familia de elementos. Un caso particular de familia de elementos que

veremos son las n-uplas , o sea conjuntos ordenados de n elementos.

PRODUCTO CARTESIANO:

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Definiremos el producto cartesiano de ambos conjuntos de

la siguiente manera:

( ){ }ByAx;y;xBA ∈∧∈=×

Ejemplo:

Un grupo de amigos está formado por:

3 chicas: M = { Ana, Mara, Luz }

y 2 varones: V = { Pedro, Juan }

Cada una de las chicas en algún momento se pone de novia con cada uno de los muchachos.

Detallar todas las parejas que se forman :

La respuesta es:

M × V = {(Ana; Juan); (Ana; Pedro); (Mara; Juan); (Mara; Pedro); (Luz; Juan); (Luz; Pedro)}

Si queremos representarlo gráficamente tenemos dos maneras:

Gráfico con Flechas Gráfico Cartesiano

Propiedades:

1) ABBABABA ×≠×⇒≠∧φ≠∧φ≠

2) φ=∨φ=⇔φ=× BABA

3) [ ]DBCADCBABA ⊂∧⊂⇔×⊂×⇒φ≠∧φ≠

4) )CB()CA(C)BA( ×∪×=×∪

5) )CB()CA(C)BA( ×∩×=×∩

6) )CB()CA(C)BA( ×−×=×−

Estas propiedades son incluidas a efectos de completar adecuadamente el tema.

No es importante recordarlas ni realizar sus demostraciones, que de todas formas son relativamente

sencillas.

Observación:

Tal como fueron dadas las definiciones estrictamente se tiene que:

)CB(AC)BA( ××≠××

(Con lo que veremos más adelante sería posible "identificarlos").

De todas maneras este problema no surgirá con el concepto, que también se verá más adelante, de

n-upla. (tampoco es importante recordar esta observación).

GRAFICAS:

Una gráfica es un subconjunto de algún producto cartesiano.

O sea una gráfica es un conjunto de pares ordenados.

G gráfica ⇔ BAG:B,A ×⊂∃

Esta definición admite los casos extremos:

φ=G , BAG ×=

que en realidad son los de menor interés: el primero por carencia de información (la respuesta es

"nada") y el segundo por sobreabundacia (la respuesta es "todo").

Por lo común los casos de interés son los intermedios.

Ejemplo:

Recordemos el ejemplo visto para producto cartesiano:

M × V = {(Ana; Juan); (Ana; Pedro); (Mara; Juan); (Mara; Pedro); (Luz; Juan); (Luz; Pedro)}

Un ejemplo de gráfica posible sería el de las parejas que efectivamente se forman:

Una de las varias gráficas posibles sería:

G = (Ana; Pedro); (Mara; Juan); (Mara; Pedro)} FM ×⊂

Las gráficas se representan de manera similar a los productos cartesianos:

Gráfico con Flechas Gráfico Cartesiano

Gráfica Inversa:

Se define la gráfica G -1 de una gráfica G de la siguiente forma:

{ }G)y;x(;)x;y(G ∈=−1

Es decir es la gráfica que se forma cuando se " dan vuelta " los pares ordenados.

Propiedad 1: ABGBAG ×⊂⇔×⊂ −1

Demostración: ⇒⇒⇒⇒) Supongamos: : BAG ×⊂

Sea: : ⇒∈⇔∈ − G)y;x(G)x;y( 1por hipótesis ⇒ ⇒×∈ BA)y;x( por definición de producto

cartesiano ⇒ ⇔∈∧∈⇔∈∧∈ AxByByAx por definición de producto cartesiano⇒ AB)x;y( ×∈

⇐⇐⇐⇐) Similar.

Propiedad 2: (G -1) -1 = G

Demostración: ( ) G)y;x(G)x;y(G)y;x( ∈⇔∈⇔∈ −−− 111

Composición de Gráficas:

Sean dos gráficas: BAG ×⊂1

DCG ×⊂2

Se define la gráfica compuesta: DAGG ×⊂12 o

de la siguiente forma: { }2112 G)z;y(G)y;x(:CBy);z;x(GG ∈∧∈∩∈∃=o

Nota: La composición de gráficas se escribe en el " orden inverso " 12 GG o

( y no de la forma que hubiéramos estado tentados de hacer: 21 GG o ) debido a un motivo que

nos resultará natural cuando veamos composición de relaciones y en especial de funciones.

Ejemplo de composición de gráficas:

A = { a; b; c; d; e; f; g } B = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }

C = { 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } D = {α; β; γ; δ; ρ; ω} G 1 = { (b; 1); (b; 2); (c; 4); (d; 4); (e; 5); (f; 6) } ⊂ A × B G 2 = { (3; α); (4; β); (4; γ); (5; δ); (6; δ); (7; ρ) } ⊂ C × D G 2 o G 1 = { (c;β); (c; γ); (d; β); (d; γ); (e; δ ); (f ; δ ) } ⊂ A × D

Observación: φ=⇒φ=∩ 12 GGCB o

Pero en cambio la ⇐ no se cumple como muestra el siguiente ejemplo:

A = {a} B = {b; c} = C D = {d } G1 = {(a; b)} G2 = {(c; d)}

Los conjuntos tienen elementos comunes, pero no integran pares ordenados de ambas gráficas.

Propiedades:

1) ( ) ( ) 123123 GGGGGG oooo = Propiedad asociativa

Esta propiedad torna válida la notación: 123 GGG oo (sin paréntesis) para la composición

reiterada de gráficas.

2) ( ) 12

11

112

−−− = GGGG oo Propiedad de la composición de gráficas inversas.

No son de importancia las demostraciones. Son sencillas.

RELACIONES:

R = (A, B, G ) es una relación del conjunto A en el conjunto B ⇔ BAG ×⊂

Es decir: una relación es una terna de datos: los dos primeros son conjuntos y el tercero una gráfica

incluida en el producto cartesiano de ambos.

El primer conjunto ( A ) se dice que es el dominio de la relación y el segundo ( B ) su codominio.

Relación en un conjunto:

Cuando el dominio es igual al codominio se dice que la Relación es una Relación en un conjunto.

R = (A, A, G ) es una relación en el conjunto A ⇔ 2G AAA =×⊂

Notación abreviada:

Si ello queda implícito en el contexto y no se presta a confusión se suele escribir la relación como

un para ordenado de datos consistente en el conjunto y la gráfica.

Se podría escribir entonces:

R = (A, G ) quedando implícito que significa lo mismo que: R = (A, A, G )

Elementos relacionados:

Sea la relación R de A en B: R = (A, B, G ) definimos:

( )[ ]Gy;xyRx:By:Ax ∈⇔∈∀∈∀

Esta notación es usual que se reserve para las relaciones en un conjunto pero no existe

inconvenientes para utilizarla con relaciones entre conjuntos.

Notas sobre la formas de escritura empleadas:

(se agregan a título ilustrativo, puede omitirse su lectura).

1) Algunos autores utilizan un concepto más antiguo de relación entre conjuntos. No realizan

diferencia entre la gráfica y la relación. La definición que hemos dado de relación como una terna

de datos nos parece mucho más cómoda y precisa dado que no creará ninguna confusión en el caso

de las definiciones de distintos tipos de funciones. La forma de escritura que utilizaremos es la que

surge de tal terna de datos.

2) Se aclara que una relación entre conjuntos es referida por algunos autores como:

" Correspondencia " (ej: Lía Oubiña).

3) Se aclara igualmente que algunos autores escriben una relación como una terna en la que en

primer lugar colocan la gráfica. En general tomaremos como costumbre que en todos los casos de

estructuras suministraremos primero el o los conjuntos sobre los que se define la estructura y a

continuación las entidades que establecen la estructura (Gráficas, relaciones, funciones, familias,

etc).

4) El dominio suele llamarse también conjunto de salida o de partida; el codominio suele ser

llamado conjunto de llegada, contradominio o rango.

Ejemplo de relación entre conjuntos:

Toma como base la gráfica antes vista entre los conjuntos M y F:

M = { Ana, Mara, Luz }

V = { Pedro, Juan }

G = {(Ana; Pedro); (Mara; Juan); (Mara; Pedro)} FM ×⊂

La relación estará dada por:

R = (M, V, G )

o sea:

R = ({ Ana, Mara, Luz },{ Pedro, Juan }, {(Ana; Pedro); (Mara; Juan); (Mara; Pedro)} )

Gráfico con Flechas Gráfico Cartesiano

Ejemplo de relación en un conjunto:

Sea el conjunto:

M = { Ana, Mara, Luz } y la gáfica:

G = {(Ana; Ana); (Ana; Mara); (Luz; Mara)} MM ×⊂

La relación estará dada por:

R = (M, G )

o sea:

R = ({ Ana, Mara, Luz },{(Ana; Ana); (Ana; Mara); (Luz; Mara)})

Gráfico con Flechas Gráfico Cartesiano

Ahora aparece una tercer forma posible de representación gráfica:

Gráfico con Flechas en un mismo conjunto

Hay autores que lo llaman " Dígrafo ".

Relación Inversa:

Sea la relación: R = (A, B, G )

Se define su relación inversa R -1 de la siguiente manera:

R -1 = (B, A, G

-1 ) verificándose: ABG ×⊂−1

Propiedad:

( R -1 ) -1 = R

Demostración:

Elemental dado que se demostró para gráficas que: ( G -1 ) -1 = G

( R -1 ) -1 =(A, B, ( G

-1 ) -1 ) = por lo ya demostrado para gráficas = (A, B, G ) = R

Composición de relaciones:

Sean dos relaciones: R 1 = ( A, B, G 1 ) con: G 1 ⊂ A × B

R 2 = ( C, D, G 2 ) con: G 2 ⊂ C × D

Se define la composición de ambas mediante:

R 2 o R 1 = ( A, D, G 2 o G 1 ) con: G 2 o G 1 ⊂ A × D

Nota: La definición anterior de composición de relaciones es muy general. Es usual que se pida

B ⊂ C o bien: B = C

Aquí ni siquiera hemos pedido: B ∩ C ≠ φ

Ello puede dar lugar a que la composición de las gráficas sea la gráfica vacía. Pero no es un

inconveniente dado que tal cosa puede ocurrir aunque se pidan condiciones más fuertes.

La teoría resultante de esta forma no deja de lado casos útiles. La única precaución que debemos

adoptar es poner restricciones en algunos casos que aparezcan más adelante.

Ejemplo de composición de Relaciones:

A = { a; b; c; d; e; f; g } B = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }

R 1 = ( A, B, G 1 ) G 1 = { (b; 1); (b; 2); (c; 4); (d; 4); (e; 5; } ⊂ A × B

C = { 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } D = {α; β; γ; δ; ρ; ω} R 2 = ( C, D, G 2 ) G 2 = { (3; α); (4; β); (4; γ); (5; δ); (6; δ); (7; ρ) } ⊂ C × D

R 2 oR 1 = (A, D, G 2 o G 1) G 2 o G 1 = { (c;β); (c; γ); (d; β); (d; γ); (e; δ ); (f ; δ ) } ⊂ A × D

Representación gráfica:

En este gráfico mostramos simultáneamente las relaciones compuestas y la relación resultante:

En este otro gráfico mostramos solamente la relación resultante:

Propiedades:

1) ( ) ( ) 123123 RRRRRR oooo = Propiedad asociativa

Esta propiedad torna válida la notación: 123 RRR oo (sin paréntesis) para la composición

reiterada de relaciones.

2) ( ) 12

11

112

−−− = RRRR oo Propiedad de la composición de relaciones inversas.

Demostraciones: Inmediatas a partir de las propiedades correspondientes de las gráficas y de las

definiciones para gráficas inversas y composición de gráficas.

Imágenes:

Imagen de un subconjunto:

Sea la relación: R = (A, B, G ) sea: X ⊂ A un subconjunto del dominio.

Definimos la imagen en B del subconjunto X de A mediante:

R ( X ) = { y ∈ B ; ∃x ∈ X : (x ; y ) ∈ G } = { y ∈ B ; ∃x ∈ X : x R y }

En particular se le llama Imagen por la relación a la Imagen del dominio o sea:

R ( A ) = { y ∈ B ; ∃x ∈ A : (x ; y ) ∈ G } = { y ∈ B ; ∃x ∈ A : x R y } Imagen de un elemento:

Sea la relación: R = (A, B, G ) sea: x ∈ A un elemento del dominio.

La imagen en B del elemento x de A es: R ( {x})

Como {x}⊂ A se convierte en un caso particular de imagen de un subconjunto.

Nota: No definimos aun R( x) , como haremos luego con funciones, porque se presta a confusión.

Se verifica entonces:

R ( {x}) = { y ∈ B ; (x ; y ) ∈ G } = { y ∈ B ; x R y }

Imágenes inversas:

Imagen inversa de un subconjunto:

Sea la relación: R = (A, B, G ) sea: Y ⊂ B un subconjunto del codominio.

Definimos la imagen inversa en A del subconjunto Y de B mediante:

R -1 ( Y ) = { x ∈ A ; ∃ y ∈ Y : (x ; y ) ∈ G } = { x ∈ A ; ∃ y ∈ Y : x R y }

En particular se le llama Imagen inversa por la relación a la Imagen inversa del dominio o sea:

R -1 ( B ) = { x ∈ A ; ∃ y ∈ B : (x ; y ) ∈ G } = { x ∈ A ; ∃ y ∈ B : x R y }

Imagen inversa de un elemento:

Sea la relación: R = (A, B, G ) sea: y ∈ B un elemento del dominio.

La imagen inversa en A del elemento y de B es: R -1( y )

Como {y}⊂ B se convierte en un caso particular de imagen inversa de un subconjunto.

Se verifica entonces:

R -1 ({ y}) = { x ∈ A ; (x ; y ) ∈ G } = { x ∈ A ; x R y }

Propiedades de las Imágenes e Imágenes inversas:

Sean las relaciones: R = (A, B, G ) R 1 = ( A, B, G 1 ) R 2 = ( C, D, G 2 )

Se verifica:

1) ∀Y ⊂ B : R -1 ( X ) = ( R -1) ( X )

2) ∀y ∈ B : R -1 ( y ) = ( R -1) ( y )

3) ∀X1, X2 ⊂ A : [ X1 ⊂ X2 ⇒ R ( X1) ⊂ R ( X2 ) ]

4) ∀Y1, Y2 ⊂ B : [Y1 ⊂ Y2 ⇒ R -1 ( Y1) ⊂ R -1 ( Y2 ) ]

5) ∀X ⊂ A : [(R 2 o R 1 ) ( X ) = R 2 ( R 1 ( X )) ]

6) ∀Y ⊂ B : [(R 2 o R 1 ) -1 ( Y ) = R 1

-1 ( R 2

-1 ( Y )) ]

7) ∀x ∈ A : [(R 2 o R 1 )({ x}) = R 2 ( R 1 ( {x} )) ]

8) ∀y ∈ B : [(R 2 o R 1 ) -1 ({ y}) = R 1

-1 ( R 2

-1 ( {y })) ]

El significado de la propiedad 1 es:

" La imagen inversa por R del subconjunto Y de B es la imagen por la relación inversa R -1

de dicho suconjunto ".

Lo cual en adelante nos permitirá manejar con flexibilidad las imágenes inversas

despreocupándonos de la notación.

Demostración de las propiedades.

Si alguien las quiere hacer es un buen ejercicio teórico. Pero no hace falta.

De estas propiedades sólo convendrá recordar la 5 y la 6 que más adelante nos permitirán manejar

con comodidad la composición de funciones.

Alberto Serritella, 2010.

aserritella@unnoba.edu.ar Para Mensajes: alberto_serritella@yahoo.com.ar

Junín. 25-octubre-2010.∼