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7/26/2019 ALGEBRA EJERCICIOS DEL TERCER BIMESTRE DE 5TO DE SECUNDARIA.doc

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OBJETIVOS ESPECFICOS:

Reconoce y clasifca una ecuacin algebraica desarrollando la percepcin yacumulando experiencias que servirn de soporte para uturas ormalizaciones

Dado un conjunto de Ecuaciones de Primer rado! trabaja creativamente y conactitud cr"tica situaciones problemticas! utilizando una variedad de t#cnicasde clculo y aplicando correctamente las propiedades que correspondan$

COMENTARIO PREVIO:

%ace cinco mil a&os! en el pa"s de los sumerios! cerca del olo P#rsico! se dieronlas primeras difcultades matemticas que necesitaban ser interpretadas bajociertas igualdades$ Esto dio inicio a las primeras relaciones que! posteriormente!los matemticos dieron el nombre de Teora de Ecuaciones.

'on el an de resolver las ecuaciones se (an creado nuevas teor"as! nuevosconceptos! nuevos conjuntos num#ricos$ El m#todo de resolucin de lasecuaciones de primer y segundo grado ueron descubiertos por los matemticossumerios y babilonios )*+++ a&os a$', y por Dioante )*-. / 01+ d$', undador del

!e"ra! por los (ind2es y! fnalmente por los rabes )siglo 34,$ Este m#todoorma parte del ms antiguo patrimonio matemtico de la (umanidad$ 5a ecuacinde tercer grado dio ocasin a 'ardano )16+1/1678, y a 9artaglia )10../ 1667,para inventar los n2meros complejos en el siglo 4:3$ 5udovico ;errari )16--/1686,!disc"pulo de 'ardano! encontr el m#todo general de la resolucin de la ecuacinde cuarto grado$ Posteriormente! Ren# Descartes )16.8/186+,! sabio y flsooranc#s! inventor de la geometr"a anal"tica descubre otra orma de resolver la ecuacincurtica$

'omo es lgico! los matemticos trataron de resolver las ecuaciones de gradosuperior a cuatro )quinto grado! sexto grado!


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A8io$a de Transi'i&idad: Ii un n2mero real es igual a otro! y este otro esigual a un tercero! entonces el primero es igual al tercero$

Si a5 " " 5 c a 5 c; a; "; c R


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E,e$%o


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3, )a L 6, )aS*,

*a

6a+ a R 77 =

33, )a / 6, )a S *, J + )a S -, )a S *, J +

)a J 6C a J / *, )a J / -C a J / *, a5 7 =

333, )a / 6, )a S *, J + )a S -, )a S *, +

)aJ6C aJL *, )a L -C a L *, a5 D. EC2ACIONES E2IVA3ENTES: Dos o ms ecuaciones de las mismas

variables son equivalentes! si y solo si poseen el mismo conjunto solucin$

E,e$%osB

P1J 10*

x-

-

x=+ 'I J 1-Q

P-J 6x / *8J -0 'I J 1-Q

'omo los conjuntos solucin son iguales! entonces P1y P-son equivalentesB

Para reso&er una ecuaci)n de %ri$er !rado es >ci "as'ar con a%icara!unas %ro%iedades "sicas de os nG$eros reaes Has'a Haar e &aor de a

Se de"e 'ener cuidado cuando a &aria"e a%arece en e deno$inador ocuando se %resen'a un 'r$ino radica; es ,us'a$en'e en es'os casos uea%arece una ra* e8'raKa en a!unas ecuaciones.

5uego! para resolver ecuaciones en general y de primer grado en particular esnecesario tener en cuenta lo siguienteB

a-Ii se divide ambos miembros de una ecuacin por una misma expresin que

contenga a la incgnita! entonces se perdern soluciones$ Esto se puedeevitar si la expresin que se divide )simplifca, se iguala a cero$

E,e$%oB

ResolverB )x S *, )x L -, J 0 )x L -,

Resouci)n

Iimplifcando )x L -, para no perder solucinB x / - J + x J -5uego! tendremosB x S * J 0 x J 15a ecuacin tiene - soluciones x J - y x J 1 )de no (aber igualado a c(ubi#ramos perdido la solucin xJ-,$

"-Ii se multiplican ambos miembros de una ecuacin por una misma expreque contenga a la incgnita! entonces se puede introducir soluciextra&as$Esto se puede evitar si previamente se simplifca por separado cmiembro de la ecuacin$


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E,e$%oB

ResolverB( ) ( )

0-x

-x*x=

+

Resouci)n

Primero simplifcamos )x L -,! y tendremosC x S * J 0 x J 1

O"ser&aci)n.7 Ii (ubi#semos trasladado )x L -, a multiplicar! tendr"amosque una solucin ser"a x J -! que es una solucin extra&a! pues no verifca laigualdad$

c-Ii se eleva ambos miembros de una ecuacin a un mismo exponente!entonces se pueden introducir soluciones extra&as$

E,e$%oB

ResolverB 7x7x- =+

Resouci)n

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuacin propuestaB

( ) ( )---

7x7x =+x-S 7 J x-/ 10x S 0. 10x J 0- x J *

Pero si reemplazamosC x J * en la ecuacin dada tendremosB

000187*7*- ===+

Pro%osici)n Fasa

)Mo cumple,! luegoB x J * es una solucin extra&a! y la ecuacin esincompatible! pues no tiene solucinB

O"ser&aci)n:Iiempre que se potencie los dos miembros de una ecuacin$El valor o los valores obtenidos para NxO deben comprobarse en la ecuacinoriginal pues pueden no ser soluciones verdaderas$

d-Ii a ambos miembros de una ecuacin le sumamos un mismo n2mero o unmismo polinomio! la nueva ecuacin es equivalente a la inicial$

O"ser&aci)n: Ii a ambos miembros se suma o resta una uncin arbitrariala ecuacin resultante no necesariamente es equivalente a la inicial$

5a ecuacinB x-/ 1- J -x S * tiene por ra"cesB x J 6C x J L *

Iumando a los dos miembros de la ecuacin originalB6x

-

XbtenemosB x-/ 1- S6x

-

J -x S * S

6x

-

$

Para lo cual x J 6 no es solucin$

O"ser&aciones:

0. El conjunto solucin de una ecuacin depende del conjunto num#rico en ququiere resolver la ecuacin! por ejemploB

Ii queremos resolver en el conjunto de los racionales )Y,! entonces el conjsolucin de la ecuacinB x-J -! es vac"oC pues no existe n2mero racional ccuadrado es -$ Ii embargo si resolvemos en el conjunto de los reales entonces el conjunto solucin es - ! - Q$

De la misma manera! la ecuacin x -J / 1! no tiene solucin en R! pero tiene en el conjunto '$ Al despejar x se obtieneB x J 1 x J L 1 $

Ii defnimos 1 Ji )i es la unidad imaginaria del conjunto ',! el conjsolucin esB

L iC iQ$


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dominio que no son soluciones! por ejemplo x J 0 U+! SV! y no es solucin!luego se trata de una ecuacin condicional$ PROB3EMAS E6P3ICATIVOS

@0. Iayumi ten"a 1-+ nuevos soles$ Ii gast los7

6de lo que no ga

'unto dinero gast Iayumi

Resouci)n

Iea x la cantidad de nuevos soles que gast Iayumi$ Entonces )1-+ L x, nusoles es lo que no gast$

5uegoB asto J7

6)Mo gast,

EntoncesB x J7

6)1-+ L x, 7x J 8++ / 6x

7x S 6x J 8++ 1-x J 8++

x J1-

8++

x J 6+

Res%ues'aB Iayumi gast 6+ nuevos soles$

@


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t J*

8x0+

t J @+]

Res%ues'aB 'omo la clase empez a las @B++ a$m$ y dur @+ minutos entoncestermin a las .B-+ a$m$

@=. =n r"o tiene una corriente de * Hilmetros por (ora$ Ii el botede Aly >oydi tarda el mismo tiempo en ir 1@ Hilmetros r"o abajo y 16 Hm$ r"oarriba$ 'alcule la velocidad del bote en aguas tranquilas$

Resouci)n

Iea : la velocidad del bote en aguas tranquilas! entonces ): S *, es lavelocidad del bote r"o abajo )con la corriente a avor, y ): L *, es la velocidaddel bote r"o arriba )contra la corriente,! entonces tenemosB

Distancia :elocidad 9iempo

R"o Abajo 1@ :S**:

1@

+

R"o Arriba 16 : / *

*:

16

'omo el tiempo es el mismoB

*:

1@

+J

*:

16

1@ ): / *, J 16 ): S *,

1@: / 60 J 16 : S 06

1@: / 16:J 06 S 60

*: J ..

: J*

..

: J **

Res%ues'aB 5a velocidad del bote en aguas tranquilas es ** Hilmetros por(ora$

Clasificacin de las Ecuaciones

De acuerdoa su forma

De acuerdoa su C.S.

Algebraica

Poseer grado

No Algebraica Compatible Incompa

(CS= O

Polinomial

P(!=ao! n " a !n#$$ " a ! n#%% " ..." a = &n

'raccionaria

!"%= )

Irracional

! # * = * # !

Se considera

Se caracteri+an

por,E!ponencial

!!# %)-= &

ogar/tmico

og-

! # $= &

0rigonom1trico

Sen! # != &

Puede ser

Determinada

(C.S. 'inito

Indeterminada

(C.S. Infinito

Se enfoca

PRCTICA E C3ASE

@0. 'lasifcar las siguientes ecuaciones algebraicas de acuerdo a su orma$

E'=A'3^MA5E>RA3'A '5AI3;3'A'3^M E'=A'3^MA5E>RA3'A '5AI3;3'A'3^

xx6*x -0 +

J ++x6*x =

+x6x

8=

+ 0x

-6

6x

x*

+

+J

+

@


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@=. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones con respecto ala ecuacin en xB

( ) -nxnnn1n,-n)n- =+ $

3$ Es determinado cuando n 1 n L133$ Es indeterminado cuando n J 1 n J L1333$ Es incompatible cuando n J -

a, ::: b, ::; c, :;: d, ;;: e, :;;

@?. 5uego de resolver la ecuacin en NxOB

b-16

b0x-*

6

b*x

*

b-xbx

=

+

++ $

Es cierto queB

a, 5a solucin depende de b )b , d, 9iene infnitas solucionesb, 9iene una sola solucin e, 9iene dos solucionesc, Mo tiene solucin

@. 5uego de resolver la ecuacin en NxOB

++=

+

+

p

1

n

1

m

1-

mn

px

mp

nx

np

mx

3$ Ii m S n S p J + la ecuacin tiene infnitas soluciones con mnp +$33$ Ii m S n S p + siempre existe solucin y es 2nica$333$ Iiempre la solucin es m S n S p$

a, ::: b, :;: c, :;; d, ;:: e, ;;:

EJERCICIOS PROP2ESTOS NL @0

@0. ResolverB )xL., )xL7, )xL6, )xL1, J )xL-, )xL0, )xL8, )xL1+,

a, 0!6 b, *!6 c, 6!6 d, -!6 e, 1

@


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0@. ResolverB*x-x

-6x

*x

6x

-

-

+

=

+

$ _arque lo correctoB

a, 9iene una ra"z b, 9iene dos ra"ces c, 9iene tres ra"cesd, 3ndeterminado e, 3ncompatible

TAREA OMICI3IARIA

@0. Respecto a la ecuacin de variable xB m )m-/ 1, x J +! establezca el valoverdad de cada proposicinB

3$ Es compatible para cualquier valor de m$33$ Ii m J /1! tiene infnitas soluciones$333$ Ii m J +! tiene solucin 2nica$3:$ Ii m +C 1C /1Q! tiene una 2nica solucin e igual a cero$

a, :::: b, :;:; c, ;;:: d, ;;;: e, ;:;;

@


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a, 1 b, * c, 6 d, * e, - @. ResolverB

*ba

cx

ca

bx

cb

ax=

+

+

+

+

+

a, /aLbLc b, a S b S c c, abc d, *abc e, a S b L c

@D. Determinar el parmetro NpO de modo que la ecuacinB

1p-1x -px*1x *px- +=+ + $ Ie reduzca a una de primer grado$

EC2ACIONES


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Dado un conjunto de Ecuaciones de segundo rado! resolverlos aplicandocorrectamente las propiedades que corresponden$

COMENTARIO PREVIO:

=na vez asimilado la parte del anlisis matemtico correspondiente al estudio depolinomios! y dentro de ello una defnicin undamental para enmarcarnos en eldesarrollo de este tema! la cual dice que! para un polinomio de una variable! elvalor de la variable para el cual el polinomio se anula! se denomina raz delpolinomio$

E,e$%o:

Para el polinomioB P)x,J x*/ 8x-S 11x / 8Ius ra"ces sonB 1C -C *Q$ EntoncesBP)1,J + C P)-,J + y P)*,J +

5a fnalidad de este mdulo! es el anlisis particular de los polinomios de segundogrado que constituirn las ecuaciones de segundo grado$

CONTENIO TE/RICO:

9oda ecuacin completa de segundo grado o cuadrtica con una incgnita! adopta la siguienteormaB

+cbxax- =++

DondeB ax-9#rmino cuadrtico bx 9#rmino lineal c 9#rmino independiente

FORMAS INCOMP3ETAS E 2NA EC2ACI/N E SE12NO 1RAO.

0. IiB b J + se tieneB ax-S c J +


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No'a: =na ecuacin de segundo grado tiene como mximo dos soluciones o ra"ces$

PROPIEAES E 3AS RACES:

Dada la ecuacinB a8


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PRCTICA E C3ASEPRCTICA E C3ASE

@0. 'ompletarB

EcuacionesDiscriminante

()

Na'urae*a de

races

+.x8x

-

=+++1xx- =+

+1xx* - =

+6x*x- =++

@


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)x / a,-S )x / b,-S -c-J )x S c,-

Ion iguales$ Podemos afrmar queB

a, )L-a, es la media armnica de b y c b, )L-b, es la media armnica de ay cc, )L-c, es la media armnica de a y b d, ab S bc S ac J +e, 'ualquiera de las anteriores

0


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a, * b, -+* c, - d, 17* e, 6

@. Dada la ecuacinB

x-S )m / -,x / )m S *, J +! donde x 1! x-son las ra"cesC ademsB

F J ---1 xx + $ Determinar el m"nimo valor de F

a, 7 b, / 8 c, / 0 d, . e, 8

@. En la ecuacinB-x-/ )m / 1,x S )m S 1, J +$ Yu# valor positivo debe darse a NmO para las ra"ces diferan en uno

a, 7 b, 11 c, 6 d, . e, 17

@. En la ecuacin cuyas ra"ces son x1C x- B -ax-S )*a / 1,x S H S a J +%allar el valor entero de H a fn de que exista un solo valor de NaO que perque las soluciones x1C x-sean iguales$

a, * b, / - c, 1 d, / 1 e, +

0@. Iiendo x1y x-las ra"ces de la ecuacin -x-/ x S * J +$%allar E J )x1S 1, )x-S 1,

a, * b, 1 c, - d, / 1 e, 000. 'alcular la ra"z x1de la ecuacinB ax-S bx S c J +$ Iabiendo queB

1n!

1n

1

x

x

--

1 >

=

11nn

1n

b

c

--

-

=

a, 1n b, L 1n c,

1n

1

d, /1

e, n / 1

0


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0?. Determinar NmO en la ecuacinBx-/ *mx S m-J +! sabiendo que sus ra"ces x1 C x- satisacen la relacinB

76!1xx ---1 =+

a, b, c, d, / 1 e, 1

0. Ii x1C x- son las ra"ces deB x-S 1+ J 6x

'alcularB1

-1 x

1

x

1

+

a, +!-6 b, +!6 c, L+!6 d, - e, /-

TAREA OMICI3IARIA

@0. Ii las ra"ces de la ecuacin cuadrtica )m S *, x-S 8x / - J + son reales ydierentes$3ndique el menor valor entero de m$

a, /@ b, / 7 c, / 8 d, / 6 e, Mo existe

@


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a, 6* b, 7* c, 1+* d, 68 e, -+*

0


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RptaB $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

EC2ACI/N BINOMIA

Ie denomina as" a las ecuaciones de dos t#rminos que presentan la siguienteorma generalB

+baxn =+ a C b + n M

stas se resuelven actorizando o utilizando la rmula de #A"raHa$ de Moi&re(

E,e$%o: ResolverB +1x. 0 =

Resouci)n

;actorizandoB +,1x*,)1x*) -- =+

+1x*+1x* -- ==+

*

1x

*

1x -- ==

*

1x

*

1x ==

*

*x

*

*x ==

'$I$ J

*

*C

*

*C

*

*C

*

*

Teore$a: 5as ecuaciones binomias slo tienen ra"ces simples! no aceptan ra"cesm2ltiples$

EC2ACI/N TRINOMIA

Ion aquellas ecuaciones de tres t#rminos que presentan la siguiente ormageneralB

+cbxax nn- =++ C abc + n M

Estas ecuaciones se resuelven actorizando o realizando el cambio de varia

zxn = C lo que la convierte en una ecuacin cuadrtica$ Despu#s de resolver #se repone la variable original y se (allan las soluciones de la ecuacin trinomiaE,e$%o: ResolverB +1x7x@ *8 =+

Resouci)n

;actorizandoB +,1x,)1x@) ** =++,1xx,)1x,)1x-x0,)1x-) -- =++++

+1xx+1x+1x-x0+1x- -- =++==+=+

-

*1x1x

0

*1x

-

1x

==

==

++=

-

*1C

-

*1C1C

0

*1C

0

*1C

-

1$I$'

EC2ACI/N RECPROCA

Ie denomina as" a las ecuaciones cuyos coefcientes de los t#rminos equidistade los extremos son iguales en valor absoluto$

E,e$%o: Xbserva las ecuacionesB

+-x6x6x- -* =+++

+1x7x8x7x -*0 =++

+*x-x6x6x-x* -*06 =++

Pro%iedades:

1$ Ii #r(es ra"z de la ecuacin rec"proca entonces #0r(tambi#n es ra"z decuacin$

-$ Ii la ecuacin es rec%roca de !rado i$%ar! tiene una ra"z N1O NL 1Oeval2a para determinar cual de ellas es la ra"z,

*$ Ii P+8-5 @es una ecuacin polinmica rec%roca de !rado #n(! se cump

x

1Px,x)P n

EC2ACIONES BINOMIOS TRINOMIOS RECPROCAS


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Para resolver la ecuacin rec"proca se consideran los siguientes casosB

Casos:

I. Si e !rado es %ar:

Ie actoriza la parte literal del t#rmino central y se agrupaconvenientementeC luego se realiza el cambio de variable respectivoB

IiB ax

1

x =+ IiB ax

1

x =

-ax

1x -

-

- =+ -ax

1x

-

-

- +=+

a*ax

1x *

** =+ a*a

x

1x *

*

* +=

Ie resuelve la ecuacin con la nueva variable luego se repone! la variable originaly se resuelve! (allndose las soluciones de la ecuacin rec"proca$

E,e$%o:ResolverB

+8x-6x*@x-6x8 -*0 =++ W

Resouci)n

+x

8

x

-6*@x-6x8x

-

-- =

++

AgrupandoB

+*@x

1x-6

x

1x8x

-

-- =

+

+

+ $$$$$$$$$$$$$$ ),

Realizando el cambio de variable en el corc(eteB

+*@,a)-6,-a)8 - =+

+-8a-6a8 - =+ ;actorizando por aspa simple)8a / 1*,)a / -, J +

Reponiendo NxO y reemplazando en NO

+-x

1x1*

x

1x8x- =

+

+

EectuandoB

+,1x-x,)8x1*x8) -- =++

+,1x,)*x-,)-x*) - =

3gualando a cero cada actor el '$I$J

1C-

*C

*

-

W 9ambi#n se puede actorizar por aspa doble especial

II. Si e 1rado es I$%ar

Ie actoriza mediante el m#todo de los divisores binmicos! evaparax J 1 x J / 1

5uego de obtener el actor lineal! el otro actor es un polinomio rec"p

de grado par al cual se le aplica el m#todo para resolver la ecuacrec"proca de grado par$

E,e$%o: ResolverB

+8x-.x-7x-7x-.x8 -*06 =+++

Resouci)n

;actorizando por divisores binmicosB

xS1J+xJL 1

8 L-. -7 -7 L-.

L 8 *6 L 8- *6

8 L *6 8- L *6 8

8

L 8

+

+,8x*6x8-x*6x8,)1x) -*0 =+++

3gualando cada actor a ceroB


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1xC+1x ==+

+8x*6x8-x*6x8 -*0 =++

Aplicando el m#todo para la ecuaci)n rec%roca de !rado %arC se obtieneB

+,*x1+x*,)-x6x-) -- =++

;actorizando cada actor por aspa simpleB )-x L 1,)x L -,)*x L 1,)x L *, J +

3gualando a cero cada actor el conjunto solucin fnal esB

= *C

*

1C-C

-

1C1$I$'

EC2ACI/N BIC2ARAA

Ie denomina as" a las ecuaciones de cuarto grado que tienen la siguiente ormageneralB

+cbxax -0 =++ C abc +

Para resolver esta ecuacin se actoriza o se utiliza la relacin de la bicuadradaB

a-

ac0bbx

- =

E,e$%o: ResolverB +18x7*x*8 -0 =+

Resouci)n

;actorizando por aspa simpleB +,18x.,)1x0) -- =

3gualando cada actor a ceroB

+1x0 - = 0

1x- = -

1x =

+18x. - = .

18x- =

*

0x =

'$I$ J

*

0C

*

0C

-

1C

-

1


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E,e$%o: ResolverB +1x*x -0 =+

Resouci)n

Por la rmulaB

-

6*x1

+=

-6*x- +=

-

6*x

=

-

6*x*

=

-

6*x0

=

Pro%iedades de: +cbxax -0 =++

1$ 5as ra"ces de la ecuacin bicuadrada son opuestas dos a dos es decirB

==== 0*-1 xCxCxCx

-$ Iuma de productos binarios

a

b,)

a

bxxxx --0*-1 =+=+

*$ Producto de ra"cesB

==

c$

a

cxxxx --0*-1

Recons'rucci)n de a ecuaci)n "icuadrada

+ra"cesde

producto

x binariosproductos

deIuma

x-0

=

+

+


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E,e$%o:;ormar la ecuacin bicuadrada! dos de cuyas ra"ces sonB L * y -

Resouci)n

Por teor"a sabemos que las otras dos son las opuestasB

IeanB *x*x -1 ==

i-xi-x 0* ==

+,i0,).)x,i0.)x ---0 =++

+,0,).)x,0.)x

-0

=+++ +*8x6x -0 =

EC2ACIONES FRACCIONARIAS

Ion aquellas que se reducen a la ormaB

+,x)Y

,x)P= Y)x, +

Para resolver estas ecuaciones se debe restringir el denominador )dierente decero,! luego resolver la ecuacin y fnalmente intersectar los conjuntos de valoresobtenidos

E,e$%o: ResolverB 8x6x

x

-x

x

*x

-

- +=

Resouci)n

RestringiendoB x L * + x L - +x * x - $$$$$$$$$$$$$ ),

Eectuando operacionesB

8x6x

x

8x6x

x*x0x-

--

-

+=

+

+

+0x0xxx0x6 -- =+=

)x L -,-J + x J -$$$$$$$$$$$$$$$$ ),

De B :emos que x J - no satisace la ecuacinB

C.S. 5

PRCTICA E C3ASE

@0. Determinar los n2meros enteros pC qC r de manera que las ecuacionesB

+qpxxxx*x -*06 =+++

+*rxxx*xx -*06 =+++

9engan tres ra"ces comunes e indicar el valor deB p S q S r

a, 1 b, L - c, 6 d, L 7 e, / .

@


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@. 'alcular los valores de NO para que la ecuacinB

+8-x,1)x -0 =++ ! tenga slo dos ra"ces reales

a, ZL C *U b, ZL C 6U c, ZL C S0U d, Z*C SU e, Z0C SU

@D. Iea la ecuacin de coefcientes enterosB

+0cxbxx,-a)x -*0 =++++

'alculeB cb

-a8

+! si una de sus ra"ces es igual aB

C61

+ NbO toma sum"nimo valor positivo

a, 1 b, L 1 c, 0 d, L 0 e, L -

@. 3ndicar una ra"z deB +1x0 0 =+

a, i-

*

-

1+ b, i

-

1

-

1+ c, i

*

*

*

1 d, 1 S i e, 1 / i

@. 5uego de resolverB

+=+ x

1x-++-xx **

Podemos afrmar queB

a, x J 1 es una ra"z b, x J L i no es una ra"zc, x J L -++- es una ra"z d, Ilo posee una ra"z imaginariae, x J i es una ra"z imaginaria

@. Ii -1 xyx son las soluciones reales de la ecuacin rec"procaB

+8bx,a6)x1+x,*b)ax -*0 =++++

Proporcione el valor deB -x1x-1 ,xx) +

a, 1 b, - c, 0 d, . e, *8

0@. En la ecuacin bicuadradaB

+aC+cbxax -0 =++ ! de ra"ces { }0*-1 xCxCxCx

Ii se cumpleB a S c J -b -- c0.a =

'alcular el valor deB

1

42

1

31 )()( += xxxxE C Ii 031 =+xx

a, * b, L 0 c, 6 d, L * e, *!6


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EJERCICIOS PROP2ESTOS NL @=

@0. 'alcular una ra"z deB

C+,1mx,)mx)m0,mx) *--- =

m R mV 1

a,m-1

m-,1m)m

+ b,

m-1

m-,1m)m

++

c,m1

1m,1m)1

++

d,m-1

m-,1m)m

+ e,

m-1

m-,1m)m

++

@


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Ie&ale el denominador de la ra"z obtenidaB

a, a S b Sc b, 1 c, L a L b / c d, ab S ac S bc e, abcTAREA OMICI3IARIA

@0. 3ndicar una ra"z de la ecuacinB 049 4 =+x

a,-

i1b,

-

,i-1)* +c, i

-

*d,

*

i1+e

*

,i1)- +

@


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@D. Al resolver la ecuacin rec"procaB

+*xxxxx* -*06 =++=na de sus ra"ces esB

a, L 1 b, i-

*

-

1+ c, i

-

*

-

1 d, i

@

11

8

6+ e

i8

11

8

6

@. =na ra"z real deB

0

1.

x

1x0

x

1x*

-- +

+=

+ EsB

a, 1!6 b, - c, +!8 d, 1 e, *0

@. ResolverBxx

01xx

-

--

+=++ ! dando enseguida la suma de sus solucio

enteras

a, L * b, L - c, / 1 d, 1 e, -

@. En la ecuacin polinomialB

+m0-*7x,.m0)x6x; -*,x) =++=

Iabiendo que sus ra"cesB *-1 xCxCx satisacen la condi

*@-

1x

-

1x

-

1x-

*-

--

1 =

++

++

+

'alcular el valor de m$

a, 1+ b, 11 c, 1- d, 1* e, 10


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Reconocer una ecuacin polinomial e indicar la relacin existente entresolucin y ra"z$

Resolver ecuaciones de cualquier grado aplicando los teoremas yt#cnicas adecuadas$

COMENTARIO PREVIO

A 7 1uaris$i! el a&o 1 1++ estudia ecuaciones del tipoBax -S e J bx ! ax -S bx J e ! ax -S bx S c J dC etc y da soluciones para cadacaso$5a #poca de oro de las matemticas 3talianas se da en el siglo 4:3! con Icipienedel ;erro! Micola 9artaglia! irolamo 'ardano! 5udovico ;errari! ;rencois :iette! etc!quienes resolvieron las ecuaciones de tercer y cuarto grado$ %ec(o detrascendental importancia en esa #poca$5a (istoria da cuenta de que el proesor Sci%iene de Ferro logr# resolver laecuacin de tercer grado en 1616! pero no la dio a conocer siguiendo las normascient"fcas de su #poca$ A2n as"! conf sus resultados a An'onio Fiore$

En 1601 An'onio Fiore se bate en duelo matemtico con el proesor NicoaTra'a!iapara ver qui#n resuelve la ecuacin de tercer grado! saliendo vencedoreste 2ltimo$Cardanoquien era m#dico! adivino y matemtico logra con tretas y promesas!que Tar'a!ia le (iciera conocer la solucin de la ecuacin de tercer grado$ Elmismo a&o Cardanopublica su libro NArte _ayorO en donde da la solucin de laecuacin de tercer grado como suya y menciona que Tar'a!iano es sino unredescubridor ya que de Ferro(ab"a dado la primera prueba (ace *+ a&os$En la misma obra aparece la solucin de la ecuacin de cuarto grado! debido a3udo&ico Ferrari! disc"pulo de Cardano$ Posteriormente se dieron otras pruebastanto de la ecuacin de tercer grado );$ :iette, como de la ecuacin de cuartogrado )RL Descartes,

Despu#s de los rotundos #xitos de los matemticos 3talianos viene nuevamente unlargo periodo de estancamiento en la tarea de la solucin de ecuaciones de quintogrado$ Reci#n en 1@-6! el joven matemtico noruego Nies enricU A"edemostr que la ecuacin general de quinto grado no es resoluble mediante laextraccin de ra"ces y las operaciones aritm#ticas conocidas$

Por otro lado en 1.-. E&aris'o 1aois! probar"a que las ecuaciones de gsuperior a cuatro no son resolubles por radicales y dio las condiciones necesarsufcientes para que una ecuacin de cualquier grado sea resoluble por radicaActualmente existen t#cnicas que permiten resolver ecuaciones de cualqgrado$

CONTENIO TE/RICO:

EC2ACI/N PO3ONOMIA3 EN 2NA INC/1NITA

Es aquella ecuacin que tiene la siguiente orma generalB

0axa...xaxaxaP n1-n2-n

2

1-n

1

n

0(X) =+++++=

DondeB a+C a1C a-C$$$$$$$$$$$$$$ B an / 1C anIon sus coefcientesx es la incgnita

IiB a ++! el grado de la ecuacin es NnO )n M,IiB a +J 1! 5a ecuacin es mnica$RAI O CERO E 2N PO3INOMIODado el polinomio P)x,$ Ie denomina ra"z o cero del polinomio! al n2mero NaOsolo si el polinomio P)x,es divisible entre )x L a,$

El polinomio P)x, tiene una ra"z de valor NaO P)x,J )x L a, q)x,

E,e$%o:

%allar las ra"ces deB P)x,J x*/ 8x-S 11x / 8

Resouci)n

;actorizando se tieneB P)x,J )x / 1, )x / -, )x / *,5uego las ra"ces o ceros de P)x,$ IonB 1C -C *Q

O"ser&aci)n:

=na manera prctica de (allar las ra"ces de un polinomio P )x,! es ormaecuacinB P)x,J +$ As"BP)x,J )x / 1, )x / -, )x / *, J +$ 'I J 1C -C *Q

EC2ACIONES

M t ti 1 t b /M t ti 1


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En este ejemplo las ra"ces del polinomio P )x, coinciden con las soluciones de laecuacin P)x,J +! lo cual no ocurrir siempre$

Ra* de Mu'i%icidad #U(:Dado el polinomio P)x,se denomina ra"z de multiplicidad NHO )H TS, del polinomioP)x,$ Al n2mero NaO! si y slo si el polinomio P )x,es divisible entre +8 a-U! pero noes divisible entre +8 a-UQ0! es decir siBP)x,J x0/ x*/ *x-S 6x / -

;actorizando se tieneB P)x,J )x / 1,

*

)x S -,5uego las ra"ces de P)x,sonB 1C 1C 1C /-Q y se dice queB

N1O es una ra"z de multiplicidad * )ra"z triple, N-O es una ra"z de multiplicidad 1 )ra"z simple,

;ormemos la ecuacinBP)x,J+ P)x,J )x / l,*)x S -, J +

)x / 1,*J + x S - J + x J 1 x J / -

5uegoB 'I 1C /-Q

O"ser&aci)n:

5a ecuacin antes expuesta tiene 0 ra"ces y dos elemento en su conjunto solucin$'uando un polinomio tiene races $G'i%esel n2mero de ra"ces y el n2mero desoluciones no coincide$

E,ercicio:

En la ecuacin polinomialB

x*)x / -,-)x-S ., )x S ** , J +$ Ie&aleB

a, El n2mero de ra"ces b, El n2mero de soluciones c, Iu conjunto solucin

TEOREMA F2NAMENTA3 E3 A31EBRA

9oda ecuacin polinomial con cualquier tipo de coefcientes num#ricos tiene por lomenos una ra"z que generalmente es compleja$

Coroario:

9oda ecuacin polinomial de grado n V 1$ 9iene exactamente NnO ra"ces compen general$5uego dada la ecuacin polinomialBP)x,J a+xnS a1xn / 1S$$$$$$$S an/1x S anJ +B a++Ie tieneB P)x,J a+)x / x1, )x / x-,$$$$$$ )x / xn, J +DondeB x1C x-C x*C$$$$$$$$$$C xn, son ra"ces de P )x,

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TEOREMA E CARANO VIETTE

Iea la ecuacin polinomialB

P)x, J a+xnS a1xn / 1S a-xn / -S$$$S an / 1x S anJ +

a++$ 'uyas ra"ces sonB x1C x-C x*C$$$$$$$$$$$$C xnQIe cumple las siguientes relaciones

Su$a de Races:

I1J x1S x-S x*S $$$$$$$$$$$$ S xnJ / +

1

a

a

Su$a de Produc'os Binarios:

I-J x1x-S x1x*S x-x*S$$$$$$ S xn L1xnJ /+

-

a

a

Su$a de Produc'os Ternarios:

I*J x1x-x*S x1x-x0S $$$$$$ S xn / -xn / 1xnJ /+

*

a

a

Produc'o de Races:

InJ x1x-x*$$$$$$$$$$$$$$ xn / 1xnJ)L1,n+

n

a

a

E,e$%oB

@0. EnB 0x0S *x*/ -x-S *x / 1 J +

'alcularB0

*

I

I

@


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E,e$%osB

%alle la ecuacin cuyas ra"ces son las de la ecuacinBx-/ -x / @ J +! pero aumentadas en 1$

5a ecuacin esB )x / 1, -/ -)x / 1, / @ J X

Encuentre la ecuacin cuyas ra"ces son los de la ecuacin x*/ -x-S x / 6 J +disminuidas en -$5a ecuacin esB

)x S - ,*L -)x S -,-S )x S -, L 6 J +$

Eectuando se obtieneB x* S 0x-S 6x / * J +$ 9ambi#n se puede usar elsiguiente m#todoB

x J-

1 L - 1 L 6

- + -

x J-

1 + 1 L *

- 0

x J-

1 - 6

-

1 0

5uego la ecuacin esB

+*x6x0x -* =++

Encontrar la ecuacin cuyas ra"ces son las de la ecuacinB x6/ *x*S -x-S 1 J+! disminuidas en 1$


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;)b,

;)a, ;

ba x+

x

yPRCTICA E C3ASE

@0. 'alcular la suma de las ra"ces deB x*S -x-J x / 1 $

a, - b, L- c, * d, L1 e, 1

@


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y

a, 1 b, + c, -* d, *- e, 0@. Iea la ecuacinB -x*S *x-J /0x S *$ AdemsB x1C x-C x*son sus ra"ces$

'alcularB x1x-S x1x*S x-x*

a, 1 b, 1- c, - d, 1* e, L1*

00. Al resolver la ecuacinB x*S 8x-J /*x S 1+$ 3ndicar lo correcto

3$ Presenta dos ra"ces enteras negativas33$ Posee una ra"z real$333$ 5a menor ra"z real es /6

a, Ilo 3 b, Ilo 33 c, Ilo 333 d, 3 y 333 e, 33 y 333

0


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EJERCICIOS PROP2ESTOS NL @?

@0. IeanB x1C x-C x* ra"ces de la ecuacinB -x*/ x S 6 J +

'alcularB *-11

*1 xxx

*x

1x+

+

a, 1 b, - c, L- d, L*- e, 0*

@


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0=. Iea la ecuacin polinomialBP)x,J ax*S x-S x S b J +B a +Determinar los valores de NaO de modo que P )x,admita una ra"z real Nrmultiplicidad -$

a, { }0*

1C b, C

c,*

1C

d, { }+*1C e, R

0?. Ii la ecuacinB x0 S mx*S -x S n J + m n RC admite una ra"z tr%allarB m-S n*

a, * b, 0 c, 6 d* e, L1

0. Ie sabe queB x1 C x- y x* son las ra"ces de la ecuacin$ x* / x-/ 1 Encontrar una nueva ecuacin cuyas ra"ces sonB x 1S x- C x-S x* C x*S x1

a, +1yy-y -* =+ b, +1yy-y -* =++ c, 1yyy -* =

d, +1yy-y -* =+ e, +1yy-y -* =+

0D. 'ul ser la ecuacin c2bica cuyas ra"ces sean el doble de los rec"prococada una de las ra"ces de la ecuacin polinomial

Ax*/ >x S ' J + C ' +

a, 'x* L >x S A J + b, 'x*S ->x-S 0A J + c, 'x*S ->x-/ 0A Jd, 'x*/ ->x-S @A J + e, Ax*/ ->x S 0' J X

0. El producto de los coefcientes de la uncin polinomial de menor grado

pasa por los puntosB )+C +,C )1C 1, C )-C +, y )*C L1, esB

a, L160 b, L10. c, 6. d, L16. eL18.

0. Iabiendo queB a b y c son ra"ces de la ecuacinB x* L 7x-S 6x S 8 'alcularB

_ J )a S b L c,L1S )b S c L a,L1S )c S a L b,L1

a, *166 b, .66 c, 7166 d, -.166e, -766



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0. Ii la ecuacinB x6L 1+a*x-S b0x S c6J + tiene * ra"ces iguales$ %allar el valordeB ab0L .a6

a, c b, L c6 c, + d, c-

e, 1


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DondeB -a-` *b aC bC cC dC eQR3ndicar verdadero ):, o also );,

3, 9odas sus ra"ces son reales33, Al menos dos ra"ces son complejas333, =na ra"z es real

a, :;; b, ;;: c, ;:; d, ;;; e, :::

@D. IiB P)x, J )x L 1,)x L *,)x L 6,S)x L -,)x L 0,3ndicar la alternativa ms correctaB

a, 9iene * ra"ces realesb, 9iene * ra"ces reales negativasc, 9iene * ra"ces reales positivasd, 9iene - ra"ces reales positivas y una es negativae, M$A

@. ;ormar la ecuacin de menor grado posible con coefcientes racionales! en laque una de sus ra"ces sea$ -i*+

a, x0/ -x-S -6 J + d, x0S -x-L -6 J +b, x0S -x-S -6 J + e, x0S x-S -6 J +c, x0S -x-S 6 J +

@. 'alcular la suma de las ra"ces deBx*S -x-J x / 1

a, - b, /- c, * d, / 1 e, 1

@. 'alcular el producto de las ra"ces deB-x*S 8x-J 6x S @

a, /1 b, /- c, 0 d, / 0 e, /8

0@. ResolverB x*S -x-/ 11x J 1-$ E indicar una de sus ra"ces$

a, 1 b, - c, * d, 0 e, 8

SO32CIONARIO

NLEJERCICIOS PROP2ESTOS@0 @< @= @?

@0. ' E A >@ > > >@. E D ' '@D. > ' E '@. > D D D@. E > D E@. E D E D0@. A A D A00. D D0 A0. D >0D. D0. E0. E0. '

algebra ejercicios del tercer bimestre de 5to de secundaria.doc

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