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Superficies Cuádricas

Sesión de Ejercicios 3Superficies Cuadràticas

Definición:Una superficie cuadrática ( o cuàdrica ) es la gráfica de una

ecuación de segundo grado con tres variables x, y, z. La forma general de la ecuación es:

donde A, B, C, …, J son constantes.

1. Elipsoide.Tiene por ecuación

Las trazas del elipsoide son elipses, es decir, la intersección con planos paralelos a los planos

coordenados es una elipse

2. Hiperboloide de una hoja.

Tiene por ecuación

Las trazas del hiperboloide son hiperbolas en planos paralelos al plano XZ y al YZ, mientras que en planos paralelos al XY las trazas son elipses.

Prof. Antonio Syerse-mail :[email protected] .veProf. Ana Olaldee-mail: [email protected] .ve

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El eje por donde se abre el hiperboloide es por el eje cuya variable aparece en la ecuación negativa ( en este caso eje z). La diferencia fundamental entre el hiiperboloide de una hoja y el elipsoide es que tiene una variable con signo negativo.

3. Hiperboloide de dos hojas.

Tiene por ecuación Las trazas de esta superficies son :Para planos paralelos a XZ son hiperbolas al igual que para planos

paralelos al YZ.

Se diferencia de las otras superficies ya que tiene dos variables negativas .

4. Paraboloides


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Tiene por ecuación Las trazas del paraboloide son:Para planos paralelos al XY son elipses, para planos paralelos al XZ o al YZ son parábolas.

Su diferencia con las otras cuádricas es que tienen una variable que no

está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen el mismo signo.

5. Paraboloide hiperbólico.Tiene por ecuación Su diferencia fundamental con las otras superficies es que ella tiene en su ecuación una variable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen el signos contrarios.

Trazas:

6. Conos

La superficie cuádrica que tiene por ecuación


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Se denomina Cono.

Las trazas del cono son:

7. Cilindro circular recto:

Cuando una de las variables x, y o z no aparece en la ecuación de la superficie, Entonces la superficie es un Cilindro. Por ejemplo:

Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la gráfica del cilindro se extenderá paralelo al eje z

En el plano: En el Espacio:


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X

Y

Z

a

x

Y

x

y

z


8. Cilindro circular recto con eje en el eje y :

Considere la ecuación:

En el plano: En el Espacio

8. Cilindro parabólico:

Considere la ecuación , que corresponde a una parábola en el plano xy, al variar z se obtiene la superficie


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x

z

a

x

y

z


En el plano En el espacio

9. Cilindro elíptico con eje en el eje z:

Considere la ecuación de la elipse en el plano yz , al recorrer el eje x se obtiene la superficie En el espacio En el plano

10. Cilindro hiperbólico con eje en el eje z:


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Considere la ecuación que corresponde a una hipérbola centrada en el ( 0,0) en el plano xy, al recorrer z se obtiene la superficie

En el espacio En el plano

EJERCICIOS PROPUESTOS

I. Para las ecuaciones siguientes, hacer un estudio completo: trazas, cortes con los ejes, identificar la superficie y hacer un gràfico aproximado.

1. ( hiperboloide de una hoja con centro en ( 1,1,-1))2.


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( esfera )3. (cono elíptico de 2 hojas)4. (cono circular)5. (paraboloide elìptico)6. (paraboloide hiperbólico)7. ( hiperboloide de una hoja)8. (paraboloide circular recto)9. ( paraboloide )10. ( hiperboloide de dos hojas)12. 15. 13. 16. 14. 17. ( cilindros )

II. 1. Trace la región limitada por 2. Obtener la curva de intersección de las superficies

y hacer su gràfica3. Graficar :

a) La parte del hiperboloide que se encuentra abajo del rectángulo

b) La parte del paraboloide elíptico que se encuentra a la derecha del plano xz

c) La parte de la esfera que se encuentra arriba del cono


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d) La parte del cilindro que se encuentra entre los planos y=-1 y y=3

e) La parte del plano z=5 que se encuentra dentro del cilindro

f) La parte del plano z=x+3 que se encuentra dentro del

cilindro

g) La parte del plano x+2y+z=4 que se encuentra dentro del cilindro h) La parte de la superficie que se encuentra arriba

del triàngulo de vértices (0,0), (1,1) , y (0,1)i) La parte del paraboloide hiperbólico que se

encuentra entre los cilindros

III. Graficar los sòlidos indicados, marcando los cortes con los ejes cordenados.

a) Sòlido limitado , el plano z= y+3 y el plano xy

b) Sòlido limitado por y los planos y=0 y x+y=2

c) El sòlido limitado por z=0

d) El sòlido limitado por

e) El sòlido limitado por el plano x+y+z=1 y los planos coordenados en el primer octante.

f) El sòlido limitado por y z=-1

g) El sòlido limitado por

h) El sòlido dentro del tetraedro de vértices (0,0,0), (1,0,0),(0,1,0) y (0,0,1)


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