superficies cuÁdricas
DESCRIPTION
SUPERFICIES CUÁDRICAS. CÁLCULO IV (ING) Prof. Antonio Syers. Definición. Una Superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables x, y, z. La forma general de la ecuación es:. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
SUPERFICIES CUÁDRICAS
CÁLCULO IV (ING)Prof. Antonio Syers
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
Definición
Una Superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables x, y, z. La forma general de la ecuación es:
0JIzHyGxFxzEyzDxyCzByAx 222 Donde A,B,C,…;J son constantes, pero usando traslaciones y rotaciones la ecuación se puede llevar a una de las dos formas canónicas siguientes o ,0JCzByAx 222
0CzByAx 22
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
Tipos de cuádricas
A) Elipsoides
B) Hiperboloides B.1) Hiperboloide de una hojaB.2) Hiperboloide de dos hoja
C) Conos
D) Paraboloides D.1) Paraboloide elíptico
D.2) Paraboloide hiperbólico
E) Cilindros
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
Elipsoide
La superficie cuádrica con la ecuación
12c
2z2b
2y2a
2x
Se denomina Elipsoide, ya que sus trazas son elipsesTrazas:
elipse 12c
2z2b
2y 0x Si
elipse 12c
2z2a
2x 0 ySi
elipse 12b
2y2a
2x 0z Si
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
Elipsoide
X
Y
Z
ElipsePlano
paralelo
al YZ
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
Hiperboloides
La superficie cuádrica con la ecuación
12c
2z2b
2y2a
2x
Se denomina hiperboloide de una hoja.
Hiperbola 12c
2z2b
2y 0x Si
Hiperbola 12c
2z2a
2x 0 ySi
Elipse 12b
2y2a
2x 0z Si
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
Hiperboloides
X
Y
Z
Plano paralelo al XY
Plano paralelo al YZ
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
Hiperboloides
La superficie cuádrica con la ecuación
12c
2z2b
2y2a
2x
Se denomina Hiperboloide de dos hoja.
hiperbola 12b
2y2c
2z 0x si
hiperbola 12a
2x2c
2z 0 ysi
gráfica hay no !!imposible! 12b
2y2a
2x 0z si
Trazas:
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
Hiperboloides
X
Y
Z
Plano paralelo al XY
Plano paralelo
al YZ
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
Hiperboloides
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
Paraboloides
La superficie cuádrica con la ecuación
c
z2b
2y2a
2x
Se denominan paraboloides elipticos. Sus trazas son:
parábola c
z2b2y c
z2b
2y 0x Si
parábola c
z2a2x c
z2a
2x 0 ySi
Círculo ba si y,Elipse c
k2b
2y2a
2x K z Si
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
X
Y
Z
Paraboloides
Plano paralelo al XZ
Plano paralelo al XY
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
ParaboloidesLa superficie cuádrica que tiene por ecuación
c
z2b
2y2a
2x
Se denomina paraboloide hiperbólico
parábolas c
z2b
2y 0x si
parábolas c
z2a
2x 0 ysi
!rectas! Dos yba
x 02b
2y2a
2x 0z si
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
X
Y
Z
ParaboloidesPlano paralelo al XZ
Plano paralelo
al YZ
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
ConosLa superficie cuádrica que tiene por ecuación
2c
2z2b
2y2a
2x
Se denomina Cono
rectas Dos zca
x 2c
2z2a
2x 0 ySi
rectas Dos zcb
y 2c
2z2b
2y 0x Si
b?a si ¿Y Elipse, 2c
2k2b
2y2a
2xK z si
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
Cono
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
X
Y
Z
Conos
Plano paralelo al XY
Plano YZ
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
CilindrosCuando una de las variables x, y o z no aparece en la ecuación de la superficie, Entonces la superficie es un Cilindro. Por ejemplo:
222 ayx
Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la gráfica del cilindro se extenderá paralelo al eje z
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
a
x
Y
En el plano: En el Espacio:
x
y
z
Cilindros
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
x
z
a
x
y
z222 azx
Cilindros
Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS
Cuadro ResumenSuperficie Ecuación Diferencia Observación
ElipsoideHiperboloide
2 hojasHiperboloid
e 1 hoja
ParaboloideParaboloid
e hiperbólico
Cono
Cilindros
1c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
1c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
1c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
cz
b
y
a
x2
2
2
2
cz
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x