función cuadrática y ecuación de segundo grado · liceo luis cruz martÍnez departamento de...

LICEO LUIS CRUZ MARTÍNEZ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROFESOR: Luis Martínez Ramos

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Calama, ______ de _______________ de 2019

Nombre:_______________________________________________ Curso: 3° _____

Instrucciones: Para desarrollar esta guía debes leer atentamente cada uno de los enunciados,

deja constancia del procedimiento utilizado.

Función cuadrática y ecuación de segundo grado

La función cuadrática o función de 2º grado se define: f(x) = ax2 + bx + c o lo que es lo

mismo y = ax2 + bx + c siendo a, b , y c cualquier número real , con a 0

La gráfica de la función cuadrática recibe el nombre de parábola.

Toda función cuadrática puede ser evaluada, se le puede asignar un valor numérico o literal a la variable

independiente y calcular el valor que le corresponde a la variable independiente.

Es decir, evaluemos la siguiente función cuadrática.

𝑦 = 5𝑥2 − 3𝑥 + 1, para 𝑥 = −2

Reemplazando: 𝑦 = 5(−2)2 − 3(−2) + 1

𝑦 = 5 ∙ 4 − 3 ∙ −2 + 1

𝑦 = 27

Es decir, para le función 𝑦 = 5𝑥2 − 3𝑥 + 1, si 𝑥 = −2 entonces 𝑦 = 27.

Luego el par (−𝟐, 𝟐𝟕) satisface la ecuación.

GUÍA DE EJERCICIOS N° 2

UNIDAD: 2


2

Grafica de la función cuadrática

Actividad 1.

Graficar la función cuadrática y = x2 , completando la tabla de valores y ubicando los pares ordenados

obtenidos en el sistema cartesiano dado más abajo. (Observación: para dibujar la gráfica debe unir los puntos

obtenidos con línea suave.)

b) Graficar y = x2 - 4 , completando la tabla adjunta y usando el mismo sistema cartesiano , dibujando con

otro color.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y


3

La abertura de una parábola o de sus “ramas” recibe el nombre de concavidad.

Si a > 0 concavidad positiva

Ejemplo:

Ecuación de la parábola: y = 2 x 2 – 3 x – 1

Si a < 0 concavidad negativa

Ejemplo:

Ecuación de la parábola: y = – 2 x 2 + x + 3

x

y

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x

y

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6


4

Actividad 2.

Graficar las funciones dadas en el sistema cartesiano dado más abajo, completando la tabla de valores

correspondiente y usando distinto color.

a) y = x2 + 2x – 3

b) y = - x2 + 6x – 8

x -4 -3 -2 -1 0 1 2

y

x 0 1 2 3 4 5 6

y


5

Actividad 3.

Concluir características de la gráfica de una función cuadrática, observando las gráficas obtenidas en las

actividades 1 y 2 .

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Para determinar las coordenadas de cada punto de intersección, si ésta existe, de la parábola con el eje X, debe resolverse la siguiente ecuación cuadrática:

f(x) = a x 2 + b x + c = 0

Ejemplo: Determina las coordenadas del punto ( o los puntos ) de intersección de la parábola de

ecuación: y = 2

1 x 2 – 2 x – 6 con el eje X.

Respuesta: 2

1 x 2 – 2 x – 6 = 0

x 2 – 4 x – 12 = 0

( x – 6 ) ( x + 2 ) = 0

x 1 = 6 x 2 = – 2

Los puntos de intersección con el eje X son A ( 6 , 0 ) y B ( – 2 , 0 ).

Estos valores de x reciben el nombre de ceros ( o raíces) de la función cuadrática.

Ecuación de segundo grado

A una ecuación del tipo a x 2 + b x + c = 0 , se le denomina ecuación de segundo grado.

La solución de general de la ecuación es:

𝒙 =−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

En la resolución de problemas que involucran una ecuación de segundo grado, las soluciones de esta no

necesariamente son las adecuadas al problema planteado, por esto se recomienda que relexiones acerca de la

pertenencia de las soluciones antes de dar la respuesta al problema.


6

Grafica de la Ecuación de la curva: y = 2

1x 2 – 2 x – 6

El número de intersecciones de la parábola con el eje X está determinado por el valor del discriminante:

∆ = b 2 − 4 a c

1) b 2 − 4 a c > 0 2 intersecciones

Ejemplo: Ecuación de la parábola: y = 2 x 2 – 5 x + 1

x

y

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

x

y

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-4

-2

0

2

4

6

8

10


7

2) b 2 − 4 a c = 0 1 intersección

Ejemplo: Ecuación de la parábola: y = x 2 + 6 x + 9

3) b 2 − 4 a c < 0 No hay intersección

Ejemplo: Ecuación de la parábola: y = – x 2 + 2 x – 3

x

y

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

0

2

4

6

8

10

12

14

x

y

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4


8

Intersección con el eje Y La parábola tiene un y sólo un punto de intersección con el eje Y. Las coordenadas de ese punto son: ( 0 , c )

Ejemplo: Determina las coordenadas del punto de intersección de la parábola de ecuación:

y = 5 x 2 + 7 x – 4 con el eje Y.

Respuesta: Las coordenadas del punto de intersección son: ( 0 , – 4 )

Ecuación de la parábola: y = 5 x 2 + 7 x – 4

Eje de simetría

Cada parábola tiene un eje de simetría cuya ecuación es:

x = −𝒃

𝟐𝒂

Ejemplo: Determina la ecuación del eje de simetría de la parábola de ecuación: y = 3 x 2 – 12 x + 7.

Respuesta: La ecuación del eje de simetría es:

x = – 32

12–

= 2

Vértice ( V )

x

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-6

-4

-2

0

2

x

y

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10


9

Toda parábola tiene un y sólo un vértice ( V ) de coordenadas:

V(h,k) = V

a

bca

a

b

4

–4,

2–

2

Ejemplo: Determina las coordenadas del vértice ( V ) de la parábola de ecuación: y = x 2 + 2 x – 8.

Respuesta: Las coordenadas del vértice son:

14

2–)8–(14,

12

2–

2

V = V ( – 1 , – 9 )

Máximo y mínimo de funciones cuadráticas.

Dada la función f(x) = a x 2 + b x + c , tal que el vértice de la parábola corresponde a

V(h,k) = V

a

bca

a

b

4

–4,

2–

2

con :

x = a

b

2– ; y =

a

bca

4

–4 2

Si 𝑎 > 0 entonces y = a

bca

4

–4 2

es mínimo.

Si 𝑎 < 0 entonces y = a

bca

4

–4 2

es máximo.

Análisis de las raíces de una función cuadrática. Sean x1 y x2 raíces de la función cuadrática f(x) = a x 2 + b x + c , entonces:

𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎 y 𝑥1 ∙ 𝑥2 =

𝑐

𝑎

Dominio de la función ( Dom f ) El dominio de la función cuadrática es R .

Dom f = R

Recorrido de la función ( Rec f )


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El recorrido de la función cuadrática está determinado por:

a > 0 Rec f =

+,

4

–4 2

a

bca

a < 0 Rec f =

a

bca

4

–4,–

2

Ejercicios sobre la función de segundo grado.

1) Considerar la función f(x) = x2 + 4x -12 , y determinar: a) los ceros de la función

b) su intersección con el eje Y.

c) la orientación de la curva

d) la ecuación de su eje de simetría

e) las coordenadas de su vértice

Finalmente, decir si tiene máximo ó mínimo y cuál es su valor.

Con las respuestas obtenidas a las preguntas de más arriba, hacer un bosquejo de la gráfica.

2) Considerar la función f(x) = -x2 + 4x , y repetir lo del ejercicio 1).


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3) Analizar cada función para determinar su orientación, y sin graficar, determinar si intersecta o no al

eje X. Si su respuesta es afirmativa decidir en cuántos puntos lo intersecta, y obtenerlos.

a) f(x) = x2 + 16 b) g(x) = 3x2 + 6x + 3

c) h(x) = - x2 + 5x + 3 d) i(x) = x2 - 6x + 9

e) j(x) = x2 – x – 2 f) k(x) = -4x2 + 4x +3

4) Analizar la naturaleza de las funciones del ejercicio 3).


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Ejercicios de selección Múltiple

1)

2)

3)

4)


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5)

6) Dada la siguiente parábola: y = x2 – 4x + 3. ¿En qué puntos intersecta el eje X?

A) (−1,0) y (−3,0) B) (0,1) y (0,3) C) (x,1) y (x,3) D) (1,0) y (3,0) E) (0,−1) y (0,−3)

7)

8) ¿Cuál debe ser el valor de k para que las raíces de la ecuación x2− 2kx + 3k = 0 sean iguales? A) 0 B) 3 C) −3 D) 0 y 3 E) 3 y −3


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9)

10)

11)

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