ecuaciÓn de 2° grado o cuadrÁtica
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ECUACIÓN DE 2° GRADO
O CUADRÁTICA
Profesor:
Elías Figueroa Quiroz
22 7 0x x
¿De qué tipo es esta
ecuación?
¿Cuáles son sus soluciones?
Objetivos de Aprendizaje• Comprender el concepto de ecuación
cuadrática.
• Determinar coeficientes de una ecuación
cuadrática.
• Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.
• Reconocer y utilizar métodos de resolución de
diversas ecuaciones cuadráticas completas.
Ecuación Cuadrática.Una ecuación de segundo grado con una incógnita o ecuación
cuadrática es aquella en la cual el mayor exponente de la
incógnita es dos y viene expresada de la siguiente forma.
En esta ecuación los coeficientes son:
Además, siempre se obtiene DOS SOLUCIONES al resolver
una ecuación cuadrática, definidas por X1 y X2.
Ejemplos.
Tipos de Ecuación Cuadrática.
Existen 2 tipos de ecuación cuadrática o de segundo grado:
1. Incompletas
1.1. Incompleta Monomial.
1.2. Incompleta Binomial.
1.3. Incompleta Pura.
2. Completas
2.1. Completa Particular.
1.2. Completa General.
Ecuación Cuadrática Incompleta.I. INCOMPLETA MONOMIAL.
Es aquella de la forma:
2 ; 0; 0; 0ax a b c
2 2 26 0 2 0 3 5 0x x x
Su resolución es:
2 2 26 0 2 0 3 5 0x x x
2 0x
1 0x
2 0x
2 0x
1 0x
2 0x
2 0x
1 0x
2 0x
Ecuación Cuadrática Incompleta.II. INCOMPLETA BINOMIAL.
Es aquella de la forma:
2 ; 0; 0; 0ax bx a b c
2 23 5 0 4 6 0x x x x
Su resolución es factorizando por los términos en común:
2 23 5 0 4 6 0x x x x
3 5 0x x
1 0x
2
5
3x
2 2 3 0x x
1 0x
2
3
2x
3 5 0x 2 3 0x
Ecuación Cuadrática Incompleta.III. INCOMPLETA PURA.
Es aquella de la forma:
2 ; 0; 0; 0ax c a b c
2 24 36 0 2 98 0x x
Su resolución es despejando la incógnita:
2 24 36 0 2 98 0x x
2 9x
1 3x
2 3x
2 49x
1 7x i 2 7x i
49x
Ejercicios Propuestos.
21) 5 32 57x
22) 6 21 51x
23) 15 3 0x x
24) 7 19 5x
¿Qué aprendiste?
1. ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación cuadrática?
2. ¿Qué coeficiente es nulo en la ecuación cuadrática
incompleta pura?
3. ¿Qué coeficiente es nulo en la ecuación cuadrática
incompleta binomial?
4. ¿Qué otro nombre reciben las soluciones de las
ecuaciones de segundo grado con una incógnita?
22 7 0x x
¿De qué tipo es esta
ecuación?
¿Cuáles son sus soluciones
o raíces?
2 5 6 0x x
¿Cuáles son sus soluciones
o raíces?
Ecuación Cuadrática Completa.I. COMPLETA PARTICULAR.
Es aquella de la forma:
2x bx c
2 27 12 0 6 9 0x x x x
Su resolución es factorizando:
2 27 12 0 6 9 0x x x x
3 4 0x x
1 3x
2 4x
3 3 0x x
1 3x
2 3x
; 1; 0; 0a b c
Ecuación Cuadrática Completa.I. COMPLETA PARTICULAR.
2 210 25 0 6 0x x x x
5 5 0x x
1 5x
2 5x
3 2 0x x
1 3x
2 2x
Ecuación Cuadrática Completa.II. COMPLETA GENERAL.
Es aquella de la forma:
2 ; 0; 0; 0ax bx c a b c
Para su resolución se debe considerar la fórmula general de la
ecuación cuadrática, la cual es:
2 4
2
b b acx
a
2
1
4
2
b b acx
a
2
2
4
2
b b acx
a
Ecuación Cuadrática Completa.II. COMPLETA GENERAL.
2 23 5 2 0 1 0x x x x
2 4
2
b b acx
a
2
5 5 4 3 2
2 3x
5 25 24
6x
5 1
6x
1
5 1
6x
1
2
5 1
6x
2
3
21 1 4 1 1
2 1x
1 1 4
2x
1 3
2x
1 3
2
i
1
1 3
2
ix
2
1 3
2
ix
Métodos de Resolución de la
Ecuación Cuadrática
• Factorización del Trinomio
(ya ejemplificado anteriormente)
• Completación de Cuadrados
• Fórmula General
Completación de Cuadrados
Completación de Cuadrados
Completación de Cuadrados
Completación de Cuadrados
Completación de Cuadrados
Completación de Cuadrados
Demostración de la Fórmula General
Demostración de la Fórmula General
Demostración de la Fórmula General
Demostración de la Fórmula General
Existen otras maneras de demostrar la
Fórmula General de la Ecuación Cuadrática.
Pinche los siguientes link:
https://www.youtube.com/watch?v=H-zN5m6oLh8
https://www.youtube.com/watch?v=vix1BlqxY04
¿Cuáles son sus soluciones o raíces?
2 4 32 0x x
EJERCICIOS PROPUESTOS
2 20 0x x
Teorema de Cardano-Víete.Este teorema nos sirve para obtener la ecuación cuadrática
correspondiente a un par de soluciones.
Utiliza los siguientes teoremas:
1 2
bx x
a
1 2
cx x
a
1
2
4
1
x
x
1 2
bx x
a
4 1
b
a
5
b
a
1 2
cx x
a 4 1
c
a 4
c
a
1; 5 ; 4a b c 2 5 4 0x x
1
2
3
1
5
x
x
1 2
bx x
a
13
5
b
a
14
5
b
a
1 2
cx x
a
13
5
c
a
3
5
c
a
5 ; 14 ; 3a b c 25 14 3 0x x
1
2
3 3
3 3
x
x
3 3 3 3b
a
0
b
a
3 3 3 3c
a 27
c
a
1; 0 ; 27a b c 2 27 0x
1 22 7x x
¿Cuál es la ecuación
cuadrática correspondiente
a estas soluciones o raíces?
Problemas de Ecuación Cuadrática.Manuel tiene un terreno en forma de cuadrado, el cual tiene
una superficie de 36m2, que quiere rodear de alambre
¿Cuántos metros de alambre necesita si el lado del terreno
mide (x + 2)m?
236m
2x
2x
2
2 36x
2 4 4 36x x
2 4 32 0x x
8 4 0x x
1 8x 2 4x
6lado m
4 6 24m m
Manuel necesita 24 metros de alambre para rodear su terreno.
Problemas de Ecuación Cuadrática.Sofía tiene un cuadro de ancho (x – 2)m y largo (x + 1)m. Si sabe
que el área mide 18cm2, ¿Cuánto mide el ancho de su cuadro?
218m
2x
1x
2 1 18x x
2 2 2 18x x x
2 20 0x x
5 4 0x x
1 5x 2 4x
6largo m
3ancho m
El ancho del cuadro de Sofía es de 3m.