Ecuaciones cuadráticas

Lección 3

Definición

• Una ecuación cuadrática en x es una ecuación que se puede escribir de la forma

ax2 + bx + c = 0 , donde a ≠ 0 .• Ejemplos:

4x2 = 8 – 11x x(3 + x) = 5 4x = x2

Factorización

• Invierte el proceso de buscar el producto de dos binomios.

• Producto

• Factorización

𝑥2+9𝑥+18=𝑥2+3𝑥+6 𝑥+18=(𝑥+3)(𝑥+6)

(𝑥+3 ) (𝑥+6 )=𝑥 (𝑥+6 )+3(𝑥+6)

Factorización

• Invierte el proceso de buscar el producto de dos binomios.

• Producto

• Factorización

𝑥2−5 𝑥−14=𝑥2+2 𝑥−7 𝑥−14=(𝑥−7)(𝑥+2)

(𝑥−7 ) (𝑥+2 )=𝑥 (𝑥+2 )−7 (𝑥+2)

Factorización

• Invierte el proceso de buscar el producto de dos binomios.

• Producto

• Factorización

𝑥2−5 𝑥−14=𝑥2+2 𝑥−7 𝑥−14=(𝑥−7)(𝑥+2)

(𝑥−7 ) (𝑥+2 )=𝑥 (𝑥+2 )−7 (𝑥+2)

Factorización

• Invierte el proceso de buscar el producto de dos binomios.

• Producto

• Factorización

¿ (2𝑥−3)(3 𝑥+5)

(2 𝑥−3 ) (3 𝑥+5 )=¿2 𝑥 (3 𝑥+5 )−3(3𝑥+5)

6 𝑥2+𝑥−15=6 𝑥2+10𝑥−9 𝑥−15¿2 𝑥 (3 𝑥+5 )−3(3𝑥+5)

Resolver mediante factorización

• Si ax2 + bx + c se puede escribir como el producto de dos expresiones lineales, entonces la solución de la ecuación se puede encontrar igualando cada factor a cero y resolviendo cada ecuación lineal.

Resolver ecuaciones cuadráticas

Usando el ejemplo anterior:• Resolver: =0

6 𝑥2+𝑥−15=0❑

(2 𝑥−3 ) (3 𝑥+5 )=0

(2 𝑥−3 )=0(3 𝑥+5 )=02 𝑥=3𝑥=

32

3 𝑥=−5𝑥=

−53

Ejemplo

• Resolver la ecuación 3x2 = 10 – x .

El método AC• La ecuación es cuadrática y sigue el modelo

ax2 + bx + c = 0 con a=3 b = 1 y c = -10.• La ecuación se puede factorizar si existen factores

de AC = -30 que sumen b = 1. • Los factores son 6 y – 5 .

Ejemplo

• Resolver la ecuación 3x2 = 10 – x .

Usando los factores son 6 y – 5 . 

 

Ejemplo

• Resolver la ecuación 8x2 – 12= 4x .

El método AC• La ecuación es cuadrática y sigue el modelo

ax2 + bx + c = 0 con a = 2 b = -1 y c = - 3 . • La ecuación se puede factorizar si existen factores

de AC = -6 que sumen b = -1. • Los factores son 2 y – 3 .

 

Notar que primeramente debemos el factor común de 4.  

Ejemplo

•  

Usando los factores son 2 y – 3 .

 

 

 

 

 

Ejemplo• Resolver la ecuación x2 + 16 = 8x .

• Cómo x – 4 aparece como factor , llamamos a 4 una raiz doble o raiz de multiplicidad 2 de esta ecuación.

Una Ecuación CuadráticaEspecial

• Si x2 = d , entonces la factorización de x2 – d gives

• Por ejemplo, las soluciones de la ecuación cuadrática x2 = 5 son

• Resolver: (x + 3)2 = 5

.x d

5.x

3 5 ,x 3 5.x

Una Ecuación CuadráticaEspecial

• Resolver: 2 (x + 5)2 = 32

(x + 5)2 = 16

La Fórmula Cuadrática

• Para resolver la ecuación cuadrática general: ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 .

• Fórmula cuadrática:

2 4.

2b b ac

xa

El Discriminante

• El número representado por la expresión b2 – 4ac .

• El discriminante indica de qué tipo son las raices de una ecuación cuadrática.

Fórmula CuadráticaResolver:

2 4.

2b b ac

xa

𝒙=¿

𝒙=¿

𝒙=¿

Ejemplo• Resolver la ecuación 2x2 – 1 = 3x.

• Método AC: a=2, b= - 3 , c = -1 La ecuación factoriza si existen factores de ac

= -2 que sumen b= -3 Los factores de -2 son (-2 x 1) ó (2 x -1) NO existen factores de -2 que sumen -3 La ecuación no factoriza como el producto de

dos factores lineales con coeficientes racionales NO existe una solución RACIONAL.

Ejemplo• Encontrar todos los ceros reales de:

2x2 – 1 = 3x.• Resolver:

a=2, b= - 3 , c = -1• Usar la fórmula cuadrática.

2 4.

2b b ac

xa

𝑥=−(−3)±√(−3)2−4 ∙2 ∙−1

2(2)

𝑥=3±√9+84

𝑥=3±√174

Fórmula CuadráticaResolver:

2 4.

2b b ac

xa

2x2 – 4x – 3 = 0

La Fórmula Cuadrática

• Determinar si la ecuación dada tiene raices reales o no:

• 9x2 + 12x + 4 = 0• 3x2 + 4x + 2 = 0• x2 + 2x – 1 = 0

Ecuaciones de tipo cuadrático

• Una ecuación es del tipo cuadrático si se puede escribir de la forma

au2 + bu + c = 0 ,

donde a ≠ 0 y u es una expresión en alguna variable.

Ecuaciones de tipo cuadrático

• Por ejemplo:

se puede escribir

y resolver.• Resolver:

Ecuaciones de tipo cuadrático

• Resolver: • se puede escribir y resolver.

• u=4 u=1; resolvimos primero por u• u = 4 x2=4• u = 1 x2=1

Ecuaciones de tipo cuadrático

• Resolver: • se puede escribir y resolver.

• u=4 u=1; resolvimos primero por u• u = 4 x2=4• u = 1 x2=1

Ecuaciones de tipo cuadrático • Encontrar soluciones reales de

• se puede escribir

y resolver.

• u=25 u = -25; resolvimos primero por u• Si u= 2516 x2=25• u = -25 16x2= -25 NO es real.