Ecuación cuadrática: http://members.fortunecity.com/ceugev/cuadratic.html1. Ecuación cuadrática Una ecuación cuadrática es una aquella en que el exponente mayor de la incógnita es 2. Es decir, es una ecuación de segundo grado, y al resolverla obtendrás dos soluciones posibles: x1  y x2 .       La ecuación general de la ecuación de 2º grado o cuadrática es de la forma:

Ax2+ B x + C =0 (con A ≠ 0)Para resolver una ecuación cuadrática existen diferentes métodos, dependiendo de los coeficientes numéricos A, B, C. 1.2 Resolución de ecuaciones cuadráticas 1. Por factorización Podremos resolver una  ecuación del tipo:   x2  - 12x -  28 = 0, por este método solo si el  trinomio puede ser factorizado. En este caso, buscando dos números que multiplicados den –28 y sumados den –12; (se buscan todos los pares de factores cuyo producto sea  28). En este ejercicio, los números son  -14 y 2, porque la suma de ellos es igual a  -12. Por lo tanto, la factorización es (x - 14)(x + 2) = 0. Como el producto es igual a 0, entonces (x – 14) = 0  o bien (x + 2) = 0.A partir de esto se deduce que las soluciones son x = 14 y x = -2.Recíprocamente, podemos generalizar que si x1 y x2 son las soluciones de una ecuación de segundo grado, entonces  la ecuación (x – x1)• (x – x2) = 0 es un producto de binomios con 1 término común y corresponde a  x2 – x1• x – x2• x + x1• x2  = 0, que si se factoriza en x2 resulta:  x2 - (x1 + x2)• x + x1  x2 = 0. Es por esto que si el valor de A = 1, entonces B es el valor de la suma de las soluciones y C es el valor del producto de las soluciones.Este método se puede aplicar en cualquiera de los trinomios factorizables, incluyendo binomios de la forma: X2 – B2. Por ejemplo: x2 – 81 = 0, el que se factoriza en producto de suma por diferencia: (x + 9)• (x – 9) = 0, determinando las soluciones x1 = -9 y x2 = 9.2. Utilizando la fórmula Todas las ecuaciones cuadráticas: ax2 + b x + c = 0   (con a ≠ 0) Se pueden resolver utilizando la   fórmula:

Ejemplo: Resolver la ecuación   x2 – 10x + 24 = 0 En esta ecuación: a = 1; b = -10 y c = 24. Reemplazando en la fórmula, obtenemos: 

 determinando así las soluciones   x1 = 6 o x2 = 4 3. Por completación de cuadrados Ejemplo: Resolver la ecuación: x2 – 6x + 8 = 0 Con los términos x2 y - 6x podemos formar el cuadrado de binomio  (x – 3)2 Pero nos faltaría el número 9, por lo tanto sumaremos 9 a ambos lados de la ecuación para formar el cuadrado de binomio: x2 – 6x + 8 = 0           /+9 x2 – 6x + 9 + 8 = 9     / factorizamos el trinomio cuadrado perfecto  (x – 3)2 + 8 = 9

(x – 3)2 = 1 Por lo tanto, (x – 3) = 1 o (x – 3) = -1, de lo que se deduce que    x1 = 4 o x2  = 2 4. Despejando la incógnitaEn algunos casos en que sólo aparece la incógnita x, se puede despejar y calcular así las soluciones. Ejemplo:  (x + 8)2 + 15 = 136     / restamos 15(x + 8)2 = 136 – 15     / aplicamos raíz en ambos miembros de la igualdadx + 8 = , entonces x1 = 11 – 8 o bien x2 = -11 – 8, por  tanto : x1 = 3  y  x2 = -19    1.3 Planteo de problemas con ecuaciones cuadráticas Un número entero cumple con que el cuadrado del antecesor de su doble equivale a su cuadrado aumentado en 5. ¿Cómo plantearías la ecuación?Sea x el número entero, entonces el enunciado se traduce en: (2x – 1)2 = x2 + 5donde el binomio (2x – 1)2 corresponde al cuadrado del antecesor del doble de un número entero, y el binomio X2 + 5 corresponde al cuadrado del número entero aumentado en 5 unidades.  Ordenando y reduciendo, se obtiene la ecuación cuadrática: 3x2 – 4x – 4 = 0Utilizando la fórmula, con a = 3, b = -4 y c = -4

Por lo tanto x1 = 2 o x2 = -2/3 Como el número que se pide es un número entero, la solución correcta solo es x = 2. Ejemplo: Un triángulo tiene un área de 24 cm2 y la altura mide 2 cm más que la base correspondiente. ¿Cuánto mide la altura? (Te sugiero dibujes la situación)Sea x la base, entonces su altura es x + 2, y su área:    

La ecuación que resuelve el problema es:

Ordenando e igualando a cero, obtenemos la ecuación: x2 + 2x – 48 = 0 Factorizando: (x – 6)(x + 8) = 0     x = 6 o x = -8 Como x es una longitud, la solución descarta los números negativos, por lo tanto x = 6 (la base es 6) y la altura mediría 8 cm. Para practicar con problemas de planteo relacionados con ecuaciones cuadráticas, te recomendamos: http://www.geocities.com/chilemat/pverbales/ec2grado.htm  1.4 Naturaleza de una ecuación cuadrática Hemos visto que las soluciones de una ecuación cuadrática de la forma: ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0, se pueden obtener según la expresión:

La cantidad subradical: (b2 – 4ac) se llama discriminante y se denomina con la letra griega delta: Δ. Nos permite determinar el tipo de soluciones que tiene la ecuación cuadrática. Si el discriminante resulta ser negativo, estaríamos calculando la raíz cuadrada

de un número negativo, por lo tanto, las soluciones no serían números reales;  si el discriminante es cero, las soluciones serían iguales, y si Δ es positivo, las soluciones son dos números reales y distintos. Resumiendo:

Ejemplo: ¿Cuánto debe valer p para que las soluciones de la ecuación x2 – (p + 3)• x + 9 = 0 sean reales e iguales? Con el análisis anterior, si las soluciones son reales e iguales, el discriminante debe ser igual a cero: a = 1,  b = -(p + 3)  ,  c = 9b2 – 4ac = 0  (-(p + 3))2 – 4 • 1 • 9 = 0  p2 + 6p – 27 = 0 Factorizando: (p + 9)• (p – 3) = 0  p = - 9 o p = 3 1.5 Propiedades de las soluciones de la ecuación cuadrática Sean x1 y x2 las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0 (con a ≠ 0). Según la aplicación de la fórmula, las soluciones son:

¿Qué valor algebraico corresponde a la suma de las soluciones? Si sumamos algebraicamente ambas fracciones obtendremos:

Por tanto, la suma de las soluciones (x1 + x2) de una ecuación cuadrática es

igual a  .¿Qué valor corresponde al producto de las soluciones? Si ahora multiplicamos algebraicamente las expresiones, tendremos que:

Por tanto, el producto de las soluciones (x1 • x2) de una ecuación cuadrática es

igual a .  Es decir, que a través de los coeficientes de la ecuación podemos obtener la suma y la multiplicación de las soluciones sin tener que resolverla. Ejemplo: Si

   y ¿Cuál será la ecuación que cumple esta condición?Para resolver esto, primero debemos igualar los denominadores pues ambos valores representan el coeficiente a. y mantenemos el valor de (x1 • x2); entonces podemos deducir que  a = 4 es el denominador común; b = -2 pues 2 es el valor de -b, y c = 3.

2. Función cuadrática Una función cuadrática representa un conjunto de  valores (x, y), donde y = f(x) de la forma: f(x)= ax2+ bx +c. Su representación gráfica es una parábola en el plano cartesiano. Una de las aplicaciones de la función cuadrática es la altura h(t) que alcanza un objeto después de t segundos cuando es lanzado verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial v0. Su expresión es:

Si suponemos que la velocidad inicial es 10 m/s y que la aceleración es 10 m/s2, entonces la altura es: h(t) = 10t – 5t2. Si nos damos algunos valores para t, obtenemos:

Si graficamos esta función, obtenemos aproximadamente lo siguiente:

 La intersección con el eje de las abscisas (eje horizontal) se obtiene reemplazando h(t) = 0 en la función: h(t) = 10t – 5t2

0 = 10t – 5t2, factorizando: 5t(2 – t) = 0, obtenemos t = 0 o t = 2. Interpretando físicamente lo anterior, podemos afirmar que a los 0 y 2 segundos la altura del objeto es cero, es decir, está en el suelo. Por otro lado, se puede observar en el gráfico que a 1 segundo se encuentra la máxima altura. Si reemplazamos h = 1 en la función, obtenemos h(1)= 10• 1 – 5• 12, por lo tanto la altura máxima que se obtendrá es de 5 m. Este punto donde se alcanza el valor máximo de la función se denomina vértice. Analicemos a continuación, en forma general, las características del gráfico de una función cuadrática. 2.1 Elementos principales de la gráfica de una función cuadráticaSea la función cuadrática: f(x) = ax2 + bx + c. Sus elementos y características principales son: 1. Concavidad de la parábolaSi a > 0, la parábola se abre hacia arriba       

Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo:

2. Intersección de la parábola con el eje Y Sea la función cuadrática: f(x)= ax2 + bx + c. Cuando su gráfica intercepte al el eje Y, debe acontecer que x = 0; si reemplazamos en la ecuación, obtenemos: y = a• 02 + b• 0 + c  y = c, por tanto tenemos que la intersección con el eje Y es el punto (0,c)

3. Intersección de la parábola con el eje XCuando la gráfica intercepte al eje X, debe ocurrir que y = 0; si reemplazamos en la ecuación, obtenemos:

0 = ax2 + bx + c, por lo tanto las intersecciones de la función cuadrática con el eje X se obtienen resolviendo las ecuación de segundo grado. Como las soluciones dependen del signo del discriminante, tenemos que: - Si Δ < 0, la ecuación no tiene soluciones reales, por lo tanto la parábola no corta al eje X. - Si Δ = 0, la ecuación tiene soluciones reales iguales, por lo tanto la parábola es tangente al eje X, es decir, lo intersecta en un solo punto. - Si Δ > 0, la ecuación tiene soluciones reales y distintas, por lo tanto la parábola corta al eje X en dos puntos. Si graficamos lo visto hasta ahora, tenemos las siguientes posibilidades:

4. Simetral de la parábolaLa simetral de la parábola es una recta paralela al eje Y que divide a la parábola en 2 partes iguales, simétricas. Esto significa que estará ubicada en el punto del eje X de tal manera que sea el punto medio entre x1 y x2 .

 Esto indica que la ecuación de la simetral es  y sobre ella se sitúa el  vértice de la parábola.

5. Vértice de la parábolaEl vértice de la parábola de ecuación y = ax2 + bx + c es el punto de la función

donde x toma el  valor de la simetral, por lo tanto, el punto asociado al vértice de la función es

Si a > 0, en la ordenada del vértice se encuentra el mínimo de la función:

Si a < 0, en la ordenada del vértice se encuentra el máximo de la función:

Para que practiques con la gráfica de la función cuadrática, te recomendamos el graficador que está en el sitio: Gráfica de la función cuadrática  2.2 Traslación de la gráfica de la función cuadrática La gráfica de la función cuadrática y = x2 es:

Observemos a continuación cómo es afectada la gráfica cuando sumamos o restamos una constante a la variable independiente (x) o a la variable dependiente (y). 1. Gráfico de y = x2 + 1. En este ejemplo, a la función y = x2 se le ha sumado 1 a la variable dependiente y, quedando una nueva función y = x2 + 1En el gráfico de y = x2 + 1, se observa que el gráfico de y = x2 se ha trasladado; en una unidad hacia arriba.

2. Gráfico de y = x2 – 1 En el gráfico de y = x2 –1, se observa que el gráfico de y = x2 se ha trasladado; en una unidad hacia abajo.

3. Gráfico de y = (x – 1)2. En este ejemplo se ha restado 1 a la variable independiente x,  quedando una nueva función: y = (x – 1)2.

El gráfico de y = x2 se traslada una unidad hacia la derecha cuando se transforma en la función  y = (x – 1)2.4. Gráfico de y = (x + 1)2

El gráfico de y = x2 se traslada una unidad hacia la izquierda cuando se transforma en la función y = (x + 1)2 Ejemplo: Graficar la función: y = (x – 1)2 + 2 Según lo visto anteriormente, el gráfico corresponde a una traslación de la gráfica de y = x2 un lugar a la derecha y dos unidades hacia arriba.

3. Función raíz cuadrada La función raíz cuadrada es la inversa de la función potencia. Los valores de x en esta función no son negativos, pues no tiene valor la función para raíces de cantidades negativas. El gráfico de la función raíz cuadrada es el siguiente:

Sin embargo, a esta gráfica le podemos aplicar las traslaciones horizontales o verticales, tal como lo hicimos a la función: y = x2

Por ejemplo, el gráfico de  correspondería al de  trasladado una unidad a la derecha, pues se le ha restado 1 a la variable independiente.

http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=123.456.789.000&ID=137998

FUNCIONES CUADRÁTICAS

 

ACTIVIDADES DE INTRODUCCIÓN

1. Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos obtenemos un rectángulo. Calcula el área del rectángulo en función del lado x del cuadrado.

2. Una mujer tiene un estanque rectangular de 5x3 metros. Quiere hacer un camino alrededor del estanque como muestra el siguiente dibujo:

. La anchura del camino ha de ser constante en todo el contorno.

Llama x a la anchura constante del camino.¿Cuál será el área A del camino?

Calcula los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe los valores en una tabla.

Dibuja unos ejes y dibuja los puntos (x, A).

Si el área del camino ha de ser de 30 m2 , utiliza la gráfica y averigua el ancho x del camino.

¿Para qué valor de x es A = 100?

Actividad resuelta

3. El director de un teatro estima que si cobra 30 €  por localidad, podría contar con 500 espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del número de bajadas del precio.

Observa la tabla:

euros descuento 0 1 2 x

Precio 30 30-1 30-2 30-x

Nº espectadores 500 500+100.1 500+100.2 500+ 100x

Ingresos 30.500(30-1)·(500+100.1) (30-2)·(500+100.2)

(30-x)·(500+100.x)

Los ingresos obtenidos son

siendo x el nº de euros de descuento, en el precio de la entrada.

Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 .

Las funciones f(x) = x2 + 6x,  g(x) = x2  + 16  y   G(x) = - 100 x2 + 2500 x + 15000

que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de funciones cuadráticas.

Gráfica de las funciones cuadráticas

La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:

x -3 -2 -1 -0'5 0 0'5 1 2 3

f(x) = x2 9 4 1 0'25 0 0'25 1 4 9

Esta curva simétrica se llama parábola.

Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.

Dibujemos la gráfica de f(x) =  x2  -2 x - 3.

x -1 0 1 2 3 4

f(x) 0 -3 -4 -3 0 5

Completando la gráfica obtengo:

Actividades resueltas

 

4. Dada la parábola  y = x2  - 4 x + 3, determina con precisión las coordenadas de los puntos de la figura:

a.   Del punto A(x,y) conocemos que x = 3'5. Como A es un punto de la parábola, sus coordenadas cumplirán la ecuación, es decir,  y = 3'5 2 - 4·3'5 + 3 = 1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25).

b.   Del punto B(x,y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parábola, no disponemos de ninguna relación que nos permita deducir y en función de x: no es posible conocer con precisión las coordenadas de B.

c.   El punto C(x,y) está situado sobre el eje de ordenadas, luego x = 0. Como también es un punto de la parábola, verificará y = 02 - 4·0 + 3 = 3 .Luego C = (0,3).

d.   D = (x,5) pertenece a la parábola. Sustituyendo y por 5 en la ecuación de la parábola:

, que nos proporciona las soluciones aproximadas x = -0'45  y  x = 4'45 . Observando la gráfica se concluye que el valor adecuado es el segundo (¿por qué?). Luego D = (4'45,5).

e.   Los puntos E y F pertenecen al eje OX . Sus coordenadas serán de la forma (x,0) y por ser de la parábola verificarán la ecuación de 2º grado x2 - 4x + 3 = 0 , cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Por tanto, los puntos serán E = (1,0) y F = (3,0).

f.   Por la forma simétrica de la parábola, la abscisa de G = (x,y) es el punto

medio del segmento , es decir, . Sustituyendo este valor en la ecuación de la parábola, obtenemos su segunda coordenada y = 22 - 4·2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Luego G = (2,-1).

g.   Calculemos las coordenadas del punto H´(x,y) de la parábola que está "justo encima" de H.

Como x = 5, entonces y = 52 - 4·5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 , es decir, H´= (5,8). H tiene igual abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos que H´, por tanto, H = (5,2).

h.   Calculamos las coordenadas del punto I´(x,7) que está en la parábola "justo a la derecha" de I. Como pertenece a la parábola ,

cuyas soluciones aproximadas son x = -0'88 y x = 4'83. I tiene la misma ordenada 7 y su abscisa es 4'2 unidades menos que la abscisa de I´, es decir, I = (0'63,7).

 

5. Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vértice V y el punto C de la parábola

y = x2 - x + 1 .

a.   A está situado en el eje Y, es decir sus coordenadas son de la forma A(0,y). Puesto que A pertenece a la parábola, y = 02- 0 + 1, y = 1. Luego A = (0,1).

b.   B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 = x2 - x + 1; 0 = x2- x, 0 = x · (x - 1) de soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1).

c.   La 1ª coordenada del vértice está situada en el punto medio del segmento de

extremos 0 y 1, es decir, . La 2ª coordenada se obtiene con la ecuación y = (0'5)2- 0'5 + 1 = 0'75. Las coordenadas del vértice serán V = (0'5,0'75).

d.   Utilizando la simetría de la parábola puedo calcular la 1ª coordenada de C, x = 2. Por lo tanto,

y = 22-2+1=3. C = (2,3).

Este método se puede generalizar a cualquier parábola de ecuación y = ax2 + bx + c y nos permitirá hallar el vértice de forma inmediata.

Obtención general del vértice

Sea la parábola y = ax2 + bx + c

Localizado el corte con el eje Y, (0,c) hallamos su simétrico resolviendo el

sistema .

Igualando:

a x2 + b x + c = c → a x2 + b x = 0 → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a.

La primer coordenada del vértice coincide con el punto medio del segmento de extremos 0 y - b/a, es decir, p = - b/2a

Ejemplo

Si  f(x) = x2 + 4 x + 3, entonces y f(2) = -1. Y el vértice será V = (2,-1).

Actividad

 

6. Dada la parábola  y =- x2 + 2 x + 3 , determina la coordenadas de los puntos indicados.

Cortes con los ejes

Observa las parábolas:

a.    y = - x2 + 2x + 3

Los puntos de corte con el eje X son de la forma (x,0). Sustituyendo y por 0 en la fórmula obtenemos la ecuación de 2º grado - x2 + 2x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = -1, y x = 3.

Los puntos de corte son (-1,0), (3,0).

El punto de corte con el eje Y se obtiene haciendo x = 0 en la ecuación de la parábola. Por tanto, será (0,3).

b.   y = x2 - 4x + 4

Puntos de corte con el eje X:

Resolviendo la ecuación x2 - 4x + 4 = 0, se obtiene como única solución x = 2, que nos proporciona un solo punto de corte con el eje X :(2,0).

Punto de corte con el eje Y: (0,4).

c.   y = x2 - 2x + 3

Puntos de corte con el eje X:

Si resolvemos la ecuación x2 - 2x + 3 = 0 obtenemos que . No existe solución y, por lo tanto, no tiene cortes con el eje X.

Punto de corte con el eje Y: (0,3)

Actividades

 

7. Determina los cortes con los ejes de las parábolas siguientes:

a.   y = 2x2 -14x + 24         b.   y = 5x2 - 10x + 5        c.   y = 6x2 + 12

d.   y = 3(x - 2)(x + 5)        e.   y = 3(x - 2)2                f.   y = 3(x2 + 4)

 

8. Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (1,0) y (3,0).

 

9. Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (-2,0) y (3,0) y con el eje Y sea (0,4).

 

10. Determina la ecuación de una parábola que corte al eje X en el punto (2,0) y al eje Y en (0,6).

 

Influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones cuadráticas

Parábolas del tipo y = ax2 (b = 0 , c = 0)

Las parábolas de ecuación y = ax2 tienen por vértice el punto V(0,0).

Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola.

Las ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.

Un resultado importante

La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x2, es decir, cualquier parábola del tipo y = ax2 + bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax2.

Por ejemplo:

La parábola y = 2x2-16x + 35 tiene la misma forma que y = 2x2; encajan perfectamente una encima de la otra como puedes comprobar si dibujas las dos parábolas.

Al someter la parábola y = 2x2-16x + 35 a una traslación de vector (4,3), que son las coordenadas de su vértice, obtenemos la parábola y = 2x2.

Las parábolas y = ax2 + bx + c tienen la misma forma que las parábolas del tipo y = ax2.

Actividad

 

11. Determina mediante qué traslación llevamos la parábola y = 3x2 sobre la parábola y = 3x2- 9x + 4 .

Parábolas del tipo y = ax2 + c , (b = 0)

La gráfica de g(x) = 2x2 + 3, se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = 2x2 , desplazándola 3 unidades

hacia arriba . El vértice se halla en V(0,3) .

La gráfica de h(x) = x2 - 4 , se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = x2 , desplazándola 4 unidades hacia abajo.

El nuevo vértice es V(0,-4) .

Las parábolas del tipo y = ax2 + c, tienen exactamente la misma gráfica que y = ax2 , c unidades hacia arriba o hacia abajo , según el signo de c y, por lo tanto, su vértice es el punto V(0,c).

Parábolas del tipo y = ax2 + bx , (c = 0)

La gráfica de la parábola y = 2x2 - 4x pasa por el punto (0,0). La 1ª coordenada del vértice es -b/2a = 1.

Sustituyendo, obtenemos que la 2ª coordenada del vértice es -2. Luego el vértice es V(1,-2). Utilizando la simetría de la parábola podemos obtener el punto (2,0).

 Si la parábola es del tipo y = ax2 + bx. entonces pasa por el origen de coordenadas y corta también al eje x en el punto (- b, 0)

Actividades

 

12. Halla en cada caso la ecuación correspondiente a cada una de estas parábolas:

Si la parábola no cumple estas dos condiciones (o no se tiene información de que esto ocurra), su ecuación se determina a partir de tres puntos dados.

Actividad resuelta

 

13. Halla la ecuación de la parábola que pasa por los puntos: A(-4,-5), B(-2,3) y C(3,-12).

Como A es un punto de la parábola ha de cumplir su ecuación, es decir,

-5 = a(-4)2 + b(-4) + c = 16a - 4b + c.

De la misma manera, B(-2,3) ha de cumplir: 3 = a(-2)2 + b(-2) + c = 4a - 2b + c.

Y C(3,-12) : -12 = a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c.

Obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Para resolverlo, puedes utilizar este método general:

Cambia el signo a alguna ecuación (por ejemplo a la 2ª) y súmala a las otras dos.

Obtenemos así un sistema 2 x 2: cuyas solucione es a = -1 , b = -2.

Sustituyendo estos valores en cualquier ecuación del sistema inicial, obtenemos c = 3.

La parábola buscada es y = -x2 - 2x + 3.

Represéntala gráficamente.

Actividades

 

14. Obtener la ecuación de la parábola que pasa por los puntos:

A (3,7), B(1,-3) y C(-2,12).

P(-4,-5), Q(0,3) y R(1,0).

Representación gráfica de una parábola

Actividades resueltas

 

15. Dibuja la gráfica de y = x2  - 2x - 8

Como a = 1 es positivo, la parábola tiene sus ramas hacia arriba.

La 1ª coordenada del vértice es p = -b/2a = -(-2)/(2·1) = 1. Y la 2ª coordenada q = 1<2 - 2 · 1 - 8 = -9. Por tanto, el vértice es V(1,-9).

Puedes hallar otros puntos de la parábola utilizando valores de x situados a la misma distancia de 1 por la izquierda y por la derecha.

Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado: 0 = x2 - 2x - 8.

Como sus soluciones son x = -2 y x = 4, los puntos de corte serán (-2,0) y (4,0).

 

16. Dibuja la gráfica de y = 4x2 + 4x + 1.

Como a = 4 es positivo la parábola tiene sus ramas hacia arriba.

La 1ª coordenada del vértice es p = -b/(2a) = -4/2·4 = -0'5.

Y la 2ª coordenada q = 4·(-0'5)2 + 4(-0'5) + 1 = 0. Luego el vértice es V(-0'5,0).

Utilizando valores de x situados a la misma distancia de -0'5 por la izquierda y por la derecha:

                                       

 

17. Dibuja la gráfica de 

Como a = -1/2 es negativo, la parábola tiene sus ramas hacia abajo.

La 1ª coordenada del vértice es 

La segunda coordenada será:  .

El vértice es, pues, V(2,-1)

Utilizando valores de x situados a la misma distancia de 2 por la izquierda y por la derecha:

                       

Resumiendo:

Dada la parábola y = ax2 + bx + c, entonces:

Su forma (hacia arriba, hacia abajo, más cerrada, menos cerrada)

depende del coeficiente a de x2 .

Si a > 0, la forma es ^ y si a < 0, la forma es _.

Cuando más grande sea │a│, más cerrada es la parábola.

Existe un único corte con el eje Y, el punto (0,c) .

Los cortes con el eje X, se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c = 0  y pueden ser dos, uno o ninguno.

La 1ª coordenada del vértice V(p,q) es p = -b/2a.

Actividades

 

18. Determina el signo de los coeficientes de las siguientes parábolas:

Resolución del caso 1 :

a1 < 0 porque la parábola tiene sus ramas hacia abajo.

La 1ª coordenada del vértice es negativa, es de decir -b1/2a1 < 0; luego -b1 > 0, o lo que es lo mismo, b1 < 0.

El único corte con el eje Y es el punto (0,c1). Observando la gráfica c1 < 0.

Estudia los otros casos.

Dibuja una parábola y = ax2 + bx + c para cada caso según sea el signo de a, b y c:

  a b c

1 > 0 > 0 > 0

2 > 0 > 0 < 0

3 > 0 < 0 > 0

4 > 0 < 0 < 0

5 < 0 > 0 > 0

6 < 0 > 0 < 0

7 < 0 < 0 > 0

8 < 0 < 0 < 0

Optimización

Actividad resuelta

 

19. El director de un teatro sabe que si cobra 30 € por localidad, podría contar con 500 espectadores. Y que cada bajada de 1€ , le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del nº de bajadas del precio.

Obtuvimos al principio del tema que las ganancias obtenidas son

G(x) = (30-x)·(500+100.x) = -100 x2 + 2500x + 15000,

siendo x el nº de bajadas de 1 €  en el precio de la entrada.

Esta función es una parábola. Su forma es ∩ con lo cual el máximo beneficio teórico se alcanza en el vértice.

La primera coordenada del vértice es: .

El número real de descuentos de  1 €  que garanticen un máximo de ganancias se obtienen para:

x = 12 ( precio de , asisten 1.000 espectadores obteniendo unas ganancias de 30600  € )

x = 13 ( precio de 1.000, asisten 1.100 espectadores obteniendo unas ganancias de 30600  €)

Sería mejor aún rebajar 12'5 €, en cuyo caso las ganancias serían de  30625 €.

 

Actividades

 

20. Un hortelano posee 50 m de valla para cercar una parcela rectangular de terreno adosada a un muro. ¿Qué área máxima puede cercar de esta manera?.

 

21. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -4x2 + 8x. Calcula la máxima altura alcanzada por el proyectil.

Intersección de recta y parábola

Como los puntos comunes (si los hay) de una recta y una parábola han de verificar la ecuación de ambas, para obtenerlos, tendremos que resolver el sistema de ecuaciones formado por ellas.

Actividades resueltas

 

22. Estudiar la intersección de la recta y = -x + 2 y la parábola y = x2.

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones:

x2 = x + 2 → x2 - x - 2 = 0. Las soluciones de esta ecuación son x 1 = 1 y x2 = -2.

Si x1 = 1, entonces y1 = 1.

Si x2 = -2, entonces y2 = 4.

Por tanto, hay dos puntos de corte entre recta y parábola y tienen de coordenadas (1,1) y (-2,4), respectivamente.

Se dice, entonces, que la recta y la parábola son secantes.

 

23. Estudiar la intersección de la parábola y = -x2 con la recta y = -6x + 9 .

El sistema tiene ahora una solución (3,-9).

Por tanto, la recta y la parábola son tangentes.

 

24. Estudiar la intersección de la parábola y = -x2 y la recta y = -x + 5.

El sistema no tiene solución y, por tanto, la recta y la parábola no tienen ningún punto de corte.

En consecuencia, las posiciones relativas de una recta y una parábola son:

según que el sistema que forman sus ecuaciones tenga dos soluciones, una o ninguna.

Actividad resuelta

 

25. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -2x2 + 4x. A 1 Km del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación y = 6x - 6. Halla el punto de la montaña donde se producirá el impacto.

El punto de impacto se obtiene resolviendo el sistema , que tiene dos soluciones:

x1 = 6/4 = 1'5 (y1 = 3) y x2 = -1, que no tiene sentido para nuestro problema real. Es decir, el impacto se producirá en el punto (1'5,3).

Actividad

 

26. Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del mar siguiendo la ecuación y = -x2 + 6x + 12 donde y es la distancia al fondo del mar (en metros) y x el tiempo empleado en segundos.

a.   Calcula cuándo sale a la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 20 metros.

b.   ¿A qué profundidad inicia el ascenso?

 

Área bajo de una curva

Podemos estimar el área encerrada por una curva . Por ejemplo, esta gráfica corresponde a la parábola  y = 4x - x2  con x tomando valores desde 0 hasta 4.

A partir de los punto marcados, y trazando perpendiculares al eje OX, obtenemos una serie de trapecios y triángulos , cuya suma de áreas se aproximará al área bajo la curva.

Sólo necesitas recordar :

Área del triángulo = ; Área del trapecio =

En nuestro caso, , , y , cuya suma total proporciona un área aproximada de 10 unidades de superficie. Por supuesto podrías sólo calcular el área de A y B y multiplicando por dos obtener el área total)

Actividad resuelta

 

27. El techo de un hangar para aviones está diseñado de tal forma que se

corresponde con la curva con x tomando valores desde -20 hasta 20.

Obtenemos para la función anterior esta tabla de valores:

que nos proporciona la gráfica adjunta.

La suma de estas áreas es de 690 m 2.

El volumen del hangar se obtiene multiplicando el área del frontal (base) por la profundidad (altura).

Actividades

 

28. Dibuja la gráfica de para valores de x desde 0 hasta 5.

 

29. Este dibujo muestra una pieza de una máquina de bronce. La parte curva sigue la fórmula de la función anterior. Estima el volumen de bronce que necesitas para construir esta pieza.

 

30. Un túnel de 100 m de largo ha de ser excavado. La boca del túnel está dada por

la ecuación con x desde 0 hasta 6. Estima el volumen de tierra y roca que hay que excavar para construir el túnel.

 

Actividades finales

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/funciones/teoriafuncioncuadratica/teoriafunciones.htm

Actividades de funciones cuadráticas

1. Determina las coordenadas de los puntos indicados de la parábola:

2. Halla las ecuaciones de las siguientes parábolas:

3. Se están haciendo pruebas de frenado con un coche. Hay tres series de pruebas:

Prueba 1: un conductor y suelo seco.

Prueba 2: cuatro personas en el coche y suelo seco y prueba 3: sólo el conductor, pero el suelo mojado.

Los resultados aparecen en esta gráfica:

Qué tipo de función relaciona la distancia de frenado con la velocidad.

Identifica cada gráfica con su prueba.

Obtén la fórmula que relaciona la velocidad con la distancia de frenado.

4. Dibuja las parábolas:

a.  

b.  

c.  

d.  

e.  

indicando el vértice y el eje de simetría.

 

5. Determina la ecuación de las parábolas:

 

6. La distancia de frenado d (en m.) de un coche que circula a una velocidad de v

Km/h se calcula por la fórmula ·

a.   Un coche circula a 120 Km/h. ¿Cuántos Km recorrerá después de pisar el freno.

b.   ¿Qué velocidades permiten parar en menos de 12 m ?

c.   Dibuja la gráfica que relaciona d con v.

7. Si una parábola pasa por los puntos A(2,-3) y B(-1,-3), ¿cuál es su eje de simetría?

8. Encontrar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos A(0,0), B(4,-4) y C(8,0).

9. Halla una función cuadrática que pase por los puntos (1,12), (2,6) y (3,4).

10. Halla la ecuación de una parábola de vértice (2,1) y que pasa por el punto (0,13).

11. Determina la ecuación de la parábola

12. Calcula la longitud de los pilares (separados entre sí 2 m) de este puente sabiendo que el arco que lo sustenta es parabólico .(Nota: Situar el eje de coordenadas en el lugar señalado con la 0).

13. Halla la ecuación de la parábola simétrica a y =  x2  respecto de:

a.   La recta vertical x = 5.

b.   La recta horizontal y = 3.

 

14. Dibuja la parábola simétrica a

y = -2 x2 - 2x + 1

a.   respecto el eje OX, y escribe su ecuación.

b.   respecto a la recta horizontal y = 3 y halla su ecuación.

 c.   respecto a la recta vertical y = 3 y halla su ecuación.

  15. Dada

y = x2 + mx + 1, determinar m en cada uno de los casos:

a.   f(-2) = 8

b.   Que la gráfica contenga al punto P(3,3).

c.   Pase por el origen de coordenadas.

d.   Que la función tome un valor mínimo en x = -1.

 

16. Halla la ecuación de una parábola de vértice (2,1) y que pasa por el punto (0,13).

17. Una función cuadrática admite en x = 1 un mínimo igual a -3. Por otra parte, f(0) = -1, f(3) = 5. Determina sin cálculo f(2) y f(-1) ayudándote de su representación gráfica.

18. La función y = x2 - bx + 3 admite un extremo para x = 4. Calcula el valor de este extremo. ¿Es máximo o mínimo?

19. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 14'7 m/s desde el punto A situado a 10 m del suelo. Su altura en cada instante está dada por la ecuación y = -4'9 t2 + 14'7t + 10, y su velocidad en el instante t, por - 9'8 t + 14'7.

a.   En qué instante la altura es máxima.

b.   Cuál será la velocidad del objeto en ese momento.

c.   En qué instante caerá al suelo.

 

20. Una ventana tiene forma de rectángulo con un triángulo equilátero es su parte superior. Si el perímetro de la ventana es de 4 m, determinar la anchura de la ventana para que el área sea máxima.

21. Un cañón lanza un proyectil con una velocidad inicial de 100 m/s. La ecuación que relaciona la altura h, con la distancia x (horizontal) recorrida es

. Halla:

a.   Máxima altura alcanzada y distancia recorrida.

b.   Si emplazamos el cañón en una torre de 25 m de alto, ¿qué altura se alcanzará?,¿cuál será la distancia recorrida?. ¿Cuál será la nueva ecuación que relaciona h con x?.

22. Se desea construir una casa de forma rectangular en un ángulo recto de un terreno triangular.

Obtener a en función de x.

Obtener el área de la casa en función de x.

¿Para qué valor de x, el área de la casa es máximo?

 

23. El maletero de un coche tiene la forma abajo indicada .Queremos introducir una caja en las condiciones del dibujo. Halla sus dimensiones para que el volumen de esta caja sea máximo.

24. Un jardinero quiere cultivar flores en su jardín. Dispone de 10 m de valla para delimitar una parcela rectangular donde cultivarlas.

Halla el área máxima que puede conseguir con esa longitud de valla.

Si quisiera que el área de esta parcelita fuera de 4'5 m2, ¿qué dimensiones debería de tener?.

25. Velocidad de la sangre en los capilares. La velocidad no es uniforme en todos los puntos del vaso capilar. La velocidad v de una partícula P que se encuentra a una distancia r del eje del capilar viene dada por la fórmula   v = 1'185 -18500 r2

cm/sg Si el radio R del capilar es de 8 · 10-3  cm, se pide:

a.   ¿A qué distancia del eje la velocidad es máxima?

b.   La velocidad en las paredes del capilar e interpretarla.

26. En un día de rebajas, las ventas de camisas de un gran centro comercial sigue la ley:

Obtener qué precio origina el ingreso máximo (nota: I = np, es decir

).

27. El número de personas atacadas cada día por una determinada enfermedad viene dada por la función

f(x) = - x2 + 40x + 84, donde x representa el nº de días transcurridos desde que se descubrió la enfermedad. Calcula:

a.   ¿Cuántas personas enferman el quinto día?

b.   ¿Cuándo deja de crecer la enfermedad?

c.   ¿Cuándo desaparecerá la enfermedad?

 

28. Un agricultor ha recogido 10 Tm de fruta que almacena deteriorándose a razón de 50 Kg/día. El precio de venta actual es de 1'3 €/Kg, pero aumenta 2 céntimos/Kg cada día. ¿Qué cantidad de fruta queda a los x días?. ¿A qué precio se vende el Kg en ese momento?. ¿Cuántos días ha de esperar para vender y obtener el máximo beneficio?

29. La cotización en bolsa de las acciones de la empresa va a seguir en 1998, aproximadamente la evolución siguiente f(t) = 342 + 39t -3 t2, donde t es el tiempo en meses .

a.   Dibuja la gráfica de f.

b.   ¿En qué mes alcanza la máxima cotización? Calcula el porcentaje de beneficios que habrá obtenido.

30. Una moneda de cobre tiene a una temperatura de 0º C, un radio de 5 mm y aumenta de tamaño al ser sometida a un aumento de temperatura: su radio aumenta 1 mm cada vez que subimos su temperatura 100º C.

Completa la tabla:

Temperatura (°C) 0 100 200 300 400

Área (mm2)          

Calcula la función que relaciona la superficie de la moneda con el aumento de temperatura.

Si el cobre no se funde hasta los 1000º C, ¿Qué tamaño máximo alcanza la moneda?

Si queremos que la moneda no se cuele por un agujero de 14'5 mm de diámetro, ¿a qué temperatura debe estar la moneda?.

31. Sea ABCD un cuadrado de lado 6. Calcular el valor de x para que el área de la estrella sea máxima:

 

32. Una compañía de investigación de mercados estima que n meses después de la introducción de un nuevo producto, f(n) miles de familias lo usarán, en donde

con 0≤ n ≤ 12. Estima el número máximo de familias que usarán el producto.

33. Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que contenía un 10% de proteína. La proteína consistía en levadura y harina de maíz. Variando el porcentaje P de levadura de la mezcla de proteína se estimó que el peso medio ganado en gramos de una rata en un periodo fue

Encontrar el máximo peso ganado.

34. Determinar las ecuaciones de estas dos funciones , así como sus puntos de corte, gráficamente y con cálculo:

35. Estima el área encerrada por la curva y = (x-3)(x+2)36. Estima el volumen de aire de este invernadero cuya frontal es una curva de

ecuación con x desde 0 hasta 8.