C u r s o : Matemtica Material N 29GUA TERICO PRCTICA N 23UNIDAD: LGEBRA Y FUNCIONES ECUACIN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIN CUADRTICA Una ecuacin de segundo grado es una ecuacin susceptible de llevar a la forma ax2 + bx + c = 0, con a, b y c coeficientes reales y a 0. El clculo de las soluciones o races de esta ecuacin, se realiza aplicando la siguiente frmula: x=-b b2 4ac 2a

Si y son las soluciones de la ecuacin esta se puede escribir como: (x ) (x ) = 0 EJEMPLOS 1. Cul(es) de las siguientes ecuaciones es(son) de segundo grado? I) II) III) x2 5 = 0 (x + 1)2 = 3 x2 (x + 1)2 = (x 1)2

A) B) C) D) E)2.

Slo I Slo II Slo III Slo I y II I, II y III 3x2 2x 5 = 0?

Cules son las soluciones (o races) de la ecuacin

A) B) C) D) E)3.

-

10 y 2 3 -5 y 3 10 -2 y 3 5 y 1 3 5 -1 y 3

En la ecuacin (x

5 ) (x + 3) = 0, el conjunto solucin es

A) B) C) D) E)

{ 5 , 3} { 5 , -3} {- 5 , 3} { 5 3, 5 3 , 2

5 + 3}5 + 3 2

Si y son las soluciones (o races) de la ecuacin de segundo grado ax2 + bx + c = 0, entonces siempre se cumple que: 1) +=b a

2)

=

c a

EJEMPLOS

1.

Cul es la suma de las soluciones (o races) de la ecuacin1 5 1 5 -2 2 1 2

5x2 + 10x + 1 = 0?

A) B) C) D) E)

-

2.

Cul es el producto de las soluciones (o races) de la ecuacin 5x2 6x + 1 = 0?1 5 6 5 3 5 1 5 3 5

A) B) C) D) E)

-

3.

Una ecuacin de segundo grado cuyas races, (x1 + x2) = -2 y x1 x2 = 5 es A) B) C) D) E) x2 x2 x2 x2 x2 2x 5 = 0 2x + 5 = 0 + 2x + 5 = 0 + 2x 5 = 0 5x 2 = 0

x1

y

x2, satisfacen

las igualdades

2

FUNCIN CUADRTICA

A la funcin de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c, siendo a, b, c lR y a 0 se le denomina funcin cuadrtica. La representacin grfica de una funcin cuadrtica es una parbola, simtrica con respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas. Dicha recta recibe el nombre de eje de simetra. yf(x) = ax2 + bx + c Parbola Eje de simetra

x

Concavidad:

Es la abertura que tiene la parbola. Si a < 0, la concavidad de la parbola est orientada hacia abajo.

Si a > 0, la concavidad de la parbola est orientada hacia arriba.

y

y

x

x

INTERSECCIN CON EL EJE Y La parbola asociada a la funcin y = ax2 + bx + c siempre intersecta al eje de las ordenadas en y = c.

y

c x

EJEMPLO

1.

Cul de las siguientes opciones representa una funcin cuadrtica? A) B) C) D) E) f(x) = x2 + 5 (x2 + 2x) f(t) = -3t + 2t3 1 f(p) = p + 4 2 f(a) = (a + 2) (a 2) a2 f(m) = (-2m + 1)2

3

2.

En la figura 1, se muestra el grfico de la funcin cuadrtica f(x) = (q 5)x2 + bx + c. Luego se cumple que A) B) C) D) E) q q q q q >5 =5 0 Si b2 4ac = 0 Si b2 4ac < 0

y x1 = x2 x1 x2 x1 x2 x

y

y

x1 = x2

x

x

La parbola intersecta al eje x en dos puntos, por lo tanto tiene 2 soluciones (races reales distintas). EJEMPLO 1.

La parbola es tangente al eje x, por lo tanto tiene sus soluciones idnticas (una nica solucin real).

La parbola no intersecta al eje x, no tiene solucin real.

Con respecto de la funcin asociada al grfico de la figura 2, cul(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) Tiene 2 ceros. El discriminante es mayor a cero. f(0) = -2

y fig. 2-2 5

A) B) C) D) E)2.

Slo III Slo I y II Slo I y III Slo II y III I, II y III

x

Dada la funcin cuadrtica f(x) = x2 + 2x a, es correcto afirmar que: I) II) III) Si a > -1, existen 2 intersecciones con el eje x. Si a = -1, existe una interseccin con el eje x. Si a < -1, no hay interseccin con el eje x.

A) B) C) D) E)

Slo I Slo II Slo I y II Slo II y III I, II y III

5

EJE DE SIMETRA

El eje de simetra de una parbola es una recta que divide a esta curva en dos ramas congruentes. y Eje de simetra: x=x1 + x2 2

o x x1 x2Eje de Simetra

x

x=

-b 2a

VRTICE DE LA PARBOLA

El vrtice de la parbola es el punto de interseccin de sta con su eje de simetra. yEje de simetra

-b 4ac b2 , V= 2a 4a

xVrtice

EJEMPLO

1.

Dada la funcin f(x) = x2 + 2x 3, cul(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) x = 1 es un cero de la funcin. La ecuacin del eje de simetra es x = -1. El vrtice de la parbola es (-1, -4).

Slo I Slo II Slo I y II Slo I y III Todas ellas

6

FUNCIONES DE LA FORMA

y = ax2

i)

y = x2 x y

(fig. 1) y -2 -1 4 1 0 0 1 1 2 4 4 2 1 1 2 2 2 x y = x2 y=1 2 x 2

2i)

y= x y

1 2 x (fig. 1) 2

fig. 1 2

-2 -1 2 1 2

0 0

-2

3i)

y = -x2 (fig. 2) x y -2 -1 -4 -11 2 x 2

y 1 -1 2 -4-2 -2 2

0 0

x y=-

fig. 21 2 x 2

4i)

y=x y

(fig. 2) -1 1 2 0 0 1 1 2 2 -2

-4

-2 -2

y = -x2

OBSERVACIONES:

y = x2.EJEMPLO

Si | a | > 1, la grfica de y = ax2 es ms angosta que la grfica de y = x2. Si 0 < | a | < 1, la grfica de y = ax2 es ms ancha que la grfica de

1.

En la figura 3, se muestran tres grficas de funciones cuadrticas. Cul(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) a>b |a|=|c| |b|>|c| y y = bx2 x y = cx2

y = ax2

Slo I Slo I y II Slo I y III Todas ellas Ninguna de ellas

fig. 3

7

FUNCIONES DE LA FORMA

y6

y = ax + c La figura 1, muestra las grficas de y = x2 , y = x2 + 2 e y = x2 - 3.

2

y = x2 + 2 y = x2

2OBSERVACIONES

y = x2 3 x fig. 1

Si c > 0 , la parbola se desplaza c unidades hacia arriba con respecto al origen. Si c < 0 , la parbola se desplaza c unidades hacia abajo con respecto al origen.

0

-3

EJEMPLOS

1.

Al desplazar la parbola asociada a la funcin y = x2 + 2, cinco unidades hacia abajo se obtiene la funcin A) B) C) D) E) y = x2 5 y = -x2 + 5 y = x2 3 y = x2 + 3 ninguna de las anteriores

2.

Cul de los siguientes grficos corresponde a la funcin f(x) = 2x2 + 2? A)y4 2 -1 1 2

B)

y

C)

y4

x

2

x

-1

1

x

D)

y4

E)

y8

-2

2

x-1

2 1

x

8

FUNCIONES DE LA FORMA

f(x) = (x h)2 + k

yk h

x

La parbola se traslada h unidades en el eje x (sentido opuesto) y k unidades en el eje y. (h, k) corresponde a las coordenadas del vrtice de la parbola.

EJEMPLO

1.

Si f(x) = (x + 2)2 + 1, su grfico est representado por A) B)y 2 1 x 1 x 2 x

y 2 -1

C)

y

D)

y 1 -2 x

E)

y

-2

-1

x

9

EJERCICIOS

1.

Cul(es) de las siguientes ecuaciones es(son) de segundo grado? I) II) III) A) B) C) D) E) x2 + x = 3 + 2x 5x x2 = 4x + 7 x2 2x2 = 3

Slo I Slo II Slo III Slo I y III I, II y III

2.

Qu valor debe tener k en la ecuacin 3x2 5kx 2 = 0, para que una de sus races sea -2? A) B) C) D) E) 0 1 -1 -20 -4

3.

Qu valores deben tener los coeficientes de la ecuacin en x, (a 1) x2 + (b + 3)x + c = 0, para que sea de segundo grado? A) B) C) D) E) a 1, a = 1, a 1, a 1, a, b y b=3 y c=0 b y c cualquier real b y c cualquier real b 3 y c cualquier real c cualquier real

4.

La ecuacin 2(x2 6) = -2x tiene como conjunto solucin

A) B) C) D) E)

{ 6 , 0} {2, 6 } {3, -2} {2, -3} {-2, -3}

10

5.

De la ecuacin x2 11x + 28 = 0, se puede deducir que A) B) C) D) E) las soluciones se diferencian en 4 unidades. las soluciones son nmeros impares consecutivos. la razn entre las soluciones es 2 : 3. el producto de las soluciones es -28. la diferencia positiva entre las soluciones es tres.

6.

Una ecuacin de segundo grado cuyas races son = 2 + x2 4x 1 = 0 x2 4x + 1 = 0 x2 5x + 1 = 0 x2 5x 1 = 0 Ninguna de las anteriores

5 y =2

5 , es

A) B) C) D) E) 7.

Si f(x) = 2x2 1, entonces el valor de f(-2) f(-1) f(2) es A) B) C) D) E) 15 14 1 -2 -1

8.

Si f(x) = x2 + mx + 6 y f(-4) = 2, entonces m es igual a A) B) C) D) E) 5 3 2 -2 -3

9.

De las grficas siguientes cul(es) de ellas pertenece(n) a una funcin cuadrtica? I) y II) y III) x y x x A) B) C) D) E) Slo I Slo III Slo II y III Todas ellas Ninguna de ellas

11

10.

La grfica de la funcin f(x) = (-3x + 2) (1 x) intersecta al eje y en2 3 1 -2 -1 2

A) B) C) D) E) 11.

-

Con respecto a la funcin f(x) = x2 + 6x + 9, cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) Es tangente al eje x. No corta al eje y. Sus ramas se extienden hacia abajo.

Slo I Slo II Slo I y II Slo I y III Ninguna de ellas

12.

Respecto a la funcin cuadrtica f(x) = x2 + 2x + c, cul(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) Si c > 1, no corta al eje x. Si c 1, siempre corta al eje x. Si c > 0, siempre corta al eje x.

Slo I Slo I y II Slo I y III Slo II y III Ninguna de ellas

13.

La figura 1, muestra la parbola correspondiente a la funcin f(x) = x2 8x + 15. Cules son las coordenadas del vrtice P? A) B) C) D) E) (1, -4) (3, -5) (4, -1) (15, -4) (15, -8) y fig. 1

x P

12

14.

Respecto a la parbola es(son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

f(x) = x2 9x + 14,

cul(es) de las siguientes proposiciones

Sus ceros son x1 = 7 y x2 = 2. Intersecta al eje y en (0, 14). Su eje de simetra es x = 4.

Slo I Slo II Slo I y II Slo I y III I, II y III

15.

Cul es la funcin cuadrtica cuya representacin grfica es la parbola de la figura 2? y A) B) C) D) E) y y y y y = 2x 2 = -x2 4 = x2 + 2 = -x2 2 = -x2 + 22

2

fig. 2

- 2

2

x

16.

Si f(x) = x2 5, su grfico es A) B) C)

y5

y

y

x x D)-5

5

x

y

E)

y

-5

x

5

x 17. El grfico de la figura 3, podra corresponder a la funcin cuadrtica y A) B) C) D) E) f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) = = = = = x + 2x 3 + 2x x2 x2 2x + 3 x2 + 2x 3 x2 2x2

fig. 3

xEje de simetra

13

18.

Dado el grfico de la figura 4:

y12

fig. 43 1 2

x

Cul es la ecuacin que representa a la parbola? A) B) C) D) E) 19. y y y y y = = = = = x2 3x -3x2 3x2 3x4

Cul de las grficas siguientes representa a la funcin cuadrtica y = 3(x 2)2? A) y B) y C) y

2

x D) y

-2

x E) y

2 x

x -2

-2

x

20.

Cul de los siguientes grficos representa mejor la funcin y = -(x + 1)2? A) y B) y C) y

1

x

-1

x

-1

x

D)

y

E)

y

-1

x

-1

x

14

21.

Cul de los siguientes y g(x) = x2 + 1? A)

grficos

representa

mejor

a las funciones

f(x) = 2x + 1

y

B)

y

C)

y

x

x

x

D)

y

E)

y

x

x

22.

En la produccin de x unidades mensuales de cierto producto, una fbrica tiene un gasto, en pesos, descrito por la funcin de segundo grado, representada parcialmente en la figura 5. Entonces, el gasto mnimo, en millones de pesos, es$ (millones)

A) B) C) D) E)

50,0 64,5 66,0 67,5 69,0

130

90 70

fig. 5

0

10

40

x

23.

Con respecto al grfico de la figura 6, que corresponde a la funcin cuadrtica h(t) = 8t t2 (h = altura en metros, t = tiempo en segundos, 0 t 8), cul(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) Los ceros de la funcin son t1 = 0 y t2 = 8. A 3 segundos corresponde una altura de 12 metros. La altura mxima se obtiene a los 4 segundos. h fig. 6

Slo I Slo II Slo I y II Slo I y III I, II y III

t

15

24.

Con respecto al grfico de la figura 7, cul(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) II) III) El vrtice de la parbola es (0,-12). f(x) = x2 x 12. El eje de las ordenadas es el eje de simetra de la parbola.-3

y f(x)

A) B) C) D) E)

Slo I Slo II Slo I y II Slo II y III I, II y III

0

4

x fig. 7

-12

25.

La trayectoria de un proyectil est dada por la ecuacin y(t) = 100t 5t2, donde t se mide en segundos y la altura y(t) se mide en metros. Entonces, en cul(es) de los siguientes valores de t estar el proyectil a 420 m de altura sobre el nivel del suelo? I) II) III) A) B) C) D) E) Slo Slo Slo Slo Slo en en en en en 6 segundos. 10 segundos. 14 segundos. I II III I y en II I y en III

26.

En el computador se necesita reproducir una fotografa rectangular cuyo largo es 10 cm mayor que el ancho. Se puede determinar las medidas del largo y del ancho si se sabe que: (1) (2) A) B) C) D) E) El rea de la fotografa es 600 cm2. El permetro de la fotografa es 100 cm. (1) por s sola (2) por s sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por s sola, (1) (2) Se requiere informacin adicional

16

27.

Se puede determinar el eje de simetra de la parbola f(x) = ax2 + bx + c si se conocen los valores de: (1) (2) A) B) C) D) E) b y c a y b (1) por s sola (2) por s sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por s sola, (1) (2) Se requiere informacin adicional

28.

La grfica de f(x) = ax2 2x + c, es tangente el eje x si: (1) (2) A) B) C) D) E) ac=1 a=2 y c>0 (1) por s sola (2) por s sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por s sola, (1) (2) Se requiere informacin adicional

29.

Dada la parbola f(x) = x2 + bx + c. Se pueden determinar las coordenadas del vrtice si se sabe que: (1) (2) A) B) C) D) E) Intersecta al eje x en x1 = 2 y x2 = 3 b = -5 y c = 1 b (1) por s sola (2) por s sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por s sola, (1) (2) Se requiere informacin adicional

30.

El grfico de f(x) = ax2 + b queda representado por la figura 8 si: (1) (2) A) B) C) D) E) a > 0 y a > -b b>0 (1) por s sola (2) por s sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por s sola, (1) (2) Se requiere informacin adicional y fig. 8

x

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RESPUESTAS

Ejemplos Pgs.

1 D C E B E A C D

2 E D A E

3 B C E 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

CLAVES PG. 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A

D C C D E A E A B E

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

A A C C E B E D A C

21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

C D D B E D B A D A

DOMA29

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