superficies cuádricas - diseño industrial

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GEOMETRÍA EN EL ESPACIO SUPERFICIES

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Page 1: Superficies cuádricas - Diseño industrial

GEOMETRÍA EN EL

ESPACIO

SUPERFICIES

Page 2: Superficies cuádricas - Diseño industrial

S U P E R F I C I E S

Una superficie cuádricaes la gráfica de una ecuación polinómica de segundo grado con tres variables x, y, z ; salvo casos degenerados.

(A, B o C distintos de 0)

2 2 2 0Ax By Cz Dx Ey Fz G

Page 3: Superficies cuádricas - Diseño industrial
Page 4: Superficies cuádricas - Diseño industrial
Page 5: Superficies cuádricas - Diseño industrial
Page 6: Superficies cuádricas - Diseño industrial
Page 7: Superficies cuádricas - Diseño industrial
Page 8: Superficies cuádricas - Diseño industrial
Page 9: Superficies cuádricas - Diseño industrial
Page 10: Superficies cuádricas - Diseño industrial

S U P E R F I C I E S

Trazas de una superficie:

Curvas que surgen de las intersecciones de la superficie con los planos coordenados

Plano xy z=0

Plano xz y=0

Plano yz x=0

Page 11: Superficies cuádricas - Diseño industrial

Traza xzTraza yz

Traza xy

Traza xzTraza yz

Traza xyNo existe

Traza xz

Traza yz

Traza xy

S U P E R F I C I E S

EJEMPLOS:

Page 12: Superficies cuádricas - Diseño industrial

S U P E R F I C I E S

Secciones con planos paralelos a los planos cordenados:

// Plano xy z=t

//Plano xz y=k

//Plano yz x=mt,k, m números reales.

Page 13: Superficies cuádricas - Diseño industrial

S U P E R F I C I E S

Ejemplo: Secciones paralelas al Plano xz en una esfera

// Plano xz y=3 circunferencia

//Plano xz y=4Circunferencia

//Plano xz y=5Circunferencia

1

Page 14: Superficies cuádricas - Diseño industrial

E S F E R A : Es el conjunto de todos los puntos P del espacio que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Su ecuación:

220

20

20 rzzyyxx

rzyxC

radio ),,( 000

ESFERA

Page 15: Superficies cuádricas - Diseño industrial

Ejemplo :

ESFERA

Page 16: Superficies cuádricas - Diseño industrial

Ejemplo: E S F E R A

r= 3 y centro C(1,-2,3)

Su ecuación:

2 2 21 ( 2) ( 3) 9x y z

ESFERA

Page 17: Superficies cuádricas - Diseño industrial

Plano coordenado

Trazas

xy (z=0) punto (1; -2;0)

xz (y=0)

yz (x=0)

2 2 21 ( 2) ( 3) 9x y z

2 2

2 2

1 4 ( 3) 9

1 ( 3) 5

5(1;0;3)

x z

x z

circunferencia con ry centro en

2 2

2 2

1 ( 2) ( 3) 9

2 ( 3) 8

8(0; 2;3)

y z

y z

circunferencia con ry centro en

2

ESFERA

Page 18: Superficies cuádricas - Diseño industrial

ESFERA

Ecuación paramétrica de la esfera:

Su ecuación:

rzyxC

radio ),,( 000

Page 19: Superficies cuádricas - Diseño industrial

Ejemplo: E S F E R A

R= 3 y centro C(1,-2,3)

ESFERA

senuzsenvuyvux

33cos32

coscos31

Page 20: Superficies cuádricas - Diseño industrial

ELIPSOIDE

. E L I P S O I D E – con centro en C(x0,y0,z0)

a , b, c : longitudes de los semiejes.

Su ecuación: 12

20

2

20

2

20

czz

byy

axx

Page 21: Superficies cuádricas - Diseño industrial

Plano coordenado

Trazas

xy (z=0)

xz (y=0)

yz (x=0)

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

2 2

2 2 1x ya b

2 2

2 2 1x za c

2 2

2 2 1y zb c

3

ELIPSOIDE

E L I P S O I D E – C(0,0,0)

Page 22: Superficies cuádricas - Diseño industrial

Ejemplo :

ELIPSOIDE

C(0,0,0)

Page 23: Superficies cuádricas - Diseño industrial

. E L I P S O I D E – con centro C(x0,y0,z0)

a , b, c : longitudes de los semiejes.

Su ecuación paramétrica:

ELIPSOIDE

Page 24: Superficies cuádricas - Diseño industrial

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA

C(x0,y0,z0) - abre con respecto al eje z

Su ecuación:

12

20

2

20

2

20

czz

byy

axx

eje del hiperboloide corresponde a lavariable cuyo coeficiente es negativo

Page 25: Superficies cuádricas - Diseño industrial

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

Plano coordenado

Trazas

xy (z=0) Elipse

xz (y=0) Hiperb.

yz (x=0) Hiperb.

2 2

2 2 1x ya b

2 2

2 2 1x za c

2 2

2 2 1y zb c

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJAC(0,0,0)

abre con respecto al eje z

Page 26: Superficies cuádricas - Diseño industrial

Ejemplo 1: 1222 zyx

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA

C(0,0,0) – abre con respecto al eje z

Page 27: Superficies cuádricas - Diseño industrial

036469 222 zyxEjemplo 2:

36469 222 zyx

1964

222

zyx

3y 6,2 cbaabre con respecto al eje y

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA

Page 28: Superficies cuádricas - Diseño industrial

Su ecuación paramétrica :

C(x0,y0,z0) – abre con respecto al eje z

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA

Page 29: Superficies cuádricas - Diseño industrial

C(x0,y0,z0) - abre respecto del eje z

Su ecuación:

12

20

2

20

2

20

czz

byy

axx

eje del hiperboloide corresponde a lavariable cuyo coeficiente es positivo

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJA

Page 30: Superficies cuádricas - Diseño industrial

C(0,0,0) - abre en Z

Plano coordenado

Trazas

xy (z=0)

xz (y=0) Hip.

yz (x=0) Hip.

Ninguna

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

12

2

2

2

cz

ax

12

2

2

2

cz

by

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJA

Page 31: Superficies cuádricas - Diseño industrial

Ejemplo :

C(0,0,0) – abre con respecto al eje z

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJA

Page 32: Superficies cuádricas - Diseño industrial

C(x0,y0,z0)- abre respecto del eje z

Su ecuación paramétrica :

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJA

Page 33: Superficies cuádricas - Diseño industrial

PARABOLOIDE ELÍPTICO

C(x0,y0,z0)- abre respecto al eje z

Su ecuación:

02

20

2

20 zzc

byy

axx

eje del paraboloide elíptico corresponde a la variable lineal.

Page 34: Superficies cuádricas - Diseño industrial

V(0,0,0) - abre con respecto al eje Z

2 2

2 2

x y cza b

Plano coordenado

Trazas

xy (z=0) Punto:(0; 0)

xz (y=0)Paráb.

yz (x=0)Paráb.

2

2

x cza

2

2

y czb

PARABOLOIDE ELÍPTICO

Page 35: Superficies cuádricas - Diseño industrial

PARABOLOIDE ELÍPTICO

Page 36: Superficies cuádricas - Diseño industrial

C(x0,y0,z0)- abre respecto al eje z

Su ecuación paramétrica:

PARABOLOIDE ELÍPTICO

Page 37: Superficies cuádricas - Diseño industrial

V(X0,Y0,Z0) con parábola directriz que abre respecto al eje Z

Su ecuación:

02

20

2

20 zzc

byy

axx

eje del paraboloide hiperbólico corresponde a la variable lineal.

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO.

Page 38: Superficies cuádricas - Diseño industrial

2 2

2 2

x y cza b

ay xb

Planocoordenado

Trazas

xy (z=0) Rectas

xz (y=0) Paráb.

yz (x=0) Paráb. 2

2

y czb

2

2

x cza

xbay

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

V(0,0,0) con parábola directriz que abre respecto al eje Z

Page 39: Superficies cuádricas - Diseño industrial

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

Page 40: Superficies cuádricas - Diseño industrial

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

Page 41: Superficies cuádricas - Diseño industrial

Su ecuación paramétrica:

V(X0,Y0,Z0) con parábola directriz que abre respecto al eje Z

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

Page 42: Superficies cuádricas - Diseño industrial

CILINDROS CUÁDRICOS

C: curva del plano xy

Page 43: Superficies cuádricas - Diseño industrial

CILINDROS CUÁDRICOS

CILINDROCircular

CILINDROElíptico

CILINDROParabólico

CILINDROHiperbólico

Page 44: Superficies cuádricas - Diseño industrial

CILINDROS CUÁDRICOS

CILINDRO CIRCULARCurva: Circunferenciaen el plano xy que se traslada en la dirección del eje Z, de radio ry centro de la traza xy en C(x0,y0,0)

Ecuación paramétrica:

Ecuación canónica:

Page 45: Superficies cuádricas - Diseño industrial

CILINDROS CUÁDRICOS

CILINDRO ELÍPTICOCurva: Elipse en el plano xy que se traslada en la dirección del eje Z, Semiejes a y b, centro de la traza xy en C(x0,y0,0)

Ecuación canónica:

Ecuación paramétrica:

Page 46: Superficies cuádricas - Diseño industrial

CILINDROS CUÁDRICOS

CILINDRO PARABÓLICO

Curva: Parábola en el plano xy que se traslada en la dirección del eje Z, vérticede la traza xy en V(x0,y0,0) y eje de simetría paralelo al eje x.

Ecuación canónica:

Ecuación paramétrica:

Page 47: Superficies cuádricas - Diseño industrial

CILINDROS CUÁDRICOS

CILINDRO PARABÓLICO

Curva: Parábola en el plano xy que se traslada en la dirección del eje Z, vérticede la traza xy en V(x0,y0,0) y eje de simetría paralelo al eje y.

Ecuación canónica:

Ecuación paramétrica:

Page 48: Superficies cuádricas - Diseño industrial

CILINDROS CUÁDRICOS

CILINDRO HIPERBÓLICOCurva: Hipérbola en el plano xy que se traslada en la dirección del eje Z, vérticede la traza xy en V(x0,y0,0) y eje de simetría paralelo al eje x.

Ecuación canónica:

Page 49: Superficies cuádricas - Diseño industrial

CILINDROS CUÁDRICOS

Ejemplo: 422 zy

Cilindro circular generado por la circunferencia en el plano yz que se desplaza en la dirección del eje x

Page 50: Superficies cuádricas - Diseño industrial

0424 222 zyxEjemplo 1:

424 222 zyx

124

222

zyx

2y 2,1 cba

Hiperboloide de 2 hojas con C(0,0,0) abre con respecto al eje y

GRAFICANDO SUPERFICIES

TRAZAS:

Plano coordenado

Trazas

xy (z=0) Hip.

xz (y=0)

yz (x=0) Hip.

Ninguna

14

22

xy

124

22

zy

Page 51: Superficies cuádricas - Diseño industrial

124

222

zyxSecciones paralelas a xz:

GRAFICANDO SUPERFICIES

Page 52: Superficies cuádricas - Diseño industrial

GRAFICANDO SUPERFICIES

22 2)3(1 zxy Ejemplo 2:

Paraboloide Elíptico con V(3,1,0)-abre con respecto al eje y

Secciones paralelas a xz:

Sección paralela a yz:

Page 53: Superficies cuádricas - Diseño industrial

22 231 zxy

GRAFICANDO SUPERFICIES

Paraboloide Elíptico con V(3,1,0) abre con respecto al eje y

Page 54: Superficies cuádricas - Diseño industrial

44 22 zxEjemplo 3:

Cilindro elíptico generado por la elipse en el plano xzque se desplaza en la dirección del eje y

GRAFICANDO SUPERFICIES

Page 55: Superficies cuádricas - Diseño industrial

SUPERFICIES REGLADAS

Superficies que por su forma generativa tienen posibilidades estructurales.

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA

..\..\..\..\..\Videos\Hyperboloid[1].wmv

Construccióndel Edificio de Acceso al Parque Oceanográfico (Valencia)

Page 56: Superficies cuádricas - Diseño industrial

Una superficie reglada es la generada por una recta, denominada generatriz, al desplazarse

sobre una curva o varias, denominadas directrices.

SUPERFICIES REGLADAS

Page 57: Superficies cuádricas - Diseño industrial
Page 58: Superficies cuádricas - Diseño industrial
Page 59: Superficies cuádricas - Diseño industrial
Page 60: Superficies cuádricas - Diseño industrial

Bibliografía Hidalgo, E. (2013). Disponible en : http://www.monografias.com/trabajos-

pdf5/superficies-cuadraticas/superficies-cuadraticas.shtml

Imbach,G y otros. Apunte de cátedra. FADU.UNL. Mora, Walter (2011). Disponible en:http://galeon.com/jjisach/geometria/supercurvas.p

df