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Herramientas computacionales para la matemáticaMATLAB: Arreglos

Verónica Borja Macías

Marzo 2013

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MatlabArreglos: Matrices

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Una matriz es un arreglo bidimensional, es una sucesión de números distribuidos en filas y columnas.

En MATLAB, una matriz se puede definir al escribir una lista de números encerrada entre corchetes. Los números se pueden separar mediante espacios o comas. Las nuevas filas se indican con punto y coma.

También se puede definir una matriz al hacer una lista de cada fila en una línea separada, incluso no necesita el punto y coma para la nueva línea basta con un enter.


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Ejemplos

>> A = [1 2 3; 4 5 6] % es una matriz con 2 filas y 3 columnasA =

1 2 34 5 6

>> A = [1 2 3;4 5 6]

A =1 2 34 5 6

>> A = [1 2 34 5 6]

A =1 2 34 5 6


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Para acceder a los elementos individuales de una matriz lo haremos utilizando subíndices, A(n,m) donde n es el número de fila y m el número de columna. Podemos indicar el último subíndice como end.

Ejemplos

>> A = [1 2 3; 4 5 6] >>A(1,1)ans=

1>>A(1,end)ans=

3>>A(2,2)ans=

5


5

Si queremos que escriba toda una fila o columna usaremos los dos puntos.

Al igual que con los vectores podemos indicar que escriba una serie de filas o columnas.

Ejemplos

>> A = [1 2 3; 4 5 6] ;>> A (2,:) % escribe la segunda fila de la matrizans =

4 5 6>> A (:,2) % escribe la segunda columna de la matrizans =

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6

Ejemplos

>> A = [1 2 3; 4 5 6] >> A (2,2:3) % escribe de la segunda fila, columnas de la 2 a la 3ans =

5 6>> A (2, [3 1] ) % escribe de la segunda fila de la matriz, las columnas 3 y 1ans =

6 4>> A ( [2 1] , 2:3) % escribe de las filas 2 y 1 , las columnas de la 2 a la 3ans =

5 62 3

>> A (end, [1 3] ) % escribe de la última fila, las columnas 1 y 3ans =

4 6


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Matlab tiene además otra forma de identificar cada elemento de una matriz, de modo que podemos acceder a un elemento de una matriz indicando sólo un valor y no dos, pero debemos saber que el orden elegido por MATLAB es por columnas así los elementos de la matriz A del ejemplo anterior serían denominados:

Ejemplos

>> A = [1 2 3; 4 5 6] ;>>A(5)%accede al elemento A(1,3)ans=

3

A(1) A(3) A(5)

A(2) A(4) A(6)


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También es posible crear nuevas matrices a partir de vectores o matrices ya existentes.

Ejemplos

>>A=[1 2 3 4 5]A =

1 2 3 4 5>>B=1:2:9B =

1 3 5 7 9>>T = [ A; B]T =

1 2 3 4 51 3 5 7 9


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En MATLAB, es válido tener una matriz que esté vacía. Por ejemplo, los siguientes enunciados generarán cada uno una matriz vacía:

También es posible eliminar filas o columnas mediante la asignación del vacio [].

Ejemplos

>>A = [ ]>>B = 4:-1:5;


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Finalmente, usar el nombre de matriz con un solo dos puntos, (:) transforma la matriz en una sola columna.

Ejemplos

>> M = [1 2 3 ;4 5 6 ]; >> A=M(:)A =

1 42536


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Podemos ampliar una matriz asignando valores a nuevas posiciones y MATLAB llenara los espacios restantes con ceros.

Ejemplos

>> M = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];>> M(1,5)=3M =

1 2 3 0 34 5 6 0 07 8 9 0 0


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Construcción abreviada de algunas matrices

zeros(n) crea una matriz cuadrada n x n de ceros.zeros(m,n) crea una matriz m x n de ceros.ones(n) crea una matriz cuadrada n x n de unos.ones(m,n) crea una matriz m x n de unos.rand(n) crea una matriz cuadrada n x n de números aleatorios

con distribución uniforme (0,1).rand(m,n) crea una matriz m x n de números aleatorios con

distribución uniforme (0,1).randn(n) crea una matriz cuadrada n x n de números aleatorios

con distribución normal (0,1).randn(m,n) crea una matriz m x n de números aleatorios con

distribución normal (0,1).


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Construcción abreviada de algunas matrices

eye(n) crea una matriz cuadrada n x n de unos en la diagonal y ceros el resto.

eye(m,n) crea una matriz m x n de unos en la diagonal y ceros el resto.

magic(n) crea una matriz cuadrada n x n de enteros de modo que sumen lo mismo las filas y las columnas.

hilb (n) crea una matriz cuadrada n x n de Hilbert, es decir, los elementos (i,j) responden a la expresión (1/(i+j-1)).

invhilb(n) crea una matriz cuadrada n x n que es la inversa de la matriz de Hilbert.


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Ejemplos

>> zeros (3) % matriz cuadrada 3 x 3 de cerosans =

0 0 00 0 00 0 0

>> zeros (2,5) % matriz 2 x 5 de cerosans =

0 0 0 0 00 0 0 0 0

>> ones (2,3) % matriz de unosans =

1 1 11 1 1


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Ejemplos

>> eye(3) % matriz identidad de 3 x 3ans =

1 0 00 1 00 0 1

>> rand(2,4) % matriz de 2 x 4 con entradas aleatoriasans =

0.8147 0.1270 0.6324 0.27850.9058 0.9134 0.0975 0.5469

>> magic(3) % matriz de 3x3 cuyos renglones y columnas suman lo mismo ans =

8 1 63 5 74 9 2

MatlabArreglos: Operaciones con matrices

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Podemos realizar operaciones entre matrices y escalares, entre matrices y vectores, entre matrices y matrices y dependiendo de la operación también es posible operar elemento a elemento.

Expresión OperaciónM + kM – kM*kM/k o M./kk .^ MM .^ k

Suma a los elementos de la matriz M el escalar kResta a los elementos de la matriz M el escalar kMultiplicación los elementos de la matriz M por el escalar kDivisión los elementos de la matriz M por el escalar kPotenciación del escalar k a cada uno de los elementos de M Potenciación los elementos M a la potencia escalar k

MatlabArreglos: Operaciones con matrices

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Expresión Operación

M + NM – NM * NM .* NM \ NM / N

M ./ NM .\ NM ^ kM .^ NM 'M .'

Suma de matrices (=)Resta de matrices (=)Multiplicación de matrices (c=r)Multiplicación elemento a elemento (=)División de matrices por la izquierda (sol. MX = N) (=r)División de matrices por la derecha (sol. XM = N) (=c)M/N = (M'\N')'División elemento a elemento por la derechaDivisión elemento a elemento por la izquierdaPotenciación de la matriz cuadrada M a la potencia k Potenciación elemento a elementoTransposición compleja conjugadaTransposición

MatlabArreglos: Funciones para el análisis de matrices

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Funciones (Con A matriz, v vector y n número natural)det (A) determinantediag (v) crea una matriz diagonal con v sobre la diagonaldiag (A) extrae la diagonal de A como un vector columnainv (A) matriz inversalength (A) máxima dimensiónsize (A) dimensionessize (A, 1) número de renglonessize (A, 2) número de columnasfind (A) índices de las entradas de A distintas de 0fliplr (A) voltea la matriz de izquierda a derechaflipud (A) voltea la matriz de arriba a abajoreshape (A,m,n) devuelve una matriz m x n cuyos elementos se toman por columnas de A


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Funcionesrot90 (A) gira la matriz 90º en sentido contrario al relojrot90 (A,n) gira la matriz n x 90ºexpm (A) exponencial matriciallogm (A) logaritmo matricialsqrtm (A) raíz cuadrada matricialfunm (A,@función) evalúa la función en la matriz Aexp, log, sqrt… operan elemento a elementoeig (A) valores propioscond (A) número de condición (sensibilidad a errores en datos)norm (A) normanorm (A,n) norma-nnormest (A) estimación de la norma-2


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Funcionesnull (A) espacio nuloorth (A) ortogonalizaciónpinv (A) pseudoinversapoly (A) polinomio característicorank (A) rangorref (A) reducción mediante la eliminación de Gausstrace (A) trazatril (A) matriz triangular inferior a partir de la matriz Atriu (A) matriz triangular superior a partir de la matriz A[VE,VA] = eig (A) VE son los vectores y VA son los valores propios[L,U] = lu (A) factorización LU[Q,R] = qr (A) factorización QR

MatlabArreglos: Operadores relacionales con vectores y matrices

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Cuando alguno de los operadores relacionales (<, >, <=, >=, == y ∼=) actúa entre dos matrices del mismo tamaño, el resultado es otra matriz de ese mismo tamaño conteniendo unos y ceros, según los resultados de cada comparación true o false, respectivamente.

Ejemplos

>> A=magic(3)A =

8 1 63 5 74 9 2

>> M=A>4M =

1 0 10 1 10 1 0


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Funcionesany(x) función vectorial; verifica si alguno de los elementos del vector x cumple una determinada condición.any(A) se aplica por separado a cada columna de la matriz A. El resultado es un vector de unos y cerosall(x) función vectorial; verifica si todos los elementos del vector x cumplen una condición.all(A) se aplica por separado a cada columna de la matriz A. El resultado es un vector de unos y cerosfind(x) busca índices correspondientes a elementos de vectores que cumplen una determinada condición. El resultado es un vector con los índices de los elementos que cumplen la condiciónfind(A) cuando esta función se aplica a una matriz la considera como un vector con una columna detrás de otra.


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Ejemplos

>> A=magic(3)A =

8 1 63 5 74 9 2

>> m=find(A>4)m =15678


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Funcionesisnan(A) verifica si hay valores NaN en A, devolviendo una matriz de unos y ceros del mismo tamaño que A.isinf(A) verifica si hay valores Inf en A, devolviendo una matriz de unos y ceros del mismo tamaño que A.isfinite(A) verifica si los valores de A son finitos.isempty(A) verifica si un vector o matriz está vacío o tiene tamaño nulo.issparse() verifica si una matriz es dispersa (sparse, es decir, con un gran número de elementos cero).

Ejemplos

>> A(m)=10*ones(size(m)) % sustituye los elementos que cumplen la condiciónA = anterior por valores de 10.

10 1 103 10 104 10 2


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Ejemplos

>> x=[1 2 3 4 0/0 6]Warning: Divide by zerox =

1 2 3 4 NaN 6>> i=find(isnan(x))i =5>> x(isnan(x))=[] % posibles formas de eliminarlox =

1 2 3 4 6>> x=x(~isnan(x));>> x=x(find(~isnan(x)));>> A(any(isnan(A)'), :)=[] % elimina las filas de A que contienen algún NaN

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