INTRODUCCIÓN

El vaciado de tanques con descarga lateral o en el fondo ha sido estudiado ampliamente y se han

publicado modelos que representan la influencia de variaciones en el diámetro y forma del oricio en

el flujo volumétrico.

Por medio de la aplicación de los principios de conservación de masa y momentum se formulara

un modelo matemático que describe el vaciado de un tanque al que no se le repone agua, para ser

validado experimentalmente.

OBJETIVO

Proponer el modelo matemático del tiempo de descarga experimental de un tanque cilíndrico (sin y

con pérdidas de fricción).

MARCO TEÓRICO

TEOREMA DE TORRICELLI:

El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido

contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir

del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. "La

velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera,

cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio":

[2]

Donde:

es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio

es la velocidad de aproximación.

es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio.

es la aceleración de la gravedad

Para velocidades de aproximación bajas, la mayoría de los casos, la expresión anterior se

transforma en:

Donde:

es la velocidad real media del líquido a la salida del orificio

es el coeficiente de velocidad. Para cálculos preliminares en aberturas de pared

delgada puede admitirse 0.95 en el caso más desfavorable.

tomando =1

Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de pared

delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad del fluido y otros factores tales

como la tensión superficial, de ahí el significado de este coeficiente de velocidad. [3]

Vaciado de un tanque:

En hidrodinámica, la ley de Torricelli establece que la velocidad v de eflujo (o salida) del agua a

través de un agujero de bordes agudos en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura (o

profundidad) h es igual a la velocidad de un objeto (en este caso una gota de agua), que cae

libremente desde una altura h; esto es, , donde g es la aceleración de la gravedad.

Esta última expresión se origina al igualar la energía cinética, , con la energía potencial,

mgh, despejando v. Supongamos que un tanque lleno de agua se deja vaciar por un agujero, por la

acción de la gravedad. Queremos determinar la profundidad, h, del agua que queda en el tanque

en el momento t. [2]

Si el área transversal del agujero es A0, en pies cuadrados, y la velocidad del agua que sale del

tanque es , en pies por segundo, el volumen de agua que sale del tanque, por

segundo, es , en pies cúbicos por segundo. Asa, si V (t) representa al volumen del

agua en el tanque en cualquier momento t, [2]

Donde el signo menos indica que V esta disminuyendo. Obsérvese que no tenemos en cuenta la

posibilidad de fricción en el agujero, que podría causar una reducción de la tasa de flujo. Si el

tanque es tal que el volumen del agua en cualquier momento t se expresa como V (t) = Awh, donde

Aw son los pies cuadrados (ft2) de área constante del espejo (la superficie superior) del agua, dV/dt

= Aw dhldt. Sustituimos esta última expresión en la ecuación y llegamos a la ecuación diferencial

que deseábamos para expresar la altura del agua en cualquier momento t: [2]

Es interesante observar que la ecuación es valida aun cuando Aw no sea constante. En este caso,

debemos expresar el área del espejo del agua en función de h: Aw = A(h).

Deducción del modelo matemático del tiempo de descarga para un liquido de un tanque cilíndrico

Balance de materia;

dmdt

=−V 2 A2 ρ………………………………….(1)

m=ρ∗A1∗h.

Por lo tanto:

d ( ρ∗A1∗h )dt

=−V 2∗A2∗ρ

Si ρ=cte

A1= π∗D 24

A2= π∗d24

Simplificando la ecuación 1

d hdt

=−( dD )2

∗V 2……………………………(2)

CALCULO DE V2:

Balance de energía

Q+ 12∗mV 12+P1 ΔV+mh1g=

12∗mV 22+P2 ΔV+mh2g+Σf

12∗mV 12=1

2∗mV 22+m(h2−h1)g+Σf

h2=0

h1=h

12∗mV 12=1

2∗mV 22+m(−h)g+Σf……………………………..(3)

Si: D>>d Y V1=0

D e la ecuación (3):

Sin considerar pérdidas debido a la fricción y a la contracción repentina:

De (3):

12V 12=1

2V 22+(−h)g

Simplificando:

V 2=√2hg……………………(4)

V 1=d hdt

………………………….(5)

(4) en (2):

d hdt

=−√2hg∗(d /D)2……. (6)

Integrando ecuación (6):

∫h

H−dh√2hg

=(d /D)2∫t

0

dt

Simplificando:

√2H√g

−√2h√ g

=( dD )2

(t)………...(7)

Para el tiempo de vaciado total del líquido de un tanque cilíndrico, el tiempo de vaciado será:

h=0

t vaciado=(D /d)2∗√2H / g

t vaciado=π D2

(√8∗A2)∗√2H / g………….(8)

Considerando pérdidas:

La velocidad teórica sin considerar perdidas será:

V 2=√2hg

Debido a las pérdidas por fricción la velocidad real es más lenta que la velocidad teórica:

V real=CD∗V 2=CD∗√2hg……..(9)

d hdt

=−( dD )2

∗V real…………..(10)

(9) en (10):

d hdt

=−√2hg∗(d /D)2∗CD

Integrando:

∫h

H−dh√2hg

=(d /D)2∗CD∫t

0

dt

Simplificando:

√2H√g

−√2h√ g

=( dD )2

(t )∗CD………….(11)

El tiempo de descarga total será:

h=0

t vaciado=(D /d)2∗√2H / g∗CD………….(12)

t vaciado=π D2

(√8∗A2)∗√2H / g∗CD…………..(13)

PARTE EXPERIMENTAL

h(cm) t1 t2 t3 t4 tpromedio

11.4 32.57 30 31.42 30.12 31.0275

10.5 28.28 28.06 28 28.2 28.135

8.5 23.86 24.11 24.125 24.06 24.03875

7 20.64 21.205 21.075 20.805 20.93125

5 16.28 16.375 16.9 16.8 16.58875

Parte teórica:

Datos:

D=9.9cm

d=0.6cm

g=981 cm/s2

A2=0.28274334 cm2

Si: CD =1

h(cm) Tvaciado

11.4 41.505

10.5 39.833

8.5 35.84

7 32.5235

5 27.4874

Calculo de CD de la parte experimental:

Reemplazando datos en la ecuación (13):

t vaciado=12.292731∗m√h

m=1/CD

Calculo de la pendiente (m) por mínimos cuadrados:

m= 1.005474

CD =0.994556

CONCLUSIÓN

Se propuso el modelo matemático del tiempo de descarga experimental de un tanque cilíndrico (sin

y con pérdidas de fricción).

Las cuales son:

- Sin considerar perdidas:

t vaciado=π D2

(√8∗A2)∗√2H / g

- Considerando perdidas:

t vaciado=π D2

(√8∗A2)∗√2H / g∗CD

BIBLIOGRAFÍA

WELTY. “Transferencia de momento de calor y masa”, Ed. Limusa [1]

BIRD. “Fenómenos de transporte”, Primera ediccion. Ed. Reverte [2]

L. Mott Robert. Mecanica de fluidos aplicacada, Pr índice – Hill. Mexico 1996 [3]

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