trabajo final de simulacion de descarga de tanques

FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA- SIMULACION DE PROCESOS

INTRODUCCION

Un modelo matemático, emplea algún tipo de formulismo matemático expresando relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad.

El modelamiento matemático, es el proceso de creación de una representación matemática de algún fenómeno en razón de conseguir un mejor entendimiento del fenómeno. Durante la construcción de un modelo, el formulador de este modelo deberá decidir qué factores serán relevantes para el fenómeno y cuáles innecesarios para este fin. Teniendo como factor característico de su representación gráfica, todo este modelamiento se conlleva con la simulación de programas, que brindan al ingeniero la capacidad de evaluar más alternativas, en forma más detallada mediante los cálculos manuales. Se sabe que existen simuladores que pueden ayudar a la realización de nuestros objetivos tales como CHEMCAD, ASPEN PLUS, LABVIEW, Microsoft Office EXCEL, HYSYS, y etc.

DESCARGA DE UN TANQUE CILINDRICO Página 2


RESUMEN

En el presente informe se determina los cálculos realizados para el diseño manual de un tanque del tipo cilíndrico, así como los datos experimentales obtenidos del tiempo de descarga de agua, recabando de ello mismo se desarrollaron los modelos matemáticos y su respectiva comparación con los datos obtenidos del experimento.

La descarga de tanque, es tal vez lo más común de las prácticas más utilizadas en la industria, para lo cual se elaboró un tanque con las siguientes dimensiones:

Un diámetro de 10.6cm y una altura de 12cm, con un orificio de descarga de una altura de 7.5 cm y un diámetro de 0.1 cm para poder modelar el fenómeno de descarga.

Para ello se utilizó el teorema de Torricelliy la ecuación de Bernoulli en un balance de materia para el tanque, en este caso cilíndrico con los cuales se pudo obtener la ecuación del tiempo de descarga.

t= 2√2 g ( D2

Cd d2 ) (√H−√h )

Se obtuvo teóricamente un coeficiente de descarga igual a 0.999, el cual se encuentra en el margen aceptable. Notando como influía la cantidad de agua y la velocidad de descarga siendo la cantidad de agua en el tanque menor disminuía la velocidad de descarga y por consiguiente el caudal también.

Finalmente se comparó los datos experimentales con los teóricos, con el objetivo de analizar las diversas razones que generan los efectos en el experimento, y los defectos presentes en ello.



I. OBJETIVOS

1. OBJETIVOS GENERALES Determinar del modelo matemático del fenómeno de descarga en un tanque

cilíndrico.

1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Elaborar el tanque cilíndrico. Recopilar datos experimentales. Determinar algunos fenómenos de descarga. Formular modelo empírico. Formular modelo de fenómenos de transporte. Comparar los valores teóricos con los experimentales. Diseñar en forma gráfica el dimensionamiento del tanque de descarga en tres

dimensiones. Hacer la programación del modelo matemático del tiempo de descarga del tanque

cilíndrico.

II. MARCO TEORICO.

1. MODELO DE TORRICELLI.


A1

A2

v2v1


Aplicando el teorema de Bernoulli en los puntos 1 y 2, del diagrama ilustrado en la Fig.1, podemos escribir la siguiente expresión:

P1+gρ.h1+12

ρ .u12=P2+gρ .h2+

12

ρ .u22

Donde es la densidad del fluido, P1 y P2 son las presión de los puntos 1 y 2 respectivamente. De igual modo u1 y u2 designan las velocidades del fluido en los puntos 1 y 2 receptivamente. La presión en la interfase aire – agua superior (punto 2) es la presión atmosférica (Patm = P2). [1]

2. MODELO DE BERNOULLI.

Existen varios formas alternativas para derivar la ecuación de Bernoulli, pero todas parten de la Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento conocida como ecuación de Navier-Stokes, que establece el equilibrio entre las fuerzas de inercia, masa, presión y viscosidad por unidad de volumen que actúan sobre una partícula fluida elemental. [2]

La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

P+ 12

ρ υ2+ρgh=constante

2.1. PARÁMETROS.En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes:



P: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean

: Densidad del fluido. : Velocidad de flujo del fluido. g: Valor de la aceleración de la gravedad (en la superficie de la Tierra).

9,81 m.s-2

h: Altura sobre un nivel de referencia.

2.2. APLICABILIDAD.Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos. Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad:

El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.

Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna). Se considera que el líquido está bajo la acción del campo gravitatorio

únicamente.

2.3. EFECTO BERNOULLI.El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido fluya en horizontal un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.

Un ejemplo práctico es el caso de las alas de un avión, que están diseñadas para que el aire que pasa por encima del ala fluya más velozmente que el aire que pasa por debajo del ala, por lo que la presión estática es mayor en la parte inferior y el avión se levanta.

3. MODELO DE ANALISIS DIMENSIONAL DE Π DE BUCKINGHAM.El teorema Π de BUCKINGHAM establece que en un problema físico en que se tengan “n” variables que incluyan “m” dimensiones distintas; las variables se pueden agrupar en “n-m” grupo s adimensionales.Independientes. Siendo V1, V2,..., Vn las variables que intervienen en el problema, se debe tener una función que las relacione: f (V1, V2,..., Vn) = 0; si G1, G2,..., Gn-m, representan los grupos adimensionales que representan a las variables V1, V2,..., Vn; el teorema de BUCKINGHAM también establece que existe una función de la forma: [3]

g(G1,G2,...,Gn-m) = 0

El método para determinar, los grupos adimensionales (Gi, i=1,..., n-m); consiste en la selección de “m” de las “n” variables, con diferentes dimensiones, de manera que contengan entre todas las “m” dimensiones, y emplearlas como variables repetitivas, formando cada uno de los “n-m” grupos adimensionales a partir de la siguiente expresión genérica: [3]



G1=V 1 ∏j−m−n+1

j−n

V jaij i=l ……, m−n

4. NÚMERO DE REYNOLDS.

Controla el término de los efectos de la viscosidad; si el Re es pequeño, se tieneFlujo con viscosidad dominante, y el termino al que afecta el Re es importante; en el movimiento de las partículas, las altas interacciones por viscosidad las ordenan en la dirección del flujo, con lo que sus trayectorias no se cruzan, se tiene régimen laminar.Si el Re es elevado, en principio los efectos viscosos son despreciables, excepto en las zonas del flujo donde se tengan altos gradientes de velocidad; las partículas se mueven desordenadamente, entrecruzándose las trayectorias, se tiene régimen turbulento. [3]

ℜ=ρc Lc U c

μc

5. ANALISIS Y SIMULACION DE PROCESOS.

5.1. FORMULACIÓN Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR SIMULACIÓN.En simulación por computadora de un proceso con un número de distintas etapas usuales que pueden ser distinguidas, depende del tipo y magnitud del problema, pero la secuencia típica puede ser indicado como en la figura N° 1. [5]

5.2. DESARROLLO DE UN MODELO PARA CUALQUIER CASO. [5]

Figura N° 1: Diagrama de bloques de un proceso dinámico.

5.2.1. DESARROLLO DEL MODELAMIENTO FÍSICO PARA UN TANQUE CILINDRICO VERTICAL. [4]


MODELO FISICO

MODELO MATEMATICO

SOLUCION DEL MODELO

COMPARACION

MODELO FINAL COMPARACION

APLOICACIONES

PARA EL CONTROL Y OPERACIONES

EXPERIMENTACIONCOMPARACIONEXPE

SIMULACION


A. Modelo físico de un tanque cilíndrico. [4]

Un recipiente cilíndrico de diámetro d2, cuya área transversal es S2, conteniendo un fluido, por ejemplo agua, hasta cierto nivel h2, como se indica esquemáticamente en la Fig.1. Nuestro recipiente drena por un pequeño orificio en la parte inferior de diámetro d1 y sección S1 (S1 << S2). La velocidad de evacuación del fluido a la salida de este orificio la llamamos u1. [1]

FIGURA N° 2: Tanque de descarga vertical.

Variables: H, h: Alturas. D: Diámetro del tanque. d: Diámetro del tubo de descarga. t: Tiempo.

a. Diseño De Estanques Atmosféricos. [4]

Supongamos que deseamos diseñar un estanque de almacenamiento atmosférico para almacenar un volumen (v, m3) de líquido. Estos tanques generalmente son de alto costo, se construyen de forma cilíndrica de planchas de acero, se doblan y se sueldan. Ejemplo, Almacenamiento de petróleo. [4]


.1

.3

.2

D

H

Δh

h

Δs

d


D

Área lateral: Al=πDH=2 πrH

H

Área de la base (círculo): Ab=

π D2

4

Peso del estanque . Peso = Densidad x Espesor x Área

w=ρt AT (1)

Dónde:w = Pesoρ = densidad del material (plancha).t = EspesorA = Área

Áreas de un cilindro . -Área lateral: Al=πDH=2 πrH (2) -Área base:

Ab=π D2

4 (3)

Reemplazando (2) y (3) en ecuación (1), se tiene:

w=ρt [πDH +2 π D 2

4 ] (4)

Suponiendo que el espesor (t ) y la densidad (ρ ) son adecuados para la estructura del tanque y ambos son independientes del tamaño se tendrá:

w≅ ρt [ πDH+π D2

2 ] (5)

Volumen del fluido a almacenar (volumen cilindro).

v=π D2 H2

v=π r 2 H

(6)


y

Yo

Ao, d

∆y

yo

yf

A, D


Despejando la altura H:

H= 4vπ D2

(7)Reemplazando (7) en (5):

w≅ ρt [ πD 4vπ D2 + π D2

2 ]→ w≅ ρt [ 4 vD

+ π D2

2 ] (8)

Minimización del peso con respecto al diámetro.

∂ w∂ D

=0=−4 vD2 +π D → 4 v

D2 =π D→ D3=4 vπ

(9)

Regla heurística: Diámetro y altura Reemplazando (6) en (9), se tiene:

D3= 4π ( π D2 H

4 )→ D3=D2 H → D=H

(10)

Regla Heurística : Para estanques atmosféricos usar:

HD

=1

Siendo de lo antecedido para el diseño de descarga de un tanque cilíndrico, este resultado es bastante razonable para estanques de almacenamiento de petróleo en refinerías. Las dimensiones óptimas son independientes del volumen del material, para lo cual se determinó: [4]

DESCARGA DE UN TANQUE CILINDRICOPágina 10


FIGURA N° 3: Tanque de descarga vertical.

b. Consideraciones.Para la derivación de la ecuación del tiempo de vaciado se tuvieron en cuenta las siguientes características del sistema: Los tanques son de sección cilíndrica en la región

correspondiente al fluido descargado. [4]

La descarga se produce a temperatura del fluido constante. El tanque es abierto a la atmósfera de modo que la superficie libre

del líquido se encuentra siempre a la presión atmosférica. La descarga se da a aire libre (atmósfera) de modo que la

superficie libre del líquido se encuentra siempre a la presión atmosférica.

Las pérdidas de fricción producidas por las contracciones bruscas son despreciables.

La tubería de descarga posee un solo diámetro (Dt) en toda la trayectoria.

El fluido es viscoso y fluye en régimen laminar, por lo que durante el tiempo que dure el vaciado se cumple

ℜ= ∙ v ∙ dμ

<210 0 (11)

Dónde:ρ: Densidad del Líquido (g/cm3).d: Diámetro de la tubería de descarga (cm).μ: Viscosidad del líquido (g/cm.s).v: Velocidad del líquido en el tubo (cm/s).

B. Balance de materia en el tanque. [4]

a. Ecuación general de balance de materia. [4]

Para las condiciones de problema: Acumulación de masa = 0 Ingreso de masa = 0 Generación de masa = 0

Consumo de masa = 0

b. Aplicando la expresión integral de la conservación de la masa. [4]

∬ ρ ( v⃗ . n⃗ ) dAC . S+∂∂t ∭ ρdV

V . C=0

(12)

Considerando que:



∂∂ t∭ ρdV

V . C=0

(13)

Remplazando (13) en (12):

∬ ρ ( v⃗ . n⃗ ) dAC . S=0 (14)

Dónde:

∬ ρ ( v⃗ . n⃗ ) dAC . S

=∬ ρ ( v⃗ . n⃗ ) dAA1+∬ ρ ( v⃗ .n⃗ )dA

A2=0 (15)

De acuerdo al sentido del fluido:

∬ ρ ( v⃗ . n⃗ ) dAC . S=−∬ ρvdAA 1+∬ ρvdAA 2=0 (16)

Integrando: ρ1 . v1 . A1= ρ2. v2 . A2 (17)

Como es un fluido incompresible:ρ1=ρ2 (18)

Remplazando (18) en (17): v1 . A1=v2 . A2 (19)

Despejando:

v1=v2 . A2

A1

(20)

C. Balance de energía en el tanque.

∂Q∂ t

− ∂ W∂ t

=∬(e+ pρ ) . ρ ( v⃗ . n⃗ ) dA

C .S+ ∂

∂ t∭ e . ρdV C .V +∂ W u

∂ t

(21)Considerando que:

∂∂ t∭e . ρdVC . V=0

(22)

∂W u

∂ t=0

(23)

Remplazando (22) y (23) en (21):



∂Q∂ t

− ∂ W∂ t

=∬(e+ pρ ) . ρ ( v⃗ . n⃗ ) dA

C .S

(24)Dónde:

e+ pρ=gy+μ+ p

ρ (25)


∬(e+ pρ ) . ρ ( v⃗ . n⃗ ) dA

C .S=[ v2

2

2+g y2+μ2+

p2

ρ2 ] ( ρ2. v2 . A2)−[ v12

2+g y1+μ1+

p1

ρ1 ] ( ρ1 . v1 . A1 )

(26)

Remplazando en (21):

∂Q∂ t

− ∂ W∂ t

=[ v22

2+g y2+μ2+

p2

ρ2 ]( ρ2. v2 . A2 )−[ v12

2+g y1+μ1+

p1

ρ1 ] ( ρ1 . v1 . A1 )

(27)

Asumiendo las siguientes condiciones:No existe transferencia de calor:

∂Q∂ t

=0

(28)El sistema no realiza trabajo:

∂W∂t

=0

(29)

Remplazando (28) y (29) en (27):

0=[ v22

2+g y2+μ2+

p2

ρ2 ] ( ρ2 . v2 . A2 )−[ v12

2+g y1+μ1+

p1

ρ1 ] ( ρ1 . v1 . A1 )

(30)

Quedando:

[ v22

2+g y2+μ2+

p2

ρ2 ] ( ρ2 . v2 . A2 )=[ v12

2+g y1+μ1+

p1

ρ1 ]( ρ1. v1 . A1 )

(31)

Como el flujo másico es constante:

ρ1 . v1 . A1= ρ2 . v2 . A2=m (32)




[ v22

2+g y2+μ2+

p2

ρ2 ]=[ v12

2+g y1+μ1+

p1

ρ1 ] (33)

Sabemos que:

hi=μ i+pi

ρi (34)


v22

2+g y2+h2=

v12

2+g y1+h1 (35)

Del sistema, tenemos:La entalpía es constante:

h1=h2 (36)La velocidad inicial:

v1=0 (37)

Respecto al nivel de referencia:

y2=0 (38)

Remplazando (36), (37) y (38) en (35):

v22

2=g y1

(39)Despejando:

v2=√2 g y1 (40)

D. Hallando el tiempo de descarga. [4]

a. Inicialmente se tiene el tanque en un tiempo inicial t= 0 con una altura h:



b. Seguidamente se empezara la descarga del tanque teniendo en cualquier tiempo t=t, el siguiente esquema:

c. Establecemos entonces una condición en donde el volumen de descarga que existe dentro de un t+∆ t sera igual al volumen en la tuberia de descarga para ese tiempo establecido, graficamente lo mostramos de la siguiente manera:

d. Por lo tanto del grafico anterior formulamos la siguiente igualdad en

función de sus volúmenes.

Formulación del modelo:

Volumen (a)

Volumen(b)

π ∙ D4

2

∙∆ h π ∙ d4

2

∙∆ L

Igualamos: Volumen (a) = Volumen (b)

−π ∙ D4

2

∙ ∆ h=π ∙ d4

2

∙ ∆ L

(41)

Aplicando límites para una ∆ t →0:

lim∆ t →0 (−π ∙ D

4

2

∙ ∆ h)= lim∆ t →0 (π ∙ d

4

2

∙ ∆ L) (42)



−π ∙ D4

2

∙ dhdt

=π ∙ d4

2

∙ dLdt

(43)

−π ∙ D4

2

∙ dhdt

=π ∙ d4

2

∙ v

(44)

De acuerdo a la ecuación de Bernoulli:

S1+v1

2

2 g+

P1

γ=z2+

v22

2 g+

P2

γ (45)

La ecuación (45) se encuentra sujeta a las siguientes condiciones:

v1=0z1=hz2=0

P1=P2=Patmosferica

Entonces queda: v2

2=z1 ∙ 2∙ g (46)

La ecuación (46) viene a ser la Velocidad teórica:

v t=√2 ∙h ∙ g (47)

Además se sabe Velocidad real está dado por:

vreal=Cd . v t (48)

Reemplazando la ec (47) en (48): vreal=Cd ∙√2 ∙ h∙ g (49)

Reemplazamos ec (49) en (41):



−π ∙ D4

2

∙ dhdt

=π ∙ d4

2

∙Cd ∙√2∙ h ∙ g (50)

De la figura N° 3:

dydt

=v1 (51)


v1=√2 gy . Cd .A2

A1

(52)


dydt

=√2 gy .Cd .A2

A1

(53)

Ordenando e integrando:

∫y0

y f dy√2 gy .Cd

=∫t0

t f A2

A1dt

(54)

1√2 g .Cd ∫y0

y f dz√ y .

=A2

A1∫t 0

t f

dt

2√ y√2 g .Cd

❑y0

y f=A2

A1t❑t0

t f

2(√ y f−√ y0 )

√2 g .Cd=

A2

A1( tf −t 0 )

Despejando:

t d=2 (√ y f −√ y0 ) A1

√2 g . Cd . A2

(55)

Remplazando las áreas:

t d=2 (√ y f −√ y0 )π . D2

4√2g .Cd . A0

t d=(√ y f−√ y0 ) π .D2

2√2 g .Cd . A0



Finalmente: si y0=0; tiempo de vaciado del tanque completo:

t d=π . D2 √ y

√8 . Cd . A0 √g

(56)

E. Obtención experimental de Cd. [4]

Para el Tanque; evaluamos Cd con datos de caudal y alturas para construir la gráfica siguiente.

De donde definimos:

n= 1m (57)

Para la recta realizamos un ajuste lineal:

y=mx+b (58)

log Q=m. logh+b (59)Despejando Q:

Q=10b n√h (60)Sabemos:

Q=Cd . A2 . n√2gh (61)

Evaluamos el caudal (Q):

a. Ideal.

Q=Cd I . A2 . n√2gh (62)Dónde:

CdI = coeficiente de descarga ideal = 1




Cd I=10b

A2 . n√2 gh

(63)

b. Experimental. Qe=Cd e . A2 . n√2 g he (64)

Dónde: Cde = coeficiente de descarga experimental

Igualando (63) en la ec (60):

Qe=10b . n√he=Cd e . A2. n√2g he (65)

Despejando:

Cd e=10b

A2 . n√2 g

(66)

F. Coeficientes de descarga (cd) en un orificio de pared delgada. [4]

Un orificio se define como una abertura por lo general redonda por la cual fluye el fluido. La velocidad real de salida del chorro es menor que la teórica, pues en la salida se presentan pérdidas por fricción.

Se define el coeficiente de descarga Cd como la relación entre el caudal real y el caudal teórico.

a. Coeficiente de descarga (Cd).

CD = QR /QT (67) Dónde:

CD: Coeficiente de descargaQR: Caudal real (m3).QT: Caudal teórico (m3).

b. Caudal Real (Qr).QR = V / t (68)

Dónde: QR: Caudal real (m3/s). V: volumen (m3). t: tiempo (s).

c. Caudal Teórico (Qt)

QT = Ao ( 2g * h )½ (69)Dónde:

QT: Caudal teórico (m3/s). A: Área (m2).

g: Gravedad (m/s2).



h: Altura piezométrica (m).

G. Diámetro de salida del fluido. [4]

La descarga del fluido para un cilindro atmosférico se desarrolla en flujo constante, tomadas las consideraciones y ecuaciones anteriores, el modelo matemático se presentara de la siguiente manera:

ℜ=dρvμ (70)

Reemplazando (28) en (67), se tiene:

ℜ=dρ √2ghμ

(71)

d= ℜ . μ

ρ√2gh (72)

Para Re < 2100 por ser flujo laminar5.2.2. DETERMINANDO EL MODELO EMPÍRICO: “METODO π DE

BUCKINGHAN” [4]

Como t=f (h, D, d, e, ρ, u, g)

- Lista de variables influyentes y sus dimensiones:

N°

Variable Símbolo Dimensión

1 Tiempo T θ2 Altura H L3 Diámetro del tanque D L4 Diámetro del orificio D L5 Espesor del material E L6 Densidad del fluido Ρ M-1L-3

7 Viscosidad del fluido U ML-1 θ-1

8 Gravedad g L θ-2

- Dimensiones fundamentales: M; L; θ.- Número de parámetros: 8 – 3 = 5-Número de variables: 8-Número de dimensiones elementales: 3- Como tenemos 5 grupos adimensionales lo calculamos así:

[ θ ]=f {[ L ]a , [ L ]b , [ L ]c , [ L ]d , [ M L−3 ]e , [ M L−1θ−1 ]f , [L θ−2 ]g } (73)

- Como la ecuación debe ser dimensionalmente homogénea entonces:



[ M ] 0 = e + f[ θ ] 1 = -f -2g [ L ] 0 = a + b + c + d – 3e –f -2g

- Nos produce un sistema de ecuaciones de 3 ecuaciones con 7 incógnitas, por lo que se escogen 4 variables (Que queramos que se repitan en los diferentes grupos adimensionales). Y se pone en función de los demás. Para nuestro caso escogeremos: el diámetro (b), la viscosidad (f), la gravedad (g), la altura(a).

e = -fe = 1- 2g

a = e –b-c-d +1b = e – a- c- d +1

- Reemplazando en la relación (19):

[ θ ]=f {[ L ]e−b−c−d+1 , [ L ]e−a−c−d+1 , [ L ]c , [ L ]d , [ M L−3 ]e , [M L−1θ−1 ]−e, [ L θ−2 ]

1−e2 }

- Agrupando las potencias obtenemos:

u∗tρ∗h2= f ( ρ2∗h2∗g

u2 , Dh

, dh

, eh ) Relación Empírica

(74)

III. METODOS Y MATERIALES

3.1. METODO.El método empleado en este trabajo es del método experimental.

3.2. DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO. El equipo utilizado en la práctica consiste de un tanque cilíndrico al que se le pueden ajustar tubos de descarga de diferentes diámetros y longitudes (ver la Figura 5).

Material del tanque: plástico. Material del tubo de descarga: vidrio Soporte: fierro

Dónde:

Dtanque= 10.6cm, h: longitud = 10cm, T = 7.5cm d capilar = 0.1cm



FIGURA N° 5: Diagrama del tanque utilizado.

3.3. MATERIALES Y REACTIVOS.

2 Vaso de plástico pequeño. 1 Tanque cilíndrico de plástico. 1 Cronometro. 1 cinta métrica hasta 12cm. 1 soporte de fierro confeccionado. Agua.

3.4. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL.

i. Colocar el tubo a la descarga del tanque y armar el equipo de descarga cilíndrica vertical.

ii. Llene el tanque con agua, sin desagotar los precedentes.



iii. Calibre el nivel de agua en el tanque.iv. Tomamos la temperatura del agua (T=16ºC), la cual es constante durante

toda la experimentación.v. Mida los tiempos integrales de escurrimiento de la siguiente forma:

a. Conecte con el tanque el tubo de salida, llene el tanque con el líquido cuyo tiempo de escurrimiento se desea determinar.

b. Permita que el líquido comience a escurrir del tanque.c. Registre la forma en que varía el tiempo de escurrimiento con la

profundidad del líquido, (efectué lecturas de tiempos para pequeños intervalos de variación en el nivel del líquido).

3.5. DATOS OBTENIDOSTeniendo en consideración que nuestros datos recopilados de la experiencia de la descarga del tanque cilíndrico son:

TABLA N° 1. Datos Del Tanque Y El Fluido

REFERENCIA: Datos recopilados por los alumnos a cargo del experimento.

TABLA N° 2. Datos Experimentales

h(cm) t(min) t(s)10.00 0 09.00 3.18 1988.00 6.12 3727.00 9.42 582


PARÁMETRO SÍMBOLO VALOR UNIDADES

Temperatura agua T 16 °CDiámetro recipiente D 10.6 cmDiámetro tubería descarga

d 0.1 cm

Altura del recipiente H 12 cmAltura tubería de descarga

L 7.5 cm


6.00 13.34 8145.00 17.5 10254.00 22.41 1361

3.00 28.37 1717

2.00 36.4 2164REFERENCIA: Datos recopilados por los alumnos a cargo del experimento.

GRAFICO N° 1: t vs H.

0 500 1000 1500 2000 25000.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

f(x) = − 0.00373887334029136 x + 9.42023824562431R² = 0.974225763368586

t vs h

t

h


3.6. SUPOSICIONES. La temperatura del fluido no varía. El tanque tiene un diseño uniforme. Se desprecia las perdidas por fricción en el tanque.

3.7. CALCULOS.3.7.1. DETERMINACION DEL TIPO DE FLUJO PRESENTE EN NUESTRA

DESCARGA DE TANQUE CILINDRICO VERTICAL. Para lo cual se consideró como referencia algunos datos

bibliográficos.

TABLA N° 3: Datos Bibliográficos.

Ahora reemplazando en la ecuación N° 47.

v=√2∙ h ∙ g

Reemplazando datos se tiene:


DATOS DE REFERENCIA TEORICAGravedad g 981 cm/s2

Densidad 0.999 1 g/cm3

Viscosidad µ 0.011 098 g/cm.s


v=√2x 10 cm x 981 cms2

v=√19620 cm2

s2

v=140.071 cms

Luego con la ecuación de Reynolds y los datos obtenidos.

ℜ= ρ∙ v ∙dμ

<2100


ℜ=0.9991 g

cm3 x140.071 cms

x 0.1cm

0.011098 gcm. s

<2 100

ℜ=1260.992<2100

Demostrando de esta manera que el flujo empleado es laminar.

3.7.2. HALLAMOS EL DIÁMETRO DE LA TUBERÍA DE DESCARGA CON LA AYUDA DE REYNOLDS.Se determina el diámetro de la tubería de descarga con la ecuación N° 69.

d= ℜ . μ

ρ√2gh


d=1 260.992 x 0.011098 g

cm . s

0.999 1 gcm3 x √2 x 981 cm

s2 x10 cm

d=0.09 9̂ cm≈ 0.1 cm

3.7.3. DETERMINANDO SUS RESPECTIVOS AREAS.



A. HALLANDO A 1 (ÁREA DEL TANQUE).

A1=π ∙ D4

2

A1=π ∙ (10.6 cm)4

2

A1=88.247 cm2

B. HALLANDO A 0 (ÁREA DE LA TUBERÍA DE DESCARGA).

A0=π ∙ d4

2

A0=π ∙ (0.1 cm)4

2

A0=0.008 cm2

3.7.4. CÁLCULO DE LA VELOCIDAD TEÓRICA.De la ecuación 47:

v t=√2 ∙h ∙ g

v t=√2 ∙10 ∙981

v t=140.071 cms

3.7.5. CÁLCULO DEL QTEORICO.De la ecuación 69:

QT=A0 √2∙ h ∙ g

QT=0.000 000 8√2∗0.1∗9.81

QT=1.121∗10−6 m3

s

TABLA N° 4: Datos de LNH y LNQ.


Área tanque cilíndrico A1 88.247 cm2

Área tubería de salida A2 0.008 cm2



3.7.6. CÁLCULO DEL FLUJO. Hallando las velocidades y el número de Reynolds.

Sabiendo que:

ℜ= ρ∙ v ∙ dμ

Dónde:d= 0.1cm= 0.999 1g/cm3

µ= 0.011 098g/cm.s

Todo ello a T=16°C

Hallando las Reynolds:

ℜ= ρ∙ v ∙ dμ

i. Para: t=0s y h=10cm

ℜ=0.9991 g

cm3 x140.071 cms

x 0.1cm

0.011098 gcm. s


h(cm)

h(cm)

t(min) t(s) LOG h (cm) v(cm/s) V(cm3) Q(cm3/s) LOG Q(m3/s)

10.00 1.00 0 0 1 140.07141 7.85E-03 #¡DIV/0! #¡DIV/0!

9.00 1.00 3.18 198 0.954242509132.88340

8 7.85E-03 3.96666E-05 -4.401575309

8.00 1.00 6.12 372 0.903089987125.28367

8 7.85E-03 2.11129E-05 -4.6754530597.00 1.00 9.42 582 0.84509804 117.19215 7.85E-03 1.34948E-05 -4.869833103

6.00 1.00 13.34 814 0.77815125108.49884

8 7.85E-03 9.64863E-06 -5.015534524

5.00 1.00 17.5102

5 0.69897000499.045444

1 7.85E-03 7.66242E-06 -5.115633984

4.00 1.00 22.41136

1 0.60205999188.588938

4 7.85E-03 5.77074E-06 -5.238768244

3.00 1.00 28.37171

7 0.47712125576.720271

1 7.85E-03 4.57425E-06 -5.339680414

2.00 1.00 36.4216

4 0.30102999662.641839

1 7.85E-03 3.62938E-06 -5.440167375


ℜ=1260.992

TABLA N° 5: Datos de Re.h(cm

)h(cm

)t(min

) t(s)LOG h (cm) v(cm/s) V(cm3) Q(cm3/s) LOG Q(m3/s) Re

10.00 1.00 0 0 1 140.07141 7.85E-03 #¡DIV/0! #¡DIV/0! 1260.99609

9.00 1.00 3.18 198 0.954242509132.88340

8 7.85E-03 3.96666E-05 -4.401575309 1196.28593

8.00 1.00 6.12 372 0.903089987125.28367

8 7.85E-03 2.11129E-05 -4.675453059 1127.8691917.00 1.00 9.42 582 0.84509804 117.19215 7.85E-03 1.34948E-05 -4.869833103 1055.025022

6.00 1.00 13.34 814 0.77815125108.49884

8 7.85E-03 9.64863E-06 -5.015534524 976.7633714

5.00 1.00 17.5 1025 0.69897000499.045444

1 7.85E-03 7.66242E-06 -5.115633984 891.6588864

4.00 1.00 22.41 1361 0.60205999188.588938

4 7.85E-03 5.77074E-06 -5.238768244 797.5239531

3.00 1.00 28.37 1717 0.47712125576.720271

1 7.85E-03 4.57425E-06 -5.339680414 690.6760035

2.00 1.00 36.4 2164 0.30102999662.641839

1 7.85E-03 3.62938E-06 -5.440167375 563.9345954REFERENCIA: Datos recopilados por los alumnos a cargo del experimento.

3.7.7. CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE DESCARGA Cd TEORICOConstrucción de la tabla N° 4 con ayuda de los datos experimentales:

GRAFICO N° 2: LnH vs LnQ

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

-0.35-0.3

-0.25-0.2

-0.15-0.1

-0.050

0.050.1

f(x) = 0.499999999999999 x − 0.458560617111863R² = 1

LOGH vs LOG Q

LOG H

LOG

Q


Calculo de "Cd", a partir de la ecuación de la gráfica:

Teniendo que:y=mx+b



De la gráfica determinamos la pendiente:m=0.5

Sabemos:

Cde= 10b

A0n√2 g

Dónde: n= 1m

Ahora reemplazando datos tenemos:

Cde= 10−0.4586

7.85∗10−3∗ 2√2∗981

b A n-0.4586 7.85E-03 2

cd= 1.00E+00

3.7.8. CÁLCULO DE TIEMPO DE VACIADO TEÓRICO.

t d=π ∙ D2 √h

√8 ∙ A0 ∙ Cd ∙√ g

Teórico

t d=π∗10.62 √10

√8∗7.85∗10−3∗1∗√981

t d=1 605.138 seg

TABLA N° 6: Datos de tiempo de descarga teórico.


m 0.5b -0.4586

h(cm) td

10.00 1.60E+03

9.00 1.52E+03

8.00 1.44E+037.00 1.34E+036.00 1.24E+035.00 1.13E+034.00 1.01E+03

3.00 8.79E+02

2.00 7.18E+02



3.7.9. CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE DESCARGA Cd EXPERIMENTALConstrucción de la tabla N° 4 con ayuda de los datos experimentales:

TABLA N° 7: Datos de LNH y LNQ.

h(cm) h(cm) t(min) t(s) LOG h (cm) v(cm/s) V(cm3) Q(cm3/s)LOG

Q(m3/s)10.00 1.00 0 0 1 140.07141 7.85E-03 #¡DIV/0! #¡DIV/0!9.00 1.00 3.18 198 0.954242509 132.883408 7.85E-03 3.96666E-05 -4.4015753098.00 1.00 6.12 372 0.903089987 125.283678 7.85E-03 2.11129E-05 -4.6754530597.00 1.00 9.42 582 0.84509804 117.19215 7.85E-03 1.34948E-05 -4.8698331036.00 1.00 13.34 814 0.77815125 108.498848 7.85E-03 9.64863E-06 -5.0155345245.00 1.00 17.5 1025 0.698970004 99.0454441 7.85E-03 7.66242E-06 -5.1156339844.00 1.00 22.41 1361 0.602059991 88.5889384 7.85E-03 5.77074E-06 -5.2387682443.00 1.00 28.37 1717 0.477121255 76.7202711 7.85E-03 4.57425E-06 -5.3396804142.00 1.00 36.4 2164 0.301029996 62.6418391 7.85E-03 3.62938E-06 -5.440167375


GRAFICO N° 3: LnH vs LnQ

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65

-5.5

-5.45

-5.4

-5.35

-5.3

-5.25

-5.2

-5.15

-5.1

f(x) = 0.662576238037808 x − 5.64437040164368R² = 0.990228569747139

LOGH vs LOG Q

LOG H

LOG

Q


Calculo de "Cd", a partir de la ecuación de la gráfica:

Teniendo que:

y=mx+b


m 0.6626b 5.6444


De la gráfica determinamos la pendiente:m=0.6626

Sabemos:

Cde= 10b

A0n√2 g

Dónde: n= 1m

Ahora reemplazando datos tenemos:

b A n2.26778E-06 7.85E-03 1.509206158

cd= 8.38E-01

3.1.1. CÁLCULO DE TIEMPO DE VACIADO EXPERIMENTAL.

t d=π ∙ D2 √h

√8 ∙ A0 ∙ Cd ∙√ g

Teórico

t d=π∗10.62√10

√8∗7.85∗10−3∗0.8∗√981

t d=1910 seg

TABLA N° 8: Datos de tiempo de descarga experimental.

h(cm) td

10 1.91E+039 1.82E+038 1.71E+037 1.60E+036 1.48E+035 1.35E+034 1.21E+033 1.05E+032 8.56E+02




Comparación de los tiempos de descarga teóricos e experimentales.

TABLA N° 8: Datos de tiempo de descarga experimental.

h(cm) td,TEORICO td,EXPERIMENTAL

10.00 1.60E+03 1.91E+039.30 1.52E+03 1.82E+038.60 1.44E+03 1.71E+037.90 1.34E+03 1.60E+037.20 1.24E+03 1.48E+036.50 1.13E+03 1.35E+035.80 1.01E+03 1.21E+035.10 8.79E+02 1.05E+034.40 7.18E+02 8.56E+02


GRAFICO N° 4: t vs H, tanto teórico como experimental.

6.00E+028.00E+021.00E+031.20E+031.40E+031.60E+031.80E+032.00E+030.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

H vs t

t

H




IV. DISCUSIÓN DE RESULTADOS.

En la gráfica de los datos del LOG Q vs LOGH, se notó una gran variación al considerar el dato en la h=0cm, pero si este dato ya no se considera la recta que se busca apreciar es casi perfecta; razón por la cual se supone la idea que la velocidad en esa altura es constante; tomando así la consideración de todos los datos excepto el antes mencionado.

Comparando los resultados obtenidos para el tiempo de descarga teórico t d y el t d experimental notamos que estos varían resultándonos el tiempo experimental mayor al experimental con una variación de 0.157 663 s esto se debería a los errores experimentales cometidos al realizar la experimentación tales como la lectura del tiempo.

La experiencia mostrada con la toma de muestra con una pequeña fuga de agua de la parte de la descarga, tal vez sea el factor de una variación no tan resaltante pero si algo apreciativa.

V. CONCLUSIONES

Luego de haber realizado la discusión de resultados presentamos las siguientes conclusiones:

Se logró deducir el modelo matemático del tiempo de descarga en un tanque cilíndrico vertical el cual es el siguiente:

Tiempo descarga teórico

t d=π ∙10.62√10

√8 ∙ 0.08∙ 1∙√981

t d=1 650.138 seg

Tiempo de descarga total experimental:

t d=π ∙10.62√10

√8 ∙0.08∙0.999 ∙√981

t d=3216.710 seg

De los anteriores valores apreciados en el grafico N° 2, se nota que no hay una gran variación de estos datos.



VI. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

[1] users.df.uba.ar/sgil/unsam/fisica1_usam/.../Exp_de_Fluidos1.pdf[2] www.efn.unc.edu.ar/.../aero/.../ecuación%20de%20bernoulli.pdf[3] es.scribd.com/doc/27235961/Tema-3-Analisis-Dimensional[4] Informe: vaseado_d_tanques _ (Janeth_ MENDOZA_RODRIGUEZ) [1][5] Copias de análisis y simulación de procesos del ing. Pascual Víctor Guevara Yanqui.

VII. BIBLIOGRAFIA

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Torricelli http://es.scribd.com/doc/90708752/Trabajo-de-Simulacion-tanque-Cilindrico#download www.dfa.uv.cl/~jura/Fisica_I/semana_XIII_2.pdf www.monografias.com/...pdf4/ecuacion-bernoulli/ecuacion-bernoulli www.bdigital.unal.edu.co/6542/10/9589532349_Parte4.pdf 200.13.98.241/~rene/balances/manuales/dinamico.pdf iqtma.uva.es/introiq/apuntes/iiq_5_balances_materia_r_n_e.pdf https://www5.uva.es/guia_docente/uploads/2012/.../Documento7.pdf www3.uclm.es/profesorado/giq/contenido/fund.../Tema_4.pdf www.fing.edu.uy/iq/cursos/iaiq/materiales/BalancesMasa.pdf


http://www.monografias.com/...pdf4/ecuacion-bernoulli/ecuacion-bernoulli

http://www.dfa.uv.cl/~jura/Fisica_I/semana_XIII_2.pdf

http://es.scribd.com/doc/90708752/Trabajo-de-Simulacion-tanque-Cilindrico#download

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Torricelli



ANEXO

trabajo final de simulacion de descarga de tanques

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