secuencias didácticas - matemáticas

Secuencias Didcticas

http://secuencias.educ.ar/[05/02/2011 18:29:41]

Introduccin al modelo 1 a 1 e-books Galera de Arte argentino

Acerca de | Crditos

Ciclo bsico Ciclo orientado Ciclo bsico Ciclo orientado Ciclo bsico Ciclo orientado Ciclo bsico Ciclo orientado Ciclo bsico Ciclo orientado

Ciclo bsico Ciclo orientado Ciclo bsico Ciclo orientado Acceder Ciclo bsico Ciclo orientado Acceder

SD: Ciclo bsico

http://secuencias.educ.ar/course/category.php?id=17[05/02/2011 18:30:11]

Buscar en las secuencias:


Inicio Matemtica / Ciclo bsico

Angulos determinados por dos rectas paralelas y una recta secante

Angulos y circunferencias

Aplicacin de derivadas I

Aproximacin de nmeros decimales

Area de polgonos regulares y no regulares

Area del crculo

Areas de rectngulos cuadrados paralelogramos y tringulos

Asntotas de una funcin

Congruencia entre tringulos

Continuidad

Divisibilidad

Ecuacin de la circunferencia

Ejes cartesianos y lectura de grficos

El caleidoscopio y las simetras

Expresiones algebraicas

Expresiones decimales finitas y peridicas

Fracciones y expresiones decimales

Funcin cuadrtica en el bsquet

Acerca de | Crditos

SD: Ciclo bsico


Funcin exponencial

Funcin inversa

Funcin trigonomtrica

Funciones polinmicas

Homotecia

Lenguaje simblico y regularidades numricas

Logaritmos y propiedades

Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ngulo

Medicin y clasificacin de ngulos

Mediciones de superficies

Medidas y pasajes de unidades

Mtodos analticos y grficos para la resolucin de ecuaciones lineales con dos incgnitas

Notacin cientfica

Nmeros enteros

Nmeros irracionales

Nmeros irracionales y operaciones

Nmeros Primos

Nmeros racionales positivos

Operaciones bsicas con fracciones

Operaciones con nmeros naturales

Planteo de ecuaciones de primer grado con una incgnita

SD: Ciclo bsico


Propiedades de las potencias

Puntos notables de un tringulo

Puntos rectas y planos

Races de un polinomio

Races racionales de un polinomio y Teorema de Gauss

Sistema de numeracin

Sistema sexagesimal de ngulos

Suma de los ngulos interiores de un polgono

Ttulo Resolucin de inecuaciones

Tringulos elementos y clasificacin

Tringulos rectngulos y relacin pitagrica.

Ubicacin de nmeros irracionales en la recta numrica

SD: Ciclo orientado


Buscar en las secuencias:


Inicio Matemtica / Ciclo orientado

Anlisis de funciones polinmicas

Anlisis de funciones racionales

Angulos determinados por dos rectas paralelas y una recta secante

Angulos y circunferencias

Aplicacin de derivadas I

Aplicaciones de la funcin cuadrtica

Aproximacin de nmeros decimales

Area de polgonos regulares y no regulares

Area del crculo

Areas de rectngulos cuadrados paralelogramos y tringulos


Composicin de funciones

Concepto e interpretacin grfica del lmite de una funcin en un punto

Congruencia entre tringulos

Cnicas parte I

Cnicas parte II

Cnicas parte III

Cnicas parte IV

Acerca de | Crditos

SD: Ciclo orientado


Continuidad

Derivada de funciones compuestas y regla de la cadena

Derivada de funciones y reglas de derivacin

Derivada segunda de una funcin

Derivadas

Divisibilidad

Divisibilidad y factores de un polinomio


Ejes cartesianos y lectura de grficos

El caleidoscopio y las simetras

Expresiones algebraicas

Expresiones decimales finitas y peridicas


Funcin cuadrtica en el bsquet

Funcin exponencial

Funcin exponencial parte

Funcin inversa

Funcin trigonomtrica

Funciones polinmicas

Homotecia

Identidades trigonomtricas

SD: Ciclo orientado


Introduccin a las funciones homogrficas

Lenguaje simblico y regularidades numricas

Logaritmos y cambio de base

Logaritmos y propiedades

Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ngulo

Medicin y clasificacin de ngulos

Mediciones de superficies

Medidas y pasajes de unidades

Mtodos analticos y grficos para la resolucin de ecuaciones lineales con dos incgnitas

Notacin cientfica

Nmeros complejos

Nmeros complejos nmeros imaginarios

Nmeros enteros

Nmeros irracionales

Nmeros irracionales y operaciones

Nmeros Primos

Nmeros racionales positivos

Operaciones bsicas con fracciones

Operaciones con nmeros naturales

Operaciones con nmeros reales

Planteo de ecuaciones de primer grado con una incgnita

Propiedades de las potencias

SD: Ciclo orientado


Puntos notables de un tringulo

Puntos rectas y planos

Races de un polinomio

Races racionales de un polinomio y Teorema de Gauss

Sistema de numeracin

Sistema sexagesimal de ngulos

Suma de los ngulos interiores de un polgono

Ttulo Resolucin de inecuaciones

Tringulos elementos y clasificacin

Tringulos rectngulos y relacin pitagrica.

Ubicacin de nmeros irracionales en la recta numrica

Informacin: Netbooks en el aula

http://secuencias.educ.ar/mod/resource/view.php?id=1194[05/02/2011 18:30:40]

Inicio -


Acerca de | Crditos

Introduccin al modelo 1:1

Introduccin al modelo 1:1 e ideas para trabajar en el aula/ es un manualdesarrollado por el ministerio de Educacin de la Nacin y educ.ar en el marcode Conectar Igualdad, a fin de acercar a todos los docentes argentinos unaserie de ideas y estrategias para la integracin de las computadoras porttilesen las prcticas de enseanza.

Ver (formato PDF) Descargar (formato ZIP)

Coleccin Fascculos Digitales: Competencias en TIC

http://competenciastic.educ.ar/[05/02/2011 18:30:48]

Compartir

index | educarte

http://arteargentino.educ.ar/[05/02/2011 18:30:53]

La propuesta comprende un conjunto de obras dediferentes perodos histricos y problemticasestticas. El objetivo es diversificar y problematizarla concepcin actual del arte, con un abordaje apartir de ncleos temticos que consideramosimportante trabajar en la escuela hoy.

La obras seleccionadas forman parte en su granmayora de las colecciones pblicas del MuseoNacional de Bellas Artes (MNBA) y el Museo deArte Contemporneo de Rosario (MACRO).Tambin se han incluido obras de la coleccin delMalba-Fundacin Costantini, y otros proyectos deartistas colectivos e individuales.

Secuencias Didcticas

http://secuencias.educ.ar/index.php[05/02/2011 18:31:01]


Acerca de | Crditos

Ciclo bsico Ciclo orientado Ciclo bsico Ciclo orientado Ciclo bsico Ciclo orientado Ciclo bsico Ciclo orientado Ciclo bsico Ciclo orientado

Ciclo bsico Ciclo orientado Ciclo bsico Ciclo orientado Acceder Ciclo bsico Ciclo orientado Acceder

797: Angulos determinados por dos rectas paralelas y una recta secante


Inicio - Matemtica / Ciclo bsico


ngulos determinados por dos rectas paralelas y una recta secanteAutores: Mercedes Sens Hourcade, Javier Pea y Rodrigo Weber

Responsable disciplinar: Sebastin Vera

rea disciplinar: Matemtica

Temtica: ngulos determinados por dos rectas paralelas y un recta secante

Nivel: Secundario, ciclo bsico

Secuencia didctica elaborada por Educ.ar

Propsitos generales

Promover el uso de los equipos porttiles en el proceso de enseanza y aprendizaje.

Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusin y el intercambio entre pares, la realizacin en conjunto de la propuesta,la autonoma de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.

Estimular la bsqueda y seleccin crtica de informacin proveniente de diferentes soportes, la evaluacin y validacin, elprocesamiento, la jerarquizacin, la crtica y la interpretacin.

Introduccin a las actividades

En la siguiente secuencia analizaremos las relaciones que hay entre los pares de ngulos que se forman entre dos rectas paralelascortadas por una transversal, y sus propiedades.

Objetivo de las actividades

Que los alumnos:Reconozcan los ngulos segn su ubicacin entre paralelas cortadas por una transversal.

Estudien la relacin que hay entre los diferentes pares de ngulos segn su ubicacin.

Calculen la amplitud de los ngulos determinados por dos rectas paralelas y una transversal

Objetivos pedaggicos

Actividad 1

1) Visiten los siguientes links para conocer las relaciones que existen entre los pares de ngulos que se forman cuando dos rectasparalelas son cortadas por una recta secante, y sus propiedades.

Relaciones importantes

ngulos y rectas paraleas

2) A partir de lo ledo en los links anteriores, realicen la actividad que se presenta a continuacin. Para ello utilicen el programaGeogebra instalado en sus equipos porttiles.

a) Dibujen una recta (utilicen la opcin de rectas que pasan por dos puntos); luego dibujen una recta, que sea paralela a la anterior(utilicen la opcin de rectas paralelas) y por ultimo otra recta que corte a las dos anteriores (utilicen la opcin de rectas que pasan pordos puntos).

b) Indiquen, en la figura anterior, los ngulos que se piden a continuacin:

-un par de ngulos alternos internos;

-un par de ngulos alternos externos;

-un par de ngulos correspondientes;

-un par de ngulos conjugados internos;

-un par de ngulos conjugados externos;

c) Comparen los pares de ngulos anteriores, indicando en qu casos son iguales y en qu casos son distintos. Para los que sondistintos, hallen la relacin que hay entre ellos.

Acerca de | Crditos

PDF



d) Con sus palabras, redacten una conclusin en la que expliquen las relaciones y propiedades que existen entre los pares de ngulosque se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra recta secante.

Actividad 2

1) Hallen el valor de los ngulos que se especifican en cada figura:

2) Entre todos discutan:

a) Qu resultado se obtiene si se suman los ngulos interiores del tringulo que se forma en la segunda figura? Se puede afirmar quela suma de los ngulos interiores de un tringulo es la misma para cualquier tringulo?

b) Cmo podran aplicar alguna de las propiedades de los ngulos entre paralelas (analizadas anteriormente) para demostrar estapropiedad?

Actividad de cierre

1) Hallen el valor de cada ngulo interior en cada una de las siguientes figuras y justifiquen su respuesta:

2) A partir de lo visto en el tem anterior, discutan con sus compaeros y el docente:

a) Cul es la suma de los ngulos interiores de esos cuadrilteros?

b) Cul es la suma de los ngulos interiores del rombo?

Justifiquen sus respuestas utilizando los conceptos vistos en esta unidad.

Enlaces de inters y utilidad para el trabajo



ngulos y rectas paralelas

Pares de ngulos formados por una transversal que corta lneas

ngulos y rectas paraleas

Webgrafa recomendada

ngulos formados por una recta y por una transversal

ngulos determinados por rectas paralelas determinadas por una secante

799: Angulos y circunferencias




ngulos y circunferenciasAutores: Mercedes Sens Hourcade, Javier Pea y Rodrigo Weber



Temtica: Reconocer los ngulos centrales, inscriptos y semi-inscriptos en unacircunferencia. Exploracin y validacin sus propiedades



Propsitos generales





En esta secuencia nos dedicaremos a estudiar los ngulos de una circunferencia, y veremos qu relacin hay entre un ngulo central yel inscripto al mismo arco.

Objetivos de las actividades

Que los alumnos:Encuentren la relacin existente entre un ngulo central y el ngulo inscripto que abarca el mismo arco de circunferencia.

Encuentren la relacin existente entre un ngulo central y el ngulo semi-inscripto que abarca el mismo arco de circunferencia.

Encuentren la relacin que hay entre los ngulos inscripto y semi-inscripto que abarcan el mismo arco de circunferencia.


Actividad 1

1) Ingresen al siguiente link para comprender qu es el ngulo central y qu es el ngulo inscripto de una circunferencia.a) A partir de lo ledo, expliquen con sus palabras qu diferencias existen entre el ngulo central y el inscripto de una circunferencia.b) En el programa Geogebra, instalado en sus equipos porttiles, grafiquen una circunferencia y marquen un ngulo central y sucorrespondiente inscripto (como se indica ms abajo). Luego, respondan: qu relacin hay entre el ngulo inscripto y el central?Para la construccin del ngulo inscripto y el central, tengan en cuenta los siguientes pasos:

Hagan clic en el cono de circunferencia y seleccionen la opcin comps. .

Luego marquen otro punto (este ser el centro de la circunferencia) y presionen Enter para fijar la circunferencia. Asconstruimos la circunferencia.

Acerca de | Crditos

PDF



Ahora queremos construir el ngulo central. Para ello presionen sobre el cono recta que pasa por dos puntos y

seleccionen la opcin segmento dados dos puntos y construyan un segmento cuyosextremos sean (1) el centro de la circunferencia y (2) un punto perteneciente a ella. Repitan el paso anterior seleccionandootro punto de la circunferencia.

As queda determinado el ngulo central, y as es como tienen que verlo:

Ahora construiremos el ngulo inscripto. Para ello, repitan el paso anterior pero tengan en cuenta que el ngulo inscripto esaquel cuyo vrtice pertenece a la circunferencia y que los lados abarcan el mismo arco que el central, tal como se muestra enlas siguientes secuencias:

Hasta ac lo que hicimos fue construir un ngulo inscripto. Ahora queremos medir la amplitud de cada ngulo. Para ello

presionamos el cono ngulos y seleccionamos la opcin de ngulo a partir de tres puntos. Luego nos dirigimos algrfico y medimos la amplitud, primero del ngulo central, considerando el primer punto (B), luego el centro de lacircunferencia y el tercer punto (A).



Para medir el ngulo inscripto repetimos el paso anterior, pero en el siguiente orden: primero el punto B, segundo el punto C ypor ltimo el punto A.

2) Investiguen en Internet o en otras fuentes a qu se denomina ngulo semi-inscripto de una circunferencia.3) Utilicen el programa Geogebra, instalado en sus equipos porttiles, para construir una circunferencia en la que se muestre el ngulocentral y un ngulo semi-inscripto. Qu relacin hay entre el ngulo inscripto y el semi-inscripto que abarcan el mismo arco decircunferencia?

Actividad 2

1) Utilizando el programa Geogebra, construyan una circunferencia (recuerden los pasos de la actividad anterior):Tracen un dimetro de extremos A y B y marquen un punto que pertenezca a la circunferencia pero que no pertenezca aldimetro y llmenlo C.

Tracen un ngulo con vrtice en C que pase por los puntos A y B (recuerden los pasos de la actividad anterior). Cul es laamplitud del ngulo que qued determinado?

Muevan de lugar el punto C. Cmo es la amplitud del ngulo que qued determinado en este caso?

2) Discutan con sus compaeros y saquen una conclusin respecto a la amplitud de los ngulos inscriptos que abarquen el dimetro de lacircunferencia.

Actividad de cierre

Hallen el valor de los ngulos inscriptos o semi-inscriptos en cada una de las siguientes figuras:


ngulos en la circunferencia, en Wikipedia



ngulos en la circunferencia, en Vitutor

ngulos en una circunferencia, en Descartes

Circunferencia

ngulos en la circunferencia, en Roble

775: Aplicacin de derivadas I




Aplicacin de derivadas IAutor: Rodrigo Weber



Temtica: Anlisis de funciones, mximos y mnimos. Ceros de una funcin

Nivel: Secundario, ciclo orientado


Propsitos generales





En esta secuencia trabajaremos con la aplicacin de derivadas en el marco de la resolucin de problemas. A travs de las reglas dederivadas, los alumnos podrn plantear diferentes clculos para resolver distintos problemas y verificar la validez del resultado obtenido,dentro del contexto del problema.


Que los alumnos:Analicen situaciones y resuelvan problemas para comprender la utilidad de las derivadas de una funcin.

Interpreten la nocin de derivadas analtica y grficamente por medio de ejercicios de aplicacin.

Calculen mximos y mnimos de una funcin utilizando su derivada.


Actividad 1

El instrumento matemtico bsico para medir la razn de cambio de una funcin es su derivada. La derivada de una funcin en unpunto representa la razn de cambio instantnea de esa funcin para ese valor de la variable independiente. En problemasdemogrficos y econmicos, en lugar de derivada se utiliza el trmino tasa o valor marginal. En problemas de fsica, qumica, biologa,etc., se suele hablar de velocidad y de rapidez. Mientras que la expresin razn de cambio es utilizada en todas las disciplinas.

1) Visiten los siguientes links y analicen los ejemplos que proponen:

Derivadas, aplicaciones, optimizacin

Aplicaciones: clculos mximos y mnimos

a) Luego, grafiquen las funciones que se presentan a continuacin utilizando el programa graficador Geogebra, disponible en susequipos porttiles.

b) Calculen las derivadas de las funciones del tem anterior para encontrar mnimos, mximos y ceros.

Acerca de | Crditos

PDF

775: Aplicacin de derivadas I


Actividad 2

1) Analicen y desarrollen las siguientes situaciones, en las cuales aparece el concepto de derivada:

a) Supongamos que estamos analizando un ro en el que ingresan desechos qumicos segn la siguiente expresin: g(t) = 0 2t2 + 3 8t

g(t) representa la cantidad de deshechos en toneladas que se han vertido al ro despus de t das.

b) Utilizando el programa Geogebra, instalado en sus equipos porttiles, grafiquen la funcin g(t).

c) Por medio de una funcin, expresen la velocidad con que ingresan los desechos qumicos al ro.

d) Utilicen el programa Geogebra para realizar el grfico de la funcin de velocidad hallada en el tem anterior V(t).

e) Con qu velocidad aumenta la cantidad de deshechos al cabo de una semana?

f) Hallen los mximos y los mnimos de la funcin V(t).

2) Un grupo de amigos hinchas de Boca que van todos los domingos a la cancha, quiere disear una bandera azul, con la franja del

medio amarilla, de 14 metros de permetro. Y quieren que el rea de la parte azul sea de 9 m2, pero quieren que la franja amarillatenga el mayor ancho posible sin alterar los valores antes mencionados.

a) Cules deben ser las dimensiones de la bandera para que se cumplan esas condiciones? Utilicen la calculadora cientfica instaladaen sus equipos porttiles para realizar los clculos necesarios.

b) Hagan un dibujo mostrando posibles medidas de la bandera. Para ello, pueden utilizar algn programa de ilustracin.

c) Si el largo tiene que ser mayor que el alto, cmo va a quedar la franja?, vertical u horizontal?

Actividad de cierre

1) En el depsito de la escuela hay 60 m de listones de madera con los que se quiere construir un arenero de forma rectangular. Ladirectora quiere que el arenero tenga la mayor superficie posible para que los chicos lo aprovechen mejor.

a) Qu medidas debe tener el arenero?

Hagan un dibujo mostrando posibles medidas del arenero utilizando un programa ilustrador. Empleen la calculadora cientfica instaladaen sus equipos porttiles para realizar los clculos necesarios.

2) Discutan con el docente la utilidad que tienen las derivadas para resolver diferentes situaciones.


Aplicacin de derivadas

Videotutoriales de Geogebra

Introduccin a las funciones en Geogebra

Funciones Geogebra


Aplicaciones de las derivadas

Aplicaciones de la derivada

Derivada, en Wikipedia

801: Aproximacin de nmeros decimales




Aproximacin de nmeros decimalesAutores: DanielBrizuela, Javier Peay Sebastin Vera

Responsabledisciplinar:Sebastin Vera

rea disciplinar:Matemtica

Temtica: Nmerosdecimales

Nivel: Secundario,ciclo bsico

Secuencia didcticaelaborada porEduc.ar

Propsitos generales





Los nmeros decimales representan un punto concreto en la recta numrica. En muchas ocasiones realizamos clculos matemticos enlos que debemos tomar decisiones que parten de nuestra propia experiencia. A veces, nuestras decisiones no coinciden con las quetoma otra persona en las mismas circunstancias. Parece absurdo realizar esta afirmacin justamente en el campo de las matemticas,donde se supone que trabajamos en el rea de las ciencias exactas.


Redondear un nmero decimal con parmetros aceptados por la comunidad cientfica.

Operar con nmeros decimales aproximados


Impulsar el uso de los equipos porttiles en el proceso de enseanza y aprendizaje.

Estimular la capacidad de resolver operaciones aproximadas con el menor error posible.

Incitar la bsqueda y seleccin crtica de informacin proveniente de diferentes soportes, la evaluacin y validacin, elprocesamiento, la jerarquizacin, la crtica y la interpretacin.

Actividad 1

1) Formen grupos de cuatro alumnos. A los integrantes los llamaremos alumno A, alumno B, alumno C y alumno D. Cada grupotomar una hoja en blanco.

Acerca de | Crditos

PDF

801: Aproximacin de nmeros decimales


2) El alumno A medir con una regla los cuatro lados de la hoja en blanco con la mayor exactitud posible, utilizando obligatoriamentedos decimales en su medicin. Lo anotar en su carpeta. Luego el alumno B realizar la misma operacin. Luego el alumno C y,por ltimo, el alumno D. Todos los miembros del grupo habrn medido los lados de la hoja en blanco y los habrn registrado ensus carpetas. (No vale mirar el registro de sus compaeros!)

3) Cada alumno calcular el permetro de la hoja (recuerden que el permetro es la suma de todos los lados).

4) Comparen los resultados. Coinciden exactamente?

5) Discutan entre ustedes los motivos por los que el resultado que cada integrante del grupo obtuvo no coincide.

Las conclusiones alcanzadas por ustedes abren un tema muy importante en el campo de las matemticas: el concepto de error,estimacin del error al realizar una medicin, variables que intervienen al realizar observaciones y registrar medidas, etctera.

Actividad 2

Ahora trabajaremos con ejercicios matemticos en los que no tengamos que realizar mediciones. Supongamos entonces que el errorque se produce al medir; entonces, como no vamos a medir, el error ya no existe. Veamos:

1) Cada uno de los integrantes del grupo debe resolver las siguientes operaciones. Para hacerlo, pueden utilizar la calculadora cientficaque est disponible en sus equipos porttiles. Expresen el resultado con solo tres decimales.

2 : 3 + 8 : 7 + 6 + 1,43 x 0,58 + 6,4 : 3 =

1,5 x 0,478 + 1 : 9 + 5,2 : 6 + 8 =

2) Obtuvieron el mismo resultado en los dos ejercicios?

Actividad de cierre

Aqu tendremos que establecer algunas pautas que permitan a todos los operadores resolver los ejercicios con las mismas consignas.

1) Establezcan en el grupo las pautas para redondear los nmeros decimales y resuelvan la actividad 2 con las consignas establecidaspor ustedes.

2) Vuelvan a hacer la actividad 2 pero utilizando cuatro decimales.

3) Busquen en Internet o en enciclopedias, manuales, etc., informacin sobre modelos aceptados matemticamente para redondearnmeros decimales.

Como conclusin, podemos afirmar que, al trabajar con nmeros, podemos cometer errores no solo al medir sino tambin al redondear.Al primer tipo de error se lo denomina error de medicin y al segundo, error por aproximacin. Ambos temas pueden ser investigadospor ustedes y tenerlos en cuenta al momento de realizar operaciones matemticas.

Links de inters y utilidad para el trabajo

Redondeo de nmeros

Redondeo

Fraccin decimal

Errores en las mediciones

803: Area de polgonos regulares y no regulares




rea de polgonos regulares y no regularesResponsable disciplinar: Sebastin Vera


Autores: Miguel Serrano y Javier Pea

Temtica: rea de polgonos regulares y no regulares



Propsitos generales





En esta seccin se trabajar con polgonos regulares y no regulares. En las actividades, los alumnos realizarn procedimientos para elclculo de reas, y se construirn las frmulas segn la necesidad para resolver situaciones problemticas, entendiendo que no es elnico camino para la resolucin de las mismas.


Que los alumnos:

Analicen conjeturas sobre relaciones y propiedades geomtricas y numricas.

Reconozcan reas de figuras planas.

Analicen, comparen y debatan sobre las distintas situaciones problemticas y elijan las soluciones fundamentando el resultadoobtenido.


Actividad 1

1) Utilicen el programa Geogebra, instalado en sus equipos porttiles, para construir un hexgono regular. Para ello utilicen el comando

polgono regular y divdanlo en tringulos:

a) En cuntos tringulos qued dividido el hexgono?

b) Cmo calcularan el rea de este polgono?

2) Ingresen al siguiente link para comprender cmo se calcula el rea de un polgono regular.

a) A partir de lo ledo escriban una ecuacin o frmula general para calcular el rea de un polgono regular.

b) Utilicen la frmula propuesta para calcular el rea de:

Un pentgono regular de lado 5 cm y apotema 2,5 cm.

Un decgono regular de 3 cm de lado y apotema 1,2cm.

c) Calculen el rea y el permetro de un pentgono regular de 7 cm de lado.

f) Calculen el rea y el permetro de un heptgono regular inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.

Acerca de | Crditos

PDF



Actividad 2

1) Utilizando la calculadora cientfica, instalada en sus equipos porttiles, y reunidos en grupos de dos o tres alumnos, resuelvan lossiguientes ejercicios:

a)Cunto vale el rea de la parte sombreada de la figura, si el rea del hexgono es de 96 cm?

b) Encuentren el rea del siguiente polgono irregular:

Actividad de cierre

1) El rea de un polgono irregular se puede obtener triangulando el polgono y sumando el rea de esos tringulos.

A = T1 + T2 + T3 + T4

a) Calculen el rea total de la figura anterior sabiendo que T1 = 10 cm2, T2 = 12 cm2, T3 = 12,7 cm2 y T4 = 16 cm2.

b) Utilizando la calculadora cientfica instalada en sus equipos porttiles resuelvan el siguiente ejercicio:

La figura que ven a continuacin representa el terreno de una finca, que se vende a razn de $50 el metro cuadrado. Hallen elcosto de cada parcela y el costo total.


Polgonos, tringulos, cuadriteros, permetros y reas



rea de polgonos regulares

Polgonos, reas


Polgono regular

Polgono

805: Area del crculo




rea del crculoAutores: Miguel Serrano y Javier Pea



Temtica: rea del crculo y aplicaciones



Propsitos generales





En esta seccin, se trabajar con el rea de un crculo. En las actividades, los alumnos realizarn procedimientos para obtener lafrmula o expresin general del rea de un crculo. Luego aplicarn esta frmula para resolver diferentes situaciones problemticas,entendiendo que no es el nico camino para la resolucin de ellas.


Que los alumnos:

Interpreten y reconozcan el rea del crculo.


Analicen, comparen y debatan sobre las distintas situaciones problemticas y elijan las soluciones, fundamentando el resultadoobtenido.

Actividad 1

1) Discutan las siguientes preguntas junto con su docente:

Qu es el dimetro y el radio de una circunferencia?

Cul es la expresin general o frmula para calcular el permetro de una circunferencia?

De dnde sale el nmero Pi?

Cul es la diferencia entre la circunferencia y el crculo?

Pueden profundizar estos temas en el siguiente link:

Polgonos regulares y crculos.

2) Analicen el siguiente video para comprender cmo se obtiene la frmula o expresin matemtica del rea de un crculo.

3) Con base en lo que observaron en el video anterior, analicen y resuelvan las siguientes cuestiones:

a) El rea del crculo se deduce sabiendo que la superficie interior de cualquier polgono regular es igual al semiproducto entre la

apotema y el permetro

del polgono, es decir:

Acerca de | Crditos

PDF



Si consideramos que el permetro de un crculo es igual a la longitud ; de su circunferencia, podemos decir que:

Entonces, a qu es igual la apotema?

b) Utilicen los datos del tem a) para rescribir la frmula del rea de un crculo colocando los nuevos conceptos.

c) Utilicen el anlisis hecho en los tems anteriores para completar las siguientes igualdades entre las expresiones matemticas, yexpliquen con sus palabras cmo se obtiene el rea de un crculo.

Actividad 2

1) Utilizando la calculadora de sus equipos, calculen el rea de un hexgono, un isodecgono y un tetracontgono. Luego, calculen elrea del crculo que contiene los polgonos anteriores y comprenla con cada rea de estos ltimos.

a) Qu resultado se aproxima ms al rea del crculo?

b) Por qu sucede esto?

Pueden utilizar el link de la Actividad 1 (Polgonos regulares y crculos) para profundizar estos temas.

Actividad de cierre

1) En grupos de dos o tres alumnos, analicen y resuelvan las siguientes situaciones. Utilicen la calculadora cientfica de sus equipospara realizar todos los clculos.

a) Calculen el rea de la parte sombreada considerando que el radio del crculo mayor mide 8 cm, y el radio de los crculospequeos, 2 cm.

b) En el centro de un parque que tiene forma circular 600 m de radio hay una fuente, tambin de forma circular, cuyo radio esde 7 m de radio. Calculen el rea de la zona de paseo.

c) En una plaza de forma circular de radio de 250 m se van a poner 7 farolas, cuyas bases son crculos de un 1 m de radio; en elresto de la plaza van a sembrar csped. Calculen el rea del csped.

2) Analicen los siguientes videos en lo que se cuentan algunas historias sobre el nmero Pi:

Universo matemtico: 2 historias de Pi 1/5

Universo matemtico: 2 historias de Pi 2/5

a) Utilicen el procesador de texto de sus equipos para redactar un resumen de lo analizado.




rea de un crculo, en Youtube

Relacin entre circunferencia y dimetro, en Youtube


Permetro de un crculo

rea de un crculo

Polgonos

807: Areas de rectngulos cuadrados paralelogramos y tringulos




reas de rectngulos, cuadrados, paralelogramos y tringulosResponsable disciplinar: Sebastin Vera


Autores: Miguel Serrano y Javier Pea

Temtica: rea de los polgonos

Nivel: Secundaria, ciclo bsico


Propsitos generales





En esta secuencia los alumnos trabajarn con figuras planas tales como el rectngulo, el cuadrado, el paralelogramo y el tringulo.


Que los alumnos:


Reconozcan reas de figuras planas.

Analicen, comparen y debatan sobre las distintas situaciones problemticas, y que elijan las soluciones fundamentando elresultado obtenido.


Actividad 1

El concepto de rea esta relacionado con el espacio o la porcin de tierra que seencuentra delimitada por ciertos lmites. Para lageometra, un rea es la superficie comprendida dentro del permetro de una figura.

1) Reunidos en grupos de dos o tres alumnos, miren el siguiente video. En l se explica con mayor profundidad el concepto de rea,cules son sus unidades y cmo se determina el rea de diferentes figuras geomtricas.

2) Utilizando el procesador de textos disponible en sus equipos porttiles, redacten un resumen de lo que visto en el video, para ellotengan en cuenta las siguientes cuestiones:

a) Quines fueron los primeros en trabajar con el concepto de rea y para qu lo necesitaban?

b) Cmo se puede medir el rea de una figura?

c) Quines son, en la actualidad, los que se encargan de medir las superficies de los campos o terrenos? Qu instrumentos utilizan?

d) Expliquen con sus palabras cmo se calcula el rea de las siguientes figuras: rectngulo, paralelogramo y tringulo.

3) Ingresen al siguiente link para verificar cmo se realiza el clculo del rea del rectngulo, del paralelogramo y del tringulo, yescriban la ecuacin.

a) A partir de lo analizado en el tem anterior en los dos tems anteriores, escriban la ecuacin o frmula que les permite calcular elrea de: cuadrado, rectngulo, paralelogramo, tringulo, rombo y trapecio.

Acerca de | Crditos

PDF

807: Areas de rectngulos cuadrados paralelogramos y tringulos


Actividad 2

Utilizando la calculadora cientfica instalada en sus equipos porttiles resuelvan las siguientes actividades:

1) Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura. Calculen:

a) El rea del campo.

b) El precio del campo si el metro cuadrado cuesta $350.

2) Calculen el nmero de cermicos cuadrados de 10 cm de lado que se necesitan para cubrir una superficie rectangular de 4 m de basey 3 m de altura.3) Hallen el rea de un tringulo rectngulo issceles cuyos lados miden 10 cm cada uno.

4) Calculen el nmero de rboles que pueden plantarse en un terreno rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho si cada plantanecesita para desarrollarse 4 m.

5) Calcular el rea de un paralelogramo cuya altura mide 2 cm y su base mide 3 veces ms que su altura.

Actividad de cierre

1) Utilizando la calculadora cientfica instalada en sus equipos porttiles calculen el rea sombreada de cada figura:

2) Inventen y redacten una situacin el la que necesiten calcular el rea de las siguientes figuras: tringulo y rectngulo;paralelogramo; trapecio; pentgono regular.


Cmo calcular el rea de un polgono

Frmula del rea de un tringulo

rea del cuadrado

real del rectngulo


Algunas ideas para ensear geometra

Permetros y reas de los polgonos

Anexo: figuras geomtricas

Paralelogramo

Superficie y rea

777: Asntotas de una funcin




Asntotas de una funcinAutores: Rodrigo Weber, Javier Pea y Daniel Brizuela



Temtica: Asntotas verticales y horizontales



Propsitos generales





En esta secuencia se trabajar el concepto de asntota de una funcin. En las actividades los alumnos determinarn grfica yanalticamente las asntotas de diferentes funciones


Que los alumnos:

Analicen y comprendan la nocin de asntotas horizontales y asntotas verticales.

Interpreten la nocin de asntotas analtica grficamente.

Justifiquen y validen distintos conceptos analtica o grficamente.


Actividad 1

Si trabajaron con lmites infinitos, se habrn encontrado con rectas horizontales, verticales u oblicuas, y que las grficas de lasfunciones se acercaban muchsimo a ellas sin llegar a tocarlas. Estas rectas se denominan asntotas verticales, horizontales u oblicuas.

1) Visiten los siguientes links:


Asntotas

2) Luego, respondan:

a) A qu se denomina asntota de una funcin?

b) Qu condiciones se deben cumplir para que existan las asntotas horizontales y verticales de una funcin?

c) Escriban un ejemplo de una funcin que cumpla con las siguientes condiciones en cada caso:

o que no posea ninguna asntota;

o que posea una asntota horizontal;

o que tenga una asntota vertical;

o que tenga una asntota horizontal y una vertical.

3) Utilicen el programa Winplot o el programa Geogebra, instalados en sus equipos porttiles, para graficar las funciones propuestas encada caso.

Acerca de | Crditos

PDF

777: Asntotas de una funcin


Actividad 2

1) Utilizando el programa Winplot o el programa Geogebra, grafiquen las siguientes funciones y escriban las ecuaciones de las asntotasverticales y horizontales de cada una:

Actividad de cierre

1) Respondan verdadero o falso. Justifiquen todas sus respuestas.

o Las funciones continuas no pueden tener asntotas.

o Una funcin puede tener ms de una asntota vertical.

o Todas las funciones logartmicas tienen asntotas verticales.

o Las funciones sen (x) tienen asntota horizontal porque nunca son mayores a 1.

o Las funciones del tipo f(x) = 1 : (ax2 + bx + c) siempre tienen asntota vertical.


Asntotas

Asntotas, en Matemtica

Asntotas verticales, horizontales y oblicuas de una funcin

Asntotas, en Vitutor

Asntota, en Wikipedia

809: Congruencia entre tringulos




Congruencia entre tringulosAutores: Mercedes Sens Hourcade, Javier Pea y Rodrigo Weber



Temtica: Criterios de congruencia entre tringulos



Propsitos generales





En esta secuencia trabajaremos con congruencias de tringulos. Tendremos en cuenta los requisitos necesarios para verificar si dostringulos son congruentes. Para ello, primero trabajaremos con construcciones realizadas con regla y comps, y luego utilizaremos elprograma Geogebra.


Que los alumnos:Construyan figuras de anlisis usando diferentes niveles de precisin en el trazado.

Resuelvan problemas con figuras planas.

Produzcan y validen conjeturas

Produzcan y analicen construcciones geomtricas considerando las propiedades involucradas y las condiciones para suconstruccin.


Actividad 1

1) Argumentar la validez de los siguientes enunciados. Si hay alguno falso, justificar con un contraejemplo:a) Es posible construir un nico tringulo sabiendo la medida de dos ngulos.b) Es posible construir un nico tringulo sabiendo la medida de un lado y los ngulos adyacentes a ese lado.c) Se puede construir un nico tringulo sabiendo la medida de dos lados.d) Se puede construir un nico tringulo sabiendo la medida los tres lados.2) Utilizando regla y comps, construir un tringulo. Sabiendo que dos de sus lados miden 3 cm y 5 cm, determinen un ngulo de 50.Calquen el tringulo que construyeron y superpnganlo con el que hicieron dos o tres de sus compaeros. Cmo son los tringulos?3) Completen la siguiente tabla:

Datos para la construccin de tringulos El tringulo construido es nico?Dos ngulosUn lado y los ngulos adyacentes a ese ladoDos ladosTres ladosDos lados y el ngulo comprendido.

Acerca de | Crditos

PDF

809: Congruencia entre tringulos


4) Entre todos debatan la siguiente pregunta: cules son los criterios que permiten verificar que dos tringulos son congruentes?

Actividad 2

1) Utilizando el programa Geogebra, instalado en sus equipos porttiles, construyan tringulos que cumplan con los siguientes datos:Las longitudes de los lados son: 4 cm, 5 cm y 7 cm.

Las longitudes de los lados son 5 cm y 6 cm, y el ngulo comprendido es de 60.

2) Verifiquen cmo son estos tringulos con respecto a los de sus compaeros.

Actividad de cierre

1) Demostrar que:a) La altura de un tringulo issceles acutngulo divide al tringulo en dos tringulos congruentes.b) La diagonal de un rectngulo lo divide en dos tringulos congruentes.


Primer caso de congruencia de tringulosSegundo caso de congruencia de tringulosTercer caso de congruencia de tringulos

779: Continuidad




ContinuidadAutores: Rodrigo Weber, Javier Pea y Daniel Brizuela



Temtica: Continuidad. Definicin de continuidad. Discontinuidad evitable y esencial



Propsitos generales





En esta secuencia se trabajar con la definicin de continuidad de una funcin desde el anlisis geomtrico y el analtico. A travs de lasherramientas de continuidad, los alumnos podrn plantear diferentes estrategias para hallar su solucin y verificar la validez delresultado obtenido, ya sea grfica o analticamente.


Que los alumnos:

Reconozcan y calculen funciones continuas y discontinuas analtica y grficamente.

Estudien la continuidad de una funcin y clasifiquen sus discontinuidades.


Actividad 1

Las funciones continuas son aquellas cuyo grfico puede realizarse con un trazo continuo, que no pega saltos ni tiene agujeros.

1) Visiten los siguientes links para conocer el concepto de funcin continua:

Continuidad y discontinuidad de una funcin

Lmites y continuidad

2) A partir de lo visto en los links, y en grupos de dos o tres alumnos, expliquen con sus palabras las siguientes cuestiones:

a) Grficamente, qu significa que una funcin sea continua en un punto? Den un ejemplo de una funcin que sea continua en x = 5 yotra que no lo sea en ese mismo punto. Para ello utilicen el programa Geogebra o el programa Winplot, ambos instalados en susequipos porttiles.

b) Qu casos de discontinuidad puede presentar una funcin? Den un ejemplo en cada caso. Utilicen el programa Geogebra paragraficar la funcin propuesta en cada caso.

c) Desde el punto de vista analtico, qu condiciones deben cumplirse para que una funcin sea continua en un punto?

Actividad 2

1) Indiquen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifiquen sus respuestas. En los casos en que la respuesta seafalsa, den un contraejemplo. Para responder utilicen el procesador de textos instalado en sus equipos porttiles y, en caso de tener quehacer algn grfico, empleen el programa Geogebra, tambin instalado en sus equipos porttiles.

La existencia del lmite es condicin necesaria para que una funcin sea continua en un punto.

La existencia del lmite es condicin necesaria para que una funcin sea continua en un punto.

Para que una funcin presente una discontinuidad no evitable de salto finito debe verificarse obligatoriamente que no exista el

Acerca de | Crditos

PDF

779: Continuidad


lmite de esa funcin en ese punto.

La funcin es discontinua en x = 2.

Las funciones polinmicas de cualquier grado son siempre continuas para cualquier valor de x.

Las funciones logartmicas f(x) = log (ax + b) son siempre continuas para cualquier valor de x.

Todas las funciones cuadrticas f(x)= ax 2 + bx + c son continuas para cualquier valor de x.

Actividad de cierre

1) Clasifiquen la discontinuidad de las funciones presentadas a continuacin para los valores que se piden en cada caso. Utilicen elprograma Geogebra o el programa Winplot, ambos instalados en sus equipos porttiles, para graficar cada funcin y tener una mayorapreciacin del tipo de discontinuidad que presenta cada una.


Lmites y continuidad

YouTube - Continuidad de una funcin a trozos

YouTube - Dominio de una funcin a trozos

YouTube - Continuidad de una funcin a trozos

http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/2.3.pdf

Estudio de la continuidad de una funcin

811: Divisibilidad




DivisibilidadAutores: Javier Pea y Daniel Brizuela



Temtica: Divisibilidad, m. c. m., m. c. d.



Propsitos generales





En esta seccin se trabajar el concepto de divisin entera con nmeros naturales. Para ello se proponen diferentes actividades en lascuales los alumnos debern identificar y relacionar mltiplos y divisores de un nmero natural. Adems debern calcular el m. c. m. yd. c. m. de diferentes nmeros naturales y resolver problemas en los que tengan que aplicar conceptos de divisibilidad.


Reconocer mltiplos y divisores.

Utilizacin de nmeros primos y compuestos.

Saber calcular el m. c. m. y m. c. d. para la resolucin de problemas.


Actividad 1

Si una persona da pasos de 70 cm, podr cubrir una distancia de 490 cm? Ahora bien, la misma persona podra cubrir en unacantidad exacta de pasos otra distancia de 520 cm? Para llegar a deducir las respuestas a estas preguntas, se utiliza el concepto dedivisibilidad entre dos cantidades. Este tema tuvo su origen en el pasado, de la mano de algunas civilizaciones antiguas. Acontinuacin vern un pequeo video relacionado con el concepto de divisibilidad.

1) Calculen todos los mltiplos de 17 comprendidos entre 800 y 860.

2) Descompongan en factores primos los siguientes nmeros: 55; 74; 216; 360; 432.

3) Factoricen 342 y calculen la cantidad de divisores.

4) La divisibilidad brinda la oportunidad de conocer los nmeros amigos, que son aquellos pares de nmeros tales que la suma delos divisores de uno (sin considerar el mismo nmero) da como resultado el otro nmero. Utilizando la calculadora que tienendisponible en sus equipos porttiles, determinen si 220 y 284 son nmeros amigos.

5) Cuntos pares de nmeros amigos puede haber? Investiguen en Internet, en manuales o enciclopedias quines fueron losprimeros en trabajar con este tipo de nmeros.

6) Calculen el m. c. d. y m. c. m. de:

12 y 26

428 y 376

Acerca de | Crditos

PDF

811: Divisibilidad


148 y 156

-600 y 1000

7) En grupos de cuatro o cinco y utilizando el procesador de textos disponible en los equipos porttiles, realicen la siguiente tabla ycompleten con una cruz segn corresponda (usen criterios de divisibilidad):

es mltiplo de

n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

210

450

777

2520

Actividad de cierre

Tambin en grupos discutan y resuelvan las siguientes situaciones:

1) Si se tienen 2 tirantes de madera de 500 cm y de 450 cm de longitud y se quiere cortar en trozos iguales de la mayor longitudposible, sin que sobre madera:

a) Cul ser la longitud que deber medir cada trozo?

b) Cuntos trozos pueden obtenerse de cada tirante?

2) Un hombre viaja a Tucumn cada 20 das y otro cada 30 das. Si se encontraron el 21 de enero en ese lugar, cul ser lafecha en la que se volvern a encontrar en dicho lugar?


M. C. D.

M. C. M.

Mltiplo de un nmero

Divisores de mltiplos naturales

Webgrafa

La enseanza de la divisibilidad

Divisibilidad

813: Ecuacin de la circunferencia




Ecuacin de la circunferenciaAutores: Mercedes Sens Hourcade, Javier Pea y Rodrigo Weber



Temtica: Ecuacin de la circunferencia



Propsitos generales





En esta secuencia trabajaremos la ecuacin de la circunferencia teniendo en cuenta su centro y su radio.


Que los alumnos:Reconozcan la ecuacin de la circunferencia a partir del centro y del radio.

Analicen las variaciones de la ecuacin de la circunferencia a medida que vara el radio.

Analicen las variaciones de la ecuacin de la circunferencia a medida que vara el centro.

Reconozcan la circunferencia como lugar geomtrico.


Actividad 1

La circunferencia es una de las figuras geomtricas ms utilizadas en la historia de la humanidad. Si quisiramos definirlamatemticamente, podramos decir que es el conjunto de puntos que estn en un mismo plano y que equidistan de otro punto llamadocentro.1) Ingresen al siguiente link para comprender el concepto de circunferencia y su ecuacin general.2) A partir de lo ledo en el link anterior escriban la ecuacin general de una circunferencia con centro en el origen de coordenadas. Enqu vara la ecuacin si el centro es el punto (1; 2)?3) Utilicen el programa Geogebra, instalado en sus equipos porttiles, para construir las siguientes circunferencias:a) De centro (0; 0) y radio 1.b) De centro (0; 0) y radio 2.c) De centro (0; 0) y radio 3.4) Luego completen la tabla que se presenta a continuacin:

Centro Radio Ecuacin(0; 0) 1(0; 0) 2(0; 0) 3

5) Escriban la ecuacin de la circunferencia que figura a la izquierda de la pantalla, debajo del ttulo objetos dependientes.a) Cmo ser la ecuacin de la circunferencia si el radio es 5?

Acerca de | Crditos

PDF



Actividad 2

1) Utilizando el programa Geogebra, instalado en sus equipos porttiles, construyan las siguientes circunferencias y luego completen latabla que figura abajo con la ecuacin de la circunferencia que se muestra en el lado izquierdo de la pantalla del programa, debajo delttulo objetos dependientes.

Centro Radio Ecuacin(0;3) 2(0;-3) 2(4;0) 2(-4;0) 2

2) Ingresen al siguiente link y luego respondan:a) Cmo sera la ecuacin de la circunferencia en el caso en que el centro est ubicado en el punto (1; 2) y tenga radio 2?b) Verifiquen la respuesta de la pregunta anterior utilizando el programa Geogebra.

Actividad de cierre

1) Utilizando el programa Geogebra, construyan dos circunferencias: una de centro (0; 0) y de radio 2, y la otra de centro (2; 0) y deradio 1.

a) Luego hallen el punto de interseccin entre ambas. Para ello utilicen la opcin el cono punto , y hagan clic sobre la opcin

interseccin de dos objetos . Luego sealen con el puntero del mouse el punto de interseccin de lasdos circunferencias. Al costado izquierdo de la pgina aparecern las coordenadas del punto de interseccin buscado.



b) A qu distancia est cada uno de los puntos del centro de ambas circunferencias? Por qu?



Circunferencia

Ms rectas y circunferencias

Progresando en el conocimiento de la circunferencia

Circunferencia y crculo



815: Ejes cartesianos y lectura de grficos




Ejes cartesianos y lectura de grficosAutores: Mercedes Sens Hourcade y Sebastin Vera



Temtica: Ubicacin de puntos en el sistema de ejes cartesianos, lectura de grficos



Propsitos generales





En esta seccin trabajaremos con el sistema de ejes cartesianos. En las actividades los alumnos analizarn cmo se trabaja en estesistema de coordenadas. Ubicarn e interpretarn diferentes puntos en el plano cartesiano, y luego analizarn y construirn grficossencillos, utilizando el programa GeoGebra.


Que los alumnos:Conozcan el sistema de ejes cartesianos.

Ubiquen puntos en un sistema de ejes cartesianos utilizando las coordenadas cartesianas.

Lean e interpreten diferentes grficos.

Actividad 1

Desde tiempos muy remotos el hombre necesit confeccionar mapas y cartas geogrficas para poder orientarse. Para ubicar una figurao un punto en un plano hace falta un sistema de referencia. En estas actividades trabajaremos con un sistema de referencia, conocidocomo sistema de ejes cartesianos.

1) Ingresen en el siguiente link para saber cmo se trabaja y se ubican puntos en el sistema de ejes cartesianos.

2) Con base en lo analizado en el link anterior, utilicen el programa de texto de sus equipos porttiles para contestar las siguientespreguntas:

a) Expliquen con sus palabras qu es el sistema de ejes cartesianos. Para qu se lo utiliza? Quin fue el inventor de estesistema?

b) Dibujen un sistema de ejes cartesianos indicando:

El origen de coordenadas,

El eje de las abscisas y el de las ordenadas.

c) Expliquen cmo se representa un punto en este sistema de coordenadas y ubiquen los siguientes puntos:

A = (-4,2), B = (3, -1), C = (-2,-6), D = (4, 6), P = (1;5); Q = (1,-5); R = (-1;-5); S = (-1;5)

d) Indiquen en qu cuadrante se ubica cada punto del tem c).

Acerca de | Crditos

PDF



e) Escriban las coordenadas de cada punto ubicado en el siguiente sistema de coordenadas:

3) Utilicen el programa GeoGebra para ubicar todos los puntos del tem c). Los siguientes videos les servirn de ayuda para comprendercmo se ubican puntos en este programa:

Introduccin a GeoGebra

GeoGebra: puntos y polgonos

Actividad 2

1) Utilizando el programa GeoGebra, ubiquen los siguientes puntos: A = (0;1), B = (3;5), C = (-2;7), D = (-5;-3).

a) Unan los puntos anteriores con segmentos en el siguiente orden: ABCDA. Qu figura qued determinada? Cuntos lados tiene?

2) Utilizando el programa GeoGebra, construyan los siguientes polgonos e indiquen las coordenadas de los vrtices:

un rombo

un paralelogramo

un trapecio issceles

un romboide

3) Utilicen el programa GeoGebra para representar:

a) Dos puntos M y N, tal que sus abscisas sean nmeros opuestos.

b) Dos puntos P y Q, tal que la ordenada de P sea el doble de la ordenada de Q.

c) Tres puntos con abscisa -1.

d) Todos los puntos con abscisa -1.

e) Todos los puntos de ordenada 5.

Actividad de cierre

1) Analicen la siguiente situacin:

Enrique sale de su casa y se dirige hacia el almacn, compra un paquete de yerba y luego retoma el camino hacia su casa, cuando pasapor el quiosco se detiene a comprar un chocolate, y luego vuelve a su casa.

El siguiente grfico representa la cantidad de cuadras recorridas por Enrique en funcin de los minutos que estuvo fuera de su casa.



2) Respondan las siguientes preguntas:

a) Durante cunto tiempo Enrique estuvo fuera de su casa?

b) A cuntas cuadras le queda el negocio que est ms lejos de su casa?

c) Cunto tiempo estuvo en el almacn?

d) Cuntas cuadras hay entre el almacn y el quiosco?

e) En qu tiempo estuvo a una cuadra de su casa?

3) Utilicen el programa GeoGebra para construir un grfico que represente la siguiente situacin:

Luca sale de su casa y llega a la plaza, que est a 7 cuadras, en 10 minutos; se queda ah durante 30 minutos y luego se dirige a lacasa de su amiga, que queda a 5 cuadras de la plaza y a 12 de su casa; en la casa de su amiga se queda durante una hora y luegoregresa a su hogar.


Localizacin de coordenadas con valores enteros

Coordenadas cartesianas


Coordenadas cartesianas

Videotutoriales de GeoGebra

817: El caleidoscopio y las simetras




El caleidoscopio y las simetrasAutor: Fernando Luis Maffuche



Temtica: Simetra



Propsitos generales





Actividades para descubrir imgenes simtricas y movimientos en el interior del caleidoscopio.


Brindar informacin a travs de imgenes obtenidas en el interior del caleidoscopio.

Investigar y trabajar sobre estos efectos, con el propsito de estimular la reflexin crtica.

Promover el uso de los equipos porttiles en el proceso de enseanza-aprendizaje.

Estimular el trabajo en grupo y el intercambio de ideas.

Desarrollar la manipulacin fina y la creatividad.

Descubrir la presencia de la Matemtica, en este caso particular de la Geometra, en la vida cotidiana.


Actividad 1: Construccin de un caleidoscopio

Un caleidoscopio (del griego kals: bella; idos: imagen y scopo: observar) es un tubo que contiene tres espejos que formanun prisma triangular con su parte reflectante hacia el interior, al extremo de los cuales se encuentran dos lminas traslcidas entre lascuales hay varios objetos de color y forma diferente, cuyas imgenes se ven multiplicadas simtricamente al ir girando el tubo mientrasse mira por el extremo opuesto.Dichos espejos pueden estar dispuestos a distintos ngulos: a 45 de cada uno se generan ocho imgenes duplicadas; a 60 se observanseis duplicados; y a 90, cuatro.Aunque lo ms comn es que un caleidoscopio est integrado por tres espejos, tambin puede construirse con dos o ms de tres para

Acerca de | Crditos

PDF



conseguir distintos tipos de efectos. El caleidoscopio moderno fue inventado en 1816 por el fsico escocs David Brewster.

Materiales necesarios:

3 espejos de forma rectangular (aproximadamente de 4 cm x 20 cm);

cinta adhesiva;

papelitos de distintos colores o lentejuelas;

1 hoja de papel de calcar n. 3;

1 hoja canson n. 5 de color oscuro.

Procedimiento:

1) Coloquen los espejos de forma tal que formen un tringulo como se indica en las fotografas y pguenlos con la cara brillantehacia adentro.

2) Corten un tringulo de cartulina y otro de papel de calcar del tamao de las bases, como muestra la imagen a continuacin.

3) Peguen el tringulo de papel de calcar en una de las bases. Por el extremo abierto, coloquen las lentejuelas o papelitos de distintoscolores, como se ve en la imagen.

4) Realicen un orificio en el centro del tringulo de cartulina que pegaron en la otra base. Vean la imagen siguiente.

5) Orienten el caleidoscopio hacia una fuente de luz, muvanlo lentamente, observen por el orificio y a asombrarse!



Recomindenles a sus alumnos que, como trabajo previo a la construccin del caleidoscopio, busquen informacin en Internet o en otrasfuentes sobre las distintas clases de caleidoscopios que existen. Y durante el desarrollo de la construccin realicen distintos momentos depuesta en comn para enriquecer el trabajo.

Actividad 2: Observacin de las distintas imgenes que se forman en el interior del caleidoscopio

El objetivo de esta actividad es que los alumnos puedan relacionar el instrumento realizado con la Geometra.

1. Qu tipo de simetras observaron en las figuras que se encuentran en el interior del caleidoscopio?

2. En el interior del caleidoscopio, existe el movimiento de traslacin? Por qu?

Actividad de cierre

1) Saquen fotografas de las imgenes internas que se forman en el instrumento (puede ser con la webcam de los equipos porttileso con otro dispositivo) y realicen una presentacin de las fotos obtenidas con el programa de presentacin de imgenes o de edicinde videos, indicando en cada una de ellas qu tipo de simetra o movimiento se observa en la foto.

Actividad 3

1) Con las herramientas de dibujo del procesador de textos disponible en sus equipos porttiles, dibujen:

a) un logotipo de alguna marca que posea eje de simetra;

b) una seal de trnsito que posea centro de simetra.

2) Piensen nombres de pases de Europa que, ubicados como en el ejemplo, sean simtricos respecto del eje E.

819: Expresiones algebraicas




Expresiones algebraicasAutores: Sebastin Vera y Javier pea



Temtica: Expresiones algebraicas



Propsitos generales





En este espacio se intentar interpretar expresiones matemticas en las que nmeros y letras se disponen de tal forma que permitenformular problemas y establecer leyes en el rea. En las actividades, los alumnos trabajarn con el uso de letras para generalizarpropiedades geomtricas y numricas. Adems interpretarn frmulas y expresiones algebraicas sencillas.


Que los alumnos:Reconozcan e interpreten frmulas y expresiones algebraicas.

Utilicen las expresiones algebraicas para representar y generalizar propiedades geomtricas y numricas.

Realicen operaciones bsicas con expresiones algebraicas.

Identifiquen y desarrollen algunos productos notables como el cuadrado de un binomio.

Acerca de | Crditos

PDF

821: Expresiones decimales finitas y peridicas




Expresiones decimales finitas y peridicasAutores: Sebastin Vera, Rodrigo Weber y Javier Pea



Temtica: Pasaje de una expresin decimal finita o peridica a unafraccin



Propsitos generales





En esta seccin trabajaremos con el pasaje de nmeros decimales finitos o peridicos a una fraccin. En las actividades los alumnospodrn pasar de una fraccin a su expresin decimal, y la clasificarn en finitas y peridicas, dependiendo del resto obtenido al dividirel numerador de la fraccin por su denominador. Tambin se abordar el problema inverso, es decir, dado un decimal finito o peridico,pasarlo a su representacin fraccionaria. Por ltimo se trabajar con diferentes situaciones de la vida cotidiana que involucren distintasoperaciones con este tipo de nmeros decimales.


Que los alumnos:Reconozcan los decimales finitos y peridicos (puros o mixtos).

Expresen una fraccin como nmero decimal.

Expresen un nmero decimal como fraccin.

Resuelvan diferentes situaciones que involucren operaciones con nmeros decimales finitos y peridicos.

Actividad 1

Sabemos que toda fraccin puede escribirse como un nmero decimal, para ello solo hay que dividir el numerador por el denominadorde dicha fraccin.

Por ejemplo:

(Comprubenlo haciendo la divisin entre el numerador y el denominador.)

En este caso el cociente es un nmero decimal exacto porque, despus de varios pasos, el resto de la divisin es 0.

1) Qu otros tipos de nmeros decimales podemos obtener al dividir el numerador y el denominador de una fraccin? Dividan losnumeradores y denominadores de las siguientes fracciones:

Acerca de | Crditos

PDF



a) Qu sucedi con el resto en cada una de las divisiones anteriores? Recuerdan cmo se llaman los decimales obtenidos en cadadivisin? Ingresen en el siguiente link para repasar y profundizar este tema.

b) Con base en lo analizado en el link anterior, expliquen con sus palabras qu es un decimal finito, un decimal peridico puro y undecimal peridico mixto.

Actividad 2

1) En grupos de dos o tres alumnos, analicen la siguiente informacin:

El promedio de goles por partido en el mundial de Sudfrica 2010 apenas super al de Italia 1990, considerado como el ms bajo detoda la historia, con 2, 1 goles por partido.

a) Si en el mundial de Sudfrica se marcaron 145 goles en 64 partidos, cul es el promedio de gol por partido? Es un nmerodecimal finito o peridico?

b) Este promedio est muy por debajo del mximo obtenido en el mundial de Suiza en 1954, donde se convirtieron 140 goles en 26partidos. Cul fue el promedio de gol por partido en este mundial? Es un nmero decimal finito o peridico?

c) Cmo podran calcular la diferencia entre el promedio de goles por partido entre el mundial de Sudfrica en 2010 y el de Suizaen 1954? Cul sera el promedio de goles entre estos dos mundiales? Y entre los tres mundiales? Planteen todos los clculos queconsideren necesarios y discutan su respuesta con los dems grupos y el docente.

d) Una forma prctica de resolver el clculo anterior es pasar cada nmero decimal a una fraccin. Ingresen en el siguiente linkpara comprender cmo se realiza el pasaje de un decimal finito o peridico a una fraccin.

e) Con base en lo analizado en el link anterior, escriban un resumen en el programa Writer, incorporado en sus equipos porttiles.Expliquen, brevemente, cmo se pasa un nmero decimal a una fraccin. Distingan entre decimal finito, peridico puro y mixto.Muestren un ejemplo en cada caso.

f) Utilicen el resumen del tem e) para pasar a fraccin, los promedios de gol por partido obtenidos en a) y b), y luego realicen losclculos pedidos en el tem c). Usen la calculadora cientfica instalada en sus equipos porttiles para comprobar los resultados.

Actividad 3

Analicen y resuelvan las siguientes situaciones. Utilicen la calculadora cientfica para realizar todos los clculos necesarios.

1) Un coche lleva una velocidad constante de 105,3 km / h.

a) Despus de 4 horas y 35 minutos, cuntos kilmetros habr recorrido?

b) Despus de cuntos minutos habr recorrido 335 km?

2) Un campo de dimensiones rectangulares mide 135, 53 m de largo y 55,97 m de ancho.

a) Cuantos metros de alambre debemos comprar para cercar el terreno?

b) Si el rollo de 10 metros de alambre cuesta $55,05, cuntos rollos de alambre tenemos que comprar? Cunto gastaremos entotal?

Actividad de cierre

1) Discutan las siguientes preguntas y justifiquen su respuesta:

a) Es posible que 0,9 = 1? y 2,39 = 2,4?

b) Sabemos que toda fraccin o nmero racional puede escribirse como un decimal finito o peridico, pero ser posible escribircualquier nmero decimal como una fraccin? Existirn nmeros decimales que no se puedan escribir como una fraccin?Investiguen sobre este tema en diferentes pginas de Internet y discutan lo analizado junto con el docente.


Nmeros decimales

Nmeros decimales, en Descartes

Decimales

Matemtica 2, unidad 1 Nmeros decimales

823: Fracciones y expresiones decimales




Fracciones y expresiones decimalesResponsable disciplinar: Sebastin Vera


Autores: Miguel Serrano, Javier Pea y Daniel Brizuela

Temtica: Expresiones decimales finitas y peridicas



Propsitos generales





En esta seccin se trabajar con el pasaje de una fraccin a su representacin decimal. Para ello los alumnos trabajarn con diferentesactividades en las cuales podrn clasificar las distintas expresiones decimales, obtenidas de la divisin entre el numerador y eldenominador de una fraccin (finita, peridica pura o mixta). Adems, podrn analizar cuando una fraccin tiene una expresin decimalfinita o peridica.


Pasaje de una fraccin a su expresin decimal.

Analizar en que casos una fraccin tiene una expresin decimal exacta o una peridica.

Comparar y debatir sobre las distintas situaciones problemticas y elegir las soluciones fundamentando el resultado obtenido.

Utilizar, para la resolucin de problemas, el entorno tecnolgico.


Actividad 1

Toda fraccin puede expresarse en forma de nmero decimal. Para poder hacerlo, hay que dividir el numerador por su denominador.

1) Obtengan las expresiones decimales de las siguientes fracciones y comprueben sus resultados utilizando la calculadora cientficainstalada en sus equipos porttiles:

2) Junto con su docente discutan las siguientes cuestiones:

a) En qu se diferencian las expresiones decimales obtenidas en cada fraccin?

Acerca de | Crditos

PDF



b) Cmo se pueden clasificar?

3) Para profundizar este tema les recomendamos ingresar a los siguientes links:

Paso de fraccin a decimal

Expresin decimal

4) Luego de leer la informacin dada en los links anteriores, clasifiquen cada expresin obtenida en el tem 1 como: expresindecimal exacta, expresin peridica pura o expresin peridica mixta.

Actividad 2

1) Construyan la siguiente tabla en el programa de hojas de clculos, instalado en sus equipos porttiles, y completen las filas quefaltan:

Fraccin Significado Resultado NotacinTipo de expresin

decimal

19 : 90 0,21111 peridica mixta

17 : 10 1,7 1,7 exacta

10 : 33 0,3030 peridica pura

2) Descompongan los denominadores de cada una de las fracciones dadas en el tem 1 de esta actividad en factores primos.

3) Qu relacin observan entre los factores primos de cada denominador y la expresin decimal de cada fraccin? Justifiquen su respuesta ydebtanla junto con el docente.

Actividad de cierre

1) Investiguen en sitios de Internet u otras fuentes las siguientes cuestiones:

a) Quines fueron los primeros matemticos en trabajar con expresiones decimales? Por qu necesitaban trabajar con este tipo de expresiones?

b) Toda fraccin se puede escribir como un nmero decimal: finito, peridico o mixto. Ser posible escribir cualquier nmero decimal como unafraccin?




Expresin decimal de nmeros racionales


Expresiones decimales, fraccin generatriz y notacin cientfica

Nmeros decimales


Nmeros decimales, un poco de historia

781: Funcin cuadrtica en el bsquet




Funcin cuadrtica en el bsquetAutores: Martn Miguel Prez y Ana Vernica Veltri



Temtica: Funcin cuadrtica

Nivel: Secundario, ciclo bsico y ciclo orientado


Propsitos generales





Esta secuencia permite el abordaje de los siguientes temas: Aplicacin de las funciones cuadrticas a la ecuacin de la trayectoria deuna pelota de bsquet en un tiro libre (ideal), e interpretacin de los parmetros que intervienen en la frmula de la funcin.

Para poder realizar las actividades presentadas a continuacin, es necesario que los alumnos manejen las relaciones trigonomtricas yla frmula de la funcin cuadrtica.


Actividad 1: Presentacin de la funcin e identificacin de los parmetros

Se trabajar con base en la funcin f (x) = Ax2 + Bx + C. Sin embargo, atendiendo a las condiciones iniciales del tiro libre de bsquetque corresponde a un tiro oblicuo, debe considerarse que:

A se relaciona con la aceleracin de la gravedad, la velocidad inicial y el ngulo de tiro medido respecto de la horizontal;

B se relaciona con el ngulo de tiro;

C representa la altura desde la que parte la pelota que depende de la altura del basquetbolista.

En estas condiciones, la ecuacin de la trayectoria de la pelota de bsquet en el tiro libre es:

Se puede aproximar la gravedad a 10 m/s2.

1) Dentro de esta frmula, identifiquen los parmetros A, B y C.

2) Qu parmetros de la ecuacin cuadrtica varan al modificar la velocidad de tiro al momento del lanzamiento? Y si se modificala altura de tiro? Y si ahora cambia el ngulo de tiro?

Si trabajan en coordinacin con un docente de Fs

secuencias didácticas - matemáticas

Documents