PROCESODE ANALISIS JERARQUICO (AHP)El proceso de Anlisis Jerrquicofue desarrollado por Thomas L. Saaty en1980 (The Analytic Hierarchy Process ).Esta metodologa esta diseada para resolver problemas de criterios mltiples.Para utilizar el AHP el decisor o el conjunto de decisores proporcionen evaluaciones subjetivas con respecto a la importancia relativa de cada uno de los criterios y luego especificalapreferenciaconrespecto a cada una alternativa de decisin y para cada criterio.El AHP es la jerarquizacin con prioridad que muestra la preferencia global para cada una de las alternativas de decisin.La ventaja del AHP es que es posible incorporar aspectos cuantitativos, los cuales por su complejidad no pueden ser medidos y quedan fuera del anlisis.El AHP mediante la construccin de un modelo jerrquico, nos permite de una manera eficiente y grafica organizar la informacin de un problema, descomponerla y analizarla por partes, visualizar los efectos de los cambios en los nivelesyresumir.PodemosdecirqueelAHP trata con pares ordenados de prioridades de importancia, preferencia o probabilidad de pares de elementos en funcin de un atributo o criterio comn representado en la jerarqua de decisin.ESTABLECIMIENTO DE PRIORIDADES CON AHPEl AHPsolicitaael (los) decisores sealar unapreferenciaounaprioridadcon respecto a cada alternativa de decisin de manera que contribuya de cada criterio.Teniendo la informacin sobre la importancia relativa y las preferencias, se utiliza el proceso matemtico denominado sntesis para resumir la informacin y proporcionar unajerarquizacindeprioridadesdelasalternativasentrminosdeunapreferencia global.COMPARACIONE S PAREADAS Estas comparaciones son la base principal del AHP.ElAHPutilizaunaescalasubyacente(oculta/ debajode)convaloresde1a9para calificar laspreferencias relativas de dos elementos. As tenemos:ESCALA DE PREFERENCIASMATRIZ DE COMPARACION PAREADAEs una matriz cuadrada que contiene las comparaciones pareadas de las alternativas criterios.Sea una matriz A de orden n n donde +Z n , seaj ia un elemento de dicha matriz para n j n i ., ,......... 3 , 2 , 1 ; ,..... 3 , 2 , 1 .Decimos que A es una matriz de comparaciones pareadas de n alternativas entonces, el elementoj iaes la medida de la preferencia de la alternativa enla filai cuando se compara con la alternativa de la columna j.Se dice que cuando i = j el valor de 1 j ia, pues se est comparando la alternativa consigo misma.INTENSIDAD DEFINICIONEXPLICACION 1Igual Importancia Lasdos actividades contribuyen igualmente para el objetivo 3Importancia pequea de una sobre otraUna es dbilmente ms importante que la otra. La experienciay el juicio favorece fuertemente una actividad en relacion a la otra 5Importancia grande esencialLa experiencia juicio favorece fuertemente una actividad en relacion a otra .7Importanciamuy grande demostrada Una actividad es muy fuertemente favorecida en relacion a otra. Puede ser demostrada en la practica 9Importancia absoluta La evidencia favoreceuna actividad en relacion a otra , con mas alto grado de seguridad 2, 4,6 , 8Valores intermedios Cuando se busca una condicion de compromiso entre dos definiciones Supongamos que un valor 8 significa que el uno esta entre fuerte y absolutamente mas importante que el otro 11111111]1

1 . . . . . . . .... . . . . . . . 1. . . . . . . . 1. . . . . . . 11 2 11 3 2 3 11 1 3 2 11 1 3 1 2n n nnnna a aa a aa a aa a aASe cumple que 1 i j j ia a.Por la condicin de juicios. SiA es una matriz de comparaciones pareadasse cumple que i jj iaa1. Entonces:111111111]1

1 . . . . . . . .1 1 1... . . . . . . . 11. . . . . . . 11 2 11 1 32 11 1 3 1 2n n nnna a aa aaa a aASINTESISDespus de elaborar la matriz comparaciones pareadas se procede a calcular la prioridad de cada uno de los elementos que se comparan a esta parte del AHP se le conoce como sintetizacin. El proceso matemtico para realizar este paso de sintetizacin implica los clculos de valores y vectores caractersticos. A continuacin presentamos un procedimiento de tres pasos que proporciona una buena aproximacin de las prioridades sintetizadas.PROCEDIMIENTO PARA SINTETIZAR JUICIOSPASO 1: Sumar los valores de cada columna de la matriz de comparaciones pareadas.PASO 2:Dividircadaelementodetal matrizentreel total desucolumna; ala matriz resultante se le denomina matriz comparaciones pareadas normalizada.PASO 3: Calcular el promedio de los elementos de cada regln de las prioridades relativas de los elementos que se comparan.MATRIZDE PRIORIDADESSe considera las prioridades de cada criterio en trminos de la metaglobal:

META GLOBALCriterio 1Criterio 2Criterio n11111111]1

''2'1mPPP

Donde m= Numero de criterios y 'iP m i , 2 , 1 es la prioridad del criterio icon respecto a la meta global.Denominaremos matriz deprioridades alaqueresume las prioridades paracada alternativa en trminos de cada criterio.Astenemos que para m criterios y n alternativas: Donde j iPes la prioridad de la alternativaicon respecto al criterio j, para m j n i , 2 , 1 , , 2 , 1 Tenemos que la prioridad global de cada alternativa de decisin se resume con el vector columna que resulta del producto de la matriz de prioridades con el vector de prioridades de los criterios.Criterio 1 Criterio 2 Criterio mAlternativa 11111111]1

n m n nnnP P PP P PP P P2 12 2 2 2 11 1 2 1 1Alternativa 2Alternativa n1111]1

11111]1

11111]1

nnm n n n nmmP gP gP gPPPP P P PP P P PP P P P21''2'13 2 12 3 2 2 2 2 11 3 1 1 2 1 1DondeiPges la prioridad global respecto a la meta global de la alternativa i, donde n i , , 2 , 1 .CONSISTENCIAUna consideracin importante en trminos de la calidad de la decisin final se refiere a la consistenciade los juicios que el tomador de decisiones muestra en el transcurso de la serie de comparaciones pareadas.Debemos sealar que la consistencia perfecta es difcil de lograrla, pues los juicios son rendidos por seres humanos.El AHP nos ofrece un mtodo para medir el grado de consistencia entre las opiniones pareadas que proporciona el decisor .As tenemos:a) Si el grado de consistencia es aceptable, puede continuarse con el proceso de decisin.b) Siel gradodeconsistenciaesinaceptable, quientomalasdecisionesdebe reconsiderar y posiblemente modificar sus juicios sobre las comparaciones pareadas antes de continuar con el anlisis.Matemticamente diremos que una matriz de comparacin Ade ordenn nes consistente sik i k j j ia a a para n k j i .... , 2 , 1 , , Por lo tanto de la propiedad anteriorse requiere que todas las columnas como todas las filas de una matriz A, sean linealmente dependientes.En particular las columnas de cualquier matriz de comparacin 2x2son dependientes y por lo tanto una matriz de 2x2 siempre es consistentePara determinar si el nivel de consistencia es o no razonable es necesario desarrollar unamedidacuantificableparalamatrizdecomparacinAdeordenn nn, donde n= Nmero de alternativas comparadas.Sesabequesi lamatriz es perfectamenteconsistenteproduceunamatriz n nNnormalizada de elementos j iw donde i, j = 1,2,n., tal que todas sus columnas son iguales, es decir:1111]1

n n n nw w w ww w w ww w w wN2 2 2 21 1 1 1Entonces la matriz de comparacin correspondiente A, se puede determinar a partir de N; es decir dividiendo los elementos de la columnai poriw. Tenemos as: Nota: n nNes una matriz normal normalizada si :N N N NT T .111111111]1

1112 1212121wwwwwwwwwwwwAn nnnDe la definicin de A tenemos:111111111]1

111111111]1

111111111]1

111111111]1

n n n n nnnwwwnw nw nw nwwwwwwwwwwwwwww2121212 1212121111Entonces diremos que A es consistente si solo si W n W A Donde W= Vector columna de pesos relativosiw , n i .... , 2 , 1 se aproxima con el promedio de los n elementos de la fila de la matriz normalizada N. Haciendo Wel estimado calculado, se puede demostrar que: W n W AmaxDonden n max . Veremos en este caso entre ms cercana sea maxnanms consistente ser la matriz de comparacin A.Como resultado el AHP calcula la razn de la consistencia (RC) que es el cociente de ndice de consistencia de A por el ndice de consistencia aleatorio.A IC IRC Donde IC= ndice de consistencia de A y lo podemos calcular de la siguiente manera:1maxnn nICEl valor de maxnse calcula de W n W Amax observando que la i-esima ecuacin es: Dadoque1, 2 , 1 ,1max1 niiinji j iwn i w n w a

,_

niniinji j iw n w a1 1max1Es decir significaqueel valor demaxnsedeterminaal calcular primeroel vector columna de A y luego sumando sus elementos.I A = Es el ndice de consistencia aleatoria de A, es el ndice de consistencia de una matriz de comparacin pareadas que son generadas de manera aleatoria.Podemos probar que el IA depende del nmero de elementos que se comparan y asume los siguientes valores: N de elementos que se comparan1 23 4 5 6 7 8 9 10ndice Aleatorio de Consistencia (IA)0 0 0.58 0.89 1.11 1.24 1.32 1.40 1.45 1.49Pero existen autores que sugieren la siguiente estimacin para IA.( )nnA I2 98 . 1 Se calcula la raznde consistencia (RC = Consistency Ratio)A IC IC R Veremos que la razn cociente est diseado para que los valores sean:a) Mayores que0.10, sonseal dejuicios inconsistentes, es probablequeel tomador de decisiones desee reconsiderar y modificar los valores originales de la matriz de comparaciones pareadas.b) Si son menores o iguales que 0.10 son seal de un nivel razonable de consistencia en las comparaciones pareadas.Entonces: A IC IC R Donde 10 . 0 C R: Consistencia Razonable10 . 0 > C R: InconsistenciaEjemplo 1Rosa enfrenta un problema de decisin sobre la adquisicin de un automvil. Despus de un anlisis preliminar de las marcas y modelos de varios autos usados .Rosa redujo su lista de alternativas a tres automviles: Un Honda, un Kiay un Chevrolet.Rosa decidi que los siguientes criterios eran relevantes para su proceso de decisin de seleccin del automvil.a) Preciob) Millas por galnc) Comodidadd) Estilo Se cuenta con la siguiente informacin sobre los tres automviles:ALTERNATIVAS DE DECISIONCARACTERISTICASHONDA KIA CHEVROLETPrecio$13 100 $ 11 200 $9 500ColorNegroRojoAzulMillas por galon 19 23 28Interior De lujo Por encima del Promedio Estandar CompactoTipo de carrocera Mediano de cuatro puertas Deportivo de dos puertas Compacto de dos puertasSistema de sonidoAM/FM, cinta , CD AM/FM AM/FM

Vemos que los datos con respecto al PRECIOy a las MILLAS POR GALON, estn dados en la tabla anterior, pero las medidascomo COMODIDAD y ESTILO no puedenespecificarse directamente, para estoes necesario considerar factores tales como: Interior del auto, el tipo de sistema de sonido, la facilidad para entrar, ajuste del asiento y visibilidad del conductor para determinar el nivel decomodidad de cada auto.El criterio de Estilo tendr que basarse en la evaluacin subjetiva de Rosa del color y la apariencia general de cada auto.Pero aun cuando el criterio precio puede medirse con facilidad, la subjetividad se vuelve unproblema parael tomador dedecisiones; pues los precios delos autos dependerndel estadofinancieroylaopininsubjetivadelapersonaquehacela comparacin.ELABORACION DE JERARQUIASComo primer paso: Elaborar una representacin grafica del problema en funcin de la meta global., los criterios a ser usados y las alternativas de decisin. La cual describe la jerarquapara el problema. Como segundo paso: Establecer prioridades usando AHP.En este segundo paso veremos como AHP usa comparaciones en pares, expresados por el tomador de decisiones, para establecer prioridades tanto para los criterios como para las alternativas de decisin basadas en cada criterio.Tenemos ahora como el AHP determina las prioridades de cada uno de los siguientes puntos:1) Como contribuyen los cuatro criterios a la meta global de seleccionar el mejor automvil2) Como se comparan los tres autos usando el criterio del precio3) Como se comparan los tres autos usando el criterio de economa del combustible (Millas por galn)4) Como se comparan los tres autos usando el criterio de comodidad5) Como se comparan los tres autos usando el criterio de estiloCOMPARACION DE PARESAlestablecer lasprioridadesparaloscuatrocriterios, El AHPnecesitarque Rosa formule que tan importante es cada criterio en relacin con cada uno de los otros criterios, cuando estos criterios se comparan dos a la vez es decir en pares.Entonces con los cuatro criterios las comparaciones en pares son:SELECCIONAR EL MEJORAUTOMOVILSELECCIONAR EL MEJORAUTOMOVILPRECIOPRECIOECONOMA DE COMBUSTIBLE(Millas por galn)ECONOMA DE COMBUSTIBLE(Millas por galn)COMODIDADCOMODIDADHondaKiaChevroletHondaKiaChevroletESTILOESTILOHondaKiaChevroletHondaKiaChevroletHondaKiaChevroletHondaKiaChevroletHondaKiaChevroletHondaKiaChevroletMETA GLOBAL CRITERIOSALTERNATIVAS DE SOLUCION PRECIOCOMPARADOCONMPGPRECIOCOMPARADOCON COMODIDADPRECIOCOMPARADOCONESTILOMPGCOMPRADO CONCOMODIDADMPGCOMPARADOCONESTILOCOMODIDADCOMPARADOCON ESTILOEn cada comparacin, Rosa debe seleccionar el criterio ms importante y luego expresar unjuicio de cuanto mas importante es el criterio seleccionadoAs tenemosque utilizando la tabla Rosa ha especificado:El PRECIO es Moderadamente mas importante que lasMPG.El PRECIO es Igualmente de importante a moderadamente mas importante que la COMODIDAD.El PRECIO es Igualmente de importante a moderadamente masimportante que el ESTILO.INTENSIDADCLASIFICACION DEFINICIONEXPLICACION 1Igual Importancia Lasdos actividades contribuyen igualmente para el objetivo 3Importancia pequea de una sobre otraUna es dbilmente ms importante que la otra. La experienciay el juicio favorece fuertemente una actividad en relacion a la otra 5Importancia grande esencialLa experiencia juicio favorece fuertemente una actividad en relacion a otra .7Importanciamuy grande demostrada Una actividad es muy fuertemente favorecida en relacion a otra. Puede ser demostrada en la practica 9Importancia absoluta La evidencia favoreceuna actividad en relacion a otra , con mas alto grado de seguridad 2, 4,6 , 8Valores intermedios Cuando se busca una condicion de compromiso entre dos definiciones Supongamos que un valor 8 significa que el uno esta entre fuerte y absolutamente mas importante que el otro ElMPG es Moderadamente importante a fuertemente masimportante que la COMODIDADElMPG es Moderadamente importante a fuertemente masimportante que la ESTILO La COMODIDAD es Igualmente de importante a moderadamente masimportante que el ESTILO.TABLA DE CLASIFICACION NUMERICA DE LA COMPARACION EN PARESCOMPARACION EN PARESCRITERIOS MAS IMPORTANTESCUANTO MAS IMPORTANTECLASIFICACION NUMERICAPRECIO-MPG PRECIO Moderadamente3PRECIO COMODIDAD PRECIODe igual a moderadamente2PRECIO-ESTILO PRECIODe igual a moderadamente2MPG-COMODIDAD COMODIDADDe moderadamente a fuertemente4MPG-ESTILO ESTILODe moderadamente a fuertemente4COMODIDAD ESTILOESTILODe igual a moderadamente2MATRIZ DE COMPARACION PAREADA MATRIZ DECOMPARACION EN PARES PRECIO MPG COMODIDAD ESTILOPRECIO1 3 2 2MPG 1/31 COMODIDAD 4 1 ESTILO 4 2 1Cada uno de los valores de la Tabla de Clasificacin Numrica de las comparacionesen paresdebeingresarse en la Tabla de Comparacin de Pares.Aslos pares PRECIO-MPG = considera una clasificacin de 3, donde el PRECIO es ms importante que MPG, por lo tanto ingresamos el valor de 3 en la fila de PRECIO.Ahora vemos la comparacinMPG-COMODIDAD, muestra que la comodidad es ms importante, por lo tanto ingresamos el valor 4 en la fila de COMODIDAD.Como se est comparando en la diagonal consigo mismo diremos que la comparacin en pares es 1.Tambinpodemosobservarqueconrespectoalasdemsentradas, talescomo MPG-PRECIO su valor es de 1/3; pues Rosa indic que el PRECIO es moderadamente ms importante que MPG SINTESISPROCEDIMIENTO PARA SINTETIZAR JUICIOSPASO1: Sumar las columnasPRECIO MPG COMODIDAD ESTILOPRECIO1 3 2 2MPG 1/31 COMODIDAD 4 1 ESTILO 4 2 12.333 12.000 5.250 3.750PASO 2: Dividir cada elemento de la matriz por el total de su columnaPRECIO MPG COMODIDAD ESTILOPRECIO0.429 0.250 0.381 0.533MPG 0.1430.083 0.048 0.067COMODIDAD0.214 0.333 0.190 0.133ESTILO0.214 0.333 0.381 0.267PASO 3: Promediar los elementos en cada fila para determinar la prioridad de cada criterioPRECIO MPG COMODIDAD ESTILO PRIORIDAD PRECIO0.429 0.250 0.381 0.533 0.398MPG 0.1430.083 0.048 0.067 0.085COMODIDAD0.214 0.333 0.190 0.133 0.218ESTILO 0.214 0.333 0.381 0.267 0.299El procedimiento de SINTESIS del AHP nos proporciona la prioridad de cada criterio en funcin desu contribucin a la meta global de seleccionar el mejor auto.Portantoutilizandolascomparaciones en paresdeRosaproporcionadoenla Tabla de Clasificacin Numrica, determina que el PRECIO con una prioridad de 0.398 es el criterio ms importante en el proceso de seleccin del auto.En segundo lugarde importanciase clasifica ESTILO con prioridad 0.299 Enuntercer lugar muycercanoaEstiloseencuentraCOMODIDADcon prioridad de 0.218 y finalmente MPG con una prioridad de 0.085.CONSISTENCIA PROCEDIMIENTO PARA ESTIMAR LA RAZON DE CONSISTENCIA PARA LOS CRITERIOS DEL PROBLEMA DE SELECCIN DE L AUTO.PASO1: Multiplicar cada valor en la primera columna de la matriz de comparaciones en pares por la prioridad del primer elemento; multiplicar cada valor en la segunda columna de la matriz de comparaciones en pares por la prioridad del segundo elemento; continuar este proceso para todas las columnas de la matriz de comparacin en pares. Sume los valores a lo largo de las filas para obtener un vector que lo llamaremos SUMA PONDERADA.1111]1

1111]1

+1111]1

+1111]1

+1111]1

2 7 4 . 19 0 7 . 03 4 7 . 06 8 7 . 112 / 14 / 122 9 9 . 0212 / 122 1 8 . 044130 8 5 . 02 / 12 / 13 / 113 9 8 . 0PASO 2: Divida los elementos del vector de la suma ponderada obtenido en el PASO1 por la prioridad correspondiente de cada criterio.264 . 4299 . 0274 . 1163 . 4218 . 0907 . 0077 . 4085 . 0347 . 0236 . 4398 . 0687 . 1 ESTILOCOMODIDADMPGPRECIOPASO 3: Calcular el promedio de los valores encontrados en el PASO 2; este promedio se denota MAXn.185 . 44264 . 4 163 . 4 077 . 4 236 . 4+ + +MAXnPASO 4: Calcular el ndice de consistencia como sigue:1 nn nC IMAX donde n = Nmero de elementos que se estn comparando 0616 . 01 44 185 . 4 C IPASO 5: Calcular la razn de consistenciaA IC IC R Entonces: n 3 4 5 6 7 8I A 0.580.901.121.241.321.41068 . 090 . 00616 . 0 C RPor lo tanto para la seleccin del auto con n = 4 criterios, tenemos que I A= 0.90 y la Razn de Consistencia (R C) es 0.068.Debido a que las comparaciones en pares para el criterio de seleccin del auto es 0.068 < 0.10, podemos concluir que el grado de consistencia en la comparacin en pares es ACEPTABLE. PLANTEAMIENTO VERBAL DE LAS PREFERENCIASCALIFICACIN NUMERICAExtremadamente preferible 9Entre muy fuertemente y extremadamente preferible 8Muy fuertemente preferible 7Entre fuertemente y muy fuertemente preferible 6Fuertemente preferible 5Entre moderadamente y fuertemente preferible 4Moderadamente preferible 3Entre igual y moderadamente preferible 2Igualmente preferible 1