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grado6o

Enseñanza de las

Matemáticascon Tecnologíapara la Educación PrimariaPROPUESTA HIDALGO

Ma. Guadalupe Flores Barrera Andrés Rivera Díaz

2

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Básica, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), ha sido desarrollado e implementado por la Coordinación Estatal del Programa EMAyCIT- Hidalgo, con el apoyo de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo, y sobre todo del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, particularmente del Departamento de Matemática Educativa, del cual surge la Propuesta Nacional.

Autores de EMAT-Hidalgo:Ma. Guadalupe Flores Barrera Andrés Rivera Dí[email protected] [email protected]

Este material fue puesto a prueba en escuelas primarias del Estado de Hidalgo, equipadas por el Programa UNETE-Hidalgo.

Revisión: Ramón GuerreroDiagramación: Lucero CárdenasFormación y diseño: Ana Garza

© EMAT Hidalgo 2012© Ángeles Editores, S.A. de C.V.Campanario 26San Pedro Mártir, TlalpanMéxico, D. F., 14650e-mail [email protected]

Primera edición: agosto de 2012

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria EditorialReg. Núm. 2608

Impreso en México

Frida Kahlo

Juan A. Hernández

Efrén Rebolledo

Profr. Arnulfo Islas

Once de Julio

Vasco de Quiroga

Melchor Ocampo

Balderrama Soto Oliveria

Chargoy Azuara Yariela

Corona García Humberto

Flores Frías Jorge Arturo

Francisco Olvera María del Carmen

García Alvarado Ma. Guadalupe

García Rivera Yanet

González Bautista Neidy Edith

González Juárez Luz María

Gutiérrez Villar Marusia

Hernández Téllez Marco Antonio

López López Martha Patricia

López Mata Rocío

Profesores ante grupo y Directivos

Escuelas Primarias

Márquez Islas Juanita

Pérez Aráoz Guillermina

Pérez Aráoz José Leopoldo

Pérez Hernández Violeta

Rivera Hernández María

Rivera Oropeza Lucía

Sánchez Fernández Estela

Sánchez Montaño María Araceli

Sánchez Ramírez Humberto Daniel

Sánchez Ruiz Daniel

Torres Sánchez María de Lourdes

Tzuc Yvarra Carlos Ygnacio

Velázquez Arriaga Ericka

Julián Carrillo

Cuauhtémoc

Gral. Felipe Ángeles

Odón Zaragoza Ruiz

Ignacio Zaragoza

Nicolás Bravo

Enseñanza de lasMatemáticascon Tecnologíapara la Educación PrimariaPROPUESTA HIDALGO6o. grado

3

ContenidoContenido

IntroducciónOrganización del texto EMAT-HidalgoProgramación del Sexto Grado de Primaria, EMAT-Hidalgo

SEPTIEMBRELectura, escritura y comparación de números 7División como fracción 10Comparación, orden y encuadre de números decimales 12Operaciones mentales con números naturales 14Clasificación de cuadriláteros 20

OCTUBRECírculo y circunferencia 21Rectas y ángulos 22Rutas y distancias 23Perímetros y áreas 26Porcentajes 27Tablas de datos 27

NOVIEMBREValor posicional 30Recta numérica 32División 35Desarrollos planos 36Área y volumen de prismas 44

DICIEMBREInterpretación de la información matemática 46Factor constante 49Medidas de tendencia central 51

4

Contenido

ENEROMúltiplos de naturales 55Orden en los números fraccionarios y decimales 57Problemas de conteo 59Cociente de números naturales 59

FEBRERORepresentación de puntos en el plano 62Sistema Internacional de Unidades y Sistema Inglés 68Noción de porcentaje 70Gráficas a distinta escala 80

MARZO Y ABRILDivisores de un número 84Conversión de fracciones decimales a escritura decimal y viceversa 86División de fraccionarios entre enteros 89Polígonos regulares inscritos en una circunferencia 91Longitud de una circunferencia 96Experimentos aleatorios 100Problemas de comparación de razones 106

MAYODivisores y múltiplos comunes 111Problemas con divisores o múltiplos comunes 113Producto de fraccionarios, decimales y enteros 115Volumen de Prismas 117

JUNIODiferentes unidades 120Constantes de proporcionalidad 121Situaciones de proporcionalidad 123Probabilidad teórica y frecuencial 125Organizar información 125

BIBLIOGRAFÍA

5

Introducción

Las Herramientas Computacionales (HC) suponen un revolucionario avance en nuestra sociedad. Presenciamos una era de cambio y de modificaciones constantes que influyen significativamente en nuestras vidas.

Mantenernos expectantes o tomar las riendas de emergentes procesos de cambio que nos pueden ayudar a construir un mundo sin barreras, un mundo mejor, es una elección a realizar de forma particular por cada uno de nosotros.

En el ámbito educativo, las HC constituyen una importantísima ayuda para favorecer los aprendizajes escolares, particularmente de las matemáticas y de las ciencias, pues son un reforzador didáctico, un medio para la enseñanza individualizada y una herramienta fundamental de trabajo para el profesor.

En definitiva podemos preguntarnos, ¿qué aspectos caracterizan a las HC que las hacen tan especiales en la educación? Una reflexión alrededor de esta pregunta nos conduce a definir un grupo de aspectos que las pueden caracterizar:1. Fomentan el aprendizaje continuo por parte del profesor, pues éste

tendrá que estar actualizado para planificar con éxito las actividades que realizarán los estudiantes.

2. Las HC no sólo pueden ser objeto de estudio sino que deben ser herramientas indispensables para el alumno, tienen que ser integradas al entorno educativo.

3. Garantizan el desarrollo de una enseñanza significativa y forman parte de una educación integral.

4. Dinamizan el papel del profesor y del alumno.Este último, de sujeto pasivo dentro del proceso didáctico, pasa a ser protagonista del mismo junto al profesor, el cual tendrá como función rectora la orientación en el uso de las herramientas tecnológicas que sean utilizadas en el proceso.

5. Humanizan el trabajo de los profesores, pues desarrollarán sus actividades con el apoyo de las tecnologías, economizando tiempo y energía.

6

Además de estas ventajas que proporcionan las Tecnologías de la Información en el proceso de enseñanza, es bueno destacar que también permiten lograr una mejor interdisciplinariedad, es decir, se puede relacionar el contenido matemático con el de otras asignaturas, contribuyendo así a una formación más eficiente y de carácter integral de nuestros estudiantes hidalguenses.

Por lo anterior, la Subsecretaría de Educación Básica del Estado de Hidalgo, ha implementado el programa Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología, propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo) a través de la Coordinación Estatal de los profesores Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz. Para dar continuidad al programa, dichos profesores imparten un curso-taller programado, un día al mes durante el ciclo escolar, al equipo de Coordinadores de las Zonas Escolares del Estado, de cada modalidad de Educación Primaria, para que a su vez ellos lo multipliquen, también un día al mes, con los profesores de sus zonas correspondientes.

Las reuniones mensuales son un espacio de formación y actualización docente para el intercambio de experiencias, metodologías y conocimientos sobre las dos herramientas tecnológicas: Hoja electrónica de cálculo y Geometría dinámica, las cuales son propuestas originales de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública (SEP), en colaboración con el Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE). Como producto de ello se han diseñado y compilado lostextos EMAT-Hidalgo, para quinto y sexto grado escolar de educación primaria.

Por último, sabedores de que contamos con una comunidad educativa comprometida, utilizaremos este Libro de Sexto Grado, EMAT-Hidalgo, para beneficio de nuestros alumnos hidalguenses.

Profr. Joel Guerrero JuárezSecretario de Educación Pública

SEP, Estado de Hidalgo

7

Organización del Libro EMAT-Hidalgo

PRESENTACIÓN

El Libro Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), es una compilación y diseño de actividades didácticas que contemplan el uso de dos piezas de tecnología, estrechamente relacionadas cada una con los ejes temáticos Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida, y Manejo de la información. Con lo anterior se cubren las áreas específicas de aritmética, pre-álgebra, geometría, resolución de problemas y modelación matemática. El libro cumple, en forma paralela, con los planes y programas de estudio vigentes de matemáticas, para las modalidades de Educación Primaria.

En la mayoría de las actividades seleccionadas, la construcción y el uso de estas dos herramientas computacionales cuentan con un sustento teórico y/o empírico, que respaldan su valor como herramientas mediadoras del aprendizaje en lo cognitivo y en lo epistemológico.

La propuesta Hidalgo plantea trabajar una sesión a la semana en el aula de medios o espacio asignado con equipos de cómputo, complementando las sesiones previas en el salón de clase. Esto implica que desde la planeación del curso escolar, los directivos deben asignar en los horarios, de forma explícita, la sesión EMAT-Hidalgo a cada grupo.

En el libro se incluye el uso de software de geometría dinámica para temas de geometría euclidiana, al igual que la hoja electrónica de cálculo, para la enseñanza de pre-álgebra, la resolución de problemas aritmético-algebraicos, y temas de probabilidad y de tratamiento de la información.

En el espacio para desarrollar el proyecto EMAT-Hidalgo, el profesor guía a los estudiantes en su trabajo con el ambiente computacional y con las hojas de actividades didácticas programadas semanalmente en el libro.

8

Con las actividades se pretende que los alumnos alcancen cada vez mayores niveles de conceptualización matemática, para ello su programación se hace de la siguiente manera:

En general, en el espacio EMAT-Hidalgo el profesor debe motivar a los alumnos a:

Explorar. Formular y validar hipótesis. Expresar y debatir ideas. Aprender comenzando con el análisis de sus propios errores.

Las sesiones EMAT-Hidalgo, se organizan a partir de actividades didácticas en las cuales los alumnos reflexionan sobre lo que han realizado con la computadora, y lo sintetizan para comunicarlo; por otro lado, estas actividades ya contestadas proporcionan información al profesor acerca de la comprensión que los alumnos tienen de los conceptos matemáticos involucrados.

Finalmente, una reflexión:

La educación es la base del progreso en cualquier parte del mundo y en la medida que el compromiso de los profesores se haga más expreso y se recupere la vocación profesional, podremos tener aspiraciones de superación sustentadas en hechos y no en sueños.

Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera DíazCoordinadores Estatales del Programa EMAyCIT-Hidalgo

SEPTIEMBRE

Semana Eje BLOQUE UNO Herramienta Pág

1SNPA

Lectura, escritura y comparación de números de diferente cantidad de cifras Hoja de cálculo 13

2 División como fracción GeoGebra 15

9

Programación Sexto Grado

SEPTIEMBRE


1

SNPA

Lectura, escritura y comparación de números Hoja de cálculo 13

2 División como fracción GeoGebra 15

3Comparación, orden y encuadre de números decimales GeoGebra 18

Operaciones mentales con números naturales Hoja de cálculo 21

4 FEM Clasificación de cuadriláteros GeoGebra 22

OCTUBRE


1

FEM

Círculo y circunferencia GeoGebra 24

2 Rectas y ángulos GeoGebra 25

3Rutas y distancias GeoGebra 27

Perímetros y áreas GeoGebra 29

4 MIPorcentajes Hoja de cálculo 31

Tablas de datos Hoja de cálculo 34

NOVIEMBRE

Semana Eje BLOQUE DOS Herramienta Pág

1SNPA

Valor posicional GeoGebra 35

Recta numérica GeoGebra 37

2 División Hoja de cálculo 38

3FEM

Desarrollos planos GeoGebra 40

4 Área y volumen de prismas GeoGebra 42

10


DICIEMBRE

Semana Eje BLOQUE DOS Herramienta Pág

1

MI

Interpretación de la información matemática Hoja de cálculo 45

2 Factor constante Hoja de cálculo 47

3 Medidas de tendencia central Hoja de cálculo 50

ENERO

Semana Eje BLOQUE TRES Herramienta Pág

1

SNPA

Múltiplos de naturales GeoGebra 52

2Orden en los números fraccionarios y decimales GeoGebra 54

Problemas de conteo Hoja de cálculo 56

3 Cociente de números naturales Hoja de cálculo 58

FEBRERO

Semana Eje BLOQUE TRES Herramienta Pág

1FEM

Representación de puntos en el plano GeoGebra 59

2 Sistema Internacional de Unidades y Sistema Inglés Hoja de cálculo 61

3MI

Noción de porcentaje Hoja de cálculo 63

4 Gráficas a distinta escala Hoja de cálculo 65

11


MARZO Y ABRIL

Semana Eje BLOQUE CUATRO Herramienta Pág

1SNPA

Divisores de un número Hoja de cálculo 67

Conversión de fracciones decimales a escritura decimal y viceversa GeoGebra 70

2 División de fracciones entre enteros Hoja de cálculo 73

3FEM

Polígonos regulares inscritos en una circunferencia GeoGebra 74

4 Longitud de una circunferencia GeoGebra 76

5MI

Experimentos aleatorios Hoja de cálculo 77

6 Problemas de comparación de razones Hoja de cálculo 79

MAYO

Semana Eje BLOQUE CINCO Herramienta Pág

1

SNPA

Divisores y múltiplos comunes Hoja de cálculo 81

2 Problemas con divisores o múltiplos comunes Hoja de cálculo 85

3 Producto de fracciones, decimales y enteros Hoja de cálculo 87

4 FEM Volumen de prismas GeoGebra 90

JUNIO

Semana Eje BLOQUE CINCO Herramienta Pág

1 FEM Diferentes unidades GeoGebra 92

2

MI

Constantes de proporcionalidad GeoGebra 94

Situaciones de proporcionalidad GeoGebra 97

3 Probabilidad teórica y frecuencial Hoja de cálculo 99

4 Organizar información Hoja de cálculo 101

12

Iconos

Al inicio de cada lección aparece un conjunto de elementos mostrando el número de lección, el nombre del archivo a utilizar y el icono que indica qué recurso tecnológico debe usarse para su realización. Éstos son los siguientes.

Este significa que para esta actividad se requiere el uso de la hoja de cálculo.

Número de lección

Nombre del archivo

Icono, el cual, si es:

Este significa que en esta actividad se requiere el uso de geogebra.

LECCIÓN

LECCIÓN

13

1Lectura, escritura y comparación de números

BLOQUE UNO

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, podemos escribir cualquier número. Se recomienda que al escribir cantidades de más de tres cifras, se separen en grupos de tres, de derecha a izquierda; el primer grupo representa las unidades, decenas y centenas; el segundo, los millares, y el tercero los millones.

Los censos nos ofrecen información por entidad federativa y municipios. La siguiente tabla muestra datos sobre la población del estado de Hidalgo, examínala y realiza lo que se indica.

Lecescom

Escribe con palabras los números de la columna Hidalgo

Población

Total 2,665,018 112,336,538

Hombres 1,285,222 54,855,231

Mujeres 1,379,796 57,481,307

Hogares 662,651 28,159,373

Hogares con jefe hombre 504,119 21,243,167

Hogares con jefe mujer 158,532 6,916,206

Promedio de personas por hogar 4.3 3.9

Nacimientos 64,237 2,628,885

Estadística 2010 Hidalgo Estados Unidos Mexicanos

14 BLOQUE UNO Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado

Resuelve los siguientes ejercicios.1. Anota en el paréntesis la letra que corresponde.

2. Ordena los siguientes números decimales de menor a mayor.

a) 3.35 0.58 2.36 2.05 4.86

b) 3.5 3.476 4.37 4.672 1.43

3. En las siguientes columnas de números compara las cantidades utilizando los símbolos > (mayor que) o < (menor que) en la columna del centro.

7 563 245 7 324 245

123 098 341 654 938 210

65 327 23 248

9 354.2 9 354.1

2 387 491 322 53 971 233 001

45 29

0.002 0.08

345 554

( ) 92 512 600

( ) 92 500 126

( ) 925 000 126

( ) 925 126

( ) 9 025 126

a) Novecientos veinticinco mil ciento veintiséis.

b) Nueve millones veinticinco mil ciento veintiséis.

c) Noventa y dos millones quinientos doce mil seiscientos.

d) Novecientos veinticinco millones ciento veintiséis.

e) Noventa y dos millones quinientos mil ciento veintiséis.

LECCIÓN

15

2La división como fracción

Divfrac


Nombramos fracciones impropias a aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador.Ejemplos:

A la derecha de cada figura escribe la fracción que representa su parte iluminada.

Los números fraccionarios (F), son aquellos de la forma ab

tal que a y b son números enteros, y b es diferente de cero.

Las partes de los números fraccionarios son numerador y denominador.Ejemplo:

Dentro de los números F existen los propios y los impropios.Llamamos fracciones propias a aquellas en las que el numerador es menor que el denominador.Ejemplos:

El denominador representa las partes en que se divide un todo, mientras que el numerador indica las partes que tomamos. 1

4

34

, 57

, 810

, 123200

43

, 62

, 458

, 300100

numeradordenominador

14


Las fracciones representan un cociente en el cual el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor.

84

= 28 = dividendo = numerador4 = divisor = denominador2 = cociente

De los ejercicios anteriores se concluye que de las fracciones impropias se generan números mixtos, que son los constituidos por un número entero más una fracción propia.

Para convertir una fracción impropia en un número mixto, dividimos el numerador entre el denominador. El cociente será la parte entera del número mixto y la fracción propia se forma con el residuo como numerador y como denominador el mismo de la fracción impropia.

En las dos tablas siguientes, transforma las fracciones a divisiones en la columna dos y en la tres anota el cociente.

El cociente es el resultado de una división, por lo que ésta representa la misma idea de fracción.

428

Ejemplo: 185

= 3.6 185

= 3 35

3185

3

18530

0

3.6

uno dos tres

185

34

25

196

uno dos tres

174

58

376

610

17Sentido numérico y pensamiento algebraico

196

=

174

=

376

=

185

=

434

=

143

=

Transforma las siguientes fracciones impropias en números mixtos.

¿qué parte le toca a cada niño?




entre

entre

entre

entre

Realiza las siguientes reparticiones y escribe el resultado como fracción.

23

LECCIÓN

18

3

Comorden

Comparación y encuadre de números decimales

BLOQUE UNO Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado

Si queremos comparar números decimales, una forma de hacerlo es transformar la parte decimal en una suma de fracciones. De esta forma comparamos cantidades. Otra forma es por medio de la recta numérica.Ejemplo:

En los siguientes números, transforma la parte decimal en una suma de fracciones y luego compáralos, escribiendo los símbolos > o < (mayor que y menor que) en la columna del centro.

= 13.21 13.012 =

= 4.018 5.59 =

= 18.39 19.218 =

= 3.109 2.037 =

= 60.01 60.1 =

2 + 210 + 6

100 = 2.26 > 1.75 = 1 + 710 + 5

100

Gráficamente los decimales se expresan de la siguiente manera:1.25 = 1 entero + 2 décimos + 5 centésimos.

5 centésimos

5 centésimos

+ +

+ = 25 centésimos

2 décimos

2 décimos

Un entero


En la recta numérica:

Entre cualquier par de números decimales o fraccionarios, siempre va a existir otro número en medio.

Para encontrar un número entre dos números decimales, se suman los dos números y se dividen entre 2; también la recta numérica es muy útil, ya que podemos hacer subdivisiones de los números y localizarlos fácilmente.

Por ejemplo, para encontrar el número decimal que está entre 0.4 y 0.5, se suma 0.4 + 0.5 = 0.9 y este resultado se divide entre 2.

Por lo tanto, el número que está entre 0.4 y 0.5 es el 0.45

Cada uno de los siguientes rectángulos representa un entero. Escribe cuántos décimos están coloreados en cada uno y anota también el número decimal.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.45

Ubica en la recta numérica los siguientes números:0.9 2.50 5.20 1.70 0.5 3

410

0.4

0 1 2 3 4 5 6


Si ubicamos un número entre otros dos, decimos que estamos encuadrando un número.

Encuadra cada uno de los siguientes números en el renglón de la tabla que le corresponda.

a) 10.475 b) 2.78 c) 99.945 d) 0.41 e) 13.155f) 12.35 g) 3.425 h) 7.35 i) 11.026 j) 1.325

3.4 < < 3.45

12.30 < < 12.40

7.3 < < 7.4

1.3 < < 1.35

11.05 < < 11.002

10.4 < < 10.55

99.9 < < 99.99

2.76 < < 2.80

0.31 < < 0.51

13.11 < < 13.20

a) 1.5 y 1.6

b) 2.7 y 2.8

c) 3.24 y 3.25

Encuentra el número que está enmedio de las siguientes parejas de números; usa el procedimiento numérico y ubícalos en la recta.

LECCIÓN

21

4

Opermental

Operaciones mentales con números naturales


Calcula mentalmente lo que se pide.

a) Elige dos números que, al dividirlos, se obtenga como resultado la quinta parte de mil. 500 2000 800 2 4 5

b) Escoge dos números cuya suma se aproxime más al doble de mil. 599 495 597 1203 1500 1403

c) Selecciona dos números que al multiplicarlos den como resultado el triple de mil.30 10 50 600 500 60

Realiza mentalmente los siguientes ejercicios.

1. Si la población de India es de 1 189 173 000 habitantes y la tercera parte son menores de 15 años, ¿cuántos niños menores de 15 años hay en ese país?

2. Si el precio del barril de petróleo crudo es de 108 dólares, ¿cuánto se debe pagar por la compra de 542 mil barriles?

3. Si un buque petrolero carga en promedio 542 mil barriles de petróleo crudo por embarque, ¿cuántos barriles, en promedio, llevará en 4 embarques?

Operación Resultado



5001800 60

101403

LECCIÓN

22

5

Clascuadri

Clasificación de cuadriláteros


A los polígonos limitados por cuatro rectas se les conoce como cuadriláteros.El punto donde se unen dos rectas se llama vértice.Se llama diagonal a toda recta que une dos vértices no consecutivos.La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º. Los cuadriláteros se clasifican en: paralelogramos, trapecios y trapezoides, según el paralelismo de sus lados.

Paralelogramos. Sus lados opuestos son paralelos.

Trapecios. Sólo tienen un par de lados opuestos paralelos.

Trapezoides. Ninguno de sus lados es paralelo a otro.

De acuerdo a las figuras anteriores, agrega las características básicas faltantes de los siguientes cuadriláteros.

Cuadrado y rectángulo Cuadrado y rombo Rombo y romboide Trapecio rectángulo Trapecio isósceles Trapecio escaleno

Cuadrado Rectángulo

Trapecio rectángulo

Trapecio isósceles

Trapecio escaleno

RomboideRombo

23Forma, espacio y medida

Relaciona ambas columnas anotando en la última la letra que corresponda, de acuerdo a la descripción dada.

Señala con color los cuadriláteros descritos.

Con azul los que tienen sus cuatro ángulos rectos. Con verde los que tienen solamente dos ángulos rectos. Con rojo los que tienen ángulos opuestos agudos y obtusos de igual

medida.

Descripción Figura

a) Polígono de cuatro lados Trapecio rectángulo

b) Lados opuestos paralelos con dos ángulos rectos

Rombo

c) Cuatro lados y cuatro ángulos desiguales

Romboide

d) Iguales cada dos ángulos opuestos y cuatro lados iguales.

Rectángulo

e) Cuatro ángulos iguales y lados opuestos iguales

Trapezoide

f) Iguales cada dos ángulos opuestos y cada dos lados opuestos

Cuadrilátero

LECCIÓN

24

6

Circircunf

Círculo y circunferencia


El círculo es una figura plana limitada por una curva cerrada cuyos puntos están a la misma distancia de un punto interior llamado centro. La circunferencia de un círculo es la curva que lo limita.

El radio es la recta que va del centro de la circunferencia a cualquiera de sus puntos, y el diámetro es una recta que pasa por el centro de la circunferencia y termina en dos puntos de ella. La medida del diámetro es el doble que la del radio.

Con tu compás, traza una circunferencia abriéndolo a 5 cm.

¿Cuánto mide el diámetro? ¿y el radio?

Traza la circunferencia a partir del centro y el radio indicados a la izquierda.

¿Cuánto mide el diámetro? ¿y el radio?

Circun

fere

ncia

CentroRadio

Diámetro

LECCIÓN

25

7

Rectasangu

Rectas y ángulos

Forma, espacio y medida

A

B

C

La línea recta es toda línea tal que, si una parte cualquiera de ella se coloca de cualquier modo con sus extremos sobre otra parte cualquiera, las dos partes coinciden en todos sus puntos.

Ángulo es la abertura entre dos rectas que se encuentran. El punto donde se encuentran se llama vértice y las dos rectas se llaman lados del ángulo. Para medir un ángulo siempre se cuenta de derecha a izquierda. Por ejemplo, el ángulo formado entre BAC mide 40o.

Ángulo recto. Cuando una recta se cruza con otra formando con ella un ángulo de 90º.

Ángulo agudo. El que es menor que un recto (más de 0º y menos de 90º).

Ángulo obtuso. El que es mayor que un ángulo recto pero menor que dos ángulos rectos (mayor de 90º y menor de 180º).

Ángulo llano. El que está en línea recta. Este ángulo se le conoce también como ángulo de lados colineales. Mide 180º.

Ángulo entrante. El que es mayor de dos ángulos rectos pero menor que cuatro ángulos rectos (mayor de 180º y menor de 360º).

Ángulos adyacentes. Aquellos que tienen un mismo vértice y un lado común.

Ángulos oblicuos. Son ángulos desiguales que se forman cuando se cortan dos rectas. Pueden ser agudos u obtusos.

Ángulos complementarios. Aquellos cuya suma es igual a un ángulo recto, es decir, la suma de los dos ángulos debe ser igual a 90º.

Ángulos suplementarios. Aquellos cuya suma es igual a un ángulo llano, es decir, la suma de los dos ángulos debe ser igual a 180º.

1A

2 D

CB

Ángulo oblícuo agudo

Ángulo oblícuo obtusoA

DC

B

40º50º

80º 100º


Traza un par de ángulos según el tipo que se pide y anota sus medidas.

Agudos

Medidas:

Obtusos

Medidas:

Entrantes

Medidas:

Adyacentes

Medidas:

Complementarios

Medidas:

Suplementarios

Medidas:

LECCIÓN

27

8

Rutadist

Rutas y distancias


Los mapas son la representación gráfica de una parte de la superficie terrestre, nos ayudan a localizar lugares, ubicar distancias y trazar rutas para ir de un lugar a otro.

La escala es la razón que existe entre las medidas de un mapa o dibujo y las medidas reales del objeto que representa. Ella nos ayuda a inter-pretar mejor los mapas.El mapa de arriba muestra una región del estado de Hidalgo que se co-noce como la zona económica más importante del estado. Su escala es 1: 860 000, lo cual significa que 1 cm del mapa representa 860 000 cm en el terreno.En efecto,

cm

Para convertir 860 000 cm a km, recorre el punto decimal cinco posicio-nes a la izquierda; que corresponden cada una a la unidad inmediata su-perior, dm-m-dam-hm-km. Por lo que 860 000 cm equivalen a 8.6 km, es decir, 1 cm en el mapa corresponde a 8.6 km en el terreno.


Ejemplo: en el mapa, la distancia de Pachuca a Tulancingo es de 5.05 cm,para calcular la distancia real entre estos lugares, multiplica la distancia en el mapa por la escala, 5.05 × 860 000.

Para convertir 4 343 000 cm a km, recorres el punto decimal cinco po-siciones a la izquierda; que corresponden cada una a la unidad inme-diata superior, dm-m-dam-hm-km. Por lo que 4 343 000 cm equivalen a 43.43 km.

Encuentra una forma más rápida de calcular la distancia en el terreno, a partir de la distancia en el mapa.

5.05 : 1860 000

= 5.05 × 860 0001

= 4 343 000 cm

Resuelve los siguientes ejercicios.

1. Con una regla mide en el mapa la distancia de Actopan a Pachuca, después calcula la distancia real entre esas dos ciudades. Escribe todas las operaciones, como en el ejemplo anterior.

2. Con una regla mide en el mapa la distancia de Zempoala a Pachuca, después calcula la distancia real entre esas dos ciudades. Escribe todas las operaciones.

LECCIÓN

29

9

Periarea

Perímetros y áreas


El perímetro de una figura se obtiene sumando las medidas de sus lados.

La siguiente expresión aritmética nos permite obtener el perímetro de un polígono regular

P = n × l

Donde l representa la longitud de un lado y n el número de lados.

Completa los datos de la tabla y calcula el perímetro de los siguientes polígonos regulares.

El área de una figura se define como la medida de la porción de superficie delimitada por su contorno, también llamado perímetro. El contorno puede ser recto o curvo.

Área del triángulo (At) At = b × h2

Donde b = base del triángulo y h = altura.

Área del cuadrado (Ac) Ac = l × l Donde l = lado del cuadrado

Área de un polígono regular (Apr) Apr = P × a2

P = Perímetro y a = apotema. Donde apotema se define como el segmento que va del centro del polígono al punto medio de uno cualquiera de sus lados, y es siempre perpendicular a dicho lado.

Polígono l n P

Triángulo equilátero 2.5 dm

Cuadrado 4.1 cm

Pentágono 3.7 cm

Hexágono 11.3 mm


22.5 cm

Se tienen también las siguientes fórmulas.

Calcula el área de los siguientes polígonos.

24 cm

22.4 cm

12.9 cm

7.4 cm

12.7 cm

Calcula el área de los siguientes polígonos.

21.2 cm

14 cm

10.7 cm

10.8 cm

20.1 cm

Área del trapecio (Atr) Atr = (B + b) h2

Donde B = base mayor, b = base menor.

Área del rombo (Ar) Ar = D × d2

Donde D = diagonal mayor, d = diagonal menor.

Con a = 11.5 cm

a

13.8 cm

LECCIÓN

31

10

Porcentajes

Porcentaje

Manejo de la información

El porcentaje también recibe el nombre de tanto por ciento, y se puede expresar como fracción o como decimal. Enseguida se muestran tres maneras de obtener el tanto por ciento; en este caso el 25% de 300.

a) 25% de 300 = 25 × 300100

= 75

b) 25% = 25100

= 0.25 0.25 × 300 = 75

c) 25% = 25100

= 520

= 14

300 × 14

= 75

Relaciona los valores de las cuatro columnas uniéndolos con una línea de color diferente para cada porcentaje. Sigue el ejemplo.

20100 10% 0.75 3

4

50100 15% 0.25 1

5

10100 20% 0.50 1

4

75100 25% 0.15 1

2

15100 50% 0.10 1

10

25100 75% 0.20 3

20

En México muchos productos están gravados con el Impuesto al Valor Agregado (IVA), que corresponde al 16% de su precio. Eso significa que por cada $100 se deben pagar $16 más.Calcula el IVA de los siguientes productos y escribe su precio total. Utiliza el método que mejor te funcione.

$100 + 16% IVA $200 + 16% IVA $500 + 16% IVA

$100

$200

$500


Por otra parte, si un artículo cuesta $80, y tiene un descuento de 15%, ¿cuánto cuesta el artículo si se aplica el descuento?

Un procedimiento para calcular el precio con descuento de un artículo es el siguiente:

Otro procedimiento para calcular el precio con descuento de un artículo es este:

1Se divide el porcentaje entre 100.

0. 1 51 0 0 1 5

1 5 05 0 0

0

2Se multiplica el precio del artículo por el resultado anterior.

8 0× 0. 1 5

4 0 08 0

1 2. 0 0

3Al precio original se le resta el resultado del producto anterior.

$80 menos 15% = $68

8 0− 1 2

6 8

1Al 100% del valor total que teníamos le restamos el 15%.

1 0 0− 1 5

8 5

3Se multiplica el precio original por el resultado anterior.

$80 menos 15% = $68

8 0× 0. 8 5

4 0 06 4 06 8. 0 0

2El porcentaje restante se divide entre 100.

0. 8 51 0 0 8 5

8 5 05 0 0

0

33Manejo de la información

Otro procedimiento para calcular el precio con aumento de un artículo es este:

Calcula el precio de los siguientes artículos al aplicarles diferentes porcentajes de descuento.

Ahora bien, si tenemos el caso que un artículo cuesta $60 de contado, y si es a crédito aumenta un 25%, ¿cuánto cuesta el artículo con el aumento?

Un procedimiento para calcular el precio con aumento de un artículo es el siguiente:

Artículo Precio original 50% 25% 10% 15% 5%

Reloj $100

Mochila $200

Calculadora $600

Reproductor MP3 $1 000

1Se divide el porcentaje entre 100.

0. 2 51 0 0 2 5

2 5 05 0 0

0

2Se multiplica el precio del artículo por el resultado anterior.

6 0× 0. 2 5

3 0 01 2 01 5. 0 0

3Se suma el precio original más el resultado del producto anterior.

$60 más 25% = $75

6 0+ 1 5

7 5

1Al 100% del valor total que teníamos le sumamos el 25%.

1 0 0+ 2 51 2 5

3Se multiplica el precio original por el resultado anterior.

$60 más 25% = $75

6 0× 1. 2 5

3 0 01 2 06 07 5. 0 0

2El porcentaje restante se divide entre 100.

1. 2 51 0 0 1 2 5

2 5 05 0 0

0

LECCIÓN

34

11

Tabladatos

Tablas de datos


Los datos que se obtienen como resultado de una investigación pueden registrarse en tablas; las tablas son instrumentos que presentan la información en forma agrupada y ordenada para llegar a conclusiones.

Observa las siguientes tablas y menciona las conclusiones a las que puedes llegar.

Conclusiones:

Conclusiones:

Datos de educación y cultura en el estado de Hidalgo, 2009

Escuelas de primaria 4 757

Escuelas de secundaria 1 633

Alumnos egresados de primaria 115 389

Alumnos egresados de secundaria 84 090

Personal docente en primaria 20 076

Personal docente en secundaria 11 110

Bibliotecas públicas 34

Datos sobre el trabajo en el estado de Hidalgo, 2010

Población de 14 y más años de edad 3 623 977

Población económicamente activa 2 034 449

Población económicamente activa ocupada 1 926 312

Población económicamente activa desocupada 108 137

Población no económicamente activa 1 589 528

LECCIÓN

35

1

Valorposi

Valor posicional

BLOQUE DOS


El sistema de numeración decimal y notación posicional tuvo su origen en la India, y fue difundido en Europa por los árabes en el siglo XI. Decimal significa que su base es 10.

Diez unidades de un orden constituyen una unidad del orden superior inmediato, que se coloca a la izquierda de la anterior.

Los números, cifras o dígitos básicos del sistema decimal son 0, 1, 2, 3, …, 9 y tienen un valor absoluto. Sin embargo, al combinarse en una cantidad de dos o más cifras adquieren un valor posicional o relativo, según el lugar que ocupen en dicha cantidad y que aumenta de derecha a izquierda.Determina el valor posicional o relativo de la cifra 3 en las siguientes cantidades.

Uni

dade

s de

mill

ón

Cen

tena

s de

mill

ar

Dec

enas

de

mill

ar

Uni

dade

s de

mill

ar

Cen

tena

s

Dec

enas

Uni

dade

s

7o

orden6o

orden5o

orden4o

orden3er

orden2o

orden1er

orden3ª clase Millones

2ª clase Millares

1ª clase Unidades

131 Tres decenas 3 741

1 345 002 32 109

319 3 140 378

Escribe los nombres de los órdenes de unidades a partir del 8o hasta el 13o.

8o

9o

10o

11o

12o

13o

Decenas de millón

36 BLOQUE DOS Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado

Establece el valor posicional de cada una de las cifras de las siguientes cantidades:

Determina con los signos >, <, = la relación de orden de las cantidades en cada renglón.

Escribe los siguientes números en forma decimal.

Ejemplo: 27 + 136100

= 28.36 46 + 9810

=

71 + 2301 000

= 62 + 510

+ 73100

=

36 + 3 912100

= 7 + 2 382100

=

2 137 405 2 137 504

328 186 328 681

1 304 177 1 304 717

739 973

926 304 926 304

1 304

45

749

13 502

709 135

65 56

33 043 126 34 043 621

768 541 768 541

67 024 65 420

635 635

LECCIÓN

37

2

Rectanumer

Recta numérica


La recta numérica permite establecer una correspondencia entre los números y los puntos de la recta, en la que se marca una distancia arbitraria como unidad. En la recta numérica se puede verificar la relación de orden de los números, es decir, cuando un número es mayor, menor o igual que otro. El orden es creciente de izquierda a derecha.Ubica y señala con una flecha en la recta numérica, el número que se indica.Ejemplo:

Elige y marca la distancia unidad en la recta numérica para ubicar y señalar, con una flecha, el número que se muestra.

15

55

0 1

45

18

88

0 1

38

−1 0

1

44

0 1

24

0

0.25

0

95

0

47

0

2 23

LECCIÓN

38

3

Division

División

BLOQUE DOS Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado

Los problemas de reparto y de saber cuántas veces cabe una cantidad en otra, se solucionan con la operación de división. Ésta tiene por objeto, dados dos números, llamados dividendo y divisor, encontrar un tercero llamado cociente, que multiplicado por el divisor, dé como resultado el dividendo; por esta razón, la división es considerada la operación inversa de la multiplicación.

Efectúa las siguientes operaciones.

Ejemplos: 12 ÷ 6 = 2 60 ÷ 5 = 12 260 ÷ 4 = 65 800 ÷ 100 = 8

357

= 5 1089

= 12

Propiedades de la división

Cero dividido entre cualquier número da cero.

No se puede dividir entre cero.

En una división exacta el dividendo es igual al divisor por el cociente.

En una división entera el dividendo es igual al divisor por el cociente más el residuo.

1 3 6 75 6 8 3 5

1 83 3

3 50

51 6 0 0 8 4 0 0

4

8 1 1 0 6 4a)

9 1 7 1 5 4d)

2 6 7 2 8 5b)

8 6 6 4 7 0 1e)

4 5 0 6 0 2 0c)

9 5 0 0 4 0 6 0 0f)


Resuelve los siguientes ejercicios.

1. Si una persona gana al día $160, ¿cuántos días tiene que trabajar para ganar $2 400?

2. Por 176 carros de juguete se pagaron $4 400, ¿cuánto se pagó por cada uno?

3. En 46 vagones de ferrocarril se cargaron en partes iguales un total de 19 320 sacos de sorgo, ¿cuántos sacos se cargaron en cada vagón?

4. En una fábrica se consumieron 392 000 litros de gas en 280 días laborables. Suponiendo que el consumo diario haya sido constante, ¿cuántos litros de gas se consumieron por día?

3 1 0 9 0 2 3g)

7 7 7 4 4 8j) 7 8 3 5 0 2 1k) 2 0 0 0 0 8 5 0 0 0 0l)

4 0 6 0 7 0 5h) 3 6 0 0 0 7 3 0 6 0 0i)

LECCIÓN

40

4

Desaplanos

Desarrollos planos


Al proceso de generación o construcción de cuerpos geométricos a partir de superficies planas se le conoce como desarrollo plano.Los poliedros son sólidos limitados por planos; éstos se llaman caras, sus intersecciones aristas y las intersecciones de éstas, vértices.

Existen dos categorías de poliedros: los regulares y los irregulares.Los regulares tienen todas las caras iguales y los irregulares tienen por lo menos una de sus caras diferente a las demás. Hay dos tipos de poliedros irregulares, los prismas y las pirámides.Las aristas, vértices y caras se consideran elementos de los poliedros.Identifica y registra el nombre de los siguientes poliedros y señala sus elementos con la inicial correspondiente.

Poliedros Nombre Elementos

TetraedroArista ACara CVértice V

Arista ACara CVértice V




Poliedros Nombre Elementos

Prisma triangular






A

AV

V

C


En una hoja de cartulina, dibuja en un tamaño más grande los desarrollos de cada poliedro; recórtalos y pégalos convenientemente para formar los cuerpos. Identifica su nombre.

LECCIÓN

42

5

Areavolum

Área y volumen de prismas


El volumen de un cuerpo es la medida que se le asocia al espacio del cuerpo.

El área de los cuerpos geométricos está relacionada con la superficie del desarrollo de los planos.

El área lateral de un prisma recto es igual al perímetro de la base por la altura.El área total de un prisma recto es igual al área lateral más el área de las dos bases.El volumen de un prisma es igual al área de la base por la altura.

Calcula el área total y el volumen de los siguientes cubos.

a) Fórmula Sustitución Operación Resultado

a = 8.3 cm

a = 3.7 cm

b) Fórmula Sustitución Operación Resultado

El área total de un cubo es igual a seis veces el cuadrado de la arista.El volumen del cubo es igual a elevar a la tercera potencia la arista; es decir, el cubo de la arista.

Aquí, a significa la arista

Al = P × h

At = Al + 2 (área B)

At = 6a2

a

V = área B × h

V = a3


c) Encuentra el área lateral, el área total y el volumen de un prisma regular hexagonal de las siguientes medidas: 8 cm de altura, 4 cm de lado de la base y 3.5 cm de apotema. Es importante recordar la definición de apotema.

Fórmula Sustitución Operación Resultado

d) Encuentra el área lateral, el área total y el volumen de un prisma octagonal regular de las siguientes medidas: 12 cm de altura, 5.2 cm de lado de la base y 6.1 cm de apotema.


El área lateral de una pirámide regular es igual al perímetro de la base por el apotema de la pirámide (apotema lateral, la recta que va del vértice al punto medio de la base de la cara triangular) entre dos.El área total de una pirámide regular es igual al área lateral más el área de la base.El volumen de una pirámide es igual al área de la base por la altura entre 3.

d) Halla el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular regular que tiene las siguientes medidas: altura 12 m, apotema 15 m, lado de la base 18 m.


Al = 12

(P × a)

At = Al + área β

V = 13

(área β × h)

Aquí,P = perímetro de la basea = apotema.

44 BLOQUE DOS Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado

f) Halla el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide pentagonal regular que tiene las siguientes medidas: 18 m de altura y 16.5 m de apotema; la base tiene 12.4 m de lado y 10 m de apotema.


Las unidades de medida del volumen de un cuerpo pueden ser:

metro cúbico (m3), decímetro cúbico (dm3), centímetro cubico (cm3) o milímetro cúbico (mm3),

entre otras.

Resuelve los siguientes ejercicios, determinando el volumen de los cuerpos.

Al ver un prisma rectangular metido en una caja rectangular de 6 cm de altura sólo se observa lo siguiente:

De acuerdo con la figura, ¿cuál es la cantidad de cubos que conforman dicho prisma si cada cubito mide 1 cm por lado?

Observa el siguiente dibujo que representa un mue-ble para acomodar cajas de zapatos y donde cada prisma que se forma es un espacio para una caja.

Si al empleado de la zapatería le dijeron que acomo-dara un pedido de zapatos de 295 cajas, ¿cuántas cajas sobraron para acomodarlas en otro mueble?

12

34

56

78

9 10

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6 cm

LECCIÓN

45

6

Intinfmate

Interpretación de la información matemática

Competitividad es la

capacidad de una entidad para atraer

y retener inversiones y

talento.

Manejo de la información

Para interpretar la información, es de suma importancia comprenderla y organizarla.

¿Cómo se encuentra Hidalgo en cuanto al índice de competitividad?En base a los datos de la siguiente gráfica, contesta lo que se pide.

¿Cuánto tiempo se registra la competitividad? De las 32 entidades federativas, ¿qué posición ocupa Hidalgo en

competitividad en el año 2008?

Según esta gráfica, ¿en qué año está mejor posicionado?

La competitividad se mide por diez factores:

Sistema de derecho Manejo sustentable del medio ambiente Sociedad incluyente, preparada y sana Economía estable y dinámica Sistema político estable y funcional Mercado de factores eficientes Sectores precursores de clase mundial Gobiernos eficientes y eficaces Aprovechamiento de las relaciones internacionales Sectores económicos en vigorosa competencia.

Posición competitiva del estado de Hidalgo

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

27 27

29 29 28

30

27 27

enseñanza de las matemáticas - angeles editores temáticos sentido numérico y pensamiento...

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