pau mate cyl
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Ejercicios selectividad 2004-2014Matemáticas Castilla y LeónTRANSCRIPT
-
Solucin Junio 2014
OPCIN A E1.- Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales segn los valores del
parmetro m :
+=+=+=+
122
1
mymxmmyx
ymx(2,5 puntos)
La condicin fundamental para que sea compatible es que el determinante de los coeficientes ampliados sea nulo, una vez establecida esa condicin analizaremos si es compatible determinado o indeterminado. Si no se anula el sistema es incompatible
( ) ( ) ( ) ( )
( ) { } ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ,1,11mindet
1/001
000011
211
221111
1
2/3/0/11010/
1121112
111
21220110
111
1221
111/
2
222
===+
-
Solucin Junio 2014 Continuacin del Ejercicio E2 de la opcin A a) Continuacin.- Una recta y un plano pueden ser paralelos o pertenecer la recta al plano, en ese caso sus vectores directores son perpendiculares y su producto escalar nulo, y si no es nulo las recta y el plano se cortan en un punto.
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) laresperpendicusonplanoelyrectaLasenarcvv
vvsenvvsen
puntounenplanoyrectacorSevvvv
r
r
r
rr
==
=
=++++
=
==
=++==
==
901
199
9
212212
9,
tan094142,1,22,1,22,1,22,1,2
222222
b) Sean los puntos P y Q
( ) ( ) ( )( )
( )
( )( )( )
( )
+==+=
===+
+==+=
===+
=++++
=++
+++
+==
+=
9,3,1323
36327
32791899
1,7,9123
16127
1991899
63
54664146212
52326272
236
27
222
Pzy
xQ
Pzy
xP
zyx
r
E3.- Hallar la funcin polinmica de grado 3 sabiendo que su grfica pasa por el punto P(1 , 0), que tiene por tangente en el punto de abscisa x = 0 la recta de ecuacin y = 2x + 1, y que su integral entre 0 y 1 vale 3. (2,5 puntos)
( ) ( )( )
( )( )
( ) [ ] [ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1221242432121933
1243
31243
112
4331134
30101013
014
322
34312
3030112110122020320'
1100011020
23'
23
223344
1
0
10
210
210
310
423
23
2
23
223
+++===+=
==+
=+=+
=+
=+++=+++
=+++=+++
=+=++=+++===++==
==+++=+=
++=+++=
xxxxfaabba
ba
bababababa
xxxbxadxxbxax
bababafccbafm
ddcbaf
cbxaxxfdcxbxaxxfesfuncinLa
2
-
Solucin Junio 2014 E4.- Sea la funcin ( ) 2xexf = . Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, puntos de inflexin y asntotas. Esbozar su grfica. (2,5 puntos)
( ) ( )
>>
>=
xex
xxexfCrecientexexf
x
xx
00
02020'2'
2
22
0 -2 < 0 ( - ) ( - ) x > 0 ( - ) ( + )
2xe > 0 ( + ) ( + ) Solucin ( + ) ( - )
Creciente 0/ xx Mximo relativo en ( ) 100 002 ==== eefx De creciente pasa a decreciente
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( )( )
=>>>+
=
>+
>>=+=
22
2112021
22
211212021
002
021212
02120''21222''
2
2
2222 22
xxx
xxxx
xex
xxe
xexfConcavidadxexexexf
x
x
xxxx
22
22
2 < 0 ( - ) ( - ) ( - ) 2xe > 0 ( + ) ( + ) ( + )
x 22
( - )
( + )
( + )
2 < 0 ( + ) ( - ) ( + )
Concavidad
>
> xx
Punto de inflexin ee
eefx 1122
22
21
42
22
2
====
=
Punto de inflexin ee
eefx 1122
22
21
42
22
2
====
=
3
-
Solucin Junio 2014 Continuacin del Ejercicio E4 de la opcin A
( )
( )
( )
( )=
=
=
==
=
====
==
====
==
==
==
xcuandooblicuaasntotaexisteNoxex
exxfm
xcuandooblicuaasntotaexisteNoxex
exxfm
oblicuasAsntotas
xcuandoyhorizontalasntotaExisteeee
y
xcuandoyhorizontalasntotaExistee
y
eshorizontalAsntotas
verticalasntotaexisteNosolucinexisteNoee
xf
verticalesAsntotas
xx
x
xx
xx
x
xx
xxxxxx
xx
xx
011lim
1
limlim
011lim
1
limlim
,0,011lim1lim1lim
,0,011lim
01
2
2
2
2
222
2
2
2
Y
X
4
-
Solucin Junio 2014
OPCIN B
E1.- Sea la matriz .
++++++
=654321
aaaaaaaaa
A
a) Discutir su rango en funcin de los valores de a. (1,5 puntos) a
b) Para a = 1, resolver la ecuacin matricial
=
000
XAt , siendo At la matriz traspuesta de A. (1 punto)
( ) 200022021
44022021
654321
654321
)
=
++++++
Arangaaa
aaa
aaaaaaaaa
a
=++=++=++
=
=
0753032
0
000
753642111
)
zyxzyx
zyx
zyx
A
b
t
Es una ecuacin homognea y como su rango es 2, igual que el de A, menor que el nmero de incgnitas el sistema es Compatible Indeterminado.
=
=
=+==+
2
02202000
000210111
000
000420111
000
420420111
000
753642111
)
zyx
Solucinzx
zzxzyzy
b
5
-
Solucin Junio 2014 E2.- Calcular la recta contenida en el plano 31 =++ zyx , paralela al plano 02 = x , y que pasa por el punto simtrico de B(-1 , 1 , 1) respecto de 2 . (2,5 puntos) Para calcular el punto B simtrico de B respecto a 2 , hallaremos una recta s que contenga a B y sea perpendicular a 2 (el vector director de este plano), el punto Q interseccin de la recta y el plano es el punto medio de B y B. Adems un vector director que tiene que ser perpendicular a los vectores directores de los dos planos, ya que de uno, es paralelo y su vector director perpendicular al del plano y por estar contenida en 1 es perpendicular a su vector director. Por lo tanto el vector director de la recta r es el producto vectorial de los dos vectores directores de los planos.
( ) ( )
( )
( )( )
( )
=+==
====
==++
=
==++
=
==++
=
==+=
==+
==+=
11
11,1,0
001111
0,0,11,1,1
1,1,1'
1212
11
1212
11
1012
10
1,1,011
11101
11
10,0,1
21
2
1
2
'''
'''
'''
zy
xrvkj
kjivvv
vv
B
zzz
yyy
xxx
Qzy
xQ
zy
xsv
rr
BBB
BBB
BBB
E3.- Sea la funcin ( ) xxf 2+= a) Hallar su dominio y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (0,5 puntos) b) Calcular el punto de la grfica de ms cercano al punto (4 , 0). (2 puntos)
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )=
++
=+
+
+
==
+====+
=
+
==+=++=+=
>>>=+=
=
1642164
164
21642
42164''
2222020'164
2'
164242'1641684402
)
0/00'12
12'
0/0)
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2222
xxxxx
xx
xxx
xxx
dxxddd
fxxxdxx
xxd
xxx
dxxdddxxxxxxxxd
b
ntodecrecimiehayNo
xxCrecientexxfCrecientexx
xf
xxfDomxa
6
-
Solucin Junio 2014 Continuacin del Ejercicio E3 de la opcin A
( ) ( )
( )22,201
1212
16242122''
16412
16444164''
)
222
22
Punto
Mnimodxxxx
xxxxxd
b
>==+
=+
=+
++=
E4.- Sea la funcin ( ) ( )21 xx
eexf+
= .
a) Calcular un punto de su grfica tal que la recta tangente en dicho punto sea paralela al eje OX. Escribe la ecuacin de la recta tangente. (1 punto) b) Calcular el rea limitada por la grfica de la funcin, el eje y las rectas x = 0 y x = ln 5. (1,5 puntos)
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) 01404100
41tan.
41
10
0011lnln1010101
10'
11
112
121
1121'
)
20
0
3
33
2
3
22
3
2
4
2
====+
=
=======+
==
+
=
+
=
+
+=
+
+=
+
++=
yyxygEcuace
ef
xxexeeeee
eexfm
eee
eee
eeee
eeee
eeeeeexf
a
xxxx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
xxxxx
( )
( )
( )
( )2
05ln
5ln
0
5ln
02
lnln
112222
2
31
613
61
21
21
61
111
511
11
11
11
1
lnlnlnlnlnlnln
1
111
121
1
0lnln001
0
)
ueee
dxe
eA
KCkCekCeCeC
dtdxete
Ket
ttdtttdtdx
eeA
solucinSinexee
eyOXconcortedePuntos
b
xx
x
KK
xx
xx
x
x
x
x
=
==
=
+
+=
+
+=
+
=+
=
=====
==+
++
===+
==+
=
===+
=
+
7
-
Solucin Septiembre 2014
OPCIN A
E1.- a) Resolver la siguiente ecuacin matricial X A = B - C siendo
=
1325
A ,
=23
12B y
=
2111
C (1,5 puntos
b) Sean 321, FyFF las filas de una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcular razonadamente el valor del determinante de la matriz cuyas filas son respectivamente 313 FF , 2F y 32F (1 punto)
( ) ( ) ( )
( )
30025623
22322323)
241485
5321
4221
5321
2111
2312
5321
5321
11
5321
123510165
1325
)
3231
3233213233213231
1
11
1111
==
==
=
=
=
=
=
=
=====
===
FFFF
FFFFFFFFFFFFFFFFb
X
XA
AadjAAadjA
AAExisteA
ACBXACBXIACBXAAa
ttt
E2.- Sea el punto A(1 , 1 , 3) y la recta de ecuacin
==+
2
02zyx
r
a) Calcular el plano perpendicular a la recta r que pase por A. (1 punto) b) Calcular la distancia del punto A a la recta r. (1,5 puntos) a) El plano tiene como vector director el de la recta perpendicular al vector AG, siendo G el punto genrico del plano, como ambos vectores son perpendiculares su producto escalar es nulo y la ecuacin pedida del plano
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
02011
03,1,10,1,103,1,13,1,1,,
0,1,1
2
22
202
=+=+
==
====
==+=
+=
==+
yxyx
zyxAGvAGvzyxzyxAG
vv
zy
xrxy
zyx
r
rrr
1
-
Solucin Septiembre 2014 Continuacin del problema E.2 de la opcin A b) Hallando el punto de interseccin P de la recta r y el plano (hallado en el apartado anterior), el mdulo del vector AP es la distancia buscada
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) uAPrAd
APzy
xP
zy
xr
3111,
1,1,13,1,12,0,220
02002022
2
2
222 =++==
==
==+=
===++
==+=
E3.- Sea la funcin f(x) = x2e-x. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexin y asntotas. Esbozar su grfica. (2,5 puntos)
( ) ( ) ( ) ( )
>>
>
>>==
22020
0020'22' 2
xxxxe
xxexxfCrecientexexexexxf
x
xxxx
0 2 x > 0 ( - ) ( + ) ( + ) e-x> 0 ( + ) ( + ) ( + ) x < 2 ( + ) ( + ) ( - )
Solucin ( - ) ( + ) ( - ) Decrecimiento ( ) ( )20/ >+>>
+>+>
=+=
=
=====+
+=+==
220220
22022
22220240''
2222
2224
1284088162144024
242222''
2
22
22
xxxexx
xxexxexfConcavidad
xxxxx
xxexxxxeexxexxexf
x
xx
xxxxx
22 22 + 22>x ( - ) ( + ) ( + )
22+>x ( - ) ( - ) ( + ) e-x> 0 ( + ) ( + ) ( + )
Solucin ( + ) ( - ) ( + )
Concavidad ( ) ( )2222/ +>
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Punto de inflexin en ( ) ( ) ( )22222022 == efx Punto de inflexin en ( ) ( ) ( )22222022 ++=+= efx
E4.- a) Hallar el punto en el que la recta tangente a la grfica de la funcin ( ) 42 += xxxf es paralela a la recta de ecuacin 75 = xy (1 punto) b) Calcular el rea delimitada por la parbola de ecuacin ( ) 22xxf = y la recta 42 += xy (15 puntos)
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) [ ] [ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] 2
332221
321
2
1
21
222
1
2
2
2222
2
93
18123183212414
123212412
3124
212242
0044020
0020201
12
31
22
31
129109812141
020220422422)
1043333625125'12')
uA
xxxdxxdxxA
fyy
f
x
xx
xxxxxxxxfuncionesentrecortedePuntob
fxxxxfxxfa
=+=++=
+=+=+=
>
=+===
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIN B
E.1.- Sea el sistema de ecuaciones lineales
=+=
mmyxymx
211
a) Discutir el sistema segn los valores de m. (1,5 puntos) b) Hallar los valores de m para los que el sistema tenga alguna solucin en la que x = 2. (1 punto)
mmyxymx
211=+
=
( ) ( )
{ } ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )1,,11mindet
1/01
0011
11
1111
1
2/121
0011
31
1111
1
min201,1
101101
01101011
1)
22
===
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti
E.2.- a) Dados el punto A(3 , 5 , 1) la recta 122
1+=+=
zyxr y el plano 0523 =++ zyx ,
determinar el punto B de tal que la recta AB sea paralela a la recta r. (1,5 puntos) b) Hallar las coordenadas de un vector de mdulo 1 que sea perpendicular a los vectores PQ y PR siendo P(1 , 3 , -1) , Q(2 , 0 , 1) y R(-1 , 1 , 0). (1 punto) a) El punto S que se busca es el de interseccin de la recta s que contiene el punto A y tiene como vector director el de la recta r , y el plano
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
( )0,4,11115123
15505505121069
05152233sec15
231,1,2
Qzy
xQ
cinInterzy
xsvv rs
+=+=+=
===+=++++
=+++++
+=+=+=
==
b
) El vector perpendicular a PQ y PR , es el vector resultante del clculo del producto vectorial de ambos vectores, despus lo normalizaremos dividiendo sus componentes entre el valor de su modulo
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
=++=
==++=++=++++=
=
====
772,
772,
772
724
724
724
724844444422326
211231
2,1,12,2,21,3,11,1,12,3,11,3,11,0,2
222
PRPQkjiPRPQ
PRPQkjijikkjiPRPQ
kjiPRPQ
PRPQ
5
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti E.3.- Se desea construir un depsito de chapa (en forma de prisma recto, abierto y de base cuadrada) con una capacidad de 32.000 litros. Cules han de ser las dimensiones del depsito para que se precise la menor cantidad de chapa posible en su construccin? 32.000 (2,5 puntos) Siendo B el lado de la base y H la altura del prisma
( )
( )
( )
===
=>
+==
+
=+
=
==
======
=
=
=
=+
==
+
=+=+=
+=
==
dmH
dmBMnimo
dHBdA
BB
BBB
BBBBB
dHBdA
BBBB
BBA
BB
BBB
BBBB
dHdBA
BB
BB
BBBA
BHBAB
HdmHB
20160032000
4032000
400
4025600040440''
256000425600026128000226''
4064000640002
128000128000201280002
012800020'128000212800031280003'
1280001280003200044
3200032000
23
3
2
2
3
3
3
33
4
322
2
2
3333
2
3
2
3
2
33
2
32
32
22
2
232
E4.- a) Enunciar e interpretar geomtricamente el Teorema de Rolle. (1 punto) b) Hallar la primitiva de xx ln2 cuya grfica pasa por el punto (1 , 2) (1,5 puntos) a) Teorema de Rolle Sea f(x) una funcin continua en [a , b], derivable en (a , b) y que verifica que f(a) = f(b); entonces existe, al menos, un punto ( )b,ac tal que f(c) = 0
Demostracin grfica
En el siguiente grfico se observan las tres condiciones: la funcin es continua en el intervalo cerrado [a,b], es derivable y los valores que toma la funcin en los puntos a y b son iguales, es decir, f(a) = f(b). Existe, por lo tanto, al menos un punto c que pertenece al intervalo abierto (a,b) en el cual la derivada de la funcin es igual a cero. Vale observar que c es distinto de a y de b. No debemos confundir c con f(c), que s puede ser igual a f(a) y f(b).
Continuacin del problema E.4 de la opcin B
6
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti En la ilustracin se ve una funcin constante, pero el teorema no slo se cumple en este caso. Se pueden dar tres casos en los que f(c) es distinto de f(a) y f(b), a saber:
Caso 1. El punto mximo es igual a f(a) y f(b) y el punto mnimo es distinto de ambos, lo cual implica que la curva es cncava hacia arriba. El punto mnimo es m = f(c), y la derivada de la funcin en este punto es 0.
Caso 2. El punto mnimo es igual a f(a) y f(b) y el punto mximo es distinto de ambos, lo cual implica que la curva es cncava hacia abajo (o convexa). El punto mximo es M = f(c), y la derivada de la funcin en este punto es 0.
Caso 3. Tanto el punto mnimo como el punto mximo son distintos a f(a) y f(b). Esto significa que dentro del intervalo cerrado [a, b] la funcin alcanza un punto mximo M = f(c2) mayor al valor de la funcin en los extremos a y b y un punto mnimo m = f(c1) menor a los mismos. Tanto en el punto mximo como en el punto mnimo, la derivada de la funcin es nula. Es decir, f '(c1) = 0 y f '(c2) = 0.
Continuacin del problema E.4 de la opcin B
7
http://es.wikipedia.org/wiki/Convexo
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]191ln91
9191ln
91
9191ln3
91
919
9122
912
3101
312
311ln1
3121
31ln
31
31ln
311
31ln
31ln
31
1ln
31
31ln
31
31ln
311
31ln
31ln
)
33333
3
323332
322
3323332
+=+=+=
=+==+=+
=+
=
+
====
===
==
====
xxxxxxxF
KKKKF
Kxxdxxxxdxx
xxxdxxxxF
xdxxvdvdxx
dxx
duxu
xxxdxxxxdxx
xxxdxxxxF
b
8
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
1
OPCIN A
E1.- Sea las matrices
=
=
=1
2
1
4
1
3
,1
2
CyB
a
A
a) Calcular, cuando sea posible, C . B t , B t . C y B . C (075 puntos) b) Hallar a para que el sistema CByAx =+ 4 de tres ecuaciones y dos incgnitas x e y sea compatible determinado, y resolverlo para ese valor de a (175 puntos)
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
==
=
==
=
=
1313.
51331
1
2
1
413
413
826
413
3113413
1
2
1
413
)
xotropordomultiplicaxesrmultiplicapuedesenoCB
xotropordomultiplicaxesCB
xotropordomultiplicaxesBC
B
a
t
t
t
( ) ( ) ( )
{ } ( ) ( )( ) ( )
( )
=
==
==
====
==
====+=+++
======
==
=
===+
=
+
=
+
5
12,
5
28,
5
1288
5
12
5
12125
0
8
12
00
11
50
12
8
12
50
11
50
4
8
4
41
11
32
min2/0/1
3/20/1
128
2828280282801264416248
0
44
811
432
/0/det2/
053211
32
44
8
432
4
8
4
4
32
1
2
1
4
4
1
3
1
2
)
yxSolucin
xxyy
adoDeterCompatibleSistemaBArangArangBAa
leIncompatibSistemaBArangArangBAa
aaaaa
a
BABAincognitasdeNmeroBArangArang
A
yax
yx
yx
y
y
y
ax
x
x
y
a
x
b
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
2
E2.- Sean los puntos A(1 , 2 , -1) , P(0 , 0 , 5) , Q(1 , 0 , 4) y R(0 , 1 , 6) a) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto A, es paralela al plano que pasa por los puntos P, Q y R, y tal que la primera componente de su vector es doble que la segunda (175 puntos) b) Hallar la distancia del punto A al plano que pasa por P, Q y R (075 puntos) a) El vector director de la recta r es perpendicular al vector director del plano , que contiene a los puntos P, Q y R, siendo este el producto vectorial de los vectores PQ y PR y, por ello, su producto escalar es nulo
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )
=+=
+=====
=+=+==
==
=+===
====
1
2
21
1,1,21,1,21,1,1211
0101201,,21,1,101,,2
1,1,1
1,1,1
110
1011,1,05,0,06,1,0
1,0,15,0,04,0,1
z
y
x
rvaa
aaaaavvvvaav
v
vjik
kji
PRPQvPR
PQ
r
rr
r
b) Conocido el vector director del plano este es perpendicular al vector PG, siendo G el punto genrico del plano siendo su producto escalar nulo y la ecuacin del plano buscado. Despus hallaremos la distancia pedida
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) uAd
zyx
zyxPGvPGvzyxzyxPG
v
3
37
3
7
3
7
111
5121,
05
05,,1,1,105,,5,0,0,,
1,1,1
222==
=
++
+=
=+
==
===
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
3
E3.- Sea la funcin ( )
>+=+=
202
0
03
0'2363'
)
2
xx
x
x
xfoCrecimientxxxxxf
a
- 2 0 3 > 0 ( + ) ( + ) ( + ) x > 0 ( - ) ( + ) ( + ) x > 2 ( - ) ( - ) ( + )
Solucin ( + ) ( - ) ( + ) Creciente ( ) ( )02/ >
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
4
Continuacin del problema E- 4 de la opcin A Apoyndonos en el Teorema de Bolzano que dice que si f(x) es continua en el intervalo [a , b] , y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo [sign f(a) sign f(b)] , entonces existe, al menos, un punto ( )b,ac tal que f(c) = 0 Estudiemos los valores de la funcin en el entorno de sus extremos relativos, primeramente en el intervalo [-
4 , -1], entonces ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
>=+=+=
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
5
OPCIN B
E1.- Sea la matriz
=a
a
A
10
020
02
a) Para qu valores de a la matriz es inversible? (05 puntos) b) Estudiar el rango segn los valores de a (05 puntos)
c) Hallar a para que cumpla AA =4
11 (15 puntos)
a) Una matriz tiene inversa cuando su determinante no es nulo
{ } 1222 0000020210
020
02=====
= AExisteAaaaaASia
a
a
A
{ } ( )
( ) 1010
000
000
010
020
020
0
300
)
=
==
=
ArangAaCuando
ArangAaComo
b
2
2
244
4
1
2424
1
2
1
22
112
244
4
1
44
10
02
10
02
1
4
4
1
1
2
10
02
10
011
20
00
022
2
1
20
00
022
00
122
001
0)
2
222
1
21
=
==
===
===
==
==
===
=
=
=
=
==
aSolucin
a
aaa
a
a
aaa
aa
a
aaa
a
a
a
a
A
aa
aa
aa
a
aa
aA
aa
a
aa
Aadj
a
a
AAadjA
A
aCuandoc
ttt
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
6
E2.- Sean los puntos P(1 , 4 , -1) , Q(0 , 3 , -2) y la recta
==
4
1
zy
xr
a) Hallar la ecuacin del plano que pasa por P, por un punto R de la recta r y es perpendicular a la recta que pasa por Q y R (15 puntos) b) Hallar el ngulo que forman la recta r y el plano 03= yx (1 punto) a) El plano buscado contiene al vector RP, donde R es el punto genrico de la recta r que es perpendicular al vector QR, y por ello, el producto escalar, de ambos, es nulo. Una vez obtenido el punto R el vector QR hallado, vector director del plano, es perpendicular al vector PG siendo G el punto genrico del plano su producto escalar es nulo y la ecuacin buscada
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
radsenarc
vv
vvsen
v
v
b
zxzxzyxQRPGQRPG
QR
zyxzyxPGRR
QRPRQRPR
QR
PRR
z
y
x
rzy
a
r
rr
630
2
1
2
1
22
1
011110
0,1,11,1,0
0,1,1
1,1,0
)
001101,0,11,4,10
1,0,12,3,01,3,1
1,4,11,4,1,,1,3,11,14,1
122
04022440242022
0211002,1,11,,00
2,1,12,3,0,4,1
1,,01,4,1,4,1,4,14
1
4
)
222222
2222
==
=
=
=
++++
=
=
==
=+=++=+=
==+==
=====++=+++++
=+++++=+++=
++=+=+=+=
+=
+==
+=
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
7
E3.- Sea la funcin ( )2
2
+=
x
xxf
a) Calcular sus asntotas y estudiar su crecimiento y decrecimiento (1 punto) b) Dibujar el recinto comprendido entre la recta y = 1, la grfica de la funcin f(x), el eje OY y la recta x = 2; calcular el rea de dicho recinto (15 puntos)
( )
( )
( )( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
>+>
>+
>+
=+
++=+
+=
==
=
=
=
=
=+
==
=+=
+
=+
=
+
=
=
+=+
==
=
=+=
+
=+
=
+
=
=
+=
+=
+=
=
=+=
+
=+
=
+
=
=
+=
==+===+
=+=
+
=+
=
+
=
=
+=+
==
xCrecientexx
x
xxfoCrecimient
xx
xx
x
xxxf
xcuandooblicuaasntotaexisteNo
x
xx
xx
xxx
x
xx
x
xx
x
x
xfm
xcuandooblicuaasntotaexisteNo
x
xx
xx
xxx
x
xx
x
xx
x
x
xfm
oblicuasAsntotas
xcuandoyhorizontalasntotaExistex
x
xx
xxx
x
x
x
x
x
x
xy
xcuandoyhorizontalasntotaExistex
x
xx
xxx
x
x
xy
eshorizontalAsntotas
xverticalAsntotasolucinSinfxx
x
xx
xx
xxx
x
xx
x
xx
x
x
xfm
a
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxx
xxxxx
02
04
02
40'
2
4
2
22
2
22'
001
002
1
21
21
21
lim2
2
lim2
2lim2
2
limlim
001
002
1
21
21
21
lim2
2
lim2
2lim2
2
limlim
,1,
001
012
1
21
21
21
lim2
2
lim2
2lim
2
2lim
2
2lim
,1,
101
012
1
21
21
21
lim2
2
lim2
2lim
20
4
22
222202
001
002
1
21
21
21
lim2
2
lim2
2lim2
2
limlim
)
2
2222
2
2
22
2
22
2
2
2
22
2
22
2
2
2
22
2
22
2
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
8
Continuacin del problema E3 de la opcin B b)
[ ] ( )
( ) [ ] ( ) [ ] ( ) 2424
2
2
0
20
2
0
2
0
2
0
2
0
20
2
0
2
0
2
0
2ln42
4ln42ln4ln4ln44022
2402
4
12
42
20222
24102
2
41
2
2
2
21
utt
dt
x
dxxA
x
tx
txdtdxtxxx
x
dxdxdx
xxdx
x
xdxdx
x
xdxA
====+=+
+=
====
==++
++=
+=
+=
++=
Y
X
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
9
E4.- Determinar, de entre los tringulos issceles de permetro 6 metros, el que tiene rea mxima (25 puntos)
LL
B
( )( )[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( ) equilteroTringulomBmL
MximoA
LL
L
LL
LL
LL
LL
dL
AdA
L
LL
L
dL
AdALL
L
LA
L
L
L
L
L
LLLL
LdL
dAA
LLLL
A
LLH
LLLLLLLLLLH
BHA
LLH
BLH
BLBLH
BHL
LLBBL
===
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIN A E1.- a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales segn los valores del parmetro m:
=+=+
=+
mmzymxmyx
mzyx
23
03(2 puntos)
b) Resolverlo para m = 0 (05 puntos)
( )
( )
{ } ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ),0,0,,0000000
001011000
mindet0)
mindet
2/2
30
131140
000
236
131140280
210
131011113
1
mindet
2/000
001011000
000
001011004
000
030011013
0
min301,0
1010
0100
9829
41
2090413
3011
13)
2
22
===+=
=
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti E2.- Sean el plano 0=++ zyx , la recta zyxr == y el punto A(3 , 2 , 1). a) Hallar la recta que pasa por A, es paralela a y corta a r. (1 punto) b) Hallar los puntos de r que equidistan de A y de . (1,5 puntos) a) El vector director de la recta s es AR, siendo R el punto genrico de esta, es perpendicular al vector director del plano , siendo su producto escalar nulo y con ello se obtiene el vector director pedido, que con el punto A definen la recta
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )11
0231,0,11,0,112,22,32
263063012301,1,11,2,3
01,1,1
1,2,31,2,3,,,,:
+
=
===
====++=
=
====
===
xxxsv
vvvvv
ARvRzyx
r
s
sss
b) El mdulo del vector AR, siendo R el punto genrico de la recta r, es igual a la distancia que hay entre el plano y el punto R, de esa manera calcularemos el punto P que pertenece a r
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=
=
=
=
==
=+=+=+=+++++
=++=++
=
=++
++=
++==
67,
67,
67
676767
67
6776
076014123141233124496
31233
3123
,
33
111,
1231,2,3
222222
222222
222
222
P
z
y
x
P
AdARAd
ARAR
E3.- Sea ( ) ( ) xexxf += 1 . Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexin y asntotas. Esbozar su grfica. (2,5 puntos)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
>>
==+=
xex
xxfoCrecimientexexexexf
x
xxxx
00
010'1111'
0 -1 < 0 ( - ) ( - ) x > 0 ( - ) ( + )
e-x > 0 ( + ) ( + ) Solucin ( +) ( - )
Crecimiento 0/ xx Mximo relativo ( ) ( ) 11.11000 0 ==+== efx
2
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti Continuacin del Problema E.3 de la opcin A
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
>>>
>===
1010
0'1111''xxxe
xfConcavidadxexeexexfx
xxxx
1 e-x > 0 ( +) ( + ) x > 1 ( - ) ( + )
Solucin ( - ) ( + ) Concavidad 1/ > xx Convexidad 1/
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
( ) KxxI
dttdxtx
tttdttdtdt
ttdt
ttdtt
ttdx
xxI
++++=
==+
=+=+=+=+
=+
=+++
=
1ln12
21
ln22ln222212211
11
2
2
4
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIN B
E.1.- Sea la matriz :
=
221120111
M
a) Calcular M-1. (1,5 puntos) b) Calcular la matriz que cumple XM + M = M2 . (1 punto) a) Una matriz tiene inversa siempre que su determinante no sea nulo
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
=
==+=+=+=+
=
=
=
==
===
=
=
=
121110110
100010001
221120111
)
321
32
311
31
310
32
232131102
31
232131102
211221
1011
031231112
3133
121
330120111
221120111
1212
1
11
1
X
IMXMIXMIIXMMMMIXMMIXb
M
MMadjMMadjM
M
MExisteM
ttt
5
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti E.2.- Sean las rectas 1== zyxr y mzyxs == 2 a) Determinar m para que las rectas sean coplanarias. (1,5 puntos) b) Para m = 2, calcular la distancia entre las rectas. (1 punto) a) Para que sean coplanarias o sea para determinar un plano que las contenga contamos con los dos vectores directores y el vector que une los puntos cualquiera de cada una de las rectas (tomaremos los indicados en las ecuaciones que las definen), que llamaremos R y S. El determinante de la matriz que forman es nulo al estar en el mismo plano y con esa condicin calcularemos m. ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
262062002
321
0111020
3200
111111
102
1,0,21,0,0,0,21,1,11,1,1
,0,21,0,0
===+=
=
=
===
=
mmmm
mm
mmRSv
v
mSR
r
r
b) Dado que no son rectas que se cortan y no tienen puntos comunes, ni sus vectores son proporcionales con lo que no son paralelos ni la recta r es coincidente con s habr que terminar admitiendo que son rectas que se cruzan en el espacio. Trazaremos un plano que conteniendo a s sea paralelo a r, plano que queda determinado por los dos vectores directores de la recta y el vector SG, siendo S un punto cualquiera de la recta s (tomaremos el indicado en la ecuacin) y G el punto genrico del plano. Estos tres vectores son coplanarios y el determinante de la matriz que forman es nulo y la ecuacin buscada. La distancia de uno cualquiera de los puntos R (tomaremos el indicado en la ecuacin) al plano es la distancia buscada. ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
uRdsrd
zxzxzxyxzzyx
zyx
zyxzyxSGv
v
SR
r
r
223
23
101
210,,
040220222202222
0111111
22
2,,22,0,2,,1,1,11,1,1
2,0,21,0,0
222=
=
++
==
===+=+++
=
===
=
6
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti E.3.- a) Enunciar el teorema del valor medio de Lagrange. Dar su interpretacin geomtrica. (1 punto)
b) Estudiar la continuidad de la funcin:
+===
====
( )( )
( )
( ) ( )
( )( )
====
=+==+==
==
=>====+=
=
=
=
++
=
++
=
++
=
++++
=
2b02b2b02b
02b2b04b312b11a01a
1a3a
2162a016314203a2a3a20a0b
01ab23003
3003
a2ba1ab21ab2a2ba
3003
a2bab2ab2b2ab2a2ba
3003
a2b2b2a2
baab2ab2ba
3003
a2b2b2a2
ababbabaabba
1001
3abba
2abba
abba
)b
222
2222
22
22
22
22
22
22
22
22
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti
10
E4.- Un cuadrado tiene dos vrtices consecutivos en los puntos P(2 , 1 , 3) y Q(1 , 3 , 1); los otros dos sobre una recta r que pasa por el punto R(- 4 , 7 , - 6) a) Calcular la ecuacin de la recta r (05 puntos) b) Calcular la ecuacin que contiene al cuadrado (1 punto) c) Hallar las coordenadas de uno de los otros vrtices (1 punto) a) La recta r es una recta paralela a la recta que une P y Q, por lo tanto tiene el vector director que esta
( ) ( ) ( ) ( )
+==+=
===26z
27y4x
r1,2,12,2,13,1,21,3,1PQvr
b) El plano contiene a los puntos P, Q y R, aunque este ltimo no sea, seguramente, vrtice del cuadrado. Para hallarlo obtendremos los vectores PQ, PR y el vector PG, siendo G el punto que genera al plano, estos tres vectores son coplanarios (pertenecen al mismo plano), entonces uno es combinacin lineal de los otros, por ello el determinante de la matriz que forman es nulo y la ecuacin pedida.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 03z2yx203z21y2x2
01y32x43z43z21y42x6
0322221
3z1y2x
3z,1y,2x3,1,2z,y,xPG3,2,29,6,63,1,26,7,4PR
2,2,12,2,13,1,21,3,1PQ
=+=++=+++
=
====
==
c) El vector director del lado desconocido es perpendicular al de la recta y al del plano, se calcula hallando el producto vectorial de ambos. Las rectas s de los dos lados pasaran por P o por Q y tendr como vector director el hallado.
( )( ) ( )
( ) ( )
=
+=
=
+=
=
+=
==
=
+=
=
+=
=
+=
==
=+=+=+
+=+=++=+
+=+=+=
=+=+=+
+=+=++=+
+=+=+=
=
=+=
==
==
72
7331z
79
7343y
78
7351x
2Vertice7337
036
007051
335
707051
725
322151
712
7333z
75
7341y
71
7352x
1Vertice7337
036
007051
336
707051
936
322151
73244255
26312743
451
31z43y51x
s
93264265
26332741
452
33z41y52x
s
3,4,53,4,5v
k3j4i5j2ik4kj2i4212121kji
vvv2,1,22,1,2v
1,2,1v
2
1
s
rsr
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti
1
( )
( ) ( )[ ] ( )==
== =
==
= =
=+
=+=+=+=
==+=
xcuando,0y,horizontalasntotaExiste04e4lim
ex4lim
e3x2lime3x2lime3x2lime3x2limy
xcuandohorizontalasntotaexisteNoe3x2limy
xx
Hopital'LAplicandoxx
Hopital'LAplicandox
2
x
x2
x
x2
x
x2
x
x2
x
OPCIN A E1.- Sea la funcin f(x) = (2x2 + 3) ex a) Estudiar sus asntotas, crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexin (2 puntos) b) Esbozar su grfica (05 puntos) a) No hay asntotas verticales Asntotas horizontales
Asntotas oblicuas
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
=
=+
= =
=+
=+
=
= =
=+
=+
=+
=+
=
=
=++
= =
=+
==
xcuandooblicuaasntotaexisteNo
04x2e
4limx1e
x4limxeex4lim
xe3x2lim
xe3x2lim
xe3x2lim
xe3x2limy
xcuandooblicuaasntotaexisteNo11
e3x2ex4limx
e3x2limxxflimy
xx
Hopital'LAplicandoxxxxx
Hopital'LAplicandox
2
x
x2
x
x2
x
x2
x
2x
x
Hopital'LAplicandox2
xx
Crecimiento y decrecimiento ( ) ( ) ( )
( )
relativosmnimosnimximoshayNo
ntodecrecimiedeervalosinthayNo
xoCrecimientx03x4x2
x0e0x'foCrecimient
solucinSin082416324403x4x2e3x4x2e3x2xe4x'f
2
x
22
x2x2x
>++>
>
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti
2
Continuacin del Problema E1 de la opcin A Concavidad y Convexidad
( ) ( ) ( ) ( )
( )
>
>>++
+>>+
>
++
+>
=
=
+=+
=
=>====++
++
+=++=++++=
x0e222x0
222x
222x0
222x
0e222x
222x0x''fConcavidad
222
4228x
222
4228x
2288x085664724807x8x2
e222x
222xe7x8x2e3x4x2e4x4x''f
x
x
22
xx22x
222
222 +
ex > 0 ( + ) ( + ) ( + )
0222 >+
( - ) ( - ) ( + )
0222 >
( - ) ( + ) ( + )
Solucin ( + ) ( - ) ( + )
Concavidad
+>
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti
3
E2.- a) Calcular ( ) + dxxsen3x2sen2 (125 puntos)
b) Calcular ( ) ( )
( )xsenx1xln1xlnlim
0x
++
(125 puntos)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) dudtt2ut3dtdxxcostxsen
Kxsen3lnt3lnulnu
dudtt3
t2dxxsen3
xcosxsen2)a
2
2222
==+==
++=+===+
=+
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) 12
20sen00cos2
011
011
xsenxxcos2x1
1x11
limxsenxxcosxcos
x11
x11
lim
00
10011
0cos00sen01
101
1
xcosxxsenx1
1x1
1
lim
xcosxxsenx1
1x1
1
lim00
0sen001ln01ln
xsenxx1lnx1lnlim
2222
0x
22
0x
Hopital'LAplicando
0x
0x
Hopital'LAplicando
0x
=
=
+
=
+
=+
+
=
= ==+
=
+
+=
+
+=
=+
++= ==
++=
++
E3.- Se considera el sistema
+=+=++=+
1azyx0azyx2
2zayxdonde a es un parmetro real. Se pide:
a) Discutir el sistema en funcin del valor de a (175 puntos) b) Hallar la solucin del sistema para a = 1, si procede (075 puntos)
( )
{ } ( )
leIncompatibSistema
solucinSin03z3z0
34
2
000050121
154
2
0150050121
34
2
030050121
102
111212121
2aSiadominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNmero3Arang0A1,2a
22
31x
12
31x
1291x
0981214102aa0ASi2aaa2a12a1111
a121a1
A 2222
==
=
==
=
=
=+
=
=
>=+===+=+=+++=
=
Continua del problema E2 de la opcin A
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti
4
{ } ( )
( ) ( )
( ) ( )+===+++==+=
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti
5
Continuacin del Problema E4 de la opcin A
( )
( )( ) ( )
( )
=+=+=
+=+=
=
=
++=
=++=++=
=
=
==
=
==
==+
=
====
=++=+
=
1z71y52x
t
31z41y
2xt
1,7,5121,
127,
1251
43
31,2
43
312,
43
31v
3,4,0122,2222,22v1,22,v
43
341
2312
2313
31
657
224
2222232
657
3225702524492347
027388661061595343
2223
1
1
t
t
t
2
222
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti
6
8x4x6xy 23 ++=
OPCIN B E1.- a) Determinar en que puntos de la grfica de la funcin la recta tangente a la misma es paralela a la recta y = 4x + 7 (1 punto) b) Hallar el rea de la regin comprendida entre las rectas x = 1 y x = 4 y que est limitada por dichas rectas, la grfica de la funcin ( ) 4xxf 2 = y el eje OX (15 puntos)
( )
===
===+=+=4x04x
0x04xx30x12x344x12x34m4x12x3'y
)a
222
( ) ( )
>>+>>
>+>2x02x
2x02x02x2x04x
)b
2
x > -2 ( - ) ( + ) ( + ) x > 2 ( - ) ( - ) ( + )
Solucin ( + ) ( - ) ( + )
( )
( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) 23333
42
42
321
21
32
1
4
2
22
2
2
2
u3
3743
4983
5643724424
3112412
31A
x4x31x4x
31dx4xdx4xA
2xsi4x2x2si4x
2xsi4xxf
==++=++=
=++=++=
>
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti
7
Continuacin del Problema E2 de la opcin B ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0limlim1
01
021
1ln2ln2lim1
1ln2lim
00
111lnlim
011lim1
11
11
'2
1
2
1
===
=
===
= ==
=
===
+
+++
xfxffx
xxx
xf
xff
xx
xx
HopitalLAplicando
x
x
Es continua en x = 1
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1'lim1'lim
122
0321010202
11131131111131ln121ln2'lim
1313113ln2ln2lim
1313113
1ln2ln2lim
00
1111311ln1212
113ln22lim
121
ln2lnln222lim
121
1ln2lnln212
lim'lim
00
1111ln1111ln2'lim
1121'lim
211
ln1ln21
ln11ln2
1021
'
11
22
1
2
1
2
1
'22
1
2
12
2
11
'2
2
1
1
2
2
2
2
==
==++
=
++
=
=++
=
++
+
=
= ==
=
=
+
+=
+
++
=
= ==
=
==
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti
8
E3.- a) Determinar en funcin del parmetro a, el rango de la matriz
=aa31011a1
A
(15 puntos) b) Sea C una matriz 2 x 2 de columnas C1 y C2 y de determinante 5, y sea B una matriz 2 x 2 de determinante 2. Si D es la matriz de columnas 4C2 y C1 - C2, calcular el determinante de BD-1 (1 punto)
( )
{ } ( )
( ) 2Arang300000101
003101101
0aSi3Arang0A3,0a
3a0a
0a3a0aa30ASiaa3aaaa3aa31011a1
A 222
=
=
=
==
=+===+=
=
( ) 2Arang000030131
060030131
333101131
3aSi
=
=
( ) ( ) ( )
101
2012DBDB
2054CC41CC44CC4CC4DCCC4D)b
11
21122212212
=
==
======
-
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9
E4.- Sea s la recta de ecuaciones paramtricas
==
+=
1zt1yt23x
a) Halla la ecuacin de la recta r que pasa por el punto P(1 , 0 , 5) y corta perpendicularmente a la recta r (15 puntos) b) Hallar la ecuacin del plano que contiene a r y a s (1 punto) a) El vector que une P con un punto general Sg de la recta s es perpendicular al vector director de esta y, por ello, su producto escalar nulo. Una vez hallado S la recta r queda determinada por el punto P y el vector PS
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
+===
===
==+=
==+=+++=+
=
=
+=+=
5z0y1x
r1,0,04,0,05,0,11,0,1PSv
1z11y123x
1t0t550t1t4400,1,24,t1,t22
0vPSvPS0,1,2v
4,t1,t225,0,11,t1,t23PS
r
sgsgs
g
b) El plano buscado esta determinado por los dos vectores directores de r y s y por el vector PG siendo G el punto genrico del plano buscado y P el punto dado que es el punto de corte de las rectas. Estos tres vectores son coplanarios (pertenecen al mismo plano) y el vector PG es combinacin lineal de los otros dos, por eso el determinante de la matriz formada por ellos es nulo y la ecuacin pedida del plano
( )( )
( ) ( ) ( )( )
01y2x
01xy20012100
5zy1x
5z,y,1x5,0,1z,y,xPG0,1,2v
1,0,0v
s
r
=+
=+=
===
=
-
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1
( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
===
=+=
===
===+=
=
21x01x200g
01xx00fOXconfuncioneslasdecortedePuntos
1x2xg1x2y1x21y21131'f11111f
1x3x'f
3
2
32
OPCIN A E1.- Calcular el rea de la regin finita y limitada por la grfica de la funcin f(x) = x3 x +1, el eje de ordenadas y la recta tangente a la grafica de f en x = 1 (25 puntos)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) [ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( ) 32244
10
410
210
41
0
31
0
3
1
0
1
0
31
21
1
21
321
0
21
0
3
1
21
1
21
321
0
21
0
3
u43
48612
23
4101201
2301
41A
x2x213x
41dx2x3xdxdx1x21xxA
dx1x2dx1xxdx1x2dx1xxdx1x2dx1xxA
dx1x2dx1xxdx1x2dx1xxA
=+
=+=+=
+=+=+=
+=+++=
++++=
Y
X
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
2
E2.- a) Estudiar si la funcin [ ] 2,0:f dada por
( )
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
3
Continuacin del problema E2 de la opcin A
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) =
=
+
=+
=
=+
= ==
=
=
02
1001102
0cos00sen1e02sen2
xcosxxsen1ex2sen2lim
00
00011
0sen00e02cos
xsenxxex2coslim
)b
0
x
0x
Hopital'LUtilizando0x
0x
E3.- a) Calcular el rango de la matriz
=
16151413121110987654321
A (15 puntos)
b) Si B es una matriz cuadrada de dimensin 3 x 3 cuyo determinante vale 4, calcula el determinante de 5B y el de B2 (1 punto)
( )
164BB
5004125B5B5)b
2Arang
00000000128404321
3624120241680128404321
16151413121110987654321
)a
222
3
===
===
=
E4.- a) Determinar la posicin relativa de la recta y el plano 0yx = . (15 puntos) b) Hallar el plano perpendicular a que contiene a r (1 punto) a) El plano y la recta o son paralelas, la recta pertenece al plano, tienen un punto comn que es el llamado de corte
paralelasSoncomunespuntoshayNoadominerdetInCompatibleSistema
0101planoyrectacinsecInter2z
1yx
rx2z1xy
==
=+=
=
=+=
Otra forma de ver si son paralelas o la recta esta contenida en el plano es ver si el producto escalar de los vectores directores es nulo ya son perpendiculares.
( )( )
( ) ( ) 0110,1,12,1,1vv0,1,1v
2,1,1vr
r ===
==
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
4
Continuacin del problema E4 de la opcin A b) El plano es generado por el vector director del plano y el de la recta y el formado por un punto R de la recta (se toma el determinado en la ecuacin de la recta) y el punto genrico del plano que se busca, los tres vectores son coplanarios y por lo tanto el determinante de la matriz formada por ellos nulo y la ecuacin buscada del plano
( )( )( )
( ) ( ) ( )( ) 01zyx02z2y2x20x2zz1y2
0011211z1yx
z,1y,x0,1,0z,y,xRG0,1,1v
2,1,1v
0,1,0RPunto
r
=+=+=+
=
===
=
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
5
( )1x
3x3xxf2
+
=
OPCIN B
E1.- Sea
a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y sus asntotas (2 puntos) b) Esbozar su grfica (05 puntos)
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
>>>
>>
>
=
=
++=
+
=
x01x2x02x
0x0
1xx2x0x'foCrecimient
1xx2x
1xx2x
1x3x3x3x3x2x2
1x3x3x1x3x2x'f
)a
22
22
2
2
22
2
2
x > 0 ( - ) ( + ) ( + ) x > 2 ( - ) ( - ) ( + )
( x 1 )2> 0 ( + ) ( + ) ( + ) Solucin ( + ) ( - ) ( + )
Crecimiento ( ) ( )2x0x/x >>
>
>
=
++
=
=
=
1x01x01xx02
01x
20x''fConcavidad
1x2x''f
1xx4x22x4x2
1xx2x21x1x2
1xx2x1x21x2x2x''f
)a
33
3
3
22
3
2
4
22
Concavidad 1x/x > Convexidad 1x/x
-
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6
Continuacin del problema E1 de la opcin B Horizontales
==
+
+
=
++=
++=
=++
=
+=
==+
=
+
=
+=
+=
=
+=
xcuandohorizontalasntotaexisteNo
01
11
331
x1
x1
x3
x31
lim
x1
xx
x3
xx3
xx
lim1x
3x3xlim1x
3x3xlimy
xcuandohorizontalasntotaexisteNo
01
00001
11
331
x1
x1
x3
x31
lim
x1
xx
x3
xx3
xx
lim1x
3x3xlimy
2
2
x
22
222
2
x
2
x
2
x
2
2
x
22
222
2
x
2
x
Oblicuas
( )
( )[ ]
( )
( )[ ]
==
+=
+=
=+
=+
=
++=
+
==
=+
++=
+
++=
=+++
=+
==
==
+=
+=
=+
=
++=
+
==
=
+=
+=
=+
=+
==
xcuando2xyoblicuaasntotaExiste2
x11
x32
lim
x1
xx
x3
xx2
limn
1x3x2lim
1x3x2lim
1xxx3x3xlimx1
1x3x3xlimmxxflimn
1
x11
x3
x31
lim
xx
xx
x3
xx3
xx
limxx
3x3xlimx
1x3x3x
limxxflimm
xcuando2xyoblicuaasntotaExiste2
x11
x32
limn
x1
xx
x3
xx2
lim1x
3x2lim1x
xx3x3xlimx11x
3x3xlimmxxflimn
1
x11
x3
x31
lim
xx
xx
x3
xx3
xx
limxx
3x3xlimx
1x3x3x
limxxflimm
xx
xx
22
x
2
xx
2
x
22
2
222
2
x2
2
x
2
xx
x
xx
22
x
2
xx
2
x
22
2
222
2
x2
2
x
2
xx
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
7
Continuacin del problema E1 de la opcin B b)
-10
-5
0
5
10
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
E2.- a) Hallar los parmetros reales a y b para los que la funcin
( )( )
+
>
=0xsibx
0xsix
axxsenxf
2
2 es contina en (15 puntos)
b) Calcular ( ) dx
xxln
2 (1 punto)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
>
=
=====
=+==
=
===
= ==
=
=
=
=
= ==
=
+
+
==
0xsix
0xsix
xxsenxf
0b0xflimbxflim0fbb0xflim0f
0xflim
020
20sen
2xsenlim
00
x21xcoslim
0a1
0.2a0cos
x2axcoslim
00
00a0senxflim
)a
2
2
0x0x2
0x
0x
0x
Hopital'LUtilizando
0x
1a0a1
0x
Hopital'LUtilizando20x
Y
X
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
8
Continuacin del problema E2 de la opcin B
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
=
====
==
++==+==
x1
1xdxx
xdxvdv
xdx
xdxduuxln
K1xlnx1
x1xln
x1
xdxxln
x1
xdx
x1xln
x1dx
xxln
)b
12
22
22
E3.- Discutir y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales segn los valores
del parmetro m:
+=++==++
1mzmyx30zyx1zyx
(25 puntos)
( ) { } ( )
adominerdetInCompatibleSistema01
1
000220
111
11
1
220220
111
201
113111
111
1mSi
adominDeterCompatibleincgnitasdeNmero3Arang0A1xtodaPara
1m2m202m20ASi2m21m3m311m3111
111A
=
==
=====+++==
E4.- a) Hallar la recta r que pasa por el punto A(1 , - 1 , 0) , esta contenida en el plano
0yx =+ y corta a la recta zyxs == (15 puntos) b) Hallar la distancia del punto B(2 , - 2 , 2) a la recta s (1 punto) a) El segundo punto P de la recta r buscada es el de interseccin de la recta s y el plano
( ) ( ) ( )
=+==
==
===
==+
===
0z
1y1x
r0,1,10,1,10,0,0AP0z0y0x
P00zyx
s
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
9
Continuacin del problema E2 de la opcin B Calcularemos un plano perpendicular a la recta s, plano que tiene como vector director el de la recta que es perpendicular al vector BG formado por el punto dado y el punto generador del plano buscado y por ello el producto escalar, de ambos, es nulo. Hallado el plano calcularemos el punto de corte S de la recta s con l, el mdulo del vector BS es la distancia pedida
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) u3
64396
9166416
34
38
34BSS,Bds,Bd
34,
38,
342
32,2
32,2
322,2,2
32,
32,
32BS
32z32y32x
S3202302
02zyxzyx
sysdecinsecInter
02zyx02z2y2x
01,1,12z,2y,2x0BGvBGv2z,2y,2x2,2,2z,y,xBG
1,1,1vv
222
s
==++
=
+
+
===
=
+=
=
=
=
=
===++
=++
===
=++=+++
=+=
+====
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIN A E1.- Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (1 , 2) y determina en el primer cuadrante con los ejes coordenados un tringulo de rea mnima. Calcular dicha rea (25 puntos).
(1 , 2)
(0 , y)
(x , 0)
OY
OXx
y
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
3
3
33
22
3
2
2
2
4
22
2
22
2
2
2
2
2
22
2
22
21
2
1
u44221A
04yx2rx24y
x24y0x24y21220m4,0y0,2,2,1porpasarectaLa
414
1222y
2x
Mnimo0212
1222''A
Mximo021
210
20''A
1x2
1xx4x22x2x2x2
1xx2x21x2x2
dxAd''A
1xx2x1x21x2x2
dxAd''A
0x2x02x
0x2x0x2x
01x
x2x0'A1x
x2x1x
xx2x21x
x1xx2dxdA'A
1xx
1xx2x
21A
yx21A
1xx2
x1x2
x12x22
x122y
x12y2mm
x12
1x2
1x20m
y212y
102ym
==
=+=
===
=
==
=
=
>==
=
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti E2.- a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la funcin ( ) 1xxf = en el intervalo [ ]2,2 .Calcular la funcin derivada de f(x) en ese intervalo (125 puntos) b) Calcular el rea del recinto delimitado, en el primer cuadrante, por la grfica de la funcin y = ln x y las rectas y = 0 , y = 1 y x = 0 (125 puntos)
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( )
1xenderivableesNo
1xflim1x'flim1x'flim1x'flim
2x1si11x2si1
x'f
1xencontinuaEs0xflimxflim1f011xflim1f011xflim
1xendcontinuidalaEstudiemos2x1si1x
1x2si1xxf1x01x
)a
1x1x1x
1x
1x1x1x
1x
=
==
=
=
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
E3.- a) Averiguar para que valores de m la matriz
=
2011
101
mmA no tiene inversa
(05 puntos) b) Calcular la matriz inversa de A cuando m = 0 (1 punto) c) Sabemos que el determinante de una matriz cuadrada A vale -1 y que el determinante de la matriz 2. A vale -16 . Cul es el orden de la matriz? (1 punto)
( )
( )
{ }
( )
( ) 442216216121622)
210021112101
100122102
21
100122102
201010011
22001
)12
01,2
22
31
12
31
29109812141
020202220
11101
)
4
1
21
1
1
2
2222
=======
=
=
=
==+==
==
=
=
=+
=
==+==
=+=+=+==
=
AdeOrdennAAc
A
AadjAAAadjA
A
bmomcuandoAexisteNo
AExisteAmtodoPara
m
mm
mmmmASimmmmm
mA
a
nnnn
ttt
3
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
E4.- Sean la recta
=+=+
0zmy
1yxr y el plano ( ) 11 +=+++ mmzymx . Estudiar la posicin relativa
de la recta y el plano segn los valores de m (25 puntos) Solo pueden ser coincidentes, paralelos o cortarse, si son coincidentes o paralelos los vectores directores de la recta y del plano son perpendiculares y su producto escalar nulo, en todo los dems casos el plano y la recta se cortan.
( )( )
( ) ( ) ( )
{ }
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
paralelossonplanoelyrectaLa
comunespuntoshayNo
yxzyx
RPuntoz
yx
r
mCuando
paralelossonplanoelyrectaLa
comunespuntoshayNo
zyxzyx
RPuntoz
yx
r
mCuando
planoelencontenidaestaroparalelossonplanoelyrrectalamparaomParamtodaparapuntounencorseplanoelyrrectaLa
mm
mmmmmmmmm
vvvvmmvmv
mzy
xrmyzyx
zmyyx
r rrr
+
=++=+++
====
=
+
=+++=+++
====
=
==
==
==+=++=+
=
+==
===
==
=+=+
111
1:10010:
0,1,100
11
0
2121
22:11111:
0,1,11
11
1
101,0tan
10
0100110,1,1,1,1
0,1,1
,1,11
10
1
22
4
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIN B
E1.- Dada la funcin xxlny = , determinar su dominio de definicin, sus asntotas, extremos relativos y
puntos de inflexin (25 puntos)
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
===
=
=
=
=
+=
+=
+=====+=
=
>=
=
+
23
23
23
23
23
23
23
62
1223
4
23
23
23
446
22
6
23
23
333
3344
2
122
2xx
Hopital'LAplicando2xx
xx
Hopital'LAplicando
x
0x
e2
3,eenlexininfPuntoe2
3
e
23
e
elnef0e2
e
23611
e''f
e
eln611e''fx
xln611x
xln2332x
xln23x3x2x''f
x
xln23x3xx2
x''fex23xln3xln20xln230x''f
e1,eenrelativoMximo0
e1
e123
eeln23e''f
xxln23
xxln121
xxln1x2x
x
xln1x2xx1
x''f
e1
eelnefeex1xln0xln10x'f
xxln1
x
xlnxx1
x'f
xcuandooblicuaasntotaexisteNo
01x21lim
x2x1
limx
xlnlimxxxln
limm
oblicuasAsntotaslmitehaynototanloporxcuandofuncinexisteNo
xcuando0yhorizontalasntotaExiste
01x1lim
1x1
limxxlnlimy
eshorizontalAsntotas
00ln
xxlnlim0xverticalAsntota100
0ln0f
0x/xfDom0x/xxln
0xxxlnxf
5
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti E2.- Halla el valor de m para que el rea limitada, en el primer cuadrante, por la funcin 3x4y = y la recta y = mx sea de 9 unidades cuadradas (25 puntos)
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
( ) ( )( )
[ ] [ ]
==
==
=
==
==
=
===+
===
=
=+==
solucinesNo12m12m
144mm14416
mm29
16m
8m
16m
4m
2m0
2m0
2m
2mx
414x
21mA
dxx4dxmxA
solucinesNo2mxmx20mx2
2mxmx20mx2
0x
0xmx2mx20xmx4mxx4funcionesentrecortedePunto
222
2224
4
2
2
2m
042
m
02
2m
0
2m
0
3
23
E3.- Discutir segn los valores de m y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones:
=+=+=+
2yxmmyx2ymx
(25 puntos)
( ) ( )2,0y,xSolucin
0x22x2yadominDeterCompatibleSistema22
1011
0mCuando
leIncompatibSistema0mCuando0m0mSim
m222
001m0
11
m222mm22
2
001m0
11
2mm22
2
1m01m0
11
2mm22
2
1m0m10
11
m22
m11m11
=
==+=
=
==
+
++
+
E4.- a) Calcular un vector unitario y ortogonal a los vectores ( ) ( )1,0,1wy0,2,1v == (1 punto)
6
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
b) Calcular el plano que contiene a las rectas 2z0
3y1
xsy1zx01y
r =+=
=+=+
(15 puntos) a) Es un vector perpendicular a los dos, para hallarlo calcularemos el producto vectorial de los vectores dados
( )
( )
==++=
=+=
==
32,
31,
32uunitarioVector9212u
2,1,2ujk2i2101021kji
wvu
222
b) Veremos, primeramente si las rectas son paralelas o se cortan en un punto, de cruzarse o de ser rectas coincidentes no existira plano determinado por ellas. De ser paralelas sus vectores directores son iguales o proporcionales y veremos si no tienen un punto comn porque, entonces, son rectas coincidentes. Si no son paralelas analizaremos si tienen un punto comn y en ese caso se cortaran en l, de no tenerlo sern rectas que se cruzan
( )
( )
escoincidentsonnorectasLasleIncompatibSistema2
posibleIm311
comnpuntountienensiVeamos
paralelasoescoincidentrectasSonvv
1,0,1v2z
3yx
s
1,0,1vz
1y1x
rz1x
1yr
sr
s
r
+==
=+
=
=
+===
=
===
==
Sabiendo que son paralelas hallaremos el plano por medio del haz de planos que pasando por una de las rectas (tomamos r) pasen por un punto cualquiera S de la recta s (elegimos el determinado en la ecuacin de la recta)
( )( )
( ) ( )
01z2yx201y2z2x2
01y211zx
21a0a21013a120SporpaseQue
01ya1zxrporpasaqueplanosdehazdelEcuacin2,3,0S
1zx01y
r
=++=+++
=+++===+++
=+++
=+=+
7
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti
1
31
OPCIN A Ejercicio 1. [25 puntos] La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el tringulo engendra un cono. Qu medidas han de tener los catetos del tringulo
para que el volumen del cono engendrado sea mximo? (Recuerda que el volumen del cono es V = r2h).
( ) ( )[ ]
[ ] ( )
( ) ( )
======
=
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti
2
E2.- Dada la funcin 1x1x)x(f
+
= , se pide
a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y las asntotas (15 puntos)
b) Calcular el rea de la regin limitado por la grfica de la funcin ( )xxf)x(g = , el eje OX y las rectas x =
2 , x = 4 (1 punto)
( ) ( ) { }
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
>
>
=
=
+
=
==+
===
x01xx02
01x20)x('foCrecimient
1x2
1x1x1x
1x1x1x)x('f
1xfDom02
11111f1x01x
)a
2
2222
1 - 2 < 0 ( - ) ( - )
(x - 1)2 > 0 ( + ) ( + ) Solucin ( - ) f(x) < 0 ( - ) f(x) < 0
Decrecimiento ( ) ( )1x1x/x >>>>
>
=
=
1x/x1x01x01xx04
01x40)x(''fConcavidad
1x4
1x1x22)x(''f
3
334
1
- 4 < 0 ( - ) ( - ) x > 1 ( - ) ( + )
Solucin ( + ) f(x) > 0 ( - ) f(x) < 0 Concavidad 1x/x
( )
( )
==
==
+
+
02xflim
02xflim
1x
1x
Asntotas Verticales
x = 1
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti
3
Continuacin del Problema E2 de la opcin A Horizontales
( )
( )
=
=+
=
+
=
+=
+=
=+
=+
==
=
=+
=
+
=
+=
+=
=+
==
xcuando1yhorizontalAsntota
10101
11
11
x11
x11
lim
x1
xx
x1
xx
lim1x1xlim
1x1xlimxflimy
xcuando1yhorizontalAsntota
10101
11
11
x11
x11
lim
x1
xx
x1
xx
lim1x1xlimxflimy
xxxxx
xxxx
Oblicuas o inclinadas
( )
( )
=++
=
+
+
=+
+=
+
+=
=++
=+
==
=+
=
+
=
+=
+=
=+
=+
==
xcuandooblicuaAsntotaexisteNo
00100
11
11
x11
x1
x1
lim
xx
xx
x1
xx
limxx1xlim
x1x1x
limxxflimm
xcuandooblicuaAsntotaexisteNo
00100
11
11
x11
x1
x1
lim
xx
xx
x1
xx
limxx
1xlimx
1x1x
limxxflimm
2
x
22
2
22
x2xxx
2
x
22
2
22
x2xxx
( ) ( ) [ ]
[ ]( ) [ ]
[ ] [ ] ( ) ( )
( ) ( )
29ln2ln9lnA
2A11A1BA1B1B
x1xBBxAx
xB
1xA
x1x1x
3t4x1t2x
dtdxt1x
2ln1ln3ln22ln4lnxln2xlndtt12dx
x1dx
1x2dx
xx1xA
4,20xverticalAsntota01
00100f0xOYCon
4,21x01x0yOXConejeslosconcortedePuntos
4,2enpositivaZona32
64
33133f
xx1x
x1x1x
xxf
)b
31
42
3
1
4
2
4
2
4
22
2
22
==
===+==
+=+
=
+
====
==
===
+
=+
=
==+
==
==+=
==+
=+
=+
=
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti
4
E3.- Dadas las matrices
=
=
=
010321
Dy642
531C,
m10010001
B :
a) Para que valores de m existe B-1. Para m = 1, calcular B-1 (15 puntos) b) Para m = 1 hallar la matriz X tal que X.B + C = D (1 punto) a) Existe B-1 si el det(B) es distinto de cero
{ } ( )
( )
( ) ( ) ( )
=
=
=
===
=
=
=
=
==
=
====
=
632230
110010001
632250
110010001
642531
010321
)
110010001
110010001
11
110010001
100110
001
110010001
1
1
100010
010001
111
1
1
11
X
BCDXBCDXBBCDXBb
B
BBadjBBB
mPara
BadjB
BmBmBmm
B
tt
t
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti
5
E4.- Se considera las rectas dadas por las ecuaciones: az
21y
32xs,
2zyx21zyx
r =+=
=+=+
con
a , y el plano 02zyx =++ . a) Halla el valor del parmetro a para que r y s sean perpendiculares (15 puntos) b) Hallar la recta t paralela a r y que pasa por el punto de s cuya coordenada es z = 0 (1 punto) a) La condicin es que los vectores directores de r y s son perpendiculares y por ello su producto escalar nulo.
( )
( )
( ) ( ) 2a0a20a.12.13.00a,2,31,1,0
0vvvv
a,2,3vaz
21y32x
s
1,1,0vzy
1xr
zy1zy11x3x3
r
srsr
s
r
==+=++=
=
=
=+=+=
=
==
=
==+==
b) El vector director de t es el mismo que el de r, y el punto P lo hallaremos una vez hallado
( )
( )
=+=
=
==+=
=+==
=+=+=
==
z1y2x
t0,1,2P
0z10.21y
2032xP0
2021y
32xs
1,1,0vv tr
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti
6
( ) ( )
>+
++=
0xsix
1xln0xsicbxx
xf2
OPCIN B
E1.- Calcular b y c sabiendo que la funcin es derivable en el punto x = 0
(25 puntos) La funcin, primero, debe de ser continua y despus la funcin derivada continua
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( )
>+
+=
=====
=+++
+
=+++
+
=
==
= ==++
+=
+++
=+++
=
==
++
++
++= ==
+++
=
=+==
>+
++=
++
+
=
=====
=+
=+
=+= ==+
=
=++==
+
++
+++
++
+
+++
0xsix
1xln
0xsi12xx
xf
21b
21x'flimbx'flim0'f
21
02010210
1
x2x1x21x
1
limx'flim
bx'flim0'f
00
0100210ln
x1xx21xlnlim
x1xx211xln1limx'flim
bx'flim0'fx1xx2
1x1x1xln1
lim00
10010ln100xflim
bb02x'flim0'f
0xsi1xx
1xln1xxx
1xln1x
x0xsibx2
x'f
1c1xflimcxflim0f
110
11x
1lim1
1x1
lim00
010lnxflim
cc0b0xflim0f
2
0x0x
0x0x
0x
Hopital'LAplicando220x20x0x
0x
20x
Hopital'LAplicando20x
0x
22
0x0x
0x0x
Hopital'LAplicando
0x
2
0x
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti
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E2.- Calcular la siguiente integral dx2x3x2
1
2
+ (25 puntos)
( )
( ) ( )
>>>>>>
>
=
=
=+
=
=>====+
1x/x1x01x2x/x2x02x
01x2x
12
13x
22
13x
213x0189214302x3x 22
1 2 x > 1 ( - ) ( + ) ( + ) x > 2 ( - ) ( - ) ( + ) x > 1 ( + ) f(x) > 0 ( - ) f(x) < 0 ( + ) f(x) > 0
( )
( ) ( ) [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )
629dx2x3x
6102712
35
2922
29
374
32123
237
31220
232
31dx2x3x
122122312
3111211
2311
31dx2x3x
x2x213x
31x2x
213x
31dx2x3x
x2x213x
31dx2x3xdx2x3xdx2x3x
2xsi2x3x2x1si2x3x
1xsi2x3x2x3xxf
2
1
2
2
1
2
223322332
1
2
21
21
221
311
11
211
32
1
2
11
11
211
32
1
21
1
22
1
2
2
2
2
2
=+
+=+=++=++=+
++=+
++=+
+=+++=+
>++
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti
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E3.- Discutir segn los valores del parmetro a, y resolver cuando sea posible: ( )( )
=++=+
=+
aazy1ax0z1ay
1zx (25
puntos)
( )
( )
{ } ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
leIncompatibSistema101
000110101
101
110110101
201
211110101
2aSi,0,1Solucinz1x
1zx0yadominerdetInCompatibleSistema001
000010101
101
101010101
1aSi2a
12a1a
1a2a1a
a1a1010101
z
2a1a
2a1a1a
2a1aa11a
2a1a1aa1a
2a1aaa1
1a00111
y
2a1a
2a1a1a
2a1a1aaa
2a1aa1aa
1a10101
x
SolucinadominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNmero3Arang2,1a
1a2a
213a189214302a3a02a3a
0ASi2a3a1a1a2a1a1aa1a1
1a10101
A
2
22
222
222
==
=+=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
==
==
=====+=+
=+=++==
=
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti
9
E4.- Dadas la rectas
==
==
4zy20yx2
ty2
1zy3
1xs , se pide halla la perpendicular a s y a t
y la distancia entre ambas rectas (25 puntos) Cualquier recta r que se apoya en s y en t, tiene como vector director la diferencia entre los puntos generales de las dos rectas, como esta tiene que ser perpendicular a los dos el producto escalar de este vector con el de cada uno de las rectas es nulo. As se hallaran los parmetros y que nos dar la ecuacin de la recta r pedida, posteriormente al hallazgo previo del punto S de corte de la recta s con la recta r, despus hallaremos el punto T, punto de corte con la recta t y la distancia pedida es la que hay entre estos puntos
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u5140012011T,Sdt,sd
0,2,1T144z
12y1x
T
1z220y101x
r1,0,1S021z
0y031x
S
1,2,014025,120,1031v11313
013130012502732731690273273294
02121130131314
0168204231084102393
0425,2,314,2,10425,2,312,1,3
0vvvv0vvvv425,2,314421,2,31v
4,2,1v44z
2yx
t4x4z4zx4
x2yt
2,1,3v21z
y31x
s
222
r
trtr
srsrr
t
s
=++=++==
+==
=
+===
=+=
+==
+=
=++===
=+==
=+=+
=+=+
=++++=++++
=++=++
==++=+++=
=
+===
===
=
+==+=
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti
1
( ) ( ) x1xgyxlnxf ==
OPCIN A E1.-a) Dadas las funciones , hallar el recinto plano limitado por las rectas x = 1, x = 2 y las grficas de f(x) y g(x) (2 puntos) b) Dar un ejemplo de funcin continua en un punto y que no sea derivable en l (05 puntos) ( ) ( ) x1xgxlnxf ==
-2
-1
0
1
2
0 1 2 3
( )
( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
2
22
21
221
2
1
21
2
1
2
1
2
1
u212ln2A
2322ln2
2311022ln212
211211ln112ln2A
x21x1xlnxdxx1dxxlndxx1dxxlnA
xdxvdvdxx
dxduuxln
1xlnxxxlnxdxxlnxx
dxxxlnxdxxln
=
+=+=+=
+==+=
===
==
====
Y
X
-
IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti
2
Continuacin del problema E1 de la opcin A
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1xenderivableesNo
3xflim1xflim1f1x'flim1'f3x'flim
1xsi11xsi3
x'f
1xenContinuaEs
8xflimxflim1f851.3xflim1f851.3xflim
1xsi7x1xsi5x3
xf
)b
1x1x1x
1x
1x1x1x
1x
=
===
==
=
=+===
=++==
+==
+=+=+==+
==+
12
31a
22
31a
291a0981214102aa
0a1a101,1,1a,1,a10vvvv1,1,1v
a,1,a1v
ay4zy
a1a4xray4zya1a4xa4yayx
a4azya0azyx
r
22
22rr
2r
2
222
-
IES Mediterrneo de Mlaga