pau mate cyl

of 217 /217
Solución Junio 2014 OPCIÓN A E1.- Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m : + = + = + = + 1 2 2 1 m y mx m my x y mx (2,5 puntos) La condición fundamental para que sea compatible es que el determinante de los coeficientes ampliados sea nulo, una vez establecida esa condición analizaremos si es compatible determinado o indeterminado. Si no se anula el sistema es incompatible ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) {} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ , 1 , 1 1 min det 1 / 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 / 3 / 0 / 1 1 0 1 0 / 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 0 1 1 0 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 / 2 2 2 2 = = = + < = = = = = = = = = + = = + = + = y x Solución y x y x ado er Ind Compatible Sistema incognitas de Número B A rang A rang m Si le Incompatib Sistema B A rang B A rang B A m m m B A Si m m m m m m m m m m m m m m m m B A E2.- Sea π el plano que pasa por los puntos A(1 , -1 , 1) , B(2 , 3 , 2) ,C(3 , 1 , 0) y r la recta dada por 2 3 1 6 2 7 + = + = z y x r . a) Calcular el ángulo que forman la recta r y el plano π . (1 punto) b) Calcular los puntos de r que distan 6 unidades del plano π . (1,5 puntos) a) Para determinar el plano π debemos de halla los vectores AB, AC y AG, siendo G el punto generador del plano, como los tres son coplanarios y este último es combinación lineal de los otros dos, el determinante de la matriz que forman es nulo y la ecuación pedida del plano. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 5 2 2 0 1 2 1 1 2 0 1 6 1 3 1 6 0 1 1 2 1 8 1 2 1 2 1 4 0 1 2 2 1 4 1 1 1 1 1 , 1 , 1 1 , 1 , 1 , , 1 , 2 , 2 1 , 1 , 1 0 , 1 , 3 1 , 4 , 1 1 , 1 , 1 2 , 3 , 2 = + = + + = + + = + + + + + = + + = = = = = = z y x z y x z y x y x z z y x z y x z y x z y x AG AC AB π π 1

Author: jose-antonio-marin

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Ejercicios selectividad 2004-2014Matemáticas Castilla y León

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  • Solucin Junio 2014

    OPCIN A E1.- Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales segn los valores del

    parmetro m :

    +=+=+=+

    122

    1

    mymxmmyx

    ymx(2,5 puntos)

    La condicin fundamental para que sea compatible es que el determinante de los coeficientes ampliados sea nulo, una vez establecida esa condicin analizaremos si es compatible determinado o indeterminado. Si no se anula el sistema es incompatible

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) { } ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ,1,11mindet

    1/001

    000011

    211

    221111

    1

    2/3/0/11010/

    1121112

    111

    21220110

    111

    1221

    111/

    2

    222

    ===+

  • Solucin Junio 2014 Continuacin del Ejercicio E2 de la opcin A a) Continuacin.- Una recta y un plano pueden ser paralelos o pertenecer la recta al plano, en ese caso sus vectores directores son perpendiculares y su producto escalar nulo, y si no es nulo las recta y el plano se cortan en un punto.

    ( )( )

    ( ) ( )

    ( )( ) ( )

    ( ) laresperpendicusonplanoelyrectaLasenarcvv

    vvsenvvsen

    puntounenplanoyrectacorSevvvv

    r

    r

    r

    rr

    ==

    =

    =++++

    =

    ==

    =++==

    ==

    901

    199

    9

    212212

    9,

    tan094142,1,22,1,22,1,22,1,2

    222222

    b) Sean los puntos P y Q

    ( ) ( ) ( )( )

    ( )

    ( )( )( )

    ( )

    +==+=

    ===+

    +==+=

    ===+

    =++++

    =++

    +++

    +==

    +=

    9,3,1323

    36327

    32791899

    1,7,9123

    16127

    1991899

    63

    54664146212

    52326272

    236

    27

    222

    Pzy

    xQ

    Pzy

    xP

    zyx

    r

    E3.- Hallar la funcin polinmica de grado 3 sabiendo que su grfica pasa por el punto P(1 , 0), que tiene por tangente en el punto de abscisa x = 0 la recta de ecuacin y = 2x + 1, y que su integral entre 0 y 1 vale 3. (2,5 puntos)

    ( ) ( )( )

    ( )( )

    ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) 1221242432121933

    1243

    31243

    112

    4331134

    30101013

    014

    322

    34312

    3030112110122020320'

    1100011020

    23'

    23

    223344

    1

    0

    10

    210

    210

    310

    423

    23

    2

    23

    223

    +++===+=

    ==+

    =+=+

    =+

    =+++=+++

    =+++=+++

    =+=++=+++===++==

    ==+++=+=

    ++=+++=

    xxxxfaabba

    ba

    bababababa

    xxxbxadxxbxax

    bababafccbafm

    ddcbaf

    cbxaxxfdcxbxaxxfesfuncinLa

    2

  • Solucin Junio 2014 E4.- Sea la funcin ( ) 2xexf = . Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, puntos de inflexin y asntotas. Esbozar su grfica. (2,5 puntos)

    ( ) ( )

    >>

    >=

    xex

    xxexfCrecientexexf

    x

    xx

    00

    02020'2'

    2

    22

    0 -2 < 0 ( - ) ( - ) x > 0 ( - ) ( + )

    2xe > 0 ( + ) ( + ) Solucin ( + ) ( - )

    Creciente 0/ xx Mximo relativo en ( ) 100 002 ==== eefx De creciente pasa a decreciente

    ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

    ( )( )

    =>>>+

    =

    >+

    >>=+=

    22

    2112021

    22

    211212021

    002

    021212

    02120''21222''

    2

    2

    2222 22

    xxx

    xxxx

    xex

    xxe

    xexfConcavidadxexexexf

    x

    x

    xxxx

    22

    22

    2 < 0 ( - ) ( - ) ( - ) 2xe > 0 ( + ) ( + ) ( + )

    x 22

    ( - )

    ( + )

    ( + )

    2 < 0 ( + ) ( - ) ( + )

    Concavidad

    >

    > xx

    Punto de inflexin ee

    eefx 1122

    22

    21

    42

    22

    2

    ====

    =

    Punto de inflexin ee

    eefx 1122

    22

    21

    42

    22

    2

    ====

    =

    3

  • Solucin Junio 2014 Continuacin del Ejercicio E4 de la opcin A

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )=

    =

    =

    ==

    =

    ====

    ==

    ====

    ==

    ==

    ==

    xcuandooblicuaasntotaexisteNoxex

    exxfm

    xcuandooblicuaasntotaexisteNoxex

    exxfm

    oblicuasAsntotas

    xcuandoyhorizontalasntotaExisteeee

    y

    xcuandoyhorizontalasntotaExistee

    y

    eshorizontalAsntotas

    verticalasntotaexisteNosolucinexisteNoee

    xf

    verticalesAsntotas

    xx

    x

    xx

    xx

    x

    xx

    xxxxxx

    xx

    xx

    011lim

    1

    limlim

    011lim

    1

    limlim

    ,0,011lim1lim1lim

    ,0,011lim

    01

    2

    2

    2

    2

    222

    2

    2

    2

    Y

    X

    4

  • Solucin Junio 2014

    OPCIN B

    E1.- Sea la matriz .

    ++++++

    =654321

    aaaaaaaaa

    A

    a) Discutir su rango en funcin de los valores de a. (1,5 puntos) a

    b) Para a = 1, resolver la ecuacin matricial

    =

    000

    XAt , siendo At la matriz traspuesta de A. (1 punto)

    ( ) 200022021

    44022021

    654321

    654321

    )

    =

    ++++++

    Arangaaa

    aaa

    aaaaaaaaa

    a

    =++=++=++

    =

    =

    0753032

    0

    000

    753642111

    )

    zyxzyx

    zyx

    zyx

    A

    b

    t

    Es una ecuacin homognea y como su rango es 2, igual que el de A, menor que el nmero de incgnitas el sistema es Compatible Indeterminado.

    =

    =

    =+==+

    2

    02202000

    000210111

    000

    000420111

    000

    420420111

    000

    753642111

    )

    zyx

    Solucinzx

    zzxzyzy

    b

    5

  • Solucin Junio 2014 E2.- Calcular la recta contenida en el plano 31 =++ zyx , paralela al plano 02 = x , y que pasa por el punto simtrico de B(-1 , 1 , 1) respecto de 2 . (2,5 puntos) Para calcular el punto B simtrico de B respecto a 2 , hallaremos una recta s que contenga a B y sea perpendicular a 2 (el vector director de este plano), el punto Q interseccin de la recta y el plano es el punto medio de B y B. Adems un vector director que tiene que ser perpendicular a los vectores directores de los dos planos, ya que de uno, es paralelo y su vector director perpendicular al del plano y por estar contenida en 1 es perpendicular a su vector director. Por lo tanto el vector director de la recta r es el producto vectorial de los dos vectores directores de los planos.

    ( ) ( )

    ( )

    ( )( )

    ( )

    =+==

    ====

    ==++

    =

    ==++

    =

    ==++

    =

    ==+=

    ==+

    ==+=

    11

    11,1,0

    001111

    0,0,11,1,1

    1,1,1'

    1212

    11

    1212

    11

    1012

    10

    1,1,011

    11101

    11

    10,0,1

    21

    2

    1

    2

    '''

    '''

    '''

    zy

    xrvkj

    kjivvv

    vv

    B

    zzz

    yyy

    xxx

    Qzy

    xQ

    zy

    xsv

    rr

    BBB

    BBB

    BBB

    E3.- Sea la funcin ( ) xxf 2+= a) Hallar su dominio y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (0,5 puntos) b) Calcular el punto de la grfica de ms cercano al punto (4 , 0). (2 puntos)

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( )( )

    ( )=

    ++

    =+

    +

    +

    ==

    +====+

    =

    +

    ==+=++=+=

    >>>=+=

    =

    1642164

    164

    21642

    42164''

    2222020'164

    2'

    164242'1641684402

    )

    0/00'12

    12'

    0/0)

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2222

    xxxxx

    xx

    xxx

    xxx

    dxxddd

    fxxxdxx

    xxd

    xxx

    dxxdddxxxxxxxxd

    b

    ntodecrecimiehayNo

    xxCrecientexxfCrecientexx

    xf

    xxfDomxa

    6

  • Solucin Junio 2014 Continuacin del Ejercicio E3 de la opcin A

    ( ) ( )

    ( )22,201

    1212

    16242122''

    16412

    16444164''

    )

    222

    22

    Punto

    Mnimodxxxx

    xxxxxd

    b

    >==+

    =+

    =+

    ++=

    E4.- Sea la funcin ( ) ( )21 xx

    eexf+

    = .

    a) Calcular un punto de su grfica tal que la recta tangente en dicho punto sea paralela al eje OX. Escribe la ecuacin de la recta tangente. (1 punto) b) Calcular el rea limitada por la grfica de la funcin, el eje y las rectas x = 0 y x = ln 5. (1,5 puntos)

    ( ) ( ) ( )( )

    ( )( ) ( ) ( )

    ( )( )

    ( ) ( )( )

    ( )

    ( ) ( ) ( ) 01404100

    41tan.

    41

    10

    0011lnln1010101

    10'

    11

    112

    121

    1121'

    )

    20

    0

    3

    33

    2

    3

    22

    3

    2

    4

    2

    ====+

    =

    =======+

    ==

    +

    =

    +

    =

    +

    +=

    +

    +=

    +

    ++=

    yyxygEcuace

    ef

    xxexeeeee

    eexfm

    eee

    eee

    eeee

    eeee

    eeeeeexf

    a

    xxxx

    x

    xx

    x

    xx

    x

    xx

    x

    xxx

    x

    xxx

    x

    xxxxx

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )2

    05ln

    5ln

    0

    5ln

    02

    lnln

    112222

    2

    31

    613

    61

    21

    21

    61

    111

    511

    11

    11

    11

    1

    lnlnlnlnlnlnln

    1

    111

    121

    1

    0lnln001

    0

    )

    ueee

    dxe

    eA

    KCkCekCeCeC

    dtdxete

    Ket

    ttdtttdtdx

    eeA

    solucinSinexee

    eyOXconcortedePuntos

    b

    xx

    x

    KK

    xx

    xx

    x

    x

    x

    x

    =

    ==

    =

    +

    +=

    +

    +=

    +

    =+

    =

    =====

    ==+

    ++

    ===+

    ==+

    =

    ===+

    =

    +

    7

  • Solucin Septiembre 2014

    OPCIN A

    E1.- a) Resolver la siguiente ecuacin matricial X A = B - C siendo

    =

    1325

    A ,

    =23

    12B y

    =

    2111

    C (1,5 puntos

    b) Sean 321, FyFF las filas de una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcular razonadamente el valor del determinante de la matriz cuyas filas son respectivamente 313 FF , 2F y 32F (1 punto)

    ( ) ( ) ( )

    ( )

    30025623

    22322323)

    241485

    5321

    4221

    5321

    2111

    2312

    5321

    5321

    11

    5321

    123510165

    1325

    )

    3231

    3233213233213231

    1

    11

    1111

    ==

    ==

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =====

    ===

    FFFF

    FFFFFFFFFFFFFFFFb

    X

    XA

    AadjAAadjA

    AAExisteA

    ACBXACBXIACBXAAa

    ttt

    E2.- Sea el punto A(1 , 1 , 3) y la recta de ecuacin

    ==+

    2

    02zyx

    r

    a) Calcular el plano perpendicular a la recta r que pase por A. (1 punto) b) Calcular la distancia del punto A a la recta r. (1,5 puntos) a) El plano tiene como vector director el de la recta perpendicular al vector AG, siendo G el punto genrico del plano, como ambos vectores son perpendiculares su producto escalar es nulo y la ecuacin pedida del plano

    ( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    02011

    03,1,10,1,103,1,13,1,1,,

    0,1,1

    2

    22

    202

    =+=+

    ==

    ====

    ==+=

    +=

    ==+

    yxyx

    zyxAGvAGvzyxzyxAG

    vv

    zy

    xrxy

    zyx

    r

    rrr

    1

  • Solucin Septiembre 2014 Continuacin del problema E.2 de la opcin A b) Hallando el punto de interseccin P de la recta r y el plano (hallado en el apartado anterior), el mdulo del vector AP es la distancia buscada

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) uAPrAd

    APzy

    xP

    zy

    xr

    3111,

    1,1,13,1,12,0,220

    02002022

    2

    2

    222 =++==

    ==

    ==+=

    ===++

    ==+=

    E3.- Sea la funcin f(x) = x2e-x. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexin y asntotas. Esbozar su grfica. (2,5 puntos)

    ( ) ( ) ( ) ( )

    >>

    >

    >>==

    22020

    0020'22' 2

    xxxxe

    xxexxfCrecientexexexexxf

    x

    xxxx

    0 2 x > 0 ( - ) ( + ) ( + ) e-x> 0 ( + ) ( + ) ( + ) x < 2 ( + ) ( + ) ( - )

    Solucin ( - ) ( + ) ( - ) Decrecimiento ( ) ( )20/ >+>>

    +>+>

    =+=

    =

    =====+

    +=+==

    220220

    22022

    22220240''

    2222

    2224

    1284088162144024

    242222''

    2

    22

    22

    xxxexx

    xxexxexfConcavidad

    xxxxx

    xxexxxxeexxexxexf

    x

    xx

    xxxxx

    22 22 + 22>x ( - ) ( + ) ( + )

    22+>x ( - ) ( - ) ( + ) e-x> 0 ( + ) ( + ) ( + )

    Solucin ( + ) ( - ) ( + )

    Concavidad ( ) ( )2222/ +>

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    Punto de inflexin en ( ) ( ) ( )22222022 == efx Punto de inflexin en ( ) ( ) ( )22222022 ++=+= efx

    E4.- a) Hallar el punto en el que la recta tangente a la grfica de la funcin ( ) 42 += xxxf es paralela a la recta de ecuacin 75 = xy (1 punto) b) Calcular el rea delimitada por la parbola de ecuacin ( ) 22xxf = y la recta 42 += xy (15 puntos)

    ( ) ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( )( )

    ( ) ( )

    ( ) [ ] [ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

    ( ) ( ) ( )[ ] 2

    332221

    321

    2

    1

    21

    222

    1

    2

    2

    2222

    2

    93

    18123183212414

    123212412

    3124

    212242

    0044020

    0020201

    12

    31

    22

    31

    129109812141

    020220422422)

    1043333625125'12')

    uA

    xxxdxxdxxA

    fyy

    f

    x

    xx

    xxxxxxxxfuncionesentrecortedePuntob

    fxxxxfxxfa

    =+=++=

    +=+=+=

    >

    =+===

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    OPCIN B

    E.1.- Sea el sistema de ecuaciones lineales

    =+=

    mmyxymx

    211

    a) Discutir el sistema segn los valores de m. (1,5 puntos) b) Hallar los valores de m para los que el sistema tenga alguna solucin en la que x = 2. (1 punto)

    mmyxymx

    211=+

    =

    ( ) ( )

    { } ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )1,,11mindet

    1/01

    0011

    11

    1111

    1

    2/121

    0011

    31

    1111

    1

    min201,1

    101101

    01101011

    1)

    22

    ===

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    E.2.- a) Dados el punto A(3 , 5 , 1) la recta 122

    1+=+=

    zyxr y el plano 0523 =++ zyx ,

    determinar el punto B de tal que la recta AB sea paralela a la recta r. (1,5 puntos) b) Hallar las coordenadas de un vector de mdulo 1 que sea perpendicular a los vectores PQ y PR siendo P(1 , 3 , -1) , Q(2 , 0 , 1) y R(-1 , 1 , 0). (1 punto) a) El punto S que se busca es el de interseccin de la recta s que contiene el punto A y tiene como vector director el de la recta r , y el plano

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )( )( )

    ( )0,4,11115123

    15505505121069

    05152233sec15

    231,1,2

    Qzy

    xQ

    cinInterzy

    xsvv rs

    +=+=+=

    ===+=++++

    =+++++

    +=+=+=

    ==

    b

    ) El vector perpendicular a PQ y PR , es el vector resultante del clculo del producto vectorial de ambos vectores, despus lo normalizaremos dividiendo sus componentes entre el valor de su modulo

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

    =++=

    ==++=++=++++=

    =

    ====

    772,

    772,

    772

    724

    724

    724

    724844444422326

    211231

    2,1,12,2,21,3,11,1,12,3,11,3,11,0,2

    222

    PRPQkjiPRPQ

    PRPQkjijikkjiPRPQ

    kjiPRPQ

    PRPQ

    5

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti E.3.- Se desea construir un depsito de chapa (en forma de prisma recto, abierto y de base cuadrada) con una capacidad de 32.000 litros. Cules han de ser las dimensiones del depsito para que se precise la menor cantidad de chapa posible en su construccin? 32.000 (2,5 puntos) Siendo B el lado de la base y H la altura del prisma

    ( )

    ( )

    ( )

    ===

    =>

    +==

    +

    =+

    =

    ==

    ======

    =

    =

    =

    =+

    ==

    +

    =+=+=

    +=

    ==

    dmH

    dmBMnimo

    dHBdA

    BB

    BBB

    BBBBB

    dHBdA

    BBBB

    BBA

    BB

    BBB

    BBBB

    dHdBA

    BB

    BB

    BBBA

    BHBAB

    HdmHB

    20160032000

    4032000

    400

    4025600040440''

    256000425600026128000226''

    4064000640002

    128000128000201280002

    012800020'128000212800031280003'

    1280001280003200044

    3200032000

    23

    3

    2

    2

    3

    3

    3

    33

    4

    322

    2

    2

    3333

    2

    3

    2

    3

    2

    33

    2

    32

    32

    22

    2

    232

    E4.- a) Enunciar e interpretar geomtricamente el Teorema de Rolle. (1 punto) b) Hallar la primitiva de xx ln2 cuya grfica pasa por el punto (1 , 2) (1,5 puntos) a) Teorema de Rolle Sea f(x) una funcin continua en [a , b], derivable en (a , b) y que verifica que f(a) = f(b); entonces existe, al menos, un punto ( )b,ac tal que f(c) = 0

    Demostracin grfica

    En el siguiente grfico se observan las tres condiciones: la funcin es continua en el intervalo cerrado [a,b], es derivable y los valores que toma la funcin en los puntos a y b son iguales, es decir, f(a) = f(b). Existe, por lo tanto, al menos un punto c que pertenece al intervalo abierto (a,b) en el cual la derivada de la funcin es igual a cero. Vale observar que c es distinto de a y de b. No debemos confundir c con f(c), que s puede ser igual a f(a) y f(b).

    Continuacin del problema E.4 de la opcin B

    6

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti En la ilustracin se ve una funcin constante, pero el teorema no slo se cumple en este caso. Se pueden dar tres casos en los que f(c) es distinto de f(a) y f(b), a saber:

    Caso 1. El punto mximo es igual a f(a) y f(b) y el punto mnimo es distinto de ambos, lo cual implica que la curva es cncava hacia arriba. El punto mnimo es m = f(c), y la derivada de la funcin en este punto es 0.

    Caso 2. El punto mnimo es igual a f(a) y f(b) y el punto mximo es distinto de ambos, lo cual implica que la curva es cncava hacia abajo (o convexa). El punto mximo es M = f(c), y la derivada de la funcin en este punto es 0.

    Caso 3. Tanto el punto mnimo como el punto mximo son distintos a f(a) y f(b). Esto significa que dentro del intervalo cerrado [a, b] la funcin alcanza un punto mximo M = f(c2) mayor al valor de la funcin en los extremos a y b y un punto mnimo m = f(c1) menor a los mismos. Tanto en el punto mximo como en el punto mnimo, la derivada de la funcin es nula. Es decir, f '(c1) = 0 y f '(c2) = 0.

    Continuacin del problema E.4 de la opcin B

    7

    http://es.wikipedia.org/wiki/Convexo

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    ( )

    ( )

    ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )[ ]191ln91

    9191ln

    91

    9191ln3

    91

    919

    9122

    912

    3101

    312

    311ln1

    3121

    31ln

    31

    31ln

    311

    31ln

    31ln

    31

    1ln

    31

    31ln

    31

    31ln

    311

    31ln

    31ln

    )

    33333

    3

    323332

    322

    3323332

    +=+=+=

    =+==+=+

    =+

    =

    +

    ====

    ===

    ==

    ====

    xxxxxxxF

    KKKKF

    Kxxdxxxxdxx

    xxxdxxxxF

    xdxxvdvdxx

    dxx

    duxu

    xxxdxxxxdxx

    xxxdxxxxF

    b

    8

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    1

    OPCIN A

    E1.- Sea las matrices

    =

    =

    =1

    2

    1

    4

    1

    3

    ,1

    2

    CyB

    a

    A

    a) Calcular, cuando sea posible, C . B t , B t . C y B . C (075 puntos) b) Hallar a para que el sistema CByAx =+ 4 de tres ecuaciones y dos incgnitas x e y sea compatible determinado, y resolverlo para ese valor de a (175 puntos)

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( )

    ==

    =

    ==

    =

    =

    1313.

    51331

    1

    2

    1

    413

    413

    826

    413

    3113413

    1

    2

    1

    413

    )

    xotropordomultiplicaxesrmultiplicapuedesenoCB

    xotropordomultiplicaxesCB

    xotropordomultiplicaxesBC

    B

    a

    t

    t

    t

    ( ) ( ) ( )

    { } ( ) ( )( ) ( )

    ( )

    =

    ==

    ==

    ====

    ==

    ====+=+++

    ======

    ==

    =

    ===+

    =

    +

    =

    +

    5

    12,

    5

    28,

    5

    1288

    5

    12

    5

    12125

    0

    8

    12

    00

    11

    50

    12

    8

    12

    50

    11

    50

    4

    8

    4

    41

    11

    32

    min2/0/1

    3/20/1

    128

    2828280282801264416248

    0

    44

    811

    432

    /0/det2/

    053211

    32

    44

    8

    432

    4

    8

    4

    4

    32

    1

    2

    1

    4

    4

    1

    3

    1

    2

    )

    yxSolucin

    xxyy

    adoDeterCompatibleSistemaBArangArangBAa

    leIncompatibSistemaBArangArangBAa

    aaaaa

    a

    BABAincognitasdeNmeroBArangArang

    A

    yax

    yx

    yx

    y

    y

    y

    ax

    x

    x

    y

    a

    x

    b

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    2

    E2.- Sean los puntos A(1 , 2 , -1) , P(0 , 0 , 5) , Q(1 , 0 , 4) y R(0 , 1 , 6) a) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto A, es paralela al plano que pasa por los puntos P, Q y R, y tal que la primera componente de su vector es doble que la segunda (175 puntos) b) Hallar la distancia del punto A al plano que pasa por P, Q y R (075 puntos) a) El vector director de la recta r es perpendicular al vector director del plano , que contiene a los puntos P, Q y R, siendo este el producto vectorial de los vectores PQ y PR y, por ello, su producto escalar es nulo

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    ( )

    ( )( )

    ( ) ( )

    ( )[ ] ( ) ( )

    =+=

    +=====

    =+=+==

    ==

    =+===

    ====

    1

    2

    21

    1,1,21,1,21,1,1211

    0101201,,21,1,101,,2

    1,1,1

    1,1,1

    110

    1011,1,05,0,06,1,0

    1,0,15,0,04,0,1

    z

    y

    x

    rvaa

    aaaaavvvvaav

    v

    vjik

    kji

    PRPQvPR

    PQ

    r

    rr

    r

    b) Conocido el vector director del plano este es perpendicular al vector PG, siendo G el punto genrico del plano siendo su producto escalar nulo y la ecuacin del plano buscado. Despus hallaremos la distancia pedida

    ( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) uAd

    zyx

    zyxPGvPGvzyxzyxPG

    v

    3

    37

    3

    7

    3

    7

    111

    5121,

    05

    05,,1,1,105,,5,0,0,,

    1,1,1

    222==

    =

    ++

    +=

    =+

    ==

    ===

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    3

    E3.- Sea la funcin ( )

    >+=+=

    202

    0

    03

    0'2363'

    )

    2

    xx

    x

    x

    xfoCrecimientxxxxxf

    a

    - 2 0 3 > 0 ( + ) ( + ) ( + ) x > 0 ( - ) ( + ) ( + ) x > 2 ( - ) ( - ) ( + )

    Solucin ( + ) ( - ) ( + ) Creciente ( ) ( )02/ >

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    4

    Continuacin del problema E- 4 de la opcin A Apoyndonos en el Teorema de Bolzano que dice que si f(x) es continua en el intervalo [a , b] , y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo [sign f(a) sign f(b)] , entonces existe, al menos, un punto ( )b,ac tal que f(c) = 0 Estudiemos los valores de la funcin en el entorno de sus extremos relativos, primeramente en el intervalo [-

    4 , -1], entonces ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    >=+=+=

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    5

    OPCIN B

    E1.- Sea la matriz

    =a

    a

    A

    10

    020

    02

    a) Para qu valores de a la matriz es inversible? (05 puntos) b) Estudiar el rango segn los valores de a (05 puntos)

    c) Hallar a para que cumpla AA =4

    11 (15 puntos)

    a) Una matriz tiene inversa cuando su determinante no es nulo

    { } 1222 0000020210

    020

    02=====

    = AExisteAaaaaASia

    a

    a

    A

    { } ( )

    ( ) 1010

    000

    000

    010

    020

    020

    0

    300

    )

    =

    ==

    =

    ArangAaCuando

    ArangAaComo

    b

    2

    2

    244

    4

    1

    2424

    1

    2

    1

    22

    112

    244

    4

    1

    44

    10

    02

    10

    02

    1

    4

    4

    1

    1

    2

    10

    02

    10

    011

    20

    00

    022

    2

    1

    20

    00

    022

    00

    122

    001

    0)

    2

    222

    1

    21

    =

    ==

    ===

    ===

    ==

    ==

    ===

    =

    =

    =

    =

    ==

    aSolucin

    a

    aaa

    a

    a

    aaa

    aa

    a

    aaa

    a

    a

    a

    a

    A

    aa

    aa

    aa

    a

    aa

    aA

    aa

    a

    aa

    Aadj

    a

    a

    AAadjA

    A

    aCuandoc

    ttt

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    6

    E2.- Sean los puntos P(1 , 4 , -1) , Q(0 , 3 , -2) y la recta

    ==

    4

    1

    zy

    xr

    a) Hallar la ecuacin del plano que pasa por P, por un punto R de la recta r y es perpendicular a la recta que pasa por Q y R (15 puntos) b) Hallar el ngulo que forman la recta r y el plano 03= yx (1 punto) a) El plano buscado contiene al vector RP, donde R es el punto genrico de la recta r que es perpendicular al vector QR, y por ello, el producto escalar, de ambos, es nulo. Una vez obtenido el punto R el vector QR hallado, vector director del plano, es perpendicular al vector PG siendo G el punto genrico del plano su producto escalar es nulo y la ecuacin buscada

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( )( )

    ( ) ( )( )

    radsenarc

    vv

    vvsen

    v

    v

    b

    zxzxzyxQRPGQRPG

    QR

    zyxzyxPGRR

    QRPRQRPR

    QR

    PRR

    z

    y

    x

    rzy

    a

    r

    rr

    630

    2

    1

    2

    1

    22

    1

    011110

    0,1,11,1,0

    0,1,1

    1,1,0

    )

    001101,0,11,4,10

    1,0,12,3,01,3,1

    1,4,11,4,1,,1,3,11,14,1

    122

    04022440242022

    0211002,1,11,,00

    2,1,12,3,0,4,1

    1,,01,4,1,4,1,4,14

    1

    4

    )

    222222

    2222

    ==

    =

    =

    =

    ++++

    =

    =

    ==

    =+=++=+=

    ==+==

    =====++=+++++

    =+++++=+++=

    ++=+=+=+=

    +=

    +==

    +=

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    7

    E3.- Sea la funcin ( )2

    2

    +=

    x

    xxf

    a) Calcular sus asntotas y estudiar su crecimiento y decrecimiento (1 punto) b) Dibujar el recinto comprendido entre la recta y = 1, la grfica de la funcin f(x), el eje OY y la recta x = 2; calcular el rea de dicho recinto (15 puntos)

    ( )

    ( )

    ( )( )

    ( )

    ( )

    ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )

    >+>

    >+

    >+

    =+

    ++=+

    +=

    ==

    =

    =

    =

    =

    =+

    ==

    =+=

    +

    =+

    =

    +

    =

    =

    +=+

    ==

    =

    =+=

    +

    =+

    =

    +

    =

    =

    +=

    +=

    +=

    =

    =+=

    +

    =+

    =

    +

    =

    =

    +=

    ==+===+

    =+=

    +

    =+

    =

    +

    =

    =

    +=+

    ==

    xCrecientexx

    x

    xxfoCrecimient

    xx

    xx

    x

    xxxf

    xcuandooblicuaasntotaexisteNo

    x

    xx

    xx

    xxx

    x

    xx

    x

    xx

    x

    x

    xfm

    xcuandooblicuaasntotaexisteNo

    x

    xx

    xx

    xxx

    x

    xx

    x

    xx

    x

    x

    xfm

    oblicuasAsntotas

    xcuandoyhorizontalasntotaExistex

    x

    xx

    xxx

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    xy

    xcuandoyhorizontalasntotaExistex

    x

    xx

    xxx

    x

    x

    xy

    eshorizontalAsntotas

    xverticalAsntotasolucinSinfxx

    x

    xx

    xx

    xxx

    x

    xx

    x

    xx

    x

    x

    xfm

    a

    xxxxx

    xxxxx

    xxxxx

    xxx

    xxxxx

    02

    04

    02

    40'

    2

    4

    2

    22

    2

    22'

    001

    002

    1

    21

    21

    21

    lim2

    2

    lim2

    2lim2

    2

    limlim

    001

    002

    1

    21

    21

    21

    lim2

    2

    lim2

    2lim2

    2

    limlim

    ,1,

    001

    012

    1

    21

    21

    21

    lim2

    2

    lim2

    2lim

    2

    2lim

    2

    2lim

    ,1,

    101

    012

    1

    21

    21

    21

    lim2

    2

    lim2

    2lim

    20

    4

    22

    222202

    001

    002

    1

    21

    21

    21

    lim2

    2

    lim2

    2lim2

    2

    limlim

    )

    2

    2222

    2

    2

    22

    2

    22

    2

    2

    2

    22

    2

    22

    2

    2

    2

    22

    2

    22

    2

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    8

    Continuacin del problema E3 de la opcin B b)

    [ ] ( )

    ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) 2424

    2

    2

    0

    20

    2

    0

    2

    0

    2

    0

    2

    0

    20

    2

    0

    2

    0

    2

    0

    2ln42

    4ln42ln4ln4ln44022

    2402

    4

    12

    42

    20222

    24102

    2

    41

    2

    2

    2

    21

    utt

    dt

    x

    dxxA

    x

    tx

    txdtdxtxxx

    x

    dxdxdx

    xxdx

    x

    xdxdx

    x

    xdxA

    ====+=+

    +=

    ====

    ==++

    ++=

    +=

    +=

    ++=

    Y

    X

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    9

    E4.- Determinar, de entre los tringulos issceles de permetro 6 metros, el que tiene rea mxima (25 puntos)

    LL

    B

    ( )( )[ ]

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )( )

    ( ) ( )( )

    ( )

    ( ) equilteroTringulomBmL

    MximoA

    LL

    L

    LL

    LL

    LL

    LL

    dL

    AdA

    L

    LL

    L

    dL

    AdALL

    L

    LA

    L

    L

    L

    L

    L

    LLLL

    LdL

    dAA

    LLLL

    A

    LLH

    LLLLLLLLLLH

    BHA

    LLH

    BLH

    BLBLH

    BHL

    LLBBL

    ===

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    OPCIN A E1.- a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales segn los valores del parmetro m:

    =+=+

    =+

    mmzymxmyx

    mzyx

    23

    03(2 puntos)

    b) Resolverlo para m = 0 (05 puntos)

    ( )

    ( )

    { } ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ),0,0,,0000000

    001011000

    mindet0)

    mindet

    2/2

    30

    131140

    000

    236

    131140280

    210

    131011113

    1

    mindet

    2/000

    001011000

    000

    001011004

    000

    030011013

    0

    min301,0

    1010

    0100

    9829

    41

    2090413

    3011

    13)

    2

    22

    ===+=

    =

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti E2.- Sean el plano 0=++ zyx , la recta zyxr == y el punto A(3 , 2 , 1). a) Hallar la recta que pasa por A, es paralela a y corta a r. (1 punto) b) Hallar los puntos de r que equidistan de A y de . (1,5 puntos) a) El vector director de la recta s es AR, siendo R el punto genrico de esta, es perpendicular al vector director del plano , siendo su producto escalar nulo y con ello se obtiene el vector director pedido, que con el punto A definen la recta

    ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )11

    0231,0,11,0,112,22,32

    263063012301,1,11,2,3

    01,1,1

    1,2,31,2,3,,,,:

    +

    =

    ===

    ====++=

    =

    ====

    ===

    xxxsv

    vvvvv

    ARvRzyx

    r

    s

    sss

    b) El mdulo del vector AR, siendo R el punto genrico de la recta r, es igual a la distancia que hay entre el plano y el punto R, de esa manera calcularemos el punto P que pertenece a r

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    =

    =

    =

    =

    ==

    =+=+=+=+++++

    =++=++

    =

    =++

    ++=

    ++==

    67,

    67,

    67

    676767

    67

    6776

    076014123141233124496

    31233

    3123

    ,

    33

    111,

    1231,2,3

    222222

    222222

    222

    222

    P

    z

    y

    x

    P

    AdARAd

    ARAR

    E3.- Sea ( ) ( ) xexxf += 1 . Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexin y asntotas. Esbozar su grfica. (2,5 puntos)

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    >>

    ==+=

    xex

    xxfoCrecimientexexexexf

    x

    xxxx

    00

    010'1111'

    0 -1 < 0 ( - ) ( - ) x > 0 ( - ) ( + )

    e-x > 0 ( + ) ( + ) Solucin ( +) ( - )

    Crecimiento 0/ xx Mximo relativo ( ) ( ) 11.11000 0 ==+== efx

    2

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti Continuacin del Problema E.3 de la opcin A

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    >>>

    >===

    1010

    0'1111''xxxe

    xfConcavidadxexeexexfx

    xxxx

    1 e-x > 0 ( +) ( + ) x > 1 ( - ) ( + )

    Solucin ( - ) ( + ) Concavidad 1/ > xx Convexidad 1/

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    ( ) KxxI

    dttdxtx

    tttdttdtdt

    ttdt

    ttdtt

    ttdx

    xxI

    ++++=

    ==+

    =+=+=+=+

    =+

    =+++

    =

    1ln12

    21

    ln22ln222212211

    11

    2

    2

    4

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    OPCIN B

    E.1.- Sea la matriz :

    =

    221120111

    M

    a) Calcular M-1. (1,5 puntos) b) Calcular la matriz que cumple XM + M = M2 . (1 punto) a) Una matriz tiene inversa siempre que su determinante no sea nulo

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    =

    =

    ==+=+=+=+

    =

    =

    =

    ==

    ===

    =

    =

    =

    121110110

    100010001

    221120111

    )

    321

    32

    311

    31

    310

    32

    232131102

    31

    232131102

    211221

    1011

    031231112

    3133

    121

    330120111

    221120111

    1212

    1

    11

    1

    X

    IMXMIXMIIXMMMMIXMMIXb

    M

    MMadjMMadjM

    M

    MExisteM

    ttt

    5

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti E.2.- Sean las rectas 1== zyxr y mzyxs == 2 a) Determinar m para que las rectas sean coplanarias. (1,5 puntos) b) Para m = 2, calcular la distancia entre las rectas. (1 punto) a) Para que sean coplanarias o sea para determinar un plano que las contenga contamos con los dos vectores directores y el vector que une los puntos cualquiera de cada una de las rectas (tomaremos los indicados en las ecuaciones que las definen), que llamaremos R y S. El determinante de la matriz que forman es nulo al estar en el mismo plano y con esa condicin calcularemos m. ( ) ( )

    ( )( )

    ( ) ( ) ( )

    262062002

    321

    0111020

    3200

    111111

    102

    1,0,21,0,0,0,21,1,11,1,1

    ,0,21,0,0

    ===+=

    =

    =

    ===

    =

    mmmm

    mm

    mmRSv

    v

    mSR

    r

    r

    b) Dado que no son rectas que se cortan y no tienen puntos comunes, ni sus vectores son proporcionales con lo que no son paralelos ni la recta r es coincidente con s habr que terminar admitiendo que son rectas que se cruzan en el espacio. Trazaremos un plano que conteniendo a s sea paralelo a r, plano que queda determinado por los dos vectores directores de la recta y el vector SG, siendo S un punto cualquiera de la recta s (tomaremos el indicado en la ecuacin) y G el punto genrico del plano. Estos tres vectores son coplanarios y el determinante de la matriz que forman es nulo y la ecuacin buscada. La distancia de uno cualquiera de los puntos R (tomaremos el indicado en la ecuacin) al plano es la distancia buscada. ( ) ( )

    ( )( )

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )( )

    uRdsrd

    zxzxzxyxzzyx

    zyx

    zyxzyxSGv

    v

    SR

    r

    r

    223

    23

    101

    210,,

    040220222202222

    0111111

    22

    2,,22,0,2,,1,1,11,1,1

    2,0,21,0,0

    222=

    =

    ++

    ==

    ===+=+++

    =

    ===

    =

    6

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti E.3.- a) Enunciar el teorema del valor medio de Lagrange. Dar su interpretacin geomtrica. (1 punto)

    b) Estudiar la continuidad de la funcin:

    +===

    ====

    ( )( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( )( )

    ====

    =+==+==

    ==

    =>====+=

    =

    =

    =

    ++

    =

    ++

    =

    ++

    =

    ++++

    =

    2b02b2b02b

    02b2b04b312b11a01a

    1a3a

    2162a016314203a2a3a20a0b

    01ab23003

    3003

    a2ba1ab21ab2a2ba

    3003

    a2bab2ab2b2ab2a2ba

    3003

    a2b2b2a2

    baab2ab2ba

    3003

    a2b2b2a2

    ababbabaabba

    1001

    3abba

    2abba

    abba

    )b

    222

    2222

    22

    22

    22

    22

    22

    22

    22

    22

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    10

    E4.- Un cuadrado tiene dos vrtices consecutivos en los puntos P(2 , 1 , 3) y Q(1 , 3 , 1); los otros dos sobre una recta r que pasa por el punto R(- 4 , 7 , - 6) a) Calcular la ecuacin de la recta r (05 puntos) b) Calcular la ecuacin que contiene al cuadrado (1 punto) c) Hallar las coordenadas de uno de los otros vrtices (1 punto) a) La recta r es una recta paralela a la recta que une P y Q, por lo tanto tiene el vector director que esta

    ( ) ( ) ( ) ( )

    +==+=

    ===26z

    27y4x

    r1,2,12,2,13,1,21,3,1PQvr

    b) El plano contiene a los puntos P, Q y R, aunque este ltimo no sea, seguramente, vrtice del cuadrado. Para hallarlo obtendremos los vectores PQ, PR y el vector PG, siendo G el punto que genera al plano, estos tres vectores son coplanarios (pertenecen al mismo plano), entonces uno es combinacin lineal de los otros, por ello el determinante de la matriz que forman es nulo y la ecuacin pedida.

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 03z2yx203z21y2x2

    01y32x43z43z21y42x6

    0322221

    3z1y2x

    3z,1y,2x3,1,2z,y,xPG3,2,29,6,63,1,26,7,4PR

    2,2,12,2,13,1,21,3,1PQ

    =+=++=+++

    =

    ====

    ==

    c) El vector director del lado desconocido es perpendicular al de la recta y al del plano, se calcula hallando el producto vectorial de ambos. Las rectas s de los dos lados pasaran por P o por Q y tendr como vector director el hallado.

    ( )( ) ( )

    ( ) ( )

    =

    +=

    =

    +=

    =

    +=

    ==

    =

    +=

    =

    +=

    =

    +=

    ==

    =+=+=+

    +=+=++=+

    +=+=+=

    =+=+=+

    +=+=++=+

    +=+=+=

    =

    =+=

    ==

    ==

    72

    7331z

    79

    7343y

    78

    7351x

    2Vertice7337

    036

    007051

    335

    707051

    725

    322151

    712

    7333z

    75

    7341y

    71

    7352x

    1Vertice7337

    036

    007051

    336

    707051

    936

    322151

    73244255

    26312743

    451

    31z43y51x

    s

    93264265

    26332741

    452

    33z41y52x

    s

    3,4,53,4,5v

    k3j4i5j2ik4kj2i4212121kji

    vvv2,1,22,1,2v

    1,2,1v

    2

    1

    s

    rsr

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    1

    ( )

    ( ) ( )[ ] ( )==

    == =

    ==

    = =

    =+

    =+=+=+=

    ==+=

    xcuando,0y,horizontalasntotaExiste04e4lim

    ex4lim

    e3x2lime3x2lime3x2lime3x2limy

    xcuandohorizontalasntotaexisteNoe3x2limy

    xx

    Hopital'LAplicandoxx

    Hopital'LAplicandox

    2

    x

    x2

    x

    x2

    x

    x2

    x

    x2

    x

    OPCIN A E1.- Sea la funcin f(x) = (2x2 + 3) ex a) Estudiar sus asntotas, crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexin (2 puntos) b) Esbozar su grfica (05 puntos) a) No hay asntotas verticales Asntotas horizontales

    Asntotas oblicuas

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )[ ] ( )

    ( ) ( )

    =

    =+

    = =

    =+

    =+

    =

    = =

    =+

    =+

    =+

    =+

    =

    =

    =++

    = =

    =+

    ==

    xcuandooblicuaasntotaexisteNo

    04x2e

    4limx1e

    x4limxeex4lim

    xe3x2lim

    xe3x2lim

    xe3x2lim

    xe3x2limy

    xcuandooblicuaasntotaexisteNo11

    e3x2ex4limx

    e3x2limxxflimy

    xx

    Hopital'LAplicandoxxxxx

    Hopital'LAplicandox

    2

    x

    x2

    x

    x2

    x

    x2

    x

    2x

    x

    Hopital'LAplicandox2

    xx

    Crecimiento y decrecimiento ( ) ( ) ( )

    ( )

    relativosmnimosnimximoshayNo

    ntodecrecimiedeervalosinthayNo

    xoCrecimientx03x4x2

    x0e0x'foCrecimient

    solucinSin082416324403x4x2e3x4x2e3x2xe4x'f

    2

    x

    22

    x2x2x

    >++>

    >

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    2

    Continuacin del Problema E1 de la opcin A Concavidad y Convexidad

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )

    >

    >>++

    +>>+

    >

    ++

    +>

    =

    =

    +=+

    =

    =>====++

    ++

    +=++=++++=

    x0e222x0

    222x

    222x0

    222x

    0e222x

    222x0x''fConcavidad

    222

    4228x

    222

    4228x

    2288x085664724807x8x2

    e222x

    222xe7x8x2e3x4x2e4x4x''f

    x

    x

    22

    xx22x

    222

    222 +

    ex > 0 ( + ) ( + ) ( + )

    0222 >+

    ( - ) ( - ) ( + )

    0222 >

    ( - ) ( + ) ( + )

    Solucin ( + ) ( - ) ( + )

    Concavidad

    +>

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    3

    E2.- a) Calcular ( ) + dxxsen3x2sen2 (125 puntos)

    b) Calcular ( ) ( )

    ( )xsenx1xln1xlnlim

    0x

    ++

    (125 puntos)

    ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) dudtt2ut3dtdxxcostxsen

    Kxsen3lnt3lnulnu

    dudtt3

    t2dxxsen3

    xcosxsen2)a

    2

    2222

    ==+==

    ++=+===+

    =+

    ( ) ( )( )

    ( ) ( )( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )( )

    ( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( ) 12

    20sen00cos2

    011

    011

    xsenxxcos2x1

    1x11

    limxsenxxcosxcos

    x11

    x11

    lim

    00

    10011

    0cos00sen01

    101

    1

    xcosxxsenx1

    1x1

    1

    lim

    xcosxxsenx1

    1x1

    1

    lim00

    0sen001ln01ln

    xsenxx1lnx1lnlim

    2222

    0x

    22

    0x

    Hopital'LAplicando

    0x

    0x

    Hopital'LAplicando

    0x

    =

    =

    +

    =

    +

    =+

    +

    =

    = ==+

    =

    +

    +=

    +

    +=

    =+

    ++= ==

    ++=

    ++

    E3.- Se considera el sistema

    +=+=++=+

    1azyx0azyx2

    2zayxdonde a es un parmetro real. Se pide:

    a) Discutir el sistema en funcin del valor de a (175 puntos) b) Hallar la solucin del sistema para a = 1, si procede (075 puntos)

    ( )

    { } ( )

    leIncompatibSistema

    solucinSin03z3z0

    34

    2

    000050121

    154

    2

    0150050121

    34

    2

    030050121

    102

    111212121

    2aSiadominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNmero3Arang0A1,2a

    22

    31x

    12

    31x

    1291x

    0981214102aa0ASi2aaa2a12a1111

    a121a1

    A 2222

    ==

    =

    ==

    =

    =

    =+

    =

    =

    >=+===+=+=+++=

    =

    Continua del problema E2 de la opcin A

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    4

    { } ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )+===+++==+=

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    5

    Continuacin del Problema E4 de la opcin A

    ( )

    ( )( ) ( )

    ( )

    =+=+=

    +=+=

    =

    =

    ++=

    =++=++=

    =

    =

    ==

    =

    ==

    ==+

    =

    ====

    =++=+

    =

    1z71y52x

    t

    31z41y

    2xt

    1,7,5121,

    127,

    1251

    43

    31,2

    43

    312,

    43

    31v

    3,4,0122,2222,22v1,22,v

    43

    341

    2312

    2313

    31

    657

    224

    2222232

    657

    3225702524492347

    027388661061595343

    2223

    1

    1

    t

    t

    t

    2

    222

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    6

    8x4x6xy 23 ++=

    OPCIN B E1.- a) Determinar en que puntos de la grfica de la funcin la recta tangente a la misma es paralela a la recta y = 4x + 7 (1 punto) b) Hallar el rea de la regin comprendida entre las rectas x = 1 y x = 4 y que est limitada por dichas rectas, la grfica de la funcin ( ) 4xxf 2 = y el eje OX (15 puntos)

    ( )

    ===

    ===+=+=4x04x

    0x04xx30x12x344x12x34m4x12x3'y

    )a

    222

    ( ) ( )

    >>+>>

    >+>2x02x

    2x02x02x2x04x

    )b

    2

    x > -2 ( - ) ( + ) ( + ) x > 2 ( - ) ( - ) ( + )

    Solucin ( + ) ( - ) ( + )

    ( )

    ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]

    ( ) ( ) ( ) ( ) 23333

    42

    42

    321

    21

    32

    1

    4

    2

    22

    2

    2

    2

    u3

    3743

    4983

    5643724424

    3112412

    31A

    x4x31x4x

    31dx4xdx4xA

    2xsi4x2x2si4x

    2xsi4xxf

    ==++=++=

    =++=++=

    >

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    7

    Continuacin del Problema E2 de la opcin B ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) 0limlim1

    01

    021

    1ln2ln2lim1

    1ln2lim

    00

    111lnlim

    011lim1

    11

    11

    '2

    1

    2

    1

    ===

    =

    ===

    = ==

    =

    ===

    +

    +++

    xfxffx

    xxx

    xf

    xff

    xx

    xx

    HopitalLAplicando

    x

    x

    Es continua en x = 1

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )( ) ( ) ( )

    ( )( )

    ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( )( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )

    ( )( ) ( )

    ( )( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1'lim1'lim

    122

    0321010202

    11131131111131ln121ln2'lim

    1313113ln2ln2lim

    1313113

    1ln2ln2lim

    00

    1111311ln1212

    113ln22lim

    121

    ln2lnln222lim

    121

    1ln2lnln212

    lim'lim

    00

    1111ln1111ln2'lim

    1121'lim

    211

    ln1ln21

    ln11ln2

    1021

    '

    11

    22

    1

    2

    1

    2

    1

    '22

    1

    2

    12

    2

    11

    '2

    2

    1

    1

    2

    2

    2

    2

    ==

    ==++

    =

    ++

    =

    =++

    =

    ++

    +

    =

    = ==

    =

    =

    +

    +=

    +

    ++

    =

    = ==

    =

    ==

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    8

    E3.- a) Determinar en funcin del parmetro a, el rango de la matriz

    =aa31011a1

    A

    (15 puntos) b) Sea C una matriz 2 x 2 de columnas C1 y C2 y de determinante 5, y sea B una matriz 2 x 2 de determinante 2. Si D es la matriz de columnas 4C2 y C1 - C2, calcular el determinante de BD-1 (1 punto)

    ( )

    { } ( )

    ( ) 2Arang300000101

    003101101

    0aSi3Arang0A3,0a

    3a0a

    0a3a0aa30ASiaa3aaaa3aa31011a1

    A 222

    =

    =

    =

    ==

    =+===+=

    =

    ( ) 2Arang000030131

    060030131

    333101131

    3aSi

    =

    =

    ( ) ( ) ( )

    101

    2012DBDB

    2054CC41CC44CC4CC4DCCC4D)b

    11

    21122212212

    =

    ==

    ======

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    9

    E4.- Sea s la recta de ecuaciones paramtricas

    ==

    +=

    1zt1yt23x

    a) Halla la ecuacin de la recta r que pasa por el punto P(1 , 0 , 5) y corta perpendicularmente a la recta r (15 puntos) b) Hallar la ecuacin del plano que contiene a r y a s (1 punto) a) El vector que une P con un punto general Sg de la recta s es perpendicular al vector director de esta y, por ello, su producto escalar nulo. Una vez hallado S la recta r queda determinada por el punto P y el vector PS

    ( ) ( ) ( )( )

    ( ) ( )( )( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    +===

    ===

    ==+=

    ==+=+++=+

    =

    =

    +=+=

    5z0y1x

    r1,0,04,0,05,0,11,0,1PSv

    1z11y123x

    1t0t550t1t4400,1,24,t1,t22

    0vPSvPS0,1,2v

    4,t1,t225,0,11,t1,t23PS

    r

    sgsgs

    g

    b) El plano buscado esta determinado por los dos vectores directores de r y s y por el vector PG siendo G el punto genrico del plano buscado y P el punto dado que es el punto de corte de las rectas. Estos tres vectores son coplanarios (pertenecen al mismo plano) y el vector PG es combinacin lineal de los otros dos, por eso el determinante de la matriz formada por ellos es nulo y la ecuacin pedida del plano

    ( )( )

    ( ) ( ) ( )( )

    01y2x

    01xy20012100

    5zy1x

    5z,y,1x5,0,1z,y,xPG0,1,2v

    1,0,0v

    s

    r

    =+

    =+=

    ===

    =

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    1

    ( ) ( )( )

    ( ) ( )

    ( )( )

    ===

    =+=

    ===

    ===+=

    =

    21x01x200g

    01xx00fOXconfuncioneslasdecortedePuntos

    1x2xg1x2y1x21y21131'f11111f

    1x3x'f

    3

    2

    32

    OPCIN A E1.- Calcular el rea de la regin finita y limitada por la grfica de la funcin f(x) = x3 x +1, el eje de ordenadas y la recta tangente a la grafica de f en x = 1 (25 puntos)

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )[ ] ( ) [ ] [ ] [ ]

    ( ) ( ) ( ) 32244

    10

    410

    210

    41

    0

    31

    0

    3

    1

    0

    1

    0

    31

    21

    1

    21

    321

    0

    21

    0

    3

    1

    21

    1

    21

    321

    0

    21

    0

    3

    u43

    48612

    23

    4101201

    2301

    41A

    x2x213x

    41dx2x3xdxdx1x21xxA

    dx1x2dx1xxdx1x2dx1xxdx1x2dx1xxA

    dx1x2dx1xxdx1x2dx1xxA

    =+

    =+=+=

    +=+=+=

    +=+++=

    ++++=

    Y

    X

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    2

    E2.- a) Estudiar si la funcin [ ] 2,0:f dada por

    ( )

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    3

    Continuacin del problema E2 de la opcin A

    ( )( )

    ( )( )

    ( )( ) ( )

    ( )( ) ( ) =

    =

    +

    =+

    =

    =+

    = ==

    =

    =

    02

    1001102

    0cos00sen1e02sen2

    xcosxxsen1ex2sen2lim

    00

    00011

    0sen00e02cos

    xsenxxex2coslim

    )b

    0

    x

    0x

    Hopital'LUtilizando0x

    0x

    E3.- a) Calcular el rango de la matriz

    =

    16151413121110987654321

    A (15 puntos)

    b) Si B es una matriz cuadrada de dimensin 3 x 3 cuyo determinante vale 4, calcula el determinante de 5B y el de B2 (1 punto)

    ( )

    164BB

    5004125B5B5)b

    2Arang

    00000000128404321

    3624120241680128404321

    16151413121110987654321

    )a

    222

    3

    ===

    ===

    =

    E4.- a) Determinar la posicin relativa de la recta y el plano 0yx = . (15 puntos) b) Hallar el plano perpendicular a que contiene a r (1 punto) a) El plano y la recta o son paralelas, la recta pertenece al plano, tienen un punto comn que es el llamado de corte

    paralelasSoncomunespuntoshayNoadominerdetInCompatibleSistema

    0101planoyrectacinsecInter2z

    1yx

    rx2z1xy

    ==

    =+=

    =

    =+=

    Otra forma de ver si son paralelas o la recta esta contenida en el plano es ver si el producto escalar de los vectores directores es nulo ya son perpendiculares.

    ( )( )

    ( ) ( ) 0110,1,12,1,1vv0,1,1v

    2,1,1vr

    r ===

    ==

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    4

    Continuacin del problema E4 de la opcin A b) El plano es generado por el vector director del plano y el de la recta y el formado por un punto R de la recta (se toma el determinado en la ecuacin de la recta) y el punto genrico del plano que se busca, los tres vectores son coplanarios y por lo tanto el determinante de la matriz formada por ellos nulo y la ecuacin buscada del plano

    ( )( )( )

    ( ) ( ) ( )( ) 01zyx02z2y2x20x2zz1y2

    0011211z1yx

    z,1y,x0,1,0z,y,xRG0,1,1v

    2,1,1v

    0,1,0RPunto

    r

    =+=+=+

    =

    ===

    =

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    5

    ( )1x

    3x3xxf2

    +

    =

    OPCIN B

    E1.- Sea

    a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y sus asntotas (2 puntos) b) Esbozar su grfica (05 puntos)

    ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

    ( )( )

    ( ) ( )( ) ( )

    >>>

    >>

    >

    =

    =

    ++=

    +

    =

    x01x2x02x

    0x0

    1xx2x0x'foCrecimient

    1xx2x

    1xx2x

    1x3x3x3x3x2x2

    1x3x3x1x3x2x'f

    )a

    22

    22

    2

    2

    22

    2

    2

    x > 0 ( - ) ( + ) ( + ) x > 2 ( - ) ( - ) ( + )

    ( x 1 )2> 0 ( + ) ( + ) ( + ) Solucin ( + ) ( - ) ( + )

    Crecimiento ( ) ( )2x0x/x >>

    >

    >

    =

    ++

    =

    =

    =

    1x01x01xx02

    01x

    20x''fConcavidad

    1x2x''f

    1xx4x22x4x2

    1xx2x21x1x2

    1xx2x1x21x2x2x''f

    )a

    33

    3

    3

    22

    3

    2

    4

    22

    Concavidad 1x/x > Convexidad 1x/x

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    6

    Continuacin del problema E1 de la opcin B Horizontales

    ==

    +

    +

    =

    ++=

    ++=

    =++

    =

    +=

    ==+

    =

    +

    =

    +=

    +=

    =

    +=

    xcuandohorizontalasntotaexisteNo

    01

    11

    331

    x1

    x1

    x3

    x31

    lim

    x1

    xx

    x3

    xx3

    xx

    lim1x

    3x3xlim1x

    3x3xlimy

    xcuandohorizontalasntotaexisteNo

    01

    00001

    11

    331

    x1

    x1

    x3

    x31

    lim

    x1

    xx

    x3

    xx3

    xx

    lim1x

    3x3xlimy

    2

    2

    x

    22

    222

    2

    x

    2

    x

    2

    x

    2

    2

    x

    22

    222

    2

    x

    2

    x

    Oblicuas

    ( )

    ( )[ ]

    ( )

    ( )[ ]

    ==

    +=

    +=

    =+

    =+

    =

    ++=

    +

    ==

    =+

    ++=

    +

    ++=

    =+++

    =+

    ==

    ==

    +=

    +=

    =+

    =

    ++=

    +

    ==

    =

    +=

    +=

    =+

    =+

    ==

    xcuando2xyoblicuaasntotaExiste2

    x11

    x32

    lim

    x1

    xx

    x3

    xx2

    limn

    1x3x2lim

    1x3x2lim

    1xxx3x3xlimx1

    1x3x3xlimmxxflimn

    1

    x11

    x3

    x31

    lim

    xx

    xx

    x3

    xx3

    xx

    limxx

    3x3xlimx

    1x3x3x

    limxxflimm

    xcuando2xyoblicuaasntotaExiste2

    x11

    x32

    limn

    x1

    xx

    x3

    xx2

    lim1x

    3x2lim1x

    xx3x3xlimx11x

    3x3xlimmxxflimn

    1

    x11

    x3

    x31

    lim

    xx

    xx

    x3

    xx3

    xx

    limxx

    3x3xlimx

    1x3x3x

    limxxflimm

    xx

    xx

    22

    x

    2

    xx

    2

    x

    22

    2

    222

    2

    x2

    2

    x

    2

    xx

    x

    xx

    22

    x

    2

    xx

    2

    x

    22

    2

    222

    2

    x2

    2

    x

    2

    xx

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    7

    Continuacin del problema E1 de la opcin B b)

    -10

    -5

    0

    5

    10

    -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

    E2.- a) Hallar los parmetros reales a y b para los que la funcin

    ( )( )

    +

    >

    =0xsibx

    0xsix

    axxsenxf

    2

    2 es contina en (15 puntos)

    b) Calcular ( ) dx

    xxln

    2 (1 punto)

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )( )

    >

    =

    =====

    =+==

    =

    ===

    = ==

    =

    =

    =

    =

    = ==

    =

    +

    +

    ==

    0xsix

    0xsix

    xxsenxf

    0b0xflimbxflim0fbb0xflim0f

    0xflim

    020

    20sen

    2xsenlim

    00

    x21xcoslim

    0a1

    0.2a0cos

    x2axcoslim

    00

    00a0senxflim

    )a

    2

    2

    0x0x2

    0x

    0x

    0x

    Hopital'LUtilizando

    0x

    1a0a1

    0x

    Hopital'LUtilizando20x

    Y

    X

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    8

    Continuacin del problema E2 de la opcin B

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( )

    =

    ====

    ==

    ++==+==

    x1

    1xdxx

    xdxvdv

    xdx

    xdxduuxln

    K1xlnx1

    x1xln

    x1

    xdxxln

    x1

    xdx

    x1xln

    x1dx

    xxln

    )b

    12

    22

    22

    E3.- Discutir y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales segn los valores

    del parmetro m:

    +=++==++

    1mzmyx30zyx1zyx

    (25 puntos)

    ( ) { } ( )

    adominerdetInCompatibleSistema01

    1

    000220

    111

    11

    1

    220220

    111

    201

    113111

    111

    1mSi

    adominDeterCompatibleincgnitasdeNmero3Arang0A1xtodaPara

    1m2m202m20ASi2m21m3m311m3111

    111A

    =

    ==

    =====+++==

    E4.- a) Hallar la recta r que pasa por el punto A(1 , - 1 , 0) , esta contenida en el plano

    0yx =+ y corta a la recta zyxs == (15 puntos) b) Hallar la distancia del punto B(2 , - 2 , 2) a la recta s (1 punto) a) El segundo punto P de la recta r buscada es el de interseccin de la recta s y el plano

    ( ) ( ) ( )

    =+==

    ==

    ===

    ==+

    ===

    0z

    1y1x

    r0,1,10,1,10,0,0AP0z0y0x

    P00zyx

    s

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    9

    Continuacin del problema E2 de la opcin B Calcularemos un plano perpendicular a la recta s, plano que tiene como vector director el de la recta que es perpendicular al vector BG formado por el punto dado y el punto generador del plano buscado y por ello el producto escalar, de ambos, es nulo. Hallado el plano calcularemos el punto de corte S de la recta s con l, el mdulo del vector BS es la distancia pedida

    ( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( ) u3

    64396

    9166416

    34

    38

    34BSS,Bds,Bd

    34,

    38,

    342

    32,2

    32,2

    322,2,2

    32,

    32,

    32BS

    32z32y32x

    S3202302

    02zyxzyx

    sysdecinsecInter

    02zyx02z2y2x

    01,1,12z,2y,2x0BGvBGv2z,2y,2x2,2,2z,y,xBG

    1,1,1vv

    222

    s

    ==++

    =

    +

    +

    ===

    =

    +=

    =

    =

    =

    =

    ===++

    =++

    ===

    =++=+++

    =+=

    +====

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    OPCIN A E1.- Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (1 , 2) y determina en el primer cuadrante con los ejes coordenados un tringulo de rea mnima. Calcular dicha rea (25 puntos).

    (1 , 2)

    (0 , y)

    (x , 0)

    OY

    OXx

    y

    ( )( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( )( )( )

    ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

    ( )( )

    ( )( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    2

    3

    3

    33

    22

    3

    2

    2

    2

    4

    22

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    22

    2

    22

    21

    2

    1

    u44221A

    04yx2rx24y

    x24y0x24y21220m4,0y0,2,2,1porpasarectaLa

    414

    1222y

    2x

    Mnimo0212

    1222''A

    Mximo021

    210

    20''A

    1x2

    1xx4x22x2x2x2

    1xx2x21x2x2

    dxAd''A

    1xx2x1x21x2x2

    dxAd''A

    0x2x02x

    0x2x0x2x

    01x

    x2x0'A1x

    x2x1x

    xx2x21x

    x1xx2dxdA'A

    1xx

    1xx2x

    21A

    yx21A

    1xx2

    x1x2

    x12x22

    x122y

    x12y2mm

    x12

    1x2

    1x20m

    y212y

    102ym

    ==

    =+=

    ===

    =

    ==

    =

    =

    >==

    =

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti E2.- a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la funcin ( ) 1xxf = en el intervalo [ ]2,2 .Calcular la funcin derivada de f(x) en ese intervalo (125 puntos) b) Calcular el rea del recinto delimitado, en el primer cuadrante, por la grfica de la funcin y = ln x y las rectas y = 0 , y = 1 y x = 0 (125 puntos)

    ( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )( )( ) ( ) ( )

    1xenderivableesNo

    1xflim1x'flim1x'flim1x'flim

    2x1si11x2si1

    x'f

    1xencontinuaEs0xflimxflim1f011xflim1f011xflim

    1xendcontinuidalaEstudiemos2x1si1x

    1x2si1xxf1x01x

    )a

    1x1x1x

    1x

    1x1x1x

    1x

    =

    ==

    =

    =

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    E3.- a) Averiguar para que valores de m la matriz

    =

    2011

    101

    mmA no tiene inversa

    (05 puntos) b) Calcular la matriz inversa de A cuando m = 0 (1 punto) c) Sabemos que el determinante de una matriz cuadrada A vale -1 y que el determinante de la matriz 2. A vale -16 . Cul es el orden de la matriz? (1 punto)

    ( )

    ( )

    { }

    ( )

    ( ) 442216216121622)

    210021112101

    100122102

    21

    100122102

    201010011

    22001

    )12

    01,2

    22

    31

    12

    31

    29109812141

    020202220

    11101

    )

    4

    1

    21

    1

    1

    2

    2222

    =======

    =

    =

    =

    ==+==

    ==

    =

    =

    =+

    =

    ==+==

    =+=+=+==

    =

    AdeOrdennAAc

    A

    AadjAAAadjA

    A

    bmomcuandoAexisteNo

    AExisteAmtodoPara

    m

    mm

    mmmmASimmmmm

    mA

    a

    nnnn

    ttt

    3

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    E4.- Sean la recta

    =+=+

    0zmy

    1yxr y el plano ( ) 11 +=+++ mmzymx . Estudiar la posicin relativa

    de la recta y el plano segn los valores de m (25 puntos) Solo pueden ser coincidentes, paralelos o cortarse, si son coincidentes o paralelos los vectores directores de la recta y del plano son perpendiculares y su producto escalar nulo, en todo los dems casos el plano y la recta se cortan.

    ( )( )

    ( ) ( ) ( )

    { }

    ( )( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    paralelossonplanoelyrectaLa

    comunespuntoshayNo

    yxzyx

    RPuntoz

    yx

    r

    mCuando

    paralelossonplanoelyrectaLa

    comunespuntoshayNo

    zyxzyx

    RPuntoz

    yx

    r

    mCuando

    planoelencontenidaestaroparalelossonplanoelyrrectalamparaomParamtodaparapuntounencorseplanoelyrrectaLa

    mm

    mmmmmmmmm

    vvvvmmvmv

    mzy

    xrmyzyx

    zmyyx

    r rrr

    +

    =++=+++

    ====

    =

    +

    =+++=+++

    ====

    =

    ==

    ==

    ==+=++=+

    =

    +==

    ===

    ==

    =+=+

    111

    1:10010:

    0,1,100

    11

    0

    2121

    22:11111:

    0,1,11

    11

    1

    101,0tan

    10

    0100110,1,1,1,1

    0,1,1

    ,1,11

    10

    1

    22

    4

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    OPCIN B

    E1.- Dada la funcin xxlny = , determinar su dominio de definicin, sus asntotas, extremos relativos y

    puntos de inflexin (25 puntos)

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( )( ) ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )( )

    ( ) ( ) ( )

    ===

    =

    =

    =

    =

    +=

    +=

    +=====+=

    =

    >=

    =

    +

    23

    23

    23

    23

    23

    23

    23

    62

    1223

    4

    23

    23

    23

    446

    22

    6

    23

    23

    333

    3344

    2

    122

    2xx

    Hopital'LAplicando2xx

    xx

    Hopital'LAplicando

    x

    0x

    e2

    3,eenlexininfPuntoe2

    3

    e

    23

    e

    elnef0e2

    e

    23611

    e''f

    e

    eln611e''fx

    xln611x

    xln2332x

    xln23x3x2x''f

    x

    xln23x3xx2

    x''fex23xln3xln20xln230x''f

    e1,eenrelativoMximo0

    e1

    e123

    eeln23e''f

    xxln23

    xxln121

    xxln1x2x

    x

    xln1x2xx1

    x''f

    e1

    eelnefeex1xln0xln10x'f

    xxln1

    x

    xlnxx1

    x'f

    xcuandooblicuaasntotaexisteNo

    01x21lim

    x2x1

    limx

    xlnlimxxxln

    limm

    oblicuasAsntotaslmitehaynototanloporxcuandofuncinexisteNo

    xcuando0yhorizontalasntotaExiste

    01x1lim

    1x1

    limxxlnlimy

    eshorizontalAsntotas

    00ln

    xxlnlim0xverticalAsntota100

    0ln0f

    0x/xfDom0x/xxln

    0xxxlnxf

    5

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti E2.- Halla el valor de m para que el rea limitada, en el primer cuadrante, por la funcin 3x4y = y la recta y = mx sea de 9 unidades cuadradas (25 puntos)

    -5

    0

    5

    10

    15

    20

    25

    30

    35

    40

    45

    50

    -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

    ( ) ( )( )

    [ ] [ ]

    ==

    ==

    =

    ==

    ==

    =

    ===+

    ===

    =

    =+==

    solucinesNo12m12m

    144mm14416

    mm29

    16m

    8m

    16m

    4m

    2m0

    2m0

    2m

    2mx

    414x

    21mA

    dxx4dxmxA

    solucinesNo2mxmx20mx2

    2mxmx20mx2

    0x

    0xmx2mx20xmx4mxx4funcionesentrecortedePunto

    222

    2224

    4

    2

    2

    2m

    042

    m

    02

    2m

    0

    2m

    0

    3

    23

    E3.- Discutir segn los valores de m y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones:

    =+=+=+

    2yxmmyx2ymx

    (25 puntos)

    ( ) ( )2,0y,xSolucin

    0x22x2yadominDeterCompatibleSistema22

    1011

    0mCuando

    leIncompatibSistema0mCuando0m0mSim

    m222

    001m0

    11

    m222mm22

    2

    001m0

    11

    2mm22

    2

    1m01m0

    11

    2mm22

    2

    1m0m10

    11

    m22

    m11m11

    =

    ==+=

    =

    ==

    +

    ++

    +

    E4.- a) Calcular un vector unitario y ortogonal a los vectores ( ) ( )1,0,1wy0,2,1v == (1 punto)

    6

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    b) Calcular el plano que contiene a las rectas 2z0

    3y1

    xsy1zx01y

    r =+=

    =+=+

    (15 puntos) a) Es un vector perpendicular a los dos, para hallarlo calcularemos el producto vectorial de los vectores dados

    ( )

    ( )

    ==++=

    =+=

    ==

    32,

    31,

    32uunitarioVector9212u

    2,1,2ujk2i2101021kji

    wvu

    222

    b) Veremos, primeramente si las rectas son paralelas o se cortan en un punto, de cruzarse o de ser rectas coincidentes no existira plano determinado por ellas. De ser paralelas sus vectores directores son iguales o proporcionales y veremos si no tienen un punto comn porque, entonces, son rectas coincidentes. Si no son paralelas analizaremos si tienen un punto comn y en ese caso se cortaran en l, de no tenerlo sern rectas que se cruzan

    ( )

    ( )

    escoincidentsonnorectasLasleIncompatibSistema2

    posibleIm311

    comnpuntountienensiVeamos

    paralelasoescoincidentrectasSonvv

    1,0,1v2z

    3yx

    s

    1,0,1vz

    1y1x

    rz1x

    1yr

    sr

    s

    r

    +==

    =+

    =

    =

    +===

    =

    ===

    ==

    Sabiendo que son paralelas hallaremos el plano por medio del haz de planos que pasando por una de las rectas (tomamos r) pasen por un punto cualquiera S de la recta s (elegimos el determinado en la ecuacin de la recta)

    ( )( )

    ( ) ( )

    01z2yx201y2z2x2

    01y211zx

    21a0a21013a120SporpaseQue

    01ya1zxrporpasaqueplanosdehazdelEcuacin2,3,0S

    1zx01y

    r

    =++=+++

    =+++===+++

    =+++

    =+=+

    7

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    1

    31

    OPCIN A Ejercicio 1. [25 puntos] La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el tringulo engendra un cono. Qu medidas han de tener los catetos del tringulo

    para que el volumen del cono engendrado sea mximo? (Recuerda que el volumen del cono es V = r2h).

    ( ) ( )[ ]

    [ ] ( )

    ( ) ( )

    ======

    =

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    2

    E2.- Dada la funcin 1x1x)x(f

    +

    = , se pide

    a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y las asntotas (15 puntos)

    b) Calcular el rea de la regin limitado por la grfica de la funcin ( )xxf)x(g = , el eje OX y las rectas x =

    2 , x = 4 (1 punto)

    ( ) ( ) { }

    ( )( ) ( ) ( ) ( )

    ( )

    >

    >

    =

    =

    +

    =

    ==+

    ===

    x01xx02

    01x20)x('foCrecimient

    1x2

    1x1x1x

    1x1x1x)x('f

    1xfDom02

    11111f1x01x

    )a

    2

    2222

    1 - 2 < 0 ( - ) ( - )

    (x - 1)2 > 0 ( + ) ( + ) Solucin ( - ) f(x) < 0 ( - ) f(x) < 0

    Decrecimiento ( ) ( )1x1x/x >>>>

    >

    =

    =

    1x/x1x01x01xx04

    01x40)x(''fConcavidad

    1x4

    1x1x22)x(''f

    3

    334

    1

    - 4 < 0 ( - ) ( - ) x > 1 ( - ) ( + )

    Solucin ( + ) f(x) > 0 ( - ) f(x) < 0 Concavidad 1x/x

    ( )

    ( )

    ==

    ==

    +

    +

    02xflim

    02xflim

    1x

    1x

    Asntotas Verticales

    x = 1

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    3

    Continuacin del Problema E2 de la opcin A Horizontales

    ( )

    ( )

    =

    =+

    =

    +

    =

    +=

    +=

    =+

    =+

    ==

    =

    =+

    =

    +

    =

    +=

    +=

    =+

    ==

    xcuando1yhorizontalAsntota

    10101

    11

    11

    x11

    x11

    lim

    x1

    xx

    x1

    xx

    lim1x1xlim

    1x1xlimxflimy

    xcuando1yhorizontalAsntota

    10101

    11

    11

    x11

    x11

    lim

    x1

    xx

    x1

    xx

    lim1x1xlimxflimy

    xxxxx

    xxxx

    Oblicuas o inclinadas

    ( )

    ( )

    =++

    =

    +

    +

    =+

    +=

    +

    +=

    =++

    =+

    ==

    =+

    =

    +

    =

    +=

    +=

    =+

    =+

    ==

    xcuandooblicuaAsntotaexisteNo

    00100

    11

    11

    x11

    x1

    x1

    lim

    xx

    xx

    x1

    xx

    limxx1xlim

    x1x1x

    limxxflimm

    xcuandooblicuaAsntotaexisteNo

    00100

    11

    11

    x11

    x1

    x1

    lim

    xx

    xx

    x1

    xx

    limxx

    1xlimx

    1x1x

    limxxflimm

    2

    x

    22

    2

    22

    x2xxx

    2

    x

    22

    2

    22

    x2xxx

    ( ) ( ) [ ]

    [ ]( ) [ ]

    [ ] [ ] ( ) ( )

    ( ) ( )

    29ln2ln9lnA

    2A11A1BA1B1B

    x1xBBxAx

    xB

    1xA

    x1x1x

    3t4x1t2x

    dtdxt1x

    2ln1ln3ln22ln4lnxln2xlndtt12dx

    x1dx

    1x2dx

    xx1xA

    4,20xverticalAsntota01

    00100f0xOYCon

    4,21x01x0yOXConejeslosconcortedePuntos

    4,2enpositivaZona32

    64

    33133f

    xx1x

    x1x1x

    xxf

    )b

    31

    42

    3

    1

    4

    2

    4

    2

    4

    22

    2

    22

    ==

    ===+==

    +=+

    =

    +

    ====

    ==

    ===

    +

    =+

    =

    ==+

    ==

    ==+=

    ==+

    =+

    =+

    =

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    4

    E3.- Dadas las matrices

    =

    =

    =

    010321

    Dy642

    531C,

    m10010001

    B :

    a) Para que valores de m existe B-1. Para m = 1, calcular B-1 (15 puntos) b) Para m = 1 hallar la matriz X tal que X.B + C = D (1 punto) a) Existe B-1 si el det(B) es distinto de cero

    { } ( )

    ( )

    ( ) ( ) ( )

    =

    =

    =

    ===

    =

    =

    =

    =

    ==

    =

    ====

    =

    632230

    110010001

    632250

    110010001

    642531

    010321

    )

    110010001

    110010001

    11

    110010001

    100110

    001

    110010001

    1

    1

    100010

    010001

    111

    1

    1

    11

    X

    BCDXBCDXBBCDXBb

    B

    BBadjBBB

    mPara

    BadjB

    BmBmBmm

    B

    tt

    t

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    5

    E4.- Se considera las rectas dadas por las ecuaciones: az

    21y

    32xs,

    2zyx21zyx

    r =+=

    =+=+

    con

    a , y el plano 02zyx =++ . a) Halla el valor del parmetro a para que r y s sean perpendiculares (15 puntos) b) Hallar la recta t paralela a r y que pasa por el punto de s cuya coordenada es z = 0 (1 punto) a) La condicin es que los vectores directores de r y s son perpendiculares y por ello su producto escalar nulo.

    ( )

    ( )

    ( ) ( ) 2a0a20a.12.13.00a,2,31,1,0

    0vvvv

    a,2,3vaz

    21y32x

    s

    1,1,0vzy

    1xr

    zy1zy11x3x3

    r

    srsr

    s

    r

    ==+=++=

    =

    =

    =+=+=

    =

    ==

    =

    ==+==

    b) El vector director de t es el mismo que el de r, y el punto P lo hallaremos una vez hallado

    ( )

    ( )

    =+=

    =

    ==+=

    =+==

    =+=+=

    ==

    z1y2x

    t0,1,2P

    0z10.21y

    2032xP0

    2021y

    32xs

    1,1,0vv tr

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    6

    ( ) ( )

    >+

    ++=

    0xsix

    1xln0xsicbxx

    xf2

    OPCIN B

    E1.- Calcular b y c sabiendo que la funcin es derivable en el punto x = 0

    (25 puntos) La funcin, primero, debe de ser continua y despus la funcin derivada continua

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )( )

    ( )

    ( )( ) ( )

    ( ) ( )( )( )

    ( )( )

    ( )( ) ( )

    ( ) ( )[ ] ( )[ ]

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    >+

    +=

    =====

    =+++

    +

    =+++

    +

    =

    ==

    = ==++

    +=

    +++

    =+++

    =

    ==

    ++

    ++

    ++= ==

    +++

    =

    =+==

    >+

    ++=

    ++

    +

    =

    =====

    =+

    =+

    =+= ==+

    =

    =++==

    +

    ++

    +++

    ++

    +

    +++

    0xsix

    1xln

    0xsi12xx

    xf

    21b

    21x'flimbx'flim0'f

    21

    02010210

    1

    x2x1x21x

    1

    limx'flim

    bx'flim0'f

    00

    0100210ln

    x1xx21xlnlim

    x1xx211xln1limx'flim

    bx'flim0'fx1xx2

    1x1x1xln1

    lim00

    10010ln100xflim

    bb02x'flim0'f

    0xsi1xx

    1xln1xxx

    1xln1x

    x0xsibx2

    x'f

    1c1xflimcxflim0f

    110

    11x

    1lim1

    1x1

    lim00

    010lnxflim

    cc0b0xflim0f

    2

    0x0x

    0x0x

    0x

    Hopital'LAplicando220x20x0x

    0x

    20x

    Hopital'LAplicando20x

    0x

    22

    0x0x

    0x0x

    Hopital'LAplicando

    0x

    2

    0x

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    7

    E2.- Calcular la siguiente integral dx2x3x2

    1

    2

    + (25 puntos)

    ( )

    ( ) ( )

    >>>>>>

    >

    =

    =

    =+

    =

    =>====+

    1x/x1x01x2x/x2x02x

    01x2x

    12

    13x

    22

    13x

    213x0189214302x3x 22

    1 2 x > 1 ( - ) ( + ) ( + ) x > 2 ( - ) ( - ) ( + ) x > 1 ( + ) f(x) > 0 ( - ) f(x) < 0 ( + ) f(x) > 0

    ( )

    ( ) ( ) [ ] [ ] [ ]

    [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

    ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )

    629dx2x3x

    6102712

    35

    2922

    29

    374

    32123

    237

    31220

    232

    31dx2x3x

    122122312

    3111211

    2311

    31dx2x3x

    x2x213x

    31x2x

    213x

    31dx2x3x

    x2x213x

    31dx2x3xdx2x3xdx2x3x

    2xsi2x3x2x1si2x3x

    1xsi2x3x2x3xxf

    2

    1

    2

    2

    1

    2

    223322332

    1

    2

    21

    21

    221

    311

    11

    211

    32

    1

    2

    11

    11

    211

    32

    1

    21

    1

    22

    1

    2

    2

    2

    2

    2

    =+

    +=+=++=++=+

    ++=+

    ++=+

    +=+++=+

    >++

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    8

    E3.- Discutir segn los valores del parmetro a, y resolver cuando sea posible: ( )( )

    =++=+

    =+

    aazy1ax0z1ay

    1zx (25

    puntos)

    ( )

    ( )

    { } ( )

    ( ) ( )( )

    ( ) ( )( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

    ( )( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )

    leIncompatibSistema101

    000110101

    101

    110110101

    201

    211110101

    2aSi,0,1Solucinz1x

    1zx0yadominerdetInCompatibleSistema001

    000010101

    101

    101010101

    1aSi2a

    12a1a

    1a2a1a

    a1a1010101

    z

    2a1a

    2a1a1a

    2a1aa11a

    2a1a1aa1a

    2a1aaa1

    1a00111

    y

    2a1a

    2a1a1a

    2a1a1aaa

    2a1aa1aa

    1a10101

    x

    SolucinadominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNmero3Arang2,1a

    1a2a

    213a189214302a3a02a3a

    0ASi2a3a1a1a2a1a1aa1a1

    1a10101

    A

    2

    22

    222

    222

    ==

    =+=

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    ==

    ==

    =====+=+

    =+=++==

    =

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    9

    E4.- Dadas la rectas

    ==

    ==

    4zy20yx2

    ty2

    1zy3

    1xs , se pide halla la perpendicular a s y a t

    y la distancia entre ambas rectas (25 puntos) Cualquier recta r que se apoya en s y en t, tiene como vector director la diferencia entre los puntos generales de las dos rectas, como esta tiene que ser perpendicular a los dos el producto escalar de este vector con el de cada uno de las rectas es nulo. As se hallaran los parmetros y que nos dar la ecuacin de la recta r pedida, posteriormente al hallazgo previo del punto S de corte de la recta s con la recta r, despus hallaremos el punto T, punto de corte con la recta t y la distancia pedida es la que hay entre estos puntos

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u5140012011T,Sdt,sd

    0,2,1T144z

    12y1x

    T

    1z220y101x

    r1,0,1S021z

    0y031x

    S

    1,2,014025,120,1031v11313

    013130012502732731690273273294

    02121130131314

    0168204231084102393

    0425,2,314,2,10425,2,312,1,3

    0vvvv0vvvv425,2,314421,2,31v

    4,2,1v44z

    2yx

    t4x4z4zx4

    x2yt

    2,1,3v21z

    y31x

    s

    222

    r

    trtr

    srsrr

    t

    s

    =++=++==

    +==

    =

    +===

    =+=

    +==

    +=

    =++===

    =+==

    =+=+

    =+=+

    =++++=++++

    =++=++

    ==++=+++=

    =

    +===

    ===

    =

    +==+=

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    1

    ( ) ( ) x1xgyxlnxf ==

    OPCIN A E1.-a) Dadas las funciones , hallar el recinto plano limitado por las rectas x = 1, x = 2 y las grficas de f(x) y g(x) (2 puntos) b) Dar un ejemplo de funcin continua en un punto y que no sea derivable en l (05 puntos) ( ) ( ) x1xgxlnxf ==

    -2

    -1

    0

    1

    2

    0 1 2 3

    ( )

    ( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ]

    ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

    2

    22

    21

    221

    2

    1

    21

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    u212ln2A

    2322ln2

    2311022ln212

    211211ln112ln2A

    x21x1xlnxdxx1dxxlndxx1dxxlnA

    xdxvdvdxx

    dxduuxln

    1xlnxxxlnxdxxlnxx

    dxxxlnxdxxln

    =

    +=+=+=

    +==+=

    ===

    ==

    ====

    Y

    X

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    2

    Continuacin del problema E1 de la opcin A

    ( )( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    1xenderivableesNo

    3xflim1xflim1f1x'flim1'f3x'flim

    1xsi11xsi3

    x'f

    1xenContinuaEs

    8xflimxflim1f851.3xflim1f851.3xflim

    1xsi7x1xsi5x3

    xf

    )b

    1x1x1x

    1x

    1x1x1x

    1x

    =

    ===

    ==

    =

    =+===

    =++==

    +==

    +=+=+==+

    ==+

    12

    31a

    22

    31a

    291a0981214102aa

    0a1a101,1,1a,1,a10vvvv1,1,1v

    a,1,a1v

    ay4zy

    a1a4xray4zya1a4xa4yayx

    a4azya0azyx

    r

    22

    22rr

    2r

    2

    222

  • IES Mediterrneo de Mlaga