problemas analisis pau cyl resueltos

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  • 7/24/2019 Problemas Analisis Pau Cyl Resueltos

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    Departamento de Matemticas. IES EUROPA

    ANLISIS MATEMTICO. PAU CASTILLA Y LEN

    A) EJERCICIOS DE APLICACIN A LAS CCSS

    La concentracin de ozono contaminante, en microgramos por metro cbico, en unaciudad viene dada por la funcin 26,01590)( xxxC , donde xes el tiempo

    transcurrido desde 1 de enero de 1990 contado en aos.a) Hasta qu ao est creciendo la concentracin de ozono?b) Cul es la concentracin mxima de ozono que se alcanza en esa ciudad?.

    (jun-2004)

    En una determinada empresa se fabrican x unidades de un producto, y la funcin de

    beneficio viene dada por 2012)(B 2 xxx

    a) Calcula el nmero de unidades producidas x que deben fabricarse para que no haya

    ni beneficios ni prdidas.b) Calcula el nmero de unidades x que deben fabricarse para que el beneficio seamximo. A cunto asciende ese beneficio mximo?

    (sep 2004)

    Una cadena local de TV ha determinado, por medio de encuestas, que el porcentajede ciudadanos que la ven entre las 6 de la tarde y las 12 de la noche viene dado por la

    funcin: 3227231660)(S tttt donde t indica las horas transcurridas desde las 12

    en punto de la maana.a) A qu hora tiene mxima y mnima audiencia la cadena entre las 6 de la tarde y las12 de la noche? Qu porcentaje de ciudadanos ven la cadena de TV a esas horas demxima y mnima audiencia?b) Dibuja la grfica de la funcin S(t) para t comprendido entre las 6 de la tarde y las12 de la noche.

    (sep 2008)

    Una discoteca abre sus puertas a las 10 de la noche sin ningn cliente y las cierracuando se han marchado todos. Se supone que la funcin que representa el nmero declientes (N) en funcin del nmero de horas que lleva abierto, t, es: N(t) = 80t 10 t2.a) Determina a qu hora el nmero de clientes es mximo. Cuntos clientes hay en

    ese momento?b) A qu hora cerrar la discoteca?(jun 2007)

    Una panadera se dedica a la elaboracin y venta de magdalenas caseras. El coste eneuros de producir diariamente x kg de magdalenas viene dado por la funcin

    xxxxf6

    353,002,0)( 23 . El precio de venta de 1 kg de magdalenas es 5 euros.

    a) Determina la funcin de beneficio neto diario de la panadera por la produccin delas magdalenas. Cul es el beneficio del panadero si en un da elabora y vendeexactamente 5 kg de magdalenas?

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    b) Halla la cantidad de magdalenas que debe elaborar diariamente para conseguir elmayor beneficio. Cul es el beneficio mximo que puede alcanzar al da por laelaboracin y venta de magdalenas?

    (jun 2010 f.e.)

    El nmero de visitantes diarios a una feria de turismo viene dado por la funcin

    )1114(30)( 2 tttV , donde t (0,10) es el tiempo (en horas) transcurrido desde la

    apertura de la feria.a) Cundo aumenta la afluencia de pblico y cundo disminuye? En qu momento sealcanza el nmero mximo de visitantes?b) Determina ese nmero mximo de visitantes.

    (jun 2011)

    Los beneficios diarios de una fbrica, en miles de euros, vienen dados por la funcin10024)( 2 xxxf donde x indica el nmero de unidades que se producen al da.

    a) Calcula el nmero de unidades que han de producirse diariamente para obtener elmximo beneficio.b) Calcula el mximo beneficio que puede obtenerse en un da.

    (sep 2011)

    B) PROBLEMAS DE DETERMINACIN DE PRMETROS

    Sabemos que la funcin bxaxxf 2)( tiene un mximo en el punto (3,8).

    a)

    Halla los valores de" "a

    y" "b

    b) Para dichos valores, calcula la ecuacin de la recta tangente a ( )f x en el punto

    de abscisa 0 (jun 2004)

    Dada la siguiente funcin:

    21393

    11029)(

    2 xaxx

    xaxxf

    a) Determina a para que la funcin f(x) sea continua.b) Calcula el rea del recinto acotado determinado por la funcin obtenida en el

    apartado anterior, el eje OX y las rectas 1x y 1x

    (sep2004)

    Sea3

    3)(

    2

    xsinmx

    xsicbxaxxf La representacin grfica de la funcin f (x) es

    la siguiente:

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    Calcula la expresin de la funcin f (x) sabiendo que el punto A es el vrtice de laparbola.

    (jun 2008)

    Se considera la funcin 45)( 2 xaxxf .

    c) Calcula el valor de a para que la recta tangente a la funcin en el punto3x corte al eje OX en el punto 5x .

    d) Calcula, adems, el rea de la regin limitada por dicha tangente, el eje OX yla funcin )(xf , para el valor de a obtenido anteriormente.

    (jun-2005)

    C) OTROS: CONTINUIDAD, DERIVABILIDAD, RECTAS TANGENTES, GRFICAS.

    Se considera la funcin1

    243)(

    2

    x

    xxf .

    a) Calcula los mximos y mnimos de )(xf .b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la funcin en el intervalo 5,0 .

    (sep2005)

    Se considera la funcin2

    )(x

    xxf

    a) Calcula sus asntotas y el dominio de definicin de la funcin.b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.c) Representa grficamente la funcin f (x).d) Obtn la expresin de la recta tangente a dicha funcin en x = 3.

    (sep 2007)

    Encuentra dos nmeros positivos cuya suma sea 120, tales que el producto de uno deellos por el cuadrado del otro sea mximo.

    (sep 2007)

    Se considera la funcinx

    xf 1)( , se pide:

    a) Representa la funcin f (x).b) Halla la ecuacin de la recta tangente a la curva f (x) en el punto x = 1/2c) Halla el rea limitada por la recta y = -4x + 4 y la parte positiva de los ejes decoordenadas.

    (sept-2008)

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    Dada la funcin:

    a) Representa grficamente f(x).b) Estudia su continuidad y su crecimiento.c) Representa grficamente f(x) .

    (sep 2009)

    La cantidad C de tomates (en kg) que se obtienen de una planta de tomate depende de

    la cantidad de abono x (en gramos) que se aade en el proceso de siembra segn lafuncin xaxxC 25 2010)( , donde x[0, 200] y a es un parmetro.

    a) Determina el valor de a sabiendo que con 130 gramos de abono se recogen 20.25 kgde tomate.b) Supuesto a = 220, calcula la cantidad de abono que debe echar un agricultor en cadaplanta para recoger la mxima cantidad de tomates. Cul es esa mxima cantidad detomates?

    (jun 2010 f.g.)

    Dada la curva de ecuacin 241)(x

    xf , para x ( 2,2).

    a) Halla los mximos y mnimos de la curva en el intervalo considerado y estudia sucrecimiento y decrecimiento.b) Representa grficamente la curva en dicho intervalo.c) Calcula la recta tangente a la curva f(x) en el punto x =1.

    (jun 2010 f.g.)

    Dada la funcin

    3

    3)(

    2

    x

    xxf

    a) Calcula sus asntotas.b) Determina sus intervalos de crecimiento, sus mximos y sus mnimos.

    (jun 2010 f.e.)

    Dada la curva de ecuacin 65)( 2 xxxf se pide:

    a) Halla los mximos y mnimos de la curva, as como los intervalos de crecimiento ydecrecimiento.b) Representa grficamente la curva.

    (sep 2010 f.g.)

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    Sea la funcin

    20

    22

    2

    )(

    x

    xx

    x

    xf

    a) Determina sus puntos de discontinuidad y su derivada en x = 2 y en x = 2.b) Dibuja la grfica de la funcin.c) Explica la relacin existente entre la derivada y la tasa de variacin media en unpunto, indicando lo que significa el valor obtenido de la derivada de la funcin f(x) enx = 2.

    (sep 2010 f.e.)

    Dada la funcin)1(2

    )(2

    x

    xxf

    a) Calcula sus asntotas.b) Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus mximos y susmnimos.c) Con los datos anteriores, representa grficamente la funcin.

    (jun 2011)

    Sea una funcin f(x) de la que se conoce su derivada f(x)=x2-1.a) Representa grficamente f(x).b) Deduce de la grfica los intervalos de crecimiento de f(x).c) Halla la abscisa de los puntos mximos y mnimos de f(x).

    (sep

    2011)

    OTRAS COMUNIDADES

    Dada la funcin:

    0

    012)(

    2xsixx

    xsix

    x

    xf

    a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f.b) Hallar la ecuacin de la tangente a la grfica de la funcin en el punto de

    abscisa x=1. (Cantabria junio 06)

    Dada la funcin

    14

    11

    1

    )(

    2 xsixx

    xsix

    xsix

    xf

    a) Representarla grficamente.b) Estudiar su continuidad y derivabilidad.

    (Castilla La Mancha junio 06)

    Dada la funcinx

    xxf

    23)( ,

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    a) Encuentra los puntos de la grfica en los cuales la recta tangente es paralela ala recta 3x+4y+5=0.

    b) Calcula las ecuaciones de dichas rectas tangentes.(Catalua junio 06)

    La temperatura (en C), de un objeto viene dada por la siguiente funcin:

    52

    43210)(

    2

    2

    tt

    tttf , donde t es el tiempo en horas.

    Calcula la temperatura inicial, la temperatura cinco horas ms tarde y latemperatura que puede alcanzar el objeto si se deja transcurrir mucho tiempo.

    (La Rioja junio 06)

    La funcin 3200120)( 2 xxxf representa el beneficio que obtiene una empresa

    por la fabricacin de x unidades de un producto.

    a)

    Cuntas unidades ha de fabricar para que no haya prdidas?b) Calcula el beneficio unitario.c) Cul es el mayor beneficio posible? (Navarra junio 06)

    Se considera la funcin )ln()( 3 xbxaxf , siendo a y b parmetros reales.

    a) Determine los valores de a y b sabiendo que f(1) = 2 y que la derivada de f(x) esnula en x = 1.

    b) Para a = 4/3 y b = 1, determine los intervalos de concavidad y convexidad y lospuntos de inflexin de f(x).

    c) Para a = b = - 2 , calcule )(xflmx

    y )(0

    xflmx

    .

    (Zaragozajunio 06)

    Hallar las derivadas de:

    xsenyc

    x

    xyb

    xya

    3

    2

    2)

    cos)

    1

    2ln)

    )2(.34)

    )1()

    23)

    32

    3

    xtgyf

    xye

    xxyd

    x

    x

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    Mximo en x=-1

    Mnimo en x=1.