metodos numericos1234

5/7/2018 metodos numericos1234 - slidepdf.com

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Índice1 Aritmética de punto

flotante……………………………………….. 4

1.1 Aproximaciónnumérica…………………………………………… 4

1.2 Errores: truncamiento, redondeo y su repercusión enlos procesos…… 41.2.1 Error por truncamiento……….

………………………………... 41.2.2 Error por redondeo……………………………………………41.2.3 Cálculo de error……………………………………………..5

1.3 Incertidumbre e importancia del errorhumano……………………..5

1.4 Errores de redondeo y aritmética de puntoflotante………………… 5

1.5 Exactitud y precisión: error absoluto y errorrelativo………………….. 61.5.1 Error absoluto………………………………………………...61.5.2 Error

relativo…………………………………………………....6

2 Solución de ecuaciones no lineales en una

variable……………….7

2.1 Método de Newton –Raphson……………………………………….7

1



2.2 Método de lasecante………………………………………………..8

3 Sistemas de ecuacioneslineales…………………………………….9

3.1 Método de solución: eliminación Gaussiana (Gauss- Jordan)…………..10

3.2 Método iterativo de Jacobi….

………………………………………..113.2 Método recursivo de Gauss-Seidel.

…………………………………13

4 Regresión eInterpolación……………………………………………14

4.1 Regresión lineal mediante el modelo de mínimoscuadrados……………14

4.2 Método de interpolación deLagrange………………………………….16

5 Derivación e integraciónnumérica………………………………….16

5.1 Derivaciónnumérica………………………………………………....17

6 Solución numérica de ecuaciones diferencialesordinarias………...18

6.1 Método de

2



Euler……………………………………………………..186.2 Métodos de Runge-Kutta……………………………………………..20

Introducción

Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos

provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales sedificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y,ocasionalmente, son la única opción posible de solución.

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Aritmética de punto flotante

1.1 Aproximación numérica

Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es resueltousando solamente operaciones aritméticas (tediosos cálculosaritméticos), técnicas sistemáticas cuyos resultados sonaproximaciones del verdadero valor que asume la variable de interés;

4



la repetición consistente de la técnica, a lo cual se le denomina

iteraciones, es lo que permite acercarse cada vez más al valor buscadoSe entiende por aproximación numérica X* una cifra que representa aun número cuyo valor exacto es X. En la medida en que la cifra X* seacerca más al valor exacto X, será una mejor aproximación de esenúmero

Ejemplos:

– 3.1416 es una aproximación numérica de π ,

– 1.4142 es una aproximación numérica de √2, y

– 0.333333 es una aproximación numérica de 1/3.

1.2 Errores: truncamiento, redondeo y su repercusión enlos procesos.

En el análisis numérico, al error que existe entre el valor real y elobtenido, se le llama error de aproximación. Existen varios tipos deerror, pero los más comunes son:

1.2.1 Error por truncamiento.Suponiendo que queremos calcular 24/7, sabemos que el resultado deeste quebrado es 3.428571... Si truncamos a dos decimales, es decir3.42 solamente, su expresión como quebrado sería 171/50, y esto,como se puede observar, está generando un error, que más adelantelo calcularemos.

1.2.2 Error por redondeo. Tomando el ejemplo anterior, si redondeamos a dos decimales, esdecir 3.43 solamente, su expresión como quebrado sería 343/100, yesto nos genera un error, que al igual que en el caso anterior, másadelante calcularemos.

1.2.3 Cálculo de errorCuando obtenemos un valor por aproximación, independientementedel método utilizado, podemos calcular el error de dos formas:

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• Error absoluto (EA).- Es la diferencia que existe entre el valor real(R V) y el valor aproximado (V A). Es decir:

EA = | VR - VA |

• Error relativo.- Es la diferencia porcentual que existe entre elvalor absoluto y el valor real. Y se calcula como:

(EA/VR)* 100 = ((|VR −VA |)/VR)* 100 = % ErrorEA = | VR −VA |

1.3 Incertidumbre e importancia del error humano.

Algunos autores mencionan dentro de la clasificación de erroresinherentes, los yerros humanos, que se cometen al hacer la lectura deuna medida, al transmitirla o al transcribirla; pero, en virtud de queestos errores de lectura, transmisión o transcripción puedenconstituirse en pifias garrafales que quedan fuera de todo control, noes posible estimarlos en forma sistematizada. Por ejemplo, si altranscribir en un documento la densidad de un producto, se anota1.381 en vez de 1.831, que es la medida leída, la pifia es imposible demanejar y predecir.

1.4 Errores de redondeo y aritmética de punto flotante.

Los errores de redondeo se producen al realizar operacionesaritméticas en las que el resultado produce una mantisa cuyo númerode dígitos difiere significativamente del número de dígitos de lamantisa de alguno de los valores numéricos involucrados en laoperación. Al manejar un determinado número de cifras significativasen los cálculos, el resultado tiene que ser redondeado de algunamanera, sobrestimando o subestimando el valor resultante verdadero.Sea X el resultado de una operación aritmética, el cual puede serexpresado mediante notación matemática, en forma normalizada: F x10n, donde F está formada por m cifras obtenidas en el resultado, delas cuales, n son enteras. Este valor se puede descomponer en dossumandos, igualmente normalizados: el primero formado por t cifrassignificativas, las t primeras cifras del resultado después del puntodecimal: f x 10n, y el segundo formado por las (m-t) cifras no

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significativas del resultado, g x 10n-t:

X = F x 10n = f x 10n + g x 10n-t

En virtud de que F, f y g son números normalizados, su valor absolutopuede tomar algún valor dentro del intervalo semiabierto [0.1, 1). Festá formado por m dígitos, f está formada por t dígitos y g estáformada por (m-t) dígitos.

0.1 ≤ |F| < 1; 0.1 ≤ |f| < 1; 0 ≤ |g| < 1;

[0.1, 0.999...99] [0.1, 0.999...99] [0, 0.999...]

m dígitos t dígitos (m-t) dígitos

1.5 Exactitud y precisión: error absoluto y error relativo.

1.5.1 Error absolutoLos errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones pararepresentar las operaciones y cantidades matemáticas. La relaciónentre un resultado exacto o verdadero X y el valor aproximado X* estádado por:

X = X* + error (1.1)El que un error tenga signo positivo o negativo, generalmente no tieneimportancia, de manera que el error absoluto se define como el valorabsoluto de la diferencia entre el valor verdadero y el valoraproximado:

E = |X – X*| (1.2)El error absoluto se expresa en las mismas unidades que X y no tomaen cuenta el orden de magnitud de la cantidad que se está midiendo.El error relativo normaliza el error absoluto respecto al valor verdaderode la cantidad medida:

e = |E/X| = |(X - X*)/X| (1.3)

1.5.2 Error relativoEl error relativo es adimensional y puede quedar expresado así, enforma fraccional, o se puede multiplicar por 100 para expresarlo entérminos porcentuales:

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e (%) = |E/X| x 100 (1.4)

Las ecuaciones (1.1), (1.2), (1.3) y (1.4) suponen que se conoce elvalor verdadero de X, lo que hace que los errores absoluto y relativo: Ey e sean también verdaderos. Pero normalmente X no se conoce; notendría sentido considerar una aproximación, si se conociese el valorverdadero.

La mejor estimación posible del verdadero valor de X es suaproximación X* y se define entonces una estimación del error relativocomo:

e* = |E/X*|Pero el problema está en cómo estimar E, en ausencia de conocimientodel verdadero valor de X.Algunos métodos numéricos usan un esquema iterativo en los que sehace una aproximación con base en la aproximación previa y esto sehace varias veces, para obtener cada vez mejores aproximaciones:

e* = | (valor actual - valor anterior)/valor actual |Los cálculos se repiten hasta que: e* < e0, donde e0 es un valorprefijado previamente. Los errores numéricos se clasifican, por suorigen, en tres tipos: errores inherentes, errores de redondeo y errorespor truncamiento, cada uno de los cuales merece un tratamiento porseparado.

Solución de ecuaciones no lineales en una variable

2.1 Método de Newton – Raphson.

El Método de Newton-Raphson asume que la función f(x) es derivablesobre un intervalo cerrado [a,b]. Entonces f(x) tiene una pendientedefinida y una única línea tangente en cada punto dentro del intervalo[a,b]. La tangente en (x0, f (x0)) es una aproximación a la curva de f(x)cerca del punto (x0, f(x0)) .En consecuencia, el cero de la línea

tangente es una aproximación del cero de f(x) o denominada raíz def(x).

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Modelo general del método Newton – Raphson.

Formula de Newton – Raphson: xi+1 = xi – ((f(xi))/(f’(xi)))

Ejemplo: usar el método de Newton – Raphson para aproximar laraíz de f(x)= e-x – ln x comenzando con x0 = 1 y hasta que e(%)<1%En este caso tenemos que: f’(x) = -e-x – (1/x)Aquí tenemos que:

xi+1 = xi – ((e-xi – ln(xi))/(-e-xi – (1/xi))) = xi + ((e-xi – ln(xi))/(e-xi +(1/xi)))

Comenzamos con x0 = 1 y obtenemos:x1 = x0 + ((e-x0 – ln(x0))/(e-x0 + (1/x0))) = 1.268941421

En este caso, el error aproximado es:e (%) = |((1.268941421 – 1)/( 1.268941421))*100%| = 21.19%

Continuamos con el proceso hasta reducir el error aproximadohasta que el e (%) < 1%Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox.1 100%1.268941421 21.19 %1.309108403 3.06 %1.3097999389 0.52

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f(x)

x2 x1

x



Se observa que cuando el método de Newton – Raphson converge a la

raíz, lo hace de una forma muy rápida y de hecho el error aproximadodisminuye a pasos agigantados en cada paso del proceso.

2.2 Método de la secante

El principal inconveniente del método de Newton estriba en querequiere conocer el valor de la primera derivada de la función en elpunto. Sin embargo la forma funcional de f(x) dificulta en ocasiones elcálculo de la derivada. En este caso en más útil emplear el método dela secante. El método de la secante parte de dos puntos y no solo de

uno como el método anterior y estima la tangente es decir, lapendiente de la recta, por una aproximación de acuerdo con laexpresión:

f’(x0) = ((f(x1) – f(x0))/(x1 – x0))Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton,obtenemos la expresión del método de la secante que nos proporcionael siguiente punto de iteración:

x2 = x0 – ((x1 – x0)/(f(x1) – f(x0))) * f(x0)

Ejemplo: usar el método de la secante para aproximar la raíz defx = e-x2 – x, comenzando con x0 = 0, x1 = 1 hasta que el e(%)<1%.Primera iteración para la fx = e-x2 – x con x0 = 0, x1 = 1

xn = x n-1 - |((xn-1 – xn-2)/f(xn-1) - f(xn-2))|f(xn-1) = 0.612699837Con un error aproximado de:

e(%) = |((x2 – x1)/x2) * 100%|= 63.2%como todavía no se logra el objetivo, continuamos con elproceso. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox.0 100 %

0.612699837 63.2 %0.653442133 6.23 %0.652917265 0.08 %

De lo cual se concluye que la aproximación a la raíz es x4 =

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0.652917265

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales de mxn es una expresión de laforma:

a11x1+a12x2+ … + a1nxn = b1

a21x1+a22x2+ … + a2nxn = b2

………………………………………………..

………………………………………………..

am1x1+am2x2+ … + amnxn = bm

y su soluciones un conjunto de valores:k1, k2, … kn tales que:

a11k1+a12k2+ … + a1nkn = b1

a21k1+a22k2+ … + a2nkn = b2

………………………………………………..

………………………………………………..

am1x1+am2k2+ … + amnkn = bm

3.1 Método de solución: eliminación Gaussiana (Gauss- Jordan).

El método de Gauss-Jordan consiste en la eliminación consecutiva delas incógnitas con el propósito de llegar a un sistema escalonado. Parallevar a cabo dicha transformación se recurre a las transformacioneselementales, considerándolas sobre una matriz que represente alsistema de ecuaciones únicamente a través de sus coeficientes. Estamatriz se conoce como Matriz del Sistema; si además esta contiene lostérminos independientes se le da el nombre de Matriz Aumentada del

sistema.T(s)=T(s)=…T(s)

a11x1 a12x2 a1nkn b1 x1 0x1 0xn c1

a21x1 a22x2 a2nkn b2 0x1 x2 0xn c2

…………………............. …………………………..

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…………………............. …………………………...

an1x1 an2x2 annkn bn 0x1 0x2 xn cn

Para ilustrar la idea central del método, consideremos el problema deresolver el siguiente sistema de ecuaciones:

3x1 + 3x2 + 6x3 = 93x1 + 4x2 + 1x3 = -1-2x1 - 4x2 - 1x3 = 0

El cual está representado por el siguiente arreglo matricial:

3 3 6 93 4 1 -1-2 -4 -1 0

Primer paso será obtener un reglón “pivote”, cuyo primer elementosea 1,normalizado un reglón, en este caso el segundo, antes decomenzar el escalonamiento, intercambiaremos los reglones 1 y 2.Ahora para comenzar a escalonar, multiplicaremos el primer reglón por-3

1/3(R2)3 4 1 -1 3 4 1 -13 3 6 9 1 1 2 3-2 -4 -1 0 -2 -4 -1 0

R1 = R2 -3(R1)1 1 2 3 -3 -3 -6 -93 4 1 -1 3 4 1 -1-2 -4 -1 0 -2 -4 -1 0

Ahora sumaremos el primer reglón al segundo y sustituiremos esteúltimo con el resultado. Después, volveremos a normalizar el reglón 1. Justo como antes, multiplicaremos el primer reglón, por el primerelemento del tercer renglón, cambiado de signo, en este caso por 2.Una vez más sumaremos renglones, ahora el primer y el tercero,sustituyendo este último con el nuevo resultado y después

normalizamos de nuevo el pivote R1+R2

-3 -3 -6 -9 1 1 2 33 4 1 -1 -1/3(R2) 01 -5 -10-2 -4 -1 0 -2 -4 -1 0

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2(R1) R1+R3

2 2 4 6 1 1 2 30 1 -5 -10 1/2(R1) 0 1 -5 -10

-2 -4 -1 0 0 -2 3 6

Una vez que la primera columna se ha llenado de ceros, cambiamos depivote al reglón inmediato hacia abajo y llenamos de ceros la segundacolumna, hacia abajo. Este algoritmo se repite hasta convertir la matrizen una matriz diagonal superior, con solo ceros por debajo de sudiagonal principal.Esta primera parte del método se conoce como eliminación Gaussiana.Como se aprecia el sistema ha sido transformado en uno equivalentecuyas ecuaciones son de 1, 2 y 3 variables. A partir de aquí, con laeliminación Gaussiana se obtiene los valores de las incógnitas a travésde una sustitución hacia atrás, como se muestra:

x3 = -14 / -7 = 2x2 = -10 + 5 (x3) = -10 + 5 (2) = 0x1 = 3 – 2 (x3) – x2 = 3 – 2 (2) – 0 = -1

3.2 Método iterativo de Jacobi

El método Jacobi es el método iterativo para resolver sistemas de

ecuaciones lineales más simple y se aplica sólo a sistemas cuadrados,es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones. Primero sedetermina la ecuación de recurrencia. Para ello se ordenan lasecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita i.En notación matricial se escribirse como:

x = c + B xDonde x es el vector de incógnitas. Después se toma una aproximaciónpara las soluciones y a ésta se le designa por x0. Luego se itera en elciclo que cambia la aproximación

xi + 1 = c + B xi

Ejemplo: Partiendo de ( x = 1, y = 2 ) aplique dos iteraciones delmétodo de Jacobi para resolver el sistema:

5x + 2y = 1x - 4y = 0

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= +

Debemos primeramente despejar de la ecuación la incógnita

correspondiente.x = 0.20 + 0.00x - 0.40yy = 0.00 + 0.25x +0.00y

Escrito en la notación vectorial quedaría:x 0.20 0.00 -0.40 xy 0.00 0.25 0.00 y

Aplicamos la primera iteración partiendo de x0 = 1.00 y y0 = 2.00x1 = 0.20 + 0.00(1.00) - 0.40(2.00) = -0.60y1 = 0.00 + 0.25(1.00) + 0.00(2.00) = 0.25

Aplicamos la segunda iteración partiendo de x1 = −0.60 y y1 =0.25:

x2 = 0.20 + 0.00 (−0.60) − 0.40 (0.25) = 0.10y2 = 0.00 + 0.25 (−0.60) + 0.00 (0.25) = −0.15

Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x2 = 0.10 y y1 =−0.15:

x3 = 0.20 + 0.00 (0.10) − 0.40 (−0.15) = 0.26y3 = 0.00 + 0.25 (0.10) + 0.00 (−0.15) = 0.025

Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x3 = 0.26 y y3 =0.025:

x4 = 0.20 + 0.00 (0.26) − 0.40 (0.025) = 0.190y4 = 0.00 + 0.25 (0.26) + 0.00 (0.025) = 0.065


x5 = 0.20 + 0.00 (0.19) − 0.40 (0.065) = 0.174y5 = 0.00 + 0.25 (0.19) + 0.00 (0.065) = 0.0475


x6 = 0.20 + 0.00 (0.174) − 0.40 (0.0475) = 0.181y6 = 0.00 + 0.25 (0.174) + 0.00 (0.0475) = 0.0435

Dónde:Di = máx (|xi - xi+1|,|yi - yi+1|)

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Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

i xi yi xi+1 yi+1 Di

0 1.00 2.00 -0.600 0.250 1.7501 -

0.600

0.250 0.100 -0.150 0.700

2 0.100

-0.150 0.260 0.025 0.170

3 0.26

0

0.025 0.190 0.065 0.070

4 0.190

0.065 0.174 0.047 0.017

5 0.174

0.047 0.181 0.043 0.007

6 0.181

0.043 0.182 0.045 0.001

Este Di es utilizado como criterio de paro en las iteraciones:Cuando Di es menos que cierto valor dado (digamos 0.001) unoya no realiza la siguiente iteración. Si se grafica las

aproximaciones obtenidas en el plano x − y se obtendrá algocomo:

Sucesión de Soluciones

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3.3 Método recursivo de Gauss-Seidel

El método de Gauss-Seidel es muy semejante al método de Jacobi.Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incógnitas paradeterminar una nueva aproximación, en el de Gauss-Seidel se vautilizando los valores de las incógnitas recién calculados en la mismaiteración, y no en la siguiente. Por ejemplo, en el método de Jacobi seobtiene en el primer cálculo xi+1, pero este valor de x no se utiliza sinohasta la siguiente iteración. En el método de Gauss-Seidel en lugar deeso se utiliza de xi+1 en lugar de xi en forma inmediata para calcularel valor de yi+1 de igual manera procede con las siguientes variables;

siempre se utilizan las variables recién calculadas.Ejemplo: Partiendo de (x = 1, y = 2) aplique dos iteraciones delmétodo de Gauss-Seidel para resolver el sistema:

5 x + 2 y = 1x − 4 y = 0

Debemos primeramente despejar de la ecuación la incógnitacorrespondiente.

x = 0.20 + 0.00 x − 0.40 yy = 0.00 + 0.25 x + 0.00 y

Aplicamos la primera iteración partiendo de x0 = 1.00 y y0 =

2.00: x1 = 0.20 + 0.00 (+1.000) − 0.40 (2.00) = −0.600y1 = 0.00 + 0.25 (−0.600) + 0.00 (2.00) = −0.15

Aplicamos la segunda iteración partiendo de x1 = −0.600 y y1 =−0.15:

x2 = 0.20 + 0.00 (−0.600) − 0.40 (−0.15) = 0.26y2 = 0.00 + 0.25 (0.26) + 0.00 (−0.15) = 0.065

Aplicamos la tercera iteración partiendo de x2 = 0.26 y y2 =0.065:

x2 = 0.20 + 0.00 (0.26) − 0.40 (0.065) = 0.174y2 = 0.00 + 0.25 (0.174) + 0.00 (0.174) = 0.0435

Regresión e Interpolación

4.1 Regresión lineal mediante el modelo de mínimos

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cuadrados.La forma más simple de interpolación es la de conectar dos puntos conuna línea recta. Este método, llamado interpolación lineal. Usandotriángulos semejantes, se tiene

((f 1 (x) - f (x0))/ (x - x0)) = ((f (x1) - f (x0))/ (x1 - x0))Que se puede ordenar como:

f 1 (x) = f (x0) + ((f (x1) - f (x0))/ (x1 - x0)) *( x - x0)

Esquema gráfico de la interpolación

lineal.Las áreas sombreadas muestran triángulos semejantes usados en laderivación de la fórmula de interpolación lineal. La cual es una fórmulade interpolación lineal. La notación f 1(x) indica que se trata de unpolinomio de interpolación de primer orden. Nótese que además derepresentar la pendiente de la línea que conecta los dos puntos, eltérmino (f(x1) - f (x0)) / (x1 - x0) es una aproximación de diferenciasdivididas finitas a la primera derivada. En general, entre más pequeñosea el intervalo entre los puntos, más exacta será la aproximación.Esta característica se demuestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo: calcúlese el logaritmo natural de 2 (ln 2) usandointerpolación lineal. Primero, llévense a cabo los cálculosinterpolando entre ln 1 = 0 y In 6 = 1.791 759 5. Despuésrepítanse el procedimiento, pero usando un intervalo máspequeño desde ln 1 a In 4 (1.386 294 4). Nótese que el valor real

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de In 2 = 0.693 147 18

f 1 (2) = 0 + (1.791 759 5 - 0)/(6 - 1)*(2 - 1) = 0.35835190La cual representa un error relativo de = 48.3%. Usando elintervalo más pequeño desde x = 1 a x = 4 da:

f 1 (2) = 0 + (1.3862944 - 0)/(4 - 1)*(2 - 1) = 0.46209813Por lo tanto, usando el intervalo más pequeño reduce el errorrelativo de = 33.3%.

4.2 Método de interpolación de Lagrange.A continuación expondré como se obtiene el polinomio de interpolaciónmediante el método de Lagrange. Básicamente el problema consisteen que se cuenta con un conjunto de pares ordenados que representanpuntos en un par de ejes cartesianos y se quiere buscar una funciónque pase por todos esos puntos.

El método de Lagrange obtiene el polinomio de interpolacióncorrespondiente a los puntos (x0,y0), (x1,y1), … , (xn,yn), a partir de las n+ 1 funciones siguientes:

f 0(x) = ((x – x1)*(x – x2)*(x – x3), … ,(x – xn) ) /((x0 – x1)*(x0 – x2)*(x0

– x3), … ,(x0 – xn) )

f 1(x) = ((x – x0)*(x – x2)*(x – x3), … ,(x – xn) ) /((x1 – x0)*(x1 – x2)*(x1

– x3), … ,(x1 – xn) )

f n(x) =((x – x0)*(x – x1)*(x – x2), … ,(x – xn-1) ) /((xn – x0)*(xn – x1)*(xn

– x2), … ,(xn – xn-1) )

Todos son polinomios de grado n que cumplen f i (xi) = 1; f i (x j) = 0 (si i= j), por lo que:

Pn (x) = y0 f 0 (x) + y1 f 1 (x) + y2 f 2 (x) + … + yn f n (x)

Será un polinomio de grado menor o igual que n que, además,cumplirá:

Pn (x0) = y0 , Pn (x1) =y1 ,…,Pn (xn) = yn

Ejemplo: para hallar por el método de lagrange el valorinterpolado para x = 4 correspondiente a los puntos (1 , 1), (3 ,

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4) y (6 , 8)procederemos así:

P (x) = 1* (((x -3)*(x-6))/10) +4* (((x -1)*(x-6))/-6)+ 8*(((x -1)*(x-3))/15)=P(4)=22/5= 4´4

Derivación e integración numérica

Sea la función: y= f(x)Se desea calcular la derivada de la función f(x), para lo cual lo expresamos

Gráficamente así:

tg β = (∆ y0)/h

d/dx f(x) = 1/h[∆ y0] dónde: ∆ y0 = y1 – y0

El problema de la derivada consiste en obtener el valor de las derivadas enuna función tabulada en algunos puntos:

x = x0, x1, x2, x3, …, xn

Si: yk = f(xk) yk = y0 + (k 1) ∆ y0 +(k 2) ∆2 y0 + (k 3) ∆3 y0 + …+ (k j) ∆ j y0

La primera derivada es:

d/dx f(x) = d/dx[y0 + (k 1) ∆ y0 +(k 2) ∆2 y0 + (k 3) ∆3 y0 + …+ (k j) ∆ j y0]

Considerando que : k = ((x –x0)/h) y dk/dx = 1/h

(k 1) = ((k(k - 1))/(k - 1)) = k

(k 2) = ((k(k-1)(k-2))/((k-2)2!))) = ((k(k -1))/2)(k 3) =((k(k -1)(k-2))/6)

Remplazando en k, dk/dx, (k 1), (k 2), (k 3) en d/dx f(x), y derivando,tenemos:

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d/dx f(x) = 1/h d/dk [y0 + (k ) ∆ y0 +((k(k -1))/2)∆2 y0 + ((k(k -1)(k-2))/6) ∆3 y0

+….]d/dx f(x) = 1/h [ ∆ y0 +((2k - 1)/2)∆2 y0 + ((3k2 -6k +2)/6) ∆3 y0 +….]

5.1 Derivación numérica.

Formula de derivación de dos puntos:d/dx f(x) = 1/h [∆ y0 .] +e donde: “e” es un error por truncamiento y ∆ y0 = y1

- y0

d/dx f(x) = 1/h [y1 - y0.] +e

Esta fórmula permite encontrar la función tabular x = x0 mediante un

polinomio interpelante de primer grado, tenemos:d/dx f(x) |x = x0| y’0 = 1/h [y1 - y0.] +e

Si deseamos encontrar la derivada de la función tabular en x = x1 medianteun polinomio interpelante de primer grado, tenemos:d/dx f(x) |x – x1 y’0 = 1/h [-y1 + y2.] +e y así sucesivamente.

Solución numérica de ecuaciones diferencialesordinarias.

6.1 Método de Euler.

Se llama método de Euler al método numérico consistente en irincrementando paso a paso la variable independiente y hallando lasiguiente imagen con la derivada. Calculemos la ecuación de la recta

tangente a la curva solución de la ecuación diferencial dad en el punto(x0, y0). De los cursos de Geometría analítica, sabemos que la ecuaciónde la recta es:

y = m(x – x0) +y0

Donde m es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de

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la recta tangente se calcula con la derivada:

m = y’(x0, y0) = f(x0 – y0)Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es:

y = f(x0, y0)(x – x0)+y0

Ahora suponemos que x1 es un punto cercano a x0, y por lo tantoestará dado como x1 = x0 + h. De esta forma, tenemos la siguienteaproximación:

y(x1)= y( x0 + h)≈ f(x0, y0)( x0 + h - x0)+ y0

De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación:y(x0 + h) ≈ y0 + h * f(x0, y0)

Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h esrealmente pequeño, digamos de una décima o menos. Pero si el valor de h es

más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dichafórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un métodoiterativo, es dividir la distancia k=|x1 – x0| en n partes iguales (procurandoque estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtenerentonces la aproximación en n pasos, aplicando la fórmula anterior n vecesde un paso a otro, con la nueva h igual a | x1 – x0|/n.En una gráfica, tenemos lo siguiente:

X0 x0 + h x0 +2h …x1

| | | |y0 y1 y2 …yn

Ahora bien, sabemos que:y1 = y0 + hf(x0, y0)

Para obtener y2 únicamente hay que pensar que ahora el papel de (x0,y0) lo toma el punto (x1, y1), y por lo tanto, si sustituimos los datosadecuadamente, obtendremos que:

y2 = y1 + hf(x1, y1)Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para aproximar el valor dey(x1) aplicándola sucesivamente desde x0 hasta x1 en pasos de longitud h.

Ejemplo: y’ = 2xy y(0) = 1Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial:aproximar y(0.5).

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Primero observamos que esta ecuación sí puede resolverse por

métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo,podemos aplicar el método de separación de variables. Veamos lasolución Numérica:Aplicamos el método de Euler y para ello, observamos que la distanciaentre x0 =0 y x1 = 0.5 no es lo suficientemente pequeña. Si dividimosesta distancia entre cinco obtenemos un valor de k= 0.1 y por lo tanto,obtendremos la aproximación deseada en cinco pasos. De esta forma,tenemos los siguientes datos:

x0 = 0y0 =1

k = 0.1f(x, y) = 2xy

Sustituyendo estos datos en la fórmula de Euler, tenemos, en unprimer paso:

x1 = x0 + h = 0.1y1 = y0 + hf(x0, y0) = 1 +0.1[2(0)(1)] =1

Aplicando nuevamente la fórmula de Euler, tenemos, en un segundopaso:

X2 = x1 + k = 0.2y1 = y1 + hf(x1, y1) = 1 +0.1[2(0.1)(1)] =1.02

Y así sucesivamente hasta obtener y5. Resumimos los resultados en lasiguiente tabla:

n xn yy0 0 11 0.1 12 0.2 1.023 0.3 1.06084 0.4 1.124455 0.5 1.2144

Concluimos que el valor aproximado, usando el método de Euleres: y(0.5)≈1.2144.Puesto que en este caso, conocemos el valor verdadero, podemosusarlo para calcular el error relativo porcentual que se cometió alaplicar la fórmula de Euler. Tenemos que:

e (%) = |((1.28402 – 1.2144)/1.28402)*100%| = 5.42%

6.2 Métodos de Runge-Kutta.

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Sin entrar en mucho detalle, mencionamos solamente que el método de

Runge-Kutta cambia la dirección en el sentido de que no sigue la misma líneade los métodos de Euler. De hecho está basado en una aplicación de lospolinomios de Taylor. Comentamos sin embargo, que el método de Runge-Kutta si contiene como casos especiales los de Euler. Las formulas:

yn-1 = yx + 1/6[k1 + 2k2 + 2k3 + k4]Dónde:

k1 = k * f(xn * yn)k2 = k * f [xn + 1/2k, yn + 1/2 k1]k3 = k * f [xn + 1/2 k, yn + 1/2 k2]

k4 = k* f [xn + k, yn + k3]Se conocen como las reglas o fórmulas de Runge-Kutta de orden cuatro parala ecuación diferencial:

y’ = f (x, y) y (x0) = y0

Ejemplo: Usar el método de Runge-Kutta para aproximar y(0.5) dada lasiguiente ecuación diferencial:

y’ = 2xy y(0) = 1Primero, identificamos el mismo ejemplo 1 de los dos métodosanteriores. Segundo, procedemos con los mismos datos:

x0 = 0y0 =1

k = 0.1f(x, y) = 2xy

Para poder calcular el valor de y1, debemos calcular primeros losvalores de k1, k2, k3 y k4. Tenemos entonces que:

k1 = k*f(x0, y0) = 0k2 = k*f(x0 +1/2 k,y0 +1/2 k1) = 0.1[2(0.05)(1)] =0.01k3 = k*f(x0 +1/2 k,y0 +1/2 k2) = 0.1[2(0.05)(1.005)]

= 0.01005k4 = k*f(x0 +1/2 k,y0 +1/2 k3) = 0.1[2(0.1)(1.005)]

= 0.020201Por lo tanto:

y1 = y0 + 1/6 [0+2(0.01)+2(001005)+0.020201] = 1.01005Con el fin de un mayor entendimiento de las fórmulas, veamos lasiguiente iteración:

x2 = x1 + k =0.2k1 = k *f(x1, y1) = 0.1 [2(0.1)(1.01005)]=0.020201

k2 = k *f(x1 +1/2 k,y1 +1/2 k1) =0.1[2(0.15)(1.02010)]= 0.0306

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k3 = k *f(x1 +1/2 k,y1 +1/2 k2) =0.1[2(0.15)(1.02535)]

= 0.03076k4 = k *f(x1 + k,y1 + k3) =0.1[2(0.2)(1.04080)]

= 0.04163Por lo tanto:

y2 = y1 + 1/6 [k1 + 2k2 + 2k3 + k4] = 1.04081

El proceso debe repetirse hasta obtener y5. Resumimos los resultadosen la siguiente tabla:

n xn yn

0 0 1

1 0.1 1.010052 0.2 1.040813 0.3 1.094174 0.4 1.173515 0.5 1.28403

Concluimos que el valor obtenido con el método de Runge-Kutta es:y(0.5) ≈ 1.28403

Finalmente, calculamos el error relativo verdadero:e(%) = |((1.28402 – 1.284003)/1.28402)*100%| = 0.0007%

Con lo cual vemos que efectivamente se ha reducido muchísimo elerror relativo. De hecho observamos que tenemos 6 cifras

significativas en la aproximación!

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Bibliografía

• Prawda Witenberg, Métodos y Modelos de Investigación

de Operaciones, Edit. Limusa, 1976

• Nakamura, Métodos numéricos

• Carrasco Venegas, Luis, Editorial América, Lima Perú,1era. Edic. 2002

• Steven C. Chapra, Métodos Numéricos para Ingenieros,

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metodos numericos1234

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