EJERCICIOS DE MÉTODOS

DE LOCALIZACION ESPACIAL

I N T E G R A N T E S : A V I L E S V A L E N C I A R O L A N D O

M E D I N A A R A U C O E D U A R D O

M U R I E L Z E L A D A M A R C E L O

S A N C H E Z V A R G A S L I M B E R

S A N D O V A L V E L A S Q U E Z A L E X A N D E R

S O R I A G O M E Z A R I E L

C A R R E R A : I N G E N I E R I A E L E C T R O M E C Á N I C A

M A T E R I A : R O B Ó T I C A I N D U S T R I A L

MATRICES DE TRANSFORMACION HOMOGENEA

1.-Hallar la matriz de transformación homogénea que describa la orientación y la

posición de la pinza con respecto al sistema de referencia fijo OXoYoZo según se

indica en la figura.

PINZA= EFECTOR TERMINAL

ROBOT con 6 grados de libertad

Brazo--- 3 grados de libertad

Muñeca---3 grados de libertad

Z6

Zo

Xo

YoO

X3

Y3

Z3

Y6

X6

T6

ANGULOS DE EULER

EJERCICIOS DE ROLL PITCH Y YAW

Rotaciones con respecto a los ejes X,Y y Z

En tres dimensiones se pueden hacer tres dimisiones diferentes:

Rotación en OX

Rotación en OY

Rotación en OZ

Rotación con respecto al eje Y

Si se hace una rotación tomando como eje de giro al Y, la matriz de rotación R(y,Ø)

es:

Ejemplo Rotacion OY

Encontrar el vector Pxyz, cuando el punto Puvw=[1,1,2], con con respecto al eje OY

Sea el sistema OUVW rotado 45 con respecto al eje OY fijo. El punto Puvw=[1,2,3],

encontrar el punto con respecto al sistema OXYZ

Ejemplo de varias rotaciones

Para encontrar la rotación con respecto a un punto, normalmente se utilizan varias

rotaciones

Una de ellas es rotar α sobre el eje OX, después Ø sobre el eje OY u finalmente θ

sobre el eje OZ

A la matriz resultante se le conoce como matriz de transformación

Es importante recordar el orden de rotaciones, ya que no son conmutativas

Encontrar la matriz de transformación con el punto Puvw=[1,2,3], con respecto al eje

X,Y y Z (en ese orden) con los angulos α=90, Ø=90 y θ=90

Pxyz=R(xα,)R(y,Ø)R(z,θ)Punw

PAR DE ROTACIÓN

La representación de la orientación de un sistema

OUVW con respecto al sistema de referencia OXYZ también

puede realizarse mediante la definición de un vector

k(kx,ky,kz) y un ángulo θ sobre el eje k.

El eje ha de pasar por el origen O de ambos sistemas.

Al par (k,θ) se le denomina par de rotación y se

puede demostrar que es único.

PAR DE ROTACIÓN

Al igual que los ángulos de Euler, no se trata de un método que permita realizar una

visualización sencilla de la orientación, salvo en casos muy concretos en los que el

vector k coincide con algunos de los ejes coordenados del Sistema OXYZ.

Para la definición de orientación con este método, es necesario definir cuatro

parámetros distintos:

Kx,ky,kz y θ, Se puede representar como ROT(K,θ).

La aplicación de un par de rotación que rote un vector p un Angulo θ alrededor del eje

k se realiza a través de la siguiente expresión:

( , ) = −( ) θ+ ( ∙ )( − )

PAR DE ROTACIÓN

EJEMPLO

VECTOR P : [2 ,5,0]

VECTOR K : [1,0,0]

ANGULO θ : 45

COS 45 =0,707

SIN 45 = 0,707

ROT(K,θ) P :

=[1.414,3.536,0]

-( ) θ=[0,0,-3.356]

( ∙ )( − )=[0.586 ,0,0]

TOTAL : [2,3,536,-3,536]

PAR DE ROTACIÓN

El par de rotación solo sirve para la representación de orientaciones.

Es compacto, pues únicamente usa 4 parámetros para la definición de orientación

de un sistema respecto a otro.

Se puede aplicar para la rotación de un vector r un ángulo θ alrededor del eje k. Sin

embargo, la composición de rotaciones presenta una expresión complicada, lo que

limita su utilización práctica en algunas aplicaciones.

CUATERNIONES.

Desarrollaremos la aplicación de los cuaterniones en

tres tipos de ejercicios.

- Representación de rotaciones en el espacio

alrededor de un eje.

- Rotación de un punto en el espacio alrededor de un

vector.

- Rotación de rectas.

REPRESENTACIÓN DE ROTACIONES EN EL

ESPACIO ALREDEDOR DE UN EJE.

ROTACIÓN DE UN PUNTO EN EL ESPACIO

ALREDEDOR DE UN VECTOR.

q\P 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Q*P p

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

P(0, 3, 2)

P(0, -2, 3)

ROTACIÓN DE RECTAS.

q\Q 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

P(0, 3, 2)

P(0, -2, 3)

Q(3, 0, 2)

Q(3, 2, 0)

Transformando:

PREMULTIPLICACION Y

POSTMULTIPLICACION

PREMULTIPLICACION

OBTENER LA MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN QUE REPRESENTA AL

SISTEMA O'UVW OBTENIDO A PARTIR DEL SISTEMA OXYZ

MEDIANTE UN GIRO DE ÁNGULO -90º ALREDEDOR DEL EJE OX, DE

UNA TRASLACIÓN DE VECTOR PXYZ(5,5,10) Y UN GIRO DE 90º

SOBRE EL EJE OZ. ES DECIR, LA PREMULTIPLICACION SE HACE DE

DERECHA A IZQUIERDA.

¿Para que se busca una

premultiplicacion?...

LA PREMULTIPLICACION ES PARTE DE UN MÉTODO, EL MÉTODO DE

TRANSFORMACION DE MATRICES HOMOGENEAS.

ESTE PASO NOS SIRVE PARA OBTENER LA MATRIZ RESULTANTE DESPUES DE

REALIZAR DESPLAZAMIENTOS.

POSTMULTIPLICACION

OBTENER LA MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN QUE REPRESENTA

LAS SIGUIENTES TRANSFORMACIONES SOBRE UN SISTEMA

OXYZ FIJO DE REFERENCIA: UN GIRO DE 90º SOBRE EL EJE OZ,

UNA TRASLACIÓN DE VECTOR PXYZ(5,5,10) Y FINALMENTE

MEDIANTE UN GIRO DE ÁNGULO -90º ALREDEDOR DEL EJE OX.

EN POCAS PALABRAS…REGRESAR A SU POSICION INICIAL EL

VECTOR… LA POSTMULTIPLICACION SE REALIZA, DE IZQUIERDA

A DERECHA

¿PARA QUE POSTMULTIPLICAR?

AL IGUAL QUE LA PREMULTIPLICACION, LA POSTMUTIPLICACION ES UN PASO

MUY IMPORTANTE DENTRO DEL METODO DE TRANSFORMACION.

NOS PERMITE OBTENER LA MATRIZ PARA QUE NUESTRO SISTEMA REGRESE A SU

POSICION ORIGINAL, PASANDO POR LOS MISMOS MOVIMIENTOS DEL EJEMPLO

PASADO.