Matriz Absorbente

Investigación de Operaciones II

Cadenas Absorbentes

• Un estado tal que si el proceso entra en él permanecerá indefinidamente en este estado (ya que las probabilidades de pasar a cualquiera de los otros son cero), se dice estado absorbente.• Para poder estudiar las cadenas de Markov absorbentes es preciso

reordenar la matriz de transición de forma que las filas correspondientes a los estados absorbentes aparezcan en primer lugar. Así ordenada se dirá que la matriz de transición está en la forma canónica.•  

Generalizando• Una cadena de Markov absorbente  contiene p estados transitorios y q estados absorbentes. La matriz canónica del proceso  presentará el aspecto siguiente:

• I: matriz identidad de dimensión q• O: matriz nula de dimensión qxp• Q: matriz de dimensión pxq que contiene las probabilidades de paso de estados transitorios a absorbentes.• M: matriz pxp con las probabilidades de los estados transitorios a estados transitorios.

Ejemplo 1• La empresa jurídica Angie Montero, emplea 3 tipos de abogados:

subalternos, superiores y socios. Durante cierto año el 10% de los subalternos ascienden a superiores y a un 10% se les pide que abandonen la empresa. Durante un año cualquiera un 5% de los superiores ascienden a socios y a un 13% se les pide la renuncia. Los abogados subalternos deben ascender a superiores antes de llegar a socios. Los abogados que no se desempeñan adecuadamente, jamás descienden de categoría.

a) Forme la matriz de transición Tb) Determine si T es regular, absorbente o ninguna de las 2.c) Calcule la probabilidad de que un abogado subalterno llegue a sociod) ¿Cuánto tiempo deberá permanecer en su categoría un abogado subalterno recién contratado?e) ¿Cuánto tiempo deberá permanecer en la empresa un abogado subalterno recién contratado?f) Calcule la probabilidad de que un abogado superior llegue a socio.

Solucióna) La matriz T y nos queda:

b) Ahora se procede a restar la matriz normal de la identidad y se halla la inversa para ver los tiempos entre estados, para posteriormente esta última ser multiplicada por la matriz absorbente y saber las probabilidades de cambios de estado.

Matriz de TransicionSub. Sup. Soc Renun

Sub 0.8 0.1 0 0.1Sup. 0 0.82 0.05 0.13Soc. 0 0 1 0Renun 0 0 0 1

  Matriz Nula  

Matriz Absorbente

  Matriz Normal  Matriz Identidad

Restar la Identidad con la matriz NormalI - Normal a b

1 0 - 0.80

0.10 = 0.2 -0.1

0 1 0

0.82 0 0.18

c d

Determinante = 0.036

Matriz inversa 2x2 A-1 = 1 d -b ∕A∕ -c a

A = a bc dMatriz normal:

Matriz inversa = 1 0.18 0.1 =     5.00 

   2.78 

0.036 0 0.2          -   

   5.56 

5.00

2.78 * 0 0.1 =

0.14

0.861

0

5.56 0.05 0.13

0.28

0.72

Multiplicar matriz inversa con matriz absorbente

Sub.Sup.

Sub. Sup. Soc.   Renuncia. Soc.   Renuncia.

C. Calcule la probabilidad de que un abogado subalterno llegue a socio• De la matriz ultima: 

0.14 0.861

0.28

0.72

Sub

Sup

Soc. RenunciaAbogado subalterno llegue a socio es 0.14

d. ¿Cuánto tiempo deberá permanecer en su categoría un abogado subalterno recién contratado?De la matriz inversa se obtiene que es 5 años

e. ¿Cuánto tiempo deberá permanecer en la empresa un abogado subalterno recién contratado?De la matriz inversa se obtiene que es 5 años + 2.78 años = 7.78 años

f. Calcule la probabilidad de que un abogado superior llegue a socio.De la Primera matriz se obtiene que sea de superior a socio es de 0.28

Ejercicio 1 • La Universidad de Managua a estudiado la trayectoria de sus estudiantes y a descubierto que: 

A. 85% de los estudiantes de nuevo ingreso regresan al año siguiente, de segundo año el 5% volverá como estudiante de nuevo ingreso y el resto no regresara.

B. El 75% de los estudiantes de segundo año volverán al año siguiente como estudiantes de tercer año, el 20% volverán como estudiantes de segundo año y el resto no regresara. 

C. El 80% de los estudiantes de tercer año regresaran al año siguiente como estudiantes de último año, 10% volverá como estudiante de tercer año y el resto no regresara. 

D. El 85% de los estudiantes de ultimo año se graduaran, y el 10% volverá como estudiante de ultimo año y el resto no regresara.

Determine: La matriz de transición, Cuanto tiempo uno de primer año se logra graduar?. Cual es la probabilidad de que los que lleguen a cuarto se gradúen? y cuantos de cuarto desertan? 

Ejercicio 2

Almacenes Juanchi´s vende partes de automóviles y camiones a empresas que cuentan con flotas. Cuan las empresas compran a Juanchi´s se le dan 3 meses para pagar si las cuentas no se saldan en ese período, Juanchi´s cancela la cuenta, la remite a una agencia de cobranzas y da por terminadas las transacciones. Por lo tanto Juanchi´s clasifica sus cuentas en nuevas, de un mes de retraso, de dos meses de retraso, de tres meses de retraso, pagadas e incobrables. Juanchi´s investigó sus antiguos recursos y descubrió que:

a) 70% de las cuentas nuevas se pagan en un mes.b) 60% de las cuentas de 1 mes de retraso se liquidan al final de mes.c) 50% de las cuentas con 2 meses de retraso se pagan al final de ese último mes.d) 60% con 3 meses de retraso se remiten a una agencia de cobranza.Preguntas: Forme la matriz de transición con estos datos. ¿Cuál es la probabilidad de que una cuenta nueva se liquide?1. ¿Cuál es la probabilidad de que una cuenta con 1 mes de retraso se convierta en incobrable?2. ¿En cuántos meses debe esperar Juanchi´s para que un cliente nuevo promedio liquidara su cuenta?3. Si las ventas de Juanchi´s son en promedio US$125000/mes, ¿cuánto dinero se aceptaría como 

deuda incobrable al mes y cada año?

Ejercicio 3• En una universidad se aplican exámenes de ubicación para evaluar el nivel de matemáticas de los alumnos de nuevo ingreso. Este examen de ubicación permite al alumno empezar su plan de estudios sin llevar la materia de Matemáticas Básicas. Se permite tomar la prueba hasta en 3 ocasiones antes de tomar el curso. Los resultados de los exámenes se pueden clasificar en 4 categorías:• Estado 1: Aprobar el examen y exentar el curso.

Estado 2: Reprobar el examen por tercera ocasión y llevar el curso Matemáticas Básicas.Estado 3: Reprobar el examen por primera ocasión.Estado 4: Reprobar el examen por segunda ocasión.• Encuentra las probabilidades de aprobar el examen y exentar o llevar el curso de Matemáticas, dado que: a) Se reprobó 1 vez. b) Se reprobó 2 veces.