matematica linear e algebra
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Índice
5
índice
Parte I- Matemática Discreta ................................................................................................... 9
1 Lógica ................................................................................................................................ 9
1.1 Introdução à Lógica- Elementos de Teoria da Dedução ..............................................9
1.2 Conjectura e demonstração ...........................................................................................10
1.3 Lógica Proposicional .........................................................................................................13
1.3.1 Tautologias e contradições ..................................................................................16
1.4 Teoremas e demonstrações .............................................................................................19
1.5 Lógica com quantificadores ............................................................................................23
1.5.1 Variáveis e conjuntos.....................................................................................................23
1.5.2 Os quantificadores universal e existencial ..........................................................24
Exercícios – Lógica ................................................................................................................. 29
2 Teoria de Conjuntos ....................................................................................................... 37
2.1 Operações com conjuntos .......................................................................................40
Exercícios– Teoria de Conjuntos ............................................................................................ 45
3 Relações e Funções ....................................................................................................... 53
3.1 Produto cartesiano de conjuntos .............................................................................53
3.2 Partições e relações de equivalência .....................................................................55
3.3 Relações de ordem ....................................................................................................57
3.4 Funções ........................................................................................................................61
Exercícios – Relações e Funções ........................................................................................... 65
Parte II –Álgebra Linear .......................................................................................................... 69
1 Matrizes ........................................................................................................................... 69
1.1 Conceitos e definições .....................................................................................................69
1.2 Operações com matrizes .................................................................................................72
1.2.1 Adição de Matrizes e Multiplicação por Escalar .......................................................72
1.2.2 Multiplicação de matrizes ............................................................................................73
1.3 Equivalência por linhas e Operações elementares por linhas ...................................75
Índice
6
Exercícios - Matrizes ............................................................................................................... 77
2 Sistemas de Equações Lineares..................................................................................... 81
2.1 Definição. Interpretação Geométrica ....................................................................81
2.2 Sistemas Homogéneos ...............................................................................................84
2.3 Operações elementares. Sistemas equivalentes .........................................................85
2.4 Método de Eliminação de Gauss .............................................................................85
2.5 Inversão de matrizes ...................................................................................................87
Exercícios – Sistemas de equações lineares ......................................................................... 89
3 Espaços Vectoriais ......................................................................................................... 93
Definição ...................................................................................................................................93
Subespaços vectoriais .............................................................................................................97
Combinações Lineares. Espaço gerado ..............................................................................98
Dependência e independência linear .............................................................................. 100
Bases e dimensão ................................................................................................................. 103
Coordenadas de um vector numa determinada base .................................................. 107
Característica de uma matriz .............................................................................................. 107
Exercícios – Espaços Vectoriais ........................................................................................... 109
4 Determinantes .................................................................................................................... 117
4.1 Permutações ............................................................................................................ 117
4.2 Determinantes. Definição e Propriedades ........................................................... 118
4.2.1 Definição .............................................................................................................. 118
4.2.2 Determinantes de 2ª ordem ............................................................................... 119
4.2.3 Determinantes de 3ª ordem ............................................................................... 120
4.2.4 Outra definição de Determinante .................................................................... 121
4.2.5 Propriedades de Determinantes ....................................................................... 122
4.2.6 Regra de Laplace ............................................................................................... 126
4.3 Matriz Adjunta .......................................................................................................... 128
4.4 Sistema de Cramer .................................................................................................. 129
Exercícios – Determinantes .................................................................................................. 133
Índice
7
5 Aplicações Lineares ......................................................................................................... 137
5.1 Definição e Conceitos Básicos ...................................................................................... 137
5.2 Núcleo e Imagem de uma Aplicação Linear ............................................................. 139
5.3 Matriz de uma Aplicação Linear .................................................................................. 144
5.4 Composição de Aplicações Lineares .......................................................................... 146
5.5 Aplicações Lineares Invertíveis ...................................................................................... 147
Exercícios - Aplicações Lineares ........................................................................................ 149
Exames e Testes .................................................................................................................... 157
1º Teste .................................................................................................................................... 157
2º Teste .................................................................................................................................... 158
Recurso ................................................................................................................................... 159
Especial .................................................................................................................................. 160
Bibliografia ............................................................................................................................ 163
Índice
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Lógica
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Parte I- Matemática Discreta
1 Lógica
1.1 Introdução à Lógica- Elementos de Teoria da Dedução
Geralmente a matemática divide-se em partes chamadas teorias matemáticas. O
desenvolvimento de uma qualquer teoria é constituído por três etapas fundamentais:
(1) a construção dos objectos matemáticos da teoria;
(2) a formação de relações entre estes objectos;
(3) a pesquisa das relações que são verdadeiras, ou seja, a demonstração de
teoremas.
Objectos matemáticos são, por exemplo, os números, as funções ou as figuras
geométricas; a Teoria dos Números, a Análise Matemática e a Geometria são,
respectivamente, as teorias matemáticas que os estudam. Os objectos matemáticos
(provavelmente) não existem na natureza; são apenas modelos abstractos de objectos
reais mais ou menos complicados. As relações entre os objectos matemáticos são
afirmações (ou proposições ou sentenças), verdadeiras ou falsas, que podem enunciar-
se a seu respeito e que, de algum modo, correspondem a propriedades hipotéticas dos
objectos reais que eles modelam.
Para provar os seus resultados a matemática usa um determinado processo de
raciocínio que se baseia na Lógica (bivalente) que adopta como regras fundamentais
de pensamento os dois princípios seguintes:
Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira
e falsa (ao mesmo tempo).
Princípio do terceiro excluído: Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa
(isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro).
A matemática, como qualquer outra ciência, utiliza a sua linguagem própria constituída
por termos – palavras ou símbolos – e proposições que são combinações de termos de
Lógica
10
acordo com determinadas regras. Numa teoria matemática qualquer podem distinguir-
se dois tipos de termos:
(1) termos lógicos, que não são específicos daquela teoria e fazem parte da
linguagem matemática geral, e
(2) termos específicos da teoria que se está a considerar.
Termos lógicos como, por exemplo, “variável”, “relação”, etc. são comuns a todas as
teorias matemáticas. Pelo contrário, “ponto”, “recta” e “ângulo” são termos específicos
da geometria, enquanto que “número”, “<”, “adição” são termos específicos da teoria
dos números, etc.
O papel principal da lógica em matemática é o de comunicar as ideias de forma
precisa evitando erros de raciocínio.
1.2 Conjectura e demonstração
Chama-se demonstração formal a uma sequência finita , , ,1 2 np p p… de proposições
cada uma das quais ou é um axioma (proposição cuja veracidade se admite à priori)
ou resulta de proposições anteriores por regras de inferência (que são formas muito
simples e frequentes de argumentação válida, tradicionalmente designadas por
silogismos). Cada uma das proposições ,1jp j n≤ ≤ é designada por passo da
demonstração. Neste sentido, teorema será o último passo de uma dada
demonstração, isto é, demonstrar um teorema consiste na realização de uma
demonstração cujo último passo é o teorema em questão.
Fora da Lógica raramente se fazem demonstrações formais rigorosas: o que em geral se
faz é estabelecer os passos fundamentais da demonstração suprimindo todos os
detalhes lógicos que, muitas vezes, não ajudam a esclarecer a verdadeira natureza da
proposição sob análise. Estes procedimentos designar-se-ão simplesmente por
demonstrações (ou demonstrações matemáticas) por contraposição a demonstrações
formais.
Lógica
11
Exemplo L1
Na tabela que se segue, para cada número natural n de 2 a 10, calculou-se o número
2 1n − obtendo-se os seguintes resultados:
n
é primo?
2 1n −
é primo?
2 Sim 3 Sim
3 Sim 7 Sim
4 Não 15 Não
5 Sim 31 Sim
6 Não 63 Não
7 Sim 127 Sim
8 Não 255 Não
9 Não 511 Não
10 Não 1023 não
Observando cuidadosamente a tabela parece verificar-se o seguinte: sempre que n é
um número primo, o número 2 1n − também é primo! Será verdade?
Em matemática dá-se o nome de conjectura a este tipo de afirmações cujo valor
lógico de verdade ou falsidade necessita de ser provado. Assim, esta tabela suscita as
duas conjecturas seguintes:
Conjectura I
Dado um número inteiro n superior a 1, se n for primo então o número 2 1n − é
primo.
Conjectura II
Dado um número inteiro n superior a 1, se n não for primo o número 2 1n −
também não é primo.
Destas duas conjecturas a primeira pode refutar-se imediatamente: para tal é suficiente
continuar a desenvolver a tabela para valores de n superiores a 10. Assim, para 11n =
vem
112 1 2047 23 89− = = ×
Lógica
12
o que mostra que a conjectura é falsa: 11 é um número superior a 1 e é primo, mas
112 1− é um número composto. O número 11, neste caso, constitui o que se designa
geralmente por contra-exemplo para a conjectura: um simples contra-exemplo é
suficiente para mostrar que a conjectura é falsa. Mas há mais contra-exemplos: 23 e 29,
por exemplo, são outros contra-exemplos.
Considere-se agora a segunda conjectura: estendendo a tabela a outros números
inteiros não primos superiores a 10 não se encontra nenhum contra-exemplo. Isto,
contudo, não nos permite concluir que a conjectura é verdadeira pois por muito que se
prolongue a tabela nunca será possível experimentar todos os números compostos
possíveis: eles são em número infinito! Poderá haver contra-exemplos que sejam tão
grandes que nem com os actuais meios computacionais seja possível testá-los. Para
demonstrar ou refutar a conjectura é necessário adoptar então outros métodos.
A conjectura II é, de facto, verdadeira.
Demonstração
Visto que n não é primo então existem inteiros positivos a e b maiores que 1 tais que
a n< e b n< e n ab= . Sendo 2 1bx = − e ( )121 2 2 2 a bb b
y−= + + + +… , então
( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
12
1 12 2
12 3 2
2 1 1 2 2 2
2 1 2 2 2 1 2 2 2
2 2 2 2 1 2 2 2
2 1
2 1
a bb b b
a b a bb b b b b
a bb b b ab b b
ab
n
xy−
− −
−
= − ⋅ + + + +
= ⋅ + + + + − + + + +
= + + + + − + + + +
= −
= −
…
… …
… …
Visto que b n< pode concluir-se que 2 1 2 1b nx = − < − ; por outro lado, como 1b > então
12 1 2 1 1bx = − > − = donde se segue que 2 1ny xy< = − . Então 2 1n − pode decompor-se
num produto de dois números inteiros positivos x e y maiores que 1 e menores que
2 1n − o que prova que 2 1n − não é primo. �
Lógica
13
Uma vez que se provou que a conjectura II é verdadeira, esta passou a adquirir o
estatuto de teorema, podendo então escrever-se:
Teorema
Dado um número inteiro n superior a 1, se n não for primo então o número 2 1n −
também não é primo.
1.3 Lógica Proposicional
Tal como referido no ponto anterior, a demonstração de conjecturas é essencial em
matemática. A Lógica estuda os métodos de raciocínio, especialmente os que podem
expressar-se sob a forma de argumentos. Um argumento consiste numa série (finita) de
proposições declarativas, chamadas premissas, a partir das quais se infere uma outra
proposição, a conclusão. Há vários tipos de argumentos: os dois principais são os
argumentos indutivos e os argumentos dedutivos. O primeiro, usado no dia a dia pelas
ciências empíricas, parte de dados da experiência para concluir que uma dada
proposição, provavelmente, é verdadeira. Os dados da experiência tornam provável a
veracidade da conclusão, mas não a garantem em absoluto.
Um argumento dedutivo, pelo contrário, garante que se todas as premissas forem
verdadeiras a conclusão também o será. A argumentação dedutiva está na base das
demonstrações matemáticas.
Proposições ou sentenças são os elementos básicos da lógica que são afirmações
precisas (verdadeiras ou falsas, mas não ambas as coisas). Por exemplo, “2 é maior que
3” é uma proposição cujo valor lógico é o de “falsidade” enquanto que “todos os
triângulos têm três lados e três ângulos” é uma proposição cujo valor lógico é o de
“verdade”. Por outro lado “ 3x < ” não é uma proposição (depende do valor que venha
a ser atribuído à variável x ). Representar-se-ão por letras (geralmente minúsculas) as
proposições genéricas (ou variáveis proposicionais) e por 1 e 0 os valores lógicos de
“verdade” e “falsidade”, respectivamente.
Lógica
14
Exemplo L2
As afirmações
1. A Lua é feita de queijo verde.
2. ( )2 2e e
π π=
3. 6 é um número primo.
4. o milionésimo dígito na dízima de 2 é 6.
São exemplos de proposições. Por outro lado,
1. Será ( )2eπ igual a 2e π ?
2. Se ao menos todos os dias pudessem ser como este!
Claramente não são proposições.
Por vezes combinam-se várias proposições para obter proposições compostas: neste
caso, em geral, pretende-se obter os valores lógicos das proposições compostas em
função dos valores lógicos conhecidos das proposições mais simples que as compõem.
Uma conectiva lógica que modifica o valor de uma dada proposição “ p ” é a sua
negação “não p ”, denotada geralmente por “ p¬ ” ou “ ~ p ”, que é uma proposição
falsa quando “ p ” é verdadeira e verdadeira quando “ p ” é falsa. Isto pode expressar-se
à custa da chamada tabela de verdade da negação:
p p¬
1 0
0 1
Existem várias formas pelas quais se podem combinar duas proposições. Em particular,
as conectivas “e” e “ou”, conjunção e disjunção, denotadas geralmente por “ ∧ ” e
“ ∨ ”, respectivamente, são definidas pelas seguintes tabelas de verdade:
Lógica
15
p q p q∧ p q∨
1 1 1 1
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 0 0
A conjunção de duas proposições é verdadeira quando e só quando duas proposições
forem simultaneamente verdadeiras; a disjunção é verdadeira desde que pelo menos
uma das proposições seja verdadeira.
A conectiva “⇒ ” que se lê “se ..., então ...”, designa-se por “implicação”, obedece à
seguinte tabela de verdade:
Quando temos a implicação p q⇒ dizemos que p é o antecedente e q o
consequente.
p q p q⇒
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Considere-se, por fim, a conectiva lógica “ p se e só se q ”, por vezes abreviada para
“ p sse q ”, e geralmente denotada por “ p q⇔ ”.
É fácil verificar que “ p q⇔ ” têm o mesmo significado lógico que a proposição
“ ( ) ( )p q q p⇒ ∧ ⇒ ”.
Então a sua tabela de verdade pode ser dada por:
p q p q⇒ q p⇒ ( ) ( )p q q p⇒ ∧ ⇒
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 1
Lógica
16
Ou seja
p q p q⇔
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Na prática usa-se frequentemente esta relação: para mostrar que uma proposição da
forma “ p q⇔ ” é verdadeira decompõe-se essa proposição nas duas partes “ p q⇒ ” e
“ q p⇒ ” e mostra-se separadamente que cada uma delas é verdadeira.
1.3.1 Tautologias e contradições
Chama-se tautologia a uma proposição que é sempre verdadeira quaisquer que sejam
os valores atribuídos às variáveis proposicionais que a compõem. Dito de outra forma,
chama-se tautologia a uma proposição cuja tabela de verdade possui apenas 1s na
última coluna.
Exemplo L3
Exemplo de tautologia é a proposição ( )p p∨ ¬ , o princípio do terceiro excluído,
p p¬ ( )p p∨ ¬
1 0 1
0 1 1
Se p designar a proposição “5 é uma raiz primitiva de 17” então ( )p p∨ ¬ é sempre
verdadeira independentemente do significado (ou sentido) atribuído à expressão “raiz
primitiva de 17”.
Chama-se contradição à negação de uma tautologia: trata-se de uma proposição
cuja tabela de verdade apenas possui 0s na última coluna.
Lógica
17
Nota
Não deve confundir-se contradição com proposição falsa, assim como não deve
confundir-se tautologia com proposição verdadeira. O facto de uma tautologia ser
sempre verdadeira e uma contradição ser sempre falsa deve-se à sua forma lógica
(sintaxe) e não ao significado que se lhes pode atribuir (semântica).
A tabela de verdade
p q p q∨ ( )p p q⇒ ∨ p q⇒ q¬ ( )p q∧ ¬ ( ) ( )p q p q ⇒ ∧ ∧ ¬
1 1 1 1 1 0 0 0
1 0 1 1 0 1 1 0
0 1 1 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0
Mostra que ( )p p q⇒ ∨ é um tautologia, enquanto que ( ) ( )p q p q ⇒ ∧ ∧ ¬ é uma
contradição.
1. p p∨ ¬
2. ( )p p ¬ ∧ ¬
3. p p⇒
4. a) ( )p p p⇔ ∨ idempotência
b) ( )p p p⇔ ∧ idempotência
5. p p¬¬ ⇔ dupla negação
6. a) ( ) ( )p q q p∨ ⇔ ∨ comutatividade
b) ( ) ( )p q q p∧ ⇔ ∧ comutatividade
c) ( ) ( )p q q p⇔ ⇔ ⇔ comutatividade
7. a) ( )( ) ( )( )p q r p q r∨ ∨ ⇔ ∨ ∨ associatividade
b) ( )( ) ( )( )p q r p q r∧ ∧ ⇔ ∧ ∧ associatividade
8. a) ( )( ) ( ) ( )( )p q r p q p r∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧ distributividade
Lógica
18
b) ( )( ) ( ) ( )( )p q r p q p r∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ∨ distributividade
9. a) ( )0p p∨ ⇔ identidade
b) ( )0 0p ∧ ⇔ identidade
c) ( )1 1p ∨ ⇔ identidade
d) ( )1p p∧ ⇔ identidade
10. a) ( ) ( )p q p q¬ ∧ ⇔ ¬ ∨ ¬ leis de Morgan
b) ( ) ( )p q p q¬ ∨ ⇔ ¬ ∧ ¬ leis de Morgan
11. a) ( ) ( ) ( )p q p q q p ⇔ ⇔ ⇒ ∧ ⇒ equivalência
b) ( ) ( ) ( )p q p q p q ⇔ ⇔ ∧ ∨ ¬ ∧ ¬ equivalência
c) ( ) ( )p q p q⇔ ⇔ ¬ ⇔ ¬ equivalência
12. a) ( ) ( )p q p q⇒ ⇔ ¬ ∨ implicação
b) ( ) ( )p q p q¬ ⇒ ⇔ ∧ ¬ implicação
13. ( ) ( )p q q p⇒ ⇔ ¬ ⇒ ¬ contrarecíproca
14. ( ) ( ) 0p q p q ⇒ ⇔ ∧ ¬ ⇒ redução ao absurdo
15. a) ( ) ( ) ( )p r q r p q r ⇒ ∧ ⇒ ⇔ ∨ ⇒
b) ( ) ( ) ( )p q p r p q r ⇒ ∧ ⇒ ⇔ ⇒ ∧
16. ( ) ( )p q r p q r ∧ ⇒ ⇔ ⇒ ⇒
17. ( )p p q⇒ ∨ adição
18. ( )p q p∧ ⇒ simplificação
19. ( )p p q q ∧ ⇒ ⇒ modus ponens
20. ( )p q q p ⇒ ∧ ¬ ⇒ ¬ modus tollens
21. ( ) ( ) ( )p q q r p r ⇒ ∧ ⇒ ⇒ ⇒ silogismo hipotético
22. ( )p q p q ∨ ∧ ¬ ⇒ silogismo disjuntivo
23. ( )0p p⇒ ⇒ ¬ absurdo
24. ( ) ( ) ( ) ( )p q r s p r q s ⇒ ∧ ⇒ ⇒ ∨ ⇒ ∨
25. ( ) ( ) ( )p q p r q r ⇒ ⇒ ∨ ⇒ ∨
Lógica
19
Na tabela acima apresentam-se alguns exemplos importantes de tautologias onde
, , ,p q r s designam variáveis proposicionais (isto é, afirmações que ou são verdadeiras ou
falsas, mas não ambas as coisas) e 1 e 0 designam as proposições tautologia e
contraditória, respectivamente.
Definição
Duas proposições a e b dizem-se logicamente equivalentes se tiverem os mesmos
valores lógicos em todas as circunstâncias, ou seja, se a proposição a b⇔ for uma
tautologia.
Dir-se-á que a proposição a implica logicamente a proposição b se a veracidade da
primeira arrastar necessariamente a veracidade da segunda, ou seja, se a proposição
a b⇒ for uma tautologia.
1.4 Teoremas e demonstrações
Sejam , ,p q r três proposições das quais se sabe seguramente que p e q são
proposições verdadeiras. Se for possível provar a implicação
( )p q r∧ ⇒
é verdadeira (isto é, que a veracidade de p e de q resulta sempre a veracidade de r ),
então pode argumentar-se que r é necessariamente verdadeira. Se, numa contenda,
as proposições p e q forem aceites como verdadeiras por ambas as partes assim como
a implicação anterior, então a veracidade de r resulta logicamente de pressupostos. A
uma tal proposição (composta) dá-se o nome de argumento e constitui o método
usado numa discussão para convencer uma parte das razões que assistem à outra.
Chama-se argumento a uma sequência finita de proposições organizadas na forma
seguinte
( )1 2 np p p q∧ ∧ ∧ ⇒…
Lógica
20
Onde , , ,1 2 np p p… são designadas as premissas (ou hipóteses) e q a conclusão (ou
tese). Ao fazer a leitura desta implicação é costume inserir uma das loções “portanto”,
“por conseguinte”, “logo”, etc., lendo-se, por exemplo, “ , , ,1 2 np p p… portanto q ”. Para
sugerir esta leitura usa-se, frequentemente, a seguinte notação
1
n
p
p
q
� ou , ,1 np p q…
Interessa distinguir entre argumentos correctos ou válidos e argumentos incorrectos ou
inválidos.
Definição
Um argumento , ,1 np p q… diz-se correcto ou válido se a conclusão for verdadeira
sempre que as premissas , , ,1 2 np p p… forem simultaneamente verdadeiras e diz-se
incorrecto ou inválido no caso contrário, isto é, se alguma situação permitir que as
premissas sejam todas verdadeiras e a conclusão falsa.
Construção de demonstrações elementares
A demonstração de teoremas é feita de muitas formas dependendo em geral do
próprio conteúdo do teorema. Os próprios teoremas são formulados de muitas maneiras
distintas. Uma das mais frequentes é a que envolve uma conclusão do tipo
p q⇒
Para demonstrar a veracidade desta implicação começa-se por supor que p é uma
proposição verdadeira para depois se concluir que então q também é verdadeira.
[Note-se que se p for falsa a implicação é sempre verdadeira quer q seja verdadeira
quer seja falsa.] Observe-se também que desta forma se prova a validade da
implicação p q⇒ e não a veracidade de q . Para provara a veracidade de q seria
Lógica
21
necessário para além de provar a veracidade da implicação p q⇒ que se afirmasse a
veracidade de p : supor que p é verdadeira não é a mesma coisa que afirmar que p é
verdadeira.
Exemplo L4
Suponha-se que a e b são números reais. Provar que se 0 a b< < então 2 2a b< .
Os dados do problema são as afirmações a ∈� e b ∈� e o objectivo é o de obter uma
conclusão da forma p q⇒ onde p é a afirmação 0 a b< < e q é a afirmação 2 2a b< .
Supor que p é uma proposição verdadeira é equivalente a juntar p aos dados do
problema. Assim, equivalentemente, pode ter-se
, 2 2
hipóteses tese
0
a b a b
a b
∈ ∈ <
< <
� �
A técnica de demonstração, neste caso, obtém-se por comparação das duas
desigualdades a b< e 2 2a b< . Multiplicando a primeira desigualdade por a (que é um
número real positivo!) vem
2a ab<
e multiplicando-a agora por b (que também é um número real positivo) vem
2ab b<
Desta forma, obtém-se que 2 2a ab b< < e, portanto, por transitividade, 2 2
a b< como se
pretendia mostra.
Mais formalmente, poder-se-ia apresentar este exemplo da seguinte forma:
Teorema
Suponha-se que a e b são dois números reais. Se 0 a b< < então 2 2a b< .
Lógica
22
Demonstração
Suponha-se que 0 a b< < . Multiplicando a desigualdade a b< pelo número positivo a
conclui-se que 2a ab< e, de modo semelhante, multiplicando-a por b obtém-se 2
ab b< ,
portanto, 2 2a b< como se pretendia mostrar. Consequentemente, se 0 a b< < então
2 2a b< . �
Para provar uma implicação da forma p q⇒ , muitas vezes, é mais fácil supor q¬ e
provar então que se verifica p¬ obtendo-se assim q p¬ ⇒ ¬ , o que, como se sabe,
equivale logicamente a p q⇒ .
Exemplo L5
Suponha-se que ,a b e c são três números reais e que a b> . Mostrar que se ac bc≤ então
0c ≤ .
A demonstração neste caso tem o seguinte esquema:
, ,
hipóteses tese
0
a b c ac bc c
a b
∈ ∈ ∈ ≤ ⇒ ≤
>
� � �
A contra-recíproca da tese é a implicação
( ) ( )0c ac bc¬ ≤ ⇒ ¬ ≤
Ou seja,
0c ac bc> ⇒ >
e, portanto, pode realizar-se a demonstração de acordo com o seguinte esquema
, ,
hipóteses tese
0
a b c ac bc
a b
c
∈ ∈ ∈ >
>
>
� � �
Lógica
23
A tese resulta agora imediatamente de se multiplicar a desigualdade a b> por 0c > .
Mais formalmente,
Teorema
Sejam , ,a b c três números reais tais que a b> . Se ac bc≤ então 0c ≤ .
Demonstração
A prova será feita pela contra-recíproca. Suponha-se que 0c > . Então, multiplicando
ambos os membros da desigualdade a b> por c obter-se-á ac bc> .
Consequentemente, 0ac bc c≤ ⇒ ≤ como se pretendia mostrar. �
1.5 Lógica com quantificadores
1.5.1 Variáveis e conjuntos
No desenvolvimento de qualquer teoria matemática aparecem muitas vezes
afirmações sobre objectos genéricos da teoria que são representados por letras
designadas por variáveis.
Se representarmos por x um número inteiro positivo genérico, pode ser necessário
analisar (sob o ponto de vista lógico) afirmações do tipo “ x é um número primo”. Esta
afirmação não é uma proposição, o seu valor lógico tanto pode ser o de verdade
como o de falsidade. Uma afirmação deste tipo denota-se por “ ( )p x ” para mostrar
que “ p ” depende da variável x obtendo-se, assim, uma fórmula com uma variável
livre. A afirmações (com variáveis livres) associam-se os chamados conjuntos de
verdade que são os conjuntos de valores para os quais ( )p x é verdadeira. Escreve-se
( ){ }:A x p x=
e lê-se A é o conjunto cujos elementos satisfazem ( )p x ou para os quais ( )p x é
verdadeira.
Lógica
24
Conjuntos de verdade e conectivas lógicas
Suponha-se que A é um conjunto de verdade de uma fórmula ( )p x e B é o conjunto
de verdade de uma fórmula ( )q x . Então,
( ){ } ( ){ }( ){ } ( ){ }
: :
: :
A x p x x p x
B x q x x q x
= ∈
= ∈
U
U
ª
ª
O conjunto de verdade da fórmula ( ) ( )p x q x∧ é tal que
( ) ( ){ } { }: :x p x q x x x A x B A B∈ ∧ = ∈ ∈ ∧ ∈ = ∩U U
De modo semelhante,
( ) ( ){ } { }: :x p x q x x x A x B A B∈ ∨ = ∈ ∈ ∨ ∈ = ∪U U
1.5.2 Os quantificadores universal e existencial
Uma fórmula ( )p x , contendo uma variável x , pode ser verdadeira para alguns valores
de x pertencentes ao universo do discurso e falsa para outros. Por vezes, pretende-se
dizer que uma dada fórmula ( )p x se verifica para todos os elementos de x (do
universo). Escreve-se então
“para todo o ( ),x p x ” ou “qualquer que seja ( ),x p x ”
e representa-se simbolicamente por
( )x p x∀
O símbolo ∀ é designado por quantificador universal. A fórmula anterior é equivalente
a
( )x x p x ∀ ∈ ⇒ U
Lógica
25
A quantificação pode ser feita apenas sobre uma parte de U. Assim, se D designar um
subconjunto próprio de U e ( )p x for uma fórmula com uma variável cujo domínio é D ,
então
( )x D p x∀ ∈ ou ( )x x D p x ∀ ∈ ⇒
afirma que ( )p x se verifica para todo o x D∈ .
Se, por exemplo, { }, , ,1 2 nD a a a= … a fórmula anterior é (logicamente) equivalente à
conjunção ( ) ( ) ( )1 2 np a p a p a∧ ∧ ∧… .
Exemplo L6
Suponha que ( )p x é a fórmula x − ≠2 2 0 . Então, ( )x x p x ∀ ∈ ⇒ � é uma proposição
verdadeira, enquanto que ( )x x p x ∀ ∈ ⇒ � é uma proposição falsa.
Escreve-se
( )x p x∃
Para significar que existe (no universo do discurso) pelo menos um elemento x para o
qual ( )p x se verifica, o que pode ler-se da seguinte forma
“existe pelo menos um x tal que ( )p x ”.
De outra forma, ( )x x p x ∃ ∈ ∧ U onde, U designa o universo do discurso. O símbolo ∃ é
chamado o quantificador existencial.
Se D for um subconjunto de U e ( )p x for uma fórmula com uma variável cujo domínio
é D , então ( )x p x∃ ou ( )x x D p x ∃ ∈ ∧ é uma fórmula com o quantificador existencial.
Se, por exemplo, { }, , ,1 2 nD a a a= … a fórmula anterior é (logicamente) equivalente à
disjunção ( ) ( ) ( )1 2 np a p a p a∨ ∨ ∨… .
Lógica
26
O valor lógico (de verdade ou falsidade) de uma proposição quantificada depende do
domínio considerado. As duas proposições
2
2
2 0
2 0
x x x
x x x
∀ ∈ ⇒ − =
∃ ∈ ∧ − =
�
�
São falsas enquanto que as duas seguintes
2
2
2 0
2 0
x x x
x x x
∀ ∈ ⇒ − =
∃ ∈ ∧ − =
�
�
a primeira é falsa, mas a segunda é verdadeira.
Interessa também considerar quando o domínio da variável da fórmula ( )p x é o
conjunto vazio. Que valor lógico terão as expressões da forma
( ) ( )e x x p x x x p x ∀ ∈ ∅ ⇒ ∃ ∈∅ ∧
Visto que x ∈ ∅ é sempre falso, então a primeira expressão é uma proposição sempre
verdadeira. Quanto à segunda proposição ela tem a forma de uma conjunção de
proposições, das quais uma é sempre falsa, logo a proposição é sempre falsa.
Por vezes emprega-se o quantificador existencial numa situação simultânea de
unicidade, ou seja, quer-se afirmar não só que ( )x p x∃ mas ainda que a fórmula ( )p x
se transforma numa proposição verdadeira só para um elemento do domínio de
quantificação. Neste caso emprega-se a abreviatura
( )!x p x∃
Que significa “existe um e só um x tal que ( )p x ”.
Lógica
27
Quantificação múltipla
Uma fórmula matemática pode ter mais do que uma variável. Considere-se, por
exemplo, a afirmação
“para todo o número real x existe um número real y tal que 5x y+ = ”
simbolicamente, [ ]5x y x y∀ ∃ + = , que constitui uma proposição verdadeira (sendo
5y x= − para cada x ∈� ).
Se se trocarem os quantificadores obter-se-á
[ ]5y x x y∃ ∀ + =
que significa
“existe um número real y tal que para todo o número real x se tem 5x y+ = ”.
Esta proposição é falsa, pois não existe nenhum número real y , sempre o mesmo, para
o qual todo o número real x satisfaz a equação dada.
Estes exemplos ilustram a não comutatividade dos dois quantificadores universal, ∀ , e
existencial, ∃ .
Dois quantificadores da mesma espécie são sempre comutativos enquanto que dois
quantificadores de espécie diferente são geralmente não comutativos, isto é, a sua
permuta conduz a proposições de conteúdo distinto.
Negação de proposições quantificadas
Dadas as proposições com quantificadores ( )x x p x ∀ ∈ ⇒ U e ( )x x p x ∃ ∈ ∧ U pode
ser necessário analisar (logicamente) as proposições que são a negação destas, ou
seja,
( )x x p x ¬∀ ∈ ⇒ U equivale a ( )x x p x ∃ ∈ ∧ ¬ U
e
( )x x p x ¬∃ ∈ ∧ U equivale a ( )x x p x ∀ ∈ ⇒ ¬ U
Lógica
28
De um modo genérico, têm-se as equivalências,
( )( ) ( )
( )( ) ( )
x p x x p x
x p x x p x
¬ ∀ ⇔ ∃ ¬
¬ ∃ ⇔ ∀ ¬
Conhecidas por segundas leis de Morgan.
Lógica
29
Exercícios – Lógica
1. Diga, justificando, se as seguintes frases são ou não proposições (sentenças):
a) Se a terra for plana então 2+2=4.
b) Não é verdade que 3 seja número par ou que 7 seja primo.
c) Para algum ,22n
n n∈ =� .
d) Para todos os números reais , ,x y x y y x∈ + = +� .
e) Ele é muito inteligente.
f) Ou sais tu ou saio eu.
g) x y y x− = −
2. Suponha-se que , ,p q r representam as seguintes sentenças:
p ≡ “7 é um número inteiro par”
q ≡ “3+1=4”
r ≡ “24 é divisível por 8”
a) Escreva em linguagem simbólica:
i. 3 1 4+ ≠ e 24 é divisível por 8
ii. Não é verdade que 7 seja ímpar ou 3+1=4
iii. Se 3+1=4 então 24 não é divisível por 8
Construa as tabelas de verdade das proposições compostas obtidas.
b) Traduza por frases cada uma das sentenças:
i. ( )p q∨ ¬
ii. ( )p q¬ ∧
iii. ( ) ( )r q¬ ∨ ¬
3. Construa as tabelas de verdade das seguintes fórmulas lógicas (proposições
compostas) e diga, justificando, quais delas correspondem a tautologias:
a) ( )p q p q ⇒ ∧ ⇒
Lógica
30
b) ( )p q r⇔ ⇒
c) ( )p p q ∧ ¬ ⇒
4. O operador lógico conhecido por “ou exclusivo” pode ser representado por ∨� , tal
que p q∨� é uma proposição verdadeira quando e só quando p e q tiverem
valores lógicos contrários.
a) Mostre que p q∨� é equivalente a ( )p q¬ ⇔ .
b) Construa as tabelas de verdade para ( ) ( ), e p p p q r p p p∨ ∨ ∨ ∨ ∨� � � � � .
5. Mostre que cada uma das proposições que se seguem
a) ( )p q¬ ∨
b) ( ) ( )q p¬ ⇒ ¬
c) ( )p q ¬ ∧ ¬
é equivalente á implicação p q⇒ .
6. Escreva as proposições recíprocas, inversas (contrárias) e as contra-recíprocas para
cada uma das seguintes proposições:
a) ( )p q r∧ ⇒
b) ( )p q p⇒ ⇒
c) ( ) ( )p q p q⇔ ⇒ ⇒
7. Traduza a afirmação “Sempre que chove existem nuvens no céu” através de uma
implicação lógica p q⇒ e, e seguida, escreva as afirmações correspondentes à
recíproca, à contrária e à contra-recíproca dessa implicação, indicando o valor
lógico de cada uma das afirmações.
Lógica
31
8. Escreva cada uma das frases seguintes na forma de implicação p q⇒ :
a) Se tocares nesse bola apanhas.
b) Toca nesse bolo e arrepender-te-ás.
c) Sai ou chamo a polícia.
d) Vou-me embora se não pararem de falar.
9. Determine o antecedente e o consequente de cada uma das seguintes
proposições:
a) Plantas saudáveis crescem com água suficiente.
b) Um aumento significativo no poder dos computadores é uma condição
necessária para futuros avanços tecnológicos.
c) Erros serão introduzidos se efectuarmos uma modificação nesse programa.
d) Para poupar combustível é necessário instalar um bom isolamento térmico assim
como janelas duplas.
10. Usando tautologias apropriadas simplifique as proposições:
a) ( )p q p ∨ ∧ ¬
b) ( ) ( )p q ¬ ¬ ∧ ¬
c) ( ) ( )p q p q ∧ ∨ ∧ ¬
11. Por vezes usa-se o símbolo ↓ para denotar a proposição composta por duas
proposições e p q que é verdadeira quando e só quando e p q são
(simultaneamente) falsas e é falsa em todos os outros casos. A proposição p q↓ lê-
se “nem p nem q ”.
a) Faça a tabela de verdade de p q↓ .
b) Expresse p q↓ em termos das conectivas , e ∧ ∨ ¬ .
c) Determine as proposições apenas constituídas pela conectiva ↓ que sejam
equivalentes a , e p p q p q¬ ∧ ∨ .
Lógica
32
12. Expresse a proposição p q⇔ usando apenas os símbolos , e ∧ ∨ ¬ .
13. Mostre que ( )p q r ¬ ⇒ ∨ implica logicamente ( )p q¬ ⇒ .
14. Supondo que , ,p q r representam as seguintes sentenças:
p ≡ “ir ao Porto”
q ≡ “apanhar o comboio”
r ≡ “chover”
a) Traduza através de uma proposição lógica a seguinte afirmação “Não vou ao
Porto se não apanhar o comboio ou se chover”.
b) Admitindo que r assume o valor lógico falso diga, justificando, qual o valor lógico
da proposição ( ) ( )p q q r p ∧ ⇒ ¬ ∨ ⇒ ¬ .
c) Obtenha uma proposição logicamente equivalente à proposição da alínea
anterior, mas que contenha a penas os operadores de negação e disjunção.
15. Supondo que , ,p q r representam as seguintes sentenças
p ≡ “Tenho gripe”
q ≡ “Falto ao exame de Mat I”
r ≡ “Fico aprovado a Mat I”
a) Escreva em linguagem comum cada uma das seguintes proposições:
i. q r¬ ⇔
ii. ( ) ( )p q q r∧ ∨ ¬ ∧
iii. ( ) ( )p r q r⇒ ¬ ∨ ⇒ ¬
b) Verifique, formalmente, que a proposição ( ) ( )p r q r⇒ ¬ ∨ ⇒ ¬ é equivalente a
( )p q r∧ ⇒ ¬ .
Lógica
33
16. Encontre, justificando, proposições onde figurem apenas os operadores de
conjunção e negação que sejam equivalentes a
a) ( )p q∨ ¬
b) ( )p q p∨ ∧ ¬
17. Considere a proposição composta ( ) ( )p q p q¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∧ .
a) Encontre uma proposição equivalente que use a implicação lógica.
b) Diga se a proposição corresponde a uma contradição ou a uma tautologia , ou
nem a uma coisa nem outra.
18. Sejam , , ,A B C D quatro conjuntos e suponha-se que \A B C D⊆ ∩ e seja x A∈ .
Mostrar que se x D∉ então x B∈ .
19. Suponha-se que x é um número real tal que 0x ≠ . Mostrar que se 3
2
5 1
6
x
xx
+=
+ então
8x ≠ .
20. Sejam , , ,a b c d números reais tais que 0 a b< < e 0d > . Provar que se ac bd> então
c d> .
21. Analise a validade dos seguintes argumentos:
a) Bom tempo é necessário para se conseguir um bom jardim. Como o jardim está
muito bonito o tempo tem estado bom.
b) Se hoje o tempo estiver bom amanhã faremos um piquenique. Mas hoje o tempo
não está bom, logo, amanhã não faremos um piquenique.
22. Supondo que , , e t c d f representam as seguintes sentenças:
t ≡ “ver televisão”
c ≡ “ir ao cinema”
d ≡ “ter dinheiro”
f ≡ “ir de férias”
Lógica
34
Considere o seguinte argumento:
a1. E le vê televisão ou vai ao cinema;
a2. Se não tem dinheiro então não vai ao cinema;
a3. Uma condição suficiente para ir de férias é ter dinheiro;
a4. Ele não vê televisão;
a5. Logo, ele vai de férias!
a) Traduza através de proposições lógicas as afirmações anteriores.
b) Mostre se o argumento é valido.
23. Sendo e P Q os conjuntos de verdade de, respectivamente, ( ) ( ) e p x q x , determine
os conjuntos de verdade das fórmulas ( ) ( ) ( ) ( )( ), ,p x q x p x q x¬ ¬ ∧ ¬ , e interprete em
termos de conjuntos de verdade as fórmulas ( ) ( ) ( ) ( ) e p x q x p x q x⇒ ⇔ .
24. Escreva as frases que se seguem usando notação lógica na qual x designa um
gato e ( )p x significa “ x gosta de creme”.
a) Todos os gatos gostam de creme.
b) Nenhum gato gosta de creme.
c) Um gato gosta de creme.
d) Alguns gatos não gostam de creme.
25. Escreva a proposição negação da proposição apresentada.
a) Algumas pessoas gostam de matemática.
b) Todas as pessoas gostam de gelado.
c) Algumas pessoas são altas e magras
Lógica
35
26. Considere a proposição
( ) ( )( ) ( ): , ,1 1x yQ t x v y x p x y∈ ∈
∀ ∀ ∧ ⇒ ¬ � �
tal que, ( ) ( ) ( )' ', , ' ', , ' '1 1 divide t x x v y x y x p x y x y≡ > ≡ = + ≡ e o domínio de
quantificação é o conjunto dos naturais 1� .
a) Averigúe, justificando, o valor lógico da interpretação seguinte
( ) ( )( ) ( ), ,1 2 1 1 2t v p ∧ ⇒ ¬ .
b) Diga, justificando, qual o valor lógico de Q .
27. Traduza em linguagem simbólica as proposições que se seguem, indicando as
escolhas que são apropriadas para os domínios correspondentes.
a) 2 4 0x − = tem uma raiz positiva.
b) Toda a solução da equação 2 4 0x − = é positiva.
c) Nenhuma solução da equação 2 4 0x − = é positiva.
d) Todos os estudantes que entendem lógica gostam dela.
28. Considere ( ) ( ) e j x t x os predicados “ x ouve o jogo de futebol” e “ x vai à aula de
Mat I”, respectivamente.
a) Usando lógica de predicados, exprima de forma conveniente as seguintes
afirmações:
i. Nem todas vão à aula de Mat I.
ii. Nem todos os que ouvem o jogo faltam à aula.
iii. Todos os que faltam à aula ouvem o jogo.
b) Sendo e J T os conjuntos de verdade de ( ) ( ) e j x t x , respectivamente, formule
em termos de conjuntos as três afirmações anteriores.
Lógica
36
29. Sendo 0� o domínio da quantificação, indique quais das proposições que se
seguem são verdadeiras e quais são falsas.
a) ( )2 0x y x y∀ ∃ − =
b) ( )2 0y x x y∃ ∀ − =
c) [ ]10 9x yx y x y ∀ < ⇒ ∀ < ⇒ <
d) ( )100y z y z∃ ∃ + =
e) ( )100x y y x y x ∀ ∃ > ∧ + =
30. Negue a proposição “toda a gente tem um parente de quem não gosta” usando a
simbologia lógica.
Teoria de Conjuntos
37
2 Teoria de Conjuntos
Um conjunto designa-se geralmente por uma letra maiúscula, reservando-se as letras
minúsculas para os seus elementos. A expressão simbólica
x A∈
significa que “ x é elemento de A ”. A negação de x A∈ representa-se simbolicamente
por
x A∉
E lê-se “ x não pertence a A ” (ou “ x não é elemento de A ”).
Um conjunto pode ser escrito em extensão (quando o número dos seus elementos for
finito e suficientemente pequeno) enumerando explicitamente todos os seus elementos
colocados entre chavetas e separados por vírgulas ou em compreensão, enunciando
uma propriedade caracterizadora dos seus elementos (isto é, uma propriedade que só
os seus elementos possuam).
Exemplo TC1
(1) Conjunto das vogais descrito em extensão,
{ }V= a,e,i,o,u
(2) Conjunto dos números naturais pares descrito em compreensão
{ }: para algum2 p p q qΡ = ∈ = ∈� �
Conjunto universal e conjunto vazio
Pareceria razoável que intuitivamente se considerasse como conjunto qualquer
colecção de objectos (reais ou imaginários). No entanto, tal atitude conduz a situações
paradoxais.
Se se adoptar a concepção intuitiva de conjunto então pode dizer-se que alguns
conjuntos são membros de si próprios enquanto que outros não o são. Um conjunto de
Teoria de Conjuntos
38
elefantes, por exemplo, não é um elefante e, portanto, não é um elemento de si
próprio; no entanto, o conjunto de todas as ideias abstractas é, ele próprio, uma ideia
abstracta, pelo que pertence a si próprio. As propriedades “ser membro de si próprio” e
“não ser membro de si próprio” parecem ser propriedades perfeitamente adequadas
para definir conjuntos. Mas, como se verá estas propriedades conduzem à criação de
um paradoxo.
Suponha-se que se define o conjunto A como sendo o conjunto de todos os conjuntos
que não são membros de si próprio, isto é,
{ }:A = Χ Χ ∉ Χ .
Coloca-se a questão de saber se A é ou não elemento de si próprio. Se A não for
elemento de si próprio, A A∉ , então satisfaz a propriedade definidora de A e, portanto,
A A∈ ; se A pertence a si próprio, A A∈ então não satisfaz a propriedade definidora de
A e, portanto, A A∉ . De cada uma das possíveis hipóteses pode deduzir-se a sua
negação, o que constitui um paradoxo.
Para eliminar possibilidades deste tipo supor-se-á, de ora em diante, que os conjuntos
considerados são todos constituídos por elementos de um conjunto U suficientemente
grande, chamado conjunto universal ou universo do discurso.
Em Matemática há conjuntos que constituem muito frequentemente os universos do
discurso. Alguns exemplos, dos mais importantes, são:
{ }:x x=� é um número real
{ }: é um número racional x x=�
{ }: é um inteiro númerox x=�
{ }, , ,=� …1 2 3
Os símbolos ∅ ou { } usam-se para denotar o conjunto vazio (conjunto sem elementos)
que pode ser escrito em compreensão por { } { }: , :x x x x x x≠ ∅ = ≠ .
Teoria de Conjuntos
39
Conjuntos finitos e conjuntos infinitos
Um conjunto diz-se finito se for possível contar os seus elementos, ou seja, se for o
conjunto vazio ou se for possível estabelecer uma correspondência bijectiva entre os
seus elementos e os elementos de um conjunto da forma { }, , , ,1 2 3 n… para algum n ∈� .
Dir-se-á infinito caso contrário. O conjunto dos números inteiros positivos inferiores a 100 é
um conjunto finito enquanto que o conjunto de todos os números inteiros positivos é um
conjunto infinito.
Se A for um conjunto finito, designar-se-á por cardinalidade de A o número dos seus
elementos, o qual se representa por card( A ) ou #A . Um conjunto com cardinalidade
igual a 1 diz-se singular.
Quando um conjunto é infinito, é impossível defini-lo em extensão; logo, se um conjunto
puder ser definido em extensão, então certamente será um conjunto finito.
Por vezes para definir certos conjuntos infinitos usa-se uma notação parecida com a
definição de um conjunto em extensão: é o caso de
{ }, , ,=� …1 2 3
Refira-se que as reticências representam a quase totalidade dos elementos de �
qualquer que seja o número de elementos que apareçam no início.
Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos são iguais se e só se tiverem os mesmos elementos, denota-se por A B= .
Se todo o elemento de A for também elemento de B dir-se-á que o conjunto A está
contido no conjunto B , o que se denota por A B⊆ ; neste caso também se diz que A é
um subconjunto de B .
Para verificar se dois conjuntos são iguais basta verificar se todo o elemento de A é
elemento de B ( A B⊆ )e se todo o elemento de B é elemento de A ( )B A⊆ .
Reciprocamente se os conjuntos A e B forem iguais então ter-se-á A B⊆ e,
simultaneamente B A⊆ .
Teoria de Conjuntos
40
Se A B⊆ e A B≠ dir-se-á que A é um subconjunto próprio ou uma parte própria de B e
escreve-se A B⊂ . De acordo com estas definições resulta que quaisquer que sejam os
conjuntos A e B
[ ], , se e só se e A A A A B A B B A∅ ⊆ ⊆ = ⊆ ⊆
Considere-se a prova de, por exemplo, A∅ ⊆ qualquer que seja o conjunto A . A única
forma de mostrar que esta inclusão não é falsa é verificar que ∅ possui um elemento
que não pertence a A ; ora como ∅ não possui elementos então esta relação verifica-
se sempre.
2.1 Operações com conjuntos
Sendo A e B dois conjuntos, denota-se por A B∪ a união (ou reunião) de A com B ,
que é o conjunto contituido pelos elementos de A e pelos elementos de B . Mais
geralmente, se , , ,1 2 nA A A… forem conjuntos então a sua união
{ }: , , ,n
i n i
i
A A A A x x A i n
=
= ∪ ∪ ∪ = ∈ =… …∪ 1 21
para algum 1 2
é o conjunto constituído pelos elementos que pertencem pelo menos a um dos
conjuntos , , , ,1 2iA i n= … .
A intersecção de dois conjuntos A e B , denota-se por A B∩ , é o conjunto cujos
elementos pertencem simultaneamente a A e B . Analogamente, se , , ,1 2 nA A A… forem
conjuntos então
{ }: , , , .n
i n i
i
A A A A x x A i n
=
= ∩ ∩ ∩ = ∈ =… …∩ 1 21
para todos 1 2
Teoria de Conjuntos
41
Dois conjuntos A e B dizem-se disjuntos se e só se A B∩ = ∅ , isto é, se não possuírem
elementos comuns.
Dados conjuntos ,iA i I∈ , dizemos que eles são disjuntos dois a dois se quaisquer ,i j I∈ ,
com i j≠ , se tem i jA A∩ = ∅ .
A diferença de A e B é o conjunto \A B definido por
{ }\ : eA B x x A x B= ∈ ∉
ou seja, é o conjunto constituído pelos elementos de A que não pertencem a B . Se,
em particular, se fizer A = U , o universo do discurso, então o conjunto { }\ :B x x B= ∉U
dá-se o nome de conjunto complementar de B e denota-se por B ou cB .
Conjunto das partes de um conjunto
Podem construir-se conjuntos cujos elementos são eles próprios, no todo ou em parte,
conjuntos. Assim, por exemplo, a letra x , o conjunto { },a b , o conjunto { }∅ e o número 4
podem constituir um novo conjunto que é o seguinte
{ } { }{ }, , , , .4x a b ∅
Neste caso podemos dizer por exemplo que:
o x A∈
o { }x A⊆
o { },a b A∈
o { }{ },a b A⊆
Dado um conjunto arbitrário, é possível construir novos conjuntos cujos elementos são
partes do conjunto inicial. Em particular, sendo A um conjunto qualquer, denota-se por
( )AP o conjunto constituído por todos os subconjuntos (próprios ou impróprios) de A ,
isto é,
( ) { }: .A A= Χ Χ ⊆P
Teoria de Conjuntos
42
Se A é finito tem-se ( )( ) ( )cardCard 2 AA =P .
O produto cartesiano de A por B , designa-se por A B× e é dado por
( ){ }, :A B a b a A b B× = ∈ ∧ ∈ .
Analogamente, podemos considerar o produto cartesiano de n conjuntos:
( ){ }, , , :1 2 1 2 1 1 2 2n n n nA A A a a a a A a A a A× × × = ∈ ∧ ∈ ∧ ∧ ∈… … …
Por definição, nA A A A= × × ×… .
Se , , ,1 2 nA A A… são conjuntos finitos, então
( )1 2 1 2card card card cardn nA A A A A A× × × = × × ×… … .
Exemplo TC2
Se { }, ,A a b c= então ( ) { } { } { } { } { } { } { }{ }, , , , , , , , , , , ,A a b c a b a c b c a b c= ∅P é o conjunto das
partes de A , com cardinalidade igual a 8.
Teorema (Propriedade Distributiva)
Sendo , ,A B C três conjuntos arbitrários, ter-se-á:
a) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩
b) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪
Teorema (Leis de Morgan)
Sendo A e B dois conjuntos arbitrários, ter-se-á:
a) ( )A B A B∩ = ∪
b) ( )A B A B∪ = ∩
Teoria de Conjuntos
43
Teoria de Conjuntos
44
Teoria de Conjuntos
45
Exercícios– Teoria de Conjuntos
1. Mostra que se A for um subconjunto do conjunto vazio então =A ∅.
2. Dado um conjunto arbitrário A ,
a) Será A elemento do conjunto { }A ?
b) Será { }A elemento do conjunto { }A ?
c) Será { }A um subconjunto de { }A
3. Seja { }{ }321 ,,=A . Quais das afirmações seguintes são verdadeiras?
a) A∈1 ;
b) {} A∈1 ;
c) {} A⊆1 ;
d) A∈3 ;
e) { } A∈3 ;
f) { } A⊆3 ;
g) { }{ } A⊆3 ;
h) ∅ A∈ ;
i) ∅ A⊆ ;
4. Descreva em compreensão os conjuntos seguintes:
{ }…,,,, 2015105=A
{ }…,,,, 3727177=B
{ }400399302301300 ,,,,, …=C
{ }…,,,,,,, 49362516941=D
{ }…,,,,, 1618141211=E
5. Indique quais dos conjuntos que se seguem são iguais:
{ }211 ,,−=A
{ }1, 2,1B = −
Teoria de Conjuntos
46
{ }210 ,,=C
{ }2112 −−= ,,,D
{ }14 22 === xouxxE :
6. Determine em extensão os seguintes conjuntos:
{ }{ }32102 ,,,: ∈−= xxxA
( ){ }01 INnBn ∈−= :
{ }xxINxC 132220 =+∈= :
( )( ){ }11210 <++∈= xxINxD :
7. Diga quais dos seguintes conjuntos que se seguem são finitos e quais são infinitos:
a) O conjunto das linhas do plano que são paralelas ao eixo dos 'xx .
b) O conjunto das letras do alfabeto.
c) O conjunto dos múltiplos de 5.
d) O conjunto dos animais existentes na Terra.
e) O conjunto das raízes da equação 01921742 5182338 =+−−+ xxxx .
f) O conjunto das circunferências centradas na origem.
8. Determine quais dos conjuntos seguintes são iguais:
{ }ZnnA ∈+−= :1
{ }ZmmB ∈+= :22
ZC =
{ }ZppD ∈+−= :22
{ }ZqE q ∈= :5
{ }ZrrF ∈= :2
{ }ZsG s ∈= +− :15
Teoria de Conjuntos
47
9. Qual é a cardinalidade dos seguintes conjuntos:
{ } { }{ } { } {} {}{ }111121 ,,,,,,,, ∅∅∅
10. Determine a cardinalidade do conjunto
≤∧∈= 10qpINqpq
pS ,,:
11. Seja { }9876543210 ,,,,,,,,,=U o conjunto universal. Dados os conjuntos { }7531 ,,,=A ,
{ }65432 ,,,,=B e { }86420 ,,,,=C , defina em extensão os conjuntos
( ) ( ) ( )( ) UCABACBA
CABACBACBCBBA
,,,,
,,,,
∩∅∩∅∪∪∩
∩∪∩∪∩∪∪∩
12. Sejam CBA ,, três conjuntos quaisquer contidos no universo U. Verifique as seguintes
igualdades:
a) UAA =∪
b) ∅=∩ AA
c) ABA ⊆∩
d) ABA ⊇∪
e) AA =
f) BABA ∩=\
13. Em que circunstâncias são verdadeiras as igualdades que se seguem:
BABA ∩=∪
ABA =∩
BBA =∩
( ) ABBA =∩∪
( ) BABBA ∪=∪∩
14. O facto de ser DBA =∪ implica que seja ABD =\ ? Se não, o que pode concluir-se
do facto de ser DBA =∪ e ABD =\ ?
Teoria de Conjuntos
48
15. Sejam A e B dois subconjuntos do universo { }654321 ,,,,,=U tais que
{ } { } { }2134321 ,\,,,,, ==∩=∪ BABABA
Determine BA, e AB \ .
16. Verifique, justificando, se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas.
a) Se CA ⊆ e CB ⊆ então CBA ⊆∪ .
b) Se AC ⊆ e BC ⊆ então BAC ∩⊆ .
c) Se BA ⊆ e CB ⊆ então CA ⊆ .
d) Se BA ⊄ e CB ⊆ então CA ⊄ .
e) Se CBCA ∩=∩ então BA = .
17. Determinar o conjunto das partes do conjunto
I. {}1=A
II. { }21,=B
III. { }321 ,,=C
18. Sendo { }4321 ,,,=M determinar { }∅∉∈ xMx : . Quantos elementos terá o conjunto
das partes de M ?
19. Descrever os elementos do conjunto ( )( )( )∅P P P onde ( )∅P designa o conjunto
das partes do conjunto vazio ∅.
20. Sejam os conjuntos { }{ }baA ,= e { }{ }babaB ,,,= . Determine:
a) BA ∩
b) BA ∪
c) ( )AP (conjunto das partes de A )
d) ( )B A∩P
Teoria de Conjuntos
49
21. Determinar o conjunto das partes do conjunto das partes do conjunto { }a .
22. Dados dois conjuntos A e B . Verifique que:
a) ( ) ( ) ABABA =∩∪∩
b) ( ) BABA ∪=\
23. Usando um diagrama de Venn apropriado verifique:
a) A demonstração do teorema da propriedade distributiva;
b) A demonstração do teorema das Leis de Morgan.
24. Sendo RQP ,, três conjuntos, indicar quais das afirmações que se seguem são
verdadeiras.
a) Se P é um elemento de Q e Q é um subconjunto de R , então P é um elemento
de R .
b) Se P é um elemento de Q e Q é um subconjunto de R , então P é também um
subconjunto de R .
c) Se P é um subconjunto de Q e Q é um elemento de R , então P é um elemento
de R .
d) Se P é um subconjunto de Q e Q é um elemento de R , então P é um
subconjunto de R .
25. Sendo RQP ,, três conjuntos, provar:
a) ( ) ( )\ \ \P Q R P Q R= ∪
b) ( ) ( )\ \ \ \P Q R P R Q=
c) ( ) ( ) ( )\ \ \ \ \P Q R P R Q R=
Teoria de Conjuntos
50
26. Chama-se diferença simétrica de dois conjuntos A e B ao conjunto constituído
pelos elementos que pertencem a A ou a B , mas não a ambos simultaneamente.
a) Denotando por BA ⊕ a diferença simétrica de A e B , mostrar que
( ) ( ) ( ) ( )BABAABBABA ∩∪=∪=⊕ \\\ .
b) Representar num diagrama de Venn a diferença simétrica de dois conjuntos A e
B quaisquer.
c) Se a diferença simétrica entre dois conjuntos quaisquer A e B for igual ao
conjunto A que poderá dizer a respeito de A e B ?
d) Verifique se as igualdades seguintes são verdadeiras ou falsas.
I. AAA =⊕
II. ( ) AAAA =⊕⊕
27. Sendo , ,A B C três conjuntos quaisquer, analise em termos lógicos, usando
quantificadores, a proposição “se A B⊆ então \ e A C B são disjuntos”.
Teoria de Conjuntos
51
Teoria de Conjuntos
52
Relações e Funções
53
3 Relações e Funções
3.1 Produto cartesiano de conjuntos
Os conjuntos { },a b , { },b a e { }, ,a b a são iguais porque têm os mesmos elementos; a
ordem pela qual se escrevem os elementos é irrelevante, assim como não tem qualquer
significado que um elemento apareça escrito uma só vez ou várias vezes. Em
determinadas situações, é necessário distinguir conjuntos com os mesmos elementos
colocados por ordens diferentes ou conjuntos nos quais um mesmo elemento aparece
mais que uma vez.
Definição
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Chama-se produto cartesiano de A por B , e
representa-se por A B× , ao conjunto de todos os pares ordenados ( ),a b tais que a A∈ e
b B∈ , ou seja,
( ){ }, :A B a b a A b B× = ∈ ∧ ∈ .
No caso particular em que se tem A B= obtém-se o conjunto
( ){ }, ' : , '2A a a a a A= ∈
Designado por quadrado cartesiano de A .
O conceito de produto cartesiano pode ser estendido a mais de dois conjuntos. Assim, o
produto cartesiano de n conjuntos , , ,1 2 nA A A… , denotado por 1 2 nA A A× × ×… é definido
por
( ){ }, , , :1 2 1 2 1 1 2 2n n n nA A A x x x x A x A x A× × × = ∈ ∧ ∈ ∧ ∧ ∈… … …
Relações e Funções
54
Se, em particular, se tiver 1 2 nA A A A= = = =… obtém-se
( ){ }, , : , , ,1 2 1 para todo 1 2nn n iA A A A x x x A i n× × × = = ∈ =… … …
que é a potência cartesiana de ordem n do conjunto A .
Definição
Chama-se relação binária de A para B a todo o subconjunto não vazio R do produto
cartesiano A B× . Se, em particular, for A B= então R diz-se uma relação binária
definida em A .
Exemplo RF1
Sejam dados os conjuntos { }, ,1 2 3A = e { },B r s= . Então
( ) ( ) ( ){ }, , , , ,1 2 3r s r=R
é uma relação de A para B .
Exemplo RF2
Sejam A e B conjuntos de números reais. A relação R (de igualdade) define-se da
seguinte forma
se e só se a b a b=R
para todo o a A∈ e todo o b B∈ .
Exemplo RF3
Seja dado o conjunto { }, , , ,1 2 3 4 5A B= = . Definindo a relação R (menor que) em A :
se e só se a b a b<R
então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5=R .
Relações e Funções
55
Definição
Dada uma relação R do conjunto A para o conjunto B chama-se domínio e
contradomínio de R, respectivamente, aos conjuntos assim definidos:
( ) ( ){ }( ) ( ){ }
: ,
: ,
x A y y B x y
y B x x A x y
= ∈ ∃ ∈ ∧ ∈
= ∈ ∃ ∈ ∧ ∈
R R
R R
D
I
No exemplo RF3 ( ) { }
( ) { }, , ,
, , ,
=
=
1 2 3 4
2 3 4 5
D
I
R
R
3.2 Partições e relações de equivalência
Seja A um conjunto não vazio. Chama-se partição de A a uma família AP de
subconjuntos não vazios de A tais que:
1. cada elemento de A pertence a um e um só conjunto de AP .
2. Se 1A e 2A forem dois elementos distintos da partição AP então
1 2A A∩ = ∅ .
Os elementos de AP são designados por blocos ou células da partição
Exemplo RF4
Seja dado o seguinte conjunto { }, , , , , , ,A a b c d e f g h= e considerem-se os seguintes
subconjuntos de A :
{ }, , ,1A a b c d= , { }, , , , ,2A a c e f g h=
{ }, , ,3A a c e g= , { },4A b d= , { },5A f h=
Então { },1 2A A não é uma partição de A visto que 1 2A A∩ ≠ ∅ ; { },1 5A A também não é
uma partição visto que e A e A∉ ∉1 5e . A família { }, ,3 4 5A A A A=P é uma partição de A .
Relações e Funções
56
Definição
Seja A um conjunto não vazio e R uma relação binária definida em A . A relação
2A⊆R dir-se-á uma relação de equivalência em A se satisfazer as seguintes
propriedades:
a) Reflexividade: [ ]a a A a a∀ ∈ ⇒ R
b) Simetria: [ ],a b A a b b a∀ ∈ ⇒R R
c) Transitividade: [ ], ,a b c A a b b c a c ∀ ∈ ∧ ⇒ R R R
Sendo A um conjunto e 2A⊆R uma relação de equivalência chama-se classe de
equivalência que contém o elemento a A∈ ao conjunto , denotado geralmente por
[ ]a , definido por
[ ] ( ){ }: ,a x A x a= ∈ ∈R
onde o elemento a A∈ diz-se representante da classe.
Teorema
Seja R uma relação de equivalência definida num conjunto A . Então:
(1) Cada elemento de A pertence à sua classe de equivalência, isto é, [ ]a a∈ ,
qualquer que seja a A∈ ;
(2) A reunião de todas as classes de equivalência é o conjunto A , isto é,
[ ]a A a A∈∪ = ;
(3) Dados dois elementos ,a b A∈ ter-se-á a bR quando e só quando a e b
pertencerem à mesma classe de equivalência, isto é,
[ ] [ ],a b A a b a b ∀ ∈ ⇔ = R
(4) As classes de equivalência de dois elementos a e b de A para as quais é falsa
a proposição a bR são disjuntas, isto é,
( ) [ ] [ ],a b A a b a b ∀ ∈ ¬ ⇒ ∩ = ∅ R
Relações e Funções
57
Definição
Seja A um conjunto e R uma relação de equivalência em A . Chama-se conjunto
quociente de A por R, e denota-se por A R , ao conjunto de todas as classes de
equivalência determinadas em A por R,
[ ]{ }:A a a A= ∈R
Teorema
Seja P uma partição de um conjunto não vazio de A e R a relação definida em A por
e pertencem ao mesmo bloco de a b a b⇔R P . Então R é uma relação de equivalência.
Exemplo RF5
Seja dado o conjunto { }, , ,1 2 3 4A = e considere-se a partição { } { }{ }, , ,1 2 3 4=P .
Determinar a relação de equivalência determinada em A pela partição P.
Visto que os blocos de P são { }, ,1 2 3 e { }4 , então
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,11 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 4 4=R
É a relação de equivalência induzida em A pela partição P.
3.3 Relações de ordem
Seja A um conjunto não vazio e 2A⊆R uma relação binária qualquer definida em A .
Para indicar que o par ordenado ( ), 2a b A∈ pertence à relação R escreve-se também
frequentemente a bR , ou seja,
( ),a b a b⇔ ∈R R
quaisquer que sejam ,a b A∈ .
Relações e Funções
58
Exemplo RF6
Se { }, , , , ,0 1 2 3 4 5A = ⊂ � e R for a relação ≤ usual em � , então
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 11 1 2 1 3 1 4 1 5
2 2 2 3 2 4 2 5 3 3 3 4 3 5 4 4 4 5 5 5
≤=
e escreve-se ( ),a b a b≤ ⇔ ∈≤ quaisquer que sejam ,a b A∈ .
Definição
Chama-se relação de ordem definida no conjunto A a uma relação binária 2A⊆R
com as seguintes propriedades:
(1) Reflexividade: [ ]a a A a a∀ ∈ ⇒ R
(2) Anti-simetria: [ ],a b A a b b a a b ∀ ∈ ∧ ⇒ = R R
(3) Transitividade: [ ], ,a b c A a b b c a c ∀ ∈ ∧ ⇒ R R R
Se adicionalmente, R satisfizer a proposição
(4) Dicotomia: [ ], ,a b a b A a b b a ∀ ∈ ⇒ ∨ R R
dir-se-á uma relação de ordem total. Se R não for uma relação de ordem total também
se designa, por vezes, relação de ordem parcial.
Exemplo RF7
1. Seja A a família de conjuntos. A relação em A definida por “ A é um
subconjunto de B ” é uma ordem parcial.
2. Seja A um subconjunto qualquer de números reais. A relação ≤ em A é uma
relação de ordem total – é a chamada ordem natural.
3. A relação R definida em � por “ se e só se é múltiplo de x y x yR ” é uma relação
de ordem parcial em � .
Definição
Seja R uma relação de ordem definida em A ; a relação *2
A⊂R definida por
[ ], *a b A a b a b a b ∀ ∈ ⇔ ∧ ≠ R R
diz-se uma relação de ordem estrita definida em A .
Relações e Funções
59
Definição
Chama-se conjunto ordenado a um par ordenado ( ),A R onde A é um conjunto não
vazio e R uma relação de ordem (parcial ou total) em A .
Se, para ,a b A∈ se tiver a bR dir-se-á que b domina a ou que a precede b .
Seja R uma relação de ordem num conjunto A . Então a relação inversa R-1, definida
por
1a b b a
− ⇔R R
quaisquer que sejam os elementos ,a b A∈ , é também uma relação de ordem.
Elementos extremais de um conjunto ordenado
Sendo ( ),A ≤ um conjunto (total ou parcialmente) ordenado dá-se o nome de máximo
de A ao elemento a A∈ , se existir, tal que
[ ]x x A x a∀ ∈ ⇒ ≤
ou seja, a é o máximo de A se dominar todos os outros elementos de A .
Note-se que se a ordem ≤ não for total pode acontecer que não exista um elemento
a A∈ comparável com todos os elementos x A∈ nos termos acima indicados: neste
caso A não possuirá máximo.
Um elemento a A∈ diz-se maximal de ( ),A ≤ se se verificar a condição
[ ]x A a x x a∀ ∈ ≤ ⇒ =
ou equivalentemente,
[ ]x A a x x a¬∃ ∈ ≤ ∧ ≠ .
Isto é, a A∈ é um elemento maximal de ( ),A ≤ se não existir nenhum outro elemento em
A que o domine estritamente.
Relações e Funções
60
Chama-se mínimo de A ao elemento b A∈ , se existir, que satisfaz a condição
[ ]x x A b x∀ ∈ ⇒ ≤
ou seja, b é o mínimo de A se preceder todos s outros elementos de A . Tal como no
caso anterior um conjunto ordenado pode não possuir mínimo.
Um elemento b A∈ diz-se minimal se verificar a condição
[ ]x A x b x b∀ ∈ ≤ ⇒ =
ou equivalentemente,
[ ]x A x b x b¬∃ ∈ ≤ ⇒ ≠ .
Isto é, b A∈ é um elemento minimal de ( ),A ≤ se não existir nenhum outro elemento de
A que o preceda estritamente.
Exemplo RF8
O conjunto { }: 0 1A x x= ∈ < <� não possui máximo nem mínimo nem possui elementos
maximais nem minimais.
Teorema
Seja A um conjunto ordenado pela relação de ordem (parcial ou total) ≤ . Se a A∈ é
máximo então a é um elemento maximal e é o único elemento maximal de A . Se b A∈
é mínimo então b é um elemento minimal e é único elemento minimal de A .
Definição
Seja ( ),A ≤ um conjunto ordenado. Chama-se cadeia de A a um conjunto de A que é
totalmente ordenado por ≤ .
Relações e Funções
61
Definição
Seja A um conjunto totalmente ordenado pela relação ≤ . Dir-se-á que ≤ é uma boa
ordem ou que A é bem ordenado por ≤ se todo o subconjunto não vazio de A possuir
mínimo.
3.4 Funções
Definição
Seja f A B⊂ × uma relação de A para B . Se, para todo o x A∈ existir um e um só y B∈
tal que ( ),x y f∈ dir-se-á que f é uma aplicação (ou função) de A em B ; para
significar que f é uma aplicação de A em B costuma escrever-se
:f A B→
e, neste caso, escreve-se ( )y f x= dizendo que y B∈ é a imagem por f de x A∈ .
Dada um aplicação :f A B→ , ao conjunto A também se dá o nome de domínio de f
e representa-se por ( ) ff ≡D D (ou, mais simplesmente, por D ).
O conjunto ( ) ( ) ( ){ }:f f A y B x x A y f x ≡ = ∈ ∃ ∈ ∧ = I designa-se por contradomínio da
aplicação f . Se ( )f A B= dir-se-á que f é uma aplicação sobrejectiva (ou aplicação
sobre B ) ; a aplicação :f A B→ diz-se injectiva (ou únivoca) se cada elemento de
( )f A for imagem de um só elemento de A , isto é, f é injectiva se e só se
( ) ( ), ' , ' ' 'x x x x A x x f x f x ∀ ∈ ⇒ ≠ ⇒ ≠
o que significa que elementos distintos de A têm necessariamente imagens por f
diferentes em ( )f A B⊂ . Se a aplicação :f A B→ for simultaneamente injectiva e
sobrejectiva diz-se que f é uma aplicação bijectiva.
Relações e Funções
62
Duas aplicações ,f g são iguais, escrevendo-se f g= , se e só se forem satisfeitas as
duas condições seguintes
(1) f g= ≡D D D ;
(2) ( ) ( )x x f x g x ∀ ∈ ⇒ = D .
Sejam , ,A B C três conjuntos não vazios e :f A B→ e :g B C→ duas aplicações de A
em B e B em C , respectivamente. Chama-se aplicação composta de g com f à
aplicação
:gof A C→
definida por ( ) ( )( )gof x g f x C= ∈ .
Teorema
A composição de aplicações é associativa.
Definição
Dado um conjunto A chama-se aplicação identidade em A à aplicação :A A A→id
definida por
( )A x x=id
qualquer que seja x A∈ .
Teorema
Se :f A B→ for uma aplicação bijectiva a correspondência recíproca, que a cada
y B∈ associa ( )1f y− , o único elemento do conjunto { }( )1f y− , é uma aplicação
bijectiva e ,1 1B Afof f of− −= =id id .
A aplicação :1f B A− → é chamada aplicação inversa ou recíproca de :f A B→ .
Relações e Funções
63
Teorema
Sendo :f A B→ uma aplicação arbitraria então of f=B
id e fo f=A
id .
Seja a aplicação :f A B→ e E uma parte de A . Chama-se imagem de E por f e
representa-se por ( )f E ao conjunto
( ) ( ){ }:f E y B x x E y f x = ∈ ∃ ∈ ∧ =
podendo também escrever-se
( ) ( ){ }:f E f x B x E= ∈ ∈ .
Se F for uma parte de B , chama-se imagem recíproca ou inversa de F e representa-
se por
( ) ( ){ }:1
f F x A y y F y f x− = ∈ ∃ ∈ ∧ =
podendo também escrever-se equivalentemente
( ) ( ){ }:1f F x A f x F− = ∈ ∈ .
Relações e Funções
64
Relações e Funções
65
Exercícios – Relações e Funções
1. Seja { }, ,1 2 3A = . Para cada uma das relações R indicadas a seguir, determine os
elementos de R, o domínio e o contradomínio de R e, finalmente, as propriedades
(de reflexividade, simetria, anti-simetria , transitividade e dicotomia) que possui R:
a) R é a relação < em A .
b) R é a relação ≥ em A .
c) R é a relação ⊂ em ( )AP .
2. Considere o conjunto { }, , , ,S a b c d e= .
a) Para a relação de equivalência ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , , , , , , ,2
a a b b c c d d e e a c c a S= ⊆R ,
determine o conjunto [ ]a .
b) Indique os pares ordenados da relação de equivalência induzida em S pela
partição { } { }{ }, , , ,a b c d e
3. Seja R uma relação num conjunto não vazio A . Sendo x A∈ define-se a classe R de
x , denotada por [ ]xR
, por [ ] { }:x y A y x= ∈R
R .
Sendo { }, , ,1 2 3 4A = e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , , , , ,1 2 1 3 2 1 11 2 3 4 2=R determinar [ ]1R
, [ ]2R
, [ ]3R
e [ ]4R
.
4. Mostre que a relação ~ em � definida por ~ sse 2 para algum em x y x y k k− = � é
uma relação de equivalência e determine [ ]~
3 .
5. Seja R uma relação de para A B e S uma relação de para B C . Então a relação
composta oS R é a relação constituída por todos os pares ordenados ( ),a c tais que
( ) ( ), , e a b b c∈ ∈R S .
Relações e Funções
66
Sendo { } { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1 2 3 4A p q r s B a b C p a p b q b r a s a= = = =R e
( ) ( ) ( ){ }, , , , ,1 2 4a a b=S determine oS R .
6. Seja R a relação no conjunto { }, , , , , ,1 2 3 4 5 6 7A = definida por ( ) ( ),a b a b∈ ⇔ −R é
divisível por 4. determinar R e 1−R .
7. Seja R a relação definida em { }, , , ,2 2 3 4 5=� … por ( ), a b a∈ ⇔R é divisor de b .
a) Estude R quanto à reflexividade, simetria, anti-simetria e transitividade.
b) Determinar todos os elementos minimais e maximais do conjunto 2� ordenado
pela relação R.
8. Diga quais das relações que se seguem são equivalências e, nesses casos, indique o
correspondente conjunto quociente.
a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , , , , ,11 2 2 3 3 4 4 1 3 3 1
b) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , ,1 2 2 2 3 3 4 4
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , , , , ,11 2 2 1 2 2 1 3 3 4 4
9. Seja { } { }, , , , , , , ,1 2 3 4 5 1 2 3 4 5A = × , e seja R definida em A por
( ) ( ), ,1 1 2 2 1 1 2 2x y x y x y x y⇔ + = +R
a) Verifique que R é uma relação de equivalência em A .
b) Determine as classes de equivalência ( ) ( ) ( ), , , ,1 3 2 4 e 11 .
c) Determine a partição de A induzida por R.
10. Considere a relação 2⊆ �R , tal que, ,a b∀ ∈� ,
( ) se a b a b−R é um número inteiro não negativo par.
Relações e Funções
67
a) Verifique que R define uma relação de ordem em � .
b) R é uma relação de ordem total? Justifique.
11. Seja { }, , , , ,1 2 3 4 5 6A = e :f A A→ a função definida por
( )1 se 6
1 se 6
x xf x
x
+ ≠=
=
a) Determinar ( ) ( ) ( ) ( )( ), ,3 6 3 e 2f f fof f f .
b) Mostrar que f é injectiva.
12. Mostrar que a função :f →� � dada por ( ) 3f x x= é injectiva e sobrejectiva
enquanto que a função :g →� � dada por ( ) 2 1g x x= − não é injectiva nem
sobrejectiva.
13. Sendo � o conjunto dos números naturais e :f →� � a função definida por
( ) 2 5f n n= + , mostre que f é injectiva e determinar a função inversa. Será f
sobrejectiva? E a função inversa será sobrejectiva?
14. Seja { } { } { }, , , Y , , , , , , e 1 2 3 4p q r a b c dΧ = = Ζ = e sejam : Yg Χ → definida pelo conjunto
dos pares ordenados ( ) ( ) ( ){ }, , , , , : Y e p a q b r c f → Ζ definida pelo conjunto de pares
ordenados ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , ,1 1 2 3a b c d . Escreva a função composta fog sob a forma de
um conjunto de pares ordenados.
15. Se ( ) ( ) e e f x ax b g x cx d fog gof= + = + = , determine uma equação que relacione a
constantes , , ,a b c d .
Relações e Funções
68
Matrizes
69
Parte II –Álgebra Linear
1 Matrizes
1.1 Conceitos e definições
Definição
Uma matriz m n× é uma tabela rectangular de números, chamados escalares, com m
linhas e n colunas.
Seja A uma matriz m n× , sendo o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna denotado
por ija . Assim :
11 12 1
21 22 2
1 2
n
nij
m m mn
a a a
a a aA a
a a a
= =
…
…
� � �
…
Cada ija K∈ , onde K é um corpo e representa-se ( )m nA M K×∈ .
Vamos considerar unicamente as matrizes cujos escalares são números reais ou seja
K = � (matrizes reais) ( )m nA M ×∈ � .
Definição
Se m n= a matriz diz-se quadrada.
Exemplo M1
1 3
5 0A
−=
Se 1m = a matriz chama-se matriz linha.
Exemplo M2
[ ]1 0 5 6B = −
Se 1n = a matriz chama-se matriz coluna.
Matrizes
70
Exemplo M3
2C
π
=
Se todos os elementos são nulos, a matriz chama-se matriz nula.
Exemplo M4
O =
000
000
Uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos são todos iguais a zero, excepto
pelo menos um dos elementos da diagonal principal (elementos ija em que i j= )
chama-se matriz diagonal.
Exemplo M5
A= diag (5, 5, 3) =
300
050
005
Uma matriz diagonal de ordem n cujos elementos da diagonal são todos iguais a um,
chama-se matriz identidade e denota-se por nI .
Exemplo M6
=
100
010
001
I3
Uma matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos abaixo da diagonal
principal são nulos, 0ija = para i j> , chama-se matriz triangular superior.
Exemplo M7
5 0 2
0 5 0
0 0 3
A
=
Uma matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos acima da diagonal
principal são nulos, 0ija = para i j< , chama-se matriz triangular inferior.
Matrizes
71
Exemplo M8
5 0 0
1 2 0
8 3 3
A
= − −
Uma matriz diz-se escalonada se se verificar as seguintes condições: todas as linhas
contendo apenas zeros devem estar na base da matriz; e a primeira entrada não nula
de cada linha deve estar à direita da primeira entrada não nula da linha anterior.
Exemplo M9
5 1 0 5 2
0 0 2 20 1
0 0 0 5 1
0 0 0 0 0
A
=
Uma matriz diz-se que está na forma canónica reduzida por linhas se for uma matriz
escalonada e se verificar as seguintes condições adicionais: a primeira entrada não
nula de cada linha é 1 e este 1 é o único elemento não nulo na sua coluna.
Exemplo M10
1 3 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
A
=
Definição
Uma matriz ( )ijB b= de ordem n m× , cujos elementos são dados por ij jib a= , é chamada
matriz transposta de A , e escreve-se ( )T TijA a= .
Seja A uma matriz quadrada de ordem n . A diz-se simétrica se e só se TA A= .
Definição
Seja A uma matriz quadrada de ordem n . Se existir uma matriz B tal que nAB BA I= = ,
diz-se que A é invertível ou não singular. À matriz B chama-se matriz inversa de A e
denota-se por 1A− . Se A não tem inversa diz-se não invertível ou singular.
Matrizes
72
Seja A uma matriz quadrada de ordem n . A diz-se ortogonal se e só se T TnAA A A I= = .
1.2 Operações com matrizes
1.2.1 Adição de Matrizes e Multiplicação por Escalar
Sejam A e B duas matrizes com o mesmo tipo, isto é, o mesmo número de linhas e
colunas: ( ), m nA B M ×∈ � .
11 12 1
21 22 2
1 2
n
nij
m m mn
a a a
a a aA a
a a a
= =
…
…
� � �
…
11 12 1
21 22 2
1 2
n
nij
m m mn
b b b
b b bB b
b b b
= =
…
…
� � �
…
Seja C a matriz soma de A com B , C A B= + , então C é a matriz cujos elementos são
dados por ij ij ijc a b= + .
Ou seja,
( )11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
n n
n nij ij
m m m m mn mn
a b a b a b
a b a b a bA B a b
a b a b a b
+ + + + + + + = + =
+ + +
…
…
� � �
…
O produto de um escalar k , pela matriz A , denota-se por kA , é a matriz obtida
multiplicando cada elemento de A por k , ( )ijkA ka= .
Ou seja,
( )11 12 1
21 22 2
1 2
n
nij
m m mn
ka ka ka
ka ka kakA ka
ka ka ka
= =
…
…
� � �
…
Matrizes
73
Definição
� ( )1 ijA A a− = − ⋅ = −
� ( ) ( ) ( )ij ij ij ijA B A B a b a b − = + − = + − = −
Teorema M1
Sejam ( ), , m nA B C M ×∈ � , O , a matriz nula do tipo m n× e sejam 1k e 2k escalares, então
as seguintes condições são válidas:
a) ( ) ( )A B C A B C+ + = + +
b) A O A+ =
c) A B B A+ = +
d) ( )k A B k A k B+ = +1 1 1
e) ( )1 2 1 2k k A k A k A+ = +
f) ( ) ( )1 2 1 2k k A k k A⋅ =
g) A A A O⋅ = ⋅ =1 e 0
Demonstração
Exercício �
1.2.2 Multiplicação de matrizes
Para multiplicar duas matrizes A e B , e se A é do tipo m h× então B tem de ser do tipo
h n× , ou seja o número de colunas de A tem de ser igual ao número de linhas de B . O
produto irá ser uma matriz do tipo m n× .
A matriz C AB= , produto de A por B , é a matriz cujos elementos são dados por
.1
h
ij ik kj
k
c a b
=
=∑ .
Matrizes
74
Exemplo M11
,A B AB
××
× + × + × × + × + ×
− × + × + × − × + × + × − − = = = = × + × + × × + × + × × + × + × × + × + ×
4 24 2
5 6 2 5 2 6 0 2 0 5 5 6 8 2 1 10 752 5
-1 0 3 1 2 0 0 3 0 1 5 0 8 3 1 2 2Se e 0 8 então
5 6 0 5 2 6 0 0 0 5 5 6 8 0 1 10 730 1
2 5 0 2 2 0 5 0 0 2 5 5 8 0 1 4 50
Teorema M2
Sejam ( ) ( ) ( ), ' , , ' ,p n n q q rA A M B B M C M× × ×∈ ∈ ∈� � � , então as seguintes igualdades são
válidas:
a) ( ) ( )AB C A BC=
b) ( )' 'A B B AB AB+ = +
c) ( )' 'A A B AB A B+ = +
d) ( ) ( ) ( ):k k AB kA B A kB∀ ∈ = =�
e) p nI A A AI= =
Demonstração
Exercício �
Teorema M3
Sejam ( ) ( ), ' ,p n n qA A M B M× ×∈ ∈� � . Então:
a) ( )' 'T T T
A A A A+ = +
b) ( )T T TAB B A=
c) Tn nI I=
d) ( )TT
A A=
Demonstração
Exercício �
Matrizes
75
Teorema M4
Sejam ( ), nA B M∈ � , matrizes não singulares. Então:
a) A inversa de A é única.
b) ( ) 11A A
−− =
c) ( ) ( )1 1 TTA A
− −=
d) ( ) 1 1 1AB B A
− − −=
Demonstração
Exercício �
Nota
A multiplicação de matrizes não goza da propriedade comutativa. Quando se tem
AB BA= , as matrizes dizem-se comutáveis.
1.3 Equivalência por linhas e Operações elementares por linhas
Definição
Diz-se que a matriz A é equivalente por linhas a uma matriz B se pode ser obtida por
uma sequência finita das seguintes operações elementares por linhas:
a) Troca de linhas, i jL L↔ .
b) Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo, i ikL L↔ .
c) Substituição de uma linha pela soma dessa linha com outra multiplicada por um
escalar não nulo, i j iL kL L+ ↔ .
E denota-se por ~A B .
Teorema M5
Toda a matriz A é equivalente por linhas a uma única matriz na forma canónica
reduzida por linhas.
Matrizes
76
Exemplo M12
Considere a matriz
2 4 6 0
2 4 2 2
3 6 4 3
A
− = − −
, através das transformações elementares é
possível transformar a matriz A numa matriz equivalente, mas que esteja na forma
canónia reduzida por linhas:
-
-
1 1 2 1 3
2 2 3 3
1 2 -3 0 1 2 -3 0 1 2 -3 01
~ L 2 4 -2 2 ~-2 0 0 4 2 ~ 3 0 0 4 2 ~2
3 6 -4 3 3 6 -4 3 0 0 5 3
1 2 -3 0 1 2 -3 0 1 2 3 01
~ 0 0 1 1 2 ~ 5 0 0 1 1 2 ~2 ~ 0 0 1 1 24
0 0 5 3 0 0 0 1 2 0 0 0 1
A L L L L
L L L L
+ +
− +
- 3 2 2 1
~
1 2 -3 0 1 2 0 01
~ 0 0 1 0 ~3 0 0 1 02
0 0 0 1 0 0 0 1
L L L L
+ +
Matrizes
77
,3 1 0 3 0 2
2 4 7 7 1 8
A B−
= = − −
Exercícios - Matrizes
1. Considere as seguintes matrizes :
Calcule:
a) A B+
b) 3A
c) 2 3A B−
2. Mostre o teorema M1.
3. Considere as seguintes matrizes :
-, , ,
-
3 4 51 3 43 1 0 2 0 2
0 3 0 32 4 7 0 5 1
2 5 6 4
A B C D
π
− = = = = − − − −
Calcule:
a) AC c) AD
b) CA d) BC
4. Mostre o teorema M2 e M3.
5. a) Mostre que se a matriz A é não singular então a inversa de A é única.
b) Mostre o teorema M4.
6. Dê exemplos de :
a) matrizes A e B não nulas, tal que 0AB = .
b) matrizes não nulas A , B e C tais que AB AC= mas B C≠ .
c) duas matrizes A e B tal que AB está definido mas BA não.
Matrizes
78
7. Mostre que:
a) se A é não singular e se AB AC= então B C= .
b) se A é matriz simétrica então TB AB é simétrica.
c) se A e B são matrizes ortogonais então AB é uma matriz ortogonal.
d) se A é uma matriz ortogonal então 1A
− é uma matriz ortogonal.
8. Considere as matrizes
- -
--
0 1 31 2 0 1
2 3 0 1 2 2 1
3 1 10 1 1 2
1 2 1
A e B
− = = − −
a) Determine uma matriz escalonada equivalente por linhas A .
b) Determine a forma canónica reduzida por linhas equivalente a A .
c) Repita a) e b) para a matriz B .
Matrizes
79
Matrizes
80
Sistemas de Equações Lineares
81
2 Sistemas de Equações Lineares
2.1 Definição. Interpretação Geométrica
Por uma equação linear entendemos uma expressão do tipo 1 1 2 2 n na x a x a x b+ + + =… ,
onde ia ∈� são os coeficientes e ix são incógnitas (também chamadas de variáveis ou
indeterminadas). O termo “linear” significa que cada uma das incógnitas ix tem
expoente igual a 1.
Um sistema de equações lineares é uma sequência finita de equações lineares,
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x bS
a x a x a x b
+ + + = + + + =
= + + + =
…
…
�
…
onde ija são os coeficientes de S e os ib são os termos independentes do sistema S .
Definição
Dizemos que ( ), , ,1 2n
nk k k ∈… � é uma solução particular de S , se ( ), , ,1 2 nk k k… for
solução de todas as equações do sistema. O conjunto de todas as soluções é chamado
o conjunto solução do sistema.
Podemos representar um sistema de equações lineares da seguinte forma matricial
1 111 12 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
m m mn n m
x ba a a
a a a x b
a a a x b
=
…
…
� � � � �
…
Sistema de Equações Lineares
82
Denotamos por Ax b= , onde ( )ijA a= é a matriz dos coeficientes, ( )iB b= a matriz
coluna dos termos independentes e ( )jx x= a matriz coluna das incógnitas.
É claro que ( ), , ,1 2n
nk k k ∈… � é uma solução particular de S se e só se
1 111 12 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
m m mn n m
k ba a a
a a a k b
a a a k b
=
…
…
� � � � �
…
Definição
A matriz alargada de A , que se denota por A b , é a matriz que se obtem
acrescentando à matriz A dos coeficientes, a matriz coluna dos termos independentes.
Definição
Se não admite solução o sistema diz-se impossível (insolúvel ou inconsistente).
Diz-se que um sistema de equações lineares é possível ( solúvel ou consistente) se
admite pelo menos uma solução. Se S é possível, diz-se que é determinado se tiver
apenas uma solução, ou indeterminado se tiver mais do que uma solução.
Qualquer sistema de equações lineares tem
1. solução única - sistema possível e determinado
2. infinitas soluções - sistema possível e indeterminado
3. nenhuma solução - sistema impossível.
Interpretação Geométrica
Um sistema representa a intercessão ou não de planos (em 3� ). Em n� também
podemos interpretar um sistema como a intersecção de m hiperplanos (planos em n� )
que nos são dados pelas m equações do sistema. A posição relativa desses hiperplanos
depende do número de soluções do sistema .
Assim,
Sistemas de Equações Lineares
83
Se o sistema é impossível então os os hiperplanos nunca se cruzam.
Se o sistema é possível e indeterminado então os hiperplanos cruzam-se em mais do
que um ponto (por exemplo: uma recta; ou um plano).
Se o sistema é possível e determinado então os hiperplanos cruzam-se num ponto.
Sistema de Equações Lineares
84
...
...
... ... ...
...
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x bS
a x a x a x b
+ + + = + + + =
= + + + =
...
...
... ... ...
...
11 1 12 2 1
21 1 22 2 20
1 1 2 2
0
0
0
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a xS
a x a x a x
+ + + = + + + =
= + + + =
2.2 Sistemas Homogéneos
Definição
Um sistema de equações lineares diz-se homogéneo, se os termos independentes são
nulos, isto é 0ib = .
Dado um sistema de equações lineares
Chamamos sistema homogéneo associado a S ao sistema:
Nota
Todos os sistemas homogéneos têm pelo menos uma solução. A solução
( ) ( ), , , , , ,1 2 0 0 0nx x x =… … , chamada solução nula ou trivial.
Teorema S1
Seja v uma solução particular de um sistema de equações lineares e W a solução geral
do sistema homogéneo associado, 0Ax = .
Então { }:U v W v w w W= + = + ∈ é a solução geral do sistema S .
Demonstração
Exercício �
Sistemas de Equações Lineares
85
Exemplo S1
O sistema de equações lineares homogéneo dado por 2 2 2 0
2 0
x y z
x y z
+ + =
− − =, facilmente se
deduz que o conjunto solução deste sistema é dado por , , ,332 2z z
W z z
= − ∈ ∈
� � .
E dado o sistema 2 2 2 2
2 3
x y z
x y z
+ + =
− − =, facilmente vemos que ( ), ,2 1 0v = − é uma solução do
sistema, então o conjunto solução deste é dado por , , ,332 1
2 2z z
S z z
= + − − ∈ ∈
� � .
2.3 Operações elementares. Sistemas equivalentes
Definição
Dois sistemas de equações lineares dizem-se equivalentes se toda a solução dum
sistema é solução do outro e reciprocamente.
Teorema S2
Se um sistema de equações lineares é obtido de outro por um número finito de
operações elementares, então os dois sistemas são equivalentes.
Operações elementares são:
I. Troca de duas equações, i jL L↔ .
II. Multiplicação de uma equação por um escalar não nulo, i ikL L↔ .
III. Substituir uma linha pela soma dessa linha com outra multiplicada por um escalar
não nulo, i j iL kL L+ ↔ .
2.4 Método de Eliminação de Gauss
Este método é baseado numa “redução” do sistema dado a um sistema equivalente,
cuja matriz dos coeficientes se encontra na forma escalonada ou na forma canónica
reduzida por linhas.
Sistema de Equações Lineares
86
Exemplo S2
-
-
- -
1
2 3 4
4 6
x y z
S x y z
x y z
+ =
= + = =
~ ~ ~
~
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 1 4 0 5 3 2 0 5 3 2 0 5 3 2
4 1 1 6 4 1 1 6 0 5 3 2 0 0 0 0
1 1 1 1
0 1 3 5 2 5
0 0 0 0
III III III
II
− − − − − − − − − − − − −
− − −
O sistema é possível e indeterminado.
Resolvendo por substituição inversa :
2 3 7 21
1 1 5 5 5 53 2 3 2 3 2 3 2
5 5 5 5 5 5 5 50 0 0 0 0 0 0 0
x z z x zx y z x y z
y z y z y z y z
= + + − = + + − = + − =
− = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = −
= = = =
Todas as soluções do sistema dado são obtidas a partir do sistema final de duas
equações, sendo z um número real qualquer:
,
7 25 53 25 5
0 0
x t
y t t
= +
= − ∈
=
�
Sistemas de Equações Lineares
87
2.5 Inversão de matrizes
Diz-se que A é invertível, se existe uma matriz B tal que nAB BA I= = . À matriz B
chama-se inversa e denota-se por 1A
− .
Considere-se a matriz -
2 5
1 0A
=
, calcular a inversa será tentar encontrar uma matriz
x y
w z
tal que -
2 5
1 0
⋅
x y
w z
=1 0
0 1
.
Ficamos então com a seguinte igualdade de matrizes:
2 5 2 5 1 0
0 1
x w y z
x y
+ + = − −
que é equivalente a resolver o sistema:
12 5 1
50
02 5 0
01
1
x w w
xx
y zz
yy
− + = = − = =⇔
+ = = − = = −
, então 1 0 1
1 5 0A
− − =
.
Em matrizes de ordem n , usar este método era equivalente a resolver um sistema de 2n
equações com 2n incógnitas.
Teorema S3
Seja ( )nA M∈ � , então A é uma matriz invertível sse for equivalente por linhas à matriz
identidade ( )nI . Se efectuarmos transformações elementares sobre linhas em nI , pela
mesma ordem que permitem "transformar" A na nI , obtemos então a inversa, 1A− .
Sistema de Equações Lineares
88
Para calcular a inversa de uma matriz A de ordem n , considera-se a matriz ( )nA I ,
sendo I a matriz identidade de ordem n . Reduz-se a matriz ( )nA I à forma canónica
reduzida por linhas, obtendo-se assim a matriz ( )1nI A
− .
Exemplo S3
Seja A
= −
1 2 0
3 3 1
0 2 1
, pretende-se calcular 1A− .
| -
-
- -
1 2 0 1 0 01 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 01 1 3 3 1 0 1 0 0 3 1 3 1 0 0 1 1 03 3
0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1
2 2 2 21 0 1 0 1 0 1 03 3 3 3 1 0 0 5 2 21 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 03 3 3 3
1 2 0 0 1 6 2 30 0 2 13 3
A I
= → − − → − − −
− − → − − → − − → −−
-
-
-
1
1 0 3 1 1
0 0 1 6 2 3
5 2 2
3 1 1
6 2 3
A
− − = − −
Verifique se 1A− está correctamente calculada.
Sistemas de Equações Lineares
89
Exercícios – Sistemas de equações lineares
1. Mostre que se v é uma solução particular de um sistema linear não homogéneo
Ax b= , então x v w= + também o é, onde w é solução do sistema homogéneo
associado 0Ax = . Mostre ainda que se v é uma solução particular de um sistema
linear não homogéneo Ax b= , qualquer solução deste sistema é da forma x v w= + .
2. Resolva os seguintes sistemas de equações lineares utilizando o método de
eliminação de Gauss e dê uma interpretação geométrica para as diferentes
situações:
a)
2 3 1
2 5 8 4
3 8 13 7
x y z
x y z
x y z
+ − =
+ − = + − =
b)
2 2 10
3 2 2 1
5 4 3 4
x y z
x y z
x y z
+ − =
+ + = + + =
c)
2 3 1
3 2 7
5 3 4 2
x y z
x y z
x y z
+ − = −
− + = + − =
d)
2 3 0
3 2 0
5 3 4 0
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + = + − =
e)
2 4 5
2 2 3 3
3 3 4 2 1
x y z t
x y z t
x y z t
+ − + =
+ − + = + − − =
f)
2 3 4
2 3 3 3
5 7 4 5
x y z t
x y z t
x y z t
+ − + =
+ + − = + + + =
g)
2 3 0
2 5 8 0
3 8 13 0
x y z
x y z
x y z
+ − =
+ − = + − =
h)
2 3 1
4 2 6 2
3 9 33
2 2 2
x y z
x y z
x y z
+ − =
+ − = + − =
3. Discuta o seguinte sistema em função dos parâmetros indicados, e determine as
respectivas soluções para os casos possíveis:
a) ,
1
2 3 3
3 2
x y z
x y kz k
x ky z
+ − =
+ + = ∈ + + =
�
b) , , ,
2 3
2 6 11
2 7
x y z a
x y z b a b c
x y z c
+ − =
+ − = ∈ − + =
�
Sistema de Equações Lineares
90
c)
( )( )( )
, ,
5 2 2 4 2
10 5 5 2 5 8
4 2 2 2
a x y z b
a x y z b a b
a x y z b
+ + + = −
+ + + = − ∈
+ + + = +
� d) , ,
3 4
2 4
5 2 5 2 2
x ay z a
x bz b a b
x ay z a
+ + =
+ = − ∈ + + = −
�
4. Indique quais das seguintes matrizes são ou não singulares e calcule a sua inversa:
a) 1 2
1 3
b) 0 2
1 3
−
c)
1 2 0
0 1 1
1 2 1
−
d)
2 2 0
1 1 1
1 1 1
− −
e)
1 2 0
1 1 1
2 1 1
−
5. Considere um sistema de equações lineares cuja representação matricial é Ax b= .
Mostre que se A é invertível a solução é dada por 1x A b
−= .
6. Considere o seguinte sistema:
2 1
1
2 4
x y z
x y
y z
− + = −
− = − − =
a) Resolva o sistema utilizando o método de eliminação de Gauss.
b) Considere a matriz dos coeficientes
2 1 1
1 1 0
0 1 2
A
− = − −
, determine 1A− .
Utilizando o resultado de b), determine a solução do sistema dado.
Sistemas de Equações Lineares
91
Sistema de Equações Lineares
92
Espaços Vectoriais
93
3 Espaços Vectoriais
Definição
Definições
Seja Ä um conjunto não vazio e θ uma operação, ( Ä, θ) é um grupo sse:
a) é uma operação interna em Ä, ou seja, se ,x y ∈Ä então θx y ∈Ä .
b) θ goza da propriedade associativa, , , x y z∀ ∈Ä então ( ) ( )θ θ θ θx y z x y z= .
c) θ tem elemento neutro, um elemento u tal que ,θ θa u u a a a= = ∀ ∈Ä .
d) Todos os elementos tem oposto (inverso ou simétrico)
se a ∈Ä então, 'a∃ ∈Ä tal que ' 'θ θa a a a u= = .
Se θ é comutativa ( ), ,θ θa b b a a b= ∀ ∈Ä então diz-se ( ),θÄ é um grupo comutativo ou
abeliano.
Exemplo EV1
( ),+� é um grupo comutativo porque:
- se somar quaisquer dois elementos, a soma ainda pertence a � .
- a adição é associativa.
- 0 é o elemento neutro.
- se a é um número real então a− é o elemento oposto (neste caso chamado
simétrico).
Diz-se que ( ), ,⊕ ⊗Ä é um corpo sse :
1. ( ),⊕Ä é um grupo comutativo. Ao elemento neutro deste grupo chama-se zero
do corpo e denota-se por 0, e a cada elemento oposto chama-se simétrico e
denota-se por a− .
Espaços Vectoriais
94
2. { }( )\ ,0 ⊗Ä é um grupo comutativo. Ao elemento neutro deste grupo chama-se
identidade, e denota-se por 1, todos os elementos de Ä , tirando o 0, têm oposto,
ao qual se chama inverso e denota-se por 1a
− .
3. A operação ⊗ é distributiva relativamente à operação ⊕.
( )( ) , , ,
a b c a b a c
b c a b a c a a b c
⊗ ⊕ = ⊗ ⊕ ⊗
⊕ ⊗ = ⊗ ⊕ ⊗ ∀ ∈Ä
Definição
Considere-se o sistema ( ), ; ,*V + ¼ , onde V é um conjunto não vazio, “+” uma operação
binária definida em V (chamada adição) tal que ( ),V + é um grupo abeliano. ¼ um
corpo e “ * ” uma aplicação de em V V×¼ (chamada de multiplicação), que verifica
as quatro igualdades que passaremos a indicar:
i) ( )* * * , , ,k u v k u k v k u v V⊕ = ⊕ ∀ ∈ ∀ ∈¼
ii) ( )* * * , , ,1 2 1 2 1 2k k u k u k u k k u V⊕ = ⊕ ∀ ∈ ∀ ∈¼
iii) ( ) ( )* * * , , ,1 2 1 2 1 2k k u k k u k k u V⊗ = ∀ ∈ ∀ ∈¼
iv) * ,1 u u u V= ∀ ∈ , onde 1 é a unidade do corpo ¼
Muitas vezes em vez de escrevermos *k u , escrevemos simplesmente ku . E na operação
⊕ do corpo ¼, escrevemos simplesmente “+”. Assim as condições relativas à aplicação
ficam:
i) ( ) , , ,k u v ku kv k u v V+ = + ∀ ∈ ∀ ∈¼
ii) ( ) , , ,1 2 1 2 1 2k k u k u k u k k u V+ = + ∀ ∈ ∀ ∈¼
iii) ( ) ( ) , , ,1 2 1 2 1 2k k u k k u k k u V= ∀ ∈ ∀ ∈¼
iv) ,1u u u V= ∀ ∈ , onde 1 é a unidade do corpo ¼
� Os elementos de V dizem-se vectores e os elementos de ¼ dizem-se
escalares. Diz-se que V é um Espaço Vectorial sobre o corpo ¼ .
� Se ¼ é o corpo dos números reais. Então V diz-se espaço vectorial real.
Espaços Vectoriais
95
� O elemento 0 de V chama-se vector nulo ou vector zero. E pode ser escrito
como 0V .
Nota
� Repare que existe duas operações denotadas por adição. Na condição ii)
( )1 2 1 2k k u k u k u+ = + , o “+” do primeiro membro está definido no corpo ¼, e o do
segundo membro refere-se a adição entre vectores está definida no grupo
( ),V + .
� Um espaço vectorial não fica definido somente pelo conhecimento do grupo
abeliano ( ),V + e pelo conhecimento do corpo ¼. É necessário definir a
aplicação “ * ”, ou seja é necessário definir a operação multiplicação dum
escalar por um vector.
Exemplos (Espaços Vectoriais)
� O espaço das matrizes ( )m nM × � (conjunto de todas as matrizes reais m n× ),
algebrizado com as matrizes com as operações usuais de adição de matrizes e
multiplicação de uma matriz por um escalar real.
� O espaço 3� algebrizado com as operações de adição e multiplicação por um
escalar real.
� O espaço de polinómios ( )xÏ com coeficientes � , algebrizado com as
operações usuais e multiplicação de um polinómio por um escalar.
Teorema EV1
Se V é um espaço vectorial sobre um corpo ¼, verificam-se as seguintes propriedades:
a) ,0 0Vu u V= ∀ ∈¼
b) . ,0 0V Vα α= ∀ ∈¼
c) ( ) ( ) ( ) , ,u u u u Vα α α α− = − = − ∀ ∈ ∀ ∈¼
d) ( ) , , ,u u u u Vα β α β α β− = − ∀ ∈ ∀ ∈¼
e) ( ) , , ,u v u v u v Vα α α α− = − ∀ ∈ ∀ ∈¼
Espaços Vectoriais
96
Demonstração a) Atendendo a que 0 é o elemento neutro da adição em ¼, temos que 0+0=0.
Daqui resulta que
( )0 0 0u u+ =
Logo por um dos axiomas de espaço vectorial, (e.v.) concluímos que
0 0 0u u u+ = . Somando de ambos os lados, 0u− , resulta que 0 0 0u u u= − , ou seja
0 0Vu = (por definição de elemento simétrico)
b) Por raciocínio análogo ao anterior, vem que:
( )0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
V V V
V V V
V V V
V V
α α
α α α
α α α
α
+ =
+ =
= −
=
c) Vamos começar por provar que ( )u uα α− = − , o que vale por dizer que os
vectores são simétricos um do outro. Ora dois vectores são simétricos
exactamente quando a sua soma é o vector nulo. Para provarmos aquela
igualdade, bastará, portanto, mostrar que
( ) ( )( ) 0
mas - 0 0
V
V
u u
u u u u
α α
α α α α
− + =
+ = − + = =
De modo análogo , provamos que
( ) ( )u uα α− = − , já que
( ) ( )( ) 0 0V Vu u u uα α α α− + = − + = =
d) Usando c) e as propriedades de e. v. vem que:
( ) ( )( ) ( ) ( )( )u u u u u u u uα β α β α β α β α β− = + − = + − = + − = −
e) Por um raciocínio semelhante ao anterior :
( ) ( )( ) ( )( )u v u v u v u vα α α α α α− = + − = + − = − �
Espaços Vectoriais
97
Subespaços vectoriais
Seja W um subconjunto de um espaço vectorial V sobre um corpo ¼. E W é um
espaço vectorial sobre ¼ em relação à adição de vectores e à multiplicação por um
escalar definidas em V . Temos um espaço vectorial, contido noutro espaço vectorial,
dizemos então que W é subespaço vectorial de V .
Definição
Seja V um espaço sobre um corpo ¼. Seja W um subconjunto de V . W é um
subespaço vectorial do espaço vectorial V sse:
1) 0V W∈
2) , ,u v W u v W+ ∈ ∀ ∈
3) , ,ku W u W k∈ ∀ ∈ ∀ ∈¼
Exemplos EV2
� O espaço das matrizes ( )nM � (conjunto de todas as matrizes quadradas de
ordem n ) é um subespaço do espaço vectorial das matrizes ( )m nM × � sobre Ñ.
� O espaço ( ){ }, , : ,0W a b a b= ∈� é um subespaço de Ñ3 sobre Ñ.
� O espaço de polinómios ( ) { }: , ,22 x ax bx c a b c= + + ∈�Ï é um subespaço do espaço
( )xÏ (espaço dos polinómios com coeficientes reais).
Teorema EV2
Seja V um espaço vectorial sobre ¼ e sejam 1 2 e V V subespaços vectoriais de V .
Então:
a) A intersecção de 1V com 2V é um subespaço vectorial de V
{ }:1 2 1 2 e V V x V x V x V∩ = ∈ ∈ ∈
b) A soma de 1V com 2V é um subespaço vectorial de V .
{ }:1 2 1 2 e V V x y V x V y V+ = + ∈ ∈ ∈
Espaços Vectoriais
98
Demonstração
Exercício .
Combinações Lineares. Espaço gerado
Definição
Considere V um espaço vectorial sobre um corpo ¼. Sejam , , ,1 2 nv v v… vectores de V e
sejam α1, α2,..., αn escalares pertencentes a ¼. Então 1 1 2 2 n nu v v vα α α= + + +… é um vector
de V , dizemos que u é combinação linear dos vectores , , ,1 2 nv v v… por meio dos
escalares α1, α2, ... , αn.
Exemplos EV3
1) Consideremos ( )( ), ; ,*x + �Ï , o espaço vectorial real dos polinómios.
Seja ( )21 2 1 2u x x x= + − ∈Ï . u é combinação linear dos vectores:
, 21 2 31 e v v x v x= = = ?
2) E se ,3
1 2 31 3 e v v x v x= = = será possível escrever u como combinação linear
destes vectores?
3) Seja 3V = � . Consideremos ( ), ,1 4 1 0v = , ( ), ,2 0 5 3v = , será o vector ( ), ,8 52 30u =
combinação linear dos dois vectores anteriores?
Teorema EV3
Considere V um espaço vectorial sobre um corpo ¼. Sejam , , ,1 2 nv v v… vectores de V .
Então o conjunto W , de todas as possíveis combinações lineares destes vectores, é um
subespaço vectorial. E para além disso é o menor subespaço vectorial de V que
contém os vectores , , ,1 2 nv v v… .
Espaços Vectoriais
99
Demonstração
� 1ª Parte
Queremos provar que { }: , , ,1 1 2 2 1 2n n nW v v vα α α α α α= + + + ∈… … ¼ é subespaço vectorial.
1) 0V W∈ , com efeito 1 20 0 0 0 nv v v= + + +…
2) Sejam u e v elementos deW , queremos mostrar que u v W+ ∈ ;
Como u e v ∈ W vem que 1 1 2 2 n nu v v vα α α= + + +… e
1 1 2 2 n nv v v vβ β β= + + +… , com , e i i iα β ∈ ∀¼
( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2n n n n n n nu v v v v v v v v v vα α α β β β α β α β α β+ = + + + + + + + = + + + + + +… … …
( ) , logo i i u v Wα β+ ∈ + ∈¼
3) Seja a ∈¼ e u W∈ , queremos provar que au W∈ . Como u W∈ vem que
1 1 2 2 n nu v v vα α α= + + +…
Então ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2n n n nau a v v v a v a v a vα α α α α α= + + + = + + +… … e ( )iaα ∈¼ , logo
au W∈ .
Logo W é subespaço vectorial.
� 2ª parte
Queremos provar que W é o menor subespaço vectorial de V que contém os
vectores , , ,1 2 nv v v… .
Hipótese: seja 'W um outro subespaço que contém , , ,1 2 nv v v… .
Espaços Vectoriais
100
Tese: 'W W⊂
Seja v W∈ , então v é da forma, 1 1 2 2 n nv v v vβ β β= + + +… , com ,i iβ ∈ ∀¼ .
Mas cada 'i iv Wβ ∈ ( 'W é subespaço e 'iv W∈ ) logo 'v W∈ .
Então 'W W⊂ �
Definição
A { }: , , ,1 1 2 2 1 2n n nW v v vα α α α α α= + + + ∈… … ¼ chama-se espaço gerado pelos vectores
, , ,1 2 nv v v… .
Denota-se por , , ,1 2 nW v v v= … .
Dependência e independência linear
Dados , , ,1 2 nv v v… vectores de V , um espaço vectorial sobre um corpo ¼, o vector
zero V∈ pode escrever-se como combinação linear dos ( ), , ,1 2 nv v v… .
Podem dar-se dois casos diferentes:
1) O vector 0V pode escrever-se de uma única maneira como combinação linear
dos vectores , , ,1 2 nv v v… , ou seja se
1 1 2 2 1 20 0n n V nv v vα α α α α α+ + + = ⇒ = = = =… …
Dizemos então que os , , ,1 2 nv v v… são vectores linearmente independentes.
2) O vector 0V pode escrever-se de mais do que uma maneira como combinação
linear dos vectores , , ,1 2 nv v v… . Isto é, existem α1, α2,...,αn ∈¼, não todos nulos tais
que 1 1 2 2 0n n Vv v vα α α+ + + =… .
Espaços Vectoriais
101
Ou seja
1 1 2 2 1 20 0n n V nv v vα α α α α α+ + + = ⇒ = = = =… …
Dizemos então que os , , ,1 2 nv v v… são vectores linearmente dependentes.
Teorema EV4
Seja V um espaço vectorial sobre um corpo ¼. Então os vectores , , ,1 2 nv v v V∈… são
linearmente dependentes sobre o corpo ¼ se e só se algum dos vectores for
combinação linear dos restantes.
Demonstração
(ï)
Comecemos por supor que os vectores , , ,1 2 nv v v… são linearmente dependentes. Por
definição, existirão escalares , , ,1 2 nα α α ∈… ¼ , não todos nulos tais que
1 1 2 2 0n n Vv v vα α α+ + + =…
Uma vez que entre os coeficientes há pelo menos um que é diferente de zero,
suponhamos que se tem 1 0α ≠ .
Temos então que:
1 1 2 2 n nv v vα α α= − − −…
21 2
1 1
nnv v v
ααα α
= − − −…
o que mostra que algum vector (neste caso o primeiro) é combinação linear dos
restantes.
(ì)
Admitamos que algum dos vectores dados, por exemplo, nv , é combinação linear dos
restantes:
1 1 2 2 1 1n n nv v v vα α α − −= + + +…
Espaços Vectoriais
102
daqui resulta que
1 1 2 2 1 1 0n n n Vv v v vα α α − −+ + + − =… .
Ora esta igualdade mostra que os vectores são dependentes, pois temos uma sua
combinação linear nula em que, pelo menos, o último escalar não é nulo. �
Teorema EV5
Seja V um espaço vectorial sobre um corpo ¼. Sejam , , ,1 2 nv v v… linearmente
independentes e w V∈ então os vectores , , , ,1 2 nv v v w… são linearmente dependentes
sse w se pode escrever como combinação linear dos primeiros, , , ,1 2 nw v v v∈ … .
Demonstração
(ï)
Por hipótese, os vectores , , , ,1 2 nv v v w… são linearmente dependentes, pelo que existirão
escalares, não todos nulos tais que
1 1 2 2 0n n Vv v v wα α α β+ + + + =…
Poderá ser 0β = ? Se assim acontecesse, e uma vez que algum dos escalares
, , , ,1 2 nα α α β… é não nulo, concluiríamos que algum dos escalares , , ,1 2 nα α α… seria não
nulo. Mas a igualdade anterior arrasta, para 0β = , o seguinte:
1 1 2 2 0n n Vv v vα α α+ + + =…
Ora isto é um absurdo, visto os vectores , , ,1 2 nv v v… serem, por hipótese, independentes.
Assim, terá de ser 0β ≠ . E então vem imediatamente que
1 21 2
nnw v v v
αα αβ β β
= − − − −…
Espaços Vectoriais
103
(ì)
O recíproco é imediato, basta ter em conta o teorema EV4. �
Corolário EV6
Se um sistema de vectores linearmente independentes, gera um espaço V então é um
sistema linearmente independente. Ou seja se acrescentarmos qualquer vector ao
sistema ele torna-se linearmente dependente.
Corolário EV7
Qualquer sistema que contenha o vector nulo é linearmente dependente.
Bases e dimensão
Definição
Seja V um espaço vectorial sobre um corpo ¼. O conjunto { }, , ,1 2 nS v v v V= ⊂… , diz-se
uma Base de V se se verificarem duas condições:
1) , , ,1 2 nv v v… são linearmente independentes
2) , , ,1 2 nv v v… geram V .
Exemplo EV5
Em Ñ3 os vectores (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1) são linearmente independentes e qualquer
vector pertencente a Ñ3 pode ser escrito como combinação linear dos primeiros.
Então (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1) formam uma base. Esta é conhecida como a base
canónica de Ñ3.
Definição
Um espaço vectorial que contenha uma base com n vectores diz-se que tem dimensão
finita n e escreve-se dimV n= .
Espaços Vectoriais
104
Teorema de Steinitz EV8
Seja V um espaço de dimensão finita sobre ¼. Sejam , , ,1 2 nv v v… vectores de V tais que
, , ,1 2 nv v v V=… .
Se { }, , ,1 2 pu u u… são vectores linearmente independentes de V então tem-se:
1) p n≤
2) É possível substituir, no p dos vectores , , ,1 2 pu u u… , no sistema , , ,1 2 nv v v… ,de modo
a que o sistema obtido ainda gere o espaço V .
Teorema EV9
Um conjunto { }, , ,1 2 nS v v v V= ⊂… , é uma base de V se e só se todo o vector v V∈ se
puder escrever de maneira única como combinação linear dos vectores de S .
Demonstração
1ª parte
Hipótese: { }, , ,1 2 nS v v v V= ⊂… é uma base de V
Suponhamos que w V∈ se escreve nas formas:
1 1 2 2 n nw v v vα α α= + + +… , e
, ,1 1 2 2 com e n n i iw v v v iβ β β α β= + + + ∈ ∀… ¼
( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2 0n n n nv v v v v v w wα α α β β β+ + + − + + + = − =… …
( ) ( ) ( ) ( ) ,1 1 1 2 2 2 0n n n i iv v v iα β α β α β α β− + − + + − ⇒ − = ∀… , logo, ,i i iα β= ∀
2ª parte
Reciprocamente temos como hipótese que: todo o vector v V∈ pode escrever-se de
maneira única como combinação linear dos vectores de S .
Espaços Vectoriais
105
Para S ser base
1) qualquer vector tem de se escrever como combinação linear dos vectores de
S , mas isso é imediato perante a hipótese.
2) Os vectores de S tem de ser independentes.
Seja
1 1 2 20 n nv v vα α α= + + +… , uma combinação linear de zero, mas por hipótese só se pode
escrever zero de um único modo logo, ,0i iα = ∀ . �
Teorema EV10
Seja V um espaço vectorial de dimensão finita. Então toda a base de V tem o mesmo
número de vectores.
Demonstração
Sejam , 'B B bases de V .
{ }, , ,1 2 nB v v v= …
{ }' , , ,1 2 pB u u u= …
Os vectores iu , são independentes e os vectores iv , geram V ( , 'B B são bases), então
pelo teorema EV8 (1.) vem que p n≤ .
Mas também os vectores iv , são independentes e os vectores iu , geram V ( , 'B B são
bases), então pelo teorema EV8(1.) vem que n p≤ .
Logo n p= . �
Espaços Vectoriais
106
Teorema EV11
Num espaço vectorial V , de dimensão n :
1) Qualquer subconjunto de V contendo mais do que n vectores é linearmente
dependente.
2) Qualquer conjunto de n vectores linearmente independentes formam uma
base de V .
3) Qualquer conjunto de n vectores que geram v formam uma base de V .
Demonstração
1) Seja { }, , ,1 2 nv v v… uma base de V . Então , , ,1 2 nV v v v= … , e os vectores
{ }, , ,1 2 nv v v… são linearmente independentes. Então pelo corolário EV6 temos
que { }, , , ,1 2 nv v v w… são linearmente dependentes.
2) Seja , , ,1 2 nv v v… um sistema de vectores independentes de V , e seja w um
vector arbitrário de V .
O sistema , , , ,1 2 nv v v w… tem 1n + vectores, pelo que, conforme se provou em
cima , não pode ser independente.
Estamos, nas condições seguintes: o sistema , , ,1 2 nv v v… é independente, mas o
sistema, , , , ,1 2 nv v v w… é dependente, então (pelo teorema EV5) w é
combinação linear dos vectores , , ,1 2 nv v v… .
Como w é arbitrário, concluímos que o espaço gerado pelos vectores
, , ,1 2 nv v v… , os quais, são independentes, constituem uma base de V .
3) Suponhamos que , , ,1 2 nV u u u= … . Continuando a supor que { }, , ,1 2 nv v v… é uma
base de V , logo também , , ,1 2 nV v v v= … .
Ora o sistema , , ,1 2 nv v v… é linearmente independente, por ser base, logo o
sistema , , ,1 2 nu u u… também o é.
Este sistema constitui portanto uma base. �
Espaços Vectoriais
107
Teorema EV12
Seja W um subespaço vectorial de um espaço vectorial V n - dimensional. Então
dimW n≤ . Em particular se dimW n= então W V= .
Demonstração
Exercício. �
Coordenadas de um vector numa determinada base
Seja { }, , ,1 2 nB v v v= … uma base de V . Então qualquer que seja v elemento de V este
escreve-se de maneira única com combinação linear dos vectores de B ,
1 1 2 2 n nv a v a v a v= + + +… .
Definição
Aos escalares ia chamam-se coordenadas de v em relação à base B .
Escreve-se ( ), , ,1 2 n Bv a a a= … .
Teorema EV13
Seja V um espaço vectorial sobre um corpo ¼, Seja dimV n= , B uma base de V ,
,u v V∈ e α ∈¼ . Seja ( ), , ,1 2 n Bv a a a= … e ( ), , ,1 2 n B
u b b b= … .
Então ( ), , ,1 1 2 2 n n Bv u a b a b a b+ = + + +… e ( ), , ,1 2 n B
v a a aα α α α= … .
Demonstração
Exercício. �
Característica de uma matriz
Definição
A característica de uma matriz A é o número de linhas não nulas da matriz equivalente
por linhas em forma canónica reduzida por linhas, ou equivalente, a característica de
uma matriz A é a dimensão do subespaço gerado pelas linhas de A . Denota-se por
( )c A .
Espaços Vectoriais
108
Teorema EV14
O número de linhas ou de colunas linearmente independentes de uma matriz A não é
alterado se sobre A se realizarem operações elementares sobre linhas ou colunas.
Teorema EV 15
O número máximo de linhas linearmente independentes de uma matriz A é igual ao
número máximo de colunas linearmente independentes de A .
A característica de uma matriz está relacionada com os sistemas.
Teorema EV16
Seja S o sistema de equações lineares representado por Ax b= onde ( )m nA M ×∈ � e
( )1mb M ×∈ � . Então
i) S é possível sse ( ) ( )c A b c A= .
ii) S é possível e determinado sse ( ) ( )c A c A b n= = .
iii) S é possível indeterminado sse ( ) ( )c A c A b n= < .
Corolário EV17
Um sistema linear homogéneo de m equações em n incógnitas, 0Ax = , tem solução
além da solução nula, 0x = , sse ( )c A n< .
Teorema EV18
Seja A uma matriz quadrada de ordem n . Então as seguintes afirmações são
equivalentes:
a) A é não singular
b) A é equivalente por linhas à matriz identidade
c) ( )c A n= .
Espaços Vectoriais
109
Exercícios – Espaços Vectoriais
1. Mostre que Ñ2 constitui um espaço vectorial sobre Ñ, para as operações adição e
multiplicação por um escalar assim definidas:
( ) ( ) ( )( ) ( ), , ,
, ,
a b c d a c b d
a b a bα α α
+ = + +
=
2. Denote o conjunto de todas as funções reais continuas cujo domínio é [0, 1] por ℑ .
Mostre que ℑ constitui um espaço vectorial sobre Ñ, para as operações de adição
e multiplicação por um escalar real, assim definidas:
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )
f g x f x g x
f x f xα α
+ = +
=
3. Seja ( ){ }( )* , : , 2V x y x y= ∈� � com as seguintes operações
( ) ( ) ( )( ) ( )
, , ,
* , ,0
a b c d a c b d
a b aα α
+ = + +
=
Mostre que *V não é um espaço vectorial sobre Ñ.
4. Para cada um dos seguintes conjuntos determine quais dos axiomas de espaço
vectorial não se verificam:
a) O conjunto de todos os pares ordenados de números reais com as
operações de adição e multiplicação por um escalar assim definidas :
( ) ( ) ( )( ) ( ), , ,
, ,
a b c d a c b d
a b a bα α
+ = + +
=
b) O conjunto de todos os pares ordenados de números reais com as
operações de adição e multiplicação por um escalar assim definidas :
( ) ( ) ( )( ) ( ), , ,
, ,
a b c d a c b d
a b a bα α α
+ = − −
=
c) O conjunto de todas as funções reais de variável real tal que ( )0 1f = , com
as operações de adição e multiplicação por um escalar assim definidas:
Espaços Vectoriais
110
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )
f g x f x g x
f x f xα α
+ = +
=
5. Seja V um espaço vectorial sobre um corpo ¼, ( ), ; *V + ¼ . Mostre que:
a) Se , , e u v w V u v u w∈ + = + então v w= .
b) Para todo ,u v V∈ , existe um único w V∈ , tal que u v w= + .
6. Veja quais dos seguintes conjuntos são subespaços de Ñ2 ou Ñ3 , conforme o caso,
(com as operações usuais), e dê uma interpretação geométrica dos conjuntos:
a) ( ){ }, :21 0V x y y= ∈ =�
b) ( ){ }, :22 1V x y y= ∈ =�
c) ( ){ }, :23 0V x y x y= ∈ + =�
d) ( ){ }, , :34 0V x y z y= ∈ =�
e) ( ){ }, , :35 1V x y z y= ∈ =�
f) ( ){ }, , :36 0 ou 0V x y z x y= ∈ = =�
g) ( ){ }, , :37 0 e 0V x y z x y= ∈ = =�
h) ( ){ }, , :3
8 0V x y z x y z= ∈ + + =�
i) ( ){ }, , :3
9 1V x y z x y z= ∈ + + =�
7. Seja ℑ o espaço vectorial sobre Ñ de todas as funções :f →� � com as
operações usuais :
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )
f g x f x g x
f x f xα α
+ = +
=
(Dizemos que uma função f ∈ℑ é par se ( ) ( ) ,f x f x x− = ∀ ∈� ) .
Mostre que o conjunto de todas as funções pares é um subespaço de ℑ.
Espaços Vectoriais
111
8. Seja V um espaço vectorial sobre ¼ e sejam 1V e 2V subespaços vectoriais de V .
Mostre que :
a) A intersecção de 1V com 2V é um subespaço vectorial de V .
{ }:1 2 1 2 e V V x V x V x V∩ = ∈ ∈ ∈
b) A soma de 1V com 2V é um subespaço vectorial de V .
{ }:1 2 1 2 e yV V x y V x V V+ = + ∈ ∈ ∈
9. Escreva o vector (0, 5, –6) como combinação linear dos vectores (2, 1, –8 ), ( 0, 1, 1)
e (1, –1, 0).
10. Determine o espaço gerado pelos conjuntos:
a) {(2, 1), (1, –2)}
b) {(0, 1), (1, –2), (1,0)}
c) { (3, 1), (–6, –2)}
d) {(2, 1, 0), (0, 1, –2)}
e) {(1, 1, 0), (1,.0, 0), (0, 0, –1)}
f) {(2, 0, 3), (–2,–2, 5), (2, 1, –1)}
g) {(1, 0, 0), (–2,.0, 3 ), (–1, 1, –1)}
h) {(1, –3), (2, –6)}
i) { },2 21x x x+ + −
j) { }, ,3 2 31 3 2x x x x x− + +
11. a) Sejam ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,6 3 1 1 2 1 2 2u v w k= = = vectores de Ñ3. Para que valor de k
será w uma combinação linear dos vectores e u v ?
b) Sejam ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,3 6 1 1 2 1 2 2u v w k= = = vectores de Ñ3. Mostre que não existe
k ∈� tal que w seja uma combinação linear dos vectores e u v .
12. Determine se os seguintes vectores são ou não linearmente independentes:
a) ( ) ( ), , ,1 0 2 1u v= =
Espaços Vectoriais
112
b) ( ) ( ), , , , ,2 1 0 0 1 2u v= = −
c) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,2 1 0 0 1 2 0 1 0u v w= = − =
d) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , ,3 1 0 0 11 0 1 0 2 3 1u v w z= − = = = − −
e) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,2 2 0 0 1 1 2 4 2u v w= − = − = −
f) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,11 0 2 2 0 0 1 0u v w= − = − =
g) ,2 2 2u x x v x= + = − +
h) , ,2 2 22 2 2u x x v x x w x= + = + + = − +
13. Sejam , ,u v w vectores linearmente independentes. Mostre que
( ) ( ) ( ), e 2u v u v u v w− + + − são linearmente independentes.
14. Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique:
a) Seja V um espaço vectorial de dimensão finita igual a n . Qualquer conjunto
de 1n + vectores são linearmente dependentes.
b) Seja V um espaço vectorial de dimensão finita igual a n . Qualquer conjunto
de vectores linearmente independentes tem n ou menos vectores.
c) Se um conjunto de n vectores de um espaço vectorial V é linearmente
independente então nenhum dos vectores é combinação linear dos restantes.
d) Se nenhum elemento de um conjunto de n vectores de um espaço
vectorial V é combinação linear dos restantes, então os n vectores são
linearmente independentes.
e) Se um conjunto de n vectores gera um espaço vectorial V então existe
pelo menos um conjunto de 1n + vectores de V linearmente
independentes.
f) Se um conjunto de n vectores linearmente dependentes de um espaço
vectorial V gera esse espaço, então dimV n< .
Espaços Vectoriais
113
g) Se um conjunto de n vectores linearmente dependentes gera um espaço
vectorial V , então qualquer subconjunto de 1n − vectores gera V .
h) Um conjunto de vectores contendo o vector nulo é linearmente
dependente.
15. Determine quais dos seguintes conjuntos formam uma base do espaço vectorial
Ñ3:
a) {(2,1, 0 ), (0, 1, –2)}
b) {(2, 0, 3), (–2, –2, 0), (1, –1, –1)}
c) {(1, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, –1)}
d) {(0, –1, 4), (–2, –2, 5), (2, 1, –1)}
e) {(1, 0, 0), (–2, 0, 3), (–1, 1, –1), (1, 0, –1)}
16. Seja ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , , , , , 40 11 1 2 1 0 0 0 1 0 1F k k k k k= − ∈� . Discuta a dimensão de F em
função de k .
17. Seja ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , ,2 1 8 0 11 1 1 0B = − − base de Ñ3. Determine as coordenadas do vector
(0, 5, –6) relativamente à base anterior.
18. Seja V o espaço vectorial das quadradas 2 x 2. Mostre que dim 4V = .
19. Determine uma base e a dimensão do subespaço de Ñ3 gerado pelos vectores:
a) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,2 0 0 0 1 1 1 1 0u v w= = − = −
b) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,11 0 2 2 0 0 1 0u v w= − = − =
c) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,111 2 1 0 3 2 1u v w= − = − = −
d) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,1 2 3 2 4 6 1 2 3u v w= = = − − −
20. Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de Ñ3:
a) ( ){ }, , :3 3A x y z x y z= ∈ − =�
Espaços Vectoriais
114
b) ( ){ }, , :3 3 0B x y z x y z= ∈ − + =�
c) ( ){ }, , :3 0 e 2C x y z x y z x y= ∈ − + = =�
21. Determine a característica das seguintes matrizes:
a)
1 1 2
1 0 1
2 2 0
−
c)
1 0 2
3 2 2
2 2 0
b)
1 1
2 1
1 3
−
d)
4 1
8 2
4 1
− − − −
e)
1
2
3
2
−
Espaços Vectoriais
115
Espaços Vectoriais
116
Determinantes
117
4 Determinantes
A qualquer matriz quadrada está associado um elemento de ¼, chamado
determinante, usualmente representado por
( )det ou AA .
Este elemento surge através do estudo e investigação de sistemas de equações
lineares.
Antes de definir determinante, necessitamos da noção de permutação.
4.1 Permutações
Definição
Uma aplicação biunívoca s do conjunto { }, , ,1 2nS n= … sobre si mesma é chamada uma
permutação. Denotamos a permutação s por
( )1 21 2
1 2 ou onde n i
n
nj j j j i
j j jσ σ σ
= = =
……
…
Exemplo D1
Em 3S existem 3!=6 permutações em: 123; 132; 213; 231; 312; 321.
Definição
Consideremos uma permutação par (ou impar) caso exista um número par (ou impar)
de pares ( ),i k para os quais i k> , mas i antecede k em s.
Determinantes
118
Exemplo D2
Consideremos a permutação s= 35142 em 5S . 3 e 5 antecedem e são maiores que 1;
portanto (3, 1) e (5, 1) satisfazem a condição anterior, tal como (3, 2), (5, 2) , (4, 2), (5, 4).
Existem portanto exactamente 6 pares, logo s é uma permutação par.
Definição
Definimos o sinal ou paridade de s, denota-se por sgn s, por
sgn s = 1 se σ par
-1 se σ ímpar
Exemplo D3
No exemplo anterior, dado que a permutação é par, então o sgn s =1.
4.2 Determinantes. Definição e Propriedades
4.2.1 Definição
Seja ( )ijA a= uma matriz quadrada de ordem n sobre um corpo ¼.
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a aA
a a a
=
…
…
� � �
…
Consideremos um produto de n elementos de A tal que um e somente um, elemento
provém de cada linha e um, e somente um , elemento provém de cada coluna.
Tal produto pode ser escrito na forma ..... .1 21 2 nj j nja a a
Isto é, onde os factores proveêm de linhas sucessivas; logo os primeiros índices estão na
ordem natural 1, 2,..., n . Agora, como os factores proveêm de colunas diferentes, a
sequência dos segundos índices forma uma permutação 1 2 nj j jσ = … em nS .
Reciprocamente cada permutação em nS , determina um produto da forma acima.
Assim, podemos formar !n desses produtos, a partir da matriz A .
Determinantes
119
Definição
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n , ( )ijA a= , denotado por
( )det ou AA , é a seguinte soma efectuada sobre todas as permutações 1 2 nj j jσ = …
em nS :
( ) ... .1 21 2sgn
nj j njA a a aσ
σ= ∑
Isto é
( ) ( ) ( )( ) ... .1 1 2 2sgnn
n n
S
A a a aσ σ σσ
σ∈
= ∑
Diz-se que o determinante da matriz quadrada de ordem n , é de ordem n e é
frequentemente representado por
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a aA
a a a
=
…
…
� � �
…
4.2.2 Determinantes de 2ª ordem
Em 2S , a permutação 12 é par a permutação 21 é ímpar. Portanto
. .11 12
11 22 12 2121 22
a aA a a a a
a a= = −
Assim,
( ) ( )( )4 5
4 2 5 1 131 2
−= − − − − = −
− −
Determinantes
120
4.2.3 Determinantes de 3ª ordem
Em 3S , as permutações 123, 231 e 312 são pares e as permutações 321, 213 e 132 são
ímpares. Portanto,
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32
31 32 33
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
= + + − − −
Podemos escrever a expressão anterior da seguinte forma:
Que é o mesmo que
(I) 22 23 21 23 21 2211 12 13
32 33 31 33 31 32
a a a a a aa a a
a a a a a a− + .
Podemos recorrer a matrizes de ordem inferior para calcular o determinante.
Para além disso esta fórmula é facilmente memorizada visto que se obtém suprimindo à
matriz A a primeira linha e respectivamente, as primeiras, segundas e terceiras colunas.
O determinante de ordem 2 que se obtém suprimindo a primeira linha e a j -ésima
coluna deve ser multiplicado pelo elemento que ocupa a entrada ( ),1 j (i.e. o elemento
1ja ); os produtos obtidos devem ser considerados com sinais alternados e, finalmente
adicionados.
( ) ( ) ( )11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31a a a a a a a a a a a a a a a− − − + −
Determinantes
121
•••
•••
•••
•••
•••
•••
� Regra de Sarrus
Esta regra dá-nos um modo para determinar as parcelas e os respectivos sinais. Só é
válida para determinantes de ordem 3.
Esta regra diz-nos que as parcelas positivas são o produto dos elementos da diagonal
principal, e também, os produtos dos elementos situados nos vértices de triângulos de
bases paralelas a essa diagonal; por outro lado, as parcelas negativas são o produto
dos elementos da outra diagonal, e também, os produtos dos elementos situados nos
vértices de triângulos de bases paralelas a essa diagonal. Esta regra pode ser ilustrada
pelos diagramas seguintes:
Parcelas com sinal + Parcelas com sinal –
Exemplo D4
Considere-se ( )3
1 0 3
2 1 5
0 2 1
A M
= − ∈ −
� .
Então pela regra de Sarrus, temos
A =1µ(–1)µ1+2µ(–2)µ3+0µ5µ0–0µ(–1)µ3–(–2)µ5µ1–2µ0µ1=–3
4.2.4 Outra definição de Determinante
A formula (I) sugere-nos a ideia de definirmos indutivamente o conceito de
determinante de uma matriz quadrada sobre um corpo ¼. Para efeito, começamos por
Determinantes
122
introduzir a notação seguinte. Seja ( )ij nA a M = ∈ ¼ . Denotaremos por ( )A i j a matriz
que se obtém de A suprimindo a i -ésima linha e a j -ésima coluna.
Definição
Define-se o determinante de uma matriz ijA a = de ordem 1n + , como:
( ) | ( | ) | | ( | ) | | ( | ) | ( ) | ( | ) |1
1 21 11 12 1 1
1
1 1 1 1 1 2 1 1 1n
j nj n
j
A a A j a A a A a A n+
+ ++
=
= − = − + + − +∑ �
4.2.5 Propriedades de Determinantes
Teorema D1
O determinante de uma matriz A e da sua transposta TA são iguais: TA A= .
Demonstração
Suponhamos que ( )ijA a= . Então ( )TijA b= , onde ij jib a= . Portanto,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ...
( ) ...
1 1 2 2
1 1 2 2
sgn
sgnn
n
Tn n
S
n n
S
A b b b
a a a
σ σ σσ
σ σ σσ
σ
σ
∈
∈
=
=
∑
∑
Seja t=s –1, que é a permutação que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ...1 1 2 2 1 1 2 2n n n na a a a a aσ σ σ τ τ τ= , t ∈ nS .
= ( ) ( ) ( )( ) ...1 1 2 2sgnn
n n
S
a a aτ τ ττ
τ∈∑
= |A| �
Determinantes
123
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ....( )...
( ) .... ...
| |
1 1 2 2
1 1 2 2
sgn
sgn
n
i
n
i j n n
S
i j n n
S
B a a ka a
k a a a a
k A
σ σ σ σσ
σ σ σ σσ
σ
σ
∈
∈
=
=
=
∑
∑
Teorema D2
Seja B a matriz obtida da matriz A por:
1) Multiplicação de uma linha (coluna ) por um escalar k ; então B k A= .
2) Troca entre si de duas linhas (respectivamente, colunas) de A ; então B A= − .
Demonstração
1) Se a i -ésima linha é multiplicada por k , então cada termo em A é multiplicado
por k ; então
ou seja, B k A= .
2) Vamos provar o teorema para o caso em que duas colunas são trocadas. Seja τ a
transposição que troca entre si dois números correspondentes às duas colunas de
A , que são trocadas entre si.
Se ( ) ( ) e ij ijA a B b= = , então ( )ij i jb a τ= . Portanto, para qualquer permutação σ.
Assim
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ... ( ) ...1 1 1 1 2 2sgn sgnn n
n n n n
S S
B b b a a aσ σ τσ τσ τσσ σ
σ σ∈ ∈
= =∑ ∑
Como τ é impar, sgn τσ = sgn τ. sgn σ, assim sgn σ = –sgn τσ, então
( ) ( ) ( )( ) ...1 1 2 2sgnn
n n
S
B a a aτσ τσ τσσ
τσ∈
= −∑
Dado que, σ percorre todos os elementos de nS , então τσ também percorre todos os
elementos de nS , portanto B A= − . �
Determinantes
124
Teorema D3
Seja A uma matriz quadrada.
1) Se A tem uma linha (coluna ) de zeros então 0A = .
2) Se A tem duas linhas (colunas) idênticas, então 0A = .
3) Se A é triangular superior ou triangular inferior, então A = produto dos elementos da
diagonal principal. Assim em particular I =1, onde I é a matriz identidade.
Demonstração 1) Cada parcela em A contém um factor de cada linha; então contém um elemento
da linha de zeros. Assim, cada parcela de A é zero, logo 0A = .
2) Se trocarmos entre si duas linhas idênticas de A , ainda obtemos a matriz A . Logo,
pelo teorema D2, A A= − , então 0A = .
3) Suponhamos que ( )ijA a= é triangular inferior, isto é, os elementos acima da
diagonal principal são zeros, ou seja 0ija = , sempre que i j< . Consideremos um
termo t do determinante de A :
( ) ... , ...1 21 2 1 2sgn onde
ni i ni nt a a a i i iσ σ= = .
Suponhamos 1 1i ≠ . Então, 11 i< logo, 11 0ii = ; portanto, 0t = . Isto é, cada termo para o
qual 1 1i ≠ é zero.
Agora , suponhamos 1 1i = , mas 2 2i ≠ . Então, 22 i< ; logo 22 0ia = ; portanto 0t = . Assim,
cada termo para o qual 1 1i ≠ ou 2 2i ≠ é zero.
Analogamente, obtemos cada termo para o qual 1 1i ≠ ou 2 2i ≠ ou.... ou ni n≠ é zero.
De acordo com isso, 11 22 nnA a a a= … . Ou seja o produto dos elementos da diagonal. �
Determinantes
125
Teorema D4
Seja B a matriz obtida da matriz A por substituição de uma linha (coluna) de A pela
soma dessa linha (coluna) multiplicada por um escalar; então B A= .
Demonstração Suponhamos que c vezes a k -ésima linha é somada à j -ésima linha de A . Usando o
símbolo para denotar a j -ésima posição num termo do determinante, temos:
( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
sgn
sgn sgn
k j n
n
k n j n
n n
i i ki ji ni
S
i i ki ni i i ji ni
S S
B a a ca a a
c a a a a a a a a
σ
σ σ
σ
σ σ
∈
∈ ∈
= +
= +
∑
∑ ∑
… …
… … … …
A primeira soma é o determinante de uma matriz, cujas k -ésimas e j -ésimas linhas são
idênticas; então pelo teorema D3 , a soma é zero. A segunda soma é o determinante
de A . Assim,
.0B c A A= + = �
Corolário D5
Seja A qualquer matriz quadrada n n× . Então são equivalentes as seguintes afirmações:
1) A é invertível
2) ( )c A n=
3) 0A ≠
Teorema D6
O determinante de um produto de duas matrizes A e B é igual ao produto seus
determinantes: .AB A B= .
Determinantes
126
Corolário D7
Seja ( ) ( )ij nA a M= ∈ � . Então ,nA Aα α α= ∀ ∈� .
Corolário D8
Se A é invertível então 1 1A
A
− = .
4.2.6 Regra de Laplace
Teorema D9 (Regra de Laplace)
Seja ( ) ( )ij nA a M= ∈ ¼ . Então
I. ( ) | ( | ) |1
1n
i jij
j
A a A i j+
=
= −∑ (desenvolvimento segundo a i -ésima linha)
II. ( ) | ( | ) |1
1n
i jij
i
A a A i j+
=
= −∑ (desenvolvimento segundo a j -ésima coluna)
Demonstração
1) Trocando sucessivamente as linhas 1 2 1i il l l l−↔ ↔ ↔ ↔… (num total de 1i −
permutações) obtemos a matriz
1 2
11 12 1
11 12 1
11 12 1
1 2
i i in
n
i i i i n
i i i n
n n nn
a a a
a a a
A a a a
a a a
a a a
− − −
+ + +
=
�
�
� � �
�
�
� � �
�
Pelo teorema D2(2), temos que ( ) 11
i
iA A−
= − . Assim, obtemos
( ) ( ) ( ) | ( | ) | ( ) | ( | ) |1 1 1
1 1
1 1 1 1 1n n
i i j i ji ij i ij
j j
A A a A j a A i j− − + +
= =
= − = − − = −∑ ∑
Determinantes
127
Uma vez que ( ) ( )1iA j A i j= isto estabelece a igualdade 1).
Para 2), consideramos a matriz TA . Por i), temos
( ) | ( | ) | ( ) | ( | ) |1 1
1 1n n
T i j i jij ij
j j
A b B i j a A j i+ +
= =
= − = −∑ ∑ ,
uma vez que ( ) ( ) e Tij jib a A i j A j ì= = . Dado que T
A A= , então
( ) | ( | ) |1
1n
i jij
i
A a A i j+
=
= −∑ . �
Exemplo D5
Neste exemplo, aplicamos a regra de Laplace para o cálculo do seguinte
determinante:
( ) ( )
.
2 3 1 1
2 0 1 0 02 0 0 0
4 3 10 0 3 0 01 4 3 1
1 3 3 1 2 2 1 51 4 0 3 11 2 1 5
3 3 31 2 1 1 52 3 3 3
2 3 5 3 3
4 3 1
6 3 2 1 5 18(4+2+15+1-20+6)= -144
1 1 1
+ +−
−= − = − −−
−−−
−−
−
= − =
−
Determinantes
128
4.3 Matriz Adjunta
Definições
a) ( )A i j chamamos o ( ),i j - ésimo menor de A
� ( ) ( )1i j
A i j+
− chamamos o ( ),i j - ésimo cofactor de A . Denota-se por ij
A .
Nesta notação, a regra de Laplace toma a forma :
1 2 1 21 2 1 2i i in j j nji i in j j njA a A a A a A a A a A a A= + + + = + + +… …
Observemos os sinais ( )1i j+
− , que acompanham os menores, são alternadamente ”+” e
“–“ que se dispõem na forma que se segue, com os “+” na diagonal principal
����
�
�
…
�
+−+−
−+−+
+−+−
−+−+
Definição
Chamamos matriz adjunta de A , denota-se por *A à seguinte matriz
*
T
n
n nn
A A
A
A A
=
�
� �
�
11 1
1
Esta matriz dá- nos a seguinte relação entre a matriz inversa e a própria matriz:
* nAA A I=
Determinantes
129
Teorema D10
Seja ( )nA M∈ ¼ . Então A é invertível sse 0A ≠ . Se é este o caso, temos
*1 1
A AA
− = .
Este resultado é muito útil principalmente para matrizes dois por dois.
Exemplo D6
Vamos calcular a inversa da seguinte matriz . 3 4
5 1A
=
.
3 20 17A = − = −
; ; ;11 12 21 22
1 5 4 3A A A A= = − = − =
Então *1 5
4 3
T
A−
= − , e a inversa é então 1 1 41
5 317A
− − = − −
.
4.4 Sistema de Cramer
A teoria dos determinantes pode ser aplicada à resolução de um certo tipo de sistemas
de equações lineares.
Com efeito, seja S um sistema de equações lineares representado matricialmente por
Ax B= , onde ( )nA M∈ ¼ e ( )1nB M ×∈ ¼ ( S tem o mesmo número de incógnitas e de
equações). Se 0A ≠ , então ( )c A n= e , portanto, S é possível e determinado, isto é
tem solução única. Um sistema nestas condições diz-se um SISTEMA DE CRAMER. O
resultado seguinte diz-nos que a única solução de S pode ser expressa em termos de
determinantes. De facto, temos:
Determinantes
130
Teorema D11
Seja S um sistema de Cramer representado matricialmente por Ax B= , onde
( ) ( ) ( ) ( )1 e ij n ij nA a M B b M ×= ∈ = ∈¼ ¼ . Seja (α1, α2, ... , αn) ∈ ¼n a única solução de S .
Então
| |
11 1 1 1 1 1 1
21 2 1 2 2 2 2
1 1
j j n
j j n
n nj n nj n nn
j
a a b a a
a a b a a
a a b a a
Aα
− +
− +
− +=
� �
� �
� � � � �
� �
Demonstração
Como (α1, α2, ... , αn) ∈ ¼n é solução de S , temos
.
1 1
2 2
n n
b
bA
b
α
α
α
=
� �
Agora como A é invertível, podemos multiplicar a igualdade acima, à esquerda e à
direita, pela matriz 1A
− , obtendo
- -* .
| |
1 1 1 1
2 2 2 21 1 1
n n n n
b b
b bA A A A
M M M MA
b b
α α
α α
α α
= = =
Assim temos
(( ) | ( | ) | ( ) | ( | ) | ) ( ) | ( | ) | ),| |
1 21 2
11 1 1 2 1j j n j
j nA j b A j b A n j bA
α + + += − + − + + −�
uma vez que
* ( ) | ( | ) |1 i j
ijA A A i j+ = = −
.
Determinantes
131
Ora pela regra de Laplace (desenvolvendo o determinante em relação à j -ésima
coluna)
( ) | ( | ) | ( ) | ( | ) | ) ( ) | ( | ) |
11 1 1 1 1 1 1
21 2 1 2 2 2 2 1 21 2
1 1
1 1 1 2 1
j j n
j j n j j n jn
n nj n nj n nn
a a b a a
a a b a aA j b A j b A n j b
a a b a a
− +
− + + + +
− +
= − + − + + −
� �
� ��
� � � � �
� �
Logo os αj têm a forma desejada. �
Exemplo D7
Seja S o sistema de três equações lineares a três incógnitas sobre Ñ
2 3 1
2 2
3
x y z
x y z
y z
+ − =
+ + = − + = −
Matricialmente, S é representado pelo sistema Ax B= , onde
( )3
2 3 1
1 1 2
0 1 1
A M
− = ∈ −
� e ( )3 1
1
2
3
B M ×
= ∈ −
� .
Como A =2+1+0–0+4–3= 4 ≠0, S é sistema de Cramer e a sua única solução (α1, α2, α3)
∈ Ñ3 é dada por
Determinantes
132
| |1
1 3 1
2 1 2
3 1 1
Aα
−
− −= ,
| |2
2 1 1
1 2 2
0 3 1
Aα
−
−= ,
| |3
2 3 1
1 1 2
0 1 3
Aα
− −=
Logo,
α1=1 2 18 3 2 6 11
4 2+ − − + −
= − , α2 =2
9
4
1120034=
−+−++, α3=
2
3
4
940016=
++−+−−.
Determinantes
133
Exercícios – Determinantes
1. Calcule os determinantes das seguintes matrizes:
a) u v
w x
, b) 1000
1 2 10
2 4 100
3 6π
, c)
0 7 6
5 8 5
1 1 0
,
d)
3 1 0 0
1 3 1 0
0 1 3 1
0 0 1 3
e)
1 3 2 1
0 1 1 0
2 3 1 2
1 0 1 3
− − −
−
f)
0 1 3 1
1 0 2 1
1 1 2 1
8 0 3 1
− − −
2. Supondo que 2 1 0 1
1 2 1
a b c
= , calcule os determinantes seguintes:
, ,
1 12 2
1 1 1
3 3 1 2 2 2 1 2 2 1 0
1 1 2 1 2 1 2 2 2 1
a b c a b c
a b c
a b c a b c− −
− −
+ +
− − − − − − −
3. Utilizando as propriedades dos determinantes mostre que :
4. Resolva as seguintes equações em Ñ:
( )3
2
2 2
2
a b c a b
c a b c b a b c
c a a b c
+ +
+ + = + +
+ +
, ,
1 2 13 1 1
0 1 1 3 15 3 1 0 0 0
1 2 1 16 6 4
0 0 0 1
a a a a a aa
a a a aa
a a a a a aa
a a a a a
++ −
+− = = =
+− +
+
Determinantes
134
5. Seja ( )nA M∈ � . Prove que :
a) Se A é ortogonal então A = 1± .
b) Se A é anti-simétrica , i.e TA A= − e n é ímpar então 0A = .
c) Se ( )nB M∈ � é semelhante a A i.e. existe ( )nP M∈ � tal que 1B P AP−= , então
B A= .
6. Considere a matriz ( )3
2 2 1
0 3 0
1 1 1
A M
− = ∈ −
� .
a) Calcule A . Os vectores ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,1 2 32 0 1 2 3 1 1 0 1v v v= − = − = constituem uma
base de Ñ3?
b) Determine a matriz adjunta de A , i.e. *A .
c) Determine 1A− .
7. Prove que os seguintes sistemas de coeficientes reais são sistemas de Cramer e
determine , usando a regra de Cramer, as suas ( únicas ) soluções.
x z tx y z
x y zx y z
y z tx y z
x y t
+ − = −+ − = + + = − − + = −
− − = − − + = + − = −
2 12 3 1
22 3 5 2 e
2 3 33 0
3 2 4
8. Seja S um sistema não homogéneo com 1n + equações lineares e n incógnitas e
seja 'A a sua matriz ampliada.
a) Prove que se S é possível então ' 0A = .
b) Diga, justificando, se o recíproco da alínea a) é verdadeiro .
Determinantes
135
Determinantes
136
Aplicações Lineares
137
5 Aplicações Lineares
5.1 Definição e Conceitos Básicos
Definição
Sejam V e W dois espaços vectoriais sobre o mesmo corpo ¼. Uma aplicação
→V Wf: é chamada de aplicação linear ou homomorfismo de V em W se são satisfeitas
as duas condições seguintes:
1) f ( x + y ) = f(x) +f(y), ∀ x, y ∈ V
2) f ( αx ) = α f (x), ∀ α ∈ ¼, ∀ x ∈V
ou , equivalente, se satisfaz a seguinte condição:
f( αx + βy ) = α f (x) + β f (y) , ∀ α, β ∈ ¼ e ∀ x, y ∈ V.
Homomorfismos :
• Monomorfismo é um homomorfismo injectivo de V em W.
• Epimorfismo é um homomorfismo sobrejectivo de V em W.
• Isomorfismo é um homomorfismo bijectivo de V em W.
• Endomorfismo é um de V homomorfismo de V em V.
• Automorfismo é um de V homomorfismo bijectivo de V em V.
O espaço vectorial Hom( V, W):
Sejam f : V→W e g : V→W aplicações lineares de espaços vectoriais sobre um corpo ¼.
Para qualquer v ∈V e α ∈ ¼, definimos:
α α
+ = +
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f g v f v g v
f v f v
Aplicações Lineares
138
� Note-se que f + g e αf também são lineares, donde o conjunto de todas as
aplicações lineares de V em W, formarem um espaço vectorial sobre ¼. Este espaço
denota-se por Hom( V, W).
Teorema AL1
Seja f : V→W, uma aplicação linear. Então
1) f(–x) = –f(x)
2) f(x–y)= f(x)–f(y)
3) f(0V)= 0W
4) Se V’ subespaço vectorial de V, então f(V’) é subespaço vectorial de W
5) Se W’ subespaço vectorial de W então f –1(W’) subespaço de V.
Onde f–1(W’)={ x ∈ V: f(x) ∈ W’}.
Demonstração
1) f(–x)= f((–1).x)= (–1)f(x)= –f (x)
2) f(x–y)= f(x +(–y))= f(x)+f (–y)= f(x)+(–f(y))=f(x)–f(y)
3) f(0V)= f(x–x)= f(x)–f(x)=0w.
4) Por hipótese sabemos que V’ subespaço de V e f : V→W, uma aplicação linear.
Vejamos então que f(V’) subespaço de W.
1) Como 0V ∈ V’ temos que f(0V)= 0W logo 0W ∈ f(V’).
2) Sejam v’ e u’ ∈ f (V’) e vejamos que v’+u’ ∈ f (V’).
∃ w1 e w2 ∈ V’, tais que f(w1)=v’ e f(w2)=u’ então
v’+ u’= f(w1) + f(w2) = f(w1 + w2) ∈ f (V’)
∈ V’.
3) Sejam, α ∈ ¼, v’∈ f(V’) e vejamos que α v’ ∈ f (V’).
∃ w1 ∈ V’, tal que f(w1)=v’ então
αv’ =α f(w1) = f(αw1) ∈ f (V’)
∈ V’.
Aplicações Lineares
139
5) Por hipótese temos que W’ subespaço vectorial de W e vamos provar que f –1(W’)
subespaço de V, com f –1(W’)={ x ∈ V: f(x) ∈ W’}.
1) 0W ∈ W’ e 0W =f(0V) fl 0V ∈ f–1(W’)
2) Sejam x e y ∈ f–1(W’) queremos provar que x + y ∈ f–1(W’)
Sabemos que f(x) e f(y) ∈ W’ f–1(W’) e que f (x +y) = f(x) +f(y) , como:
f(x)+ f(y)∈ W’ então f(x + y)∈ W’fl x+y ∈ f–1(W’)
3) ?∀ α ∈ ¼, ∀ x ∈ f–1(W’) queremos provar que αx∈ f–1(W’)
Como f(αx)=αf(x) ∈ W’ então αx ∈ f–1(W’).
�
5.2 Núcleo e Imagem de uma Aplicação Linear
Definição
Seja f : V→W uma aplicação linear.
1) Imagem de f =Im f ={w ∈ W: f(v) = w para algum v ∈ V}= f (V)
2) Núcleo de f = Ker f = {v ∈ V : f(v) = 0W }.
Teorema AL2
Seja f : V→W uma aplicação linear. Então a imagem de f é um subespaço vectorial de
W e o núcleo de f é um subespaço vectorial de V.
Demonstração
Exercício.
�
Observação
Seja f : V→W, uma aplicação linear, f é sobrejectiva sse dim(Im f) =dim W.
Aplicações Lineares
140
Teorema AL3
Sejam v1, v2, ..., vn vectores quaisquer que geram um espaço vectorial V de dimensão
finita. Seja f:V→W uma aplicação linear onde W também é de dimensão finita. Então
f(v1),f(v2),...f(vn) geram Im f. Im f =< f(v1), f(v2), ...f(vn)>.
Demonstração
Seja y um qualquer elemento de Im f vamos provar y se pode escrever como
combinação linear de f(v1), f(v2), ...f(vn).
Se y ∈ Im f, então ∃ u ∈ V, tal que y = f(u)= f( α1v1 + α2v2 + ....+ αnvn ) já que v1, ..., vn
são vectores que geram um espaço vectorial V.
Logo
f(u) = α1f(v1)+ α2f(v2 )+ ....+ αnf(vn ),
ou seja y é combinação linear de f(v1), f(v2), ...f(vn).
�
Teorema AL4
Uma aplicação linear f : V→W é injectiva se e só se Ker f = 0v .
Demonstração
(ï)
É imediato que se f injectiva então o único elemento x tal que f(x)=0W, só poderá ser
x= 0V. Logo Ker f = 0v
(ì)
Supondo que Ker f = 0v queremos provar que f injectiva.
Sejam x, y ∈ V tais que
f(x) =f(y)
f(x)–f(y)= 0W
f(x–y) =0W
ou seja x–y ∈ Ker f = 0V
Logo x–y = 0 ï x = y.
�
Aplicações Lineares
141
Teorema AL5
Uma aplicação linear f : V→W é injectiva se e só se a imagem de qualquer conjunto
linearmente independente é linearmente independente.
Demonstração
(ï)
Hipótese: f injectiva e { v1, v2, ..., vn } é um sistema de vectores linearmente
independente em V
Tese: {f(v1), f(v2), ...f(vn)} são linearmente independentes em W.
Seja 0W= α1f(v1)+ α2f(v2 )+ ....+ αnf(vn), combinação linear do vecto nulo, então
como
α1f(v1)+ α2f(v2 )+ ....+ αnf(vn)=f(α1v1)+ f(α2v2 )+ ....+ f(αn vn )= f(α1v1+α2v2 +...+ αn vn )= 0W
como a aplicação linear é injectiva então
α1v1+α2v2 +...+ αn vn = 0V.
Como { v1, v2, ..., vn } é um sistema de vectores linearmente independente logo para
qualquer i temos αi= 0.
(ì)
Hipótese : Se { v1, v2, ..., vn } é um sistema de vectores linearmente independente em
V, então o sistema de vectores {f(v1), f(v2), ...f(vn)} também é linearmente
independente em W.
Tese: f é uma função injectiva
Queremos provar quer Ker f = { 0V }, tomando u ∈V , tal que f(u)=0W,
Se u≠0V, o vector u seria independente, e então, por hipótese, a sua imagem seria
ainda independente, o que é falso, visto que f(u)=0W. Logo u=0V, o que mostra que f
injectiva.
�
Aplicações Lineares
142
Observação
Seja { v1, v2. ..., vn} uma base de V, então f é injectiva sse {f(v1), f(v2), ..., f(vn)} é uma base
de Im f.
Teorema AL6
Sejam V e W dois espaços vectoriais sobre o mesmo corpo ¼, de dimensão finita. Seja
B={ v1, v2. ..., vn} uma base de V e w1, w2, ... , wn vectores quaisquer em W. Então existe
uma e só uma aplicação linear f : V→W tal que f(v1) = w1, f(v2) = w2, ... , f(vn)=wn.
Demonstração
Se u ∈ V então u = α1v1 + α2v2 + ....+ αnvn, para cada elemento diferente existe
escalares diferentes
Vamos considerar a seguinte aplicação f de V em W .Que a cada u faz
corresponder
f(u)= αααα1w1 + αααα2w2 + ....+ ααααnwn
1) Vamos provar que esta a aplicação assim definida é linear.
Dados u, v ∈ V, então u=α1v1 + α2v2 + ....+ αnvn, e v=b1v1 + b2v2 + ....+bnvn
Então
au+bv= a[α1v1 + ....+ αnvn]+b[b1v1+...+bnvn]=aα1v1+....+ aαnvn+bb1v1 +...+bbnvn=
(aα1+b b1)v1+....+(aαn+b bn)vn
Logo
af(u)+bf(v)=a[α1w1+...+ αnwn]+b[b1w1 +...+ bnwn]=
(aα1+b b1)w1 + ....+ (aαn+b bn)wn= f(au+bv)
2) f(vi)= wi, porque vi =0v1+...+1vi+...+0vn.
3) Falta então ver que esta aplicação é única.
Seja então g uma outra aplicação linear de V em W tal que g(vi)= wi.
Seja u um elemento arbitrário de V.
Então
g(u) = g(α1v1 + α2v2 + ....+ αnvn) = α1g(v1 )+ α2g(v2 )+ ....+ αng(vn)
= α1w1 + α2w2 + ....+ αnwn = f(u), logo ∀ u ∈ V f(u)= g(u) e f ª g.
�
g(vi)= wi
Aplicações Lineares
143
Teorema AL7
Sejam V e W dois espaços vectoriais sobre o mesmo corpo ¼. seja V um espaço
vectorial de dimensão finita e f : V→W uma aplicação linear.
Então dim V = dim(Ker f ) + Dim (Im f ).
Demonstração
Seja {u1, u2, ...uk}uma base do Ker f, (se o núcleo for zero, tomaremos um conjunto
vazio).
Pelo teorema Steinitz é possível construir uma base de V que inclua estes vectores
seja B={u1, u2, ...uk, v1, v2, ...vn–k} a base.
De acordo com que já vimos sabemos que:
Im f =< f(u1), f(u2), ...f(uk), f(v1), f(v2), ...f(vn–k) > = < 0V, 0V, ..., 0V, f(v1), f(v2), ...f(vn–k) >
=< f(v1), f(v2), ...f(vn–k)>
Falta ver que que os vectores{ f(v1), f(v2), ...f(vn–k)} são linearmente independentes.
Seja uma combinação linear do vector nulo
0W= α1f(v1)+ α2f(v2 )+ ....+ αn–kf(vn–k )
Como α1f(v1)+ α2f(v2 )+ ....+ αn–kf(vn–k )= f(α1v1+α2v2 +...+ αn–kvn–k ) = 0W
temos que
α1v1+α2v2 +...+ αn–kvn–k ∈ Ker f.
Mas por construção, os vectores v1, v2, ...vn–k geram um espaço complementar ao
núcleo de f, pelo que α1v1+α2v2 +...+ αn–kvn–k= 0V. Como os vectores v1, v2 ...,vn–k são
linearmente independentes, vêm que os αi=0, ∀ i.
Assim dim(Im f) = n – k = dim V – dim(Ker f) .
�
Aplicações Lineares
144
5.3 Matriz de uma Aplicação Linear
Sejam V e W espaços vectoriais de dimensão finita sobre um mesmo corpo ¼, sendo
dim V = n e dim W = m. Consideremos ainda S ={ u1, u2, ..., un} uma base do espaço
vectorial V e B = {w1, w2, ..., wn} uma base do espaço vectorial W.
Como os vectores f(u1), f(u2), ..., f(un) pertencem a W, cada um deles é combinação
linear dos vectores da base B de W, ou seja
f(u1) = a11w1 + a21w2 + ... + am1wm
f(u2) = a12w1 + a22w2 + ... +am2wm
....................................................
f(un) = a1nw1 + a2nw2+ ... +amn wm
A transposta da matriz dos coeficientes acima, denota-se por [ ]B
Sf , e é chamada de
matriz do operador linear f em relação às bases S e B:
Seja v ∈ V, v= α1u1 + α2u2 + ... + αnum. Então escreveremos o vector das coordenadas de
v em relação à base S como um vector coluna:
[v]S =
α
αα α α
α
= =
…
1
21 2
n
( , , , )...
TnS
V
=
11 12 1
21 22 2B
S
1 2
...
...f
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
Aplicações Lineares
145
Teorema AL8
Sejam V e W espaços vectoriais de dimensão finita sobre um mesmo corpo ¼, sendo
dim V = n e dim W = m. Consideremos ainda S ={ u1, u2, ..., un} uma base do espaço
vectorial V e B = {w1, w2, ..., wn} uma base do espaço vectorial W. Então
[ ] [ ] [ ]SB
SB vff(v) =
Demonstração
Vejamos em primeiro lugar que:
[ ] [ ]
α
α
α
=
α
α
α
∑
∑
∑
=
=
=
=
n
1j
jnj
n
1j
jj2
n
1j
jj1
n
2
1
mn2m1m
n22221
n11211
S
B
S
a
a
a
...
a...aa
............
a...aa
a...aa
vf
�
Por outro lado
f(v)= α1f(u1)+ α2f(u2) + ... + αnf(um) =
α α α α α α α= = = = = = = = = = =
+ + + = = = =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑1 1 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
....m m m n m m n m n m n
i i i i n in i j ij i j ij i j ij i ij j ii i i j i i j i j i j
a w a w a w a w a w a w a w
�
Observação
Se f é uma aplicação linear, entre dois espaços vectoriais e B a matriz que representa a
aplicação em relação a duas bases fixas, então a dim(Im f) = c(B).
Teorema AL9
Sejam V e W espaços vectoriais de dimensão finita sobre o mesmo corpo ¼, sendo dim
V= n e dim W = m. Fixada uma base para V e uma para W, a aplicação f → [f], é um
isomorfismo entre o espaço Hom (V, W) e o espaço das matrizes de m x n com entradas
em ¼.
Aplicações Lineares
146
Ficam assim identificadas matrizes com aplicações lineares.
Observação
Considere o sistema de m equações lineares em n incógnitas Ax = b.
A matriz A pode ser encarada como uma matriz de uma aplicação linear f : ¼n → ¼m .
Assim, a solução da equação Ax = b pode ser vista com sendo a pré – imagem de b por
f. E Ax = 0, pode ser vista como o núcleo da aplicação linear f.
Teorema AL10
A dimensão do espaço solução do sistema linear homogéneo de m equações em n
incógnitas Ax = 0 é n – c(A) .
Demonstração
dim V = dim (Ker A) + dim (Im A) ⇒ dim(Ker A) = n – dim (Im A).
�
5.4 Composição de Aplicações Lineares
Teorema AL11
Sejam V, W e U espaços vectoriais sobre o mesmo corpo ¼ e f: V→W e g: W→U
aplicações lineares. Então a função composta g o f : V→U é uma aplicação linear.
Demonstração
Exercício.
�
Teorema 4.12
Sejam V, W e U espaços vectoriais sobre o mesmo corpo ¼. Sejam f1 e f2 aplicações
lineares de V de V em W e g1 e g2 aplicações lineares de W em U. seja α ∈ ¼.
Então
1) g1 o (f1 + f2 ) = g1 o f1 + g1 o f2
2) (g1 + g2 ) o f1 = g1 o f1 + g2 o f1
3) a( g1 o f1 ) = (αg1) o f1 = g1 o (αf1)
Aplicações Lineares
147
Demonstração
Exercício
�
5.5 Aplicações Lineares Invertíveis
Definição
Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo ¼. sejam f: V→W e g: W→V
aplicações lineares satisfazendo g o f = 1V e f o g = 1W. Então dizemos que g é a inversa
de f. Diz-se que f é invertível e denota-se a inversa por f –1.
Nota
a) (f –1)–1= f
b) (g o f) –1 = f –1 o g–1.
Observação
� Seja f: V→W uma aplicação linear invertível , então a dim V= dim W.
� Considere-se f uma aplicação linear invertível. Seja [ ]B
Sf a matriz que representa f, B
e S são bases fixas de V e W respectivamente. Então [ ]B
Sf é uma matriz quadrada,
invertível.
Aplicações Lineares
148
Aplicações Lineares
149
Exercícios - Aplicações Lineares
1. Diga quais das seguintes aplicações são lineares e justifique:
a) f: Ñ3 → Ñ2
(x, y, z) → (2y, x + z)
b) p: Ñ2 → Ñ2 (x, y) → (2x+1, x +3y)
c) g: Ñ3 → Ñ3
(x, y, z) → (y, x2, –y + z) d) n: Ñ3 → Ñ3
(x, y, z) → (y – x, xz, –y + z)
e) m: Ñ3 → Ñ2
(x, y, z) → (0, x – z)
f) h: Ñ3 → Ñ3 (x, y, z) → (2, 0, –5y + 3z)
g) o: Ñ3 → Ñ3
(x, y, z) → (x +z, 2x – y + z, x + y + 2)
2. Considere as aplicações lineares de 1. Determine o núcleo e a imagem de cada
uma delas.
3. Considere a seguinte aplicação linear:
f: Ñ2 → Ñ2 (1, 0) → (1, 3)
(1, 1) → (2, –1)
a) Determine f (0, 1)
b) Determine a matriz de f em relação à base canónica de Ñ2.
c) Estude a injectividade de f.
d) Estude a sobrejectividade de f.
e) Represente f por uma expressão analítica .
4. Sejam V e W dois espaços vectoriais sobre o mesmo corpo ¼. seja f: V → W uma aplicação linear de V em W. Mostre que:
a) Se 0V e 0W são respectivamente, o vector nulo de V e o vector nulo de W, então
f(0V)=0W .
b) ∀ u ∈ V, f (–u) = –f (u).
c) Demonstre o teorema AL2
5. Sejam u, v, w três vectores constituindo uma base de Ñ3.
Aplicações Lineares
150
a) Será que o conjunto S={u +v, 2u, 4v–w }constitui uma base de Ñ3? Justifique. b) Considere a seguinte matriz b, que representa uma aplicação linear f em
relação às bases b={u, v, w} e canónica de Ñ3:
c
bB =
−−
−
−
404
033
121
Qual a matriz de f em relação às bases S e canónica de Ñ3?
6. Determine uma expressão analitica para as seguintes aplicações lineares:
a) f: Ñ2 → Ñ2
(1, 0 ) → (1, –3)
(0, 1) → (1, 1)
b) g: Ñ2 → Ñ3
(1, 0) → (2, 1, –1)
(0, 1) → ( 2 ,3 ,–2 )
c) h: Ñ2 → Ñ3 (1, 1) → (2, 1, –1)
(2, –1) → (0, 3, –2)
d) p: Ñ3 → Ñ3
(1, 0, 0) → (–3, 1, –1)
(0, 1, 0) → (0, 3, –2)
(0, 0, 1) → (1, 1, –1)
7. Construa uma aplicação linear f: Ñ3 → Ñ3 tal que :
a) a imagem por f é gerada por o conjunto {(1, 2, 0), (0, 1, 1)}.
b) a imagem por f é o conjunto {(x, y, z}∈ Ñ3 : x – y + 2z = 0}.
c) f seja injectiva.
d) f seja não injectiva .
8. Considere as seguintes aplicações lineares:
f: Ñ3 → Ñ2
(x, y, z) → (2y, x + z)
g: Ñ3 → Ñ3 (x, y, z) → (y, x, –y + z)
h: Ñ3 → Ñ3 (x, y, z) → (2x +y, x +3y –2z, –5 y + 4z)
a) Determine a dimensão e uma base para Ker f, Ker g, Ker h.
b) Determine a dimensão e uma base para Im f, Im g, Im h.
c) Estude a injectividade e a sobrejectividade de f, g e h.
Aplicações Lineares
151
9. Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas justifique:
a) Existe um aplicação linear g: Ñ3 → Ñ3 injectiva e não sobrejectiva.
b) Existe um aplicação linear g: Ñ2 → Ñ3 sobrejectiva.
c) Existe um aplicação linear g: Ñ3 → Ñ3 não injectiva e sobrejectiva.
d) Existe um aplicação linear g: Ñ3 → Ñ2 injectiva.
e) Existe um aplicação linear g: Ñ3 → Ñ2 bijectiva.
f) Toda a aplicação linear g: IÑ3 → Ñ é sobrejectiva.
g) Toda a aplicação linear g: Ñ → Ñ2 é injectiva.
h) O vector nulo pode não pertencer ao núcleo de uma aplicação linear.
i) O vector nulo pertence sempre à imagem de uma aplicação linear.
j) Se uma aplicação linear g: Ñ3 → Ñ3 é injectiva então é também sobrejectiva.
k) Se uma aplicação linear g: Ñ3 → Ñ3 é sobrejectiva então é também injectiva.
10. Determine a representação matricial das seguintes aplicações lineares:
a) g: Ñ2 → Ñ2 (x, y) →(y, y – x)
i) em relação à base canónica de Ñ2.
ii) em relação às bases {(1, 0), (2, –1)}e canónica de Ñ2.
iii) em relação à base canónica e {(1, 0), (2, –1)}de Ñ2.
b) f: Ñ3 → Ñ2 (x, y, z) →(3y–z, x + y + z)
i) em relação à base canónica de Ñ3 e Ñ2.
ii) em relação às bases {(1, 0,–1), (0, –1, –1), (1, 0, 0 )} de Ñ3 e {(1, –1), (0, –1)} de Ñ2.
11. Considere o endomorfismo f de Ñ2, cuja matriz em relação à base S={(1, –2), (–1, 1)}
é: [ ]
−=
10
21f
S
S
Determine uma expressão analítica para f, (f (x, y)).
Aplicações Lineares
152
12. Considere o endomorfismo f (x, y)=(–x + y, 2x) de Ñ2, cuja matriz em relação às bases S={(1, –2), (–1, 1)} e B é:
[ ]
−=
31
20f
B
S
Determine a base B.
13. Considere o endomorfismo f (x, y)=(–x + y, 2x) de Ñ2, cuja matriz em relação às bases B e S={(1, –2), (–1, 1)} e é:
[ ]
−=
11
21f
S
B
Determine a base B.
14. Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique:
a) Existe uma aplicação linear f: Ñ3 → Ñ3 tal que dim (Ker f) = dim (Im f).
b) Existe uma aplicação linear f: Ñ4 → Ñ3 tal que dim (Ker f) = dim (Im f).
c) Existe um endomorfismo Ñ4 tal que Im f ⊂Ker f.
d) Existe um endomorfismo Ñ3 tal que Im f = { (0, 0, 0 )}.
e) Existe um endomorfismo Ñ3 tal que Im f tem somente um elemento.
f) Existe um endomorfismo Ñ3 tal que Im f = { (1, 1, 1 )}.
g) Existe um endomorfismo Ñ3 tal que dim (Im f) = 0.
15. Seja f: Ñn →Ñm uma aplicação linear e [ ]S
BfA = . Diga se as seguinte afirmações são
verdadeiras ou falsas e justifique:
a) Se o sistema homogéneo Ax=0 é possível e determinado, então f é injectiva.
b) Se f injectiva, então o sistema homogéneo Ax = 0 é possível e determinado.
c) Se o sistema Ax = b é possível e determinado para todo o b ∈ Mmµ1, então f é
sobrejectiva.
d) Se f é sobrejectiva, o sistema Ax = b é possível e determinado para todo o
b∈Mmµ1.
e) Se c(A|b) = c(A), então b ∈ Im f.
f) Se b∈ Im f então c(A|b) = c(A).
Aplicações Lineares
153
16. Indique quais dos seguintes endomorfismos são bijectivos ( automorfismos ). Para esses calcule a inversa.
a) f: Ñ2 → Ñ2
(x, y) → (2y, x + y) b) g: Ñ3 → Ñ3
(x, y, z) → (y, x, –y + z)
c) h: Ñ2 → Ñ2 (x, y) → (x +y, 2x +2y)
17. Indique quais dos seguintes endomorfismos são bijectivos ( automorfismos ). Para
esses calcule a inversa. a) f: Ñ2 → Ñ2
(1, 0) → (1, –1) (0, 1) → (1, 1)
b) g: Ñ2 → Ñ2 (1, 0) → (2, –1) (0, 1) → (3 ,–3/2 )
c) h: Ñ2 → Ñ2
(1, 1) → (1, –1) (2, 1) → (0, 3)
Aplicações Lineares
154
Aplicações Lineares
155
Aplicações Lineares
156
Exames e Testes
157
Exames e Testes
1º Teste
Notas: • Leia com atenção as seguintes questões. Apresente todos os cálculos e justificações convenientes.
• No final da prova deve numerar e indicar o número de folhas de exame que entrega. Deve entregar todas as folhas de rascunho que utilizou.
1. Verifique se a proposição ( ) ( )a b b a⇒ ∧ ¬ ∧ é uma contradição.
2. Considere a seguinte proposição
2, y : x 1x y∀ ∈ ∀ ∈ < +Z Z .
a) Averigúe se é uma proposição falsa. Justifique.
b) Apresente a negação da proposição anterior.
3. Sejam A e B conjuntos. Mostre que se A B⊆ então \A B = ∅ .
4. Seja :f A B→ uma função. Considere a relação ( ) ( ) ( ){ }2, :R x y A f x f y= ∈ = . Mostre
que R é uma relação de equivalência em A .
5. Considere a relação R no conjunto { }, , ,A u v t w= , definida por
{ }( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )u u v v t t w w t v u w t u t w=R .
a) Verifique se R é uma relação de ordem em A.
b) A propriedade dicotómica é válida em R ?
c) Indique os elementos maximais e minimais e diga justificando se são máximos ou mínimos.
6. Sejam A, B e C matrizes tais que A é uma matriz linha com 4 colunas, B œ M rµ t (Ñ), C
uma matriz invertível e D œ M qµ 3 (Ñ). Determine se existe valores r, t e q, para os quais (C–1A-2BT)D está bem definido.
7. Discuta o seguinte sistema de equações lineares em função dos parâmetros reais a e b:
=+−
=++
=+
bzyx
azyx
yx
6
2332
1
.
Época Normal
Semestral 1ª Chamada Anual 1ª Chamada 1º Teste 2º Teste Global
2ª Chamada 2ª Chamada
Época Recurso Época Especial Exame Especial
Duração: 1 h 00 m Tolerância: 30 minutos Com Consulta
Sem consulta
Docente: Ana Luísa Nunes Data: 04 / 11 / 2008
Exames e Testes
158
2º Teste
Instituto Politécnico do Cávado e do Ave Página 1
Notas: • Leia com atenção as seguintes questões. Apresente todos os cálculos e justificações convenientes.
• No final da prova deve numerar e indicar o número de folhas de exame que entrega. Deve entregar todas as folhas de rascunho que utilizou.
1. Considere o seguinte subespaço vectorial de Ñ3, ( ){ }= ∈ − + =3, , : 3 0S x y z IR x y z .
a) Mostre que S é um subespaço vectorial de Ñ3.
b) Determine uma base para S e indique a sua dimensão.
c) Determine as coordenadas do vector ( ), ,−2 1 3 19 3 relativamente à base encontrada na
alínea b).
2. Seja A=
1 2 0
1
2 2 1
a b
a
− − −
, onde a, b ∈ Ñ.
a) Mostre que |A|=(a+2)×(-2b+1).
b) Determine os valores para os quais a, b de modo a que c(A)=3.
3. Considere B=2 4
3 1
−
.
a) Calcule |B|.
b) Determine B*.
c) Seja P ∈ Mn(Ñ), calcule o determinante de P–1B P.
d) As linhas da matriz B, são linearmente independentes? Justifique
4. Seja f: Ñ3 → Ñ3 uma aplicação linear definida da seguinte forma:
( ) ( )= − + − +, , 2 , ,3 5f x y z x y y z x y z
a) Determine o Núcleo de f. Qual a sua dimensão?
b) Determine a Imagem de f.
c) Com base nas alíneas anteriores diga, justificando, se f é injectiva. E sobrejectiva?
Época Normal
Semestral 1ª Chamada Anual 1ª Chamada 1º Teste 2º Teste Global
2ª Chamada 2ª Chamada
Época Recurso Época Especial Exame Especial
Duração: 1 h 00 m Tolerância: 30 minutos Com Consulta
Sem consulta
Docente: Ana Luísa Nunes Data: 10 / 12 / 2008
Bom trabalho!
Exames e Testes
159
Recurso
Época Normal
Semestral 1ª Chamada Anual 1ª Chamada 1º Teste 2º Teste Global
2ª Chamada 2ª Chamada
Época Recurso Época Especial Exame Especial
Duração: 2 h 00 m Tolerância: 0 minutos Com Consulta
Sem consulta
Docente: Teresa Abreu/ Ana Luísa Nunes Data: 9 / 02 / 2009
Notas: • Leia com atenção as seguintes questões. Apresente todos os cálculos e justificações convenientes.
• No final da prova deve numerar e indicar o número de folhas de exame que entrega. Deve entregar todas as folhas de rascunho que utilizou.
1. a) Considere p, q proposições dadas. Verifique se a proposição ( )p q p q ∨ ∧ ¬ ⇒ é uma tautologia.
b) Simplifique a negação da proposição anterior.
c) Considere a proposição ( )( ) ( ) ( ) ( )x y p x q y p x q y ∀ ∈ ∃ ∈ ∨ ∧ ¬ ⇒ , : U U (*)
i) Tendo em conta a alínea a) , diga o valor lógico da proposição dada (*).
ii) Tendo em conta a alínea b), simplifique a negação da proposição (*)
2. Considere a relação R no conjunto { }1,2,3,4A = no conjunto, definida por
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , ( , ), ( , ), , , , , , , ,= 11 2 2 3 3 4 4 1 3 3 1 2 4 4 2R
a) Mostre que R não é uma relação de ordem.
b) Mostre que R é uma relação de equivalência
c) Determine AR
.
3. Sendo ,A B C três conjuntos quaisquer. Verifique se e AA B C⊂ ⊂ então B C⊂ .
4. Sejam A e B matrizes de dimensões sµr, 4µ3 respectivamente, e C uma matriz simétrica. Diga para que
valores de r e s a operação AC - 2BT está bem definida.
5. A seguinte matriz representa um sistema de equações lineares representado na forma matricial. Discuta o
seguinte sistema em função dos parâmetros indicados.
Exames e Testes
160
2
1 2 3 5
0 1 3 ,
0 0 1 1
b
a c
− + +
a, b, c œ Ñ
1. Diga justificando se a matriz 2 5
1 3
é invertível e em caso afirmativo indique a inversa.
2. a) Verifique se B={(1, 4, 0), (0, 2, 3), (0, 0, 2)}é base de Ñ3 .
b) Verifique se S={(x, y, z) œ Ñ3: 2x–y = 0} é subespaço vectorial de Ñ
3 .
c) Determine uma base e a dimensão de S.
3. Considere a matriz
4 3
2 2
0 3 3
x
A x x
=
a) Resolva a seguinte equação em R : 0A =
b) Determine para que valores de x, a matriz A é invertível.
4. Seja B={u, v}uma base de Ñ2. Considere g:Ñ
2� Ñ
3 uma aplicação linear definida da seguinte forma:
2 3:
( ) (1,2,0)
( ) (0,0,3)
g
g u
g v
→
=
=
R R
a) Mostre que g não é sobrejectiva.
b) Calcule Im g.
c) A aplicação é injectiva? Justifique.
d) Calcule g (u + 2v)
Exames e Testes
161
Especial
Época Normal
Semestral 1ª Chamada Anual 1ª Chamada 1º Teste 2º Teste Global
2ª Chamada 2ª Chamada
Época Recurso Época Especial Exame Especial
Duração: 2 h 00 m Tolerância: 0 minutos Com Consulta
Sem consulta
Docente: Teresa Abreu e Ana Luísa Nunes Data: 12 / 09 / 2009
Notas: • Leia com atenção as seguintes questões. Apresente todos os cálculos e justificações convenientes.
• No final da prova deve numerar e indicar o número de folhas de exame que entrega. Deve entregar todas as folhas de rascunho que utilizou.
1. Sendo, p e q duas proposições. Verifique se a seguinte proposição é uma tautologia
( ) ( )q p p q ¬ ⇒ ⇔ ¬ ⇒
2. Considere a seguinte proposição
, : 0y x x y∀ ∈ ∃ ∈ + =� �
a) Averigúe se é uma proposição verdadeira. Justifique.
b) Apresente a negação da proposição anterior:
3. Considere a relação R no conjunto { }, ,A α β π= , definida por
{ }( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )α α β β π π π β β π=R
a) Mostre que R é uma relação de equivalência em A .
b) Determine AR
.
4. Sejam os conjuntos { }{ }0,1, 2A = e { }{ }2, 1,3B = . Determine ( )B A∩P .
5. Diga o que é e dê um exemplo de uma matriz simétrica de dimensão 3.
6. Discuta o seguinte sistema em função do parâmetro real a
=+−
=+−
=++
222
1
3
zayx
zyx
zyx
Exames e Testes
162
7. a) Determine <{(1, 4, 0), (0, 2, 0), (1, 0, 2)} > .
b) Verifique se S={(x, y, z) œ Ñ3: 2x–z = 0} é subespaço vectorial de Ñ3 .
8. Considere a matriz:
−
−
−−
3101
0122
1110
1210
a) Determine |A|.
b) Diga justificando se existe 1−A .
9. Considere g:Ñ3� Ñ2 uma aplicação linear definida da seguinte forma:
3 2:
( , , ) (2 , )
g
g x y z x y z
→
= +
R R
a) Calcule uma base e a dimensão do Núcleo de g.
b) Calcule Im g.
c) Diga o valor lógico da seguinte proposição:” g é uma aplicação bijectiva”.
Bibliografia
163
Bibliografia
Santos, Fernando Borja: Sebenta de Matemáticas gerais. Lisboa. Plátano,
Newton-Smith, W. : Lógica. Um curso Introdutório. Lisboa. Gradiva. 1988
Lipschutz, S. :Álgebra Linear – Colecção Schaum, McGraw-Hill
Giraldes E. , Fernandes V., Smith P. :Curso de Álgebra Linear Geometria Analítica –
MacGraw-Hill
Exames e Testes
164