agosto de 2016 matemática educación · procesos iterativos infinitos y objetos trascendentes: un...

Sociedad Mexicana de Investigacin y Divulgacin de la Educacin Matemtica, A.C.




Educ

aci

n M

atem

tic

avo

l. 28

n

m. 2

a

gost

o de

201

6

www.revista-educacion-matematica.com

Educacin MatemticaMxico vol. 28 nm. 2 agosto de 2016

Cuando las praxeologas viajan de una institucina otra: una aproximacin epistemolgica delboundary crossingCorine Castela

La separacin ciega de fuentes: un puente entreel lgebra lineal y el anlisis de sealesRita Vzquez, Avenilde Romo, Rebeca Romo-Vzquezy Mara Trigueros

Ciclos de entendimiento de los conceptos de funcin y variacinVernica Vargas Alejo, Aarn Vctor Reyes Rodrguezy Csar Cristbal Escalante

Artefacto y espacio de trabajo matemtico en la multiplicacinde nmeros complejosMacarena Flores Gonzlez y Elizabeth Montoya Delgadillo

Procesos iterativos infinitos y objetos trascendentes: un modelode construccin del infinito matemtico desde la teora APOEDiana Paola Villabona Milln y Solange Roa Fuentes

Conocimiento de la enseanza de las matemticas del profesor cuandoejemplifica y ayuda en clase de lgebra linealLeticia Sosa Guerrero, Eric Flores-Medrano y Jos Carrillo Yez

La definicin etimolgica de Etnomatemtica e implicaciones en Educacin MatemticaArmando Aroca Araujo

Educacion Matematica 28-2 Forro.indd 1 25/07/16 11:39

Versin electrnica ISSN: 2448-8089

Educacin matEmtica es una publicacin internacional arbitrada, que ofrece un foro interdis-ciplinario para la presentacin y discusin de ideas, conceptos y modelos que puedan ejercer una influencia en la enseanza y el aprendizaje de las matemticas. La revista publica artculos de investigacin y ensayos tericos sobre temas relacionados con la educacin matemtica. Educacin matEmtica aparece tres veces al ao y es indexada en zdm (Zentralbatt fr Didaktik der Mathematik), MathDi (MathEducDatabase), ndice de Revistas Mexicanas de Investi-gacin Cientfica y Tecnolgica del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologa, Latindex, rEdalyc (Red de revistas cientficas de Amrica Latina y el Caribe, Espaa y Portugal), Scientific Electronic Library Online (sciElo) y Clase (Citas Latinoamericanas en Ciencias Sociales y Humanidades). Las colaboraciones son recibidas en la plataforma www.autores-educacion-matematica.com Mantenemos el contacto: [email protected]

Formacin electrnica: Formas e Imgenes, S.A. de C.V. [email protected]

Alicia Avila StorerEditora en Jefe

Universidad Pedaggica Nacional, Mxico

Jos Luis Cortina Editor Asociado

Universidad Pedaggica Nacional, Mxico

Comit editorial

Leonor Camargo UribeUniversidad Pedaggica Nacional de [email protected]

Josep GascnUniversidad Autnoma de Barcelona, [email protected]

Salvador Llinares CiscarUniversidad de Alicante, [email protected]

Luis RadfordUniversit Laurentienne, [email protected]

Ana Isabel Sacristn RockDepartamento de Matemtica Educativa, Centro de Investigacin y de Estudios Avanzados, ipn, [email protected]

Diana Violeta SolaresUniversidad Autnoma de Quertaro, [email protected]

Mara Trigueros GaismanDepartamento de Matemticas, Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico, [email protected]

Avenilde Romo VzquezCentro de Investigacin en Ciencia Aplicada y Tecnologa Avanzada (cicata), Instituto Politcnico Nacional, [email protected]

Armando Solares RojasUniversidad Pedaggica Nacional, [email protected]

Yolanda ChvezGestin de arbitrajes

Rodolfo Mndez Gestin y operacin

Educacion Matematica 28-2 Forro.indd 2 25/07/16 11:39

Sociedad Mexicanade Investigaciny Divulgacin

de la EducacinMatemtica, A.C.





Educacin Matemtica

Educacin Matemtica vol.26nm.3diciembrede2014Educacin Matemtica vol. 28 nm. 2 agosto de 2016

Educacin MatEMtica, vol. 28, nm. 2, agosto de 2016, es una publicacin de la Sociedad Mexicana de Investigacin y Divulgacin de la Educacin Matemtica, A.C., con domicilio en Guty Crdenas 121-B, Col. Guadalupe Inn, 01020, Mxico D.F.

Certificado de Licitud de Ttulo nmero 12499 y Certificado de Licitud de Contenido nmero 10070, expedidos por la Comisin Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas de la Secretara de Gobernacin.

Registro nmero 3012 de la Cmara Editorial de la Industria Editorial Mexicana.

Editor responsable: Alicia vila Storer. Reserva de derechos al uso exclusivo: 04-2002-111517075100-102 expedido por la Direccin de Reservas de Derechos del Instituto Nacional del Derecho de Autor. Versin electrnica ISSN: 2448-8089.

La presentacin y disposicin en conjunto y de cada pgina de Educacin MatEMtica, vol. 28, nm. 2, agosto de 2016, son propiedad de D.R. Sociedad Mexicana de Investigacin y Divulgacin de la Educacin Matemtica, A.C.

Diagramacin y correccin de estilo: Formas e Imgenes, S.A. de C.V., [email protected]

Educacin MatEMtica, vol. 28, nM. 2, agosto dE 2016 3

Contenido

Editorial 5

ARTCULOS DE INVESTIGACIN

Cuando las praxeologas viajan de una institucin a otra: una aproximacin epistemolgica del boundary crossing 9When praxeologies travel from one institution to another: a boundary crossing epistemological approach

Corine Castela

La separacin ciega de fuentes: un puente entre el lgebra lineal y el anlisis de seales 31Blind source separation: a bridge between linear algebra and signal analysis

Rita Vzquez, Avenilde Romo, Rebeca Romo-Vzquez, Mara Trigueros

Ciclos de entendimiento de los conceptos de funcin y variacin 59Cycles of understanding about the concepts of function and variation

Vernica Vargas Alejo, Aarn Vctor Reyes Rodrguez y Csar Cristbal Escalante

Artefacto y espacio de trabajo matemtico en la multiplicacin de nmeros complejos 85Artifacts and Mathematical Working Space in Multiplication Complex Numbers

Macarena Flores Gonzlez y Elizabeth Montoya Delgadillo

Procesos iterativos infinitos y objetos trascendentes: un modelo de construccin del infinito matemtico desde la teora APOE 119Infinite iterative processes and transcendent objects: A model of construction of mathematical infinity from the APOS Theory

Diana Paola Villabona Milln y Solange Roa Fuentes

4 Educacin MatEMtica, vol. 28, nM. 2, agosto dE 2016

Contenido

Conocimiento de la enseanza de las matemticas del profesor cuando ejemplifica y ayuda en clase de lgebra lineal 151Teachers knowledge of mathematics teaching when they exemplify and help in linear algebra classes

Leticia Sosa Guerrero, Eric Flores-Medrano y Jos Carrillo Yez

ENSAYOS

La definicin etimolgica de Etnomatemtica e implicaciones en Educacin Matemtica 175The etymological definition of Ethnomathematics and its implications for Mathematics Education

Armando Aroca Araujo

Poltica editorial 197


Editorial

Acceder gratuitamente a la informacin colocada en la red, sin restricciones de ningn tipo para cualquier persona, tal es el espritu del acceso abierto a la in-formacin (open acces en ingls) promovido desde 2002 por la Iniciativa de Acceso Abierto de Budapest. En esta iniciativa se conminaba a instituciones y editores a poner a disposicin de los lectores los productos de investigacin buscando fuentes de financiamiento alterno a las cuotas de compra de las re-vistas cientficas u otras publicaciones peridicas donde se difunda conoci-miento. La UNESCO ha declarado en el mismo sentido que: Construir sociedades del conocimiento que sean pacficas, democrticas e inclusivas est en el cora-zn [de su filosofa]. Y una condicin fundamental para crear sociedades del conocimiento globales es el acceso a la informacin. Es por tal razn que este organismo internacional ha promovido una poltica de acceso abierto, desde hace ya ms de una dcada.

Y es que la internet, como bien se ha sealado en diversos foros, cambi de raz las realidades prcticas y econmicas relacionadas con la difusin del cono-cimiento cientfico y el patrimonio cultural.

Acogindose a esta poltica internacional Educacin Matemtica, a partir del presente ao, ha pasado a ser exclusivamente electrnica y de acceso libre. Esto ltimo redundar indiscutiblemente en beneficio de lectores, investigadores, pla-nificadores y educadores, quienes podrn revisar sin restriccin alguna los hallaz-gos comunicados por los autores. Los informes referentes a 2015 que nos han llegado de dos prestigiados sitios latinoamericanos, Redalyc y Scielo, son suma-mente elocuentes en torno a las repercusiones de la libre accesibilidad. En ellos vemos el gran inters por conocer el contenido que difunde nuestra revista (como evidencia mrese la grfica que insertamos).

Otras grficas, tambin generadas por el sitio Redalyc y que aqu sera exce-sivo colocar, dejan ver que las consultas provienen de toda Amrica, incluidos estados Unidos y Canad, as como de Espaa y otros pases de Europa y frica.

Editorial

6 Educacin MatEMtica, vol. 28, nM. 2, agosto dE 2016

Una cuestin que desde sus inicios sostuvieron las iniciativas y documentos ligados al acceso abierto (vase por ejemplo la Declaracin de Berln de 22 de octubre de 2003) es que la informacin que se ponga en la internet, deber ser de calidad, aprobada por las comunidades cientficas de referencia. En tal sentido, Educacin Matemtica seguir cumpliendo con difundir slo los trabajos avala-dos por el Comit Editorial con el apoyo de especialistas reconocidos en los temas tratados. Tambin se seguir respetando los derechos de autor, en el sentido de que todos aqullos que tengan acceso a los escritos, han de reconocer la autora original en las comunicaciones y usos que hagan de ellos.

Un ltimo punto para comentar es el de la viabilidad financiera de las revistas al instrumentarse el acceso abierto. Sus promotores lo percibieron desde el inicio y consideraron que las instituciones editoras, las fundaciones, las donaciones o el propio apoyo de los investigadores constituiran las vas adecuadas en la bs-queda de viabilidad. La realidad es que la sustitucin de los recursos no obteni-dos por suscripciones y venta de ejemplares es difcil. Educacin Matemtica ha de vivir, entonces, entre la tensin de mantener el acceso abierto al conocimiento que en sus pginas se difunde y la necesidad de obtener recursos para seguir

Editorial


publicndola. Seguramente, al igual que hemos enfrentado y resuelto positiva-mente muchos otros retos, resolveremos ste exitosamente, con la satisfaccin adicional de que muchsimos ms lectores habrn tenido acceso a conocimien-tos tiles para planear nuevos trabajos de indagacin, as como nuevas formas de ensear las matemticas; an ms all: para imaginar nuevas formas de pensar las matemticas y la matemtica educativa.

El Comit Editorial


Educacin MatEMtica, vol . 28, nM . 2, agosto dE 2016 9

Cuando las praxeologas viajan de una institucin a otra: una aproximacin epistemolgica del boundary crossing*

When praxeologies travel from one institution to another: a boundary crossing epistemological approach

Corine Castela**

Fecha de recepcin: 15 de diciembre de 2015. Fecha de aceptacin: 17 de marzo de 2016.* Una primera versin de este texto se present como ponencia en el 1er Congreso Internacional de Mate-

mtica Educativa llevado a cabo del 9 al 20 de noviembre del 2015, coordinado desde la Ciudad de Mxico por el Programa de Matemtica Educativa del CICATA-IPN, no apareci publicado en las memorias del evento.

** Matre de confrences mrite, LDAR (Laboratoire de Didactique Andr Revuz) Universits de Rouen, Paris Diderot, Paris Est-Crteil, Artois et Cergy Pontoise, France.

Resumen: Este texto se centra en las matemticas en la formacin profesional. Despus de explicar el concepto boundary crossing en relacin con la teora de la actividad histrico-cultural, se estudia cmo ello se puede contemplar a nivel del saber con la teora antropolgica de lo didctico y sus conceptos de institucin, sujeto y praxeologa. El texto pretende proveer dos herramientas tiles para una epistemologa que se propone investigar el saber matemtico tal como est presente en los escenarios profesionales, cualquiera que sea la naturaleza y el nivel de cualificacin de la profesin: una pauta de anlisis del saber que se desarrolla al emplear una tcnica matemtica, ilustrndola con un ejemplo de clculus en dos contextos diferentes; un modelo de los efectos sobre las praxeologas de la circulacin inter-institucional.

Palabras clave: Teora antropolgica de lo didctico, tecnologa de una tcnica, circulacin inter-institucional, transposicin.

Corine Castela

10 Educacin MatEMtica, vol . 28, nM . 2, agosto dE 2016

Abstract: The focus of this paper is on vocational training programs, which means previous investigation about mathematics in vocational settings. We start by explaining the term boundary crossing in relation with the cultural, historical, activity theory approach. We then present a way to address the same issue within the anthropological theory of the didactic, using the key concepts of institution and praxeology. We develop an analysis grid of knowledge produced by users when they employ a mathematical technique and a general model of the changes human knowledge is submitted to when moving from one institution to another. Our approach is relevant to any level of professional qualification, from engi-neering to professions socially viewed as poorly qualified.

Key words: Anthropological theory of the didactic, technology of a technique, inter-institutional circulation, transposition.

I. INTRODUCCIN: BOUNDARY CROSSING?

El campo de investigacin en que se centra este texto estudia los fenmenos de enseanza y aprendizaje de las matemticas en el marco de la formacin profesional. La expresin boundary crossing en el ttulo remite a un conjunto importante de trabajos que se ubican en este campo de investigacin con refe-rencia a la teora de la actividad histrico-cultural (vase por ejemplo el nmero especial 86 de la revista Educational Studies in Mathematics). Esta teora (en adelante TAHC) es un desarrollo de la teora de la actividad, al que ha contri-buido considerablemente Y. Engestrm (2001). Engestrm y sus colaboradores (1995) conceptualizan boundary crossing como un proceso de produccin de conocimientos que ocurre cuando miembros de una comunidad se trasladan a otra comunidad, trayendo con ellos el sistema de sus maneras de actuar e interactuar, sus herramientas, normas y lenguaje e interactuando con el otro sistema. La hiptesis de la TAHC es que el encuentro entre estos dos contextos socio-culturales favorece el intercambio y desarrollo de conocimientos, tanto a nivel de las comunidades como de los individuos. Si el trmino boundary refie-re a diferencias socioculturales que resultan en discontinuidades en el actuar e interactuar (Akkerman & Bakker 2011), el concepto de boundary crossing conlleva la idea que, para un sujeto, vivir estas discontinuidades resulta en aprendizaje y desarrollo.

Este enfoque es especficamente relevante para la formacin profesional, donde el estudiante encuentra no solamente disciplinas o materias escolares,


Cuando las praxeologas viajan de una institucin a otra: una aproximacin epistemolgica. . .

sino tambin contextos profesionales, tanto dentro como fuera de la escuela. Por ejemplo, Roth (2014) se interesa en un programa de capacitacin para electricistas en una escuela universitaria canadiense. Dicho programa incluye clases de matemticas, de ciencias, clases prcticas (talleres) y periodos de prcticas en una empresa. Roth centra su investigacin en el problema siguien-te: cmo cambia el estudiante cuando vive la necesidad de cruzar fronteras (boundary crossing)?

Cultural-historical activity theory allows us to think about what happens to an indi-vidual who participates within an activity over time and whose trajectories takes it through/across different activities in the course of a day, week, month, or year. (Roth, 2014: 179)1

Cabe subrayar la ndole psicolgica de este problema, como de la teora misma. Si bien la TAHC permite tomar en cuenta una cierta dimensin social, lo hace desde el punto de vista de los individuos y de sus contribuciones a la vida social, por medio de su participacin, individual y colectiva, en interconnected activity systems (Engestrm 2001). La Teora Antropolgica de lo Didctico (en adelante TAD) contempla lo social desde un punto de vista opuesto: destaca el papel que desempean las organizaciones sociales de diferentes niveles en las actividades humanas. En mi opinin, estas teoras no son contradictorias, sino que se complementan: pueden por ejemplo encontrarse en el estudio de comu-nidades laborales estables consideradas como activity systems e instituciones, cada teora aportando aclaraciones distintas. Aqu no defiendo ms all esta tesis, cabe considerarla como una hiptesis.

En este texto, se postula que, antes de estudiar los cambios del estudiante cuando cruza fronteras, es necesario indagar sobre las diferencias entre los contextos socio-culturales de referencia. Sera este postulado incongruente en el marco de la TAHC? No puedo contestar esta pregunta por ahora. En cambio, como lo veremos en la seccin siguiente, es una consecuencia evidente de los principios generales de la TAD. Ms concretamente, nos centramos en los recur-sos cognitivos socialmente compartidos en cada contexto. Desde el primer trabajo de Chevallard sobre la transposicin didctica (1985) y su desarrollo, en el eplogo

1 La teora de la actividad histrico-cultural nos permite pensar acerca de lo que le sucede a un individuo que participa en una actividad durante un cierto tiempo y cuyas trayectorias atraviesan diferentes actividades en el curso de un da, una semana, un mes o un ao.

Corine Castela


de la reedicin de 1991, la hiptesis fundamental de la TAD es que, al circular de un contexto a otro, el saber no permanece invariable. La problemtica que definimos en este texto es precisamente la siguiente: al ser empleado en un entorno profesional, el saber matemtico sufre transformaciones que se deben indagar y tomar en cuenta para el diseo de la formacin profesional, cualquiera que sea la naturaleza y el nivel de cualificacin de la profesin, desde ingenie-ra hasta trabajos que se consideran socialmente como no-calificados. Vemos a continuacin que la TAD provee de herramientas tiles para abordar esta problemtica.

II. CONCEPTOS CLAVE DE LA TEORA ANTROPOLGICA DE LO DIDCTICO

1. InstItucIn y sujetos

La TAD destaca las determinaciones sociales de los fenmenos que estudia. No se habla de contexto socio-cultural ni tampoco de participante en una comunidad, sino de institucin y sujeto, dos conceptos bsicos de esta teora que no se pueden definir independientemente. Una institucin es una organizacin social estable en el seno de la cual se realizan ciertas actividades sociales, bajo ciertas restricciones. Por un lado, la institucin crea un marco vinculante para las acti-vidades que se desarrollan en su seno, por otro, las hacen posibles proporcio-nando ciertos recursos materiales, organizativos y cognitivos.

Los participantes en dichas actividades tienen que convertirse en sujetos de la institucin, es decir someterse a sus restricciones. Cabe subrayar que la TAD emplea el trmino sujeto en su sentido etimolgico latino: sub-jectus (literalmente arrojado debajo de), participio pasado de subjacere que significaba someter. Este sentido resulta muy diferente del que se le da en otros dominios como la sicologa o la gramtica, destacndose en la definicin de sujeto la dimensin de restric-cin que imponen las influencias sociales. El trmino sujeto no remite a un individuo concreto, sino a un conjunto de actividades, expectativas y restricciones institucionales que caracterizan una posicin del sujeto dentro de la institucin.2 Un individuo se vuelve sujeto de una institucin cuando ocupa una de las

2 Cabe sealar que en una institucin existen varias posiciones: por ejemplo, en una escuela, posicin de estudiante, de docente, de director. . .



posiciones (de sujeto) presentes en dicha institucin, intentando adaptarse al contrato3 que caracteriza esta posicin.

Para ilustrar estas consideraciones, tomemos el ejemplo del programa de capacitacin que investiga Roth (2014): en dicho programa, el individuo-estudiante tiene que convertirse en sujeto de varias instituciones: las clases de matemti-cas, de ciencias, el taller-clase, la empresa durante su periodo de prctica. Roth encuentra tambin instituciones de mayor extensin social, en la dimensin educativa la escuela universitaria, las disciplinas escolares de matemticas y ciencias; en la dimensin profesional el sistema canadiense de control de las instalaciones elctricas, regulado por el National Electrical Code of Canada.

En su vida, un individuo circula entre varias instituciones, experimentando as el cruce de fronteras. Generalmente, tiene que evolucionar y aprender para ocupar una nueva posicin en una nueva institucin, porque las sujeciones son diferentes, como tambin lo son los recursos materiales y cognitivos puestos a su disposicin. Vamos a ver a continuacin que, como lo destaca Chevallard (1985, 1991), de una institucin a otra, las diferencias en el mbito cognitivo son ms amplias de lo que se puede suponer, debido a la actividad cognitiva insti-tucional. Cabe concluir esta seccin con el concepto de persona que en el marco de la TAD permite tomar en cuenta el proceso de desarrollo individual que conoce cada ser humano a lo largo de su vida. Se construye como persona a travs de su recorrido entre instituciones, una persona original que nunca se limita a las posiciones de sujeto que ocupa, ni tampoco satisface totalmente a las expectativas institucionales. Persona resulta el concepto de la TAD ms cercano al sujeto de otros enfoques, pero su sentido no se debate mucho en este marco terico.

2. La cognIcIn InstItucIonaL, objeto de La antropoLoga epIstemoLgIca

La idea de cognicin institucional parece contradictoria en ciertos crculos de investigacin educativa que consideran la cognicin como una actividad estric-tamente cerebral. Se considera aqu la cognicin como el proceso de desarrollo de recursos para abordar las tareas que se encuentran en el entorno humano. Si este desarrollo se ubica a nivel social, se trata de producir nuevos recursos socialmente compartidos. Cabe sostener que, siendo organizaciones estables,

3 Al igual que en la nocin de contrato didctico de la Teora de las Situaciones Didcticas, el trmino de contrato no significa que las expectativas y restricciones son totalmente explicitas.

Corine Castela


las instituciones crean las condiciones necesarias para una inventiva vista como esencialmente colaborativa, para la transformacin de invenciones puntuales en innovaciones socialmente reconocidas, para la difusin geogrfica y para la transmisin entre generaciones. Las instituciones producen saberes nuevos que reconocen como legtimos (institucionalizados), es decir que aprenden. Tambin mediatizan estos saberes, es decir crean condiciones para que (ciertos de sus) sujetos se los apropien. Estos procesos de desarrollo cultural constituyen la cognicin institucional, el objeto de investigacin de lo que Chevallard (1985, reedicin 1991: 210) nombra la antropologa epistemolgica.

A partir de los razonamientos anteriores, se puede advertir el fenmeno epis-temolgico siguiente: el cruce de fronteras inter-institucionales afecta generalmente los recursos cognitivos producidos por una institucin que viajan a otra para ser empleados o enseados:

Los procesos transpositivos didcticos, y ms generalmente institucionales son, como uno lo imagina, la motivacin esencial de la vida de los saberes, de su dise-minacin y de su funcionalidad adecuada. Y no se sabra sealar suficientemente, en este aspecto, hasta qu punto la manipulacin transpositiva de los saberes es una condicin sine qua non del funcionamiento de nuestras sociedades, cuya negli-gencia en beneficio principalmente de la pura produccin del saber puede ser criminal (ibdem: 214)

Pero antes de continuar con esta cuestin, presentar el modelo de los recursos que propone la TAD, es decir, el concepto de praxeologa.

3. eL modeLo praxeoLgIco de chevaLLard

En esta parte, la atencin se centra en la nocin de praxeologa tal y en cmo se presenta en los textos fundadores de la TAD (Chevallard, Bosch, Gascn, 1997; Chevallard, 1999). Este modelo se representa como [T, t, q, Q] y se compone de dos bloques:

Elsaber-hacerolapraxis [T, t], donde T es un tipo de tareas, t una tcnica, es decir un conjunto de procedimientos

(no necesariamente un algoritmo) que permite tratar ciertas tareas del tipo T (posiblemente no todas), en ciertos dispositivos y con ciertos medios.



Elsaberoellogos [q, Q], donde q representa la tecnologa de t, es decir el discurso racional que se elabora

para justificar, hacer inteligible y producir esta tcnica; la teora Q es la tecnologa de la tecnologa.

De lo anterior, cabe subrayar algunos elementos:

1. Con el componente T y la nocin de tipo de tareas, el modelo destaca los aspectos invariantes en las tareas problemticas que abordan los grupos humanos.

2. Para que una nueva tcnica se pueda estabilizar, transmitir y legitimar en una institucin donde los sujetos se enfrentan a T, es menester que exista un discurso mnimo en torno a dicha tcnica. Qu papel desem-pea aqu la tecnologa? Los textos fundadores lo describen de la manera siguiente:

Se notar enseguida que una segunda funcin de la tecnologa es la de explicar, volver inteligible, esclarecer la tcnica. Si la primera funcin justificar la tcnica consiste en asegurar que la tcnica hace bien lo que pretende, esta segunda funcin consiste en exponer por qu esto resulta ser adecuado. [. . .] Finalmente, una segunda funcin corresponde a un empleo ms actual del trmino tecnologa: la produccin de tcnicas (Chevallard, 1999: 226-227).

Puede advertirse en estas lneas cierta ambigedad en torno a los verbos utilizados: justificar, explicar, producir, o por lo menos cierta laxitud para interpretar lo que significan. Volveremos a ello en el apartado III.

3. En cuanto a la teora, sta corresponde a un segundo nivel de justificacin y explicacin de la prctica, tal como aparece en la institucin donde se considera la praxeologa (Chevallard 2007: 714). Es decir, en la TAD esta nocin no remite necesariamente al sentido cientfico usual de una orga-nizacin de saberes. Frecuentemente la teora es evanescente o ausente, quedando institucionalmente escondida.

4. Un elemento muy importante se evidencia en el ostensivo grfico [T, t, q, Q]: incluye el bloque de la praxis como componente de plena legitimidad de lo cognitivo institucional; adems, leyendo desde la izquierda, explicita el papel generador de las actividades problemticas en el desarrollo de la

Corine Castela


cultura humana. Pone de manifiesto que para indagar la organizacin pra-xeolgica (el conjunto de recursos praxeolgicos) de una institucin no basta centrar el estudio en los discursos y mucho menos en la teora o los conceptos. En cuanto a la educacin matemtica, tal enfoque repre-senta una ruptura con la organizacin clsica de las matemticas aca-dmicas que se distingue por hacer hincapi en las teoras, en relegar a un segundo plano sus aplicaciones para abordar ciertos problemas y en qu tipos de tareas y tcnicas asociadas no se destacan como objetos cruciales.

III. QU NECESIDADES BUSCA SATISFACER LA TECNOLOGA DE LA TCNICA?

Al volver al origen de la reflexin que se presenta aqu, se observa que existen investigaciones sobre los conocimientos necesarios para la resolucin de pro-blemas matemticos (Castela, 2005) con la siguiente hiptesis: para utilizar las tcnicas matemticas con cierta eficiencia son imprescindibles algunos conoci-mientos que no se formulan en definiciones y teoremas. Estas primeras inves-tigaciones desembocaron en una proposicin relativa a la evolucin del modelo praxeolgico (Castela, 2008). Se propuso incluir explcitamente en la tecnologa de una tcnica un componente prctico, compuesto de conocimientos dedicados a las necesidades prcticas que surgen del empleo de una tcnica en la reso-lucin de problemas. Dichos conocimientos generalmente no derivan de teoras, no se validan por demostraciones, sino de manera emprica, en el seno de la actividad del matemtico (vase III.2. para ejemplos de tales conocimientos en el primer contexto de ilustracin). No obstante esta propuesta inicial, fue el trabajo finalizado en 2009 con A. Romo Vzquez en el marco de su tesis de doctorado, el que arroj la pauta de anlisis de las funciones de la tecnologa que se presentan ahora.

1. dIferencIar seIs funcIones de La tecnoLoga

En su tesis, Romo Vzquez (2009) estudia el lugar de las matemticas en los proyectos de ingeniera realizados en el marco de la formacin de ingenieros. Uno de los proyectos, centrado sobre una situacin de Control de Servicio, nos llev



a interesarnos por la enseanza de la transformada de Laplace. Dependiendo de la institucin, esta enseanza se realiza en el marco de un curso de mate-mticas o bien de una rama de la ingeniera, la Automtica (o Teora de control) en nuestro caso. Resultado de tal inters, se compararon tres textos, uno de los cuales proviene de un curso de Control de Servicio Continuo destinado a la formacin de tcnicos superiores (se analiza un ejemplo en la seccin III.2) y, encontramos en este ltimo un discurso tecnolgico (es decir un discurso racional compartido) muy desarrollado que toma en cuenta explcitamente el contexto de la automtica donde se emplean las tcnicas matemticas enseadas.

Para analizar el texto, distinguimos seis funciones posibles de la tecnologa referidas al bloque prctico [T, t]: describir, facilitar, motivar, evaluar, validar y explicar (Castela y Romo Vzquez, 2011).

Describir la tcnica

La produccin de una descripcin de la tcnica se considera como un hecho de saber. Implica la concepcin de sistemas semiticos, en particular de un vocabulario adaptado que contribuye al desarrollo de las interacciones entre los usuarios y, a la vez, a los procesos de institucionalizacin y transmisin.

Facilitar la aplicacin de la tcnica

Esta funcin remite a los saberes que favorecen la utilizacin de la tcnica con eficacia y tambin con cierta comodidad. Concierne especficamente a los usua-rios desarrollar este campo de saberes. Se producen as reelaboraciones de la descripcin inicial que la adaptan al contexto institucional de empleo y abarcan la memoria de las experiencias acumuladas.

Motivar la tcnica y sus componentes

Los saberes relativos a la motivacin contribuyen a la comprensin de los fines: para qu se hace tal accin? Cul es el efecto buscado? Dicen tambin algo acerca del tipo de tareas, puesto que analizan los objetivos esperados. Estos saberes justifican racionalmente las acciones porque desentraan sus razones de ser. Permiten anticipar las etapas de la tcnica y juegan un papel heurstico importante cuando es menester adaptarla.

Corine Castela


Evaluar la tcnica

Se trata aqu de saberes que ataen al campo de la eficacia y a los lmites de la tcnica respecto a las diferentes tareas del tipo T, en comparacin con otras disponibles, si es que las hubiera. Pueden tambin informar acerca de la ergo-noma de la tcnica desde el punto de vista de los usuarios. Las funciones evaluar, facilitar y motivar estn ntimamente asociadas: poner en evidencia ciertas dificultades (evaluar) puede producir mejoras (facilitar) que apoyan la motivacin por la evaluacin.

Validar la tcnica

Esta funcin corresponde a lo que se entiende con el verbo justificar en los textos que hemos citado al inicio de este apartado. Estos saberes establecen que la tcnica produce efectivamente aquello que dice que produce.

Explicar la tcnica

Se trata aqu de una comprensin de las causas: por qu la tcnica hace bien lo que se espera que haga? Cmo es que tal accin produce tal efecto? Parece que este empleo del verbo explicar coincide con el de la cita anterior de Che-vallard (1999: 227). No obstante, es posible considerar que motivar, como tambin explicar, son dos aspectos complementarios del volver inteligible dicha cita.

Existen validaciones que no explican (por ejemplo, ciertas demostraciones de geometra analtica); a la vez, existen explicaciones que en una institucin dada no se reconocen como validaciones, pero se acepta que contribuyen a que el sujeto comprenda las causas de lo ocurrido con la tarea matemtica. Estas explicaciones en las que se encuentran insertadas las tcnicas se apoyan sobre los recursos de un contexto cultural compartido.

Cabe sealar que esta lista de seis funciones no se debe considerar como exhaustiva. Por ejemplo, en los trabajos de Solares (2012) y Covin (2013) aparece en contextos laborales la necesidad de controlar la implementacin efectiva de la tcnica que realiza un individuo, considerando que l puede equivocarse en su actividad.

2. una ILustracIn en dos InstItucIones

A continuacin, nos centramos en un tipo de tareas Descomponer una funcin

racional p(x )q(x )

en una suma de fracciones simples para analizar la praxeologa



asociada en dos instituciones diferentes: un curso de matemticas y un curso de control automtico de servicio que proveen a sus estudiantes con recursos en la web.

Un texto de licenciatura de matemticas de la ULPGC (Universidad de Las Palmas de Gran Canaria) titulado Mtodos de integracin 4

El tipo de tareas que consideramos a continuacin se motiva explcitamente en dicho texto desde el tipo Resolver la integral para una funcin f y la tcnica Hallar una primitiva de f que introduce a su vez un nuevo tipo de tareas con la tcnica Clasificar las funciones conocidas que admiten primitivas elementales en clases, segn un patrn general que sabemos resolver mediante una ope-racin especfica; cualquier otra funcin que no presente las caractersticas de los elementos de alguna de las clases establecidas, se intenta transformar en un elemento de alguna de stas mediante un nmero finito de manipulaciones. (p. 2). El autor evala esta tcnica, destacando que no es siempre exitosa; como lo vimos antes, una tcnica no es necesariamente eficaz para todas las tareas de un tipo.

Una clase que se contempla en el texto es la de Funciones racionales por la cual aparece el tipo de tareas en que nos centramos Descomponer una

funcin racional p(x )q(x )

en una suma de fracciones simples. El texto seala (p. 25)

un primer paso de las tcnicas que describe adelante: factorizar los polinomios y simplificar de manera que para ambos, el coeficiente del trmino de mayor grado sea 1 (polinomios mnicos). Falta alguna motivacin de esta transforma-cin que resulta en fracciones simples de denominador (x-a)k o (x+bx+c)k. Sin embargo, tiene una razn de ser que remite a la determinacin de la primitiva:

es ms fcil integrar 1

x a( )k que

1

bx a( )k. Cabe subrayar esta ausencia porque

en la segunda institucin que se analiza, los polinomios involucrados en este

tipo de tareas no son mnicos.El autor distingue entre 4 subclases de funciones racionales. La primera (los

factores de q(x) son lineales y nunca se repiten) basta para ilustrar ms all las funciones de la tecnologa. La descripcin de la tcnica es la siguiente (p. 26):

4 http://www.dma.ulpgc.es/profesores/personal/aph/ficheros/calculo/ficheros/integraciondefunciones.pdf

Corine Castela


q (x) = (x a1) (x a2) . . . (x an) con ai aj, siempre que i j.

En ese caso, escribimos p (x)

q (x)=

A1x a1

+A2x a2

+!+Anx an

=A1 x a2( ) x an( ) +An x a1( ) x an1( )

x a1( ) x a2( ) x an( )

p (x)

q (x)=

A1x a1

+A2x a2

+!+Anx an

=A1 x a2( ) x an( ) +An x a1( ) x an1( )

x a1( ) x a2( ) x an( ) donde A1 , A2 , . . . An son nmeros

reales que se determinan igualando numeradores y resolviendo las ecuaciones que se obtienen, para distintos valores arbitrarios de x, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

En dicho ejemplo se ve un empleo de la tcnica. El autor precisa que es pre-ferible elegir valores de x que anulen algn factor, es decir propone una estrategia que facilita el empleo de esta tcnica.

Prosigue esta evaluacin con una observacin en que presenta una segunda tcnica basada en la derivada de q (x).

Para cada i = 1,n, Ai =p ai( )

ji ai a j( )= p ai

( )q ai( )

Respecto a sta tcnica, el autor precisa (p. 28):

Esta frmula para calcular los coeficientes Ai puede ser ms ventajosa que resolver sistemas de ecuaciones lineales, en particular si q(x) es un polinomio de grado muy grande. [] Finalmente, tngase en cuenta que en la deduccin de la frmula se utiliz el que q (x) es un producto de factores lineales todos distintos, y, por lo tanto, esta frmula no sirve para calcular los Ai de los casos que siguen a continuacin.

El autor de este texto sigue con las otras tres clases con la misma alternancia de descripcin, evaluacin y sugerencias que facilitan el empleo de las tcnicas. Por supuesto se puede considerar que este discurso tecnolgico tiene objetivos didcticos, que se destina a aprendices. No obstante, l explicita ciertos conoci-mientos de los matemticos expertos respecto al empleo de las tcnicas enseadas en este curso.

Cabe considerar ahora la funcin de validacin, la cual para las matemticas resulta necesariamente de demostraciones, apoyndose en una teora. Veamos lo que dice el autor (p. 26):

Que tal descomposicin [de una fraccin racional como suma de fracciones simples] es siempre posible es un importante teorema del lgebra [] que utiliza, a su vez, el



no menos importante teorema fundamental del lgebra segn el cual todo polinomio, con coeficientes reales, puede factorizarse en un producto de polinomios de grado 1 o 2, irreducibles y con coeficientes reales.

De hecho, una teora del cuerpo de los nmeros complejos como cuerpo algebraicamente cerrado es menester para validar las tcnicas que se consideran en este texto, las cuales suponen establecida la existencia de la descomposicin. Para demostrar el teorema de descomposicin, al final del texto (pp. 31-32), el autor se ubica en este cuerpo y emplea adems un teorema de la aritmtica de los polinomios complejos. Entonces, en las praxeologas que hemos encontrado en una institucin de matemticas acadmicas, la nocin de teora segn la TAD no es diferente de la nocin usual en las ciencias.

Finalmente, el mismo texto nos provee de un ejemplo de discurso tecnolgico de explicacin que, hoy en da, no es vlido en una institucin matemtica acadmica. El autor evoca (pp. 1-2) los trabajos de Leibniz:

El smbolo f (x)dxa

b

se atribuye a la inventiva de Leibniz (1646-1716), quien quiso representar con ste una suma infinita de rectngulos, cada uno de altura dada por el valor de la funcin f y base infinitamente pequea o de valor infinitesimal dx. El uso que Leibniz dio a estos dx fue ms que notacional: l consider dx como una variable a valores infinitesimales positivos (en el sentido de ser un nmero positivo menor que cualquier nmero finito positivo) y oper con ste de igual manera que con cualquier otra cantidad numrica para obtener muchas de las frmulas del clculo diferencial e integral que conocemos hoy.

Pero no los desarrolla mucho, sino que promueve el uso de dx a la manera de Leibniz, incluso para la deduccin de frmulas de integracin, como por ejemplo du = g(x).dx. Y bien se sabe que en los textos de fsica, incluso acad-mica, tal uso de la notacin diferencial constituye la norma.

Un curso de Control de Servicio Continuo destinado a la formacin de tcnicos superiores5 (recursos en lnea de los IUT-Instituts Universitaires de Technologie-Francia)

Como se ha dicho, en la tesis de doctorado de Romo Vzquez (2009) se estudi la enseanza de la transformada de Laplace en tres textos: un curso de

5 http://www.iutenligne.net/ressources/les-asservissements-lineaires-continus.html ; el autor M. Verbeken

Corine Castela


matemticas y dos de Automtica (Teora de Control). Me centro aqu en uno de estos dos, se pueden encontrar ms detalles en Castela y Romo Vzquez (2011).

Algunas explicaciones acerca de los temas de automtica o teora de control son necesarias. El problema en juego es la regulacin automtica de sistemas (p.ej., calentando la instalacin con la temperatura controlada): si una cantidad tiene que permanecer constante, un calibrador electrnico mide su valor; cuando alguna variacin es registrada, un proceso de regulacin apropiado es provoca-do para volver al valor deseado. Entre menos tiempo sea necesario para recuperar la cantidad de este valor, ms eficiente es el sistema de control. Las evoluciones temporales de los sistemas involucrados son descritas por ecuaciones diferen-ciales (lineales en el manual considerado), convertidas en algebraicas una vez utilizada la transformada de Laplace y fcilmente solucionadas, con una fraccin racional F (p).

Por ltimo, se tiene que regresar a la funcin temporal, esto es, aplicar la transformada de Laplace inversa. El manual en lnea recomienda usar una tabla de transformadas de Laplace, especialmente adaptada a las exigencias de la teora de control. El tipo de tareas que dividen una fraccin racional en frac-ciones parciales aparece cuando una complicada fraccin racional F (p) est implicada. En lo que sigue, doy una idea de la praxeologa (la tcnica y la tec-nologa) propuesta por el manual.

Descripcin de la tcnica: De hecho, el autor asume que las tcnicas matemticas son familiares a los estudiantes. El nico punto que l especifica es que el denominador de F (p ) tiene que ser escrito de la siguiente forma cannica (1+t1p) (1+t2p) (1+t3p) . . . con la disminucin de los valores de ti. Por ejemplo, 3p+2 es transformado en 2 (1+1.5p) y no en 3(p+2/3). Esto es un cambio significativo a la tcnica matemtica original.

Motivacin (razn de ser) de esta factorizacin especial: Si la F (p) = 1/(1+1.5p), la funcin original correspondiente es la f (t ) = K (1-e-t/1.5). 1.5 es un tiempo, se llama el tiempo constante de la funcin f (t ). La reactividad del sistema, de ah su calidad, es directamente dependiente del tiempo constante t, con mayor precisin en el valor ms alto; por lo tanto, este valor debe aparecer claramente en el clculo.

Explicacin de la relacin entre tiempo constante y reactividad: si la f (t ) repre-senta la cantidad controlada y K su valor deseado constante, se sabe que despus



7t, aqu 7 1.5 segundos, la exponencial ser igual a 0, es decir considerada como insignificante en Automtica (Teora de Control). De ah, que el rgimen de transicin dura 7 1.5 segundos.

Validacin de esta afirmacin: e-t/t100, t >tln(100) 7t.

Con este ejemplo no se pretende validar la relevancia de la pauta de anlisis que se presenta aqu, sino volverla inteligible. Para otros empleos, el lector puede consultar otros escritos (Castela, 2011; Solares, 2012; Castela y Elguero, 2013).

IV. LA VARIABILIDAD INSTITUCIONAL DE LAS PRAXEOLOGAS

De los dos ejemplos anteriores, cabe destacar algunos aspectos respecto a la dinmica praxeolgica.

Al inicio del proceso, tenemos un tipo de tareas T de ndole estrictamente matemtica y algunas tcnicas asociadas que se consideran como legtimas dentro de la institucin de investigacin matemtica P(M).6 Segn el paradigma que norma la prueba dentro P(M), la legitimidad cientfica se desprende de la existencia de demostraciones que validan las tcnicas, apoyndose en teoras reconocidas. Por eso, Castela (2008) habla de tecnologa terica, qth,7 para estos saberes que derivan de teoras. No obstante, vimos en el primer ejemplo que cuando se emplean estas tcnicas en el campo matemtico, los usuarios expertos desarrollan otros conocimientos de naturaleza prctica, los cuales no derivan necesariamente de demostraciones, sino de experiencias repetidas de uso. Estos conocimientos pueden explicitarse en las instituciones E(M) de enseanza uni-versitaria de matemticas, lo que les otorga cierta legitimidad. Este componente de la tecnologa, qp, depende totalmente de las condiciones del empleo de la tcnica en la institucin, cuyos sujetos abordan tareas del tipo T. Por eso, la difusin cientfica de las producciones praxeolgicas de P(M) se focaliza en organizaciones [T, t, qth, Q].

Sin embargo, lo que encontramos en el segundo ejemplo es que, al pasar de P(M) a otra institucin, por ejemplo, una institucin de investigacin en automtica P(AU) o una institucin profesional de control de calefaccin urbana,

6 P (M ) = Produce el saber matemtico acadmico.7 Th para thorie en francs.

Corine Castela


la praxeologa matemtica puede evolucionar, incluso el tipo de tareas, para adaptarse a las condiciones y sujeciones de la institucin en la cual se pretende emplear la tcnica. Adems, se desarrolla un logos especfico para satisfacer necesidades diferentes.

Con estos ejemplos se ilustra, en el caso de praxeologias matemticas, la posicin epistemolgica de la TAD que se enuncia en la cita de Chevallard (vase II.2): en cualquier mbito de actividades, la circulacin inter-institucional (boundary crossing en trminos de la TAHC) de praxeologas resulta en efectos transpositivos que afectan posiblemente todos los componentes de la praxeologa inicial, al mismo tiempo que se desarrolla un logos propio con orientacin prctica. A continuacin, se representa este proceso con un esquema que se puede consi-derar como una contribucin de Castela a la TAD (Castela, 2011a: 97-122, Castela y Elguero, 2013).

1. cruzar La frontera entre InstItucIones de InvestIgacIn y de utILIzacIn

[T, t, qr, Q] Ir Esquema 1. Los efectos de la circulacin inter-institucional

Ir8 (en espaol puede cambiarse en Ii), es una generalizacin de la institu-cin matemtica P (M ) y representa las instituciones de investigacin, es decir instituciones cuyo papel es el de producir praxeologas: la funcin social de los investigadores no se limita a abordar tareas del tipo T, dicha funcin es la de desarrollar y validar praxeologas para el tratamiento de T. Tal alejamiento respecto a la prctica y a sus obligaciones no es un atributo de la ciencia. As, la investigacin tcnica, que se interesa prioritariamente en el desarrollo de tcnicas para la prctica, tambin necesita darse tiempo para elaborar una vali-dacin organizada y sistemtica de sus invenciones. Este es el caso, de ciertas

8 Cabe subrayar que el esquema 1 representa una simplificacin: condensa en un smbolo nico, P (M ) o bien Ip, una cadena de instituciones encajadas, de tamao variable, que contribuyen a los procesos considerados.



organizaciones educativas (como los Institutos de Investigacin para la Ense-anza de las Matemticas-IREM- en Francia) que crean condiciones para que colectivos de profesores conciban, experimenten y evalen secuencias de clases. Un ltimo ejemplo permitir dar una idea del sentido amplio en que se conside-ra la nocin de institucin de investigacin: cuando un cocinero pone a punto una nueva receta, lo hace fuera del servicio de la clientela, dndose el tiempo necesario para experimentarla, actuando as como un investigador.

[T, t, qr, Q] es una generalizacin del [T, t, qth, Q] del caso matemtico. La tecnologa sealada con el smbolo qr (qi ) abarca saberes reconocidos por la institucin Ir (I i ). La validacin de dichos saberes depende del paradigma que enmarca la cognicin institucional de la propia institucin de investigacin. Puede ser de naturaleza totalmente experimental: por ejemplo, en el caso de la Resistencia de Materiales, varias frmulas en el juego de la construccin resul-tan de procesos de modelacin y verificacin en el laboratorio. Sabemos que, a la inversa, la validacin matemtica es exclusivamente de ndole terica. Sin embargo, fuera de esta disciplina, procesos experimentales o indagaciones de terreno contribuyen principalmente a los procesos de validacin.

Respecto al nivel del usuario, el ostensivo Ip seala que esta institucin tiene una relacin pragmtica con el tipo T. qp abarca saberes producidos en la ins-titucin usuraria Ip , con criterios de verdad, de eficacia, y de valor para las acti-vidades institucionales, las cuales son el escenario de los procesos empricos de validacin.

Las flechas a la derecha de las praxeologas, fuera de la representacin de la praxeologa misma, simbolizan las prcticas sociales de validacin, legitimacin e institucionalizacin, que se desarrollan en las instituciones implicadas.

El smbolo * seala la existencia de una transposicin de cada componente de [T, t, qr, Q], transposicin que se produce, se valida y se legitima en una insti-tucin Ir* en la cual estn representadas y negocian las instituciones implicadas Ir y Ip . Ir* es lo que Chevallard (1985, reedicin 1991: 214) llama noosfera, es decir una institucin de transposicin de los saberes. Esta negociacin puede desem-bocar en un cambio de paradigma de validacin: por ejemplo, en ciertos pases, la enseanza secundaria de matemticas acepta validaciones experimentales de algunos teoremas.

Por ltimo, cabe subrayar que la ausencia de una teora Qp a nivel de Ip es una decisin que refuta Chevallard. En la TAD, la teora es la tecnologa de la tecnologa, es decir cualquier logos racional, reconocido por la institucin, que sostiene la tecnologa de la tcnica. En Castela y Elguero, (2013: 256), se

Corine Castela


contempla la necesidad de investigar las praxeologas de validacin de tcnicas t y tecnologas q en Ip . La tecnologa de dichas praxeologas se podra considerar como elemento de la teora de [t,q]. El inters de incluir una teora pragmtica en el modelo tiene que ver con problematizar su existencia/ausencia y sugerir el desarrollo de investigaciones que indaguen al respecto.

2. Las etnopraxeoLogas

Queda ahora una ltima etapa de la argumentacin para el desarrollo del modelo praxeolgico. Al leer lo anterior, parecera que la circulacin inter-institucional de las praxeologas siempre se dirige desde una institucin de investigacin hacia instituciones usuarias. No es as, aun en el sentido amplio que damos a la nocin de investigacin. Se debe considerar la posibilidad que al inicio del proceso de invencin e innovacin se encuentren instituciones profesionales o de la vida social: enfrentados con tareas problemticas, los sujetos de una ins-titucin dada, advierten aspectos genricos, inventan tcnicas que se validan empricamente y se difunden dentro de la institucin. En tal proceso, que, por supuesto, no resulta ni lineal ni sencillo, se desarrolla un discurso comn, una tecnologa compartida que emerge de la prctica. La praxeologa que, segn la TAD, se presenta inicialmente en la forma siguiente [T, t, qp, Qp], la llamamos etnopraxeologa. No se trata de una produccin personal; una etnopraxeologa se legitima, se institucionaliza en la institucin que la produce y que norma el tratamiento de las tareas de tipo T para los sujetos. Una antropologa epistemo-lgica que pretende interesarse en todas las modalidades del desarrollo de la cognicin institucional, debe indagar las etnopraxeologas como tambin los procesos sociales que las producen, en tanto que elementos de la cultura comn (tal lnea de trabajo est bien representada en la matemtica educativa, espec-ficamente en Sudamrica y frica con la etnomatemtica y la socioepistemologa). En este caso, no se puede esperar que el discurso terico, como por ejemplo los principios compartidos que sostienen la validacin, se ponga naturalmente de manifiesto, dicho discurso se debe buscar. Esto no sucedi en dos investigaciones que indagaron un entorno laboral: la costura a medida en Argentina (vase un anlisis con las herramientas de la TAD en Castela y Elguero, 2013) y el trabajo de los jornaleros migrantes en Mxico (Solares, 2013). Es decir que, aunque no se pone de manifiesto ningn discurso del nivel terico Qp, esto no significa que no exista, sino que la indagacin deba profundizarse para, quizs, encontrarlo.



Para llevar a cabo el examen de las formas de la vida praxeolgica institucio-nal, cabe aadir que son varias las razones (necesidad de mejorar las tcnicas, curiosidad epistmica, etc.) que pueden inducir a las instituciones productoras de etnopraxeologas a crear instituciones de investigacin (en el sentido amplio considerado anteriormente) para seguir en otro nivel el desarrollo de la pra-xeologa, a no ser que una Ir ya existente se interese en la etnopraxeologa, la reexamine desde su punto de vista y paradigma propios, la transforme y quizs la devuelva as modificada a la institucin productora de origen.

V. CONCLUSIN

En este texto, el propsito fue convencer que cualquier investigacin interesada por el papel de las matemticas en un contexto profesional debe integrar una indagacin epistemolgica, con el supuesto antropolgico siguiente: cada insti-tucin ejerce una actividad cognitiva propia; aun cuando importa praxeologas de otras instituciones productoras de matemticas, y no; las desarrolla y las adapta a sus condiciones institucionales especficas. El modelo praxeolgico de Chevallard destaca la necesidad de investigar tanto el componente prctico como el del discurso racional. Los desarrollos que se han presentado aqu proveen una pauta de anlisis de los saberes que se expresan en los discursos institu-cionales; llaman tambin la atencin sobre los procesos institucionales de vali-dacin, legitimacin e institucionalizacin, considerndolos como temas imprescindibles de estudio. Este enfoque vale para profesiones que emplean matemticas de alto nivel hasta cualquiera actividad laboral en que se abordan tareas con una dimensin matemtica en un contexto comunitario.

Agradezco a los rbitros y editora de la revista su ayuda para la traduccin de este texto.

REFERENCIAS

Akkerman, S. F., & Bakker, A. (2011). Boundary Crossing and Boundary Objects. Review of Educational Research, 81(2), 132-169.

Castela, C. (2011a). Des mathmatiques leurs utilisations, contribution ltude de la productivit praxologique des institutions et de leurs sujets / Le travail personnel au cur du dveloppement praxologique des lves en tant quutilisateurs de

Corine Castela


mathmatiques. Note de synthse prsente en vue de lHabilitation Diriger des Recherches, Universit Paris Diderot. Paris: Irem Paris Diderot. http://tel.archives-ou-vertes.fr/tel-00683613

Castela, C. (2011b). Dvelopper le modle praxologique pour mieux prendre en compte, dans le cadre de la Thorie Anthropologique du Didactique, la dynamique des savoirs. In M. Bosch, J. Gascn, A. Ruiz Olarra, M. Artaud, A. Bronner, Y. Cheval-lard, G. Cirade, C. Ladage & M. Larguier (Eds.), Un panorama de la TAD. Barcelona. CRCM. pp. 163-185.

Castela, C. (2008). Travailler avec, travailler sur la notion de praxologie mathmatique pour dcrire les besoins dapprentissage ignors par les institutions denseignement . Recherches en Didactique des Mathmatiques 28 (2), 135-182.

Castela, C. (2005). A propsito de los conocimientos que no se ensean explcitamente, empero necesarios para tener xito en las matemticas escolares. Revista Latino-americana de Investigacin en Matemtica Educativa 8 (2), 111-127.

Castela, C., Elguero, C. (2013). Praxologie et institution, concepts cls pour l'anthropologie pistmologique et la sociopistmologie. Recherches en Didactique des Mathma-tiques 33 (2), 79-130.

Castela, C., Romo Vzquez, A. (2011). Des mathmatiques lautomatique: tude des effets de transposition sur la transforme de Laplace dans la formation des ingnieurs. Recherches en Didactique des Mathmatiques, vol. 31-1, 79-130.

Chevallard, Y. (1999). Lanalyse des pratiques enseignantes en thorie anthropologique du didactique. Recherches en Didactique des Mathmatiques 19 (2), 221-266.

Chevallard, Y. (1985). La transposition didactique. Grenoble: La Pense Sauvage. Rd. augmente (1991).

Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascn, J. (1997). Estudiar matemticas. El eslabn perdido entre la enseanza y el aprendizaje. Barcelona: ICE/Horsori.

Covin, O. (2013). La formacin matemtica de futuros profesionales tcnicos en cons-truccin. Tesis doctoral. Mxico: CINVESTAV-IPN.

Engestrm, Y. (2001). Expansive Learning at Work: Toward an Activity Theoretical Recon-ceptualization. Journal of education and work, 14 (1), 133-156.

Engestrm, Y., Engestrm R., Krkinen, M. (1995). Polycontextuality and Boundary Crossing in Expert Cognition: Learning and Problem Solving in Complex Work Activities. Learning and Instruction, 5(4), 319-336.

Romo Vzquez, A. (2009). La formation mathmatique des futurs ingnieurs. Thse de doctorat. Universit Denis Diderot Paris 7.



Roth, W.-M., (2014). Rules of bending, bending the rules: the geometry of electrical conduit bending in college and workplace. Educational Studies in Mathematics, 86, 177-192.

Solares, D. (2012). Conocimientos matemticos de nios y nias jornaleros agrcolas migrantes. Tesis doctoral. Mxico: DIE-CINVESTAV.



La separacin ciega de fuentes: un puente entre el lgebra lineal y el anlisis de seales

Blind source separation: a bridge between linear algebra and signal analysis

Rita Vzquez,1 Avenilde Romo,2 Rebeca Romo-Vzquez,3 Mara Trigueros4

Fecha de recepcin: 13 de agosto de 2015. Fecha de aceptacin: 11 de abril de 2016.1 Centro de Investigacin en Ciencia Aplicada y Tecnologa Avanzada, Unidad Legaria, Instituto Politc-

nico Nacional, Mxico. [email protected] Centro de Investigacin en Ciencia Aplicada y Tecnologa Avanzada, Unidad Legaria, Instituto Poli-

tcnico Nacional, Mxico. [email protected] Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingeniera, Universidad de Guadalajara, Mxico.

[email protected] Departamento Acadmico de Matemticas, Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico, Mxico.

[email protected]

Resumen: El objetivo de este artculo es presentar un anlisis praxeolgico enmarcado en la Teora Antropolgica de lo Didctico (TAD) de un mtodo proveniente de la ingeniera conocido como Separacin Ciega de Fuentes (BSS). En el mtodo estn presentes praxeologas que pueden trasponerse a los cursos iniciales de matemticas dentro de una formacin de ingenieros, concretamen-te dentro del curso de lgebra Lineal. El anlisis muestra que la BSS tiene potencial para generar actividades de modelacin que conecten la teora mate-mtica con la prctica ingenieril. Se presenta, adems, una propuesta inicial para una actividad de estudio e investigacin basada en la BSS.

Palabras clave: Formacin de ingenieros, modelos matemticos, lgebra lineal, BSS, teora antropolgica de lo didctico.

Rita Vzquez, aVenilde Romo, Rebeca Romo-Vzquez y maRa tRigueRos


Abstract: The aim of this paper is to present a praxeological analysis in the frame of the anthropological theory of didactics (ATD) of an engineering method known as Blind Source Separation (BSS). In the method we found praxeologies that can be transposed to the first year mathematics courses in engineering education, particularly in Linear Algebra. The analysis shows that BSS is a potential tool to generate modelling activities that reduce the gap between mathematical theory and engineering practice. We present a proposal of a research and study path based on BSS.

Key words: Engineering education, mathematical models, linear algebra, BSS, anthropological theory of didactics.

1. INTRODUCCIN. LA MODELACIN MATEMTICA EN LA FORMACIN DE INGENIEROS

En las formaciones profesionales como las ingenieras, una funcin de la mate-mtica es servir como herramienta para acceder a conocimientos de otras dis-ciplinas, lo que abre el cuestionamiento: qu matemticas deben incluirse en cada formacin, y cules son las formas ms efectivas de hacerlo? Para abordar esta cuestin analizamos trabajos que abordan las necesidades matemticas de las prcticas profesionales y trabajos centrados en la modelacin matemti-ca como estrategia de enseanza. El estudio ICMI 3 se dedic a la matemtica vista como disciplina de servicio, lo que mostr que en las formaciones de futuros profesionistas no matemticos su razn de ser necesita ser compren-dida tomando en cuenta a la profesin en cuestin. En la contribucin de Pollak (1988) se muestra una reflexin acerca del papel que debe darse a la matem-tica en la formacin de ingenieros, identificando el uso de modelos y la mode-lacin como un elemento esencial para conectar la prctica profesional con esta disciplina. La modelacin en la prctica de ingenieros, como lo muestra Bissell (2000), est asociada ms al uso de modelos matemticos estndar, bien conocidos que a la construccin de nuevos modelos matemticos. En ese sen-tido, importa adaptar, ajustar, hacer funcionar el modelo en distintas situaciones y recurrir a formas de validacin que provienen no slo de la teora matemtica sino tambin de la prctica. Las investigaciones de Kent y Noss (2002) adems sealan que los modelos matemticos funcionan de manera implcita, por lo que reconocer las relaciones entre validaciones tericas y prcticas, solicita un estudio a profundidad de las prcticas profesionales. Estos trabajos se han

La separacin ciega de fuentes: un puente entre eL Lgebra LineaL y eL anLisis de seaLes


incrementado hasta lograr un espacio en el mbito de la investigacin en mate-mtica educativa, como lo muestra la conformacin del grupo Mathematics education in and for work en la conferencia ICME desde el 2008.

Por otra parte, la modelacin matemtica por s misma se ha venido estu-diando ampliamente en la Matemtica Educativa, reconocindose como un paradigma de enseanza (Kaiser, Blomhoj & Sriraman, 2006). De acuerdo a sus propsitos se pueden distinguir dos vertientes de la modelacin: como herramienta para ensear y como medio para alcanzar otros conocimientos (Niss, Blum, Galbraith & Henn, 2007). La primera ha producido numerosas lneas de inves-tigacin, basadas mayormente en la reproduccin en el aula de un proceso cclico: formulacin del modelo prueba ajuste reformulacin, conocido como ciclo de modelacin, estudiado desde diversos enfoques tericos (Borro-meo-Ferri, 2006) y con distintos objetivos.

Existe extensa literatura de investigacin en Educacin Matemtica en torno al uso de los modelos para el aprendizaje de distintos conceptos de las mate-mticas (por ejemplo Kadijevich, D. Haapasalo, L. & Hvorecky, J. 2005; Larson, Nelipovich, Rasmussen, Smith & Zandieh, 2007; Possani, Trigueros, Preciado, & Lozano, 2010). Todos ellos reportan algunas dificultades y resultados de apren-dizaje satisfactorios al incluir la modelacin en la enseanza; sin embargo, en la revisin de literatura que efectuamos no encontramos estudios en los que se muestre el proceso involucrado en la conversin de un modelo utilizado en el mbito de la ingeniera en un dispositivo didctico. Es por ello que, desde la perspectiva de nuestra investigacin, nos interesa analizar modelos con el fin de contextualizar contenidos matemticos especficos. En este sentido, nuestro objetivo es que los estudiantes sean capaces de plantear modelos provenientes de problemas complejos de la ingeniera pero adaptados a un nivel ms ele-mental de conocimientos. La contribucin principal de este trabajo es justamente el anlisis de un problema complejo de la ingeniera desde la perspectiva de su uso para la enseanza de algunos conceptos del lgebra Lineal. El eje central del trabajo consiste en desarrollar una estrategia que permita la adaptacin de modelos complejos a dicho contexto y su uso en la clase de matemticas.

1.1 acercar La enseanza de La matemtIca a La prctIca profesIonaL deL IngenIero: es posIbLe?

Con el objetivo de acercar la prctica a la enseanza, proponemos analizar contextos de ingeniera e identificar en stos, modelos matemticos que a la vez



sean objetos de enseanza en los primeros aos universitarios. Se busca que este anlisis constituya una herramienta, particularmente para profesores uni-versitarios que deseen disear actividades didcticas de modelacin matemti-ca. Resaltamos en este enfoque un sentido que va del uso hacia la enseanza y no al revs. Cabe sealar que el diseo y uso de herramientas didcticas basadas en modelos reales requiere, de parte del profesor de matemticas, adentrarse en contextos distintos a esta disciplina, que tienen por su parte una lgica y lenguaje propios, lo que resulta una tarea compleja, como tambin se seala en Borromeo-Ferri (2011). Consideramos dos elementos fundamentales en esta investigacin: encontrar un contexto de ingeniera pertinente y elemen-tos tericos y metodolgicos que posibiliten el diseo didctico. El problema que buscamos investigar es cmo reconocer en modelos provenientes de la prcti-ca profesional del ingeniero la matemtica inmersa, de modo que sta pueda servir como base para investigaciones o diseos didcticos? Abordarla supone un inters en analizar la actividad de modelacin matemtica al seno de una comunidad que reconocemos como representante de la prctica del ingeniero y sus posibles transposiciones al aula de matemticas. Consideramos que para estudiar esta cuestin, la Teora Antropolgica de lo Didctico resulta ptima pues ofrece un modelo para el estudio de la actividad humana, incluida la de modelacin matemtica, en su dimensin institucional. Presentamos a continua-cin una propuesta terica-metodolgica para analizar modelos matemticos en contextos de uso de la ingeniera, y el anlisis de acuerdo a esta aproximacin, del contexto conocido como Separacin Ciega de Fuentes (Blind Source Sepa-ration, BSS).

2. ELEMENTOS DE LA TEORA ANTROPOLGICA DE LO DIDCTICO PARA EL ANLISIS DE MODELOS MATEMTICOS EN USO

La Teora Antropolgica de lo Didctico (TAD) propuesta por Chevallard (1999) ofrece un modelo para el estudio de los procesos de produccin y circulacin de saberes. Los saberes humanos son vistos como el resultado de enfrentarse a situaciones problemticas. Parte de la idea de que los humanos producimos formas de resolver problemas (tcnicas) y discursos (tecnologas) que justifi-can dichas formas. La acumulacin y refinamiento de tales tcnicas y tecnologas es lo que llamamos el saber. En este sentido la TAD ha sido una herramien-ta esencial para estudiar la actividad matemtica que tiene lugar en las



instituciones de enseanza en su dimensin institucional. Las instituciones, de acuerdo a Castela y Romo-Vzquez (2011), son organizaciones sociales estables, que enmarcan las actividades humanas y simultneamente las hacen posibles por los recursos que stas ponen a disposicin de sus sujetos. (Romo-Vzquez y Castela, 2011, p. 85, traduccin).

La unidad mnima de anlisis de la actividad es la praxeologa, trmino que etimolgicamente une dos conceptos: praxis y logos, de donde se suele traducir praxeologa como el estudio sobre la prctica. Una praxeologa est formada de cuatro elementos: T el tipo de tarea o tareas (lo que se hace), t la tcnica (la forma en cmo se lleva a cabo la tarea), q la tecnologa (un discurso que justifica la tcnica y que est respaldado por una institucin) y la teora Q (un sper discurso que a su vez, justifica la tecnologa), mismos que se agrupan en dos bloques: el tcnico-prctico [T, t] y el tecnolgico-terico [q, Q]. La praxeologa es un modelo de la actividad y de los recursos (materiales pero sobre todo cog-nitivos) que son producidos socialmente y capitalizados por los grupos humanos para llevar al cabo las actividades (tareas) de forma eficiente. Una praxeologa P reconocida por una institucin I provee a los sujetos de I de recursos para tratar las tareas de un tipo T. Al mismo tiempo, norma las formas de afrontar estas tareas dentro de I (Castela, 2011).

2.1 determInacIn de praxeoLogas matemtIcas

Las praxeologas matemticas u organizaciones matemticas (OM), pueden ser estudiadas en el marco de una institucin I, considerando la jerarqua de nive-les de determinacin propuesta por Chevallard (2002). En esta jerarqua se propone un modelo de normas y restricciones que la institucin I impone a las (OM). Este modelo reposa sobre una estructuracin que organiza las praxeologas en diferentes niveles anidados, que de acuerdo a un orden de complejidad creciente son los siguientes: especfico (OM puntual), local (OM local), sector (OM regional) y dominio (OM global).

El nivel ms bsico de una organizacin matemtica es el puntual: supone que [T/t/q/Q] posee una sola tcnica para realizar el tipo de tareas. El siguiente nivel es el local, que reagrupa todas las organizaciones matemticas puntuales asociadas a la misma tecnologa q. El nivel regional reagrupa todas las organi-zaciones puntuales asociadas a la misma teora Q, el global o el dominio reagrupa ciertas organizaciones matemticas regionales, la disciplina es el nivel superior



y reagrupa todos los dominios. En el caso de las matemticas, stas constituyen la disciplina, la Geometra, la Topologa, el lgebra, son dominios, el lgebra Lineal es una organizacin regional del lgebra; a su vez, las operaciones sobre matrices podran constituir una organizacin local y las tcnicas para determinar la inversa de una matriz, podra conformar una organizacin puntual (ver figura 1). Dicho de otra manera, la institucin matemtica es vista como un anidamiento de sub-instituciones, constituida por organizaciones matemticas OM de diferentes niveles: especfico, local, regional y global.

Disciplina: Matemticas

Dominio 1: OM global [Tji/ji/j/k]kji Sector: OM regional [Tji/ji/j/]ji

Local: OM local [Ti/i//]i

Especfico: OM puntual[T///]

lgebra (Dominio 2) lgebra

Lineal

Operaciones sobre matrices

Inversa de una matriz

Sec

Lo

Es

Dominio 3

Sec

Lo

Es

Sec

Lo

Es

Figura 1. Anidamiento de sub-instituciones de organizaciones matemticas a diferentes niveles.

El anidamiento pone en evidencia una cascada de condiciones o restricciones pesando sobre una praxeologa puntual, asociada a un tipo de tareas T. As, el hecho de que un tipo de tareas sea visto como relevante en las matemticas puede, en cierto momento, poner en un plano secundario ciertas tcnicas acep-tadas en otras pocas o en otras disciplinas (un ejemplo podra ser el clculo de determinantes recurriendo a propiedades de los mismos, antes del uso de las computadoras, o la medicin como una forma de validacin en geometra). Por otra parte, este anidamiento tambin muestra que para acercarse a las mate-mticas como disciplina, es difcil hacerlo a partir de praxeologas puntuales desconectadas y es necesario, al menos, considerar una praxeologa local. Esta consideracin, supone que es posible establecer slidas relaciones entre las praxeologas puntuales, de lo contrario siempre habr un cierto grado de incom-pletitud de la organizacin matemtica local, como lo seala Fonseca (2004). Dicho de otro modo, es posible y deseable buscar construir organizaciones matemticas relativamente completas.



Consideramos que una estructuracin de niveles praxeolgicos resulta tam-bin posible para el conocimiento ingenieril. En particular, la separacin ciega de fuentes (BSS), considerada desde la institucin productora de saberes en el rea del Anlisis de Seales, constituye una praxeologa ingenieril. Notemos que, a diferencia de las praxeologas matemticas, que resultan de una acumulacin de conocimientos de siglos de historia humana, puede resultar ms difcil dis-tinguir en las praxeologas ingenieriles o prcticas en particular aquellas cuyo desarrollo es relativamente reciente los lmites de los niveles de organizacin, tal es el caso de la BSS cuya historia tiene apenas unas tres dcadas. La pra-xeologa BSS nos sirve como punto de partida para generar praxeologas de modelacin matemtica en las que se contemple el problema didctico de esta-blecer puentes entre dos dominios: la ingeniera y el lgebra Lineal.

2.2 codetermInacIn de Lo matemtIco y Lo dIdctIco

Chevallard desarrolla enseguida el modelo de codeterminacin de lo matem-tico y lo didctico con el objetivo de tomar en cuenta las restricciones que pesan sobre la organizacin didctica del estudio de las praxeologas. Seala que las organizaciones didcticas no pueden desarrollarse distanciadas de niveles supe-riores, dominio y disciplina, pero tambin recprocamente que estos niveles no pueden imponerse sin considerar las condiciones de la institucin de ensean-za. Por lo que resulta una co-determinacin de organizaciones matemticas y didcticas.

[] cada nivel impone, a un momento dado de la vida del sistema educativo un conjunto de restricciones y de puntos de apoyo: la ecologa que resulta es determi-nada a la vez por lo que las restricciones prohben o impulsan, y por la explotacin que hacen los actores de los puntos de apoyo que los diferentes niveles les ofrecen. (Chevallard, 2002, p.49)

2.3 modeLo praxeoLgIco extendIdo

Con el objetivo de estudiar praxeologas matemticas en instituciones no mate-mticas, el modelo praxeolgico extendido se ha desarrollado (Castela y Romo, 2011) explicitando dos componentes tecnolgicas (terica y prctica). Se



consideran elementos tecnolgicos que provienen de una o ms instituciones de referencia, de manera sinttica una praxeologa en este modelo puede deno-tarse con

T , , th ,

p

P( S ) Iu

donde P (S) representa la incidencia en la praxeologa de la institucin produc-tora de saberes (por ejemplo, el lgebra Lineal) e Iu denota la institucin usua-ria de tales saberes (por ejemplo, el lugar de trabajo del ingeniero profesional). Se reconoce que una institucin P (S) puede tambin aparecer en la posicin de Iu, en ese caso se consideran los saberes empricos a los que recurren los suje-tos de P (S) para producir saberes. Al enfrentarse a tareas en un contexto de ingeniera, se recurre al uso de saberes matemticos (modelos matemticos) mediante tcnicas matemticas validadas por saberes matemticos th. El uso de la tcnica (como por ejemplo, reconocer la naturaleza de la tarea, discriminar una tcnica de otra dependiendo de su utilidad o bien adaptar la tcnica al contexto) es validado en cambio por saberes prcticos p legitimados por Iu.

La componente prctica de la tecnologa p se concibe como un discurso que tiene seis funciones en relacin a la tcnica: describir, validar, explicar, facilitar, motivar y evaluar el uso de tcnicas matemticas en referencia a insti-tuciones usuarias, no necesariamente matemticas. Enfatizando que las funciones explicitar y validar la tcnica son tambin parte de la componente terica de la tecnologa, pero que en el caso de la componente prctica estn asociadas al uso de la tcnica y no a la tcnica misma. La utilidad de stas es reconocer cmo se validan la adaptacin y uso de modelos matemticos. Se considera que en el anlisis del contexto ingenieril habr funciones tecnolgicas matemticas (asociadas a modelos matemticos), pero tambin funciones tecnolgicas prc-ticas (asociadas al uso de los modelos en ingeniera).

2.4 InstItucIones en La formacIn deL IngenIero

De acuerdo a Romo (2009) distinguiremos para el anlisis de la BSS, las siguien-tes instituciones:

Productoras de saberes matemticos P (M ), de saberes de ingeniera P (DI). stas tienen por funcin principal producir praxeologas, haciendo incidir en ellas sus restricciones y condicionamientos.



De enseanza de matemticas E (M ) y de disciplinas intermediarias E (DI ). stas tienen por funcin transmitir, mostrar y difundir praxeologas. Las repre-sentan por ejemplo, los cursos de matemticas y los cursos de disciplinas inter-mediarias respectivamente.

Una circulacin de praxeologas entre instituciones es posible, generando diferentes relaciones entre estas instituciones, que esquemticamente pueden representarse as:

Figura 2. Circulacin de praxeologas entre las instituciones relacionadas con la formacin matemtica de ingenieros

En la figura 2 las flechas indican que la relacin se da en dos sentidos: la incidencia de una institucin sobre otra responde al inters de estudiar cmo una praxeologa P presente en una institucin I puede ser reconocida como una trasposicin de P en I. En un modelo de formacin tradicional las relaciones 1, 2 y 5 se suponen existentes. Consideramos que las relaciones 4, 3 y 6 pueden existir, y en particular nos interesamos en posibilitar la relacin 6, para que la enseanza de la matemtica dote de herramientas realmente necesarias al futuro ingeniero. As, el anlisis tiene como base la praxeologa BSS enmarcada en P (DI ).

3. METODOLOGA PARA EL ANLISIS DE LA BSS DESDE P (DI )

La BSS es un mtodo utilizado en ingeniera para separar seales que tienen distintos orgenes y que se basa en modelos matemticos, particularmente del lgebra Lineal. Este mtodo fue objeto de un primer anlisis en Macias (2012), poniendo de manifiesto sus potencialidades para ser base de diseos didcticos.



Sin embargo, la materializacin de estos ltimos requiere anlisis ms precisos, como el que presentamos a continuacin.

3.1 revIsIn y eLeccIn de documentos para eL anLIsIs

Para analizar la BSS se hizo una revisin bibliogrfica de documentos represen-tantes de P (DI ) que permitiera tener una idea general del mtodo y sus aplica-ciones, para posteriormente elegir algunos documentos que pudieran ser analizados a detalle. En la primera etapa la revisin documental se hizo bus-cando responder: cmo se modela matemticamente la separacin ciega de fuentes? De donde se eligieron como palabras clave para la bsqueda: BSS (y sus equivalentes), modelo matemtico, modelo matricial y modelacin, en ingls y espaol, utilizando el motor de bsqueda Google Scholar. De la amplia lista obtenida, se eligieron aquellos documentos que hicieran referencia a la BSS y en los que apareciera de forma explcita el modelo matricial. El ndice de citas permiti identificar los artculos de Comon y Jutten (2010) como referentes del origen del problema, eligindolos como un documento representante de P (DI ). De los documentos que explicitaban el modelo matemtico se seleccionaron tres artculos de investigacin sobre mtodos BSS (Puntonet, 2003; Georgiev y Thais, 2004 y Oursland, De Paula & Mahmood, s.f.). En Puntonent se presenta una clasificacin con tres modelos matemticos distintos, en Georgiev y Thais se propone una aproximacin matemtica al problema estableciendo un teore-ma respecto a la separacin de fuentes, y en Oursland (s.f.) se describe explci-tamente la matemtica subyacente a un algoritmo de separacin. La bsqueda inicial result til para explorar la relacin entre BSS y el modelo matricial, pero restringi los resultados a artculos con lenguaje especializado que no permitan ver el panorama general de la BSS. Por ello, la bsqueda se ampli incluyendo artculos de divulgacin sobre BSS (Carrin, Rdenas y Rieta, 2007), artculos sobre el estado del arte de la BSS (Caiafa, s.f.), as como un tutorial de los mto-dos ICA para principiantes (Delorme, s.f.). Como producto de la segunda etapa se identific la BSS como una solucin a diversos problemas en distintas ramas de la ingeniera, de donde surgi la pregunta: qu sentido se le da a la nocin de seal en cada contexto y cmo se modela matemticamente? Esto llev a incluir tambin en un nivel ms cercano a E (M ) un texto sobre mto-dos matemticos en anlisis de seales (Moon & Stirling, 2000) y un texto universitario en Anlisis de Seales (Oppenheim, 1998). Finalmente, la revisin



bibliogrfica se complement con entrevistas a un ingeniero investigador en BSS y a dos ingenieros docentes del curso de Anlisis de Seales. Dos docu-mentos son la base del anlisis praxeolgico. El primero es el Handbook of Blind Source Separation: Independent Component Analysis and Applications, de Comon y Jutten, un compendio de los llamados mtodos ICA para la BSS. Este docu-mento se eligi debido a que sus editores son los creadores del mtodo, en ste se establece el origen del problema de separacin de fuentes y es reconocido como un documento fundamental en la comunidad de investigacin de BSS. El segundo documento es el producido por Oursland, De Paula, y Mahmood (s.f.), y es elegido ya que su enfoque es ms cercano a la prctica profesional, expli-citando un algoritmo de BSS y ejemplificando en tres distintos usos; lo que aporta al anlisis de los elementos tecnolgico-prcticos de la BSS. As el an-lisis ilustra la gnesis, la clasificacin basada en los modelos utilizados y los algoritmos asociados a la BSS.

4. ANLISIS PRAXEOLGICO DE LA BSS

El anlisis de la BSS est realizado en dos partes, en la primera, se presenta la praxeologa BSS, detallndose la tcnica matemtica y el modelo matricial aso-ciado. En la segunda, se presentan algunas de las aplicaciones de esta tcnica en diferentes contextos ingenieriles.

4.1 La praxeoLoga bss y su motIvacIn

La praxeologa BSS es sumamente relevante en el campo de la ingeniera pero tambin est asociada a una gran complejidad. El planteamiento del problema puede, sin embargo, ser entendido con el clsico ejemplo del cocktail party donde podemos imaginar en un cuarto distintas conversaciones y una de las personas necesita enfocarse en un solo conversador. El cerebro tiene la capaci-dad de enfocarse en una sola voz discriminando el resto de las voces o conver-saciones. Es decir, es capaz de separar una mezcla (en este caso de voces). Este ejemplo sirve para ilustrar el tipo de tareas de la praxeologa BSS: separar una mezcla de seales. Comon y Jutten (2010) sealan que la BSS surge en 1982 en el marco de una investigacin sobre la decodificacin del movimiento de articulaciones en vertebrados. En esta investigacin se mostr que el sistema



nervioso central recibe una mezcla de informacin de la contraccin y de la velocidad del movimiento, haciendo emerger la siguiente cuestin, cmo se pueden conocer los datos de origen si nicamente se cuenta con la informacin de las seales mezcladas, pero no se conoce la forma en que se mezclaron, ni las fuentes de origen? As como el siguiente planteamiento:

Surprisingly, while we could imagine that each type of ending only transmits one type of information, either stretching or speed, the proprioceptive information trans-mitted by endings is a mixture of stretching and speed information. Estimating v and p from f1 and f2 seems impossible, however even with closed eyes, the central nervous system is able to separate joint speed and location while they are arriving (. . .) (Com-mon y Jutten, 2010, p. 5).

En este planteamiento los investigadores reconocen la capacidad del cerebro para separar velocidad y localizacin de la fuente, lo que los motiva (funcin tecnolgica-prctica) a generar una tcnica que permita enfrentar el tipo de tareas, separar seales. La tcnica que se propone para separar v y p se plantea a partir del modelo matricial As = x, donde A representa la matriz de mezcla, s las fuentes de origen y x las seales mezcladas y consiste en estimar una matriz B de separacin que sea lo ms cercana posible a la inversa de A .

The BSS problem consists of retrieving unobserved sources, denoted in vector notation as s ( t )= ( s 1( t ) , . . . , sN( t ) ) T RN assuming zero mean and stationary from observed mixtures x ( t )= ( x 1( t ) , . . . , x p( t ) ) T R

p which can be written: x ( t )=A(s ( t ) ) where A is an unknown mapping from R N in Rp, and where t denotes the sample index, which can stand for time for instance. (Comon y Jutten, 2010, p. 10).

La tecnologa que permite asegurar que la matriz B es la adecuada se basa en que B = (J x W ) donde W es la matriz de blanqueamiento espacial o de decorrelacin (que elimina la correlacin entre las fuentes) asegurando la orto-gonalidad entre las fuentes y J es la matriz de rotacin que asegura la posicin correcta de las fuentes. Para estimar B, existen dos grandes familias de tcnicas o algoritmos, los basados en estadstica de orden superior (HOS) (Cardoso & Souloumiac, 1993; Makeig et al., 1996; Bell & Sejnowski, 1995; Hyvrinen & Oja, 1997) y los basados en estadstica de orden dos (Belouchrani et al., 1993; Choi & Cichocki, 2000). Ambas familias de algoritmos tienen una primera etapa que es la decorrelacin (eliminar la correlacin entre las fuentes, determinar W ), en



los HOS la segunda etapa es calcular la independencia est

agosto de 2016 matemática educación · procesos iterativos infinitos y objetos trascendentes: un...

Documents