Álgebra linear cap2

Aula 4 ...................................................................................................................................................................................................................................................... 2

Aula 5 .................................................................................................................................................................................................................................................... 11

Aula 6 .................................................................................................................................................................................................................................................... 27

Aula 7 .................................................................................................................................................................................................................................................... 31

Aula 8 .................................................................................................................................................................................................................................................... 34

lgebra Linear Captulo 2: Sistemas de Equaes Lineares

2

2.1. Aproximao ao estudo de sistemas de equaes lineares

2.1.1. Sistema de duas equaes e duas incgnitas

Considere-se o sistema de equaes lineares

2 = 0 + 2 = 3 . Aplicando o mtodo de substituio j conhecido obtm-se

2 = 0 + 2 = 3 = 2 + 22 = 3 3 = 3 = 1 = 1 = 2, sendo o conjunto soluo do sistema

= 12. Qualquer outro sistema de equaes lineares que tenha o mesmo conjunto soluo diz-se sistema equivalente a este.

Aula 4

3

03 = 21 + 12, Com = 1 e = 2, temos:

03 = 1 21 + 2 12 03 = 21 + 24 03 = 03.

Pode-se reescrever o sistema na forma matricial, considerando uma matriz para os coeficientes das incgnitas, uma matriz coluna X para as incgnitas e uma matriz coluna B para os termos independentes, de tal modo que

= 2 11 2 = 03.

Em resumo, o quadro seguinte relaciona, exemplificativamente, o nmero de solues, a classificao e a interpretao grfica

de sistemas lineares de duas equaes e duas incgnitas.

2 = 0 + 2 = 3 = 1 = 2

Nmero de

solues

1 soluo

Classificao Sistema possvel e determinado

Interpretao

grfica


de sistemas lineares de duas equaes e duas incgnitas.

2 + = 14 + 2 = 2 = 2 + 10 = 0 Infinitas solues

Sistema possvel e determinado Sistema possvel e indeterminado

4


6 3 = 22 + = 1 = 2 + 10 = 5

Sem soluo

Sistema impossvel

5

2.1.2. Sistema de trs equaes e trs incgnitas


2 = 0 + 2 ! = 1 3 + 4! = 4 . Recorrendo ao mtodo de substituio obtm-se

2 = 0 + 2 ! = 13 + 4! = 4 = 2 "

+ 22 ! = 1 "! = 3 1

" 32 + 43 1 = 4 " = 0

= 0 = 0! = 1. sendo o conjunto soluo do sistema

= # 001$%. A procura da soluo do sistema pode passar ainda por descobrir para que valores de x, y e z possvel escrever o vetor

dos termos independentes # 014$ como combinao linear dos vetores dos coeficientes das incgnitas, ou seja,

6

# 014$ = #210$ + #

123$ + ! #014$.

Com = 0, = 0 e ! = 1 temos: # 014$ = 0 #

210$ + 0 #123$ 1 #

014$ # 014$ = #

014$.

VER:Ficheiros Math\Sistema 3x3.nb

Em termos da representao na forma matricial, obtm-se:

= # 2 1 01 2 10 3 4$ &!' = #

014$.

7

2 = 0 + 2 ! = 1 3 + 4! = 4 = 0 = 0! = 1

2 + ! = 13 2 + 4! = 03 + 4 + 7! = 3 )! = 2 + 1 = *+, -,0 = 0

+ + ! = 22 + 2 + 2! = 13 + 3 + 3! = 6 = 2 !0 = 5

Nmero de

solues 1 soluo. Infinitas solues. Sem soluo.

Classificao Sistema possvel e determinado. Sistema possvel e indeterminado. Sistema impossvel.

Interpretao

grfica

Trs planos intersetados num ponto. Trs planos intersetados numa reta. Trs planos paralelos.

VER:Ficheiros Math\Interseco planos 3D.nb

Outros casos de sistema impossvel:

Um plano perpendicular com outros dois paralelos entre si

Trs planos intersetados dois a dois segundo retas paralelas.

8

2.1.3. Sistemas de m equaes e n incgnitas

Definio: Uma equao linear nas incgnitas *, , 0 uma equao do tipo 1** + + 100 = 2, onde os coeficientes das incgnitas 1*, , 10 e o termo independente b so elementos de um corpo . Um sistema de equaes lineares uma conjuno de m equaes lineares, todas nas mesmas incgnitas, do tipo

1*** + + 1*00 = 2*13** + + 1300 = 23 , (S) onde o ndice i do coeficiente 145 indica a equao em que o coeficiente se encontra e o ndice j refere-se incgnita qual o coeficiente est associado.

Uma soluo do sistema S uma lista 6*, , 60 de nmeros que torna cada equao numa afirmao verdadeira quando os valores *, , 0 so substitudos por 6*, , 60, respetivamente.

Por discusso do sistema entende-se a sua classificao quanto existncia e unicidade de soluo. Um sistema de

equaes lineares diz-se impossvel se no existe soluo e possvel se admite pelo menos uma soluo. Neste caso, se admite

uma nica soluo diz-se possvel e determinado e se admite mais que uma soluo diz-se possvel e indeterminado.

9

Em termos da representao na forma matricial, o sistema S pode ser escrito na forma

= 7 1** 1* 1*01* 1 10 13* 13 130: 7*0: = 7

2*223:, com 30 a matriz simples dos coeficientes, 3* a matriz das incgnitas e 3* a matriz dos termos independentes.

Ex 2.1. Verifique se # 342$ uma soluo do sistema de equaes lineares 5 + 2! = 7 2 + 6 + 9! = 0 7 + 5 3! = 7 .

Ex 2.3 Considere as matrizes A e B, tais que

= # 0 1 22 0 01 0 2$; = # 211$.

a. Considerando o sistema de equaes lineares = , nas incgnitas , e !, indique as equaes lineares que constituem o sistema .

10

Tarefa: A Ponte de Wheatstone

A Ponte de Wheatstone um instrumento de medio usado tradicionalmente na medio de resistncias eltricas. Foi inventado por Samuel Hunter Christie em 1833,

sendo que foi Charles Wheatstone quem o divulgou dez anos mais tarde.

O esquema da Ponte de Wheatstone apresentado na figura tem uma nica fonte de energia A e cinco resistncias.

Quando a corrente eltrica passa por uma resistncia ocorre uma queda de voltagem, sendo esta dada, segundo a lei de Ohm, por = = > ?, com a voltagem V, medida em volts, a resistncia R, medida em ohm e a intensidade da corrente eltrica I, medida em amperes.

s intensidades atribuem-se os sinais positivos e negativos consoante o sentido da corrente. Se o sentido da corrente for do lado positivo da fonte

de energia (segmento maior) para o lado negativo, ento a voltagem positiva. Caso contrrio, a voltagem negativa.

As leis de Kirchhoff relacionam a intensidade, voltagem e resistncia em circuitos eltricos, enunciadas como se segue.

Lei da corrente (ns):

A soma das correntes que entram em qualquer n igual soma das correntes que saem dele.

Lei da voltagem (circuitos):

A soma das quedas de voltagem ao longo de qualquer circuito igual voltagem total em torno do circuito.

Pretende-se determinar, em amperes, as intensidades I, I1, I2, I3, I4, I5, indicadas na figura.

Subtarefa 1: Para cada lei de Kirchhoff enuncie as equaes para a determinao das intensidades das correntes no circuito eltrico.

Subtarefa 2: Represente as equaes lineares num nico sistema sob a forma matricial.

11

2.2. Resoluo de sistemas de equaes lineares

2.2.1. Limitaes dos mtodos de resoluo de sistemas de equaes lineares

Mtodo grfico

A posio relativa de retas ou planos, com representao a duas dimenses ou trs dimenses, respetivamente, auxilia a

discusso de sistemas de duas equaes e duas incgnitas ou de trs equaes a trs incgnitas, no caso de trs dimenses. Para

a determinao do conjunto soluo ainda necessrio o recurso a procedimentos analticos ou s potencialidades de software

de computao simblica e geometria dinmica, para a descoberta do(s) ponto(s) de interseo das retas ou dos planos.

Fixando o nmero de incgnitas e aumentando o nmero de equaes, o mtodo grfico ainda possvel, uma vez que

cada equao representa uma reta, correspondendo a soluo, caso exista, ao ponto de interseo de todas as retas. No caso de

trs dimenses cada equao representa um plano, existindo soluo quando os planos se intersetam todos num ponto ou num

conjunto de pontos todos sobre uma mesma reta.

Aula 5

12

Exemplo:

Resoluo, pelo mtodo grfico, do sistema de quatro equaes e duas incgnitas

@ 2 = 06 2 = 2 5 = 2 + 2 = 1 .

As quatro retas intersetam-se num ponto, sendo o sistema possvel e determinado, com = "&ABCADC'E.

13

Exemplo:

Resoluo, pelo mtodo grfico, do sistema de cinco equaes e trs incgnitas

FGHGI 3 + 4! = 1 + ! = 22 2 + 5! = 1 4 + 3! = 3 3 + 6! = 3

.

Os cinco planos intersetam-se numa reta, sendo o sistema possvel e indeterminado, com = #KL KLMCLN OL!! $ : ! %. VER:Ficheiros Math\Interseco planos 3D.nb

Para sistemas de equaes lineares com mais que trs incgnitas, o mtodo grfico no se usa pelas limitaes de

representao num espao com quatro ou mais dimenses.

14

Mtodo de substituio

Se o nmero de incgnitas e de equaes for grande, a operacionalizao do processo de substituio nas diferentes

equaes lineares, at isolar cada uma das incgnitas, moroso e inapropriado. No entanto, o mtodo eficaz, qualquer que se

seja o nmero de incgnitas e equaes, se os coeficientes das incgnitas constiturem uma matriz na forma escalonada.

Exemplo:

Resoluo, pelo mtodo de substituio, do sistema de quatro

equaes e cinco incgnitas

@ 4 + 3! 2Q + R = 8 2! 2Q + 3R = 0 2! 4Q + R = 3 5R = 5 .

Em termos da representao na forma matricial, obtm-se

para matriz dos coeficientes das incgnitas a matriz na forma

escalonada

= 71 4 3 2 10 1 2 2 30 0 2 4 10 0 0 0 5:.

A determinao do valor da incgnita t imediata e por

substituio ascendente obtm-se

@ 4 + 3! 2Q + R = 8 2! 2Q + 3R = 0 2! 4Q + R = 3 5R = 5 @ = 10 = 2Q 5 ! = 2Q 1R = 1 .

O sistema possvel e indeterminado, pois existem infinitas

solues, dependentes do valor de w, sendo o conjunto

soluo

= )T 102Q 52Q 11 U : Q V.

15

Mtodo da adio ordenada

O mtodo da adio ordenada consiste em adicionar ordenadamente duas equaes, substituindo posteriormente uma

delas pela equao obtida, continuando-se com um sistema equivalente ao primeiro. Na adio ordenada das equaes, o

objetivo anular uma das incgnitas com a eventual necessidade de multiplicar uma das equaes por um escalar.

Exemplo:

Resoluo, pelo mtodo da adio ordenada, do seguinte sistema:

) + 2 3! = 1 12 + 4! = 2 2 5 + ! = 3 3 . Para anular a incgnita adiciona-se (2) com (3); 2 + 4! = 2 5 + ! = 3 7 + 3! = 1 4 Para anular a incgnita y adiciona-se (1) com o dobro de (2); + 2 3! = 1 4 2 + 8! = 4 5 + 5! = 5 5

Multiplica-se (5) por *W; + ! = 1 6

16

Retomando o sistema inicial:

+ 2 3! = 1 2 + 4! = 2 5 + ! = 3 + 2 3! = 1 7 + 3! = 1 + ! = 1

Para anular a incgnita !, multiplica-se (6) por 3 e adiciona-se com (4); 7 + 3! = 1 3 3! = 3 4 = 4 7

Para obter o valor de multiplica-se (7) por *- ; = 1 8 Para descobrir o valor de z, multiplica-se (8) por 1 e adiciona-se com (6);

+ ! = 1 = 1 ! = 2 9 Retomando a resoluo do sistema:

+ 2 3! = 1 2 + 4! = 2 5 + ! = 3 + 2 3! = 1 7 + 3! = 1 + ! = 1

+ 2 3! = 1 = 1 ! = 2 Para anular e !, multiplica-se (8) por 1 e (9) por 3 e adicionam-se ambas a (1);

17

+ 2 3! = 1 = 1 3! = 6 2 = 8 10 Para descobrir o valor de , multiplica-se (10) por *; = 4

Concluindo a resoluo do sistema:

+ 2 3! = 12 + 4! = 25 + ! = 3 + 2 3! = 1 7 + 3! = 1 + ! = 1

+ 2 3! = 1 = 1 ! = 2 = 4 = 1! = 2

O sistema possvel e determinado, pois existe uma nica soluo, sendo o conjunto

soluo

= #142$%.

18

2.2.2. O mtodo de eliminao de Gauss

Notao matricial

Sejam:

A, a matriz dos coeficientes das incgnitas, tambm designada por matriz simples; X | Z, a matriz ampliada, que consiste na matriz A com uma coluna adicional B, correspondente matriz dos termos independentes.

Dado o sistema de equaes lineares

@ 1*** + 1* + + 1*00 = 2*1** + 1 + + 100 = 213** + 13 + + 1300 = 23

obtm-se a matriz simples A e a matriz ampliada X | Z tais que: X | Z = 7 1** 1* 1*01* 1 10 13* 13 130 [

2* 2 23: .

19

Fase descendente

Equivalncias de entre equaes Equivalncia por linhas entre duas matrizes

Operaes elementares sobre linhas de uma matriz:

Trocar duas equaes entre si;

Multiplicar todos os termos de uma

equao por um nmero no nulo;

Substituir uma equao pela sua soma

com um mltiplo de outra.

Importante: As operaes formalizadas tambm so vlidas sobre as colunas de uma matriz. Mas na resoluo de sistemas de

equaes lineares, deve-se ter particular ateno ao facto de a troca de colunas na matriz simples alterar a ordem das incgnitas.

Para obter uma matriz na forma escalonada pode-se seguir um algoritmo que consiste em quatro passos Mtodo de

eliminao de Gauss. Se aos passos anteriores for acrescentado um quinto passo, obtm-se uma matriz na forma cannica

reduzida por linhas Mtodo de eliminao de Gauss-Jordan.

1. Troca entre si de duas linhas: \4 \5 ; 2. Multiplicao de uma linha por um escalar k diferente de zero: \4 = ^\4 ; 3. Substituio de uma linha pela que dela se obtm adicionando-lhe o

produto de outra linha por um escalar: \4 = \4 + ^\5 .

20

A representao _ aaaaab significar a matriz B obtida da matriz A por uma operao elementar T sobre as linhas de A. Algoritmo para a escrita de uma matriz na forma escalonada.

F

orm

a ca

nni

ca r

eduz

ida

por

linha

s M

T

OD

O D

E E

LIM

INA

O D

E G

AU

SS-J

OR

DA

N

For

ma

esca

lona

da

M

TO

DO

DE

EL

IMIN

A

O

DE

GA

US

S

Passo 1 Iniciar, da esquerda para a direita, com a 1 coluna no nula, c*. Passo 2

Trocar linhas, se necessrio, para que o elemento da primeira linha e de c* seja no nulo; Identificar o elemento assinalado como o piv da primeira linha.

Passo 3 Fixar a primeira linha e usar as operaes elementares sobre linhas para anular todos os

elementos abaixo do piv.

Passo 4

Avanar para a segunda linha e ignorar todas as linhas acima;

Escolher c como a primeira coluna a aparecer, da esquerda para a direita, onde existem elementos no nulos;

Aplicar em c os passos 2 e 3. Repetir o processo at no existirem mais linhas no nulas a serem modificadas.

Passo 5 Identificar o piv da coluna mais direita e, por meio de operaes elementares, fazer o piv

assumir o valor 1 e anular todos os elementos da coluna acima do piv.

Repetir o processo, da direita para a esquerda sobre todos os pivs.

21

Exemplo de execuo do algoritmo.

For

ma

can

nica

red

uzid

a po

r lin

has

M

TO

DO

DE

GA

US

S-J

OR

DA

N

For

ma

esca

lona

da

M

TO

DO

DE

GA

USS

Passo 1 T 022 1 2 2 52 4 1 04 8 2 0U

Passo 2 d*d,aaab T 220 4 8 2 02 4 1 01 2 2 5U

Passo 3 dedNd*aaaaab T 2 0 0 4 8 2 06 12 3 01 2 2 5U

Passo 4 d,ed,ABfdaaaaaab # 2 4 8 2 00 6 12 3 00 0 0 CD 5$

T2 4 8 2 00 6 12 3 00 0 0 CD 5U

Passo 5 d,eDC d,aaaab #2 4 8 2 00 6 12 3 00 0 0 1 2$ #1 0 0 0 00 1 2 0 10 0 0 1 2$

c*

c*

c*

c

c,

22

Fase ascendente

Uma vez obtida a matriz ampliada na forma escalonada (ou na forma cannica reduzida por linhas), retoma-se a

resoluo do sistema de equaes lineares segundo o mtodo de substituio, reescrevendo o sistema a partir da matriz na

forma escalonada (ou na forma cannica reduzida por linhas).

Numa matriz na forma escalonada, as incgnitas das colunas que no tm piv, caso existam, so designadas incgnitas

livres, significando que podem tomar qualquer valor. Por sua vez, designam-se por incgnitas principais as incgnitas

correspondentes a colunas com piv. No processo de substituio, todas as incgnitas principais so escritas em funo das

incgnitas livres e o sistema, tendo inmeras solues, ser possvel e indeterminado.

Exemplo:


+ 2 ! + 2Q = 1 2 + 2! Q = 1 2 ! Q = 0 . Onde a matriz ampliada dada por:

X | Z = # 1 2 1 21 2 2 12 0 1 1 g 1 1 0 $.

23

Escrita da matriz ampliada na forma escalonada:

# 1 2 1 21 2 2 12 0 1 1 g 1 1 0 $ dedNd*d,ed,Ad*aaaaaaab #

1 2 1 20 0 1 10 4 1 5 g 1 22 $ dd,aaab #

1 2 1 20 4 1 50 0 1 1 g 122 $.

A incgnita w uma incgnita livre pois a coluna respetiva no tem piv, pelo que as incgnitas

x, y e z so escritas em funo de w.

Sistema de equaes lineares usando a matriz na forma escalonada:

+ 2 ! + 2Q = 1 4 + ! 5Q = 2 ! + Q = 2 + 2 ! + 2Q = 1 4 + ! 5Q = 2 ! = Q + 2 )

= 1 = , Q + 1 ! = Q + 2 .

O sistema possvel e indeterminado, sendo o conjunto soluo

= # 1KDQ + 1Q + 2 $ : Q %.

24

Exemplo

Resoluo do sistema de equaes lineares pelo mtodo de eliminao de Gauss

(Scilab):

3 6! + 6Q + 4R = 5 3 7 + 8! 5Q + 8R = 9 . 3 9 + 12! 9Q + 6R = 15 X | Z = #0 3 6 6 43 7 8 5 83 9 12 9 6 g

5 9 15 $ [Scilab] _Encontrar a matriz equivalente, na forma cannica

reduzida por linhas, da matriz ampliada:

2! + 3Q = 24 2! + 2Q = 7 R = 4 = 2! 3Q 24 = 2! 2Q 7 R = 4 .

O sistema possvel e indeterminado, com o conjunto soluo

25

= FHI

ijjk2! 3Q 242! 2Q 7!Q4 lm

mn : !, Q opq

.

Uma possvel soluo particular do sistema pode ser obtida como se segue:

[Scilab] _Determinar uma soluo particular de um sistema

Neste caso, as atribuies para as variveis foram ! = r e Q = 0.

Ex.2.7 Usando o mtodo de eliminao de Gauss, classifique e resolva os seguintes sistemas de equaes lineares.

2. @ 5 + 2 ! + 2Q = 7 4 + + 2! 3Q = 23 3 + 3! 5Q = 3 8 + 2 ! + Q = 7 ;

26

c. 2 + 2 + ! = 33 + 4 3! = 2 2 + 4! = 4; Ex. 2.5 Indique a operao elementar sobre linhas que transforma a primeira na segunda matriz.

a. #1 3 10 2 40 3 4$ #1 3 10 1 20 3 4$;

b. #0 5 31 5 22 1 8$ #1 5 20 5 32 1 8$;

27

Tarefa :A Ponte de Wheatstone

(Continuao)

Subtarefa 3: Resolva o sistema de equaes lineares relativo subtarefa 2, eventualmente

recorrendo ao Scilab. Apresente a resposta e interprete a soluo no contexto do problema.

Ex 2.8 Determine os valores de ^, R , para os quais os sistemas so impossveis, possveis e determinados e possveis e indeterminados. a. t + 2u 3Q = 4 3t + u 5Q = 2 4t + u + ^ 14Q = ^ + 2; b. + 2 ! = 22 + 3! = R 3 + 3 + ^! = 1.

Aula 6

28

2.2.3. Caracterstica de uma matriz e outra discusso de sistemas de equaes lineares

Definio: Seja 30. A caracterstica de uma matriz A corresponde ao nmero de pivs ou nmero de linhas no nulas de uma matriz na forma

escalonada, equivalente por linhas a A, e denota-se por v.

Discusso do sistema = , com 30, v e vX|Z a caracterstica da matriz simples e matriz ampliada, respetivamente, e n o nmero de incgnitas:

AX = B

c (A) < c ([A|B]

Sistema Impossvel

c (A) = c ([A|B]

Sistema Possvel

c (A) = c ([A|B] = n

Sistema Possvel e Determinado

c (A) = c ([A|B] < n

Sistema Possvel e Indeterminado

29

Exemplo:

Discusso do sistema de equaes lineares, a partir do conceito de caracterstica de

uma matriz:

) + 2 + ! 3Q = 5 2 + 4 + 4! 4Q = 6 2 3! Q = 3 . X | Z = # 1 2 1 32 4 4 41 2 3 1 g

56 3 $ #1 2 1 30 0 2 20 0 0 2 g

542 $ Tem-se: w = 4 ; v = 3 ; vX|Z = 3 ; v = vX|Z = 3 < 4 . Portanto, o sistema possvel e indeterminado.

[Scilab] _ Determinar a caraterstica de uma matriz.

Observao: O sistema tem uma incgnita livre, podendo este nmero ser dado por w v e designado por grau de indeterminao do sistema.

30

Exemplo:

Discusso, em termos dos parmetros reais e , da caracterstica da matriz 7 0 1 1 0 01 1 1 11 1 0 1:. 7 0 1 1 0 01 1 1 11 1 0 1: d*d-d{,aaab 7

1 1 0 11 1 1 11 0 0 0 1 : dedAd*d,ed,Ad*d-ed-A|d*aaaaaaab 71 1 0 10 0 1 00 1 10 1 :

dd,aaab 71 1 0 10 1 10 0 1 00 1 : d-ed-A|daaaaaaab 7

1 1 0 10 1 10 0 1 00 0 1 : d-ed-N*N|}d,aaaaaaaaaaab 71 1 0 10 1 10 0 1 00 0 0 :

Concluso: se ~ = 0 e , ento v = 3; se ~ 0 e , ento v = 4.

Ex 2.15 Aplicando o mtodo de eliminao de Gauss, discuta a caracterstica da matriz em termos dos parmetros.

a. = # 1 2 1 11 1 0 ^1 4 Q 5$ , ^, Q ; b. = # 1 R R1 RR + 1 02 RR + 4 RR + 4$ , R .

31

Ex 2.12 Na figura est representada uma seco transversal de uma barra de metal, com fluxo de calor desprezvel na direo perpendicular placa.

No mbito do estudo da transferncia de calor, pretende-se determinar a distribuio da temperatura nos vrtices interiores, uma vez conhecida a

temperatura dos vrtices perifricos.

A temperatura num vrtice aproximadamente igual mdia das temperaturas dos quatro vrtices vizinhos mais prximos esquerda,

acima, direita e abaixo.

a. Escreva um sistema de seis equaes lineares cuja soluo fornece estimativas para as temperaturas , , . b. Resolva o sistema de equaes lineares e indique o conjunto soluo.

Ex 2.11 Uma caixa contm 13 garrafas de gua de trs tamanhos diferentes 0,5 litros, 0,75 litros e 1,5 litros num total 13,5 litros de gua. Quantas garrafas de cada tipo existem na caixa?

Aula 7

32

Ex 2.14 Pretende-se construir um modelo matemtico que analise a rede de trfego representada na figura. A unidade de medida veculos por

hora. O trfego flui ao longo das vias, no sentido assinalado, e sendo vlida a lei de que o nmero de viaturas que entra num cruzamento igual ao

nmero de viaturas que sai (situao semelhante s Leis de Kirchhoff).

a. Represente a situao por meio de um sistema de equaes lineares e resolva-o.

b. Apresente duas maneiras distintas segundo as quais o trfego pode fluir.

c. Qual o menor nmero de carros que pode passar por AB?

33

Exerccio

Uma fbrica produz trs tipos de enfeites luminosos de Natal, utilizando-se, em cada um, lmpadas de trs cores diferentes: vermelho, verde e

dourado. Os enfeites so construdos da seguinte forma, consoante o nmero de lmpadas por cor:

Tipo A: 4 lmpadas vermelhas, 3 lmpadas verdes e 2 lmpadas douradas;

Tipo B: 12 lmpadas vermelhas, 9 lmpadas verdes e 6 lmpadas douradas;

Tipo C: 8 lmpadas vermelhas, 6 lmpadas verdes e 4 lmpadas douradas.

Para a produo num determinado dia, a empresa tem em stock 2632 lmpadas vermelhas, 1974 lmpadas verdes e 1316 lmpadas douradas. Sabe-

se ainda que a capacidade de produo diria da fbrica de 270 enfeites luminosos.

a. Represente a situao por meio de um sistema de equaes lineares e resolva-o;

b. Considerando que no dia em questo foram produzidos enfeites do tipo A, B e C, indique:

b.1 Duas possibilidades para o nmero de enfeites de cada tipo produzidos;

b.2 O maior nmero de enfeites do tipo C que se pode considerar na produo

34

.

2.3. Algoritmo para a determinao da matriz inversa

Exemplo

Aplicao, uma nica vez, do mtodo de eliminao de Gauss-Jordan na resoluo dos seguintes

sistemas de equaes lineares:

2 + 3! = 6 + 2! = 52 3 + 6! = 14 ; 2 + 3! = 5 + 2! = 32 3 + 6! = 8 .

Sejam A a matriz quadrada dos coeficientes das incgnitas, comum a ambos os sistemas, e * e as matrizes coluna dos termos independentes, dadas por

= #1 2 31 1 22 3 6$; * = #6514$; = #

538$.

Aula 8

35

[Scilab] _Encontrar a matriz equivalente, na forma cannica reduzida por

linhas, da matriz X|*Z e da matriz X|Z:

Ambos os sistemas so possveis e determinados, com soluo nica #123$ e #120$, respetivamente.

Observe que:

[Scilab] _Encontrar a matriz equivalente, na forma cannica reduzida por linhas, da

matriz X|* Z:

O que se pode concluir?

36

Verificamos que: X|* Z A0aaaaaaaaaab X>0|* Z. Isto ilustra que uma matriz A dos coeficientes das incgnitas de um sistema de n equaes e n incgnitas, quando tem

soluo nica, corresponde, na forma cannica reduzida por linhas, matriz identidade de ordem n. Uma vez que tambm se

alcana a forma cannica reduzida por linhas de cada matriz ampliada X|*Z, X|Z, , X|Z, pode-se generalizar numa matriz ampliada, contendo todas as colunas dos termos independentes, resultando no clculo simultneo de todas as solues

do sistema, isto ,

X|* Z A0aaaaaaaaaab X>0|* Z. (1)

Caso particular: . Pretende-se determinar uma matriz coluna * nica, que satisfaa a condio * = #100$, o que equivale resoluo

de um sistema de equaes lineares. A matriz ampliada dos sistema dada por

# g 1 0 0 $.

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Por meio das operaes elementares sobre as linhas, obtm-se a forma cannica reduzida por linhas da matriz ampliada,

tal que:

# g 1 0 0 $ A0aaaaaaaaaab # >0 g * $.

Analogamente, para determinar e , tais que satisfaam as condies = #010$ e , = #001$, obtm-se:

# g 0 1 0 $ A0aaaaaaaaaab # >0 g $; # g 0 0 1 $ A0aaaaaaaaaab # >0 g , $.

Atendendo a (1), possvel escrever uma matriz ampliada com todas as colunas dos termos independentes:

# g1 0 00 1 00 0 1 $ A0aaaaaaaaaab # >0 g * , $.

38

Desta forma, alcana-se uma situao que corresponde resoluo da equao = >, e, por definio de matriz inversa, a matriz A*, se existir, tal que A* = >,.

Portanto, nestas circunstncias temos que = A*, de onde resulta um algoritmo para a determinao da matriz inversa subjacente ao mtodo de eliminao de Gauss-Jordan: X|>0 Z A0aaaaaaaaaab X>0|A* Z.

Algoritmo de determinao da matriz inversa.

Passo 1 A partir de uma matriz 00, criar a matriz ampliada X|>0 Z. Passo 2 Aplicar o mtodo de eliminao de Gauss-Jordan matriz X|>0 Z. Passo 3

Se resultar uma matriz do tipo X>0|Z, ento B a matriz inversa de A; Se a matriz A no se transformar, na forma cannica reduzida por linhas, na

matriz >0, ento a matriz A no tem inversa.

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Exemplo:

Determinao da matriz inversa de A pelo mtodo de eliminao de Gauss-Jordan, com

= # 1 1 22 3 51 3 5$. X|>0 Z = # 1 1 22 3 51 3 5g

1 0 00 1 00 0 1$ dedAd*d,ed,Nd*aaaaaaab #1 1 20 1 10 2 3g

1 0 02 1 01 0 1$ deAdaaaab #1 1 20 1 10 2 3g

1 0 02 1 01 0 1$ d,ed,Add*ed*Ndaaaaaaab #1 0 10 1 10 0 1g

3 1 02 1 03 2 1$ dedAd,d*ed*Nd,aaaaaab #

1 0 00 1 00 0 1g0 1 15 3 13 2 1$ = X>0|A* Z

Portanto,

A* = # 0 1 15 3 13 2 1$.

Exerccio: Usando o pelo mtodo de eliminao de Gauss-Jordan, determine, caso exista a matriz inversa de A, com = #1 1 22 3 53 2 3$.

40

Teorema: Seja 00. As seguintes afirmaes so equivalentes: 1. invertvel; 2. v = w; 3. >0 a forma cannica reduzida por linhas de .

Ex 2.20 Recorrendo ao Scilab, crie duas matrizes invertveis A e B e ilustre as seguintes propriedades.

a. A* = A*A*; b. A*A* = ; c. _A* = A*_ .

Aplicaes da Inversa:

1. Descodificao de mensagens

2. Transformao de figuras

3. Determinao da soluo de um sistema de w equaes com w incgnitas, possvel e determinado.

41

Exerccio: (Sobre a descodificao de mensagens)

A criptografia um ramo da Matemtica relacionado com a codificao/descodificao de mensagens. Para codificar uma mensagem, considere-se

a seguinte relao entre as letras do alfabeto e uma atribuio numrica.

A B C D E F G H I J K L M N

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

O P Q R S T U V X W Y Z Espao

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

Processo de codificao delineado:

Atribuio de uma matriz codificadora ,,, dada por = # 1 2 12 3 12 0 1$;

As trs primeiras letras da frase a codificar, incluindo os espaos, so representadas segundo a atribuio numrica na primeira coluna de

uma matriz M com 3 linhas, e assim sucessivamente. Se as colunas ficarem incompletas representam-se por zero os elementos em falta;

Representao da mensagem codificada pela matriz = . a. Descodifique a mensagem indicada pela matriz N, dada por

= #35 32 41 149 50 70 26 9 37 2$.

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Exerccio: (Sobre a transformao de figuras)

Considere a matriz = 0 1 1.75 0.750 0 3 3 , que est associada seguinte figura no plano :

Sabendo que a figura foi transformada pela multiplicao da matriz = 1 0,250 1 , encontre a figura original.

Álgebra linear cap2

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