logica matematica y algebra
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Programa 1 Lógica
1.1 Introducción a la lógica. Proposiciones. Principio de no contradicción.
Principio del tercer excluido.
1.2 Conectivos Lógicos. Tablas de valores de verdad.
1.3 Proposiciones compuestas. Tautologías y contradicciones.
1.4 Predicados y Cuantificadores.
1.5 Métodos de demostración.7
2 Conjuntos
2.1 Definiciones Básicas. Representación de conjuntos.
2.2 Clasificación de conjuntos. Conjuntos numéricos. Intervalos.
2.3 Diagramas de Venn. Relaciones entre conjuntos. Intersecancia,
disyunción, inclusión, e igualdad.
2.4 Conjunto de partes de un conjunto. Operaciones con conjuntos. Unión,
intersección, complemento, diferencia y diferencia simétrica.
2.5 Producto Cartesiano.
3 Los Números Reales
3.1 Los números reales. Axiomas de la suma y de la multiplicación.
3.2 Recta Real. Valor Absoluto. Distancia entre dos puntos.
3.3 Operaciones básicas con expresiones algebraicas.
3.4 Productos notables.
3.5 Factorización. Principales métodos de factorización.
3.6 Fracciones. Operaciones con fracciones.
3.7 Potenciación. Exponente natural, 0 (cero), negativo, fraccionario.
3.8 Leyes de la potenciación.
3.9 Radicación. Leyes de los radicales. Operaciones con radicales.
3.10 Racionalización de radicales.
3.11 Ecuaciones lineales. Solución analítica y representación gráfica.
3.12 Ecuaciones cuadráticas. Solución analítica y propiedades de las raíces.
Representación gráfica.
3.13 Problemas de aplicación de ecuaciones lineales.
3.14 Métodos de resolución de sistemas de 2 ecuaciones lineales con 2
incógnitas.
3.15 Axiomas de orden y propiedades de las desigualdades.
3.16 Resolución de inecuaciones con factores lineales y cuadráticos.
3.17 Problemas de aplicación de ecuaciones.
3.18 Resolución de inecuaciones con valor absoluto.
4 Números complejos
4.1 Números imaginarios curvos. Números complejos. Representación en el
plano.
4.2 Operaciones: Suma, diferencia, producto y división. Valor absoluto, forma
polar, teorema de Moiure.
5 Matrices-Determinantes
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5.1 Matrices definición. Operaciones y propiedades. Transpuesta. Tipos de
matrices.
5.2 Determinantes de matrices de orden 2, orden 3, y de orden n términos de
sus cofactores. Propiedades de los determinantes. Cálculo de
determinantes usando las propiedades.
5.3 Sistemas de ecuaciones lineales. Resolución por los métodos Gauss,
Gauss Jordan, regla de Kramer, inversa de una matriz (de F método de
Gauss Jordan, método de la matricidad adjunta).
Bibliografía Básica
1. Castillo-Toro (1998). Conjuntos, estructuras reales y complejas, Quito,
FEPON.
2. Swokowski-COLE (1992). Álgebra y trigonometría con geometría
analítica. México grupo editorial Iberoamérica.
3. Demindovich (1980). Problemas y ejercicios de análisis matemáticos,
Moscú editorial MIR.
4. Álgebra y análisis de funciones elementales. Potapor-Alexandro-
Pasichenco, Mir (1986).
5. Algebra Lineal. Fondo educativo interamericano. Bogotá 1981.
6. Matrices Frank Ayres. Colección Shauns México (1983).
7. Smith Karl, introducción a la lógica editorial Iberoamérica. México 1991.
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LÓGICA MATEMÁTICA
Introducción
La lógica matemática es el estudio de métodos y principios para distinguir
cuando un razonamiento matemático es correcto o incorrecto.
Se puede considerar a la matemática como una disciplina constituida por una
cadena de afirmaciones sistemáticamente estructuradas. Estas pueden ser de
tres tipos: unas que se aceptan sin demostraciones llamadas axiomas, otras
cuya verdad debe ser demostrada llamada teorema y un tercer tipo al que
pertenecen las denominadas definiciones que no se demuestran y simplemente
asignan un significado a una palabra, a una expresión o introducen nueva
simbología o abreviaciones convenientes.
Cálculo Proposicional:
Proposición Simple:
Llamamos proposición simple a aquella de la cual puede decirse se es
verdadera o es falsa.
La proposición simple también se denomina enunciado u oración cerrada.
Las proposiciones simples las representamos o simbolizamos por las letras
minúsculas p, q, r, s, t. u. v…
Para toda proposición son válidos los siguientes principios.
Principio de no contradicción: Según este principio no puede ser verdadera y
falsa al mismo tiempo.
Principio del tercer excluido: Según este principio una proposición es verdadera
o es falsa, siempre se verifica uno de estos casos, no hay un tercero.
Ejemplo:
Proposiciones simples.
p: Juan Montalvo fue un escritor ecuatoriano.
q: 430
r: 222 2)( bababa
s: xb
a abx loglog
t: 73
u: en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de a la hipotenusa es
igual a la diferencia de los cuadrados de las longitudes de los catetos
ejercicio: construir 10 proposiciones simples (5V y 5 F)
1) 5+5=10
2) 3-2=4
3) el perro maulla
4) 4÷2=3
5) Eugenio Espejo fue militar
6) la tierra gira alrededor de la luna
7) 8x8=64
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8) Manuela Sáenz nació en Ecuador.
9) Los aviones vuelan
10) La moneda actual del Ecuador es el dólar.
Valor de verdad de una proposición:
Se llama valor de verdad de una proposición a la verdad (V) o a la falsedad (F)
de su contenido.
Representamos el valor de verdad por el símbolo V(p) que se lee “v de p“ así el
valor de verdad de p es verdadero entonces este valor de verdad se escribiría
como: V(p)=V. Si en cambio el valor de verdad de p es falso este se escribirá
como V(p)=F.
ejemplo:
p: Juan Montalvo fue ecuatoriano V(p)=V
q: 3°=4 V(q)= F
r: 222 2)( bababa V®= V
s: xb
a abx loglog V(s)=V
t: 73 V(t)=F
u: en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de a la hipotenusa es
igual a la diferencia de los cuadrados de las longitudes de los catetos. V(u)=F
otras afirmaciones tales como por ejemplo:
x es un real; 2x+1=1; x²+x-1=0; 2x-1<2; 1xe ; tanx=0,5; logx=)1.1; etc.
Constituyen afirmaciones que no son verdaderas ni falsas ya que para saber su
valor de verdad deberíamos en vez de x dar un valor numérico, en
consecuencia este tipo de afirmaciones no son proposiciones simples más bien
se llaman este tipo de afirmaciones como enunciados u oraciones abiertas.
ejemplo: construir 10 enunciados abiertos
1) 5x+10=4
2) 8y≤3
3) 10x+2=7
4) 2
3Seny
5) 7y-8=3
6) Y es un número imaginario
7) Juan es un niño
8) 2
8cot 1 z
9) 5x≥-8
10) 4x
11)x+y+z=1
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otro tipo de expresiones tales como:
x
2x+1
12 xx
2x-4 xe
tanx
logx
azul
Estas no son proposiciones simples ya que no son verdaderas o falsas.
Además este tipo de proposiciones no son enunciados abiertos en
consecuencia este tipo de expresiones más bien las llamaremos expresiones
indeterminadas.
ejercicio: Construir 10 expresiones indeterminadas.
1) x
2) y+1
3) tanx
4) logy
5) z/5
6) 20/y
7) xe
8) Colombia
9) Amarillo
10)Perro
Conectivos Lógicos
Los conectivos lógicos son símbolos de relación entre “proposiciones
simples”, para formar proposiciones compuestas.
Los conectivos lógicos también se llaman operadores lógicos.
Los conectivos lógicos utilizados son los siguientes.
1) “no” llamado negación
2) “y” llamado conjunción
3) “o” llamado disyunción. Nota: ese conectivo lógico puede hacer que se
o lo uno o lo otro que estamos relacionando al mismo tiempo.
4) “ó” llamado bidisyunción. Nota: ese conectivo lógico puede hacer que se
cumpla o lo uno o lo otro que estamos relacionando y nunca los dos al
mismo tiempo.
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5) “si…entonces…” llamado condicional.
6)”…si solo si…”;”…ssi…” llamado bicondicional.
Ejercicio: construir 6 proposiciones compuestas utilizando diferentes
lógicos.
1) Pablo no es buen estudiante.
2) Alberto está en mi casa y estudia.
3) Pedro estudia o escucha música.
4) El sol es amarillo ó blanco.
5) Si mi casa está cerca de la tuya entonces somos vecinos.
6) 2+3=5 si solo si 3=5-2.
Estudio del Conectivo Lógico “no”
Dada una proposición simple p, se puede formar otra proposición que se llama
negación a p, escribiendo “es falso que”, “no ocurre que”, “no es verdad que”.
Antes de p o, cuando es posible insertarlo en p la palabra “no”.
La negación de la proposición p que se denota por ~p=
p = p cambia el valor
de verdad de p, y se lee “no p”. A si:
Si V(p)=V, V(~p)=F
o Si V(p)=F, V(~p)=V
Estos resultados se resumen en la siguiente tabla denominada tabla de valores
de verdad de la proposición compuesta ~p:
p ~p
V
F
F
V
Ejercicio: Construir 2 proposiciones del tipo ~p una verdadera y otra falsa. Y
escriba cada una de ellas bajo 4 deferentes formas de lenguaje.
1) p: Juan es buen estudiante. V(p)= V
~p: Juan no es buen estudiante. V(~p)= F
~p: Es falso que Juan es buen estudiante.
~p: No es verdad que Juan es buen estudiante.
~p: No es cierto que Juan es buen estudiante.
2) p: Pablo no tiene todos los exámenes. V(p)= F
~p: Pablo tiene todos los exámenes. V(~p)= V
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~p: Es falso que Pablo tiene todos los exámenes.
~p: No es verdad que Pablo tiene todos los exámenes.
~p: No es cierto que Pablo tiene todos los exámenes.
Ejercicio: Realizar el ejercicio anterior utilizando desigualdades.
1) p: 8≥0 V(p)= V
~p: 8<0 V(p) V(~p)= F
~p: es falso que 8<0
~p: no es verdad que 8<0
~p: no es cierto que 8<0.
2) p: 5+4<2 V(p)= F
~p: 5+4≥2 V(p)= V
~p: es falso que 5+4<2
~p: no es verdad que 5+4<2
~p: no es cierto que 5+4<2
Estudio del conectivo Lógico “y”
Sean p.q 2 proposiciones simples lógicamente relacionables con este conectivo
lógico. La proposición compuesta resultante de relacionar esas proposiciones
simples con ese conectivo es “p y q”. La misma que se simboliza como
p^q=p.q.
Esa proposición compuesta es verdadera solo sí p y q son verdaderas. Siendo en consecuencia esa proposición compuesta falsa en los demás casos. Esto se resume en la siguiente tabla de valores de verdad para esta
proposición compuesta.
p q p^q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
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La proposición compuesta p^q se lee de las siguientes formas: p y q, p pero q,
p sin embargo q, p.q
Ejercicio: Construir 2 proposiciones compuestas del tipo p^q una verdadera y
otra falsa y expresar cada uno de estas bajo 4 diferentes formas de lenguaje.
1)
p: Loja pertenece a Ecuador. V(p)= V
q: Lima pertenece a Perú. V(q)= V
(p^q): Loja pertenece a Ecuador y Lima pertenece a Perú. V(p^q)=V
(p^q): Loja pertenece a Ecuador pero Lima pertenece a Perú.
(p^q): Loja pertenece a Ecuador sin embargo Lima pertenece a Perú.
(p^q): Loja pertenece a Ecuador. Lima pertenece a Perú.
2)
p: 2+2=4 V(p)= V
q: 2+5<3 V(q)= F
p^q: 2+2=4 y 2+5<3 V(p^q)=F
p^q: 2+2=4 pero 2+5<3
p^q: 2+2=4 sin embargo 2+5<3
p^q: 2+2=4.2+5<3
Estudio del conectivo lógico “o”:
Sean p.q 2 proposiciones simples lógicamente comparables con este conectivo
lógico. La proposición compuesta resultante de esta comparación es “p o q” la
misma que se simboliza o se nota o se forma de la siguiente manera:
“poq”=pvq= p+q.
Esta proposición compuesta es verdadera si al menos una de las proposiciones
simples p,q es verdadera. Luego esta proposición compuesta será falsa si las
proposiciones simples p,q son falsas.
Esto implica la siguiente tabla de valores de verdad para esta proposición
compuesta.
p q pvq
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
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Ejercicio: Construir 2 proposiciones compuestas del tipo pvq una verdadera y
otra falsa.
1)
p: 2º=1 V(p)= V
q:Log1=0 V(q)=V
pvq: 2º=1 o log1=0 V(pvq)= V
2)
p: 20 es un número primo V(p)= F
q: 3 es múltiplo de 5 V(q)= F
pvq: 20 es un número primo o 3 es múltiplo de 5. V(pvq)= F
Estudio del conectivo lógico “ó”:
Así mismo sean p,q 2 proposiciones simples lógicamente comparables con este conectivo. La proposición compuesta resultante de esta comparación es “p
o q”. La misma que se denota o simboliza como qvp
= pwq.
Esta proposición compuesta es verdadera únicamente cuando una de las 2 proposiciones simples p,q es verdadera en los demás casos esta proposición compuesta es falsa. Esto implica la siguiente tabla de verdad para esta proposición compuesta.
Esta proposición compuesta se lee p ó q= o p o q= (p o q) y no (p y q)
Ejercicio: Construir 2 proposiciones compuestas del tipo qvp
una verdadera
otra falsa y expresar cada una de estas bajo 3 tipos diferentes de lenguaje. 1) p:2+2=5 V(p)= F
q: 3
63 V(q)= F
qvp
: 2+2=5 ó 3
63 V( qvp
)= F
qvp
:o 2+2=5 o 3
63
qvp
: (2+2=5 o 3
63 ) y no (2+2=5 y
3
63 )
2) p: 2+2=5 V(p)= F q: 3+3=3x2 V(q)= V
qvp
: 2+2=5 ó 3+3=3x2 V( qvp
)=V
p q p v q
V V F F
V F V F
F V V F
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qvp
: o 2+2=5 o 3+2=3x2
qvp
: (2+2=5 o 3+3=3x2) y no (2+2=5 y 3+3=3x2)
Estudio del conectivo lógico “si…entonces…” Sean p,q 2 proposiciones simples lógicamente enlazables con este conectivo lógico, la proposición compuesta resultante de este enlazamiento es “si p entonces q” la misma que se simboliza como p→q. esta proposición compuesta es falsa solamente cuando q es falsa siendo p verdadera, esto implica que esta proposición compuesta es verdadera en los demás casos. En consecuencia la tabla de valores de verdad de esta proposición compuesta es la siguiente.
p q p→q
V V F F
V F V F
V F V V
Esta proposición compuesta se lee de las siguientes maneras. p→q: “si p entonces q”; “p es suficiente para q”; “q es necesaria para p”; “si p, q”; “p implica q”; “q si p”; “q siempre que p”; “p solo si q”; “ es falso que p y no q” ejercicio: Construir 2 proposiciones compuestas del tipo p→q. una verdadera y otra falsa. Y expresar cada una en 9 diferentes formas de lenguaje. 1) p: 2+5=7 V(p)= V q: 7-2=5 V(q)= V p→q: Si 2+5=7 entonces7-2=5 V(p→q)= V p→q: 2+5=7 es suficiente para7-2=5 p→q: 7-2=5 es necesario para 2+5=7 p→q: SI 2+5=7, 7-2=5 p→q: 2+5=7 implica 7-2=5 p→q: 7-2=5 si 2+5=7 p→q: 2+5=7 solo si 7-2=5 p→q: es falso que 2+5=7 y no 7-2=5 2)
p: 39 V(p)= V
q: 32=6 V(q)= F
p→q: Si 39 entonces 32=6 V(p→q)= V
p→q: 39 es suficiente para 32=6
p→q: 32=6 es necesario para 39
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p→q: SI 39 , 32=6
p→q: 39 implica 32=6
p→q: 32=6 si, 39
p→q: 39 solo si 32=6
p→q: es falso que 39 y no 32=6
Estudio del conectivo lógico …”si solo si…” Sean p,q 2 proposiciones simples lógicamente enlazables, con este conectivo lógico. La proposición compuesta resultante de este enlazamiento es “p si solo si q”. La misma que se simboliza como p↔q y a su vez significa igual a (p→q) (q→p). Está proposición compuesta por el hecho de utilizar 2 condicionales se llama también condicional doble de 2 proposiciones simples, esta proposición compuesta es verdadera en 2 casos. Caso: Cuando p y q son verdaderas Caso 2: Cuando p y q son falsas Esto implica que en los demás casos esa proposición es falsa. En consecuencia la tabla de valores de verdad para esa proposición compuesta es la siguiente:
La proposición compuesta p↔q se lee:”p si solo si q”; “p es necesario y suficiente para q”, “q es suficiente y necesario para p”; “p siempre y cuando q”; “p si q”; “p en caso de q”. Ejercicio: construir dos proposiciones compuestas del tipo p↔q. Una verdadera y una falsa. Y escribir cada una de estas en 6 diferentes formas de lenguaje.
39: p V(p)= V
93: 2 q V(q)= V
p↔q: 39 si solo si 932 V(p↔q): V
p↔q: 39 es necesario y suficiente para 932
p↔q: 932 es suficiente y necesario para 39
p↔q: 39 siempre y cuando 932
p↔q: 39 si 932
p↔q: 39 siempre y cuando 932
p: Log1= 0 V(p)= V q: 10º=2 V(q) F
p q p↔q
V V F F
V F V F
V F F V
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p↔q: Log1= 0 si solo si 10º=2 V(p↔q): F p↔q: Log1= 0 es necesario y suficiente para 10º=2 p↔q: 10º=2 es suficiente y necesario para Log1= 0 p↔q: Log1= 0 siempre y cuando 10º=2 p↔q: Log1= 0 si 10º=2 p↔q: Log1= 0 siempre y cuando 10º=2 Nota: A continuación vamos a estudiar otros conectivos lógicos también de gran importancia en el lenguaje matemático 1) Estudio del conectivo lógico “ni…ni…” Así mismo sean p,q 2 proposiciones simples lógicamente enlazables con este conectivo lógico la proposición compuesta resultante de este enlazamiento es “ni p, ni q” la misma que simboliza o formaliza como “p↓q” esta proposición compuesta representa la operación contraria a la disyunción y se llama indisuyunción. En efecto esta proposición compuesta es verdadera solamente cuando p y q son falsas. Siendo en consecuencia esta proposición compuesta falsa en los demás casos. Esto implica la siguiente tabla de valores de verdad para esta proposición compuesta.
p q p↓q
V V F F
V F V F
F F F V
Ejercicio: construir 2 proposiciones compuestas del tipo p↓q. Una verdadera y otra falsa. 1)
p: 39 V(p)= V
q: 32=8 V(q)=F
p↓q: ni 39 , ni 32=8 V(p↓q )=F
2)
p: 49 V(p)= F
q: 22=9 V(q)=F
p↓q: ni 49 , ni 22=9 V(p↓q )=V
2) Estudio del conectivo lógico:”…es incompatible con…” Así mismo sean p, q 2 proposiciones simples lógicamente enlazables con este conectivo lógico. La proposición compuesta resultante de este enlazamiento es:
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“p es incompatible con q”. La misma que se simboliza o nota por “p↑q” o como “p│q” esta proposición representa la operación contraria a la conjunción motivo por el cual se lo llama inconjunción En efecto esta proposición compuesta será falsa solamente cuando p y q son verdaderas. Esto implica la elaboración de la siguiente tabla de valores de verdad para esta proposición compuesta.
p q p↑q
V V F F
V F V F
F V V V
Ejercicio: construir 2 proposiciones compuestas del tipo “p↑q”. una verdadera y la otra falsa. 1) p: 2x3=6 V(p)=V q: 6÷2=3 V(q)=V p↑q: 2x3=6 es incompatible con 6÷2=3 V(p)=F 2)
532: xp V(p)= F
2
53: q V(q)=F
p↑q: 532 x es incompatible con 2
53 V(p↑q)=V
Observación: Hemos visto que las proposiciones simples pueden ser enlazables mediante las palabras: y, o, si…entonces, etc. Y así formar de esta manera otras proposiciones denominadas “compuestas”. Las proposiciones compuestas también se las representan mediante las letras P, Q, R, S, T… acompañadas de un paréntesis en el cual queda indicado entre comas los símbolos de las proposiciones simples componentes. Ejemplo: La proposición compuesta )( rqp : P (p, q, r).
Ejercicio: determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. Valor de verdad de proposiciones compuestas 1) P: Quito está en el Ecuador y en América del sur. p: Quito está en el Ecuador V(p)= V q: Quito está en América del sur. V(q)= V
qp
VVV
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2) Q: El hierro es gas o el oxígeno es metal.
p: El hierro es gas V(p)= F
q: El oxígeno es metal V(q): F
qp
FVF
3)R: o el sodio es un elemento químico o el hierro es metal
p: el sodio es un elemento químico V(p)= V
q: el helio es metal V(q)= F
qp
VVF
4) S: el hierro es metal, el oxígeno es gas
p: el hierro es metal V(p)= V
q: el oxígeno es gas V(q)= V
qp
VVV 5) T: ni el sodio es un elemento químico, ni el oxígeno es metal p: el sodio es un elemento químico V(p)= V q: el oxígeno es metal V(q): V
qp
VVV
6) U: Es falso que 4+3= 7
p: 4+3=7 V(p)= V
~ p
F V
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7) V: Einstein desarrolló la teoría de la relatividad siempre y cuando el hierro es
magnético.
p: Einstein desarrolló la teoría de la relatividad V(p)= V
q: El hierro es magnético V(q)= V
qp
VVV
8) W: 5=5 implica 2+3=5
p: 5=5 V(p)= V
q: 2+3=5 V(q)= V
qp
VVV
Tablas de Verdad
Ejercicio: hallar el valor de verdad de las siguientes fórmulas
1) q~p~q~p~
p q (~p ~ q) → ( ~ p ↓ ~ q)
V V F F F V F V F
V F F F V V F F V
F V V F F V V F F
F F V V V F V F V
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2) p~qp~
p q (~p q) ~p
V V F F V V F
V F F F F V F
F V V V V V V
F F V F F V V
3) pqqp ~~
(p ↓ ~ q) → ( ~ q p
V F F V V F V F V
V F V F V V F V V
F V F V F F V F F
F F V F V V F F F
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4) q~~q~~ p
~ [ ~ (q ~ p) → ~ q]
V V V F F V F F V
F V F F F V V V F
F F V V V F V F V
F V F F V F V V F
Observaciones:
1) Las tablas de verdad es una forma concisa de determinar el valor de verdad de una fórmula; en función de las variables p, q, r, s… y de los operadores. El número de posibilidades de valores de verdad de una fórmula es 2n, donde n es el número de variables. 2) Es necesario conocer el orden en que se desarrolla la tabla de verdad. Se recomienda utilizar las siguientes reglas: a) Si las proposiciones unidas por operadores están cerradas por paréntesis, hay que desarrollar el valor de verdad de los paréntesis internos, como el álgebra) b) Si una fórmula está unida por comas, se debe desarrollar primero lo que está antes y después de la coma, “antes de una de las proposiciones” con el operador principal que se indica. c) Si no hay paréntesis, se debe desarrollar la tabla de verdad en orden de acuerdo a la jerarquía de los operadores, esto es, ~, v, , →, ↔, ↓, ↑. Puesto que la conjunción y la disyunción tiene igual jerarquía, se deberá establecer cuál va a predominar. d) Si no hay comas, ni paréntesis se debe especificar el operador que va a predominar.
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Ejemplo: Calcular el valor de verdad de las siguientes fórmulas. (p q) r
V V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F F V F V F F V F F F F F F V F F F F F
2) q~~ pr
(r v ~ p) ~ q
V V F V F F V
F F F V F F V
V V F V V V F
F F F V F V F
V V V F F F V
F V V F F F V
V V V F V V F
F V V F V V F
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3) Encontrar el valor de verdad de la disyunción
pqqp
4) Desarrollar la tabla de verdad de la siguiente conjunción
pqqp ~
(p v q) ~ (q → p)
V V V F F V V V
V V F F F F V V
F V V V V V F F
F F F F F F V F
(p q) v (q → p)
V V V V V V V
V F F V F V V
F F V F V F F
F F F V F V F
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5) Hallar el valor de verdad del siguiente condicional
p~rp~ q
[q ( ~ p v r)] → ~ p
V V F V V V F F V
V F F V F F V F V
F F F V V V V F V
F F F V F F V F V
V V V F V V V V F
V V V F V F V V F
F F V F V V V V F
F F V F V F V V F
6) Determinar la tabla de verdad del siguiente bicondicional:
q~p~p~q~
( ~ q ↓ ~ p) ↔ ( ~ p ↑ ~ q)
F V V F V V F V V F V
V F F F V F F V V V F
F V F V F F V F V F V
V F F V F V V F F V F
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7) Normalizar las siguientes proposiciones compuestas:
No es verdad que los números reales son naturales y que los naturales
son reales.
p: Los números reales son naturales
q: Los naturales son reales
~ qp
Si un número natural es real y no racional entonces es irracional
p: número natural
q: número racional
r: número irracional
rp q~
8) Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas.
Si se sabe que
p: Log21=0 V (p)= V
q: e0=2 V (q)= F
V®= V(~q) V®=V
a) r~pq~p~
~ [p (~ q v p)] → ~ r
F V V V F V V V F V
b) q~r~ vp
(p v ~ r) → (~ q)
V V F V V V F
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TAUTOLOGÍAS
Definición: Las Tautologías son aquellas fórmulas cuyo valor de verdad solo
contiene valores V.
Si una fórmula es una tautología, a esta se la representa con el símbolo V/
Ejercicio:
Determinar si las siguientes fórmulas son o no tautologías
1) p~pq~
~ (q p) → ~ p
F V V V V F V
V F F V F F V
V V F F V V F
V F F F V V F
2) .(qp~~ qp =V/
~ [~ [(p q) → (p v q] ]
V F V V V V V V V
V F V F F V V V F
V F F F V V F V V
V F F F F V F F F
Contradicciones
Definición: Las contradicciones son aquellas fórmulas cuyo valor de verdad
contiene solo valores F.
Si una fórmula es una contradicción, entonces esta se simboliza como │F. o como
Ejercicio
23
1) Determinar si la siguiente fórmula es una contradicción ~ [p (q r)] ↔ [(p q) (p r)] =│F
F V V V V V F V V V V V V V F V V V V F F V V V V V F F F V V F V V F V F F V V V V V V F F F F F V F F F V F F V F F V V V F F F V F F F V V F F V V F F F F V F F F F V F F F V V F F F F F F F V V F F F F F F F F F F F F F
2) Determinar cuál de las siguientes fórmulas constituyen una tautología o
una contradicción.
Fórmulas Indeterminadas
Definición: Llámese fórmulas indeterminadas a aquellas fórmulas cuyo valor
de verdad contiene valores V y valores F.
Si una fórmula es una indeterminada esta se representa por F.I
p ~ p = │F
V F F V
F F V F
p ~ p = V/
V V F V
F V V F
24
Ejercicio:
Determinar se la siguiente fórmula es indeterminada o no.
~ (q r) → (~ p) = F.I
F V V V V F V
V V F F F F V
V F F V F F V
V F F F F F V
F V V V V V F
V V F F V V F
V F F V V V F
V F F F V V F
Implicación Lógica:
Definición: Sean P y Q 2 fórmulas. Si la tabla de verdad de P→Q representa
una tautología diremos entonces que P implica lógicamente a Q y lo
representaremos como PQ, lo que a su vez significa que Q es consecuencia
de P.
25
Ejercicio:
1) Sean P: rqqp
Q: rp
Demostrar PQ
(p → q) (q → r) ↔ p → r, PQ LQQD
V V V V V V V V V V V
V V V F V F F V V F F
V F F F F V V V V V V
V F F F F V F V V F F
F V V V V V V V F V V
F V V F V F F V F V F
F V F V F V V V F V V
F V F V F V F V F V F
2) Demostrar si p q es consecuencia de p q
p q → p q LQQD
V V V V V V V
V F F V V V F
F F V V F V V
F F F V F F F
26
Equivalencia Lógica:
Definición: Sean P, Q 2 fórmulas. Si la tabla de valores de verdad P↔Q
Representa una tautología decimos entonces que P es lógicamente equivalente
con Q, o que P es equivalente con Q y lo representamos por PQ o por PQ.
Con lo que diremos que P y Q representan lo mismo o que tienen el mismo
valor de verdad o que cada uno se reduce de la otra.
Ejercicio:
Sean P: p→q
Q: ~p q
Demostrar que PQ
p → q ↔ ~ p q, PQ LQQD
V V V V F V V V
V F F V F V F F
F V V V F F V V
F V F V V F V F
Leyes del álgebra proposicional
Las leyes del álgebra proposicional, constituyen las siguientes equivalencias
lógicas y también se llaman leyes lógicas. Y constituyen las siguientes.
1) Leyes de absorción
pqpp
pqpp
Ejercicio: Demostrar las leyes
p (p q) ↔ p, LQQD
V V V V V V V
V V V F F V V
F F F F V F F
F F F F F F F
p (p q) ↔ p, LQQD
V V V V V V V
V V V V F V V
F F F V V F F
F F F F F F F
27
2) Idempotencia
p pp
ppp
Ejercicio: Demostrar las leyes
3) Asociativas
(p q) r p (q r) p q r
(pq) r p (q r) pq r
(p↔q) ↔ rp ↔ (q↔r) p↔q↔r
Ejercicio: Demostrar las leyes
(p q) r p (q r) LQQD
V V V V V V V V V V
V V V V F V V V V F
V V F V V V V F V V
V V F V F V V F V F
F V V V V F V V V V
F V V V F F V V V F
F F F V V F V F V V
F F F F F F F F F F
p p ↔ p LQQD
V V V V V
F F F V F
p p ↔ p LQQD
V V V V V
F F F V F
28
(p q) r p (q r) LQQD
V V V V V V V V V V
V V V F F V F V F F
V F F F V V F F F V
V F F F F V F F F F
F F V F V F F V V V
F F V F F F F V F F
F F F F V F F F F V
F F F F F F F F F F
(p ↔ q) ↔ r p ↔ (q ↔ r) LQQD
V V V V V V V V V V
V V V F F V F V F F
V F F F V V F F F V
V F F V F V F F V F
F F V F V F F V V V
F F V V F F V V F F
F V F V V F V F V V
F V F F F F F F V F
29
4) Leyes Conmutativas
pqqp
p qq p
p↔qq↔p
Ejercicio: Demostrar las leyes.
p q q p LQQD
V V V V V V
V F F F F V
F F V V F F
F F F F F F
p ↔ q q ↔ p LQQD
V V V V V V
V F F F F V
F F V V F F
F V F F V F
5) Distributivas
p (q r) (pq) (p r)
p (p r) (p q) (p r)
p→ (q r) (p→q) (p→r)
p→ (q r) (p→q) (p→r)
Ejercicio: Demostrar las leyes
p q q p LQQD
V V V V V V
V V F F V V
F V V V V F
F F F F F F
30
p (q r) (p q) (p r) LQQD
V V V V V V V V V V V V
V V V V F V V V V V F F
V V F V V V F F V V V V
V F F F F V F F F V F F
F F V V V F F V F F F V
F F V V F F F V F F F F
F F F V V F F F F F F V
F F F F F F F F F F F F
p (q r) (p q) (p r) LQQD
V V V V V V V V V V V V
V V V F F V V V V V V F
V V F F V V V F V V V V
V V F F F V V F V V V F
F V V V V F V V V F V V
F F V F F F V V F F F F
F F F F V F F F F F V V
F F F F F F F F F F F F
31
p → (q r) (p → q) (p → r) LQQD
V V V V V V V V V V V V
V F V F F V V V F V F F
V F F F V V F F F V V V
V F F F F V F F F V F F
F V V V V F V V V F V V
F F V F F F V V F F V F
F F F F V F V F F F V V
F F F F F F V F F F V F
p → (q r) (p → q) (p → r) LQQD
V V V V V V V V V V V V
V V V V F V V V V V F F
V V F V V V F F V V V V
V F F F F V F F F V F F
F V V V V F V V V F V V
F V V V F F V V V F V F
F V F V V F V F V F V V
F V F F F F V F V F V F
6) De Morgan
q~p~qp~
q~p~qp~
32
Ejercicio: Demostrar las leyes
~ (p q) ~ p ~ q LQQD
F V V V F V F F V
V V F F F V V V F
V F F V V F V F V
V F F F V F V V F
7) De Complementación:
p~p │F
p~p V/
Ejercicio: Demostrar las leyes
p ~ p │F
V F F V F
F F V F F
~ (p q) ~ p ~ q LQQD
F V V V F V F F V
V V F F F V V V F
V F F V V F V F V
V F F F V F V V F
p ~ p V/
V V F V V
F V V F V
33
8) De Identidad:
pV/p
pV/V/
p│F│F
p│F p
Ejercicio: demostrar las leyes
p V/ p
V V V V
F F V F
9) Otras leyes:
~~pp
p→q~p q
p↔q (p→q) (q→p)
pv q (p q) ~ (pq)
p↓q~p~q
p↑q~p~q
p V/ V/
V V V V
F V V V
p │F │F
V F F F
F F F F
p │F p
V V F V
F F F F
34
Ejercicio: Demostrar las leyes
~ ~ p p
V F V V
F V F F
p ↔ q (p → q) (q → p)
V V V V V V V V V V
V F F V F F F F V V
F F V F V V F V F F
F V F F V F V F V F
p v q (p q) ~ (p q)
V F V V V V F F V V V
V V F V V F V V V F F
F V V F V V V V F F V
F F F F F F F V F F F
p → q ~ p q
V V V F V V V
V F F F V F F
F V V V F V V
F V F V F V F
35
p ↓ q ~ p ~ q
V F V F V F F V
V F F F V F V F
F F V V F F F V
F V F V F V V F
Observaciones:
1) Si en estas leyes también llamadas leyes lógicas reemplazamos las
proposiciones p, q, r por P, Q, R respectivamente siendo P, Q, R fórmulas
cualesquiera, entonces las equivalencias se siguen cumpliendo. Este
principio de substitución llámese simplemente principio de substitución de las
leyes lógicas.
Ejemplo:
Sea la ley lógica: p→q~p q ya demostrada esto implica: P→Q~PQ
Si para
P: ~pv q
Q: ~qp
Entonces tenemos:
(~pv q) → (~qp) ~ (~p
v q) (~qp)
De acuerdo a este principio tenemos que la última equivalencia también se
cumple:
(~ p v q) → (~ q p) ~ (~ p
v q) (~ q p)
F V V V F F V F V F F V V V F F V F V
F V F F V V F V V V F V F F V V F V V
V F F V V F V F F V V F F V V F V F F
V F V F F V F F F F V F V F F V F F F
p ↑ q ~ p ~ q
V F V F V F F V
V V F F V V V F
F V V V F V F V
F V F V F V V F
36
2) Las leyes lógicas conjuntamente con su intrínseco principio de substitución,
son aplicables para demostrar otras equivalencias lógicas.
Nota: Si se tiene la equivalencia genérica AB para demostrar esta
equivalencia lógica mediante leyes lógicas partimos de A y llegamos a B
usando leyes lógicas.
También podemos partir de B y llegar a A usando las leyes lógicas.
También lo podemos hacer de la siguiente manera. Cogemos A y
simplificamos y cogemos B y simplificamos y llegamos a una igualdad que
también queda demostrada.
Ejemplo: Utilizando leyes lógicas y sus intrínsecas principios de substitución
demostrar la siguiente equivalencia lógica.
p→q~q→~p
~p q~(~q) ~p Otras Leyes
~p qq~p Otras Leyes
~p q~p q Ley Conmutativa
Ejercicio: De mostrar la siguiente equivalencia lógica, sin utilizar tablas de
verdad.
(q p)↓p~(~p→q)
~(q p) ~p~[~(~p) q] Otras Leyes
(~q~p)~p~(p q) Ley de Morgan, Otras Leyes
(~p~p) ~q~p~q Ley asociativa, Ley de Morgan
~p~q~p~q LQQD Ley de Idempotencia
Demostrar la siguiente equivalencia lógica utilizando leyes lógicas
~p [~p (p→~q)] p↓p
~p [~ p (~p~q)] ~p~p Otras Leyes
~p [ (~p~p) ~q] ~p Ley asociativa, Ley de Idempotencia
~p (~p~q) ~p Ley de Idempotencia
~p~p Ley de Absorción
37
p~[~q (~q (p↓~q))] (p↓p) ↓ (q↓q)
p~[~q (~q (~p~(~q)))] (~p~p)↓( ~q~q) Otras Leyes
p~[~q (~q (~pq))]~p↓~q Otras Leyes, Ley de Idempotencia
p~[~q ((~qq) p)] ~(~p) ~(~q) Ley Asociativa, Otras Leyes
p~[~q ( │Fp)] pq Ley de complementación, Otras Leyes
p~(~q│F) pq Ley de Identidad
p~(~q) pq Ley de Identidad
pq LQQD Otras Leyes
(~p q) (~q~p) ~p
(~p q) (~p~q) ~p Ley Conmutativa
~p (q~q) ~p Ley Distributiva
~p│F~p Ley de complementación
~p~p Ley de Identidad
3) Las leyes lógicas junto con el principio de substitución también sirven para
simplificar “fórmulas”.
Ejemplo: Simplificar las siguientes fórmulas mediante leyes lógicas
1) ~[~(p q) (~qp)] p
~[(~p~q) (~qp)] p Ley de Morgan
~[(~q~p) (~qp)] p Ley Conmutativa
~[~q (~pp)] p Ley distributiva
~[~qV/]p Ley de complementación
~(~q) p Ley de identidad
qp Otras Leyes
pq Ley Conmutativa
38
2) ~(p q) [(p↓q) ↓(p↓q)]
~(p q) [(~p~q) ↓(~p~q)] Otras Leyes
~(p q) [~(~p~q) ~(~p~q)] Otras Leyes
~(p q) [(~(~p) ~(~q)) (~(~p) ~(~q))] Ley de Morgan
~(p q) [(p q) (p q)] Otras Leyes
~(p q) (p q) Ley de Idempotencia
│F Ley de Complementación
Simplificar las siguientes proposiciones compuestas
1) No es verdad que los números reales son naturales implica que los números
naturales son reales.
p: Los números reales son naturales
q: Los números naturales son reales
~(p→q)
~(~p q) Otras leyes
~(~p) ~q Ley de Morgan
p~q Otras Leyes; Los números reales son naturales y no es verdad que los
números naturales son reales.
2) No hace frío y está lloviendo
p: Hace Frío
q: Está lloviendo
~(pq)
~p~q Ley de Morgan; No hace frío o no está lloviendo
3) No es verdad que 2 es un número neutro o irracional
p: 2 es un número neutro
q: 2 es un número irracional
~(p q)
~p~q Ley de Morgan; 2 no es un número neutro y no es irracional
4)No es verdad que no hace frío o que esté lloviendo
p: Hace frío
q: Está lloviendo.
~(~p q)
39
~(~p) ~q Ley de Morgan
p ~q Otras Leyes; Hace frío y no está lloviendo
5) No es verdad que si Juan Montalvo fue escritor ambateño entonces es
colombiano
p: Juan Montalvo fue escritor ambateño
q: Juan Montalvo es colombiano
~(p→q)
~(~p q) Otras Leyes
~(~p)~q Ley de Morgan
p~q Otras Leyes; Juan Montalvo fue escritor ambateño y no es colombiano
6) No es verdad que los números reales son racionales si solo si los reales no
son racionales
p: Los números reales son racionales
~(p↔~p)
~[(p→~p) (~p→p)] Otras Leyes
~[(~p~p) (~(~p) p)] Otras Leyes
~[~p (p p)] Otras Leyes
~(~pp) Ley de Idempotencia
~│F Ley de Complementación
V/ Negación de Falsedad
Ejercicio: Sin ejercer tablas de verdad demostrar las siguientes equivalencias
1) ~(p↔q) pv q
~(p↔q) (p q) ~(pq) Otras Leyes
~(p↔q) (p q) (~p~q) Ley de Morgan
~(p↔q) [(p q) ~p] [(p q)~q] Ley distributiva
~(p↔q) [(~pp) (~pq)] [(~qp) (~qq)] Ley Distributiva
~(p↔q) [│F (~pq)] [(~qp) │F] Ley de complementación
~(p↔q) (~pq) (~qp) Leyes de Identidad
~(p↔q) ~(p~q)~(q~p) Ley de Morgan
40
~(p↔q) ~(~q p) ~(~p q) Ley Conmutativa
~(p↔q) ~[(q→p) (p→q)] Ley de Morgan
~(p↔q) ~[(p→q) (q→p)] Ley Conmutativa
~(p↔q) ~(p↔q)LQQD. Otras Leyes.
2) ~(p↔q) p↔(~q)
pv q (p→~q) (~q→p) Otras Leyes
pv q (~p~q) [~(~q) p] Otras Leyes
pv q ~(pq) (q p) Ley de Morgan, Otras Leyes
pv q ~(pq) (p q) Ley Conmutativa
pv q (p q) ~(pq) Ley Conmutativa
pv q p
v q LQQD Otras Leyes.
3) 2耀~q~p↔q
(p→~q) (~q→p) (~p→q) (q→~p) Otras Leyes
(~p~q) (q p) (p q) (~q~p) Ley De Morgan, Otras Leyes
(p q) (~p~q) (p q) (~p~q) Otras Leyes
Predicados
Los predicados también se llaman “Funciones proposicionales” o “esquemas
proposicionales” o “formas proposicionales”. Y consta en lo siguiente.
Las expresiones
a) x+10=12
b) x es un número impar
Recordaremos que no son proposiciones simples, si no oraciones abiertas
puesto que, no se puede determinar su valor de verdad.
41
Sin embargo si substituimos “la variable x” por un número entero por ejemplo,
entonces obtenemos proposiciones simples así:
X=3→ a)3+10=12b) 3 es un número impar
X=5→ a)5+10=12b) 5 es un número impar
I I I
Las expresiones como I y I I. . con “la x definida” para determinar todos los
valores los cuales convierten a esta oración abierta en proposiciones simples,
son llamadas predicados
Notación:
Los predicados I y I I. . Se denotan o se representan de la siguiente manera
I : p(x): x+10=12, A= 5,3
I I: q(x): x es un número impar, A= 5,3
Donde en vez de utilizar y(x) o q(x) se puede utilizar cualquier letra del alfabeto
acompañado de la variable x.
Además el conjunto A se reconoce como “dominio de interpretación del
predicado “.
Para el caso I se dice que p(x) es una función proposicional sobre A.
Ejemplo:
Sea las siguientes funciones proposicionales definida para 2 variables x e y
siguientes
q(x, y): y es divisible para x: Ax= 5,2 Ay= 5,8
Aquí se dice que p(x, y) es una función proposicional sobre x en y su puede
deducir todos las proposiciones simples que surgen de este predicado.
q (x. y)= y es divisible para x: Ax= 3,2 Ay= 5,8
q(2,8): 8 es divisible para 2.
q(2,5): 5 es divisible para 2.
q(3,8): 8 es divisible para 3.
q(3,5): 5 es divisible para 3.
Dado el siguiente predicado Q(x,y) y=x2, Ax= 2,1 Ay= 4,3 . Deducir
todas las proposiciones simples que puedan ser posibles.
Q(1,3): 3=12
42
Q(1,4): 4=12
Q(2,3): 3=22
Q(2,4): 4=22
Definición: Sea p(x) una función proposicional sobre A. Al concepto de todos
los elementos de A para los cuales P(x) se transforma en una proposición
verdadera, se denomina conjunto solución de la función.
Notación: El conjunto solución de la función p(x) se representa como Vp.
Ejercicio: Calcular el conjunto solución de cada una de las siguientes
funciones proposicionales
1) p(x): 2x+3= 7; A= 1,0
p(0): 2(0)+3= 7; 3=7
p(1): 2(1)+3= 7; 5=7
Vp=
2) q(x): x2-1=0; A= 1,0,1
q(-1): (-1)2-1=0; 0=0
q(0): (0)2-1=0; 0=1
q(1): (1)2-1=0; 0=0
Vq: 1,1
3) t(x): x3-1=0; A= 2,1
t(1): (1)3-1=0; 1=1
t(x): (2)3-1=0; 8=1
Vt= 1
4) s(x): x2+2x+1=0; A= 1 s(-1): (-1)2+2(-1)+1=0; 0=0 Vs= 1
Cuantificadores
Sea Z= ...3,2,1,0,1,2,3...
p(x):x+1=2; A=Z. Una función proposicional sobre A p(x): no es una
proposición simple, pero las siguientes afirmaciones sí lo son.
p: para todo número entero, x+1=2
q: existe un número entero tal que, x+1=2
r: existe un único número entero, x+1=2
s: para ningún número entero, x+1=2
43
Donde el² € or de verdad de estas proposiciones simples son los
siguientes
V(p)= F
V(q)= V
V®= V
V(s)= F
Definición: Las expresiones para todo, existe un, existe un único, y para
ningún. Transforman el predicado p(x) en proposiciones simples. A estas
expresiones de transformación se les conoce con el nombre de cuantificadores.
Notación:
1) El cuantificador “para todo” se simboliza y se lee de las siguientes
maneras: “para todo”, “para todos”, “cada”, “ningún”, para cada”,
“todos”
Este cuantificador es llamado cuantificador universal
La proposición simple a se simboliza de la siguiente manera:
21, Xx
2) El cuantificador “existe un” se denomina cuantificador extencial y se
simboliza como el cual se lee: “existe un”, “existe al menos un”, “para
algún”, “para al menos un”, “existe algún”, “existen algunos”
De esta forma la proposición simple b se simboliza de la siguiente
manera: 21, xx
3) El cuantificador “existe un único” se denomina cuantificador particular y
se los simboliza como: !
De esta forma la proposición simple c se simboliza de la siguiente manera:
21,! x
4) El cuantificador “para ningún” se denomina cuantificador nulo y se
simboliza como ││
De esta forma la proposición simple d se simboliza de la siguiente
manera:
││ 2, xx
44
Observación: A fin de poder formalizar correctamente proposiciones simples
con cuantificadores, revisaremos brevemente algunos subconjuntos entre los
números │R y su notación.
Z+= ...4,3,2,1 Conjunto de los números enteros positivos
N= ....3,2,1,0 Conjunto de los números naturales
Z-= 1,2,3,4... Conjunto de los números enteros negativos
Z= ...3,2,1,0,1,2,3... Conjunto de los números enteros
Q= 0: bbab
a Conjunto de los números racionales
D= 9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 Conjunto de los números dígitos decimales
Ejercicio: Formalizar las siguientes proposiciones simples y encontrar su valor
de verdad.
1) existe un único entero para todo entero tal que su suma da cero
0,!: yxyxp V(p)= V
2) cada número natural es mayor que cero
0;: xNxq V(q)= F
3) existen números reales menores que cero
0x,R: xr V®=V
4) existe un único x para que x+1=-3
31,!: xxs V(s)= V
5) Para algunos x (x es entero), x+0=0
00,: Xxt V(t)= F
Nota: Existen otras formas de proposiciones simples cuantificables
frecuentes en las matemáticas que se estructuran de acuerdo al
siguiente ejemplo:
Sean los predicados: T(x): x es tiburón
F(x): x es feroz
1) xx FTxp : . Se lee todos los tiburones son feroces
2) xF~: xTxq Se lee ningún tiburón es feroz
3) xx FTxr : Algunos tiburones son feroces
4) xx FTxs ~!: Algunos tiburones no son feroces
45
Ejercicio: Formalizar las siguientes proposiciones simples y por simple
inspección calcular su valor de verdad
R(x): x es número real
N(x): x es número natural
1) Todos los números reales son naturales
xx NRxp : V(q)= F
2) Ningún número natural es real
xx RNxq ~: V(q)= F
3) Algunos números naturales son reales
xx RNxr : V(r)=V
4) Algunos números naturales no son reales
XR~: XNxs V(s)= F
Ejercicio:
Formalizar las siguientes proposiciones utilizando cuantificadores y encuentre
en cada uno sus valores de verdad
1) Todo hombre es mortal
xP x es hombre
xQ x es mortal
xx MPxp : V(p)= V
2) El cuadrado de un número par es también par
CX: x es un número par
Px: x2 es un número par
xx PCxq : b V(q): V
3) Ningún número puede dividirse por cero
CX: x es un número
Dx: x puede dividirse por cero
xP~: xCxr
46
Teorema de Morgan
Los cuantificadores y pueden negarse de la siguiente manera
1) p: xpAx , ~p: xp~,Ax
2) p: xpAx , ~p: xp~,Ax
Ejercicio: Hallar el valor de verdad de cada una de las siguientes
proposiciones compuestas cuantificadas y luego niéguelas
1) 1,1, xZxxNx
p: 1, xNx V(p)= F
q: 1, xZx V(q)= F
~(p→q)
~(~p q) Otras Leyes
p~q Ley de Morgan
1,1, xZxxNx
2) 3,v3,-
xxxx
p: 3, xx V(p)=V
q: 3, xx V(q)= F
~(p-v q)
p↔q Equivalencia lógica
3,3, xxxx
p → q
F V F
p -v q
V V F
47
3) 0,1, 2 xxxx
p: 1, 2 xx V(p)=F
q: 0, xx V(q)= V
~(pq)
~p~q Otras Leyes
0,1, 2 xxxx
4) xxxxx 2,0,
p: 0, xx V(p)=F
q: xxx 2, V(p)=V
~(p↔q)
pv q Equivalencia Lógica
xxxvxx
2,0,
5) 4 xpositivo, esx,!~ 2 p: 4 xpositivo, esx,!~ 2 V(p)= V
4 xpositivo, esx,!~ 2
6) ( x , x es entero,x2=4) 3=4
p: x , x es entero,x2=4 V(p)= F
q:3=4 V(q)= F
~(p~q)
~pq Ley de Morgan, Otras Leyes
x , x es entero,x2=4 3=4
p q
F F V
p ↔ q
F F V
~ P
F V
p ~ q
F V V F
48
Teorema de Morgan ampliado
Si p: ),(, yxpBAyx ~p: y)p(x,~,BAyx
Ejercicio: negar las siguientes proposiciones simples
1) p: 0, yxZyZx
~p: 0, yxZyZx
2) q: ),,(, zyxpzxy
~q: ),,(~, zyxpzxy
3)r: (q(z))~)(; ypzy
~r: (q(z)))~)((; ypzy
~r: (q(z)))(~; ypzy
Métodos de Demostración de Teoremas
Las proposiciones de las demostraciones de una teoría matemática se
clasifican en dos tipos: Las aceptadas sin demostración que son los axiomas y
las que se demuestran llamadas teoremas.
La demostración de un teorema es un procedimiento en el que se enlaza o
combinan 2 o más proposiciones utilizando ciertas reglas lógicas.
La valides de la demostración de un teorema resulta de la valides de las
proposiciones y reglas que en ella interfieren
Por lo general en el enunciado de un teorema incluye explícitamente las
proposiciones de partida, a estas las denominaremos H “hipótesis del teorema”.
Si partiendo de la Hipótesis se puede “deducir” otra proposición esta es
llamada T “tesis”; en otros términos debemos verificar si H→T es verdadera:
Los siguientes métodos de demostración son los más usuales:
Método Directo:
De acuerdo a la tabla de verdad del condicional, para demostrar que la
proposición H→T es verdadera, es suficiente demostrar que se la proposición
H es verdadera, entonces T es verdadera.
Así
Ejercicio: por el método directo demostrar el siguiente teorema
H → T
V
H → T
V V V
49
1) Si n es un número entero impar entonces n2 es impar H: n es un
número entero impar V(H)= V T: n2 es un número impar
ZyyxxxxxZxx ,12122214412,12 222
Método de deducción al absurdo
De acuerdo a la tabla de verdad del condicional, para demostrar que la
proposición H→T es verdadera es suficiente deducir de la hipótesis: H es
verdadera y T es falsa un resultado imposible, es decir 2 contradicciones.
Ejercicio: Demostrar que 0
1 no es un número real
Supongamos que 0
1 es un número Real a, es decir que
0
1=a se sigue
entonces que 1=0 ; 1=0 lo cual es un absurdo puesto que 01 . Este absurdo
se obtiene por haber supuesto que 0
1 es un número real luego lo correcto es
que 0
1 no es un número real. LQQD
Método Indirecto:
Este método de demostración también se llama método contra recíproco o
método de contradicción de la tautología (p→q)↔(~q→~p) o lo que es lo
mismo que la equivalencia lógica p)~q(~q)(p se sigue que para
demostrar que q es verdadera sabiendo que p’ es verdadera basta con
demostrar que ~q→~p es verdadera.
p → q ~ q → ~ p
V V V V
Ejercicio: por el método indirecto demostrar que: a2 es impar→ a es impar
1) a2 es impar→ a es impar
a2 no es impar→ a es par
→ *,2 kka
→ a2=(2k)2
→ a2=4k2
→ a2=2(2k2)
→ a2=2t; *Zt → a2 es par
50
→ a2 no es impar LQQD 2) a2 es par→ a es par a2 no es par→ a es impar
→ a=2k+1, *Zk
→a2= (2k+1)2 →a2= 4k2+4k+1 →a2= 2(2k2+2k)+1
→a2=2t+1, kkTZt 22 2 →a2 es impar →a2 no es impar LQQD Método de inducción:
Este método de demostración de teoremas no se ve en el presente programa.
Contraejemplos:
Este método de demostración consiste en dar un ejemplo que no cumple la
tesis, demostrando así que la tesis es falsa.
Ejercicio: demostrar si es verdad o falso o que 115, xRx F
Si x=1→1+5=11 F
6 11
CONJUNTOS
Intuitivamente se dice que conjunto es una reunión o colección de objetos a los
que se les denomina elementos.
Se representan los conjuntos por las letras A, B, C… y a sus elementos se los
representa por a, b, c…
La relación de pertenencia de un elemento a un conjunto se nota con el
símbolo "" y se lee pertenece a, o es elemento de
Ejemplo:
Aa
La no pertenencia de un elemento a un conjunto se denota con: “”, y se
lee no pertenece a, o no es elemento de.
Ejemplo:
Ab
51
Numerosidad de un conjunto:
Se define como el número de elementos de un conjunto se lo representa como
“n(A)” se lee “numerosidad del conjunto A” o “número de elementos del
conjunto A”.
Ejemplo: Sea A= 4,2,1 ; n(A)= 3
B= dcba ,,, ; n(B)= 4
Formas de Expresar un conjunto:
Existen 2 formas de expresar en conjunto.
1) Por Extensión, enumeración o tabulación: E sta forma de expresar en
conjunto se manifiesta si están escritos o indicados todos los elementos que
forman al conjunto.
Ejemplo: Sea A={al conjunto de las vocales}, a quedaría expresado por
extensión: A={a, e, i, o, u}
Sea P={al conjunto de los números dígitos} exprese P por extensión
P={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
2) Por comprensión:
Esta forma de expresar un conjunto se manifiesta si se menciona la
propiedad común que satisface los elementos que forman el conjunto.
Ejemplo: Sea A={a, e, i, o, u} este conjunto quedaría expresado por
comprensión de la siguiente manera A= {x letras, x es vocal}
Ejercicio: expresar los siguientes conjuntos por comprensión
A={1, 2, 3} A={xZ+, 31 x }
B={-3, -2, -1} B={x Z-, 13 x }
C={0, 1, 2, 3, 4, 5} C={xN, 50 x }
D={-1, 0, 1} D={xZ, 11 x }
52
Clases de Conjuntos:
1) Conjunto Universo: Es el conjunto formado por la totalidad de los elementos
de una discusión o presentación matemática particular al conjunto universo
se lo representa con la letra U o E
Ejemplo: Sean las siguientes presentaciones matemáticas particulares
determinar su conjunto universo:
31, xZxA →U=Z+
13, xZxB → U= Z-
50, xZxC → U= Z
11, xZxD → U=Z
Observación: En una presentación de conjuntos siempre se supone definido
un conjunto universo pese a que no conste el universo en la representación del
conjunto
Ejemplo:
A={x letras; x es vocal}
→A={x; x es vocal}, U= Letras
2) Conjunto Vació o Nulo: 1 conjunto es vacío si no tiene elementos. El
conjunto vacío se simboliza o nota como “ ” o como “{ }”
Ejercicio: En forma comprensiva escriba 5 ejemplos de conjuntos vacíos:
1) xxZx ,
2) 13; xNx
3) 12; xNx
4) 023; 2 XxZx =(X+2)(X+1)=0;x=-2 x=1
5) 2; xZx
3) Conjunto Unitario: Es aquel que tiene 1solo elemento Ejercicio: Construir en
forma comprensiva 3 conjuntos unitarios:
453; xNx
5; xRx
4; 2 xZx
4) Conjunto Finito: Son aquellos que tienen un número determinado de
elementos es decir sus elementos se pueden contar.
53
U= Letras
A F
BB H
K
L D…..
Ejemplo:
9; xNxA
1,2,33; xZxB
12);1)(2(;23;23; 22 xxxxxxxxRxC
5) Conjunto Infinito: Son aquellos conjuntos en los que no es posible acabar de
contar sus elementos.
Ejemplo:
0; xRxA
9; xNxB
43; xRxP
Diagrama de Venn
Son representaciones de conjuntos mediante áreas planas, cerradas de forma
arbitraria, dentro de las cuales se disponen con elementos del conjunto que se
representa.
Observación: Si un conjunto se representa por diagrama de Venn entonces
este siempre vendrá referido al universo.
Ejercicio: Representar en un diagrama de Venn los siguientes conjuntos
U={x; x es número dígito decimal}
A={1, 5, 7, 9}
B={3, 5, 6, 8, 9}
C={2, 4, 5}
D={6, 8}
a e
i o
u
uuuuu
54
Ejercicio: Representar en un diagrama de Venn los siguientes enunciados
123; xNxU
A={2, 3, 4}
B={4, 5, 6}
C={6, 7, 8}
100; xZxD
5; xRxF
Relación de Conjuntos
Sean A y B 2 conjuntos cualesquiera de un universo cualesquiera:
1) Equivalencia:
Se dice que A y B son conjuntos equivalentes si solo si n(A)=n(B)
Si A y B son “equivalentes” esto se simboliza como A=B o AB
Ejemplo:
Sea:
A={x; x es vocal}
6; xZxB
n(A)=5=n(B) → A B
1) Equivalencia:
1.1) Subconjunto:
Se dice que A es subconjunto de B si solo si todo elemento de A es también
elemento de B
Si A es subconjunto de B esto se simboliza como “AB”
En términos más rígidos: BxAxUxBA ;
Ejemplo:
Sea
A={1, 2, 3} AB
B={2, 3, 1} AC
C={1, 2, 3} AD
D= AE
E={2}
55
1.2) Subconjunto Propio: Se dice que A es subconjunto propio de B si solo si
BA y BA
A es subconjunto propio de B se simboliza como BA
en otros términos. Definición: BABABA
ejemplo:
A={1, 2, 3} AB
B={2, 3, 1} AC
C={1, 2, 3} AD D= AE
E={2} 2.3) Súper conjunto: Si BA , también se dice que B contiene a A y esto
significa que B es súper conjunto de A y esto se simboliza como AB .
En otros términos. Definición: ABBA
Observaciones Generales:
1) Todo conjunto es subconjunto de si mismo 2) El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto 3) El conjunto Universo es súper conjunto de todo conjunto
4) xxxx qpBAqxBpxA ::
Ejemplo:
Si xEETxA ,
EEEPNxB :
Aquí se ve claramente que BA →”x EETEEEPN” 3) Disyunción o Desigualdad Se dice que 2 conjuntos A y B son “disjuntos” si no tienen elementos comunes. Ejemplo: Sean A={1, 2, 3} B={4, 5, 6} C={3, 4, 5} Se tiene que A y B son disjuntos A y B no son disjuntos C y B no son disjuntos 4) Igualdad o Identidad 2 conjuntos A y B son iguales si solo si BA y AB
A igual B se simboliza como A=B, en otros términos significa: Definición: ABBABA
En términos más rigurosos tenemos la siguiente definición: BxAxUxBA ,
Ejemplo: Sea A={1, 2, 3}
56
B={2, 3, 1} BAABBA
Observación: Si xxxx qpBAqxBpXA ;;
Ejemplo: Si A={x: x es vocal} B={x: x es una vocal de la palabra murciélago } Aquí evidentemente A=B → “x es una vocal” es lógicamente equivalente a x es una vocal de la palabra murciélago
Operaciones entre Conjuntos
Sean los conjuntos A y B definidos en un Universo (U) 1) Complemento: El complemento de un conjunto A con respecto a U es el conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A.
El complemento de A con respecto de U se simboliza como cAAA ,,'
En términos más rigurosos
Definición: AxxAxUxxAc ::
En un diagrama de Venn Ac quedaría representado por:
Ejercicio: Determinar el complemento de los siguientes conjuntos
1) 4: xNxA 4: xNxAc
2) 4: xNxB 4: xNxBc
3) xpxC : xp ~:xC c
2) Unión o disyunción: La unión de dos conjuntos A, B es el conjunto cuyos elementos pertenecen a A o B. A unión B se simboliza como BA En otros términos:
BxAxUxBA :
Ejercicio:
Representar mediante un diagrama de Venn BA y cBA para los casos A
y B disjuntos. A y B no disjuntos A y B disjuntos
BA cBA
A y B no disjuntos
57
BA cBA
A B
BA cBA
Ejercicio: Dados los conjuntos U=Z+ A={1, 2, 3, 4} B={4, 5, 6} C=
D={5, 6, 7}
Calcular: CDCBA
AUB={1, 2, 3, 4, 5, 6}
CUD={5, 6, 7}; CDC = {8, 9, 10…}
CDCBA ={1, 2, 3,4 ,5 ,6 ,7 ,8, 9, 10…}
Definición: Si A={x; p(x)} B={x; q(x)}→AUB={x; p(x)U q(x)} 3) INTERSECIÓN O PRODUCTO: La intersección o producto de los conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos pertenecen a A y también a B. A intersección B se simboliza como
BA y en otras palabras: BxAxUxBA ;
Ejercicio: en un diagrama de Venn representar BA y BA c para los
siguientes casos: 1) A y B son disjuntos 2) A y B no son disjuntos 3) A subconjunto de B. A y B disjuntos
BA = { } CBA = U
A y B no disjuntos
58
BA CBA
A B
BA =A cBA = { }
Dados los conjuntos
A={1, 2, 3, 4} B={4, 5, 6} C=
D={5, 6, 7}
Calcular: cc DCBA
Bc={1, 2, 3, 7, 8…}
cBA = {1, 2, 3}
DC = { }; DC c=U
{1, 2, 3}U U= U
Def: Si A={x; p(x)} B={x; q(x)}→ BA = {x; p(x) p(x)}
Ejercicio: Calcular los elementos de los siguientes conjuntos:
55, xxZx
={5, 6, 7, 8…} {4, 3, 2, 1…}={ } 4) Diferencia: La diferencia entre A y B es el conjunto de los elementos de U que pertenecen a A pero no a B. A diferencia de B o A menos B se simboliza como A y en otras palabras: A-B={ Ux │ BxAx }
Ejemplo: En un diagrama de Venn raye (A-B), (A-Bc) para los siguientes casos: 1) A y B disjuntos 2)A y B no disjuntos 3) BA
59
A y B disjuntos
A-B (A-B)c
A y B no disjuntos
A-B (A-B)c
A B
A-B ( A-B)c
Ejercicio: Dados los conjuntos calcular: ccCBCDBA
U=N A={1, 2, 3, 4} B={4, 5, 6} C=
D={5, 6, 7}
(A-B)={1, 2, 3} (D-C)={5, 6, 7}, (D-C)c={1, 2, 3, 4, 8…}
CB ={4, 5, 6}; cCB ={0, 1, 2, 3, 7, 8…}
ccCBCDBA =
[{1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 8…}] {0, 1, 2, 3, 7, 8…}
{1, 2, 3} {0, 1, 2, 3, 7, 8…}
{0, 1, 2, 3, 7, 8…}
60
5) Diferencia Simétrica: La diferencia Simétrica entre A y B es el conjunto formado por los elementos de la unión de A y B con excepción de los elementos de la intersección de A y B. A diferencia simétrica se simboliza como: BA y en otras palabras:
BAxBAxUxBA ;
BABABA
En un diagrama de Venn se puede comprobar que BABABA
Ejercicio: En un diagrama de Venn rayar BA para los siguientes casos: 1) A y B son disjuntos 2)A y B no disjuntos 3) A B
BA CBA
No Disjuntos
BA A B
BA CBA
Ejercicio: Dados los conjuntos: A={1, 2, 3, 4} B={4, 5, 6} C=
D={5, 6, 7}
CBA
61
ABCDBAc
BA ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
CD = { }; cCD = U
(B-A)={5, 6}
ABCDBAc
=
=[{1, 2, 3, 4, 5, 6}-U]U{5, 6} ={1, 2, 3, 4, 5, 6}U{5, 6} ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Definición: A={x; p(x)} B{x; q(x)}→ xxxx qpqpxBA ~;
= xx qvpx
;
Esa definición implica una definición diferente:
Def: BxvAxUxBA
;
Ejercicio: Calcular en forma extensiva los siguientes conjuntos.
3044;
xvxZx
= 2,13,2,1
={3}
Comparación de Conjuntos
Definición: 2 conjuntos son comparables si cualquiera de ellos es subconjunto del otro, esto es:
BAABBA son comparables
Conjunto de Partes de un conjunto: Un conjunto puede ser elemento del otro conjunto Ej: Sea A={5, {6, 7}, 8, 9} {6, 7} se llama elemento conjunto Definición: El conjunto de partes de un conjunto A está formado por todos los subconjuntos que pueden formarse a partir del conjunto A. se lo nota por p(A) y se lo llama también conjunto potencia de A el conjunto vacío forma parte de p(A). Ejercicio: A={1, 2, 3} calcular p(A): ={{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2,3}, {1, 2, 3}}
Intervalos
Sabemos que Z=Z-U{0}UZ+ Conjunto de los números reales
0; bZbab
aQ = Conjunto de los números racionales
Ejemplos de números racionales:
666666,13
5 …
62
4,05
2
0,51
55
Un número racional se caracteriza porque su representación decimal o bien termina o es periódica. A parte de los números racionales existe otro tipo de números los irracionales. Que son cuya representación racional no es periódica ni termina. Ej:
...4142,12
...14159,3
...718,2e
El conjunto de los irracionales se los representa con Q’ o con I y precisa que QUQ’=R El conjunto de los números reales se lo puede asimilar a una línea recta porque en ella se pueden representar todos estos números. Ya que existe una correspondencia biunívoca. Los puntos de la recta y los números reales. Es decir a cada punto de la recta le corresponde de un único número real y viceversa. Los Intervalos: Precisamente son subconjuntos de los números reales, expresables en la recta numérica como segmentos. Los intervalos se clasifican en finitos e infinitos. Intervalos Finitos: Son aquellos en que están identificados sus extremos o límites. Y se clasifican en los siguientes: 1) Abiertos A: Son conjuntos que no incluyen a los extremos: Ejemplo: Rxx : a b
bxaRxA ;
=(a, b)=]a, b[ 2) Cerrados C: Son los conjuntos que se incluyen en los extremos. Rxx : a b
bxaRxA ;
= [a, b] 3) Semiabiertos o Semicerrados S: Son conjuntos que incluyen uno de los dos extremos. Rxx :
a b
bxaRxA ;
=[a, b)= [a, b[
Rxx : a b
bxaRxA ;
=(a, b]=]a, b]
63
Intervalos Infinitos: Son aquellos cuando al menos uno de sus límites va o tiende al infinito. Y constituyen los siguientes. 1) Abiertos A:
Rxx : a
axRxA ;
a, ( ,a[
Rxx : a
axRxA ;
=( ,a] =] ,a] 2) Cerrados C:
Rxx :
a
axRxA ;
=[a, )= [a, [ Rxx :
a
axRxA ;
=[a, )=[a, [ 3) Infinito Total: Este intervalo constituye todos los números reales Rxx :
RxxA ;
=( , )=] , [ Nota: Un intervalo cualesquiera también se lo expresa en la recta numérica por encima o por debajo de la recta numérica.
A A Rxx : -3 4 Ejercicio: Determinar los elementos de los siguientes conjuntos:
1) 43; xRx = (-3, 4]
Rxx : -3 4
2) 14; xRx = [-4, 1)
64
Rxx : -4 1
3) 43; xRx = [-3, 4]
Rxx : -4 1
4) 5112; xxRx =[-2, 1]U(-1, 5]=[-2, 5]
Rxx : -2 -1 1 5
5) 5112; xxRx = 5,11,2 =(-1, 1]
Rxx : -2 -1 1 5
6) 5112;
xvxRx =[-2, -1) [1, 5]
Rxx :
-2 -1 1 5
7) 5112;
xvxRx =(-2, -1) [1, 5]
Rxx : -2 -1 1 5
8) 1,13,3; xRx = [-1,1]
65
Rxx : -3 -1 1 3
9) 5112;
xvxRx =(-2,1) [-1,5)
Rxx : -2 -1 1 5
Leyes del Álgebra de conjuntos
Estas leyes constituyen las siguientes igualdades notables entre conjuntos.
1) Leyes de Idempotencia 2) Leyes Conmutativas AAA ABBA
AAA ABBA
3) Leyes Asociativas 4) Leyes Distributivas
CBACBA CABACBA
CBACBA CABACBA
5) Leyes de Complemento: 6) Ley Involutiva
UAA ' AA ''
'AA
'U
U'
7) Leyes de Morgan 8) Ley de Identidad
''' BABA UUA
''' BABA AUA
AA
A
9) Leyes de Absorción 10) Otras Leyes
ABAA 'BABA
ABAA
Observaciones: 1) Estas Leyes se “comprueban” utilizando diagramas de Venn
66
Ejercicio: Comprobar mediante diagramas de Venn las leyes del álgebra de conjuntos. 1) Leyes de Idempotencia
AAA AAA
2) Leyes Conmutativas
ABBA
3) Leyes Asociativas
CBACBA CBACBA
4) Leyes Distributivas
CABACBA CABACBA
5) Leyes de Complemento
ABBA
67
UAA ' 'AA
'U U'
6) Ley Involutiva
AA ''
7) Ley De Morgan
''' BABA ''' BABA
8) Leyes de Identidad
AUA UUA
68
A
9) Leyes de Absorción:
ABAA ABAA
10= Otras Leyes
'BABA
2) Estas Leyes se demuestran utilizando métodos de demostración de
teoremas.
Ejemplo: Demostrar la siguiente ley:
''' BABA ↔ ''', BAxBAxUx desigualdad de conjuntos
Demostración del teorema 1 por el método directo:
'BAx
BAx Complemento de un conjunto
BAx~ Cambio De Notación
BxAx~ Definición de Unión de Conjuntos
AA
21
''',''',
teoremateorema
BAxBAxUxBAxBAxUx
69
BxAx Ley de Morgan
'' BxAx Complemento de un conjunto
'' BAx Intersección de Conjuntos L.Q.Q.D
Demostración del teorema 1 por el método directo:
'' BAx
'' BxAx Definición de Intersección de conjuntos
BxAx Complemento de un conjunto
BxAx~ Ley de Morgan
BAx~ Definición de unión de conjuntos
BAx Cambio de Notación
'BAx Complemento de un conjunto
3) En las leyes de conjuntos en lugar de A, B ponemos otros conjuntos compuestos respectivamente la igualdad original precede. Ejemplo: Dada la ley de conjuntos
AA '' BABA ''
Ejercicio: Comprobar la ley utilizando diagramas de Venn
BABA ''
Este principio llámese principio de substitución de las leyes de conjuntos. 4) Las leyes de conjuntos con su principio de sustitución sirven para demostrar. “otras igualdades entre conjuntos” Ejercicio: Utilizando leyes y principios de sustitución demostrar la siguiente igualdad.
cBAAAABBA '''
cBAAAABABA '''' Ley conmutativa. Otras leyes y
Morgan
cBAUABBA ''' Ley distributiva. Ley de Complemento
cBAAUA '' Ley de Complemento. Ley de Identidad
''AA Ley de identidad. Ley de absorción
A=A Complemento de un conjunto Ejercicio: Demostrar las siguientes las siguientes igualdades por el principio de substitución. “Estas igualdades son llamadas igualdades notables complementarias y constituyen las siguientes. 1) BABA ''
ABBAABBA )('')''( Def. Diferencia simétrica
70
'''' ABBAABBA Otras Leyes. Ley involutiva
BAABABBA '''' Ley Conmutativa
ABBAABBA '''' Ley Conmutativa
2) ABBA
BAABABBA Def. Diferencia Simétrica
'''' BAABABBA Otras Leyes
'''' ABBAABBA Ley Conmutativa.
3) AA
AAA Def. Diferencia Simétrica
AAA '' Def. Otras Leyes.
AUA Def. Ley de Complemento. Ley de Identidad
AA Ley de Identidad
A=A Ley de Identidad 4) AA
AAAA Def. Diferencia Simétrica
Diferencia de Conjuntos iguales
Ley de Idempotencia
5) ABBA ''
'' ABBA Otras Leyes. Ley involutiva
BABA '' Ley Conmutativa
4) Las Leyes de conjuntos con su principio de substitución sirven para simplificar otros conjuntos. Ejercicio: Simplificar el siguiente conjunto
1) c
BBA
c
BBA ' Otras Leyes
c
ABB ' Ley Asociativa
c
A Ley de Complemento
' Ley de Identidad
U Complemento del vacío
'U Otras Leyes
UU Complemento del Vacío
U Ley de Idempotencia
2) ccCBACBA
ccCBACBA '' Otras Leyes
ccCBACBA '''' Morgan. Otras Leyes
ccACBCBA '''' Ley Asociativa
71
ccCBACBA '''' Ley Conmutativa
'' DD Principio de Substitución ''' DD Otras Leyes
DD' Ley Involutiva
Ley de Complemento
3) CBACCBAc
'CBACCBAc
Ley Asociativa Otras Leyes
'' CBACCBAc
Otras Leyes
''' CBACCCBAc
Ley Distributiva
'' CBACBAc
Ley de Complemento
''' CBACBA Unión de Conjuntos
x’-x Principio de substitución '' xx Otras Leyes
'CBA Principio de Substitución
4) BACBAC
'' BACBAC Otras Leyes
Ley Distributiva Ley de Morgan
5) BABA son comparables
Si BABABABA
BABA
• Existe una similitud entre las leyes de las proposiciones y las leyes del álgebra de conjuntos pudiendo cada proposición estar constituida por conjuntos los operadores se pueden reemplazar por una operación de conjuntos. Así:
c~
Ejercicio: Transformar la siguiente equivalencia lógica en un ejercicio de conjuntos y demostrar la igualdad.
'' BABAC
cBABAC
72
rq~pr~q~ pp
crqpprqp '' Sustitución de operadores lógicos por operadores
de conjuntos.
cCBAACBA '' Cambio de Variables
'''' CBAACBA Ley de Morgan
ACBAACBA '''' Ley Distributiva
73
EJERCICIOS DE APLICACIÓN: 1) Una fábrica produce 100 artículos por hora de los cuales pasan el control de calidad . las fallas en el resto fueron fallas del tipo A, tipo B y tipo C, y se representan del modo siguiente. Artículos con fallas del tipo A y del tipo B: 8. artículos con solo fallas del tipo A: 12. Artículos con fallas de los 3 tipos: 3. Artículos del tipo A y C: 5. Y artículos con solo fallas del tipo B: 2. El número de artículos que tuvieron una sola falla del tipo C o de tipo B fue el mismo. Cuántos artículos tuvieron fallas del tipo B y cuántos artículos tuvieron 1 sola falla.
100U
40CBA
60c
CBA
8BA
12 CBA
3CBA
5CA
xCABBAC
12+5+x+3+2+2+x=40 2x+24=40 x=8
xCABBAC
B=5+3+2+8 B=18
: BACCABCBA
12 + 8 + 8 =28 • Determine los elementos de los conjuntos A, B y C, sabiendo que estos cumplen al mismo tiempo las siguientes condiciones 1) A y B disjuntos 2) B y C no son disjuntos
3) 10,5,4': AxBxx
4) CCxAxx :
5) 8,6,3,2,1' BACBA
6) 10,9,8,6,5,4,3,2,1CB
7) 10,8,6,5,3,2,1 ACBBC
1+2+4 1+2+3+4
5) 'BACBA
74
BAC
8,6,3,2,1 BAC
1+2+3+4+5+8
BC ACB
ACBBC 1+2+3+4+5+6+7
A={9} B={4, 5, 10} C={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9} U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
75
-1 1
2/
2/
2/
PRODUCTO CARTESIANO
Definición: El producto cartesiano de 2 conjuntos A y B, es el conjunto de elementos de la forma (a,b), tales que BbAa . A x B se lee “Producto
Cartesiano de A y B” o simplemente “A cruz B”. Es decir:
BbAabaAxB :),(
Los elementos de la forma (a,b) se llaman pares ordenados o parejas ordenada. Ejercicio: Dados los conjuntos: A={1, 2} B={2, 3, 6} C={1} Hallar: AxB, BxA, AxA=A2, BxB=B2, AxC, CxA, BxC, CxB, CxC=C2. AxB={(1,2), (1,3), (1,6), (2,2), (2,3), (2,6)} BxA={(2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (6,1), (6,2)} AxA=A2={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)} BxB=B2= {(2,2), (2,3), (2,6), (3,2), (3,3), (3,6), (6,2), (6,3), (6,6)} AxC={(1,1), (2,1)} CxA={(1,1), (1,2)} BxC={(2,1), (3,1), (6,1)} CxB={(1,2), (1,3), (1,6)} CxC=C2={(1,1)}
Gráfica del producto Cartesiano
El producto cartesiano AxB se representa en el plano cartesiano, de la siguiente manera. Procedimiento. Paso 1: En el eje horizontal del plano se marcan los elementos de A. Paso 2: En el eje vertical del plano se marcan los elementos de B. Paso 3: Se proyectan al plano los elementos marcados en los pasos anteriores. “Nota”: Estos elementos se proyectan utilizando líneas de proyección (líneas perpendiculares a los ejes entrecortados. Paso 4: Se localizan y se marcan en el plano los puntos de intersección de las líneas de proyección trazadas en el paso anterior. Estos puntos de intersección constituyen la gráfica del producto cartesiano AxB. Ejercicio: Dados los conjuntos: A={-1, 0, 1}
B= 2/,2/
C={1} Hallar AxB, BxA, A2, B2, AxC, BxC, AxC, CxA, C2
AxB
Rxx :
Ryy :
76
-1
1
2/ 2/
-1
1
1 -1
-1
-1
2/
2/
2/
2/
BxA
A2
B2
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
77
-1
1
1 -1
-1
1
1 2/ 2/
-1
1
1
-1
AxC
BxC
CxA
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
78
2/
2/
1
-1
1
1
-1
b
a
P(a,b)
CxB
C2
Conclusión: Si baAxBbBaA ,;
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
79
-1
2
3
2
1
1
-1
-2
-3
-4
1 3 4 -1 -2 -3 -4
4
-1
2
3
2
1
1
-1
-2
-3
-4
1 3 4 -1 -2 -3 -4
4
Ejercicio: Dados los conjuntos
4,143; xNxA
4,343; xRxB
1C
AxB
BxA
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
80
-1
2
1
1
-4
1 3 4 -4
-1
3
2
1
1
-4
1 -4
4
2
3
2
1
1 1 3 4 -1 -2 -3 -4
4
AxC={(0,1)1 (1,1), (2,1), (3,1), (4,1)}
CxA
BxC
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
81
-1
2
3
2
1
1
-1
-2
-3
-4
1 3 4 -1 -2 -3 -4
4
-1
2
3
2
1
1
-1
-2
-3
-4
1 3 4 -1 -2 -3 -4
4
CxB
4,4,3,4,2,4,1,4,0,4,4,3,3,3,2,3,1,3,0,3
,4,2,3,2,2,2,1,2,0,2,4,1,3,1,2,1,1,1,0,1,4,0,3,0,2,0,1,0,0,02 AxAA
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
82
-1 -4
-1
2
3
2
1
1
-1
-2
-3
-4
1 3 4 -1 -2 -3 -4
4
1
1
B2=BxB
AxC
C2=CxC
Ejercicio: Dados los conjuntos
RxxA :
4,3B
4225:
xvxRxC
Realizar los gráficos AxB, BxA, AxC, CxA, BxC, CxB, BxC’, C’xB, A2, B2, C2
,A
4,3B
4,22,54,22,5 C
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
83
-1
3
1
-4
-4
4
-1
1
-4
3 4 -4
AxB
BxA
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
84
4
2
2
-2
-5
4 2
2 -2
-5
-5
4
2
2
-2
-5
3
2
4
2
AxC
CxA
BxC
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
85
4
3
2
-5
2
2
-2 -5 4
2
4
2
2
-2
-5
3
2
4
2
CxB
BxC’
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
86
4
3
2
-5
2
2
-2 -5 4
2
-5
4
3
2
3 4
2
C’xB
C’xB
B2
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
87
4
2
2
-2
-5
2
2
4
2
3 2
2
2
3
2
BxC2
55; xxZxA
B=[-3, 3] C=]-1,1[ D={2, 3} Realizar el gráfico de DxA, AxD, BxB-CxC BxD
AxD
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
88
-3
3
2
3
-3
-1
1
2
1
-1
-3
3
2
3
-3
B2
CxC=C2
BxB-CxC=B2-C2
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
89
Observaciones:
1) dbacdcba ,,
2) dbba ,, excepto si a=b
3) mnAxBBA nn ·
4) Si uno de los conjuntos es vacío entonces AxB será vacío. 5) Si uno de los conjuntos es infinito y el otro no es vacío entonces AxB será infinito 6) En general BxAAxB a menos que A=B o que uno de ellos sea vacío.
7) Si R es la recta real entonces RxR=R2= RyRxyx ;, , R2 forma el
plano cartesiano o plano real.
8) CcBbAacbaAxBxC );,,( de donde RxRxR=R3 forma el espacio
cartesiano o espacio real.
NÚMEROS REALES
Al fin de vincular al lector, lo antes posible con el conocimiento de los números reales, se presentará el sistema de los números reales, denotado por R, como un conjunto en el cual se cumplen ciertas leyes, esto es, de una forma axiomática. Se tratará los números naturales, enteros, racionales, e irracionales como subconjuntos del sistema de los números reales. Entre los conjuntos de los números indicados anteriormente se tiene la siguiente relación: RIRQN Z
El sistema de los números reales constituye el conjunto “dotado” de 2 operaciones binarias. La adición, y la multiplicación, en el cual satisfacen los axiomas de identidad, de campo, de orden, y el axioma de completes los elementos de R se notarán con las letras minúsculas: a, b, c,…, x, y, z. la suma de los números reales x e y se designa por x + y. el producto de los números
reales x e y se designa por xyyxyx ·
Axiomas de Identidad: Rzyx ,, , se tiene
T1: Reflexivo: x=x T2: Simétrico: xyyx
T3: Transitivo: zxzyyx
Ejercicio: Comprobar los axiomas de Identidad Reflexivo: Si x=3→3=3
Simétrico: 33333
3
y
x
Transitivo: 333333
3
3
3
z
y
x
90
Axiomas de Campo:
DE LA SUMA
S1: Clausurativa:
RyxRyx ;,
S2: Asociativa:
zyxzyxRzyx ;,,
S3: Conmutativo:
xyyxRyx ;,
S4: Existencia del neutro aditivo: xxeexRxRe ,
S5: Existencia del inverso aditivo: exyyxRyRx ;
Observaciones: • El número de S5 es el mismo que de S4, esto es e=0 • El inverso de x se denota como y; y=-x Ejercicio: Componer los axiomas del campo de la suma
S1: RRRyx 1385;, V
S2: 10105528235235;,, Rzyx V
S3: 553223;, Ryx V
S4: 555005, RxRe V
S5: 005555; RyRx V
DEL PRODUCTO:
P1: Clausurativo: RyxRyx ·;,
P2: Asociativo: )··()··(;,, zyxzyxRzyx
P3: Conmutativa: xyyxRyx ··;,
P4: Existencia del “Neutro Multiplicativo”: xxeexRxRe ··;
P5: Existencia del inverso multiplicativo: exxyyxRyRx ;··;
Observaciones: • El número e de P5 es el mismo que el de P4, esto es: e=1
-El inverso multiplicativo de 0, xx si 1, xyy
• R+ es igual a los reales menos el cero: R-{0} Ejercicio: Comprobar los axiomas del producto
P1: RRRyx 63·2;, V
P2: 2424)4·3·(24)·3·2(;,, Rzyx V
P3: 662·33·2;, Ryx V
P4: 222·11·2; RxRe
P5: 112·2
1
2
1·2; RyRx
91
Relaciones entre la suma y producto: Rzyx ,,
Sp1: Distributiva por la Izquierda: x(y+z)=xy+xz Sp2: Distributiva por la derecha: (x+y)z=xz+yz Ejercicio: Comprobar las relaciones entre la suma y el producto Sp1: 4(3+2)=4·3+4·2;4(6)=12+12;24=24 Sp2: (5+1)3=5·3+1·3;6·3=15+3;18=18 Propiedades de Campo: 1) El elemento cero, neutro aditivo, es único 2) El elemento –x, inverso aditivo de cada número real x es único Corolario Para todo número real -x el inverso aditivo de –x es x
xxRx ,
3) Ley Cancelativa de la Suma: Sean x, y, z números Reales tal que x+y=x+z→y=z Comprobación: 1+2=1+2→2=2 V 3=3 V 4) el elemento 1, neutro multiplicativo es único. 5) el elemento x-1 inverso multiplicativo de cada número real x, 0x es único
6) Ley Cancelativa del producto: Sean x. y, z números Reales, 0x Si
x·y=x·z→y=z Comprobación: x·y=x·z→y=z 2·3=2·3→3=3 V 6=6 V 7) En x un número cualesquiera →0x=0
00, xRx
Definición: )(;, yxyxRyx
Definición: 1·;0,, yxy
xyRyx
Definición: xxZnRx 1;
nnn xxxxx ·11
8) Sean x,y números reales Ryx ,
i) (-x)y=x(-y)=-(xy)→(-3)(2)=3(-2)=-(3·2)→6=6 ii) –x(-y)=xy;(-3)(-4)=3·4→12=12
9) 000;, yxxyRyx
Axiomas de Orden: Seguramente el lector podrá distinguir con facilidad si un número es positivo o negativo. Sin embargo es posible que le resulte complicado definir con exactitud. Existe un subconjunto de Reales en los Reales, entre los reales positivos. R+, en el que se satisface los siguientes axiomas conocidos como axiomas de orden:
O1: RyxRyxRyx ·,;,
92
O2: Rx satisface 1 solo 1 de las 3 condiciones siguientes:
a) Rx
b) Rx c= x=0 Ejercicio: Comprobar estos axiomas de orden
O1: RRRR 653·232
O2: Rxx 2;2
En los axiomas de orden se permitirá determinar si un número dado es “mayor” que otro o “menor” que otro
Ryx , El número real x es menor que y se notará como x<y
Un número y mayor que x se denota por y>x si xzy Son muy usuales las notaciones siguientes: < se lee “menor que”, > se lee “mayor que“. : se lee “menor o igual que”, se lee: “mayor o igual que TEOREMA: Sea x un número real:
1) Rxx 0 x es positivo
2) x<0↔x es negativo 3) x>0↔-x<0 4) x<0↔-x>0 Ejercicio: Comprobar este teorema 1) 4>0↔4 es positivo V 2) -3<0↔-3 es negativo
V 3) 2>0↔-2<0 V 4) -5<0↔5>0
V TEOREMA: Rwzyx ,,,
1) zxzyyx
2) zyzxyx
3) wyzxwzyx
4) zyzxzyx ··0
5) yzxzzyx 0
6) ywxzwzyx 000
Ejercicio: Comprobar este teorema R 5,4,3,2
1) 424332 V
2) 76434232 V
3) 8653425432 V
4) 1284·34·20432
5) 128)4(3)4(20432 V
6) 15805·34·20540320 V
• Las siguientes propiedades son similares a las anteriores excepto que la dirección de la desigualdad se invierta
Rwzyx ,,,
1) zxzyyx
93
2) zyzxyx
3) wyzxwzyx
4) zyzxzyx ··0
5) zyzxzyx ··0
6) ywxzwzyx 000
Ejercicio: Comprobar este teorema 1) 242334 V
2) 56232434 V
3) 4613241234 V
4) 682·32·40234 V
5) 682·3)2·(40234 V
6) 03801·32·4012034 V
OTRAS PROPIEDADES
1) 0·00 yxyx
2) 0·00 yxyx
3) 00 2 xx
4) 00 1 xx
5) 1100 xyyx
6) 00 11 xyyx
7) nnnnnn yxyxyxZnyxRyx 11,,,
8) Se cumple 1 y solamente 1 de las siguientes relaciones:
yxvyxvyx
9) yzxRzyxRyx ,;,
Ejercicio: Comprobar las propiedades anteriores: R 5,4,3,2
1) 0120)4)·(3(0403 V
2) 01204)·3(0403 V
3) 090303 2 V
4) 03
10303
1
V
5) 3
1
4
10340430
11
V
6) 04
1
3
1043034
11
7)9
1
16
173,1294163434342,34,3,4 22212122 ZR V
8) 4343434,3
vvR V
V F V 9) 543,453;5,3 RR V
94
Axiomas de Identidad: Rzyx ,, , se tiene
I4) x=y→x+z=y+z I5) x=y→x·z=y·z Comprobando esas propiedades x=1 x+z=y+z x·z=y·z y=1 1+2=1+2 1·2=1·2 z=2 3=3 V 2=2 V
Leyes de Exponentes
Teorema: QrsRrx ;,
1) xs·xr=xs+r 2) (xr)s=xr·s=(xs)r
3)(x·y)r=xr·yr
4) r
rr
y
x
y
x
5) sr
s
r
xx
x “siempre y cuando las expresiones representen
números reales” Ejercicio: demostrar este teorema 1) xs·xr=xs+r x=2 23·21=23+1
8·2=24 16=16 2) (xr)s=xr·s=(xs)r
x=2 (21)2=21·2=(21)2
22=22=22 4=4=4 3) (x·y)r=xr·yr x=2; y=3 (2·3)2=22·32
36=36
4) r
rr
y
x
y
x
x=2, y=1
2
22
1
2
1
2
4=4
5) sr
s
r
xx
x
x=2
95
23
2
3
2
2 x
2=21 2=2 Valor Absoluto: El valor absoluto de un número real. Rx , se define como:
0
0,
xsix
sixxx
Ejercicio: Calcular los siguientes valores absolutos
1010
33
2121
00
313131
TEOREMA: Rx , se cumple que:
1) 0x
2) 00 xx
3) 22xx
4) xx 2
5) xxx
6) xx
Ejercicio: Comprobar este teorema:
1) 03;333
2) 00
99
)3(3
33
33)3
22
22
22
4) 442
416
44
5) 333
333
333
96
3333
33333333 vv
3 < 3 v 3 = 3 3 < 3
v 3 = 3
F V V V F V V
TEOREMA: 0,,, bRbax , se cumple que
1) bxbbx
2) bxbbx
3) baxbbax
4) baxbbax
5) bxbxbx
6) bxbxbx
7) bxbxbx
TEOREMA 1) La desigualdad triangular:
babaRba ;,
babaRba ··;,
b
a
b
aRba ;,
COROLARIOS AL ÚLTIMO TEOREMA
1) babaRb,a
2) babaRba ,
3) 0;, bbabaRba
Ejercicio: Comprobar el teorema y sus corolarios.
1) 2121
213
33 3 < 3
v 3 = 3
F V V
2) 2·12·1
2=1·2 2=2 V
97
3)2
1
2
1
2
1
2
1 V
Corolario:
1) 1212
121
31 1 < 3
v 1 = 3
F V V
2) 1212
112
11 1 < 1
v 1 = 1
F V V
3) 1212
121
11 1 > 1
v 1 = 1
F V V
Observación: Geométricamente el valor absoluto de un número representa una distancia: en efecto, cuando los números reales se representan geométricamente sobre el
eje real x se llama distancia de x a cero (0).
En general ba es la distancia entre a y b.
En la figura siguiente se representa tal ejemplo:
98
Sabemos: 10)10(10155
10=distancia Rxx : 5 15
Expresión Algebraica
Definición: Expresión algebraica es toda combinación de números y letras mediante las operaciones fundamentales de la aritmética (suma, resta, multiplicación, división, y elevación a potencia)
Ej: 12
322
xyx
yxa
Definición: Cuando una expresión algebraica se involucra solo operaciones de multiplicación o división entonces dicha expresión adquiere el nombre de términos.
Ej: 9
1132 2 xa
las expresiones: 9
1,1,3,2 2 xa son términos:
Definición: En consecuencia una expresión algebraica puede estar constituida de – o + cuando esta viene constituida de un solo término se denomina monomio y cuando esta viene constituida de uno o más términos se denomina polinomio. Al polinomio constituido de 2 o más términos se denomina binomio y al polinomio constituido de 3 términos se denomina trinomio. Ej:
012... 21
1 axaxaxananx nn
→ n+1 términos
Polinomio de n+1 términos
Definición: Sea la expresión algebraica 2r ; si r= radio de la circunferencia
entonces la expresión 2r calcula el área del círculo respectivo y esto se
denota por: 2rA
Esta fórmula establece una relación entre los símbolos, A, r, . En esta
relación conserva su valor numérico específico= 3,1416. Sea cual sea el
tamaño del radio del círculo. Símbolos como este que representan una cantidad fija se llaman constantes de relación o simplemente constante de la expresión algebraica A. Definición: Con respecto a la definición anterior los valores numéricos de A y V variarán el uno en dependencia del otro según el tamaño que adopte el círculo. A símbolos como estos que pueden adoptar diferentes valores en una relación se llaman variables de la relación o variables de la expresión A. el hecho que en esta relación el valor numérico del símbolo “A” varía en función del valor numérico atribuido al símbolo de r. en términos algebraicos en vez de f(r) se utiliza cualquier letra del alfabeto acompañado de (r).
99
En P(r) y P(r) representa la representación de la expresión 2r en una expresión
algebraica representada siempre existe una variable independiente y una variable dependiente. Ejemplo: Dada la expresión algebraica:
A= P(r)= 2r R es la variables independiente y A es la variable dependiente. Definición: En una expresión las constantes representan por números o por las letras del alfabeto. Tanto que las variables se representan por las últimas letras del alfabeto.
Ej: 012... 21
1 axaxaxananx nn
La constante a que aparece en el polinomio P(x) se denomina a su vez constante independiente y representa el término independiente que no tiene ninguna variable. Observación: La variable independiente puede ser una letra o una
combinación de letras: XPXx 11212
= 1xP
Ejercicio: Dado el polinomio: X4+x2+1 se puede representar como P(x)= P(x
2)=(x2)2+(x2)1+1 Definición: Se denomina coeficiente a la expresión que acompaña a otra como factor. Cuando el coeficiente está representado por números o por las letras del alfabeto se llaman coeficientes numéricos.
Ejemplo: En el polinomio anterior 012... 21
1 axaxaxananxP nn
x
an= coeficiente de xn
xn= coeficiente de an an= coeficiente numérico de xn Definición: Denomínese de un monomio al resultado de la suma de las expresiones de las variables que intervienen en todo el monomio. El grado de un monomio siempre es mayor o igual que cero ( )0 Zx
Ejemplo: Dado el monomio:
-3x2y4 2
5
w
x
2+4=6→ grado el monomio 5-2=3→ grado del monomio Definición: Denomínese al grado de un polinomio al grado de términos de mayor grado de ese polinomio siempre y cuando dicho polinomio esté representado en función de una sola variable.
Ejemplo: el grado del polinomio: 012... 21
1 axaxaxanxa nnn
es igual a
an. Definición: Se denomina el valor numérico de una expresión al valor numérico que adquiere esta al representar las letras por números asignados como datos. Ejercicio: Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones.
100
1) x3+x2+x+1 si x=-1 P1(1)=(-1)3+(-1)2+(-1)+1 P1(1)=-1+1-1+1 P1(1)=0 2) x3+y3+z3 si x=y=z=2 P2(2,2,2)= x3+y3+z3 ** caso especial P2(2,2,2)= (2)3+(2)3+(2)3
P2(2,2,2)=8+8+7 P2(2,2,2)=24 3)(x+1)2-(x+1)+1 si x=
P3( )=(x+1)2-(x+1)+1
P3( )=(3,1416+1)2-(3,1416+1)+1
P3( )=(4,1416)2-(4,1416)+1
P3( )=13,99
2 polinomios son iguales si los coeficientes de cada uno de sus respectivos términos son iguales. Ejercicio: Para qué valores de a,b,c esos polinomios son iguales P1(x)=ax2+b(x-1)+c P2(x)=-x2+4x-4+1=-x2+4(x-1)+1 Términos:
xx PP
cx
bx
ax
21
1)(
4)1(
1
0
2
Observación: El ejercicio anterior también puede resolverse de la siguiente manera P1(x)= ax2+b(x-1)+c= ax2+bx-b+c= ax2+bx+(c-b)x0 P2(x)= -x2+4x-4+1=-x2+4x-3=-x2+4x-3x0
xx PP
ccbcenx
benx
aenx
21
1343:
4
1:
0
1
2
Un polinomio se podrá ordenar y completar en función de una sola variable de la que depende el polinomio ya sea en forma ascendente o descendente, el tipo de variable de la que depende el polinomio se denomina variable de operación o letra directiva del polinomio. Ejercicio: Ordenar y completar en forma ascendente y descendente los siguientes polinomios: P1(x)=x4+x5-1 Ascendente: Descendente: -1x0+0x1+0x2+0x3+x4+2x5 2x5+x4+0x3+0x2+0x1-1x0 P2(x)=x3+y3+z3-3xyz P2(x)=x3+0x2-3yzx1+(y3+z3) x0
101
Todo polinomio para ser operable con otro deberá representarse y completarse al igual del otro en función de una misma variable y en un mismo sentido. -Operaciones en y con Polinomios: 1) Reducción de Términos semejantes en un polinomio: Para el efecto entiéndase por términos semejantes a los términos constituidos por los mismos factores y/o divisores elevados a los mismos exponentes. Ejercicio: Reducir términos semejantes en las siguientes expresiones 1) P1(x)= 2xy+3xz-x= x(2y+3z-1) 2) P2(x)=a2x+ax2+a=a(ax+x2+1)
3) P3(x)=xxxxx
24321
4) P4(b)= (x+b)2-(x+b)=(x+b)[(x+b)-1]
5) P5(y)= 2222
12
3
21
yyyy
6) P6(a)=a2b+ab2-a2=a(ab+b2-a) 7) P7(x)=1+2+3-4+5=7 Es decir al reducir términos semejantes en un polinomio es sacar factor común de dichos términos del polinomio. 2) Suma de Polinomios: Sumar varios polinomios es formar un nuevo polinomio cuyos términos son todos los términos de los polinomios sumados. Ejercicio: Dados los polinomios: 1) P1(x)=x2-2x3+1 P2(x)=x3-x+1 P3(x)=4x4-1 Calcular: 2 P1(x)+ P2(x)- 3P3(x) -4x3 +2x2 +2 X3 -x +1 -12x4 +3
-12x4 -3x3 +2x2 -x +6 2) P1(y)=y2+y-1 P2(y)=y5 P3(y)=x3+y3+z2-xyz+1=y3+0y2-xzy1+(x3+z2+1)x0 Calcular P1(y)- P2(y)+3[P3(y)+1] 0 y5 0 y4 0 y3 +y2 +y -1 -y5 -0 y4 +0 y3 0 y2 0 y 0 0 y5 +0 y4 +3y3 +0y2 -3xzy 3x3+3z2+3+1
-y5 +0 y4 +3y3 +y2 +(1-3xz)y +3x3+3z2+3
102
3) Resta: La resta es una operación de adición en que a uno de los polinomios se lo cambia de signo según como se enuncie en el ejercicio en efecto se enuncia: 1) De P1(x), Restar P2(x)=P1(x)-P2(x)
2) Restar P1(x) de P2(x)=-P1(X)+P2(x)=P2(x)-P(1)(x) Ejercicio: 1) Restar P(a)=a4-a2+1 de Q(a)=2a2+4 P(x)= 2a2 +4a0
Q(x)= -a4 +0a3 +a2 -1 a0
-a4 +0a3 +3a2 3 2) De P(b)=a3+b3 restar Q(b)=a+b P(b)= b3 +0b2 +0b +a3b0 Q(b)= -b -ab0
b3 +0b2 -b +(a3 –a)b0 4) Multiplicación de Polinomios: La multiplicación de un polinomio por otro se fundamenta en la aplicación del axioma a(b+c)=ab+ac v (a+b)c=ac+bx Nota: Para multiplicar un monomio por otro, primero se multiplican los signos, luego se multiplican sus constantes y por último se multiplican las variables, conforme a los axiomas y leyes dados anteriormente. Ejercicio: Multiplicar 1) P1(x)=x2-x3+1 P2(x)=x2+2 P1(x)= -x3 +x2 +0x1 +1x0 P2(x)= +x2 +2x0
-x6 +x4 +x3 +x2 -2x3 +2x2 +0x1 +3
-x6 x4 -2x3 +3x2 +0x1 +3 2)P1(x)=x3+y3+z3-2xyz P2(x)=x+y+z P1(x)= x3 +0x2 -2yzx +(y3+z3)x0
P2(x)= x (y+z)x0
x4 +0x3 -2yzx2 (y3+z3)x (y+z)x3 +0x2 -2yz(y+z)x +(y3+z3)(y+z)
X4 +(y+z)x3 -2yzx2 [(y3+z3)-2yz(y+z)]x +(y3+z3)(y+z) 3) P1(x)=a3+ba+b3 P2(x)=a-b P1(x)= a3 +0a2 +ba1 +b3a0 P2(x)= +a1 -ba0
a4 +0a3 +ba2 +b3a1 -ba3 -0ba2 -b2a1 -b4a0
a4 -ba3 +ba2 +(b3-b2)a1 -b4
103
5) Descomposición Factorial: Descomponer en factores o factorar una expresión es encontrar todas las expresiones cuyos productos nos conducen a la expresión original. Las reglas de la suma de la resta y la multiplicación conducen a los siguientes resultados conocidos como productos notables que permiten la descomposición en factores en diversas expresiones algebraicas.
1) 2222 bababa
2) 2222 bababa
3) 22 bababa
4) 3223333 babbaaba
5) 3223333 babbaaba
6) 3322 babababa
7) 3322 babababa
8) abxbaabxax 2
9) nnnnnnn bababbabaaba 122321 ..... n= impar
10) nnnnnnn bababbabaaba 122321 ..... n= par
11) nnnnnnn bababbabaaba 122321 ..... n= cualquier número
Observación: Los productos notables 9 y 10 son una generalización del producto notable 6. El producto notable 11 es una generalización del producto notable 7. Ejercicio: Comprobar los productos notables del 1 al 8.
1) 2222 bababa
22 2 babababa 2222 2 bababababa
2222 22 babababa
2) 2222 bababa
22 2 babababa 2222 2 bababababa
2222 22 babababa
3) 22 bababa 2222 babababa
2222 baba
4) 3223333 babbaaba
3223 33 babbaabababa
322322 33 babbaababababa
322322 332 babbaabababa
3223322223 3322 babbaabababbabaa
104
32233223 3333 babbaababbaa
5) 3223333 babbaaba
3223 33 babbaabababa
322322 33 babbaababababa
322322 332 babbaabababa
3223322223 3322 babbaabababbabaa 32233223 3333 babbaababbaa
6) 3322 babababa 33322223 bababbaabbaa
3333 baba
7) 3322 babababa 33322223 bababbaabbaa
3333 baba
8) abxbaabxax 2
abxbaaabaxbxx 22
abxbaaabxbaa 22
Ejercicio: Factorar los siguientes polinomios
1) 22 12144 xxyx
2) 2222111121 xxxx
3) 1111111111 222 xxyxyyyxyyx
4) 323 1133 xxxx
5) 332311113131 xxxxx
6)
1374139641331313 2223 xxxxxxxxxxx
7)
12111221111111 22223 xxxxxxxxxxx
8) 341272 xxxx
9) 261282 xxxx
10) 121
2
1222
2
22212
2
212
2
22
xxxxxx
xxxx
11) 131
3
1333
3
3323123
3
3123
2
22
xxxxxx
xxxx
105
Ejercicio: Factorar los siguientes polinomios
1) 141
4
1444
4
454454
4
4154
2
22
xxxxxx
xxxx
2) 11111111 2344322345 aaaaaaaaaaa
3) 111111 2224 aaaaaa
4) 12423816248 223 xxxxxxxxx
5) cbacbacbacbabaabcba 22222222 22
Ejercicio: Factorar
1) bayxyxbyxaxybyxa 323232
2) 55252525625 2224 xxxxxx
3) 24244822 mnnmnnmnn xyxxyxxyx
4) zyxyzxyzxyxx 22223 22
yxyx
yxzyxx
yxyxzyxyxx
zyxyzzxxyyxx
2
22
2222
22223
22
22
Ejercicio: Factorar las siguientes expresiones
1) 22223 22 yzxzyzxzxyxx
yxzx
zxyzxx
zzxxyzzxxx
yzyzxyxxzzxx
2
22
2222
22223
22
22
2)3
12
9
1322
3
x
xxyxy
2
3
2
33
2
333
2
323
1
2
3
1
2
1
3
1
3
1
2
12
2
1
33
1
3
1
2
12
2
1
3
1
3
122
2
1
x
xx
xxx
xx
xy
xyxy
xyxy
xy
xy
6) División de Polinomios: El polinomio que “se divide” para otro se llama polinomio dividendo el polinomio que divide a otro se llama polinomio divisor (divide) el polinomio dividendo. Se lo representa usualmente con la letra P y el polinomio divisor con
106
la letra D para ejercer la división de un polinomio por otro, el polinomio dividendo debe ser de grado mayor o igual que el grado del polinomio divisor. Para dividir un polinomio por otro se procede de la siguiente manera. Paso1: Representar, ordenar y completar los polinomios dividendo y divisor en “orden descendente” y en función de la misma variable.- OBSERVACIÓN: Si se ordenan los polinomios dividendo y divisor en forma ascendente y en función de la misma variable, la división se transforma en división infinita. Paso2: Dividimos el primer término del polinomio dividendo por el primer término divisor, para lo cual primero se dividen signos luego constantes y por último variables. Paso3: El resultado del paso 2 constituye el primer término del polinomio resultante de la división llamado polinomio cociente y usualmente se lo representa con la letra Q. Paso 4: Multiplicamos el primer término del polinomio cociente por cada uno de los términos del polinomio divisor y cambiamos signos a estos productos y reducimos términos semejantes con los términos del polinomio dividendo. Este resultado constituye el polinomio residuo obtenido luego de un primer ciclo de división. Si este polinomio residuo es de grado menor “por lo menos en una unidad” al grado del polinomio divisor. Entonces este residuo constituye el polinomio residuo de la división y usualmente se lo representa por la letra R. Al haber encontrado el polinomio residuo de la división el proceso de la división concluye. Pero si en caso contrario el polinomio residuo obtenido luego del primer ciclo de la división este grado mayor o igual que el grado del polinomio divisor, se repetirá el proceso, para lo cual, este residuo constituye el nuevo dividendo. Los ciclos de división se repetirán tantas cuantas veces sea necesario para llegar a obtener el polinomio residuo de la división R .
Ejercicio: Dividir 12 34 xxP x por xxD x 22
x4 -2x3 +0x2 +0x1 +0x0 x2 -2x
- x4 +2x3 x2
0 0
Dividir 15 xP x por 1 xD x
x5 +0x4 +0x3 +0x2 +0x1 -1 x-1
-x5 +x4 x4+x3+x2+x+1
x4 +0x3 -x4 x3
x3 +0x2 -x3 +x2
x2 +0x -x2 +x -1
x -1
107
Dividir xyzzyxP x 3333 por zyxD x
x3 +0x2 -3yzx +(y3+z3)x0 x+(y+z)x0
-x3 -(y+z)x2 x2-(y+z)x+( y2+z2-yz)x0
- (y+z)x2 -3yzx + (y+z)x2 +(y+z)2x
+(y2+z2-yz)x +(y3+z3)x0 -(y2+z2-yz)x -(y+z)( y2+z2-yz)
y3+z3-y3-yz2+yz2-zy2-z3+yz2
0 Observaciones de la división P(x) D(x)
R(x) Q(x) Esta división jerárquica puede expresarse mediante la siguiente igualdad:
xxXX RQDP I
Donde I se llama algoritmo de la división -Si R(x) = 0 decimos que la división de P(x) para D(x) es exacta. -Si R(x) = 0 entonces D(x) es factor de P(x) o lo que es lo mismo decir P(x) es divisible para D(x)
-El grado de D(x) es igual al grado de P(x) menos el grado dado. -el grado de R(x) es igual al grado de D(x) disminuido por lo menos en una unidad. Ejercicio: Dado el polinomio x3+3x2-3x+k determinar para que valor de la k la división es exacta. Para que valor de k x+1 es factor de x3+3x2-3x+k x3 +3x2 -3x +k x+1 -x3 -x2 x2+2x+1
2x2 +3x -2x2 -2x
x +k -x -1
k=1 Definición: Dado el producto notable Factor1·factor 2= producto notable
2factor
notable producto =Factor1
1factor
notable producto =Factor2
Los factores 1 y 2 calculados se denominan COCIENTES NOTABLES Ejercicio: calcular por simple inspección los siguientes cocientes notables
1)
baba
ba
ba
baba
222 2
108
2)
baba
ba
ba
baba
222 2
3)
baba
baba
ba
ba
22
4)
233223 33
baba
ba
ba
babbaa
5)
ba
ba
ba
baba
babbaa
2
3
22
3223
2
33
6)
bababa
bababa
baba
ba
22
22
22
33
7) 22
2233
bababa
bababa
ba
ba
8)
ba
ba nn
, n es impar;= 1121 ... nnnn babbaaba
9)
ba
ba nn
, n es par;= 1121 ... nnnn babbaaba
10)
ba
ba nn
, para cualquier exponente
= 1121
1121
......
nnnnnnnn
babbaaba
babbaaba
Expresiones Racionales:
Con expresiones del tipo x
x
q
p )(, donde )(xp y xq son polinomios. Por ejemplo:
;1
2
x
x :
2
12
x
x
12
12 xx
Para resolver problemas, constantemente se deben combinar expresiones racionales o fracciones y luego “simplificar”. Con fracciones se pueden hacer operaciones de suma, resta, multiplicación, y división. A continuación se presentan propiedades que se usan con mayor frecuencia.
Rdcba ,,, , se cumple que
1) Cancelación”: ocb
a
cb
ca ;
·
·
Simplificación de expresiones por factoreo
109
2) “Suma o Resta”: b
ca
b
c
b
a
db
ca
d
c
b
a
·
, b·d= mcm de qp
3) “Multiplicación”: bd
ac
d
c
b
a·
4) “División”: bc
ad
c
d
b
a
d
c
b
a ·
CADA DENOMINADOR DEBE SER DIFERENTE DE CERO Ejercicio: 1) Simplificar:
1
12
11
112
1
112
1
122
1
122
1
1222
2
2
2
2
2
x
x
xx
xx
x
xxx
x
xxx
x
xxx
x
xx
2) efectuar:
22
23
22
22
222
22
2
1
2244
1
4 3
2
3
2
2222
xx
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
x
xxx
x
3) efectuar:
1
2
52
1
1
252
52
1
1
2522
52
3
31
10542
3
52
34
1092 2
2
2
x
x
xx
xx
xx
xxx
x
x
xx
xxx
x
x
xx
xx
Ejercicio: simplificar:
1) 22223
22223
22
22
bcacbcacabaa
cbabcabcabaa
ca
ba
caba
baca
cabcaa
bacbaa
cacabccaaa
babacababa
bcbcabaaccaa
cbabccaabaab
2
2
22
22
2222
2222
22223
22322
22
22
22
22
2) simplificar: 114
44222
642
xxx
xxx
=
114
41
114
141
114
44
114
4442
24
222
442
222
426
222
426
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
110
3) Efectuar: 1256
1
1
1
13
1
12
123
xxxxxx
* 1256 23 xxx = 161 2 xxx =
1312112123112()361 2 xxxxxxxxxxx
= 13121
1
1
1
13
1
12
1
xxxxxx
=
13121·
11312
1312112131
xxx
xxx
xxxxxx
= 1271612143 2222 xxxxxxxx
Máximo Común Divisor
Definición: Llámese máximo común divisor (M.C.D) de varios polinomios al polinomio de “mayor grado” que divide exactamente a los polinomios dados. Para calcular el máximo común divisor entre polinomios existen los siguientes procesos. Procedimiento 1: Llamado cálculo del máximo común divisor entre polinomios por factoreo y consiste en lo siguiente: -Paso1: Factorar los polinomios dados. -Pasos 2: Encontrar el M.C.D de los polinomios dados factorados. Ejercicio: Calcular el M.C.D en todos los siguientes polinomios:
23 xx , 122 xx , 13 x
12 xx , 21x , 11 2 xxx
MCD= 1x
Ejercicio: calcular el M.C.D entre los siguientes polinomios:
32222 22 xyxzxxyxyzzy , 32222 22 xyxzxyzxxzyz
22223 22 zxxyzzyxyyxx , 22223 22 yzyzxyxxzzxx
2222 22 xxyyzyyxxx , 2222 22 zzxxyzzxxx
22xyzyxx , 22
zxyzxx
zxyx 2
, yxzx 2
M.C.D: zxyx
x3 x2 x x0 -1
6 5 -2 -1 161 2 xxx
-6 +1 +1
6 -1 -1 0
111
Ejercicio: calcular el M.C.D entre las siguientes expresiones 5432 ,,,, xxxxx
M.C.D= x Procedimiento 2: Llamado “cálculo del M.C.D” entre 2 polinomios por divisiones sucesivas y consiste en lo siguiente. -Paso 1: Representar, ordenar y completar los polinomios dados, en “sentido descendente” y en función de una misma variable. -Paso 2: Dividir el polinomio dado por el polinomio de mayor grado. NOTA: Si los polinomios dados son del mismo grado cualquiera puede ser dividendo o divisor. -Paso 3: Si el residuo de la división es igual a cero, entonces el divisor asumido es el M.C.D, entre los 2 polinomios dados. OBSERVACIÓN: Si el residuo de la división no es igual a cero, el divisor asumido se tomará como nuevo dividendo y el residuo como nuevo divisor de esta manera se procederá a realizar una nueva división. Si le residuo obtenido de esta nueva división es igual a cero, entonces el divisor asumido en esta nueva división constituye el M.C.D buscado. Caso contrario se deberá repetir este proceso tantas cuantas veces sea necesario hasta obtener el MCD buscado. Este proceso por el hecho de depender de divisiones sucesivas se llama cálculo del M.C.D entre 2 polinomios por divisiones sucesivas. NOTA: Este proceso también se llama algoritmo de Euclides en vista a la generación de una gran cantidad de divisiones sucesivas en este proceso, se recomienda aplicar las siguientes normas, que solo serán útiles en este procedimiento, dado que estas normas alteran la división (la acorta” pero no altera en el M.C.D. estas normas son las siguientes. Norma 1: Cualquier polinomio dividendo, divisor o residuo puede multiplicarse por un factor que no sea factor común de los polinomios dados. Norma 2: Cualquier polinomio, dividendo, divisor o residuo puede multiplicarse por -1 Ejercicio: Calcular el M.C.D entre los siguientes polinomios:
23 xx , 122 xx x3 +0x2 +0x -1x0 x2-2x+1x0
-x3 +2x2 -x x+2
2x2 -x -1 -2x2 +4x -2
3x -3
: 133333 xxx
x2 -2x +1 x-1
-x2 +x x-1
-x +1 x -1
0
112
M.C.D = x-1 Ejercicio: Por divisiones sucesivas encontrar el M.C.D entre
1) 32222 22 xyxzxxyxyzzy
2) 32222 22 xyxzxyzxxzyz
1) zyxyyzxyzx 2223 22
2) 2223 22 yxxzyzxzyx
x3 +(z+2y)x2 +(2yz+y2)x +y2z 2223 22 yzxzyzxzyx
- x3 - 22 xzy - 22 zyz x -yx2 1
(y-z)x2 +(y2-z2)x +y2z-yz2 : (y-z)x2+(y2-z2)x+ y2z-yz2= [(y-z)x2+(y+z)(y-z)x+yz(y-z)]= x2+(y+z)x+yz x3 +(y+2z)x2 +(2yz+z2)x +yz2 x2+(y+z)x+yz
- x3 -(y+z)x2 -(yz)x x+z
+zx2 +(yz+z2)x +yz2 - zx2 -z(y+z) -yz2
0 M.C.D: x2+(y+z)x+yz=(x+y)(x+z) OBSERVACIÓN: Este procedimiento del cálculo del M.C.D entre 2 polinomios es aplicable cuando los polinomios dados son difícilmente factorables. Procedimiento 3: Llamado cálculo del M.C.D entre dos polinomios por combinación de los mismos y consiste en lo siguiente:
Sean xx PP 21 los polinomios dados
-Paso1: Establecer una combinación del tipo xxx PPbPa 321 tal que
xP3 sea fácilmente factorable siendo a y b R .
-Paso 2: Factorar xP3 y analizar cuál de los factores de xP3 son también
factores de xx PP 21 todos los factores de xP3 que son también factores de
xx PP 21 constituyen el subproducto del M.C.D de xx PP 21 .
Observación: Este procedimiento de cálculo del M.C.D entre 2 polinomios es aplicable cuando los polinomios dados son difícilmente factorables y cuando también las divisiones sucesivas son complicadas.
113
Ejercicio: Por el tercer procedimiento calcular el M.C.D de los siguientes polinomios:
13 x , 122 xx
= 12111 23 xxx
= xxx 223
= 22 xxx
x+2 no es factor
= 12 xxx
x no es factor
Si es factor
M.C.D=x-1 Ejercicio: Por el tercer método calcular el M.C.D de los siguientes polinomios
1) 32222 22 xyxzxxyxyzzy
2) 32222 22 xyxzxyzxxzyz
1) zyxyzyxyzx 2223 22
2) 2223 22 yzxyzzxzyx
22232223 22221 yzxyzzxzyxzyxyzyxyzx
= 22232223 2222 yzxyzzxzyxzyxyzyxyzx
= zyyzxyzxyz 22222
= yzyzxyzyzxyz 2
= yzyzxyzyzxyz 2
= yzxyzxyz 2
= zxyxyz
x2 -2x +1 x+2
-x2 +2x x
1
x3 -1 x
-x3 x2
x -1
x3 +0x2 +0x -1 x-1
-x3 -x2 x2-x-1
-x2 +0x +x2 -x
-x -1 +x +1
0
x2 -2x +1 x-1
-x2 +x x-1
-x +1 +x -1
0
Si es factor
114
z-y no es factor
x+y si es factor
x+z si es factor
M.C.D=(x+y)(x+z)
Mínimo Común Múltiplo de Polinomios
Definición: Llámese m.c.m (mínimo común múltiplo) de polinomios al polinomio de menor grado que es divisible para los polinomios dados. Para calcular el m.c.m de polinomios existen los siguientes procedimientos. Procedimiento 1: Llamado cálculo del m.c.m entre polinomios por factoreo y consiste en lo siguiente -Paso 1: Factorar los polinomios dados.
x3 +(z+2y)x2 +(y2+2yz)x +y2z z-y
x3 +(z+2y)x2 +(y2+2yz)x +y2z x+y
-x3 -yx2 x2+(z+y)x+yz
+(z+y)x2 +(y2+2yz)x -(z+y)x2 -(z+y)yx
+yzx +y2z -yzx -y2z
0
x3 +(y+2z)x2 +(z2+2yz)x +z2y x+y
-x3 -yx2 x2+2zx+z2
+2zx2 +(z2+2yz)x -2zx2 -2yzx
+z2x +z2y -z2x -z2y
0
x3 +(z+2y)x2 +(y2+2yz)x +y2z x+z
-x3 -zx2 x2+2yx+y2
+2yx2 +(y2+2yz)x -2yx2 -2yzx
+y2x +y2z -y2x -y2z
0
x3 +(y+2z)x2 +(z2+2yz)x +z2y x+z
-x3 -zx2 x2+(y+z)x+yz
+(y+z)x2 +(z2+2yz)x -(y+z)x2 -(y+z)xz
+yzx +z2y -yzx -z2y
0
115
-Paso 2: Calcular el m.c.m de los polinomios dados factorados aplicando la definición. Ejercicio: Calcular el m.c.m entre los siguientes polinomios
,1x 21x , ,12
3x 4
13 x
m.c.m= 416 x
Ejercicio: Calcular el m.c.m en los siguientes polinomios
,242 2 xx 133 23 xxx , 13 x
,122 2 xx xxx 331 23 , 11 2 xxx
212 x 1311 2 xxxxx
131 2 xxxx
121 2 xxx
211 xx
31x
m.c.m= 112 23 xxx
Ejercicio: Calcular el m.c.m de los siguientes polinomios 1) 2, 6, 4. m.c.m=12
2) 65432 2,,,,, xxxxxx m.c.m= 62x
Procedimiento 2: Llamado “Método general para hallar el m.c.m entre 2 polinomios” y consiste en lo siguiente.
Sean xx PP 21 los polinomios dados
21..
2121..
)()(
PdPcm
PPPmPcm
xx
(1)
Esta fórmula también puede expresarse de la siguiente manera. Por definición se sabemos que
P1(x)= M.C.D xxx QPP 121 (2) P2(x)= M.C.D xxx QPP 221 (3)
(2) y (3) en (1)
21..
221..121..21..
)(
PDPCM
QPDPCMQPDPCMPmPcm
xx
)(2121..21.. xx QQPDPCMPmPcm
P1(x) M.C.D xx PP 21
0 Q1(x)
P2(x) M.C.D xx PP 21
0 Q2(x)
116
Este método del cálculo del m.c.m entre 2 polinomios es aplicable cuando los polinomios dados son difícilmente factorables. En consecuencia el M.C.D de estos polinomios se puede calcular por divisiones sucesivas o por combinación de los mismos.
xx PP 21 se calcularán utilizando las divisiones (2) y (3).
Ejercicio: Calcular el m.c.m entre los siguientes polinomios utilizando el segundo procedimiento.
133 23 xxx , 13 x x3 -3x2 +3x -1 x3-1
-x3 +1 1
-3x2 +3x
1333 2 xxxx
x3 +0x2 +0x -1 x-1
-x3 +x2 x2+x+1Q2(x)
x2 -1 -x2 +x -1
x -1 -x +1
0
121.. xPDPCM
)(2121..21.. xx QQPDPCMPmPcm
112121.. 22 xxxxxPmPcm
Ejercicio: Calcular el m.c.m entre los siguientes polinomios:
abccba 3333 , cba
a3 +0a2 -3bca +(b3+c3) a+(b+c)a0
-a3 -(b+c)a2 a2-a(b+c)+(b2-bc+c2)
-(b+c)a2 -3bca (b+c)a2 +a(b+c) 2
+a(b2-bc+c2) +(b3+c3) -a(b2-bc+c2) -(b+c)(b2-bc+c2)
0 M.C.D= a+b+c Q1(a)= a2-a(b+c)+(b2-bc+c2) Q2(a)=1 m.c.m= [ a+(b+c) ] [ a2-a(b+c)+(b2-bc+c2)] (1)
= abccba 3333
x3 -3x2 +3x -1 x-1
-x3 +x2 x2-2x+1Q1(x)
-2x2 +3x -1 2x2 -2x -1
x -1 -x +1
0
117
Simplificación de Fracciones
Para simplificar una fracción existen los procedimientos siguientes: Método 1: Llamado “Simplificación de una fracción por factoreo” y consiste en lo siguiente. Paso 1: Factorar los polinomios numerador y denominador de la fracción dada. Paso 2: Simplificar la fracción con el numerador y denominador factorados. Este procedimiento ya fue establecido al principio en el estudio de fracciones. Nos resta por estudiar otros procedimientos o procedimiento que permitan simplificar una fracción. Método 2: Llamado “Simplificación de una fracción por divisiones sucesivas o por suma o resta” y consiste en lo siguiente: Paso 1: Calcular el M.C.D entre el numerador y denominador de la fracción dada. Nota: Para calcular este M.C.D se aplicará los procedimientos de divisiones sucesivas o de combinación de polinomios. Ya que los polinomios numerador y denominador son difícilmente factorables.
Cálculo de
DCM
xDQp
DCM
NQnQpQn x
x
xxx....
:
Cómo la fracción
x
x
x
x
x
x
xQD
QN
DQDCM
QNDCM
D
Nf
..
.. “Fracción Simplificada”
Ejercicio: Simplificar la siguiente Fracción:
1543
142132523456
23456
xxxxxx
xxxxxx
x6 +5x5 +2x4 -13x3 -2x2 +4x +1 x6 +3x5 +x4 +4x3 -5x2 -x +1
-x6 -3x5 -x4 -4x3 +5x2 +x -1 1
2x5 +x4 -17x3 +3x2 +5x
2210826221543 2345623456 xxxxxxxxxxxx
5317253172 2342345 xxxxxxxxxx
2x6 +6x5 +2x4 +8x3 -10x2 -2x +2 2x4+x3-17x2+3x+5
-2x6 -x5 +17x4 x2+5x+33
+5x5 +19x4 +5x3 -15x2 -2x +2 x2 +10x5 +38x4 +10x3 -30x2 -4x +4 -10x5 -5x4 +85x3 -15x2 -25x
+33x4 +95x3 -45x2 -29x +4 x2 +66x4 +190x3 -90x2 -58x +8 -66x4 -33x3 +561x2 -99x -165
+157x3 +471x2 -157x -157
118
1-x-3x+x157157-157x-471x2+157x3 23
2x4 +x3 -17x2 +3x +5 x3+3x2-x-1
-2x4 -6x3 +2x2 +2x 2x+1
-5x3 -15x2 +5x +5
5
x3 +3x2 -x -1 -x3 -3x2 +x +1
0 M.CD=x3+3x2-x-1 x6 +5x5 +2x4 -13x3 -2x2 +4x +1 x3+3x2-x-1
-x6 -3x5 +x4 +x3 x3+2x2-3x-1
2x5 +3x4 -12x3 -2x2 +4x +1 -2x5 -6x4 +2x3 +2x2
-3x4 -10x3 +4x +1 +3x4 +9x3 -3x2 -3x
-x3 -3x2 +x +1
+x3 +3x2 -x -1
0
QN(x)= x3+2x2-3x-1 x6 +3x5 +x4 +4x3 -5x2 -x +1 x3+3x2-x-1
-x6 -3x5 +x4 +x3 x3+2x-1
+2x4 +5x3 -5x2 -x +1 -2x4 -6x3 +2x2 +2x
-x3 -3x2 +x +1 +x3 +3x2 -x -1
0
QD(x)= x3+2x-1
12
132
1543
14213253
23
23456
23456
xx
xxx
QD
QN
xxxxxx
xxxxxx
x
x
-OBSERVACIÓN: La manera de reducir un grupo de fracciones ligadas por los signos de adición y sustracción, a una sola fracción, cuyo denominador es el m.cm de los denominadores de las fracciones sumandos, se ha convenido en llamarla “Suma algebraica de fracciones”. Esto ya habíamos tratado al comienzo del estudio de fracciones. Sin embargo también puede presentarse la operación inversa correspondiente, es decir aquella operación de descomponer una fracción en suma algebraica de fracciones más simples o parciales. Tal tipo de operación inversa se llama “descomposición de una fracción en fracciones parciales”
119
Una fracción podrán descomponerse en suma algebraica de fracciones parciales si solo si es una fracción propia. Denomínese fracción propia aquella fracción en la que el grado del numerador es menor al grado del denominador si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador en una fracción, esta fracción es ó representa una simple división y a partir de esta división habrá que descomponer la fracción propia a descomponerse en fracciones parciales.
Sea la división
x
x
D
P; grado de P(x) mayor o igual que el grado de D(x).
Por algoritmo de la división P(x)=D(x)·Q(x)+R(x) 1
x
x
x
xx
x
x
xD
R
D
RQ
D
PD1 Fracción Propia
Descomposición en fracción propia en suma algebraica de fracciones parciales. -Paso 1: Factorar el denominador de esa fracción. -Paso2: Con el denominador factorado de esta fracción se procede. paso 2.a: A cualquier factor lineal (factor de primer grado tipo ax+b). Presente en el denominador de una fracción propia, le corresponde la siguiente fracción
parcial: bax
A
. Si el factor lineal ax+b ocurre n veces en el denominador de la
fracción propia (ax+b)n, a este factor le corresponde la siguiente suma algebraica de fracciones parciales.
ni
n
bax
An
bax
Ai
bax
A
bax
Abax
.......
212
donde Ai es una constante real a calcularse paso 2.b: A cualquier factor cuadrático (factor de segundo grado tipo: x2+ax+b y factorable). Presente en el denominador de la fracción propia, le corresponde
una fracción parcial del tipo baxx
bax
2
si este factor cuadrático ocurre n veces
en el denominador de una fracción propia (x2+ax+b)n, le corresponderá la siguiente suma algebraica de fracciones parciales.
ni baxx
BnAn
baxx
BiAi
baxx
BxA
baxx
BxA
22222
......2211
donde Ai y Bi son
constantes reales a calcularse. Paso 2.c: etc
P(x) D(x)
Q(x)
R(x)
120
Ejercicio: Descomponer en fracciones parciales la siguiente fracción.
2
32
341
53
xx
xx
-5x3 +3x2 +0x +0 3x2-4x+1
+5x3 -20/3x2 +5/3x -5/3x-11/9
-11/3x2 +5/3x +11/3x2 -44/9x +11/9
-29/9x +11/9
3341
9
11
9
29
xx
x
143
9
11
9
29
9
11
3
5
341
5322
32
xx
x
xxx
xx F.P
131131
9
11
9
29
143
9
11
9
29
2
x
B
x
A
xx
x
xx
x
131
3
131
113
xx
BAxBA
xx
xBxA
BAxBAx 39
11
9
29
BAenx
BAenx
9
11:
39
29:'
9
2
39
29
1
22
29
18
B
B
A
A
A
121
13
2
19
11
3
5
x
A
x
Ax
= 139
2
1
1
9
11
3
5
xxx
Ejercicio: Descomponer en fracciones parciales la siguiente fracción
1
1
2
12 xx
x
1212
122
x
C
x
BAx
xx
x
12
21
12
12
2
2
xx
xBAxx
xx
x
12
2
12
12
22
2
xx
CxBBxAxAx
xx
x
12
2
12
12
2
2
xx
BxABxCA
xx
x
BxABxCAx 221
Bx
ABx
CAx
1
1
20
0
2
1=-1-A 0=A+2C
2
AC
C=1
1
1
2
12
12
122
xx
x
xx
x
Ejercicio: Descomponer en fracciones parciales la siguiente fracción:
12
124
xx
x
22222 111
1
x
DCx
x
BAx
x
x
22
2
22 1
1
1
1
x
DCxxBAx
x
x
B=-1
A=-2
122
DCxxBAxx 11 2
DCxBBxAxAxx 231
DBxCABxAxx 231
DBx
CAx
Bx
Ax
1
1
0
0
0
2
3
1
1
0
0
D
C
B
A
Ejercicio: Descomponer en fracciones parciales la siguiente fracción.
21
1
xx
x
22111
1
x
C
x
B
x
A
xx
x
2
2
21
11
1
1
xx
xCBxxxA
xx
x
xCBxxxAx 1112
xCBxBxAAxAxx 22 21
AxCBAxBAx 21 2
Ax
CBAx
BAx
1
21
0
0
2
2
1
1
C
B
A
221
2
1
11
1
1
xxxxx
x
123
Ejercicio: Descomponer en fracciones parciales la siguiente fracción
11
122
2
xx
xx
11111
1
11
12
2
2
2
22
2
xx
x
xxx
xx
xx
xx
1111 22
2
x
C
x
BAx
xx
x
11
11
11 2
2
2
2
xx
xCxBAx
xx
x
11 22 xCxBAxx
CCxBBxAxAxx 222
CBxBAxCAx 22
CAx 12 1
BAx 0 2
CBx 00 3 (1-3)+2
A
BA
BA
CB
CA
21
0
1
0
1
2
1A ;
2
1;
2
1 CB
1
2
1
1
2
1
2
1
11 22
2
xx
x
xx
x
Ejercicio: Descomponer en fracciones la siguiente fracción
1133
1123
22
xxxx
xxx
12
1
1
1
11
111
1133
112
2
2
2
3
2
23
22
xx
xx
x
xx
xx
xxxx
xxxx
xxx
x2 +x +1 x2-2x+1
-x2 +2x -1 1
3x
xPxx
x
12
31
2
124
221
3
12
3
x
x
xx
x
22111
3
x
B
x
A
x
x
2211
1
1
3
xx
BxA
x
x
BxAx 13
BAAxx 3
ABAxx 3
ABx
Ax
0
3
0
3A
3B
221
3
1
31
1
3
xxx
x
Radicales
Las raíces r de los números reales x se define por el enunciado
xrxr nn la expresión n xr se llama radical, el número n es el índice
del radical y x se llama radicando. El símbolo se llama signo radical si n=2,
se omite el índice del radical, si n es impar, para cualquier valor de x hay una
raíz enésima de x. ejemplo: 2325 Si n es par y positivo, hay 2 raíces
enésimas de x. Sin embargo, el símbolo n x se reserva para la raíz positiva.
Ejemplo: 24 Leyes de los Radicales: Las siguientes propiedades se pueden usar para simplificar expresiones que contengan radicales y se llaman leyes de los radicales. Sean ZnmRyx ,, .
Entonces:
1) xxn
n
2)
0,
0,;
,
,
xsix
xsixx
parnsix
imparnsixxn n
3)
n
n
n
yxy
x
4) nmm n xx ·
125
5) Znxx nn 1
6) nmZnxxmnnm //1/ mínima expresión
Ejercicio: Simplificar las siguientes expresiones
1) aaba
ba442
4 1610
8
1
2
32
aaba
baa
44 242
4 164 24 844 4
22
1·
2
···2·2
aaba
baa44
424
22
1·
2
··2·2
22
2
2
2
a
a
12
2
2) 424 2
4 1610
2
1·
2
32
baa
ba
=42
42
1610
2
1·
2
32
baa
ba
42
4 168
2
16
ba
ba
42
4 164 84 4
2
··2
ba
ba
12
242
42
ba
ba
Racionalización de Radicales:
Cuando se quitan los radicales del numerador o del denominador de una fracción, se dirá que se ha racionalizado. En general normalmente se racionaliza el denominador, pero en cálculo diferencial a veces es importante racionalizar el numerador. El procedimiento implica la multiplicación de la fracción por 1 tal, que 1= factor racionalizante del denominador (factor racionalizante del denominador).
126
Ejercicio: racionalizar las siguientes fracciones.
1) 3
1
3
3·
3
1
3
3
3
32
2) yx
yx
yx
yx
Yx
yx
yxyx
22
·11
3) 1
1
1
1
1
1·
1
1
1
12
x
x
x
x
x
x
xx
4)
y
y
y
y
y
y
yy 49
232
23
232
23
23·
23
2
23
2222
5)
yxx
yx
yx
yx
yx
yx
yxyx 412
21
21
21
21
21·
21
1
12
12222
222
241
24121
241
241·
241
21
412
21
xyx
xyxyx
xyx
xyx
xyx
yx
yxx
yx
xyx
xyxyx
441
241212
Ejercicio: Racionalizar
1)
4
23 4
33 4
23 4
23 4
23 4
3 43 4·
11
x
x
x
x
x
x
xx
2)
3
3 311
2
3 311
2
3 311
2
3 311
3 3113 311
·11
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxxxx
x
x
xxx
xxx
xxxxx
xxx
xxxxx
xxx
·1···
5
2
3 311
5
2
3 311
210
2
3 311
xxx
xxxx
xxx
xxxx
5
2
3 311
52
2
3 311
1
·
1
·
3) 1
1
1
1
1
1·
1
1
1
1 33 2
33
33 2
33 2
33 2
33
x
xx
x
xx
xx
xx
xx
127
4)
y
yy
y
yy
yy
yy
yy
1
1
1
1
1
1·
1
1
1
12
332
333
233
2332
2332
33
Ejercicio: Racionalizar: 1)
ba
ba
ba
ba
ba
ba
bbaabbaa
33
33
33
33
33
33
2333
23
2333
23
·11
2) 1
1
1
1
1
1·
1
1
1
1 3
33
3
3
3
32
332
3
a
a
a
a
a
a
aaaa
Ecuaciones
Ecuaciones Lineales: Una ecuación lineal es una expresión de la forma ax+b=0. Tal que
Rbaa 0 , “fijos” x representa un número real a determinarse. Resolverla es hallar el número real x tal que al reemplazarlo e la misma la reduce a una identidad. Ejercicio: Resolver la siguiente ecuación: 7x+12=5x-8 20=-20 x=-10 En otras palabras se denomina ecuación a una igualdad que contiene una o varias letras, bajo las cuales se sobreentienden los números desconocidos. Las letras que representan los números desconocidos se denominan incógnitas y a los números o letras que acompañan a las incógnitas se los llama coeficientes. Los valores de las incógnitas que satisfacen o verifican una ecuación reciben el nombre de soluciones o raíces de la ecuación. Resolver una ecuación o un sistema de ecuaciones es encontrar todos los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación o el sistema de ecuaciones, o asegurarse que no existen tales valores de las incógnitas. Si consideramos las ecuaciones en las cuales las incógnitas. Aparecen elevadas a un exponente entero positivo, el mayor exponente al cual está elevada la incógnita se llama grado de la ecuación Ejercicio: Resolver la siguiente ecuación.
1) 2
3
4
4
2
32
xx
x
x *
202
22022042
xx
xxxxx
2
3
22
4
2
3
xxx
x
x
23423 xxx
128
63463 xxx
x412
3x
2) 32102
4
x
x
x
x *
2
332032
102020202
xxx
xxx
32202
4
x
x
x
x
203324 xxxx
xxxxx 20212832 22
1231 x
31
12x
3) Hallar 2 números cuya suma sea 20 y cuya diferencia sea 6:
x: primer número y: segundo número x +y =20 x -y =6
2x =26 x =13 x+y=20→ 13+y=20→ y=7 -Observación: En este ejercicio tenemos 1 sistema de 2 ecuaciones lineales con dos incógnitas. Este sistema también puede resolverse por la vía gráfica graficando en el plano cartesiano las dos rectas que estas ecuaciones lineales representan. Las coordenadas del punto de intersección de estas 2 líneas rectas constituyen la solución del sistema lineal 2x2.
129
y
15 5
5
15
1
-7
P (5,15)
P (15,5)
P (1,-7)
6 13
7 S (13, 7)
x
x-y=6
Ejercicio: resolver el sistema anterior por el método gráfico. x+y=20 x-y=6 OBSERVACIÓN: Un sistema lineal se resuelve por los métodos tradicionales del álgebra convencional los mismos que constituyen: 1) Método de suma y resta 2) Método de Sustitución 3) Método de igualación Ejercicio: Resolver el siguiente sistema 3x3 por el método de suma y resta 1) x+y+z=1 2) x-2y=0 3) x-z=-1
4)
[2)x2]-4)
2x -4y =0 -2x -y =0
y=0
2)+[4)x2] x -2y =0
4x +2y =0
x=0 5)
5) - 3) x =0 -x +z =1
z=1
1)+3) x +y +z =1 x -z =-1
2x +y =0
x+y=20
130
Ejercicio: Resolver el siguiente sistema por el método de sustitución: 1) x+y+z=1
2) x-2y=0→2
xy
3) x-z=-1 1 xz
2) y 3) en 1) x=0 en 3) x=0 en 2) 0-z=-1 0-2y=0
112
xx
x
Ejercicio: Resolver el siguiente sistema 3x3 por el método de igualación 1) x+y+z=1→z=1-y-x
2) x-2y=0→2
xy
3) x-z=-1→z=x+1
1) = 3) 4) = 2) 1) = 3) 6) = 5)
1-y-x=x+1 xx
22
1-y-x=x+1 2
0y
y=-2x 4) 5) 2
yx 6)
en 3) 7) = 5) x-z=-1→x=z-1 7) 0=z-1
Ecuaciones Cuadráticas
Una ecuación polinómica de grado n es una ecuación de la forma:
0;012... 021 anaxaxaanxanx nn donde n es un número entero no
negativo y a constituyen números reales. Para una ecuación lineal el grado n n=1 (n es igual a 1). La solución de una ecuación polinómica se ll ama raíz de la ecuación. La ecuación cuadrática de segundo grado es una expresión de la forma: ax2+bx+c=0. Sus raíces pueden hallarse por factores usando la forma:
a
acbbx
2
42 .
Ejercicio: Demostrar que 2) constituye las raíces de 1).
x=0
z=1 y=0
x=0 y=0
z=1
131
ax2+bx+c=0 1)
a
acbbx
2
42 2)
a 0=c+bx+ax2
02 a
cx
a
bx
2
22
2
42 a
b
a
c
a
bx
a
bx
2
22
4
4
2 a
bac
a
bx
a
acb
a
bx
2
4
2
2
a
acbbx
2
42 L.Q.Q.D
La naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado está determinada por el radicando b2-4ac, al cual se lo llama discriminante. Los 3 casos posibles, se sintetizan a continuación.
discriminante raíces
b2-4ac>0 Raíces diferentes,. R1 R2
b2-4ac=0 R1=R2
b2-4ac<0 No existen R1.R2
Ejercicio: Resolver las siguientes ecuaciones:
1) 0652 xx
)1(2
)6)(1(4255 x
2
15x
2
15
2
1521
xx
32 21 xx
2) 0484 23 xxx
0124 2 xxx
004 1 xx
2
)1)(1(442 x
2
222 x
132
21x
2121 32 xx
Ejercicio: Resolver la siguiente ecuación por factoreo.
0652 xx
023 xx
0203 21 xx
23 21 xx
Ejercicio: Resolver la siguiente ecuación:
01911819 222 xxxx
01121 222 xxxx
0121 22 xxx
012 x 0122 xx
12 x
12
11442 x
1x 2
82 x
11 21 xx 2
222 x
2222 43 xx
Ecuaciones Misceláneas: Muchas ecuaciones que no son polinómicas pueden convertirse a esa forma por medio de operaciones algebraicas. Ejercicio: Resolver las siguientes ecuaciones
1) xx
x
x
x
1
21
1
52
1
21
1
52 2
x
xxx
x
x
152 2 xxx
0432 xx
14 xx
0104 21 xx
14 21 xx
133
2) 02143 2 x
33
3 2 214 x
814 2 x
94 2 x
4
9x
2
3
2
321 xx
Problemas de aplicación: -Repartir $4000 entre 2 personas, de manera que la primera reciba $540 más que la segunda. x+y=4000 1) x+540=y 2) 2) en 1) 3) en 2) x+x+540=4000 1730+540=y 2x=3460 y=2270 x=1730 3) Solución: La primera persona recibe $2270 y la segunda recibe $1730 -Con 950 ladrillos se ha hecho 3 tabiques, en el primero entra una tercera parte de los que entran el tercero, y en el segundo la cuarta parte de los que entran en el tercero. ¿Cuántos ladrillos se emplearán en cada tabique?
1) z3
1x
2) z4
1y
3) 950zyx
1) y 2) en 3) 4) en 2) 4) en 1)
950zz4
1z
3
1 600
4
1y 600
3
1x
950z12
19 150y 200x
600z 4)
134
Solución: Para el primer tabique se usan 200 ladrillos. Para el segundo tabique se usan 150 ladrillos. Para el tercer ladrillo se usan 600 ladrillos. -Los 2 factores de una multiplicación suman 91 si se aumenta 5 unidades al multiplicando y se disminuyen 2 al multiplicador. El producto aumenta en 67. ¿Cuáles son los factores? 1) x+y=91→y=91-x 2) x·y=m (x+5)(y-2)=m+67 (x+5)(y-2)=xy+67 (x+5)(91-x-2)=x(91-x)+67 (x+5)(89-x)=x(91-x)+67 89x-x2+445-5x=91x-x2+67 -7x=-378 x=54 y=91-54→y=37 -Aumentando un número en sus 3 centésimas partes se obtiene más que la quinta parte que la suma. ¿Cuál es el número?
x
100
3x
5
1103x
100
3x
x500
3x
5
1103
100
x3x100
500
x3
500
x100
500
51500
100
x3x100
x3x10051500x15x500 51500x412
125x Solución: El número es 125 Ejercicio: Repartir $2900 en 4 individuos, de manera que al primero le corresponda $400 más que el segundo, a este, dos tercios de lo que le corresponde al tercero y a este $500 menos que el cuarto x= cuarto x-500= tercero
500x3
2Segundo
400500x3
2 Primero
2900500x3
4x2
87002000x4x6
135
10700x10
x=1070 x= cuarto=1070 x-500= tercero=570
500x3
2Segundo=380
400500x3
2 Primero=780
INECUACIONES
Definición: Una inecuación es una “desigualdad” que solo es verdadera para determinados valores de la incógnita. Resolver una inecuación significa. Hallar los valores para los cuales la desigualdad es verdadera. Ejercicio: Resolver las siguientes inecuaciones. 1) 71x3
71x3 8x3
3
8x
Sol:
3
8,
2) 2x2
31x2
3x2
1
6x
Sol: ,6
3) 3x2x
1x0
Sol:
4) 3x31x3
4x0
Sol: R
136
-2 1
5) 1xx3
a) 0x1xx3 b) 0x1xx3
0x4
1x 0x
4
1x
,0
4
1, 0,
4
1,
Sol a:
4
1,0 Sol b:
4
1,0
Sol: Sol a Sol b
Sol:
4
1,0
4
1,0 =
4
1,0
Ejercicio: Resolver las siguientes inecuaciones
1) 12x1x
a) 01x 02x 12x1x
3x1x 1x 2x 4x0
,1 ,2 R
Sol a: ,1 ,2 R
Sol a: ,1
b) 01x 02x 12x1x
1x1x 1x 2x 2x0
1, 2,
Sol b: 1, 2, =
137
-2 1 0
-2 1 -1
c) 01x 02x 12x1x
1x 2x 12x1x
,1 2, 0x
0,
Sol c: 0,2,,1
d) 01x 02x 12x1x
1x 2x 12x1x
1, ,2 1x
,1
Sol d: 1,1,1,21,
Sol: Sol a U Sol b U Sol c U Sol d= ,11,1,1
2) 41x2
41x24 14x214
5x23
2
5x
2
3
Sol=
2
5,
2
3
3) 21x3
21x321x3
1x321x3 1x33x3
3
1x1x
138
4 5
3
3
5
Sol=
,
3
11,
4) 73x4
73x473x4
4x473x4
1x2
5x
Sol=
1,
2
5
5) 5x33x5
225x33x5
25x30x99x30x25 22
016x60x16 2
04x15x4 2
8
44422515x
8
28915x
8
1715x
8
2x
8
32x
2
1x4x
Sol=
2
1,4
Otra forma: a) 5x33x5 03x5 05x3 8x2 3x5 5x3
4x 5
3x
3
5x
139
4 5
3
3
5
5
3 4
1
3
5
5
3 4
1
3
5
Sol a= {4}
b) 05x303x55x33x5
-5x+3=-3x-5 3x5 5x3
2x=8 5
3x
3
5x
x=4
Sol=
c) 05x303x55x33x5
5x-3=-3x-5 3x5 5x3
4
1x
5
3x
3
5x
d) 05x303x55x33x5
-5x+3=3x+5 3x5 5x3
4
1x
5
3x
3
5x
140
Sol d=
4
1
Sol= 4
14
Sol=
4,
4
1
Ejercicio: Resolver las siguientes inecuaciones
1) 02x53
2x53
2x532 2x532
1x55
5
1x1
1x5
1
Sol=
1,
5
1
2) 034x6
34x6
34x6 34x6
34x6 7x6
6
1x
6
7x
Sol1=
,
6
1
Sol2=
,
6
7
Sol= Sol1 U Sol2 =
,
6
1
3) 2
1x3410
2
7x314
2
7x314
141
14x32
7
3
14x
6
7
Sol=
3
14,
2
7
4) 02x
5x2
; 02x02x02x
a) 05x2 02x b) 05x2 02x 5x2 2x 5x2 2x
2
5x 2x
2
5x 2x
2
5, ,2
,
2
5 ,2
Sol a=
2
5,2 Sol b=
Sol= Sol a U Sol b
Sol=
2
5,2 U
Sol=
2
5,2
5) 0x
1
0x
Sol= 0,
7) 02x 2
2x 2
2x
2x2x
2x2x
,22,
Sol= ,22,
142
8) 025x2
25x2
15x
15x1
6x4
Sol= 6,4
9) 216x3
76x
76x76x
1x76x 1x13x
,113,
Sol= ,113,
10) 7827x5
Como Rx , 027x5 Sol=
11) 7945x
245x
Como ,Rx 045x Sol= R
12) 24x5
24x5
Como 04x5,Rx Sol=
13) 57x37x32
57x37x32 ; se ha usado el axioma: xx
57x3
57x35 12x32
4x3
2
Sol=
4,
3
2
127x5
143
5
6
2
3
0
2
3
14) 3
1
3x2
1x
3
1
3x2
1x
3
1
3x2
1x
3
1
3x2
1x
3
1
3x2
1x
3
1
3x2
1x
03x23x23
11x 03x23x2
3
11x
3x23x23x3 3x23x23x3
2
3x
5
6x
2
3x0x
Sol= Sola U Solb=
2
3,0 =
2
3,0
Propiedad:
1) Si 0b0a0b0a0ba
2) Si 0b0a0b0a0ba
3) Si 0b0a0b0a0ba
4) Si 0b0a0b0a0ba
Ejercicio: Resolver las siguientes inecuaciones
1) 02x1x
02x01x02x01x
2x1x2x1x
2,1,,2,1
1,,2
SOL= 1,,2
SOLb=
2
3,0
SOLa=
144
- -1 2 +
2) 02x1x
02x01x02x01x
2x1x2x1x
2,1,,2,1
1,,2
Sol= 1,,2
3) 02x1x
02x01x02x01x
2x1x2x1x
,21,2,,1
2,1
Sol= 2,1
4) 02x1x
02x01x02x01x
2x1x2x1x
,21,2,,1
2,1
Sol= 2,1
OBSERVACIÓN: Una inecuación con su segundo miembro igual a cero y su primer miembro factorado puede resolverse por tablas de la siguiente manera: -Representamos en la recta numérica los valores críticos de x para lo cual igualamos a cero cada uno de los factores y/o divisores definidos en función de x y despejamos de estas igualdades la x correspondiente. Con estos valores críticos armamos los diversos intervalos que surgen en la recta numérica. A continuación encontramos los signos de las inecuaciones antes establecidas y deducimos en que intervalo la inecuación está definida y este intervalo constituye la solución de la inecuación. Ejercicio: Resolver por tablas las siguientes inecuaciones.
1) 02x1x
1x
01x
2x
02x
x+1 - + +
x-2 - - +
(x+1)(x-2) + - +
Sol= ,21,
145
- -2 2
1
3
2 +
- -2 2
1
3
2 +
2) 0x2x212x3
3
2x
02x3
2
1x
0x21
2x
0x2
3x-2 - - - +
1-2x + + - -
2+x - + + +
(3x-2)(1-2x)(2+x) + - + -
3) 0x2x212x3
3
2x
02x3
2
1x
0x21
2x
0x2
3x-2 - - - +
1-2x + + - -
2+x - + + +
(3x-2)(1-2x)(2+x) + - + -
4) 1x
31x
01x
31x
0
1x
31x1x
01x
4x 2
Sol=
,
3
2
2
1,2
Sol=
3
2,
2
12,
146
- -2 -1 2 +
- + 0
- -1 +1 +
0
1x
2x2x
2x
02x
2x
02x
1x
01x
x+2 - + + +
x-2 - - - +
x+1 - - + +
1x
2x2x
- + - +
5) 0x
1
0x
6) 01x
1x
1x
01x
1x
01x
1x
01x
Ejercicio: Resolver por tablas las siguientes inecuaciones:
1x
5x
3x
2x
x - +
x
1
+ -
x+1 - + +
x-1 - - +
1x
1x
+ - +
Sol= ,21,2
Sol= ,0
Sol= 1,1
147
- -3 7
17
1 +
01x
5x
3x
2x
01x3x
3x5x2x1x
0
1x3x
15x8x2xx 22
0
1x3x
17x7
0
1x3x
17x7
0
1x3x
17x7
7
17x
017x7
3x
03x
1x
01x
Problemas de Aplicación: 1) Una compañía que fabrica y vende tiene gastos semanales de $3400 incluyendo salarios y costos de planta. Es costo de los materiales por cada gabinete es de $40 y se vende en $200. ¿Cuántos gabinetes deberán construirse y venderse cada semana para que la compañía garantice utilidades? Solución Sea x= # gabinetes construidos y vendidos semanalmente. Para que exista ganancia el ingreso deberá ser mayor que el costo:
7x+17 - - + +
x+3 - + + +
x-1 - - - +
1x3x
17x7
- + - +
Sol=
,1
7
17,3
148
Ingreso>Costo -Cálculo del ingreso por gabinete
1
200x? ?;x
$2001
Ingreso= 1
x200
-Cálculo del costo 1 gabinete cuesta en materiales $40; x gabinetes ¿cuánto costarán?
1
40x? ?;x
$401
Costo= 40x+3400 200>40x+3400 160x>3400 x>21.25 #gabinetes= 21.25 Conclusión: La compañía deberá construir y vender al menos 22 gabinetes cada semana para garantizar ganancias. 2) Si la temperatura en la escala Fahrenheit es F grados y utilizando la escala
Celsius es C grados entonces 32F9
5C dado por la física. ¿Cuál es el
conjunto de valores de F si C está entre 10 y 20?
10<C<20 32F9
5C
2032F9
510
432F9
12
3632F18 68F50
Conclusión: F se encuentra entre 50 y 68 3) Un arquitecto diseña y vende adornos de pared y puede comerciar cada uno de los adornos producidos a un precio de $75. Si x adornos son manufacturados diariamente, entonces el costo total diario de producción es $x2+25x+96 (dados por un economista). ¿Cuántos adornos deberán producirse diariamente para que el arquitecto garantice una utilidad? Solución:
ingreso>costo
-Cálculo del ingreso
75x? ?;x
751
Ingreso=$75 Costo= x2+25x+96
149
- 2 48 +
75x> x2+25x+96 0> x2-50x+96 x2-50x+96<0 (x-48)(x-2)<0
48x
048x
2x
02x
Sol: (2,48) 2<x<48 -Conclusión: Para que el arquitecto registre una ganancia el número de adornos producidos y vendidos deberá ser más de 2 y menos de 48.
NÚMEROS COMPLEJOS
Todas las cantidades consideradas hasta ahora son números reales en diferentes ámbitos de las ciencias, pueden aplicarse también los números complejos, lo que da un nuevo significado a ciertos conceptos y explica otros. A continuación su definición. Definición: El conjunto C de los números complejos es el de los números de la
forma ibaZ donde Rba , 1i . El número a se denomina parte real y el número b·i se denomina parte imaginaria, e i se llama cantidad imaginaria La expresión a+bi recibe el nombre de forma rectangular o forma normal o
forma ordinaria de un número complejo. El símbolo i tiene la propiedad: 1i2
entonces: i1iii 23 111iii 224 ii1iii 45 etc. -IGUALDAD: 2 números complejos a+bi c+di son iguales si solo si a=c b=d. dbcadicbia
La adición y multiplicación de complejos se define como el siguiente teorema:
Si i2b1b212Z1Zi2b22Zbi11Z
i2a1b2b1a2b1b2a1a2Z1Z
Ejercicio: Demostrar el teorema Z1=a1+b1i Z2=a2+b2i
1) ibibaaZZ 212121
ibbaaZZ 212121
x-48 - - +
x-2 - + +
(x-48)(x-2) + - +
150
2) ibaibaZZ 221121
2
2112212121 ibbibaibaaaZZ
2112212121 bbibaibaaaZZ
ibaibabbaaZZ 1221212121
ibababbaaZZ 1221212121
-EL CAMPO COMPLEJO: En el capítulo anterior se enunció las propiedades básicas del sistema de los números reales. Utilizando la definición de adición y multiplicación de complejos puede demostrarse que estas propiedades básicas también se aplican al sistema de los números complejos. Axiomas de Campo: -De la SUMA:
1) CZ,Z 21 ; CZZ 21 Axioma Clausurativo
2) CZ.Z,Z 321 ; 321321 ZZZZZZ Ax Asociativo
3) CZ,Z 21 ; 1221 ZZZZ Ax Conmutativo
4) Zz,Ce ; i00ezzeez Ax del neutro Aditivo
5) Cz,Cy ; zyi00eezyyz Ax. Del inverso aditivo
Propiedades del producto de Números Complejos
1) CZ·Z 21 ; CZ·Z 21 Ax. Clausurativo
2) CZ·Z·Z 321 ; 321321 Z·Z·ZZ·Z·Z Ax Distributivo
3) CZ·Z 21 ; 1221 Z·ZZ·Z Ax. Conmutativo
4) CZCe ; i01eZ·ee·Z Ax. Del neutro aditivo
5) ,CZCy * i00Z ; eyzzy 1Zyi01e Ax del inverso
i00CC* multiplicativo
Relación entre la suma y el producto
CZ,Z,Z 221
1) 3121321 Z·ZZ·ZZZ·Z Distributiva por la izquierda
2) 3231321 Z·ZZ·ZZ·ZZ Distributiva por la derecha
-De lo anterior se puede afirmar que el sistema matemático constituido por el conjunto de los números complejos con las operaciones de adición y multiplicación (C,+) constituye un campo.
151
Observaciones: 1) El inverso aditivo de un número complejo Z=a+bi es –Z=-a-bi
2) Si Z=a+bi es un número complejo, entonces biaZ , se llama subconjugado. 3) Si en Z=a+bi, b=0 se obtiene un número real. Así el conjunto de los números reales es un subconjunto de los conjunto de los números complejos. Ejercicio: Efectuar las operaciones indicadas, simplificar y expresar los resultados a forma normal.
1) i322i43i21
= i64i312i21
= i1115
2)i23
1
i23
i23·
i23
1
22 i23
i23
49
i23
i13
2
13
3
13
i23
i1i
1
i
1
i
1)3
53
i1i·i·i
1
i·i
1
i
1222
= i1i
1
i
1
i
1
= i1i
1
i
i·
i
i1
2
2
i
i1
1
11
0
152
a
b )b,a(P
bia
x
y
0
Ejercicio: Resolver las siguientes ecuaciones
1) 025x8x 2
2
251488x
2
2
368x
2
i68x
2
i68x 21
i34xi34x 21
2) 01x1x16x1x1x 2
01x16x1x 222
016x1x 22
016x01x 22
16x1x 22
1x
1x
2
1
i4x
i4x
4
3
-Representación en el plano cartesiano Todo número complejo de la forma a+bi se puede asociar a un par ordenado único (a,b), en el sistema cartesiano. Donde el eje horizontal se llama eje real y el eje vertical se llama eje imaginario. De modo que cada complejo puede asociarse a un punto único en un sistema de coordenadas cartesianas. Recíprocamente a cada punto se asocia un número complejo único. En este caso el plano cartesiano recibe el nombre de plano complejo o diagrama de ARGOND. Gráficamente: Distancia entre 2 puntos:
La distancia entre dos puntos ibaZ 111 y ibaZ 222 en el plano cartesiano
está dada por la fórmula: 2
21
2
2121 )bb(aaZZ
*A veces también es necesario colocar el vector P para que el complejo a+bi quede mejor identificado
153
x
b )y,x(P
yix
x
y
y
r
0
Notación Adicional: Dado el complejo Z=a+bi, sabemos que a parte de Z y se nota como a=ReZ
El número b se simboliza como b=ImZ Dado el punto de la vista lógica es conveniente definir un número complejo Z=a+bi como el par ordenado de números reales (a,b) sometido a definiciones y operaciones equivalentes a los anteriores, esas definiciones se dan a continuación.
1) Igualdad I: dbcad,cb,a
2) Suma S: db,cad,cb,a
3) Producto: bcad,bdacd,c·b,a
De aquí:
1,0b0,1ab,a se asocia a bia donde 1,0i con la propiedad que
0,11,01,0i2
Se pueden considerar los pares (-1,0), (1,0), (0,0) equivalentes a los números reales -1, 1, 0 respectivamente. Valor Absoluto:
El valor absoluto de un complejo a+bi está definido como bia donde
22 babia
Ejercicio: Resolver los siguientes valores absolutos de números complejos.
1) 52543i4322
2) 23.2521i21 22
3) 110i0ii11i·i·ii 22225
4) 16.316.331i3122
Forma Polar o Trigonométrica de un complejo
Sea el número complejo x+yi representado por el vector op de la figura siguiente
Real
Complejo Imaginario
Complejo Z
154
0 0 0
1
b
)1,1(P
x
y
y
r
0
x
y
r
1
0
Este vector y por lo tanto el número complejo pueden escribirse en términos de la longitud de r del vector y por cualquier ángulo positivo que forma el vector
con el eje positivo de las x (eje real positivo +).
Al número r= yixyx 22 se lo llama módulo o valor absoluto de número
complejo. El ángulo llamado amplitud o argumento del número complejo.
De la figura anterior se desprende:
rsenyr
ySen
cosrxr
xCos
irsencosryix ”Forma polar o trigonométrica”
rcisisencosr
-Forma exponencial de un complejo: El número complejo x+yi se expresa en forma exponencial de la siguiente
manera: ie·r de donde r y tienen el mismo significado que la forma polar o
trigonométrica ( se puede medir en radianes o grados) orden e=2.718…(base
del logaritmo natural). Ejercicio: Escribir los siguientes números complejos a forma polar y exponencial. ADVERTENCIA: Es más que necesario previamente graficar el número complejo. 1) i1
451tan11
1
x
ytan 1 211r 22
45·ie245cis2i1
2) i
r
r
1
r= 110 2 ; 90
90·ie190cis1i
155
x r
1 0
y
x 0
3) 1 i011
4) 0 Ejercicio: exprese en forma rectangular los siguientes números complejos:
1) 30cis2
i71.022.1i30sin30cos2
2)4·ie2
= i41.141.1i4sen4cos24cis2
Teorema:
222111 cisrZcisrZ
1) 212121 cisr·rZ·Z
2) 21
2
1
2
1 cisr
r
Z
Z
3) 1
n
1
n
1 cisnrZ ; Qn → Teorema
NOTA: Para la demostración de este teorema lleve a los números complejos a la forma exponencial. Ejercicio: Calcular el valor de la siguiente expresión
10
3i
2i4i
e3
e3·e2·
45cis·60cis·30cis3
45cis3·60cis·30cis2E
10
3i2i4
ie2·
456030cis
456030cis2E
r= 1012 ; 0
0·ie10cis11
r= 000 22 ; 0
0·ie00cis00
156
y
x 4
-4
10
3i2i4ie2·135cis
135cis2E
10127ie2·135135cis2E
10127ie2·270cis2E
10105ie2·270cis2E
10)105(cis2·270cis2E
10105270cis2·2E
10165cis4E
16510cis4E 10
1650cis4E 10
i1650sen41650cos4E 10
i1650sen41650cos4E 10
i52428845.908093E -Raíces de los números complejos: Un número complejo rcisbiaZ tiene exactamente n distintas raíces n-ésimas. El procedimiento para encontrar estas raíces se da en el ejemplo siguiente: Ejemplo: Encuentre las raíces quintas de 4-4i -Paso 1: Expresamos en forma polar el complejo 4-4i
14
4tan
1tan 1 31545
65.5r
32r
44r22
315cis65.5i44
157
63cis41.1Z1 135cis41.1Z2
207cis41.1Z3
279cis41.1Z4
351cis41.1Z5
x
y
-Paso 2: Este número complejo expresado en forma polar la expresamos en forma más general polar de la siguiente manera.
315cis65.5
315sen65.5315cos65.5
360·k315sen65.5360·k315cos65.5
Zk,360·k315cis65.5
-Paso 3: Como tenemos que calcular 51
360·k315cis65.5 ,
aplicamos el teorema de Mourie para calcular estas raíces quintas.
5
360·k315cis65.5 5
1
72·k63cis41.1
-Paso 4: Calculamos las 5 raíces quintas vamos a llamar
;72063cis41.1Z1 k=0 63cis41.1Z1
;72163cis41.1Z2 k=1 135cis41.1Z2
;72263cis41.1Z3 k=2 207cis41.1Z3
;72363cis41.1Z4 k=3 279cis41.1Z4
;72463cis41.1Z5 k=4 351cis41.1Z5
1Z ; k=5
2Z ; k=6
“Se va repitiendo” Estas raíces calculadas pueden graficarse en un mismo plano complejo de la siguiente manera.
158
0cis1Z1
120cis1Z2
240cis1Z3
Ejercicio: Resolver la siguiente ecuación
03
cisxe 33i
03
cisx3
cis 3
3cisx
3cis 3
1x3 3 1x 3 i01x
1r
0
1
0tan
360·k0sen1360·k0cos1i01
360·k0cis1i01
31
3 360·k0cis1i01
3
360·k0cis1i01
31
3
120·00cis1Z1 ; k=0 0cis1Z1
120·10cis1Z2 ; k=1 120cis1Z2
120·20cis1Z3 ; k=2 240cis1Z3
x
y
159
3a
4a
1a
1a
13
23
21
11
MATRICES
Def: Una matriz es una tabla de números dispuestos en filas y columnas.
Una matriz A de m filas y n columnas se nota como nmA y se le escribe en
forma general de la siguiente manera.
mnmj2mmi
inij2iii
n2j22221
n1j11211
nm
a...........a...........aa
a...........a............a
:
:
:
a
:
:
:
a..........a............aa
a...........a............aa
A
Donde ija designa el “coeficiente” situado en la i-ésima fila y j-ésima columna.
Ejercicio: Dada la matriz
401
321 calcular:
-Igualdad de Matrices:
Nota: La matriz nmA también se puede notar por la forma: nmijaA
Def: Dos matrices nmijaA
y
qpijbB
son iguales si solo si:
1) m=p 2) n=q
3) ijijij ba:
Ejercicio: Dada la igualdad matricial:
6c
47
b1
65
4a
21
calcular los valores
de a, b y c.
Fila
i-ésima fila
j-ésima columna columna
160
a=7 b=-2 c=5
ijijij ba:
-Matrices filas y matrices columnas: Def: Llámese matriz columna a la matriz e tiene una sola columna. Ejemplo:
1)
3
2
1
2) 1
Def: Llámese matriz fila a la matriz que tiene una sola fila. Ejemplo:
1) cba
2) b
-Tipos de Matrices: MATRIZ TRANSPUESTA:
Def: La “transpuesta” de la matriz nmijaA
es la matriz
mnijbA
tal que
jiij ab .
Ejercicio: Calcular la transpuesta de las siguientes matrices
43
21A
42
31A
khi
fed
cba
B
kfc
heb
ida
B
2C 2C
-Matriz Cuadrada:
Def: Una matriz A se dice “cuadrada de orden n” si nnijaA
Ejemplo:
654
321
cba
A 33
La diagonal principal de una matriz cuadrada está formada por todos los
elementos ija tales que ji
Ejemplo:
161
654
321
cba
A 33
-Matriz Simétrica:
Def: Una matriz cuadrada A se dice “simétrica” si solo si AA Ejercicio: Construir dos matrices simétricas una de orden 3 y otra de orden 4
121
212
121
A 33
121
212
121
A 33
abab
baba
abab
baba
B 44
abab
baba
abab
baba
B 44
-Matriz Diagonal:
Def: Una matriz nmijaA
se llama “diagonal” si 0a ij cuando ji
Ejercicio: Construir 3 matrices diagonales de orden 2, 3 y 4
1)
30
2A
2)
c00
0b0
00a
B ; Rc,b,a
3)
d000
0c00
00b0
000a
C ; Cd,c,b,a
-Matriz Escalar: Def: Una matriz cuadrada A se llama “escalar” si es diagonal y además todos los coeficientes de la diagonal principal son iguales. Ejercicio: Construir 3 matrices escalares de orden 1. 2 y 3
1) aA
2)
a0
0aB
162
3)
a00
0a0
00a
C
-Matriz triangular superior:
Def: Una matriz cuadrada nnijaA
se llama triangular superior si 0a ij ,
ji
Ejercicio: Construir dos matrices triangulares superiores de orden 2, 3 y 1
1)
30
21A 3) 2C
2)
500
740
831
B
-Matriz triangular inferior
Def: Una matriz cuadrada nnijaA
se llama triangular inferior si 0a ij ,
ij
Ejercicio: Construir 3 matrices triangulares de orden 1, 2, y 3
1)
cb
0aA
2)
853
042
001
B
3) 8C
-Operaciones con Matrices: 1) Suma y Resta:
Def: Sean las matrices nmijnmnmijnm bBaA
se dice que
ijBAC ijijij baC
OBSERCACIÓN: Solo se pueden sumar o restar matrices de igual dimensión. Ejercicio: calcular
1)
01
23
1110
98
76
54
43
21
2) 0321
163
3)
kc2hg
feb2d
cba3
c200
0b20
00a2
khg
fed
cba
Def: Denominase matriz cero aquella matriz donde todos sus coeficientes son iguales a cero. 1) Teorema: Sean a, b, c matrices de orden nm entonces:
1.1) CBACBACBA
1.2) ABBA 1.3) AA00A 2) Multiplicación de una matriz por un escalar:
Def: Sea ijnm aA y sea B R (B se llama escalar) .
Sea nmijnm bB
se dice
B=B·A ijb:j,i B ija
Ejercicio: Calcular 1)
149
1611
63
124
86
42
2·31·3
4·33·3
4·22·2
3·21·2
21
433
42
312
2)
12
a5
4
a
3
a
2
aa
4
1a
3
1a
2
1
-Teorema: nm21 B,A.RB,B se tiene:
1) B1·A=A·B1
2) B1·(A+B)=B1·A+ B1·B
3) (B1+ B2)·A= B1·A+ B2·A
4) (B1· B2)·A= B1( B2·A)
3) Multiplicación de Matrices: 3.1) Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna
Def: Sea A= n21 a..........aa
n
:::::2
1
b
b
b
B
Entonces: nn2211 ba........babaB·A
164
OBSERVACIÓN: A Y B deben tener el mismo número de componentes es decir el número de columnas de A debe ser igual al número de columnas de B Ejercicio: Calcular
1) i333i2ii3i2i
i
i
i
321 25
2
5
2) 2aaa
3.2) Multiplicación de 2 matrices en general:
Sea npijnppmijpm bBaA
:
B·ACBACCnmijnm
si solo si pjipj22ij11iij b·a...b·ab·aCj,i
OBSERVACIÓN:
El término ijC de C se obtiene multiplicando la fila i-ésima de A por la columna j-
ésima de B. Nota: Una condición necesaria y suficiente para multiplicar 2 matrices A y B es que el número de columnas de A debe ser igual al número de Filas de B. Caso contrario no podrá ejercerse tal multiplicación. Ejercicio: Calcular
1)
d4c2d3c
b4a2b3a
4·d2·c3·d1·c
4·b2·a3·b1·a
43
21
dc
ba
2)
987
654
321
1·90·80·70·91·80·70·90·81·7
1·60·50·40·61·50·40·60·51·4
1·30·20·10·31·20·10·30·21·1
100
010
001
987
654
321
3) 2222 a3aaa
a
a
a
aaa
OBSERVACIÓN: El producto de matrices no es conmutativo es decir:
A·BB·A Def: Llámese matriz identidad a una matriz escalar tal que
0a:0I1a:I ijij la matriz identidad mn se nota como mnI .
Ejemplo:
165
mn
mn
1........00
0........1
00........01
I
Propiedad: Para toda matriz cuadrada de orden n: AA·IIA nnnn
-Propiedades del producto de matrices: Para toda matriz A, B, C de orden nn y B R se tiene:
1) C·B·AC·BA
2) C·AB·ACBA
3) A·CA·BACB
4) (A B )B· = B B·A
5) ( B B)A· B B·A·
Teorema: Sean las matrices RBBA nm se tiene:
1) AAtt (t es transpuesta)
2) ( B t)A· B tA·
3) tttBABA
4) tttA·BB·A si solo si número de columnas de A= número de filas de B
(propiedad) y si A y B son matrices cuadradas de orden n. Def: Matriz Inversa. Sea A una matriz cuadrada de orden n, se dice que A es invertible si solo si
existe otra matriz cuadrada de orden n tal que nnn IIA·BB·A entonces
B se llama la inversa de A. Si existe B inversa de A, B es única. -Cálculo de la matriz inversa por el método estrictamente algebraico. Ejercicio: Calcular la matriz inversa de la siguiente matriz por el método algebraico:
43
21
PROCEDIMIENTO:
Sabemos que si B·AxBx·A 1 donde 1A es la inversa de A en este
caso tenemos
43
21A esto implica:
2
1
2
1
b
b
x
x
43
21
43
21A Sería una ecuación material genérica
tal que:
2
1
1
2
1
b
b
43
21
x
x
166
3)
entonces el principio radica en la ecuación matricial genérica, calcular el sistema de ecuaciones y empaquetarlos matricialmente a estas soluciones.
2
1
1
2
1
b
b
43
21
x
x
Tenemos:
2
1
2
1
b
b
x
x
43
21
221
121
bx4x3
bx2x
221
121
bx4x3
b3x6x3
3) en 1
2
bb3x
bb3x2
212
212
211
121
1
bb2x
b2
bb32x
2
bb3x
bb2x
212
211
2
1
2
1
b
b
212
3
11
x
x
43
21A ,
212
3
11A 1
TEOREMA: Si A, B son matrices cuadradas de orden n y son invertibles:
1) AA11
2) 111A·BB·A
-Determinantes: Def: Dada una matriz cuadrada A de orden n, el determinante de A es un “número” asociado a A Notación Sea
n2n1n
n222
:::::21
n11211
a.......aa
a.......aa
a........aa
A
Entonces el determinante de A se nota como detA o como A y es igual a:
167
n2n1n
n222
:::::21
n11211
a.......aa
a.......aa
a........aa
A
Definiciones:
1) Si 11aA RaaAdet 1111
2) Si Raa·aa·aAdetaa
aaA ij12212211
2221
1211
Ejercicio: Calcular los siguientes determinantes
1) 44
2) 22·31·412
34
Nota: Para el cálculo de un determinante de orden 3 en adelante es necesario conocer los siguientes antecedentes matemáticos. -Desarrollo por cofactores Def: Submatriz de A es una parte de la matriz A, ejemplo:
987
654
321
A →
Def: Definición de menor
Sea nnijaA
una matriz cuadrada de orden n. Sea ijA una Submatriz de A
de orden 1n que se obtiene eliminando la “i-ésima fila de A” y la “j-ésima
columna de A”. El determinante de ijAdet se denomina menor de ija en A.
La matriz 321A1 es una Submatriz de A
La matriz
8
5
2
A 2 es una Submatriz de A
La matriz 9A3 es una Submatriz de A
La matriz
97
64A 4 es una Submatriz de A
etc…
168
Ejercicio: Dada la matriz
987
654
321
A determine:
a) el menor de 12A en A= 64236)6·7()9·4(97
64
b) el menor de 23A en A= 6148)2·7()8·1(87
21
-Definición de Cofactor: Dada una matriz nnijaA
el Cofactor de una
componente de ija se nota como ijacot y es igual a ij
jiA·det1
Ejercicio: Dada la matriz
654
321
987
A se pide calcular el Cofactor de:
1) 61263·46·164
31AdetA·det1a 1212
21
12
2) 636424·96·764
97AdetA·det1a 2222
22
22
TEOREMA: Sea nnijaA
una matriz cuadrada de orden n, entonces el
determinante de A= n1n112121111 a·cota...a·cotaa·cotaAdet .
Esta expresión se denomina “Desarrollo del determinante de A por menores con respecto a la primera fila” Nota: Se pueden encontrar desarrollos del determinante de A por menores con respecto de cualquier fila o cualquier columna y en cada caso este desarrollo es igual al determinante de A.
Ejercicio: Calcular el determinante de:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
131312121111 acotaacotaacotaAdet
13
31
1312
21
1211
11
11 Adet1·aAdet1·aA·det1·aAdet
131312121111 AdetaAdetaAdetaAdet
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11aa
aaa
aa
aaa
aa
aaaAdet
Fila 1
Columna 2
169
312213322113312312332112322311332211 a·aaa·aaa·aaa·aaa·aaa·aaAdet
Ejercicio: Calcular el determinante de
100
101
212
-respecto a la primera fila: 102110200
012
10
111
10
102
-respecto a la primera columna: 110110210
210
10
211
10
102
OBSERVACIÓN: Para el cálculo de un determinante por esta vía es necesario observar a simple inspección o investigar con respecto a que fila y columna es conveniente aplicar el determinante con el fin de acortar el procedimiento.
Propiedades del determinante
-Propiedades del determinante de A: Sea A una matriz cuadrada de orden n (An) y sea R .
Sea jA la j-ésima columna de A -Propiedad:
1) nj21nj21 A,...A,...A,A·detA,...A,...A,Adet
Ejercicio: Calcular por simple inspección
18633331·31·3333
113
303
332
101
303
212
101
3
170
2) n4j1nj41 A,...A,...A,...AdetA,....A,...A,...Adet
Ejercicio: Calcular el siguiente determinante aplicando la segunda propiedad.
303
212
101
= 03333
11
33
111
330
221
110
3) njj1 A...,AC,...Adet
nj1nj1 A,...A,...,AdetA,...C,...Adet
4) Si todos los componentes de una fila o columna de una matriz son cero entonces el determinante de la matriz es cero 5) Si una matriz cuadrada tiene 2 filas o columnas iguales o proporcionales, su determinante es cero. NOTA: Las propiedades indicadas anteriormente 1 a 3 son válidas tanta si s habla de columnas como de filas de A. Ejercicio: Resolver el siguiente determinante utilizando propiedades anteriores.
033
122
311
013
112
311
0313
1212
3111
012
313
12
3130
12
311
11
313
3·21·133·21·133·21·113·11·13
613613611313
056
1
6) Sean A y B matrices cuadradas de orden n entonces BdetAdetBAdet
-Cálculo de la matriz inversa mediante la matriz adjunta:
Def: nnijaA
una matriz cuadrada de orden n
nnijcCA
la matriz cuadrada de orden n tal que
ij
ji
ijij A·det1acotC
171
ACA se denomina matriz de cofactores de A. El siguiente teorema nos proporciona un método práctico para el cálculo de A-1 TEOREMA: “Una matriz cuadrada A es invertible si y solo si 0Adet ”
En tal caso: CAdet
CA
t
A1 donde CA es matriz de cofactores de A.
Ejercicio: Dada la matriz
322
654
132
A calcular A-1 mediante el método
que se está tratando.
322
654
132
54
32
64
12
65
13
22
32
32
12
32
13
22
54
32
64
32
65
A 1
36
1210412518
642629
10812121215
A 1
36
22823
247
18021
A 1
22823
247
18021
36
1A 1
61.005.05.0
22.011.00
63.019.075.0
A 1
172
Observación: Si el determinante de A no existiera es decir detA=0 entonces la matriz A no tiene inversa.
-SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un conjunto de ecuaciones con incógnitas se denomina sistema de ecuaciones lineales con m incógnitas.
Notación:
mnmm22m11m
:::::
2nn2222121
1nn121211
bxa...xaxa
bxa...xaxa
bxa...xaxa
Sistema lineal nm
Donde mn1211 a,...a,a y n21 b,...b,b son constantes.
El conjunto solución del sistema es el conjunto de valores de n21 x,...x,x que
satisfacen simultáneamente el sistema. Este sistema lineal puede escribirse matricialmente de la siguiente manera:
B
n
:::::
2
1
X
n
:::::
2
1
A
mnmm22m11m
:::::
2nn2222121
1nn121211
b
b
b
x
x
x
bxa...xaxa
bxa...xaxa
bxa...xaxa
Donde A= matriz de los coeficientes del sistema lineal, X= matriz columna de incógnitas del sistema lineal nm , B= matriz columna de términos independientes del sistema lineal nm . El siguiente proceso nos proporciona un mecanismo sencillo llamado: Método Gauss-Jhordan para la resolución de un sistema lineal de ecuaciones. Ese método es esencialmente el método de suma y resta con el como en el álgebra elemental. Este método consiste en la aplicación de 3 operaciones fundamentales a las ecuaciones lineales del sistema. 1) Intercambio de 2 ecuaciones 2) Multiplicación de todos los términos de una ecuación por un número diferente de cero o constante diferente de cero 3) Suma de una ecuación a otra multiplicada por un número o constante diferentes de cero. Cada vez que efectuamos una de estas operaciones en el sistema obtenemos un nuevo sistema con las mismas soluciones. Dos sistemas con las mismas soluciones se llaman equivalentes. Efectuando estas operaciones una tras otra
173
de modo sistemático llegamos por fin a un sistema que puede resolverse a simple vista. Explicamos este método con un ejemplo particular para ver como se aplica el método en general. Ejercicio: Resolver el siguiente sistema lineal por el método Gauss-Jhordan
10zy4x
5zy2x
3z4y5x2
En primer lugar escribimos en forma matricial el sistema lineal:
10
5
3
z
y
x
642
121
452
Queremos llegar a la forma matricial del tipo:
c
b
a
z
y
x
100
010
001
Para ello ejercemos el siguiente procedimiento.
Paso 1:
10
3
5
z
y
x
641
452
121
3F:3Fila
2F:2Fila
1F1Fila
Paso 2: *
*
3F3F1F
2F2F1F2
1F
5
13
5
z
y
x
520
210
121
Paso 3: *
***
3F
2F2F
1F
5
13
5
z
y
x
520
210
121
Diagonal principal de la
matriz de coeficientes
Obtenemos en el lado izquierdo
la matriz A para lo cual
intercambiamos la primera fila y
la segunda fila
Convertimos en ceros los
restantes elementos den la
primera columna de A1 haciendo
las operaciones que se indican
Obtenemos 1 en el elemento
a22 de A, haciendo la
operación que se indica.
174
Paso 4: ******
*****
***
3F3F2F
2F2F
1F1F
31
13
5
z
y
x
100
210
121
Al llegar aquí el correspondiente sistema de ecuaciones lineales viene formado por:
31z
13z2y
5zy2x
El sistema lineal al que hemos llegado es un sistema lineal equivalente al inicial o sea que este sistema lineal equivalente tiene las mismas soluciones que el sistema original. Resolviendo el sistema lineal equivalente tenemos:
124x531752x
75y13312y
31z
Y de esta forma hemos resuelto el sistema lineal original al método empleado e esta solución llámese Método Gauss A continuación vamos a aplicar el proceso Gauss-Jhordan. Convirtiendo en ceros los elementos por encima de la diagonal principal de A.
Paso 5: ***
***
**********
3F
2F
1F1F2F2
31
1
31
z
y
x
100
210
301
Paso 6: ***
******
*******
3F
2F3F2
1F3F3
31
75
124
z
y
x
100
010
001
Y de esta manera hemos llegado al siguiente sistema lineal equivalente al original:
31z
75y
124x
Precisamente este sistema lineal encontrado representa las soluciones del sistema el método utilizado para encontrar este sistema lineal llámese método “Gauss-Jhordan” TEOREMA “Regla de Kramer”
Si A es una matriz cuadrada tal que 0Adet entonces lado nnijaA
D.P
175
n
1
:::::
x
x
X
n
::::1
b
b
B
A·X=B La i-ésima componente de (xi) de la solución del sistema en consideración es el determinante de la matriz que se obtiene reemplazando la i-ésima columna de A por la matriz de B, sobre el detA es decir:
Adet
aaba
aabaa
x
n11i1nn1i1n
n11i1
::::::1
::::::
1i1...............1
i
Ejercicio: Por la regla de Kramer resolver el siguiente sistema lineal de ecuaciones de orden 3:
2zyx
0zx2
1zyx
2
0
1
B
z
y
x
X
111
102
111
A
-Primero calculamos el detA:
6241·11·111·11·1211
1110
11
112Adet
Si detA=0 el sistema no tiene solución
176
2
1
6
3
6
112
100
111
x
2
1
6
12
6
1·12·111·21·12
6
21
1110
12
112
6
121
102
111
y
16
6
6
1·12·12
6
0021
112
6
211
002
111
z
-Resolución de sistema de ecuaciones por el cálculo de la matriz inversa
Si A es una matriz cuadrada. 0Adet , B·AXBX·A 1
Observación: A-1 se calcula por el método de la matriz adjunta o por el método de la matriz ampliada. Ejercicio: Resolver el siguiente sistema lineal de ecuaciones por el método de la matriz inversa.
0z3y2x2
0z6y5x4
1zy3x2
Se reemplaza la
1 columna por
la columna de B
Se reemplaza la
2 columna por
la columna de B
Se reemplaza la
3 columna por
la columna de B
177
0
0
1
B
z
y
x
X
322
654
132
A
Nota: En un ejercicio anterior tenemos calculado este determinante. detA=36 036Adet
61.065.05.0
22.011.00
64.019.075.0
A 1
B·AX 1 #columnas=#filas
0
0
1
61.065.05.0
22.011.00
64.019.075.0
z
y
x
5.061.00065.015.0z
0022.0011010y
75.0064.0019.0175.0x
-Cálculo de la matriz inversa por Gauss-Jhordan (método de la matriz ampliada) Ejercicio: Por este método calcular la matriz inversa de
231
112
221
A
100
010
001
II 333
Procedimiento: 1) Calculamos la matriz ampliada:
3IA
)3
)2
)1
100
010
001
231
112
221
El procedimiento consiste en transformar por Gauss-Jhordan 3IA a 3I
1A
Si solo si 0Adet
178
34452·11·212·32·221·32·1111
221
23
222
23
111Adet
como 03Adet existe detA
)3
)2
)1
100
010
001
231
112
221
*
*
)3)3)1
)2)2)1·2
)1
101
012
001
010
350
221
****
*
)3)3·5)2
)2
)1
517
012
001
300
350
221
c)3·1
b)2·1
a)1
517
012
001
300
350
221
**
*
c
bcb
aa·3c·2
517
505
10211
300
050
063*
*
Y siguiendo este procedimiento se llegará a la siguiente matriz ampliada:
3
5
3
1
3
7
101
3
4
3
2
3
5
100
010
001
3
5
3
1
3
7
101
3
4
3
2
3
5
A 1
179